2009年尤溪一中高一保送生数学模拟卷(2)

2009年高考模拟试卷数 学命题单位 无锡市区本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．选修测试历史的而考生仅需做第I 卷，共160分，考试用时120分钟．选修测物理的考生需做第I 卷和第II 卷，共200分考试用时150分钟．第I 卷（必做题 共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上．1．若复数z 满足i z i 6)33(=-（i 是虚数单位），则|z|= ▲ ．【解题探究】本题由教材(苏教版选修2-2)118P 的第4题改编而得，主要考查复数模的概念与复数的运算等基础知识，属容易题，只要根据复数的运算法则进行准确的计算就能很快地得出结果．【答案详解】由i z i 6)33(=-，得z ===∴||z =【链接高考】复数是高中数学新课程的新增内容，高考对复数的考查要求较低，常以填空题的形式出现，只考查复数的有关概念、代数运算及简单的几何意义，备考时不要过分拔高，应立足于求会、求准、求熟而不求深．2．已知集合{}2{|1},|log 1M x x N x x =>=<，则()U M N = ð ▲ ．【解题探究】本题主要考查集合的表示、集合的运算和对数函数的单调性等基础知识，属容易题，只要根据对数函数的单调性的求出集合N 中的元素，再借助数轴求出两个集合的公共部分即可．值得注意的是要注意对数的真数必须大于0，防止因忽略定义域而导致解题失误．【答案详解】{|02}N x x =<<，{|12}M N x x =<< ，∴(){|1U M N x x =≤ ð或2}x ≥． 【链接高考】集合是一种语言,是一种工具,也是一种思想,是高考必考的内容之一．根据《考试说明》的要求，江苏省高考对集合的考查主要以填空题的形式进行，难度不大，重点是集合的表示方法、集合间的关系和集合的运算等基础知识以及分类讨论和数形结合等思想方法，常常与函数、方程、不等式知识结合在一起，体现高考数学在知识点的交汇处设计命题、考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力的命题思想和命题原则．3．如图是某次大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是 ▲ ．【解题探究】本题由教材(苏教版必修3)82P 的第10题改编而得，主要考查茎叶图的概念以及均值与方差的计算方法等基础知识，考查统计学运用样本估计总体的基本思想和识图用图的能力．求解本题，只要直接运用均值与方差的计算公式准确地进行计算即可． 【答案详解】依题意，有180(44647)855x =+++++= ， ∴22221[3(8485)(8685)(8785)] 1.65s =-+-+-=． 【链接高考】茎叶图与均值、方差等都是统计学中的重要内容，对于抽样获取的样本，用茎叶图或频率分布直方图可以使蕴含在数据之中的规律得以客观的揭示，而且富有直观、形象等特征，高考对统计知识的考查，常常以茎叶图或频率分布直方图的形式给出样本数据的规律，考查考生对统计学的思想方法的掌握情况和从图表中获取信息、处理信息的能力．在复习中对此应引起一定的重视．4．已知α是第二象限的角，且3sin()5πα+=-，则tan 2α的值为 ▲ ． 【解题探究】这是一道三角函数知值求值问题，由教材(苏教版必修4)108P 的第4题改编所得，主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角的正切公式等基础知识以及运用三角公式进行三角变换的能力．由已知条件，运用诱导公式求出sin α的值，再由同角三角函数的关系式求出tan α的值，最后根据二倍角的正切公式得到tan 2α的值．需要注意的是，运用同角三角函数的基本关系式时，要由角的象限确定根号前的符号．【答案详解】由3sin()5πα+=-，得3s i n 5α=，∵α是第二象限的角，∴4cos 5α=- 从而得3tan 4α=-，∴2232()2tan 244tan 231tan 71()4ααα⨯-===---． 【链接高考】诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等是进行三角恒等变形的重要公式，也是高考对三角恒等变形的考查的一个重点内容和热点内容，要熟悉这些公式并能灵活地加以应用．在运用三角函数公式进行恒等变换时，要注意坚持结构同化的原则，即尽可能地化为同名函数、同角函数、同次函数等，其中，切函数化为弦函数也是同化思想的一种体现．5．已知数列{}n x 满足*1lg 1lg ()n n x x n N +=+∈，且1231001x x x x ++++= ，则101102200lg()x x x +++= ▲ ．7 8 9 9 4 4 6 4 7 3【解题探究】本题主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式与前n 项和的求法等基础知识和基本方法，考查推理能力、运算能力和灵活地运用所学知识分析问题与解决问题的能力．由*1lg 1lg ()n n x x n N +=+∈结合等差数列的定义，知数列{lg }n x 是等差数列，从而知数列{}n x 是等比数列，只要正确地运用等比数列的前n 项和公式进行计算即可使问题获解．【答案详解】 由1lg 1lg n n x x +=+得1lg lg 1n n x x +-=，∴110n nx x +=，数列{}n x 是公比为10的等比数列，∴100110n n x x +=⋅，得1010101102201231010()10x x x x x x x +++=++++= ，∴100101102200lg()lg10100x x x +++== ．【链接高考】等差数列与等比数列在江苏省2009年的《考试说明》中都被列为C 级要求，是高考考查的热点和重点，复习中，要牢固地掌握其定义、通项公式、前n 项和公式以及它们的有关性质，并能熟练地加以运用，要注意这两个特殊数列之间的内在联系，关注它们与对数、函数、方程、不等式等知识的交汇与综合，提高综合运用和灵活运用数列的知识分析问题和解决问题的能力，以适应新课程高考的要求．6．右图是一个空间几何体的三视图，各视图中的尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积是 ▲ cm 2．【解题探究】 本题由教材(苏教版必修2) 60P 的第9题改编而得，旨在考查三视图、三棱柱和球的体积公式等基础知识，考查识图用图能力、空间想象能力和运算能力，解题的关键是根 据三视图想象出几何体的直观图，再利用相应的几何体的体积公式进行计算．【答案详解】由三视图可知，空间几何体是一个水平摆放的正三棱柱（如图所示），其表面积为（18＋23）cm 2．【链接高考】几何体的投影和视图是高中数学新课程新增的教学内容，它是描述现实生活中的一些简单实物的重要手段，也是在平面上表示空间图形的重要方法．由于三视图是空间图形平面化描述的有效载体，因此能有效地考查空间想象能力和几何直观能力，从而受到新课程高考命题人员的青睐．考查三视图可以由直观图画三视图，也可由三视图画直观图，然后按传统方法求面积、体积等，既可以在填空题中出现，也可以在解答题中进行考查．7．某商场举行抽奖活动，从装有编为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个33 2主视图 俯视图左视图小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．则中奖的概率为 ▲ ．【解题探究】 本题主要考查古典概型和对立事件的概率计算等基础知识，考查等价转化的数学思想方法，考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力．求解本题， 由于正面的情形：“中奖”的情况比较复杂，故可以从反面入手，通过计算不中奖的概率，再运用对立事件的概率公式求出结果．【答案详解】两个小球号码相加之和等于1的取法有1种：（0，1）两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：（0，2），故22()163P B =-=． 【链接高考】古典概型是一种重要的概率模型，其基本特征是实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性，明确这个特征，能将实际问题转化为古典概型问题，从而借助公式()m P A n =求出结果是高考对概率问题考查的一个重点．由于没有计数原理的支持，计数的方法通常是枚举法或者是树形图法，这一点，在复习中要把握好尺度，避免在计数方法上设置障碍，人为地增加解题的难度．8．设双曲线的中心O 关于其右焦点的对称点为G ，以G 为圆心作一个与双曲线的渐 近线相切的圆，则双曲线的右准线与圆G 的位置关系是 ▲ ．【解题探究】 本题在直线与圆的位置关系和双曲线的几何性质等知识的交汇点处设计，主要考查双曲线的渐近线、准线等几何性质以及直线与圆的位置关系的判定等基础知识和基本方法，考查运算能力和运用数形结合的思想、方程的思想分析问题、解决问题的能力．解题时，要注意结合图形进行分析，通过运算作出判断．【答案详解】在如图所示的坐标系下，圆心(2,0)G c 到渐近线b y x a=即0bx ay -=的距离22bc d b c ===，故圆G 的半径2r=2a x c =的距离为2222222a c a c b c c c c-+-==． ∵222222()20c b c b bc c b b c c c++---==>， ∴双曲线的右准线与圆G 的位置关系是相离．【链接高考】 圆锥曲线是解析几何中的重要内容，新课程高考降低了直线与圆锥曲线的位置关系的要求，圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质成了考查的重点，复习中，准确地理解圆锥曲线的定义，熟练地掌握圆锥曲线的方程的求法，能根据圆锥曲线的方程讨论圆锥曲线的性质，体会蕴含在这些问题中的数学思想方法显得尤为重要，必须引起足够的重视．另外，以圆锥曲线为背景，考查直线与圆的位置关系的x判定，体现高考在知识网络的交汇处设计命题的原则，考查综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，也应在复习中予以高度的关注．9．求数列{}1n n a a n n =+：（）的前n 项和1223(1)n S n n =⨯+⨯+⋅⋅⋅++，可以采用如下方法：先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)],3k k k k k k k k +=++--+由此得： 112(123012),3⨯=⨯⨯-⨯⨯ 123(234123),3⨯=⨯⨯-⨯⨯ …1(1)[(1)(2)(1)(1)].3n n n n n n n n +=++--+ 相加，得11223(1)(1)(2).3n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++ 类比上述方法，请你计算(){}12n n b b n n n =++：（）的前n 项和123234n T =⨯⨯+⨯⨯ (1)(2)n n n +⋅⋅⋅+++，其结果为 ▲ ．【解题探究】 本题根据教材(苏教版选修2-2)72P 的例1改编而成，主要考查观察、归纳、类比和数学探究的能力．求解本题，可以从题目给出的求数列{}1n na a n n =+：（）的前n 项和的方法，类比得到求数列(){}12n nb b n n n =++：（）的前n 项和的方法，从而归纳得出结论，也可以由数列{}1n n a a n n =+：（）的前n 项和的结果，直接类比得到数列(){}12n nb b n n n =++：（）的前n 项和的结果，关键在于掌握合情推理的方法． 【答案详解】类比数列{}n a 的前n 项和n S 的求法，先改写第k 项，有如下恒等式：()(1)2k k k ++()()1[(1)(2)3(1)(1)2],4k k k k k k k k =+++--++由此可得： 1123(12340123),4⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 1234(23451234),4⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ … ()()()1(1)2[(1)(2)3(1)(1)2].4n n n n n n n n n n n ++=+++--++ 相加，得123234n T =⨯⨯+⨯⨯()1(1)(2)(1)(2)34n n n n n n n +⋅⋅⋅+++=+++．【链接高考】推理与证明也是新课程中的重要内容，江苏省2009年《考试说明》对推理论证能力的考查提出了较高的要求：能够根据已知的事实和已经获得的正确命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一命题的正确性．对这一要求的落实，新课程的高考，可能将其体现在填空题中，也可以将其以解答题的形式出现，寓推理与论证能力的考查于一体．10．已知1()sin cos f x x x =+，记'''21321()(),()(),,()()n n f x f x f x f x f x f x -=== ，*(,2)n N n ∈≥，则20091()4i i f π==∑ ▲ ． 【解题探究】 本题主要考查三角函数的导数的求法和函数的周期性等基础知识与基本方法，考查灵 活运用所学知识分析问题和解决问题的能力．根据正弦函数和余弦函数的导数公式，通过求导，不难发现()n f x 具有周期性，最小正周期为4，并且有1234()()()()04444f f f f ππππ+++=，从而就使问题迎刃而解了．【答案详解】由题设，有''2132()()cos sin ,()()sin cos f x f x x x f x f x x x ==-==--， ''4354()()cos sin ,()()sin cos f x f x x x f x f x x x ==-+==+，∴4()()n n f x f x +=．又1234()()()()04444f f f f ππππ+++=，∴2009200911()()()444i i f f f πππ====∑ 【链接高考】三角函数的导数是高中数学新课程教材中的新增内容，近几年来，全国各地的高考试题中，涌现了不少以三角函数的导数为背景和考查方向的试题，这些试题创意新颖，构思独特，对知识和能力的考查要求较高，备考复习中，要予以一定的关注和足够的重视．11．已知命题p ：1431x -≤-≤，命题q ：2(21)(1)0x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分的条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【解题探究】本题根据教材(苏教版选修2—1)7P 的例1改编而得，主要考查不等式的解法、四种命题及其关系、命题的否定、充要条件等基础知识，考查运用等价转化的思想方法分析问题、解决问题的能力．求解本题，可以通过求出满足条件p ⌝、q ⌝的集合,A B ，再从集合,A B 的关系入手求出实数a 的取值范围，也可以考虑其逆否命题，运用命题的等价性求解．【答案详解】命题p 即：1[,1]2M =，命题q 即：[,1]N a a =+．∵p ⌝是q ⌝的必要不充分的条件，∴p 是q 的充分不必要条件，从而有1,21 1.a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩．∴102a ≤≤． 【链接高考】充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题p 和结论q 之间的逻辑关系，是考查逻辑思维能力的重要素材，是《考试说明》中要求掌握的重要知识点．在2009年的备考中，对充要条件的复习，要注意以下几点：(1)理解充分条件、必要条件和充要条件的概念，弄清它们之间的逻辑关系，能正确运用概念作出判断；(2)掌握探求命题成立的充分条件、必要条件和充要条件的方法，会证明命题成立的充要条件；(3)明确充要条件与等价转化之间的关系，避免由于问题变形过程中由于不等价而导致的解题错误，从而有效地提高解题的准确性．12．已知动点(,)P x y 满足约束条件3010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩-10，O 为坐标原点，定点(3,4)A ，则向量OP 在向量OA 上的投影的取值范围是 ▲ ．【解题探究】 这是一道简单的线性规划与平面向量的简单综合题，主要考查二元一次不等式组表示的平面区域、向量的投影等基础知识和基本方法，考查综合运用所学知识分析问题和解决问题能力．给出的约束条件是平面上的一个多边形闭区域，而目标函数一般在边界处取得最值．解题时通常运用图解法，根据题意画出图形，从图形中寻求思路、获得答案，体现了数形结合的思想方法的解题价值．【答案详解】 画出不等式组30100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩-1所表示的平面区域D ，向量OP 在向量OA 上的投影：||cos()||||||||OP OA OP OA OP AOP OP OP OA OA ∙∙∠=⋅= 345x y +=． 根据线性规划的知识，运用图解法，得min 343()55x y +=，max 3411()55x y +=， 故向量OP 在向量OA 上的投影的取值范 围是311[,]55． 【链接高考】在知识的交汇点处设计命题，是高考数学命题的一个重要原则，也是高考数学填空题 题型设计的一个重要特点．本题在二元一次不等式组表示的平面区域、平面向量和三角函数、简单的线性规划等知识的交汇点处设计，寓数学基础知识、数学思想方法的考查于一体，具有一定的创新性，值得我们认真研究，细细地加以体会．13．按下列流程图运算：规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算．若恰好运行8次才停止，则实数x 的取值范围是 ▲ ．【解题探究】 本题在算法、数列和不等式等知识的交汇点处设计，是一道颇具创意的好题，主要考查算法流程图、数列通项的求法与不等式组的解法等基础知识和基本方法，考查观察、归纳、推理和数学探究的能力，考查综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，可以根据题目给出的流程图，求出运行n 次的结果n a 的表达式，再由5244a >，并且4244a ≤，列出关于x 的不等式组，解不等式组即可求出x 的取值范围． 【答案详解】一般化处理，设第k 次运行的结果为n a ，则132a x =-，23(32)2a x =-- 23322x =-⨯-，23233(3322)2332322a x x =-⨯--=-⨯-⨯-，…，132k k a a -=- 1221313323232232(1333)3231k k k k k k k x x x ----=-⨯-⨯--⨯-=-++++=-⨯- 331k kx =-+．由题意，有87244,244.a a >⎧⎨≤⎩即8877331244,331244.x x ⎧-+>⎪⎨-+≤⎪⎩解之得2810279x <≤． 【链接高考】算法是新课程教材中的新增内容，江苏省的高考对算法的考查一般情况下也是以填空题的形式出现，主要考查根据算法流程图和伪代码识别算法程序的能力．算法的核心思想是解决问题的方法的程序化，复习中要注意循环结构是处理递推问题的有效工具，对于我们理解数列问题的本质也很有帮助．各地高考常常以流程图的形式给出递推数列的问题，这是将算法思想综合到其他分支的范例，由于背景新颖，能有效测试数学能力，因此在复习中要予以关注，引起重视．14．若二次函数2()2f x ax x c =++的值域是[0,)+∞，则2211a c c a +++的最小值为 ▲ ． 【解题探究】 本题主要考查二次函数的图象和性质以及运用基本不等式或函数的单调性求最值等基础知识和基本方法，考查灵活运用所学知识分析问题和解决问题的能力．求解本题，可以先由二次函数2()2f x ax x c =++的值域是[0,)+∞这一条件得出0a >，1ac =，再运用基本不等式或通过消元借助函数的单调性求出最值．【答案详解】方法1由二次函数2()2f x ax x c =++的值域是[0,)+∞，得0a >且min 44[()]04ac f x a-==，故有0a >，1ac =，从而也有0c >． ∴22222211()()()()a c a c a c a c c a c ac a ac c c a a a c ac a c ac a c +=+=+=+++++++++222()12()2a c a c a c a c a c +++=≥=≥=++，当且仅当1a c ==时取等号． ∴2211a c c a +++的最小值为1． 方法2 同方法1，得1,0,0ac a c =>>，且22222()211a c a c a c ac c a a c a c++-+==++++2a c a c =+-+． 令a c x +=，则2x ≥，2y x x =-在[2,)+∞上单调增，故当2x =时，min 1y =． 即2211a c c a +++的最小值为1． 【链接高考】求解二元函数的条件最值问题，是高中数学的一个重要内容，也是高考数学考查的一个重点内容．其求解思路主要有两种：一是运用基本不等式，进行整体处理；二是通过消元，转化为一元变量的函数，运用函数的单调性或导数法等方法求解．当给出的问题具备了正数、和或积的特征时，基本不等式的运用是一个有力的工具，它具有简捷明快、干净利落的特点．具体解题时，要注意检查“一正、二定、三相等”是否全部满足，以有效地防止解题错误．这些，都是高考考查的重点和热点，复习备考中切不可掉以轻心．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知ABCD 是矩形，4=AD ，2=AB ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点，⊥PA 面ABCD（1）证明：平面⊥PAF 平面PDF ；（2）在线段PA 上找一点G ，使得EG ∥平面PFD ． 【解题探究】本题由教材(苏教版必修2)29P 的第12题改编而成，主要考查空间线线、线面和面面的平行、垂直关系的判断与证明方法，考查推理论证能力、空间想象能力和探究能力．第（1）问要证明平面⊥PAF 平面PDF ，可运用面面垂直的判定定理，通过线面垂直来实现；第（2）问要探究点G 的位置，BF P DC A E使得EG ∥平面PFD ，通常是从平行入手，寻找必要条件，再证明充分性．整个问题的求解，充分体现了空间线线、线面、面面位置关系间的相互联系与相互转化，这也是解决立体几何最基本的和最重要的思想方法．【答案详解】 (1)连结AF ，在AFD ∆中，∵AF =DF =，4AD =， ∴AF DF ⊥． ………………2分 ∵PA ⊥底面ABCD ，DF ⊂底面ABCD ，∴PA DF ⊥．又PA DF A = ，∴DF ⊥平面PAF ． …………………………4分 而DF ⊂平面PDF ，∴平面⊥PAF 平面PDF ． …………6分(2)在PA 上取点G ，使3PG GA =， 连EG ，则EG ∥平面PFD ． …………8分 证明如下：在PD 上取点N ，使3PN ND =，连GN ，在PAD ∆中， 由3PG GA =，3PN ND =， 得GN ∥AD ，并且GN 34AD =． …………10分 取DF 中点M ，连结,,GN MN EM ，则EM ∥AD ，并且13(23)324EM AD =+==． ∴GN ∥EM ，且GN EM =， ………………12分 ∴四边形EMNG 为平行四边形， ∴EG ∥MN ．∵EG ⊄平面PFD ，MN ⊂平面PFD ，∴EG ∥平面PFD ．………………14分【链接高考】由于江苏省新课程对立体几何部分教学的整体要求下降，2009的《考试说明》也强调了这一点，因此预计高考对立体几何的考查难度不会太大，特别是空间角与距离的计算会得严格的控制，考查的重点主要是空间线面平行、垂直的论证和简单几何体的面积、体积的计算．当然，不排除在考查和设问的方式方面寻求突破和创新，变传统证明型问题为判断型和探究开放型问题，以适当增加思维的力度和难度，这需要在复习中引起注意．16． (本小题满分14分)已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，G 是ABC ∆的重心，且56sin 40sin 35sin 0A GA B GB C GC ⋅+⋅+⋅= ．(1)求角B 的大小；(2)设m (sin ,cos2),n (4,1)(1),m A A k k n ==>的最大值为5，求实数k 的值． 【解题探究】本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的恒等变形和解三角形的有关基础知识和基B FPD C AE G NM本方法，考查综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．以向量为载体把三角函数和解三角形的有关内容揉合在一起，具有一定的创新性．求解第（1）小题，可由正弦定理和对平面向量的运算，得出三角形的三边a 、b 、c 满足的关系式，再由余弦定理求出角B 的余弦值，从而可结合角B 的范围求得角B 的大小；第（2）小题的求解，只要将m n 表示成关于sin t A =的函数，再运用函数最值的求法将m n的最大值用k 表示出来，从而得到k 的方程即可．【答案详解】(1)由G 是ABC ∆的重心，得0GA GB CC ++= ，∴()CC GA GB =-+ ，由正弦定理，已知等式可转化为564035()0a GA b GB c GA GB ⋅+⋅+⋅--= ，整理，得：(5635)(4035)0a c GA b c GB -⋅+-⋅= ． ………………………3分∵,GA GB 不共线， ∴56350,40350.a cbc -=⎧⎨-=⎩由此，得::5:7:8a b c =．………………5分不妨设5,7,8a b c ===，由余弦定理，得2222225871cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯． ………………7分 ∵0B π<<，∴3B π=． ………………8分（2）A A k 2cos sin 4+=⋅22sin 4sin 1A k A =-++， ………………10分由(1)得：3B π=，所以23A C π+=，故得2(0,)3A π∈．设sin (0,1]A t =∈……12分 2241,(0,1]m n t kt t ⋅=-++∈ 则，所以，当t ⋅=,1时取得最大值5．于是有：2415k -++=，32k =解得，符合题意．所以，23=k ． ………………14分 【链接高考】新课程的高考将对三角内容考查的重点转移到三角函数方面，把向量、三角函数的图象和性质、三角恒等变换以及解三角形等知识揉合在一起进行综合考查是一个显著的特点．这类问题中对平面向量的考查往往是最基本的，由于三角函数中的两角和与差的公式被列为考试说明中的C 级要求的知识点之一，是高考考查的重点，复习中要牢固掌握其公式，熟练掌握其应用，特别是三角函数与解三角形的综合问题，更要在平时的复习中认真地加以领会．17．（本小题满分14分）如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2米，斜坡的倾角为α(0)2πα<<，坡面的长度为x ． （1）若倾角45α=且灌溉渠的横截面面积大于5平方米，求x 的最小正整数值；（2）若斜坡坡面的长度为2米，则倾角α为何值时，灌溉渠的横截面面积最大？最大值是多少？【解题探究】本题源于教材(苏教版必修1)84P 的第3题，以实际问题为背景，把生产和生活实际中的具体问题与三角函数、导数与不等式等知识有机地结合在一起，情境创设不偏不怪、平和清新，主要考查函数的单调性、导数的求法、解不等式等基础知识和基本方法，考查数学建模能力以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力．求解本题的关键是要认真审题，弄清题意，在此基础上正确地建立起函数与不等式模型，通过求函数的最值和解不等式使问题获解． 第（1）问由于是求正整数解，因此可以运用估算的方法来处理，这是一种技巧，值得关注． 【答案详解】由题设，灌溉渠的横截面的高为sin x α米，上底长为（22cos x α+）米， ∴灌溉渠的横截面面积211(222cos )sin sin 22sin 22S x x x x αααα=++⋅=+．……2分 （1） 当45α=时，2152S x =+>， …………………………4分令21()2f x x =，则()y f x =在(0,)+∞上为增函数，且(2)25f =+<，9(3)52f =+>． ……………………………………6分 ∴灌溉渠的横截面面积大于5平方米时，x 的最小正整数值为3．………………7分（2）由已知2x =，得()2sin 24sin S g ααα==+，(0,)2πα∈． …………9分 ∴'21()4cos 24cos 4(2cos 1cos )8(cos 1)(cos )2g ααααααα=+=-+=+-．………………11分 当(0,)3πα∈时，'()0g α>，()g α单调递增；当(,)32ππα∈时，'()0g α<，()g α单调递减，故当3πα=时，()g α取得最大值，且最大值为：2()2sin 4sin 333g πππ=+= ……………………………………………13分 ∴当(0,)3πα∈时，灌溉渠的横截面面积最大，最大值是14分【链接高考】新课程强调培养学生的数学应用意识和实际应用的能力，为了体现这一理念，江苏省近几年的高考试题，在解答题中都有一道实际应用题，其特点是回归课本，从课本中寻找应用问题的载体，考查的难度不大，对学生的建模能力的要求不高，试题比较平衡，容易上手，考查的关键是如何将实际问题转化为数学问题，以及转化以后如何综合运用数学知识解决数学问题．预计2009年对应用问题的考查力αx度不会减弱，并且将会在继承中有所创新，其载体可能是三角、函数、数列、概率、统计或不等式等，题目不会太难，但能突出对主干知识的考查，注重学科间知识的联系与综合．18．(本小题满分16分) 已知圆22:4C x y +=与x 轴交于12,A A 两点，椭圆1C 以线段12A A为长轴，离心率2e =． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于12,A A 的动点，过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆的右准线交于点Q ，试判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明．（3）设点00(,)M x y 在直线30x y +-=上，若存在点N C ∈，使得60OMN ∠=（O 为坐标原点），求0x 的取值范围．【解题探究】 本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与圆的位置关系的判定等基础知识和基本方法，考查运算能力、推理能力、探究能力以及分析问题和解决问题的能力．求椭圆的标准方程，一般运用待定系数法，判断直线与圆的位置关系，要注意圆的几何性质的应用，通常是考虑圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系以及圆的切线的性质的灵活应用．第(3)小题具有一定的综合性,可以从极端位置考虑，研究直线与圆相切的情形，构造出关于0x 的不等式，通过解不等式求出0x 的取值范围． 【答案详解】（1）由题意，可设所求椭圆1C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，易得12(2,0),(2,0)A A -，则有：24,a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩…………………………………… 2分解之，得2,a c =2222b a c =-=．………………………………… 3分∴所求椭圆1C 的方程为22142x y +=． …………………………………… 4分 （2）直线PQ 与圆C 相切． …………………………………… 5分 证明如下：易得椭圆1C的右焦点为F，右准线为x = ………………… 6分 设点00(,)P x y ，则有22004x y +=，又00PF OQ x k k y -==-，∴直线PQ 的方。

浏阳一中2009年下学期期中测试高一数学时量：120分钟 总分：100分一、选择题（共30分）1、已知N M ⊆，则下列结论不正确的是（ ） A 、M 一定是N 的真子集 B 、M 可能是空集 C 、M 可能等于ND 、M ∪N=N ，M ∩N=M2、设全集U=Z ，集合M={1，2}，P={x|-2≤x ≤2，x ∈Z}，则P ∩C U M 等于（ ） A 、{0}B 、{1}C 、{-2，-1，0}D 、Ø3、著名的Dirichlet 函数D （x ）=⎩⎨⎧，x ，x 取无理数时取有理数时,0,1则D （D （2））的值是（ ）A 、2B 、-2C 、0D 、14．图中阴影部分表示的集合是( )A. A ∩（C U B ） B （C U A ）∩B C.C U (A ∩B) D. C U (A ∪B)5、方程x 2-px+6=0的解集为M ，方程x 2+6x-q=0的解集为N ，且M ∩N={2}，那么p+q 等于（ ） A 、21B 、8C 、6D 、76、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A 、y=1,y=xxB 、y=1-x ×1+x ,y=12-xC 、y=x,y=55xD 、y=|x|,y=(x )27、设M={x|-2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，对于下列四个图象，可作为函数f （x ）的图象的是（ ）ABCD8.已知集合A ={y |y =log 2x ,x ＞1},B ={y |y =(21)x,x ＞1},则A ∩B 等于 A.{y |0＜y ＜21} B.{y |0＜y ＜1} C.{y |21＜y ＜1} D. ∅9、设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧=+),0(,0),0(,)0(,1x ＜x x ＞x π则f{f [f(-1)]}等于（ ）A 、π+1B 、0C 、πD 、-110、函数y=x 2+bx+c,x ∈（-∞，-1）是单调函数，则b 的取值范围是（ ） A 、b ≥2B 、b ≤-2C 、b ＞-2D 、b ＜-2二、填空题（共20分） 11、函数y=2-3x -212x x-的定义域为______________________________。

2009年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•浙江）设U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}【考点】交、并、补集の混合运算．【专题】集合．【分析】欲求两个集合の交集，先得求集合C U B，再求它与Aの交集即可．【解答】解：对于C U B={x|x≤1}，因此A∩C U B={x|0＜x≤1}，故选B．【点评】这是一个集合の常见题，属于基础题之列．2．（5分）（2009•浙江）已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”の（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件の判断．【专题】简易逻辑．【分析】考虑“a＞0且b＞0”与“a+b＞0且ab＞0”の互推性．【解答】解：由a＞0且b＞0⇒“a+b＞0且ab＞0”，反过来“a+b＞0且ab＞0”⇒a＞0且b＞0，∴“a＞0且b＞0”⇔“a+b＞0且ab＞0”，即“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”の充分必要条件，故选C【点评】本题考查充分性和必要性，此题考得几率比较大，但往往与其他知识结合在一起考查．3．（5分）（2009•浙江）设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【考点】复数代数形式の混合运算．【专题】数系の扩充和复数．【分析】把复数z代入表达式化简整理即可．【解答】解：对于，故选D．【点评】本小题主要考查了复数の运算和复数の概念，以复数の运算为载体，直接考查了对于复数概念和性质の理解程度．4．（5分）（2009•浙江）在二项式の展开式中，含x4の项の系数是（）A．﹣10 B．10 C．﹣5 D．5【考点】二项式定理．【专题】二项式定理．【分析】利用二项展开式の通项公式求出第r+1项，令xの指数为4求得．【解答】解：对于，对于10﹣3r=4，∴r=2，则x4の项の系数是C52（﹣1）2=10故选项为B【点评】二项展开式の通项是解决二项展开式の特定项问题の工具．5．（5分）（2009•浙江）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB1C1Cの中心，则AD与平面BB1C1C所成角の大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】空间中直线与平面之间の位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】本题考查の知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D点做BCの垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成の角．设各棱长为1，则AE=，DE=，tan∠ADE=，∴∠ADE=60°．故选C【点评】求直线和平面所成の角时，应注意の问题是：（1）先判断直线和平面の位置关系．（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造﹣﹣作出或找到斜线与射影所成の角；②设定﹣﹣论证所作或找到の角为所求の角；③计算﹣﹣常用解三角形の方法求角；④结论﹣﹣点明斜线和平面所成の角の值．6．（5分）（2009•浙江）某程序框图如图所示，该程序运行后输出のkの值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据流程图所示の顺序，逐框分析程序中各变量、各语句の作用可知：该程序の作用是计算满足S=≥100の最小项数【解答】解：根据流程图所示の顺序，程序の运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环S K循环前/0 0第一圈是 1 1第二圈是 3 2第三圈是11 3第四圈是2059 4第五圈否∴最终输出结果k=4故答案为A【点评】根据流程图（或伪代码）写程序の运行结果，是算法这一模块最重要の题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算の类型，又要分析出参与计算の数据（如果参与运算の数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析の结果，选择恰当の数学模型③解模．7．（5分）（2009•浙江）设向量，满足：||=3，||=4，•=0．以，，﹣の模为边长构成三角形，则它の边与半径为1の圆の公共点个数最多为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】直线与圆相交の性质；向量の模；平面向量数量积の运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先根据题设条件判断三角形为直角三角形，根据三边长求得内切圆の半径，进而看半径为1の圆内切于三角形时有三个公共点，对于圆の位置稍一右移或其他の变化，能实现4个交点の情况，进而可得出答案．【解答】解：∵向量a•b=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，∵对于半径为1の圆有一个位置是正好是三角形の内切圆，此时只有三个交点，对于圆の位置稍一右移或其他の变化，能实现4个交点の情况，但5个以上の交点不能实现．故选B【点评】本题主要考查了直线与圆の位置关系．可采用数形结合结合の方法较为直观．8．（5分）（2009•浙江）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinaxの图象不可能是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数の图象．【专题】三角函数の图像与性质．【分析】函数f（x）=1+asinaxの图象是一个正弦曲线型の图，其振幅为|a|，周期为，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象．【解答】解：对于振幅大于1时，三角函数の周期为：，∵|a|＞1，∴T＜2π，而D不符合要求，它の振幅大于1，但周期反而大于了2π．对于选项A，a＜1，T＞2π，满足函数与图象の对应关系，故选D．【点评】由于函数の解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题の关键．9．（5分）（2009•浙江）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）の右顶点A作斜率为﹣1の直线，该直线与双曲线の两条渐近线の交点分别为B、C．若=，则双曲线の离心率是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线の综合问题；双曲线の简单性质．【专题】圆锥曲线の定义、性质与方程．【分析】分别表示出直线l和两个渐近线の交点，进而表示出和，进而根据=求得a和bの关系，进而根据c2﹣a2=b2，求得a和cの关系，则离心率可得．【解答】解：直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），A（a，0），∴=（﹣，），=（，﹣），∵=，∴=，b=2a，∴c2﹣a2=4a2，∴e2==5，∴e=，故选C．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线の综合问题．要求学生有较高地转化数学思想の运用能力，能将已知条件转化到基本知识の运用．10．（5分）（2009•浙江）定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，若P={1，2，3，4}，Q={2，5}，则Q﹣P=（）A．P B．{5} C．{1，3，4} D．Q【考点】集合の包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】理解新の运算，根据新定义A﹣B知道，新の集合A﹣B是由所有属于A但不属于Bの元素组成．【解答】解：Q﹣P是由所有属于Q但不属于Pの元素组成，所以Q﹣P={5}．故选B．【点评】本题主要考查了集合の运算，是一道创新题，具有一定の新意．要求学生对新定义のA﹣B有充分の理解才能正确答．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）（2009•浙江）设等比数列{a n}の公比，前n项和为S n，则=15．【考点】等比数列の性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】先通过等比数列の求和公式，表示出S4，得知a4=a1q3，进而把a1和q代入约分化简可得到答案．【解答】解：对于，∴【点评】本题主要考查了等比数列中通项公式和求和公式の应用．属基础题．12．（4分）（2009•浙江）若某个几何体の三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体の体积是18cm3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由图可知，图形由两个体积相同の长方体组成，求出其中一个体积即可．【解答】解：由图可知，底下の长方体底面长为3，宽为1，底面积为3×1=3，高为3，因此体积为3×3=9；上面の长方体底面是个正方形，边长为3，高为1，易知与下面の长方体体积相等，因此易得该几何体の体积为9×2=18．【点评】本题考查学生の空间想象能力，是基础题．13．（4分）（2009•浙江）若实数x，y满足不等式组，则2x+3yの最小值是4．【考点】简单线性规划．【专题】不等式の解法及应用．【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点の坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案．【解答】解：如图即为满足不等式组の可行域，由图易得：当x=2，y=0时，2x+3y=4；当x=1，y=1时，2x+3y=5；当x=4，y=4时，2x+3y=20，因此，当x=2，y=0时，2x+3y有最小值4．故答案为4【点评】在解决线性规划の小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点の坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．14．（4分）（2009•浙江）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区の电网销售电价表如图：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）50及以下の部分0.568 50及以下の部分0.288超过50至200の部分0.598 超过50至200の部分0.318超过200の部分0.668 超过200の部分0.388若某家庭5月份の高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付の电费为148.4元（用数字作答）【考点】分段函数の解析式求法及其图象の作法．【专题】函数の性质及应用．【分析】先计算出高峰时间段用电の电费，和低谷时间段用电の电费，然后把这两个电费相加．【解答】解：高峰时间段用电の电费为50×0.568+150×0.598=28.4+89.7=118.1 （元），低谷时间段用电の电费为50×0.288+50×0.318=14.4+15.9=30.3 （元），本月の总电费为118.1+30.3=148.4 （元），故答案为：148.4．【点评】本题考查分段函数の函数值の求法，体现了分类讨论の数学思想，属于中档题．15．（4分）（2009•浙江）观察下列等式：观察下列等式：C+C=23﹣2，C+C+C=27+23，C+C+C+C=211﹣25，C+C+C+C+C=215+27，…由以上等式推测到一个一般结论：对于n∈N*，C+C+C+…+C=24n﹣1+（﹣1）n22n﹣1．【考点】二项式定理の应用．【专题】二项式定理．【分析】通过观察类比推理方法结论由二项构成，第二项前有（﹣1）n，二项指数分别为24n﹣1，22n﹣1【解答】解：结论由二项构成，第二项前有（﹣1）n，二项指数分别为24n﹣1，22n﹣1，因此对于n∈N*，C4n+11+C4n+15+C4n+19+…+C4n+14n+1=24n﹣1+（﹣1）n22n﹣1．故答案为24n﹣1+（﹣1）n22n﹣1【点评】本题考查观察、类比、归纳の能力．16．（4分）（2009•浙江）甲、乙、丙3人站到共有7级の台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上の人不区分站の位置，则不同の站法总数是336．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】排列组合．【分析】由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题需要分组解决，∵对于7个台阶上每一个只站一人有A73种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A72种，∴根据分类计数原理知共有不同の站法种数是A73+C31A72=336种．故答案为：336．【点评】分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到步骤完整﹣﹣完成了所有步骤，恰好完成任务．17．（4分）（2009•浙江）如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DCの中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则tの取值范围是（，1）．【考点】平面与平面垂直の性质；棱锥の结构特征．【专题】空间位置关系与距离；空间角；立体几何．【分析】此题の破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DCの中点时与随着F点到C 点时，分别求出此两个位置のt值即可得到所求の答案【解答】解：此题の破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DCの中点时，可得t=1，随着F点到C点时，当C与F无限接近，不妨令二者重合，此时有CD=2因CB⊥AB，CB⊥DK，∴CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD，对于CD=2，BC=1，在直角三角形CBD中，得BD=，又AD=1，AB=2，再由勾股定理可得∠BDA是直角，因此有AD⊥BD再由DK⊥AB，可得三角形ADB和三角形AKD相似，可得t=，因此tの取值の范围是（，1）故答案为（，1）【点评】考查空间图形の想象能力，及根据相关の定理对图形中の位置关系进行精准判断の能力．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）（2009•浙江）在△ABC中，角A、B、C所对应の边分别为a、b、c，且满足=，•=3．（Ⅰ）求△ABCの面积；（Ⅱ）若b+c=6，求aの值．【考点】二倍角の余弦；平面向量数量积の运算；余弦定理．【专题】解三角形．（Ⅰ）利用二倍角公式利用=求得cosA，进而求得sinA，进而根据【分析】求得bcの值，进而根据三角形面积公式求得答案．（Ⅱ）根据bc和b+cの值求得b和c，进而根据余弦定理求得aの值．【解答】解：（Ⅰ）因为，∴，又由，得bccosA=3，∴bc=5，∴（Ⅱ）对于bc=5，又b+c=6，∴b=5，c=1或b=1，c=5，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=20，∴【点评】本题主要考查了解三角形の问题．涉及了三角函数中の倍角公式、余弦定理和三角形面积公式等，综合性很强．19．（14分）（2009•浙江）在1，2，3…，9，这9个自然数中，任取3个数．（Ⅰ）求这3个数中，恰有一个是偶数の概率；（Ⅱ）记ξ为这三个数中两数相邻の组数，（例如：若取出の数1、2、3，则有两组相邻の数1、2和2、3，此时ξの值是2）．求随机变量ξの分布列及其数学期望Eξ．【考点】等可能事件の概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量の期望与方差；组合及组合数公式．【专题】概率与统计．【分析】（I）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含の所有事件是从9个数字中选3个，而满足条件の事件是3个数恰有一个是偶数，即有一个偶数和两个奇数．根据概率公式得到结果．（2）随机变量ξ为这三个数中两数相邻の组数，则ξの取值为0，1，2，当变量为0时表示不包含相邻の数，结合变量对应の事件写出概率和分布列，算出期望．【解答】解：（I）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含の所有事件是C93，而满足条件の事件是3个数恰有一个是偶数共有C41C52记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，∴；（II）随机变量ξ为这三个数中两数相邻の组数，则ξの取值为0，1，2，当变量为0时表示不包含相邻の数P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=∴ξの分布列为ξ0 1 2p∴ξの数学期望为．【点评】本题考查离散型随机变量の分布列，求离散型随机变量の分布列和期望是近年来理科高考必出の一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．20．（14分）（2009•浙江）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边の等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，ACの中点，AC=16，PA=PC=10．（Ⅰ）设G是OCの中点，证明：FG∥平面BOE；（Ⅱ）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OBの距离．【考点】直线与平面平行の判定；点、线、面间の距离计算．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】由于PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边の等腰直角三角形，O为ACの中点，AC=16，PA=PC=10，所以PO、OB、OC是两两垂直の三条直线，因此可以考虑用空间向量解决：连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，对于（I），只需证明向量FG与平面BOEの一个法向量垂直即可，而根据坐标，平面の一个法向量可求，从而得证；对于（II），在第一问の基础上，课设点Mの坐标，利用FM⊥平面BOE求出Mの坐标，而其道OA、OBの距离就是点M 横纵坐标の绝对值．【解答】证明：（I）如图，连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x 轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，﹣8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，﹣4，3），F（4，0，3），（3分）由题意得，G（0，4，0），因，因此平面BOEの法向量为，）得，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG∥平面BOE．（6分）（II）设点Mの坐标为（x0，y0，0），则，因为FM⊥平面BOE，所以有，因此有，即点Mの坐标为（8分）在平面直角坐标系xoy中，△AOBの内部区域满足不等式组，经检验，点Mの坐标满足上述不等式组，所以在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，由点Mの坐标得点M到OA，OBの距离为．（12分）【点评】本题考查直线与平面の平行の判定以及距离问题，建立了空间坐标系，所有问题就转化为向量の运算，使得问题简单，解决此类问题时要注意空间向量の使用．21．（15分）（2009•浙江）已知椭圆C1：（a＞b＞0）の右顶点A（1，0），过C1の焦点且垂直长轴の弦长为1．（Ⅰ）求椭圆C1の方程；（Ⅱ）设点P在抛物线C2：y=x2+h（h∈R）上，C2在点P处の切线与C1交于点M，N．当线段APの中点与MNの中点の横坐标相等时，求hの最小值．【考点】圆锥曲线の综合；椭圆の标准方程．【专题】圆锥曲线の定义、性质与方程；圆锥曲线中の最值与范围问题．【分析】（I）根据题意，求出a，bの值，然后得出椭圆の方程．（II）设出M，N，Pの坐标，将直线代入椭圆，联立方程组，根据△判断最值即可．【解答】解：（I）由题意得，∴，所求の椭圆方程为，（II）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），P（t，t2+h），则抛物线C2在点P处の切线斜率为y'|x=t=2t，直线MNの方程为y=2tx﹣t2+h，将上式代入椭圆C1の方程中，得4x2+（2tx﹣t2+h）2﹣4=0，即4（1+t2）x2﹣4t（t2﹣h）x+（t2﹣h）2﹣4=0，因为直线MN与椭圆C1有两个不同の交点，所以有△1=16[﹣t4+2（h+2）t2﹣h2+4]＞0，设线段MNの中点の横坐标是x3，则，设线段PAの中点の横坐标是x4，则，由题意得x3=x4，即有t2+（1+h）t+1=0，其中の△2=（1+h）2﹣4≥0，∴h≥1或h≤﹣3；当h≤﹣3时有h+2＜0，4﹣h2＜0，因此不等式△1=16[﹣t4+2（h+2）t2﹣h2+4]＞0不成立；因此h≥1，当h=1时代入方程t2+（1+h）t+1=0得t=﹣1，将h=1，t=﹣1代入不等式△1=16[﹣t4+2（h+2）t2﹣h2+4]＞0成立，因此hの最小值为1．【点评】本题考查圆锥图象の综合利用，椭圆方程の应用，通过构造一元二次方程，利用根の判别式计算，属于中档题．22．（15分）（2009•浙江）已知函数f（x）=x3﹣（k2﹣k+1）x2+5x﹣2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R．（Ⅰ）设函数p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在区间（0，3）上不单调，求kの取值范围；（Ⅱ）设函数是否存在k，对任意给定の非零实数x1，存在惟一の非零实数x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）？若存在，求kの值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数の单调性；函数の单调性与导数の关系．【专题】导数の综合应用．【分析】（I）因P（x）=f（x）+g（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1，先求导数：p′（x），因p（x）在区间（0，3）上不单调，得到p′（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，再利用分离参数の方法得出，最后再利用导数求出此函数の值域即可；（II）先根据题意得出当k=0时不合题意，因此k≠0，下面讨论k≠0の情形，分类讨论：（ⅰ）当x1＞0时，（ⅱ）当x1＜0时，最后综合（ⅰ）（ⅱ）即可得出k值．【解答】解析：（I）因P（x）=f（x）+g（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1，p′（x）=3x2+2（k﹣1）x+（k+5），因p（x）在区间（0，3）上不单调，所以p′（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，由p′（x）=0得k（2x+1）=﹣（3x2﹣2x+5），∴，令t=2x+1，有t∈（1，7），记，则h（t）在（1，3]上单调递减，在[3，7）上单调递增，所以有h（t）∈[6，10），于是，得k∈（﹣5，﹣2]，而当k=﹣2时有p′（x）=0在（0，3）上有两个相等の实根x=1，故舍去，所以k∈（﹣5，﹣2）；（II）当x＜0时有q′（x）=f′（x）=3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5；当x＞0时有q′（x）=g′（x）=2k2x+k，因为当k=0时不合题意，因此k≠0，下面讨论k≠0の情形，记A=（k，+∞），B=（5，+∞）（ⅰ）当x1＞0时，q′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2＜0且A⊆B，因此有k≥5，（ⅱ）当x1＜0时，q′（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2＞0且A⊆B，因此k≤5，综合（ⅰ）（ⅱ）k=5；当k=5时A=B，则∀x1＜0，q′（x1）∈B=A，即∃x2＞0，使得q′（x2）=q′（x1）成立，因为q′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x2の值是唯一の；同理，∀x1＜0，即存在唯一の非零实数x2（x2≠x1），要使q′（x2）=q′（x1）成立，所以k=5满足题意．【点评】本题主要考查导函数の正负与原函数の单调性之间の关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题の综合能力，属于中档题．。

高一数学模拟试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.在第1、3、6、8、16路公共汽车都要停靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第6路或第16路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于A ．B ．C ．D ． 2. 设集合，若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3.已知m 和2n 的等差中项是4, 2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．94.如果函数对任意实数都有，那么（ ）A ．<< B ．<< C ．<< D ．<<5.设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为S 1，S 2，体积为V 1，V 2，若它们的侧面积相等且，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．6.奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为( ) A ．10B．－10C．9D．157.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（）A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．概率是随机的，在试验前不能确定D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率8.已知函数f（x）=sinx+lnx，则f′（1）的值为（）A．1﹣cos1 B．1+cos1 C．cos1﹣1 D．﹣1﹣cos19.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为 ()A．120 cm3 B．100 cm3 C．80 cm3 D．60 cm310.方程所表示的图形是A．一条直线及一个圆B．两个点C．一条射线及一个圆D．两条射线及一个圆11.若,则下列结论不正确的是A． B． C． D．12.设集合A = {1，2，3}，集合B =" {1,2,4,5}," ( )A．{1,2,3,4,5} B．{1,2} C．{1,2,3} D．{4,5}13.下列函数中，在区间上为增函数且以为周期的函数是（）A． B． C． D．14.下图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是()A．[－2.1，－1]B．[4.1,5]C．[1.9,2.3]D．[5,6.1]15.若，则（）A．2 B．4 C． D．16.数列中，如果＝(n＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )．A．公差为2的等差数列B．公差为-2的等差数列C．首项为-3的等差数列D．首项为-3的等比数列17.已知{}是空间向量的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（）A． B． C． D．18.若，则的值可以为（）A．或1 B． C． D．19.（15分）如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AB、A1B1分别为⊙O、⊙O1的直径，且A1A⊥平面PAB.(1)求证：BP⊥A1P；(2)若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱锥A1－APB的体积．(3)在AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为？若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.20.的值为（）A．1 B． C．－ D．二、填空题21.圆台的上、下底面半径分别是2cm 和3cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是 cm 2．22.已知是定义在R 上的奇函数，且当.若对任意的，恒成立，则的取值范围是_________________23.如下图，动点C 在⊙O 的弦AB 上运动，AB=，连接OC ，CD ⊥OC交⊙O 于D ，则CD 的最大值为_____________．24.若α∈[0,2π)，且cos α≥，则α的取值范围是______．25.已知，则．26.在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，则下列结论正确的为 ． ①2014；②-1；③；④命题“整数满足，则”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数属于同一类”的充要条件是“”． 27.若三个内角满足,则此三角形内角的最大值为 ．28.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1-50号，并分组，第一组1-5号，第二组6-10号，……，第十组45-50号，若在第三组中抽得号码为的学生，则在第八组中抽得号码为_______________的学生. 29.关于的不等式的解集为，则= ；= ． 30.如图，设，且．当时，定义平面坐标系为–仿射坐标系，在–仿射坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：，分别为与轴、轴正向相同的单位向量，若，则记为，那么在以下的结论中，正确的序号有 ．①设，则； ②、，若，则；③、，若的夹角为，则；④、，若，则．三、解答题31.设函数,如果，求的取值范围.32.已知集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.33.如图，直角梯形绕底边所在直线旋转，在旋转前，非直角的腰的端点可以在上选定.当点选在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，分别画出它的三视图并比较其异同点.34.已知数列满足：．（Ⅰ）求证：数列为等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和．35.已知方程表示一个圆。

安徽省屯溪一中2008-2009学年第一学期期中考试高一数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）一． 选择题（本大题共12题，每题5分，共60分。

在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）1． 方程组⎩⎨⎧=-=+0432534y x y x 的解集为（ ）（A ）（4，3） （B ）{}3,4 （C ）{})3,4( （D ）{})4,3(2．下面函数中是幂函数的是（ ）（A ）2)2(+=x y （B ）xy 1-= （C ）21x y = （D ）x y 3= 3．函数)(x f x x-=1的图像关于（ ） （A ）y 轴对称； （B ）直线x y -=对称；（C ）坐标原点对称； （D ）直线x y =对称。

4．已知函数)(x f 在区间[]b a ,上单调，且0)()(<⋅b f a f ，则方程0)(=x f 在区间[]b a ,上（ ）（A ）至少有一实根 （B ）至多有一实根 （C ）没有实根 （D ）必有唯一的实根5．设集合P ={}12=x x ，Q ={}1=ax x ，若P Q ⊆，则实数a 的值所组成的集合是（ ） （A ）{}1 （B ）{}1- （C ）{}1,1- （D ）{}1,1,0- 6．已知函数)(x f 对于任意的实数a 、b 满足)()()(b f a f ab f +=，且p f =)2(，q f =)3(，那么)324(f 等于（ ）（A ）42q p + （B ）24q p + （C ）q p 24+ （D ）qp 42+7．三个数7.06、67.0、6log 7.0的大小关系是（ ） （A ）7.07.0666log 7.0<< （B ）6log 67.07.07.06<<（C ）67.07.07.066log << （D ）7.067.067.06log <<8．对于0>a ，且1≠a ，下列说法中正确的是（ ）①若N M =，则N M a a log log =；②若N M a a log log =，则N M =；③若N M =，则22log log N Ma a =； ④若22log log N M a a =，则N M =；（A ）①③ （B ）②③ （C ）② （D ）①②③9．集合{}b a A ,=，{}e d c B ,,=，则从A 到B 可以建立（ ）个不同的映射。

2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数()sin cos f x x x =最小值是 A ．-1 B. 12- C. 12D.1 1．【答案】：B [解析]∵1()sin 22f x x =∴min 1()2f x =-.故选B 2.已知全集U=R ，集合2{|20}A x x x =->，则U A ð等于 A ． { x ∣0≤x ≤2} B { x ∣0<x<2} C ． { x ∣x<0或x>2} D { x ∣x ≤0或x ≤2} 2．【答案】：A[解析]∵计算可得{0A x x =<或}2x >∴}{02CuA x x =≤≤.故选A3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于 A ．1 B 53C.- 2 D 3 3．【答案】：C [解析]∵31336()2S a a ==+且3112 =4 d=2a a d a =+∴.故选C 4.22(1cos )x dx ππ-+⎰等于A ．π B. 2 C. π-2 D. π+24．【答案】：D[解析]∵2sin (sin )[sin()]222222x x xx πππππ=+=+--+-=+-原式.故选D5.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =xe D()ln(1)f x x =+5．【答案】：A[解析]依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确。

6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A ．2 B .4 C. 8 D .166．【答案】：C[解析]由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=2×4=8. 故选C7.设m ，n 是平面α 内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β 内的两条相交直线，则α// β的一个充分而不必要条件是 A.m // β 且l //α B. m // l 且n // l 2C. m // β 且n // βD. m // β且n // l 2 7．【答案】：B[解析]若1212//,//,.,.m l n l m n αλλβ⊂⊂，则可得//αβ.若//αβ则存在122,//,//m l n l λλ⋂ 8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。

成都七中2009年外地生招生考试 数学模拟试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷一、单项选择（共12小题，每小题5分，满分60分）第Ⅱ卷二、填空题 （共4小题，每小题4分，满分16分）13．2 14． 3520 15． 211≤<-m 16．4n+2三、计算题 （共6小题，满分74分）17．（本小题满分12分）（1）解：原式=xy y xy x y xy x 25)23(4422222--+-++=x y y xy x y xy x 25234422222-+--++·······················2分=xxy x 2222+-=y x +-······················································2分当2-=x ，21=y 时原式=2521)2(=+--··························2分 （2）解： 联立21y x =+和2331y x x =+- 可得133122-+=+x x x ········2分化简可得0232=-+x x 解方程，得11-=x 322=x ········································2分 当11-=x 时，11-=y 则一交点为)1,1(-- 当322=x 时，372=x 则一交点为)37,32( 综上所述，直线21y x =+与抛物线2331y x x =+-的交点坐标为)1,1(--，)37,32(·················································2分18．（本小题满分12分） 解： （1）··························4分（2）·································1分·············2分······················································2分 （3）································1分·········································2分222211tan tan 232342AB PC BPC ABE ADEPFE DFP PFE DFPPF DF PF EF FD EF PFAEAB AE BP AE AE APB ABE PE BE AE a PE a BE a AP a AE PE BE PC PC PE PB PC FC FE FD PF PF FC ∴∠=∠=∠∠=∠∴∴=∴=⋅∴⊥∠==∠=======∴====∴=⋅=∴==⋅=∴==∥又△∽△连接为直径令，，为切线12190PC PF ADB AB ADB PE PB PA PDPD BD AD ADBRt =∴=∴∠=︒⋅=⋅∴===∴△为等腰直角三角形为直径△为等腰△19．（本小题满分13分）（1）连结。

CD2009年鄂州高中自主招生考试数学试题一、选择题（3分*12=36分）1、已知a=2009x+2008，b=2009x ＋2009，c=2009x+2010，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、32、在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和y=－mx 2＋2x ＋2（m 是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）3、第二象限有一点P （x , y ），且7,5==y x ，则点P 关于原点的对称点的坐标是（ ） A 、（－5，7） B 、（5，－7） C 、（－5，－7） D 、（5，7）4、若方程x 2＋（4n ＋1）x ＋2n=0（n 为整数）有两个整数根，则这两个根（ ） A 、都是奇数 B 、都是偶数 C 、一奇一偶 D 、无法判断5、如右下图，等边ΔABC 外一点P 到三边距离分别为h 1，h 2，h 3，且h 3＋h 2－h 1=3，其中PD= h 3，PE= h 2，PF= h 1。

则ΔABC 的面积S ΔABC =（ ） A 、32 B 、33 C 、310 D 、3126、某班有50人，在一次数学考试中，得分均为整数，全班最低分为48分，最高分为96分，那么该班考试中（ ）A 、至少有两人得分相同B 、至多有两人得分相同C 、得分相同的情况不会出现D 、以上结论都不对 7、若实数a 满足方程aa a a 111-+-=，则[]a =（ ），其中[]a 表示不超过a 的最大整数。

A 、0 B 、1 C 、2 D 、38、在⊿ABC 中，P 、Q 分别在AB 、AC 上，且1=+QACQ AP BP ，则PQ 一定经过⊿ABC 的（ ）A 、垂心B 、外心C 、重心D 、内心9、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌，并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪，刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么，第二次同时经过这两种设施是在（ ）千米处。

2009年安徽省中考数学试卷本卷共八大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．2(3)-的值是（ ）A ．9 B.－9 C ．6 D ．－6 2．如图，直线l 1∥l 2，则α为（ ）A ．150°B ．140°C ．130°D ．120°3．下列运算正确的是（ ） A ．234a a a =gB ．44()a a -=C ．235a a a +=D ．235()a a =4．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ） A ．8 B.7 C ．6 D ．55．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的高和底面边长分别为（ ） A ．3，22 B ．2，22 C ．3，2 D ．2，36．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演 出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ）A ．45B ．35C ．25D ．157．某市2008年国内生产总值（GDP ）比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2008年增长7%，若这两年GDP 年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（ ） A ．12%7%%x +=B ．(112%)(17%)2(1%)x ++=+C ．12%7%2%x +=gD ．2(112%)(17%)(1%)x ++=+8．已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，则AB 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ） A ．120° B ．125° C ．135° D ．150°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如图，将小王某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为 ．12．因式分解：2221a b b ---= ．13．长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．14．已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为．三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：|2-|o2o12sin30(3)(tan45)-+--+16．如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：MO∥BC．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．观察下列等式：111122⨯=-，222233⨯=-，333344⨯=-，……（1）猜想并写出第n个等式；（2）证明你写出的等式的正确性．18．如图，在对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O′A′B′．（1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；（2）设P（x，y）为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长103cm，其一个内角为60°．（1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；（2）当d＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？20．如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形）．（1）画出拼成的矩形的简图；（2）求xy的值．六、（本题满分12分）21．某校九年级学生共900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；乙：跳绳次数不少于106次的同学占96%；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；丁：第②、③、④组的频数之比为4:17:15．根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少？（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min跳绳次数的平均值．（每组数据含左端点值不含右端点值）七、（本题满分12分）22．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．八、（本题满分14分）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．图1 图2金额w（元）O 批发量m（）3002001002040602009年安徽省中考数学试卷答案及评分标准一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．72° 12．(1)(1)a b a b ++-- 13． 14．2y x x =+，21133y x =-+三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解：原式＝2131+-+………………………………………………………6分 ＝1…………………………………………………………………8分 16．证：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90° ∵MP 为⊙O 的切线，∴∠PMO ＝90° ∵MP ∥AC ，∴∠P ＝∠CAB∴∠MOP ＝∠B …………………………………………………………6分 故MO ∥BC ．……………………………………………………………8分四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（1）猜想：11⨯=-++n nn n n n ……………………………………………3分 （2）证：右边＝12+-+n n n n ＝12+n n ＝左边，即11⨯=-++n n n n n n ……8分 18．解： （1）……………………4分（2）设坐标纸中方格边长为单位1，则P （x ，y ）2O u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 以为位似中心放大为原来的倍（2x ，2y ）y u u u u u u u u u u u r 经轴翻折（-2x ，2y ）4u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 向右平移个单位（24x -+，2y ）5u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r 向上平移个单位（24x -+，25y +）…………8分说明：如果以其它点为位似中心进行变换，或两次平移合并，或未设单位长，或（2）中直接写出各项变换对应点的坐标，只要正确就相应赋分．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．解：（1）菱形图案水平方向对角线长为230cos 310o ⨯⨯＝30cm 按题意，6010)1231(2630=-⨯+=L cm ……………………………5分 （2）当=d 20cm 时，设需x 个菱形图案，则有：6010)1(2030=-⨯+x …………………………………………………8分解得300=x即需300个这样的菱形图案．…………………………………………10分20．解：（1）…………………………5分③④① ②说明：其它正确拼法可相应赋分．（2）解法一：由拼图前后的面积相等得：2)(])[(y x y y y x +=++………………8分因为y ≠0，整理得：01)(2=-+yx y x 解得：215-=y x （负值不合题意，舍去）……………………………………10分 解法二：由拼成的矩形可知：yxy y x y x =+++)(…………………………………8分 以下同解法一．……………………………………………………………………10分六、（本题满分12分）21．解：（1）第①组频率为：196%0.04-= ∴第②组频率为：0.120.040.08-=这次跳绳测试共抽取学生人数为：120.08150÷=人 ∵②、③、④组的频数之比为4:17:15可算得第①～⑥组的人数分别为6、12、51、45、24、12．………6分 （2）第⑤、⑥两组的频率之和为0.160.080.24=+=由于样本是随机抽取的，估计全年级有9000.24216⨯=人达到跳绳优秀………9分 （3）10061101212051130451402415012150x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈127次…………12分七、（本题满分12分）22．（1）证：△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM （写出两对即可）……2分 以下证明△AMF ∽△BGM ．∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ＝∠A ＋∠E ＝∠BMG ，∠A ＝∠B∴△AMF ∽△BGM ．………………………………………………………………6分 （2）解：当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM＝7分又∵AMF ∽△BGM ，∴AF BMAM BG=∴83AM BM BG AF ===g ………………………………………………9分又4AC BC ===o ，∴84433CG =-=，431CF =-=∴53FG ===……………………………………………12分八、（本题满分14分）23．（1）解：图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果， 可按5元/kg 批发；……3分图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发． ………………………………………………………………3分（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（））＞（，函数图象如图所示．………………………………………………………………7分 由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果．……………………………8分 （3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =- 当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+………………………………12分当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分 解法二：）设日最高销售量为xkg （x ＞60）则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040xp -= 销售利润23201(4)(80)1604040x y x x -=-=--+………………………12分 当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分。

2024年福建省三明市尤溪县中考数学模拟试卷（四）一、单选题1．在4，2-，0，13四个数中，最小的为（）A．4 B．2-C．0 D．1 32．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．在2023年金华市政府工作报告中提到，2022年全市共引进大学生约123000人，其中数123000用科学记数法表示为（）A．31.2310⨯B．312310⨯C．412.310⨯D．51.2310⨯4．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：则这个队队员年龄的众数和中位数分别是()A．15，16 B．15，15 C．15，15.5 D．16，155．安装了软件“SmartMeasure”的智能手机可以测量物高．其数学原理是：该软件通过测量手机离地面的高度，物体底端的俯角和顶端的仰角即可得出物体高度．如图，小明测得大树底端C点俯角α，顶端D点的仰角β，点A离地面的高度AB a=米，则大树CD的为（）A ．tan (n )ta a αβ+米B ．sin (n )si a αβ+米C ．tan 1tan a αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭米D ．tan 1tan a a β⎛⎫+ ⎪⎝⎭米 6．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G 时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）A ．19B ．16C ．13D ．237．如图，小明分别以点A B ，为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径作弧，相交于点E F ，，作直线EF 分别交弦AB 和劣弧AB 于点C D ，．小明量得41AB cm CD cm ==，．则劣弧AB 所在圆的半径长为（ ）A ．3cmB ．2.5cmC ．D ．2.4cm8．甲、乙两地相距120km ，一辆汽车上午9:00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了30km /h ，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程()km y 与时间()h x 之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（ ）A ．10:35B ．10:40C ．10:45D ．10:509．如图，在ABC V 中，75ABC ∠=︒，60A ∠=︒，2AB =．按以下步骤作图：①分别以点B和点C 为圆心、大于12BC 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；②作直线MN 交AC 于点D ，则CD 的长为（ ）AB ．C 1D 10．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形ABCD 中()AB AD >，以AD 为边作正方形ADEF ，在FE 的延长线上取一点G ，使得Rt DGC ∠=∠，过点D 作DH DG ⊥交AB 于点H ，过点H 作HK GC ⊥于点K ．若22BF FH ==，则DE 为（ ）A ．4B ．2C ．D ．二、填空题11．分解因式：n 2﹣100=．12．在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30％，估计袋中黑球有个．13．若分式21x-的值等于1-，则x =． 14．不等式组62132x x -≥⎧⎪⎨+>⎪⎩的解集为． 15．如图，Rt OAB V与Rt OBC △位于平面直角坐标系中，30AOB BOC ∠=∠=︒，BA OA ⊥，CB OB ⊥，若AB =()0k y k x=≠恰好经过点C ，则k =．16．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A 与矩形ABCD 的顶点重合，直角顶点E 落在边BC 上，另一顶点F 恰好落在边CD 的中点处，若12BC =，则AB 的长为．三、解答题17．计算：()201120232sin 602π-⎛⎫+-+--︒ ⎪⎝⎭； 18．以下是小亮同学在解分式方程211xx+-=的过程： 根据小亮的解题过程，回答下列问题：(1)小亮的解题过程中第步开始出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．19．为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党知识测试，该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：a ．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x ＜60，60≤x ＜70，70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x ≤100）；b ．八年级学生成绩在80≤x ＜90的这一组是：80 、81、 82 、83、 84、 84、84、84、84、85、85、 86、86.5、87、88、89.5 c ．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：(1)表中m 的值为；(2)在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在年级排名更靠前，理由是；(3)若各年级建党知识测试成绩前90名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到分的学生才能入选；(4)若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．20．如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB 、BC 可分别绕点A 、B 转动，测量知10cm AB =，8cm BC =．当AB ，BC 转动到70BAE ∠=︒，65ABC ∠=︒时，求点C 到直线AE 的距离．（精确到0．1cm ，参考数据：sin 700.94︒≈，cos700.34︒≈ 1.41）21．2022年7月19日亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？22．如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，使点A和点C分别落在x轴和y轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，E是AB中点，反比例函数图象过点E且和BC相交于点F．(1)求反比例函数与直线EF的解析式；(2)连接OE，OF，求四边形OEBF的面积．23．如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O 为原点，水平方向为x 轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A 的坐标为()()00t t ≥，．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a ．(1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米．①若1t =时，求第一象限内水柱的函数表达式．②用含t 的代数式表示a ．(2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a 与t 之间满足184099a t -+=，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．①求改造后水柱达到的最大高度．②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t 的取值范围．24．约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在ABC V 中，AD 为边BC 上的中线，ABD △与ABC V 相似，那么称ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”．(1)如图2，在ABC V 中，BC ，求证：ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”；(2)如图3，已知ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”，点D 是ABC V 边BC 的中点，以BD 为直径的⊙O 恰好经过点A ．①求证：直线CA 与O e 相切；②若O e 的直径为AB 的长；(3)已知ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”，4BC =，30B ∠=︒，求ABC V 的面积．。