西安交通大学复变函数与积分变换试卷(B卷)及参考答案
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一、填空题(每题3分,共30分)1. 设i z -=,则=)arg(z 2π-;2.i z -=1的指数式为i e 42π-;3. 设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段,则=⎰c zdz i__ ; 4.函数iay x z f +=2)(在复平面内处处解析,那么实常=a ___2__;5. 幂级数∑∞=02n n n z 的收敛半径=R 21;6. 函数)1(1)(z z z f -=在圆环10<<z 内的洛朗展开式为...1132+++++z z z z ; 7. 积分=⎰=dz z z 1||tan __0______;8. i z -=是函数222)1()(+=z z z f 2 级极点; 9、221)(2++=s s s F 的拉普拉斯逆变换是t e e e t t i t i cos 2)1()1(---+-+或 ; 10.单位脉冲函数)3(-t δ的傅氏变换=-⎰+∞∞--dt e t t j ωδ)3(jw e 3-; 二、(本题12分)1、求21的所有值 解:1221Ln e =……………………………………………………………………..2分=)]21(arg 1[ln 2πk i e ++ (2,1,0±±=k )…………………………… .…….2分 =)22sin()22cos(ππk i k + (2,1,0±±=k )……………………2分2、解方程0cos =z 解:02cos =+=-iziz e e z …………………………………………………1分 即0=+-iz iz e e ,即12-=iz e设iy x z +=,则有)1(1122-⨯=-=+-xi y e所以 ππn x e y 22,12+==- (...2,1,0±±=n ) ……………….. 3分 所以有:ππn x y +==2,0 (...2,1,0±±=n ) 即ππn z +=2 (...2,1,0±±=n ) …………………2分三、. 将函数22)(ze zf z-=在圆环10<<z 内展开为洛朗级数。
(完整)《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题(A)1.1 -i⼀.填空题(每⼩题3 分,共计15 分)的幅⾓是();2. Ln(-1 +i) 的主值是(1);3.f (z) =1 +z 2,z - sin z f (5)(0) =();f (z) =1,4.z = 0 是z 4 的()极点;5.z Re s[f(z),∞]=();⼆.选择题(每⼩题3 分,共计15 分)1.解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为();(A)f '(z) =u x +iu y ;(B)f '(z) =u x-iu y;(C) f '(z) =ux+ivy ;(D) f '(z) =u y +iv x.2.C 是正向圆周z = 3 ,如果函数f (z) =(),则?C f (z)d z = 0 .3;(B)3(z -1);(C)3(z -1);(D)3.n=1(A)z =-2 点条件收敛;(B)z = 2i 点绝对收敛;(C)z = 1 +i 点绝对收敛;(D)z = 1 + 2i 点⼀定发散.4.下列结论正确的是( )(A)如果函数f (z) 在z0点可导,则f (z) 在z0点⼀定解析;得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析,则 ?C f (z )dz = 0(C )如果 ?C f (z )dz = 0 ,则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析;(D )函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数. 5.下列结论不正确的是().(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三.按要求完成下列各题(每⼩题 10 分,共计 40 分)(1)设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数,求a ,b ,c ,d .z(2).计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周: z = 2 ;得分zd z (3)计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级.四、(本题 14 分)将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数;(1) 0 < z - 1 < 1 ,(2) 0 < z < 1 ,(3)1 < z < ∞五.(本题 10 分)⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、(本题 6 分)求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换,并由此证明:costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题(A )答案及评分标准⼀.填空题(每⼩题 3 分,共计 15 分)得分3 的幅⾓是( 2k Ln (-1 + i ) ee 1. 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 );2.的主值是( 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 , f(5)(0) = ( 0),4. z = 0 是1 z4的(⼀级)极点;5. f (z ) = z, R e s [ f (z ),∞] =(-1);⼆.选择题(每题 3 分,共 15 分)1----5B DC B D三.按要求完成下列各题(每⼩题 10 分,共 40 分)(1).设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数,求a ,b ,c ,d .解:因为 f (z ) 解析,由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, , a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分。
西安交通大学复变函数习题第一章复数与复变函数一、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于()(A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3)2(π=+z arc ,65)2(π=-z arc ,那么=z ()(A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+- (D )i 2123+- 3.复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是()(A ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是()(A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+zz ,则动点),(y x 的轨迹是()(A )圆(B )椭圆(C )双曲线(D )抛物线6.一个向量顺时针旋转3π,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是()(A )2 (B )i 31+(C )i -3 (D )i +37.使得22z z =成立的复数z 是()(A )不存在的(B )唯一的(C )纯虚数(D )实数8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是()(A )i +-43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --439.满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是()(A )有界区域(B )无界区域(C )有界闭区域(D )无界闭区域 10.方程232=-+i z 所代表的曲线是()(A )中心为i 32-,半径为2的圆周(B )中心为i 32+-,半径为2的圆周(C )中心为i 32+-,半径为2的圆周(D )中心为i 32-,半径为2的圆周11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为()(A )221=+-z z (B )433=--+z z (C ))1(11<=--a azaz (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ()(A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.00)Im()Im(lim0z z z z x x --→()(A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是()(A )),(y x u 在),(00y x 处连续(B )),(y x v 在),(00y x 处连续(C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15.设C z ∈且1=z ,则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为()(A )3- (B )2- (C )1- (D )1二、填空题1.设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=,则=z2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg3.设43)arg(,5π=-=i z z ,则=z 4.复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5.以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为6.不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线的内部7.方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为8.方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线9.对于映射zi =ω,圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10.=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ,试求2+z 的取值范围.四、设0≥a ,在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠,试证21z z+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω,求出圆周4=z 的像. 七、试证1.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+;2.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ,则存在0>δ,使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>. 九、设iy x z +=,试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=,试讨论下列函数的连续性:1.??=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.??=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f .第二章解析函数一、选择题:1.函数23)(z z f =在点0=z 处是( )(A )解析的(B )可导的(C )不可导的(D )既不解析也不可导 2.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )(A )充分不必要条件(B )必要不充分条件(C )充分必要条件(D )既非充分条件也非必要条件3.下列命题中,正确的是( )(A )设y x ,为实数,则1)cos(≤+iy x(B )若0z 是函数)(z f 的奇点,则)(z f 在点0z 不可导(C )若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程,则iv u z f +=)(在D 内解析(D )若)(z f 在区域D 内解析,则)(z if 在D 内也解析 4.下列函数中,为解析函数的是( )(A )xyi y x 222-- (B )xyi x +2(C ))2()1(222x x y i y x +-+- (D )33iy x +5.函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )(A )等于0 (B )等于1 (C )等于1- (D )不存在6.若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析,那么实常数=a ( )(A )0 (B )1 (C )2 (D )2-7.如果)(z f '在单位圆1<="" bdsfid="213" f="" p="" 内≡)(z="" 内处处为零,且1)0(-="f" ,那么在1(A )0 (B )1 (C )1- (D )任意常数 8.设函数)(z f 在区域D 内有定义,则下列命题中,正确的是(A )若)(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数(B )若))(Re(z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数(C )若)(z f与)(z f 在D 内解析,则)(z f 在D 内是一常数(D )若)(arg z f 在D 内是一常数,则)(z f 在D 内是一常数 9.设22)(iy x z f +=,则=+')1(i f ( )(A )2 (B )i 2 (C )i +1 (D )i 22+ 10.ii 的主值为( )(A )0 (B )1 (C )2πe (D )2π-e11.z e 在复平面上( )(A )无可导点(B )有可导点,但不解析(C )有可导点,且在可导点集上解析(D )处处解析 12.设z z f sin )(=,则下列命题中,不正确的是( )(A ))(z f 在复平面上处处解析(B ))(z f 以π2为周期(C )2)(iziz e e z f --= (D ))(z f 是无界的13.设α为任意实数,则α1( )(A )无定义(B )等于1(C )是复数,其实部等于1 (D )是复数,其模等于1 14.下列数中,为实数的是( )(A )3)1(i - (B )i cos (C )i ln (D )i e 23π-15.设α是复数,则( )(A )αz 在复平面上处处解析(B )αz 的模为αz(C )αz 一般是多值函数(D )αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1.设i f f +='=1)0(,1)0(,则=-→zz f z 1)(lim2.设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的,如果v u +是实常数,那么)(z f 在D 内是 3.导函数xvix u z f ??+??=')(在区域D 内解析的充要条件为 4.设2233)(y ix y x z f ++=,则=+-')2323(i f 5.若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=,那么=)(z f 6.函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7.设z i z z f )1(51)(5+-=,则方程0)(='z f 的所有根为 8.复数ii 的模为 9.=-)}43Im{ln(i 10.方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数,若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=,则0=??z w .四、试证下列函数在z 平面上解析,并分别求出其导数 1.;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2.);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ,求22,dzwd dz dw .六、设??=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程,但却不可导.七、已知22y x v u -=-,试确定解析函数iv u z f +=)(. 八、设s 和n 为平面向量,将s按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数,则有s vn u n v s u ??-==??,(s ??与n分别表示沿s ,n 的方向导数). 九、若函数)(z f 在上半平面内解析,试证函数)(z f 在下半平面内解析. 十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章复变函数的积分一、选择题:1.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段,则=+?cdz iy x )(2( )(A )i 6561- (B )i 6561+- (C )i 6561-- (D )i 6561+ 2.设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线,则dz z z zc+-2)1)(1(为( ) (A )2i π (B )2iπ- (C )0 (D )(A)(B)(C)都有可能3.设1:1=z c 为负向,3:2=z c 正向,则=?+=dz zzc c c 212sin ( ) (A )i π2- (B )0 (C )i π2 (D )i π4 4.设c 为正向圆周2=z ,则=-?dz z z)1(cos ( ) (A )1sin - (B )1sin (C )1sin 2i π- (D )1sin 2i π5.设c 为正向圆周21=z ,则=--?dz z z z c23)1(21cos( )(A ))1sin 1cos 3(2-i π (B )0 (C )1cos 6i π (D )1sin 2i π-6.设ξξξξd ze zf ?=-=4)(,其中4≠z ,则=')i f π(( )(A )i π2- (B )1- (C )i π2 (D )17.设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零,c 为B 内任何一条简单闭曲线,则积分dz z f z f z f z f c+'+'')()()(2)( ( )(A )于i π2 (B )等于i π2- (C )等于0 (D )不能确定8.设c 是从0到i 21π的直线段,则积分=?cz dz ze ()(A )21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9.设c 为正向圆周0222=-+x y x ,则=-?dz z z c1)4sin(2π( ) (A )i π22(B )i π2 (C )0 (D )i π22- 10.设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1,则=-?cdz i a zz 2)(cos ( ) (A )ie π2 (B )eiπ2 (C )0 (D )i i cos 11.设)(z f 在区域D 内解析,c 为D 内任一条正向简单闭曲线,它的内部全属于D .如果)(z f 在c 上的值为2,那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )(A )等于0 (B )等于1 (C )等于2 (D )不能确定 12.下列命题中,不正确的是( ) (A )积分=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关(B )2)(22≤+?cdz iy x,其中c 为连接i -到i 的线段(C )若在区域D 内有)()(z g z f =',则在D 内)(z g '存在且解析(D )若)(z f 在10<<<="r" 的积分等于零,则<="">)(z f 在0=z 处解析13.设c 为任意实常数,那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2(B ) ic iz +2(C )c z +2(D )ic z +214.下列命题中,正确的是( )(A )设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数,则必有21v v = (B )解析函数的实部是虚部的共轭调和函数(C )若iv u z f +=)(在区域D 内解析,则xu为D 内的调和函数(D )以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15.设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数,则下列函数中为D 内解析函数的是( )(A )),(),(y x iu y x v + (B )),(),(y x iu y x v -(C )),(),(y x iv y x u - (D )xv i x u ??-??二、填空题1.设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段,则=?cdz z 22.设c 为正向圆周14=-z ,则=-+-?c dz z z z 22)4(233.设?=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ,则=')3(f 4.设c 为正向圆周3=z ,则=+?cdz zzz 5.设c 为负向圆周4=z ,则=-?c zdz i z e 5)(π 6.解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7.设)(z f 在单连通域B 内连续,且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=?c dz z f ,那么)(z f 在B 内8.调和函数xy y x =),(?的共轭调和函数为9.若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部,则常数=a10.设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ,那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.=+-Rz dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.=++22422z z z dz.四、设)(z f 在单连通域B 内解析,且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证1.在B 内处处有0)(≠z f ;2.对于B 内任意一条闭曲线c ,都有0)()(=''?cdz z f z f 五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析,若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-,则),2,1()(!)()n rr M n a fnn . 六、求积分?=1z zdz z e ,从而证明πθθπθ=?0cos )cos(sin d e . 七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界,对于任意给定的两个复数b a ,,试求极限=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =(刘维尔Liouville 定理).八、设)(z f 在)1(><="" bdsfid="471" p="" r="" z="" 内解析,且2)0(,1)0(="=f f ,试计算积分</p><p>?</p><p>=+1</p><p>22</p><p>)</p><p>()1(z dz z</p><p>z f z 并由此得出</p><p>?</p><p>π</p><p>θθθ</p><p>20</p><p>2</p> <p>)(2</p><p>cos d e f i 之值.</p><p>九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数,证明</p><p>2</p><p>222</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p> <p>2)</p><p>)(1()</p><p>(4)</p><p>)(1ln()</p><p>)(1ln(z f z f y z f x z f +">+?++?.十、若)(22y x u u +=,试求解析函数iv u z f +=)(.第四章级数一、选择题:1.设),2,1(4)1( =++-=a n n ,则n n a ∞→li m ( ) (A )等于0 (B )等于1 (C )等于i (D )不存在2.下列级数中,条件收敛的级数为( )(A )∑∞=+1)231(n ni (B )∑∞=+1!)43(n n n i(C )∑∞=1n nni (D )∑∞=++-11)1(n n n i3.下列级数中,绝对收敛的级数为( )(A )∑∞=+1)1(1n n in(B )∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nn i (D )∑∞=-12)1(n nn n i 4.若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛,那么该级数在2=z 处的敛散性为( )(A )绝对收敛(B )条件收敛(C )发散(D )不能确定 5.设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ,则321,,R R R 之间的关系是( )(A )321R R R << (B )321R R R >> (C )321R R R <= (D )321R R R == 6.设10<∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )(A )q (B )q1(C )0 (D )∞+ 7.幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) (A ) 1 (B )2 (C )2 (D )∞+8.幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<="" bdsfid="544" p="" 内的和函数为="" (a="" (b="" ))1ln(z="">(D )z +11ln(D) z-11ln 9.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ,那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )(A )∞+ (B )1 (C )2π(D )π 10.级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) (A )1<<<="">11.函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( ) (A ))11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n(B ))11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n(C ))11()1(11<++-∑∞=-z z n n n (D ))11()1(1 1<++∑∞=-z z n n n12.函数z sin ,在2π=z 处的泰勒展开式为( )(A ))2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n(B ))2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n(C ))2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n(D ))2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13.设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0,c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线,那么=-?c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π (B )12ic π (C )22ic π (D ))(20z f i 'π14.若?--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ,则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) (A )3141<<<="">+∞<<="" 41="" bdsfid="628" p="" (d="" )+∞<115.设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个,那么=m ( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4 二、填空题1.若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散,那么该级数在2=z 处的收敛性为. 2.设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ,那么1R 与2R 之间的关系是. 3.幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4.设)(z f 在区域D 内解析,0z 为内的一点,d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离,那么当d z z <-0时,∑∞=-=)()(n nn z z cz f 成立,其中=n c . 5.函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为. 6.设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ,那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为.7.双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为. 8.函数zze e 1+在+∞<<<0内的洛朗展开式为∑∞<="" bdsfid="683" cot="" p="" z="" 在原点的去心邻域r="" .="">-∞=n n nz c,那么该洛朗级数收敛域的外半径=R . 10.函数)(1i z z -在+∞<-三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ,则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列,试确定n a 满足的递推关系式,并明确给出n a 的表达式.四、试证明 1.);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2.);1()1(1)3(<-≤-≤-z ze e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析,∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1.)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++?ξξξξξπξ.2.)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-?=++ξξξξπξ)。
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数,则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数,当=a , b= 时,).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题(正确的划√,错误的划 ) 1、2121z z z z +=+ ( )2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= ( )3、()()i i i 125432+=++ ( ) 三、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1-2.复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是( )(A ))]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3.使得22z z =成立的复数z 是( )(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 4.若θi re i i=+--2)1(3,则( ) (A )πθ-==3arctan ,5r (B )πθ-==3arctan ,210r (C )3arctan ,210-==πθr (D )3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限,则z arg 等于( )。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11,求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时,等式()i iy i x +=+-++13531成立?3、求复数ii-+23的辐角。
西安交通大学《复变函数》考查课试题答案一、选择题1.若22z z =,则必有( D ). A.0z =;B.Re()0z = ;C.0)Im(=z ;D.Re()Im()0z z =.2.级数111(1)n n n z n+∞+=-∑的和函数与收敛半径为( D ). A.ln(1),1z R -= : B.ln(1),1z R += : C.ln(1),1z z R -=;D.zln(1+z),R=1.3.1z =是函数1z ze-的( A ).A.本性奇点;B. 一级极点;C.可去奇点;D.二级极点.4.函数)(z f 在z 点可导是)(z f 在z 点解析的( B ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分亦非必要条件5.若()f z z =,则( A ). A.处处不可导;B.在原点可导;C.处处解析;D.仅在虚轴上可导.二、填空题1.设C 是0z =到1z i =+的直线段,则z ce dz =⎰____1(1)i i e --_____________.2.方程1ze -+=0的全部解是_______(2)i k k Z ππ+∈_______________;3.幂级数1in nn ez π+∞=∑的收敛半径是__________1____________;4.函数21()(1)z f z z e =-的全部奇点是_______2kik Z π∈_______________.三、证明:若iv u z f +=)(在区域D 内解析,并且2v u =,则)(z f 在D 内为常数.(8分)证: 因为 ()f z u iv =+ 在区域D 内解析,且2u v =从而yv v y u x v y vx u x v v∂∂-=∂∂-=∂∂∂∂=∂∂=∂∂2,2(50)所以 2020v v v x y v v v xy ∂∂⎧-=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+=⎪∂∂⎩系数行列式22141012v v v-=+≠所以0v v x y∂∂==∂∂,同理 0u u x y ∂∂==∂∂1()0v vf z x i y∂∂'=+=∂∂ 即 在D 内()f z 为常数.四、已知调和函数(,)(1)u x y x y =+,求解析函数iv u z f +=)(,且满足条件0)1(=f .(8分) 解()()u v u u f z i i x x x y ∂∂∂∂'=+=+-∂∂∂∂ (1)y x i xi i y =+--=--+()x yi i i zi i =-+-=--2()()2if z z i i d z z z i c ∴=--=--+⎰由 3(1)022i f i c i c =--+=-+= 得 32c i =23()22i f z z zi i ∴=--+五、求函数231)(2++=z z z f 在20=z 处的泰勒展开式,并指出它的收敛半径.(10分) 解 : 21111()32(1)(2)12f z z z z z z z ===-++++++而,)2(31)1(321131)2(311101n n n n z z z z --=-+=-+=+∑∞=+ 3|2|<-z4|2|,)2(41)1(421141211<---=-+=+∑+z z z z n n n所以n n n n n n n n n nn n nz z z z f )2)(4131()1()2(41)1()2(31)1()(010---=-----=∑∑∑∞=∞=+∞=级数的收敛半径为3=R六、将函数2)1(1)(z z z f -=在圆环域:011z <-<内展开成洛朗级数.(10分) 解: 因为 011(1)(1)(|1|1),11n nn z z z z +∞===---<+-∑所以 22011()(1)(1)(|1|1),(1)(1)n nn f z z z z z z +∞===---<--∑2(1)(1)(|1|1),nn n z z +∞-==---<∑七、计算下列各积分.(圆周均取正向)(每小题6分,共24分)(1)23cos3(2)z zdz z z =-⎰ ; (2)32(1)(2)zz e dz z z =-+⎰(3)2523()14z z dz z z i =+++⎰; (4)222(1)z z ze dz z =-⎰ (1) 解 : 在||3z =内,10z =是二级极点,22z =是一级极点22cos3Re [(),0]lim[](2)z zs f z z z z →'=- 203(2)sin 3cos31lim(2)4z z z z z →---==-- 22c o s 3c o s 6R e [(),2]l i m 2z z s f z z →== 23cos3cos612()(cos61)(2)442z z idz i z z =π=π-=--⎰ (2)解: 13322222(1)(2)123zzzz z z e e e z dz dz i e i z z z z ===+==π⋅=π-+-+⎰⎰(3) 解 : 在||5z =内,,4z i z i =±=-均为函数的一级极点225552323()1414z z z z z dz dz dz z z iz z i ===+=+++++⎰⎰⎰ 22222[]32(1)(1)z i z izz i i z z ==-=π++⋅π''++10i =π(4) 解 :2211222()2()(1)zzz z z ze dz if z i ze z ===''=π=π-⎰22212(2)6z z z i e ze ie ==π+=π。
中国计量学院201 1 ~ 201 2 学年第二学期《 复变函数与积分变换 》课程试卷(B )参考答案及评分标准开课二级学院: 理学院_ ,学生专业: ,教师: 武丹一、 选择题1、D2、D3、D4、C5、C二、 填空题1、四级极点2、|z-4|<123、-14、-5025、4 三、判断题1、错2、错3、错4、错5、对四、计算题1、0,2、03、04、 2sin 2i π5、2cos2i π五、解答题1、解:6,u xy x∂=-∂ 2233u y x y ∂=-∂ ……………………………(1分) y v ∂∂=6,u xy x ∂=-∂,(1)-=∂∂x v 2233u y x y∂=-∂, (2)………………(2分) 将(1)式对y 积分得(,)6v x y xydy =-⎰=23()xy x ϕ-+,(3) …………………………………(4分)(3)对x 求导,带入(2),2()3x x ϕ'=,得 3()x x c ϕ=+ 于是,23(,)3v x y xy x c =-++,…………………………………………(8分) 由iv u z f +=)(,且(0)f i =,得 1=c因此所求的解析函数为:)(z f =32323(31)y x y i x xy -+-+………………(10分)2、z=3为奇点, …………………………………………(1分)2101(1)1(3)cos 0|z-3|3(2)!(3)n n n z z n z ∞-=--=⋅<<+∞--∑ (6分) 所以是函数的本性奇点。
………… (8分)《 复变函数与积分变换 》课程试卷B 参考答案及评分标准 第 1 页 共 3 页111Re (3)cos ;332s z C z -⎡⎤-==-⎢⎥-⎣⎦ ………… (10分) 六、 计算题1、解:当1||0<<z 时,由∑∞==-011n n z z 得 ……………(4分) 21(1)z +=20(1)n n n z ∞=-∑, )1||0(<<z ………………(8分) 221(1)z z +=2201(1)n n n z z ∞=⋅-∑=220(1)n n n z ∞-=-∑, )1||0(<<z ………………(10分) 2、解: 21111()1211z z z =---+ ,。
西安交通大学15年7月课程考试《复变函数》作业考核试题答案把分母拆成(z+1)(z-1)。
首先C的表达式你已经化简了,这很明显就是绕“1”这个点的一个正向圆周对不对?因此-1不在圆周里,唯一的奇点是z=1。
由留数定理,2(pi)i lim[z->1]sin(什么x1/4)/(z+1)=答案。
你图片少截了一块不过我猜唯一可能是sin((pi)z/4)习题一答案;1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复;i1;(2);(i?1)(i?2)3?2i;13i821;(3)?(4)?i?4i?i;i1?i;13?2i;解:(1)z?,?;3?2i1332;因此:Rez?,Imz??,;1313232z?argz??arctan,z?;31313ii?3?i;??(2)z?,;(i?1)(i?2)1?3i习题一答案1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:i1(2)(i?1)(i?2)3?2i13i821(3)? (4)?i?4i?ii1?i13?2i解:(1)z?,?3?2i1332因此:Rez?, Imz??,1313232z? argz??arctan, z??i31313ii?3?i??(2)z?,(i?1)(i?2)1?3i1031因此,Rez??, Imz?,1010131z? argz???arctan, z???i3101013i3?3i3?5i(3)z??,??i??i1?i22因此,Rez?, Imz??,3253?5iz? argz??arctan, z?232821(4)z??i?4i?i??1?4i?i??1?3i(1)因此,Rez??1, Imz?3,z?argz???arctan3, z??1?3i2.将下列复数化为三角表达式和指数表达式:(1)i (2 )?1?(4)r(cos?解:(1)i(3)r(sin??icos?)?isin?) (5)1?cos??isin? (0???2?)?cos?2?isin?2?2?e1(2)?1??2(cos??isin?)?2e33(3)r(sin?(4)r(cos??icos?)?r[cos(??)?isin(??)]?re22?isin?)?r[cos(??)?isin(??)]?re??i ?isin??2sin2 ??(??)i2?(5)1?cos???2isincos 222???i?2sin[cos2(1)??????????2]?2sine223.求下列各式的值:?i)5 (2)(1?i)100?(1?i)100 (cos5??isin5?)2(1?)(cos??isin?) (3)(4)(cos3??isin3?)3(1?i)(cos??isin?) (5(6解:(1)5?i)5?[2(cos(?)?isin(?))]566??5?5??2(cos(?)?isin(?))???i)66?(1?i)100?(2i)50?(?2i)50??2(2)50??251 (1?)(cos??isin?)(3)(1?i)(cos??isin?)?2[cos(?)?isin(?)](cos??isin?)?)?isin(?)][cos(??)?isin(??)]44?????12)?isin(??12)](cos2??isin2?)????12122)]?(2???12)i(cos5??isin5?)2(4) 3(cos3??isin3?)cos10??isin10???cos19??isin19? cos(?9?)?isin(?9?) (5?1?i, k?0?22?11?1??i, k?1 ?cos(?2k?)?isin(?2k?)???3232?22??i, k?2??(6?i?1?1?, k?0 ?(?2k?)?isin(?2k?)]??2424?8i, k?1?4.设z1?z z2??i,试用三角形式表示z1z2与1z2解:z1?cos??isin, z2?2[cos(?)?isin(?)],所以4466???z1z2?2[cos(?)?isin(?)]?2(cos?isin),46461212z11????15?5? ?[cos(?)?isin(?)]?(cos?isin) z224646212125.解下列方程:(1)(z?i)5???????1 (2)z4?a4?0 (a?0) ? 由此解:(1)z?i(2)z2k?i5?i,(k?0,1,2,3,4)??时,对应的411,1,2,3?a[cos(??2k?)?isin(??2k?)],当k?044(1?i), ?1?i), ?1?i), ?i) 6.证明下列各题:(1)设z?x? iy,?z?x?y证明:首先,显然有其次z??x?y;,因x2?y2?2xy,固此有2(x2?y2)?(2) ,从而z??22(2)对任意复数z1,z2,有z1?z2?z1?z2?2Re(z1z2)x2)2?(y1?y2)2,证明:验证即可,首先左端?(x1?而右端?x12?y12?x22?y22?2Re[(x1?iy1)(x2?iy2)]?x12?y12?x22?y22?2(x1x2?y1y2)?(x1?x2)2?(y1?y2)2,由此,左端=右端,即原式成立。