矩阵的合同,等价与相似

矩阵的合同，等价与相似

一、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件

（一）矩阵的等价：

1、定义：若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为AB。

2、性质：

（1）反身性：即AA.

（2）对称性：若AB，则BA

（3）传递性：即若AB，BC，则AC

（4） 若A为mn矩阵，且()rAr，则一定存在可逆矩阵P（m阶）和Q（n 阶），使得000rmnIPAQB.其中rI为r阶单位矩阵.

（5） 设AB、是两mn矩阵，则AB当且仅当()()rArB

3、判定：

矩阵等价的充要条件：

两个sn矩阵,AB等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的

n阶矩阵Q，使BPAQ

由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A与B等价必须具备的两个条件：

（1）矩阵A与B必为同型矩阵（不要求是方阵）.

（2）存在s 阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q, 使得BPAQ.

（二）矩阵的合同：

1、定义：

两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得ABPTAPB成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。

2、性质：

（1）反身性：任意矩阵A都与自身合同.

（2）对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同.

（3）传递性：如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同.

因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.

（4） 数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.

（5） 复数域上秩为r的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：

22212rfyyy

3、判定

定义2 设,AB均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵p，使得TPAPB,则称矩阵为合同矩阵（若数域p上n阶可逆矩阵p为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件：

(1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵.

(2) 存在数域p上的n阶矩阵p,TPAPB

（三）矩阵的相似

1、定义：

n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得1BPAP成立，则称矩阵A,B相似，记为~AB。

2、性质：

性质3

(1)反身性 TAEAE ; (2)对称性 由TBCAC即得11TACBC;

（3）传递性 111TACAC和2212TACAC即得 21212TACCACC

总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.

(4) 11111221122()PkAkAPkPAPkPAP（其中12,kk是任意常数）；

(5）1111212()()()PAAPPAPPAP；

(6）若A与B相似，则mA与mB相似（m为正整数）；

(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果1BPAP为满秩矩阵，那么11111()BPAPPAP.

即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.

(8）相似的矩阵有相同的行列式；

因为如果1BPAP，则有：11BPAPPAPA

(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；

设1BPAP，若B可逆，则11111()BPAPPAP从而A可逆.且1B与1A相似.

若B不可逆，则1()PAP不可逆，即A也不可逆.

下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理

定理4 相似矩阵的特征值相同.

推论3 相似矩阵有相同的迹.

3、判定：

设,AB均为数域p上n阶方阵，若存在数域p上n阶可逆矩阵p使得BAPP1,则称矩阵A与B为相似矩阵（若n级可逆矩阵p为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵） 由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件

(1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵

(2) 在数域p上n阶可逆矩阵P，使得BAPP1

二、矩阵的等价、合同和相似之间的联系

（一）由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系

1、相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．

证明： 设n阶方阵,AB相似，由定义3知存在n阶可逆矩阵1P，使得111PAPB，此时若记11PP,1QP ,则有PAQB,因此由定义1得到n阶方阵,AB等价

反过来，对于矩阵100010A,121010B等价，但是A与B并不相似，即等价矩阵未必相似．

2、 对于n阶方阵,AB，若存在n阶可逆矩阵,PQ 使PAQB,(即A与B等价)，且PQE (E为n阶单位矩阵)，则A与B相似．

证明： 设对于n阶方阵A与B,若存在n阶可逆矩阵,PQ,使PAQB,即A与B等价．又知PQE,若记11PP ,那么1QP,也即111PAPB,则矩阵,AB也相似．

3、 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．

证明： 设n阶方阵,AB合同，由定义2有，存在n阶可逆矩阵1P，使得11TPAPB，

若记1TPP,1QP,则有PAQB因此由定义1得到n阶方阵,AB等价 反过来对于矩阵1001A,1201B等价，但是A与B并不合同，即等价矩阵未必合同．

4、 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．

证明：若存在一个正交矩阵P,即TPPE使得1PAPB即~AB，则有1TBPAPPAP，即A与B合同.

同理，若存在一个正交矩阵P，即TPPE使得TPAPB即A与B合同，则有1~TBPAPPAPAB

由此可得

1.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立

2.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.

（二）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系．另外，在一定条件下，两者是等价的．若矩阵A与B正交相似，则它们既是相似也是合同的．对于相似与合同矩阵之等价条件有以下联系

1、 如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合同．

证明：设A与B的特征根均为n,,21因为A与n阶实对称矩阵，则一定存在一个n阶正交矩阵 Q使得nAQQ..211同理，一定能找到一个正交矩阵P使得nBPP..211从而有BPPAQQ11

将上式两边左乘P和右乘1P,得1111111QPAQPQPAQPPQB

由于TQQE,TPPE,1PPE

有1111111TTTTQPQPPQQPPEPPPE,所以，1PQ是正交矩阵，由定理8知A与B相似．

2、 若n阶矩阵A与B中只要有一个正交矩阵，则AB与BA相似且合同．

证明：不妨设A是正交矩阵，则A可逆，取UA,有111UABUAABAAABABA，则AB与BA相似，又知A是正交阵，所以AB与BA既相似又合同．

3、 若A与B相似且又合同，C与D相似也合同，则有CA00与DB00

既相似又合同．

证明: 因为A与B,C与D相似，故存在可逆矩阵1P,2P，使111122,PAPBPCPD,令1200PPP,则1111200PPP且10000ABPPCD,故CA00与DB00相似．

又因为A与B合同，C与D合同,故存在可逆矩阵12,QQ, 122,TTQAQBQCQD

令1200QQQ

而1200TTTQQQ11112222000000000000TTTTTQQAAQQAQQQQCCQQC

11220000TTBQAQDQCQ

故CA00与DB00合同． 三、矩阵的等价、合同和相似之间的区别

1、矩阵等价：a.同型矩阵而言

b.一般与初等变换有关

c.秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型矩阵相似的本质是秩相等

2、矩阵相似：a.针对方阵而言

b.秩相等是必要条件

c.本质是二者有相等的不变因子

3、矩阵合同：a.针对方阵而言，一般是对称矩阵

b.秩相等是必需条件

c.本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同

由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关系最弱、合同与相似是特殊的等价关系.由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立.相似与合同不可互推，需要一定的条件.而且等价是经过有限次初等变换变得；相似不一定会都与对角阵相似，相似矩阵可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；合同可以通过二次型的非退化的线性替换来理解.

结束语：

矩阵中的这三种关系，在高等代数中是至关重要的，他们既包含着联系，又蕴涵着差别.相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵也不一定是合同矩阵；相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致；秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量，特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量.