绝密★启用前2017届福建省泉州市高三3月质量检测文数试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．设集合={0,1,2},={x|(x+1)(x−2)<0}，则A∩B的元素个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32．已知z=a i(a∈R),(1+z)(1+i)是实数，则|z+2|=（）A. 3B. 5C. 3D. 53．某厂在生产某产品的过程中，采集并记录了产量x（吨）与生产能耗y（吨）的下列对应数据：根据上表数据，用最小二乘法求得回归直线方程y=b x+1.5.那么，据此回归模型，可预测当产量为5吨时生产能耗为（）A. 4.625吨B. 4.9375吨C. 5吨D. 5.25吨4．已知直线a,b，平面α,β,a⊂α,b⊂α，则a//β,b//β是α//β的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5．已知实数x,y满足{x≥0x−2y≥0y≥x−1，则z=a x+y(a>0)的最小值为（）A. 0B. aC. 2a+1D. -16．双曲线的焦点到渐近线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率等于（）A. 2 B. 3 C. 2 D. 37．函数f(x)=ln(x+1)+ln(x−1)+cos x的图象大致是（）A. B.C. D.8．如图，在正方形网格纸上，粗实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸.若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于（ ）A. 8πB. 18πC. 24πD. 8 6π9．执行如图所示程序框图，若输出结果是5，则输入的整数p 的可能性有（ ）A. 6种B. 7种C. 8种D. 9种10．已知函数f (x )={x 2+x ,x ≥0−3x ,x <0，若a [f (a )−f (−a )]>0，则实数a 的取值范围为（ ）A. (1,+∞)B. (2,+∞)C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)11．已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(0<ω<1,|φ|<π).若对任意x ∈R ,f (1)≤f (x )≤f (6)，则（ ）A. f (2014)−f (2017)<0B. f (2014)−f (2017)=0C. f (2014)+f (2017)<0D. f (2014)+f (2017)=012．函数f (x )=ax 3+(a −1)x 2−x +2(0≤x ≤1)在x =1处取得最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A. a ≤0B. 0≤a ≤35 C. a ≤35 D. a ≤1第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．设向量a =(1,3),b =(2,x +2)，且a //b ，则x =__________． 14．已知a ∈(0,π2),sin 2α=12则sin (α+π4)=__________．15．过点P (−3,1),Q (a ,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2+y 2=1相切，则a 的值为__________． 16．ΔA B C 中，D 是B C 上的点，D A =D B =2,D C =1，则A B ·A C 的最大值是__________．三、解答题17．等差数列{n a 2=2，数列{b n }中，b n =2a n b 4=4b 2． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）若a 2b 1−a 1b 1+a 3b 2−a 2b 2+⋯+a n +1b n −a n b n ≤2017，求n 的最大值． 18．在如图所示的多面体中，D E ⊥平面A B C D ,A F //D E ,A D //B C ,A B =C D ,∠A B C =600，B C =2A D =4D E =4．（1）在A C 上求作点P ，使P E //平面A B F ，请写出作法并说明理由； （2）求三棱锥A −C D E 的高．19．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“及格”、“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示.（1）求a ,b ,c 的值；（2）试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数；（3）已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训；现再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中有1人为“优秀”的概率；20．在平面直角坐标系x O y中，抛物线C:x2=2p y(p>0)的焦点为F，点A在C上．若|A O|=|A F|=32．（1）求C的方程；（2）设直线l与C交于P,Q，若线段P Q的中点的纵坐标为1，求ΔO P Q的面积的最大值．21．函数f(x)=[x2−(n+1)x+1]e x−1,g(x)=f(x)x2+1,n∈R．（1）讨论f(x)的单调性；（2）当f(x)在R上单调递增时，证明：对任意x1,x2∈R且x1≠x2,g(x2)+g(x1)2>g(x2)−g(x1)x2−x1．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y中，直线l的参数方程为{x=3+t cosφy=1+t sinφ（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）当φ∈(0,π)时，l与C相交于P,Q两点，求|P Q|的最小值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|+|2x−4|．（1）解关于x的不等式f(x)<9；（2）若直线y=m与曲线y=f(x)围成一个三角形，求实数m的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．参考答案1．C【解析】因为B=(−1,2) ,所以A∩B={0,1} ,即A∩B的元素个数为2,选C.2．B【解析】因为(1+z)(1+i)=(1+a i)(1+i)=(1−a)+(1+a)i为实数,所以1+a=0,a=−1,因此|z+2|=|−i+2|=1+5=5,选B.3．C【解析】因为回归直线方程y=b x+1.5过定点(x,y)=(5,5),所以当产量为5吨时生产能耗为5吨 ,选C.4．B【解析】因为直线a,b不一定相交,所以a//β,b//β时α,β不一定平行,而α//β时平面α内任意直线都平行平面β,即a//β,b//β,因此a//β,b//β是α//β的必要但不充分条件,选B.5．D【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部,其中A(0,0),B(0,−1),C(2,1) ,所以直线z=a x+y(a>0)过点B时取最小值−1.选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6．A【解析】因为双曲线的焦点到渐近线的距离为b，所以b=a,e=2.选A.7．A【解析】因为x>1,所以去掉C,D;当x≥e+1时，f(x)≥ln(e+2)+1−1>0，所以选A.8．C【解析】多面体为两个正四棱锥的组合体（底面重合）.两顶点之间距离为2R，底面为边长)2=33⇒R2=6⇒S=4πR2=24π.选C.为2R的正方形,所以R2+(2R2点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段P A,P B,P C两两互相垂直，且P A=a,P B=b,P C=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2=a2+b2+c2求解．9．B【解析】第一次循环，S=1,n=2；第二次循环，S=1+3,n=3；第三次循环，S=1+3+5,n=4；第四次循环，S=1+3+5+7,n=5；结束循环，输出n=5，因此1+3+5≤p,1+3+5+7>p，即9≤p<16，输入的整数p的可能性有16−9=7，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10．D【解析】当a>0时，a2+a−[−3(−a)]>0⇒a2−2a>0⇒a>2(∵a>0)；当a>0时，−3a−[(−a)2+(−a)]<0⇒a2+2a>0⇒a<−2(∵a<0)；综上实数a的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞) 11．A【解析】由题意得f(x)min=f(1),f(x)max=f(6),因为0<ω<1，所以T=2πω>2π⇒T2>π因此T2=6−1⇒T=10 , 且x=6为一条对称轴，f(x)在[1,6]上单调递增，f(3.5)=0，所以f(2014)−f(2017)=f(4)−f(7)=f(4)−f(5)<0，f(2014)+f(2017)=f(4)+ f(7)=f(4)+f(5)>0，选A.点睛：已知函数y=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式(1)A=y max−y min2,B=y max+y min2.(2)由函数的周期T求ω,T=2πω.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ，(4) 利用“五点法”中相对应的点研究对称性、单调性.12．C【解析】由题意得不等式f(x)≥f(1)对x∈[0,1]恒成立，化简得a(1−x)(x2+2x+2)≤(1−x)(x+2)对x∈[0,1]恒成立，当x=1时，a∈R；当0≤x<1时，a≤(x+2x+2x+2)min；令t=x+2，则t∈[2,3),x+2x+2x+2=tt−2t+2=1t+2−2>13+23−2=35，所以a≤35，综上实数a的取值范围是a≤35，选C.点睛：本题实质是研究不等式恒成立时的参数范围问题，一般方法为把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 13．4【解析】由题意得3×2=1×(x+2),x=414．32【解析】∵(sinα+cosα)2=1+sin2α=32,α∈(0,π2)∴sinα+cosα=62因此sin(α+π4)=22(sinα+cosα)=32.15．−53【解析】点P(−3,1)关于x轴对称点为P′(−3,−1)，由题意得直线P′Q与圆x2+y2=1相切，因为P′Q:x−(a+3)y−a=0，所以由a =1得a=−53.16．922【解析】因为cos∠A D B+cos∠A D C=0，所以由余弦定理得4+4−AB22×2×2+4+1−AC22×2×1=0⇒AB2+2AC2=18因此AB2+2AC2=18≥2AB⋅2AC=22A B⋅A C，即A B⋅A C≤922，当且仅当A B=2A C时取等号，从而A B·A C的最大值是922.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.17．（1）a n=n.b n=2n.（2）9.【解析】试题分析：（1）求等差数列通项公式关键求公差,由b4=4b2得2a4−a2=4,即22d=4，解得d=1，最后根据等差数列广义通项公式得a n=a2+(n−2)d,即a n=n.再由b n=2a n得b n=2n.（2）先求和a2b1−a1b1+a3b2−a2b2+⋯+a n+1b n−a n b n,方法可利用分组求和法将数列求和转化为等比数列求和,再利用数列单调性解不等式2n+1≤2019，得n的最大值为9.试题分析：（1）设等差数列{a n}的公差为d.由题意，可得b4=2a4,b2=2a2,2a4=4·2a2，整理，得2a4−a2=4，即22d=4，解得d=1，又a2=a1+d，故a1=a2−d=1，所以a n=a1+(n−1)d=n.b n=2n.（2）a2b1−a1b1+a3b2−a2b2+⋯+a n+1b n−a n b n=(a2−a1)b1+(a3−a2)b2+⋯+ (a n+1−a n)b n=b1+b2+⋯+b n=2−2n·21−2=2n+1−2故a2b1−a1b1+a3b2−a2b2+⋯+a n+1b n−a n b n≤2017，可化为2n+1−2≤2017，即2n+1≤2019，即2n≤20192，因为f(x)=2x在R上为增函数，且f(9)=512<20192,f(10)=20482>20192，所以n的最大值为9.18．（1）详见解析（2）3.【解析】试题分析：（1）由题意A F//D E,因此只需D P//A B,就可推出P E//平面A B F，而D P延长线与B C交点恰为B C的中点.因此作法为先取B C的中点G，再连结D G，交A C于P.证法为先由线线平行证得线面平行，再由线面平行证得面面平行，最后由面面平行证得线面平行.（2）求三棱锥的高，可由等体积法求得：因为V A−C D E=V E−A C D，而D E⊥平面A B C D，所以13×SΔC D E× =13SΔA C D×D E，这样只需求出两个三角形面积，代入化简即得三棱锥的高.试题分析：解：（1）取B C的中点G，连结D G，交A C于P，连结P E.此时P为所求作的点.下面给出证明：∵B C=2A D，∴B G=A D，又B C//A D，∴四边形B G D A是平行四边形，故D G//A B即D P//A B.又A B⊂平面A B F,D P⊄平面A B F，∴D P//平面A B F；∵A F//D E,A F⊂平面A B F，D E⊄平面A B F，∴D E//平面A B F.又∵D P⊂平面P D E,D E⊂平面P D E,P D∩D E=D，∴平面A B F//平面PD E，又∵P E⊂平面P D E，∴P E//平面A B F.（2）在等腰梯形A B C D中，∵∠A B G=600,B C=2A D=4，∴可求得梯形的高为3，从而ΔA C D的面积为12×2×3=3.∵D E⊥平面A B C D，∴D E是三棱锥E−A C D的高.设三棱锥A−C D E的高为 .由V A−C D E=V E−A C D，可得13×SΔC D E× =13SΔA C D×D E，即12×2×1× =3，解得 =3，故三棱锥A−C D E的高为3.19．（1）b=12,a=18,c=0.015.（2）600. （3）815.【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可知小长方形面积等于对应区间的概率（频率），所以可得得分在[70,90)的频率，再根据频数等于总数与频率的乘积得6+a+24+b=60，另根据对应比例关系有60.005=ac=b0.01，解方程组可得a,b,c的值；（2）由频率分布直方图可知小长方形面积等于“优秀”区间的概率（频率），所以可得“优秀”的频率，再根据频数等于总数与频率的乘积得“优秀”的人数；（3）根据分成抽样可得故选取的6人中“良好”有4人，“优秀”有2人，再根据枚举法确定从这6人中任选2人的基本事件总数以及选取的2人中有1人为“优秀”的所包含的基本事件数，最后根据古典概型概率求法求概率.试题分析：解：（1）由频率分布直方图可知，得分在[70,90)的频率为0.005×20=0.1，再由[70,90)内的频数6，可知抽取的学生答卷数为60人，则6+a+24+b=60，得a+b=30；又由频率分布直方图可知，得分在[130,150]的频率为0.2，即b60=0.2，解得b=12,a=18.进而求得c=1860×20=0.015.（2）由频率分布直方图可知，得分在[130,150]的频率为0.2，由频率估计概率，可估计从全校答卷中任取一份，抽到“优秀”的概率为0.2，设该校测试评定为“优秀”的学生人数为n，则n3000=0.2，解得n=600，所以该校测试评定为“优秀”的学生人数约为600.（3）“良好”与“优秀”的人数比例为24：12=2：1，故选取的6人中“良好”有4人，“优秀”有2人，“良好”抽取4人，记为a,b,c,d，“优秀”抽取2 人，记为A,B，则从这6人中任取2人，所有基本事件如下：A B,A a,A b,A c,A d,B a,B b,B c,B d,a b,a c,a d,b c,b d,cd共15个，事件A:“所抽取的2人中有人为‘优秀’”含有8个基本事件，所以所求概率P(A)=815.20．（1）x 2=4y （2）2.【解析】试题分析：（1）先设点A (x ,y )坐标，再根据条件列方程组：x 2=2p y ,y +p2=32,x 2+y 2=94 ，代入得2p (32−p2)+(32−p2)2=94，解得p =2，即得抛物线方程；（2）利用斜截式设直线方程，与抛物线联立，根据韦达定理得两根之间关系，结合弦长公式可得底边P Q 长（用斜率与截距表示），再根据点到直线距离公式求出三角形的高（用斜率与截距表示），根据P Q 的中点的纵坐标为1得出斜率与截距之间关系，将三角形面积关系化为一元（斜率）函数，最后结合判别式确定自变量（斜率）取值范围，利用导数求最值. 试题分析：（1）抛物线C 的焦点F 的坐标为(0,p2). 因为|A O |=|A F |=32，所以可求得A 点坐标为(±1436−p 2,p 4).将A 点坐标代入x 2=2p y 得116(36−p 2)=2p ×p4，解得p =2，故抛物线方程为x 2=4y .（2）依题意，可知l 与x 轴不垂直，故可设l 的方程为y =k x +b ， 并设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (x 0,1),P Q 的中点M (x 0,1). 联立方程组{y =k x +bx 2=4y，消去y ，得x 2−4k x −4b =0， 所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=−4b . 因为线段P Q 的中点的纵坐标为1，所以y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2b =4k 2+2b =2，即b =1−2k 2. 因为直线l 与C 交于P ,Q ，所以Δ=16k 2+16b >0，得k 2+b >0， 故k 2+b =k 2+(1−2k 2)>0, k 2∈[0,1). 由y =k x +b ，令x =0得y =b =1−2k 2，故S ΔO P Q =12|b ||x 1−x 2|=12|1−2k 2|× (x 1+x 2)2−4x 1x 2=2 (1−2k 2)2(1−k 2)， 设t =1−2k 2，则t ∈(−1,1]，设y =(1−2k 2)2(1−k 2)=t 2·t +12=12(t 3+t 2)， 令y ′=12(3t 2+2t )=32t (t +23)=0得t =0或t =−23， 由y ′>0得t ∈(−1,−23)∪(0,1)，由y ′<0得t ∈(−23,0)，所以y =12(t 3+t 2)的单调增区间为(−1,−23),(0,1)，单调减区间为(−23,0)， 当t =−23时，y =227；当t =1时，y =1>227，故y max =1， 所以S ΔO P Q 的最大值是2.注：面积也可通过求弦长|P Q|和点O到直线P Q的距离建立，可参照上述类似给分.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21．（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数，确定导函数零点，根据两个零点大小关系分类讨论导函数符号变化规律，进而确定函数单调区间，（2）利用导数证明不等式，关键是构造恰当的目标函数，因此先利用分析法探求目标函数：第一步，根据（1）得n=−1，第二步，同除以e x1−1，将二元问题转化为一元（关于x2−x1），第三步，利用导数研究函数 (x)=(x−2)e x+x+2(x>0)单调性（单调递增），第四步，根据单调性，得不等关系 (x)> (0)=0，根据等价性得原不等式成立.试题分析：解：（1）f′(x)=[2x−(n+1)]e x−1+[x2−(n+1)x+1]e x−1，=[x2+(1−n)x−n]e x−1=(x+1)(x−n)e x−1，令f′(x)=0得x1=−1,x2=n.当x1=x2，即n=−1时，f′(x)=(x+1)2e x−1≥0，故f(x)在R上单调递增，当x1>x2，即n<−1时，令f′(x)<0，得n<x<−1，所以f(x)在(n,−1)上单调递减；同理，可得f(x)在(−∞,n),(−1,+∞)上单调递增.当x1<x2，即n>−1时，令f′(x)<0，得−1<x<n，所以f(x)在(−1,n)上单调递减；同理，可得f(x)在(−∞,1),(n,+∞)上单调递增.综上可知，当n<−1时，f(x)在(n,−1)上单调递减，在(−∞,n),(−1,+∞)上单调递增，当n=−1时，f(x)在R上单调递增，当n>−1时，f(x)在(−1,n)上单调递减，在(−∞,−1),(n,+∞)上单调递增.（2）由（1）知，当f(x)在R上单调递增时，n=−1，故g(x)=f(x)x+1=e x−1.不妨设x2>x1，则要证g(x2)+g(x1)2>g(x2)−g(x1)x2−x1，只需证[g(x2)+g(x1)](x2−x1)>2(g(x2)−g(x1))，即证(e x2−1+e x1−1)(x2−x1)>2(e x2−1−e x1−1)，只需证(e x2−x2+1)(x2−x1)>2(e x2−x1−1)，令t=x2−x1，则t>0，不等式(e x2−x2+1)(x2−x1)>2(e x2−x1−1)可化为(e t+1)t>2(e t−1).下面证明：对任意t>0,(e t+1)t>2(e t−1)，令 (x)=(e x+1)x−2(e x−1)(x≥0)，即 (x)=(x−2)e x+x+2(x≥0)，则 ′(x)=(x−1)e x+1，令φ(x)= ′(x)=(x−1)e x+1(x≥0)，则φ′(x)=xe x≥0，所以φ(x)在[0,+∞)上单调递增，又φ(0)=0，所以当x≥0时，φ(x)≥φ(0)=0即 ′(x)≥0，故 (x)在[0,+∞)上单调递增,又 (0)=0，所以当t>0时， (t)> (0)=0，故对任意t>0，(e t+1)t>2(e t−1)，所以对任意x1,x2∈R且x1≠x2，g(x2)+g(x1)2>g(x2)−g(x1)x2−x1.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 (x)=f(x)−g(x).根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22．（1）l 的普通方程为(sin φ)x −(cos φ)y +cos φ−3sin φ=0，C 的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4；（2）2 2.【解析】试题分析：（1）利用三种方程的转化方法，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）由（1）可知圆心坐标为C （2，0），半径为2，直线过点A （3，1），CA ⊥PQ 时，可求|PQ|的最小值．试题解析：（1）由直线l 的参数方程{x =3+t c o sφy =1+t s i n φ（t 为参数）， 消去参数t 得，(x −3)sin φ−(y −1)cos φ=0，即直线l 的普通方程为(sin φ)x −(cos φ)y +cos φ−3sin φ=0，由圆C 的极坐标方程为ρ=4cos θ，得ρ2−4ρcos θ=0 (∗)，将{x =ρco sθx 2+y 2=ρ2代入(*)得， x 2+y 2−4x =0， 即C 的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4.（2）将直线l 的参数方程代入(x −2)2+y 2=4得，t 2+2(cos φ+sin φ)t −2=0，Δ=4(cos φ+sin φ)2+8>0，设P ,Q 两点对应的参数分别为t 1,t 2，则t 1+t 2=−2(cos φ+sin φ),t 1t 2=−2，所以|P Q |=|t 1−t 2|= (t 1+t 2)2−4t 1·t 2=2 3+2sin φcos φ=2 3+sin 2φ，因为φ∈(0,π),2φ∈(0,2π)，所以当φ=3π4,sin 2φ=−1时，|P Q |取得最小值2 2.【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】解法二：（1）同解法一（2）由直线l 的参数方程知，直线l 过定点M (3,1)，当直线l ⊥C M 时，线段P Q 长度最小.此时|C M |2=(3−2)2+1=2，|P Q |=2 r 2C M 2=2 4−2=2 2，所以|P Q |的最小值为2 2.解法三：（1）同解法一（2）圆心(2,0)到直线(sin φ)x −(cos φ)y +cos φ−3sin φ=0的距离，d =|cos φ−sin φ|= 2|sin (φ−π4)|，又因为φ∈(0,π)，所以当φ=34π时，d 取得最大值 2. 又|P Q |=2 r 2−d 2=2 4−d 2，所以当φ=34π时，|P Q |取得最小值2 2.23．（1）(−2,4)；（2）m 的范围是(3,6]，S max =6.【解析】试题分析：（1）分类讨论以去掉绝对值号，即可解关于x 的不等式f (x )<9;（2）作出函数的图象，结合图象求解．试题解析：（1）f(x)=|x+1|+|2x−4|={−3x+3,x≤−1−x+5,−1<x<23x−3,x≥2.①当x≤−1时，由不等式−3x+3<9，解得x>−2.此时原不等式的解集是：{x|−2<x≤−1.②当−1<x<2时，由不等式−x+5<9，解得x>−4.此时原不等式的解集是：{x|−1<x<2}.③当x≥2时，由不等式3x−3<9，解得x<4，此时原不等式的解集是：{x|2≤x<4}.综上可得原不等式的解集为(−2,4).（2）由（1）可得，函数f(x)的图像是如下图所示的折线图.因为f(−1)=6,f(x)min=f(2)=3，故当3<m≤6时，直线y=m与曲线y=f(x)围成一个三角形，即m的范围是(3,6].【注：范围正确，不倒扣】且当m=6时，S max=12(3+1)(6−3)=6.。
