北师版一次函数、分式、一元二次方程、几何证明复习

八年级下册数学北师大版知识点总结一、三角形的证明。

1. 等腰三角形。

- 性质：- 等腰三角形的两腰相等，两底角相等（等边对等角）。

- 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

- 判定：- 有两边相等的三角形是等腰三角形。

- 有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

2. 等边三角形。

- 性质：- 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，且每个角都等于60°。

- 判定：- 三条边都相等的三角形是等边三角形。

- 三个角都相等的三角形是等边三角形。

- 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

3. 直角三角形。

- 性质：- 直角三角形的两个锐角互余。

- 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

- 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（a^2+b^2=c^2，其中a、b为直角边，c为斜边）。

- 判定：- 有一个角是直角的三角形是直角三角形。

- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。

4. 线段的垂直平分线。

- 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

- 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

- 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

5. 角平分线。

- 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

- 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

- 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

二、不等式（组）1. 不等式的基本性质。

- 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

- 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

- 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

2. 一元一次不等式。

- 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式。

北师大版一次函数复习资料北师大版一次函数复习资料一、引言数学是一门抽象而又具有普适性的学科，而一次函数作为数学中的基础概念之一，对于学习数学的同学来说，是一个必须掌握的内容。

本文旨在为大家提供一份北师大版一次函数的复习资料，希望能够帮助大家更好地理解和掌握一次函数的相关知识。

二、一次函数的定义与性质一次函数是指形如y=ax+b的函数，其中a和b是常数，且a≠0。

一次函数的图象是一条直线，具有以下几个重要性质：1. 斜率：斜率是一次函数的重要特征，它表示了函数图象的倾斜程度。

斜率为正表示函数图象向右上方倾斜，斜率为负表示函数图象向右下方倾斜，斜率为零表示函数图象是水平的。

2. 截距：截距是一次函数与y轴的交点坐标，它可以通过函数的表达式直接得到。

截距可以帮助我们确定函数图象的位置。

3. 增减性：一次函数的增减性取决于斜率的正负。

当斜率为正时，函数图象是递增的；当斜率为负时，函数图象是递减的。

4. 零点：一次函数的零点是指函数图象与x轴的交点坐标，可以通过解一元一次方程得到。

零点对应的函数值为0，可以帮助我们确定函数的解。

三、一次函数的图象与表示方法一次函数的图象是一条直线，可以通过以下几种方法进行表示：1. 函数表达式：一次函数的函数表达式可以直接描述函数的特征，例如y=2x+1表示斜率为2，截距为1的一次函数。

2. 斜率截距形式：斜率截距形式是一种常用的表示方法，形如y=kx+b，其中k 表示斜率，b表示截距。

3. 点斜式：点斜式是通过给定一点和斜率来表示一次函数的方法，形如y-y₁=k(x-x₁)，其中(x₁,y₁)为已知点，k为斜率。

4. 两点式：两点式是通过给定两个点来表示一次函数的方法，形如y-y₁=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)(x-x₁)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)为已知点。

四、一次函数的应用一次函数在实际生活中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 直线运动：物体在匀速直线运动时，其位移与时间的关系可以用一次函数来表示。

新版北师大版初中数学知识点汇总目录七年级上册知识点汇总ﻩ错误!未定义书签。

第一章丰富的图形世界错误!未定义书签。

第二章有理数及其运算ﻩ错误!未定义书签。

第三章字母表示数ﻩ错误!未定义书签。

第四章平面图形及位置关系ﻩ错误!未定义书签。

第五章一元一次方程ﻩ错误!未定义书签。

第六章生活中的数据错误!未定义书签。

七年级下册知识点总结ﻩ错误!未定义书签。

第一章整式的运算错误!未定义书签。

第二章平行线与相交线ﻩ错误!未定义书签。

第三章生活中的数据错误!未定义书签。

第四章概率ﻩ错误!未定义书签。

第五章三角形错误!未定义书签。

第六章变量之间的关系ﻩ错误!未定义书签。

第七章生活中的轴对称ﻩ错误!未定义书签。

八年级上册知识点汇总ﻩ错误!未定义书签。

第一章勾股定理错误!未定义书签。

第二章实数ﻩ错误!未定义书签。

第三章图形的平移与旋转错误!未定义书签。

第四章四平边形性质探索错误!未定义书签。

第五章位置的确定ﻩ错误!未定义书签。

第六章一次函数错误!未定义书签。

第七章二元一次方程组错误!未定义书签。

第八章数据的代表ﻩ错误!未定义书签。

八年级下册知识点汇总ﻩ错误!未定义书签。

第一章一元一次不等式和一元一次不等式组错误!未定义书签。

第二章分解因式错误!未定义书签。

第四章相似图形错误!未定义书签。

第五章数据的收集与处理ﻩ错误!未定义书签。

第六章证明（一)错误!未定义书签。

九年级上册知识点汇总ﻩ错误!未定义书签。

第一章证明(二)ﻩ错误!未定义书签。

第二章一元二次方程ﻩ错误!未定义书签。

第三章证明(三)错误!未定义书签。

第四章视图与投影错误!未定义书签。

第五章反比例函数错误!未定义书签。

第六章频率与概率ﻩ错误!未定义书签。

九年级下册知识点汇总错误!未定义书签。

第一章直角三角形边的关系错误!未定义书签。

第二章二次函数ﻩ错误!未定义书签。

第三章圆错误!未定义书签。

第四章统计与概率错误!未定义书签。

七年级上册知识点汇总（注：※表示重点部分;¤表示了解部分;◎表示仅供参阅部分;）第一章丰富的图形世界¤1。

o
x
y
k<0,b<0
o
x
练习：
如图，在同一坐标系中，关于x的一次函数 y = x+ b与 y = b x+1的图象只可能是（ C ）
(A)
y
(B)
y
ox
ox
y (C)
ox
(D)
y
ox
• 图象辨析
1.已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则
在直角坐标系内它的大致图象是( A )
• 函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式 写成y=k（x+0）+b，则用下面的口诀“左 右平移在括号,上下平移在末稍,左负右正须 牢记,上正下负错不了”。
1、求下列函数中自变量x的取值范围 （1）y= x（x+3）； （2）y= 3
4x 8
（3）y= 2x 1 （4）y= x 1 1 x
7.某商场文具部的某种笔售价25元，练习本每本售价5元。该商 场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择。甲：买一支笔赠送 一本练习本。乙：按购买金额打九折付款。某校欲购这种笔10支， 练习本x（x ≥10)本，如何选择方案购买呢？ 解：甲、乙两种方案的实际金额y元与练习本x本之间的关系式是：
y甲=(x-10)××5+25×10=5x+200 (x ≥10)
例：画出Y=3x+3的图象
解：列表得：
y
x 0 -1 y30
.3
描点，连线如图：
.o
x
-1
4.一次函数的性质
函数 解析式
自变 量的 取值 范围
正比 例 y=kx 全体
函数 （k≠0） 实数

版北师版初中数学知识点总结数学作为一门基础学科，不仅是认知世界的工具，也是培养逻辑思维和解决问题能力的重要途径。

下面是对版北师版初中数学知识点的总结，帮助同学们系统地掌握初中数学的核心内容。

一、集合与函数1.集合的基本概念：元素、全集、子集、空集等。

2.集合的运算：并集、交集、差集、并排等。

3.集合的关系：相等关系、包含关系等。

4.函数的概念与性质：定义域、值域、奇偶性、单调性等。

5.函数的图像与表示：平面直角坐标系、函数图象的性质等。

二、分式与整式1.分式的基本概念：分子、分母、约分、通分等。

2.分式的运算：四则运算、倒数、整数幂、乘法法则等。

3.整式的基本概念：项、同类项、表达式等。

4.整式的加减法与乘法：合并同类项、乘法公式等。

5.因式分解：公因式提出、差平方公式等。

三、方程与不等式1.一元一次方程：解方程、检验、实际问题等。

2.一元一次不等式：解不等式、解集表示等。

3.一元一次方程组：解方程、实际问题等。

4.一元一次不等式组：解不等式组、解集表示等。

5.二次根式与二次方程：二次方程的解法、实际问题等。

四、函数与方程1.二元一次方程组：解方程组、实际问题等。

2.一元二次方程：判别式、根的关系等。

3.一元二次函数：二次函数的图像、性质等。

4.二次函数的应用：最值问题、平移、缩放等。

5.分式方程：解方程、实际问题等。

五、平面图形的认识1.直线、射线、线段：基本概念、表示法等。

2.平行线与垂直线：性质、判定方法等。

3.角的概念与分类：度量单位、角的大小、角的分类等。

4.三角形：定义、性质、分类等。

5.四边形：定义、性质、分类等。

六、平面图形的性质1.三角形的性质：内角和、外角和、中线等。

2.相似三角形：相似判定、比例关系等。

3.等腰三角形与等边三角形：性质与判定等。

4.平行四边形：性质与判定、面积计算等。

5.梯形与矩形：定义、性质、面积计算等。

七、平面几何的证明1.三角形的证明：三角形全等、相似、共线等。

2.一元二次方程的几种解法
(1)直接开平方法(2)因式分解法
Hale Waihona Puke (3) 配方法(4)公式法
(1)直接开平方法 (2)因式分解法
Ax2=B(A≠0)
1、提取公因式法 2、平方差公式
(3) 配方法 (4)公式法
当二次项系数为1的时候，方程 两边同加上一次项系数一半的平 方
当b-4ac≥0时，x=
b
b2 4ac 2a
A.16 B.18 C.16或18 D.21
11.某厂今年1月的产值为50万元,第一季度共完成产值 182万元,今年前两个月平均每月增长的百分率是多少? 若设平均每月增长的百分率为x,则列出的方程是
A.50(1+x) (2+x)=182-50 B.50+50(1+x)+50(1+x)2=182
C.50(1+x)×2=182
A、1 B、 -1 C、 1或 -1
D、2或 -1
4.方程2x2-2x-1=0的解是
．
5.若关于的方程x2-3x+q=0的一个根x1的值是2． 则另一根x2及q的值分别是（ ）
A.x2 =1,q=2
B. x2 = -1,q =2
C. x2 =1,q = -2
D. x2 = -1,q = -2
返回
效果检测
2.一元二次方程与几何图形结合
例题:若一元二次方程x2-11x+28=0的两根恰好
是一等腰三角形的两边，则该三角形的周长
是
.
效果检测
1.方程x2= 7x 的解是
.
2.对于任意的实数x,代数式x2－5x＋10的值是一个( )
A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数

八年级北师数学各章知识点本文将深入探讨八年级北师数学各章的知识点，为学生们解决数学学习中的疑问。

本文涵盖了八年级北师数学所有章节的知识点，分别是：一次函数、二次函数、图形的平移、反比例函数、概率、等比数列、三角函数、不等式和函数的初步认识。

一次函数一次函数也叫一元一次方程，是指函数的最高次项为一次项。

一次函数一般表示为y=kx+b，其中k和b是常数。

其中，k代表斜率，b代表截距。

一次函数的图像是一条直线，通过截距和斜率可以准确画出一次函数的图像。

在一次函数中，一个点的横坐标变化一倍，那么相应的纵坐标会变化k倍。

二次函数二次函数也叫一元二次方程，是指函数的最高次项为二次项。

二次函数一般表示为y=ax²+bx+c，其中a，b，c均为常数。

二次函数的图像是一条开口朝上或者朝下的抛物线。

当a>0时，为开口朝上的抛物线，当a<0时，则为开口朝下的抛物线。

二次函数的顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a）。

图形的平移平移是指对数学图形进行位置上的改变，在平面坐标系中通常是通过坐标变换来实现的。

平移有向和无向之分，向量平移是有向平移的典型例子，旋转也是一个有向变换，但它不是平移变换。

反比例函数反比例函数是指函数的值与自变量的乘积等于一个常数。

反比例函数在数学问题中非常重要，许多相关问题都可以通过反比例函数的概念来表述。

反比例函数一般表示为y=k/x，其中k为常数。

概率概率是指某一个事件在所有可能事件中出现的可能性大小。

概率的大小通常在0和1之间，0表示不可能发生，1表示一定会发生。

概率可以通过分析各种因素之间的关系来计算。

等比数列等比数列指的是每一项都是前一项的k倍的数列。

等比数列一般表示为an=a1·k^(n-1)，其中a1代表第一项，k代表公比，n代表项数。

等比数列有许多应用，例如经济学、物理、数学等领域都涉及等比数列的概念。

三角函数三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，主要有正弦函数、余弦函数和正切函数三种。

一次函数一．知识回顾（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。

当时，一次函数，又叫做正比例函数。

一次函数知识点总结1．一次函数一、函数：一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。

二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。

三、函数的三种表示法及其优缺点（1）关系式（解析）法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。

（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

四、由函数关系式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

五、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，若两个变量x ，y 间的关系可以表示成b kx y +=（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。

特别地，当一次函数b kx y +=中的b=0时（即kx y =）（k 为常数，k ≠0），称y 是x的正比例函数。

2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线5、一次函数的性质一般地，一次函数b kx y +=有下列性质：（1）当k>0时，y 随x 的增大而增大（2）当k<0时，y 随x 的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。

确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b 。

北师版初二数学一次函数全章复习同步讲义第一节函数的概念【知识要点】1．你知道函数的定义吗？试举一个例子？2．你对函数的理解怎样？3．有关常量与变量，你的认识有多少？4．求解函数的表达式有哪些方法？【典型例题】掌握函数概念，判断两个变量间的关系是否可看成函数关系# 例1.下列各式中，能否说y是x的函数？（1）y?8x；（2）y?x2?1；（3）y2?x# 例2-1.下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（）yO A y y y xO B x O C x O D x# 例2-2 求出下列各题中x与y比例函数：之间的关系，并判断y是否为x的一次函数，是否为正（1）某农场种植玉米，每平方米种玉米6株，玉米株数关系；（2）正方形周长x与面积y与种植面积x(m2)之间的y之间的关系；（3）假定某种储蓄的月利率是0.16%，存入1000元本金后。

本息和y(元）与所存月数x之间的关系。

# 例2-3．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2m/s。

（1）在这一变化过程中反映了哪两个变量之间的关系？（2）3.5时小球的速度为多少？（3）哪个变量是自变量？哪个变量是它的函数？# 例3．根据下列各题题意写出函数关系式，并指出其中的常量、自变量及取值范围：（1）圆的面积S与半径r的函数关系；（2）等腰直角三角形的周长l 与直角边长a的函数关系；（3）多边形的内角和的度数M与边数n的函数关系；（4）汽车行驶路程为100km，速度为vkm/h与行驶时间t h之间的函数关系。

了解构成函数的三个要素：自变量x的取值范围，两个变量x与y之间的对应关系，函数y的取值范围例４（1）已知函数（2）已知６ｘ９ｘ２，求自变量ｘ的取值范围，并求当ｘ＝２时，函数ｙ的值。

y?mxm?2,若y是x的正比例函数，求m的值。

用关系式法求函数表达式# 例５.某学校组织学生到距离学校6公里的光明科技馆去参观，学生王红因事没能乘上学校的包车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准如下：里程 3公里以下（含3公里） 3公里以上，每增加1公里收费（元） 8.00 1.80 （1）写出出租车行驶的里程数x?3（公里）与费用y（元）之间关系式；（2）王红身上仅有14元，乘出租车到科技馆的车费不够？请说明理由.# 例６．有一风景区集体门票的收费标准是10人以内（包括10人），每人20元，超过10人的部分，每人15元，设游览人员为x人，应收门票费y元.（1）应收门票y（元）可以看成x（人）的函数吗？若可以，你能用一个式子表示这种函数关系式吗？若不可以请说明理由；（2）现八年级（3）班有55人去该风景区游览，那么门票费为多少元？例7.汽车由A地驶往相距630千米的B地，它的速度是70千米/时。

中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（基础）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2. 会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x =；当m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为2b x a-±=．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为． △>0方程有两个不相等的实数根；△＝0方程有两个相等的实数根； △<0方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释：△≥0方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程(a ≠0)的两个根是，那么．考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释：ac 4b 2-=∆⇔⇔⇔⇔0c bx ax 2=++21x x 、ac x x a b x x 2121=⋅-=+，解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．用配方法解一元二次方程：2213x x += 【思路点拨】把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值. 【答案与解析】移项，得2231x x -=- 二次项系数化为1，得23122x x -=- 配方22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 由此可得3144x -=± 11x =，212x =【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程 无实数解.举一反三：【变式】用配方法解方程x 2-7x-1=0． 【答案】将方程变形为x 2-7x=1，两边加一次项系数的一半的平方，得x 2-7x+=1+，所以有=1+．直接开平方，得x-=或x-=-．所以原方程的根为 x=7+53或x=7-53．2．关于x 的方程04)2(2=+++kx k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围.(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由 【思路点拨】判别式大于0，二次项系数不等于0. 【答案与解析】（1）由△=(k+2)2－4k·4k＞0 ∴k＞－1 又∵k≠0∴k 的取值范围是k ＞－1，且k≠0 （2）不存在符合条件的实数k 理由：设方程kx 2+(k+2)x+4k=0的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系有： x 1+x 2=k k 2+-，x 1·x 2=41， 又01121=+x x =0 则 kk 2+-=0 ∴2-=k 由（1）知，2-=k 时，△＜0，原方程无实解 ∴不存在符合条件的k 的值.【总结升华】（1）注意隐含条件k≠0；（2）由根与系数关系的应用，求出k 的值，要验证k 的值是否符合题意.举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(2)210x m x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解． 【答案】（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m=4)2(2+-m所以无论m 取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ，根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ，所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x .类型二、分式方程3．解方程：【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【答案与解析】方程两边都乘以，得22(1)2(1)(1)(1)21233x x x x x x x x x x x +--=+-+--=--∴==，即，经检验：是原方程的根.【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根. 举一反三：【变式1】解分式方程：21233x x x -+=--． 【答案】方程两边同乘以3x -，得22(3)1x x -+-=． 2261x x -+-=． 5x =．经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =．【变式2】方程22123=-+--xx x 的解是x= ． 【答案】0x =.4．若解分式方程2111(1)x m x x x x x++-=++产生增根，则m 的值是（ ） A.B.C.D.【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出m 的值. 【答案】D ；【解析】由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得2m =-或1，故选择D.【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值. 举一反三：【变式】若关于x 的方程2332+-=--x mx x 无解，则m 的值是 ． 【答案】1.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是“顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度”，两次航行提供了两个等量关系. 【答案与解析】设船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时由题意，得解得：经检验：是原方程的根x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩173173 答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时. 【总结升华】流水问题公式：顺流速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度； 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2；水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 【答案】设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵.6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？【思路点拨】设该产品的成本价平均每月降低率为x ，那么两个月后的销售价格为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为500（1-x ）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果． 【答案与解析】设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为x ． 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x ）2=625-500 整理，得500（1-x ）2=405，（1-x ）2=0.81． 1-x=±0.9，x=1±0.9， x 1=1.9（舍去），x 2=0.1=10%．答：该产品的成本价平均每月应降低10%． 【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，•要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，•关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）A ．B ．C ．D ．2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）2250x x --=()216x +=()216x -=()229x +=()229x -=A ．1B ．12C ．13D ．253．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ． 1k >-且0k ≠C ．1k <D ． 1k <且0k ≠4．若关于x 的一元二次方程的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）.A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ） A.B.C.D.二、填空题7．若ax 2+bx+c=0是关于x 的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是____ ____． 8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为 时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 .11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m= m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题 13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---； （2）解方程：x x x x 221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.0235)1(22=+-++-m m x xm15．关于x 的一元二次方程1201x p x x 有两实数根=-+-、.2x（1）求p 的取值范围；（2）若p x x x x 求,9)]1(2)][1(2[2211=-+-+的值.16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？ （2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理即可得到B 项是正确的.2.【答案】C ；【解析】∵22127x x += ∴221212)22(21)7x x x x m m +-=--=（， 解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.原方程化为230x x +-=，212()x x -=21212()411213.x x x x +-=+=3.【答案】B ；【解析】由题意得方程有两个不相等的实数根，则△=b 2－4ac>0，即4+4k>0.解得1k >-且0k ≠. 4.【答案】B ；【解析】有题意2320,10m m m -+=-且≠，解得2m =.5.【答案】B ；【解析】（80+2x ）（50+2x ）=5400，化简得2653500+-=x x . 6.【答案】B ；【解析】由已知，此人步行的路程为av 千米，所以乘车的路程为千米。

方程组。
二元一次方程组 一 元 一 次 方 程
学而不思则罔●▂●思而不学则殆
6
9．解二元一次方程组的基本思想：
二元一次方程组 一 元 一 次 方 程
10.解方程的依据------等式的性质
(2)等式两边都乘以或除以(除数不为0) 同一个数或整式,所得结果仍是等式.
11.解一元一次方程的一般步骤:
学而不思则罔●▂●思而不学则殆
3
中考课标要求
共同记一记
考试内容
A B CD
根据具体问题中的数量关系，列出方程 （组）
解一元一次方程、简单的二元一次方程 组、可化为一元一次方程的分式方程 （方程中的分式不超过两个）
√ √
学而不思则罔●▂●思而不学则殆
4
共同记一记
1．方程：含有 未知数 的等式。
2数．，一并元且一未次知方数程的：次化数简为后只一含次有的一整式个方未程知。
③如果
x

y
1 2
是方程组
ax+by

a
x
-
b
y
=
5
7
的解，那么
a+b=_____；
学而不思则罔●▂●思而不学则殆
8
认真想一想
例2 解方程（组）：
x
（1）
2
2

1
x
3
5
（2）
23 x 1 x 1
2x+y=5
（3） x - y = 1

xy- xy= 1
①去分母 ②去括号 ③移项
④合并同类项 ⑤系数化为1
12.方程组的常用解法: ①代入消元法
②加减消元法 学而不思则罔●▂●思而不学则殆

北师版一次函数复习资料北师版一次函数复习资料一次函数是数学中最基础、最常见的函数之一，它的形式可以表示为y = ax + b，其中a和b为常数。

一次函数在数学中有着广泛的应用，不仅在代数中扮演着重要的角色，也在几何中有着重要的意义。

本文将为大家介绍北师版一次函数的复习资料，帮助大家更好地理解和掌握一次函数的概念和性质。

一、一次函数的定义和性质一次函数是指函数的最高次项是1的函数，也就是说函数的表达式中只包含一个未知数的一次幂。

一次函数的一般形式为y = ax + b，其中a和b为常数。

其中，a称为一次函数的斜率，决定了函数图像的倾斜程度；b称为一次函数的截距，决定了函数图像与y轴的交点位置。

一次函数的图像是一条直线，具有以下性质：1. 斜率a为正时，函数图像呈现上升趋势；斜率a为负时，函数图像呈现下降趋势。

2. 斜率a的绝对值越大，函数图像的倾斜程度越大；斜率a的绝对值越小，函数图像的倾斜程度越小。

3. 斜率a为0时，函数图像为水平直线；截距b为0时，函数图像经过原点。

4. 一次函数的图像具有对称性，即关于直线y = x对称。

二、一次函数的图像与性质的应用一次函数的图像和性质在数学中有着广泛的应用，特别是在解决实际问题中。

下面将以几个典型的例子来说明一次函数的应用。

1. 直线运动问题假设一辆汽车以每小时60公里的速度匀速行驶，那么这辆汽车行驶t小时后的位移可以表示为y = 60t。

其中，60为斜率，表示汽车每小时行驶的距离；t为时间，表示行驶的时间。

通过一次函数的图像，可以直观地了解汽车的行驶情况，比如在什么时间汽车到达了某个目的地，或者在什么时间汽车行驶了多远的距离。

2. 成本问题假设某公司的固定成本为10000元，每生产一个产品的变动成本为10元，那么该公司生产x个产品的总成本可以表示为y = 10000 + 10x。

其中，10000为截距，表示公司的固定成本；10为斜率，表示每生产一个产品增加的成本；x 为产品数量，表示生产的产品数量。