初二 平行四边形与菱形

平行四边形与菱形的性质平行四边形与菱形是初中数学中常见的两个几何形体，它们具有一些共同的性质，也有一些不同之处。

本文将重点介绍平行四边形与菱形的性质，并对其进行比较分析。

一、平行四边形的性质1. 定义：平行四边形是四边形的一种特殊形式，具有两对对边平行的特点。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，即对角线相等，且交点连线中点。

3. 边角性质：平行四边形的对边相等，对角线上的内角互补，对角线外角相等。

4. 平行边性质：平行四边形中，对边相等的两条边是平行的。

通过以上性质的分析，我们可以得出平行四边形具有对角线平分、对边相等、内角互补等特点。

二、菱形的性质1. 定义：菱形是四边形的一种特殊形式，具有两对对边相等的特点。

2. 对角线性质：菱形的对角线相等，且交点连线垂直。

3. 边角性质：菱形的边相等，内角都是锐角或直角。

4. 对称性质：菱形具有对称性，通过对角线进行对称时，图形保持不变。

通过以上性质的分析，我们可以得出菱形具有对角线相等、边相等、对称等特点。

三、平行四边形与菱形的比较1. 对角线性质：平行四边形和菱形在对角线性质上相似，都具有对角线相等的特点。

2. 边角性质：平行四边形的对边相等，对角线上的内角互补；而菱形的边相等，内角都是锐角或直角。

3. 平行性质：平行四边形中的对边是平行的，而菱形没有平行性质。

4. 对称性质：菱形具有对称性，而平行四边形没有明显的对称性。

通过以上比较，我们可以看出平行四边形和菱形在对角线性质上相似，但在边角性质、平行性质和对称性质上存在一定的区别。

综上所述，平行四边形和菱形是具有不同性质的几何形体，对于初中数学学习而言，了解它们的性质和特点是基础知识。

掌握了平行四边形和菱形的性质，有助于我们更好地理解和应用于解题中。

因此，在学习数学几何时，我们应该注重对平行四边形和菱形的性质进行深入理解，并通过实际练习来提高对它们的掌握程度。

这样，在解题过程中，我们能够准确运用这些性质，提高数学的应用能力。

中考数学复习⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究在平行四边形的存在性问题中，常会遇到两类探究性的问题。

第一类问题是已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形（简称“三定一动”）。

第二类问题是已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形（简称“两定两动”）。

平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序。

在解决这些问题时，容易出现遗漏或方法不当或错解的情况。

因此，需要分清题型并分类讨论且作图，利用几何特征计算，并灵活运用平移坐标法等解题技巧。

可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算”。

对于“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点。

这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点。

对于“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。

如果平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则可以直接利用坐标系中平行四边形的基本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解。

如果平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则可以利用列方程组解图形交点的方法解决。

此外，还可以灵活运用平行四边形的中心对称的性质，或者使用平移坐标法。

平移坐标法的具体步骤是先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标），再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标。

最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性。

除了平行四边形，矩形、菱形和正方形也有存在性问题。

对于矩形，增加对角线相等和邻边垂直的性质，还可以转化为直角三角形的存在性问题。

对于菱形，增加四边相等和对角线垂直的性质，还可以转化为直角三角形或等腰（等边）三角形的存在性问题。

要正确认识菱形与平行四边形的关系（1）菱形是特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形，因而它具有平行四边形的一切性质．
（2）菱形有它自己独特的而一般平行四边形没有的性质：四边相等，对角线互相垂直，每条对角线分别平分一组对角．在学习过程中要避免将菱形的特殊性质用到平行四边形上，还要注意不要将矩形与菱形的特殊性质混在一起．（3）菱形的判定也需要三个条件，实际上三个条件中有两个是判定平行四边形的，另一个是菱形的特殊条件．。

八年级数学《菱形》知识总结及经典例题学习目标1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=21ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件． 例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（ ）（2）两边相等的平行四边形为菱形．（ ）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等． 错解：（1）（√） （2）（×）正解：（2）（×） （2）（×）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点连结AE ，AF.求证：AE ＝AF错误分析：本题证明错在BE ＝DF ，因为并未证明BC ＝CD ，推理不严格错证：∵菱形ABCD ，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF正证：∵菱形ABCD ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∴21BC=21CD 又∵EF 分别为BC ，CD 的中点 ∴BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF典型例题例l ．已知，如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数．分析：要求∠CEF 的度数，可先求∠AEB 的度数，而要求∠AEB 的度数则必须求∠B 的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D ＝60°．如连结AC 得等边△ABC 与△ACD ，从而△ABE ≌△ACF ，有AE ＝AF ，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B ＝∠D ＝60°.因为∠BAE ＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE ＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF ＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF ＝180°所以∠CEF ＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ．∴△ABC 和△CDA 为等边三角形 ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60°∵∠EAF ＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE ＝AF又∵∠EAF ＝60° ∴△EAF 为等边三角形 ∴∠AEF ＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF ＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法．例2．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证：四边形AMNE 是菱形．分析：要证AMNE 是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN 是∠DAC 的平分线，只要证AM ＝AE ，则AN 垂直平分ME ，若证AN ⊥ME ，则再由BE 平分∠ABN 易知BE 也垂直平分AN ，即AN 与ME 互相垂直平分，故有AM ＝MN ＝NE ＝AE ，即AMNE 是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE 垂直平分AN 后，可得AM ＝MN ，所以∠MNA ＝∠MAN ＝∠NAE ，所以MN AE ，则AMNE 是平行四边形，又AM ＝MN 所以AMNE 是菱形．证法一：因为∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠C因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠EBC ．因为∠AME ＝∠BAD+∠ABE ＝∠C+∠EBC ＝∠AEM ，所以AM ＝AE ，又因为AN 平分∠DAC ，所以AM ＝MN ，所以AM ＝MN ＝NE ＝AE ．所以AMNE 是菱形．证法二：同上，若证AN 垂直平分ME ，再证BE 垂直平分AN ，则AM ＝MN ，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE ．所以AMNE 是平行四边形，由AM ＝MN 得AMNE 是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，且OA ＝DE ，边长AD ＝8，求菱形ABCD 的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA 是△ABD 的边BD 上的高，又由DE ⊥AB ，OA ＝DE ，易知△AOD ≌△DEA 从而知△ABD 是等边三角形，从而菱形ABCD 面积可求．解：在菱形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以△AOD 是直角三角形，因为DE ⊥AB ，所以△AED 是直角三角形．在Rt △AOD 和Rt △AED 中，因为AD ＝AD ，DE ＝OA ，所以Rt △AOD ≌Rt △DEA ．所以∠ADO ＝∠DAE ，因为ABCD 为菱形，所以∠ADO ＝∠ABO ，所以△ABD 是等边三角形．因为AD ＝8，DE ⊥AB ，所以AE ＝21AD ＝4，在Rt △AED 中，DE ＝22AE AD =43.从而S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝8×43=323注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC ，BD 的长，按S 菱形ABCD =21AC ·BD 来计算，但后者较繁复． 例4．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. 求证：AE ⊥BF分析：注意□ABCD 中，AD ＝2AB 这一特殊条件，因此□ABCD 能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE 交BC 于点G ，BF 交AD 于点H ，连结GH.因为AB ∥DF ，所以∠F=∠ABH ， ∠FDH=∠BAH.又因为AB ＝CD ＝DF ，所以△ABH ≌△DFH.所以AH ＝HD=21AD=AB.所以BC AH ，BG=AB ．则四边形ABGH 是菱形，所以AE ⊥BF.例5．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF 和△DOF 是关于直线EF 成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF ＝∠ODF ，再结合已知得到∠ODF ＝∠OAE ，从而判断DF ∥AE ，得到AEDF 是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF 是菱形。

人教版初二数学下册第18章《平行四边形》讲义第11讲菱形及正方形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、基本性质：〔1〕边：菱形的四条边都相等；〔2〕角：菱形的对角相等，邻角互补；〔3〕对角线：菱形的对角线相互垂直平分，且每一条对角线平分一组对角： 〔4〕对称性：菱形是轴对称图形，中心对称图形，对称轴有两条；〔5〕面积：S=21ab(其中a 、b 区分是菱形的两条对角线的长). 或 S=底×高。

〔1〕有一组邻边相等的平行四边形是菱形;〔2〕四边都相等的四边形是菱形;〔3〕对角线相互垂直平分的四边形是菱形;〔4〕对角线相互垂直的平行四边形是菱形.1、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、基本性质：〔1〕边：正方形四条边都相等；〔2〕角：正方形的四个角都相等；〔3〕对角线：对角线相等且相互垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； 〔4〕对称性：是中心对称图形，又是轴对称图形，对称轴有四条；〔1〕有一组邻边相等的矩形是正方形；〔2〕对角线相互垂直的矩形是正方形；〔3〕有一个角是直角的菱形是正方形；〔4〕对角线相等的菱形是正方形。

考点1、菱形的性质例1、菱形的一个内角是120°，一条较短的对角线的长为10，那么菱形的周长是________ 例2、如图，菱形ABCD 的两条对角线区分长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 区分是边AB 、BC 的中点，那么PM +PN 的最小值是________．例3、菱形的一条对角线长为12cm ，面积为30cm 2，那么这个菱形的另一条对角线长为_______cm 。

例4、如图，菱形ABCD ，E ，F 区分是BC ，CD 上的点，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数。

例5、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延伸线于点E ．〔1〕证明：四边形ACDE 是平行四边形；〔2〕假定AC=8，BD=6，求△ADE 的周长．例6、如图，在菱形ABCD 中，F 为对角线BD 上一点，点E 为AB 延伸线上一点，DF=BE ，CE=CF.求证：〔1〕△CFD ≌△CEB ；〔2〕∠CFE=60°.例7、：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2．〔1〕、假定CE=1，求BC 的长；〔2〕、求证：AM=DF+ME ．1、菱形ABCD 中，∠A ＝60o ，对角线BD 长为7cm ，那么此菱形周长 cm 。

平行四边形与菱形的性质平行四边形和菱形是几何学中常见的两种特殊四边形。

它们具有一些独特的性质和特征，下面将逐一探讨。

一、平行四边形的性质1. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，即两条对角线的交点同时是它们的中点。

2. 相邻角性质：平行四边形中相邻的内角互补，即相邻内角的和为180度。

3. 对边性质：平行四边形的对边相等且平行，即所对的边长相等，且两边互相平行。

4. 同位角性质：平行四边形中同位角相等，即同位角对应的角度相等。

5. 临补角性质：平行四边形的临补角互补，即两对临补角的和为180度。

二、菱形的性质1. 对角线性质：菱形的对角线相互垂直，且互相平分，即两条对角线的交点同时是它们的中点。

2. 边长性质：菱形的四条边长相等。

3. 相邻角性质：菱形中相邻的内角互补，即相邻内角的和为180度。

4. 同位角性质：菱形中同位角相等，即同位角对应的角度相等。

5. 对边性质：菱形的对边平行且相等，即对边的长度相等且互相平行。

综上所述，平行四边形和菱形都有其各自独特的性质和特征。

它们在几何学中应用广泛，不仅仅是理论性质，还可以通过它们的性质来解决实际问题。

因此，对于学习和理解几何学的同学们来说，掌握并熟练运用平行四边形和菱形的性质是非常重要的。

无论是在计算平行四边形和菱形的面积、周长，还是在证明几何定理方面，了解它们的性质都会为我们的解题提供很大的帮助。

因此，在学习几何学的过程中，我们应该充分理解并掌握平行四边形和菱形的性质，灵活运用它们来解决各种问题。

总而言之，平行四边形和菱形作为几何学中的特殊四边形，具有一些独特的性质和特征。

掌握并熟练运用它们的性质，可以帮助我们解决各种几何问题，提高解题能力。

因此，在学习几何学的过程中，我们应该注重对平行四边形和菱形的性质的学习和理解，以便在实际应用中灵活运用。

专题19 平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：S 1S 2S 3S 4例题与求解【例l 】如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，∠CAE ＝15°，那么∠BOE ＝________.OD(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2】下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（ ） A.1 B. 2 C. 3 D.4 (全国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构例否定.【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点且满足AE +CF ＝2.（1）判断△BEF 的形状，并说明理由； （2）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.E DACBF(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE 的取值范围.【例4】如图，设P 为等腰直角三角形ACB 斜边AB 上任意一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥EF 于点G ，延长GP 并在春延长线上取一点D ，使得PD ＝PC . 求证：BC ⊥BD ，BC ＝BD .R G FE CABP(全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明△CPB ≌△DPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F .图3图2图1DGDFDB BBC EC AEC A E（1）在图1中证明CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB ，DG （如图3），求∠BDG 的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形； 对于（2），用测量的方法可得∠BDG =45°，进而想到等腰直角三角形，连CG ，BD ，只需证明△BGC ≌△DGF ，这对解决（3），有不同的解题思路. 对于（3）【例6】如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P . 求证：∠BPM ＝45°.PNMBA(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN 或AC ，即作ME ⊥AN ，ME ＝AN ，构造平行四边形.，能力训练A 级1. 如图，□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则□ABCD 的面积为________.第1题F E ABD2. 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________.第2题MOBC A(浙江省中考试题)3. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝78°，过C 作CF ∥AB ，连结AF 与BC 相交于G ，若GF ＝2AC ，则∠BAG 的大小是________.第3题GFCB A(“希望杯”竞赛试题)4. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，则∠CEF 的大小是________.第4题FBDC E(“希望杯”邀请赛试题)5. 四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（ ）A.两组角分别相等的四边形B. 平行四边形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（ ）A. ①②B.③④C. ③D. ①②③④7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD 3AF 平分∠DAB ，过点C 作CE ⊥BD于E ，延长AF ，EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED .正确的是（ ）A. ②③B.③④C. ①②④D. ②③④第7题HEFOD BC (齐齐哈尔中考试题)8. 如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果12341(S S )2S S ==+，则4S ＝（ ）A.38abB. 34abC. 23abD. 12abS 1S 3S 2S 4第8题AB DE F(“缙云杯”竞赛试题)9. 已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A ＝∠C ；⑥∠B ＝∠D .从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.(江苏省竞赛试题)10. 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ， 以AD为边作等边△ADE .（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论.E FABCD(江苏省南通市中考试题)11. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 为BC 上任一点，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论.FE ABC(河南省中考试题)12. 如图，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD 的面积.EA(山东省竞赛试题)B 级1. 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________.第1题FE BAC(“希望杯”竞赛试题)2. 如图，已知P 为矩形ABCD 内一点，P A ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝________.第2题BP C(山东省竞赛试题)3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 长为________.第3题F EB C(武汉市竞赛试题)4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D '处，CD '交AB 于点F ，则重叠部分△AFC 的面积为 ________.第4题F ABD(山东省竞赛试题)5. 如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，那么PE +PF 的值为________.第5题EFBCAP(全国初中数学联赛试题)6. 如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD上，则PE+PC 的最小值为________.第6题EDABC P(“希望杯”邀请赛试题)7. 如图，△ABC 的周长为24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（ ）A. 30B. 24C.16D.12第7题MBCA(全国初中数学联赛试题)8. 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED 的大小是（ ） A. 60° B. 65° C.70° D.75°第8题E FBAC9. 如图，已知∠A ＝∠B ，1AA ，1PP ，1BB 均垂直于11A B ，1AA ＝17，1PP＝16，1BB ＝20，11A B ＝12，则AP+PB 的值为（ ）A. 15B.14C. 13D.12第9题B A 1P 1PA(全国初中数学联赛试题)10. 如图1，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图2）.图1图3EDBCAB CCBA解答问题：（1）设图2中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为1S ，2S ，则1S ________2S （填“＞”、“＝”或“＜”）.（2）如图3，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.（3）如图4，△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？图4ABC(陕西中考试题)11.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝120°，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证：若△AMN 有一个内角等于60°，则△AMN 为等边三角形.12.如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED－AB＝AF－CD＞0.求证：该六边形的各角相等.FEB(全俄数学奥林匹克试题)。

八年级上册数学复习资料世间极占地位的，是读书一著。

然读书占地位，在人品上，不在势位上。

以下是我精心收集整理的八年级上册数学复习资料，下面我就和大家分享，来欣赏一下吧。

八年级上册数学复习资料1第四章四边形性质的探索1.多边形的分类：2.平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别：(1)平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的对边平行且相等;对角相等，邻角互补;对角线互相平分。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形。

(2)菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的四条边都相等;对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

四条边都相等的四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。

菱形的面积等于两条对角线乘积的一半(面积计算，即S菱形=L1-L2/2)。

(3)矩形：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的对角线相等;四个角都是直角。

对角线相等的平行四边形是矩形;有一个角是直角的平行四边形是矩形。

直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半;在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半。

(4)正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。

(5)等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形;对角线相等的梯形是等腰梯形;对角互补的梯形是等腰梯形。

(6)三角形中位线：连接三角形相连两边重点的线段。

性质：平行且等于第三边的一半3.多边形的内角和公式：(n-2)-180°;多边形的外角和都等于。

4.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2”表示平行四边形，例如：平行四边形记作ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形=⨯分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角． （2）识别菱形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③ 说明四边形ABCD 的四条相等． （3）识别正方形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等． ④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角． （4）识别等腰梯形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等．② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等． 5．几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=12ab ．③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ．④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ． 平行四边形 矩形 菱形 正方形图形性质1．对边 且 ；2．对角 ； 邻角 ；3．对角线 ；1．对边 且； 2．对角 且四个角都是； 3．对角线 ；1． 对边 且四条边都 ；2．对角 ；3．对角线 且每条对角线；1．对边 且四条边都 ；2．对角 且四个角都是 ；3．对角线 且每条对角线 ；面积。

平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表：
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

注意：平行线间的距离处处相等。

二、矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三角形，与之相联系的还有以下性质：（1）直角三角形的两个锐角互余。

（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（即勾股定理）
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（4）直角三角形中30 角所对的直角边等于斜边的一半。

四种特殊四边形的性质
四种特殊四边形常用的判定方法：
一组邻
一组邻
边相等
对角线相
对角线
垂直
对角线
相等
对角线垂
直。

平行四边形与菱形的关系与计算平行四边形与菱形是几何学中的两个重要概念，它们在形状和性质上有着密切的联系。

本文将详细介绍平行四边形与菱形之间的关系，并探讨其相关的计算方法。

一、平行四边形的定义与性质平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。

其中，对边指的是相对的两条边。

平行四边形具有以下性质：1. 对边相等：平行四边形的对边长度相等。

2. 对角线平分：平行四边形的对角线相互平分。

3. 对角线长度关系：平行四边形的对角线长度满足对角线定理，即两对对角线的平方和相等。

二、菱形的定义与性质菱形是指具有四条边长度相等的四边形，又称为等边四边形。

菱形具有以下性质：1. 边长相等：菱形的四条边长度相等。

2. 对角线互相垂直：菱形的对角线互相垂直，且相互平分。

3. 对角线长度关系：菱形的对角线长度相等。

三、平行四边形与菱形的关系平行四边形与菱形之间存在紧密的关系，具体表现在以下几个方面：1. 平行四边形是菱形的特殊情况：当一个平行四边形的对角线相等时，它就是一个菱形。

2. 菱形是平行四边形的特殊情况：当一个四边形的四条边长度相等时，它就是一个平行四边形。

3. 平行四边形的对角线是菱形的对角线：由平行四边形的对角线定理可知，平行四边形的对角线相等且互相平分，因此它们也是菱形的对角线。

四、平行四边形与菱形的计算方法1. 平行四边形的面积计算：当已知平行四边形的底和高时，可以使用以下公式计算其面积：面积 = 底 ×高2. 菱形的面积计算：当已知菱形的对角线1和对角线2时，可以使用以下公式计算其面积：面积 = （对角线1 ×对角线2）/ 23. 平行四边形的周长计算：当已知平行四边形的边长时，可以使用以下公式计算其周长：周长 = 2 ×（边1 + 边2）4. 菱形的周长计算：当已知菱形的边长时，可以使用以下公式计算其周长：周长 = 4 ×边长五、举例说明例如，已知一个平行四边形ABCD，其底长为8 cm，高为6 cm。

平行四边形与菱形的区别
平行四边形和菱形都是几何图形中的一种，但它们有许多区别。

以下是它们的不同之处：
1. 形状
平行四边形是一个四边形，具有相对的对边平行和相等的对边长度的特点。

它们的角度可能不一样。

在平行四边形中，相对的对边平行但未必相等，而且角度可能不同。

2. 边长和角度
平行四边形和菱形都有相等的对边角度和内角度。

菱形每个内角都是90度，每个对边都是相等的。

平行四边形的相对内角等于180度，因此它们的内角是120度和60度，而且所有对边长度都不同，除非它们是正方形。

3. 对称性
菱形有二创面对称，这意味着如果将它们沿对角线折叠，则一个创面会完全重合另一个创面。

平行四边形没有这种对称性，因为它不能按这种方式折叠。

4. 特殊形式
在某些情况下，平行四边形可以是正方形。

正方形是一种特殊的平行四边形，它的所有对角线相等且垂直于彼此。

同样，菱形可以是正方形，它的特点是所有对角线相等且垂直于彼此。

综上所述，平行四边形与菱形在形状、边长和角度、对称性和特殊形式等方面都有许多区别。

每种形状都有其独特的特征，这使它们在不同的应用中具有不同的用途。

平行四边形与菱形的性质平行四边形和菱形是几何学中的两种特殊多边形，它们都具有独特的性质和特点。

本文将分析和比较平行四边形和菱形的性质，以帮助读者更好地理解它们之间的关系。

一、平行四边形的性质平行四边形是指四边形的对边两两平行的几何形状。

下面是平行四边形的一些性质：1. 对边平行性质：平行四边形的相对边是平行的，即对边AB和CD平行，对边AD和BC平行。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，并且对角线的交点称为对角线的中点。

即AC和BD相交于E点，在AE上的点F以及BE上的点G都是对角线的中点。

3. 同位角性质：平行四边形的同位角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D。

4. 对角线长度关系：平行四边形的对角线相等，即AC=BD。

二、菱形的性质菱形是指四个边都相等的平行四边形，也被称为菱形状。

下面是菱形的一些性质：1. 边长性质：菱形的四条边都是相等的，即AB=BC=CD=DA。

2. 对角线性质：菱形的对角线互相垂直且互相平分，并且对角线的交点称为对角线的中点。

即AC和BD相交于E点，在AE上的点F以及BE上的点G都是对角线的中点。

3. 内角性质：菱形的内角都是直角，即∠A=∠B=∠C=∠D=90度。

三、平行四边形与菱形的关系1. 平行四边形是菱形的特例：当平行四边形的四条边相等时，它也是一个菱形。

因此，菱形可以看作是平行四边形的一种特殊情况。

2. 菱形不一定是平行四边形：菱形的四条边相等，但是不要求相邻边平行。

因此，菱形可以具有不同于平行四边形的形状。

3. 平行四边形和菱形的共同性质：平行四边形和菱形都具有对角线互相平分、对角线互相垂直的性质，以及对角线的交点为对角线的中点。

总结：平行四边形和菱形都是几何学中常见的多边形，它们具有一些共同的性质，如对角线互相平分、对角线互相垂直等。

平行四边形是菱形的特例，而菱形则不一定是平行四边形。

通过研究和比较这两种多边形的性质，我们能更好地理解它们在几何学中的重要作用。

平行四边形与菱形几何中的平行套路在几何学中，平行四边形和菱形是两个常见的多边形形状。

它们具有相似的性质和特点，但也有一些不同之处。

本文将介绍平行四边形和菱形的定义、性质以及它们在几何中的平行套路。

一、平行四边形的定义和性质平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。

它的定义有四个方面的性质：1. 对边性质：平行四边形的对边互相平行且长度相等。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分且长度相等。

3. 对角性质：平行四边形的对角线互相垂直。

4. 对边角性质：平行四边形的对边角互为补角。

平行四边形的这些性质使得它在几何证明中有着广泛的应用。

二、菱形的定义和性质菱形是指四个边相等的四边形，它也具有一些特定的性质：1. 对角线性质：菱形的对角线互相垂直且平分。

2. 角性质：菱形的内角为直角，每个角的度数为90度。

3. 对边性质：菱形的对边平行且长度相等。

菱形的特殊性质使得它在几何中有着重要的地位。

它不仅是一个特殊的平行四边形，还是一个特殊的正方形。

三、平行四边形与菱形的联系与差异尽管平行四边形和菱形在定义和性质上有一些相似之处，但它们也存在一些重要的差异。

1. 角度差异：平行四边形的内角可以是任意度数，而菱形的内角为直角，即90度。

2. 边长差异：平行四边形的四条边可以是不相等长度的，而菱形的四条边必须相等。

3. 特殊性质：菱形是一个特殊的平行四边形，它同时也是一个特殊的正方形。

而平行四边形并不能具备正方形的性质。

尽管存在这些差异，平行四边形与菱形在平行套路上仍然存在一些相似之处。

四、平行四边形与菱形的平行套路平行四边形和菱形的平行套路指的是在几何证明或问题解决中使用平行四边形和菱形的特性来推导出结果的方法。

下面将介绍几个常见的平行套路：1. 平行四边形的边长关系：利用平行四边形的边平行性质，可以得出边长之间的关系，如使用相似三角形的方法推导出等式或比例关系。

2. 菱形的对角线性质：利用菱形的对角线垂直且平分的特性，可以推导出各个边、角之间的关系，如推导出菱形边长与对角线长度之间的关系等。

数学中的平行四边形与菱形平行四边形和菱形是数学中常见的几何形状，它们在许多数学问题中发挥着重要的作用。

本文将探讨平行四边形和菱形的性质、特点以及它们在几何学和实际应用中的应用。

一、平行四边形平行四边形是指具有两对平行边的四边形。

它有以下重要性质：1. 对角线互相平分平行四边形的两条对角线互相平分。

也就是说，将平行四边形的一个角分成两个相等的角的直线，必定是这个平行四边形的对角线之一。

2. 对边互相平等平行四边形相对的两边互相平等。

这是因为平行四边形的两对边是平行的，所以它们的长度相等。

3. 相邻角互补平行四边形的相邻内角互补。

也就是说，两个相邻的内角的和等于180度。

这是因为平行四边形的对边是平行的，所以它们的内角是对应角，对应角互补。

4. 对角线长度关系平行四边形的对角线之间存在一定的长度关系。

具体而言，对角线的平方和等于两条相邻边长的平方和。

这一性质可以通过应用勾股定理来证明。

二、菱形菱形是具有四条边长相等的四边形。

它有以下重要性质：1. 对角线互相垂直菱形的两条对角线互相垂直。

也就是说，菱形的对角线相交成直角。

2. 对边平行菱形的对边是平行的。

这是因为菱形的对角线相互垂直，而垂直线之间的两个相交线必定平行。

3. 相邻角互补菱形的相邻角互补。

也就是说，两个相邻的内角的和等于180度。

这是因为菱形的对边是平行的，所以它们的内角是对应角，对应角互补。

4. 对角线相等菱形的两条对角线相等。

这是因为菱形的每条边长都相等，所以它的对边也相等，从而造成了对角线的相等。

三、平行四边形和菱形的应用平行四边形和菱形在几何学和实际应用中有广泛的应用。

以下是一些例子：1. 建筑设计平行四边形和菱形的特点使它们在建筑设计中得到广泛应用。

例如，建筑师可以利用平行四边形的对角线互相平分和对边互相平等的性质来确定建筑物的平直度和对称性。

2. 纺织工艺在纺织工艺中，平行四边形和菱形的特性被应用于纺织品的织造和图案设计。

例如，通过利用菱形的对角线相互垂直和对边平行的特点，可以设计出具有独特花纹和图案的纺织品。