重庆市万州第二中学2016-2017学年高二上学期期中考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知圆 221:2880C x y x y +++-=，圆222:4420C x y x y +---= ，圆1C 与圆2C 的位置关系为（ ）A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离【答案】C考点：两个圆的位置关系．2.如图，正方形''''O A B C 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A ．2+B ．2+C ．6D ．8【答案】D【解析】试题分析：由题意得正方形''''O A B C 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB =，对应的原图形平行四边形的高为，如图所示，所以原图形中1,3OA BC cm AB OC cm =====，所以原图形的周长为2(13)8cm ⨯+=，故选D ．考点：平面图形的直观图．3.设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ三个不同的平面，给出下列四个命题：①若,m n αα⊥，则m n ⊥；②若,αγβγ⊥⊥，则αβ； ③若,,m αββγα⊥，则m γ⊥；④若,,m n m n αγβγ⋂=⋂=，则αβ. 其中正确命题的序号是（ ）A ．①和③B ．②和③C ．③和④D ．①和④【答案】A考点：线面位置关系的判定与证明．4.过点()3,1作一直线与圆 ()2219x y -+=相交于,M N 两点，则MN 的最小值为（ ）A ．．2 C.4 D ．6【答案】C【解析】试题分析：由圆的方程()2219x y -+=，可知圆心(1,0)O ，半径3R =，则点()3,1和圆心(1,0)O 连线的长度为d ==，当过点()3,1和圆心的连线垂直时，所得弦长最短，由圆的弦长公式可得4l ===，故选C ．考点：直线与圆的位置关系及其应用．5.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2π+B ．4π+ C.2π+D ．4π 【答案】C考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图及其体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据三视图得出上面一个四棱锥、下面是一个圆柱组成的组合体，得到几何体的数量关系是解答的关键，属于基础题．6.已知圆22:8150C x y x +-+=，直线 2y kx =+上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（ ）A ．43-B ．54- C.35- D ．53- 【答案】A【解析】试题分析：因为圆C 的方程为228150x y x +-+=，整理得22(4)1x y -+=，所以圆心为(4,0)C ，半径为1r =，又因为直线2y kx =+上至少存在一点P ，使得以点P 为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，所以点C 到直线2y kx =+的距离小于或等于2，所2，化简2340k k +≤，解得403k -≤≤，所以k 的最小值是43-，故选A ． 考点：直线与圆位置关系及其应用．7.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）A ．90B ．60 C. 45 D ．30【答案】C考点：直线与平面所成的角．8.若过点()2P -- 的直线与圆22:4C x y +=有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是 （ ） A ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】试题分析：由题意可得点()2P --在圆22:4C x y +=的外部，所以要求的直线的斜率一定存在，设直线的斜率为k，则直线方程为2(y k x +=+，即20kx y -+-=，根据直线和圆有公共点，2，解得0k ≤≤，所以直线的倾斜角的取值范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选B ． 考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率与直线的倾斜角．9.平面上到定点()1,2A 距离为1且到定点()5,5B 距离为d 的直线共有4条，则d 的取值范围是 （ ）A ．()0,4B ．()2,4 C. ()2,6 D ．()4,6【答案】A考点：圆与圆的位置关系及其应用．10.在四棱锥 P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥底面,ABCD M 是棱PC 上一点．若 PA AC a ==，则当MBD ∆的面积为最小值时，直线AC 与平面MBD 所成的角为（ ）A ．6πB ．4π C. 3πD ．2π【答案】B【解析】试题分析：连结,AC BD 交于O ，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥底面ABCD ，所以,PA BD AC BD ⊥⊥，所以BD ⊥平面PAC ，进一步求出：BM DM =，过O 点作OM PC ⊥于M ，当MBD ∆的面积为最小值，只需OM 最小即可，若PA AC a ==，所以4ACP π∠=即为所求，故选B ．考点：直线与平面所成的角．11.若实数,x y 满足22230x y x +-++=，则x 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,6 C.[]2,6 D ．[]4,0-【答案】C考点：圆的方程；圆的最值问题．【方法点晴】本题主要考查了圆的方程及其应用问题，其中解答中涉及圆的标准方程、圆的一般方程、圆的参数方程、以及三角函数的最值问题等知识点的的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，解答中根据圆表示方程，利用圆的参数方程，转化为三角函数的求最值是解答关键，属于中档试题．12.已知边长为的菱形 ABCD 中，60BAD ∠=，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120 的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．26π C.27π D ．28π【答案】D【解析】试题分析：如图所示，00120,60,3AFC AFE AF ∠=∠===，所以32AE EF ==，设2,1OO O F ''==,所以勾股定理可得222234(1))2R x x =+=++，解得27R =，所以四面体的外接球的表面积为2428R ππ=，故选D ．考点：有关球的组合体问题．【方法点晴】本题主要考查了有关球的组合体问题，其中解答中涉及到球的基本性质的应用、球的表面积公式、三棱锥的线面位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，本题的解答中正确求出四面的外接球的半径是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.在平面直角坐标系xOy 中，若圆 ()2214x y +-=上存在,A B 两点关于点()1,2P 成中心对称，则直线AB 的方程为__________.【答案】3x y +=考点：直线与圆的位置关系的应用．14.已知ABC ∆的三个顶点在以O 为球心的球面上，且1,3AB BC AC ===，三棱锥O ABC -的体O 的表面积为__________. 【答案】12π【解析】试题分析：在ABC ∆中，1,3AB BC AC ===，由勾股定理可知斜边AC 的中点O '就是ABC ∆的外接球圆的圆心，因为三棱锥O ABC -所以11132OO '⨯⨯⨯=，所以OO '=，所以R ==，球O 的表面积为2412R ππ=． 考点：球的表面积的求解．15.一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的_________倍.【答案】考点：旋转体的侧面积与表面积．【方法点晴】本题主要考查了旋转体的侧面积与表面积的计算，其中解答中涉及到圆柱侧面积、圆锥的侧面积与表面积的计算，圆锥与圆柱的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，解答中利用圆柱和圆锥的侧面积公式，准确计算是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．16.如图，在三棱锥 A BCD -中，2BC DC AB AD BD =====，平面ABD ⊥ 平面,BCD O 为BD 中点， ,P Q 分别为线段 ,AO BC 上的动点（不含端点），且 AP CQ =，则三棱锥 P QCO -体积的最大值为_________.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．【方法点晴】本题主要考查了结合体的体积的最值的求法，其中解答中涉及到直线与平面垂直的判定定理和平面与平面垂直的性质定理，以及几何体的体积公式和基本不等式的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，解答中正确利用线面位置关系，以及数量关系表示出几何体的体积是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）四面体ABCD及其三视图如图所示．（1）求四面体ABCD 的体积；（2）若点E 为棱BC 的中点，求异面直线DE 和AB 所成角的余弦值．【答案】（1）23；（2试题解析：（1）根据直角三角形，1,,1,BD DC AD DC l AD ⊥⊥∴==1222,2BDC S =⨯⨯=112221323V =⨯⨯⨯⨯=. （2）取AC 中点F ,连,DF EF ，则DEF ∠为AB 与DE 所成角或补角.则12122S PE AB DE DP AC PC =======cosθ∴===.所以异面直线DE 和AB 考点：三棱锥的体积；异面直线所成的角．18.（本小题满分12分）已知ABC ∆的顶点()5,1,A AB 边上的中线CM 所在的直线方程为250,x y AC --=边上的高BH 所在直线方程为250x y --=，求：（1）直线AC 方程；（2）顶点C 的坐标；（3）直线BC 的方程.【答案】（1）2110x y +-=；（2）()4,3；（3）6590x y --=．试题解析：（1）AC BH ⊥,设AC 方程为： 20x y t ++=，将点A 坐标代入得，11t =-，所以直线:2110AC x y +-=.（2）联立AC 所在的直线方程与CM 所在直线方程，2502110x y x y --=⎧⎨+-=⎩,得C 点坐标()4,3.（3）设(),B a b ，则中点M 坐标为51,,22a b M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭点坐标满足CM 所在的直线方程为250,x y BH --=所在直线方程250x y --=，代入得方程组210250a b a b --=⎧⎨--=⎩， 故B 点坐标为()1,3--，根据,C B 两点式，得直线方程为：6590x y --=.考点：直线方程的求解．19.（本小题满分12分）已知四棱锥A BCDE -,其中1,2,AB BC AC BE CD CD =====⊥面 ,,ABC BE CD F 为AD 的中点.（1）求证：EF 面ABC ；（2）求证：面ADE ⊥面ACD ；（3）求四棱锥A BCDE -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3．试题解析：（1）证明：取AC 中点G ，连接,,,FG BG F G 分别是 ,AD AB 的中点， FG CD ∴,且11,,2FG CD BE CD FG ==∴与BE 平行且相等，FGBE 为平行四边形，EF BG ∴，又EF ⊄面,ABC BG ⊂面,ABC EF ∴面ABC .（2）证明：ABC ∆为等边三角形，BG AG ∴⊥,又CD ⊥面,ABC BG ⊂面,,ABC CD BG BG∴⊥∴垂直于面ADC 的两条相交直线,,AC CD BG ∴⊥面,,ADC EF BG EF ∴⊥面,ADC EF ⊂面,ADE ∴面ADE ⊥面ADC .（3）连接EC ,该四棱锥分为两个三棱锥E ABC -和E ADC -.111133A BCDE E ABC E ACD V V V ---=+=+⨯==. 考点：线面位置关系的判定；三棱锥的体积的计算．20.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形，且2,1,AD AB PA ==⊥平面,ABCD E 为BC 上的动点.（1）试在BC 上确定一点E ，使PE DE ⊥；（2）设1PA =，在线段BC 上存在这样的点E ，使得二面角P ED A -- 的平面角大小为4π，试确定点E的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）点E 在线段BC 上距B 点的2处．试题解析：（1）证明：当E 为BC 的中点时，1EC CD ==，从而DCE ∆为等腰直角三角形，则45DEC ∠=，同理可得45,90AEB AED ∠=∴∠=，于是DE AE ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面,,.ABCD PA DE AE PA A ∴⊥=DE ∴⊥平面PAE ，又PE ⊂平面,PAE DE PE ∴⊥，即E 为BC 中点时，DE PE ⊥.考点：直线与平面垂直的判定与证明；二面角的求解及应用．21.（本小题满分12分）已知曲线C 的方程为：222240ax ay a x y +--=，其中：0a ≠，且a 为常数．（1）判断曲线C 的形状，并说明理由；（2）设曲线C 分别与x 轴，y 轴交于点,A B (,A B 不同于坐标原点O ），试判断AOB ∆的面积S 是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线:24l y x =-+与曲线C 交于不同的两点,M N ,且(OM ON O =为坐标原点），求曲线C 的方程．【答案】（1）曲线C 是以点2,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心， （2）定值，证明见解析；（3）22420x y x y +--=．【解析】试题分析：（1）将曲线C 的方程化为()222224x a y a a a ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，即可得到曲线的形状；（2）在曲线C的方程中令0y =,得()20ax x a -=，进而得到点40,B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算的三角形的面积，即可判定面积为定值；（3）由圆C 过坐标原点，且OM ON =，求得2a =±，当2a =-时，直线与圆相离，舍去，当2a =时，即可求解圆的方程．（3）圆C 过坐标原点，且221,,,22OM ON OC MN a a =∴⊥∴=∴=±，当2a =-时， 圆心坐标为()2,1--，圆心到直线:24l y x =-+的距离d >, 直线l 与圆C 相离，不合题意舍去，2a =时符合题意．这时曲线C 的方程为22420x y x y +--=.考点：圆的方程；直线与圆的位置关系的应用．【方法点晴】本题主要考查了圆的综合应用问题，其中解答中涉及到圆的标准方程、圆的一般方程、直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，解答中熟记圆的方程、灵活应用圆的性质是解得的关键，试题思维和运算较大，属于中档试题．22.（本小题满分12分）已知圆()22:44M x y +-=，点P 是直线:20l x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B .（1）当切线PA 的长度为P 的坐标；（2） 若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 在直线l 上运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB 长度的最小值．【答案】（1）()0,0P 或168,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()840,4,,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3．试题解析：（1）由题意知，圆M 的半径 ()2,0,4r M =,设()2,,P b b PA 是圆M 的一条切线，90,4MAP MP ∴∠=∴== ， 解得 ()80,,0,05b b P ==∴或168,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）设()2,,90,P b b MAP ∠=∴经过,,A P M 三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即()()222440x y b x y y +--+-=， 由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩，解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴圆过定点()840,4,,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. （3）因为圆N 方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭,即()222440x y bx b y b +--++=，圆()22:44M x y +-=，即228120x y y +-+=，由（2）-（1）得：圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：()241240bx b y b +-+-=，点M 到直线AB的距离d=，相交弦长即：AB===.当45b=时，AB.考点：直线与圆的位置关系的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的综合应用问题，其中解答中涉及到圆的一般方程、标准方程，直线与圆的位置关系，以及圆的性质和直线方程求法等知识点的饿综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，解答中熟记圆的方程和灵活应用圆的基本性质是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．高考一轮复习：。
