江苏省南通市2016届高三数学全真模拟试题6

§ 6。

4 数列求和、数列的综合应用A 组 2014-2015年模拟·基础题组限时：35分钟1。

（2014河南安阳二模,6）已知数列｛a n }中，a n =—4n+5,等比数列｛b n }的公比q 满足q=a n —a n —1(n≥2)且b 1=a 2，则|b 1｜+|b 2|+｜b 3|+…+|b n ｜=（ ）A.1-4n B 。

4n —1 C.1-4n3 D.4n-132。

(2014辽宁五校协作体联考,15)已知数列｛a n ｝满足a n =1+2+3+…+nn,则数列{1a n a n+1}的前n 项和为 。

3.（2014广东揭阳3月模拟,13)对于每一个正整数n,设曲线y=x n+1在点（1,1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lg x n ，则a 1+a 2+…+a 99= 。

4。

（2015河北石家庄调研)在数列{a n ｝中,已知a 1=14,a n+1a n=14,b n +2=3lo g 14a n (n∈N ＊). （1)求数列｛a n }的通项公式； (2)求证：数列｛b n ｝是等差数列;(3)设数列{c n }满足c n =a n +b n ，求｛c n ｝的前n 项和S n .5.（2014广东湛江二模,19）已知等差数列｛a n｝的首项a1=1，公差d>0，且a2,a5，a14分别是等比数列{b n｝的b2，b3,b4。

（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2）设数列｛c n}对任意正整数n均有c1b1+c2b2+…+c nb n=a n+1成立,求c1+c2+…+c2 014的值。

B组2014—2015年模拟·提升题组限时:50分钟1.（2015长春外国语学校期中）若数列｛a n}满足1a n+1—pa n=0，n∈N＊，p为非零常数,则称数列{a n｝为“梦想数列”.已知正项数列{1b n}为“梦想数列”,且b1b2b3…b99=299,则b8+b92的最小值是（）A。

2016年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1008=1，则a2016的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2015，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若A T=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）． （Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2016年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4； 当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7； 当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10； 当l=10时，不满足进行循环的条件， 故输出的S 值为15． 故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球， 从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tan β的值为 3 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cos α，tan α的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cos α=﹣=﹣，tan α==﹣2，∴tan （α+β）===，整理可得：tan β=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为 +12 ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h ，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1008=1，则a2016的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2016=b1b2…b2015=（b1b2015）•（b2b2014）…（b1007b1009）•b1008，结合b1008=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2016=b1b2…b2015=（b1b2015）•（b2b2014）…（b1007b1009）•b1008，∵b1008=1，∴b1b2015=b2b2014=…=b1007b1009=（b1008）2=1，∴a2016=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2016个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2015，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2015点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4029，P4030两点，P4029点在x轴上方，则4030条直线AP1，AP2，…，AP4030的斜率乘积为﹣2﹣2015．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n 的坐标为（t ，0），直线方程为y=k （x ﹣t ），代入椭圆方程x 2+2y 2=2b 2，可得（1+2k 2）x 2﹣4tk 2x +2k 2t 2﹣2b 2=0，即有x 1+x 2=，x 1x 2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP 1，AP 2，…，AP 4030的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2015．14．已知函数f （x ）=x |x ﹣a |，若对任意x 1∈[2，3]，x 2∈[2，3]，x 1≠x 2恒有，则实数a 的取值范围为 [3，+∞） ．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f （x ）=，作出函数f （x ）的图象，由图象知当x ≤a 时，函数f （x ）为凸函数，当x ≥a 时，函数f （x ）为凹函数，若对任意x 1∈[2，3]，x 2∈[2，3]，x 1≠x 2恒有，则a ≥3即可，故实数a 的取值范围是[3，+∞）， 故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC 的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若A T=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ） 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系． 【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ．∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；（Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x ，同理可得+≥2y ，+≥2z ，三式相加，可得+++x +y +z ≥2（x +y +z ），即为++≥x +y +z ，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S 3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E ξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S 3|的可能取值为1，3，P （ξ=1）=+=，P （ξ=3）==，Eξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2017（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2016），∴，则a2017＜1；又，∴×2017=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2017＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2016年10月17日。

2016年数学全真模拟试卷五试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1．已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ ． 【答案】{}19,2． 已知实数a ，b 满足(9+3i)(i)104i a b +=+（其中i 是虚数单位），则a b += ▲ ． 【答案】653． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图．根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品．则样本中三等品的件数为 ▲ ． 【答案】1004． 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩 形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形 面积大于32 cm 2的概率为 ▲ ． 【答案】135． 如图，是某校限时12 min 跑体能达标测试中计算每一个 参加测试的学生所跑路程S （单位：m ）及时间t （单位： min ）的流程图，每跑完一圈（400 m ），计一次路程，12 min 内达标或超过12 min 则停止计程．若某同学成功通过该项测试，则该同学所跑路程至少为 ▲ m ． 【答案】20005． 已知向量a ，b 满足1=a ，3=b，)1+=a b ，则-=a b ▲ ．（第5题）（第5题）（第3题）0.0.0.0.0.【答案】4；6． 在平面直角坐标系xOy 中，“双曲线C 的标准方程为221169y x -=”是“双曲线C 的渐近线方程为34y x =±”成立的 ▲ 条件．(填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充分非必要”中的一种) 【答案】充分非必要8． 设a ，b ，c 为三条不同的直线，给出如下两个命题： ①若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥；②若a b ⊥，b c ⊥，则//a c ．试类比以上某个命题，写出一个正确的命题：设α，β，γ为三个不同的平面， ▲ ． 【答案】若//αβ，βγ⊥，则αγ⊥9． 若函数()()ππ()sin 44f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】10． 设奇函数()f x 在(0，+∞)上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是 ▲ ． 【答案】(10)(01)-，，【解析】由奇函数及()()0f x f x x --< 得2()0f x x <，即(2,0),(3,1)A B 或()00f x x <⎧⎨>⎩，由函数的草图得解集为(10)(01)-，，11．四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且1cm AB BC CD ===，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 ▲ 2cm . 【答案】3π【解析】如图，则四面体ABCD 的外接球即它所在正方体（棱长为1）的外接球，而正方体的外接球的直径即正方体的体对角线长，所以外接球的表面积为24π3π=（cm 2）．12．正五边形ABCDE 的边长为AC AE ⋅uu u r uu u r的值为 ▲ ．【答案】6【解析】利用AC uuu r 在AE uu u r 上的投影得，AC AE ⋅=u u u r u u u r 2162AE =uu u r ．13．设集合{}()0A x x x a =-<，{}27180B x x x =--<，若A B ⊆，则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】[]29-，【解析】依题意，()2 9B =-，，当0a >时，(0 )A a =，，由A B ⊆得，09a <≤；当0a <时，( 0)A a =，， 由A B ⊆得，2a -≥；当0a =时，A =∅，满足A B ⊆， 综上得，[]29a ∈-，． 14． 已知两个等比数列}{n a ，{}n b 满足1(0)a a a =>，111b a -=，222b a -=，333b a -=，若数列}{n a唯一，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】13【解析】设数列}{n a 的公比为q ()0q ≠，由11b a =+，22b aq =+，233b aq =+成等比得，()()()22213aq a aq +=++，即24310a q a q a -+-=，因为0a >，所以2440a a ∆=+>，故方程24310aq aq a -+-=有两个不同的实数解，其中一解必为0q =，从而13a =，此时，另一解为2q =．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）BA（第16题）CEF GD 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长．若a cos B ＝1，b sin A ＝2，且A－B ＝π4．（1）求a 的值； （2）求tan A 的值．解：（1）由正弦定理知，b sin A ＝a sin B ＝2，①（2分） 又a cos B ＝1， ②①，②两式平方相加，得(a sin B )2＋(a cos B )2＝3，（4分） 因为sin 2B ＋cos 2B ＝1，所以a ＝3（负值已舍）；（6分）（2），由（1）中①，②两式相除，得sin B cos B ＝2，即tan B ＝2，（8分）因为A －B ＝π4，所以tan A ＝tan(B ＋π4)＝tan B ＋tanπ41－tan B tanπ4(12分)＝1＋21－2＝－3－22．（14分）16．（本题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AD ＝BD ，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别为棱AB ，AC 上的点， 点G 为棱AD 的中点，且平面EFG //平面BCD ．求证： （1）EF ＝12BC ；（2）平面EFD ⊥平面ABC ．证明：（1）因为平面EFG ∥平面BCD ，平面ABD ∩平面EFG ＝EG ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以EG //BD ，(4分) 又G 为AD 的中点， 故E 为AB 的中点，同理可得，F 为AC 的中点， 所以EF ＝12BC ．(7分)（2）因为AD ＝BD ，由（1）知，E 为AB 的中点， 所以AB ⊥DE ，又∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ， 由（1）知，EF //BC ，所以AB ⊥EF ， 又DE ∩EF ＝E ，DE ，EF ⊂平面EFD ， 所以AB ⊥平面EFD ，(12分) 又AB ⊂平面ABC ，故平面EFD ⊥平面ABC ．(14分)17．（本题满分14分）已知函数3()f x x ax b =++的图象关于坐标原点对称，且与x 轴相切． （1）求实数a ，b 的值；（2）是否存在正实数m n , ，使函数()3()g x f x =-在区间[]m n , 上的值域仍为[]m n ,？若存 在，求出m n , 的值；若不存在，说明理由．解：（1）因为函数3()f x x ax b =++的图像关于坐标原点对称，所以()()f x f x -=-，即()33x ax b x ax b --+=-++，于是0b =， 设函数3()f x x ax =+的图象与x 轴切于点( 0)T t ，， 则()0f t =，且()0f t '=，即30t at +=，且230t a +=， 解得0t a ==， 所以3()f x x =；（6分）（2）333 0 ()3()3 0 x x g x f x x x ⎧+<⎪=-=⎨-⎪⎩，，，≥，，假设存在 m n ，满足题意， 因为0n m >>，且3()3g x x =-在区间[]m n , 上单调递减，所以333 3 m n n m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，ABDC（第18题）·E 两式相减得221m mn n ++=，可得0 1m n ≤≤，，这与[]332 3n m =-∈，矛盾，所以不存在正实数m n , 满足题意．（14分）18．（本题满分16分）下图是一块平行四边形园地ABCD ，经测量，AB =20 m ，BC =10 m ，120ABC ∠=°．拟过线段AB 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3:1的左，右两部分分别种植不同花卉．设EB x EF y ==，（单位：m ）． （1）当点F 与点C 重合时，试确定点E 的位置； （2）求y 关于x 的函数关系式；（3）请确定点E ，F 的位置，使直路EF 长度最短． 【解】（1）当点F 与点C 重合时，由题设知，S △BEC 1=S □ABCD ，于是1124EB h AB h ⋅=⋅，其中h 为平行四边形AB 边上的高，得12EB AB =，即点E 是AB 的中点．（4分） （2）因为点E 在线段AB 上，所以020x ≤≤．（6分） 当1020x ≤≤时，由（1）知，点F 在线段BC 上， 因为AB =20 m ，BC =10 m ，120ABC ∠=°，所以S □ABCD sin 2010AB BC ABC =⋅⋅∠=⨯=由S△EBF12x BF=⋅⋅sin120°=100BF x=， 所以由余弦定理得y EF === 当010x <≤时，点F 在线段CD 上， 由S四边形EBCF()110x CF =+⨯⨯sin 60°=10CF x =-， 当BE CF≥时，EF =当BE CF <时，EF =，化简均为y EF ==综上，101020x y x ⎧<=0≤，≤≤． （12分） （3）当010x <≤时，y == 于是当5x =时，min y =，此时1510CF x =-=；当1020x ≤≤时，y=53>故当E 距B 点2.5m ，F 距C 点7.5m 时，EF 最短，其长度为（16分）19．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：3280x y +-=，圆M ：22(3)(2)1x y -+-=． （1）设A ，B 分别为直线l 与圆M 上的点，求线段AB 长度的取值范围；（2）试直接写出一个圆N （异于圆M ）的方程（不必写出过程），使得过直线l 上任 一点P 均可作圆M 与圆N 的切线，切点分别为M T ，N T ，且M N PT PT =； （3）求证：存在无穷多个圆N （异于圆M ），满足对每一个圆N ，过直线l 上任一点P均可作圆M 与圆N 的切线，切点分别为M T ，N T ，且M N PT PT =． 解：（1）易得圆心(32)M ，到直线l ：3280x y +-=的距离1d r ==，故直线l 与圆M 相离，从而1AB -，所以线段AB 长的取值范围是)1+∞，．(5分)（2）易得圆M 关于直线l 对称的圆必满足题意， 故满足题意的一个圆N 的方程为：()()229611313x y -+-=．(8分)（3）设圆N ：222()() (03)x a y b r r a -+-=>≠，，由M N PT PT =，得2221PM PN r -=-，即22222(3)(2)1()()x y x a y b r -+--=-+--，(10分) 整理得，()()2222322120a x b y r a b -+-⋅++--=， 因为3280x y +-=，所以283y x =-，从而()()()22223283120a x b x r a b -+-⋅-++--=， 整理得，()22223840a b x r a b b -+--+-=，(13分)因为上式对任意的x ∈R 恒成立，所以222230840a b r a b b -=⎧⎨--+-=⎩，， 解得2223131640 (3)93b a r a a a ⎧=⎪⎨⎪=-+>≠⎩，，所以圆N 的方程为：()22221316()4393x a y a a a -+-=-+，即证．（16分）20．（本题满分16分）定义：从一个数列{a n }中抽取若干项(不少于三项)按其在{a n }中的次序排列的一列数叫做{a n }的子数列，成等差(比)的子数列叫做{a n }的等差(比)子列． （1）求数列1，12，13，14，15的等比子列；（2）设数列{a n }是各项均为实数的等比数列，且公比q ≠1．（i ）试给出一个{a n }，使其存在无穷项的等差子列（不必写出过程）； （ii ）若{a n }存在无穷项的等差子列，求q 的所有可能值．解：（1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k （1≤k ≤3，k ∈N *）， 当k ＝2时，①设1n ，1n ＋1，1m 成等比数列，则1(n ＋1)2＝1n ×1m ，即m ＝n ＋1n ＋2， 当且仅当n ＝1时，m ∈N *，此时m ＝4，所求等比子数列为1，12，14；②设1m ，1n ，1n ＋1成等比数列，则1n 2＝1n ＋1×1m ，即m ＝n ＋1＋1n ＋1－2∉N *；(3分)当k ＝3时，数列1，12，13；12，13，14；13，14，15均不成等比，当k ＝1时，显然数列1，13，15不成等比；综上，所求等比子数列为1，12，14．（5分）（2）（i ）形如：a 1，－a 1，a 1，－a 1，a 1，－a 1，…（a 1≠0，q ＝－1）均存在无穷项等差子数列： a 1，a 1，a 1，… 或－a 1，－a 1，－a 1，(7分)（ii ）设{a n k}(k ∈N *，n k ∈N *)为{a n }的等差子数列，公差为d ，当|q |＞1时，|q |n ＞1，取n k ＞1＋log |q ||d ||a 1|(|q |－1)，从而|q |n k－1＞|d ||a 1|(|q |－1)，故|a n k ＋1－a n k|＝|a 1qn k ＋1－1－a 1qn k －1|＝|a 1||q |n k －1·|qn k ＋1－n k－1|≥|a 1||q |n k －1(|q |－1)＞|d |， 这与|a n k ＋1－a n k|＝|d |矛盾，故舍去；(12分)当|q |＜1时，|q |n ＜1，取n k ＞1＋log |q ||d |2|a 1|，从而|q |n k－1＜|d |2|a 1|， 故|a n k ＋1－a n k|＝|a 1||q |n k －1|qn k ＋1－n k－1|≤|a 1||q |n k －1||q |n k ＋1－n k＋1|＜2|a 1||q |n k －1＜|d |，这与|a n k ＋1－a n k|＝|d |矛盾，故舍去；又q ≠1，故只可能q ＝－1，结合(i)知，q 的所有可能值为－1．(16分)试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区．．．．．．．．．．．．．．．域内作．．．答．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO上一点，C （第21—A 题）BM 的延长线交⊙O 于点N ，过点N 的切线交CA 的延长线于点P ． 求证：2PM PA PC =⋅．证明：因为PN 切⊙O 于N ，所以90ONP ∠=︒，从而90ONB BNP ∠+∠=︒，因为OB =ON ，所以OBN ONB ∠=∠，因为OB AC ⊥于O ， 所以 90OBN BMO ∠+∠=︒， 故BNP BMO PMN ∠=∠=∠， PM PN =，（6分） 又2PN PA PC =⋅，所以2PM PA PC =⋅．（10分）B ．（矩阵与变换）已知a ，b ∈R ，矩阵A 13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的变换T A 将直线230x y --=变换为自身，求实数a ，b 的值．解：（1）设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则133x a x x ay b y y bx y '--+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（4分） 因为点x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦在已知直线上，所以230x y ''--=，故()()2330x ay bx y -+-+-=，整理得()1(23)30b x a y --+--=，（7分） 所以22 231 b a --=⎧⎨-=-⎩，，解得1 4a b =⎧⎨=-⎩，．（10分）C ．（极坐标与参数方程）设直线l ：cos60 1sin 60x l y l =︒⎧⎨=-+︒⎩，（l 为参数）与曲线C ：22 2x at y at⎧=⎨=⎩，（t 为参数，常数0a ≠）交于不同两点，求实数a 的取值范围．解：易得直线l的普通方程为：1y -，代入曲线C 的普通方程22y ax =(0)a ≠得，（6分）232(3)10x a x -+=，依题意，其判别式24(120a ∆=->，解得a <-0a >．（10分）D ．（不等式选讲）31>．31>31<-，（4分）4>2<， 故3216x ->或0324x -<≤，（8分） 即6x >或223x <≤，所以该不等式的解集为{}26 2x x x ><≤，或．（10分） 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>， 若棱1C C 上存在唯一的一点P 满足1A P ⊥PB ，求实数λ的值．解：如图，以点D 为原点O ，1DA DC DD , , 分别为x y z , , 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()000D ,, ，()110B , , ，()110A λ, , ， 设()01P x ,, ，其中[]0x λ∈, ， 因为1A P ⊥PB ，（第22题）y所以10A P BP ⋅=，即()()11100x x λ--⋅-=, , , , ， 化简得210x x λ-+=，[]0x λ∈, ，（7分） 由点()01P x , , 的唯一性知方程210x x λ-+=只有唯一解， 所以，判别式240λ∆=-=，且0λ>， 解得λ=2．（10分）23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．解：（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=， 所以22222n n n A =⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个相乘；（3分）（2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠， 所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-，（5分） 设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤,, ， 不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）； 同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=， 这说明212j j k k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， 又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0，所以，11222C 22C 22C n n n n n n n B --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+11222(2+C 2C 2C )22n n n n nn n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯2(12)22n n =+-⨯ 2(32)n n =-．（10分）。

（第4题）2016年数学全真模拟试卷三试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合A ={-1，0，2}，B ={x |x =2n -1，n ∈Z }，则A ∩B = ▲ ． 【答案】{-1}2． 设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，123 ()x x =-∈R a e e ，122=+b e e ．若//a b ，则x 的值为 ▲ ． 【答案】-63． 从集合{1，2，3}中随机取一个元素，记为a ，从集合{2，3，4}中随机取一个元素，记为b ， 则a ≤b 的概率为 ▲ ． 【答案】894． 如图，是某铁路客运部门设计的甲、乙两地之间旅客托运 行李的费用c （单位：元）与行李重量w （单位：千克） 之间的流程图．假定某旅客的托运费为10元，则该旅客托运的行李重量为 ▲ 千克． 【答案】205． 函数0 0 ()1 0x f x x x x =⎧⎪=⎨-≠⎪⎩，，，的零点个数为 ▲ ． 【答案】36． 在平面直角坐标系xOy 中，曲线ln y x x =在e x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是 ▲ ．【答案】2e 47． 如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为 ▲ ． 【答案】628． 若函数()sin()f x A x ωϕ=+(0 0 )A ωϕπ>><2，，的图象关于坐标原点中心对称，且在y 轴右（第7题）10 8侧的第一个极值点为x π=3，则函数()f x 的最小正周期为 ▲ ．【答案】43π9． 关于定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个命题：①若(1)(1)f f =-，则()f x 不是奇函数；②若(1)(1)f f >-，则()f x 在R 上不是单调减函数；③若(1)(1)f x f x +=-对任意的x ∈R 恒成立，则()f x 是周期函数． 其中所有正确的命题序号是 ▲ ． 【答案】②③10．已知数列{}n a 的前n 项和 1 ()n n S k k =-∈R ，且{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列，则k 的取值集合是 ▲ ．【答案】{}0． 【解析】．11．如果将直线l ：20x y c ++=向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得直线l '与圆C ： 22240x y x y ++-=相切，则实数c 的值构成的集合为 ▲ ．【答案】{3-，13-}【解析】易得直线l '：(1)2(2)0x y c ++++=，即250x y c +++=，圆C ：22(1)(2)5x y ++-=的圆心(1 2)-，到直线l '：250x y c +++==解得3c =-或13c =-．12．已知正数x ，y 满足3x yxy x y-=+，则y 的最大值为 ▲ ． 【答案】13【解析】由2223x y xy x y -=+，得2112322x y x y xy y x-+==-，所以113222y x y x -=+=≥，从而23210y y +-≤，解得13y ≤．13．考察下列等式： 11ππcos isin i 44a b +=+，()222ππcos isin i 44a b +=+，()333ππcos isin i 44a b +=+，……()ππcos isin i 44nnna b +=+，其中i 为虚数单位，a n ，b n (n *∈N )均为实数．由归纳可得，a 2015+b 2015的值为 ▲ ． 【答案】0【解析】通过归纳可得， ()ππππcos isin cos isin 4444nn n +=+，从而a 2015+b 20152015πcos 4=2015πsin 4+=0．14．在△ABC 中，13AE AB =，23AF AC =．设BF ，CE 交于点P ，且EP EC λ=，FP FB μ=(λ,μ∈R ),则λμ+的值为 ▲ ． 【答案】57【解析】不妨考虑等腰直角三角形ABC ，设AB 3=，3AC =， 以AB ，AC 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系xOy ， 则A (0 0)，，(3 0)B ，，(0 3)C ，，(1 0)E ，，(0 2)F ，， 直线BF 的方程为：132yx +=，①直线CE 的方程为：13yx +=，② 由①②得，37x =，127y =，所以()312 77P ，， 代入EP EC λ=，FP FB μ=得，31(01)7λ-=-，30(30)7μ-=-， 解得47λ=，17μ=，故λμ+=57．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知△ABC 内接于单位圆（半径为1个单位长度的圆），且(1tan )(1tan )2A B ++=． （1）求角C 的大小； （2）求△ABC 面积的最大值．（1）由(1tan )(1tan )2A B ++=得tan tan 1tan tan A B A B +=-，ABCP（第16题）D所以tan tan tan()11tan tan A B A B A B ++==-，（4分）故△ABC 中，A B π+=4，C 3π=4（6分）（2）由正弦定理得2sin c =3π4，即c =（8分） 由余弦定理得2222cos a b ab 3π=+-4，即222a b =+，（10分）由2222a b ab =+≥得2ab -≤（当且仅当a b =时取等号）（12分） 所以13sin 2S ab π=4（14分）16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，锐角三角形PAB 所 在的平面与底面ABCD 垂直，PBC BAD ∠=∠90=． （1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求证：//AD 平面PBC ．证明：（1）在平面PAB 内过点P 作PH AB ⊥于H ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，PH ⊂平面PAB ，所以PH ⊥平面ABCD ，（4分) 而BC ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥BC ， 由90PBC ∠=得PB ⊥BC ， 又PHPB P =， PH ，PB ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB ，（8分)（2）因为AB ⊂平面PAB ，故BC ⊥AB ， 由90BAD ∠=得AD AB ⊥，故在平面ABCD 中，//AD BC ，（11分) 又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ．（14分)17．（本题满分14分）某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈．．由两条平行线段（图中的AB ，DC ） 和两个半圆构成，设AB = x m ，且80x ≥．A BCD（1）若内圈周长为400 m ，则x 取何值时，矩形ABCD 的面积最大？ （2）若景观带的内圈所围成区域的面积为22500πm 2，则x 取何值时，内圈周长最小？ 【解】设题中半圆形半径为r （m ），矩形ABCD 的面积为S （m 2）， 内圈周长为c （m ）． （1）由题意知：2S rx =，且22π400x r +=，即π200x r +=，于是()22000022π2(π)ππ2πx rS rx x r +==⋅⋅=≤（m 2） 当且仅当π100x r ==（m ）时，等号成立．答：当x = 100（m ）时，矩形ABCD 的面积最大．（6分) （2）由题意知：2225002ππrx r +=，于是22500π2π2x r r =-⋅， 从而 ()22500π22π22π2π2c x r r r r =+=-⋅+22500ππr r =+．（8分) 因为80x ≥，所以22500π802π2r r -⋅≥，即()2π160π225000r r +⋅-≤， 解得250π90r -≤≤，所以900πr <≤，（10分)故221π8100r ≥． 因为2222500225001π16πππ<0ππ81009c r'=-⋅+-⋅+=-≤，（12分) 所以关于r 的函数22500ππc r r =+在(900π⎤⎥⎦，上是单调减函数． 故当90πr =即22500π90802902πx =-⋅=⨯（m ）时，内圈周长c 取得最小值， 且最小值为225009034090+=（m ）．（14分)18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>的焦距为6且过点(2 5，．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上横坐标大于2的一点，过点P 作圆22(1)1x y -+=的两条切线分别与y轴交于点A ，B ，试确定点P 的坐标，使得△PAB 的面积最大．解：（1）由题意得，2c =22251a b +=，（2分）又222c a b =-， 故212a =，26b =，所以椭圆C 的方程为221126y x +=；（5分） （2）设点00( )P x y ，，其中(02x ∈，且22001126x y +=，又设(0 )A m ，，(0 )B n ，，不妨m n >，则直线PA 的方程为：000()0y m x x y x m --+=， 则圆心(1 0)，到直线PA1=，化简得2000(2)20x m y m x -+-=，（8分） 同理，2000(2)20x n y n x -+-=，所以m ，n 为方程2000(2)20x x y y x -+-=的两根， 则()()220002024(2)(2)y x x m n x +--=-，（10分）又△PAB 的面积为S 01()2m n x =-，所以222000020(2)(2)y x x S x x +-=-220020(2)82(2)x x x -+=-，（12分）令(0202t x ⎤=-∈⎦，记222(8)(2)()2t t f t t ++=， 则324(2)(16)()0t t t f t t+-'=>在(02⎤⎦恒成立， 所以()f t在(02⎤⎦上单调递增，故2t =，即0x =时，()f t 最大， 此时△PAB 的面积最大．（16分）19．（本题满分16分）已知函数1()ln f x a x x =+，a ∈R ．（1）若()f x 有极值，求a 的取值范围；（2）若()f x 有经过原点的切线，求a 的取值范围及切线的条数，并说明理由．解：（1）易得2211()(0)a ax f x x x x x -'=-=>，(2分) 若0a ≤，则()0f x '<，从而()f x 无极值；若a > 0，则当1x a <时，()0f x '<；1x a >时，()0f x '>，此时()f x 有极小值()1f a ．综上，a 的取值范围是(0)+∞，．(4分)（2）设P (x 0，y 0) 是经过原点的切线与函数()f x 图象的切点， 则切线方程为()00200011ln ()a y a x x x x x x --=--，（6分）因为切线过点(0，0)，于是00011ln a x a x x --=-+，即()0021ln a x x =-，因为0a ≠，所以0002ln x x x a=-，设()ln g x x x x =-，则()1ln 10g x x '=--=，得1x =，(8分)故当21a>，即02a <<时，不存在切线；当21a =或20a <，即2a =或a <0时，有且仅有一条切线，当201a<<，即2a >时，存在两条切线，（12分） 下证：对任意的(01)m ∈，，ln x x x m -=在(0，1)内一定有一解，其中2m a =．⇔证明11ln m x x +=在(0，1) 内有一解，⇔证明1ln t mt +=在(1)t ∈+∞，内有一解． 令()1ln h t mt t =--， 则h (1) =m – 1<0， (2)21ln 2n n h m n =⋅--⋅ 21n m n >⋅-- (11)1n m n =⋅+--(1)112n n m n n +⎡⎤>++--⎢⎥⎣⎦，这是关于n 的二次函数，所以当n 充分大时，一定取得正值， 由介值定理知，()h t 在(1)+∞，内有唯一解，即证．（16分）20．（本题满分16分）已知数列{}n a 的通项公式2(1)n n n a =--，*n ∈N ．设1n a ，2n a ，…，t n a （其中1n <2n <…t n <， *t ∈N ）成等差数列．（1）若3t =．①当1n ，2n ，3n 为连续正整数时，求1n 的值； ②当11n =时，求证：32n n -为定值； （2）求t 的最大值．解：（1）①依题意，1n a ，11n a +，12n a +成等差数列，即111122n n n a a a ++=+，从而111111112222(1)2(1)2(1)n n n n n n ++++⎡⎤--=--+--⎣⎦，当1n 为奇数时，解得124n =-，不存在这样的正整数1n ； 当1n 为偶数时，解得124n =，所以12n =．(3分) ②依题意，1a ，2n a ，3n a 成等差数列，即2312n n a a a =+，从而332222(1)32(1)n n n n ⎡⎤--=+--⎣⎦，当2n 3n 均为奇数时，321221n n --=，左边为偶数，故矛盾； 当2n 3n 均为偶数时，3221221n n ---=，左边为偶数，故矛盾； 当2n 为偶数，3n 奇数时，321225n n +-=，左边为偶数，故矛盾； 当2n 为奇数，3n 偶数时，321220n n +-=，即321n n -=．(8分) （2）设s a ，r a ，t a （s r t <<）成等差数列，则2r s t a a a =+，即22(1)2(1)2(1)r r s s t t⎡⎤--=--+--⎣⎦， 整理得，1222(1)(1)2(1)s t r s t r ++-=-+---，若1t r =+，则2(1)3(1)s s r =-+--，因为22s ≥，所以(1)3(1)s r -+--只能为2或4， 所以s 只能为1或2；(12分) 若2t r +≥，则1214322222222210s t r s r r ++++-+-+-=≥≥，(1)(1)s t -+-2(1)r --4≤，故矛盾，综上，只能1a ，r a ，1r a +成等差数列或2a ，r a ，1r a +成等差数列，其中r 为奇数， 从而t 的最大值为3．(16分)试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（几何证明选讲）如图，已知△ABC的内角A的平分线交BC于点D，交其外接圆于点E．求证：AB⋅AC=AD⋅AE．证明：连结EC，易得∠B=∠E，（2分）由题意，∠BAD=∠CAE，所以△ABD∽△AEC，（6分）从而AB ADAE AC=，所以AB⋅AC=AD⋅AE．（10分）B．（矩阵与变换）求矩阵M0001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量．解：矩阵M的特征多项式为()(1)01fλλλλλ==--，（2分）令()0fλ=，解得M的特征值10λ=，21λ=．（4分）将10λ=代入二元一次方程组000(1)0x yx yλλ-⋅=⎧⎨-⋅+-=⎩，，解得x xy∈≠⎧⎨=⎩R，且，，所以矩阵M的属于特征值0的一个特征向量为1⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（7分）同理，将21λ=代入①解得0 xy x=⎧⎨∈≠⎩R，，且，所以矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为1⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（10分）AB CDE(第21—A题)C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知A ( 1，π3 )，B ( 9，π3 )，线段AB 的垂直平分线l 与极轴交于点C ，求l的极坐标方程及△ABC 的面积．解：易得线段AB 的中点坐标为(5，π3)，（2分）设点P (ρ，θ)为直线l 上任意一点， 在直角三角形OMP 中，ρcos(θ－π3)＝5，所以，l 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝5，（6分）令θ＝0，得ρ＝10，即C (10，0)．（8分）所以，△ABC 的面积为：12×(9－1)×10×sin π3＝203．（10分）D ．（不等式选讲）已知x ，0y >，求证：22x y x y++≥证明：因为x ，0y >，且2()0x y -≥，（当且仅当x y =时“=”成立） 所以222x y x yx y +++≥， ① （4分）又2x y+，（当且仅当x y =时“=”成立）② （8分） 由①②得22x y x y++≥x y =时“=”成立）．（10分）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AA h =． （1）若2h =，求1AC 与平面1A BD 所成角的正弦值； （2）若二面角1A BD C --的大小为34π，求h 的值．解：如图，以点A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 分别 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，1A1B1D1C（1）当2h =时，(1 0 0)B ，，，(0 1 0)D ，，，1(0 0 2)A ，，，1(1 1 2)C ，，， 则1(1 1 2)AC =，，，1(1 0 2)A B =-，，，1(0 1 2)A D =-，，， 设平面1A BD 的法向量( )a b c =，，n ， 则由110 0A B A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得，20 20 a c b c -=⎧⎨-=⎩，，不妨取1c =，则2a b ==，此时(2 2 1)=，，n ，（3分）故111cos AC AC AC ⋅<===⋅，nn >n所以1AC 与平面1A BD ；（5分）（2）由1(0 0 )A h ，，得，1(1 0 )A B h =-，，，1(0 1 )A D h =-，，， 设平面1A BD 的法向量( )x y z =，，m ， 则由110 0A B A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，m m 得，0 0 x zh y zh -=⎧⎨-=⎩，，不妨取1z =，则x y h ==， 此时( 1)h h =，，m ，（7分） 又平面CBD 的法向量1(0 0 )AAh =，，，故111cos AA AA AA ⋅<===⋅，m m >m，解得h =．（10分）23．设n 为给定的不小于3的正整数．数集P ={}x x n x ∈*N ≤，，记数集P 的所有(1 )k k n k ∈*N ≤≤，元子集的所有元素的和为k P ． （1）求1P ，2P ； （2）求12n P P P ++⋅⋅⋅+．解：（1）易得数集P ={}1 2 3 n ⋅⋅⋅，，，，， 则1(1)1232n n P n +=+++⋅⋅⋅+=，（2分）（第22题）数集P 的2元子集中，每个元素均出现1n -次， 故2(1)(1)(1)(123)2n n n P n n +-=-+++⋅⋅⋅+=，（4分）（2）易得数集P 的k (1 )k n k ∈*N ≤≤，元子集中，每个元素均出现11C k n --次，故1111(1)C (123)C 2k k k n n n n P n ----+=⋅+++⋅⋅⋅+=，（6分） 所以12n P P P ++⋅⋅⋅+=01211111(1)(C C C C )2n n n n n n n -----++++⋅⋅⋅+ 1(1)22n n n -+=⋅ 2(1)2n n n -=+⋅．（10分）。

（第4题）2016年数学全真模拟试卷六试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1. 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =Uð ▲ ． 【答案】{5}2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的模是 ▲ ．3. 已知函数()a f x =在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】24. 右图是某算法的流程图，则输出的i 的值为 ▲ ． 【答案】75. 有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是 ▲ ． 【答案】356. 某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样的方法抽取10 % 的工人进行调查．首先 在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为 000，001，002，…，619），若样本中的最小编号是007， 则样本中的最大编号是 ▲ ． 【答案】6177.在平面直角坐标系xOy 中，已知角()π4α+的终边经过点(1P ，则t a n α的值为 ▲ ．【答案】28. 已知0x >，0y >，且2520x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ▲ ． 【答案】19. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为3 ()n n S k k =-∈*N ，则2k a 的值为 ▲ ． 【答案】610. 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为▲ ．【答案】（0，1）【解析】易得2()0f x x -<，即20x x -<，解得x ∈（0，1）．11. 设向量a ()cos25sin 25=，，b ()sin 20cos20=，，若t 是实数，且t =+u a b ，则u 的最小值为 ▲ ．【解析】因为()22222221212sin 4512t t t t t t =+=++⋅=++=+≥u a b a b a b ，所以u 的最小．12．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2221x y +=的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B ，C ，…”②解：设AB 的斜率为k ，…点B ()222122 1212k k k k-++，，D ()5 03-，，…” 据此，请你写出直线CD 的斜率为 ▲ ．（用k 表示） 【答案】2324k k +【解析】将点B ()222122 1212k k k k -++，用2k 代替得点C 的坐标()22284 88k k k k -++，，从而直线CD 的斜率 为2324k k +．13．使“a b <”成立的必要不充分条件是“ ▲ ”．（填上所有满足题意的序号）①0x ∀>，a b x +≤；APBPCPMDP（第16题）②0x ∃≥，a x b +<； ③0x ∀≥，a b x <+； ④0x ∃>，a x b +≤． 【答案】①【解析】①⇔0x ∀>，a b x -≤，从而0a b -≤，即a b ≤； ②⇔0x ∃≥，b a x ->，从而0b a ->，即a b <； ③⇔0x ∀≥，a b x -<，从而0a b -<，即a b <； ④⇔0x ∃>，b a x -≥，从而0b a ->，即a b <．14. 在△ABC 中，已知sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的值为 ▲ ．【答案】196【解析】依题意cos A -sin A ＝13cos B cos C -13sin B sin C ，即cos A -sin A ＝13cos ()B C +， 即cos A -sin A ＝-13cos A ，所以tan A 14=，又易得tan A ＝tan B tan C ， 而tan A ＋tan B ＋tan C =tan A tan B tan C ，所以tan A ＋tan B ＋tan C =tan 2A 196=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，AD // BC ，且AD =2BC ，AD ⊥CD ，PA =PD ，M 为棱AD 的中点．（1）求证：CD //平面PBM ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PBM ．证明：（1）因为AD // BC ，且AD =2BC ， 所以四边形BCDM 为平行四边形， 故CD // BM ，又CD ⊄平面PBM ，BM ⊂平面PBM ， 所以CD //平面PBM ；（6分） （2）因为PA =PD ，点M 为棱AD 的中点， 所以PM ⊥AD ，又AD ⊥CD ，CD // BM ， 故AD ⊥BM ， 而PMBM M =，PM 、BM ⊂平面PBM ，所以AD ⊥平面PBM ， 又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PBM ．（14分）16．（本题满分14分）在△ABC中，BC 2AB AC ⋅=．（1）求证：△ABC 三边的平方和为定值； （2）当△ABC 的面积最大时，求cos B 的值．证明：（1）因为2AB AC ⋅=，所以cos 2AB AC A ⋅⋅=．(3分)在△ABC 中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即2224AB AC =+-，于是2210AB AC +=， 故22210616AB BC AC ++=+=为定值．(6分) 解：（2）由（1）知2210AB AC +=，所以2252AB AC AB AC +⋅=≤，当且仅当AB AC =时取“=”号．(8分) 因为cos 2AB AC A ⋅⋅=，所以2cos A AB AC=⋅，从而sin A (10分) △ABC的面积11sin S AB AC A AB AC =⋅⋅=⋅=(12分) 当且仅当AB AC =时取“=”号．因为2210AB AC +=，所以当AB AC =时，AB AC =，故2cos BCB AB ===(14分)17．（本题满分14分）某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为n E cv T =，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：小时），c 为常数，n 为能量次级数．如果水的速度为4 km/h ，该生物探测器在水中逆流行进200 km ． （1）求T 关于v 的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h ，即4v -， 所以200T =4v -，即200T =，4v >；（4分）（2）(ⅰ) 当能量次级数为2时，由（1）知22004v E c v =⋅-，4v >，[]2(4)42004v c v -+=⋅-16200(4)84c v v ⎡⎤=⋅-++⎢⎥-⎣⎦2008c ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦≥3200c =（当且仅当1644v v -=-即8v =km/h 时，取等号）（9分）(ⅱ) 当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，4v >，所以222(6)2000(4)v v E c v -'=⋅=-得6v =， 当6v <时，0E '<；当6v >时，0E '>， 所以当6v =时，min E 21600c =．答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为3200c ；(ⅱ) 6v =km/h 时，该探测器消耗的能量最少．（14分）18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，记线段AB 的中点为M ．（1）求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若直线l 过点()3m m ，，延长OM 与椭圆C 交于点P ．问：四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求直线l 的斜率；若不能，说明理由． （1）证明：设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．则222112222299x y m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，，两式相减得()()()()1212121290x x x x y y y y -++-+=， 整理得()()()()121212129y y y y x x x x -+=--+，即k OM ⋅k ＝－9，得证．(6分)（2）四边形OAPB 能为平行四边形．(8分)因为直线l 过点()3m m ，，且l 不过原点且与椭圆C 有两个交点，则k >0，k ≠3，由(1)得直线OM 的方程为9y x k=-，设点P 的横坐标为x P ，由22299y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得，P x (10分)将点()3m m ，的坐标代入l 的方程y =kx +b 得(3)3k mb -=， 因此()2(3)39M k k mx k -=+， (12分)四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分， 即x P ＝2x M()2(3)239k k m k -=⨯+，解得14k =，24k =所以当l的斜率为4或4OAPB 为平行四边形．(16分)19．（本题满分16分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x g x + e x =，其中e 为自然对数的底数. （1）求()f x ，()g x 的表达式；（2）设0a ≤，1b ≥，0x >，证明：()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 解：（1）由()()f x g x +e x =得，()()f x g x -+-e x -=， 因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 所以()()f x g x -+e x -=，从而e e ()2x x f x --=，e +e ()2x xg x -=(4分) （2）当0x >时，e 10e 1x x -><<，，所以()0f x >，e +e ()12x xg x -=.(6分) 由（1）得，e +e ()()2x x f x g x -'==，e e ()()2x x g x f x --'==，(8分) 当0x >时，()()(1)()()(1)f x ag x a f x axg x a x x>+-⇔>+-，()()(1)()()(1)f x bg x b f x bxg x b x <+-⇔<+-， 设函数()()()(1)P x f x cxg x c x =-+-，(10分)则[][]()()()()(1)(1)()1()P x f x c g x xg x c c g x cxf x '''=-++-=---，(12分) 若0c ≤，0x >，则()0P x '>，故()P x 为[)0+∞，上增函数， 所以()(0)0P x P >=，若1c ≥，0x >，则()0P x '<，故()P x 为[)0+∞，上减函数， 所以()(0)0P x P <=， 综上知，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.（16分） 20．（本题满分16分）设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．解：（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=，② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥． 若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ． 故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．（4分）（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去．（6分） (ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④ ③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥． 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时 1()1f n n =+．（9分）(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）， 当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤ 211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．（12分）(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．（14分）综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列．（16分）试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）如图，C ，D 是直径为AB 的半圆上的两个不同的点，AC 与BD 交于点E ，点F 在弦BD 上，且△ACD ∽△BCF ，证明：△ABC ∽△DFC ． 证明：因为△ACD ∽△BCF ， 所以∠ACD =∠BCF ，故∠ACD ACF +∠=∠BCF ACF +∠， 即∠DCF =∠BCE ， 又∠BDC =∠BAC ，所以△ABC ∽△DFC ．（10分）B（第21题A ）B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）设x 为实数．若矩阵M 152x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为不可逆矩阵，求2M ． 解：依题意，10x =-，（4分）所以2M 15159452102101890---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦．（10分）C ．选修4—4：极坐标与参数方程 （本小题满分10分）已知极坐标系中的曲线2cos sin ρθθ=与曲线()πsin 4ρθ+=交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：曲线2cos sin ρθθ=化为2x y =；（4分）()πs i n 2ρθ+=同样可化为2x y +=，（8分） 联立方程组，解得A (1，1)， B (－2，4)，所以AB ．（10分）D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）设123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=，求证：1231119.a a a ++≥ 证明：因为123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=， 所以123111a a a ++()123123111()a a a aa a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（当且仅当1231a a a ===时等号成立）（8分）所以1239111a a a ++≥.（10分）ABCD1A1B11DP（第22题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，11 (01)A P AC λλ=<<． （1）若12λ=，求直线PB 与PD 所成角的正弦值；（2）若直线1AC ⊥平面PBD ，求实数λ的值． 解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，D D 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，1，1)， C 1(0，1，1)，D 1(0，0，1)，（1）由12λ=得()111 222P ，，， 所以()()111111 222222PB PD =-=---，，，，所以11114cos 3PB PD --+⋅==-，所以，直线PB 与PD ．（5分）（2）易得()11 1 1AC =--，，， 由11(1 1 1)A P AC λλ==--，，得，(1 1)P λλλ--，，， 此时( 1 1)BP λλλ=---，，，因为1AC PBD ⊥平面，所以1BP A C ⊥， 从而10AC BP ⋅=，即 110λλλ+-+-=，解得23λ=．（10分）23．（本小题满分10分）设i 为虚数单位，n 为正整数．（1）证明：(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；（2）结合等式“[][]1(cos isin )(1cos )isin n nx x x x ++=++”证明：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2c o s c o s 22n n x nx =．证明：（1）①当1n =时，cos isin cos isin x x x x +=+，即证； ②假设当n k =时，(cos isin )cos isin k x x kx kx +=+成立，则当1n k =+时，()1(cos isin )cos isin (cos isin )k x x kx kx x x ++=++ ()()cos cos sin sin sin cos sin cos i kx x kx x kx x x kx =-++ ()()cos 1isin 1k x k x =+++， 故命题对1n k =+时也成立，由①②得，(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；（5分） （2）由（1）知，[]01(cos isin )C (cos isin )C (cos isin )nnnr r r n n r r x x x x rx rx ==++=+=+∑∑，其实部为121C cos C cos2C cos n n n n x x nx +++⋅⋅⋅+；[](1cos )isin nx x ++=()()22cos 2isin cos 2cos cos isin 222222nnnnx x x x x x +=+()2cos cos isin 222n n x nx nx =+，其实部为2cos cos 22n n x nx ，根据两个复数相等，其实部也相等可得：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2cos cos 22n n x nx =．（10分）。

2023年中考数学全真模拟卷第六模拟（本卷满分120分，考试时间为90分钟）一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分。

每小题给出的四个选项中只有一个．．．．选项是最符合题意的）1．﹣2016的相反数是（）.A ．B ．12016C ．6102D ．20162．随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高．我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米等于0.000014毫米，将0.000014用科学记数法表示应为（）．A ．61410-⨯B ．51.410-⨯C ．41.410-⨯D ．40.1410-⨯3．不等式组13x x -≤⎧⎨<⎩的解集在数轴上可以表示为（）A ．B ．C ．D ．4．在平面直角坐标系中，点()1,2P -到原点的距离是（）A ．1B ．2C 3D 55．分别从正面、左面和上面三个方向看下面哪个几何体，能得到右图所示的平面图形（）A ．B ．C ．D ．6．某班男同学身高情况如下表,则其中数据167cm （）身高(cm)170169168167166165164163人数(人)12586332A ．是平均数B ．是众数但不是中位数.C ．是中位数但不是众数D ．是众数也是中位数7．老张师傅做m 个零件用了一个小时，则他做20个零件需要的小时数是（）A ．20m B ．20mC ．20mD ．20+m8．一张小凳子的结构如图所示，AB ∥CD ，∠1＝∠2＝α，AD ＝50厘米，则小凳子的高度MN 为（）A ．50cos α厘米B ．50cos α厘米C ．50sin α厘米D ．50sin α厘米9．我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形．如图所示，已知90A ∠=︒，正方形ADOF 的边长是2，6CF =，则BD 的长为（）A ．6B ．C ．4D ．810．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的一部分，其对称轴是x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b ＝0；③4a +2b +c ＜0；④若（﹣5，y 1），（3，y 2）是抛物线上两点，则y 1＜y 2，其中说法正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．在函数y=1x 5-中，自变量x 的取值范围是_____．12．已知一组数据：11，15，13，12，15，15，16，15．令这组数据的众数为a ，中位数为b ，则a ______b （填“＞”“＜”或“=”）．13．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这是个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是__________．14．如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为1cm ，则这个扇形的半径是________cm ．15．如图．在Rt ABC 中，60BAC ∠= ，以点A 为圆心、任意长为半径作弧分别交,AB AC 于点,M N ，再分别以点,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径作圆，两弧交于点P ．作射线AP 交BC 于点E ．若1BE =，则Rt ABC 的周长等于_________．16．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C 、D 分别落在点C ′、D ′处，若∠AFE=65°，则∠C ′EB =________度.17．如图，分别过x 轴上的点()()()12n A 1,0,A 2,0,,A n,0⋯作x 轴的垂线，与反比例函数6y (x 0)x=>图象的交点分别为12n 12B ,B ,,B ,A B ⋯与21A B 相交于点123P ,A B 与32A B 相交于点2P ,…,n n 1A B +与n 1n A B +相交于点n P ，若111A B P △的面积记为1S ，222A B P △的面积记为2S ，333A B P △的面积记为3S ，…n n n A B P △的面积记为n S ，则n S =____18．化简：2212211x x x x x x+---÷--，并在－1≤x≤3中选取一个合适的整数x 代入求值．19．如图，在Rt ABC △和Rt BAD 中，AB 为斜边，AC BD =，BC 、AD 相交于点E ．（1）请说明AE BE =的理由；（2）若45AEC ∠=︒，1AC =，求CE 的长．20．为深化课程改革，我校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中受欢迎的程度，学校随机抽取七年级部分学生进行调查，从A ：文学鉴赏，B ：科学探究，C ：文史天地，D ：趣味数学四门课程中选出你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查的总人数为人，扇形统计图中D 部分的圆心角是度；请补全条形统计图；（2）根据本次调查，我校七年级2600名学生中，估计最喜欢“趣味数学”的学生人数为多少？21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数152y x =+和2y x =-的图象相交于点A ，反比例函数k y x =的图象经过点A .（1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数152y x =+的图象与反比例函数k y x =的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求ABO∆的面积.22．如图，B 、E 为⊙O 上的点，C 是⊙O 的直径AD 的延长线上一点，连接BC ，∠DBC ＝∠A ．(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠BED ＝34，CD ＝5，求⊙O 的半径长．23．某商店销售功能相同的A B 、两种品牌的计算器，A 品牌计算器的成本价为每个20元，B 品牌计算器的成本价为每个25元，且销售3个A 品牌和2个B 品牌的计算器的价格为185元，销售2个A 品牌和1个B 品牌的计算器的价格为110元．（1）分别求这两种品牌计算器的销售单价；（2）春节前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按照原价的八折销售；B 品牌计算器5个以上，从第6个开始按照原价的七折销售．设销售x 个A 品牌的计算器的利润为1y 元，销售x 各B 品牌的计算器的利润为2y 元．①分别求12,y y 与x 之间的函数表达式；②某单位准备到该商店购买同一品牌的计算器，且购买数量超过5个，试问：商店要想获得较大的利润，应选择推销哪种品牌的计算器给该单位呢？并说明理由．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．如图1，在△ABC 中，AB AC =，点DE 、分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DC ，点P 、Q 、M 分别为DE 、BC 、DC 的中点，连接MQ 、PM ．(1)求证：PM MQ =；(2)当50A ∠=︒时，求∠PMQ 的度数；(3)将△ADE 绕点A 沿逆时针方向旋转到图2的位置，若120PMQ ∠=︒，判断△ADE 的形状，并说明理由．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)3y a x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于80,3C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ，过点H 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，点Q 在y 轴的左侧．(1)求a 的值及点A ，B 的坐标；(2)当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为37：的两部分时，求直线的函数表达式；(3)当点P 位于第一象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．2023年中考数学全真模拟卷答案第六模拟（本卷满分120分，考试时间为90分钟）一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分。

（第4题）2016年数学全真模拟试卷六试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1. 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =Uð ▲ ． 【答案】{5}2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的模是 ▲ ．3. 已知函数()a f x =在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】24. 右图是某算法的流程图，则输出的i 的值为 ▲ ． 【答案】75. 有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是 ▲ ． 【答案】356. 某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样的方法抽取10 % 的工人进行调查．首先 在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为 000，001，002，…，619），若样本中的最小编号是007， 则样本中的最大编号是 ▲ ． 【答案】6177.在平面直角坐标系xOy 中，已知角()π4α+的终边经过点(1P ，则t a n α的值为 ▲ ．【答案】28. 已知0x >，0y >，且2520x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ▲ ． 【答案】19. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为3 ()n n S k k =-∈*N ，则2k a 的值为 ▲ ． 【答案】610. 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为▲ ．【答案】（0，1）【解析】易得2()0f x x -<，即20x x -<，解得x ∈（0，1）．11. 设向量a ()cos25sin 25=，，b ()sin 20cos20=，，若t 是实数，且t =+u a b ，则u 的最小值为 ▲ ．【解析】因为()22222221212sin 4512t t t t t t =+=++⋅=++=+≥u a b a b a b ，所以u 的最小．12．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2221x y +=的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B ，C ，…”②解：设AB 的斜率为k ，…点B ()222122 1212k k k k-++，，D ()5 03-，，…” 据此，请你写出直线CD 的斜率为 ▲ ．（用k 表示） 【答案】2324k k +【解析】将点B ()222122 1212k k k k -++，用2k 代替得点C 的坐标()22284 88k k k k -++，，从而直线CD 的斜率 为2324k k +．13．使“a b <”成立的必要不充分条件是“ ▲ ”．（填上所有满足题意的序号）①0x ∀>，a b x +≤；APBPCPMDP（第16题）②0x ∃≥，a x b +<； ③0x ∀≥，a b x <+； ④0x ∃>，a x b +≤． 【答案】①【解析】①⇔0x ∀>，a b x -≤，从而0a b -≤，即a b ≤； ②⇔0x ∃≥，b a x ->，从而0b a ->，即a b <； ③⇔0x ∀≥，a b x -<，从而0a b -<，即a b <； ④⇔0x ∃>，b a x -≥，从而0b a ->，即a b <．14. 在△ABC 中，已知sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的值为 ▲ ．【答案】196【解析】依题意cos A -sin A ＝13cos B cos C -13sin B sin C ，即cos A -sin A ＝13cos ()B C +， 即cos A -sin A ＝-13cos A ，所以tan A 14=，又易得tan A ＝tan B tan C ， 而tan A ＋tan B ＋tan C =tan A tan B tan C ，所以tan A ＋tan B ＋tan C =tan 2A 196=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，AD // BC ，且AD =2BC ，AD ⊥CD ，PA =PD ，M 为棱AD 的中点．（1）求证：CD //平面PBM ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PBM ．证明：（1）因为AD // BC ，且AD =2BC ， 所以四边形BCDM 为平行四边形， 故CD // BM ，又CD ⊄平面PBM ，BM ⊂平面PBM ， 所以CD //平面PBM ；（6分） （2）因为PA =PD ，点M 为棱AD 的中点， 所以PM ⊥AD ，又AD ⊥CD ，CD // BM ， 故AD ⊥BM ， 而PMBM M =，PM 、BM ⊂平面PBM ，所以AD ⊥平面PBM ， 又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PBM ．（14分）16．（本题满分14分）在△ABC中，BC 2AB AC ⋅=．（1）求证：△ABC 三边的平方和为定值； （2）当△ABC 的面积最大时，求cos B 的值．证明：（1）因为2AB AC ⋅=，所以cos 2AB AC A ⋅⋅=．(3分)在△ABC 中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即2224AB AC =+-，于是2210AB AC +=， 故22210616AB BC AC ++=+=为定值．(6分) 解：（2）由（1）知2210AB AC +=，所以2252AB AC AB AC +⋅=≤，当且仅当AB AC =时取“=”号．(8分) 因为cos 2AB AC A ⋅⋅=，所以2cos A AB AC=⋅，从而sin A (10分) △ABC的面积11sin S AB AC A AB AC =⋅⋅=⋅=(12分) 当且仅当AB AC =时取“=”号．因为2210AB AC +=，所以当AB AC =时，AB AC =，故2cos BCB AB ===(14分)17．（本题满分14分）某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为n E cv T =，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：小时），c 为常数，n 为能量次级数．如果水的速度为4 km/h ，该生物探测器在水中逆流行进200 km ． （1）求T 关于v 的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h ，即4v -， 所以200T =4v -，即200T =，4v >；（4分）（2）(ⅰ) 当能量次级数为2时，由（1）知22004v E c v =⋅-，4v >，[]2(4)42004v c v -+=⋅-16200(4)84c v v ⎡⎤=⋅-++⎢⎥-⎣⎦2008c ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦≥3200c =（当且仅当1644v v -=-即8v =km/h 时，取等号）（9分）(ⅱ) 当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，4v >，所以222(6)2000(4)v v E c v -'=⋅=-得6v =， 当6v <时，0E '<；当6v >时，0E '>， 所以当6v =时，min E 21600c =．答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为3200c ；(ⅱ) 6v =km/h 时，该探测器消耗的能量最少．（14分）18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，记线段AB 的中点为M ．（1）求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若直线l 过点()3m m ，，延长OM 与椭圆C 交于点P ．问：四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求直线l 的斜率；若不能，说明理由． （1）证明：设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．则222112222299x y m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，，两式相减得()()()()1212121290x x x x y y y y -++-+=， 整理得()()()()121212129y y y y x x x x -+=--+，即k OM ⋅k ＝－9，得证．(6分)（2）四边形OAPB 能为平行四边形．(8分)因为直线l 过点()3m m ，，且l 不过原点且与椭圆C 有两个交点，则k >0，k ≠3，由(1)得直线OM 的方程为9y x k=-，设点P 的横坐标为x P ，由22299y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得，P x (10分)将点()3m m ，的坐标代入l 的方程y =kx +b 得(3)3k mb -=， 因此()2(3)39M k k mx k -=+， (12分)四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分， 即x P ＝2x M()2(3)239k k m k -=⨯+，解得14k =，24k =所以当l的斜率为4或4OAPB 为平行四边形．(16分)19．（本题满分16分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x g x + e x =，其中e 为自然对数的底数. （1）求()f x ，()g x 的表达式；（2）设0a ≤，1b ≥，0x >，证明：()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 解：（1）由()()f x g x +e x =得，()()f x g x -+-e x -=， 因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 所以()()f x g x -+e x -=，从而e e ()2x x f x --=，e +e ()2x xg x -=(4分) （2）当0x >时，e 10e 1x x -><<，，所以()0f x >，e +e ()12x xg x -=.(6分) 由（1）得，e +e ()()2x x f x g x -'==，e e ()()2x x g x f x --'==，(8分) 当0x >时，()()(1)()()(1)f x ag x a f x axg x a x x>+-⇔>+-，()()(1)()()(1)f x bg x b f x bxg x b x <+-⇔<+-， 设函数()()()(1)P x f x cxg x c x =-+-，(10分)则[][]()()()()(1)(1)()1()P x f x c g x xg x c c g x cxf x '''=-++-=---，(12分) 若0c ≤，0x >，则()0P x '>，故()P x 为[)0+∞，上增函数， 所以()(0)0P x P >=，若1c ≥，0x >，则()0P x '<，故()P x 为[)0+∞，上减函数， 所以()(0)0P x P <=， 综上知，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.（16分） 20．（本题满分16分）设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．解：（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=，② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ． 故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．（4分）（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去．（6分） (ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④ ③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥． 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时 1()1f n n =+．（9分）(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）， 当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤ 211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．（12分）(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．（14分）综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列．（16分）试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）如图，C ，D 是直径为AB 的半圆上的两个不同的点，AC 与BD 交于点E ，点F 在弦BD 上，且△ACD ∽△BCF ，证明：△ABC ∽△DFC ． 证明：因为△ACD ∽△BCF ， 所以∠ACD =∠BCF ，故∠ACD ACF +∠=∠BCF ACF +∠， 即∠DCF =∠BCE ， 又∠BDC =∠BAC ，所以△ABC ∽△DFC ．（10分）B（第21题A ）B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）设x 为实数．若矩阵M 152x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为不可逆矩阵，求2M ． 解：依题意，10x =-，（4分）所以2M 15159452102101890---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦．（10分）C ．选修4—4：极坐标与参数方程 （本小题满分10分）已知极坐标系中的曲线2cos sin ρθθ=与曲线()πsin 4ρθ+=交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：曲线2cos sin ρθθ=化为2x y =；（4分）()πs i n 2ρθ+=同样可化为2x y +=，（8分） 联立方程组，解得A (1，1)， B (－2，4)，所以AB ．（10分）D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）设123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=，求证：1231119.a a a ++≥ 证明：因为123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=， 所以123111a a a ++()123123111()a a a aa a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（当且仅当1231a a a ===时等号成立）（8分）所以1239111a a a ++≥.（10分）ABCD1A 1B 11D P（第22题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，11 (01)A P AC λλ=<<． （1）若12λ=，求直线PB 与PD 所成角的正弦值；（2）若直线1AC ⊥平面PBD ，求实数λ的值． 解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，D D 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，1，1)， C 1(0，1，1)，D 1(0，0，1)，（1）由12λ=得()111 222P ，，， 所以()()111111 222222PB PD =-=---，，，，所以11114cos PB PD --+⋅=-，所以，直线PB 与PD ．（5分）（2）易得()11 1 1AC =--，，， 由11(1 1 1)A P AC λλ==--，，得，(1 1)P λλλ--，，， 此时( 1 1)BP λλλ=---，，，因为1AC PBD ⊥平面，所以1BP A C ⊥， 从而10AC BP ⋅=，即 110λλλ+-+-=，解得23λ=．（10分）23．（本小题满分10分）设i 为虚数单位，n 为正整数．（1）证明：(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；（2）结合等式“[][]1(cos isin )(1cos )isin n nx x x x ++=++”证明：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2c o s c o s 22n n x nx =．证明：（1）①当1n =时，cos isin cos isin x x x x +=+，即证； ②假设当n k =时，(cos isin )cos isin k x x kx kx +=+成立，则当1n k =+时，()1(cos isin )cos isin (cos isin )k x x kx kx x x ++=++ ()()cos cos sin sin sin cos sin cos i kx x kx x kx x x kx =-++ ()()cos 1isin 1k x k x =+++， 故命题对1n k =+时也成立，由①②得，(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；（5分） （2）由（1）知，[]01(cos isin )C (cos isin )C (cos isin )nnnr r r n n r r x x x x rx rx ==++=+=+∑∑，其实部为121C cos C cos2C cos n n n n x x nx +++⋅⋅⋅+；[](1cos )isin nx x ++=()()22cos 2isin cos 2cos cos isin 222222nnnnx x x x x x +=+()2cos cos isin 222n n x nx nx =+，其实部为2cos cos 22n n x nx ，根据两个复数相等，其实部也相等可得：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2cos cos 22n n x nx =．（10分）。

（第5题）2016年数学全真模拟试卷一试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1． 已知集合{}0A x x =≥，{}1B x x =<，则A B ＝ ▲ ．【答案】R2． 某公司生产三种型号A ，B ，C 的轿车，产量分别为1200辆，6000辆，2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则型号A 的轿车应抽取 ▲ 辆． 【答案】63． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为(0 1)，，则实数p 的值为 ▲ ．【答案】24． 已知集合{}0 A ππππ2π3π5π=π6432346，，，，，，，，．现从集合A 中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为正数的概率为 ▲ ． 【答案】495． 如图，是一个算法的程序框图，当输出的y 值为2时，若将输入的x 的所有可能值按从小到大的顺序排列得到一个数列{}n a ，则该数列的通项公式为n a = ▲ ． 【答案】34n a n =-6． 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D ，决定矮的基因记为d ，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd ，若第二子代的D ，d 的基因遗传是等可能的（只要有基因D 则其就是高茎，只有两个基因全是d 时，才显示矮茎），则第二子代为高茎的概率为 ▲ ．BACD 1B1A1CD(第9题）E F【答案】347． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1 2)=，a ，1(2 1)5-=-，a b ，则⋅=a b ▲ ．【答案】258． 已知x y ，为正实数，满足26x y xy +=+，则xy 的最小值为 ▲ ．【答案】189． 如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，点E ，F分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四 棱锥1A AEFD -的体积为 ▲ ． 【答案】1210． 设定义在区间[] -11，的函数()sin()f x x ϕ=π+（其中0ϕ<<π）是偶函数，则函数()f x 的单调减区间为 ▲ ． 【答案】(0 1)，【解析】依题意，ϕπ=2，则()cos f x x =π的减区间为(0 1)，． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22()(21)2x a y a -++-=(11)a -≤≤，直线l ：y x b =+ ()b ∈R ．若动圆C 总在直线l 的下方且它们至多有1个交点，则实数b 的最小值是 ▲ ．【答案】2【解析】依题意，圆心( 12)C a a -，(11)a -≤≤的轨迹为线段12y x =-(11)x -≤≤， 当且仅当1a =-=b 的最小，此时2b =．12．如图，三次函数32y ax bx cx d=+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ ．【答案】【解析】设()(1)(1)(2)fx a x x x =+--，其中0a >，令 ()0f x '<x <<，所以该函数的单调减区间为；13．如图，点O 为△ABC 的重心，且OAOB ⊥，6AB =，则AC BC ⋅的值为 ▲ ．（第12题）ABCO（第13题）【答案】72【解析】以AB 的中点M 为坐标原点，AB 为x 轴建立 平面直角坐标系，则()30A -，，()30B ，， 设()C x y ，，则O ()33y x ，，因为OA ⊥OB ，所以0AO BO ⋅=， 从而()()()2330333yx x +⋅-+=，化简得，2281x y +=，所以222(3)(3)972AC BC x x y x y ⋅=+-+=+-=14．设k b ，均为非零常数，给出如下三个条件： ①{}n a 与{}n ka b +均为等比数列； ②{}n a 为等差数列，{}n ka b +为等比数列； ③{}n a 为等比数列，{}n ka b +为等差数列，其中一定能推导出数列{}n a 为常数列的是 ▲ ．（填上所有满足要求的条件的序号） 【答案】①②③【解析】①易得()()()211n n n k x b k x b k x b -+⋅+=⋅+⋅+，即2222211112()n n n n n n k x kbx b k x x kb x x b -+-+++=+++， 因为211n n n x x x -+=，且0kb ≠，所以112n n n x x x -+=+，即证； ②由①知2222211112()n n n n n n k x kbx b k x x kb x x b -+-+++=+++，因为112n n n x x x -+=+，所以211n n n x x x -+=，即证； ③易得()()()112n n n k x b k x b k x b -+⋅+=⋅++⋅+，且0k ≠，故112n n n x x x -+=+，又211n n n x x x -+=，即证．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知()π02α∈，，()ππ2β∈，，1cos 3β=-，()7sin 9αβ+=．（1）求tan2β的值；（2）求sin α的值．解：（1）因为22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222βββββββββ--=-==++，且1cos 3β=-，所以221tan 1231tan 2ββ-=-+，解得2tan 22β=，（4分）因为()ππ2β∈，，所以()ππ242β∈，，从而tan 02β>，所以tan2β=（6分） （2）因为()ππ2β∈，，1cos 3β=-，所以sin β==（8分） 又()π0α∈，，故()π3παβ+∈，，从而()cos αβ+==，（10分）所以[]sin sin ()sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+()7193=⨯-(13-=．（14分）16．（本题满分14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中， 已知11AD AA ==，2AB =，点E 是AB 的中点． （1）求三棱锥1C DD E -的体积； （2）求证：11D E A D ⊥．【解】（1）由长方体性质可得,1DD ⊥ 平面DEC ，所以1DD 是三棱锥1D DCE -的高,AEBCD1A 1D 1C 1B （第16题）又点E 是AB 的中点，11AD AA ==，AB ＝2，所以DE CE =222DE EC CD +=，90DEC ∠=， 三棱锥1D DCE -的体积1111323V DD DE CE =⨯⨯=；(7分)（2）连结1AD ,因为11A ADD 是正方形,所以11AD A D ⊥ ，又AE ⊥面11ADD A ，1A D ⊂面11ADD A , 所以1AE A D ⊥， 又1AD AE A =，1AD AE ⊂，平面1AD E ，所以1A D ⊥平面1AD E ，(12分) 而1D E ⊂平面1AD E , 所以11D E A D ⊥．(14分)17．（本题满分14分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m 的圆锥，下部是底面圆半径为5m 的圆柱，且该仓库的总高度为5m ．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/2m ，1百元/2m ，设圆锥母线与底面所成角为θ，且()π0 θ∈，，问当θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．解：设该仓库的侧面总造价为y ，则[]152π55(1tan )12π542cos y θθ⎡⎤=⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦()2sin 50π1+θθ-=，（6分）（第17题）由()22sin 1cos 50π0y θθ-'==得1sin 2θ=，()π0 4θ∈，，所以π6θ=，（10分）列表：所以当π6θ=时，侧面总造价ym ．（14分）18．（本题满分16分）定义：如果一个菱形的四个顶点均在一个椭圆上，那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形，且该菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心．如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2214x y +=的所有内接菱形构成的集合为F ．（1）求F 中菱形的最小的面积；（2）是否存在定圆与F 中的菱形都相切?（3边所在的直线的方程．解：（1）如图，设11( )A x y ，，22( )B x y ，， 1︒当菱形ABCD 的对角线在坐标轴上时，其面积为142142⨯⨯⨯=； 2︒当菱形ABCD 的对角线不在坐标轴上时，设直线AC 的方程为：y kx =，① 则直线BD 的方程为：1y x k=-，又椭圆2214xy +=， ②由①②得，212441x k =+，2212441k y k =+，从而22221124(1)41k OA x y k +=+=+，(第20题)同理可得，()()2222222221414(1)4141kk OB x y k k⎡⎤-+⎢⎥+⎣⎦=+==+-+，（3分） 所以菱形ABCD 的面积为2OA OB ⨯⨯====≥165= (当且仅当1k =±时等号成立),综上得，菱形ABCD 的最小面积为165；（6分）（2）存在定圆2245x y +=与F 中菱形的都相切，设原点到菱形任一边的距离为d ，下证：d =证明：由(1)知，当菱形ABCD 的对角线在坐标轴上时，d =，当菱形ABCD的对角线不在坐标轴上时，22222OA OB d OA OB ⨯=+222222224(1)4(1)4144(1)4(1)414k k k k k k k k ++⨯++=+++++ 2222224(1)(1)(4)(1)(41)k k k k k +=+++++22224(1)45(1)(55)k k k +==++，即得d = 综上，存在定圆2245x y +=与F 中的菱形都相切；（12分）（3）设直线AD 的方程为(y tx =-，即0tx y -=，则点(0 0)O ，到直线AD=，解得t =，所以直线AD的方程为y x =．（16分）19．（本题满分16分）设a ，b ，c 为实数，函数32()f x x ax bx c =--+为R 上的奇函数，且在区间[)1 +∞，上单调．（1）求a ，b ，c 应满足的条件； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）设001 ()1x f x ≥，≥，且[]00()f f x x =，求证：00()f x x =． 解：（1）因为32()f x x ax bx c =--+为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，即32x ax bx c --++=32x ax bx c -++-， 变形得，20ax c +=， 所以0a c ==， （2分）此时3()f x x bx =-在区间[)1 +∞，上单调，则2()30f x x b '=-≥在区间[)1 +∞，上恒成立，得3b ≤；（5分） （2）2()3f x x b '=-，且3b ≤，当0b ≤时，2()30f x x b '=-≥，所以函数()f x 的单调增区间为( )-∞+∞，；（7分）当0b >时，2()30f x x b '=->得，函数()f x 的单调减区间为(，单调增区间为( -∞，，)+∞；（10分） （3）设0()f x t =，则1t ≥，0()1f t x =≥， 即有300x bx t -=，且30t bt x -=， 两式相减得，()()33000x bx t bt t x ---=-， 即()()2200010x t x x t t b -+++-=，因为1t ≥，01x ≥，3b ≤，所以220011x x t t b ++-+≥， 故0x t =，即00()f x x =．（16分）20．（本题满分16分）若存在非零常数p ，对任意的正整数n ，212n n n a a a p ++=+，则称数列{}n a 是“T 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和()2n S n n *=∈N ，求证：{}n a 是“T 数列”； （2）设{}n a 是各项均不为0的“T 数列”． ①若0p <，求证：{}n a 不是等差数列；②若0p >，求证：当1a ，2a ，3a 成等差时，{}n a 是等差数列． 解：（1）当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-， 所以21n a n =-，n *∈N ，（3分）则{}n a 是“T 数列”⇔存在非零常数p ，2(21)(21)(23)n n n p +=-++ 显然4p =满足题意，所以{}n a 是“T 数列”；（ 5分） （2）①假设{}n a 是等差数列，设1(1)n a a n d =+-，则由212n n n a a a p ++=+得，()[][]2111(1)(1)a nd a n d a n d p +=+-+++， 解得20p d =≥，这与0p <矛盾，故假设不成立， 从而{}n a 不是等差数列；(10分) ②因为212n n n a a a p ++=+()0p >， ① 所以()211 2n n n a a a p n -+=+≥， ②①-②得，221211n n n n n n a a a a a a ++-+-=-(2)n ≥， 因为{}n a 的各项均不为0， 所以1121n n n n n n a a a a +---++=(2)n ≥， 从而11n n n a a a +-+⎧⎫⎨⎬⎩⎭()2n ≥是常数列， 因为1a ，2a ，3a 成等差，所以3122a aa +=，从而112n n na a a +-+=()2n ≥，即112n n n a a a +-+=()2n ≥，即证．(16分)试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，已知凸四边形ABCD 的顶点在一个圆周上， 另一个圆的圆心O 在AB 上，且与四边形ABCD 的其余三边相切．点E 在边AB 上，且AE AD =． 求证： O ，E ，C ，D 四点共圆． 证明：因为AD AE =，所以()11802AED A ∠=-∠，因为四边形ABCD 的顶点在一个圆周上， 所以180A BCD -∠=∠， 从而AED DCO ∠=∠，所以O ，E ，C ，D 四点共圆．（10分） B ．（矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x ，5)在矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q (y -2，y )，求1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ．解：依题意，1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦5x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2y y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即102 320 x y x y +=-⎧⎨+=⎩，，解得4 8 x y =-⎧⎨=⎩，， （4分） 由逆矩阵公式知，矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦M ，（8分） 所以1x y -⎡⎤⎢⎥⎣⎦M 2131-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦48-⎡⎤⎢⎥⎣⎦1610⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（10分）PA B CD（第22题）EC ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，设直线l 过点)A π6，，()3 B 0，，且直线l 与曲线C ：cos (0)a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值． 解：依题意，)Aπ6，，()3 B 0，的直角坐标方程为(32A ，，()3B 0，， 从而直线l 的普通方程为30x -=，（4分） 曲线C ：cos (0)a a ρθ=>的普通方程为()222aa x y -+=(0)a >，（8分） 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以3222a a -=(0)a >，解得2a =(负值已舍)．（10分）D ．（不等式选讲）设正数a ，b ，c 满足3a b c ++≤，求证：11131112a b c +++++≥．证明：由柯西不等式得， []()111(1)(1)(1)111a b c a b c +++++⋅+++++2≥23=，（6分）所以111993++=≥≥．（10分）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面A B C D 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=，且P A A B B C ==11AD ==，PA ⊥平面ABCD ．（1）求PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）棱PD 上是否存在一点E 满足AEC ∠=90？若存在，求AE 的长；若不存在，说明理由．解：（1）依题意，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则(0 0 1)P ，，，(1 0 0)B ，，，(1 1 0)C ，，，(0 2 0)D ，，， 从而(1 0 1)PB =-，，，(1 1 1)PC =-，，，(0 2 1)PD =-，，，（2分） 设平面PCD 的法向量为( )a b c =，，n ，则⋅n 0PC =，且⋅n 0PD =， 即0a b c +-=，且20b c -=，不妨取2c =，则1b =，1a =， 所以平面PCD 的一个法向量为(1 1 2)=，，n ，（4分）此时cosPB 〈〉==，n所以PB 与平面PCD ；（6分）（2）设(01)PE PD λλ=≤≤，则(0 2 1)E λλ-，，， 则(1 21 1)CE λλ=---，，，(0 2 1)AE λλ=-，，， 由AEC ∠=90得，AE ⋅22(21)+(1)0CE λλλ=--=， 化简得，25410λλ-+=，该方程无解，所以，棱PD 上不存在一点E 满足AEC ∠=90．（10分）23．设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数． （1）求a 3； （2）求a n ．解：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A ，B )为：（{1}，{2}），（{1}，{3}），（{2}，{3}）， （{1}，{2，3}），（{1，2}，{3}）共5对， 所以a 35=；（3分）（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=，（5分） B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n k n k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-，（7分） 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---， 所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑．（10分）。

2016年某某某某市平罗中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x2﹣1≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{1}D．∅2．复数（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．在下列函数中既是奇函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（）A． B．y=x﹣1C． D．y=x3+x4．如图所示的程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若输入，则输出的y值为（）A．2B． C．2﹣2πD．85．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．116．在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A． B． C． D．或7．“x＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g （x）=a x+b的图象大致为（）A． B． C． D．9．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2B．5C．6D．710．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A． B． C． D．11．已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（2x+）12．如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（）A．1mB． C． D．2m二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知向量=（1，x），=（x﹣1，2），若，则x=．14．设=2，则tan（α+）=．15．已知函数f（x）=，则f已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17．已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅱ）若++…+=，求n的值．18．某游戏为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示．（1）求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55）的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC=CC1=6，M是棱CC1上一点．（1）若M、N分别是CC1、AB的中点，求证：∥平面AB1M；（2）求证：不论M在何位置，三棱锥A1﹣AMB1的体积都为定值，并求出该定值．20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=x+m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2的面积．21．已知函数f（x）=（ax﹣2）e x在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，直线l的极坐标方程为2aρcosθ+2ρsinθ=1（a为常数）．（1）求直线l与圆C的普通方程；（2）若直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，某某数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值X围．2016年某某某某市平罗中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x2﹣1≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{1}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解答】解：B={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}则A∩B={1}，故选：C2．复数（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==1﹣2i的虚部为﹣2．故选：A．3．在下列函数中既是奇函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（）A． B．y=x﹣1C． D．y=x3+x【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据奇函数、偶函数的定义，和奇函数图象的对称性，以及函数y=x3和y=x的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．函数为偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；B．反比例函数y=x﹣1是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，∴该选项正确；C．指数函数的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；D．y=x3和y=x在区间（0，+∞）上都单调递增，∴y=x3+x在（0，+∞）上单调递增，∴该选项错误．故选B．4．如图所示的程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若输入，则输出的y值为（）A．2B． C．2﹣2πD．8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，由函数解析式进行求解即可．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，因为，所以．故选：C．5．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．11【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．6．在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A． B． C． D．或【考点】正弦定理．【分析】由a，b及sinB的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据A的X围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：由正弦定理可得：sinA===∵a=＜b=∴∴∠A=，故选：B．7．“x＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据对数函数的性质和充要条件的定义，分析判断“x＜1”⇒“”和“”⇒“x＜1”的真假，可得答案．【解答】解：当“x＜1”时，x可能小于等于0，此时“”无意义，当“”时，0＜x＜1，此时“x＜1”成立，故“x＜1”是“”的必要而不充分条件，故选：B．8．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g （x）=a x+b的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】指数函数的图象变换；函数的零点与方程根的关系．【分析】根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=a X+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．【解答】解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）=a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．9．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2B．5C．6D．7【考点】简单线性规划．【分析】先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x﹣y，不难求出目标函数z=x﹣y的最小值．【解答】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，由得A（3，5），当直线z=x﹣y平移到点A时，直线z=x﹣y在y轴上的截距最大，即z取最小值，即当x=3，y=5时，z=x﹣y取最小值为﹣2．故选A．10．已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由该棱锥的三视图判断出该棱锥的几何特征，以及相关几何量的数据，再求出该棱锥外接球的半径和体积．【解答】解：由该棱锥的三视图可知，该棱锥是以边长为的正方形为底面，高为2的四棱锥，做出其直观图所示：则PA=2，AC=2，PC=，PA⊥面ABCD，所以PC即为该棱锥的外接球的直径，则R=，即该棱锥外接球的体积V==，故选：C．11．已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（x+）C．f（x）=2sin（2x+）D．f（x）=2sin（2x+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、三角函数的奇偶性，求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：设f（x）=2sin（ωx+φ），∵函数的图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，ω=2．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，可得y=2sin[2（x+）+φ]的图象．根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=，求得φ=，故选：C．12．如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（）A．1mB． C． D．2m【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP'，由余弦定理求出．设底面圆的半径为r，求解即可得到选项．【解答】解：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得，∴．设底面圆的半径为r，则有，∴．故C项正确．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知向量=（1，x），=（x﹣1，2），若，则x= 2或﹣1 ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量平行的坐标关系解答．【解答】解：因为，所以1×2=x（x﹣1），解得x=2或者﹣1；故答案为：2或﹣1．14．设=2，则tan（α+）= ﹣2 ．【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．【分析】由已知可得tanα=3，用两角和的正切公式化简后代入即可求值．【解答】解：∵=2，∴cosα≠0， =2，解得tanα=3，∴tan（α+）==﹣2，故答案为：﹣2．15．已知函数f（x）=，则f=，∴f=f（0）=（）0=1．故答案为：1．16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为﹣=1 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，可得双曲线的焦点，即有c=6，再由渐近线方程可得a，b 的方程，解出a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：由题意可得，抛物线y2=24x的准线为x=﹣6，双曲线的一个焦点为（﹣6，0），即有c=6，又=，36=a2+b2=4a2，a2=9，b2=27，则所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17．已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅱ）若++…+=，求n的值．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）通过a1+a3=8，a2+a4=12与等差中项的性质可知a2=4，a3=6，进而可知公差及首项，利用等差数列的求和公式计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）裂项可知=﹣，进而并项相加并与已知条件比较即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵a1+a3=8，a2+a4=12，∴a2=4，a3=6，∴等差数列{a n}的公差d=a3﹣a2=6﹣4=2，首项a1=a2﹣d=4﹣2=2，∴数列{a n}是首项、公差均为2的等差数列，于是其前n项和为S n=2•=n（n+1）；（Ⅱ）由（I）可知， ==﹣，∴++…+=1﹣+﹣+…+﹣=，又∵++…+=，∴=，即n=999．18．某游戏为了了解某款游戏玩家的年龄情况，现随机调查100位玩家的年龄整理后画出频率分布直方图如图所示．（1）求100名玩家中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计该款游戏所有玩家的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55）的玩家中利用分层抽样选取6人组成一个游戏联盟，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由直方图可得各组年龄的人数，由直方图计算平均值的方法可得平均年龄；（Ⅱ）在[35，45）的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45，55）的人数为2人，记为m，n．列举可得总的情况共有15种，“这两人在不同年龄组”包含8种，由古典概型概率公式可得．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可得各组年龄的人数分别为10，30，40，20人；估计所有玩家的平均年龄为0.1×20+0.3×30+0.4×40+0.2×50=37岁；（Ⅱ）在[35，45）的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45，55）的人数为2人，记为m，n．∴抽取结果共有15种，列举如下：（ab），（ac），（ad），（am），（an），（bc），（bd），（bm），（bn），（cd），（cm），（），（dm），（dn），（mn）设“这两人在不同年龄组”为事件A，事件A所包含的基本事件有8种，则，∴这两人在不同年龄组的概率为19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC=CC1=6，M是棱CC1上一点．（1）若M、N分别是CC1、AB的中点，求证：∥平面AB1M；（2）求证：不论M在何位置，三棱锥A1﹣AMB1的体积都为定值，并求出该定值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AB1中点P，连结MP，NP，则四边形MP是平行四边形，得出∥MP，从而∥平面AB1M．（2）V=V=S•．只需证明⊥平面AB1BA1即可．【解答】证明：（1）取AB1中点P，连结MP，NP，∵P是AB1的中点，N是AB的中点，∴PN∥BB1，PN=，∵M是CC1的中点，∴CM∥BB1，CM=BB1，∴CM∥PN，CM=PN，∴四边形MP是平行四边形，∴∥MP，∵MP⊂平面AB1M，⊄AB1M，∴∥平面AB1M．（2）∵△ABC是等边三角形，∴⊥AB，∵BB1⊥平面ABC，PN∥BB1，∴PN⊥平面ABC，∵⊂平面ABC，∴PN⊥，又∵AB⊂平面ABB1A1，PN⊂平面ABB1A1，AB∩PN=N，∴⊥平面AB1BA1，∵==3．∴V=V=S•==18．∴不论M在何位置，三棱锥A1﹣AMB1的体积都为定值18．20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=x+m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）将直线的方程y=x+m，代入椭圆C的方程，消去y，得到x的二次方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，再由点到直线的距离公式，结合直角梯形的面积公式计算即可得到所求值．【解答】解：（1）由题意可得，又a2=b2+c2，所以，又点在该椭圆C上，所以．解得a2=4，b2=3．所以椭圆C的方程为；（2）将直线的方程y=x+m，代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得7x2+8mx+4m2﹣12=0，由直线与椭圆C仅有一个公共点可知，△=64m2﹣28（4m2﹣12）=0，化简得，m2=7．由F1（﹣1，0），F2（1，0），设，，由直线l的斜率为1，可得|d1﹣d2|=|MN|，所以四边形F1MNF2的面积S=|d1﹣d2|（d1+d2）=|d12﹣d22|=•2|m|=|m|=．故四边形F1MNF2的面积为．21．已知函数f（x）=（ax﹣2）e x在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求导数f′（x），由题意得f′（1）=0，可得a值，代入检验即可；（Ⅱ）当a=1时可求出f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间[m，m+1]的左侧、内部、右侧三种情况进行即可求得其最小值；（Ⅲ）对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e，等价于|f（x1）﹣f（x2）|≤f max （x）﹣f min（x）≤e．问题转化为求函数f（x）的最大值、最小值问题，用导数易求；【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ae x+（ax﹣2）e x=（ax+a﹣2）e x，由已知得f′（1）=0，即（2a﹣2）e=0，解得：a=1，验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x﹣2）e x取得极小值，所以a=1；（Ⅱ）f（x）=（x﹣2）e x，f′（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x．x （﹣∞，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）减增所以函数f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，f min（x）=f（m）=（m﹣2）e m．当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，f min（x）=f（1）=﹣e．当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，．综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x﹣2）e x，f′（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x．令f′（x）=0得x=1，因为f（0）=﹣2，f（1）=﹣e，f（2）=0，所以f max（x）=0，f min（x）=﹣e，所以，对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x）=e，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由BE是⊙O的切线，可得∠EBD=∠BAD，又∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，从而可求∠EBD=∠CBD，即可得解．（2）先证明△BDE∽△ABE，可得，又可求∠BCD=∠DBC，BD=CD，从而可得，即可得解．【解答】解：（1）因为BE是⊙O的切线，所以∠EBD=∠BAD…又因为∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，所以，…又因为∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…所以，…所以AE•DC=AB•BE…．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，直线l的极坐标方程为2aρcosθ+2ρsinθ=1（a为常数）．（1）求直线l与圆C的普通方程；（2）若直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，某某数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线l的普通方程和圆C的普通方程．（2）由直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，得到圆心C（2，﹣1）到直线2ax+2y﹣1=0的距离为半径一半，由此能求出a．【解答】解：（1）∵直线l的极坐标方程为2aρcosθ+2ρsinθ=1（a为常数），∴直线l的普通方程为2ax+2y﹣1=0．∵圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=4ρcosθ﹣2ρsinθ，∴圆C的普通方程为：x2+y2﹣4x+2y=0．（2）∵圆C：x2+y2﹣4x+2y=0的圆心C（2，﹣1），半径r==，直线l分圆C所得两弧长度之比为1：2，∴直线l截圆C所得的弦|AB|所对圆心角为120°，∴圆心C（2，﹣1）到直线2ax+2y﹣1=0的距离为半径一半，即d==，解得a=或a=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值X围．【考点】其他不等式的解法；函数的定义域及其求法．【分析】（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，解此绝对值不等式求得函数f（x）的定义域．（2）由题意可得，不等式即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，由于x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥3，故m+4≤3，由此求得m的取值X围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值X围是（﹣∞，﹣1]．。

2016年某某省某某市东北育才学校高考数学模拟试卷（文科）（八）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）A．50 B．45 C．40 D．202．若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+1≤3x0B．∀x∈R，x2+1≤3xC．∀x∈R，x2+1＜3x D．∀x∈R，x2+1＞3x3．设z=1+i（是虚数单位），则+=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i4．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x=（﹣1）n+n，n∈N}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{0，1，2} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}5．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V=×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（）A．3 B．3.14 C．3.2 D．3.36．执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤97．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）8．如图，在一个不规则多边形内随机撒入200粒芝麻（芝麻落到任何位置的可能性相等），恰有40粒落入半径为1的圆内，则该多边形的面积约为（）A．4πB．5πC．6πD．7π9．已知不等式组的解集记为D，则对∀（x，y）∈D使得2x﹣y取最大值时的最优解是（）A．（2，1）B．（2，2）C．3 D．410．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为（）A．B．C．1 D．211．tan20°+4sin20°的值为（）A．B．C．D．12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为．14．某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为．15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=3，c=2，若点D为线段BC上靠近B的一个三等分点，则AD=．16．已知函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值X 围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=，其前n项和为T n，求T n．18．在某学校一次考试的语文与历史成绩中，随机抽取了25位考生的成绩进行分析，25位考生的语文成绩已经统计在茎叶图中，历史成绩如下：（Ⅰ）请根据数据在茎叶图中完成历史成绩统计；（Ⅱ）请根据数据完成语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；语文成绩的频数分布表：语文成绩分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120]频数（Ⅲ）设上述样本中第i位考生的语文、历史成绩分别为x i，y i（i=1，2，…，25）．通过对样本数据进行初步处理发现：语文、历史成绩具有线性相关关系，得到：=x i=86， =y i =64，（x i﹣）（y i ﹣）=4698，（x i﹣）2=5524，≈0.85．①求y关于x的线性回归方程；②并据此预测，当某考生的语文成绩为100分时，该生历史成绩．（精确到0.1分）附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：==， =﹣．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知PD=，CD=4，AD=．（Ⅰ）若∠ADE=，求证：CE⊥平面PDE；（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为时，求三棱锥A﹣PDE的侧面积．20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2﹣1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．（i）求k1k2的值；（ii）求OB2+OC2的值．21．设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值X围．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交⊙O于点D，PA=PE，∠ABC=45°，PD=1，DB=8．（1）求△ABP的面积；（2）求弦AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）试求f（x）的值域；（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试某某数a的取值X围．2016年某某省某某市东北育才学校高考数学模拟试卷（文科）（八）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）A．50 B．45 C．40 D．20【考点】分层抽样方法．【分析】利用分层抽样性质求解．【解答】解：∵高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，∴由分层抽样性质，得：，解得n=45．故选：B．2．若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+1≤3x0B．∀x∈R，x2+1≤3xC．∀x∈R，x2+1＜3x D．∀x∈R，x2+1＞3x【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p 是∀x∈R，x2+1≤3x，故选B．3．设z=1+i（是虚数单位），则+=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算法则化简复数为a+bi的形式即可．【解答】解：z=1+i（是虚数单位），则+===1．故选：A．4．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x=（﹣1）n+n，n∈N}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{0，1，2} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中x的值确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x=（﹣1）n+n，n∈N}={0，1，2，…}，∴A∩B={0，1，2}，故选：B．5．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V=×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（）A．3 B．3.14 C．3.2 D．3.3【考点】排序问题与算法的多样性．【分析】由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），求出V，再建立方程组，即可求出圆周率π的取值．【解答】解：由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，∵圆堡瑽（圆柱体）的体积V=×（底面的圆周长的平方×高），∴V=×=，∴∴π=3，R=，故选：A．6．执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环 log23•log34 4第三次循环 log23•log34•log45 5第四次循环 log23•log34•log45•log56 6第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选B．7．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）【考点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：当x≤0时，f（x）=cos2x不是单调函数，此时﹣1≤cos2x≤1，当x＞0时，f（x）=x4+1＞1，综上f（x）≥﹣1，即函数的值域为[﹣1，+∞），故选：D8．如图，在一个不规则多边形内随机撒入200粒芝麻（芝麻落到任何位置的可能性相等），恰有40粒落入半径为1的圆内，则该多边形的面积约为（）A．4πB．5πC．6πD．7π【考点】几何概型．【分析】由几何概型概率计算公式，以面积为测度，可求该阴影部分的面积．【解答】解：设该多边形的面积为S，则，∴S=5π，故选B．9．已知不等式组的解集记为D，则对∀（x，y）∈D使得2x﹣y取最大值时的最优解是（）A．（2，1）B．（2，2）C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．即，即C（2，1），故使得2x﹣y取最大值时的最优解是（2，1），故选：A．10．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为（）A．B．C．1 D．2【考点】等比数列的前n项和．【分析】设此等比数列的首项为a1，公比为q，前4项之和为S，前4项之积为P，前4项倒数之和为M，由等比数列性质推导出P2=（）4，由此能求出前4项倒数的和．【解答】解：∵等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，∴设此等比数列的首项为a1，公比为q前4项之和为S，前4项之积为P，前4项倒数之和为M，若q=1，则，无解；若q≠1，则S=，M==，P=a14q6，∴（）4=（a12q3）4=a18q12，P2=a18q12，∴P2=（）4，∵，∴前4项倒数的和M===2．故选：D．11．tan20°+4sin20°的值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，转化为特殊角的三角函数值，则问题解决．【解答】解：tan20°+4sin20°========2sin60°=．故选B．12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），利用斜率计算公式肯定：mn=，=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），则m=，n=，∴mn==，∴=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．f′（t）=+1+t﹣=，可知：当t=时，函数f（t）取得最小值=++﹣2ln=2+1﹣ln2．∴=．∴=．故选：D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．过原点作曲线y=e x的切线，则切线方程为y=ex ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求切点的坐标，先设切点的坐标为（ x0，e x0），再求出在点切点（ x0，e x0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=x0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题．【解答】解：y′=e x设切点的坐标为（x0，e x0），切线的斜率为k，则k=e x0，故切线方程为y﹣e x0=e x0（x﹣x0）又切线过原点，∴﹣e x0=e x0（﹣x0），∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．14．某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为25π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故答案为：25π．15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=3，c=2，若点D为线段BC上靠近B的一个三等分点，则AD=．【考点】解三角形．【分析】利用余弦定理求出cosB，再利用余弦定理解出AD．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得cosB==．在△ABD中，BD==．由余弦定理得：AD2=BD2+AB2﹣2BD•AB•cosB=．∴AD=．故答案为：．16．已知函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值X 围是．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性求出g（x），h（x）的表达式，然后将不等式恒成立进行参数分离，利用基本不等式进行求解即可得到结论．【解答】解：∵函数F（x）=e x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，∴e x=g（x）+h（x），e﹣x=g（x）﹣h（x），∴g（x）=，h（x）=．∵∀x∈（0，2]使得不等式g（2x）﹣ah（x）≥0恒成立，即﹣a•≥0恒成立，∴a≤==（e x﹣e﹣x）+，设t=e x﹣e﹣x，则函数t=e x﹣e﹣x在（0，2]上单调递增，∴0＜t≤e2﹣e﹣2，此时不等式t+≥2，当且仅当t=，即t=时，取等号，∴a≤2，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．设数列{a n}的前n项和为S n，且2a n=S n+2．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列b n=，其前n项和为T n，求T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）运用n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，结合等比数列的通项公式，计算即可得到所求；（Ⅱ）求得b n=﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，由2a1=S1+2=a1+2，得a1=2．当n≥2时，由，以及a n=S n﹣S n﹣1，两式相减可得，则数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，故；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，故其前n项和化简可得T n =﹣．18．在某学校一次考试的语文与历史成绩中，随机抽取了25位考生的成绩进行分析，25位考生的语文成绩已经统计在茎叶图中，历史成绩如下：（Ⅰ）请根据数据在茎叶图中完成历史成绩统计；（Ⅱ）请根据数据完成语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；语文成绩的频数分布表：语文成绩分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120]频数（Ⅲ）设上述样本中第i位考生的语文、历史成绩分别为x i，y i（i=1，2，…，25）．通过对样本数据进行初步处理发现：语文、历史成绩具有线性相关关系，得到：=x i=86， =y i=64，（x i ﹣）（y i ﹣）=4698，（x i ﹣）2=5524，≈0.85．①求y关于x的线性回归方程；②并据此预测，当某考生的语文成绩为100分时，该生历史成绩．（精确到0.1分）附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：==， =﹣．【考点】线性回归方程；茎叶图．【分析】（Ⅰ）根据所给数据，可得历史成绩的茎叶图；（Ⅱ）根据所给数据，可得语文成绩的频数分布表及语文成绩的频率分布直方图；（Ⅲ）求出a，b，可得y关于x的线性回归方程，并据此预测当某考生的语文成绩为100分时，该考生的历史成绩．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，在茎叶图中完成历史成绩统计，如图所示；（Ⅱ）语文成绩的频数分布表；语文成绩分组[50，60﹚[60，70﹚[70，80﹚[80，90﹚[90，100﹚[100，110﹚[110，120]频数 1 2 3 7 6 5 1 语文成绩的频率分布直方图：；（Ⅲ）由已知得b=0.85，a=64﹣0.85×86=﹣9.1，∴y=0.85x﹣9.1，∴x=100时，y=75.9≈76，预测当某考生的语文成绩为100分时，该考生的历史成绩为76分．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点．已知PD=，CD=4，AD=．（Ⅰ）若∠ADE=，求证：CE⊥平面PDE；（Ⅱ）当点A到平面PDE的距离为时，求三棱锥A﹣PDE的侧面积．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）在Rt△DAE中，求出BE=3．在Rt△EBC中，求出∠CEB=．证明CE⊥DE．PD ⊥CE．即可证明CE⊥平面PDE．（Ⅱ）证明平面PDE⊥平面ABCD．过A作AF⊥DE于F，求出AF．证明BA⊥平面PAD，BA⊥PA．然后求出三棱锥A﹣PDE的侧面积S侧=++．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt△DAE中，AD=，∠ADE=，∴AE=AD•tan∠ADE=•=1．又AB=CD=4，∴BE=3．在Rt△EBC中，BC=AD=，∴tan∠CEB==，∴∠CEB=．又∠AED=，∴∠DEC=，即CE⊥DE．∵PD⊥底面ABCD，CE⊂底面ABCD，∴PD⊥CE．∴CE⊥平面PDE．…（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，PD⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面ABCD．如图，过A作AF⊥DE于F，∴AF⊥平面PDE，∴AF就是点A到平面PDE的距离，即AF=．在Rt△DAE中，由AD•AE=AF•DE，得AE=•，解得AE=2．∴S△APD=PD•AD=××=，S△ADE=AD•AE=××2=，∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴BA⊥PA．在Rt△PAE中，AE=2，PA===，∴S△APE=PA•AE=××2=．∴三棱锥A﹣PDE的侧面积S侧=++．…20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2﹣1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．（i）求k1k2的值；（ii）求OB2+OC2的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设出椭圆右焦点坐标，由题意可知，椭圆右焦点F2到直线x+y+2﹣1=0的距离为a，再由椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形得到a，b，c的关系，结合焦点F2到直线x+y+2﹣1=0的距离为a可解得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）（i）由题意设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1），由两点求斜率公式可得是，把纵坐标用横坐标替换可得答案；（ii）由k1k2=k3k4．得到．两边平方后用x替换y可得．结合点B，C在椭圆上得到．则OB2+OC2的值可求．【解答】解：（1）设椭圆C的右焦点F2（c，0），则c2=a2﹣b2（c＞0），由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为（x﹣c）2+y2=a2，∴圆心到直线x+y+2﹣1=0的距离①，∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，∴，a=2c，代入①式得，，故所求椭圆方程为；（2）（i）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1），于是=；（ii）由（i）知，，故．∴，即，∴．又=，故．∴OB2+OC2=．21．设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值X围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点．【分析】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；（Ⅲ）由b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h （x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值X围．【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，∴f′（x）=；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），∴φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值X围是[，+∞）．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，切点为A，PB交AC于点E，交⊙O于点D，PA=PE，∠ABC=45°，PD=1，DB=8．（1）求△ABP的面积；（2）求弦AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用圆的切线的性质，结合切割线定理，求出PA，即可求△ABP的面积；（2）由勾股定理得AE，由相交弦定理得EC，即可求弦AC的长．【解答】解：（1）因为PA是⊙O的切线，切点为A，所以∠PAE=∠ABC=45°，…又PA=PE，所以∠PEA=45°，∠APE=90°…因为PD=1，DB=8，所以由切割线定理有PA2=PD•PB=9，所以EP=PA=3，…所以△ABP的面积为BP•PA=…（2）在Rt△APE中，由勾股定理得AE=3…又ED=EP﹣PD=2，EB=DB﹣DE=8﹣2=6，所以由相交弦定理得EC•EA=EB•ED=12 …所以EC==2，故AC=5…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．【解答】解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）试求f（x）的值域；（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试某某数a的取值X围．【考点】函数恒成立问题；函数的值域．【分析】（1）将含有绝对值的函数转化为分段函数，再求分段函数的值域；（2）恒成立问题转化成最小值最大值问题，即g（x）min≥f（x）max．【解答】解：（Ⅰ）函数可化为，∴f（x）∈[﹣3，3]（Ⅱ）若x＞0，则，即当ax2=3时，，又由（Ⅰ）知∴f（x）max=3若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，即g（x）min≥f（x）max，∴，∴a≥3，即a的取值X围是[3，+∞）．。