2020_2021学年高中数学课时素养评价三1.2.2～1.2.4独立性检验独立性检验的基本思想独立

2020--2021学年度下学期泉州市高中教学质量监测2021-高一数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分，其中填空题第15题第一空2分，第二空3分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A2．D 3．C 4．A 5．B 6．B 7．B 8．D7．【答案】B ．【简析】如图所示，3AO AB AC =+ ，E 为BC 的中点所以O 为△ABC 的重心，2AO OE =，因为0AB AC BC +⋅=（） ，所以BC AD ⊥，所以向量AB 在向量AO 上的投影向量为32AE AO = ，故选B.8.【答案】D ．【简析】延长BP 交1CC 于点R ，则1112CR CP B B B P ==，即R 为1CC 中点，连接QR ，取11A B 中点H ，连接BH ，则BH QR ，所以B H Q R ，，，四点共面，2BH BR QR ===，QH =RH =，在BRH △中，RH边上的高BM =记BH 边上的高为RN ，则BH RN RH BM ⋅=⋅，RH BM RN BH ⋅===12BHQR S =⨯梯形二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．ACD 10．ABC 11．BC 12．ABD11.【答案】BCD ．【简析】111AC CD B ⊥平面，BP 与平面11CD B 相交，所以BP 与1AC 不垂直，故A 错误；因为111CD A C B 平面 ，点P 到11A C B 平面的距离等于点11C A C B 到平面的距离，1111P A C B C A C B V V --=为定值，故B 正确；异面直线1B P 与1A B 所成角即直线1B P 与1CD 所成角，因为△1BCD 为正三角形，所以1B P 与1CD 所成角的取值范围为32ππ⎡⎤⎢⎣⎦，，C 正确；将△11B CD 沿着1CD 展开至与1CDD △共面，因为△11B CD ，1CDD △都是等腰三角形，设1CD 的中点为E则1+B P DP 的最小值等于1DE B E +D 错误．12.【答案】ABD ．【简析】对于选项A ，若z ∈R ，则z z a ==，成立．若z z =，则由i i a b a b +=-，解得0b =，所以z ∈R 成立，故A 正确；对于选项B ，解法一：若||1z =，则|1|z -+表示以原点为圆心，半径为1的圆上的点(,)Z a b到点(1,的距离，因为原点到点(1,的距离为2，所以|1|z -+的最大值为3，故B 正确；解法二：若||1z =，设点(cos ,sin )Z θθ，则222|1|(cos 1)(sin z -+=-++θθ5cos )54sin()96πθθθ=+-=+-≤，所以|1|z -+的最大值为3；对于选项C ，若0a =，1b =，则20212345678201720182019202020211(i i i i )(i i i i )(i i i i )i k k z ==+++++++++++++∑ ，000i i =++++= .故C 不正确；对于选项D ，因为z ∈C ，所以设(,)z a b a b =+∈i R 为方程25||60z z -+=的解，代入方程得2(i)60a b +-=，即()222i 60a b a b --++=，若0a =，则260b -=-，即2560b b +-=,所以20560b b b <⎧⎨--=⎩或20560b b b >⎧⎨+-=⎩,解得1b =-或1b =，即i ±是原方程的解；若0b =，则260a -+=，即2560a a -+=,所以20560a a a >⎧⎨-+=⎩，解得2a =或3；或20560a a a <⎧⎨++=⎩，解得2a =-或3-；即2，2-，3，3-也是原方程的解．综上，原方程有6个解，分别为i ，i -，2，2-，3，3-．故D 正确.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

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课时素养评价三分层抽样与系统抽样(20分钟·35分)1.(2020·怀宁高一检测)现要完成下列3项抽样调查:①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查;②高二年级有2 000名学生,为调查学生的学习情况抽取一个容量为20的样本;③从某社区100 户高收入家庭,270户中等收入家庭,80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查.较为合理的抽样方法是( )A.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样C.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样D.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样【解析】选D.在①中因为个体数量较少,采用简单随机抽样即可;在②中,因为个体数量多,故采用系统抽样较好;在③中,因为高收入家庭,中等收入家庭和低收入家庭的消费水平差异明显,故采用分层抽样较好.2.在对101个人进行抽样时,先采用抽签法从中剔除一个人,再在剩余的100人中随机抽取10 人,那么下列说法正确的是( ) A.这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的,因为他们失去了被抽到的机会B.每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等,因为每个人被剔除的可能性相等,那么,不被剔除的机会也是均等的C.由于采用了两步进行抽样,所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少D.每个人被抽到的可能性不相等【解析】选B.由于第一次剔除时采用抽签法,对每个人来说可能性相等,然后随机抽取10人,对每个人的机会也相等,所以总的来说,每个人被抽到的机会是均等的.3.(2020·沧州高一检测)为调查学生观看电影《我和我的祖国》的情况,采用分层抽样的方法,从某中学3 000人(其中高一年级1 200人,高二年级1 000人,高三年级800人)中抽取n人.已知从高一抽取了18人,则从高二和高三年级共抽取的人数为( ) A.24 B.27 C.30 D.32【解析】选B.根据分层抽样的等比例抽样的性质,设从高二和高三抽取x人,可得=,解得x=27.4.有20个同学,编号为1～20,现在从中抽取4人的作文卷进行调查,用系统抽样方法确定所抽的编号为( )A.5,10,15,20B.2,6,10,14C.2,4,6,8D.5,8,11,14【解析】选A.将20个同学分成4个组,每组5个号,间距为5.5.某单位有职工72人,现需用系统抽样法从中抽取一个样本,若样本容量为n,则不需要剔除个体,若样本容量为n+1,则需剔除2个个体,则n=________.【解析】由题意知n为72的约数,n+1为70的约数,其中72的约数有1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72,其中加1能被70整除的有1,4,6,9,其中n=1不符合题意,故n=4或6或9.答案:4或6或96.某学校有30个班级,每班50名学生,上级要到学校进行体育达标验收.需要抽取10%的学生进行体育项目的测验.请你制定一个简便易行的抽样方案.(写出实施步骤)【解析】该校共有1 500名学生,需抽取容量为1 500×10%=150的样本.抽样的实施步骤:可将每个班的学生按学号分成5段,每段10名学生.用简单随机抽样的方法在1～10中抽取一个起始号码l,则每个班的l,10+l,20+l,30+l,40+l.如果l=6,那么6,16,26,36,46号学生入样.将30个班取出的学生放在一起即组成一个容量为150的样本.【拓展提升】辨析:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样(1)共同点:都能保证在抽样过程中,每个个体被抽到的概率是相等的,体现了这些抽样方法的客观性和公平性.(2)联系:简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法,通常用抽签法和随机数法来实现,在进行系统抽样和分层抽样的时候都要用到简单随机抽样的方法.(3)适用条件:当总体中的个体数较少的时候,常采用简单随机抽样方法;当总体中的个体数较多的时候,常采用系统抽样方法;当已知总体由差异明显的几部分组成的时候,常采用分层抽样方法.(30分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.问题:①有1 000个乒乓球分别装在3个箱子内,其中红色箱子内有500个,蓝色箱子内有200个,黄色箱子内有300个,现从中抽取一个容量为100的样本;②从20名学生中选出3名参加座谈会.方法:Ⅰ.简单随机抽样;Ⅱ分层抽样.其中问题与方法能配对的是( ) A.①Ⅰ,②Ⅱ B.①Ⅱ,②ⅠC.①Ⅱ,②ⅡD.①Ⅰ,②Ⅰ【解析】选B.对于①,由于箱子颜色差异较为明显,可采用分层抽样方法抽取样本;对于②,由于总体容量、样本容量都较小,宜采用简单随机抽样.2.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,其中甲种产品有18件,则样本容量n等于( )A.54B.90C.45D.126【解析】选B.依题意得×n=18,解得n=90,即样本容量为90.3.某学校的教师配置及比例如图所示,为了调查各类教师的薪资状况,现采用分层抽样的方法抽取部分教师进行调查,在抽取的样本中,青年教师有30人,则该样本中的老年教师人数为 ( )A.10B.12C.18D.20【解析】选B.设样本中的老年教师人数为x人,由分层抽样的特点得:=,所以x=12.4.(2020·桂林高一检测)高二(1)班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、18号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是( ) A.11 B.21 C.31 D.41【解析】选C.高二(1)班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,则抽样间隔f==13,因为5号、18号、44号学生在样本中,所以样本中还有一个学生的编号是18+(18-5)=31.5.经问卷调查,某班学生对摄影分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中持“一般”态度的比“不喜欢”的多12人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学,1位“不喜欢”摄影的同学和3位持“一般”态度的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班学生人数的一半还多( ) A.2人 B.3人 C.4人 D.5人【解析】选B.因为分层抽样是按比例抽取,依题意可设对摄影“不喜欢”的有x人,则对摄影“喜欢”的有5x人,持“一般”态度的有3x 人,由此可得3x-x=12,x=6.所以全班共有5×6+6+3×6=54(人),故“喜欢”摄影的比全班学生人数的一半还多30-27=3(人).二、填空题(每题5分,共15分)6.某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆,6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为______、______、________. 【解析】设三种型号的轿车依次抽取x辆,y辆,z辆,则有解得答案: 630107.(2020·百色高一检测)某同学为了调查支付宝中的75名好友的蚂蚁森林种树情况,对75名好友进行编号,分别为1,2,…,75,采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本,已知11号,26号,56号,71号好友在样本中,则样本中还有一名好友的编号是________.【解析】依题意可知,系统抽样的组距为=15,故抽取的编号为26+15=41.答案:418.一个总体中的100个个体的编号分别为0,1,2,3,…,99,依次将其分成10个小段,段号分别为0,1,2,…,9.现要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第0段随机抽取的号码为m,那么依次错位地取出后面各段的号码,即第k段中所抽取的号码的个位数为m+k 或m+k-10(1+k≤10),则当m=6时,所抽取的10个号码依次是________.【解析】在第0段随机抽取的号码为6,则根据题意得在第1段抽取的号码应是17,第2段抽取的号码应是28,往后类推即可,故各段所抽取的10个号码依次是6,17,28,39,40,51,62,73,84,95.答案:6,17,28,39,40,51,62,73,84,95【延伸探究】若把题干中的依次错位地取号码的方法修改为“按分组的间隔抽取其他样本”,则结论如何?【解析】抽样距为10,第0段随机抽取的号码为6,则其他各段抽取的号码分别是16,26,36,46,56,66,76,86,96,即所抽取的10个号码依次是6,16,26,36,46,56,66,76,86,96.【误区警示】在进行系统抽样时,既可以按等距抽样,也可以规定其他方式的抽样.三、解答题(每小题10分,共20分)9.某高级中学共有学生3 000名,各年级男、女人数如表:高一年级高二年级高三年级女生523 x y男生487 490 z已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的概率是0.17.(1)问高二年级有多少名女生?(2)现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生,问应在高三年级抽取多少名学生?【解析】(1)由题意得=0.17,解得x=510.所以高二年级有510名女生.(2)高三年级人数为y+z=3 000-(523+487+490+510)=990.现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生,应在高三年级抽取的人数为×990=99(名).所以在高三年级抽取99名学生.10.下面给出某村委调查本村各户收入情况所作的抽样,阅读并回答问题:本村人口:1 200人,户数300,每户平均人口数4人;应抽户数:30户; 抽样间隔:=40;确定随机数字:取一张人民币,编码的后两位数为12;确定第一样本户:编码的后两位数为12的户为第一样本户;确定第二样本户:12+40=52,52号为第二样本户;…(1)该村委采用了何种抽样方法?(2)抽样过程中存在哪些问题,并修改.(3)何处是用简单随机抽样.【解析】(1)系统抽样.(2)本题是对某村各户进行抽样,而不是对某村人口抽样,抽样间隔为=10,其他步骤相应改为确定随机数字:取一张人民币,编码的后两位数为02(或其他00～09中的一个),确定第一样本户:编号为02的户为第一样本户;确定第二样本户:02+10=12,编号为12的户为第二样本户;…(3)确定随机数字用的是简单随机抽样,取一张人民币,编码的后两位数为02.1.某单位200名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取40名职工作样本.若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取______人.【解析】分层抽样时,由于40岁以下年龄段占总数的50%,故容量为40的样本中在40岁以下年龄段中应抽取40×50%=20(人).答案:202.某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其中的一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的,且该组中,青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.(1)在游泳组中,试确定青年人、中年人、老年人分别所占的比例.(2)在游泳组中,试确定青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数. 【解析】(1)设登山组人数为x,则总人数为4x,在游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为a,b,c,则有=47.5%,=10%;解得b=50%,c=10%.故a=100%-50%-10%=40%,即在游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.(2)因为抽取的是一个容量为200的样本,又登山组的职工占活动总人数的,所以200×=50.故游泳组中应抽取200-50=150(人).故游泳组中青年人应抽取150×40%=60(人);中年人应抽取150×50%=75(人);老年人应抽取150×10%=15(人).关闭Word文档返回原板块。

模块素养评价(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.为了了解高一1 500名新生的年龄情况,从中抽取100名新生.就这个问题,有下列说法:①1 500名新生是总体;②每个新生是个体;③所抽取的100名新生是一个样本;④样本容量为100;⑤每个新生被抽到的概率相等.其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.1 500名新生的年龄情况是总体;每个新生的年龄是个体;所抽取的100名新生的年龄情况是样本,样本容量是100,每个新生被抽到的概率相等;因而④,⑤正确,其他错误.解决本题的前提是正确理解总体、个体、样本、样本容量的概念.2.下面算法框图中,当x=2时,输出的结果y等于( )A.3B.7C.21D.43【解析】选D.此算法框图的处理功能是:已知函数f(x)=x2-x+1,输入一个x,求f(f(f(x)))的值.因为x=2,所以f(2)=3.f(f(2))=f(3)=7,所以f(f(f(2)))=f(7)=43.3.已知x,y的取值如表所示:x 2 3 4y 5 4 6如果y与x呈线性相关,且线性回归方程为y=bx+,则b等于( ) A.- B. C.- D.【解析】选B.由表格数据可得=3,=5,又线性回归方程过(,),即过点(3,5),所以5=3b+,所以b=.4.甲,乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个,命中个数的茎叶图如图,则甲,乙两人命中个数的中位数分别为( )A.22,20B.24,18C.23,19D.23,20【解析】选C.甲命中个数:8,12,13,20,22,24,25,26,27,37,中位数为(22+24)=23,同理,乙的中位数为(18+20)=19.5.(2020·济宁高一检测)某学校从编号依次为01,02,…,90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本,已知样本中相邻的两个组的编号分别为14,23,则该样本中来自第四组的学生的编号为( ) A.32 B.33 C.41 D.42【解析】选A.因为相邻的两个组的编号分别为14,23,所以样本间隔为23-14=9,所以第一组的编号为14-9=5,所以第四组的编号为5+3×9=32.6.《易经》是我国古代预测未知的著作,其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知,则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.抛掷三枚古钱币出现的基本事件有:正正正,正正反,正反正,反正正,正反反,反正反,反反正,反反反,共8种,其中出现两正一反的共有3种,故所求概率为.7.某学校高一年级1 802人,高二年级1 600人,高三年级1 499人,先采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛,则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别约为( ) A.35,33,30 B.36,32,30C.36,33,29D.35,32,31【解析】选B.先将每个年级的人数凑整,得高一:1800人,高二:1600人,高三:1500人,则三个年级的总人数所占比例分别为,,,所以各年级抽取人数分别约为98×=36,98×=32,98×=30.8.(2020·洛阳高一检测)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A.100,10B.100,20C.200,10D.200,20【解析】选D.由题得样本容量为(3 500+2 000+4 500)×2%=10 000×2%=200,抽取的高中生人数为2 000×2%=40,则高中生近视人数为40×0.5=20.9.(2020·拉萨高一检测)某次知识竞赛中,四个参赛小队的初始积分都是10分,在答题过程中,各小队每答对1题加0.5分,若答题过程中四个小队答对的题数分别是3道,7道,7道,3道,则四个小队积分的方差为( ) A.0.5 B.0.75 C.1 D.1.25【解析】选C.四个小队积分分别为11.5,13.5,13.5,11.5,平均数为=12.5,故四个小队积分的方差为×[(11.5-12.5)2×2+(13.5-12.5)2×2]=1.10.(2020·揭阳高一检测)如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形,图中△ABC为直角三角形,四边形DEFC为它的内接正方形,已知BC=2,AC=4,在△ABC上任取一点,则此点取自正方形DEFC的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.设正方形DEFC的边长为x,则=,因此x=,因此所求概率为=.11.(2020·汕头高一检测)在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中点作代表,则下列说法中有误的是( )A.成绩在[70,80)分的考生人数最多B.不及格的考生人数为1 000人C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分【解析】选D.由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)的频率最大,因此考生人数最多,故A正确;由频率分布直方图可得,成绩在[40,60)的频率为0.25,因此,不及格的人数为4000×0.25=1 000,故B正确;由频率分布直方图可得:平均分等于45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,故C正确;因为成绩在[40,70)的频率为0.45,由[70,80)的频率为0.3,所以中位数为70+10×≈71.67,故D错误.12.图1是某县参加2019年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1,A2,…,A10[如A2表示身高(单位:cm)在[150,155)内的学生人数].图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法框图.现要统计身高在160～180 cm(含160 cm,不含180cm)的学生人数,那么在框图中的判断框内应填写的条件是( )A.i<6B.i<7C.i<8D.i<9【解析】选C.由题图1,身高在160～180 cm的学生人数含A4,A5,A6,A7,所以由算法框图的特点知,i<8.二、填空题(每小题5分,共20分)13.某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为________.【解析】本题考查了分层抽样的特点,因抽样比为=,所以男生数应为560×=160.答案:16014.某中学期中考试后,对成绩进行分析,求出了外语成绩x对总成绩y的回归直线方程是y=7.3x-96.9.如果该校李明的外语成绩是95分,那么他的总成绩可能是________分.(精确到整数)【解析】当x=95时,y=7.3×95-96.9≈597.答案:59715.(2020·潍坊高一检测)执行如图所示的算法框图,输出的S为________.【解析】执行算法框图,S=0,n=1,第一次循环S=1,n=2;第二次循环S=1,n=3;第三次循环S=0,n=4;第四次循环S=0,n=5;第五次循环S=1,n=6;第六次循环S=1,n=7;第七次循环S=0,n=8;第八次循环S=0,n=9;第九次循环S=1,n=10;第十次循环S=1,n=11;退出循环,输出S=1.答案:116.某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的,有3个这样的电子元件,则出现至少有一个接通的概率为________.【解析】设电子元件接通记为1,不通记为0.又设A表示“3个电子元件至少有一个接通”,显然表示“3个电子元件都没有接通”,Ω表示“3个电子元件的状态”,则Ω的基本事件有(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1),(0,0,0)共8个,而且这些基本事件的出现是等可能的.表示的事件为(0,0,0).事件由一个事件组成,因此P()=,又因为P(A)+P()=1,所以P(A)=1-P()=1-=.答案:三、解答题(共70分)17.(10分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了100位顾客在该超市购物的相关数据,如表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人)1 1.52 2.53 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)求x,y的值;(2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.【解析】(1)由已知,25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.(2)记A:一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟.A1:该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟.A2:该顾客一次购物的结算时间为3分钟.用频率估计概率得P(A)=P(A1)+P(A2)=+=0.3,所以一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率为0.3.18.(12分)移动公司在国庆期间推出4G套餐,对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠,优惠方案如下:选择套餐1的客户可获得优惠200元,选择套餐2的客户可获得优惠500元,选择套餐3的客户可获得优惠300元.国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示,现将频率视为概率.(1)求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率;(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人,再从该6人中随机选出2人,求这2人获得相等优惠金额的概率.【解析】(1)设事件A为“从中任选1人获得优惠金额不低于300元”,则P(A)==.(2)设事件B为“从这6人中选出2人,他们获得相等优惠金额”,由题意按分层抽样方式选出的6人中,获得优惠200元的有1人,获得优惠500元的有3人,获得优惠300元的有2人,分别记为a1,b1,b2,b3,c1,c2,从中选出2人的所有基本事件如下:a1b1,a1b2,a1b3,a1c1,a1c2,b1b2,b1b3,b1c1,b1c2,b2b3,b2c1,b2c2,b3c1,b3c2,c1c2,共15个.其中使得事件B成立的有b1b2,b1b3,b2b3,c1c2,共4个,所以所求概率P(B)=.19.(12分)某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型,并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x个月)和市场占有率(y%)的几组相关对应数据:x 1 2 3 4 5y 0.02 0.05 0.1 0.15 0.18(1)根据表中的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;(2)根据上述回归方程,分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势,并预测上市1周年时,该款旗舰机型市场占有率能否超过0.5%?附:b==,a=-b.【解析】(1)由已知,=3,=0.1,x i y i=1×0.02+2×0.05+3×0.1+4×0.15+5×0.18=1.92,=12+22+32+42+52=55,所以b==0.042,a=0.1-0.042×3=-0.026,所以线性回归方程为y=0.042x-0.026.(2)由(1)中的回归方程可知,市场占有率与上市时间正相关,即上市时间每增加1个月,市场占有率平均增加0.042个百分点.将x=12代入线性回归方程,得y=0.478<0.5,所以预测上市1周年时,该款旗舰机型市场占有率不能超过0.5%.20.(12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.(1)计算甲班的样本方差;(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学,求身高为176 cm的同学被抽中的概率.【解析】(1)=170,甲班的样本方差为[(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+(168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2.(2)设身高为176 cm的同学被抽中的事件为A,从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有:(181,173),(181,176),(181,178),(181,179),(179,173),(179,176),(179,178),(178,173),(178,176),(176,173)共10个基本事件,而事件A含有4个基本事件,所以P(A)==.21.(12分)某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查,其中槐树600株,银杏树400株.现用分层抽样的方法从这1 000株树木中随机抽取100株,其中银杏树树干周长(单位:cm)的抽查结果如下表:树干周长[30,40) [40,50) [50,60) [60,70)(单位:cm)株数 4 18 x 6(1)求x的值;(2)若已知树干周长在30 cm至40 cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害,现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止.求恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率. 【解析】(1)因为用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株,所以应该抽取银杏树100×=40株.所以4+18+x+6=40,所以x=12.(2)记这4株树分别为树1,树2,树3,树4,且不妨设树4为患虫害的树,记“恰好在排查到第二株时发现患虫害树”为事件A,则A是指第二次排查到的是树4,基本事件有:(树1,树2),(树1,树3),(树1,树4),(树2,树1),(树2,树3),(树2,树4),(树3,树1)(树3,树2),(树3,树4),(树4,树1),(树4,树2),(树4,树3),共12个事件.又事件A 中包含的基本事件有3个,所以恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率P(A)==. 22.(12分)某工厂有工人1 000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人).现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数).(1)A类工人中和B类工人中各抽查多少工人?(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.表1:生产能力分组[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)人数 4 8 x 5 3表2:生产能力分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)人数 6 y 36 18①先确定x,y,再完成下列频率分布直方图.就生产能力而言,A类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).【解析】(1)抽样比是=,则在A类工人中抽查×250=25名,在B类工人中抽查×750=75名.(2)①由表1可得4+8+x+5+3=25,解得x=5,由表2可得6+y+36+18=75,解得y=15.频率分布直方图如图所示,从直方图可以判断:图2中频率分布直方图中小矩形的高呈现中间高两头矮,则B类工人中个体间的差异程度更小.②抽取的A类工人生产能力的平均数为:=×105+×115+×125+×135+×145=123,抽取的B类工人生产能力的平均数为:=×115+×125+×135+×145=133.8,抽取的100名工人生产能力的平均数为:=×123+×133.8=131.1.则可以估计:A类工人生产能力的平均数为123,B类工人生产能力的平均数为133.8,全厂工人生产能力的平均数为131.1.。

模块素养检测(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若随机变量X～N(3,σ2),且P(X≥5)=0.2,则P(1≤X≤5)等于( )【解析】选A.由于X～N(3,σ2),则正态密度曲线关于直线x=3对称,所以P(1≤X≤5)=1-2P(X≥5)=1-2×0.2=0.6.2.将5个相同名额分给3个不同的班级,每班至少得到一个名额的不同分法种数是( ) 【解析】选D.将5个相同元素分成3组,采用隔板法:即每班至少得到一个名额的不同分法种数是=6.3.为考察数学成绩与物理成绩的关系,在高二随机抽取了300名学生,得到下面的列联表:物理成绩数学成绩合计数学85～100分数学85分以下物理85～100分37 85 122 物理85分以下35 143 178 合计72 228 300现判断数学成绩与物理成绩有关系,则犯错误的概率不超过( )【解析】χ2=≈4.514>3.841=x,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩与物理成绩有关系.4.的展开式中x的系数为( )【解析】选D.的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r=(-1)r25-r x5-2r,令5-2r=1,得r=2,所以的展开式中x的系数为(-1)225-2=80.5.两个变量的散点图如图,可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是( )A.y=a·x bB.y=a·e bC.y=a+bln xD.y=a·【解析】选C.由散点图可知,此曲线类似对数函数型曲线,因此可用函数y=a+bln x模型进行拟合,而选项A,B,D中函数值只能为负或只能为正,所以不符合散点图.6.先后投掷骰子(骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点)两次落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x、y中有偶数且x≠y”,则概率P(B|A)=( )A.B.C.D.【解析】“x+y为偶数”,所以x,y同奇同偶,共包含2×32=18个基本事件;事件A,B同时发生,则x,y都为偶数,且x≠y,则包含=6个基本事件,所以P(B|A)===.7.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.则某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.若从甲地到乙地,遇到1次红灯,则概率为××+××+××=,没有遇到红灯的概率为××=,故某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为1--=.45≈0.590 5)( )【解析】选C.设获利为随机变量X,则随机变量X的可能取值有4,0,-1,由题意可得P==0.590 5,P=××4=0.328 05,则P=1-0.590 5-0.328 05=0.081 45.所以,随机变量X的分布列如下表所示:X 4 0 -1P 0.590 5 0.328 05 0.081 45因此,随机变量X的数学期望为E(X)=4×0.590 5+0×0.328 05-1×0.081 45=2.280 55. 二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.若(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,x∈R,则( )=1=0+a1+a2+…+a10=310+a1+a2+…+a10=3【解析】选AC.因为(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,x∈R,令x=0得a0=1,故A正确.令x=1得a0+a1+a2+…+a10=310,故C正确.10.下列各对事件中,为相互独立事件的是( )A.掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”B.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”D.甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”【解析】选ABD.在A中,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},事件M={2,4,6},事件N={3,6},事件MN={6},所以P(M)==,P(N)==,P(MN)=×=,即P(MN)=P(M)P(N),故事件M与N相互独立,A正确.在B中,根据事件的特点易知,事件M是否发生对事件N发生的概率没有影响,故M与N是相互独立事件,B正确;在C中,由于第1次摸到球不放回,因此会对第2次摸到球的概率产生影响,因此不是相互独立事件,C错误;在D中,从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响,所以它们是相互独立事件,D正确.11.下列命题中正确的是( )A.标准差越小,则反映样本数据的离散程度越大C.对分类变量X与Y来说,它们的随机变量χ2的值越小,“X与Y有关系”的把握程度越大D.在回归分析模型中,相关系数绝对值越大,说明线性模型的拟合效果越好【解析】选BD.标准差越小,则反映样本数据的离散程度越小,因此A不正确;在回归直线方程=-0.4x+3中,当解释变量x每增加1个单位时,则预报变量y减少0.4个单位,B正确;对分类变量X与Y来说,它们的随机变量χ2越小,“X与Y有关系”的把握程度越小,因此C不正确;在回归分析模型中,相关系数的绝对值越大,说明线性模型的拟合效果越好,D正确. 12.将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中,不允许有空盒子的放法有多少种?下列结论正确的有( )A. B.C.【解析】选BC.根据题意,四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中,且没有空盒,则三个盒子中有1个中放2个球,剩下的2个盒子中各放1个,有2种解法:(1)分2步进行分析:①先将四个不同的小球分成3组,有种分组方法;②将分好的3组全排列,对应放到3个盒子中,有种放法;则没有空盒的放法有种;(2)分2步进行分析:①在4个小球中任选2个,在3个盒子中任选1个,将选出的2个小球放入选出的小盒中,有种情况;②将剩下的2个小球全排列,放入剩下的2个小盒中,有种放法;则没有空盒的放法有种.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.盒中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中随机摸出3个小球,记摸到黑球的个数为X,则P(X=2)=,E(X)=.【解析】P(X=2)==,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=3)==,所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.答案:14.(2020·某某模拟)某次国际会议为了搞好对外宣传工作,会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作,在如表“性别与会外语”的2×2列联表中,a+b+d=.会外语不会外语合计男 a b 20女 6 d合计18 50【解析】由题意填写列联表如下,会外语不会外语合计男12 8 20女 6 24 30合计18 32 50所以a=12,b=8,d=24,a+b+d=12+8+24=44.答案:4415.某企业对4个不同的部门的个别员工的年旅游经费调查发现,员工的年旅游经费Y(单位:万元)与其年薪x(单位:万元)有较好的线性相关关系,通过下表中的数据计算得到Y关于x的经验回归方程为=0.252 9x-1.457 4.x 7 10 12 15Y那么,相应于点(10,1.1)的残差为.【解析】当x=10时,=1.071 6,所以残差为Y-=1.1-1.071 6=0.028 4.答案:0.028 4的展开式中x6项的系数为;常数项为.【解析】由题得T r+1=(x2)6-r=(-1)r x12-3r,令12-3r=6,解得r=2,所以二项式的展开式中x6项的系数为(-1)2=15.令12-3r=0,得r=4,所以常数项为T4+1=(-1)4x0=15.答案:15 15四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知的展开式中,第3项和第10项的二项式系数相等.(1)求n;(2)求展开式中x4项的系数.【解析】(1)由题意=,所以n=2+9=11;(2)二项展开式通项公式为T r+1==(-2)r,令=4,r=1,所求系数为(-2)1=-22.18.(12分)现有甲、乙等5人排成一排照相,按下列要求各有多少种不同的排法?求:(1)甲、乙不能相邻;(2)甲、乙相邻且都不站在两端;(3)甲、乙之间仅相隔1人;(4)按高个子站中间,两侧依次变矮(五人个子各不相同)的顺序排列.【解析】(1)先将除甲、乙外三人全排列,有种;再将甲、乙插入4个空当中的2个,有种,由分步乘法计数原理可得,完成这件事情的方法总数为N=·=6×12=72种;(2)将甲、乙两人“捆绑”看成一个整体,排入两端以外的两个位置中的一个,有·种;再将其余3人全排列有种,故共有N=··=24种不同排法;(3)先从另外三人中选一人插在甲、乙之间,则甲、乙之间仅相隔1人共有N=··=36种不同排法;(4)按高个子站中间,两侧依次变矮(五人个子各不相同)的顺序排列共有N=··=6种不同的排法.19.(12分)某同学在研究性学习中,收集到某工厂今年前5个月某种产品的产量(单位:万件)的数据如下表:x(月份) 1 2 3 4 5Y(产量) 4 4 5 6 6(1)若从这5组数据中随机抽出2组,求抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据的概率;(2)求出Y关于x的经验回归方程=x+,并估计今年6月份该种产品的产量.参考公式:=,=-.【解析】(1)设事件A为“抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据”,所有的基本事件(m,n)(其中m,n表示月份)有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其中事件A包含的基本事件有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),共4种,所以P(A)==.(2)由题意,可得=×(1+2+3+4+5)=3,=×(4+4+5+6+6)=5,x i y i=1×4+2×4+3×5+4×6+5×6=81,=12+22+32+42+52=55,所以===0.6,则=-×3=3.2,所以经验回归直线的方程为=0.6x+3.2.当x=6时,y=6.8.故今年6月份该种产品的产量大约为6.8万件.20.(12分)2019年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中,中国队与韩国队相遇,中国队男子选手A,B,C,D,E依次出场比赛,在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是0.8,0.8,0.8,0.75,0.7,并且比赛胜负相互独立.比赛采用5局3胜制,先赢3局者获得胜利.(1)在比赛中,中国队以3∶1获胜的概率是多少?(2)求比赛局数的分布列及数学期望.【解析】(1)若中国队以3∶1获胜,则前三局中赢两局输1局,第四局比赛胜利,设中国队以3∶1获胜为事件A,则P(A)=××2×0.75=0.288.(2)设比赛局数为X,则X的取值分别为3,4,5,33=0.520,P(X=4)=××2×0.75+×2××0.25=0.312,P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=0.168,则X的分布列为X 3 4 5PE(X)=3×0.520+4×0.312+5×0.168=3.648.21.(12分)某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验,得到的实验数据经整理得到折线图:(1)由图可以看出,这种酶的活性Y与温度x具有较强的线性相关性,请用相关系数加以说明;(2)求Y关于x的经验回归方程,并预测当温度为30 ℃时,这种酶的活性指标值.(计算结果精确到0.01)参考数据:y i=52.5,(x i-)(y i-)=85,=5.5,≈2.65.参考公式:相关系数r=.回归直线方程=+x,=,=-.【解析】(1)由题可知=(8+11+14+20+23+26)=17,(x i-)2=(8-17)2+(11-17)2+(14-17)2+(20-17)2+(23-17)2+(26-17)2=252,则r===≈0.97,因为|r|非常接近1,所以酶的活性y与温度x具有较强的线性相关性.(2)由题可知,=y i==8.75,==≈0.34,=-×17≈3.02,所以Y关于x的经验回归方程为=3.02+0.34x,当x=30时,×30=13.22.故预测当温度为30 ℃时,这种酶的活性指标值为13.22.22.(12分)生男生女都一样,女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想,头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿,现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中,头胎为女孩的频率为0.5,生二孩的频率为0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60. (1)完成2×2列联表,依据小概率值α=0.05的独立性检验分析是否生二孩与头胎的男女情况有关联.头胎二孩合计生二孩不生二孩头胎女孩60头胎男孩合计200(2)在抽取的200户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户进一步了解情况,在抽取的7户中再随机抽取4户,求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望.附:αxαχ2=(其中n=a+b+c+d).【解析】(1)因为头胎为女孩的频率为0.5,所以头胎为女孩的总户数为200×0.5=100.因为生二孩的概率为0.525,所以生二孩的总户数为200×0.525=105.2×2列联表如下:头胎二孩合计生二孩不生二孩头胎女60 40 100孩头胎男45 55 100孩合计105 95 200χ2==>3.841=x,依据小概率值α=0.05的独立性检验,推断是否生二孩与头胎的男女情况有关联,犯错误的概率不大于0.05.(2)在抽取的200户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户,则这7户家庭中,头胎生女孩的户数为4,头胎生男孩的户数为3,则X的可能取值为1,2,3,4.P(X=1)==;P(X=2)==;P(X=3)==;P(X=4)==.X的分布列为X 1 2 3 4PE(X)=1×+2×+3×+4×=.。

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课时素养评价二简单随机抽样(20分钟·35分)1.简单随机抽样中,某一个体被抽到的可能性( )A.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性大一些B.与第几次抽样无关,每次抽到的可能性都相等C.与第几次抽样有关,最后一次抽到的可能性要大些D.与第几次抽样无关,每次都是等可能的抽取,但各次抽取的可能性不一定【解析】选B.在简单随机抽样中,每一个个体被抽到的可能性都相等,与第几次抽样无关,故A,C,D不正确,B正确.2.下列问题中,最适合用简单随机抽样的是( )A.某电影院有32排座位,每排有40个座位,座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,要留下32名听众进行座谈B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C.某学校有在编人员160人,其中行政人员16人,教师112人,后勤人员32人.教育部门为了了解学校机构改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本D.某乡农田有山地8 000亩,丘陵12 000亩,平地24 000亩,洼地4 000亩,现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量【解析】选B.根据简单随机抽样的特点进行判断.选项A的总体容量较大,用简单随机抽样比较麻烦;选项B的总体容量较小,用简单随机抽样比较方便;选项C中,由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大,不宜采用简单随机抽样;选项D中,总体容量较大,且各类田地的产量差别很大,也不宜采用简单随机抽样.3.下列抽样试验中,用抽签法方便的是( )A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的10万件产品中抽取10件进行质量检验【解析】选B.A总体容量较大,样本容量也较大,不适宜用抽签法;B总体容量较小,样本容量也较小,可用抽签法;C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别,不能用抽签法;D总体容量较大,不适宜用抽签法.4.(2020·徐州高一检测)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取4个个体,选取方法从随机数表的第1行第4列由左到右由上到下开始读取,则选出来的第4个个体的编号为( )第1行78 16 65 71 02 30 60 14 01 02 40 60 90 28 01 98第2行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 6938 74 81A.10B.01C.09D.06【解析】选C.从随机数表的第1行第4列由左到右开始读取,满足条件的数依次为:10,06,01,09.5.某种福利彩票的中奖号码是从号码1～36中选出7个号码来确定的,这种从36个号码中选7个号码的抽样方法是________.【解析】总体和样本都比较少,首选抽签法.答案:抽签法6.为了检验某种产品的质量,决定从40件产品中抽取10件进行检查,如何用简单随机抽样抽取样本?下面抽取了第5行到9行的随机数表16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 7887 35 20 96 43 84 26 34 91 64(第5行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 6721 76 33 50 25 83 92 12 06 76(第6行)63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 7512 86 73 58 07 44 39 52 38 79(第7行)33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 3815 51 00 13 42 99 66 02 79 54(第8行)57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 6290 52 84 77 27 08 02 73 43 28(第9行)【解析】方法一(抽签法):①将这40件产品编号为1,2, (40)②做好大小、形状相同的号签,分别写上这40个号码;③将这些号签放在一个不透明的容器内,搅拌均匀;④逐个抽取10个号签;⑤然后对这10个号签对应的产品检验.方法二(随机数表法):①将40件产品编号,可以编为00,01,02,…,38,39;②在随机数表中任选一个数作为开始,例如从第7行第9列的数5开始;③从选定的数5开始向右读下去,得到一个两位数字号码59,由于59>39,将它去掉;继续向右读,得到16,将它取出;继续下去,又得到19,10,12,07,39,38,33,21,随后的两位数字号码是12,由于它在前面已经取出,将它去掉,再继续下去,得到34,至此,10个样本号码已经取满,于是,所要抽取的样本号码是16,19,10,12,07,39,38,33,21,34.(30分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下面抽样方法是简单随机抽样的是( )A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B.可口可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C.某连队从200名战士中,挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号)【解析】选D.A中平面直角坐标系中有无数个点,这与要求总体中的个体数有限不相符,故错误;B中一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点,故错误;C中50名战士是最优秀的,不符合简单随机抽样的等可能性,故错误.2.从总数为N的一批零件中抽取一个容量为50的样本,若每个零件被抽取的可能性为25%,则N为( ) A.150 B.200 C.100 D.120【解析】选B.因为每个个体被抽到的机会相等,都是=0.25,所以N=200.3.某社团有男生30名,女生20名,从中抽取一个容量为5的样本,恰好抽到2名男生和3名女生.有以下3种说法:①该抽样可能是简单随机抽样;②该抽样中,每个人被抽到的可能性都是;③该抽样中,男生被抽到的可能性大于女生被抽到的可能性.其中说法正确的为( ) A.①②③ B.①② C.②③ D.①③【解析】选B.①因为总体个数不多,可以对每个个体进行编号,所以该抽样可能是简单随机抽样,故①正确;②在随机抽样中,每个人被抽到的可能性都是=,故②正确;③该抽样中,男生被抽到的可能性为=,女生被抽到的可能性为,故前者小于后者,因此③不正确.4.(2020·泰安高一检测)某班由50个编号为01,02,03,…,50的学生组成,现在要选取8名学生参加合唱团,选取方法是从随机数表的第1行的第11列开始由左到右依次选取两个数字,则该样本中选出的第8名同学的编号为( ) 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 30 35 20 96 23 84 26 34 91 64 5025 83 92 12 06 7657 23 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 4954 43 54 82 74 47A.20B.25C.26D.34【解析】选D.从随机数表的第1行的第11列开始由左到右依次选取两个数字,选出来的8名学生的编号分别为:17,37,(93舍去)23,(78舍去)30,35,20,(96舍去)(23舍去)(84舍去)26,34,所以样本选出来的第8名同学的编号为34.5.用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中,抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性和“第二次被抽到”的可能性分别是( )A.,B.,C.,D.,【解析】选A.简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等,都为.二、填空题(每个5分,共15分)6.从10个篮球中任取一个,检查其质量,用随机数法抽取样本,编号如下:(1)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.(2)-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.(3)10,20,30,40,50,60,70,80,90,100.(4)0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.其中编号正确的是________(填序号).【解析】用随机数法抽样时,编号的位数应相同,并且不能有负数.答案:(4)7.假设要抽查某企业生产的某种品牌的袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取50袋进行检验.利用随机数表抽取样本时,先将800袋牛奶按000,001,…,799进行编号,如果从随机数表第3行第1列开始向右读,最先读到的6袋牛奶的编号是614,593,379,242,203,722,请你以此方式继续向右读数,随后读出的2袋牛奶的编号是________、________.(下面摘取了随机数表第1行到第5行)78226 85384 40527 48987 60602 16085 29971 61279 43021 92980 27768 26916 27783 84572 78483 3982061459 39073 79242 20372 21048 87088 34600 74636 63171 58247 12907 50303 28814 40422 97895 61421 42372 53183 51546 90385 12120 64042 51320 22983【解析】最先读到的6袋牛奶的编号是614,593,379,242,203,722, 向右读下一个数是104,再下一个数是887,887大于799,故舍去,再下一个数是088.答案:1040888.一个布袋中有6个同样质地的小球,从中不放回地抽取3个小球,则某一特定小球被抽到的可能性是________;第三次抽取时,剩余小球中的某一特定小球被抽到的可能性是________.【解析】因为简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性为=,所以某一特定小球被抽到的可能性是.因为此抽样是不放回抽样,所以第一次抽样时,每个小球被抽到的可能性均为;第二次抽取时,剩余5个小球中每个小球被抽到的可能性均为;第三次抽取时,剩余4个小球中每个小球被抽到的可能性均为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.某电视台举行颁奖典礼,邀请20名港台、内地艺人演出,其中从30名内地艺人中随机选出10人,从18名香港艺人中随机挑选6人,从10名台湾艺人中随机挑选4人.试用抽签法确定选中的艺人,并确定他们的表演顺序.【解析】1,先确定内地艺人:(1)将30名内地艺人从01到30编号,然后用相同的纸条做成30个号签,在每个号签上写上这些编号,然后放入一个不透明小筒中摇匀,从中抽出10个号签,则相应编号的艺人参加演出;(2)运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人,从18名香港艺人中抽取6人;2,确定演出顺序:确定了演出人员后,再用相同的纸条做成20个号签,上面写上01到20这20个数字,代表演出的顺序,让每个演员抽一张,每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序,再汇总即可. 10.某大学为了支援我国西部教育事业,决定从2020年应届毕业生中报名的18名志愿者当中选取6人组成志愿小组.请用抽签法和随机数法设计抽样方案.【解析】抽签法:第一步,将18名志愿者编号,号码为1,2,3, (18)第二步,将18个号码分别写在18张形状、大小完全相同的纸条上,并揉成团,制成号签.第三步,将18个号签放入一个不透明的盒子里,充分搅匀.第四步,从盒子中逐个抽取6个号签,并记录上面的编号.第五步,与所得号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员.随机数表法:第一步,将18名志愿者编号,号码为01,02,03, (18)第二步,在随机数表中任选一个数字作为开始数字.第三步,从已选的这个数字开始,向右读,每次读取两位数字,凡不在01～18中的数,或已读过的数,都跳过去不做记录,依次可得到6个号码.第四步,与以上号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员.1.从一群游戏的小孩中随机抽出k人,一人分一个苹果,让他们返回继续游戏.过了一会儿,再从中任取m人,发现其中有n个小孩曾分过苹果,估计参加游戏的小孩的人数为( ) A. B.k+m-n C. D.不能估计【解析】选C.设参加游戏的小孩有x人,则=,x=.2.下列抽取样本时运用了哪种抽样方法?并说明原因.设一个总体中的个体数N=345,要抽取一个容量为n=15的样本,现采用如下方法:从随机数表中任意选取三列构成三位数字号码,从中依次取出不同的三位数字号码,当数在001～345时,该号码抽入样本;当数在401～745时,则该数减去400的号码抽入样本中,其余的000,346～400,746～999的号码都不要;当某号码已抽入样本中,而再次遇到该号码被抽入样本时,只算一次.【解析】运用了简单随机抽样中的随机数法.简单随机抽样的要求是给个体编号,逐个不放回抽取,操作的个体数量不宜太多,每个个体被抽取的机会均等,只有符合这些特点才是简单随机抽样.本题虽然取数时,设计了特别的规则,但是从随机数表中任意取数符合简单随机抽样的特点,所以本题运用了简单随机抽样法中的随机数法.关闭Word文档返回原板块。

八等比数列的性质及应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.已知数列{a n}是等比数列,且每一项都是正数,若a1=1,a2 019=3,则a1 010的值为( )A.9B.C.±D.3【解析】选B.因为数列{a n}是等比数列,且每一项都是正数,a1=1,a2 019=3,所以,所以a1 010=1×q1 009=.2.(2020·郑州高二检测)记等比数列{a n}满足2a2-5a3=3a4,则公比q= ( )A. B.或-2C.2D.【解析】选B.因为等比数列{a n}满足2a2-5a3=3a4,依题意,2a2-5a2q=3a2q2,即3q2+5q-2=0,故(3q-1)(q+2)=0,解得q=或q=-2.3.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,则成等比数列,则此未知数是( )A.3或27B.36C.9D.15【解析】选A.设此三数为3,a,b,则解得或所以这个未知数为3或27.4.(多选题)(2020·连云港高二检测)已知等比数列{a n}中,满足a1=1,公比q=-2,则 ( )A.数列{2a n+a n+1}是等比数列B.数列{a n+1-a n}是等比数列C.数列{a n a n+1}是等比数列D.数列{log2|a n|}是递减数列【解析】选BC.因为等比数列{a n}中,满足a1=1,公比q=-2,所以a n=1×(-2)n-1=(-2)n-1.由此可得2a n+a n+1=2·(-2)n-1+(-2)n=0,A错误;a n+1-a n=(-2)n-(-2)n-1=-3·(-2)n-1,故数列{a n+1-a n}是等比数列,B正确;a n a n+1=(-2)n-1(-2)n=(-2)2n-1,故数列{a n a n+1}是等比数列,C正确;log2|a n|=log22n-1=n-1,故数列{log2|a n|}是递增数列,D错误.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知数列{a n}满足log2a n+1-log2a n=1,则=________.【解析】因为log2a n+1-log2a n=1,所以=2,所以数列{a n}是公比q为2的等比数列,所以=q2=4.答案:4【加练·固】已知数列{a n}满足a n+1=3a n,且a2·a4·a6=9,则log3a5+log3a7+log3a9= ( )A.5B.6C.8D.11【解析】选D.根据题意,数列{a n}满足a n+1=3a n,则数列{a n}为等比数列,且其公比q=3,若a2·a4·a6=9,则(a4)3=a2·a4·a6=9,则log3a5+log3a7+log3a9=log3(a5·a7·a9)=log3(a7)3=log3(a4q3)3=11.6.已知公比为q的等比数列{a n}中,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则公比q=________.【解析】由已知可得a2+a3+a4=14,a2+a4=2a3+2,所以a3=4,a2+a4=10,所以=,即2q2-5q+2=0解得q=2或q=.答案:2或三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差为d.(1)若d=1且S5=a1a9,求数列{a n}的通项公式;(2)若a1,a3,a4成等比数列,求公比q.【解析】(1)因为d=1且S5=a1a9,所以5a1+×1=a1(a1+8),解得a1=-5,或a1=2,当a1=-5时,a n=-5+n-1=n-6,当a1=2时,a n=2+n-1=n+1.(2)因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1a4,所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),整理可得d(a1+4d)=0,则d=0或a1=-4d,当d=0时,公比q为1,当d≠0,a1=-4d时,q====.8.(2020·武汉高二检测)若等比数列{a n}的前n项和为S n,满足a4-a1=S3,a5-a1=15.(1)求数列{a n}的首项a1和公比q;(2)若a n>n+100,求n的取值范围.【解析】(1)因为a4-a1=S3,a5-a1=15.显然公比q≠1,所以,解得q=2,a1=1.(2)由(1)可得a n=2n-1,因为a n>n+100,即2n-1>n+100,验证可得,n≥8,n∈N*.(15分钟·30分)1.(5分)(2020·崇左高二检测)在等比数列{a n}中,若a2+a5=3,a5+a8=6,则a11= ( )A.4B.8C.16D.32【解析】选B.因为a2+a5=3,a5+a8=6,所以q3==2,因为a2+a5=a2(1+q3)=3,所以a2=1,则a11=a2q9=1×23=8.2.(5分)两个公比均不为1的等比数列{a n},{b n},其前n项的乘积分别为A n,B n,若=2,则=( )A.512B.32C.8D.2【解析】选A.因为A9=a1a2a3…a9=,B9=b1b2b3…b9=,所以==512.3.(5分)在正项等比数列{a n}中,a n+1<a n,a2a8=6,a4+a6=5,则=________.【解析】因为数列{a n}是正项等比数列,且a2·a8=6,a4+a6=5,所以a4a6=a2a8=6,a4+a6=5,联立得a4=2,a6=3或a4=3,a6=2,因为a n+1<a n,所以a4=3,a6=2,所以q2==,所以==.答案:【加练·固】已知数列{a n}为等比数列,且a3a11+2=4π,则tan(a1a13)的值为________.【解析】由等比数列{a n}的性质可得,a3a11=,由a3a11+2=4π,得3a3a11=4π,则a3a11=.则tan(a1a13)=tan=tan=.答案:4.(5分)在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等比数列,则x+y+z的值为________.【解析】因为=,所以x=1.因为第一行中的数成等差数列,首项为2,公差为1,故后两格中数字分别为5,6.同理,第二行后两格中数字分别为2.5,3.所以y=5×,z=6×.所以x+y+z=1+5×+6×==2.答案:25.(10分)已知等比数列{a n},a1a2=-,a3=.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明:对任意k∈N*,a k,a k+2,a k+1成等差数列. 【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,若a1a2=-,则q=-,若a3=,则a1q2=,变形可得=-2,解可得:=1,则a1=1,则有q=-,故a n=.(2)根据题意,a n=,则a k=,a k+1=,a k+2=;则有a k+a k+1-2a k+2=+-2==0,则有a k+a k+1=2a k+2,故a k,a k+2,a k+1成等差数列.1.在等比数列{a n}中,a1=8,+16=8,则a9的值为________.【解析】=a5a7,由+16=8可得+16=8a5a7,所以+16·=8, 即+16q2=8,解得q2=,所以a9=a1q8=8×=.答案:2.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-3n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3的值;(2)设b n=a n+3,证明数列{b n}为等比数列,并求通项公式a n.【解析】(1)因为数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-3n(n∈N*).所以n=1时,由a1=S1=2a1-3×1,解得a1=3,n=2时,由S2=2a2-3×2,得a2=9,n=3时,由S3=2a3-3×3,得a3=21.(2)因为S n=2a n-3×n,所以S n+1=2a n+1-3×(n+1),两式相减,得a n+1=2a n+3,b n=a n+3,b n+1=a n+1+3,所以===2,得b n+1=2b n(n∈N*),且b1=6,所以数列{b n}是以6为首项,2为公比的等比数列,所以b n=6×2n-1,所以a n=b n-3=6×2n-1-3=3(2n-1).【加练·固】已知数列{a n}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{b n}满足b n=a n a n+1(n∈N*).(1)若{a n}是等差数列,且b3=12,求a的值及{a n}的通项公式;(2)当{b n}是公比为a-1的等比数列时,{a n}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.【解析】(1)因为{a n}是等差数列,a1=1,a2=a,b n=a n a n+1,b3=12,所以b3=a3a4=(a1+2d)(a1+3d)=(1+2d)(1+3d)=12,即d=1或d=-,又因为a=a1+d=1+d>0,得d>-1,所以d=1,a=2,所以a n=n.(2){a n}不能为等比数列,理由如下:因为b n=a n a n+1,{b n}是公比为a-1的等比数列,所以===a-1,所以a3=a-1,假设{a n}为等比数列,由a1=1,a2=a得a3=a2,所以a2=a-1,所以此方程无解,所以数列{a n}一定不为等比数列.。

二十三双曲线及其标准方程(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知双曲线-=1(a>0)的一个焦点为(5,0),则a的值为( )A.9B.6C.5D.3【解析】选D.根据题意,双曲线-=1(a>0)的一个焦点为(5,0),即c=5,则有a2+16=25,解得a=3.2.若k∈R,则“k>5”是“方程-=1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当k>5时,方程表示双曲线;反之,当方程表示双曲线时,k>5或k<2.3.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1(-,0),点P在双曲线上,且线段PF1的中点的坐标为(0,2),则此双曲线的方程是( )A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.据已知条件得焦点在x轴上,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则a2+b2=5.①因为线段PF1的中点的坐标为(0,2),所以点P的坐标为(,4),将其代入双曲线的方程,得-=1.②由①②解得a2=1,b2=4,所以双曲线的方程为x2-=1.4.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于( )A. B. C. D.【解析】选C.由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|=2|PF2|,所以|PF2|=2,|PF1|=4,|F1F2|=2c=2=4.所以cos∠F1PF2====.二、填空题(每小题5分,共10分)5.在平面直角坐标系中,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为.【解析】将方程化为-=1,若表示焦点在x轴上的双曲线,则有k-1>0且3-k>0,即1<k<3.答案:(1,3)6.若双曲线以椭圆+=1的两个顶点为焦点,且经过椭圆的两个焦点,则双曲线的标准方程为.【解析】椭圆+=1的焦点在x轴上,且a=4,b=3,c=,所以焦点为(±,0),左右顶点为(±4,0).于是双曲线经过点(±,0),焦点为(±4,0),则a＇=,c＇=4,所以b＇2=9,所以双曲线的标准方程为-=1.答案:-=1三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知与双曲线-=1共焦点的双曲线过点P,求该双曲线的标准方程.【解析】已知双曲线-=1,由c2=a2+b2,得c2=16+9=25,所以c=5.设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).依题意知b2=25-a2,故所求双曲线方程可写为-=1.因为点P在所求双曲线上,所以-=1化简得4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=.当a2=时,b2=25-a2=25-=-<0,不合题意,舍去,所以a2=1,b2=24,所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.8.设声速为a米/秒,在相距10a米的A、B两哨所,听到炮弹爆炸声的时间差为6秒,求炮弹爆炸点所在曲线的方程.【解析】以直线AB为x轴,线段BA的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系.设炮弹爆炸点的轨迹上的点P的坐标为(x,y),由题意可得||PA|-|PB||=6a<10a,所以炮弹爆炸点的轨迹方程为双曲线-=1.(15分钟·30分)1.(5分)已知双曲线-=1(m>0,n>0)和椭圆+=1有相同的焦点,则+的最小值为( )A.2B.4C.6D.9【解析】选D.椭圆+=1是焦点在x轴上的椭圆,且c2=5-4=1.因为双曲线-=1(m>0,n>0)和椭圆+=1有相同的焦点,所以m+n=1(m>0,n>0),所以+=(m+n)=5++≥5+2=9.当且仅当=,即m=,n=时取等号.所以+的最小值为9.2.(5分)已知双曲线C:x2-=1的右焦点为F,P是双曲线C的左支上一点,M(0,2),则△PFM的周长的最小值为( )A.2+4B.4+2C.3D.2+3【解析】选A.依题意可知,c=2,a=1,所以|MF|=2,|PM|+|PF|=|PM|+|PF1|+2a,F1为左焦点,当M,P,F1三点共线时,|PM|+|PF1|最小,最小值为|MF1|,|MF1|=2,故周长的最小值为2+2+2=2+4.3.(5分)已知F1,F2是双曲线-=1的左、右焦点,PQ是过焦点F1的弦,且PQ的倾斜角为60°,那么|PF2|+|QF2|-|PQ|的值为.【解析】在双曲线-=1中,2a=8,由双曲线定义,得|PF2|-|PF1|=8,|QF2|-|QF1|=8,所以|PF2|+|QF2|-|PQ|=(|PF2|-|PF1|)+(|QF2|-|QF1|)=16.答案:164.(5分)若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为. 【解析】由曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,可得-=1,即有m>0,且m-2>0,解得m>2.答案:(2,+∞)5.(10分)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2.(1)若点M在双曲线上,且·=0,求点M到x轴的距离.(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.【解析】(1)如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,因为·=0,则MF1⊥MF2, 设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线定义,知m-n=2a=8,①又m2+n2=(2c)2=80,②由①②得m·n=8,所以mn=4=|F1F2|·h,所以h=.所以M点到x轴的距离为.(2)设所求双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16),由于双曲线C过点(3,2),所以-=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),所以所求双曲线C的方程为-=1.1.若双曲线-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为( )A.1B.C.2D.4【解析】选A.设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2,已知|PF1|+|PF2|=2,解得|PF1|=+,|PF2|=-,|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以△PF1F2为直角三角形,且∠F1PF2=90°,于是=|PF1|·|PF2|=×2=1.【加练·固】已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其左、右焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为.【解析】设P在双曲线的右支上,|PF2|=x(x>0),|PF1|=2+x,因为PF1⊥PF2,所以(x+2)2+x2=(2c)2=8,所以x=-1,x+2=+1,所以|PF2|+|PF1|=-1++1=2.答案:22.已知△OFQ的面积为2,且·=m,其中O为坐标原点.设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,||=c,m=c2,当||取得最小值时,求此双曲线的标准方程.【解析】设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),Q(x1,y1),则=(x1-c,y1),所以S△OFQ=||·|y1|=2,则y1=±.又·=m,即(c,0)·(x1-c,y1)=c2,解得x1=c,所以||==≥=2,当且仅当c=4时,取等号,||最小,这时Q的坐标为(,)或(,-).因为所以于是所求双曲线的标准方程为-=1.。

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课时素养评价十系统抽样(20分钟35分)1.为了了解参加某次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为( ) A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选A.1 252=50×25+2，故应从总体中随机剔除2个个体.2.下列说法错误的个数是 ( )①总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法；②系统抽样中在总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；③百货商场的抽奖活动是抽签法；④整个系统抽样过程中，每个个体被抽取的机会相等.A.1B.2C.3D.4【解析】选 A.依题意及简单随机抽样、系统抽样的定义及特点知：①③④是正确的，②不正确.因为系统抽样分组后，在第一组中利用简单随机抽样，其他组加分组间隔即可.3.在一个个体数目为2 003的总体中，利用系统抽样抽取一个容量为100的样本，则总体中每个个体被抽到的机会为 ( )A. B. C. D.【解析】选C.从2 003个个体中抽取100个样本，每个个体被抽到的概率都相等，均为.4.从编号为0，1，2，…，89的90件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是9的样本.若编号为36的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为______.【解析】样本间隔为90÷9=10，设第一个编号为x，因为编号为36的产品在样本中，所以36=3×10+x.则第一个编号为6，则最大的编号为6+8×10=86.答案：865.人们打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌，这时，开始按次序搬牌，对每个人来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本.则这种抽样方法是______.【解析】简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取.而这里只是随机确定了起始张，这时其他各张虽然是逐张起牌的，其实各张在谁手里已被确定.所以不是简单随机抽样，根据其等距起牌的特点应将其定位为系统抽样.答案：系统抽样【补偿训练】某班级的54名学生编号为：1，2，3，…，54，为了采集同学们的身高信息，先采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知样本中含有编号为5，23和41的学生，则样本中剩余三名同学的编号分别为______.【解析】根据系统抽样的定义，抽样间距为9，样本中含有编号为5的学生，则应抽取的学生的编号为5，14，23，32，41，50，故应填14，32，50.答案：14，32，506.某装订厂平均每小时装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检验其质量情况，请设计一个抽样方案.【解析】第一步，将362册图书随机编号；第二步，用随机数表法从这些书中抽取2册书，不进行检查；第三步，将剩下的书重新编号(分别为0，1，…，359)，并平均分成40段；第四步，从第一段(编号为0，1，…，8)中用简单随机抽样的方法，抽取1册书，设其编号为k；第五步，抽取编号分别为k，k+9，k+18，k+27，…，k+39×9的书，这样就抽取了总共有40个个体的样本.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.下列问题中，最适合用系统抽样法抽样的是 ( )A.从某厂生产的30个零件中随机抽取6个入样B.一个城市有210家超市，其中大型超市20家，中型超市40家，小型超市150家.为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本C.从参加竞赛的1 500名初中生中随机抽取100人分析试题作答情况D.从参加期末考试的2 400名高中生中随机抽取10人了解某些情况【解析】选 C.A总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法；B总体中的个体有明显的层次，不适宜用系统抽样法；C总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D总体容量较大，样本容量较小，可用随机数表法.2.为了了解某地参加计算机水平测试的5 008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为 ( )A.24B.25C.26D.28【解析】选B.因为5 008=200×25+8，所以每组的容量为25.3.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，抽取的人的编号在区间[241，360]内的人数是( ) A.7 B.6 C.5 D.8【解析】选B.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，则样本间隔为420÷21=20，则在区间[241，360]内共有360-241+1=120(人)，则抽取的人数为：120÷20=6(人).【补偿训练】用系统抽样法(按等距离的规则)从160名学生中抽取容量为20的样本，将这160名学生从1到160编号.按编号顺序平均分成20段(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16段应抽出的号码为125，则第1段中用简单随机抽样确定的号码是 ( )A.7B.5C.4D.3【解析】选B.由系统抽样知，每段中有8人，第16段应为从121到128这8个号码，125是其中的第5个号码，所以第1段中被确定的号码是5.4.(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生【解析】选C.由已知将1 000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{a n}，公差d=10，所以a n=6+10(n-1)(n∈N*)，若8=6+10(n-1)，则n=1.2，不合题意；若200=6+10(n-1)，则n=20.4，不合题意；若616=6+10(n-1)，则n=62，符合题意；若815=6+10(n-1)，则n=81.9，不合题意.故选C.【补偿训练】将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽取的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为 ( )A.14B.15C.16D.17【解析】选 C.系统抽样的分段间隔为=10，在随机抽样中，首次抽到003，故可知在001至200中有20人，在201至355中有16人. 5.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )A.26，16，8B.25，17，8C.25，16，9D.24，17，9【解析】选B.依题意及系统抽样可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3+12(k-1).令3+12(k-1)≤300，得k≤，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3+12(k-1)≤495，得<k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42-25=17.从而第Ⅲ营区被抽中的人数是50-42=8.二、填空题(每小题5分，共15分)6.某单位有840名职工，现采用系统抽样的方法抽取42人进行问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落在区间[481，720]内的人数为______.【解析】采用系统抽样的方法，从840人中抽取42人，则分段间隔为20，所以从编号落在区间[481，720]内的240人中抽取=12(人). 答案：127.为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有 52 名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知 7 号、 33 号、 46 号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是_____.【解析】由系统抽样原理知，抽样间隔是相同的，故抽取样本的编号分别为7，7+13，7+13×2，7+13×3.故还有一位同学的编号应是20. 答案：208.某单位有职工72人，现需用系统抽样法从中抽取一个样本，若样本容量为n，则不需要剔除个体，若样本容量为n+1，则需剔除2个个体，则n=______.【解析】由题意知n为72的约数，n+1为70的约数，其中72的约数有1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，其中加1后能整除70的有1，4，6，9，其中n=1不符合题意，故n=4或6或9.答案：4或6或9三、解答题(每小题10分，共20分)9.某工厂有工人1 007名，现从中抽取100人进行体检，试写出抽样方案.【解析】用系统抽样的方法抽取样本.第一步，编号.将1 007名工人编号，号码为0001，0002， (1007)第二步，利用随机数表法抽取7个号码，将对应编号的工人剔除.第三步，将剩余的1 000名工人重新编号，号码为0001，0002， (1000)第四步，确定分段间隔k==10，将总体分成100段，每段10名工人.第五步，在第1段中，利用抽签法或者随机数表法抽取一个号码m. 第六步，利用分段间隔，将m，m+10，m+20，…，m+990共100个号码抽出.10.某工厂有普通工人1 001人，高级工程师20人，现抽取普通工人40人，高级工程师4人组成代表队参加某项活动，应怎样抽样？【解析】先抽取普通工人.(1)将1 001名普通工人用随机方式编号；(2)从总体中剔除1人(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的1 000名工人重新编号(分别为0001，0002，…，1000)，并平均分成40段，其中每一段包含=25个个体；(3)在第一段0001，0002，…，0025这25个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如0003)作为起始号码；(4)将编号为0003，0028，0053，…，0978的个体抽出；再抽取高级工程师.(5)将20名高级工程师用随机方式编号为1，2， (20)(6)将这20个号码分别写在大小、形状相同的小纸条上，揉成小球，制成号签；(7)将得到的号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀；(8)从容器中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号；(9)从总体中将与所抽号签的编号相一致的个体取出.以上得到的个体便是代表队成员.1.一个总体中的80个个体的编号为0，1，2，…，79，并依次将其分为8个组，组号为0，1，…，7，用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i，依次错位地得到后面各组的号码，即在第k组中抽取个位数字为i+k(当i+k<10时)或i+k-10(当i+k≥10时)的号码.当i=6时，所抽到的8个号码是__________________.【解析】由题意得，在第1组抽取的号码的个位数字是6+1=7，故应选17；在第2组抽取的号码的个位数字是6+2=8，故应选28；依次类推，应选39，40，51，62，73.答案：6，17，28，39，40，51，62，732.一个总体中的1 000个个体编号为0，1，2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0，1，2，…，9.要用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位得到后面各组的号码，即第k组抽取的号码的后两位数是x+33k的后两位数.(1)当x=24时，写出所抽样本的10个号码.(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围.【解析】(1)由题意知此系统抽样的间隔是100，第1组后两位数是24+33=57，所以第1组号码为157；k=2，24+66=90，所以第2组号码为290，以此类推，10个号码为：24，157，290，323，456，589，622，755，888，921.(2)当k=0，1，2，…，9时，33k的值依次为：0，33，66，99，132，165，198，231，264，297.又因为抽取的10个号码中有一个的后两位数是87，从而x可以是87，54，21，88，55，22，89，56，23，90.所以x的取值范围是{21，22，23，54，55，56，87，88，89，90}.关闭Word文档返回原板块。

二独立性检验的基本思想及其初步应用(15分钟30分)1.与表格相比,能更直观地反映出相关数据总体状况的是( )A.列联表B.散点图C.残差图D.等高条形图【解析】选D.对于A,列联表需要计算K2的值,不是直观地分析;对于B,散点图体现的是变量间相关性的强弱;对于C,残差图体现预报变量与实际值之间的差距,对于D,等高条形图能直观地反映两个分类变量是否有关系.2.某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查,数据如表:认为作业量大认为作业量不大总计男生18 9 27女生8 15 23总计26 24 50则推断“学生的性别与认为作业量大有关”,这种推断犯错误的概率不超过( )A.0.01B.0.005C.0.025D.0.001【解析】选C.k=≈5.059>5.024.因为P(K2≥5.024)=0.025,所以犯错误的概率不超过0.025.3.假设有两个分类变量X与Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联表为:y1y2x110 18x2m 26则当m取下面何值时,X与Y的关系最弱( )A.8B.9C.14D.19【解析】选C.由10×26≈18m,解得m≈14.4,所以当m=14时,X与Y的关系最弱.4.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设H0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用2×2列联表计算得K2≈3.918,经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中,正确结论的序号是________.①在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”;②若某人未使用该血清,那么他在一年中有95%的可能性得感冒;③这种血清预防感冒的有效率为95%;④这种血清预防感冒的有效率为5%.【解析】K2≈3.918>3.841,而P(K2≥3.841)≈0.05,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的,不是同一个问题,不要混淆.答案:①5.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例.(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?附:K2=【解析】(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要帮助的老年人的比例的估计值为=14%.(2)由列联表中数据,得K2的观测值为k=≈9.967.由于9.967>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系,随机抽取了部分工人,得到如下列联表:文化程度与月收入列联表(单位:人)月收入2 000元以下月收入2 000元及以上总计高中文化以上10 45 55高中文化及以下20 30 50总计30 75 105由上表中数据计算得K2的观测值k=≈6.109,请估计认为“文化程度与月收入有关系”,其犯错误的概率为( )A.1%B.99%C.2.5%D.97.5%【解析】选C.由于6.109>5.024,故在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为“文化程度与月收入有关系”.2.下列说法正确的有( )①分类变量的取值仅表示个体所属的类别,它们的取值一定是离散的;②分类变量的取值也可以用数字来表示,但这时的数字除了分类以外没有其他的含义;③2×2列联表是两个分类变量的频数汇总统计表;④2×2列联表和等高条形图都能反映出两个分类变量间是否相互影响.A.①②③④B.①②C.②③D.④【解析】选A.由分类变量的定义可知①②正确;由2×2列联表的定义可知③正确;2×2列联表和等高条形图都能展示样本的频率特征,若在一个分类变量所取值的群体中,另一个分类变量所取值的频率相差较小,则说明这两个变量不相互影响,否则就相互影响.故④正确.3.下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图,阴影部分表示喜欢理科的百分比,从图中可以看出( )A.性别与喜欢理科无关B.女生中喜欢理科的比例为80%C.男生比女生喜欢理科的可能性大些D.男生不喜欢理科的比例为60%【解析】选C.由等高条形图知:女生喜欢理科的比例为20%,男生不喜欢理科的比例为40%,因此,B、D不正确.还可知男生比女生喜欢理科的可能性大些.4.为考察某种药物对预防禽流感的效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图,最能体现该药物对预防禽流感有显著效果的图形是( )【解析】选D.分析四个等高条形图得选项D中,不服用药物患病的概率最大,服用药物患病的概率最小,所以最能体现该药物对预防禽流感有显著效果.二、填空题(每小题5分,共10分)5.某卫生机构对366人进行健康体检,有阳性家族史者糖尿病发病的有16例,不发病的有93例,有阴性家族史者糖尿病发病的有17例,不发病的有240例,认为糖尿病患者与遗传有关系的概率为________.【解析】列出2×2列联表:发病不发病总计阳性家族史16 93 109阴性家族史17 240 257总计33 333 366所以随机变量K2的观测值k=≈6.067>5.024,所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为糖尿病患者与遗传有关.答案:0.9756.在研究性别(是否为女性)与是否爱吃零食这两个分类变量是否有关系时,下列说法中正确的是________.①若K2的观测值k≈6.635,则我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为爱吃零食与性别有关系,那么在100个爱吃零食的人中必有99人是女性;②由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为爱吃零食与性别有关系时,如果某人爱吃零食,那么此人是女性的可能性为99%;③由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为爱吃零食与性别有关系时,是指每进行100次这样的推断,平均有1次推断错误.【解析】K2的观测值是支持确定有多大把握认为“两个分类变量吃零食与性别有关系”的随机变量值,所以由独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吃零食与性别有关系时,是指每进行100次这样的推断,平均有1次推断错误,故填③.答案:③三、解答题(每小题10分,共20分)7.某学生对其亲属30人的饮食进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数.(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成下列2×2列联表:主食蔬菜主食肉类总计50岁以下50岁以上总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关?并写出简要分析.【解析】(1)2×2列联表如下:主食蔬菜主食肉类总计50岁以下 4 8 1250岁以上16 2 18总计20 10 30(2)因为K2的观测值k==10>6.635,P(K2>6.635)=0.01,所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.8.随着生活水平的提高,人们的休闲方式也发生了变化.某机构随机调查了n个人,其中男性占调查人数的.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动,而女性中只有的人的休闲方式是运动.(1)完成下列2×2列联表:运动非运动总计男性女性总计n(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可认为“性别与休闲方式有关”,那么本次被调查的人数至少有多少?【解题指南】(1)依据2×2列联表的定义填表;(2)计算K2,利用临界值建立不等关系,求n的值.【解析】(1)补全2×2列联表如下:运动非运动总计男性n n n女性n n n总计n n n(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可认为“性别与休闲方式有关”,则k0≈3.841.由于K2的观测值k==,故≥3.841,即n≥138.276.又由n∈Z,故n≥140.故若在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可认为“性别与休闲方式有关”,那么本次被调查的至少有140人.。