2020-2021上海市松江区九年级上学期期末数学试题(一模)

松江区2020学年度第一学期期末质量监控试卷初三理化（满分150分，完卷时间100分钟）2021.01物理部分考生注意：1．本试卷物理部分含五个大题。

2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。

一、选择题（共16分）下列各题均只有一个正确选项，请将正确选项的代号用2B铅笔填涂在答题纸的相应位置上，更改答案时，用橡皮擦去，重新填涂。

1．研究得出“导体中电流与电压的关系”的科学家是A．安培B．伏特C．欧姆D．帕斯卡A．液位计B．水果刀C．吸尘器D．密度计3．一根铁丝被拉长，下列物理量会发生变化的是A．电阻B．密度C．质量D．体积4．质量相等的实心铝球和铜球浸没在水中（ρ铝＜ρ铜），所受浮力的大小关系为A．铜球大B．铝球大C．大小相等D．无法确定初三物理第1页共14页初三物理 第2页 共14页5．如图1所示，由同种材料制成、长度相同的甲、乙两导体，并联在同一电路中，下列判断正确的是A ．U 甲> U 乙B ．I 甲> I 乙C ．U 甲< U 乙D ．I 甲< I 乙6．下列实验中，运用了相同科学研究方法的是 （1）探究串联电路中电阻的规律 （2）探究物质质量与体积的关系 （3）用电流表、电压表测电阻（4）探究导体中电流与电压的关系A ．（1）与（3）B ．（2）与（4）C ．（1）与（2）D ．（3）与（4）7．在图2所示的电路中，电源电压保持不变。

闭合开关S ，向右移动滑动变阻器滑片P 的过程中，变小的是A ．电流表A 1与电流表A 2示数的比值B ．电流表A 与电流表A 2示数的比值C ．电流表A 与电流表A 2示数的差值D ．电流表A 与电流表A 1示数的差值8．如图3所示，质量相等的均匀正方体甲、乙置于水平地面上，若沿水平方向切去相同厚度，切去部分质量为Δm 甲、Δm 乙，剩余部分对地面压强为p 甲、p 乙，则下列说法正确的是A ．Δm 甲一定大于Δm 乙B ．Δm 甲可能大于Δm 乙C ．p 甲一定大于p 乙D ．p 甲可能大于p 乙P 图2R 2R 1 SA 1A 2 A 甲 乙图3甲 乙图1二、填空题（共26分）请将结果填入答题纸的相应位置。

2020-2021学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组线段中，能组成比例线段的（）A．2，3，4，5B．2，3，4，6C．2，3，5，7D．3，4，5，6 2．下列图形中一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个正方形3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝4．已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A．＝2B．∥，∥C．||＝||D．＝，＝2 6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确（）．A．S2＝2S1B．S1＝S3C．S2＝2S4D．S3＝2S4二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．若＝＝≠0，则＝．8．在比例尺为1：1000000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是千米．9．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是．10．如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是cm．11．已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），如果AB＝6cm，那么AM＝cm．12．如图，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝．13．如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若FC＝2.5，则FD＝．14．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，AD＝2，则BD＝．15．在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝．16．如图，已知在△ABC中，∠ABD＝∠C，AD＝9，CD＝7，那么AB＝．17．如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，BF和AC交于点E．如果＝，＝，如果用、表示，那么＝．18．如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．20．（10分）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作．2（2﹣）﹣3（+）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：（1）△ABC的面积；（2）∠C的余弦值．22．（10分）△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）23．（12分）已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．24．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE 至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：＝；（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D 不与点B、C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．（1）如图2，当ED∥AB时，求AE的长；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△ADE是等腰三角形时，直接写出线段BD的长．2020-2021学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组线段中，能组成比例线段的（）A．2，3，4，5B．2，3，4，6C．2，3，5，7D．3，4，5，6【分析】判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．【解答】解：A、2×5≠3×4，不成比例；B、2×6＝3×4，成比例；C、2×7≠3×5，不成比例；D、3×6≠4×5，不成比例；故选：B．2．下列图形中一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个正方形【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、两个等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；B、两个菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；C、两个直角三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；D、两个正方形，图形的形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确．故选：D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义计算，判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理得，AB＝＝13，则tan A＝＝，A选项计算正确；cot A＝＝，B选项计算错误；sin A＝＝，C选项计算错误；cos A＝＝，D选项计算错误；故选：A．4．已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】若使DE∥BC，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥BC．【解答】解：如图，若使线段DE∥BC，则其对应边必成比例，即＝，＝，＝，故B选项答案错误；故选：B．5．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A．＝2B．∥，∥C．||＝||D．＝，＝2【分析】根据平行向量的判定一一判断即可；【解答】解：A、由＝2，可以推出∥．本选项不符合题意；B、由∥，∥，可以推出∥．本选项不符合题意；C、由||＝||，不可以推出∥．本选项符合题意；D、由＝，＝2，可以推出∥．本选项不符合题意；故选：C．6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确（）．A ．S 2＝2S 1B ．S 1＝S 3C ．S 2＝2S 4D ．S 3＝2S 4 【分析】由AD ∥BC ，推出△AOD ∽△COB ，推出＝＝＝，利用等高模型以及相似三角形的性质解决问题即可． 【解答】解：∵AD ∥BC ， ∴△AOD ∽△COB ， ∴＝＝＝，∴S △BOC ＝2S △AOB ＝2S △ODC ，S △DOC ＝2S △AOD ，＝（）2＝，∴选项A ，B ，D 正确， 故选：C ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．若＝＝≠0，则＝．【分析】设＝＝＝k ≠0，得出x ＝2k ，y ＝5k ，z ＝4k ，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：设＝＝＝k ≠0，则x ＝2k ，y ＝5k ，z ＝4k ， 则＝＝；故答案为：．8．在比例尺为1：1000000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是 30 千米．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，可知实际距离＝图上距离÷比例尺． 【解答】解：根据题意，3÷＝3000 000厘米＝30千米．即实际距离是30千米． 故答案为：30．9．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是12．【分析】根据相似三角形的性质得到两相似三角形的面积比是4：9，根据题意列式计算即可．【解答】解：∵两相似三角形的对应中线的比是2：3，∴两相似三角形的相似比是2：3，∴两相似三角形的面积比是4：9，∵较大的三角形的面积为27，∴较小的三角形的面积为：27×＝12，故答案为：12．10．如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是6cm．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去），故答案为：6．11．已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），如果AB＝6cm，那么AM＝（3﹣3）cm．【分析】根据黄金分割点的定义，知AM是较长线段；则AM＝AB，代入数据即可得出AM的长．【解答】解：∵M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），AB＝6cm，∴AM＝AB＝×6＝（3﹣3）cm，故答案为：（3﹣3）．12．如图，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝4．【分析】如图，连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3，结合BC＝6可求EF的长度．【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．∵G为△ABC的重心，∴AG＝2GP，∴AG：AP＝2：3，∵EF过点G且EF∥BC，∴△AGF∽△APC，∴AF：AC＝AG：AP＝2：3，又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∵BC＝6，∴EF＝4．13．如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若FC＝2.5，则FD＝5．【分析】根据AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，可得出FC：FD＝1：2，再根据FC＝2.5，即可得出FD的长度．【解答】解：∵AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，∴FC：FD＝1：2，∵FC＝2.5，∴FD＝5．故答案为5．14．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，AD＝2，则BD＝4．【分析】由DE∥BC可判定△ADE∽△ABC，从而可得比例式，结合DE：BC＝1：3，可求得AB的值，最后根据BD＝AB﹣AD计算即可．【解答】解：依题意画出图形，如图：在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵DE：BC＝1：3，∴＝，∵AD＝2，∴AB＝6，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4．故答案为：4．15．在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝．【分析】根据勾股定理和A（3，4），可得OA的长，根据OA与x轴正半轴的夹角为α，可得sinα的值．【解答】解：∵A（3，4），∴OA＝＝5，∴sinα＝．故答案为：．16．如图，已知在△ABC中，∠ABD＝∠C，AD＝9，CD＝7，那么AB＝12．【分析】首先由在△ABC中，∠ABD＝∠C，可以证明△ABD∽△ACB，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABD＝∠C，而∠A公共，∴△ABD∽△ACB，∴AB2＝AD•AC，而AD＝9，CD＝7，∴AC＝16，∴AB＝12．17．如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，BF和AC交于点E．如果＝，＝，如果用、表示，那么＝（+）．【分析】根据平行四边形的性质和平行线截线段成比例求得AE线段的长度，结合平行四边形法则求得即可．【解答】解：∵点F是CD的中点，∴FC＝DC．又∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，CD＝AB，∴＝，即＝＝，∴AE＝AC．∵＝，＝，∴＝+＝+，∴＝＝（+），故答案是：（+）．18．如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M ＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，'＝BC'•DH＝BD•CM，∵S△BDC∴DH＝3×，∴DH＝，∵∠DCB＝∠DBC'，∴点D到BC的距离为．故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝（）2﹣+（）2＝﹣+3＝．20．（10分）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作．2（2﹣）﹣3（+）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【分析】根据平面向量的加法法则计算即可，利用三角形法则画出图形即可．【解答】解：2（2﹣）﹣3（+）＝4﹣2﹣3﹣＝﹣3．如图，即为所求．21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：（1）△ABC的面积；（2）∠C的余弦值．【分析】（1）根据题意作AD⊥BC于点D，然后根据题目中的条件可以求得AD的长，从而可以求得△ABC的面积；（2）根据题意和（1）中的条件可以求得CD和AC的，从而可以求得∠C的余弦值．【解答】解：（1）作AD⊥BC于点D，∵在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，∴∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，∴BD＝3，∴AD＝3，∴△ABC的面积是：；（2）由（1）知∠ADC＝90°，BD＝3，AD＝3，∵BC＝8，∴CD＝5，∴AC＝2，∴cos∠C＝．22．（10分）△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）【分析】由勾股定理求得AB，所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝CD＝x，BD＝BC﹣CD＝6﹣x，先证明△BDE∽△BCA，于是可利用相似比求得x＝cm；当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH ⊥AB于H，交MQ于J，先利用面积法计算出CH＝cm，设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，BJ＝﹣x，证明△CMQ∽△CBA，则可利用相似比计算出x＝cm，然后比较两个正方形的边长的大小来判断哪种方法利用率高．【解答】解：当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝xcm，BD＝BC﹣CD＝（6﹣x）cm，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴＝，即＝，解得：x＝（cm），即正方形BDEF边长为cm；当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH⊥AB于H，交MQ于J，则MN∥CH，AB＝＝＝10，∵CH•AB＝AC•BC∴CH＝＝（cm），设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，BJ＝﹣x，∵QM∥AB，∴△CMQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝（cm），即正方形BDEF边长为（cm）；∵＝＞，∴图1利用率高．23．（12分）已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．【分析】（1）由“有两个角分别相等的三角形相似“来判定即可；（2）由△ABF∽△ACE可得比例式＝，再结合夹角相等，可判定△EAF∽△CAB，从而可得＝①，∠AEF＝∠ACB；然后结合角平分线的定义可得∠EAM＝∠CAN，则可判定△EAM∽△CAN，进而得出比例式＝②，由①②可得结论．【解答】解：（1）证明：∵BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，∴BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠CAE＝∠BAF，∴△ABF∽△ACE；（2）证明：∵△ABF∽△ACE，∴＝，∴＝，又∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴＝①，∠AEF＝∠ACB，∵AN是∠BAC的角平分线，∴∠EAM＝∠CAN，∴△EAM∽△CAN，∴＝②，由①②可得：＝．24．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE 至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：＝；（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．【分析】（1）首先证明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及DE＝EF即可证得；（2）首先证明△CFG∽△BFC，证得＝，∠FCE＝∠CBF，然后根据平行线的性质证明∠FEG＝∠CEF，即可证得△EFG∽△ECF，则＝＝，即可证得＝，则所证结论即可得到．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，∴＝，＝，又∵DE＝EF，∴＝，∴＝；（2）∵CF2＝FG•FB，∴＝，又∵∠CFG＝∠CFB，∴△CFG∽△BFC，∴＝，∠FCE＝∠CBF，又∵DF∥BC，∴∠EFG＝∠CBF，∴∠FCE＝∠EFG，又∵∠FEG＝∠CEF，∴△EFG∽△ECF，∴＝＝，∴＝，即CG•CE＝BC•DE．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D 不与点B、C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．（1）如图2，当ED∥AB时，求AE的长；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△ADE是等腰三角形时，直接写出线段BD的长．【分析】（1）证明△ABD为等腰直角三角形，求出BD＝，利用DE∥BA，则，即，即可求解；（2）证明△ABD∽△DCE，则，即可求解；（3）分AD＝DE、AD＝DE、AE＝DE三种情况，利用解直角三角形的方法和三角形相似，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1，故点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，设tan B＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，则AH＝AB sinα＝20×＝12，BH＝16，则BC＝2BH＝32，∵ED∥AB，则∠ADE＝∠BAD＝∠B＝α，则△ABD为等腰三角形，在△ABD中，过点D作DM⊥AB于点M，则MD＝BD sin B，BM＝BD cos B＝AB，即BD＝AB＝×20，解得BD＝，∵DE∥BA，则，即，解得：AE＝；（2）如图2，在△ABD中，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠BAD+∠B，∵∠ADE＝∠B，∴∠EDC＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE，则，其中，AB＝20，CD＝32﹣x，BD＝x，CE＝20﹣y，故，化简得：y＝x2﹣x+20（0＜x＜32）；（3）①当AD＝DE时，此时点B、D重合，不符合题意；②当AD＝DE时，由（2）知则＝1，即＝1，解得x＝12，即BD＝12；③当AE＝DE时，∵AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝∠C，故△ADC为等腰三角形，则AD＝CD＝32﹣x，在△ABD中，BD＝x，AD＝32﹣x，如图1，则AH＝12，AH＝16，在△ADH中，AD＝32﹣x，DH＝16﹣x，AH＝12，由勾股定理得：（32﹣x）2＝（16﹣x）2+122，解得x＝19.5；综上，BD的长度为12或19.5．。

2023-2024学年上海市松江区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列函数中，属于二次函数的是()A. B.C. D.2.在中，已知，，，那么AB的长为()A. B. C. D.3.关于二次函数的图象，下列说法正确的是()A.开口向上B.经过原点C.对称轴右侧的部分是下降的D.顶点坐标是4.下列条件中，不能判定的是()A.，B.，C. D.5.如图，在中，，斜边BC上的高，矩形DEFG的边DE在边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果GF正好经过的重心，那么的积等于()A.4B.1C.D.6.某同学对“两个相似的四边形”进行探究.四边形ABCD和四边形是相似的图形，点A与点，点B与点，点C与点，点D与点分别是对应顶点，已知该同学得到以下两个结论：①四边形ABCD和四边形的面积比等于；②四边形ABCD和四边形的两条对角线的和之比等于对于结论①和②，下列说法正确的是()A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①和②都错误D.①和②都正确二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

7.若，则______.8.A、B两地的实际距离米，画在地图上的距离厘米，那么地图上的距离与实际距离的比是______.9.某印刷厂一月份印书50万册，如果第一季度从2月份起，每月印书量的增长率都为x，三月份的印书量为y万册，写出y关于x的函数解析式是______.10.已知点P是线段AB的黄金分割点，且，如果，那么______.11.在直角坐标平面中，将抛物线，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是______.12.如果一个二次函数图象的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的.请写出一个符合条件的函数解析式：______.13.如图，一辆小车沿着坡度为1：的斜坡从A点向上行驶了50米，到达B点，那么此时该小车上升的高度为______米.14.如图，梯形ABCD中，，且，若，请用，来表示______.15.如图，已知直线、、分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且，，，那么______.16.如图，在梯形ABCD中，，点E是AD的中点，BE、CD的延长线交于点F，如果AD：：3，那么：______.17.在中，，点D、E分别是边AB、AC的中点，BE与CD相交于点O，如果是等边三角形，那么______.18.如图，在矩形ABCD中，，，将边AB绕点A逆时针旋转，点B落在处，联结，，若，则______.三、解答题：本题共7小题，共78分。

初三数学 第1页 共10页松江区2019学年度第一学期期末质量监控试卷初三数学（满分150分，完卷时间100分钟）2020.01考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．已知二次函数c bx ax y ++=2（A ）＞0，＞0，＞0； （B ）＜0，＜0，＜0； a b c a b c （C ）＜0，＞0，＞0；（D ）＜0，＜0，＞0．a b c a b c 2．如果点A （1，3）、B （m ，3）是抛物线上两个不同的点，2(2)y a x h =-+ 那么m 的值为（▲）（A ）2;（B ）3;（C ）4;（D ）5.3．在以O 为坐标原点的直角坐标平面内,有一点A （3，4），射线OA 与x 轴正半轴的夹角为，那么的值为（ ▲ ）ααcos （A ）;（B ）;（C ）;（D ）.354345344．下列两个三角形不一定相似的是（▲）（A ）两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形;（B ）腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形;（C ）有一个内角为50°的两个直角三角形；（D ）有一个内角是50°的两个等腰三角形.5．如果，，且，下列结论正确的是 (▲)a b c += 3a b c -=（A ）；（B ）；=a b +20a b =（C ）a 与b方向相同；（D ）a 与b方向相反．（第1题图）初三数学 第2页 共10页6．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角，它们重叠部α分（图中阴影部分）的面积是1.5,那么的值为（▲）sin α（A ）;（B ）;（C ）;（D ）.34122332二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知：，那么= ▲ ． 23x y =2x yx y-+8．已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果a =2，b =3，那么c = ▲ ． 9．如果两个相似三角形的面积比为3∶4，那么它们的相似比为 ▲ ． 10．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），若AP =2，则BP = ▲ ． 11．已知Rt △ABC 中，若∠C =90°，AC =3，BC =2，则∠A 的余切值为 ▲ ． 12．已知二次函数图像的对称轴为直线x =4，则 ▲ .（填()212f x x bx c =++()1f ()3f “>”或“<”）13．在直角坐标平面中，将抛物线先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，22(1)y x =+那么平移后的抛物线表达式是 ▲ .14．如图，已知D 是△ABC 的边AC 上一点，且.如果，，那么2AD DC =a AB =AC b =向量关于、的分解式是 ▲ .BDa b 15．如图, 在正方形网格中，点A ,B ,C 是小正方形的顶点，那么tan∠BAC 的值为 ▲ .16．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米,宽度为30厘米.那么斜面AB 的坡度为 ▲ .18．如图，矩形ABCD 中，AD =1,AB =k .将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′.联结A D ′,分别交边CD ,A ′B 于E 、F .如果,那么k = ▲.'AE F =(第15题图)CBA(第14题图)ACBD(第16题图)(第18题图)F ED C BAC′A′D′初三数学 第3页 共10页三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：223(2cos 45)3tan 302sin 60cos 60cot 30︒︒︒︒︒-+--20．（本题满分10分,第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知二次函数.241y x x =--（1）将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像顶241y x x =--()k m x a y ++=2点B 坐标.（2）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线与y 轴交点为C ，抛物线的对称241y x x =--轴与x 轴交点为A .求四边形OABC 的面积.21．（本题满分10分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠C =90°,AD=AB=13,BD=24.求边DC 的长.22．（本题满分10分）如图，小岛A 在港口P 的南偏西45°方向上，一艘船从港口P ，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B 处，在B 处测得小岛A 在它的南偏西60°的方向上.小岛A 离港口P 有多少海里?(第22题图)东CA DB(第21题图)23．（本题满分12分,第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，点D 、F 在△ABC 边AC 上，点E在边BC 上，且DE ∥AB ，.2CD CF CA =⋅（1）求证：EF ∥BD ；（2）如果，求证：.AC CF BC CE ⋅=⋅2BD DE BA =⋅24．（本题满分12分,第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A (3,0)，点B （0,3）.点M （m ，0）在线段OA 上（与点A ，O 不重合），过点M 作x 轴的垂线与线段AB 交于点P ，与抛物线交于点Q ，联结BQ ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP ，当∠BOP =∠PBQ 时，求PQ 的长度；（3）当△PBQ 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知tan ∠MON =2，矩形 ABCD 的边AB 在射线OM 上，AD =2，AB =m ，CF ⊥ON ，垂足为点F.（1）如图（1），作AE ⊥ON ，垂足为点E.当m =2时,求线段EF 的长度；（2）如图（2），联结OC ，当m =2,且CD 平分∠FCO 第25题图（1）（第24题备用图）F CBADE (第23题图)第25题图（2）（第24题图）初三数学 第5页 共10页2019学年第一学期松江区初三数学期末质量监控试卷参考答案一、选择题：1.C ;2.B ;3.A ;4.D ;5.D ;6.C .二、填空题：7.; 8.;;;11.; 12.>;15431-3213.; 14.; 15.2; 16..22+1y x =23a b →→-+31:21+三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.解：原式…………………（5分）……（2分）……（1分）=……（2分）20．解:(1)……………（3分）2241(2)5y x x x =--=--顶点坐标为B (2,-5)……………（1分）(2)点A （2，0）、点B （2，-5），点C （0，-1）……………（2分）……………（4分）1(15)262OABC S =+⨯=21.解：作AE ⊥BD ，垂足为E ……………（1分）∵AD =AB ∴BE =DE初三数学 第6页 共10页∵BD =24∴DE =12……………………………（1分）∴AE =5……………………………（1分）∴…………………（2分）5sin 13ADB ∠=∵AD ∥BC∴…………………（1分）ADB CBD ∠=∠∴…………………（1分）5sin 13CBD ∠=∴……（2分）5sin 2413CD CD CBD BD ∠===∴……………………………（1分）12013CD =22.解:作AC ⊥PB ，垂足为C ……………（1分）…………………（1分）12 1.518PB =⨯=令BC =x ……………………………（1分）在Rt △ABC 中，∵∠ABC =60°∴…………（1分）AC =在Rt △APC 中，∵∠APC =45°∴…………（1分）AC PC ==…………（1分）18x =+解得…………（1分）9x =+∴PC =…………（1分）27∴（1分）AP ==+答:小岛A离港口P 有海里.………（1分）+(第21题图)东初三数学 第7页 共10页23．证明：（1）∵DE ∥AB∴………（1分）CD CECA CB=∵2CD CF CA=⋅∴………（1分）CD CFCA CD =∴………（2分）CE CF CB CD=∴EF ∥BD ………（1分）(2)∵AC CF BC CE ⋅=⋅∴CA CECB CF=∵∠C =∠C∴△CAB ∽△CEF ………（1分）∴∠CAB =∠CEF ………（1分）∵EF ∥BD∴∠CBD =∠CEF ………（1分）∴∠CBD =∠CAB ………（1分）∵DE ∥AB ，∴∠BDE =∠DBA ………（1分）∴△BDE ∽△ABD ………（1分）∴BD ABDE BD=∴………（1分）2BD DE BA =⋅24.解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A (3,0)，点B （0,3）.∴………………………………（1分）3,930.c b c =⎧⎨-++=⎩∴b =2，c =3………（1分）∴抛物线表达式为y ＝﹣x 2+2x +3………（1分）A(第23题图)A(第23题图)（第24题图）初三数学 第8页 共（2）∵PM ⊥x 轴∴PM ∥y 轴∴∠OBP =∠BPQ ∵∠BOP =∠PBQ∴△OBP ∽△BPQ ………………（1分）∴OB BPBP PQ=∴………（1分）2BP OB PQ =⋅∴22)3(2+3+3)m m m =-+-即222-39m m m =+解得(m =0舍去)………（1分）95m =………（1分）5425PQ =(3)当QP =QP 时点Q (2,3)此时m =2………（1分）当BQ =BP 时，点Q （1,4）此时m =1………（2分）当PB =PQ 时2233m m m =-++-+（2分）3m =25．解：（1）过点D 作DP ⊥CF 于点P ，交AE 于点Q 则∠PDC =∠DAQ =∠MON ……（1分）∵在Rt △CDP 中DC =2,tan ∠PDC =2可得,……（1分）PD =第25题图（1）初三数学 第9页 共10页在Rt △ADQ 中AD =2,tan ∠DAQ =2可得,……（1分）QD =∴……（1分）QP =∴（1分）EF =(2)∵CD 平分∠FCO 时∴∠FOD =∠OCD ∵CD ∥OM ∴∠COM =∠OCD∴……（1分）21tan 2CB COM OB OB ∠===∴OB =4……（1分）∴（1分）OC =延长CD 交ON 于K,过点K 作KQ ⊥OM ，垂足为Q KQ=2,OQ=1,CK=3（1分）CF =……（1分）3sin 5COF ∠=(3)由题意可知∠CDF =∠ADF=135°……（1分）当∠FCD =∠FAD 时△FCD ≌△FADCD =AD =2,即m =2……（1分）当∠FCD =∠AFD ∵△CDF ∽△FDA初三数学 第10页 共10页∴DC DFDF DA=∴……（1分）2DF DC DA =⋅令HF =t ,则DH =t 1tan FCD +m 2t t ∠==t =mDF ==∴……（1分）2)2m =∴m =1(m =0舍去)……（1分）。

上海市松江区2021—2022学年九年级上学期期末（中考一模）考试语文试卷（满分：150分，完成时间：100分钟，在答题纸上完成）2022.1一、文言文（36分）（一）默写（12分）1.东风不与周郎便，（杜牧《赤壁》）2.知困，（《虽有嘉肴》）3. ，一任群芳妒。

（陆游《卜算子·咏梅》）4.问君何能尔？（陶渊明《饮酒》）5.深秋的早晨，同学们看到田野和房屋上薄雾缭绕，而东方已是一片绯红。

甲生说：这便是《答谢中书书》中描绘的“”的画面；乙生说：可惜没有文中早晨“”的热闹场景啊。

（二）阅读下列诗文，完成第6-12题（24分）【甲】石壕吏（节选）暮投石壕村，有吏夜捉人。

老翁逾墙走，老妇出门看。

吏呼一何怒！妇啼一何苦！听妇前致词：三男邺城戍。

一男附书至，二男新战死。

存者且偷生，死者长已矣！室中更无人，惟有乳下孙。

有孙母未去，出入无完裙。

【乙】（节选）见渔人，乃大惊，问所从来。

具答之。

便要还家，设酒杀鸡作食。

村中闻有此人，咸来问讯。

自云先世避秦时乱，率妻子邑人来此绝境，不复出焉，遂与外人间隔。

问今是何世，乃不知有汉，无论魏晋。

此人一一为具言所闻，皆叹惋。

余人各复延至其家，皆出酒食。

停数日，辞去。

此中人语云：“不足为外人道也。

”【丙】子奇治阿子奇年十六，齐君使治阿①.既行，齐君悔之，遣使追。

追者反曰：“子奇必能治阿，共载皆白首也。

夫以老者之智，以少者决之，必能治阿矣！”子奇至阿，铸库兵以作耕器，出仓廪以赈贫穷，阿县大治。

魏闻童子治邑，库无兵，仓无粟，乃起兵击之。

阿人父率子，兄率弟，以私兵战，遂败魏师。

【注】①阿：地名，今山东阿县。

②白首：老年人。

③决：决断（政事）。

6.甲诗的作者是（人名），乙节选语段出自课文《》。

（2分）7.解释下列句中加粗词（4分）（1)遣使追（）（2)铸库兵以作耕器（）8.用现代汉语翻译下面的句子（3分）余人各复延至其家9.对文中划线句翻译正确的一项是（）（3分）A 走出粮仓去救济贫穷的百姓，全面治理阿县。

2020-2021学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1 2．下列各点在抛物线y＝2x2上的是（）A．（2，2）B．（2，4）C．（2，8）D．（2，16）3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（）A．B．C．D．4．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，，那么等于（）A．B．C．D．6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7．计算：+2（﹣）＝．8．已知f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝．9．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是．（填“上升”或“下降”）10．正十边形的中心角等于度．11．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，若⊙O1和⊙O2内切，那么圆心距O1O2的长等于．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，那么BC＝．13．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tan B＝．14．已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么＝．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．16．如图，已知⊙O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么⊙O的半径长等于．17．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC 的面积等于15，那么△FEC的面积等于．18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tan B sin A+|1﹣cos B|+的值．20．（10分）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．21．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．22．（10分）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若，求证：EF∥MN．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．（1）求点A的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx ﹣1的表达式；（3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．25．（14分）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．（1）求弦AC的长．（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．2020-2021学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1【分析】根据抛物线的顶点式，可求抛物线的对称轴．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴对称轴是：直线x＝2．故选：A．2．下列各点在抛物线y＝2x2上的是（）A．（2，2）B．（2，4）C．（2，8）D．（2，16）【分析】把x＝2代入抛物线解析式中，求得函数值，即可判断．【解答】解：把x＝2代入y＝2x2得y＝2×22＝8，故点（2，8）在抛物线上．故选：C．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义得出答案即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的正弦表示的是锐角A的对边与斜边的比，即：，故选：B．4．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据特殊锐角三角函数值先得出α+15°，再求出α即可．【解答】解：∵sin45°＝，∴α+15°＝45°，∴α＝30°，故选：B．5．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，，那么等于（）A．B．C．D．【分析】利用平行线分线段成比例定理，求解即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴DE＝BC，∵＝，∴＝，∴＝﹣，故选：D．6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，当直线与圆如图所示也可以有交点，∴≤r≤4．故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7．计算：+2（﹣）＝．【分析】先利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．【解答】解：原式＝+3﹣2＝．故答案是：．8．已知f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝﹣2．【分析】计算自变量为﹣2对应的函数值即可．【解答】解：把x＝﹣2代入f（x）＝x2+3x得f（﹣2）＝（﹣2）2+3×（﹣2）＝4﹣6＝﹣2．故答案为：﹣2．9．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是上升．（填“上升”或“下降”）【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2的开口向下，对称轴为y轴，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，∴抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分是上升的，故答案为：上升．10．正十边形的中心角等于36度．【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为：，则代入求解即可．【解答】解：正十边形的中心角为：＝36°．故答案为：36°．11．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，若⊙O1和⊙O2内切，那么圆心距O1O2的长等于1．【分析】根据两圆内切，圆心距等于半径之差．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，⊙O1和⊙O2内切，∴圆心距O1O2的长＝4﹣3＝1，故答案为：1．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，那么BC＝12．【分析】根据正弦的定义得到sin A＝＝，然后把AB＝15代入计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∴sin A＝＝，∴BC＝AB＝×15＝12．故答案为12．13．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tan B＝2．【分析】设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，根据勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义作答．【解答】解：根据题意，可设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，∴AC2+AB2＝BC2＝5k2，∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．∴tan B＝＝＝2．故答案是：2．14．已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么＝．【分析】根据三角形中位线定理可得＝，再根据相似三角形的性质可得＝＝＝，设辅助常数，表示AG，AE，最后根据平行线分线段成比例得出答案．【解答】解：连接DE，∵AE、BD是△ABC的中线，∴AD＝DC，BE＝EC，∴DE∥AB，DE＝AB，∴∠DEG＝∠BAG，∠EDG＝∠ABG，∴△DEG∽△BAG，∴＝＝＝，设GE＝k，则AG＝2k，AE＝k+2k＝3k，又∵DF∥AE，AD＝DC，∴＝，∴DF＝k，∴＝＝，故答案为：．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为﹣．【分析】首先根据题意画出图形，然后过点D作DE∥AB，交BC于点E，易得四边形ABCD是平行四边形，则可求得与，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：如图，过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BE＝AD，DE＝AB，∵BC＝2AD，∴AD＝EC．∵＝，＝，∴＝＝，＝＝，∴＝﹣＝﹣（+）＝﹣．故答案为：﹣．16．如图，已知⊙O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么⊙O的半径长等于．【分析】如图，过点O作OH⊥AB于H．直角三角形求出OA即可．【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB于H．∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝9，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴OA＝＝6．故答案为：6．17．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC 的面积等于15，那么△FEC的面积等于4．【分析】根据平行四边形的性质证明△ADF∽△CEF，可得对应边成比例，根据CE＝2BE，△ABC的面积等于15，进而可得△FEC的面积．【解答】解：在▱ABCD中，AD∥CE，AD＝BC∴△ADF∽△CEF，∴＝＝，∵CE＝2EB，∴CE＝BC＝AD，∴＝＝＝，∴＝（）2＝，∵S△ABC＝S△ADC＝15，∴S△ACD＝S△AFD+S△CFD＝15，∵＝，∴＝＝，∴S△AFD＝9，S△CFD＝6，∴S△FEC＝4．故答案为：4．18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于2+．【分析】如图，过点A作AH⊥CE于H．想办法证明AK＝AC，推出HK＝CH，推出AK ＝AD＝2，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A作AH⊥CE于H.∵tan∠CED＝＝tan∠BAC，∴∠E＝∠BAC，∵CE＝EG，∴∠CGE＝∠ECG，∵∠BAC+∠GAK＝180°，∴∠E+∠GAK＝180°，∴∠AGE+∠AKE＝180°，∵∠AKE+∠AKC＝180°，∴∠AKC＝∠CGE，∴∠AKC＝∠ACK，∴AC＝AK＝2，∵AH⊥CK，∴KH＝CH，∵∠AHE＝∠DCK＝90°，∴AH∥CD，∴KA＝AD，∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，∴BD＝AB+AD＝2+，故答案为：2+．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tan B sin A+|1﹣cos B|+的值．【分析】根据勾股定理求得AB，然后求得直角三角函数值，代入求得即可求得．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，∴，∴；；；，∴原式＝＝．20．（10分）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．【分析】（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1A∥O2B，只需推知∠A＝∠B；（2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到，通过计算求得AT 的值．【解答】（1）证明：联结O1O2，即O1O2为连心线，又∵⊙O1与⊙O2外切于点T，∴O1O2经过点T．∵O1A＝O1T，O2B＝O2T．∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB．∵∠O1TA＝∠O2TB，∴∠A＝∠B．∴O1A∥O2B；（2）∵O1A∥O2B，∴．∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，∴，解得：．21．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．【分析】（1）将点A（0，1）、B（1，﹣5）代入解析式求出b、c的值即可得；（2）将二次函数配方成顶点式后确定其顶点坐标与对称轴．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5），∴，解得：；∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2﹣4x+1；（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3，∴抛物线的顶点坐标为：（﹣1，3），对称轴为：直线x＝﹣1．22．（10分）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）【分析】（1）过点A作AD垂直HB于D，作AE∥BH交GH于点E，由坡度的定义和锐角三角函数定义分别计算出BD，根据勾股定理求出AD；（2）作AE∥BH交GH于点E，根据题意得到四边形ADHE是平行四边形，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）过点A作AD垂直HB，交HB的延长线于点D，即∠ADB＝90°，由题意得：i＝1：，AB＝60（米），∴，即；又∵AB2＝AD2+BD2，即，∴AD＝20（米），答：山坡的高度为20米；（2）作AE∥BH交GH于点E，∵AD⊥BH，GH⊥BH，∴AD∥GH，即：四边形ADHE是平行四边形，由题意可知：∠GAE＝30°，BH＝60（米），∵（米），∴（米），在Rt△AGE中，，∴（米），又∵EH＝AD＝20（米），∴（米），答：铁塔的高度GH为米．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若，求证：EF∥MN．【分析】（1）由菱形的性质得AB＝AD，则∠ABD＝∠ADB，易证∠AED＝∠BAF，则△AED∽△F AB，得，即AD•AB＝BF•DE，即可得出结论；（2）由菱形的性质得AD＝BC，AD∥BC，则△BME∽△DAE，得，进而证出，则MN∥BD即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，∴∠AED＝∠BAF，∴△AED∽△F AB，∴，即AD•AB＝BF•DE，∴AB2＝BF•DE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BME∽△DAE，∴，∵，∴，∴，∴MN∥BD，∴EF∥MN．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．（1）求点A的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx ﹣1的表达式；（3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．【分析】（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可得出答案；（2）由抛物线经过点A可得出b＝﹣4a，由平移的性质可得出答案；（3）求出顶点P的坐标为（2，﹣4a﹣1），由轴对称的性质可得出P'的坐标，求出PP'的长，根据三角形的面积公式可得出方程，解方程可得出答案．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，∴，解得：；∴点A的坐标为（4，﹣1）．（2）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（4，﹣1），∴16a+4b﹣1＝﹣1，即b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax﹣1，∴平移后的抛物线的表达式是y＝ax2﹣4ax+1，∴﹣2＝a﹣4a+1，解得：a＝1，∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是：y＝x2﹣4x﹣1．（3）如图，∵y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，∴P（2，﹣4a﹣1），∵抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2﹣4ax﹣1关于x轴对称，∴P'（2，4a+1），∵a'＜0，∴a＞0，∴P'P＝8a+2，又∵OD＝2，S△OPP'＝×OD×PP'，∴，解得：a＝，∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是y＝x﹣1．25．（14分）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．（1）求弦AC的长．（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝BH＝AC，由锐角三角函数和勾股定理可求解；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．【解答】解：（1）如图1，过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理得：AH＝BH＝AC，在Rt△OAH中，，∴设OH＝3x，AH＝4x，∵OH2+AH2＝OA2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），∴OH＝3，AH＝4，∴AC＝2AH＝8；（2）如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，∵∠DEO＝∠AEC，∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．可知：，∴∠ACD≠∠DOE∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，∴OD∥AC，∴，∵OD＝OA＝5，AC＝8，∴，∴，∵∠AGE＝∠AHO＝90°，∴GE∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴，∴，∴，∴，，在Rt△CEG中，；（3）当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，由（1）可得OH＝3，AH＝4，AC＝8，∵OE＝1，∴AE＝4，ME＝6，∵EG∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴，∴AG＝，EG＝，∴GC＝，∴EC＝＝＝，∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴，∴，∴AD＝2；当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E 作EG⊥AC于G，同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，∴EC＝＝＝，∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴，∴，∴AD＝，综上所述：AD的长是或．。

2020年上海市松江区九年级中考⼀模（上学期期末）英语试题及参考答案2020年上海市松江区九年级中考⼀模（上学期期末）英语试题1．Which of the following underlined parts is different in pronunciation?A．admit B．afraid C．action D．attract 2．Every morning I have ________ egg and two pieces of bread for breakfast. A．a B．an C．the D．/3．________ two hours, I am sure the painting will be completed.A．For B．With C．In D．At 4．Children sometimes are better than adults ________ creative thinking.A．for B．in C．on D．at 5．Their flowers seem dying while ________ look very lively.A．we B．our C．ourselves D．ours 6．This course is too easy for her son. She is planning to change to ________ one. A．another B．other C．the other D．others 7．A large number of ________ will be on sale on the Internet as promised. A．news B．progress C．tickets D．physics 8．Of the three maths problems, I have just solved ________ difficult one. A．the more B．the most C．a most D．more 9．— ________ do you usually go fishing, John?— About once a week.A．How B．How often C．How soon D．How long 10．I will take the responsibility if anything goes ________. A．wrong B．mad C．well D．badly 11．Keep off the wet hill path. You ________ fall and hurt yourself.A．must B．should C．need D．may 12．Don’t come to me ________ I call for your help.A．although B．because C．unless D．when 13．The glasses are in fashion ________ they don’t look good on me. A．but B．so C．and D．or 14．My advice on decorating the back wall ________ at last by the class teacher. A．was accepted B．was accepting C．will be accepted D．will accept15．— Look! My mother ________ a new hat for me.— Wow, it looks very beautiful on you.A．was making B．will make C．makes D．has made 16．I didn’t hear what you said. I ________ about our picnic plan. A．would think B．was thinking C．thought D．had thought 17．He denied ________ down the old man although some witnesses said so.A．knock B．to knock C．knocking D．knocked 18．— Do you always get up at five?— Yes, ________ my dog. He barks very early in the morning.A．walk B．to walk C．walking D．walked 19．— I really had a good time at the party, Jenny.— ________.A．Thank you B．With pleasure C．Never mind D．Glad to hear that 20．— ________?— Thank you very much, but I can manage.A．Anything I can do to help B．Would you like to join usC．Shall we go shopping now D．Would you mind opening the windowA．danger B．population C．instead D．harm E．importantlyWhat kind of meat do you usually eat? Most of us eat chicken, pork, or beef. But as the worl d’s 21．grows, more people willneed protein. There won’t be enough meat for everyone. And raising more livestock (家畜) will 22．the environment. How can we solve this problem?Scientists think that humans could eat more insects 23． . Insects are healthy and nutritious. They have a lot of protein, healthy fats and vitamins. More 24．, they are less harmful to the environment. Farmers don’t need to clear forests to raise them. And raising insects will make fewer greenhouse gas emissions than raising cows.A．collects B．easier C．special D．consists E．liquidHave you ever thought about how astronauts wash their clothes without gravity (重⼒)?It’s not easy. There’s no washing machine on the International Space Station (IS S). Luckily, this may not be a problem in the future.Russian scientists are making a 25．washing machine for astronauts to use in space. The washing machine is different from the ones we use. It doesn’t need water. It 26．carbon dioxide from the air that the astronauts breathe out. Then, it uses high pressure to turn that carbon dioxide into a 27．that can help clean clothes.This could make astronauts’ lives much 28．. Because normal washing machines can’t work in space, astronauts living aboard the ISS need to bring as many clothes as possible. Sometimes they even ask other spacecrafts to bring clean clothes from Earth.Complete the sentences with the given words in their proper forms (⽤括号中所给单词的适当形式完成下列句⼦。

2020-21学年上海市浦东新区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）A、B两地的实际距离AB＝250米，如果画在地图上的距离A′B′＝5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（）A．1：500B．1：5000C．500：1D．5000：12．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（）A．B．2sinαC．D．2cosα3．（4分）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝（k﹣1）x2+3B．y＝+1C．y＝（x+1）（x﹣2）﹣x2D．y＝2x2﹣7x4．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．||＝B．||＝C．＝D．＝5．（4分）如图，在△ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD ＝∠B，DE∥BC，EF∥CD，下列结论不成立的是（）A．AE2＝AF•AD B．AC2＝AD•AB C．AF2＝AE•AC D．AD2＝AF•AB 6．（4分）已知点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的点是（）A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．（4分）如果线段a、b满足＝，那么的值等于．8．（4分）已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是．9．（4分）计算：2sin30°﹣tan45°＝．10．（4分）如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是度．11．（4分）已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD＝3，那么AF＝．12．（4分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，那么向量关于、的分解式为．13．（4分）如果抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，那么该抛物线的开口方向．（填“向上”或“向下”）14．（4分）如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1y2．（填“＞”或“＜”）15．（4分）如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC 上，已知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE＝2DG，那么DG＝厘米．16．（4分）秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt △ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB 的延长线于点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝．17．（4分）如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为．18．（4分）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知向量关系式（）＝，试用向量、表示向量．20．（10分）已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．21．（10分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB＝6，BC＝8．（1）求的值；（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．22．（10分）如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕尾角∠B＝54.5°，外口宽AD＝180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE＝26.5°，求燕尾槽的里口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5°≈1.40，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）23．（12分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．24．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图象的对称轴交于点P，联结AP，求∠BAP的余切值；（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当△AMO与△ABP 相似时，求点M的坐标．25．（14分）四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．与S△ECF的比值；（1）如图1，当∠B＝90°时，求S△ABE（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cos B的值；（3）如图3，联结AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．2020-2021学年上海市浦东新区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】地图上的距离与实际距离的比就是在地图上的距离A′B′与实际距离250米的比值．【解答】解：取米作为共同的长度单位，那么AB＝250米，A'B'＝5厘米＝0.05米，所以＝＝，所以地图上的距离与实际距离的比为1：5000．故选：B．【点评】本题考查了比例尺．注意求距离的比时，首先要把单位统一．2．【分析】根据锐角三角函数的意义即可得出答案．【解答】解：∵sin B＝sinα＝，AC＝2，∴AB＝＝，故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，理解锐角三角函数的意义是解决问题的前提．3．【分析】利用二次函数定义进行分析即可．【解答】解：A、当k＝1时，不是二次函数，故此选项不合题意；B、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；C、化简后y＝﹣x﹣2，不是二次函数，故此选项不合题意；D、是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．4．【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A、||＝计算正确，故本选项符合题意．B、||与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．C、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意．D、与的模相等，方向不一定相同，故错误．故选：A．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．【分析】由相似三角形的判定和性质依次判断可求解．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥CD，∴∠AEF＝∠ACD，∠ADE＝∠B，又∵∠ACD＝∠B，∴∠AEF＝∠ADE，∴△AEF∽△ADE，∴，∴AE2＝AF•AD，故选项A不合题意；∵∠ACD＝∠B，∠DAC＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AB•AD，故选项B不合题意；∵DE∥BC，EF∥CD，∴，，∴，∴AD2＝AB•AF，故选项D不合题意；由题意无法证明AF2＝AE•AC，故选项C符合题意，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．6．【分析】根据图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：∵B、C两点的横坐标相同，∴抛物线y＝ax2+bx+1只能经过A，C两点或A、B两点，把A（1，2），C（2，1），代入y＝ax2+bx+1得．解得，；把A（1，2），B（2，3），代入y＝ax2+bx+1得．解得，（不合题意）；∴抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的A，C两点，故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．【分析】由＝，可设a＝5k，则b＝2k，代入，计算即可．【解答】解：∵＝，∴可设a＝5k，则b＝2k，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例线段，利用设k法是解题的关键．8．【分析】根据黄金分割的概念得到MP＝MN，把MN＝4代入计算即可．【解答】解：∵线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，∴MP＝MN＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．9．【分析】根据特殊角的三角函数值计算．【解答】解：原式＝2×﹣1＝0．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．10．【分析】根据仰角以及俯角的定义，画出图形进而求出即可．【解答】解：如图所示：∵甲处看乙处为俯角36°，∴乙处看甲处为：仰角为36°，故答案为：36．【点评】此题主要考查了仰角与俯角的定义，仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．11．【分析】连接DE，根据三角形中位线定理得到DE＝AB，DE∥AB，证明△AFB∽△DFE，根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：连接DE，∵AD、BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，DE∥AB，∴△AFB∽△DFE，∴＝＝2，∴AF＝2FD，∵AD＝3，∴AF＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、三角形的中线的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．12．【分析】由三角形法则可求得向量关于、的分解式．【解答】解：如图所示，＝，＝，则＝﹣＝﹣．故答案是：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．13．【分析】根据抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，可得m＝0，进而可得结论．【解答】解：∵抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，∴m＝0，∴a＝4＞0，∴该抛物线的开口方向向上．故答案为：向上．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．14．【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x+1）2的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，则在对称轴右侧，y随x的增大而增大．【解答】解：∵y＝（x+1）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，∵﹣1＜2＜3，∴y1＜y2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．15．【分析】设DG＝EF＝x，则GF＝DE＝2x，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出DG的长．【解答】解：∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥BC，AH⊥BC，DG＝EF，∴AP⊥DG．设DG＝EF＝x，则GF＝DE＝2x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴＝，∵AH＝40厘米，BC＝60厘米，∴＝，解得x＝15．∴DG＝15厘米，故答案为：15．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．16．【分析】作CH⊥AB，BG⊥DE于点H，G，根据已知条件证明四边形ADGB是矩形，再根据等面积法求出CH，证明△FBE∽△ACB，利用对应高的比等于相似比即可求出BF 的长．【解答】解：如图，作CH⊥AB，BG⊥DE于点H，G，∵DE∥AB，∴BG⊥AB，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝∠ABG＝∠BGD＝90°，∴四边形ADGB是矩形，∴BG＝AD＝0.4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝＝13，＝BC•AC＝AB•CH，∵S△ABC∴CH＝＝＝，∵DE∥AB，∴∠E＝∠ABC，∵∠FBE＝∠ACB＝90°，∴△FBE∽△ACB，∵CH⊥AB，BG⊥DE，∴＝，∴＝，∴BF＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等面积法，解决本题的关键是综合运用以上知识．17．【分析】设将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y＝（x﹣1﹣m）2﹣1，然后将（3，3）代入得到关于m的方程，通过解方程求得m 的值即可．【解答】解：设将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y＝（x﹣1﹣m）2﹣1，将（3，3）代入，得（3﹣1﹣m）2﹣1＝3．整理，得2﹣m＝±2解得m1＝0（舍去），m2＝4．故新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣5）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣5）2﹣1．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式，解题的关键是理解“平衡点”的含义．18．【分析】先求出BD＝8，CD＝4，再求出MH＝4，DH＝2，设BE＝x，得出CE＝12﹣x，CF＝3+x，EH＝10﹣x，再判断出△EHM∽△ECF，得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：如图，∵点D是BC上一点，BC＝12，∴BD：CD＝2：1，∴BD＝8，CD＝4，过点M作MH∥AC交CD于H，∴△DHM∽△DAC，∴＝＝，∴点M是AD的中点，∴AD＝2DM，∵AC＝8，∴＝＝，∴MH＝4，DH＝2，过点M作MG∥AB交BD于G，同理得，BG＝DG＝4，∵AB＝10，BC＝12，AC＝8，∴△ABC的周长为10+12+8＝30，∵过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，∴CE+CF＝15，设BE＝x，则CE＝12﹣x，∴CF＝15﹣（12﹣x）＝3+x，EH＝CE﹣CH＝CE﹣（CD﹣DH）＝12﹣x﹣2＝10﹣x，∵MH∥AC，∴△EHM∽△ECF，∴，∴，∴x＝2或x＝9，当x＝9时，CF＝12＞AC，点F不在边AC上，此种情况不符合题意，即BD＝x＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】在已知关系式中，求出x即可解决问题．【解答】解：由（）＝，得＝2，所以7＝﹣2．所以＝（﹣2）．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣4），再利用第二象限点的坐标特征得到m﹣4＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵y＝x2+2x+m﹣3＝（x+1）2+m﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣4），∵抛物线y＝x2+2x+m﹣3顶点在第二象限，∴m﹣4＞0，∴m＞4．故m的取值范围为m＞4．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）．21．【分析】（1）直接根据平行线分线段成比例定理求解；（2）过D点作DM∥AC交CF于M，交BE于N，如图，易得四边形ABND和四边形ACMD都是平行四边形，所以BN＝CM＝AD＝5，则MF＝14，再利用NE∥MF，所以＝＝，然后利用比例的性质计算出NE，最后计算BN+NE即可．【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴＝＝＝；（2）过D点作DM∥AC交CF于M，交BE于N，如图，∵AD∥BN∥CM，AC∥DM，∴四边形ABND和四边形ACMD都是平行四边形，∴BN＝AD＝5，CM＝AD＝5，∴MF＝CF﹣CM＝19﹣5＝14，∵NE∥MF，∴＝＝，∴NE＝MF＝×14＝6，∴BE＝BN+NE＝5+6＝11．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．22．【分析】如图，过点B作BG⊥DE于G，过点C作CH⊥AD于H．证明△BGA≌△CHD （AAS），推出AG＝DH，设AG＝DH＝x毫米，CH＝y毫米，构建方程组求解即可．【解答】解：如图，过点B作BG⊥DE于G，过点C作CH⊥AD于H．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝DC，∠BAD＝∠CDA，∴∠BAG＝∠CDH，∵∠BGA＝∠CHD＝90°，∴△BGA≌△CHD（AAS），∴AG＝DH，设AG＝DH＝x毫米，CH＝y毫米，则有，解得，∴BC＝GH＝AG+AD+DH＝100+180+100＝380（毫米）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题．23．【分析】（1）通过证明△DCE∽△BCD，可得＝，可得结论；（2）由直角三角形的性质可得AM＝ME＝CM，进而可得∠MCE＝∠MEC，通过证明点A，点C，点E，点D四点共圆，可得∠AEC＝∠ADC，由余角的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DEB，∴∠A＝∠DEB，∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠DEB，∴∠CDB＝∠CED，又∵∠DCE＝∠DCB，∴△DCE∽△BCD，∴＝，∴CD2＝CE•CB，∴CA2＝CE•CB；（2）如图，∵∠ACE是直角三角形，点M是AE中点，∴AM＝ME＝CM，∴∠MCE＝∠MEC，∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∴点A，点C，点E，点D四点共圆，∴∠AEC＝∠ADC，∴∠AEC＝∠MCE＝∠ADC＝∠CAD，又∵∠MCE+∠ACH＝90°，∴∠CAD+∠ACH＝90°，∴CH⊥AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．24．【分析】（1）利用待定系数法，即可得出结论；（2）先判断出OB＝AB，进而判断出△OBP≌△ABP，得出∠BOP＝∠BAP，再求出直线BC的解析式，求出点P的坐标，构造直角三角形，即可得出结论；（3）先判断出∠OAE＝∠OBC，进而得出OM＝AM或OA＝OM，即可得出结论．【解答】解：（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（5，0）和O（0，0），∴设二次函数的解析式为y＝ax（x﹣5），将点A（2，4）代入y＝ax（x﹣5）中，得4＝a×2（2﹣5），∴a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x（x﹣5）＝﹣x2+x；（2）如图1，连接OP，∵A（2，4）、B（5，0）和O（0，0），∴OB＝5，AB＝＝5，∴OB＝AB，∵BC⊥OA，∴BC是OA的垂直平分线，∴AP＝OP，∴BP＝BP∴△OBP≌△ABP（SSS），∴∠BOP＝∠BAP，∵AC＝OC，A（2，4），∴点C（1，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+x，∴对称轴为直线x＝，∴P（，），∴OD＝，PD＝，∴cot∠BAP＝cot∠BOP＝＝2；（3）∵BC⊥OA，AE⊥OB，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵∠AMC＝∠BME，∴∠OAE＝∠OBC，∵点P在抛物线的对称轴上，∴OP＝OB，∴△BOP是等腰三角形，∵△AMO与△ABP相似，∴△AMO与△OBP相似，∴OM＝AM或OA＝OM，设M（2，m），当OM＝AM时，OM＝AM＝4﹣m，在Rt△OEM中，EM＝m，根据勾股定理得，OM2﹣EM2＝OE2，∴（4﹣m）2﹣m2＝4，∴m＝，当OA＝OM时，AE＝M'E，∴M'（2，﹣4）即满足条件的点M的坐标为（2，）或（2，﹣4）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质，锐角三角函数，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．25．【分析】（1）证明四边形ABCD是正方形，再证明△ABE≌△CEF，设CF＝x，AB＝a，运用相似三角形的相似比求得a与x的关系，进而根据相似三角形的性质求得面积比；（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，证明△AME∽△ENF，设CF＝x，用x与∠B的正、余弦值表示AM、ME、EN、NF，进而根据相似三角形的性质列出比例式，整理比例式便可得出结果；（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，由∠B＝∠AFE，得，再证明△AME∽△ENF，得出BM＝EN，设菱形ABCD的边长为a，由BM＝EN，得到用cos B的代数式表示a，再结合△AME∽△ENF的比例线段求得a的值便可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠B＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△CEF，∴，∵EC＝3CF，设CF＝x，AB＝a，则EC＝3x，BE＝a﹣3x，∴，解得，a＝4.5x，∴；（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图2，则∠AME＝∠CNF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠B＝∠FCN，设CF＝x，则CE＝3x，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝3x，AB＝BC＝2CE＝6x，∴BM＝AB•cos B＝6x cos B，AM＝AB•sin B＝6x sin B，CN＝CF•cos∠FCN＝x cos B，FN＝CF•sin∠FCN＝x sin B，∴ME＝BE﹣BM＝3x﹣6x cos B，EN＝EC+CN＝3x+x cos B，∵∠AEF＝90°，∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠NEF，∴△AME∽△ENF，∴，即，即，整理得，2sin2B＝3﹣5cos B﹣2cos2B，∴2＝3﹣5cos B，∴cos B＝；（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图3，则∠AME＝∠CNF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠B＝∠FCN，∵∠AEF＝90°，∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠NEF，∴△AME∽△ENF，∴＝，∵∠AFE＝∠B，tan B＝，tan∠AFE＝，∴，∴，∴BM＝EN，设菱形ABCD的边长为a，则AB＝BC＝a，∴BM＝a cos B，CN＝CF•cos∠FCN＝CF•cos B，∴a cos B＝EC+CF•cos B，∵CF＝2，EC＝3CF，∴EC＝6，∴a cos B＝6+2cos B，∴cos B＝，∵，AM＝AB•sin B＝a sin B，EN＝6+2cos B，ME＝a﹣a cos B﹣6，NF＝CF•sin∠FCN＝2sin B，∴，化简得，2a（sin2B+cos2B）＝6a﹣4a cos B﹣12cos B﹣36，2a＝6a﹣4a cos B﹣12cos B﹣36，a﹣a cos B﹣3cos B﹣9＝0，∵cos B＝，∴a﹣﹣﹣9＝0，解得，a＝17，或a＝0（舍），∴菱形的边长为17．【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，关键是构造相似三角形．难度较大．。

2020-2021学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）第I卷（选择题）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列函数中，y是x二次函数的是()A. y=x+2B. y=2x2+1x−10C. y=x2+5xD. y2=x−12.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为()A. 7sin35°B. 7cos35°C. 7tan35°D. 7cos35∘3.二次函数y=ax2+bx−2(a≠0)的图象的顶点在第三象限，且过点(1,0)，设t=a−b−2，则t值的变化范围是()A. −2<t<0B. −3<t<0C. −4<t<−2D. −4<t<04.已知e⃗是单位向量，且a⃗=−2e⃗，b⃗ =4e⃗，那么下列说法错误的是()A. a⃗//b⃗B. |a⃗|=2C. |b⃗ |=−2|a⃗|D. a⃗=−12b⃗5.已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和6，若⊙O1与⊙O2相交，那么圆心距O1O2的取值范围是()A. 2<O1O2<4B. 2<O1O2<6C. 4<O1O2<8D. 4<O1O2<106.美是一种感觉，当人体下半身长与身高比值越接近0.618，越给人一种美感，某女士身高165厘米，下半身长X与身高I的比值是0.6，为尽可能达到好的效果，她应该穿的高跟鞋的高度大约为A. 4厘米B. 6厘米C. 8厘米D. 10厘米第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果x2=y3≠0，那么xy=______．8.计算：32(a⃗−2b⃗ )−4b⃗ =______．9.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是______的(填“上升”或“下降”)10.将抛物线y=(x+2)2−3向右平移3个单位长度，得到的抛物线与y轴的交点坐标是()A.(0,−2)B.(0,−1)C.(0.2)D.(0,3)11.已知两个相似三角形的面积之比是1：4，那么这两个三角形的周长之比是______ ．12.如图所示，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，，则BC=______若AE=3，EC=1，且知DE=7213.在直角坐标系中，已知点P在第一象限内，点P与原点O的距离OP=2，点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为60°，则点P的坐标是______ ．14.若B地在A地的南偏东50∘方向5km处，则A地在B地的方向处.15.已知正六边形的半径为4cm，则它的边长等于________cm．16.如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE//AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是．17.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径画圆．(1)若⊙C与线段AB没有公共点，则r满足的条件是____________；(2)若⊙C 与线段AB 只有一个公共点，则r 满足的条件是___________； (3)若⊙C 与线段AB 有两个公共点，则r 满足的条件是___________． 18. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，sinB =35，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，得到△A 1B 1C ，点A 、B 分别与点A 1、B 1对应，边A 1B 1分别交边AB 、BC 于点D 、E ，如果点E 是边A 1B 1的中点，那么BDB1C=______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 计算：cos30°+sin60°−(tan45°−1)201820. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是对角线BD 上的两点，且BE =DF ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ． (1)用向量a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 表示下列向量：向量CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______，向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______，向量DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______； (2)求作：b ⃗ +c ⃗ ．21.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BC=2，连接CD，求BD的长．22.某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米(即AD=BE=1米)，两台测角仪相距100米(即AB=100米).在某一时刻无人机位于点C(点C与点A、B在同一平面内)，A处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°.求该时刻无人机的离地高度；(单位：米，结果保留整数)；(参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73)23.已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，∠ADE=∠B，求证：AD2=AE⋅AB．24.已知：抛物线y=ax2+bx−3经过点A(7,−3)，与x轴正半轴交于点B(m,0)、C(6m、0)两点，与y轴交于点D．(1)求m的值；(2)求这条抛物线的表达式；(3)点P在抛物线上，点Q在x轴上，当∠PQD=90°且PQ=2DQ时，求点P、Q的坐标．25.已知锐角∠MBN的余弦值为3，点C在射线BN上，BC=25，点A在∠MBN的内部，5且∠BAC=90°，∠BCA=∠MBN.过点A的直线DE分别交射线BM、射线BN于点D、E.点F在线段BE上(点F不与点B重合)，且∠EAF=∠MBN．(1)如图1，当AF⊥BN时，求EF的长；(2)如图2，当点E在线段BC上时，设BF=x，BD=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；(3)联结DF，当△ADF与△ACE相似时，请直接写出BD的长．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数．根据二次函数的定义，可得答案．【解答】A. y=x+2，是一次函数，不合题意；−10，不是二次函数，不合题意；B.y=2x2+1xC.y=x2+5x，是二次函数，符合题意；D.y2=x−1，y不是x的二次函数，不合题意．故选C．2.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，cosB=BC，AB∴BC=AB⋅cosB=7cos35°，故选：B．根据余弦的定义列出算式，计算即可．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：y=ax2+bx−2，当x=0时，y=−2，即抛物线与y轴的交点是(0,−2)，过点(1,0)和点(0,−2)的直线的解析式是y=2x−2，当x=−1时，y=2x−2=−4，而x=−1时，y=ax2+bx+c=a−b+c，∵t=a−b−2，∴−4<a−b+c<0，即−4<t<0，故选：D．先利用待定系数法求出经过点(1,0)和(0,−2)的直线解析式为y=2x−2，则当x=−1时，y=2x−2=−4，再利用抛物线的顶点在第三象限，所以x=−1时，对应的二次函数值为负数，从而得到所以−4<a−b+c<0，再根据抛物线的顶点坐标得出即可．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．4.【答案】C【解析】解：∵a⃗=−2e⃗，b⃗ =4e⃗，b⃗ ，∴a⃗//b⃗ ，|a⃗|=2，a⃗=−12∴A、B、D正确，故选：C．根据平面向量的性质即可一一判断．本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．5.【答案】C【解析】解：两圆半径差为4，半径和为8，两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，所以，4<O1O2<8．故选C．本题直接告诉了两圆的半径及两圆相交，求圆心距范围内的可能取值，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．相交，则R−r<P<R+r.(P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径)．本题考查了由数量关系及两圆位置关系确定圆心距范围内的数的方法，属于基础题，比较简单．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．【解答】解：根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：99+y165+y=0.618，解得：y≈8cm．故选C．7.【答案】23【解析】【试题解析】解：∵x2=y3≠0，∴xy =23．故答案为：23．直接利用已知将比例式变形得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．8.【答案】32a⃗−7b⃗【解析】【分析】实数的运算法则同样适用于平面向量的计算．本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．【解答】解：：32(a⃗−2b⃗ )−4b⃗ =32a⃗−32×2b⃗ −4b⃗ =32a⃗−7b⃗ ．a⃗−7b⃗ ．故答案是：329.【答案】下降【解析】解：∵在y=3x2+2x中，a=3>0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分y随x的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．10.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键．直接利用二次函数的平移规律进而得出函数关系式，进而求出答案．【解答】解：将抛物线y=(x+2)2−3向右平移3个单位长度，得抛物线y=(x−1)2−3，当x=0时，y=−2，∴得到的抛物线与y轴的交点坐标是(0,−2)．故选A．11.【答案】1：2【解析】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴这两个相似三角形的相似比是1：2，∴它们的周长比是1：2．故答案为：1：2．由两个相似三角形的面积比是1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得它们的周长比．此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形周长的比等于相似比性质的应用．12.【答案】143【解析】解：∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，可知：AEAC =DEBC将AE=3，AC=3+1=4DE=7 2代入得：34=72BC∴BC=143故答案为：143根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．13.【答案】(1,√3)【解析】解：作PM⊥x轴于点M，如图所示：∵OP=2，∴sin60°=PMOP =√32，cos60°=OMOP=12，∴PM=√3，OM=1．故P点坐标为：(1,√3).故答案为：(1,√3).作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．本题考查了解直角三角形和坐标与图形性质的知识，难度不大，注意掌握一个角的余弦和正弦的计算方法．14.【答案】北偏西50°，5km【解析】【分析】本题考查的是方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，找准中心是解答此类题的关键．根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．【解答】解：从图中发现∠CAB=50°，故A地在B地的北偏西50°方向5km．故答案为北偏西50°，5km．15.【答案】【解析】【分析】此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键.根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．【解答】解：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的外接圆半径等于4cm，则正六边形的边长是4cm．故答案为4．16.【答案】7【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，关键是根据题意，易得△CDF与四边形AFEB的面积相等，再根据相似三角形的相似比求得它们的面积关系比，从而求DF的长．【解答】解：∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，∵AB//DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF=9，AB=12，∴EF:AB=9:12=3:4，∴△CEF和△CBA的面积比=9:16，设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积=7k，∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，∴S△CDF=7k，∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，∴面积比等于底之比，∴DF:EF=7k:9k=7:9，∵EF=9，∴DF=7．故答案为：7．17.【答案】(1)0<r<2.4或r>4(2)3<r≤4或r=2.4(3)2.4<r≤3．【解析】【分析】(1)要使圆和斜边没有公共点，则有两种情况：①直线和圆相离；②直线和圆相交，但交点不在斜边上，根据题意，求出直角三角形斜边上的高，便可直观得出半径的取值范围；(2)两种情况：①圆与AB相切时；②点A在园内部，点B在圆上或圆外时；(3)要使圆与斜边AB有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于AC即可．【解答】(1)如图，根据勾股定理求得AB=5．∵BC>AC，r=CD=3×4÷5=2.4，若⊙C与线段AB没有公共点，0<r<2.4，或r>4．(2)以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，分两种情况：①圆与AB相切时，即r=CD=3×4÷5=2.4;②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC<r≤BC，即3<r≤4，∴r=2.4或3≤4;(3)以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，即r的取值范围是2.4<r≤3．故答案为(1)0<r<2.4或r>4；(2)3<r≤4或r=2.4；(3)2.4<r≤3．18.【答案】35【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，证△CEB1∽△DEB 是本题的关键．设AC=3x，AB=5x，可求BC=4x，由旋转的性质可得CB1=BC=4x，A1B1=5x，∠ACB=∠A1CB1，由题意可证△CEB1∽△DEB，可得BDB1C =BEB1E=1.5x2.5x=35，即可求解．【解答】解：∵∠ACB=90°，sinB=ACAB =35，∴设AC=3x，AB=5x，∴BC=√AB2−AC2=4x，∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，∴CB1=BC=4x，A1B1=5x，∠ACB=∠A1CB1，∵点E是A1B1的中点，∴CE=12A1B1=2.5x=B1E，∴BE=BC−CE=1.5x，∵∠B=∠B1，∠CEB1=∠BED∴△CEB1∽△DEB∴BDB1C =BEB1E=1.5x2.5x=35，故答案为：35．19.【答案】解：原式=√32+√32−(1−1)2018=√3．【解析】根据特殊角三角函数值，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 20.【答案】(1)−c ⃗ a ⃗ −b ⃗ a⃗ −c ⃗ (2)延长EC 到K ，使得CK =EC ，连接BK ，则向量BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求；【解析】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC ，AD =BC ， ∴∠ADF =∠CBE ， ∵DF =BE ， ∴△ADF≌△CBE ，∴∠AFD =∠CEB ，AF =CE ， ∴∠AFB =∠CED ， ∴AF//CE ，∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−c ⃗ ， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −c ⃗ ， 故答案为−c ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ ，a ⃗ −c ⃗ ．(2)见答案． 【分析】(1)根据平面向量的加法法则计算即可；(2)延长EC 到K ，使得CK =EC ，连接BK ，则向量BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求； 本题考查平行四边形的性质、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：∵∠A 和∠D 所对的弧都是弧BC ，∴∠D =∠A =45°， ∵BD 是直径，∴∠D=∠DBC=45°，∴CB=CD=2，由勾股定理得：BD=√BC2+CD2=2√2．【解析】根据圆周角定理求出∠D=∠A=45°，BD是直径，根据勾股定理计算即可．本题考查的是三角形的外接圆，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．22.【答案】解：如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，∵∠CBA=45°，∴BH=CH，设CH=x，则BH=x．∵在Rt△ACH中，∠CAB=30°，AH=√3CH=√3x∴.√3x+x=100解得：x=√3+1=36.6≈37∴37+1=38m.答：无人机的离地的高约为38m.【解析】本题考查解直角三角形的应用−仰角、俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.过点C作点CH⊥AB于H.设AH=CH=x，根据AB= 100，构建方程即可解决问题．23.【答案】证明：∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠DAE，又∵∠ADE=∠B，∴△ABD∽△ADE，∴ABAD =ADAE，【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．证明△ABD∽△ADE，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可证明．24.【答案】解：(1)当x=0时，y=−3，∴D(0,−3)．设抛物线的解析式为y=a(x−m)(x−6m)．把点D和点A的坐标代入得：6am2=−3①，a(7−m)(7−6m)=−3②，∴a(7−m)(7−6m)=6am2．∵a≠0，∴(7−m)(7−6m)=m2．解得：m=1．(2)∵6am2=−3，∴a=−36m2=−12．将a=−12，m=1代入得：y=−12x2+72x−3．∴抛物线的表达式为y=−12x2+72x−3．(3)如图所示：过点P作PE⊥x轴，垂足为E．设点Q的坐标为(a,0)则OQ=−a−∵∠DQP=90°，∴∠PQO+∠OQD=90°．又∵∠ODQ+∠DQO=90°，∴∠PQE=∠ODQ．又∵∠PEQ=∠DOQ=90°，∴△ODQ∽△EQP．∴QOPE =ODQE=QDQP=12，即−a3=PE6=12，∴QE=6，PE=−2a．∴P的坐标为(a+6,−2a)将点P的坐标代入抛物线的解析式得：−12(a+6)2+72(a+6)−3=−2a，整理得：a2+a=0，解得a=−1或a=0．当a=−1时，Q(−1,0)，P(5,2)；当a=0时，Q(0,0)，P(6,0)．综上所述，Q(−1,0)，P(5,2)或者Q(0,0)，P(6,0)．【解析】(1)先求得点D的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a(x−m)(x−6m)，把点D和点A的坐标代入可求得m的值；(2)由6am2=−3，m=1可求得a的值，然后代入抛物线的解析式即可；(3)过点P作PE⊥x轴，垂足为E.设点Q的坐标为(a,0)则OQ=−a，然后证明△ODQ∽△EQP，依据相似三角形的性质可求得QE=6，PE=−2a.，则P的坐标为(a+6,−2a)，将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，用含a的式子表示出点P的坐标是解题的关键．25.【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴cos∠BCA=cos∠MBN=ACBC =35=，∴AC=3∴AC=15∴AB=√BC2−AC2=20∵S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AF，∴AF=20×1525=12，∵AF⊥BC∴cos∠EAF=cos∠MBN=35=AFAE∴AE=20∴EF=√AE2−AF2=16(2)如图，过点A作AH⊥BC于点H，由(1)可知：AB=20，AH=12，AC=15，∴BH=√AB2−AH2=16，∵BF=x，∴FH=16−x，CF=25−x，∴AF2=AH2+FH2=144+(16−x)2=x2−32x+400，∵∠EAF=∠MBN，∠BCA=∠MBN∴∠EAF=∠BCA，且∠AFC=∠AFC，∴△FAE∽△FCA∴AFFC =EFAF，∠AEF=∠FAC，∴AF2=FC×EF∴x2−32x+400=(25−x)×EF，∴EF=x2−32x+40025−x∴BE=BF+EF=400−7x 25−x∵∠MBN=∠ACB，∠AEF=∠FAC，∴△BDE∽△CFA∴BDFC=BEAC∴y=400−7x25−x∴y=400−7x15(0<x≤252)(3)如图，若△ADF∽△CEA，∵△△ADF∽△CEA，∴∠ADF=∠AEC，∵∠EAF=∠MBN，∠EAF+∠DAF=180°，∴∠DAF+∠MBN=180°，∴点A，点F，点B，点D四点共圆，∴∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠AEC=∠ABF，∴AB=AE，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，且∠ABF=∠AEC，∠ACB=∠MBN=∠EAF，∴∠AEC+∠EAF=90°，∠AEC+∠MBN=90°，∴∠BDE=90°=∠AFC，∵S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AF，∴AF=20×1525=12，∴BF=√AB2−AF2=16，∵AB=AE，∠AFC=90°，∴BE=2BF=32，∴cos∠MBN=BDBE =35，∴BE=965，如图，若△ADF∽△CAE，∵△ADF∽△CAE ，∴∠ADF =∠CAE ，∠AFD =∠AEC ，∴AC//DF∴∠DFB =∠ACB ，且∠ACB =∠MBN ，∴∠MBN =∠DFB ，∴DF =BD ，∵∠EAF =∠MBN ，∠EAF +∠DAF =180°，∴∠DAF +∠MBN =180°，∴点A ，点F ，点B ，点D 四点共圆，∴∠ADF =∠ABF ，∴∠CAE =∠ABF ，且∠AEC =∠AEC ，∴△ABE∽△CAE∴AB AC =AE CE =BE AE =2015=43设CE =3k ，AE =4k ，(k ≠0)∴BE =163k ，∵BC =BE −CE =25∴k =757∴AE =3007，CE =2257，BE =4007∵∠ACB =∠FAE ，∠AFC =∠AFE ，∴△AFC∽△EFA ，∴AF EF =CF AF =AC AE =153007=720， 设AF =7a ，EF =20a ，∴CF =4920a ，∵CE =EF −CF =35120a =2257，∴a =15007×117，∴EF =30000117×7， ∵AC//DF ，∴AC DF =CE EF ，∴15DF =2257300007×117， ∴DF =2000117，综上所述：当BD 为965或2000117时，△ADF 与△ACE 相似【解析】(1)由锐角三角函数可求AC =15，根据勾股定理和三角形面积公式可求AB ，AF 的长，即可求EF 的长；(2)通过证△FAE∽△FCA 和△BDE∽△CFA ，可得y 关于x 的函数解析式；(3)分△ADF∽△CEA ，△ADF∽△CAE 两种情况讨论，通过等腰三角形的性质和相似三角形性质可求BD 的长．本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．。

2020年上海市松江区中考一模数学试卷1.（2020·上海松江区·模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是( )A．a>0，b>0，c>0B．a<0，b<0，c<0C．a<0，b>0，c>0D．a<0，b<0，c>02.（2020·上海松江区·模拟）如果点A(1,3)，B(m,3)是抛物线y=a(x−2)2+ℎ上两个不同的点，那么m的值为( )A．2B．3C．4D．53.（2020·上海松江区·模拟）在以O为坐标原点的直角坐标平面内，有一点A(3,4)，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么cosα的值为( )A．35B．43C．45D．344.（2020·上海松江区·模拟）下列两个三角形不一定相似的是( )A．两条直角边比都是2:3的两个直角三角形B．腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形C．有一个内角为50∘的两个直角三角形D．有一个内角为50∘的两个等腰三角形5.（2020·上海松江区·模拟）如果a⃗+b⃗⃗=c⃗，a⃗−b⃗⃗=3c⃗，且c⃗≠0⃗⃗，下列结论正确的是( )A．∣a⃗∣=∣∣b⃗⃗∣∣B．a⃗+2b⃗⃗=0C．a⃗与b⃗⃗方向相同D．a⃗与b⃗⃗方向相反6.（2020·上海松江区·模拟）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么sinα的值为( )A ． 34B ． 12C ． 23D ． 327. （2020·上海松江区·模拟）已知：xy =23，那么 2x−y x+y= ．8. （2020·上海松江区·模拟）已知线段 a 是线段 b ，c 的比例中项，如果 a =2，b =3，那么 c = ．9. （2020·上海松江区·模拟）若两个相似三角形的面积比为 3:4，则它们的相似比为 ．10. （2020·上海松江区·模拟）已知点 P 是线段 AB 上黄金分割点，AP >PB ，且 AP =2，那么PB = ．11. （2020·上海松江区·模拟）已知 Rt △ABC 中，若 ∠C =90∘，AC =3，BC =2，则 ∠A 的余切值为 ．12. （2020·上海松江区·模拟）已知二次函数 f (x )=12x 2+bx +c 图象的对称轴为直线 x =4，则f (1) f (3)．（填“>”或“<”）13. （2020·上海松江区·模拟）在直角坐标平面中，将抛物线 y =2(x +1)2 先向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ．14. （2020·上海松江区·模拟）如图，已知 D 是 △ABC 的边 AC 上一点，且 AD =2DC ．如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，那么向量 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于 a ⃗，b⃗⃗ 的分解式是 ．15.（2020·上海松江区·模拟）如图，在正方形网格中，点A，B，C是小正方形的顶点，那么tan∠BAC的值为．16.（2020·上海松江区·模拟）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米．那么斜面AB的坡度为．17.（2020·上海松江区·模拟）以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外做等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”．如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距” ．18.（2020·上海松江区·模拟）如图，矩形ABCD中，AD=1，AB=k．将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转90∘得到矩形AʹBCʹDʹ．连接ADʹ，分别交边CD，AʹB于E，F．如果AE=√2DʹF，那么k=．．19.（2020·上海松江区·模拟）计算：3−(2cos45∘)2+3tan30∘2sin260∘−cos60∘−cot30∘20.（2020·上海松江区·模拟）已知二次函数y=x2−4x−1．(1) 将函数y=x2−4x−1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象顶点B坐标；(2) 在平面直角坐标系中xOy中，设抛物线y=x2−4x−1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A．求四边形OABC的面积．21.（2020·上海松江区·模拟）如图：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90∘，AD=AB=13，BD=24．求边DC的长．22.（2020·上海松江区·模拟）如图，小岛A在港口P的南偏西45∘方向上，一艘船从港口P，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B处，在B处测得小岛A 在它的南偏西60∘的方向上．小岛A离港口P有多少海里？23.（2020·上海松江区·模拟）已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2=CF⋅CA．(1) 求证：EF∥BD；(2) 如果AC⋅CF=BC⋅CE，求证：BD2=DE⋅BA．24.（2020·上海松江区·模拟）如图，已知抛物线y=−x2+bx+c过点A(3,0)、点B(0,3)．点M(m,0)在线段OA上（与点A，O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，连接BQ．(1) 求抛物线表达式；(2) 连接OP，当∠BOP=∠PBQ时，求PQ的长度；(3) 当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．25.（2020·上海松江区·模拟）已知tan∠MON=2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD=2，AB=m，CF⊥ON，垂足为点F．(1) 如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E．当m=2时，求线段EF的长度；(2) 如图（2），连接OC，当m=2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；(3) 如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值．答案1. 【答案】C【解析】抛物线开口向下a<0；对称轴在y轴右侧，b>0（与a异号）；图象交y正半轴，c>0．2. 【答案】B【解析】∵点A(1,3)，B(m,3)是抛物线y=a(x−2)2+ℎ上两个不同的点，∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，∴由顶点式可知对称轴是x=2，对称轴位于A点的右侧，∴2<m，=2，解之得：m=3．∴1+m23. 【答案】A【解析】∵在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A(3,4)，∴OA=√32+42=5，．∴cosα=354. 【答案】D【解析】A．两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；B．腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；C．有一个内角为50∘的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；D．有一个内角为50∘的两个等腰三角形，内角是50∘的等腰三角形需要注意的是，这个角是顶角还是底角，情况不一样不一定相似．5. 【答案】D【解析】将a⃗+b⃗⃗=c⃗代入a⃗−b⃗⃗=3c⃗，计算得：a⃗=−2b⃗⃗（方向相反）．6. 【答案】C【解析】如图示：作BC⊥CD交CD于C点，AD⊥CD交CD于D点，由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，则有AB=AE，AD=1，，∴AB=AE=1sinα∴S阴影=AB⋅AD=1sinα×1=1.5，解之得：sinα=23．7. 【答案】15【解析】∵xy =23，∴设x=2k，则y=3k，代入2x−yx+y 得：2×2k−3k2k+3k=k5k=15．8. 【答案】43【解析】∵线段a是线段b，c的比例中项，∴a2=bc，即22=3×c，∴c=43．9. 【答案】√32【解析】∵两个相似三角形面积的比为3:4，∴它们的相似比=√34=√32．10. 【答案】√5−1【解析】由于P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=AB×√5−12=2，∴PB =AB −PA =√5+1−2=√5−1．11. 【答案】 32【解析】如图．∵∠C =90∘，AC =3，BC =2，cot∠A =AC BC=32．12. 【答案】 >【解析】 ∵ 二次函数 f (x )=12x 2+bx +c 的图象开口向上，对称轴为直线 x =4， ∴ 当 x 的取值越靠近 4 函数值就越小，反之越大， ∴f (1)>f (3)．13. 【答案】 y =2x 2+1【解析】根据二次函数图象平移的特征：函数平移遵循“上加下减，左加右减”则抛物线 y =2(x +1)2 平移后为：y =2[(x −1)+1]2+1=2x 2+1．14. 【答案】 23b ⃗⃗−a ⃗【解析】 ∵AD =2DC ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 根据题意，可得：DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗−23b⃗⃗． ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23b ⃗⃗−a ⃗．15. 【答案】 2【解析】如图示： 连接 BC ， 根据题意可得： AC 2=32+12=10， AB 2=12+12=2， BC 2=22+22=8， ∴AB 2+BC 2=AC 2，∴在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAB =√8√2=2．16. 【答案】23【解析】斜面AB的坡度为：2030=23．17. 【答案】3√2+√63【解析】如图示：等腰直角三角形的腰长为2，即AB=AC=2，∵△DBA和△EAC是等边三角形，△ABC等腰直角三角形∴BC=2√2，DM=EN=√3．延长DF交边BC于点F．∵G1，G2分别是等边△ABD和等边△ACE的重心，∴DM垂直且平分AB，EN垂直且平分AC，G1M=G2N=√33，又∵∠BAC=90∘，∴AC∥DF．∴点F是BC的中点．同理可得EN的延长线也交BC于点F．∴MF=12AC=1，FN=12AB=1，MN=12BC=√2．∵FNNG2=√33，FMMG1=√33，∴FNNG2=FMMG1．∴MN∥G1G2．∴MNG1G2=FMFG1，即√2G1G2=1+√33，解得G1G2=√2+√63．18. 【答案】√2+1【解析】∵将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转90∘得到矩形AʹBCʹDʹ，∴AD=AʹDʹ=1，AB=AʹB=k，∠Aʹ=∠DAB=90∘=∠DCB=∠ABC，∴AʹDʹ∥BA∥CD，∴∠AʹDʹF=∠FEC=∠DEA，且∠D=∠Aʹ=90∘，∴△ADE∽△FAʹDʹ，∴ADAʹF =DEAʹDʹ=AEDʹF，且AE=√2DʹF，∴DE=√2AʹDʹ=√2，AʹF=√2=√22，∵∠Aʹ=∠DCF=90∘，∠AʹFDʹ=∠EFC，∴△AʹDʹF∽△CEF，∴ECAʹDʹ=FCAʹF，∴k−√21=k−1−√22√22，∴k=√2+1．19. 【答案】原式=3−(2×√22)2+3×√332×(√32)2−12−√3=−2−√3.20. 【答案】(1) y=x2−4x−1=(x−2)2−5，该函数图象顶点B坐标为(2,−5)．(2) 如图．令y=0，x=−1，∴C(0,−1)．∵B(2,−5)，∴A(2,0)．∴四边形OABC的面积=12×(AB+OC)×OA=12×6×2=6．21. 【答案】如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠ABD=∠DBC，∵AE⊥BD，AB=AD，∴∠AEB=∠C=90∘，BE=DE=12，∴AE=√AB2−BE2=√169−144=5，∵∠ABD=∠DBC，∠AEB=∠C=90∘，∴△ABE∽△DCB，∴ABBD =AECD，即：1324=5CD，∴CD=12013．22. 【答案】过点A作AD⊥PB于点D，根据题意得：PB=12×1.5=18（海里）．设BD=x，则AD=√3x，∴x+18=√3x，解得：x=9+9√3，∴AD=27+9√3，∵∠APD=45∘，∴ADAP =27+9√3AP=√22．解得：AP=27√2+9√6．23. 【答案】(1) ∵DE ∥AB ，∴CD CA =CE CB ，∵CD 2=CF ⋅CA∴CD CA =CF CD ，∴CE CB =CF CD ，∴EF ∥BD ．(2) ∵AC ⋅CF =BC ⋅CE ，∴AC CE =BC CF ，又 ∠C =∠C ，∴△CEF ∽△CAB ，∴∠CEF =∠A ，∵EF ∥BD ，∴∠CEF =∠EBD ，∴∠EBD =∠A ，∵ED ∥AB ，∴∠EDB =∠DBA ，且 ∠EBD =∠A ，∴△ABD ∽△BDE ，∴BD DE =AB BD ，∴BD 2=BA ⋅DE ．24. 【答案】(1) ∵ 将点 A (3,0) 、点 B (0,3) 分别代入抛物线解析式y =−x 2+bx +c得 {−9+3b +c =0,c =3.解之得：{c =3,b =2,∴ 抛物线的解析式为 y =−x 2+2x +3．(2) ∵∠BOP =∠PBQ 且 MQ ∥OB ，∴∠OBP =∠BPQ ，∴△OBP ∽△BPQ ，设 Q (x,−x 2+2x +3)，∵P 点在直线 AB 上，并 A (3,0)．B (0,3)，则直线 AB 的解析式为：y =−x +3，∴P (x,3−x )，∴BP =√2x ，OB =3，PQ =−x 2+3x ，∴OBBP =BPBQ，即√2x=√2x−x2+3x，∴x=0或95（0舍去），∴PQ=5425．(3) ∵M(m,0)，P(m,3−m)，Q(m,−m2+2m+3)，∴BP=√2m，PQ=−m2+3m且∠BPQ=45∘，∴当△BPQ为等腰三角形时，存在如下情况：①如图1，当BQ=PQ时，即∠PBQ=∠BPQ=45∘，∴△BPQ为等腰直角三角形，∴−m2+2m+3=3，∴m=2．②当BP=PQ时，即√2m=−m2+3m，即m=3−√2或0（0舍去）．③如图2，当BP=BQ时，∠BQP=∠BPQ=45∘，根据PM=3−m，OM=m，可得PQ=2m，则有−m2+2m+3=3+m，∴m=1．综上所述，m的值为2，3−√2或1．25. 【答案】(1) 如图1，延长FC交OM于点G．∵∠BCG+∠CGB=90∘，∠MON+∠CGB=90∘，∴∠BCG=∠MON，则tan∠BCG=tan∠MON=2．∴BG=2BC=4，CG=√5BC=2√5，在Rt△AOE中，设OE=a，由tan∠MON=2，可得OA=√5a，则OG=√5a+6，OF=√5=a+6√55，∴EF=OF−OE=6√55．(2) 如图2，延长FC交OM于点G．由（1）得CG=2√5．∵CD平分∠FCO，∴∠FCD=∠DCO，∵CD∥OM，∴∠FCD=∠CGO，∠DCO=∠COG，∴∠CGO=∠COG，∴CO=CG=2√5．在Rt△COB中，由BC2+BO2=OC2，得22+(√5a+2)2=(2√5)2，解得 a 1=−6√55（舍去），a 2=2√55． ∴OF =a +6√55=8√55，cos∠COF =OF OC =45． ∴sin∠COF =35．(3) 当 D 在 ∠MON 内部时，①如图 3−1，△FDA ∽△FDC 时，此时 CD =AD =2，∴m =2；②当 △FDA ∽△CDF 时，如图 3−2，延长 CD 交 ON 于点 Q ，过 F 作 FP ⊥CQ 于 P ，则 ∠FDC =∠FDA =135∘，∴∠FDP =45∘，∵PC =FP ⋅tan∠PFC =FP ⋅tan∠MON =2FP =2DP =CD +DP ，∴FP =PD =CD =m ，∴FD =√2m ，∵△FDA ∽△CDF ，∴FD DA =CD FD ，∴FD =√AD ⋅CD =√2m ，∴√2m =√2m ，∴m =1；当 D 在 ∠MON 外部时，∠ADF >90∘，∠DFC >90∘，∴∠ADF =∠DFC ，∴∠DFI =∠FDI ，ID =IF ，如图 3−3，△FDA ∽△DFC 时，此时 △FDA ≌△DFC ，∴CF =AD =2，∵∠DAF =∠FCD =∠FHD ，∴A ，O 重合，延长 BC 交 ON 于 R ，∴FR =2CF =4，CR =2√5，BR =2+2√5，∴m =CD =AB =12BR =1+√5； 如图 3−4，△FDA ∽△CFD 时，设 CF =2√5t (t >0)，延长 BC 交 ON 于 R ，过 F 作 FS ⊥CD 于 S ，∵△DFC ≌△FDH ，∴DH =FC ，∴ID =IF =12CF =√5t ，∴IS =t ，FS =2t ，CS =4t ，DS =(√5+1)t ，DH =FC =2√5t ，∵△FDA ∽△CFD ，∴ADDF =DFFC，∴DF2=AD⋅FC=2DH=4√5t，∵DF2=DS2+FS2，∴4√5t=4t2+(√5+1)2t2，解得t1=√5−12，t2=0（舍去）∴DH=2√5t=5−√5>2=AD，矛盾．综上所述：m=1或m=2或m=1+√5．。

2020年上海市松江区中考数学一模试卷答案解析版一、选择题1.已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么下列判断正确的A. 0a >，0b >，0c >B. 0a <，0b <，0c <C. 0a <，0b >，0c >D. 0a <，0b <，0c >【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向、对称轴的位置、抛物线与y 轴的交点位置进行判断．【详解】解：抛物线开口向下a ＜0；对称轴在y 轴右侧，b ＞0（与a 异号）；图像交y 正半轴，c ＞0， 故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．2.如果点A （1，3）、B （m ，3）是抛物线()22y a x h =-+上两个不同的点，那么m 的值为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的对称性，抛物线上的点，纵坐标相同，则关于对称轴对称，由顶点式可知对称轴是x=2，则可求出.【详解】解：∵点A（1，3）、B（m，3）是抛物线()22y a x h=-+上两个不同的点，∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，∴由顶点式可知对称轴是2x=，对称轴位于A点的右侧，∴2m<，∴122m+=，解之得：3m=，故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象的对称性等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．3.在以O为坐标原点的直角坐标平面内，有一点A（3，4），射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么cosα的值为A. 35B.43C.45D.34【答案】A【解析】【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【详解】解：∵在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（3，4）∴5OA==，∴35 cosα=故选：A.【点睛】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识．4.下列两个三角形不一定相似的是A. 两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形B. 腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形C. 有一个内角为50︒的两个直角三角形D. 有一个内角为50︒的两个等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形相似的定义判定，用排除法求解．【详解】解：A. 两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意； B. 腰与底比都是2:3的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；C. 有一个内角为50︒的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；D. 有一个内角为50︒的两个等腰三角形，内角是50︒的等腰三角形需要注意的是，这个角是顶角还是底角，情况不一样不一定相似. 故选：D.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．5.如果a b c +=r r r ，3a b c -=rr r ，且0c ≠r r ，下列结论正确的是A. =a b r rB. 20a b +=r rC. a r与b r方向相同 D. a r与b r方向相反【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的性质进行计算判断即可.【详解】解：将a b c +=r r r 代入3a b c -=r r r ，计算得：-2a b =r r（方向相反）.故选：D【点睛】本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.6.如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部的分（阴影部分）的面积是1.5，那么sin α的值为A.34B.12C.23D.32【答案】C 【解析】 【分析】重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AE ，再根据面积求出sin α． 【详解】解：如图示：作BC CD ⊥交CD 于C 点，AD CD ⊥交CD 于D 点，由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形， 则有AB AE =，1AD =， ∴1sin AB AE α==∴1=1 1.5sin S AB AD α=⨯=g 阴影 解之得：2sin 3α=， 故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，三角函数的应用，判断出阴影部分是一个菱形是解题的关键．二、填空题7.已知：23x y =，那么2x yx y -=+ ． 【答案】15【解析】 【分析】设2x k =，3y k =，代入求解即可. 【详解】解：∵23x y = ∴设2x k =，则3y k =，代入2x yx y-+ 得：22312355k k k k k k ⨯-==+，故答案为：15【点睛】本题考查了比例性质，根据题意利用参数设2x k =，3y k =是解题的关键. 8.已知线段a 是线段b 、c 比例中项，如果2a =，3b =，那么c = ．【答案】43【解析】 【分析】根据比例中项的定义可得a bc =2，从而易求c ．【详解】解：∵线段a 是线段b 、c 的比例中项， ∴a bc =2， 即223c =⨯， ∴43c =， 故答案是：43【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义． 9.若两个相似三角形面积比为3:4，则它们的相似比为 ．的【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可 【详解】解：∵两个相似三角形面积的比为3:4，∴它们的相似比=【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 10.已知点P 是线段AB 上的黄金分割点，AP PB >，且2AP =，那么PB =________.1； 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则AP AB ，代入数据即可得出AP 的长，于是得到结论．【详解】由于P 为线段AB 的黄金分割点，且AP 是较长线段；则AP ＝＝2，∴AB 1∴PB ＝AB−PA 11，1.【点睛】本题考查黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．11.已知Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝2，则∠A 的余切值为 ． 【答案】32【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出CcotA ACB =即可得出答案． 【详解】解：如图，∵∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝2，3cot 2AC A BC ∠==， 故答案为：32.【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．12.已知二次函数()212f x x bx c =++图像的对称轴为直线4x =，则()1f ()3f ．（填“＞”或“＜”）【答案】> 【解析】 【分析】根据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案． 【详解】解：∵二次函数()212f x x bx c =++的图象开口向上，对称轴为直线4x =， ∴当x 的取值越靠近4函数值就越小，反之越大， ∴()1f >()3f ， 故答案为：＞．【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴及开口方向确定其增减性． 13.在直角坐标平面中，将抛物线()221y x =+先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ． 【答案】221y x =+ 【解析】 【分析】根据二次函数图像平移的特征：函数平移遵循“上加下减，左加右减”求解即可. 【详解】解：根据二次函数图像平移的特征：函数平移遵循“上加下减，左加右减”则抛物线()221y x =+平移后为：()22211121y x x =-++=+⎡⎤⎣⎦故答案为：221y x =+【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．14.如图，已知D 是△ABC 的边AC 上一点，且AD ＝2DC ．如果AB a =u u u rr，AC b =u u u r r，那么向量BD u u u r 关于a r 、b r的分解式是 ．【答案】23b a -r r【解析】 【分析】根据向量的运算法则计算即可. 【详解】解：∵AD ＝2DC ，∴23AD AC =u u u r u u u r ，根据题意，可得：2233DB AB a AC a b AD -=-=-=u u u r u u u r u u u r r u u u r r r∴23B b a D =-u u u r r r ，故答案为：23b a -r r【点睛】本题考查的是向量的运算法则，熟悉向量的计算遵循三角形法则是解题的关键. 15.如图，在正方形网格中，点A ，B ，C 是小正方形的顶点，那么tan ∠BAC 的值为 ．【答案】2 【解析】 【分析】在正方形网格中构造一个∠BAC 为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义求解． 【详解】解：如图示：连接BC ，根据题意可得： 2223110AC =+= 222112AB =+=222228BC =+=∴222AB BC AC += ∴90ABC ∠=o ，∴在Rt △ABC 中，2BC tan BAC AB ∠== 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．16.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米.那么斜面AB 的坡度为 ．【答案】23【解析】 【分析】根据坡度的概念计算，得到答案． 【详解】解：斜面AB 的坡度为：202303=， 故答案为：23． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比是解题的关键．17.以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外做等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”.如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距” ．【解析】 【分析】延长DF 交边BC 于点F ，根据等腰直角三角形的腰长为2，DBA V 和EAC V 是等边三角形，可以求得12G M G N =并且可证MN ∥12G G ，利用平行线之间的线段对应成比例即可求解.【详解】解：如图示：等腰直角三角形的腰长为2， 即：2AB AC == ，∵DBA V 和EAC V 是等边三角形，ABC V 等腰直角三角形 ∴，延长DF 交边BC 于点F∵12G G 、 分别是等边△ABD 和等边△ACE 的重心 ∴DM 垂直且平分AB ，EN 垂直且平分AC，12G M G N == 又∵∠BAC=90° ∴AC ∥DF∴点F 是BC 的中点同理可得EN 的延长线也交BC 于点F∴111MF AC 1FN AB 1MN BC 222======，，∵2FN NG1FM MG =∴21FN FMNG MG = ∴MN ∥12G G∴121MN FM G G FG =12=，解得12G G = 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，重心的性质和平行线的性质，熟悉相关性质定理，灵活运用是解题的关键.18.如图，矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝k .将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A BC D '''．联结AD '，分别交边CD ，AB '于E 、F ．如果AEF '，那么k＝ ．【答案】1k =【解析】 【分析】由矩形的性质和旋转的性质可求AD=A'D'=1，AB=A'B=k ，∠A'=∠DAB=90°=∠DCB=∠ABC ，通过证明△ADE ∽△FA'D'，可得AD DE AEA F A D D F''=''=，可求DE ，A'F 的长，通过证明△A'D'F ∽△CEF ，由相似三角形的性质可求解．【详解】解：∵将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A′BC′D′， ∴AD=A'D'=1，AB=A'B=k ，∠A'=∠DAB=90°=∠DCB=∠ABC ， ∴A'D'∥BA ∥CD∴∠A'D'F=∠FEC=∠DEA ，且∠D=∠A'=90°， ∴△ADE ∽△FA'D'， ∴AD DE AEA F A D D F''=''=，且AEF '，∴''DE D =='A F AD ==， ∵∠A'=∠DCF=90°，∠A'FD'=∠EFC ， ∴△A'D'F ∽△CEF ， ∴EC FCA D A F='''，1k -=∴1k =1【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求DE ，A'F 的长是本题的关键．三、解答题19.计算：()2232cos 453tan 302sin 60cos60cot 30-︒+︒︒-︒-︒【答案】2-【解析】 【分析】利用特殊锐角三角函数值计算求解即可.【详解】解：原式=223232122⎛-+ ⎝⎭=-⨯--⎝⎭【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值的计算，熟知特殊锐角三角函数值是解题的关键. 20.已知二次函数241y x x =--.（1）将函数241y x x =--的解析式化为()2y a x m k =++的形式，并指出该函数图像顶点B 坐标；（2）在平面直角坐标系中xOy 中，设抛物线241y x x =--与y 轴交点为C ，抛物线的对称轴与x 轴交点为A .求四边形OABC 的面积. 【答案】（1）()225y x =--，B （2，－5）；（2）6.【解析】 【分析】（1）利用配方法把将二次函数y=x 2-4x-1的解析式化为y=a （x+m ）2+k 的形式，利用二次函数的性质即可得出答案；（2）求出C 点，A 点坐标，则四边形OABC 的面积可求出． 【详解】解：（1）()224125y x x x =--=--，该函数图象顶点B 坐标为（2，-5）； （2）如图，令y=0，x=-1， ∴C （0，-1）， ∵B （2，-5）， ∴A （2，0）， ∴四边形OABC 的面积()6126122AB OC OA =⨯+⨯=⨯⨯= ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键．21.如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，AD ＝AB ＝13，BD ＝24.求边DC 的长.【答案】12013CD = 【解析】【分析】由AD∥BC得出∠ADB=∠DBC，再由AB=AD得出∠ADB=∠ABD，从而∠ABD=∠DBC，另外AE⊥BD，故∠AEB=∠C=90°，可证△ABE∽△DCB，可得AB AEBD CD=，即可求DC的长．【详解】解：如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠ABD=∠DBC，∵AE⊥BD，AB=AD，∴∠AEB=∠C=90°，BE=DE=12，∴221691445AE AB BE=-=-=，∵∠ABD=∠DBC，∠AEB=∠C=90°，∴△ABE∽△DCB，∴AB AE BD CD=即：13524CD=∴12013 CD=.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．22.如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向上，一艘船从港口P，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°的方向上.小岛A离港口P有多少海里？【答案】AP=【解析】【分析】作AD⊥PB于D，设BD=x海里，，则AD=，根据45∠=o可得AD=PD，列出方APD程，求出x的值，根据勾股定理计算即可．【详解】解：过点A作AD⊥PB于点D，PB=⨯=（海里）根据题意得：12 1.518设BD=x，则AD=，∴18x+=,解得：9x=+∴27AD=+∵45∠=o，APD∴2AD AP =解得，AP =【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23.已知：如图，点D 、F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ，2CD CF CA =⋅.（1）求证：EF ∥BD ；（2）如果AC CF BC CE ⋅=⋅，求证：2BD DE BA =⋅.【答案】详见解析 【解析】 【分析】（1）由平行线分线段成比例可得CD CE CA CB =，由2•CD CF CA =，可得CD CFCA CD=，可证EF ∥BD ；（2）根据AC·CF=BC·CE 可得△CEF ∽△CAB ，并可证得∠EDB ＝∠DBA ，则可证明△BAD ∽△DBE ，可得BD ABDE BD=，即可得结论． 详解】证明（1）∵DE ∥AB ∴CD CECA CB= ∵2•CD CF CA = ∴CD CFCA CD = ∴CE CFCB CD=∴EF∥BD（2）∵AC·CF=BC·CE∴AC BCCE CF=，又∠C=∠C，∴△CEF∽△CAB∴∠CEF＝∠A∵EF∥BD∴∠CEF＝∠EBD∴∠EBD＝∠A∵ED∥AB∴∠EDB＝∠DBA，且∠EBD＝∠A，∴△ABD∽△BDE∴BD AB DE BD=∴2•BD BA DE=.【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．24.如图，已知抛物线y＝-x2＋bx＋c过点A(3, 0)、点B(0, 3)．点M(m, 0)在线段OA上（与点A、O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度；（3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．【答案】(1) y ＝-x 2＋2x ＋3；(2) 5425PQ =；(3) m 的值为2、3或1. 【解析】 【分析】（1）将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y ＝-x 2＋bx ＋c ，化简求出b ，c 的值即可；（2）根据∠BOP ＝∠PBQ 且MQ ∥OB ，可证△OBP ∽△BPQ ，可设Q （x ，-x 2＋2x ＋3），求出直线AB 的解析式，则可得P 的坐标为(x ，3－x)，可得BP x ，OB ＝3，PQ ＝-x 2＋3x ，利用相似三角形的对应边成立比例即可求解；（3）分三种情况讨论：①当BQ ＝PQ 时，②当BP ＝PQ 时，③当BP ＝BQ 时，然后分别求解即可.【详解】（1）∵将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y ＝-x 2＋bx ＋c 得9303b c c -++=⎧⎨=⎩ ，解之得：32c b =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y ＝-x 2＋2x ＋3 （2）∵∠BOP ＝∠PBQ 且MQ ∥OB ∴∠OBP ＝∠BPQ ∴△OBP ∽△BPQ 设Q （x ，-x 2＋2x ＋3）∵P 点在直线AB 上，并A (3, 0)、B (0, 3)， 则直线AB 的解析式为：3y x =-+ ∴ P (x ，3－x)∴BP x ，OB ＝3，PQ ＝-x 2＋3x∴OB BPBP PQ = 23x x=-+ ∴905x =或（0舍去）∴5425PQ =（3）∵M （m ，0），P （m ，3－m ），Q （m ，-m 2＋2m ＋3）∴BP m ，PQ ＝-m 2＋3m 且∠BPQ ＝45° ∴当△BPQ 为等腰三角形时，存在如下情况： ①如图1，当BQ ＝PQ 时，即∠PBQ ＝∠BPQ ＝45° ∴△BPQ 为等腰直角三角形 ∴-m 2＋2m ＋3＝3 ∴m ＝2②当BP ＝PQ 时,m ＝-m 2＋3m ，即30m =或（0舍去） ③如图2，当BP ＝BQ 时，∠BQP ＝∠BPQ ＝45°根据3PM m =-，OM m =，可得2PQ m =则有2233-++=+，m m m∴m＝1综上所述，m的值为2、3或1.【点睛】本题考查了二次函数与几何图形结合，三角形的相似，特殊角使用，以及等线段的关系转化问题，懂得综合讨论是解题的关键．25.已知tan∠MON=2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD=2，AB=m，CF⊥ON，垂足为点F.（1）如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E. 当m=2时，求线段EF的长度；图（1）（2）如图（2），联结OC，当m=2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；图（2）（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值.图（3）【答案】（1）EF （2）3sin 5COF ∠=；（3）1或2或1+. 【解析】 【分析】（1）如图1，延长FC 交OM 于点G ，证∠BCG=∠MON ，在Rt △AOE 中，设OE=a ，可求得OA ，OG ，OF 的长，则EF OF OE =-=； （2）如图2，延长FC 交OM 于点G ，由（1）得CG =CO CG ==Rt △COB 中，由勾股定理求出a 的值，得出OF 的长，可求出cos ∠COF 的值，进一步推出sin ∠COF 的值；（3）需分情况讨论：当D 在∠MON 内部时，△FDA ∽△FDC 时，此时CD=AD=2，m=2；当△FDA ∽△CDF 时，延长CD 交ON 于点Q ，过F 作FP ⊥CQ 于P ，可利用三角函数求出m 的值；当D 在∠MON 外部时，可利用相似的性质等求出m 的值． 【详解】解：解：（1）如图1，延长FC 交OM 于点G ，90BCG CGB ∠+∠=︒Q ，90MON CGB ∠+∠=︒， BCG MON ∴∠=∠，则tan tan 2BCG MON ∠=∠=，24BG BC ∴==，CG ==在Rt AOE ∆中，设OE a =，由tan 2MON ∠=，可得OA ，则6OG =+，OF a ==+，EF OF OE ∴=-=（2）如图2，延长FC 交OM 于点G ，由（1）得CG =CD Q 平分FCO ∠，FCD DCO ∴∠=∠， //CD OM Q ，FCD CGO ∴∠=∠，DCO COG ∠=∠， CGO COG ∴∠=∠，CO CG ∴==，在Rt COB ∆中，由222BC BO OC +=， 得22222)++=，解得1a =（舍去），2a =，OF a ∴=+=， 4cos 5OF COF OC ∠==， 3sin 5COF ∴∠=；（3）当D 在MON ∠内部时， ①如图31-，FDA FDC ∆∆∽时，此时2CD AD ==，2m ∴=；②当FDA CDF ∆∆∽时， 如图32-，延长CD 交ON 于点Q ，过F 作FP CQ ⊥于P ， 则135FDC FDA ∠=∠=︒，45FDP ∴∠=︒，tan tan 22PC FP PFC FP MON FP DP CD DP =∠=∠===+Q g g ， FP PD CD m ∴===，FD ∴=，FDA CDF ∆∆Q ∽，∴FD CDDA FD=，FD ∴==∴，1m ∴=；当D 在MON ∠外部时，90ADF ∠>︒，90DFC ∠>︒，ADF DFC ∴∠=∠， DFI FDI ∴∠=∠，ID IF =，如图33-，FDA DFC ∆∆∽时，此时FDA DFC ∆≅∆， 2CF AD ∴==，DAF FCD FHD ∠=∠=∠Q ，A ∴、O 重合，延长BC 交ON 于R ，24FR CF ∴==，CR =2BR =+ 112m CD AB BR ∴====+如图34-，FDA CFD ∆∆∽时，设(0)CF t =>，延长BC 交ON 于R ，过F 作FS CD ⊥于S ，DFC FDH ∆≅∆Q ， DH FC ∴=，12ID IF CF ∴==，IS t ∴=，2FS t =，4CS t =，1)DS t =，DH FC ==， FDA CFD ∆∆Q ∽，∴AD DFDF FC=，22DF AD FC DH ∴===g ，222DF DS FS =+Q ，22241)t t ∴=+，解得，112t =，20t =（舍去），52DH AD ∴===，矛盾，综上所述：1m =或2m =，或1m =+【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想的运用．。

2020-2021学年上海市松江区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共6小题）.1．（4分）下列各组线段中，能组成比例线段的（）A．2，3，4，5B．2，3，4，6C．2，3，5，7D．3，4，5，6 2．（4分）下列图形中一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个正方形3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝4．（4分）已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．（4分）已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A．＝2B．∥，∥C．||＝||D．＝，＝2 6．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确（）．A．S2＝2S1B．S1＝S3C．S2＝2S4D．S3＝2S4二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）若＝＝≠0，则＝．8．（4分）在比例尺为1：1000000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是千米．9．（4分）已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是．10．（4分）如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是cm．11．（4分）已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），如果AB＝6cm，那么AM＝cm．12．（4分）如图，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝．13．（4分）如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上，AD∥BC∥EF，BE：EA ＝1：2，若FC＝2.5，则FD＝．14．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，AD ＝2，则BD＝．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝．16．（4分）如图，已知在△ABC中，∠ABD＝∠C，AD＝9，CD＝7，那么AB＝．17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，BF和AC交于点E．如果＝，＝，如果用、表示，那么＝．18．（4分）如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．20．（10分）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作．2（2﹣）﹣3（+）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：（1）△ABC的面积；（2）∠C的余弦值．22．（10分）△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）23．（12分）已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．24．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE 至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：＝；（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D 不与点B、C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．（1）如图2，当ED∥AB时，求AE的长；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△ADE是等腰三角形时，直接写出线段BD的长．参考答案一、选择题（共6小题）.1．（4分）下列各组线段中，能组成比例线段的（）A．2，3，4，5B．2，3，4，6C．2，3，5，7D．3，4，5，6解：A、2×5≠3×4，不成比例；B、2×6＝3×4，成比例；C、2×7≠3×5，不成比例；D、3×6≠4×5，不成比例；故选：B．2．（4分）下列图形中一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个正方形解：A、两个等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；B、两个菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；C、两个直角三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；D、两个正方形，图形的形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确．故选：D．3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理得，AB＝＝13，则tan A＝＝，A选项计算正确；cot A＝＝，B选项计算错误；sin A＝＝，C选项计算错误；cos A＝＝，D选项计算错误；故选：A．4．（4分）已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝解：如图，若使线段DE∥BC，则其对应边必成比例，即＝，＝，＝，故B选项答案错误；故选：B．5．（4分）已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A．＝2B．∥，∥C．||＝||D．＝，＝2解：A、由＝2，可以推出∥．本选项不符合题意；B、由∥，∥，可以推出∥．本选项不符合题意；C、由||＝||，不可以推出∥．本选项符合题意；D、由＝，＝2，可以推出∥．本选项不符合题意；故选：C．6．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确（）．A．S2＝2S1B．S1＝S3C．S2＝2S4D．S3＝2S4解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，。

2020-2021学年上海市松江区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：162．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝2，那么AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα3．（4分）将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）24．（4分）已知＝2，下列说法中不正确的是（）A．﹣2＝0B．与方向相同C．∥D．||＝2||5．（4分）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A．15千米B．10千米C．10千米D．5千米6．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）已知，则＝．8．（4分）已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是cm．9．（4分）计算：sin30°•cot60°＝．10．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cos A＝，那么AB的长为．11．（4分）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为．12．（4分）已知点A（2，y1）、B（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）上，则y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．13．（4分）如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝4，AC＝6，DF＝10，则DE＝．14．（4分）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为．15．（4分）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，＝，四边形DBCE的面积等于7，则△ADE的面积为．16．（4分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝2AD ，设向量＝，＝，用向量、表示为．17．（4分）如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．已知△ABC 的边BC ＝16cm ，高AH 为10cm ，则正方形DEFG 的边长为_________cm ．18．（4分）如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，且BE ＝1，将△CBE 沿直线CE 翻折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，联结DF ，如果点D 、F 、E 在同一直线上，则线段AE 的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）用配方法把二次函数y ＝3x 2﹣6x +5化为y ＝a （x +m ）2+k 的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．20．（10分）如图，已知AB ∥CD ，AD 、BC 相交于点E ，AB ＝6，BE ＝4，BC ＝9，联结AC ．（1）求线段CD 的长；（2）如果AE ＝3，求线段AC 的长．21．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD ＝4，联结AD，tan∠DAC＝．（1）求边AC的长；（2）求cot∠BAD的值．22．（10分）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．（1）求斜坡DE的高EH的长；（2）求信号塔AB的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）23．（12分）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE 相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，0）和B （﹣1，﹣1），与y轴交于点C．（1）求这个抛物线的表达式；（2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，．①求P点坐标；②点Q在x轴上，如果∠QCA＝∠PCB，求点Q的坐标．25．（14分）如图，已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，tan∠ABC＝2，BF⊥AC，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）．（1）求边BC的长；（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果CG＝4，求线段AD的长；（3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q，联结DF，如果△DQF和△ABC 相似，求线段BD的长．2020-2021学年上海市松江区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为1：4，∴它们的周长比是：1：4．故选：B．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．2．【分析】根据锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：∵cot A＝，BC＝2，∴AC＝BC•cotα＝2cotα，故选：D．【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的关键．3．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是y＝2（x﹣3）2．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．4．【分析】根据平面向量的性质进行一一判断．【解答】解：A、由＝2得到：﹣2＝，故本选项说法不正确．B、由＝2知，与方向相同，故本选项说法正确．C、由＝2知，与方向相同，则∥，故本选项说法正确．D、由＝2知，||＝2||，故本选项说法正确．故选：A．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．【分析】根据直角三角形的三角函数得出AE，BE，进而得出CE，利用勾股定理得出AC 即可．【解答】解：如图，∵BC⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝10千米，∴BE＝5米，AE＝5千米，∴CE＝BC﹣BE＝20﹣5＝15（千米），∴AC＝（千米），故选：C．【点评】此题考查解直角三角形的应用，关键是根据直角三角形的三角函数得出AE，BE 解答．6．【分析】延长AG交BC于D，如图，利用三角形重心的性质得到CD＝BD＝4，AG＝2GD，再证明GE∥CD，则可判断△AEG∽△ACD，然后利用相似比可求出EG的长．【解答】解：延长AG交BC于D，如图，∵点G是△ABC的重心，∴CD＝BD＝BC＝4，AG＝2GD，∵GE⊥AC，∴∠AEG＝90°，而∠C＝90°，∴GE∥CD，∴△AEG∽△ACD，∴＝＝＝，∴EG＝CD＝×4＝．故选：C．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．【分析】根据题意，设x＝5k，y＝3k，代入即可求得的值．【解答】解：由题意，设x＝5k，y＝3k，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的基本性质，是基础题．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．8．【分析】根据黄金分割的概念得到MP＝MN，把MN＝4cm代入计算即可．【解答】解：∵P是线段MN的黄金分割点，∴MP＝MN，而MN＝4cm，∴MP＝4×＝（2﹣2）cm．故答案为（2﹣2）．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．9．【分析】直接利用特殊角的三角函数值化简得出答案．【解答】解：原式＝×＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．10．【分析】根据锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：∵cos A＝＝，AC＝6，∴AB＝＝8，故答案为：8．【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的关键．11．【分析】根据“面积的增加量就是边长增加前后的两个正方形的面积差”可得答案．【解答】解：由题意得，y＝（2+x）2﹣22＝x2+4x，故答案为：y＝x2+4x．【点评】本题考查函数关系式，理解题目中的数量关系是解决问题的关键．12．【分析】先求得开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+c，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∵1＜2＜3，∴y1＜y2，故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点和二次函数的性质，能熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．13．【分析】直接根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例的性质可计算出DE的长．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴DE＝．故答案为．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．14．【分析】根据题意和图形，可以求得AC、BC和AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ACB的形状，然后即可求得∠ABC的正弦值．【解答】解：由图可得，AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴sin∠ABC＝＝，故答案为：．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．【分析】由DE∥BC可判定△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得＝（）2＝，从而求得＝，即可求得△ADE的面积为9．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝，∵四边形DBCE的面积等于7，＝9．∴S△ADE故答案为：9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．16．【分析】根据梯形的性质和三角形法则解答．【解答】解：如图，在梯形ABCD中，∵AD∥BC，BC＝2AD，＝，∴＝2＝2，∴＝+＝+2，故答案是：+2．【点评】此题考查了平面向量的知识以及梯形的性质．注意利用图形求解是关键．17．【分析】设正方形DEFG的边长为xcm，则DE＝PH＝xcm，所以AP＝（10﹣x）cm，再证明△ADG∽△ABC，则利用相似比得到＝，然后根据比例的性质求出x．【解答】解：如图，设正方形DEFG的边长为xcm，则DE＝PH＝xcm，∴AP＝AH﹣PH＝（10﹣x）cm，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴＝，即＝，∴x＝（cm），故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．18．【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，根据折叠的性质得到CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE＝1，DC＝DE，证明△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE＝1，∠CEB＝∠CEF，∵矩形ABCD中，DC∥AB，∴∠DCE＝∠CEB，∴∠CEF＝∠DCE，∴DC＝DE，设AE＝x，则AB＝CD＝DE＝x+1，∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF＝∠DEA，∴△AEF∽△DEA，∴，解得x＝或x＝（舍去），∴AE＝．故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．【解答】解：y＝3x2﹣6x+5＝3（x2﹣2x）+5＝3（x2﹣2x+1﹣1）+5＝3（x﹣1）2+2，开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点（1，2）．【点评】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．20．【分析】（1）证明△ABE∽△DCE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；（2）由相似三角形的性质求出DE＝，证明△ABC∽△ECD，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴，∵AB＝6，BE＝4，BC＝9，∴，∴CD＝；（2）∵AE＝3，△ABE∽△DCE，∴，∴DE＝，∵，＝，∴，∵AB∥DC，∴∠ECD＝∠ABC，∴△ABC∽△ECD，∴，∴，∴AC＝．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21．【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；（2）根据（1）中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到cot∠BAD 的值．【解答】解：（1）设AC＝3x，∵∠C＝90°，sin∠ABC＝，∴AB＝5x，BC＝4x，∵tan∠DAC＝，∴CD＝2x，∵BD＝4，BC＝CD+BD，∴4x＝2x+4，解得x＝2，∴AC＝3x＝6；（2）作DE⊥AB于点E，由（1）知，AB＝5x＝10，AC＝6，BD＝4，∵，∴，解得DE＝，∵AC＝6，CD＝2x＝4，∠C＝90°，∴AD＝＝2，∴AE＝＝＝，∴cot∠BAD＝＝＝，即cot∠BAD的值是．【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．【分析】（1）过点E作EM⊥DC交DC的延长线于点M，根据斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设EH＝x，则DH＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EH；（2）结合（1）得DH的长，故可得出CH的长．由矩形的判定定理得出四边形EHCM 是矩形，故可得出EM＝HC，CM＝EH，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．【解答】解：（1）过点E作EM⊥AC于点M，∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝65米，CD＝60米，∴设EH＝x，则DH＝2.4x．在Rt△DEH中，∵EH2+DH2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝652，解得，x＝25（米）（负值舍去），∴EH＝25米；答：斜坡DE的高EH的长为25米；（2）∵DH＝2.4x＝60（米），∴CH＝DH+DC＝60+60＝120（米）．∵EM⊥AC，AC⊥CD，EH⊥CD，∴四边形EHCM是矩形，∴EM＝CH＝120米，CM＝EH＝25米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝37°，∴AM＝EM•tan37°≈120×0.75＝90（米），∴AC＝AM+CM＝90+25＝115（米）．∴AB＝AC﹣BC＝115﹣92＝23（米）．答：信号塔AB的高度为23米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23．【分析】（1）通过证明△DEC∽△ECB，可得结论；（2）通过证明△ABE∽△EBF，可得△ABE∽△EBF，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵CE2＝DE•BC，∴，∴△DEC∽△ECB，∴∠EBC＝∠DCE；（2）∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠AEB＝∠EBC，∠F＝∠ECD，∴∠AEB＝∠F，又∵∠ABE＝∠EBF，∴△ABE∽△EBF，∴，∴BE•EF＝BE•AE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的判定定理是本题的关键．24．【分析】（1）由待定系数法可求解析式；（2）①过点P作PE⊥x轴于E，由平行线分线段成比例可求PE的长，代入解析式可求解；②分两种情况讨论，利用全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（2，0）和B（﹣1，﹣1），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）①如图1，过点P作PE⊥x轴于E，∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴交于点C，∴点C（0，﹣2），∴OC＝2，∵PE∥OC，∴＝，∴PE＝，∴＝x2﹣x﹣2，∴x＝﹣2或x＝（不合题意舍去），∴点P（﹣2，）；②如图2，过点B作BH⊥CO于H，由①可知DO＝＝，∵B（﹣1，﹣1），点C（0，﹣2），A（2，0）∴OA＝OC＝2，BH＝CH＝1，∴∠BCH＝45°＝∠OCA，∴∠BCA＝90°，当点Q在线段AO上时，∵∠QCA＝∠PCB，∴∠DCO＝∠QCO，又∵CO＝CO，∠DOC＝∠QOC＝90°，∴△DOC≌△QOC（ASA），∴DO＝QO＝，∴点Q坐标为（，0），当点Q'在射线OA上时，∵∠Q'CA＝∠PCB，∴∠DCQ'＝90°，∴∠CDO+∠DQ'C＝90°，∠DCO+∠CDO＝90°，∴∠DQ'C＝∠DCO，又∵∠DOC＝∠Q'OC＝90°，∴△DOC∽△COQ'，∴，∴4＝×Q'O，∴Q'O＝，∴点Q'（，0），综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．【点评】本题二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些知识解决问题是解题的关键．25．【分析】（1）先利用等腰三角形的性质判断出BC＝2BH，再用三角函数和勾股定理求出BH，即可得出结论；（2）先利用勾股定理和三角函数求出CF，再判断出△CFK∽△AFD和△CGK∽△BGD，得出比例式，即可得出结论；（3）先求出BF＝4，再判断出△BEQ∽△BFC，得出，设EQ＝m，则BQ＝5m，BE＝2m，进而表示出BD＝10m，DQ＝3m，∠DQF＝∠C，再分两种情况，利用相似得出比例式表示出FQ，最后用BF＝4建立方程求出m，即可得出结论．【解答】解（1）如图1，过点A作DH⊥BC于H，∴∠AHB＝90°，∵AB＝AC＝5，∴BC＝2BH，在Rt△AHB中，tan∠ABC＝＝2，∴AH＝2BH，根据勾股定理得，AH2+BH2＝AB2，∴（2BH）2+BH2＝（5）2，∴BH＝5，∴BC＝2BH＝10；（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵tan∠ABC＝2，∴tan∠ACB＝2，由（1）知，BC＝10，∵BF⊥AC，∴∠BFC＝90°，在Rt△BFC中，tan∠ACB＝＝2，∴BF＝2CF，根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2，∴（2CF）2+CF2＝102，∴CF＝2，∴AF＝AC﹣CF＝5﹣2＝3，如图2，过点C作CK∥AB交FG于K，∴△CFK∽△AFD，∴，∴＝，∴△CGK∽△BGD，∴，∴CG＝4，∴＝，∴，∴，∴AD＝AB＝×5＝；（3）如备用图，在Rt△BFC中，根据勾股定理得，BF＝＝＝4，∵DE⊥BC，∴∠BEQ＝90°＝∠BFC，∵∠EBQ＝∠FBC，∴△BEQ∽△BFC，∴，∵CF＝2，BC＝10，∴，∴，∴设EQ＝m，则BQ＝5m，根据勾股定理得，BE＝2m，在Rt△BEQ中，tan∠ABC＝＝2，∴DE＝2BE＝4m，根据勾股定理得，BD＝10m，∴DQ＝DE﹣EQ＝3m，∵DE⊥BC，∴∠BEQ＝90°，∴∠CBF+∠BQE＝90°，∵∠BQE＝∠DQF，∴∠CBF+∠DQF＝90°，∵∠BFC＝90°，∴∠CBF+∠C＝90°，∴∠DQF＝∠C，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝∠DQF，∵△DQF和△ABC相似，∴①当△DQF∽△ACB时，∴，∴，∴QF＝6m，∵BF＝4，∴5m+6m＝4，∴m＝，∴BD＝10m＝，②当△DQF∽△BCA时，，∴，∴FQ＝m，∴m+5m＝4，∴m ＝，∴BD＝10m ＝，即BD 的长为或．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．第16页（共16页）。

2020-2021学年上海市普陀区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列函数中，y关于x的二次函数是()A. y=ax2+bx+cB. y=1x2+1C. y=x(x+1)D. y=(x+2)2−x22.如果点A(3,m)在x轴上，那么点B(m+2,m−3)所在的象限是()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，那么tan B的值等于()A. 23B. √53C. √52D. 2√554.在下列对抛物线y=−(x−1)2的描述中，正确的是()A. 开口向上B. 顶点在x轴上C. 对称轴是直线x=−1D. 与y轴的交点是(0,1)5.已知a⃗是非零向量，b⃗ =−2a⃗，下列说法中错误的是()A. b⃗ 与a⃗平行B. b⃗ 与a⃗互为相反向量C. |b⃗ |=2|a⃗|D. a⃗=−12b⃗6.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OAOB =ODOC，由此推得的正确结论是()A. OAOD =ABCDB. OAOC =ADBCC. OBOD =ABCDD. ABCD =ADBC二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知xy =52，那么x+yx−y=______ ．8.如果正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，那么y的值随着x的值增大而______ .(填“增大”或“减小”)9. 沿着x 轴正方向看，如果抛物线y =(a −2)x 2在对称轴左侧的部分是下降的，那么a 的取值范围是______ ．10. 二次函数y =2x 2+4x 图象的顶点坐标为______ ．11. 如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点A(1,0)，那么f(−1) ______0.(填“>”、“<”或“=”)12. 在△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．13. 如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且∠AED =∠B.如果AB =12，AE =6，EC =2，那么AD 的长等于______ ．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，CD =BD ，CE =12AB ，AD 与CE交于点F ，如果AB =6，那么CF 的长等于______ ．15. 如图，小明在教学楼AB 的楼顶A 测得：对面实验大楼CD 的顶端C 的仰角为α，底部D 的俯角为β.如果教学楼AB 的高度为m 米，那么两栋教学楼的高度差CH 为______ 米.16. 如图，△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，∠ADE =60°，如果BD ：DC =1：2，AD =2，那么DE 的长等于______ ．17. 勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形ABCD ，同时留下一个小正方形EFGH 的空隙(如图)，利用面积证明了勾股定理.如果小正方形EFGH 的面积是4，sin∠GBC =√1010，那么大正方形ABCD 的面积等于______ ．18. 如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，将△ABE 沿着直线AE 翻折得到△AFE ，点B 的对应点F 恰好落在线段DE 上，线段AF 的延长线交边CD 于点G ，如果BE ：EC =3：2，那么AF ：FG 的值等于______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分） 19. 计算：cos30°−2sin 245°+22sin60∘+tan45∘．20. 如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB//DE ，AC//DF ，AC 与DE 相交于点G ，AGGC =DGGE =12，BE =2． (1)求BF 的长；(2)设EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么BF ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ (用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示)．21.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=6的图象与一次函数y=kx−1的图象相交于横坐标为3的x点A．(1)求这个一次函数的解析式；(2)如图，已知点B在这个一次函数图象上，点C在反比例函数y=6的图象上，直线BC//x轴，且在点xA上方，并与y轴相交于点D.如果点C恰好是BD的中点，求点B的坐标．22.如图，在△ABC中，BC上的一点D在边AB的垂直平分线上，AB2=BD⋅BC．(1)求证：∠B=∠C；(2)如果AB=2√10，BC=10，求cos∠ADC的值．23.已知：如图，AD//BC，∠ABD=∠C，AE⊥BD，DF⊥BC，点E、F分别为垂足．(1)求证：AEDF =BDBC；(2)联结EF，如果∠ADB=∠BDF，求证：DF⋅DC=EF⋅BC．24.在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=ax2+bx+1与y轴交于点A，顶点B的坐标为(2,−1)．(1)直接写出点A的坐标，并求抛物线的表达式；(2)设点C在x轴上，且∠CAB=90°，直线AC与抛物线的另一个交点为点D．①求点C、D的坐标；②将抛物线y=ax2+bx+1沿着射线BD的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD上；点A的对应点为点P.设线段AB与x轴的交点为点Q，如果△ADP与△CBQ相似，求点P的坐标．25.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=3，点E是边BC上一个动点(不与点B、C重合)，AE的垂线AF交CD的延长线于点F.点G在线段EF上，满足FG：GE=1：2.设BE=x．(1)求证：ADAB =DFBE；(2)当点G在△ADF的内部时，用x的代数式表示∠ADG的余切；(3)当∠FGD=∠AFE时，求线段BE的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、当a=0时，不是二次函数，故此选项不合题意；B、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；C、y=x(x+1)=x2+x，是二次函数，故此选项符合题意；D、y=(x+2)2−x2=4x+4，不是二次函数，故此选项不符合题意；故选：C．利用二次函数定义进行分析即可．此题主要考查了二次函数，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2.【答案】D【解析】解：∵A(3,m)在x轴上，∴m=0，∴m+2=2，m−3=−3，∴B(m+2,m−3)所在的象限是第四象限．故选：D．根据x轴上的点的纵坐标为0列式求出m的值，然后计算即可得解．本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：如图，由勾股定理得，AC=√AB2−BC2=√32−22=√5，∴tanB=ACBC =√52，故选：C．画出相应的图形，根据勾股定理和锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．本题考查锐角三角函数、勾股定理，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=−(x−1)2中a=−1<0，∴抛物线开口向下，故A错误；∵抛物线的解析式为：y=−(x−1)2，∴抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标为(1,0)，故B正确，C错误；令x=0，则y=−1，∴与y轴的交点是(0,−1)，故D错误．故选：B．根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征进行解答即可．本题考查了二次函数的性质，要会用顶点式确定抛物线开口方向，顶点坐标，对称轴；会求与y轴交点坐标．5.【答案】B【解析】解：A、由b⃗ =−2a⃗知，a⃗与b⃗ 方向相反，所以b⃗ 与a⃗平行，故本选项说法正确．B、由b⃗ =−2a⃗知，|a⃗|≠|b⃗ |，所以b⃗ 与a⃗不互为相反向量，故本选项说法不正确．C、由b⃗ =−2a⃗知，|b⃗ |=2|a⃗|，故本选项说法正确．D、由b⃗ =−2a⃗知，a⃗=−12b⃗ ，故本选项说法正确．故选：B．根据共线向量的判定与性质进行解答．本题主要考查了平面向量的知识，属于基础题，注意：平面向量既有大小，又有方向．6.【答案】A【解析】解：∵OAOB =ODOC，∴OAOD =OBOC，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴OAOD =ABCD，所以A选项的结论正确；OB OC =ABCD，所以C选项的结论错误；∵OAOB =ODOC，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴OAOB =ADBC，所以B选项的结论错误；∵OAOD =ABCD，OAOB=ADBC，∴ABCD =ADBC不一定成立，所以D选项的结论错误．故选：A．由OAOB =ODOC得到OAOD=OBOC，加上∠AOB=∠DOC，则可判断△AOB∽△DOC，利用相似比可对A、C选项进行判断；证明△AOD∽△BOC，根据相似三角形的性质可B选项进行判断；利用OAOD =ABCD，OAOB=ADBC可对D选项进行判断．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．7.【答案】73【解析】解：∵xy=52，∴x=52y，∴x+yx−y =52y+y52y−y=73．故答案为：73．利用比例的性质计算即可得到答案．本题考查了比例线段：熟练掌握比例的性质是解决此题的关键．8.【答案】增大【解析】解：函数y=kx(k≠0)的图象经过第一、三象限，那么y的值随x的值增大而增大，故答案为：增大．根据正比例函数的性质进行解答即可．此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，该直线经过第一、三象限，且y的值随x的值增大而增大；当k<0时，该直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增大而减小．9.【答案】a>2【解析】解：∵抛物线y=(a−2)x2在对称轴左侧的部分是下降的，∴抛物线开口向上，∴a−2>0，解得a>2．故答案为a>2．利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，则a−2>0，然后解不等式即可．本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下．10.【答案】(−1,−2)【解析】解：y=2x2+4x=2(x2+2x)=2(x+1)2−2，则二次函数图象的顶点坐标为：(−1,−2)．故答案为：(−1,−2)．直接利用配方法将原式变形，进而求出顶点坐标．此题主要考查了配方法求二次函数的顶点坐标，正确进行配方是解题关键．11.【答案】>【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0)，对称轴在y轴的左侧，∴当x=−1，y>0，∴f(−1)>0，故答案为>．根据图象可知当x=−1，y>0．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．12.【答案】0⃗【解析】解：如图，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ． 故答案是：0⃗ ． 利用三角形法则解答．本题主要考查了平面向量，熟记三角形法则解题即可，属于基础题．13.【答案】4【解析】解：∵∠AED =∠B.∠EAD =∠BAC ， ∴△ADE∽△ACB ， ∴AD AC=AEAB，即AD 6+2=612， ∴AD =4． 故答案为4．先证明∴△ADE∽△ACB ，然后利用相似比计算AD 的长．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．14.【答案】2【解析】解：以E 为圆心，CE 为半径画圆， ∵∠ACB =90°， ∴AB 是⊙E 的直径， ∵CE =12AB ， ∴点E 是AB 的中点， 连接DE ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CE =12AB ， ∴AE =BE ，∵CD =BD ， ∴DE 是Rt △ABC 的中位线， ∴DE =12AC ，DE//AC ， ∴△ACF∽△DEF ，∴EF CF=DE AC=12， ∵AB =6， ∴CE =12AB =3，∴CF =23CE =2， 故答案为：2．连接DE ，根据已知条件得到DE 是Rt △ABC 的中位线，根据三角形中位线的性质得到DE =12AC ，DE//AC ，由相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质定理，正确的识别图形是解题的关键．15.【答案】m⋅tanαtanβ【解析】解：连接AD ，过点A 作AH ⊥CD 于点H ，则四边形ABDH 是矩形，∴AB =DH =m 米， 在Rt △ADH 中，∠DAH =β， ∴tanβ=DHAH ， ∴AH =m tanβ，在Rt △ACH 中，∠CAH =α， ∴CH =AH ⋅tanα=m tanβ⋅tanα=m⋅tanαtanβ(米)，答：两栋教学楼的高度差CH 为m⋅tanαtanβ米．故答案为：m⋅tanαtanβ．根据正切的定义分别求出DH 、CH ，结合图形计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16.【答案】43【解析】解∵△ABC为等边三角形，∴AB=DC，∠B=∠C=60°，∴∠BAD+∠ADB=180°−60°=120°，∠ADE=60°，∵∠CDE+∠ADB=180°−60°=120°，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴ABDC =ADDE，∵BD：DC=1：2，∴BCCD =32，∴ABCD =32，∴32=2DE，∴DE=43．故答案为：43．由等边三角形的性质得出AB=DC，∠B=∠C=60°，证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质得出ABDC =ADDE，则可求出答案．本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17.【答案】10【解析】解：在Rt△CBG中，sin∠GBC=√1010，∴设BC=√10x，CG=x，∴BG=√BC2−CG2=√10x2−x2=3x，∵小正方形EFGH的面积是4，∴FG=2，∴x+2=3x，∴x=1，∴BC=√10，∴大正方形ABCD的面积等于10，故答案为：10．设BC=√10x，CG=x，根据勾股定理得到BG=√BC2−CG2=√10x2−x2=3x，根据正方形的面积公式即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，正方形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．18.【答案】21：4【解析】解：如图，延长BC，AG交于点H，∵BE：EC=3：2，∴设BE=3x，EC=2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=5x，AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∵将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，∴∠AEB=∠AEF，BE=EF=3x，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE=5x，∴DF=2x，∵AD//BC，∴△ADF∽△HEF，∴ADEH =DFEF=AFFH，∴5xEH =23=AFFH，∴EH=15x2，AF=23FH，∴CH=EH−EC=112x，∵AD//BC，∴△ADG∽△HCG，∴ADCH =AGGH，∴5x112x=AGGH=1011，∴设AG=10y，GH=11y，∴AH=21y，∴AF=21y5×2=425y，∴FG=AG−AF=8y5，∴AF：FG=21：4，故答案为21：4．延长BC，AG交于点H，设BE=3x，EC=2x，由平行四边形的性质可得AD=BC=5x，AD//BC，由折叠的性质可得∠AEB=∠AEF，BE=EF=3x，通过证明△ADF∽△HEF，△ADG∽△HCG，可求AF=425y，FG=AG−AF=8y5，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．19.【答案】解：原式=√32−2×(√22)2+2×√32+1=√32−2×12+√3+1=√32−1+√3−1=3√32−2．【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．20.【答案】4b ⃗ −32a ⃗ +3b ⃗【解析】解：(1)∵AB//DE ， ∴AGGC =BEEC =12， ∵BE =2， ∴EC =4， ∵AC//DF ， ∴DG GE =CF EC=12，∴CF =2，∴BF =BE +EC +CF =2+4+2=8．(2)∵AB//DE ， ∴AGGC =BEEC =12， ∵AC//DF ， ∴DGGE =CFEC =12， ∴EC =2BE =2CF ， ∴BF =4BE ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =4b ⃗ ，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b ⃗ ， ∵CG//DF ，∴CG ：DF =EG ：ED =2：3， ∴DF =32GC ，∵GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =GE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +2b ⃗ ， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32a ⃗ +3b ⃗ ．故答案为：4b ⃗ ，−32a ⃗ +3b ⃗ ． (1)利用平行线分线段成比例定理求出EC ，CF 即可．(2)证明BF =4BE ，DF =32GC ，利用三角形法则求出GC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可解决问题． 本题考查相似三角形的性质，平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：(1)∵横坐标为3的点A在反比例函数y=6x的图象上，∴y=63=2，∴点A的坐标为(3,2)，∴2=3k−1，∴k=1，∴一次函数的解析式为y=x−1；(2)设点B(m,m−1)，则点C(12m,m−1)，∵点C在反比例函数y=6x的图象上，∴12m(m−1)=6，解得m1=4，m2=−3，∵点B在第一象限∴点B的坐标为(4,3)．【解析】(1)把点A的横坐标代入直线解析式y=6x，可求得点A的纵坐标，把点A的横纵坐标代入y=kx−1，即可求得所求的一次函数解析式；(2)设点B(m,m−1)，则点C(12m,m−1)，代入y=6x即可求得m的值，从而求得B的坐标．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．求出反比例函数的解析式是解题的关键．22.【答案】(1)证明：∵AB2=BD⋅BC，∴ABBD =BCAB，又∵∠ABD=∠ABC，∴△ABD∽△CBA，∴∠BAD=∠C，∵D在边AB的垂直平分线上，∴BD=AD，∴∠B=∠C；(2)解：过点A作AE⊥BC于点E，∵AB=2√10，BC=10，AB2=BD⋅BC，∴(2√10)2=BD×10，∴BD=4，∴AD=4，DC=6，∵∠B=∠C，∴AC=AB=2√10，设DE=x，则CE=6−x，∵AD2−DE2=AE2，AC2−CE2=AE2，∴42−x2=(2√10)2−(6−x)2，解得x=1，∴DE=1，∴cos∠ADC=DEAD =14．【解析】(1)证明△ABD∽△CBA，由相似三角形的性质得出∠BAD=∠C，由中垂线的性质得出BD=AD，可得出∠BAD=∠B，则可得出结论；(2)过点A作AE⊥BC于点E，求出BD=4，设DE=x，则CE=6−x，由勾股定理得出42−x2=(2√10)2−(6−x)2，解方程求出DE=1，则可得出答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，中垂线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．23.【答案】(1)证明：∵AE⊥BD，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵∠ABD=∠C，∴AEDF =ABDC，∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC，∴△ABD∽△DCB，∴ABDC =BDBC，∴AEDF =BDBC；(2)证明：∵∠ADB=∠DBF，∠ADB=∠BDF，∠BFD=90°，∴∠DBF=∠BDF，∴∠DBF=ADE=45°，∴△AED和△BFD都是等腰直角三角形，∴ADDE =BDDF=√2，又∵∠ADE=∠BDF，∴△ADB∽△EDF，∴∠ABD=∠EFD，∵∠ABD=∠C，∴∠EFD=∠C，∵∠EDF=∠DBC，∴△EDF∽△DBC，∴DFBC =EFDC，∴DF⋅DC=EF⋅BC．【解析】(1)证明△ABD∽△DCB，由相似三角形的性质得出ABDC =BDBC，证明△ABD∽△DCB，由相似三角形的性质得出ABDC =BDBC，则可得出结论；(2)证明△ADB∽△EDF，由相似三角形的性质得出∠ABD=∠EFD，证明△EDF∽△DBC，得出DFBC =EFDC，则可得出结论．本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24.【答案】解：(1)当x =0时，y =1，∴A(0,1)，设抛物线的解析式为：y =a(x −2)2−1，把A(0,1)代入得：1=a(0−2)2−1，∴a =12，∴抛物线的表达式为：y =12(x −2)2−1；(2)①如图1，∵A(0,1)，B(2,−1)，∴∠BAO =45°，∵∠CAB =90°，∴∠CAO =45°，∴OC =OA =1，∴C(−1,0)，设AC 的解析式为：y =kx +b ，则{−k +b =0b =1，解得：{k =1b =1， ∴AC 的解析式为：y =x +1，则{y =x +1y =12(x −2)2−1，解得：{x 1=0y 1=1或{x 2=6y 2=7， ∴D(6,7)；②∵A(0,1)，B(2,−1)，同理得AB的解析式为：y=−x+1，∴Q(1,0)，∴CQ=2，BC=√32+12=√10，∵D(6,7)，A(0,1)，∴AD=√62+(7−1)2=6√2，如图2，同理得：BD的解析式为：y=2x−5，由平移得：AP//BD，则AP的解析式为：y=2x+1，∴∠PAD=∠ADB，∵tan∠BCQ=13=ABAD=tan∠ADB，∴∠PAD=∠BCQ，设抛物线平移后的顶点为B′，P(m,2m+1)，则AP=√5m，B′(m+2,2m−1)，∵抛物线y=ax2+bx+1沿着射线BD的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD上，∴0≤m≤4，如果△ADP与△CBQ相似，有以下两种情况：i)当APCQ =ADBC时，即√5m2=√210，解得：m=2.4，∴P(2.4,5.8)；ii)当APBC =ADCQ时，即√5m10=6√22，解得：m =6(不符合题意，舍去)，综上，P(2.4,5.8)．【解析】(1)先令x =0可得y =1，得点A 的坐标，根据抛物线的顶点B(2,−1)，利用待定系数法可得抛物线的表达式；(2)①根据点A 和B 的坐标得∠BAO =45°，所以∠CAO =45°，可知△ACO 是等腰直角三角形，可得C 的坐标，从而得AC 的解析式，联立方程组可得直线AC 与抛物线的交点D 的坐标；②先证明∠PAD =∠ADB =∠BCQ ，设P(m,2m +1)，根据平移后B 的对称点B′在线段BD 上可知0≤m ≤4，如果△ADP 与△CBQ 相似，存在两种情况：AP CQ =AD BC 或AP BC =ADCQ ，列方程可得结论．本题是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，两点的距离公式，相似三角形的性质和判定，平移的性质等知识，解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度． 25.【答案】(1)证明：如图1中，∵AE ⊥AF ，∴∠EAF =90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠BAD =∠ADC =∠ADF =90°，∵∠BAD =∠EAF =90°，∴∠BAE =∠DAF ，∵∠B =∠ADF ，∴△ABE∽△ADF ，∴AD AB =DF BE ．(2)解：如图1中，过点G 作GN ⊥BC 于N 交AD 于M ，则四边形MNCD 是矩形．∵AD AB =DF BE ，∴31=DFx ，∴DF =3x ，CF =3x +1，∵GN//CF ，∴△ENG∽△ECF ， ∴EN EC =GN CF =EG EF =23， ∴EN =23(3−x)，GN =23(1+3x)，∴GM =GN −MN =23(1+3x)−1=2x −13，DM =CN =EC −EN =3−x −23(3−x)=13(3−x)，∴cot∠ADG =DM GM =13(3−x)2x−13=3−x 6x−1．(3)如图2中，过点G 作GH ⊥CD 于H ．∵∠AFE =∠DGF ，∴AF//DG ，∴∠FAD =∠ADG ，∵AD//GH ，∴∠ADG =∠DGH ，∴∠FAD =∠DGH ，∵GH//EC ，∴△FGH∽△FEC ，∴GHEC =FHFC=FG FE =13， ∴GH =13(3−x)，FH =13(3x +1)，∴DH =FH −DF =13(3x +1)−3x =13−2x ，∵tan∠FAD =tan∠DGH ，∴3x3=13−2x 13(3−x)，整理得，x 2−9x +1=0，解得x =9−√772或9+√772(舍弃)，经检验x =9−√772是分式方程的解， ∴BE =9−√772．【解析】(1)证明△ABE∽△ADF，可得结论．(2)如图1中，过点G作GN⊥BC于N交AD于M，则四边形MNCD是矩形．用x表示出GM，DM即可解决问题．(3)如图2中，过点G作GH⊥CD于H.证明∠FAD=∠DGH，可得tan∠FAD=tan∠DGH，由此构建方程求解即可．本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

2020-2021学年上海市松江区高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝．2．若全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为．3．函数的定义域是．4．已知函数f（x）＝a x﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）＝．5．用“二分法”求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28在区间（1，2）内的零点时，取（1，2）的中点x1＝1.5，则f（x）的下一个有零点的区间是．6．已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣2x+1，则当x＜0时，f（x）＝．7．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是．8．若函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则实数a的取值范围是．9．已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝．10．已知函数y＝log a（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m＞0，n＞0，则的最小值是．11．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，则m的取值范围为．12．数学上常用[x]表示不大于x的最大整数，若存在实数t使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n同时成立，则正整数n的最大值是．二、选择题（共4小题）.13．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）A．证明所有实数的平方都不是正数B．证明平方是正数的实数有无限多个C．至少找到一个实数，其平方是正数D．至少找到一个实数，其平方不是正数14．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝e lnx，g（x）＝xB．C．f（x）＝x0，g（x）＝1D．f（x）＝|x|，x∈{﹣1，0，1}，g（x）＝x2，x∈{﹣1，0，1}15．已知正数a，b均不为1，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件16．已知m＞0，当x∈[0，1]时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是（）A．B．（0，1]∪[3，+∞）C．D．三、解答题（共5小题）.17．已知A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|x2+ax+2a﹣4＝0}，若B⊆A，求实数a的值．18．已知x是有理数，y是无理数，求证：x+y是无理数．19．已知幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，g（x）＝2x﹣k．（1）求实数m的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）、g（x）的值域分别为A、B．设命题p：x∈A，命题：q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．20．（16分）给出关于函数f（x）的一些限制条件：①在（0，+∞）上严格减函数；②在（﹣∞，0）上是严格增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f（0）＝0，只在这些条件中，选择必需的条件，补充下面的问题中：定义在R上的函数f（x），若满足______（填写你选定条件的序号），且f（﹣1）＝0，求不等式f（x﹣1）＞0的解集．（1）若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；（2）若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号（不必说明理由）；（3）求解问题（2）中选定条件下不等式的解集．21．（18分）已知二次函数f（x）满足f（x）＝f（﹣4﹣x），f（0）＝3，若x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．（1）求f（x）的解析式；（2）若，求函数g（x）的值域；（2）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求对数k的取值范围．参考答案一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝{1，2}．解：∵A＝{x|x≥1}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{1，2}．故答案为：{1，2}．2．若全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为{0}．解：全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，1，2}，B＝{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为：∁U（A∪B）＝{0}．故答案为：{0}．3．函数的定义域是（，1）．解：由题意得：，解得：＜x＜1，故答案为：（，1）．4．已知函数f（x）＝a x﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）＝2．解：函数f（x）＝a x﹣1的图象经过（1，1）点，可得：1＝a﹣1，解得：a＝2．∴f（x）＝2x﹣1那么：f﹣1（3）的值即为2x﹣1＝3时，x的值．由2x﹣1＝3，解得：x＝2．∴f﹣1（3）＝2．故答案为2．5．用“二分法”求函数f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28在区间（1，2）内的零点时，取（1，2）的中点x1＝1.5，则f（x）的下一个有零点的区间是（1.5，2）．解：因为f（x）＝2x3﹣3x2﹣18x+28，所以f（1）＝9＞0，f（2）＝﹣4＜0，f（1.5）＝1＞0，由零点的存在性定理可得，f（x）的下一个有零点的区间是（1.5，2）．故答案为：（1.5，2）．6．已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣2x+1，则当x＜0时，f（x）＝﹣x﹣2﹣x+1．解：根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）﹣2﹣x+1＝﹣x﹣2﹣x+1，又由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝﹣x﹣2﹣x+1，故答案为：﹣x﹣2﹣x+1．7．已知不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集是（﹣，﹣）．解：不等式ax2+5x+b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则ax2+5x+b＝0的实数根是3和2，由根与系数的关系，得3+2＝﹣，3×2＝，解得a＝﹣1，b＝﹣6，不等式bx2﹣5x+a＞0可化为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解得﹣＜x＜﹣，∴不等式的解集是（﹣，﹣），故答案为：（﹣，﹣）．8．若函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则实数a的取值范围是（1，2]．解：当x≤2时，y＝﹣x+8≥6，要使函数（a＞0且a≠1）的值域为[6，+∞），则有x＞2时，函数y＝log a x+5≥6，∴，解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．9．已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝1．解：根据题意，f（x）是定义域为R的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得：f（x+4）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数；又由f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，则f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣1，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝1+0+（﹣1）+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝1，故答案为：1．10．已知函数y＝log a（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m＞0，n＞0，则的最小值是8．解：函数y＝log a（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，令x﹣3＝1，即x＝4时，y＝1，故定点A（4，1），又点A在一次函数的图象上，所以有，即2m+n＝1，所以＝，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是8．故答案为：8．11．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，则m的取值范围为（﹣∞，5）．解：由题意可得：|x﹣2|＞﹣|x+3|+m在R上恒成立，即m＜|x﹣2|+|x+3|在R上恒成立，只需m＜（|x﹣2|+|x+3|）min即可，又|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|＝5，当且仅当x﹣2与x+3的符号异号取等号，所以m＜5，故答案为：（﹣∞，5）．12．数学上常用[x]表示不大于x的最大整数，若存在实数t使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立，则正整数n的最大值是4．解：若[t]＝1，则t∈[1，2），若[t2]＝2，则t∈[），（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]＝3，则t∈[，），若[t4]＝4，则t∈[，），若[t5]＝5，则t∈[，），其中，，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，综上，当t＝4时，可以找到t，使其在区间[1，2）∩[）∩[）∩[，）上，但当t＝5时，无法找到t，使其在区间[1，2）∩[）∩[）∩[，）∩[）上，∴正整数n的最大值为4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）A．证明所有实数的平方都不是正数B．证明平方是正数的实数有无限多个C．至少找到一个实数，其平方是正数D．至少找到一个实数，其平方不是正数解：因为“全称量词命题”的否定是“存在量词命题”，所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是：“至少有一个实数的平方不是正数”．故选：D．14．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝e lnx，g（x）＝xB．C．f（x）＝x0，g（x）＝1D．f（x）＝|x|，x∈{﹣1，0，1}，g（x）＝x2，x∈{﹣1，0，1}解：A．f（x）的定义域是（0，+∞），g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，B．f（x）＝x﹣2，（x≠﹣2），g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，C．f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，D．f（x）对应点的坐标为{（﹣1，1），（0，0），（1，1）}，g（x）对应点的坐标为{（﹣1，1），（0，0），（1，1）}，两个函数对应坐标相同，是同一函数，故选：D．15．已知正数a，b均不为1，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解：因为3a＞3b＞3，所以a＞b＞1，因为log a3＜log b3，①当a＞1，b＞1时，则有a＞b＞1；②当0＜a＜1，0＜b＜1时，则有0＜b＜a＜1，所以“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的必要不充分条件．故选：B．16．已知m＞0，当x∈[0，1]时，函数y＝（mx﹣1）2的图象与的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是（）A．B．（0，1]∪[3，+∞）C．D．解：根据题意，由于m为正数，y＝（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y＝+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y＝（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，函数y＝+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y＝（mx﹣1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y＝+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，解得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3，综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）．故选：B．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|x2+ax+2a﹣4＝0}，若B⊆A，求实数a的值．解：由已知可得A＝{﹣2，1}，因为B⊆A，则B＝∅或{﹣2}或{1}或{﹣2，1}，当B＝∅时，△＝a2﹣4（2a﹣2）＝a2﹣8a+8＜0，无解，当B＝{﹣2}时，则，解得a＝4，当B＝{1}时，则，无解，当B＝{﹣2，1}时，则，解得a＝1，综上，实数a的值为1或4．18．已知x是有理数，y是无理数，求证：x+y是无理数．【解答】证明：假设x+y是有理数，则x+y＝（m，n∈Z）．∵x是有理数，∴x＝（p，q∈Z），∴x+y＝+y＝，∴y＝﹣＝，∵m，n，p，q∈Z，∴mp∈Z，mq﹣pm∈Z，∴y是有理数，与y是无理数相矛盾．∴假设错误，x+y是无理数，得证．19．已知幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，g（x）＝2x﹣k．（1）求实数m的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）、g（x）的值域分别为A、B．设命题p：x∈A，命题：q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．解：（1）因为幂函数在区间（0，+∞）上是严格增函数，所以（m﹣1）2＝1且m2﹣4m+2＞0，解得m＝0．（2）由（1）得f（x）＝x2，当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为0，f（x）的最大值为4，故A＝[0，4]，因为g（x）＝2x﹣k在x∈[﹣1，2]上单调递增，故g（x）的最小值为，g（x）的最大值为4﹣k，故B＝，因为命题p：x∈A，命题：q：x∈B，且命题p是q成立的必要条件，故B⊆A，所以，解得，所以实数k的取值范围为．20．（16分）给出关于函数f（x）的一些限制条件：①在（0，+∞）上严格减函数；②在（﹣∞，0）上是严格增函数；③是奇函数；④是偶函数；⑤f（0）＝0，只在这些条件中，选择必需的条件，补充下面的问题中：定义在R上的函数f（x），若满足______（填写你选定条件的序号），且f（﹣1）＝0，求不等式f（x﹣1）＞0的解集．（1）若不等式的解集是空集，请写出选定条件的序号，并说明理由；（2）若不等式的解集是非空集合，请写出所有可能性的条件序号（不必说明理由）；（3）求解问题（2）中选定条件下不等式的解集．解：（1）若不等式f（x﹣1）＞0的解集为空集，即f（x﹣1）≤0恒成立，由f（﹣1）＝0，所以函数f（x）不可能单调递增或单调递减，所以①②都不能选，只能选③④，此时f（x）＝0，不等式f（x﹣1）＞0的解集为空集；所以选③④；（2）若不等式f（x﹣1）＞0的解集是非空集合，可选择条件：①③；①④⑤；②③；②④⑤；（3）若选①③：由f（x）是奇函数，则f（﹣0）＝﹣f（0），所以f（0）＝0，又f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，又f（x）在（0，+∞）上严格减函数，则f（x）在（﹣∞，0）上严格减函数，由f（x﹣1）＞0，则x﹣1＜﹣1或0＜x﹣1＜1，解得x＜0或1＜x＜2，所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，0）∪（1，2）；若选①④⑤：由f（x）是偶函数，由f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，又f（x）在（0，+∞）上严格减函数，则f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2且x≠1，所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（1，2）；若选②③：由f（x）是奇函数，则f（﹣0）＝﹣f（0），所以f（0）＝0，又f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，又f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，则f（x）在（0，+∞）上严格增函数，由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜或x﹣1＞1，解得0＜x＜1或x＞2，所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（2，+∞）；若选②④⑤：由f（x）是偶函数，由f（﹣1）＝0，则f（1）＝0，又f（x）f（x）在（﹣∞，0）上严格增函数，则f（x）在（0，+∞）上严格减函数，由f（x﹣1）＞0，则﹣1＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2且x≠1，所以不等式f（x﹣1）＞0的解集为（0，1）∪（1，2）．21．（18分）已知二次函数f（x）满足f（x）＝f（﹣4﹣x），f（0）＝3，若x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．（1）求f（x）的解析式；（2）若，求函数g（x）的值域；（2）若不等式g（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求对数k的取值范围．解：（1）∵f（x）＝f（﹣4﹣x），x1，x2是f（x）的两个零点，且|x1﹣x2|＝2．∴f（x）的对称轴为x＝﹣2，可得x1＝﹣3，x2＝﹣1（不妨设x1＜x2），设f（x）＝a（x+3）（x+1）（a≠0），由f（0）＝3a＝3，得a＝1，∴f（x）＝x2+4x+3（2）∵＝＝x++4，当x＞0时，x++4≥2+4，当且仅当x＝时取等号，此时g（x）∈[2+4，+∞）；当x＜0时，x++4≤﹣2+4，当且仅当x＝﹣时取等号，此时g（x）∈（﹣∞，﹣2+4]，∴函数g（x）的值域是（﹣∞，﹣2+4]∪[2+4，+∞）．（3）不等式g（2x）﹣k•2x≥0可化为2x++4﹣k•2x≥0，即k≤1+3+4•恒成立，令t＝，∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，令h（t）＝3t2+4t+1，t∈[，2]，图象开口向上对称轴为t＝﹣，∴当t＝时，h（t）取得最小值为h（）＝，∴k≤．∴实数k的取值范围为（﹣∞，]．。

2020-2021学年上海市奉贤区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.将抛物线y=2x2向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是()A. y=2x2−1B. y=2x2+1C. y=2(x+1)2D. y=2(x−1)22.下列两个图形一定相似的是()A. 两个菱形B. 两个正方形C. 两个矩形D. 两个梯形3.已知a⃗、b⃗ 和c⃗都是非零向量，下列结论中不能确定a⃗//b⃗ 的是()A. |a⃗|=|b⃗ |B. 2a⃗=3b⃗C. a⃗//c⃗，c⃗//b⃗D. a⃗=12c⃗，b⃗ =3c⃗4.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=3，cosA=34，那么AB的长为()A. 94B. 4 C. 5 D. 2545.如果⊙O1和⊙O2内含，圆心距O1O2=4，⊙O1的半径长是6，那么⊙O2的半径r的取值范围是()A. 0<r<2B. 2<r<4C. r>10D. 0<r<2或r>106.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BC=3AD，对角线AC、BD交于点O，EF是梯形ABCD的中位线，EF与BD、AC分别交于点G、H，如果△OGH的面积为1，那么梯形ABCD的面积为()A. 12B. 14C. 16D. 18二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果2a=5b，那么ab=______ ．8.如果4是a与8的比例中项，那么a的值为______ ．9.如果二次函数y=mx2+2x+m−1的图象经过点P(1,2)，那么m的值为______ ．10.如果二次函数y=(x−1)2的图象上有两点(2,y1)和(4,y2)，那么y1______ y2(填“>”、“=”或“<”)．11.如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为x米，可列出方程为______ ．12.如果两个相似三角形的周长之比为1：4.那么这两个三角形对应边上的高之比为______ ．13.已知点P是线段AB上的点，且BP2=AP⋅AB，如果AB=2cm，那么BP=______cm．14.已知某斜坡的坡度i=1：3，当铅垂高度为3米时，水平宽度为______ 米.15.如果点G是△ABC的重心，且AG=6，那么BC边上的中线长为______ ．16.如图，已知点D在△ABC的边BC上，联结AD，P为AD上一点，过点P分别作AB、AC的平行线交BC于点E、F，如=______ ．果BC=3EF，那么APPD17.当两条曲线关于某直线l对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l的对称曲线.如果抛物线C1：y=x2−2x与抛物线C2是关于直线x=−1的对称曲线，那么抛物线C2的表达式为______ ．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果点C落在射线CD上，点B落在点E处，联结DE，那么∠AED的正切值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.已知a：b=2：3，b：c=3：4，且2a+b−c=6，求a、b、c的值．20. 如图，已知抛物线y =−x 2+ax +3与y 轴交于点A ，且对称轴是直线x =1．(1)求a 的值与该抛物线顶点P 的坐标；(2)已知点B 的坐标为(1,−2)，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 如图，在△ABC 中，AB =AC =√5，BC =2.过点B 作BD ⊥AC ，垂足为点D ．(1)求cos∠ACB 的值；(2)点E 是BD 延长线上一点，联结CE ，当∠E =∠A 时，求线段CE 的长．22.如图1是一个手机的支架，由底座、连杆AD、BC、CD和托架组成(连杆AB、BC、CD始终在同一平面内)，连杆AB垂直于底座且长度为8.8厘米，连杆BC的长度为10厘米，连杆CD的长度可以进行伸缩调整．(1)如图2，当连杆AB、BC在一条直线上，且连杆CD的长度为9.2厘米，∠BCD=143°时，求点D到底座的高度(计算结果保留一位小数)．(2)如图3，如果∠BCD=143°保持不变，转动连杆BC，使得∠ABC=150°，假如AD//BC时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆CD的长度(计算结果保留一位小数)．(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，cot53°≈0.75)23.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠DCB，联结AC，点E在边BC上，且∠CDE=∠CAD，DE与AC交于点F，CE⋅CB=AB⋅CD．(1)求证：AD//BC；(2)当AD=DE时，求证：AF2=CF⋅CA．x2+bx+c与x轴正半轴交于点24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−12A(4,0)，与y轴交于点B(0,2)，点C在该抛物线上且在第一象限．(1)求该抛物线的表达式；(2)将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD=3BD时，求m的值；(3)联结BC，当∠CBA=2∠BAO时，求点C的坐标．25.已知⊙O的直径AB=4，点P为弧AB上一点，联结PA、PO，点C为劣弧AP上一点(点C不与点A、P重合)，联结BC交PA、PO于点D、E．(1)如图，当cos∠CBO=7时，求BC的长；8(2)当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；(3)当AD=2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y=2x2向左平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=2(x+1)2，故选：C．根据“左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．2.【答案】B【解析】解：A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；C、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；D、两个梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；故选：B．根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：A、由|a⃗|=|b⃗ |只能推知a⃗与b⃗ 的模相等，无法推知这两个向量的方向，无法确定a⃗//b⃗ ，故本选项符合题意．B、由2a⃗=3b⃗ 可以确定a⃗与b⃗ 的方向相同，可以确定a⃗//b⃗ ，故本选项不符合题意．C、由a⃗//c⃗，c⃗//b⃗ 可以确定a⃗、b⃗ 和c⃗的方向相同，则确定a⃗与b⃗ 的方向相同，可以确定a⃗//b⃗ ，故本选项不符合题意．c⃗，b⃗ =3c⃗可以确定a⃗、b⃗ 和c⃗的方向相同，则确定a⃗与b⃗ 的方向相同，可以确D、由a⃗=12定a⃗//b⃗ ，故本选项不符合题意．故选：A．根据平行向量的定义判断即可．本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=34，则ACAB =34，即3AB=34，解得，AB=4，故选：B．根据余弦的定义列式计算即可．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：根据题意两圆内含，故知r−6>4或者6−r>4，解得0<r<2或r>10．故选：D．首先由题意知⊙O1与⊙O2两圆内含，则知两圆圆心距d<R−r，分两种情况进行讨论．本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．两圆外离，则P>R+r；外切，则P=R+r；相交，则R−r<P<R+r；内切，则P=R−r；内含，则P<R−r．6.【答案】C【解析】解：∵AD//BC，EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=12(AD+BC)，EF//AD=BC，∵BC=3AD，设AD=x，则BC=3AD=3x，EF=2x，∵EF//AD，且E，F为AB，DC的中点，∴EG=12AD=12x，FH=12AD=12x，∴GH=x，∵GH//BC，∴△OGH∽△OBC，∴S△OGHS△OBC =(GHBC)2=x2(3x)2=19，∵△OGH的面积为1，∴S△OBC=9，同理，△OAD∽△OBC，∴S△OADS△OBC =19，∴S△OAD=1，∵OB=3OD，∴S△AOB=3S△AOD=3，∵OC=3OA，∴S△COD=3S△AOD=3，∴梯形ABCD的面积为：9+1+3+3=16．故选：C．根据梯形中位线定理可得EF=12(AD+BC)，EF//AD=BC，根据BC=3AD，设AD=x，则BC=3AD=3x，EF=2x，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△OBC=9，根据两个三角形高相等，面积比等于底与底的比可得△AOB和△DOC的面积，进而可得结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形，梯形中位线定理，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．7.【答案】52【解析】解：∵2a=5b，∴ab =52．故答案为：52．根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”即可变形得出a与b的比．此题考查了比例的基本性质的应用，是基础题，比较简单．8.【答案】2【解析】解：∵4是a与8的比例中项，∴a：4=4：8，∴8a=16，解得a=2．故答案为：2．先根据比例中项的定义列出比例式，再利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．本题主要考查了比例线段，关键是学生对比例中项这一知识点的理解和掌握，属于基础题，难度适中．9.【答案】12【解析】解：∵二次函数y=mx2+2x+m−1的图象经过点P(1,2)，∴m+2+m−1=2，，解得m=12．故答案为：12将点P(1,2)代入二次函数解析式，列方程求m即可．此题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，点的坐标适合解析式是解题的关键．10.【答案】<【解析】解：∵二次函数的解析式为y=(x−1)2，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵2<4，∴y1<y2．故选：<．根据二次函数的性质即可判断y1、y2的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质上解题的关键．11.【答案】x(17−3x)=24【解析】解：设垂直于墙的一段篱笆长为x米，则平行于墙的一段篱笆长为(17−3x)米，根据题意，得x(17−3x)=24．故答案是：x(17−3x)=24．设垂直于墙的一段篱笆长为x米，则平行于墙的一段篱笆长为(17−3x)米，根据长方形的面积公式列出方程即可．本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．12.【答案】1：4【解析】解：∵两个相似三角形的周长之比为1：4，∴这两个三角形的相似比为1：4，∴两个相似三角形对应边上的高之比1：4；故答案为：1：4．根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．13.【答案】√5−1【解析】【分析】此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解决问题的关键．根AB，代入数据即可得出BP的长度．据黄金分割点的定义，可得BP=√5−12【解答】解：∵点P在线段AB上，BP2=AP⋅AB，∴点P为线段AB的黄金分割点，AB=2cm，=(√5−1)cm．∴BP=2×√5−12故答案为：(√5−1)．14.【答案】9=1：3，铅垂高度=3米【解析】解：∵斜坡的坡度i=铅直高度水平宽度∴水平宽度=3×铅垂高度=3×3=9(米)，故答案为：9．直接利用坡度的定义进行解答即可．本题考查了解直角三角形的应用−坡度问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键．15.【答案】9【解析】解：延长AG交BC于D，如图，∵点G是△ABC的重心，∴DG=12AG=12×6=3，AD为BC边上的中线，∵AD=AG+DG=6+3=9，∴BC边上的中线长为9．故答案为9．延长AG交BC于D，如图，利用三角形重心的性质得DG=12AG=3，AD为BC边上的中线，然后AG+DG即可．本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．16.【答案】2【解析】解：∵PE//AB，PF//AC，∴PDAD =DEBD=DFCD=DE+DFBD+CD=EFBC=13，∴AD=3PD，∴APPD=2，故答案为：2．利用平行得出比例，进而利用比例性质解答即可．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．17.【答案】y=(x+3)2−1【解析】解：抛物线C1：y=x2−2x=(x−1)2−1，其顶点坐标是(1,−1)．∴点(1,−1)关于直线x=−1对称的点的坐标为(−3,−1)．∵抛物线C1：y=x2−2x与抛物线C2是关于直线x=−1对称，∴抛物线C2的顶点坐标是(−3,−1)，其开口方向与大小均与抛物线C1一致，∴抛物线C2的表达式为y=(x+3)2−1．故答案是：y=(x+3)2−1．根据题意知，抛物线C1与抛物线C2的开口方向、大小均一致，且顶点坐标关于直线x=−1对称，据此解答．本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象与几何变换．解题的关键是根据题意得到抛物线C2的顶点坐标是(−3,−1)．18.【答案】37【解析】解：如图，设点C落在射线CD上的点C′处，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√9+16=5，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD=∠DCB=45°，∵将Rt△ABC绕点A旋转，∴∠ACD=∠AC′C=45°=∠DCB，∠EAB=∠CAC′，∴∠CAC′=90°=∠EAB，∴AC′//BC，∴ADDB =AC′BC=34，∴AD=157，∴tan∠AED=ADAE =37，故答案为：37．设点C落在射线CD上的点C′处，由勾股定理可求AB=5，由旋转的性质可得∠ACD=∠AC′C=45°=∠DCB，∠EAB=∠CAC′，由平行线分线段成比例可求AD的长，即可求解．本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．19.【答案】解：∵a：b=2：3，b：c=3：4，∴设a=2k，b=3k，c=4k(k≠0)，∵2a+b−c=6，∴4k+3k−4k=6，∴k=2，∴a =2k =2×2=4，b =3k =3×2=6，c =4k =4×2=8．【解析】根据已知条件设a =2k ，b =3k ，c =4k(k ≠0)，再根据2a +b −c =6，求出k 的值，从而得出a 、b 、c 的值．此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵抛物线y =−x 2+ax +3的对称轴是直线x =1．∴−a 2×(−1)=1， ∴a =2，∴抛物线为y =−x 2+2x +3，∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴顶点P 的坐标为(1,4)；(2)∵抛物线y =−x 2+ax +3与y 轴交于点A ，∴A(0,3)，∵P(1,4)，B(1,−2)，∴PB//OA ，PB =2OA ，∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ ，∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ +b ⃗ ．【解析】(1)利用对称轴公式即可求得a 的值，然后把解析式化成顶点式，即可求得P 的坐标；(2)有P 、B 的坐标可知PB//OA ，PB =2OA ，即可得出PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ ，从而得到OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ +b ⃗ ．本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，向量的加、减法的运算法则，熟练掌握二次函数的性质上解题的关键． 21.【答案】解：(1)过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，∵AB =AC =√5，BC =2．∴BF =FC =12BC =1，在Rt △ACF 中，cos∠ACB =CFAC =√5=√55；(2)∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，在Rt△BDC中，∴cos∠ACB=CDBC，∴CD=BC⋅cos∠ACB=2×√55=2√55，BD=√BC2−CD2=√4−45=4√55，又∵∠A=∠E，∠ADB=∠EDC=90°，∴△ABD∽△ECD，∴ABEC =BDCD=21，∴EC=12AB=√52，答：EC的长为√52．【解析】(1)通过作高，构造直角三角形，利用锐角三角函数可求出答案；(2)在Rt△BDC中，由锐角三角函数求出CD，由勾股定理求出BD，再利用三角形相似即可求出答案．本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质以及相似三角形等知识，构造直角三角形是解决问题的关键．22.【答案】解：(1)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，如图2，∵∠BCD=143°，∴∠ECD=37°，∴∠EDC=53°，∴EC=CD×45=7.36(cm)，∴AE=AB+BC+CE=8.8+10+7.36=26.16≈26.2(cm)，∴D到底座高度为26.2cm；(2)作BE⊥AD于点E，CF⊥CD于点F，如图3，∵∠ABC=150°，BC//AD，∴∠BAE=30°，∴BE=12AB=4.4(cm)，∴CF=BE=4.4cm，∴CD=CF×53≈7.3(cm)，∴CD的长度为7.3cm．【解析】(1)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，解直角三角形求出EC即可解决问题；(2)作BE⊥AD于点E，CF⊥CD于点F，解直角三角形求出CF、CD即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23.【答案】证明：(1)∵CE⋅CB=AB⋅CD，∴ABEC =BCDC，又∵∠B=∠DCB，∴△ABC∽△ECD，∴∠CDE=∠ACB，∵∠CDE=∠CAD，∴∠DAC=∠ACB，∴AD//BC；(2)∵AD//BC，∴∠ADF=∠DEC，在△ADF和△DEC中，{∠DAC=∠CDE AD=DE∠ADF=∠DEC，∴△ADF≌△DEC(ASA)，∴AF =CD ，∵∠CDE =∠DAC ，∠DCA =∠DCF ，∴△ADC∽△DFC ，∴CD AC =CF CD ，∴CD 2=CF ⋅CA ，∴AF 2=CF ⋅CA ．【解析】(1)通过证明△ABC∽△ECD ，可得∠CDE =∠ACB =∠CAD ，可得结论；(2)由“ASA ”可证△ADF≌△DEC ，可得AF =CD ，通过证明△ADC∽△DFC ，可得CD AC =CF CD ，可得结论． 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AF =CD 是本题的关键．24.【答案】解：(1)把点A(4,0)和点B(0,2)代入抛物线y =−12x 2+bx +c 中得： {−12×16+4b +c =0c =2， 解得：{b =32c =2， ∴抛物线的解析式为：y =−12x 2+32x +2；(2)如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于G ，∴DG//OB ，∴△ADG∽△ABO ，∴AD AB =DG OB =AGOA ，∵AD =3BD ，∴OG =3AG ，∵A(4,0)，B(0,2)，∴OA =4，OB =2，∴OG =3，DG =12， ∵D(3,12)， 由平移得：点C 的横坐标为3，当x =3时，y =−12×9+32×3+2=2，∴m =2−12=32；(3)∵∠CBA =2∠BAO ，点C 在该抛物线上且在第一象限，∴点C 在AB 的上方，如图2，过A 作AF ⊥x 轴于A ，交BC 的延长线于点F ，过B 作BE ⊥AF 于点E ，∴BE//OA ，∴∠BAO =∠ABE ，∵∠CBA =2∠BAO =∠ABE +∠EBF ，∴∠FBE =∠ABE ，∵∠BEF =∠AEB =90°，∴∠F =∠BAF ，∴AB =BF ，∴AE =EF =OB =2，∴F(4,4)，设BF 的解析式为：y =kx +n ，则{4k +n =4n =2， 解得：{k =12n =2， ∴BF 的解析式为：y =12x +2，∴{y =12x +2y =−12x 2+32x +2，解得{x =0y =2或{x =2y =3， ∴C(2,3)．【解析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式即可；(2)如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于G ，利用平行证明△ADG∽△ABO ，列比例式可以计算OG 和DG 的长，从而得D(3,12)，最后由平移的性质可得m 的值； (3)如图2，作辅助线，构建等腰△ABF ，确定点F 的坐标，计算BF 的解析式，联立抛物线和BF 的解析式，方程组的一个解就是点C 的坐标．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求抛物线和一次函数的解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用数形结合的思想解决数学问题． 25.【答案】解：(1)解法一：如图1，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，∴BG =12BC ，∵AB =4，∴OB =2，∵cos∠CBO =78=BG OB ，∴BG =74，∴BC =2BG =72； 解法二：如图2，连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴cos∠ABC =BC AB =78，∴BC4=78，∴BC=72；(2)如图3，连接OC，∵∠P=∠P，△EDP与△AOP相似，∴△DPE∽△OPA，∴∠DPE=∠PAO，∵C是AP⏜的中点，∴∠AOC=∠COP，设∠ABC=α，则∠AOC=∠COP=2α，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=α，∵C是AP⏜的中点，∴OC⊥AP，∴∠PAO=90°−2α，∴∠DEP=∠OEB=90°−2α，在△OEB中，∠AOP=∠OEB+∠ABC，∴4α=90°−2α+α，∴α=18°，∴∠ABC=18°；(3)分两种情况：①如图4，当∠EOB=90°时，过D作DH⊥AB于H，∴DH//PO，第21页，共22页 ∴AD PD =AH OH ，∵AD =2PD ，∴AH =2HO ，∵AB =4，∴AH =43，OH =23，BH =83，∵AO =OP ，∠AOP =90°，∴∠A =45°，∴AH =DH =43，∵OE//DH ，∴OE DH =OB BH ，即OE 43=283， ∴OE =1，∴S 四边形AOED =S △ABD −S △OEB=12×4×43−12×2×1 =8−1 =53；②如图5，当∠OEB =90°时，连接AC ，∵∠C =∠OEB =90°，∴AC//OE ，CE =BE ，∵AD =2DP ，同理得AC =2PE ，∵AO =BO ，∴AC =2OE ，∴OE =PE =12OP ，∴AC =12AB ，第22页，共22页 ∴∠ABC =30°，∵AB =4，∴OB =2=AC ，OE =1，BE =√3，BC =√42−22=2√3，∴CE =√3，∵AC//PE ，∴CD DE =AD DP =2，∵CD +DE =√3，∴CD =2√33， ∴S 四边形AOED =S △ABC −S △OEB −S △ACD=12×2×2√3−12×1×√3−12×2×2√33 =5√36． 综上，四边形AOED 的面积是53或5√36．【解析】(1)解法一：如图1，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，根据垂径定理和余弦的定义可得BC 的长；解法二：如图2，连接AC ，根据圆周角定理可得∠ACB =90°，根据cos∠CBO =78可得BC 的长；(2)如图3，如图3，连接OC ，根据题意可知：△EDP 与△AOP 相似只存在一种情况：△DPE∽△OPA ，得∠DPE =∠PAO ，设∠ABC =α，则∠AOC =∠COP =2α，在△OEB 中根据三角形外角的性质列方程可得结论；(3)当△BEO 为直角三角形时，∠OBE 不可能是直角，所以分两种情况：①如图4，当∠EOB =90°时，作辅助线，作平行线，根据平行线分线段成比例定理计算AH ，OH ，BH 的长，根据面积差可得结论；②如图5，当∠OEB =90°时，连接AC ，证明∠ABC =30°，分别计算各边的长，根据面积差可得结论．本题是圆的综合题，考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，勾股定理，三角形和四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，所以中考压轴题．。

2022年上海市松江区中考一模数学试卷一、选择题（共6小题；共30分）1. 已知在中，，，，那么下列结论一定成立的是A. B. C. D.2. 已知为锐角，若，则的度数是A. B. C. D.3. 已知二次函数的图象如图所示，那么下列判断正确的是A. ，B. ，C. ，D. ，4. 已知，那么下列判断错误的是A. B.D.5. 如图，已知点是的重心，那么等于A. B. C. D.6. 下列四个命题中，真命题的个数是（）底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似；（）底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；（）底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；（）腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似．A. B. C. D.二、填空题（共12小题；共60分）7. 已知两个相似三角形的面积比为，那么这两个相似三角形的周长比为．8. 已知，那么．9. 把抛物线向右平移个单位，所得新抛物线的表达式是．10. 已知，，是黄金分割点，，则的长为．11. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，那么直线与轴夹角的正切值是．12. 如果一个二次函数图象的对称轴是直线，且沿着轴正方向看，图象在对称轴左侧部分是上升的，请写出一个符合条件的函数解析式．13. 一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为．14. 如图，码头在码头的正东方向，它们之间的距离为海里．一货船由码头出发，沿北偏东方向航行到达小岛处，此时测得码头在南偏西方向，那么码头与小岛的距离是海里（结果保留根号）．15. 如图，某时刻阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下米宽的“亮区”，光线与地面所成的角（如）的正切值是等于米．16. 我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形中，，，，，分别是边，上的点，且，如果四边与四边形相似，那么的值是．17. 如图，已知在梯形中，，，设，那么可以用，表示为．18. 如图，已知矩形中，，，是边上一点，将绕点顺时针旋转得到，使得点的对应点落在上，如果的延长线恰好经过点，那么的长度等于．三、解答题（共7小题；共91分）19. 已知一个二次函数图象的顶点为，与轴的交点为．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象．20. 如图，已知平行四边形中，是延长线上一点，连接，分别交，于点，，且．（1）如果，求的长；（2）求的值．21. 如图，已知中，，，，交于点．（1）求的长；（2）求的正弦值．22. 某货站沿斜坡将货物传送到平台．一个正方体木箱沿着斜坡移动，当木箱的底部到达点时的平面示意图如图所示．已知斜坡的坡度为，点到地面的距离米，正方体木箱的棱长米，求点到地面的距离．23. 已知：如图，梯形中，，，过点作的平行线交于点．（1）如果，求证：；（2）如果，求证：．24. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）直线与该抛物线交于点，与线段交于点（点与点，不重合），与轴交于点，连接，．①当时，求的值；②当平分时，求的面积．25. 如图，已知中，，，，是边上一点（与点，不重合），平分，交边于点，，垂足为点．（1）当时，求的长；（2）当与相似时，求的正切值；（3）如果的面积是面积的倍，求这时的长．答案第一部分1. D【解析】在中，，，，则，．2. C【解析】为锐角，，，．3. D【解析】抛物线开口向上，，抛物线对称轴在轴右侧，，，抛物线与轴交点在轴下方，．4. A【解析】A、由知，，符合题意；B、由知，，不符合题意；C、由，不符合题意；D、由知，，不符合题意．5. B【解析】连接延长交于点，是的重心，是的中点，，，，，，，．6. C【解析】（）两个等腰三角形的两腰相等，底边和腰对应成比例的两个等腰三角形一定相似；故（）是真命题．（）如图，和是等腰三角形，，则，，，，，，，，底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，故（）是真命题．（）同理，底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，故（）是真命题．（）如图，和是等腰三角形，，，，但此时两个三角形不相似，故（）是假命题．第二部分7. 或【解析】两个相似三角形的面积比为，这两个相似三角形的相似比为，这两个相似三角形的周长比为．8.【解析】，，．9.【解析】抛物线的顶点坐标为，抛物线向右平移个单位后，所得新抛物线的表达式为，即．【解析】由于为线段的黄金分割点，且是较长线段；则．【解析】如图，过点作轴交于点，，，，．12. （答案不唯一）【解析】二次函数的图象在对称轴的左侧部分是上升的，这个二次函数的二次项系数为负数，符合条件的函数有，答案为：，答案不唯一．13.【解析】由题意可得：，．14.【解析】过作于，则，由题意得：，，是等腰直角三角形，，，设海里，则海里，在中，，（海里），，，解得：，，即海里．15.【解析】由题意知，，，，，，，，，，．【解析】四边与四边形相似，，，，，解得：，四边与四边形相似，．17.【解析】，．，，，，，．18.【解析】如图，连接，，因为矩形中，，，所以，由旋转知，，所以，，因为的延长线恰好经过点，所以，在中，，因为，所以，在中，．第三部分19. （1）设抛物线解析式为，将代入得：，．（2）二次函数图象如下图所示：20. （1）四边形是平行四边形，，，，，，又，，．（2）四边形是平行四边形，，即，，，，，又，，，．21. （1）过点作于．在中，，，，，，，，，在中，，，．（2）过点作于，在中，，，，，．22. 过点作于，延长交于，则四边形为矩形，，，，，，，由勾股定理得：，即，解得：，（米），（米）．答：点到地面的距离为米．23. （1），，，，，，，，，．（2），，，，，，，，，，，又，，，，．24. （1）由可得：当时，；当时，，，，把，的坐标代入得：解得：抛物线的解析式为：．（2）①如图，，，，，又，，，，点的纵坐标为，，或，，；②如图，设，过点作于点，，，，，，，25. （1）在中，，，，，平分，，，，在和中，，，，，．（2），，与相似，或．①当时，则，，，，，平分，；②当时，则，，平分，，，，，．综上所述，的正切值为或．（3）如图，过点作于点．平分，，，，，，，的面积是面积的倍，，，，，设，则，，，，，，平分，，，，，，，，即，解得：，，，故这时的长为．。