《复数复习小结》教学设计方案含教学反思2969.doc

《复数》整章小结教学设计一、内容和内容解析1．内容复数的概念、复数的四则运算、复数的三角形式*2．内容解析本章通过解方程引入了复数，进而研究复数的表示和运算，以及它们的几何意义，将实数系扩充成复数系．教科书从解方程入手，通过总结数系不断扩充的过程，特别是从有理数集扩充到实数集的过程，总结了数系扩充的一般规则，即扩充后的数系与原数系中的运算协调一致，且保持运算律不变，进而通过类比规定了复数的概念以及复数相等的概念，将实数集扩充到了复数集．在数学史上，实数集扩充到复数集，是一个漫长而曲折的过程，显示了人类理性思维的强大作用．对数系扩充的学习，有助于提升学生的数学抽象素养．复数本质上是一对有序数对，因此复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的，这就是复数的两种几何意义．复数几何意义的学习有助于提升学生的直观想象素养．引入一类数，就要研究它的运算，复数的四则运算中，加法、乘法运算是核心，减法、除法运算分别是它们的逆运算．教科书类比实数的四则运算法则得到了复数的加法法则和乘法法则以及相应的运算律，通过减法和加法、乘法和除法互为逆运算，得到了复数的减法和除法法则以及相应的运算律．复数代数形式的加减运算的几何意义，就是相应平面向量的加减运算．对复数四则运算的学习有助于培养学生的数学运算素养和直观想象素养．由复数的向量表示可以进一步得到复数的三角表示，进而研究复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．复数乘、除运算的三角表示形式简洁，在很多情况下可以简化复数的乘、除运算；其几何意义就是平面向量的旋转、伸缩，因此，可以方便地解决很多平面向量和平面几何问题．对复数三角表示的学习有助于提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养．数系通常包括两个要素，一是组成数系的数，二是数系中的运算及运算律；另外，数系的扩充过程也很关键．因此，本章复习的重点是：数系的扩充过程，复数的代数形式及其几何意义，复数的加、减、乘、除四则运算，复数加、减运算的几何意义．特别需要指出的是，复数的三角表示将复数、平面向量和三角函数三者紧密相连，这种形式在复数体系中乃至整个数学中具有极为重要的地位，但鉴于《课程标准（2017年版）》将其定位为选学内容，不作为考试要求，因此不将它作为本章复习的重点．但建议一旦选学复数的三角表示，也应将复数的三角表示式、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义列为本章复习的教学重点．二、目标和目标解析1．目标（1）通过方程的解，认识复数．（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．（3）掌握复数代数形式表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．（4）通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）能够说出复数系扩充的规则和过程，会解复数系范围内的一元二次方程．（2）能够说出复数的几何意义，会利用复数的几何意义解决相关问题．（3）能熟练运用复数的四则运算法则和复数加减运算的几何意义解决有关复数的计算问题．（4）选学“复数的三角表示”的同学，要能够运用复数的三角表示乘除运算的运算法则和几何意义解决相关运算问题．三、教学问题诊断分析理解并掌握实数系扩充到复数系所遵循的规则，是培养学生理性思维的重要抓手，但学生在学习过程中可能不易理解，也不太重视，因此，复习教学中，要回顾并梳理从自然数到复数的扩充过程，进一步理解其“扩充规则”，感受理性思维在数系扩充中发挥的重要作用．复数代数形式的加、减运算与平面向量加、减运算的联系，复数三角表示式以及复数的乘、除运算与平面向量、三角函数的联系是本章的重点内容，也是难点内容，学生在利用几何意义解决问题时可能不太熟练，要通过典型例题的讲解，分析几何意义的本质，举一反三，突破难点．四、教学过程设计（一）复数的概念问题1：数系是怎样逐步扩充的？请对“自然数——整数——有理数——实数——复数”的数系扩充过程进行整理．师生活动：学生梳理并口述数系扩充的过程，教师用PPT呈现．追问1：数系扩充的规则是什么？你能说说数学史上数系扩充的历程吗？师生活动：师生共同回顾归纳数系扩充的规则：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．学生口述历史上数系扩充的历程，教师补充完善，并指出理性思维在数系扩充过程中发挥了强大作用．设计意图：梳理复数扩充的过程和规则，体会理性思维在数系扩充中发挥的作用．追问2：复数是怎么规定的？实数、虚数、纯虚数、复数之间有什么区别和联系？追问3：复数相等是怎么规定的？什么是共轭复数？师生活动：学生思考回答，教师反馈补充，追问1和追问2的答案通过PPT 进行呈现．设计意图：复习巩固复数的相关概念，体会理性思维在数系扩充中发挥的作用．问题2：复数的几何意义是什么？实数和复数几何意义的区别是什么？复数的模是什么？师生活动：学生思考口答，教师用PPT展示．设计意图：进一步明确复数、复平面内的点以及平面向量三者一一对应的关系，体会复数与向量的联系性．设计意图：复习巩固复数、虚数、纯虚数的概念．练习：1．设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，则满足条件的点Z的集合是什么？答案：以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环，包括圆环的边界．设计意图：复习巩固复数的几何意义．（二）复数的四则运算问题3：复数代数形式的四则运算法则是怎么规定的？满足什么运算律？问题4:复数代数形式加减运算的几何意义是什么？追问：你对复数代数形式的加、减运算与向量的加、减运算的一致性有什么体会？师生活动：学生思考回答，教师补充完善，答案通过PPT进行呈现．练习：2．若(1-i)+(2+3i)=a+bi（a,b∈R，i是虚数单位），则a,b的值分别等于（）．（A）3,-2（B）3,2（C）3,-3（D）-1,4设计意图：复习巩固复数相等的充要条件，复数的加、减运算法则．答案为B．设计意图：复习巩固复数代数表示式四则运算法则，提升学生的运算求解能力．师生活动：学生独立完成，教师巡视，及时指出学生解题时出现的问题，对基础较弱的学生进行个别指导．完成后，生生互评，教师点评．答案为：（1）-1；（2）-9i．（A）-5+5i（B）-5-5i（C）5+5i（D）5-5i师生活动：学生自主完成，教师评价反馈．教师强调复数和平面向量之间的联系性，复数的运算问题可以转化为平面向量的运算问题去解决，反过来，平面向量的运算问题也可以转化为复数的运算问题去解决．答案为D．设计意图；帮助学生进一步理解复数的几何意义，复数和相应的平面向量的一一对应关系，复习巩固复数的减法运算的几何意义．例4．在复平面上，正方形ABCD的两个顶点A，B对应的复数分别为1+i，2-3i．求另外两个顶点C，D对应的复数．师生活动：师生共同分析，学生自主完成，同时请学生到黑板上板演，之后生生、师生之间进行反馈点评、修改完善．所以，点C，D对应的复数分别为-2-4i,-3i；或6-2i，5+2i.设计意图：复习巩固复数加、减运算几何意义和复数加、减运算的运算法则，提升学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力和数学运算素养．（三）复数的三角表示（备注：此部分为选学内容，可根据学情自主安排）问题5：什么是复数的三角形式？它与复数的几何意义之间有什么联系？复数的代数形式与三角形式之间有什么关系？问题6：复数三角表示乘法运算的运算法则是什么，用文字语言如何描述？问题7：复数乘除运算的三角表示及其几何意义分别是什么？利用复数的乘除运算的几何意义能够解决什么问题？师生活动：教师利用PPT给出问题，学生根据问题回归课本，回顾所学知识．设计意图：通过问题串，引导学生回顾复数三角表示的基础知识，将知识系统化、条理化．设计意图：巩固复数乘法的几何意义、复数的三角表示和代数表示的互化以及复数三角表示的乘、除运算的相关知识，提升学生的数学运算素养．练习：设计意图：巩固复数的三角表示和辐角主值概念．答案为D．（四）归纳总结、布置作业师生活动：请学生用思维导图梳理复数一章的基础知识和解决问题的基本方法．并进行展示交流．布置作业：教科书复习参考题2复习巩固第1，2，3，4，5题．五、目标检测设计设计意图：本题主要评价学生对复数四则运算法则的掌握程度和对复数几何意义的理解程度，同时评价数形结合的思想方法．答案为D．2．已知复数z满足（z-1）i=1+i，则z=（）．（A）-2-i（B）-2+i（C）2-i（D）2+i设计意图：本题主要评价学生对复数代数表示式四则运算法则和运算律的掌握程度，同时评价数学运算能力．答案为C．设计意图：本题主要评价学生对复数的几何意义，复数加法运算的几何意义的理解程度，同时评价运算求解能力．答案为．。

复习内容：数的认识（二）复习目标:1、使学生进一步理解和掌握分数、小数的基本性质。

2、使学生进一步理解因数、倍数、质数、合数等意义，能熟练地找出两个数的公因数、公倍数等。

3、熟练掌握2、3、5倍数的特征，并正确解决有关问题。

复习过程：一、回顾与交流1、分数的基本性质与小数的基本性质。

（1）分数的基本性质。

%1分数的基本性质是什么？板书：分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外）分数的大小不变。

%1填一填。

%1分数大小不变，但什么变了？（分数单位变了）（2）小数的基本性质。

%1小数的基本性质是什么？板书：小数末尾添上0或者去掉0,小数的大小不变。

%1把下面的小数改写成两位小数。

0. 300 2.5 4.3 000%1小数大小不变，但什么变了？（小数计数单位变了）（3）小数的基本性质与分数的基本性质是一•致的.如：0.3 二0.30 二0.300（3）小数点移动位置，小数的大小会发生什么变化？如果把小数点向右移动一位、两位、三位……这个小数比原来的数就扩大10倍、100倍、1000倍……如果把小数点向左移位一位、两位、三位……这个数就比原来的数缩小10倍、100 倍、1000倍……2.倍数与因数。

(1)什么是倍数？什么是因数？举例说明。

%14 X5=2020是5和4的倍数。

4和5都是20的因数。

%120的因数还有哪些？ -•共有多少个？20的因数有1, 20, 2, 10, 4, 5o 一,共有6个。

%14的倍数还有哪些？一共有几个？4的倍数有4, 8, 12,……,有无数个。

%1着重说明：最小最大个数因数1本身有限倍数本身/ 无限(2)2、3、5倍数的特征。

%12的倍数特征是什么？举例说明。

什么是偶数？什么是奇数？个位上是0, 2, 4, 6, 8的数都是2的倍数。

是偶数。

%15的倍数特征是什么？举例说明。

个位上是0或5的数，都是5的倍数。

如：10, 25, 45, 60等。

%13的倍数特征是什么？举例说明。

本章小结1.理解复数引入的必要性，了解数系的扩充，理解复数的代数表示及其几何意义、复数相等的条件.2.掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加减运算的几何意义.教学重点：复数的概念及四则运算.教学难点：复数几何意义的理解.PPT课件.一、知识回顾问题1：阅读课本第187页，绘制本章知识结构图.师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结.预设的答案：设计意图：通过阅读课本，让学生明晰学习目标，完善搭建本章知识结构图二、问题导入问题1在数系的扩充过程中，实际需求和数学内部需求起到了什么作用？师生活动：学生思考回忆，教师补充.预设的答案：推动了数系的扩充.设计意图：理解数系扩充的必要性.问题2复数四则运算中最主要的是什么？为什么？师生活动：学生回忆、教师点拨.预设的答案：复数四则运算中最主要是乘法运算，因为乘法运算包含函了复数的加减运算，除法运算，可以转化为乘法运算，因此是四则运算最重要的.设计意图：通过复习回忆，对本章进行一个小结-----本章小结.（板书）【新知探究】1.复数的基本概念问题3：处理复数概念问题的需要注意什么？师生活动：学生分析、老师点拨预设的答案：需要注意：(1)当复数不是a＋b i(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋b i 的形式，以便确定其实部和虚部.(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.追问：复数问题实数化的理论依据是什么？师生活动：学生分析、老师点拨预设的答案：是复数相等的充要条件设计意图：培养学生分析和归纳的能力.2. 复数的几何意义问题4：如何利用复数的几何意义解决问题？师生活动：学生分析、老师点拨预设的答案：复数具有明显的几何意义,与向量关系密切.复数与复平面内的点是一一对应的,与复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的.当条件中出现与复数模有关或与平面图形有关的问题时,一般要联想复数的几何意义.设计意图：培养学生分析和归纳的能力.3.复数的四则运算问题5：在复数运算的过程中常用的公式有哪些？ 师生活动：学生分析、老师点拨预设的答案：(1)i 的乘方：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i (n ∈N *).(2)(1±i )2＝±2i.,(3)122⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭3＝－1.问题6：求解复数的四则运算求复数的一般思路是什么？ 师生活动：学生分析、老师点拨预设的答案：复数的运算包括加、减、乘、除，在解题时应遵循“先定性、后解题”的原则，化虚为实，充分利用复数的概念及运算性质实施等价转化.问题7：求复数的模的最值，常用的方法有哪些？ 师生活动：学生分析、老师点拨预设的答案：(1)设出代数形式，利用求模公式，把模表示成实数范围的函数，然后利用函数来求最值；(2)利用不等式||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|求解；(3)利用几何法求解. 设计意图：培养学生分析和归纳的能力.二、题型探究例1.已知复数i(0,)z a a a R =+>∈，i 为虚数单位，且复数2z z+为实数. （1）求复数z ；（2）在复平面内，若复数2()m z +对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.师生活动：分析思路，解出答案.预设的答案：（1）因为i(0)z a a =+>，所以z ＋2z ＝a ＋i ＋2ia + ＝i a +＋2(i)(i)(i)a a a -+-＝i a +＋222i1a a -+＝22221i 11a a a a ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，由于复数z ＋2z为实数，所以1－221a +＝0，因为0a >，解得1a =，因此，1i z =+.（2）由题意22()(1i)m z m +=++22(1)12(1)i (2)2(1)i m m m m m =+-++=+++，由于复数2()m z +对应的点在第一象限，则()220210m m m ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩，解得0m >.因此，实数m 的取值范围是(0,)+∞.设计意图：理解复数的概念、掌握复数的运算.例2(1) 已知z 是z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i (2)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝232i(2i)++，则12z z ＝( )A.－4＋3iB.3＋4iC.3－4iD.4－3i师生活动：学生分析解题思路，教师写出解题过程.预设的答案：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，代入z ·z i ＋2＝2z 中得，(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，∴2＋(a 2＋b 2)i ＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得，22222a a b b =⎧⎨+=⎩，∴11a b =⎧⎨=⎩，∴z ＝1＋i ，故选A. (2) 12z z ＝2(23i)(2i)32i -++＝2(23i)(32i)(2i)(32i)(32i)--++-＝－13i(34i)13+＝4－3i.【变式设问1】本例题(1)中已知条件不变，则zz＝ . 【解析】由例(1)解析知z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，z z ＝1i 1i+-＝i.【变式设问2】本例题(2)中已知条件不变，则z 1z 2＝ . 【解析】z 1z 2＝2(23i)(32i)(2i)-++ ＝125i (125i)(34i)34i (34i)(34i)---=++-＝221663i 1663i 342525-=-+. 设计意图：运用复数的运算解决问题.例3. 已知复数24i1im z +=-（,i m R ∈是虚数单位）. （1）若z 是纯虚数，求m 的值和|z|；（2）设z 是z 的共轭复数，复数2z z -在复平面上对应的点位于第三象限，求m 的取值范围.师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程. 预设的答案：（1）由题复数24i1im z +=-（,i m R ∈是虚数单位）， 化简2224i (24i)(1+i)24i 42i(12)(21)i 1i (1i)(1+i)1i m m m mi z m m +++++====-++--- 若z 是纯虚数，则120210m m -=⎧⎨+≠⎩ ，解得12m =， 此时2i z = 所以||2z =.（2）由（1）可知(12)(21)i z m m =-++，所以(12)(21)i z m m =-++，221(21)i z z m m -=-++，又因为复数2z z -在复平面上对应的点位于第三象限， 所以210210m m -<⎧⎨+>⎩ ，即1122m -<<.设计意图：运用复数的运算、复数的模解决问题.例4 把下列复数转化为三角形式.(1)－1；(2)2i ；i.师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程.预设的答案：(1)r 1，辐角的主值为θ＝arg(－1)＝π， 所以－1＝cos π＋isin π.(2)r 2，辐角的主值为θ＝arg(2i)＝2π，所以2i ＝2(cos isin )22ππ+.(3)r 2，由tan θ3=-和点1)在第四象限，得θ＝－i)＝2π－1166ππ=，i ＝21111(cosisin )66ππ+. 设计意图：运用复数三角形式解决问题.【板书设计】2.总结概括：问题8：（1）解决复数问题是否用到待定系数法？ （2）解决复数问题用到什么思想方法？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）待定系数法是数学中特别重要的一种解题方法，在本章的复数的运算当中，待定系数法用的较多，常设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，建立a ，b 的关系式，然后求解问题. （2）一般设出复数z 的代数形式，即z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则涉及复数的分类讨论思想，复数几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x ，y 应满足的条件，即复数问题实数化的思想.设计意图：通过梳理本章的内容，能让学生更加明确本章的有关知识.布置作业： 【目标检测】1.（2020年新高考全国Ⅱ卷）2i12i-=+（ ） A.1 B.−1 C.i D.−i设计意图：检查学生对复数运算的掌握情况. 2.（2020年全国Ⅲ）复数113i-的虚部是（ ） A.310-B.110- C.110 D.310设计意图：检查学生对复数概念的掌握情况3.（2020年全国Ⅱ卷）设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z，12i z z +=，则12||z z -=__________. 设计意图：检查学生对复数模长的求解，涉及到复数相等的应用. 4. 设复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R )，z 2＝3－4i （1）若z 1＋z 2是实数，求z 1·z 2的值； （2）若12z z 是纯虚数，求|z 1|.设计意图：检查学生对复数概念、运算的掌握情况. 参考答案：1.D2i (2i)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5----===-++-. 2.D 因为113i 13i 13i (13i)(13i)1010z +===+--+， 所以复数113iz =-的虚部为310.3. 【解析】方法一：设1i,(,)z a b a R b R =+∈∈，2i,(,)z c d c R d R =+∈∈，12()i i z z a c b d ∴+=+++=，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=，2ac bd ∴+=-，12()()i z z a c b d ∴-=-+-()22()()82a c b d ac bd =-+-=-+8423=+=.方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 由已知12312OZ OZ OP =+===,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ ∆∆都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=，∴1212z 23z Z Z -==.4.解析：（1）1i 2z a =+（其中)a R ∈，234i z =-，125(4)i z z a ∴+=+-，由12z z +是实数，得4a =.1i 24z ∴=+，234i z =-，则12(24)(34i i)4i 22z z ⋅=+-=+.（2）由122(2)(34)643834(34)(34i i i i i i )25i 25z a a a a z +++-+===+--+是纯虚数， 得640380a a -=⎧⎨+≠⎩，即32a =，1395|||2|42i 42z ∴=+=+.。

《复数复习小结》教学设计方案一、教学背景分析复数是英语中的一个重要语法现象，掌握复数形式和用法对学生的英语学习和交流都至关重要。

然而，由于复数的变化规则比较复杂，学生常常会出现混淆和错误的情况。

因此，本课旨在通过复习和巩固复数的知识点，帮助学生掌握正确的复数形式和用法，提高他们的英语写作和口语表达能力。

二、教学目标1.知识目标：复习和巩固英语中名词的复数形式和用法。

2.能力目标：能正确使用复数形式来表达多个数量。

3.情感目标：通过成功的复习和巩固，提高学生对英语学习的兴趣和信心。

三、教学重难点1.教学重点：掌握复数形式的变化规则和用法。

2.教学难点：正确使用复数形式来表达多个数量。

四、教学方法本课采用听说读写相结合的综合教学方法。

在教学过程中，通过多媒体教学和小组合作学习等方式，激发学生的参与和积极性。

五、教学过程1.导入新课教师拿出一张包含不同名词的图片，并问学生如何用英语来表达这些名词的复数形式。

学生们回答后，教师指出一些错误，并引导学生进行讨论和纠正。

2.复习复数形式和用法教师以故事的形式复习复数形式和用法，并激发学生的兴趣和思考。

教师通过拿出实物或图片等方式，让学生猜测复数形式，并进行讨论和解释。

3.巩固复数形式教师给学生分发一张练习纸，让学生根据所给名词写出复数形式，并检查答案。

然后，教师板书出一些常见名词的复数形式，并让学生进行背诵和默写。

4.运用复数形式教师出示一些图片，让学生以小组为单位，用正确的复数形式来描述图片中的物品。

学生们在一起讨论和交流，并写下自己的描述。

5.拓展练习教师出示一篇小短文，让学生根据所给的名词填写出正确的复数形式。

学生完成后，教师让几个学生上前演讲自己填写的答案，并进行讨论和纠正。

6.总结复习教师以问答形式对本课的内容进行总结和复习，并布置一些小练习作为课后作业。

七、教学评价方法1.教师观察法：通过观察学生的课堂表现，包括学生的注意力和积极参与程度等，来评价他们的学习情况。

课题：复数复习小结教学目的：1.理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示.2.会运用复数的分类求出相关的复数(实数、纯虚数、虚数等)对应的实参数值.3.能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算.4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义教学重点：复数的有关概念、运算法则的梳理和具体的应用．教学难点：复数的知识结构的梳理授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、知识要点：1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21i=-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14.复数的定义：形如(,)+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复a bi ab R数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3. 复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即(,)=+∈，把复z a bi a b R数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)+∈，当a bi ab R且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 9. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 10. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.11. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z )12．乘法运算规则：设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.13.乘法运算律：(1)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 ; (2)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3; (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3. 14.除法运算规则：①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )， 即(a +bi )÷(c +di )=x +yi∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i . ∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx ,解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y dc bd ac x于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222dc ad bc dc bd ac +-+++ i .②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将dic bi a ++的分母有理化得：原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad ic dic di c di c d++-+⋅-+-==++-+222222()()ac bd bc ad iac bd bc ad i c dc dc d++-+-==++++.∴(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc dc bd ac 2222+-+++.15*.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数16. 复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量1OP 、2OP ，那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS 就是z 1+z 2的和所对应的向量17.复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.18．复数的模：||||||z a bi OZ =+==19. 复数z a bi =+的辐角θ及辐角主值：以x 轴的非负半轴为始边、以O Z [0,2)π内的辐角就叫做辐角主值，记为argz20. 复数的三角形式：(cos sin )z a bi r i θθ=+=+其中22b a r += ，ra =θcos ， rb =θsin ；复数的三角形式的特征：①模r ≥0；②同一个辐角θ的余弦与正弦；③θcos 与θsin i 之间用加号连结21. 复数的三角形式的乘法：若11112222(cos sin ),(cos sin )z r i z r i θθθθ=+=+， 则12121212(cos()sin(z z r r i θθθθ=+++22. 复数的三角形式的乘方(棣美弗定理)：若(cos sin )z a bi r i θθ=+=+，则(cos sin )n nz r n i n θθ=+23. 复数的三角形式的除法：若11112222(cos sin ),(cos sin )z r i z r i θθθθ=+=+， 则11212122(cos()sin())r z z i r θθθθ÷=-+-24. 复数代数形式开平方和三角形式开高次方的运算： ①复数z a bi =+开平方，只要令其平方根为x yi +，由2()x yi a bi +=+222x y axy b ⎧-=⇒⎨=⎩，解出,x y 有两组解②复数(cos sin )z r i θθ=+的n 方根为：22sin),(0,1,,1)k k i k n nnπθπθ+++=-共有n 个值二、讲解范例：例1对于下列四个命题，正确的是 ( )①z 1，z 2，z 3∈C ，若(z 1－z 2)2+(z 2－z 3)2=0，则z 1=z 3 ②设z ∈C ，则z +z1∈R 的充要条件是｜z ｜=1③复数不能比较大小④z 是虚数的充要条件是z +z ∈R A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案：A例2.当n ∈N *，计算i n ，下列四个结论正确的是( )A.i n =(i 4)4n=14n=1B.i n =(i 2)nn)1(2-=其值不定C.i n =(i 3)33)(nni -=其值不定 D.i n 值可能是±i ，也可能是±1答案：D例3 非零复数a 、b 满足a 2+ab +b 2=0，则19991999)()(ba b ba a +++的值是( ) A.－1B.1C.－2D.2答案：B例4已知复数z =1－2i ，求适合不等式log 0.5211||≤+-a i az 的实数a 的取值范围.解：原不等式化为21)21(1||≥+-a i az ，即⎪⎩⎪⎨⎧>++⋅≥--,01,122|)21(|a a i i a 即⎪⎩⎪⎨⎧->+⋅≥++,1,122)12(22a a a a即⎪⎩⎪⎨⎧->-≤-≥1,2151a a a 或 ∴a ≥－51或－1＜a ≤－21.点评：本题是对数不等式和复数模的概念的综合应用三、课堂练习：1．设集合I =C ={复数}， R ={实数}，M ={纯虚数}，那么 A.R ∪M =CB.R ∩M ={0}C.R ∪R =CD.C ∩R =M2.a =0是复数a +bi (a ,b ∈R )为纯虚数的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.若(m 2－m )+(m 2－3m +2)i 是纯虚数，则实数m 的值为 A.1 B.1或2 C.0 D.－1，1，2 4.若实数x ,y 满足(1+i )x +(1－i )y =2,则xy 的值是 A.1 B.2 C.－2 D.－35.已知复数z 1=a 2－3+(a +5)i ,z 2=a －1+(a 2+2a －1)i (a ∈R )分别对应向量1OZ 、2OZ（O 为原点），若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数，求a 的值答案：1.C 2.B 3.C 4.A5.解：21Z Z 对应的复数为z 2－z 1，则z 2－z 1=a －1+(a 2+2a －1)i －［a 2－3+(a +5)i ］=(a －a 2+2)+(a 2+a －6)i∵z 2－z 1是纯虚数，∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=+-060222a a a a 解得a =－1四、小结 ：通过系统复习复数的知识，及例题的训练，进一步体会数学转化的思想、方程的思想、数形结合思想的运用五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：。

复数小结（考点小析） 教学时间： 第7课时考纲要求：1. 理解复数的基本概念．2. 理解复数相等的充要条件．3. 了解复数的代数表示形式及其几何意义．4. 会进行复数代数形式的四则运算．5. 了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义.学情分析：本班为文科普通班，学生基础较差，理解力较为困难，学习积极性不够高。

教学目标：掌握复数相关知识的基础上能完成高考中常常出现的几种考点形式的题目。

教学重点：复数的有关概念、复数的几何意义与运算法则在考点中的应用和理解。

教学难点：怎样去落实考点得到此分。

教学方法：讲练结合教学过程：一、知识回顾1．定义： 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部(i 为虚数单位)2．分类：满足条件(a ，b 为实数)复数的分类 a ＋b i 为实数⇔__b=0____ a ＋b i 为虚数⇔__b ≠0__ a ＋b i 为纯虚数⇔_a ＝0且b ≠0___________3.复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔ a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．4．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔ a ＝c,b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．5．复数的模：向量OZ →的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝ a 2＋b 2 (a ，b ∈R )．二、例题选讲考点一 复数的基本概念(1)处理有关复数基本概念的问题，关键是掌握复数的相关概念，找准复数的实部与虚部(即实部和虚部必须是实数)，从定义出发解决问题；(2)利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法．(3)实数的共轭复数是它本身．【例1】(1) 设m ∈R ，(m +2) (m －1)＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝__________.【思路点拨】根据纯虚数的定义可得(m +2) (m －1)＝0，m 2－1≠0，由此解得实数m 的值．【解答过程】因为复数z ＝(m +2) (m －1)＋(m －1)i 为纯虚数，所以(m +2) (m －1)＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.【跟踪训练1】若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为i(x ＋y i)＝x i －y ＝3＋4i ，x ，y ∈R ，所以x ＝4，－y ＝3，即x ＝4，y ＝－3.所以|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.考点二 复数的几何意义复数与复平面内的点，以及复平面内以原点为起点的向量是一一对应的，只要把复数与向量对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．【例2】(1)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【思路点拨】 (1)化简复数z ，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案；【解答过程】(1)z ＝i·(1＋i)＝－1＋i ，故复数z 对应的点为(－1,1)，在复平面的第二象限．【跟踪训练2】已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A (0,1)，B (－1,3)，则z 2z 1＝( ) A ．－1＋3i B ．－3－iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意可得z 1＝i ，z 2＝－1＋3i.所以z 2z 1＝－1＋3i i ＝－i (－1＋3i )－i 2＝i ＋3. 考点三 复数的代数形式的运算(1)两个复数相除，可以先把他们的商写成分式的形式，然后把分子、分母同乘以分母的共轭复数，把结果化简；(2)在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度：①(1＋i)2＝2i ；②(1－i)2＝－2i ；③1＋i 1－i ＝i ；④1－i 1＋i＝－i ；⑤－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；⑥i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，n ∈N *.【例3】已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( )A ．－3＋4iB ．－3－4iC ．3＋4iD ．3－4i【思路点拨】 利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果；解析：由(3＋4i)z ＝25，得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝3－4i. 【跟踪训练3】已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i解析： 先由共轭复数的条件求出a ，b 的值，再求(a ＋b i)2的值．由题意知a －i ＝2－b i ，所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.三.巩固练习高考真题复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】∵z ＝i(－2＋i)＝－1－2i ，(1＋i)(2＋i)等于( )A．1－i B．1＋3iC．3＋i D．3＋3i【解析】(1＋i)(2＋i)＝2＋i＋2i－1＝1＋3i.四.课后小结复数的基本概念复数的几何意义复数的代数形式的运算五.课后作业配套练习复习题。

课题名称《复数复习小结》莆田第十三中学李春涵一、概述本节课的内容是《选修1—2》最后一章《复数》的复习小结，涉及复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用。

教学对象是本校高二（4）班。

所需课时一节课。

《复数》是高中文科数学的最后一章，固然内容不多、难度不大，但它扩大了数域，当然扩大了我们的视野，也再给了我们一个联系数与形的崭新工具，尤其在提高数学思想方法水平上具有积极的意义。

教学重点：复数有关概念、运算法则的知识梳理和具体的应用．教学难点：梳理复数的知识结构。

二、教学目标分析（融合知识与技能、过程与方法、情感态度价值观）1.理解复数的有关概念、掌握复数的代数表示及向量表示.2.会运用复数的分类、复数相等的充要条件求出相关复数的实参数值.3.掌握复数加法、乘法运算律；能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算。

4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义5.领会复数问题实数化的思想方法，能应用数形结合、待定系数法等数学思想方法解决复数问题。

6.领会数系扩充的过程。

三、学习者特征分析1.学生是莆田第十三中学（农村一般校）的高二文科重点班学生，学习自觉性较强，一般都能预习。

2.作为高二学生，好奇心较强，对数学有较强的探究欲望；3.学生有过较多的小组合作经验；4.学生已经熟练掌握实数的有关概念、运算律、数学思想方法等知识；5.学生已经学过复数的有关概念、运算律、数学思想方法等的基础知识；6.学生能够进行简单的复数计算和应用；四、教学策略选择与设计这是一节《复数》的复习课，零零碎碎的知识点很多。

只能以学生为主体，自主学习；教师起主导作用，给以适当的辅导。

所以我采用的策略是通过导课语激发学生的兴趣和求知欲后，播放PPT，让学生阅读知识点。

老师适当点拨，后又进行总结归纳梳理出本章的知识体系图。

这样才能把复习知识点的时间控制在15分钟内而且又能达到让学生系统把握本章知识的目的。

而复习的根本目的是提高知识的应用能力，由于学生都有预习，所以对P.110－111的例题1——2采用阅读提问指导的方法来教学，时间控制在10分钟内。

复数小结与复习(二)·教案示例目的要求1．通过本课的小结与复习，对本章第二单元(复数的三角形式)知识内容进行一次梳理，注意知识间的相互联系，在综合运用知识解决问题的能力上有所提高．2．通过复习，进一步强化学生运用数形结合、化归与转化等数学思想方法解决问题的意识．内容分析首先，应正确理解复数的三角形式．复数z＝r(cosθ＋i sinθ)是三角形式，必须满足以下几个条件：①r≥0；②括号中的前后两个角度一致；③括号中用“＋”号连接．应避免出现诸如＝θ＋θ∈，＝θ＋≥，＝z a(cos i sin)(a R)z r(cos i sin)(r0)zr(cosθ－i sinθ)(r≥0)等似是而非的复数三角形式．复数的代数式z＝a＋bi(a，b∈R)与三角形式z＝r(cosθ＋i sinθ)之间的互化的难点在于将代数式转化为三角式，突破难点的办法在于确定点(a，b)在哪个象限，从而正确得到复数z的辐角(或其主值)．另外，还应注意三角变换和反三角函数的概念．其次，应当充分注意复数的三角式的乘、除、乘方、开方运算的几何意义及与其相应的运算法则，借助复数的三角形式进行乘、除、乘方、开方运算，不仅可以使复数的乘、除、乘方、开方运算变得简洁明快，而且使得复数的乘、除、乘方、开方运算的几何意义跃然纸上，变得形象生动起来．通过本章教学可以发现，复数的三种形式，即代数式、向量式、三角式是相互联系，相互转换的．一般地说，复数的加、减法取代数形式较方便；乘、除、乘方、开方取三角形式较方便．由于新教科书中已学过平面向量，必要时借助平面向量的有关运算来理解复数的某些运算也是完全可以的．复数的各种运算都有鲜明的几何意义，在解题时，应充分运用它的几何意义解决问题，从而提高数形结合的能力．把复数问题转化为实数问题是解决复数问题的主要途径，在解决复数问题时应注意到这点，从而提高化归与转化问题的能力．教学过程1．内容小结要求学生对复数三角形式的相关内容自行小结，并交流．然后，教师予以评价．2．注意的问题针对复数三角式的特征，复数三角式与代数式的互化、复数运算的几何意义等方面应注意的问题进行简要陈述，并通过简单实例说明数形结合、化归与转化的思想方法在复数解题中的重要性．3．讲解例题例已知≤θ＜π，计算＋θ＋θ．1 0(1cos2i sin2)22解法1：因为cos2θ＋i sin2θ是模为1、辐角为2θ的复数的三角形式，所以根据棣莫佛公式，有(1＋cos2θ＋i sin2θ)2＝[1＋(cos2θ＋i sin2θ)]2＝1＋2(cos2θ＋i sin2θ)＋(cos2θ＋i sin2θ)2＝1＋(2cos2θ＋2i sin2θ)＋(cos4θ＋i sin4θ)＝1＋2cos2θ＋2i sin2θ＋2cos22θ－1＋2i sin2θcos2θ＝2cos2θ(1＋cos2θ)＋2i sin2θ(1＋cos2θ)＝2(1＋cos2θ)(cos2θ＋i sin2θ)＝4cos2θ(cos2θ＋i sin2θ)解法2：1＋cos2θ＋i sin2θ＝(1＋cos2θ)＋i sin2θ＝2cos2θ＋2i sinθcosθ＝2cosθ(cosθ＋i sinθ)．由≤θ＜π，知θ＞，所以θθ＋θ是模为0cos02cos(cos i sin)22cosθ、辐角为θ的复数的三角形式，根据棣莫佛公式，有(1＋cos2θ＋i sin2θ)2＝[2cosθ(cosθ＋i sinθ)]2＝4cos2θ(cos2θ＋i sin2θ)．点评：比较上述两种解法可以发现，借助复数三角形式来进行复数的乘方运算，确有其独特作用，可以简化运算，从而提高运算的准确程度．4．课堂练习已知：z＝1＋cosθ＋i sinθ，就下面两种情形求argz．①若π＜α＜π；②π＜α＜π．答案：①π＋α；②α32222()5．讲解例题例2 设复数z满足2|z－3i－3|＝|z|，试求|z|的最大值和最小值．解法1：设z＝x＋yi，则依题意，有2(x3)2－＋－＝＋，()y x y3222化简得 (x－4)2＋(y－4)2＝8．于是可知，对应的点的轨迹是以，为圆心、以为半径的z(44)22圆，易由图形知|z|62|z|22m ax m in＝，＝．点评：通过代数形式，利用模的概念，将复数问题实数化，这是解复数问题的一般思路，由于注意了数形结合，使解题过程显得简捷．解法2：由2|z －3－3i|＝|z|，有－－＝，即＋－＝．|z 33i ||33i z 1|z 1212 令α－＝，可知，α对应的点的轨迹是以，为圆心、以|1|(10)1212 为半径的圆，综合上图易知α＝，||max 32 ||z min α＝，而＝＋α，则1233i |z||33i |6|z||33i |2max maxmin min ＝＋α＝，＝＋α＝．22点评：本题解法、思路较为新颖，通过变形、换元，结合复数的几何意义，简化了运算，这表明，了解复数的一些整体性质，有时不必设z ＝x ＋yi ，而直接用z 进行运算反而简便．6．课堂练习设|z|＝1，argz ＝θ，求使|z ＋1－i|最大的θ值．()答：θ＝π747．归纳小结根据本节课的例题及习题，引导学生进行知识与思想方法上的概括与小结． 布置作业教科书复习参考题B 组第6、7题．。

复数教案教材内容分析与反思标题：复数教案教材内容分析与反思教案目标：1. 通过本节课的学习，学生将能够理解和正确使用英语中的复数形式。

2. 学生将能够通过听、说、读和写的综合训练，掌握常见名词的复数形式。

教学重点：1. 学习并掌握英语中名词的复数形式。

2. 通过练习和活动，巩固学生对复数形式的理解和应用能力。

教学难点：1. 区分不规则名词的复数形式和规则名词的复数形式。

2. 理解并正确使用复数形式的语法规则。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、复数形式的练习题、实物或图片等辅助教具。

2. 学生准备：课本、笔记本、笔等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师可以通过展示一些实物或图片，引导学生观察并提问，例如：What do you see? Are they apples? How many apples are there?等，激发学生对复数形式的兴趣和好奇心。

二、教学内容呈现（10分钟）1. 教师通过课件或黑板展示常见的复数形式规则，例如：名词加-s，以s、sh、ch、x结尾的名词加-es等。

2. 教师通过例子和练习题的形式，引导学生进行口头和书面练习，巩固规则名词的复数形式。

三、教学扩展（15分钟）1. 教师介绍不规则名词的复数形式，例如：man-men，woman-women等。

通过课件或图片展示，帮助学生理解和记忆这些不规则复数形式。

2. 教师设计一些游戏或活动，让学生在实际运用中巩固不规则名词的复数形式，例如：学生分组进行问答游戏，使用不规则复数形式回答问题。

四、巩固与评估（10分钟）1. 教师设计一些练习题，让学生进行个人或小组练习，巩固所学的复数形式。

2. 教师可以通过听力或阅读理解的形式，测试学生对复数形式的理解和应用能力。

五、课堂总结（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，并强调学生在日常生活中要多加练习和应用所学的复数形式。

2. 学生提问和教师回答的环节，帮助学生解决对复数形式的疑惑。

复数小结与复习 ( 一) ·教课设计示例目的要求1．经过本课的小结与复习，对本章第一单元 ( 复数及其四则运算 ) 知识内容进行梳理，突出知识间的内在联系，在综合运用知识解决问题的能力上提升一步．2．经过对例题的解说、议论及有关训练，进一步理解复数的有关观点、复数的代数表示与向量表示、复数代数形式的运算及有关的几何背景．内容剖析1．本单元内容大概可分为三个部分：(1)复数的观点数集的扩大过程是：自然数集 (N* ) →整数集 (Z) →有理数集 (Q) →实数集 (R) →复数集 (C) ．教课中应重申数集扩大的必需性，以及复数产生的必定性．2．复数的表示：代数表示与几何表示任一复数 z＝a＋ bi(a ， b∈ R)和复平面内的一点Z(a ，b) 对应，→也能够和点 Z(a， b)的地点向量 OZ 对应，这些对应都是一一对应，即在这些对应下，复数的各样运算都有特定的几何意义．3．复数的四则运算复数的加、减、乘、除与实数四则运算相近似，学生不难掌握．重点是四则运算的几何意义，学生掌握起来有点困难．教师在教课时，应先复习一下平面向量的有关知识，再联合前方复数与向量的一一对应关系便可水到渠成．教课过程1．内容小结对本章第一单元知识作一番小结，可采纳列纲要或填表格形式，让学生自己概括总结所学知识内容．教师可因势利导，对一些重点之处予→以重申点拨，如复数 z＝ a＋ bi与复平面上的点 Z(a，b)和地点向量 OZ 之间的对应关系、复数加法与减法的几何意义、平行四边形法例与三角形法例的用法等等．2．注意的问题(1)应注意实数、虚数、纯虚数、复数之间的差别与联系．它们的关系可用以下列图表示：(2)复数 z＝ a＋ bi 用复平面内的点 Z(a ，b) 表示，点 Z 的坐标是 (a ，b) 而不是 (a ，bi) ，也就是说，复平面内纵坐标的单位长度是 1，而不是 i ．(3)复数固然不可以一概地去比较大小，但由于复数的模是实数，能够比较大小，利用复数的模可得出一些不等式，如||z 1| －|z 2|| ≤ |z 1±z2| ≤|z 1| ＋ |z 2| 及|z| ＜ r 等等，这些复数模的不等式都有鲜亮的几何意义，应加以留意．(4)复数的加减运算与用坐标表示的平面向量的加减运算是一致的．一般地，用复数的代数形式进行复数的加减运算较为方便．3．解说例题例 1 已知 z1、 z 2∈ C， |z1 |＝ |z 2 |＝ 1， |z 1＋ z2 |＝3，求 |z1－ z2 |．解法 1：设 z1＝a＋bi ，z2＝c＋di(a ，b，c，d∈R)，则 z1＋ z2＝(a ＋ c) ＋(b ＋d)i ，z1－z2＝ (a －c) ＋(b －d)i ．∵ |z 1 |＝ |z 2 |＝ 1， |z1＋ z2 |＝3．∴a2＋b2＝ 1①c2＋d2＝ 1②(a＋c) 2＋(b ＋d) 2＝3③将①、②代入③可得1ac＋ bd＝2．于是 |z 1－z2| ＝1．解法 2：由 |z 1| ＝|z 2| ＝1 可知， z1、z2所对应的点在单位圆上．如图 5－13 所示，设 z1、z2、z1＋ z2分别对应 A、 B、C之点．则→→→|OA| ＝ |OB|＝1， |OC|＝3．→→ →又OC ＝OA ＋OB ，∴四边形 OACB 是平行四边形．∴cos ∠ OAC ＝ (|OA→|2＋ |AC →|2－ |OC →|2 )→→· |OC|2|OA||z 1 |2 ＋ |z 2 |2 － |z 1＋ z 2 |2 ＝2|z 1|| z 2 | ＝－ 1．2∴∠ OAC ＝120°，∠ AOB ＝60°．→所以，△ AOB 是正三角形，故 |z 1－z 2 |＝|AB| ＝1例 2 复平面内点 A 对应的复数是 1，经过点 A 作虚轴的平行线l ，1设 l 上的点对应的复数为 z ，求 所对应点的轨迹． z剖析：由于在复平面上的点 A 的坐标为 (1 ，0) ，l 过点 A 平行于虚轴．所以，直线 l 上的点对应的复数 z 的实部为 1，可设 z ＝1＋bi(b ∈R) ，而后再求1所对应的点的会合．z解：如图 5－ 14 所示，由于点 A 对应的复数为 1，直线 l 过点 A 且平行于虚轴， 所以，可设直线 l 上的点对应的复数为z ＝ ＋∈R) ．1 bi(b1 11－ bi所以， z = 1＋ bi = 1＋ b 2，1 设＝ x ＋yi ，于是z1 2 －b2 i ．x ＋ yi ＝ 1＋ b 1＋ b依据复数相等的条件，有1x ＝1＋b 2，by ＝－ 1＋b 2 ．消去 b 可得x 2＋ y 2＝12 ＋(－b2) 2＝ x ．2) 1＋ b(1＋ b∴ x 2＋ y 2＝x(x ≠0) ．即 (x － 1) 2 ＋ y 2＝ 1(x ≠ 0) ． 2 4∴1所对应点的会合是以 1 、 0) 为圆心， 1为半径的圆，但不包z ( 22 括原点 O(0，0) ．4．讲堂练习教科书复习参照题 A 组第 6、9 题． 5．概括小结侧重对上述例题的解题思路进行小结． 部署作业教科书复习参照题 B 组第 4、7 题．。