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四川省雅安市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·寿光月考) 已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为A .B .C .D .2. （2分）(2018·北京) 在平面坐标系中， , , , 是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是（）A .B .C .D .3. （2分）已知等比数列的前三项依次为,则（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·绍兴期末) 在中， , 是的平分线，且 ,则的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高三上·湖南月考) 已知，实数满足约束条件，且的最小值为，则的值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一下·余姚月考) 在中，已知，，则A=（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·宝清模拟) 设△AnBnCn的三边长分别为an ， bn ， cn ，△AnBnCn的面积为Sn ， n=1，2，3…若b1＞c1 ， b1+c1=2a1 ， an+1=an ，，，则（）A . {Sn}为递减数列B . {Sn}为递增数列C . {S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D . {S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列8. （2分）若是R上的减函数，且的图象过点和，则不等式的解集是（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·天津模拟) 若满足约束条件，则的最大值是（）A . 1B .C . 4D . 210. （2分） (2020高二下·阳春月考) 设，，若是与的等比中项，则最小值为（）A . 4B . 3C . 1D .11. （2分） (2015高三上·孟津期末) 已知等比数列{an}的公比为4，且a1+a2=20，设bn=log2an ，则b2+b4+b6+…+b2n等于（）A . n2+nB . 2n2+nC . 2（n2+n）D . 4（n2+n）12. （2分）(2017·石嘴山模拟) 已知f（x）=loga（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点M，且点M在直线（m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为（）A .B . 8C .D . 4二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）在等比数列{an}中，an＞0，若a1a5=16，a4=8，则a5=________．14. （2分）(2019·浙江模拟) 在中，角的对边分别为，，，，则 ________， ________．15. （1分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为________16. （1分） (2020高一下·成都期末) 若实数，满足条件则的最小值为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高三上·武邑期中) 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且=1．（1）求角A；（2）若a=4 ，求b+c的取值范围．18. （10分） (2020高二上·安徽月考) 的内角 , ，的对边分别为 , , ，已知．（1）求；（2）若是中点，且，求的面积．19. （10分） (2020高一下·应城期中) 已知为数列的前项和，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项 .20. （5分） (2017高一上·海淀期中) 已知{an}是等比数列，满足a2=6，a3=﹣18，数列{bn}满足b1=2，且{2bn+an}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和．21. （5分） (2017高二下·济南期末) 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y= x3﹣ x+8（0＜x≤120）已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？22. （15分） (2015高三上·上海期中) 对于数列{an}，若an+2﹣an=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{an}叫做“弱等差数列”，已知数列{an}满足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：数列{an}是“弱等差数列”，并求出数列{an}的通项公式；（2）当t=1，s=3时，若数列{an}是等差数列，求出a、b的值，并求出{an}的前n项和Sn；（3）若s＞t，且数列{an}是单调递增数列，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。
2017-2018学年四川省雅安中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）双曲线的焦点坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）2．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（1，m）到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为（）A．x=4 B．x=2 C．x=﹣1 D．x=﹣23．（5分）执行图所示程序后输出的结果是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（5分）根据此程序框图输出S的值为，则判断框内应填入的是（）A．i≤8？B．i≤6？C．i≥8？D．i≥6？5．（5分）椭圆3x2+ky2=1的一个焦点的坐标为（0，1），则其离心率为（）A．2 B．C．D．6．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切，则p的值为（）A．B．1 C．2 D．47．（5分）不论k为何值，直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，7） C．[1，7） D．（1，7]8．（5分）直线l1：kx﹣y﹣3=0和l2：x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣或﹣1 D．或19．（5分）若关于x的方程=x+m有两个不同实根，则实数m的取值范围是（）A．（2，2）B．[）C．（）D．（]10．（5分）椭圆=1上存在n个不同的点P1，P2，…，P n，椭圆的右焦点为F．数列{|P n F|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是（）A．16 B．15 C．14 D．1311．（5分）直线l经过点P（2，3），且与两坐标轴的正半轴交于A，B两点，则△OAB（O为坐标原点）面积的最小值为（）A．B．25 C．12 D．2412．（5分）如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）斜率为1的直线l被圆x2+y2=4x截得的弦长为4，则l的方程为．14．（5分）执行如图所示的框图，输出值x=．15．（5分）已知{（x，y）|（m+3）x+y=3m﹣4}∩{（x，y）|7x+（5﹣m）y﹣8=0}=∅，则直线（m+3）x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形面积是．16．（5分）已知椭圆C：=1，设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆C交于不同两点A、B，且|AB|=3．若点P（x0，2）满足||=||，则x0=．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）直线l经过点A（﹣2，3）且与直线l0：x+2y﹣3=0平行，求直线l的方程；（2）已知直线m的方程为（a+1）x+ay﹣3a=0（a∈R），求坐标原点O到m的距离的最大值．18．（12分）F1、F2分别为等轴双曲线C的左、右焦点，且f2到双曲线C的一条渐近线的距离为1，（1）求双曲线C的标准方程；（2）P是双曲线C上一点，若•=0，求△PF1F2的面积．19．（12分）已知圆C圆心在直线3x﹣y=0上，且经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）（1）求圆C的标准方程；（2）若点P（x，y）在圆C上，求的取值范围．20．（12分）已知动点P（x，y）到点F（1，0）的距离比到直线x=﹣3的距离小2，（1）求动点P（x，y）的轨迹方程；（2）若直线l过点M（m，0）（m＞0）且与P的轨迹交于A，B两点，则是否存在常数m使得=5恒成立？若存在，求出常数m，不存在，说明理由．21．（12分）已知椭圆C与曲线x2﹣=1有相同的焦点，且过直线x+y﹣6=0上一点M（1）当椭圆C长轴最短时，求其标准方程；（2）过点P（1，2）的直线与（1）中椭圆C交于A、B两点，若P恰好是AB 的中点，求直线AB的方程．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的任一点到焦点的距离最大值为3，离心率为，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若P，Q为曲线C上两点，O为坐标原点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2且k1k2=﹣，求直线PQ被圆O：x2+y2=3截得弦长的最大值及此时直线PQ的方程．2017-2018学年四川省雅安中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）双曲线的焦点坐标为（）A．（，0）B．（0，）C．（，0）D．（0，）【解答】解：∵双曲线的方程为，∴a2=4，b2=1，可得c==由此可得双曲线的焦点坐标为（±，0）故选：C．2．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点M（1，m）到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为（）A．x=4 B．x=2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【解答】解：∵抛物线方程为y2=2px，过M（1，m），则p＞0，∴抛物线焦点为F（，0），准线方程为x=﹣，又∵点M（1，m）到其焦点的距离为3，∴p＞0，根据抛物线的定义，得1+=3，∴p=4，∴准线方程为x=﹣2．故选：D．3．（5分）执行图所示程序后输出的结果是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：模拟程序的运行，可得n=5，s=0满足条件s＜15，执行循环体，s=5，n=4满足条件s＜15，执行循环体，s=9，n=3满足条件s＜15，执行循环体，s=12，n=2满足条件s＜15，执行循环体，s=14，n=1满足条件s＜15，执行循环体，s=15，n=0此时，不满足条件s＜15，退出循环，输出s的值为0．故选：B．4．（5分）根据此程序框图输出S的值为，则判断框内应填入的是（）A．i≤8？B．i≤6？C．i≥8？D．i≥6？【解答】解：模拟程序的运行，可得i=2，S=0满足条件，执行循环体，S=，i=4满足条件，执行循环体，S=+，i=6满足条件，执行循环体，S=++=，i=8由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项，可得判断框内应填入的是：i≤6．故选：B．5．（5分）椭圆3x2+ky2=1的一个焦点的坐标为（0，1），则其离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：由题意，b2=，a2=∴c2=﹣=1，∴k=∴e2=k=∴e=故选：D．6．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切，则p的值为（）A．B．1 C．2 D．4【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，所以故选：C．7．（5分）不论k为何值，直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，7） C．[1，7） D．（1，7]【解答】解：把直线y=kx+1代入椭圆+=1化为（m+7k2）x2+14kx+7﹣7m=0（m≠7，m＞0）．∵直线y=kx+1与椭圆+=1有公共点，∴m+7k2≠0，△=（14k）2﹣4（m+7k2）（7﹣7m）≥0恒成立．化为1﹣m≤7k2．上式对于任意实数k都成立，∴1﹣m≤0，解得m≥1．焦点在x轴上的椭圆+=1，m＜7．∴实数m的范围是[1，7）．故选：C．8．（5分）直线l1：kx﹣y﹣3=0和l2：x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣或﹣1 D．或1【解答】解：∵直线l1：kx﹣y﹣3=0和l2：x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直∴k﹣（2k+3）=0∴k=﹣3故选：A．9．（5分）若关于x的方程=x+m有两个不同实根，则实数m的取值范围是（）A．（2，2）B．[）C．（）D．（]【解答】解：分别作出函数y=，y=x+m的图象．可知：直线y=x+m经过点A（﹣2，0），B（0，2）时，与半圆y=相交于两点，m=2．当直线与半圆相切时，可得=2，m＞0，解得m=2．因此当时，直线与半圆有且只有两个交点．即关于x的方程=x+m有两个不同实根．故选：B．10．（5分）椭圆=1上存在n个不同的点P1，P2，…，P n，椭圆的右焦点为F．数列{|P n F|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是（）A．16 B．15 C．14 D．13【解答】解：∵（|P n F|）min≥|a﹣c|=，（|P n F|）max≤a+c=3，||P n F|=|P1F|+（n﹣1）d∵数列{|P n F|}是公差d大于的等差数列，∴d=＞，解得n＜10+1，则n的最大值为15故选：B．11．（5分）直线l经过点P（2，3），且与两坐标轴的正半轴交于A，B两点，则△OAB（O为坐标原点）面积的最小值为（）A．B．25 C．12 D．24【解答】解：∵过A、B两点的直线方程l为+=1（a＞0，b＞0）；且点P在直线AB上，∴+=1；△AOB的面积为S=ab，∵+=1，∴2≤+=1，∴ab≥24，当且仅当=，即a=4、b=6时取“=”；∴a=4，b=6时，△AOB的面积取得最小值S=12，故选：C．12．（5分）如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称，设c为双曲线的半焦距（c=2），依题意，记，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得，．设双曲线的方程为，则离心率，由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得，①．②由①式得，③将③式代入②式，整理得，故由题设得，，解得，所以，双曲线的离心率的取值范围为[]．故选：A．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）斜率为1的直线l被圆x2+y2=4x截得的弦长为4，则l的方程为y=x ﹣2．【解答】解：由题意设直线方程是y=x+b，则由，得：2x2+（2b﹣4）x+b2=0，故x1+x2=2﹣b，x1x2=，故弦长为•=4，即•=4，故（b+2）2=0，解得：b=﹣2，故直线方程是：y=x﹣2，故答案为：y=x﹣2．14．（5分）执行如图所示的框图，输出值x=12．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；x=1是奇数，则x+1=2是偶数，x+2=4，4+1=5是奇数，则5+1=6，6+2=8，8+1=9是奇数，9+1=10，10+2=12＞8；输出x=12．故答案为：12．15．（5分）已知{（x，y）|（m+3）x+y=3m﹣4}∩{（x，y）|7x+（5﹣m）y﹣8=0}=∅，则直线（m+3）x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形面积是50．【解答】解：由题意得：直线（m+3）x+y=3m﹣4与直线7x+（5﹣m）y﹣8=0平行，∴斜率相等，∴﹣（m+3）=﹣，∴m=4，或m=﹣2，由于m=4时两直线重合，故m=﹣2，∴直线（m+3）x+y=3m﹣4即x+y=﹣10，它们与坐标轴围成的三角形面积是：50．故答案为50．16．（5分）已知椭圆C：=1，设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆C交于不同两点A、B，且|AB|=3．若点P（x 0，2）满足||=||，则x0=﹣1或﹣3；．【解答】解：设A（（x1，y1），B（x2，y2）由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．，|AB|=，解得m=±2，当m=2时，AB的中点M（﹣）则有，得x0=﹣3，同理可得当m=﹣2时，得x0=﹣1故答案为：﹣1或﹣3；三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）直线l经过点A（﹣2，3）且与直线l0：x+2y﹣3=0平行，求直线l的方程；（2）已知直线m的方程为（a+1）x+ay﹣3a=0（a∈R），求坐标原点O到m的距离的最大值．【解答】解：（1）设与直线l0：x+2y﹣3=0平行的直线l的方程为：x+2y+m=0，把点A（﹣2，3）代入可得：﹣2+6+m=0，解得m=﹣4．可得直线l的方程为：x+2y﹣4=0．（2）直线m的方程为（a+1）x+ay﹣3a=0（a∈R），化为：a（x+y﹣3）+x=0，令，可得．可得直线m恒过定点B（0，3），故原点O到直线m的距离d≤|OB|=3，∴O到直线m的距离的最大值为3．18．（12分）F1、F2分别为等轴双曲线C的左、右焦点，且f2到双曲线C的一条渐近线的距离为1，（1）求双曲线C的标准方程；（2）P是双曲线C上一点，若•=0，求△PF1F2的面积．【解答】解：（1）由题意可设双曲线的方程为x2﹣y2=a2，F2（a，0）到一条渐近线：y=x的距离为=1，即a=1，则双曲线C的标准方程为x2﹣y2=1；（2）P是双曲线C上一点，若•=0，可得PF1⊥PF2，设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义可得|m﹣n|=2a=2，①又m2+n2=8a2=8，②①2﹣②可得mn=2，则△PF1F2的面积为mn=1．19．（12分）已知圆C圆心在直线3x﹣y=0上，且经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）（1）求圆C的标准方程；（2）若点P（x，y）在圆C上，求的取值范围．【解答】解：（1）∵圆C圆心在直线3x﹣y=0上，且经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0），设圆心C（a，b），∴，解得a=﹣1，b=﹣3．∴r==3，∴圆C的标准方程为：（x+1）2+（y+3）2=9．…（6分）．（2）∵点P（x，y）在圆C上，A（2，2），∴k AP=，当AP与切线AD重合时，取最小值，当AP与切线AB重合时，k AP=取最大值，设过A（2，2）的圆C的切线为y﹣2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2=0，圆心C（﹣1，﹣3）到切线的距离d==3，解得k=，∴k AD=，切线AB⊥x轴，∴的取值范围：[，+∞）．…（12分）．20．（12分）已知动点P（x，y）到点F（1，0）的距离比到直线x=﹣3的距离小2，（1）求动点P（x，y）的轨迹方程；（2）若直线l过点M（m，0）（m＞0）且与P的轨迹交于A，B两点，则是否存在常数m使得=5恒成立？若存在，求出常数m，不存在，说明理由．【解答】解：（1）根据题意，点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=﹣3的距离小1，即点M到点F（1，0）的距离与其到直线x=﹣1的距离相等，则点M的轨迹为抛物线，且其焦点为F（1，0），准线为x=﹣1，则其轨迹方程为y2=4x；（2）设直线l方程为：x=ky+m，代入P（x，y）的轨迹方程可得：y2﹣4my﹣4=0，其中△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1•y2=﹣4m，x1•x2=m2，由=5知x1x2+y1y2=m2﹣4m=5，∴m=5（舍去负值），故存在常数m=5使得=5恒成立．21．（12分）已知椭圆C与曲线x2﹣=1有相同的焦点，且过直线x+y﹣6=0上一点M（1）当椭圆C长轴最短时，求其标准方程；（2）过点P（1，2）的直线与（1）中椭圆C交于A、B两点，若P恰好是AB 的中点，求直线AB的方程．【解答】解：（1）曲线x2﹣=1的焦点为（﹣2，0），（2，0），设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），求得其焦点为：F1（﹣2，0），F2（2，0），设F2（2，0）关于x+y﹣6=0的对称点F2'（m，n），由，解得m=6，n=4，即有F2'（6，4），则2a=|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MF2'|≥|F1F2'|==4，可得椭圆C长轴最短时a=2，b===4，则椭圆C的标准方程为+=1；（2）由P（1，2），+＜1，可得P在椭圆内，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得+=1，+=1，相减可得+=0，由题意可得x1+x2=2，y1+y2=4，即有k AB==﹣=﹣=﹣，则直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即为2x+5y﹣12=0．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的任一点到焦点的距离最大值为3，离心率为，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若P，Q为曲线C上两点，O为坐标原点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2且k1k2=﹣，求直线PQ被圆O：x2+y2=3截得弦长的最大值及此时直线PQ的方程．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）上的任一点到焦点的距离最大值为3，离心率为，∴，解得a=2，c=1，b=，∴椭圆C的方程为：．…（2分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ与圆O：x2+y2=3的交点为M，N．①当直线PQ⊥x轴时，Q（x1，﹣y1），由，得或，此时|MN|=2=2．…（4分）②当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=kx+m，联立，消y得：（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=48（4k2﹣m2+3），，，…（6分）∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km•+m2=，由k1k2=，得==﹣，整理，得：，此时．圆O：x2+y2=3的圆心到直线PQ的距离为d=，…（8分）∴|MN|=2，∴|MN|2=4（3﹣）=4（3﹣）=4[3﹣]=4+，所以当k=0，m=时，|MN|最大，最大值为，综合①②知，直线PQ被圆O：x2+y2=3截得弦长的最大值为，此时，直线PQ的方程为y=．…（12分）。
2018-2018学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．直线x﹣2y﹣3=0在y轴上的截距是（）A．3 B．C．﹣ D．﹣32．在面积为S的△ABC的边AB含任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）A．B．C．D．3．过点（2，1）的直线中，被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣7=0 C．x+3y﹣5=0 D．x﹣3y+1=04．将960人随机编号为1，2，…，960，用系统抽样法从中抽取32人作调查，若分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，则应在编号落入的人中抽取的人数为（）A．15 B．10 C．9 D．75．与双曲线2x2﹣y2=3有相同渐近线，且过点P（1，2）的双曲线的方程为（）A．2x2﹣=1 B．﹣x2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=16．已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．﹣1或﹣7 D．7．若点P为椭圆C： +=1上的动点，G点满足=2（O是坐标原点），则G的轨迹方程为（）A． +=1 B． +y2=1C． +3y2=1 D．x2+=18．在平面内，一只蚂蚁从点A（﹣2，﹣3）出发，爬到y轴后又爬到圆（x+3）2+（y﹣2）2=2上，则它爬到的最短路程是（）A．5 B．4 C． D．﹣9．设点P（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．4 D．10．已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]∪C．（﹣∞，﹣2]∪11．过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB=120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为（）A．2 B．3 C．D．12．已知椭圆C： +y2=1的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点，则线段GH的长度的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值是．14．若直线l经过坐标原点，且定点A（1，0），B（0，1）到l的距离相等，则直线l的方程为．15．若某市6所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的方差是．16．椭圆+=1的左焦点为F1，对定点M（6，4），若P为椭圆上一点，则|PF1|+|PM|的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）我市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是，样本数据分组为（Ⅰ）求直方图中x的值（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若全市共有企业1300个，试估计全市有多少企业可以申请政策优惠．18．（12分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线x﹣y+4=0的交点P，且垂直于直线x ﹣2y﹣1=0（Ⅰ）求直线l的方程（Ⅱ）直线l与曲线y2+2x=0交于A，B两点，求|AB|19．（12分）调查某高中1000名学生的肥胖情况，得如表：已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15（Ⅰ）求x的值（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取100名，问应在肥胖学生中抽多少名？（Ⅲ）已知y≥194，z≥193，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．20．（12分）已知圆C关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x分成两段弧长之比为1：2（Ⅰ）求圆C的方程（Ⅱ）若圆C的圆心在x轴下方，过点P（﹣1，2）作直线l与圆C相切，求直线l的方程．21．（12分）平面内动点P（x，y）与两定点A（﹣2，0），b（2，0）连线的斜率之积等于﹣，若点P的轨迹为曲线E，过点Q（﹣1，0）作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C，D（1）求曲线E的方程；（2）求证：AC⊥AD．22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．2018-2018学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．直线x﹣2y﹣3=0在y轴上的截距是（）A．3 B．C．﹣D．﹣3【考点】直线的截距式方程．【分析】通过x=0求出y的值，即可得到结果．【解答】解：直线x﹣2y﹣3=0，当x=0时，y=﹣，直线2x+y+3=0在y轴上的截距为：﹣3．故选：C．【点评】本题考查直线方程的应用，直线的截距的求法，基础题．2．在面积为S的△ABC的边AB含任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于等于的概率，可借助于画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．【解答】解：记事件A={△PBC的面积大于等于的概率}，基本事件空间是线段AB的长度，（如图）因为S△PBC≥的，则有；化简记得到：，因为PE平行AD则由三角形的相似性所以，事件A的几何度量为线段AP的长度，因为AP=AB，所以P（A）==．故△PBC的面积大于等于的概率的概率为．故选C．【点评】解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，并且熟练记忆有关的概率公式．3．过点（2，1）的直线中，被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣7=0 C．x+3y﹣5=0 D．x﹣3y+1=0【考点】直线与圆相交的性质．【分析】确定圆心坐标，可得过（2，1）的直径的斜率，即可求出被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程．【解答】解：xx2+y2﹣2x+4y=0的圆心坐标为（1，﹣2）故过（2，1）的直径的斜率为k=3，因此被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程是y﹣1=3（x﹣2），即为3x﹣y﹣5=0．故选：A．【点评】本题考查直线与圆相交的性质，考查学生的计算能力，比较基础．4．将960人随机编号为1，2，…，960，用系统抽样法从中抽取32人作调查，若分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，则应在编号落入的人中抽取的人数为（）A．15 B．10 C．9 D．7【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义先确定每组人数为960÷32=30人，即抽到号码的公差d=30，然后根据等差数列的公式即可得到结论．【解答】解：根据系统抽样的定义先确定每组人数为960÷32=30人，即抽到号码的公差d=30， ∵第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9， ∴等差数列的首项为9，则抽到号码数为a n =9+30（n ﹣1）=30n ﹣29， 由450≤30n ﹣29≤750， 得16≤n ≤25，即编号落入区间的人数为10人． 故选：B ．【点评】本题主要考查系统抽样的定义及应用，转化为等差数列是解决本题的关键．5．与双曲线2x 2﹣y 2=3有相同渐近线，且过点P （1，2）的双曲线的方程为（ ）A ．2x 2﹣=1 B ．﹣x 2=1 C ．x 2﹣=1 D ．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意，设所求的双曲线的方程2x 2﹣y 2=3λ，将点P （1，2）的坐标代入，求得λ即可．【解答】解：依题意，设所求的双曲线的方程2x 2﹣y 2=3λ，将点P （1，2）的坐标代入可得2﹣4=3λ．解得λ=﹣，∴2x 2﹣y 2=﹣2，即﹣x 2=1，故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查待定系数法的应用，属于中档题．6．已知直线l 1：（3+m ）x+4y=5﹣3m ，l 2：2x+（5+m ）y=8平行，则实数m 的值为（ ）A ．﹣7B ．﹣1C ．﹣1或﹣7D ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】直接利用两条直线平行的充要条件，求解即可．【解答】解：因为两条直线l 1：（3+m ）x+4y=5﹣3m ，l 2：2x+（5+m ）y=8，l 1与l 2平行．所以，解得m=﹣7．故选：A．【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．7．若点P为椭圆C： +=1上的动点，G点满足=2（O是坐标原点），则G的轨迹方程为（）A． +=1 B． +y2=1C． +3y2=1 D．x2+=1【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），G（x，y），则=（x﹣x0，y﹣y0），=（﹣x，﹣y），由=2，即可求得，代入椭圆C： +=1，即可求得G的轨迹方程．【解答】解：设P（x0，y0），G（x，y），由=（x﹣x0，y﹣y0），=（﹣x，﹣y），由=2，即，整理得：，由P在椭圆C： +=1，则，故选C．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查向量与圆锥曲线的应用，考查轨迹方程的求法，属于基础题．8．在平面内，一只蚂蚁从点A（﹣2，﹣3）出发，爬到y轴后又爬到圆（x+3）2+（y﹣2）2=2上，则它爬到的最短路程是（）A．5B．4C． D．﹣【考点】点与圆的位置关系．【分析】由已知求出圆心坐标和半径，它爬到的最短路程是过原点到圆心的连线的距离减去半径时，由两点间的距离公式计算即可得答案．【解答】解：由圆（x+3）2+（y﹣2）2=2，得圆心坐标（﹣3，2），半径为，它爬到的最短路程是过原点到圆心的连线的距离减去半径时，最短距离为|AC|﹣r==，故选：D．【点评】本题考查点与圆的位置关系，考查两点间的距离公式的应用，是基础题．9．设点P（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．4 D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆方程转化成标准方程，利用椭圆的参数方程，根据正弦函数的性质即可求得x+y的最大值．【解答】解：由椭圆4x2+y2=4，得，可设椭圆参数方程为，∴x+y=2sinθ+cosθ=sin（θ+φ），（tanφ=）．由正弦函数的性质可知：x+y的最大值为，故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了椭圆参数方程的应用，考查三角函数的最值的求法，是中档题．10．已知点A（﹣1，1），B（2，﹣2），若直线l：x+my+m=0与线段AB（含端点）相交，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]∪C．（﹣∞，﹣2]∪【考点】直线的斜率．【分析】利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出．【解答】解：直线l：x+my+m=0经过定点P（0，﹣1），k PA ==﹣2，k PB ==﹣．∵直线l ：x+my+m=0与线段AB （含端点）相交，∴k ≤﹣2，或k ≥﹣．故选：C ．【点评】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．过双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点作圆x 2+y 2=a 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB=120°（O 是坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意可先求得∠AOF 利用OF 和OA ，在直角三角形中求得的值，进而可求得双曲线的离心率【解答】解：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB=120°， ∴∠AOF=60°，又OA=a ， OF=c ，∴==cos60°=，∴e==2，故选：A【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的过程中采用了数形结合的思想，使问题的解决更直观．12．已知椭圆C： +y2=1的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点，则线段GH的长度的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知设直线AP的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程由韦达定理定理求得P点坐标，即可求得直线PB的斜率为﹣．将直线PB的方程与y=3联立，即可H点坐标，求得|GH|，利用基本不等式的性质即可求得线段GH的长度的最小值．【解答】解：椭圆C： +y2=1的左顶点为A（﹣2，0），右顶点为B（2，0），直线AP的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k（x+2），设P（x1，y1），从而 G（﹣2，3），由，整理得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0．由韦达定理可知：（﹣2）x1=．则x1=，从而y1=．即P（，），又B（2，0），则直线PB的斜率为﹣．由，得，∴H（﹣12k+2，3）．故|GH|=|﹣2+12k﹣2|=|+12k﹣4|．又k＞0， +12k≥2=12．当且仅当=12k，即k=时等号成立．∴当k=时，线段GH的长度取最小值8．故选：D．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值是15 ．【考点】循环结构．【分析】由图知，每次进入循环体后，x的值被施加的运算是乘以2加上1，故由此运算规律进行计算，经过4次运算后输出的结果．【解答】解：由图知运算规则是对x=2x+1，故第一次进入循环体后x=2×1+1=3，n=2第二次进入循环体后x=2×3+1=7，n=3第三次进入循环体后x=2×7+1=15，n=4，不满足循环条件，退出循环故答案为：15．【点评】本题主要考查了循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．14．若直线l经过坐标原点，且定点A（1，0），B（0，1）到l的距离相等，则直线l的方程为y=±x ．【考点】点到直线的距离公式．【分析】直线斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：直线斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx，∵定点A（1，0），B（0，1）到l的距离相等，∴=，解得k=±1．∴直线l的方程为：y=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．若某市6所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的方差是．【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】根据题意，由茎叶图分析出所给的数据，根据数据先计算出数据的平均数，进而由方差公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，由茎叶图可得所给的数据为：87、91、93、92、90、93，其平均数==91，则其方差s2==，故答案为：．【点评】本题考查茎叶图的应用，涉及数据方差的计算，关键是由茎叶图读出数据．16．椭圆+=1的左焦点为F1，对定点M（6，4），若P为椭圆上一点，则|PF1|+|PM|的最大值为15 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆+=1可得：a2=25，b2=16，c=3．由|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2a+|MF2|，当且仅当三点M、F2、P共线时取等号．【解答】解：由椭圆+=1焦点在x轴上，可得：a2=25，b2=16．∴a=5，b=4，c=3．∴F2（3，0），|MF2|=5．∴|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2×5+|MF2|=15，当且仅当三点M、F2、P共线时取等号．故答案为：15．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、最大值问题的转化为三角形的三边关系，属于中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2018秋•雅安期末）我市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是，样本数据分组为（Ⅰ）求直方图中x的值（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若全市共有企业1300个，试估计全市有多少企业可以申请政策优惠．【考点】频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率和为1，列出方程求出x的值；（Ⅱ）计算缴税收不少于60万元的企业对应的频率与频数即可．【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，得；20×（x+0.185+0.0185+0.018+0.018）=1，解得x=0.0125；（Ⅱ）可申请政策优惠企业的频率为20×0.018=0.12，且1300×0.12=156，故全市1300个企业中，估计有156个企业可申请政策优惠．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．18．（12分）（2018秋•雅安期末）已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线x﹣y+4=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0（Ⅰ）求直线l的方程（Ⅱ）直线l与曲线y2+2x=0交于A，B两点，求|AB|【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）求出P的坐标，利用直线l垂直于直线x﹣2y﹣1=0求直线l的方程（Ⅱ）直线l与曲线y2+2x=0交于A，B两点，求出A，B的坐标，即可求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线x﹣y+4=0的交点P，可得P（﹣2，2），∵直线l垂直于直线x﹣2y﹣1=0，∴k l=﹣2，∴直线l的方程为2x+y+2=0；（Ⅱ）直线l与曲线y2+2x=0联立，可得y2﹣y﹣2=0，∴y=﹣1或2，∴A（﹣，﹣1），B（﹣2，2）∴|AB|==．【点评】本题考查直线方程，考查直线与直线，直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（12分）（2018秋•雅安期末）调查某高中1000名学生的肥胖情况，得如表：已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15（Ⅰ）求x的值（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取100名，问应在肥胖学生中抽多少名？（Ⅲ）已知y≥194，z≥193，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；简单随机抽样．【分析】（Ⅰ）由题意可知，由此能求出x的值．（Ⅱ）由题意知肥胖学生人数为y+z=400人，设应在肥胖学生中抽取m人，按比例列方程，能求出应在肥胖学生中抽多少名．（Ⅲ）由题意知y+z=400，y≥194，z≥193，利用列举法能求出肥胖学生中男生不少于女生的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，解得x=150（人）．（Ⅱ）由题意知肥胖学生人数为y+z=400（人），设应在肥胖学生中抽取m人，则，解得m=40（人）．∴应在肥胖学生中抽40名．（Ⅲ）由题意知y+z=400，y≥194，z≥193，满足条件的（y，z）有：（194，218），（195，218），（196，218），（197，218），（198，218），（199，201），（200，200），（201，199），（218，198），（218，197），（218，196），（218，195），（218，194），（218，193），共有14组，设事件A表示“肥胖学生中男生不少于女生”，即y≤z，y≤z包含听基本事件有：（194，218），（195，218），（196，218），（197，218），（198，218），（199，201），（200，200），共有7组，∴肥胖学生中男生不少于女生的概率P（A）=．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．20．（12分）（2018秋•雅安期末）已知圆C关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，且被直线y=x分成两段弧长之比为1：2（Ⅰ）求圆C的方程（Ⅱ）若圆C的圆心在x轴下方，过点P（﹣1，2）作直线l与圆C相切，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据题意设出圆的标准方程，圆c关于y轴对称，经过抛物线y2=4x的焦点，被直线y=x分成两段弧长之比为1：2，写出a，r的方程组，解方程组得到圆心和半径；（Ⅱ）圆C的方程为x2+（y+1）2=2．设直线l方程为y﹣2=k（x+1），利用过点P（﹣1，2）作直线l与圆C相切，建立方程，即可求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的方程为x2+（y﹣a）2=r2∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴1+a2=r2 ①又直线y=x分圆的两段弧长之比为1：2，可知圆心到直线y=x的距离等于半径的；∴②解①、②得a=±1，r2=2∴所求圆的方程为x2+（y±1）2=2；（Ⅱ）圆C的方程为x2+（y+1）2=2．设直线l方程为y﹣2=k（x+1），即kx﹣y+k+2=0，则=，∴k=﹣1或7，∴直线l的方程为x+y﹣1=0或7x﹣y+9=0．【点评】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2018秋•雅安期末）平面内动点P（x，y）与两定点A（﹣2，0），b（2，0）连线的斜率之积等于﹣，若点P的轨迹为曲线E，过点Q（﹣1，0）作斜率不为零的直线CD交曲线E于点C，D（1）求曲线E的方程；（2）求证：AC⊥AD．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得：=﹣，化简得曲线E的方程；（2）设CD方程与椭圆联立，利用数量积为0，证明AC⊥AD．【解答】（1）解：设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得：=﹣，化简得+=1，故曲线E的方程为： +=1（x≠±2）．（2）证明：CD斜率不为0，所以可设CD方程为my=x+1，与椭圆联立得：（m2+3）y2﹣2my﹣3=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），所以y1+y2=，y1y2=﹣．（x1+2，y1）•（x2+2，y2）=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1=（m2+1）（﹣）+m•+1=0，所以AC⊥AD．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（12分）（2018•临沂二模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（I）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由条件利用椭圆的性质求得b和a的值，可得椭圆C的方程．（Ⅱ）（i）设AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简，由△＞0，求得t的范围，再利用利用韦达定理可得 x1+x2以及x1+x2的值．再求得P、Q的坐标，根据四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|，计算求得结果．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简求得x2+2=．再把直线PB的方程椭圆C的方程化简求得x2+2 的值，可得 x1+x2以及x1﹣x2的值，从而求得AB的斜率K的值．【解答】解：设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（0，），∴b=．再根据离心率===，求得a=2，∴椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）（i）设A（ x1，y1），B（ x2，y2），AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简可得 x2+2tx+2t2﹣4=0，由△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，求得﹣2＜t＜2．利用韦达定理可得 x1+x2=﹣2t，x1 •x2=2t2﹣4．在+=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，﹣1），∴四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|===，故当t=0时，四边形APBQ的面积S取得最大值为4．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，设PA的斜率为k，则 PB的斜率为﹣k，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简可得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣8=0，∴x1+2=．同理可得直线PB的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2），x2+2=，∴x1+x2=，x1﹣x2=，∴AB的斜率K=====【点评】本题主要考查求圆锥曲线的标准方程，圆锥曲线的定义、性质的应用，直线和圆锥曲线相交的性质，直线的斜率公式、韦达定理的应用，属于难题．。
2017—2018学年度第一学期期末考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟 满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有一个．．．．正确选项,请将正确选项填到答题卡处1。
设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<， {|13}B x x =<<，则A B = A ．{|13}x x -<< B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|23}x x <<2.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线经过点(－1,1),则该抛物线的焦点坐标为A ．(－1，0)B ．（1,0）C ．（0，－1)D ．（0,1）3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列｛a n }的公差为d （d ≠0）,且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为A ．12B ．8C ．6D ．45．执行如图所示的程序框图,若输入的n ＝10，则输出的S 等于A .错误!B .错误!C 。
错误!D .错误!6．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为［20,40),[40,60)，［60,80），［80，100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A ．45B ．50C ．55D ．607。
若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为A .318B 。
315C .3824+D 。
31624+8．已知a ＋b ＋c ＝0,｜a |＝2，|b |＝3，｜c ｜＝4，则向量a 与b 之间的夹角<a ,b 〉为A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对9．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆,则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是A .错误!B 。
四川省雅安市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·台州期末) 直线的倾斜角为（）A .B .C .D .2. （2分）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD 上任意两点,且EF的长为定值,则下面四个值中不为定值的是A . 点P到平面QEF的距离B . 直线PQ与平面PEF所成的角C . 三棱锥P-QEF的体积D . 二面角P-EF-Q的大小3. （2分）如图，是的斜二测直观图，斜边，则的面积是（）A .B . 1C .D . 24. （2分）(2017·北京) 设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是• ＜0”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）已知是三个不同的平面，命题“，且是真命题，如果把中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个6. （2分）(2018·孝义模拟) 在四面体中，，，底面，为的重心，且直线与平面所成的角是，若该四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·正定期末) 若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣3y+4=0之间的距离为（）A .B .C . 1D .9. （2分）在正方体中，异面直线与所成的角为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·秀山期中) 在空间中，下列说法正确的是（）A . 垂直于同一平面的两条直线平行B . 垂直于同一直线的两条直线平行C . 没有公共点的两条直线平行D . 平行于同一平面的两条直线平行11. （2分）过点（2,1）的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的弦最长的直线的方程是（）A . 3x－y－5＝0B . 3x＋y－7＝0C . 3x－y－1＝0D . 3x＋y－5＝012. （2分） (2016高一下·厦门期中) 以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为（）A . （x﹣2）2+（y+1）2=3B . （x+2）2+（y﹣1）2=3C . （x﹣2）2+（y+1）2=9D . （x+2）2+（y﹣1）2=3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·赣州期末) △ABC中，已知A（﹣1，2），B（3，4），C（0，3），则AB边上的高CH所在直线的方程为________．14. （1分） (2017高二上·钦州港月考) 一个四棱锥的三视图如右图所示，主视图为等腰直角三角形，俯视图中的四边形为正方形，则该四棱锥外接球的体积为________．15. （1分）(2017·大理模拟) 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=2kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是________．16. （1分） (2016高二上·平原期中) 已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD=2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥C﹣ABD的体积为________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分）设地球的半径为R，在北纬45°纬线圈上有两点A、B，A在西经40°经线上，B在东经50°经线上，求A，B两点间纬线圈的劣弧长及A，B两点间球面距离．18. （10分） (2017高一下·保定期末) 已知直线l经过点M（﹣3，﹣3），且圆x2+y2+4y﹣21=0的圆心到l 的距离为．（1）求直线l被该圆所截得的弦长；（2）求直线l的方程．19. （5分）(2017·焦作模拟) 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE= ，A1F= ，CE⊥EF．（Ⅰ）证明：平面ABB1A1⊥平面ABC；（Ⅱ）若CA⊥CB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值．20. （10分）设Q、G分别为△ABC的外心和重心，已知A（﹣1，0），B（1，0），QG∥AB．（1）求点C的轨迹E．（2）轨迹E与y轴两个交点分别为A1，A2（A1位于A2下方）．动点M、N均在轨迹E上，且满足A1M⊥A1N，试问直线A1N和A2M交点P是否恒在某条定直线l上？若是，试求出l的方程；若不是，请说明理由．21. （5分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+cosθ）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l 的交点为Q，求线段PQ的长．22. （5分）(2017·宜宾模拟) 如甲图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE 折起到△D1AE位置，使平面D1AE⊥平面ABCE，得到乙图所示的四棱锥D1﹣ABCE．（Ⅰ）求证：BE⊥平面D1AE；（Ⅱ）求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分)17-1、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。
2017-2018学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）某单位有职工52人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是（）A．19B．20C．18D．212．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 3．（5分）点（1，1，1）关于z轴的对称点为（）A．（﹣1，﹣1，1）B．（1，﹣1，﹣1）C．（﹣1，1，﹣1）D．（﹣1，﹣1，﹣1）4．（5分）如图是某次比赛上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，若去掉一个最高分和最低分，则所剩数据的平均数为（）A．84B．85C．86D．875．（5分）小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A．1%B．2%C．3%D．5%6．（5分）阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于（）A．﹣3B．﹣10C．0D．﹣27．（5分）已知圆（x+2）2+y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN 的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线8．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣9．（5分）在半径为2的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）点A是抛物线C1：y2＝2px（p＞0），与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个交点，若点A到抛物线C1的焦点的距离为P，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．11．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2C．D．312．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88，若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的数字特征（众数、中位数、平均数、方差）对应相同的是．14．（5分）已知袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概为．15．（5分）不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0恒通过一个定点，这个定点的坐标是．16．（5分）已知A（1，2），B（﹣1，2），动点P 满足，若双曲线＝1（a ＞0，b＞0）的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知圆C与直线l：4x﹣3y+6＝0相切于点A（3，6），且经过点B（5，2），求圆C的方程．18．（12分）已知抛物线C：y2＝4x与直线y＝2x﹣4交于A，B两点．（1）求弦AB的长度；（2）若点P在抛物线C上，且△ABP的面积为12，求点P的坐标．19．（12分）已知集合Z＝{（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a，b，x，y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．21．（12分）已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，P为椭圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF1F2面积的最大值为1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知直x﹣y+m＝0与椭圆E交于不同的两点A，B，且线AB的中点不在圆内，求m的取值范围．22．（12分）已知动圆M过定点P（0，m）（m＞0），且与定直线l1：y＝﹣m相切，动圆圆心M的轨迹方程为C，直线l2过点P交曲线C于A，B两点．（1）若l2交x轴于点S，求+的取值范围；（2）若l2的倾斜角为30°，在l1上是否存在点E使△ABE为正三角形？若能，求点E 的坐标；若不能，说明理由．2017-2018学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，∴6+45＝x+32，x＝6+45﹣32＝19因此，另一学生编号为19．故选：A．2．【解答】解：双曲线的渐近线方程是，即．故选：C．3．【解答】解：点（1，1，1）关于z轴则竖坐标不变，横坐标和纵坐标相反，即对称点的坐标为（﹣1，﹣1，1）．故选：A．4．【解答】解：由已知的茎叶图可得七位评委为某参赛选手打出的分数为：79，84，84，86，84，87，93，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据的平均数＝＝85．故选：B．5．【解答】解：由图1所示，食品开支占总开支的30%，由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的＝，∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×＝3%．故选：C．6．【解答】解：由程序框图得，程序第一次运行k＝0+1＝1＜4，执行s＝2×1﹣1＝1；第二次运行k＝1+1＝2＜4，执行s＝2×1﹣2＝0；第三次运行k＝2+1＝3＜4，执行s＝2×0﹣3＝﹣3；第四次运行k＝3+1＝4，不满足条件k＜4，程序运行终止，输出s＝﹣3．故选：A．7．【解答】解：∵|P A|＝|PN|，∴|PM|+|PN|＝|PM|+|P A|＝|MA|＝6＞|MN|．故动点P的轨迹是椭圆．故选：B．8．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3＝k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3＝0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d＝＝1，化为24k2+50k+24＝0，∴k＝或﹣．故选：D．9．【解答】解：如图示：圆的半径为2，设圆心为O，AB为圆的一条直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为M，若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为1，设EF为与CD平行且到圆心O距离为1的弦，交直径AB于点N，所以当过AB上的点且垂直于AB的弦的长度超过CD时，该点在线段MN上移动，所以所求概率P＝，故选：C．10．【解答】解：取双曲线的其中一条渐近线：y＝x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+＝p；∴＝．∴双曲线C2的离心率e＝＝＝．故选：A．11．【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x＝﹣1的距离d2＝a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6＝0的距离d1＝则d1+d2＝a2+1＝当a＝时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选：B．12．【解答】解：设P（m，n），＝（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）＝m2﹣c2+n2，∴m2+n2＝2c2，n2＝2c2﹣m2①．把P（m，n）代入椭圆得b2m2+a2n2＝a2b2②，把①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：B样本数据是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的数字特征（众数、中位数、平均数、方差）对应相同的是方差．故答案为：方差．14．【解答】解：设5个球中白球有x个，则黑球有5﹣x个．则由题意可得1﹣＝，解得x＝3．故得到的都是白球得概率等于＝，故答案为．15．【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0即k（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）＝0，根据k的任意性可得，解得，∴不论k取什么实数时，直线（2k﹣1）x+（k+3）y﹣（k﹣11）＝0都经过一个定点（2，3）．故答案为：（2，3）．16．【解答】解：设P（x，y），由于点A（1，2）、B（﹣1，2），动点P满足，则（x﹣1，y﹣2）•（x+1）（y﹣2）＝0，即（x﹣1）（x+1）+（y﹣2）2＝0，即有x2+（y﹣2）2＝1，设双曲线﹣＝1的一条渐近线为y＝x，由于这条渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则d＝＞1，即有3a2＞b2，由于b2＝c2﹣a2，则c2＜4a2，即c＜2a，则e＝＜2，由于e＞1，则有1＜e＜2．故答案为：（1，2）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：设圆的圆心为C（a，b），半径为r，则圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2．∵直线l：4x﹣3y+6＝0相切于点A（3，6），∴点A（3，6）在圆上，且AC⊥l，可得（3﹣a）2+（6﹣b）2＝r2，①由直线l的斜率为，可得＝﹣1，②又∵点B（5，2）在圆上，可得（5﹣a）2+（2﹣b）2＝r2，③∴联立①②③，解得a＝5、b＝、r＝．因此所求圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣）2＝．18．【解答】解：（1）∵抛物线C：y2＝4x与直线y＝2x﹣4交于A，B两点．把y＝2x﹣4代入抛物线C：y2＝4x，得y2﹣2y﹣8＝0，解得y1＝﹣2，y2＝4，∴A（1，﹣2），B（4，4），∴弦AB的长度|AB|＝＝3．（2）设P（，y），点P到直线AB的距离d＝，∵△ABP的面积为12，∴S△ABP＝＝＝12，解得|y2﹣2y﹣8|＝16，解得y＝﹣4或y＝6．∴P（4，﹣4）或P（9，6）．19．【解答】解：（1）设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x＝0，1，2；y∈[﹣1，1]，即y＝﹣1，0，1．则基本事件有：（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个．其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，∴P（A）＝．故x，y∈Z，x+y≥0的概率为．（2）设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B，∵x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．基本事件如图四边形ABCD区域S＝4，事件B包括的区域如阴影部分S′＝S﹣＝∴P（B）＝＝．20．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5＝10，所以n＝10÷0.1＝100；第2组人数100×0.2＝20，所以a＝20×0.9＝18；第3组人数100×0.3＝30，所以x＝27÷30＝0.9；第4组人数100×0.25＝25，所以b＝25×0.36＝9；第5组人数100×0.15＝15，所以y＝3÷15＝0.2．（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9＝2：3：1，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c），其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为p＝．21．【解答】解：（Ⅰ）由，得，又a2＝b2+c2，且，联立解得：，c＝1．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）联立，消去y整理得：3x2+4mx+2m2﹣2＝0．则△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＝8（﹣m2+3）＞0，解得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，即AB的中点为（）．又AB的中点不在圆内，∴，解得：m≤﹣1或m≥1．综上可知，或1．22．【解答】解：（1）依题意，曲线C是以点P为焦点，直线l1为准线的抛物线，所以曲线C的方程为x2＝4my，设l2方程为y＝kx+m，代入x2＝4my由消去y得x2﹣4mkx﹣4m2＝0设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2＝4mk，x1x2＝﹣4m2，则+＝+＞2＝2＝2所以+的取值范围是（2，+∞）（2）解法一：由（1）知l2方程为y＝x+m代入x2＝4my，消去y得：x2﹣mx﹣4m2＝0，x1＝﹣m，x2＝2m，A（﹣m，），B（2m，3m），假设存在点E（x0，﹣m），使△ABE为正三角形，则|BE|＝|AB|且|AE|＝|AB|，∴|AB|＝y1+y2+2m＝m，即（﹣m﹣x0）2+（+m）2＝（m）2，（2m﹣x0）2+（3m+m）2＝（m）2，相减可得x0＝m，若E（m，﹣m），则AE|＝m≠AB（不符，舍去）因此，直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形．解法二：设AB的中点为G，则（m，m）由EG⊥AB，联立EG方程y﹣m＝﹣（x﹣m）与l1：y＝﹣m方程求得E（m，﹣m），由|EG|＝|AB|得m＝0，矛盾因此，直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形．。
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．74．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+17．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．238．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．311．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2acosA=ccosB +bcosC ． （1）cosA 的值；（2）若b 2+c 2=4，求△ABC 的面积．20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}【解答】解：由B中方程变形得：x（x﹣3）=0，解得：x=0或x=3，即B={0，3}，∵A={0，1，3}，∴A∩B={0，3}，故选：C．2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．7【解答】解：函数，其定义域为{x|3≤x≤4}，显然存在最大值是大于0的，则，当=0时，y取得最大值为1．故选：B．4．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，∴设双曲线方程为，a＞0，∵是双曲线的一条渐近线，∴=，解得a2=4，∴双曲线方程为．故选D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，=﹣2，不可能使l∥α；在B中，=1+0+5=6，不可能使l∥α；在C中，=﹣1，不可能使l∥α；在D中，=0﹣3+3=0，有可能使l∥α．故选：D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+1【解答】解：把A（，1）代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1．∴抛物线的焦点为F（0，）．∴抛物线的准线方程为y=﹣．∴A到准线的距离为1+=．∴AF=．故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．23【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=0，S=0，满足条件S≤a，S=2×0+3=3，k=0+1=1满足条件S≤a，S=2×3+3=9，k=1+1=2满足条件S≤a，S=2×9+3=21，k=2+1=3由题意，此时，应该不满足条件21≤a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20．故选：A．8．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），且函数y=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x；为得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位长度．故选：D．9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．【解答】解：若，，则cosα+sinα=2（cos2α﹣sin2α），即1=4（cosα﹣sinα），平方可得1=16（1﹣sin2α），∴sin2α=，故选：A．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得A（1，2），则k OA==2，即的最大值为2．故选：C．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+++=9π．故选B．12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=﹣2；故m=7；若g（f（x））=0，则f（x）==﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；由图1知，f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5无解；f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0；故n=3；故m+n=10；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是4．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，则=（a+b）=2+≥2+2=4，当且仅当a=b=时取等号．∴的最小值是4．故答案为：4．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为12．【解答】解：+=（﹣2，y﹣1，5），∵⊥（+），∴•（+）=﹣4﹣（y﹣1）+15=0，则y=12．故答案为：12．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是2a．【解答】解：设P（x0，y0），⇒化为b2x02=a2（b2﹣y02）直线B1P的方程为：y=x+b，可得M（，0）；直线B2P的方程为：y=x﹣b，可得N（，0）．则|OM|•|ON|==（定值）则|OM|+|ON|≥2=2a．故答案为：2a．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对于p：设f（x）=x2﹣2x+a．该二次函数图象开向上，对称轴为直线x=1，所以，所以0＜a＜1；对于q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，所以（2a﹣3）2﹣4＞0，即4a2﹣12a+5＞0，解得或．因为“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，所以p，q一真一假．①当p真q假时，有，所以；②当p假q真时，有，所以或a≤0．所以实数a的取值范围是．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．=a n知=•，【解答】解（1）证明：由a n+1∴{}是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知{}是首项为，公比为的等比数列，∴=（）n，∴a n=，∴S n=++…+，①则S n=++…+，②①﹣②得S n=+++…+﹣=1﹣，∴S n=2﹣．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）cosA的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC⇒2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，又∵0＜A＜π⇒sinA≠0，∴．…（6分）（2）由，由于顶点在单位圆上的△ABC 中，2R=2，利用正弦定理可得：．由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ⇒bc=b 2+c 2﹣a 2=4﹣3=1．…（10分） ∴．…（12分）20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100；第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18；第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9；第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9；第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c），其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为p=．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆E的方程是．（2）当k变化时，m2为定值．证明如下：由得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，（*）因为直线OP，直线OQ的斜率分别为k1，k2，且4k=k1+k2，所以，得2kx1x2=m（x1+x2），将（*）代入解得，经检验知成立．故当k变化时，m2为定值．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【解答】证明：（1）设BD的中点为O，分别连接AO，EO．又因为AB=AD，所以AO⊥BD．因为E为BC的中点，O为BD的中点，所以EO∥CD．又因为CD⊥BD，所以EO⊥BD．又因为OA∩OE=O，OA，OE⊂平面AOE，所以BD⊥平面AOE．又因为AE⊂平面AOE，所以BD⊥AE，即AE⊥BD．解：（2）由（1）求解知AO⊥BD，EO⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD．又因为EO⊂平面BCD，所以AO⊥EO．所以OE，OD，OA两两相互垂直．因为CD⊥BD，BC=4，CD=2，所以．因为O为BD的中点，AO⊥BD，AD=2，所以，．以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，0，1），，，，所以，，．设平面ABC的一个法向量为，则，．所以，取，解得．所以是平面ABC的一个法向量．同理可求平面ADC的一个法向量．设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则．因为0＜θ＜π，所以，所以二面角B﹣AC﹣D的正弦值为．。
雅安市2017—2018学年上期期末检测高中二年级数学(理科)试题参考答案13、方差 14、310 15、（2，3） 16、（1，2）三、解答题：17（本题满分10分）【解析】方法一 设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则圆心为C(a ，b)，由|CA|＝|CB|，CA ⊥l ，得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×43＝－1.………………5分解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254.……………….10分方法二 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A(3，6)、B(5，2)在圆上，得⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.18.（本题满分12分） 【解析】 (Ⅰ)设()11,A x y 、()22,B x y ,由224,4,y x y x =-⎧⎨=⎩得2540x x -+=,0∆>. ……………………………3分解方程得1x =或4，∴A 、B 两点的坐标为()1,2-、()4,4039910425)29()5x 2222=+--+=-+-y x y x y 即圆的方程为（6分(Ⅱ)点P 到AB 的距离为d ,则PABS=53，………………9分，解得06y =或04y =-∴P 点坐标为()9,6或()4,4-…………………………………………12分19（本题满分12分）解：(Ⅰ)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈Z ”为事件A ，x ，y ∈Z ，x ∈[0，2]，即x ＝0，1，2；y ∈[－1，1]，即y ＝－1，0，1.则基本事件有：(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)共9个．其中满足“x ＋y ≥0”的基本事件有8个，∴P (A )＝89.故x ，y ∈Z ，x ＋y ≥0的概率为89……………………………………6分 (Ⅱ)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈R ”为事件B ， ∵x ∈[0，2]，y ∈[－1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分．∴P (B )＝S 阴影S 四边形ABCD ＝S 四边形ABCD －12×1×1S 四边形ABCD ＝2×2－12×1×12×2＝78，故x ，y ∈R ，x ＋y ≥0的概率为78………………………………12分 20．（本题满分12分）解：(Ⅰ)由频率表中第一组数据可知，第一组总人数为5100.5=，再结合频率分布直方图可知101000.0110n ==⨯，1000.020100.918a ∴=⨯⨯⨯=，1000.025100.369b =⨯⨯⨯=，270.91000.3x ==⨯，30.21000.15y ==⨯…………4分(Ⅱ)第二，三，四组中回答正确的共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第二组： 186254⨯=人，第三组： 276354⨯=人，第四组： 96154⨯=人…………………………………………………8分（Ⅲ）设第二组的2人为12A A 、，第三组的3人为123B B B 、、，第四组的1人为1C ，则从6人中抽2人所有可能的结果有：()()()()()1211121311,,,,,,,,,,A A AB A B A B A C()()()()()()()()()()21222321121311232131,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A C B B B B B C B B B C B C 共15个基本事件，其中第二组至少有一人被抽中的有()()()()()()()()()121112131121222321,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B A B A B A C 这9个基本事件.所以第二组至少有一人获得幸运奖的概率为93155=……………………………12分。
雅安市2017-2018学年上期期末检测高中二年级数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某单位有职工52人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号职工在样本中，则样本中另一个职工的编号是（ ） A ．19 B ． 20 C ． 18 D ．212.双曲线19422=-y x 的渐近线方程是（ ） A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 49±= 3.点)1,1,1(关于z 轴的对称点是（ ）A ．)1,1,1(--B ． )1,1,1(--C ．)1,1,1(--D ． )1,1,1(--- 4.如图是某次比赛中七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，若去掉一个最高分和最低分，则所剩数据的平均数为（ ）A ． 84B ．85 C. 86 D ．875.小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（ ）A ． 1%B ．2% C.3% D ．5%6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 的值等于（ ）A ． -3B ．-10 C. 0 D ．-2 7.已知圆36)2(22=++yx 的圆心为M ，点)0,2(N ，设A 为圆上任一点，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是（ ） A ． 椭圆 B ． 圆 C. 双曲线 D ．抛物线8.一条光线从点)3,2(--射出，经y 轴反射后与圆1)2()3(22=-++y x 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．35-或53- B ．23-或32- C. 45-或54- D ．34-或43- 9.在半径为2的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是（ ） A ．31 B ．43 C. 21 D ．2310.点A 是抛物线)0(2：C 21>=p px y与双曲线2C ：12222=-by a x )0,0(>>b a 的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为P ，则双曲线2C 的离心率等于（ ） A ．2 B ．3 C. 5 D ．611.已知直线0634:1=+-y x l 和直线1:2-=x l ，抛物线x y 42=上一动点P到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A ．1637B ． 3 C. 511 D ．212.已知)0,(1c F -，)0,(2c F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P 为椭圆上一点且221c PF PF =∙，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．)1,33[B ．]22,33[ C. ]21,31[ D ．]22,0( 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88，若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则B A ,两样本的数字特征（众数、中位数、平均数、方差）对应相同的是 ．14.袋中含有大小相同的总个数为5的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是109，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为 ． 15.不论k 为何实数，直线0)11()3()12(=--+--k y k x k 恒通过一个定点，这个定点的坐标是 ．16.已知)2,1(A ，)2,1(-B ，动点P 满足BP AP ⊥，若双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知圆C 与直线0634:=+-y x l 相切于点)6,3(A ，且经过点)2,5(B ，求圆C 的方程.18. 已知抛物线x yC 4:2=与直线42-=x y 交于B A ,两点.（1）求弦AB 的长度；（2）若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求点P 的坐标.19. 已知集合]}1,1[],2,0[|),{(-∈∈=y x y x M . （1）若Z y x ∈,，求0≥+y x 的概率； （2）若R y x ∈,，求0≥+y x 的概率.20. 某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题计结果如下图表所示：（1）分别求出y x b a ,,,的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.21. 已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率22=e ，P 为椭圆E 上的任意一点（不含长轴端点），且21F PF ∆面积的最大值为1. （1）求椭圆E 的方程； （2）已知直线0=+-m y x 与椭圆E 交于不同的两点B A ,，且线段AB 的中点不在圆9522=+y x 内，求m 的取值范围. 22.已知动圆M 过定点),0(m P )0(>m ，且与定直线m y l -=:1相切，动圆圆心M 的轨迹方程为C ，直线2l 过点P 交曲线C 于B A ,两点. （1）若2l 交x 轴于点S ，求||||||||SB SP SA SP +的取值范围；（2）若2l 的倾斜角为030，在1l 上是否存在点E 使ABE ∆为正三角形？若能，求点E 的坐标；若不能，说明理由.雅安市2017—2018学年上期期末检测高中二年级数学(理科)试题参考答案一、选择题:二、填空题：13、方差 14、31015、（2，3） 16、（1，2）三、解答题：17【解析】方法一 设圆的方程为(x －a)2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C(a ，b)，由|CA|＝|CB|，CA ⊥l ，得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×43＝－1.解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254.方法二 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A(3，6)、B(5，2)在圆上，得⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.18.【解析】 (Ⅰ)设()11,A x y 、()22,B x y ,由224,4,y x y x =-⎧⎨=⎩得2540x x -+=,0∆>. 解方程得1x =或4，∴A 、B 两点的坐标为()1,2-、()4,4039910425)29()5x 2222=+--+=-+-y x y x y 即圆的方程为（(Ⅱ)点P 到AB 的距离为d ,则PABS=53，，解得06y =或04y =-∴P 点坐标为()9,6或()4,4-19解：(Ⅰ)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈Z ”为事件A ，x ，y ∈Z ，x ∈[0，2]，即x ＝0，1，2；y ∈[－1，1]，即y ＝－1，0，1.则基本事件有：(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)共9个．其中满足“x ＋y ≥0”的基本事件有8个， ∴P (A )＝89.故x ，y ∈Z ，x ＋y ≥0的概率为89(Ⅱ)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈R ”为事件B ， ∵x ∈[0，2]，y ∈[－1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分．∴P (B )＝S 阴影S 四边形ABCD ＝S 四边形ABCD －12×1×1S 四边形ABCD＝2×2－12×1×12×2＝78，故x ，y ∈R ，x ＋y ≥0的概率为7820．解：(Ⅰ)由频率表中第一组数据可知，第一组总人数为5100.5=，再结合频率分布直方图可知101000.0110n ==⨯，1000.020100.918a ∴=⨯⨯⨯=，1000.025100.369b =⨯⨯⨯=，270.91000.3x ==⨯，30.21000.15y ==⨯(Ⅱ)第二，三，四组中回答正确的共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第二组： 186254⨯=人，第三组： 276354⨯=人，第四组： 96154⨯=人（Ⅲ）设第二组的2人为12A A 、，第三组的3人为123B B B 、、，第四组的1人为1C ，则从6人中抽2人所有可能的结果有：()()()()()1211121311,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C()()()()()()()()()()21222321121311232131,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A C B B B B B C B B B C B C 共15个基本事件，其中第二组至少有一人被抽中的有()()()()()()()()()121112131121222321,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B A B A B A C 这9个基本事件.所以第二组至少有一人获得幸运奖的概率为93155= 21. 解：（Ⅰ）由题可知2c e a a ==⇒=，又a 2=b 2+c 2，12max1()212pF F s c b ∆=⨯⨯= ∴1c =，故1a b ==------3分所以椭圆的标准方程为2212x y +=（II ）联立方程22120x y x y m +=-+=⎧⎪⎨⎪⎩消去y 整理得：2234220xmx m ++-=则()2221612228(3)0m m m ∆=--=-+〉，解得m <<分设1122(,)、（x ,)A x y B y ，则121242m,=33m x x y y +=-+，即AB 的中点为2m m（-，）33 又AB 的中点不在园225x 9y+=内，所以2224559999m m m +=≥，解得1或m 1m ≤-≥综上可知，m -1或1m ≤≤22．解; （Ⅰ）依题意，曲线C 是以点P 为焦点，直线1为准线的抛物线， 所以曲线C 的方程为24x my =设2方程为y kx m =+代入24x my =由消去y 得22440x mkx m --=设()11,A x y 、()22,B x y ，则212124,4x x mk x x m +==-(2212162224SP SP m m m mm xx SA SB y y y m +=+>===-所以SP SP SASB+的取值范围是()2,+∞(Ⅱ)由（Ⅰ）知2方程为y x m =+代入24x my =由消去y得2240x m -= 12,x x ==，(),,,333m A m B m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭假设存在点()0,E x m -，使△ABE 为正三角形，则|BE|=|AB|且|AE|=|AB ，1216||2.3AB y y m m =++=即222002223316()()(),316()()()3m x m m xx m m m ⎧-++=⎪⎪=⎨⎪-++=⎪⎩相减解得 若,E m ⎫-⎪⎪⎝⎭，则(,)AE AB=≠不符舍因此，直线l 上不存在点E ，使得△ABE 是正三角形. 解法二：设AB 的中点为G ，则5,3G m ⎫⎪⎪⎝⎭由,EG AB ⊥联立EG 方程5)3y m x -=与1:y m =-方程求得,E m ⎫-⎪⎪⎝⎭由EG =得0m =，矛盾 因此，直线l 上不存在点E ，使得△ABE 是正三角形.。
