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2013年上海市长宁、嘉定区高考数学二模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分）1．（4分）（2012•上海）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为π．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=中，即可求出函数的最小正周期．解答：解：f（x）=sin（2x+），∵ω=2，∴T==π，则函数的最小正周期为π．故答案为：π点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．2．（4分）（2013•嘉定区二模）若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），且实数f（1）＜0，则m= ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：依题意，1是2x2﹣3x+a=0的根，将1代入可求得a=1，从而可求得m的值．解答：解：∵x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），∴1是2x2﹣3x+a=0的根，∴2×1﹣3×1+a=0∴a=1，∴2x2﹣3x+1=0的解集为（，0），∵不等式2x2﹣3x+1＜0的解集为（m，1），∴m=．故答案为：．点评：本题考查一元二次不等式的解法，求得a的值是关键，属于基础题．3．（4分）（2013•嘉定区二模）（文）已知集合A={﹣1，0，a}，B={x|1＜3x＜9，x∈Z}，若A∩B≠∅，则实数a的值是 1 ．考点：指数函数单调性的应用；集合关系中的参数取值问题．专题：函数的性质及应用．分析：解指数不等式得到集合B，根据A∩B≠∅即可求得a的值．解答：解：由1＜3x＜9，得：0＜x＜2，又x∈Z，所以x=1，所以B={x|1＜3x＜9，x∈Z}={1}，再由A={﹣1，0，a}，A∩B≠∅，所以a=1．故答案为1．点评：本题考查了指数函数的单调性，考查了集合的交集运算，是基础题．4．（4分）（2013•嘉定区二模）已知复数z满足（i为参数单位），则复数z的实部与虚部之和为．考点：复数的基本概念；虚数单位i及其性质．专题：待定系数法．分析：复数z=a+bi （a、b∈R），代入已知的等式，利用两个复数代数形式的乘除法法则及两个复数相等的充要条件，解方程组求出复数的实部和虚部．解答：解：设复数z=a+bi （a、b∈R），代入已知的等式得=3，=3，=3，∴a=1，b=，∴a+b=1+=，故答案为：．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的条件及复数实部、虚部的定义．5．（4分）（2013•嘉定区二模）求值：= ﹣1 ．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：由二项式定理可知=（1﹣2）2013可求解答：解：∵=（1﹣2）2013=﹣1故答案为：﹣1点评：本题主要考查了二项式定理的逆应用，解题的关键是熟练掌握基本公式6．（4分）（2005•湖北）已知向量不超过5，则k的取值范围是[﹣6，2] ．考点：向量的模． 分析： 根据向量模的计算公式，列出一个关于K 不等式，解不等式，即可求出K 的取值范围． 解答： 解：∵≤5∴﹣6≤k≤2故答案为：[﹣6，2] 点评：求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A 、B 坐标，则=|AB|=③构造关于的方程，解方程求．7．（4分）（2013•嘉定区二模）设a ＞0，a≠1，行列式中第3行第2列的代数余子式记作y ，函数y=f （x ）的反函数图象经过点（2，1），则a= 4 ．考点： 三阶矩阵． 专题： 函数的性质及应用． 分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可．函数y=f （x ）的反函数图象经过点（2，1），可知点点（1，2）在函数y=﹣a x+6的图象上，由此代入数值即可求得a ． 解答：解：由题意得第3行第2列元素的代数余子式 M 32=﹣=﹣a x+6依题意，点（1，2）在函数y=﹣a x+6的图象上，将x=1，y=2，代入y=﹣a x+6中， 得﹣a+6=2，解得a=4． 故答案为：4． 点评： 此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．8．（4分）（2013•嘉定区二模）已知，且，则sinα=．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由α和β的范围求出α﹣β的范围，根据cos（α﹣β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，然后将所求式子中的角α变为（α﹣β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解答：解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意角度的范围．9．（4分）（2013•嘉定区二模）（理）如图是一个算法框图，则输出的k的值是 6 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论．解答：解：由于k2﹣6k+5＞0⇒k＜1或k＞5．第1次循环，k=1+1=2，第2次循环，k=2+1=3，第3次循环，k=3+1=4，第4次循环，k=4+1=5，第6次循环，k=5+1=6，6＞5满足k2﹣6k+5＞0，退出循环，输出的结果为6，故答案为：6．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当不满足条件，执行循环，属于基础题．10．（4分）（2013•嘉定区二模）（文）设函数的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积4π．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：函数等价于，可得曲线绕x轴旋转一周所得几何体为半径R=1的球，由球的表面积公式可得答案．解答：解：函数等价于，故其图象为单位圆在x轴上方的部分，故曲线绕x轴旋转一周所得几何体为半径R=1的球，故其表面积为S=4πR2=4π，故答案为：4π点评：本题考查几何体表面积的求解，得出几何体为球是解决问题的关键，属中档题．11．（4分）（2013•嘉定区二模）（文）从4名男生和3名女生中任选3人参加会议，则选出3人中至少有1名女生的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用枚举法写出从4名男生和3名女生中任选3人基本事件总数，找出选出3人中至少有1名女生的事件个数，利用古典概率计算公式求出概率．解答：解：设4名男生分别为A、B、C、D，3名女生分别为1、2、3，（AB1），（BCD），则从4名男生和3名女生中任选3人的方法种数为（ABC），（ABD），（ACD），（AB2），（AB3），（AC1），（AC2），（AC3），（AD1），（AD2），（AD3），（BC1），（BC2），（BC3），（BD1），（BD2），（BD3），（CD1），（CD2），（CD3），（123），（12A），（12B），（12C），（12D），（13A），（13B），（13C），（13D），（23A），（23B），（23C），（23D），（12D）共35种．其中仅有男生的4种，所以至少有1名女生的共31中．所以选出3人中至少有1名女生的概率是．故答案为．点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是枚举时做到不重不漏，此题是基础题．12．（4分）（2013•嘉定区二模）（文）函数f（x）=|x2﹣4|+x2﹣4x的单调递减区间是（﹣∞，2）．考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：对x2﹣4与0的大小比较进行分类讨论，将函数f（x）=|x2﹣4|+x2﹣4x去掉绝对值化成分段函数的形式，再结合图象写出函数的单调减区间．解答：解：函数f（x）=|x2﹣4|+x2﹣4x=，如图所示，故函数f（x）的减区间为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数的单调性，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．13．（4分）（2006•重庆）已知变量x，y满足约束条件．若目标函数z=ax+y （其中a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为a．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．解答：解：画出可行域如图所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）取得最大值，由图知，﹣a＜﹣解得a＞故答案为a＞点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（4分）（2013•嘉定区二模）（文）设数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=2，a3=6，若自然数n1，n2，…n k，…满足3＜n1＜n2＜…＜n k＜…，且是等比数列，则n k= 3k+1．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意a1=2，a3=6，从而a n=2n，再由题设条件知a=2•3k+1，再由a=2nk知2n k=2•3k+1，所以n k=3k+1．解答：解：由题意a1=2，a3=6，从而a n=2n，得构成以2为首项，3为公比的等比数列，即：a=2•3 k+1又a=2n k，故2n k=2•3k+1，∴n k=3k+1故答案为：3k+1点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，解题时要认真审题，仔细解答．二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）15．（5分）（2013•嘉定区二模）已知A（a1，b1），B（a2，b2）是坐标平面上不与原点重合的两个点，则的充要条件是（）A．B．a1a2+b1b2=0C．D．a1b2=a2b1考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用⇔即可得出．解答：解：⇔⇔a1a2+b1b2=0．故选B．点评：熟练掌握⇔是解题的关键．16．（5分）（2013•浙江模拟）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，m⊥l，则m⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．分析：由线面平行的性质定理和面面平行的判定定理判断A、B；再由线面和面面垂直的定理判断C、D．解答：解：A不对，由线面平行的性质定理知必须l⊂β；B不对，由面面平行的判定定理知两条直线必须相交；D不对，有条件有可能m⊂α；C正确，由l∥β知在β内有与l平行的直线，再由l⊥α和面面垂直的判定定理得α⊥β．故选C．点评：本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了学生对定理的运用能力和空间想象能力．17．（5分）（2013•嘉定区二模）过点P（1，1）作直线与双曲线交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线（）A．存在一条，且方程为2x﹣y﹣1=0 B．存在无数条C．存在两条，方程为2x±（y+1）=0 D．不存在考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：利用平方差法：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线方程然后作差，由中点坐标公式及斜率公式可求得直线l的斜率，再用点斜式即可求得直线方程，然后再检验直线与曲线方程联立的方程的解的存在的情况解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，则x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴，即k AB=2，故所求直线方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．联立可得2x2﹣4x+3=0，但此方程没有实数解故这样的直线不存在故选D点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查直线方程的求法，涉及弦中点问题，往往考虑利用“平方差法”加以解决．但是一定要检验所求直线与椭圆的方程的解的存在情况18．（5分）（2013•嘉定区二模）已知函数f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，构造函数F（x），定义如下：当|f（x）|≥g（x）时，F（x）=|f（x）|，当|f（x）|＜g（x）时，F（x）=﹣g（x），那么F（x）（）A．有最小值0，无最大值B．有最小值﹣1，无最大值C．有最大值1，无最小值D．无最小值，也无最大值考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．分析：在同一坐标系中先画出f（x）与g（x）的图象，然后根据定义画出F（x），就容易看出F（x）无最大值，有最小值﹣1．解答：解：在同一坐标系中先画出f（x）与g（x）的图象，然后根据定义画出F（x），就容易看出F（x）无最大值，有最小值﹣1．故选B．点评：此题考查阅读能力和函数图象的画法，必须弄懂F（x）是什么．先画出|f（x）|及g （x）与﹣g（x）的图象．再比较|f（x）|与g（x）的大小，然后确定F（x）的图象．这是一道创新性较强的试题．三．解答题（本大题满分74分，共5小题）19．（12分）（2013•嘉定区二模）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的表面积为24π，OA=2，∠AOP=120°．（1）求三棱锥A1﹣APB的体积．（2）求异面直线A1B与OP所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；转化思想．分析：（1）由题意圆柱OO1的表面积为24π，OA=2，∠AOP=120°建立关于圆柱高的方程求出AA1=4，即得棱锥的高，再由，∠AOP=120°解出解出AP，进而解出BP，即可解出底面积，再棱锥的体积公式求体积即可；（2）取AA1中点Q，连接OQ，PQ，可证得∠POQ或它的补角为异面直线A1B与OP所成的角，在三角形POQ中求异面直线所成的角即可．解答：解：（1）由题意S表=2π•22+2π•2•AA1=24π，解得AA1=4．（2分）在△AOP中，OA=OP=2，∠AOP=120°，所以（3分）在△BOP中，OB=OP=2，∠BOP=60°，所以BP=2（4分）（5分）=（6分）（2）取AA1中点Q，连接OQ，PQ，则OQ∥A1B，得∠POQ或它的补角为异面直线A1B与OP所成的角．（8分）又，AQ=AO=2，得，PQ=4，（10分）由余弦定理得，（12分）得异面直线A1B与OP所成的角为．（14分）点评：本题考查了求三棱锥的体积与求两异面直线所成的角，在圆柱这一背景下，考查这两个问题方式比较新颖，解答本题关键是正确理解这些几何图形之间的位置关系的转化．20．（12分）（2013•嘉定区二模）在△ABC中，角A，B，C所对应的边a，b，c成等比数列．（1）求证：；（2）求的取值范围．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理求得cosB的值，利用基本不等式求得cosB的范围，即可求得B的范围．（2）根据三角恒等变换化简y的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得y 的范围．解答：解：（1）由已知，b2=ac，所以由余弦定理，得由基本不等式a2+c2≥2ac，得．所以．因此，．（2），由（1），，所以，所以，所以，的取值范围是．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．21．（14分）（2013•嘉定区二模）函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且≠1）是定义域为R 的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值．（2）由f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．当k=2时，f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∴f（﹣x）=﹣f（x）成立∴f（x）是定义域为R的奇函数；（2）函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，∵a＞0，∴1＞a＞0．由于y=a x单调递减，y=a﹣x单调递增，故f（x）在R上单调递减．不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0，可化为f（x2+tx）＜f（x﹣4）．∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．点评：本题考查指数型复合函数的性质以及应用，考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．22．（18分）（2013•嘉定区二模）如图，已知点F（0，1），直线m：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）（文）过轨迹C的准线与y轴的交点M作方向向量为=（a，1）的直线m′与轨迹C交于不同两点A、B，问是否存在实数a使得FA⊥FB？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由；（3）（文）在问题（2）中，设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D（0，y0），求y0的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设P（x，y），由题意，Q（x，﹣1），利用向量的运算即可得出；（2）由（1）可知：轨迹C为抛物线，准线方程为y=﹣1，即直线m，所以M（0，﹣1），当a=0时，直线m'的方程为x=0，与曲线C只有一个公共点，故a≠0．把直线m'的方程与抛物线的方程联立，利用判别式△、根与系数的关系、向量的运算FA⊥FB⇔，即可得出a；（3）由（2），得线段AB的中点为，线段AB的垂直平分线的一个法向量为，即可得到线段AB的垂直平分线的方程，利用（2）的a的取值范围即可得出．解答：解：（1）设P（x，y），由题意，Q（x，﹣1），，，，，由，得2（y+1）=x2﹣2（y﹣1），化简得x2=4y．所以，动点P的轨迹C的方程为x2=4y．（2）轨迹C为抛物线，准线方程为y=﹣1，即直线m，所以M（0，﹣1），当a=0时，直线m'的方程为x=0，与曲线C只有一个公共点，故a≠0．所以直线m'的方程为，由得a2y2+（2a2﹣4）y+a2=0，由△=4（a2﹣2）2﹣4a4＞0，得0＜a2＜1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=1，所以，x1x2=4，若FA⊥FB，则，即（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）=0，x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1=0，，解得．所以．（3）由（2），得线段AB的中点为，线段AB的垂直平分线的一个法向量为，所以线段AB的垂直平分线的方程为，令x=0，，因为0＜a2＜1，所以．所以y0的取值范围是（3，+∞）．点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、向量的运算及其数量积、直线与抛物线的位置关系、线段的垂直平分线等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．23．（18分）（2013•嘉定区二模）（文）已知数列{a n}的前n项和为S n，且对于任意n∈N*，总有S n=2（a n﹣1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成等差数列，当公差d满足3＜d＜4时，求n的值并求这个等差数列所有项的和T；（3）记a n=f（n），如果（n∈N*），问是否存在正实数m，使得数列{c n}是单调递减数列？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）当n=1时，可求得a1=2，当n≥2时S n﹣1=2（a n﹣1﹣1），与已知关系式相减，可求得a n=2a n﹣1，利用等比数列的概念即可求得数列{a n}的通项公式；（2）由题意，a n+1=a n+（n+1）d，可求得d=，利用3＜d＜4，可求得d=，从而可知等差数列首项为16，公差为，共有6项，利用等差数列的求和公式即可求得所有项的和T；（3）（1）知f（n）=2n，依题意可求得c n=n•m2n，由c n+1＜c n，可求得m2＜1﹣对任意n∈N*成立，构造函数g（n）=1﹣，利用g（n）在n∈N*上单调递增的性质，得m的取值范围是（0，）时，数列{c n}是单调递减数列．解答：解：（1）当n=1时，由已知a1=2（a1﹣1），得a1=2．当n≥2时，由S n=2（a n﹣1），S n﹣1=2（a n﹣1﹣1），两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1，所以{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以，a n=2n（n∈N*）．（2）由题意，a n+1=a n+（n+1）d，故d=，即d=，因为3＜d＜4，所以3＜＜4，即3n+3＜2n＜4n+4，解得n=4，所以d=．所以所得等差数列首项为16，公差为，共有6项．所以这个等差数列所有项的和T==144．所以，n=4，T=144．（3）由（1）知f（n）=2n，所以c n=n•f（n•）=n•=n•=n•=n•=n•m2n．由题意，c n+1＜c n，即（n+1）•m2n+2＜n•m2n对任意n∈N*成立，所以m2＜1﹣对任意n∈N*成立．因为g（n）=1﹣在n∈N*上是单调递增的，所以g（n）的最小值为g（1）=．所以m2＜．由m＞0得m的取值范围是（0，）．所以，当m∈（0，）时，数列{c n}是单调递减数列．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，突出等比数列的确定与等差数列的求和，考查构造函数思想与单调性的分析应用，属于难题．。
2013年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）方程组的增广矩阵为．2．（4分）已知集合M={x|x2＜4，x∈R}，N={x|log2x＞0}，则集合M∩N=．3．（4分）若，且为实数，则实数a的值为．4．（4分）用二分法研究方程x3+3x﹣1=0的近似解x=x0，借助计算器经过若干次运算得下表：运算次数1…456…解的范围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，0.34375）（0.3125，0.328125）…若精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为．5．（4分）已知是夹角为的两个单位向量，向量，若，则实数k的值为．6．（4分）某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间[96，100）的产品个数是24，则样本中净重在区间[100，104）的产品个数是．7．（4分）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为．8．（4分）公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1=1，a n=65，则n+d 的最小值等于．9．（4分）设双曲线x2﹣y2=6的左右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线P A1、P A2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2的值为．10．（4分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC 的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=．11．（4分）袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为．12．（4分）设f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（2）的最大值为．13．（4分）已知△ABC的重心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则=．14．（4分）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=，且对任意的x∈R，满足f（x+2）﹣f（x）≤3x，f（x+4）﹣f（x+2）≥9×3x，则f（8）=．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）二项式展开式中x4的系数为（）A．15B．﹣15C．6D．﹣616．（5分）在△ABC中，“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）设函数，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣1B．0C．D．18．（5分）给出下列四个命题：①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面的对应点的轨迹是椭圆．②若对任意的n∈N*，（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1﹣2a n）=0恒成立，则数列{a n}是等差数列或等比数列．③设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）是R上的奇函数或偶函数．④已知曲线和两定点E（﹣5，0）、F（5，0），若P（x，y）是C上的动点，则||PE|﹣|PF||＜6．上述命题中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．（1）求三棱锥A1﹣B1C1F的体积；（2）求异面直线BE与A1F所成的角的大小．20．（14分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．②设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．21．（14分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．22．（16分）已知函数．（1）当a=1时，指出f（x）的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）；（2）当a=1时，求函数y=f（2x）的零点；（3）若对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．23．（18分）过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n﹣1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，数列{a n}的前n 项的和为S n．（1）求a1，a2；（2）求a n，S n；（3）设，数列{b n}的前n项和为T n，若正整数p，q，r，s 成等差数列，且p＜q＜r＜s，试比较T p•T s与T q•T r的大小．2013年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）方程组的增广矩阵为．【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．【专题】29：规律型．【分析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．【解答】解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是．故答案为：．【点评】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．2．（4分）已知集合M={x|x2＜4，x∈R}，N={x|log2x＞0}，则集合M∩N={x|1＜x＜2}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】通过求解二次不等式和对数不等式化简集合M与集合N，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由M={x|x2＜4，x∈R}={x|﹣2＜x＜2}，N={x|log2x＞0}={x|x＞1}，则集合M∩N={x|﹣2＜x＜2}∩{x|x＞1}={x|1＜x＜2}．故答案为{x|1＜x＜2}．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了二次不等式和对数不等式的解法，是基础题．3．（4分）若，且为实数，则实数a的值为．【考点】A5：复数的运算；ON：二阶行列式与逆矩阵．【专题】11：计算题．【分析】根据题意求得=3﹣4i，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简，再根据为实数求得a的值．【解答】解：∵z1=a+2i ，=3﹣4i，∴===．再由为实数，可得6+4a=0，a=﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查行列式的运算，两个复数代数形式的乘除法法则，属于基础题．4．（4分）用二分法研究方程x3+3x﹣1=0的近似解x=x0，借助计算器经过若干次运算得下表：运算次数1…456…解的范围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，0.34375）（0.3125，0.328125）…若精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为 5.3．【考点】55：二分法的定义与应用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】区间长度要小于精度0.1，且区间端点对应的函数值的符号相反，满足此两个条件即可求出n和x0的值．【解答】解：根据运算得下表：运算1…456…次数解的范围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，0.34375）（0.3125，0.328125）…因为f（0.3125）＜0，且f（0.34375＞0，满足f（0.3125）×f（0.34375）＜0，且区间长度：0.34375﹣0.3125=0.03125＜0.1，∴n=5，x0=0.3，n+x0=5.3．故答案为：5.3．【点评】不断将区间（0，0.5）二等分时，每次都取端点函数值异号的区间，直到区间长度小于或等于题目所给的精度为止．5．（4分）已知是夹角为的两个单位向量，向量，若，则实数k 的值为．【考点】96：平行向量（共线）；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由题意可得是平面向量的一个基底，再由平面内两个向量共线的条件可得，由此解得k的值．【解答】解：由题意可得=0，且是平面向量的一个基底．∵向量，且，∴，解得k=﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查平面内两个向量共线的条件，基底的定义，属于中档题．6．（4分）某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间[96，100）的产品个数是24，则样本中净重在区间[100，104）的产品个数是44．【考点】B8：频率分布直方图．【专题】27：图表型．【分析】根据频率直方图的意义，由样本中净重在[96，100）的产品个数是24可求样本容量，进而求得样本中净重在[100，104）的产品个数．【解答】解：由题意可知：样本中净重在[96，100）的产品的频率=（0.05+0.1）×2=0.3，∴样本容量==80，∴样本中净重在[100，104）的产品个数=（0.15+0.125）×2×80=44．故答案为：44．【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和．7．（4分）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为8π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】利用圆锥的底面积为4π求出其底面半径，利用圆锥的母线与底面所成的角为求出母线长，最后利用圆锥的侧面积公式求出即可．【解答】解：依题意圆锥的底面积为4π，知底面半径r=2，又该圆锥的母线与底面所成的角为，故母线长l=2r=4，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×2×4=8π．故答案为：8π．【点评】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．8．（4分）公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1=1，a n=65，则n+d 的最小值等于17．【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式即可得到，可得n+d=n+=，利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，a1=1，a n=65，∴d＞0，n＞1，1+（n﹣1）d=65，∴，∴n+d=n+==17，当且仅当，n＞1，即n=9，d=8时取等号．因此n+d的最小值等于17．故答案为17．【点评】熟练掌握等差数列的通项公式、基本不等式的性质是解题的关键．9．（4分）设双曲线x2﹣y2=6的左右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线P A1、P A2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2的值为1．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设点P（x0，y0），则点P的坐标满足双曲线的方程．利用双曲线x2﹣y2=6的方程即可得到顶点A1、A2的坐标，利用斜率计算公式即可得到直线P A1、P A2的斜率并相乘得k1•k2=即可证明．【解答】解：设点P（x0，y0），则．由双曲线x2﹣y2=6得a2=6，解得．∴，．∴k1•k2===1．故答案为1．【点评】熟练掌握双曲线的方程及其性质、斜率计算公式是解题的关键．10．（4分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC 的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=4．【考点】HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】根据S=a2﹣（b﹣c）2 =bc•sin A，把余弦定理代入化简可得4﹣4cos A=sin A，由此求得的值．【解答】解：∵△ABC的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2 =a2﹣b2﹣c2+2bc=bc•sin A，∴由余弦定理可得﹣2bc•cos A+2bc=bc•sin A，∴4﹣4cos A=sin A，∴==4，故答案为4．【点评】本题主要考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，属于中档题．11．（4分）袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】由题意可得该等差数列为1，3，5，7，9，11，13，总的方法种数为=21，而符合条件的共有=3种，代入概率公式可得答案．【解答】解：由题意设等差数列为{a n}，可得其和S7===7a4=49，故a4=7，又该数列为整数，故可得该数列为1，3，5，7，9，11，13，故任取两个球的方法种数为=21，两个小球上的号码均小于7，只需从1，3，5三个号码中任取两个即可，故共有=3种，故所求概率为=故答案为：【点评】本题考查古典概型及计算公式，由题意得出该数列是解决问题的关键，属基础题．12．（4分）设f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（2）的最大值为14．【考点】3T：函数的值；7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】通过已知条件求出a、b满足的不等式，求出f（2）的表达式，利用不等式的基本性质求解即可．【解答】解：因为f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，所以1≤a﹣b≤2，…①，2≤a+b≤4，…②，由②×3+①可得：5≤4a+2b≤14又f（2）=4a+2b，所以f（2）的最大值为：14．故答案为：14．【点评】本题考查不等式的基本性质的应用，也可以利用线性规划解答本题，由于a、b是互相影响与制约的，不可以求出a、b的范围来解答，会使范围扩大，是易错点．13．（4分）已知△ABC的重心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则=．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用重心的性质和向量的运算法则可得可得，再利用数量积的运算性质即可得出．【解答】解：设D为边BC的中点，如图所示，则．根据重心的性质可得==．∴====．故答案为．【点评】熟练掌握重心的性质和向量的运算法则、数量积的运算性质是解题的关键．14．（4分）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=，且对任意的x∈R，满足f（x+2）﹣f（x）≤3x，f（x+4）﹣f（x+2）≥9×3x，则f（8）=．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】先由题目中的两个不等式推导出f（x+4）﹣f（x+2）的值，然后再用累加法和等比数列求和公式即可求解【解答】解：∵f（x+2）﹣f（x）≤3x，∴f（x+4）﹣f（x+2）≤3x+2=9•3x，又f（x+4）﹣f（x+2）≥9×3x，∴f（x+4）﹣f（x+2）=9×3x，=3x+2，∴f（2）﹣f（0）=30，f（4）﹣f（2）=32，f（6）﹣f（4）=34，f（8）﹣f（6）=36，以上各式相加得，f（8）﹣f（0）=，∴f（8）=f（0）+=+=，故答案为：．【点评】本题及考察了抽象函数的相关知识，又考察了数列中的累加法和等比数列求前n项和公式，注重知识点的交汇和灵活运用．属难题二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）二项式展开式中x4的系数为（）A．15B．﹣15C．6D．﹣6【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】由题可得，展开式的通项为T r+1==令6﹣2r=4可求r，代入即可求解系数【解答】解：由题可得，展开式的通项为T r+1==令6﹣2r=4可得r=1此时x4=﹣6x4，即系数为﹣6故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．16．（5分）在△ABC中，“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题．【分析】由”可得“△ABC是钝角三角形”，而“△ABC是钝角三角形”推不出角A为钝角，由充要条件的定义可得答案．【解答】解：由题意可知若“”则必有角A为钝角，可得“△ABC是钝角三角形”，而“△ABC是钝角三角形”不一定角A为钝角，可能角B或C为钝角，故推不出角A为钝角，故可得“”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查充要条件的判断，涉及三角形形状的判断和向量的数量积问题，属基础题．17．（5分）设函数，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣1B．0C．D．【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】根据x的范围把分段函数分段，配方后求出函数在两个区间段内最小值，则函数在整个定义域内的最小值可求．【解答】解：由，当时，0≤sin x≤1，f（x）=sin x+cos2x=﹣2sin2x+sin x+1=．此时当sin x=1时f（x）有最小值为；当时，﹣1≤sin x＜0，f（x）=﹣sin x+cos2x=﹣2sin2x﹣sin x+1=．此时当sin x=﹣1时f（x）有最小值．综上，函数f（x）的最小值是0．故选：B．【点评】本题考查了函数的定义域与值域，考查了分段函数值域的求法，训练了利用配方法求函数的值域，分段函数的值域是各区间段内值域的并集，此题是基础题．18．（5分）给出下列四个命题：①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面的对应点的轨迹是椭圆．②若对任意的n∈N*，（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1﹣2a n）=0恒成立，则数列{a n}是等差数列或等比数列．③设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）是R上的奇函数或偶函数．④已知曲线和两定点E（﹣5，0）、F（5，0），若P（x，y）是C上的动点，则||PE|﹣|PF||＜6．上述命题中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】21：阅读型．【分析】①依据|Z+i|+|Z﹣i|=2的几何意义得到对应点的轨迹是线段；②由于对任意的n∈N*，（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1﹣2a n）=0恒成立，则由两因式分别为0，可求出数列{a n}的递推公式，继而可得到数列是等差数列或等比数列；③由于对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）=f（﹣x）或f（x）=﹣f（﹣x），则可判断函数的奇偶性；④若设P（x，y）（x＞0，y≥0），则可将曲线化简为（x＞0，y≥0）再画出图形，找到特殊点，当y=0时，即可求出||PE|﹣|PF||的值，继而判断正误．【解答】解：①|Z+i|表示复平面上，点Z与点﹣i的距离，|Z﹣i|表示复平面上，点Z与点i的距离，∴|Z+i|+|Z﹣i|=2，表示复平面上，点Z与点i、﹣i的距离之和等于2．则对应点的轨迹是线段，故①错；②由于对任意的n∈N*，（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1﹣2a n）=0恒成立，则（a n+1﹣a n﹣1）=0或（a n+1﹣2a n）=0，所以a n+1﹣a n=1或a n+1=2a n，则数列{a n}是等差数列或等比数列，故②正确；③由于对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）=f（﹣x）或f（x）=﹣f（﹣x），则f（x）是R上的偶函数或奇函数，故③正确；④设P（x，y）（x＞0，y≥0）是C上的动点曲线，则（x＞0，y≥0）又由于两定点E（﹣5，0）、F（5，0），则P、E、F三点位置如图示．当y=0时，P点与Q点重合，即||PE|﹣|PF||=||QE|﹣|QF||=6，故④错误．故选：B．【点评】本题考查的知识点是，判断命题真假，属于基础题．我们需对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．（1）求三棱锥A1﹣B1C1F的体积；（2）求异面直线BE与A1F所成的角的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）利用直三棱柱ABC﹣A1B1C1中的性质，及三棱锥A1﹣B1C1F的体积==即可得出．（2）连接EC，∵A1E∥FC，A1E=FC=4，可得四边形A1ECF是平行四边形，利用其性质可得A1C∥EC，可得∠BEC是异面直线A1F与BE所成的角或其补角，在△BCE中求出即可．【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，FC1⊥平面A1B1C1，故FC1=2是三棱锥A1﹣B1C1F的高．而直角三角形的===2．∴三棱锥A1﹣B1C1F的体积===．（2）连接EC，∵A1E∥FC，A1E=FC=4，∴四边形A1ECF是平行四边形，∴A1C∥EC，∴∠BEC是异面直线A1F与BE所成的角或其补角．∵AE⊥AB，AE⊥AC，AC⊥AB，AE=AB=AC=2，∴EC=EB=BC=2．∴△BCE是等边三角形．∴∠BEC=60°，即为异面直线BE与A1F所成的角．【点评】熟练利用直三棱柱的性质、三棱锥的体积及等体积变形、平行四边形的判定及性质、异面直线所成的角是解题的关键．20．（14分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．②设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=2OB •BC=900sin2θ，由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值．②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则S=AB•BC=2x=2，由基本不等式可得S的最大值以及对应的x的取值；（2）根据（1）问的解答，即可得出怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大及最大值．【解答】解：如图所示，（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则BC=20sinθ，OB=20cos θ（其中0＜θ＜）；∴S=AB•BC=2OB•BC=400sin2θ，且当sin2θ=1，即θ=时，S取最大值为400，此时BC=10；所以，取BC=10时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2 （其中0＜x＜20），∴S=2x=2 ≤x2+（400﹣x2）=400，当且仅当x2=400﹣x2，即x=10 时，S取最大值400；所以，取BC=10 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．（2）由（1）知，取∠BOC=时，得到C点，从而截得的矩形ABCD，此时截得的矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．【点评】本题综合考查了二次函数、三角函数的最值问题，这里应用了基本不等式的方法求出了函数的最值．21．（14分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），把点M、N 的坐标代入解出即可；（2）利用斜截式写出直线l的方程，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，表示出直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，即可证明：k1+k2=0．【解答】解：（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）将代入椭圆E的方程，得解得，所以椭圆E的方程为．（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，又，∴直线l的方程为．由得x2+2bx+2b2﹣4=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则．又，，故=．又，所以上式分子==故k1+k2=0．【点评】熟练掌握椭圆的标准方程、把直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式是解题的关键．本题需要较强的计算能力．22．（16分）已知函数．（1）当a=1时，指出f（x）的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）；（2）当a=1时，求函数y=f（2x）的零点；（3）若对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；51：函数的零点；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（1）当a=1时，利用分段函数的图象得出函数的单调递减区间和函数f （x）既不是奇函数也不是偶函数；（2）当a=1时，，欲求函数y=f（2x）的零点，即求对应方程的根．由f（2x）=0解得x的值即可；（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f（x）＜0恒成立，故只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为，即．再构造函数，研究其最值即可得出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，函数的单调递减区间为…（2分）函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．…（2分）（2）当a=1时，，由f（2x）=0得…（2分）即或…（2分）解得所以或x=﹣1．…（2分）（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f（x）＜0恒成立，故只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为即…（2分）故又函数在（0，1]上单调递增，∴…（2分）函数在上单调递减，在上单调递增，∴；所以，即实数a的取值范围是．…（2分）【点评】本题以分段函数为载体，考查函数的奇偶性单调性、恒成立等问题，解题的关键是等价转化，构造新函数．23．（18分）过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n﹣1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，数列{a n}的前n 项的和为S n．（1）求a1，a2；（2）求a n，S n；（3）设，数列{b n}的前n项和为T n，若正整数p，q，r，s 成等差数列，且p＜q＜r＜s，试比较T p•T s与T q•T r的大小．【考点】8E：数列的求和；8O：数列与解析几何的综合．【专题】11：计算题；15：综合题；54：等差数列与等比数列；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据等边三角形的性质，算出点P1，代入抛物线求得，同样的方法可算出；（S n﹣1，0）建立直线Q n﹣1P n的方程，与抛物线方程消去x得关于（2）由点Q n﹣1|y|的方程，解出|y|关于S n的表示式，根据等边三角形性质和三角函数定义加以计算，化简整理得，用n+1代替n得到，将两式作差整理可得，从而得到{a n}是以为首项、为公差的等差数列，再用等差数列通项与求和公式可得a n、S n的表达式；（3）由（2）得{b n}是公比、首项的正项等比数列．因此根据等比数列的求和公式，将T p•T s与T q•T r作差，结合正整数p，q，r，s成等差数列且p＜q＜r＜s，化简整理可得T p•T s﹣T q•T r=，讨论所得结果的可得T p•T s﹣T q•T r＜0，可得必定有T p•T s＜T q•T r对任意成等差数列的正整数p、q、r、s且p＜q＜r＜s都成立，得到本题答案．【解答】解：（1）如图，由△OQ1P1是边长为a1的等边三角形，得点P1的坐标为，又∵P1在抛物线y2=x上，∴，得…（2分）同理根据P2在抛物线y2=x上，可得…（4分）的坐标为（a1+a2+a3+…+a n﹣1，0），即点（S n﹣1，0）（点（2）如图，因为点Q n﹣1Q0与原点重合，S0=0），所以直线Q nP n的方程为或，﹣1因此，点P n的坐标满足消去x得，所以…（7分）又，故从而…①由①有…②②﹣①得即（a n+1+a n）（3a n+1﹣3a n﹣2）=0，又a n＞0，于是所以{a n}是以为首项、为公差的等差数列，由此可得：…（10分）（3）∵，∴数列{b n}是正项等比数列，且公比，首项，∵正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，设其公差为d，则d为正整数，∴q=p+d，r=p+2d，s=p+3d则，，，…（12分）T p•T s﹣T q•T r==…（14分）而==…（16分）由于a＞0且a≠1，可得，又∵d为正整数，∴与同号，因此，，可得T p•T s＜T q•T r．综上所述，可得若正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，必定有T p•T s ＜T q•T r．…（18分）Q n P n 【点评】本题给出抛物线中的等边三角形，求按图中作出的等边三角形Q n﹣1的边长a n的表达式，并设，数列{b n}的前n项和为T n，在成等差数列的正整数p、q、r、s满足且p＜q＜r＜s的情况下讨论T p•T s与T q•T r的大小关系．着重考查了抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、不等式的性质和等差等比数列的通项与求和公式等知识，属于难题．、。
2013年上海市闵行区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）方程组的增广矩阵为．2．（4分）已知集合M={x|x2＜4，x∈R}，N={x|log2x＞0}，则集合M∩N=．3．（4分）若，且为实数，则实数a的值为．4．（4分）用二分法研究方程x3+3x﹣1=0的近似解x=x0，借助计算器经过若干次运算得下表：运算次数1…456…解的范围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，0.34375）（0.3125，0.328125）…若精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为．5．（4分）已知是夹角为的两个单位向量，向量，若，则实数k的值为．6．（4分）某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间[96，100）的产品个数是24，则样本中净重在区间[100，104）的产品个数是．7．（4分）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为．8．（4分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线Γ的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=1，曲线Γ与C相交于两点A、B，则弦长|AB|等于．9．（4分）设双曲线x2﹣y2=6的左右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线P A1、P A2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2的值为．10．（4分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC 的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=．11．（4分）已知随机变量ξ所有的取值为1，2，3，对应的概率依次为p1，p2，p1，若随机变量ξ的方差，则p1+p2的值是．12．（4分）公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1=1，a n=73，则n+d的最小值等于．13．（4分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则=．14．（4分）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=，且对任意的x∈R，满足f（x+2）﹣f（x）=3x，f（x+4）﹣f（x）=10×3x，则f（2014）=．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）二项式展开式中x4的系数为（）A．15B．﹣15C．6D．﹣616．（5分）在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件17．（5分）设函数，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣1B．0C．D．18．（5分）给出下列四个命题：①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面上所对应点的轨迹是椭圆．②设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）是R上的奇函数或偶函数．③已知曲线和两定点E（﹣5，0）、F（5，0），若P（x，y）是C上的动点，则||PE|﹣|PF||＜6．④设定义在R上的两个函数f（x）、g（x）都有最小值，且对任意的x∈R，命题“f（x）＞0或g（x）＞0”正确，则f（x）的最小值为正数或g（x）的最小值为正数．上述命题中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．②设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．20．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．（1）求四棱锥B﹣AEFC的体积；（2）求△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．21．（14分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过两点，P是E上的动点．（1）求|OP|的最大值；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．22．（16分）已知f（x）=x|x﹣a|+b，x∈R．（1）当a=1，b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a=1，b=1时，若，求x的值；（3）若b＜0，且对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．23．（18分）如图，过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n﹣1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，△OP1Q1，△Q1P2Q2，△Q2P3Q3，…，△Q n﹣1P n Q n，…的面积分别为G1，G2，G3，…，G n，…，数列{a n}的前n项的和为S n．（1）求a1，a2；（2）求a n，；（3）设，数列{b n}的前n项和为T n，对于正整数p，q，r，s，若p＜q＜r＜s，且p+s=q+r，试比较T p•T s与T q•T r的大小．2013年上海市闵行区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）方程组的增广矩阵为．【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．【专题】29：规律型．【分析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．【解答】解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是．故答案为：．【点评】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．2．（4分）已知集合M={x|x2＜4，x∈R}，N={x|log2x＞0}，则集合M∩N={x|1＜x＜2}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】通过求解二次不等式和对数不等式化简集合M与集合N，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由M={x|x2＜4，x∈R}={x|﹣2＜x＜2}，N={x|log2x＞0}={x|x＞1}，则集合M∩N={x|﹣2＜x＜2}∩{x|x＞1}={x|1＜x＜2}．故答案为{x|1＜x＜2}．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了二次不等式和对数不等式的解法，是基础题．3．（4分）若，且为实数，则实数a的值为．【考点】A5：复数的运算；ON：二阶行列式与逆矩阵．【专题】11：计算题．【分析】根据题意求得=3﹣4i，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简，再根据为实数求得a的值．【解答】解：∵z1=a+2i ，=3﹣4i，∴===．再由为实数，可得6+4a=0，a=﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查行列式的运算，两个复数代数形式的乘除法法则，属于基础题．4．（4分）用二分法研究方程x3+3x﹣1=0的近似解x=x0，借助计算器经过若干次运算得下表：运算次数1…456…解的范围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，0.34375）（0.3125，0.328125）…若精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为 5.3．【考点】55：二分法的定义与应用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】区间长度要小于精度0.1，且区间端点对应的函数值的符号相反，满足此两个条件即可求出n和x0的值．【解答】解：根据运算得下表：运算1…456…次数解的范围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，0.34375）（0.3125，0.328125）…因为f（0.3125）＜0，且f（0.34375＞0，满足f（0.3125）×f（0.34375）＜0，且区间长度：0.34375﹣0.3125=0.03125＜0.1，∴n=5，x0=0.3，n+x0=5.3．故答案为：5.3．【点评】不断将区间（0，0.5）二等分时，每次都取端点函数值异号的区间，直到区间长度小于或等于题目所给的精度为止．5．（4分）已知是夹角为的两个单位向量，向量，若，则实数k 的值为．【考点】96：平行向量（共线）；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由题意可得是平面向量的一个基底，再由平面内两个向量共线的条件可得，由此解得k的值．【解答】解：由题意可得=0，且是平面向量的一个基底．∵向量，且，∴，解得k=﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查平面内两个向量共线的条件，基底的定义，属于中档题．6．（4分）某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间[96，100）的产品个数是24，则样本中净重在区间[100，104）的产品个数是44．【考点】B8：频率分布直方图．【专题】27：图表型．【分析】根据频率直方图的意义，由样本中净重在[96，100）的产品个数是24可求样本容量，进而求得样本中净重在[100，104）的产品个数．【解答】解：由题意可知：样本中净重在[96，100）的产品的频率=（0.05+0.1）×2=0.3，∴样本容量==80，∴样本中净重在[100，104）的产品个数=（0.15+0.125）×2×80=44．故答案为：44．【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和．7．（4分）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为8π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】利用圆锥的底面积为4π求出其底面半径，利用圆锥的母线与底面所成的角为求出母线长，最后利用圆锥的侧面积公式求出即可．【解答】解：依题意圆锥的底面积为4π，知底面半径r=2，又该圆锥的母线与底面所成的角为，故母线长l=2r=4，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×2×4=8π．故答案为：8π．【点评】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．8．（4分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线Γ的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=1，曲线Γ与C相交于两点A、B，则弦长|AB|等于8．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先把所给的极坐标与参数方程化为标准方程，然后联立直线与曲线方程，根据弦长公式可求【解答】解：∵ρcosθ﹣ρsinθ=1化为标准方程为x﹣y=1即x﹣y﹣1=0曲线C的参数方程为化为标准方程为y2=4x联立可得x2﹣6x+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，x1x2=1∴AB===8故答案为：8【点评】本题考查极坐标方程化为参数方程，参数方程化为普通方程的方法，以及参数的意义．9．（4分）设双曲线x2﹣y2=6的左右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线P A1、P A2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2的值为1．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设点P（x0，y0），则点P的坐标满足双曲线的方程．利用双曲线x2﹣y2=6的方程即可得到顶点A1、A2的坐标，利用斜率计算公式即可得到直线P A1、P A2的斜率并相乘得k1•k2=即可证明．【解答】解：设点P（x0，y0），则．由双曲线x2﹣y2=6得a2=6，解得．∴，．∴k1•k2===1．故答案为1．【点评】熟练掌握双曲线的方程及其性质、斜率计算公式是解题的关键．10．（4分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC 的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=4．【考点】HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】根据S=a2﹣（b﹣c）2 =bc•sin A，把余弦定理代入化简可得4﹣4cos A=sin A，由此求得的值．【解答】解：∵△ABC的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2 =a2﹣b2﹣c2+2bc=bc•sin A，∴由余弦定理可得﹣2bc•cos A+2bc=bc•sin A，∴4﹣4cos A=sin A，∴==4，故答案为4．【点评】本题主要考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，属于中档题．11．（4分）已知随机变量ξ所有的取值为1，2，3，对应的概率依次为p1，p2，p1，若随机变量ξ的方差，则p1+p2的值是．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】由分布列的性质可得2p1+p2=1，由数学期望的计算公式可得Eξ的值，由方差的计算公式可得Dξ，进而即可解得p1，p2．【解答】解：由分布列的性质可得2p1+p2=1，（*）由数学期望的计算公式可得Eξ=1×p1+2×p2+3×p3=2（2p1+p2）=2．由方差的计算公式可得Dξ==2p1=，解得．把代入（*）得，解得．∴p1+p2=．故答案为．【点评】熟练掌握分布列的性质、数学期望的计算公式、方差的计算公式是解题的关键．12．（4分）公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1=1，a n=73，则n+d的最小值等于18．【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式写出n和d的关系，根据等差数列{a n}的各项均为正整数，分别列出n和d的取值，则答案可求．【解答】解：由a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）d=73，得．因为等差数列{a n}的各项均为正整数，所以公差d因为正整数．当n=2时，d=72；当n=3时，d=36；当n=4时，d=24；当n=5时，d=18；当n=7时，d=12；当n=9时，d=9；当n=10时，d=8；当n=13时，d=6；当n=19时，d=4；当n=37时，d=2；当n=73时，d=1．所以n+d的最小值等于18．故答案为18．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列中的穷举法，解答此题的关键是注意各项均为正整数，是基础题．13．（4分）已知△ABC的外接圆的圆心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则=﹣14．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，由垂径定理得D、E分别为AB、AE的中点，利用三角函数在直角三角形中的定义，可得cos∠OAD=，由向量数量积的定义得•=||2=32，同理可得•=||2=18，而=，展开后代入前面的数据即可得到的值．【解答】解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，∵⊙O中，OD⊥AB，∴AD=AB，cos∠OAD=因此，•=||•||cos∠OAD=||•||=||2=32同理可得•=||2=18∴==•﹣•=18﹣32=﹣14故答案为：﹣14【点评】本题给出三角形的外接圆的圆心为0，在已知三边长的情况下求的值，着重考查了圆中垂直于弦的直径性质、三角函数在直角三角形中的定义和向量数量积公式及其性质等知识，属于中档题．14．（4分）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=，且对任意的x∈R，满足f（x+2）﹣f（x）=3x，f（x+4）﹣f（x）=10×3x，则f（2014）=．【考点】3P：抽象函数及其应用；3T：函数的值；8E：数列的求和．【专题】51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】通过函数的递推关系式，写出f（2014），得到一个等比数列，然后求出和值即可．【解答】解：∵f（x+2）﹣f（x）=3x，f（x+4）﹣f（x）=10×3x，∴f（2014）=f（2010）+10×32010=f（2006）+10×32010+10×32006=…=f（2）+10×32010+10×32006+…+10×32=f（2）+10（32010+32006+ (32)=f（0）+3+（32+36+ (32010)=f（0）+30+=+1+=．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，等比数列求和的应用，数列与函数的综合试题，考查计算能力．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）二项式展开式中x4的系数为（）A．15B．﹣15C．6D．﹣6【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】由题可得，展开式的通项为T r+1==令6﹣2r=4可求r，代入即可求解系数【解答】解：由题可得，展开式的通项为T r+1==令6﹣2r=4可得r=1此时x4=﹣6x4，即系数为﹣6故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．16．（5分）在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；GZ：三角形的形状判断．【专题】11：计算题．【分析】利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式，得到两向量的夹角为锐角，从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角形；反过来，三角形ABC若为钝角三角形，可得B不一定为钝角，故原不等式不一定成立，可得前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：∵，即||•||cosθ＞0，∴cosθ＞0，且θ∈（0，π），所以两个向量的夹角θ为锐角，又两个向量的夹角θ为三角形的内角B的补角，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，反过来，△ABC为钝角三角形，不一定B为钝角，则“”是“△ABC为钝角三角形”的充分条件不必要条件．故选：A．【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的数量积运算，以及充分必要条件的证明，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．17．（5分）设函数，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣1B．0C．D．【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】根据x的范围把分段函数分段，配方后求出函数在两个区间段内最小值，则函数在整个定义域内的最小值可求．【解答】解：由，当时，0≤sin x≤1，f（x）=sin x+cos2x=﹣2sin2x+sin x+1=．此时当sin x=1时f（x）有最小值为；当时，﹣1≤sin x＜0，f（x）=﹣sin x+cos2x=﹣2sin2x﹣sin x+1=．此时当sin x=﹣1时f（x）有最小值．综上，函数f（x）的最小值是0．故选：B．【点评】本题考查了函数的定义域与值域，考查了分段函数值域的求法，训练了利用配方法求函数的值域，分段函数的值域是各区间段内值域的并集，此题是基础题．18．（5分）给出下列四个命题：①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面上所对应点的轨迹是椭圆．②设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）是R上的奇函数或偶函数．③已知曲线和两定点E（﹣5，0）、F（5，0），若P（x，y）是C上的动点，则||PE|﹣|PF||＜6．④设定义在R上的两个函数f（x）、g（x）都有最小值，且对任意的x∈R，命题“f（x）＞0或g（x）＞0”正确，则f（x）的最小值为正数或g（x）的最小值为正数．上述命题中错误的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】11：计算题．【分析】①应为连接两点的线段；②可能f（x）恒等于0，则函数为即奇又偶的函数；③可知点（﹣3，0），满足||PE|﹣|PF||=6；④由逻辑连接词“或”可知正确．【解答】解：①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面上所对应点即满足到（0，1），（0，﹣1）距离之和为2的点，故为连接两点的线段，故错误；②设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，可能f（x）恒等于0，则函数为即奇又偶的函数，故错误；③可知点（﹣3，0）在已知曲线上，此时PE=2，PF=8，显然||PE|﹣|PF||=6．故错误；④设定义在R上的两个函数f（x）、g（x）都有最小值，且对任意的x∈R，命题“f（x）＞0或g（x）＞0”正确，则f（x）的最小值为正数或g（x）的最小值为正数．由逻辑连接词“或”的真假性可知正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及复数和函数的奇偶性等知识，属基础题．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．②设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=2OB •BC=900sin2θ，由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值．②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则S=AB•BC=2x=2，由基本不等式可得S的最大值以及对应的x的取值；（2）根据（1）问的解答，即可得出怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大及最大值．【解答】解：如图所示，（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则BC=20sinθ，OB=20cos θ（其中0＜θ＜）；∴S=AB•BC=2OB•BC=400sin2θ，且当sin2θ=1，即θ=时，S取最大值为400，此时BC=10；所以，取BC=10时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2 （其中0＜x＜20），∴S=2x=2 ≤x2+（400﹣x2）=400，当且仅当x2=400﹣x2，即x=10 时，S取最大值400；所以，取BC=10 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．（2）由（1）知，取∠BOC=时，得到C点，从而截得的矩形ABCD，此时截得的矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．【点评】本题综合考查了二次函数、三角函数的最值问题，这里应用了基本不等式的方法求出了函数的最值．20．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．（1）求四棱锥B﹣AEFC的体积；（2）求△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5G：空间角．【分析】（1）由已知条件可判出AB⊥面AA1C1C，求出直角梯形AEFC的面积，则四棱锥B﹣AEFC的体积可求；（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面ABC与平面BEF的法向量，利用平面法向量所成角的余弦值得△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．【解答】解：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以A1A⊥底面ABC，所以A1A⊥AB，又AB⊥AC，AC∩A1A=A，所以AB⊥面AA1C1C，则AB为四棱锥B﹣AEFC的高．在直角梯形AEFC中，因为AE=2，AC=2，CF=4，所以．所以V B=．﹣AEFC（2）以A为坐标原点，分别以AC，AB，AA1所在直线为x，y，z建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），F（2，0，4），，设平面BEF的法向量为，则，则，取z=1，得x=﹣1，y=1．所以．平面ABC的一个法向量为，则．所以△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值为．【点评】本题考查了椎体体积的求解方法，考查了利用空间向量求二面角的平面角，解答的关键是建立正确的空间坐标系，是中档题．21．（14分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过两点，P是E上的动点．（1）求|OP|的最大值；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），将代入椭圆E的方程，求得m，n即可；（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，所以可得直线l的方程为．与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，利用直线的斜率公式即可证明结论．【解答】解：（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）将代入椭圆E的方程，得解得，所以椭圆E的方程为，设点P的坐标为（x0，y0），则．又P（x0，y0）是E上的动点，所以，得，代入上式得，故y0=0时，|OP|max=．|OP|的最大值为．（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，又，所以直线l的方程为．由得x2+2bx+2b2﹣4=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则．又，，故=．又，所以上式分子==故k1+k2=0．所以直线MA与直线MB的倾斜角互补．【点评】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线斜率计算公式与直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．22．（16分）已知f（x）=x|x﹣a|+b，x∈R．（1）当a=1，b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a=1，b=1时，若，求x的值；（3）若b＜0，且对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】&2：带绝对值的函数．【专题】15：综合题．【分析】（1）由f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1）即可判断当a=1，b=0时，f（x）=x|x﹣1|既不是奇函数也不是偶函数；（2）依题意，解方程2x|2x﹣1|+1=即可，为了去掉方程中的绝对值符号需对x 的取值范围分类讨论；（3）依题意，只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为|x﹣a|＜即可，转化为故＜a＜，x∈（0，1]，通过构造函数g（x）=x+与h （x）=x﹣，利用函数的单调性结合对参数b的范围的讨论即可求得实数a的取值范围．【解答】[解]（1）当a=1，b=0时，f（x）=x|x﹣1|既不是奇函数也不是偶函数．…（2分）∵f（﹣1）=﹣2，f（1）=0，∴f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1）所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．…（2分）（2）当a=1，b=1时，f（x）=x|x﹣1|+1，由f（2x）=得2x|2x﹣1|+1=…（2分）即或…（2分）解得2x=或2x=（舍），或2x=，所以x==﹣1或x=﹣1．…（2分）（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f（x）＜0恒成立，故只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为|x﹣a|＜即x+＜a＜x﹣…（2分）故＜a＜，x∈（0，1]又函数g（x）=x+在（0，1]上单调递增，所以=g（1）=1+b；对于函数h（x）=x﹣，x∈（0，1]①当b＜﹣1时，在（0，1]上h（x）单调递减，=h（1）=1﹣b，又1﹣b＞1+b，所以，此时a的取值范围是（1+b，1﹣b）．…（2分）②当﹣1≤b＜0，在（0，1]上，h（x）=x﹣≥2，当x=时，=2，此时要使a存在，必须有即﹣1≤b＜2﹣3，此时a的取值范围是（1+b，2）综上，当b＜﹣1时，a的取值范围是（1+b，1﹣b）；当﹣1≤b＜2﹣3时，a的取值范围是（1+b，2）；当2﹣3≤b＜0时，a的取值范围是∅．…（2分）【点评】本题考查带绝对值的函数，着重考查方程思想与分类讨论思想的综合运用，考查构造函数与抽象思维及运算能力，属于难题．23．（18分）如图，过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n﹣1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，△OP1Q1，△Q1P2Q2，△Q2P3Q3，…，△Q n﹣1P n Q n，…的面积分别为G1，G2，G3，…，G n，…，数列{a n}的前n项的和为S n．（1）求a1，a2；（2）求a n，；（3）设，数列{b n}的前n项和为T n，对于正整数p，q，r，s，若p＜q＜r＜s，且p+s=q+r，试比较T p•T s与T q•T r的大小．【考点】8J：数列的极限；8O：数列与解析几何的综合．【专题】11：计算题；15：综合题；54：等差数列与等比数列；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据等边三角形的性质，算出点P1，代入抛物线求得，同样的方法可算出；（S n﹣1，0）建立直线Q n﹣1P n的方程，与抛物线方程消去x得关于（2）由点Q n﹣1|y|的方程，解出|y|关于S n的表示式，根据等边三角形性质和三角函数定义加以计算，化简整理得，用n+1代替n得到，将两式作差整理可得{a n}是以为首项、为公差的等差数列，再用等差数列通项算出a n的表达式，从而得到G n、S n的表达式，最后根据极限的运算性质即可算出的值；（3）由（2）得{b n}是公比，首项的正项等比数列．根据等比数列的求和公式求出T p、T s、T q、T r的表达式，再将T p•T s与T q•T r作差并结合正整数p，q，r，s构成成等差数列，结合p＜q＜r＜s化简整理可得T p•T s ﹣T q•T r=，讨论其中各个因式的符号可得T p•T s﹣T q•T r ＜0，可得必定有T p•T s＜T q•T r对任意成等差数列的正整数p、q、r、s且p＜q＜r＜s都成立，得到答案．【解答】解：（1）如图，由△OQ1P1是边长为a1的等边三角形，得点P1的坐标为，又∵P1在抛物线y2=x上，所以，得…（2分）同理P2在抛物线y2=x上，得…（4分）的坐标为（a1+a2+a3+…+a n﹣1，0），即点（S n﹣1，0）（点Q0（2）如图，点Q n﹣1与原点重合，S0=0），P n的方程为或，所以直线Q n﹣1因此，点P n的坐标满足消去x，得，所以又∵，∴从而…①…（6分）由①可得…②②﹣①，得即（a n+1+a n）（3a n+1﹣3a n﹣2）=0，又a n＞0，于是∴{a n}是以为首项、为公差的等差数列，…（8分）因此，，由此可得…（10分）（3）因为，所以数列{b n}是正项等比数列，且公比，首项，则，，，…（12分）T p•T s﹣T q•T r=（注意到）=…（14分）而=（注意到q﹣p=s﹣r）=…（16分）因为a＞0且a≠1，所以又q﹣p，r﹣p均为正整数，所以与同号，故，所以，T p•T s＜T q•T r．…（18分）Q n P n 【点评】本题给出抛物线中的等边三角形，求按图中作出的等边三角形Q n﹣1的边长a n的表达式，并设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，在成等差数列的正整数p、q、r、s满足且p＜q＜r＜s的情况下讨论T p•T s与T q•T r的大小关系．着重考查了抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、不等式的性质和等差等比数列的通项与求和公式等知识，属于难题．。
2013年上海市浦东新区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 已知复数z 满足z +i =1（其中i 为虚数单位），则|z|=________． 2. 已知集合A ={−2, 1, 2}，B ={√a +1，a}，且B ⊆A ，则实数a 的值是________．3. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．4. 函数f(x)=1+log 2x 与y =g(x)的图象关于直线y =x 对称，则g(3)=________．5. 把三阶行列式|2x03x401x −3−1|中第1行第3列元素的代数余子式记为f(x)，则关于x 的不等式f(x)<0的解集为________．6. 若双曲线的渐近线方程为y =±3x ，它的一个焦点是(√10，0)，则双曲线的方程是________．7. 若直线3x +4y +m =0与圆C ：(x −1)2+(y +2)2=1有公共点，则实数m 的取值范围是________．8. 记直线l n :nx +(n +1)y −1=0(n ∈N ∗)与坐标轴所围成的直角三角形的面积为S n ，则limn →∞(S 1+S 2+S 3+⋯+S n )=________． 9. 在△ABC 中，a ，b ，c 是三个内角，A ，B ，C 所对的边，若a =2,b +c =7,cosB =−14，则b =________．10. 已知实数x ，y 满足约束条件{−2≤x +y ≤2−2≤x −y ≤2x 2+y 2≥1，则不等式所围成的区域面积为________．11. 方程xcosx =0在区间[−3, 6]上解的个数为________．12. 某人从分别标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张，并按如下约定记录抽取结果：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记录下来；如果出现一奇一偶，则记下它们的差的绝对值，则出现记录结果不大于3的概率为________．13. 如果M 是函数y =f(x)图象上的点，N 是函数y =g(x)图象上的点，且M ，N 两点之间的距离|MN|能取到最小值d ，那么将d 称为函数y =f(x)与y =g(x)之间的距离．按这个定义，函数f(x)=x 和g(x)=√−x 2+4x −3之间的距离是________． 14. 数列{a n }满足a n+1=4a n −2a n +1(n ∈N ∗)．①存在a 1可以生成的数列{a n }是常数数列； ②“数列{a n }中存在某一项a k =4965”是“数列{a n }为有穷数列”的充要条件；③若{a n }为单调递增数列，则a 1的取值范围是(−∞, −1)∪(1, 2)； ④只要a 1≠3k −2k+13k −2k，其中k ∈N ∗，则limn →∞a n一定存在；其中正确命题的序号为________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15. 设a ∈R ，则“a =1”是“直线l 1:ax +2y −1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 16. 已知|a →|=3，|b →|=2，(a →+2b →)⋅(a →−3b →)=−18，则a →与b →的夹角为( )A 30∘B 60∘C 120∘D 150∘17. 已知以4为周期的函数f(x)={m(1−|x|),x ∈(−1,1]−cos πx 2，x ∈(1,3]其中m >0，若方程f(x)=x3恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A (43，+∞) B [43，+∞) C (43，83) D [43，83]18. 从集合{1, 2, 3, 4, ..., 2013}中任取3个元素组成一个集合A ，记A 中所有元素之和被3除余数为i 的概率为P i (0≤i ≤2)，则P 0，P 1，P 2的大小关系为（ ） A P 0=P 1=P 2 B P 0>P 1=P 2 C P 0<P 1=P 2 D P 0>P 1>P 2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须写出必要的步骤．19.如图，已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长是2，体积是16，M ，N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点．（1）求异面直线MN 与A 1C 1所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）求过A 1，B ，C 1的平面与该正四棱柱所截得的多面体A 1C 1D 1−ABCD 的体积． 20. 已知向量m →=(1,1)，向量n →与向量m →的夹角为3π4，且m →⋅n →=−1． (1)求向量n →；(2)若向量n →与q →=(1,0)共线，向量p →=(2cos 2C2,cosA)，其中A 、C 为△ABC 的内角，且A 、B 、C 依次成等差数列，求|n →+p →|的取值范围．21. 设函数f(x)=(x −a)|x|+b（1）当a =2，b =3，画出函数f(x)的图象，并求出函数y =f(x)的零点； （2）设b =−2，且对任意x ∈(−∞, 1],f(x)<0恒成立，求实数a 的取值范围． 22. 已知直角△ABC 的三边长a ，b ，c ，满足a ≤b <c（1）在a ，b 之间插入2011个数，使这2013个数构成以a 为首项的等差数列{a n }，且它们的和为2013，求c 的最小值；（2）已知a ，b ，c 均为正整数，且a ，b ，c 成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S 1，S 2，S 3，…S n ，且T n =−S 1+S 2−S 3+⋯+(−1)n S n ，求满足不等式T 2n >6⋅2n+1的所有n 的值；（3）已知a ，b ，c 成等比数列，若数列{X n }满足√5X n =(c a)n −(−ac)n (n ∈N +)，证明：数列{√X n }中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且X n 是正整数． 23. 解答下列问题： (1)设椭圆C 1:x 2a2+y 2b 2=1与双曲线C 2:9x 2−9y 28=1有相同的焦点F 1，F 2，M 是椭圆C 1与双曲线C 2的公共点，且△MF 1F 2的周长为6，求椭圆C 1的方程；(2)我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，已知“盾圆D”的方程为y 2={4x,(0≤x ≤3),−12(x −4),(3<x ≤4). 设“盾圆D”上的任意一点M 到F(1, 0)的距离为d 1，M 到直线l:x =3的距离为d 2，求证：d 1+d 2为定值；(3)由抛物线弧E 1:y 2=4x(0≤x ≤23)与第(1)小题椭圆弧E 2:x 2a2+y 2b 2=1(23≤x ≤a)所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F(1, 0)的直线与“盾圆E”交于A ，B 两点，|FA|=r 1，|FB|=r 2且∠AFx =α(0≤α≤π)，试用cosα表示r 1；并求r1r 2的取值范围．2013年上海市浦东新区高考数学二模试卷（文科）答案1. √22. 13. 154. 45. (−1, 4)6. x 2−y 29=17. [0, 10] 8. 129. 410. 8−π 11. 4 12. 23 13. √2−1 14. ①④ 15. A16. B 17. C 18. B 19. 解：（1）由题意得16=22×B 1B ，∴ B 1B =4．在Rt △ABC 中，由勾股定理可得AC =√22+22=2√2=A 1C 1． 同理可得BC 1=BA 1=√22+42=2√5．连接BC 1，∵ M ，N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，∴ BC 1 // MN ， ∴ ∠A 1C 1B 或其补角是异面直线MN 与A 1C 1所成的角． 连接BA 1，在△A 1BC 1中，由余弦定理得cos∠A 1C 1B =√2)2√5)2√5)22×2√2×2√5=√1010． ∴ 异面直线MN 与A 1C 1所成的角为arccos√1010． （2）∵ V B−A 1B 1C 1=13×12×2×2×4=83；∴ V A 1C 1D 1−ABCD =V ABCD−A 1B 1C 1D 1−V B−A 1B 1C 1=16−83=403，∴ 多面体A 1C 1D 1−ABCD 的体积为403．20. 解：(1)设n →=(x,y)．由m →⋅n →=−1，得x +y =−1① 又向量n →与向量m →的夹角为3π4得−√22=√2⋅√x 2+y 2，即x 2+y 2=1②由①、②解得{x =−1y =0或{x =0y =−1，∴ n →=(−1,0)或n →=(0,−1)．…(2)结合(1)由向量n →与q →=(1,0)共线知n →=(−1,0)； 由A 、B 、C 依次成等差数列知B =π3，A +C =2π3，0<A <2π3．…∴ n →+p →=(−1+2cos 2C2,cosA)=(cosC,cosA)， ∴ |n →+p →|2=cos 2C +cos 2A =1+cos2A2+1+cos2C2=1+12[cos2A +cos(4π3−2A)]=1+12cos(2A +π3)．…∵ 0<A <2π3，π3<2A +π3<5π3，∴ −1≤cos(2A +π3)<12，∴ 12≤1+12cos(2A +π3)<54， ∴ |n →+p →|2∈[12,54)，∴ |n →+p →|∈[√22,√52)．… 21. 解：（1）当a =2，b =3时函数f(x)=(x −2)|x|+3的解析式可化为：f(x)={x2−2x+3x≥02x−x2+3x<0，故函数的图象如下图所示：当x≥0时，由f(x)=0，得x2−2x+3=0，此时无实根；当x<0时，由f(x)=0，得x2−2x−3=0，得x=−1，x=3（舍）．所以函数的零点为x=−1．（2）当b=−2时，由f(x)<0得，(x−a)|x|<2．当x=0时，a取任意实数，不等式恒成立；当0<x≤1时，a>x−2x ，令g(x)=x−2x，则g(x)在0<x≤1上单调递增，∴ a>g max(x)=g(1)=−1；当x<0时，a>x+2x ，令ℎ(x)=x+2x，则ℎ(x)在[−√2，0)上单调递减, (−∞,−√2]单调递增；∴ a>ℎmax(x)=ℎ(−√2)=−2√2．综合a>−1．22. （1）解：{a n}是等差数列，∴ 2013(a+b)2=2013，即a+b=2．所以c2=a2+b2=2(a2+b2)2≥(a+b)22=222=2，所以c的最小值为√2；（2）解：设a，b，c的公差为d(d∈Z)，则a2+(a+d)2=(a+2d)2∴ a=3d．设三角形的三边长为3d，4d，5d，面积S d=12×3d×4d=6d2(d∈Z)，则S n=6n2，T2n=−S1+S2−S3+...+S2n=6[−12+22−32+42−...+(2n)2]=6(1+2+3+4+...+2n)=12n2+6n．由T2n>6⋅2n+1得n2+12n>2n，当n≥5时，2n=1+n+n(n−1)2+⋯≥2+2n+(n2−n)>n2+12n，经检验当n=2，3，4时，n2+12n>2n，当n=1时，n2+12n<2n．综上所述，满足不等式T2n>6⋅2n+1的所有n的值为2、3、4．（3）证明：因为a，b，c成等比数列，∴ b2=ac．由于a ，b ，c 为直角三角形的三边长，知a 2+ac =c 2，∴ c a=1+√52，又√5X n =(c a )n −(−ac )n (n ∈N ∗)，得√5X n =(1+√52)n−(1−√52)n， 于是√5X n +√5X n+1=(1+√52)n−(1−√52)n+(1+√52)n+1−(1−√52)n+1=(1+√52)n+2−(1−√52)n+2=√5X n+2．∴ X n +X n+1=X n+2，则有(√X n )2+(√X n+1)2=(√X n+2)2．故数列{√X n }中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形． 因为 X 1=√55[(√5+12)1−(1−√52)1]=1， X 2=√55[(√5+12)2−(1−√52)2]=1，⇒X 3=X 1+X 2=2∈N ∗，由X n +X n+1=X n+2，同理可得X n ∈N ∗，X n+1∈N ∗⇒X n+2∈N ∗， 故对于任意的n ∈N ∗都有X n 是正整数．23. (1)解：由△MF 1F 2的周长为6，得2(a +c)=6，即a +c =3， 椭圆C 1与双曲线C 2:9x 2−9y 28=1有相同的焦点，所以c =1，所以a =2，b 2=a 2−c 2=3， 椭圆C 1的方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设“盾圆D”上的任意一点M 的坐标为(x, y)，d 2=|x −3|． 当M ∈C 1时，y 2=4x(0≤x ≤3)，d 1=√(x −1)2+y 2=|x +1|， 则d 1+d 2=|x +1|+|x −3|=(x +1)+(3−x)=4；当M ∈C 2时，y 2=−12(x −4)(3<x ≤4)，d 1=√(x −1)2+y 2=|7−x|， 则d 1+d 2=|7−x|+|x −3|=(7−x)+(x −3)=4； 所以d 1+d 2=4为定值.(3)解：显然“盾圆E”由两部分合成，所以按A 在抛物线弧E 1或椭圆弧E 2上加以分类， 由“盾圆E”的对称性，不妨设A 在x 轴上方（或x 轴上）： 当x =23时，y =±2√63，此时r =53，cosα=−15；当−15≤cosα≤1时，A 在椭圆弧E 2上.由题设知A(1+r 1cosα, r 1sinα)代入x 24+y 23=1得，3(1+r1cosα)2+4(r1sinα)2−12=0，整理得(4−cos2α)r12+6r1cosα−9=0，解得r1=32+cosα或r1=3cosα−2（舍去）．当−1≤cosα≤−15时，A在抛物线弧E1上，由方程或定义均可得到r1=2+r1cosα，于是r1=21−cosα，综上，r1=21−cosα(−1≤cosα≤−15)或r1=32+cosα(−15≤cosα≤1)；相应地，B(1−r2cosα, −r2sinα).当−1≤cosα≤−15时，A在抛物线弧E1上，B在椭圆弧E2上，r1 r2=21−cosα⋅2−cosα3=23(1+11−cosα)∈[1, 119]；当15≤cosα≤1时，A在椭圆弧E2上，B在抛物线弧E1上，r1 r2=32+cosα⋅1+cosα2=32(1−12+cosα)∈[911, 1]；当−15≤cosα≤15时，A，B在椭圆弧E2上，r1 r2=32+cosα⋅2−cosα3=2−cosα2+cosα∈(911, 119).综上r1r2的取值范围是[911, 119]．。
2013高三文科二模数学试卷（杨浦等地有答案）2012学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科）2013.04.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集，集合，则.2．若复数满足（是虚数单位），则.3．已知直线的倾斜角大小是，则.4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是. 5．已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为.到渐近线的距离为.7．函数的最小正周期.8．若，则目标函数的最小值为.9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是. 10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为．11．某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲乙名学生，这名学生选择的选修课相同的概率是(结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是.13．已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.14．函数的定义域为，其图像上任一点满足．①函数一定是偶函数；②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数可以是奇函数；④函数如果是偶函数，则值域是或；⑤函数值域是，则一定是奇函数．其中正确命题的序号是（填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．已知，，则的值等于………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于…（）（A）.（B）.（C）.（D）.17．若直线通过点，则………………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.18．某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．那么，可推知方程解的个数是………………………………………………………（）（A）.（B）.（C）.（D）.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是米，底面的边长是米．（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？(精确到米2) 20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．（1）若是的中点，求；（2）设，求△周长的最大值及此时的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆.（1）直线过椭圆的中心交椭圆于两点，是它的右顶点，当直线的斜率为时，求△的面积；（2）设直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线过椭圆与轴负半轴的交点，求实数的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数．（1）若函数的图像过原点，求的解析式；（2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列的前项和为，且，．从中抽出部分项,组成的数列是等比数列，设该等比数列的公比为，其中．（1）求的值；（2）当取最小时，求的通项公式；（3）求的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．4；9．；10．；11．；12．；13．；14．②③⑤二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．D；16．B；17．B；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．解：（1）如图正四棱锥底面的边长是米，高是米所以这个四棱锥冷水塔的容积是．(2)如图，取底面边长的中点，连接，答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）在△中，，由得，解得．（2）∵∥，∴，在△中，由正弦定理得，即∴,又．记△的周长为，则=∴时，取得最大值为.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：(1)依题意，，，由，得，设，∴；(2)如图，由得，依题意，，设，线段的中点，则，，，由，得，∴22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解:（1）过原点，得或（2）是偶函数，即，又恒成立即当时当时，，当时，，综上：（3）是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数．令，当时；时，由于时，是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）令得，即；又（2）由和，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以．解法一：数列是正项递增等差数列，故数列的公比，若，则由得，此时，由解得，所以，同理；若，则由得，此时组成等比数列，所以，，对任何正整数，只要取，即是数列的第项．最小的公比．所以．………（10分）解法二:数列是正项递增等差数列，故数列的公比，设存在组成的数列是等比数列，则，即因为所以必有因数，即可设，当数列的公比最小时，即，最小的公比．所以．（3）由（2）可得从中抽出部分项组成的数列是等比数列，其中，那么的公比是，其中由解法二可得．，所以。
2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（文科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）函数y=log2（x﹣1）的定义域是．2．（4分）若且sin2θ＜0，则tanθ=．3．（4分）若点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，则函数f（x）的反函数f﹣1（x）=．4．（4分）若z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且为纯虚数，则实数a=．5．（4分）若，则=．6．（4分）若函数f（x）=x2+ax+1是偶函数，则函数的最小值为．7．（4分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．8．（4分）若某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为．9．（4分）若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为．10．（4分）若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为．11．（4分）△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则C=．12．（4分）若圆C的半径为3，单位向量所在的直线与圆相切于定点A，点B 是圆上的动点，则的最大值为．13．（4分）已知函数，若f（1﹣a2）＞f（2a），则实数a的取值范围是．14．（4分）若a i，j表示n×n阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且a i+1，=a i+1，j+a i，j（i、j=1，2，3，…，n﹣1），则=．j+1二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）若集合A={x|y2=4x，y∈R}，，则A∩B=（）A．[0，1]B．（﹣2，1]C．（﹣2，+∞）D．[1，+∞）16．（5分）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1B．2：1C．3：2D．4：117．（5分）若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件18．（5分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC所在的平面内，且（a为常数）．下列结论中，正确的是（）A．当0＜a＜1时，满足条件的点P有且只有一个B．当a=1时，满足条件的点P有三个C．当a＞1时，满足条件的点P有无数个D．当a为任意正实数时，满足条件的点P是有限个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）已知函数f（x）=A cos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角θ满足，求f（2θ）的值．20．（14分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是B1B、DC的中点．（1）求三棱锥E﹣FCC1的体积．（2）求异面直线D1F与A1E所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．21．（14分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a，记F（x）=2f（x）+g（x）．（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k=1，P（6，0），求△P AB的面积；（3）当k（k∈R且k≠0）变化时，试求一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．23．（18分）对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n、（n=1，2，3，4，5），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，求证：数列{S n}具有“性质m”；（3）数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意n∈[3，100]且n∈N*，数列{d n}具有“性质m”，求实数t的取值范围．2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）．【考点】4K：对数函数的定义域．【专题】11：计算题．【分析】由函数的解析式知，令真数x﹣1＞0即可解出函数的定义域．【解答】解：∵y=log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1函数y=log2（x﹣1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）【点评】本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．2．（4分）若且sin2θ＜0，则tanθ=﹣．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件求得cosθ＜0，可得cosθ=﹣以及tanθ=的值．【解答】解：∵，且sin2θ=2sinθcosθ＜0，∴cosθ＜0，故cosθ=﹣=﹣，∴tanθ==﹣，故答案为﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及二倍角公式的应用，属于基础题．3．（4分）若点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，则函数f（x）的反函数f﹣1（x）=x2（x≥0）．【考点】4R：反函数；4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】通过函数经过的点求出幂函数解析式，利用反函数的求法求出反函数即可．【解答】解：因为点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，所以2=4a，所以a=，所求幂函数为：y=，x≥0，则x=y2，所以原函数的反函数为：f﹣1（x）=x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）【点评】本题考查幂函数解析式的求法，反函数的求法，基本知识的应用．4．（4分）若z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且为纯虚数，则实数a=﹣2．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】根据且==为纯虚数，可得a+2=0，且2﹣a≠0，由此解得a的值．【解答】解：∵z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且===为纯虚数，故有a+2=0，且2﹣a≠0，解得a=﹣2，故答案为﹣2．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．5．（4分）若，则=﹣243．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】给x赋值1，﹣1，要求的式子用平方差公式分解，把赋值后的结果代入求出最后结果．【解答】解：因为，令x=1得到35=a0+a1+a2+a3+a4+a5，令x=﹣1得到﹣1=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5，又（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2=﹣（a0+a1+a2+a3+a4+a5）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5）=﹣35=﹣243．故答案为：﹣243【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是理解赋值法的应用，观察要求的式子的结构特点，本题是一个中档题目．6．（4分）若函数f（x）=x2+ax+1是偶函数，则函数的最小值为2．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3V：二次函数的性质与图象．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】依题意，可求得a=0，从而可得y==|x|+，利用基本不等式即可求得所求函数的最小值．【解答】解：∵f（x）=x2+ax+1是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴a=0．∴f（x）=x2+1，∴y==|x|+≥2（当且仅当x=±1时取“=”）．∴函数y=的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查基本不等式，考查函数的奇偶性，求得a=0是关键，属于中档题．7．（4分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴，解得，a=2∴双曲线的方程为故答案为：【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（4分）若某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题．【分析】利用列举法列举出从4名男生、2名女生中选出3人的所有方法，然后找出至少有两名男生的方法种数，直接利用古典概型的概率计算公式计算．【解答】解：设4名男生分别记为1，2，3，4．两名女生分别记为a，b．则从4名男生、2名女生中选出3人的选法共有：（123），（124），（134），（234），（12a），（12b），（13a），（13b），（14a），（14b），（23a），（23b），（24a），（24b），（34a），（34b），（1ab），（2ab），（3ab），（4ab）共20种．其中至少含有2名男生的是：（123），（124），（134），（234），（12a），（12b），（13a），（13b），（14a），（14b），（23a），（23b），（24a），（24b），（34a），（34b）共16种．所以从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为．故答案为．【点评】本题考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解答此题的关键是列举时做到不重不漏，是基础题．9．（4分）若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为6．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组对应的平面区域如图，将直线l：z=x+2y进行平移，并观察它在轴上截距的变化，可得当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值．由此求出A点坐标，不难得到本题的答案．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于△ABO及其内部的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移，可知越向上平移，z的值越大，当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值由解得A（2，2）∴z max=F（2，2）=2+2×2=6故答案为：6【点评】本题给出线性约束条件，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单线性规划等知识点，属于基础题．10．（4分）若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为0．【考点】IM：两条直线的交点坐标；OY：三阶矩阵．【专题】5B：直线与圆．【分析】先求x+y+2=0和2x﹣y+1=0的交点，代入直线ax+y+3=0，即可得到a 的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可．【解答】解：解方程组得交点坐标为（﹣1，﹣1），代入ax+y+3=0，得a=2．行列式=2+4﹣3﹣6+4﹣1=0．故答案为：0．【点评】本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查行列式的运算法则，考查计算能力．11．（4分）△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则C=．【考点】HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】利用余弦定理求得a=b，再利用余弦定理求得cos C=，可得角C 的值．【解答】解：△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则由余弦定理可得a2=b2+﹣2b••cos=b2，∴a=b．再根据cos C===，故有C=，故答案为．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．12．（4分）若圆C的半径为3，单位向量所在的直线与圆相切于定点A，点B 是圆上的动点，则的最大值为3．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】设的夹角为θ，过C作CM⊥AB，则AB=2AM，然后结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ，再利用三角函数的定义可用θ表示AM，代入向量的数量积的定义=||||cosθ，最后由二倍角公式及正弦函数的性质即可求解【解答】解：设的夹角为θ过C作CM⊥AB，垂足为M，则AB=2AM由过点A的直线与圆相切，结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ∵在直角三角形AMC中，由三角函数的定义可得，sin∠ACM=∴AM=3sinθ，AB=6sinθ∵=||||cosθ=|AB|cosθ=6sinθcosθ=3sin2θ≤3当sin2θ=1即θ=45°时取等号故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积的定义，弦切角定理及三角函数的定义的综合应用，试题具有一定的灵活性13．（4分）已知函数，若f（1﹣a2）＞f（2a），则实数a的取值范围是．【考点】7J：指、对数不等式的解法．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】通过函数的单调性，转化不等式组求解即可．【解答】解：函数，x＜0时是常函数，x≥0时是增函数，由f（1﹣a2）＞f（2a），所以，解得：，故答案为：．【点评】本题考查函数单调性的应用，不等式的解法，考查计算能力．14．（4分）若a i，j表示n×n阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且a i+1，=a i+1，j+a i，j（i、j=1，2，3，…，n﹣1），则=．j+1【考点】OZ：高阶矩阵．【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．=3，a3，2=5，a3，3=8，a3，4=12，…由于后一项减去【分析】依题意，可求得a3，1．最后利用极限公式即前一项的差构成等差数列，利用累加法即可求得a3，n可得出答案．=3，a3，2=a3，1+a2，1=3+2=5，a3，3=a3，2+a2，2=5+3=8，【解答】解：依题意，a3，1a3，4=a3，3+a2，3=8+4=12，…﹣a3，1=5﹣3=2，（1）∴a3，2a3，3﹣a3，2=8﹣5=3，（2）a3，4﹣a3，3=12﹣8=4，（3）…a3，n﹣a3，n﹣1=n，（n﹣1）将这（n﹣1）个等式左右两端分别相加得：a3，n﹣a3，1=2+3+…+（n﹣1）==n2﹣n﹣1，∴a3=n2﹣n﹣1+3=n2﹣n+2．，n则==．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项，考查矩阵变换的性质，突出累加法求通项的考查，属于难题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）若集合A={x|y2=4x，y∈R}，，则A∩B=（）A．[0，1]B．（﹣2，1]C．（﹣2，+∞）D．[1，+∞）【考点】1E：交集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由y∈R，得化简集合A，解分式不等式化简集合B，然后直接进行交集运算．【解答】解：由y2=4x，y∈R，所以x≥0，所以A={x|y2=4x，y∈R}={x|x≥0}；再由，得，解得﹣2＜x≤1．所以={x|﹣2＜x≤1}，则A∩B={x|x≥0}∩{x|﹣2＜x≤1}=[0，1]．故选：A．【点评】本题考查了分式不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础的计算题．16．（5分）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1B．2：1C．3：2D．4：1【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故选：C．【点评】本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题．17．（5分）若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】一方面由a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，得到△=a2﹣4＜0，解得a的取值范围，即可判断出“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点是否位于第四象限”；另一方面，由“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”，可得，解出a的取值范围，即可判断出△＜0是否成立即可．【解答】解：①∵a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2．∴﹣3＜2a﹣1＜3，﹣3＜a﹣1＜1，因此z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点不一定位于第四象限；②若“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”正确，则，解得．∴△＜0，∴关于x的方程x2+ax+1=0无实根正确．综上①②可知：若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件．故选：B．【点评】熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式△的关系、复数z位于第四象限的充要条件事件他的关键．18．（5分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC所在的平面内，且（a为常数）．下列结论中，正确的是（）A．当0＜a＜1时，满足条件的点P有且只有一个B．当a=1时，满足条件的点P有三个C．当a＞1时，满足条件的点P有无数个D．当a为任意正实数时，满足条件的点P是有限个【考点】9Y：平面向量的综合题．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示设P（x，y），将式子化为关于x、y、a的式子，化简整理可得x2+（y﹣）2=（a﹣1），讨论a的取值范围，可得当a＞1时方程表示以点（0，）为圆心，半径r=的圆，满足条件的点P有无数个，可知只有C项符合题意．【解答】解：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示则A（0，），B（﹣，0），C（，0），设P（x，y），可得=x2+（y﹣）2，=（x+）2+y2，=（x﹣）2+y2∵∴x2+（y﹣）2+（x+）2+y2+（x﹣）2+y2=a化简得：3x2+3y2﹣y+﹣a=0，即x2+y2﹣y+﹣=0配方，得x2+（y﹣）2=（a﹣1） (1)当a＜1时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；当a=1时，方程（1）的右边为0，表示点（0，），恰好是正三角形的重心；当a＞1时，方程（1）的右边大于0，表示以（0，）为圆心，半径为的圆由此对照各个选项，可得只有C项符合题意故选：C．【点评】本题给出正三角形中满足条件的动点P，求点P的轨迹方程，着重考查了坐标系内两点的距离公式、圆的标准方程和含有参数的二次方程的讨论等知识，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）已知函数f（x）=A cos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角θ满足，求f（2θ）的值．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）通过函数的图象，直接求出A，T然后求出ω，利用函数经过（0，1）结合ϕ的范围求出ϕ的值，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用锐角θ满足，求出，然后利用两角和的正弦函数求f（2θ）的值．【解答】解：（1）由题意可得A=2…（1分）即T=4π，…（3分），f（0）=1由且，得函数（2）由于且θ为锐角，所以f（2θ）===【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，两角和与差的三角函数的应用同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．20．（14分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是B1B、DC的中点．（1）求三棱锥E﹣FCC1的体积．（2）求异面直线D1F与A1E所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】（1）根据给出的多面体是正方体，所以三角形ECC1的面积易求，且F 点到面ECC1的高可求，把三棱锥E﹣FCC1的体积转化为三棱锥F﹣ECC1的体积，直接利用体积公式求解；（2）取AB的中点G，连接A1G，则∠EA1G即为两异面直线D1F与A1E所成角，在△A1GE中直接利用余弦定理即可求解．【解答】解：（1）由=因给出的多面体为正方体，所以FC⊥平面ECC1，且FC=1，又△ECC1的底CC1=2，高为E到CC1的距离等于2，所以==．（2）如上图，取AB的中点为G，连接A1G，GE由于A1G∥D1F，所以直线A1G与A1E所成的锐角或直角即为异面直线A1E与D1F所成的角．在△A1GE中，，，由余弦定理得，＞0所以即异面直线A1E与D1F所成的角的大小为．【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧，此题是中档题．21．（14分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a，记F（x）=2f（x）+g（x）．（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）可得F（x）的解析式，由可得定义域，令F（x）=0，由对数函数的性质可解得x的值，注意验证即可；（2）方程可化为，设1﹣x=t∈（0，1]，构造函数，可得单调性和最值，进而可得吗的范围．【解答】解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a≠1）由，可解得﹣1＜x＜1，所以函数F（x）的定义域为（﹣1，1）令F（x）=0，则…（*）方程变为，即（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0解得x1=0，x2=﹣3，经检验x=﹣3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0即函数F（x）的零点为0．（2）方程可化为=，故，设1﹣x=t∈（0，1]函数在区间（0，1]上是减函数当t=1时，此时x=0，y min=5，所以a m≥1①若a＞1，由a m≥1可解得m≥0，②若0＜a＜1，由a m≥1可解得m≤0，故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤0【点评】本题考查函数的零点与方程的跟的关系，属中档题．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k=1，P（6，0），求△P AB的面积；（3）当k（k∈R且k≠0）变化时，试求一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．【考点】%H：三角形的面积公式；IG：直线的一般式方程与直线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的标准方程和a2=b2+c2，即可得到F及A的坐标，从而得到k的值，即可得到直线l的方程；（2）利用点斜式得到直线l的方程，与椭圆的方程联立即可得出点A、B的纵坐标，利用即可得到面积；（3）利用点斜式得到直线l的方程，与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，表示出直线AC和BC的斜率，令其和为0解出x0即可．【解答】解：（1）由题意a2=18，b2=9得c=3，∴F（3，0），∵且点A在x轴的上方，得A（0，3），k=﹣1，．直线l：，即直线l的方程为x+y﹣3=0（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），当k=1时，直线l：y=x﹣3将直线与椭圆方程联立，消去x得，y2+2y﹣3=0，解得y1=﹣3，y2=1，|y1﹣y2|=4，∴．（3）假设存在这样的点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，由题意得，直线l：y=k（x﹣3）（k≠0），消去y得，（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0△＞0恒成立，，=∴2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，．解得x0=6，所以存在一点（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．【点评】熟练掌握椭圆的标准方程和a2=b2+c2、点斜式得到直线l的方程与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系、三角形的面积计算公式是解题的关键．23．（18分）对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n、（n=1，2，3，4，5），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，求证：数列{S n}具有“性质m”；（3）数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意n∈[3，100]且n∈N*，数列{d n}具有“性质m”，求实数t的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】15：综合题；23：新定义．【分析】（1）在数列{a n}中，令n=1可验证不满足条件①；在数列{b n}中，按“性质m”的定义验证条件①②即可；（2）将代入S3=可求得q，从而求得c n，S n，利用放缩法可验证数列{S n}满足及S n＜2；（3）写出d n+1，d n+2，数列{d n}具有“性质m”，由条件①得d n+d n+2＜2d n+1恒成立，代入后化简分离出t，转化为最值问题可得t的范围，在该范围下可判断数列{d n}为递增数列，从而可知{d n}最大项的值为d100，由此知存在M满足条件②，从而得知t的范围；【解答】（1）解：在数列{a n}中，取n=1，则，不满足条件①，所以数列{a n}不具有“m性质”；在数列{b n}中，b1=1，，b3=2，，b5=1，则，，，所以满足条件①；（n=1，2，3，4，5）满足条件②，所以数列{b n}具有“性质m”．（2）证明：由于数列{c n}是各项为正数的等比数列，则公比q＞0，将代入S3=，得6q2﹣q﹣1=0，解得或（舍去），所以c1=1，，，对于任意的n∈N*，，且S n＜2，所以数列{S n}满足条件①和②，所以数列{S n}具有“m性质”；（3）由于d n=，则，，由于任意n∈[3，100]且n∈N*，数列{d n}具有“性质m”，所以d n+d n+2＜2d n+1，即，化简得，t（n﹣2）＞1，即对于任意n∈[3，100]且n∈N*恒成立，所以t＞1①，=，由于n∈[3，100]及①，所以d n+1＞d n，即n∈[3，100]时，数列{d n}是单调递增数列，所以{d n}最大项的值为，满足条件②只需即可，所以这样的M存在②，所以t＞1即可．【点评】本题考查等差数列、等比数列的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决新问题的能力，考查学生对题目的阅读理解能力，对能力要求较高．。
2013年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）函数f（x）=lg（4﹣2x）的定义域为．2．（4分）若复数z满足，则z的值为．3．（4分）在正△ABC中，若AB=2，则=．4．（4分）若直线l过点A（﹣1，3），且与直线x﹣2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为．5．（4分）等差数列{a n}的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10=．6．（4分）设a为常数，函数f（x）=x2﹣4x+3，若f（x+a）在[0，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．7．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．8．（4分）已知点P（x，y）的坐标满足，O为坐标原点，则|PO|的最小值为．9．（4分）已知点P（2，﹣3）是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是．10．（4分）已知圆O1是球O的小圆，若圆O1的半径为cm，球心O到圆O1所在平面的距离为cm，则球O的表面积为cm2．11．（4分）在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则的值为．12．（4分）已知，且A n=a0+a1+a2+…+a n，则=．13．（4分）一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品．用户随机抽取3件产品进行检验，若这3件产品中至少有一件次品，就拒收这箱产品；若这3件产品中没有次品，就接收这箱产品．那么这箱产品被用户拒收的概率是．（用数字作答）14．（4分）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x ∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）已知，且sinθ＜0，则tanθ的值为（）A．B．C．D．16．（5分）函数的反函数是（）A．B．C．D．17．（5分）如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4}D．（4，+∞）18．（5分）下列命题：①“”是“存在n∈N*，使得成立”的充分条件；②“a＞0”是“存在n∈N*，使得成立”的必要条件；③“”是“不等式对一切n∈N*恒成立”的充要条件．其中所以真命题的序号是（）A．③B．②③C．①②D．①③三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，且．（1）求该正四棱柱的体积；（2）若E为线段A1D的中点，求异面直线BE与AA1所成角的大小．20．（14分）已知复数z1=sin x+λi，（λ，x∈R，i为虚数单位）．（1）若2z1=z2i，且x∈（0，π），求x与λ的值；（2）设复数z1，z2在复平面上对应的向量分别为，若，且λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间．21．（14分）某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间x（小时）之间满足，其对应曲线（如图所示）过点，（1）试求药量峰值（y的最大值）与达峰时间（y取最大值时对应的x值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）22．（16分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y1y2=﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线2x+3y=0平分线段AB，求直线l的倾斜角．（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k0，k1，k2．求证：当k0=1时，k1+k2为定值．23．（18分）已知数列{a n}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当a n为偶数时，；当a n为奇数时，．（1）若a1=64，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；（3）设（m≥3且m∈N），数列{a n}的前n项和为S n，求证：．（）2013年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）函数f（x）=lg（4﹣2x）的定义域为（﹣∞，2）．【考点】4K：对数函数的定义域．【专题】11：计算题．【分析】有对数型函数的真数大于0解一元一次不等式求函数的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则4﹣2x＞0，解得x＜2．所以原函数的定义域为（﹣∞，2）．故答案为（﹣∞，2）．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的取值集合，是基础的计算题．2．（4分）若复数z满足，则z的值为±3i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】直接利用行列式的计算方法．求出复数z的方程，然后求出复数z即可．【解答】解：因为复数z满足，所以z2+9=0，即z2=﹣9，所以z=±3i．故答案为：±3i．【点评】本题考查行列式的计算方法，复数方程的解法，考查计算能力．3．（4分）在正△ABC中，若AB=2，则=2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由题意可得=2×2×cos，运算求得它的结果．【解答】解：在正△ABC中，若AB=2，则与的夹角为，∴=2×2×cos=2，故答案为2．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．4．（4分）若直线l过点A（﹣1，3），且与直线x﹣2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为2x+y﹣1=0．【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k，然后利用直线的点斜式可求直线方程【解答】解：由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k=﹣2所求直线的方程为y﹣3=﹣2（x+1）即2x+y﹣1=0故答案为：2x+y﹣1=0【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键是利用垂直关系求解出直线的斜率5．（4分）等差数列{a n}的前10项和为30，则a1+a4+a7+a10=12．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得到a1+a10=6．由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，进而可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}的前10项和为30，∴，解得a1+a10=6．由等差数列的性质可得a1+a10=a4+a7，∴a1+a4+a7+a10=2（a1+a10）=2×6=12．∴a1+a4+a7+a10=12．故答案为12．【点评】熟练掌握等差数列的前n项和公式、等差数列的性质是解题的关键．6．（4分）设a为常数，函数f（x）=x2﹣4x+3，若f（x+a）在[0，+∞）上是增函数，则a的取值范围是[2，+∞）．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】写出f（x+a）的表达式，根据二次函数图象可得其增区间，由题意知[0，+∞）为f（x+a）的增区间的子集，由此得不等式，解出即可．【解答】解：因为f（x）=x2﹣4x+3，所以f（x+a）=（x+a）2﹣4（x+a）+3=x2+（2a﹣4）x+a2﹣4a+3，则f（x+a）的增区间为[2﹣a，+∞），又f（x+a）在[0，+∞）上是增函数，所以2﹣a≤0，解得a≥2，故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查二次函数的单调性，属中档题，若函数f（x）在区间（a，b）上单调，则（a，b）为f（x）单调区间的子集．7．（4分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题．【分析】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算出输出S=﹣12+22﹣32+42的值，代入运算可得答案．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：10【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据循环条件判断出循环变量的终值，进而结合循环体分析出程序的功能是解答本题的关键．8．（4分）已知点P（x，y）的坐标满足，O为坐标原点，则|PO|的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合；59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，利用点到直线的距离公式可得结论．【解答】解：不等式表示的平面区域如图|PO|表示区域内的点与原点的距离，由点到直线的距离公式可得O到直线x+y﹣3=0的距离为=，此时由，可得x=y=在区域内∴|PO|的最小值为故答案为：【点评】本题考查线性规划知识，考查点到直线的距离公式的运用，考查数形结合的数学思想，属于中档题．9．（4分）已知点P（2，﹣3）是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是．【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】由题意设该双曲线方程是，把点P（2，﹣3）代入，解得a2=1或a2=﹣16（舍），由此可知该双曲线方程为．【解答】解：由题意知c=2．设该双曲线方程是，把点P（2，﹣3）代入，得，解得a2=1或a2=﹣16（舍）∴该双曲线方程为．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．10．（4分）已知圆O1是球O的小圆，若圆O1的半径为cm，球心O到圆O1所在平面的距离为cm，则球O的表面积为144πcm2．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】通过小圆半径，球心到小圆圆心距离以及球的半径满足勾股定理，求出球的半径，然后求解球的表面积．【解答】解：因为圆O1是球O的小圆，若圆O1的半径为cm，球心O到圆O1所在平面的距离为cm，小圆半径，球心到小圆圆心距离以及球的半径满足勾股定理，所以球的半径：=6．所求球的表面积为：4π×62=144π．故答案为：144π．【点评】本题考查球的表面积的求法，注意小圆半径，球心到小圆圆心距离以及球的半径满足勾股定理，是解题的关键．11．（4分）在三角形ABC中，A=120°，AB=5，BC=7，则的值为．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】先通过余弦定理及题设中的条件求出AC的值，再根据正弦定理得出结果．【解答】解：根据余弦定理cos A===﹣∴AC=3或AC=﹣8（排除）根据正弦定理，即∴=故答案为【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解决三角形的问题中，常通过这连个定理完成边和角的互化．12．（4分）已知，且A n=a0+a1+a2+…+a n，则=．【考点】6F：极限及其运算；DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】由题意令x=1可得A n=4+42+43+…+4n，利用等比数列的前n项和公式求得它的结果，再利用极限的运算法则求得的值．【解答】解：在已知的等式中，令x=1可得4+42+43+…+4n=a0+a1+a2+…+a n，再由A n=a0+a1+a2+…+a n，可得A n=4+42+43+…+4n==，故===，故答案为．【点评】本题主要考查求函数的极限的方法，等比数列的前n项和公式，二项式定理的应用．注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．13．（4分）一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品．用户随机抽取3件产品进行检验，若这3件产品中至少有一件次品，就拒收这箱产品；若这3件产品中没有次品，就接收这箱产品．那么这箱产品被用户拒收的概率是．（用数字作答）【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（由题意知这箱产品被用户拒绝接收表示的结果比较多，从这箱产品被接收入手，设这箱产品被用户拒绝接收事件为A，被接收为则由对立事件概率公式得到结果．【解答】解：由题意知这箱产品被用户拒绝接收表示的结果比较多，从这箱产品被接受入手，设这箱产品被用户拒绝接收事件为A，被接收为则由对立事件概率公式P（A）=1﹣P（）==∴这箱产品被用户拒绝接收的概率故答案为：【点评】本题主要考查了等可能事件的概率求解，解题的关键是对立事件的概率计算公式的应用．14．（4分）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x ∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是（0，4）．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用．【分析】依题意，f（x）=4﹣在[a，b]上单调增，则f（a）=ma，f（b）=mb，从而可得mx2﹣x+1=0必须有两个不相等的正根，利用该方程有二异正根的条件即可求得实数m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=4﹣在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在x∈[a，b]上值域为[f（a），f（b）]所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb，所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0，所以mx2﹣4x+1=0必须有两个不相等的正根，故m≠0，∴，解得0＜m＜4．∴实数m的取值范围是（0，4）．故答案为：（0，4）．【点评】本题考查函数单调性的性质，着重考查二次函数根的分布问题，将所求的问题转化为mx2﹣x+1=0必须有两个不相等的正根是关键，属于难题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）已知，且sinθ＜0，则tanθ的值为（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用二倍角公式求得cos θ，再根据同角三角函数的基本关系求得sin θ，从而求得tanθ的值．【解答】解：已知，且sinθ＜0，∴cos θ=2﹣1=2×﹣1=，故sinθ=﹣=﹣，∴tanθ==，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题．16．（5分）函数的反函数是（）A．B．C．D．【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】求函数的反函数，根据原函数解出x，然后把x和y互换即可，注意函数定义域．【解答】解：由y=得，，所以原函数的反函数为．故选：D．【点评】本题考查了函数反函数的求解方法，解答的关键是正确解出x，特别要注意的是反函数的定义域应为原函数的值域，是易错题．17．（5分）如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4}D．（4，+∞）【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，抓住两个关键点，当圆O与两射线相切时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，由三角形AOB为等腰直角三角形，利用三线合一得到OC为斜边AB的一半，利用勾股定理求出斜边，即可求出OC的长，平方即可确定出此时λ的值；当圆O半径为2时，两函数图象有3个公共点，半径大于2时，恰好有2个公共点，即半径大于2时，满足题意，求出此时λ的范围，即可确定出所有满足题意λ的范围．【解答】解：根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴根据勾股定理得：AB=2，∴OC=AB=，此时λ=OC2=2；当圆O半径大于2，即λ＞4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数λ的取值范围是{2}∪（4，+∞）．故选：A．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．18．（5分）下列命题：①“”是“存在n∈N*，使得成立”的充分条件；②“a＞0”是“存在n∈N*，使得成立”的必要条件；③“”是“不等式对一切n∈N*恒成立”的充要条件．其中所以真命题的序号是（）A．③B．②③C．①②D．①③【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】11：计算题．【分析】选项①“”应是“存在n∈N*，使得成立”的充要条件；选项②当存在n∈N*，使得成立时，a只需大于当n∈N*，时的最小取值即可，可得a＞0；选项③由充要条件的证明方法可得．【解答】解：选项①当时，不一定存在n∈N*，使得成立，比如取a=，则不存在自然数n，使，故前者是后者的非充分条件，但存在n∈N*，使得成立时，a即为当n∈N*，时的取值范围，即，故“”应是“存在n∈N*，使得成立”的必要非充分条件，故①错误；选项②当存在n∈N*，使得成立时，a只需大于当n∈N*，时的最小取值即可，故可得a＞0，故“a＞0”是“存在n∈N*，使得成立”的必要条件，故②正确；选项③由①知，当n∈N*时的取值范围为，故当时，必有“不等式对一切n∈N*恒成立”，而要使不等式对一切n∈N*恒成立”，只需a大于的最大值即可，即a故“”是“不等式对一切n∈N*恒成立”的充要条件．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及指数函数和恒成立问题，属基础题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，且．（1）求该正四棱柱的体积；（2）若E为线段A1D的中点，求异面直线BE与AA1所成角的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】（1）由题意可得AA1的长度，代入柱体的体积公式可得答案；（2）设G 是棱AD中点，可得∠GEB就是异面直线AA1与BE所成的角，由三角形的知识可得，由反正切函数可得角的大小．【解答】解：（1）如图在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，平面ABCD，∴AA1⊥AD，故，…（3分）∴正四棱柱的体积为（22）×3=12．…（6分）（2）设G是棱AD中点，连GE，GB，在△A1AD中，∵E，G分别为线段A1D，AD的中点，∴EG∥A1A，且，∴∠GEB就是异面直线AA1与BE所成的角．…（8分）∵A1A⊥平面ABCD，平面ABCD，∴AA1⊥GB，又EG∥A1A，∴EG⊥BG，…（10分）∵，∴，故．所以异面直线AA1与BE所成角的大小为．…（12分）【点评】本题考查棱柱的体积，以及异面直线所成的角，涉及反三角函数的应用，属中档题．20．（14分）已知复数z1=sin x+λi，（λ，x∈R，i为虚数单位）．（1）若2z1=z2i，且x∈（0，π），求x与λ的值；（2）设复数z1，z2在复平面上对应的向量分别为，若，且λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间．【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】57：三角函数的图像与性质；5A：平面向量及应用．【分析】（1）利用复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值即可得出；（2）利用向量的垂直与数量积的关系可得可得，再利用倍角公式和两角和差的正弦公式即可化简，利用三角函数的周期公式和单调性即可得出．【解答】解：（1）由2z1=z2i，可得，又λ，x∈R，∴又x∈（0，π），故或．（2），由，可得，又λ=f（x），故=，故f（x）的最小正周期T=π，又由Z），可得，故f（x）的单调递减区间为（k∈Z）．【点评】熟练掌握复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值、向量的垂直与数量积的关系、倍角公式和两角和差的正弦公式、三角函数的周期公式和单调性是解题的关键..21．（14分）某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间x（小时）之间满足，其对应曲线（如图所示）过点，（1）试求药量峰值（y的最大值）与达峰时间（y取最大值时对应的x值）；（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）由曲线过点，代入曲线方程，求出a值，确定函数关系式；再分别求出分段函数各段上的最大值进行比较，从而得出药量峰值（y 的最大值）与达峰时间；（2）把y=1分别代入两个函数关系式求时间，再求时间差，即可得出服用该药一次后能维持多长的有效时间．【解答】解：（1）由曲线过点，可得，故a=8…（2分）当0＜x＜1时，，…（3分）当x≥1时，设2x﹣1=t，可知t≥1，（当且仅当t=1时，y=4）…（5分）综上可知y max=4，且当y取最大值时，对应的x值为1所以药量峰值为4mg，达峰时间为1小时．…（6分）（2）当0＜x＜1时，由，可得x2﹣8x+1=0，解得，又，故．…（8分）当x≥1时，设2x﹣1=t，则t≥1，由，可得，解得，又t≥1，故，所以，可得．…（12分）由图象知当y≥1时，对应的x的取值范围是，∵，所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约3.85小时的有效时间．…（14分）【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式和指数不等式的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．22．（16分）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y1y2=﹣4．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线2x+3y=0平分线段AB，求直线l的倾斜角．（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k0，k1，k2．求证：当k0=1时，k1+k2为定值．【考点】I2：直线的倾斜角；K7：抛物线的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设直线l的方程为，代入y2=2px，消掉x得y的二次方程，利用韦达定理及y1y2=﹣4即可求得p值，从而得抛物线方程；（2）由（1）可知y1+y2=2pa=4a，设点D是线段AB的中点，由中点坐标公式可得D点横坐标，代入直线l方程可得纵坐标，根据点D在直线2x+3y=0上可求得a值，设直线l的倾斜角为α，则tanα=，根据倾斜角范围即可求得α；（3）由k0=1可求得y M，从而得知M点坐标，由（1）知y1+y2=4a，y1y2=﹣4，根据点A、B在直线l上及斜率公式把k1+k2表示出来，进行化简即可求得定值；【解答】解：（1）设直线l的方程为，代入y2=2px，可得y2﹣2pay﹣p2=0（*），由于A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l与抛物线的两交点，故y1，y2是方程（*）的两个实根，∴，又y1y2=﹣4，所以﹣p2=﹣4，又p＞0，可得p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x．（2）由（1）可知y1+y2=2pa=4a，设点D是线段AB的中点，则有，，由题意知点D在直线2x+3y=0上，∴2（2a2+1）+6a=0，解得a=﹣1或，设直线l的倾斜角为α，则或﹣2，又α∈[0，π），故直线l的倾斜角为或π﹣arctan2．（3），可得y M=﹣2，由（1）知y1+y2=4a，又y1y2=﹣4，∴==，所以k1+k2为定值．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线斜率及抛物线方程，直线方程、斜率公式是解决该类问题的基础，应熟练掌握．23．（18分）已知数列{a n}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当a n为偶数时，；当a n为奇数时，．（1）若a1=64，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；（3）设（m≥3且m∈N），数列{a n}的前n项和为S n，求证：．（）【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由，可得{a n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{a n}的通项公式即可；（2）对a1进行分类讨论：若a1=4k（k∈Z）时；若a1=4k+1（k∈Z）时；若a1=4k+2（k∈Z）时；若a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出a1的值；（3）由（m≥3），可得a2，a3，a4．若，则a k是奇数，可得当3≤n≤m+1时，成立，又当n≤m时，a n＞0；当n≥m+1时，a n=0．故对于给定的m，S n的最大值为2m+1﹣m﹣5，即可证出结论．【解答】解：（1）由，可得，，…，，，，a9=0，…，即{a n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．…（2分）故数列{a n}的通项公式为．…（4分）（2）若a1=4k（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a1=0；若a1=4k+1（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=﹣1，故a1=﹣3；…（7分）若a1=4k+2（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a1=2；若a1=4k+3（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=﹣1，故a1=﹣1；∴a1的值为﹣3，﹣1，0，2．…（10分）（3）由（m≥3），可得，，，若，则a k是奇数，从而，可得当3≤n≤m+1时，成立．…（13分）又，a m+2=0，…故当n≤m时，a n＞0；当n≥m+1时，a n=0．…（15分）故对于给定的m，S n的最大值为a1+a2+…+a m=（2m﹣3）+（2m﹣1﹣2）+（2m﹣2﹣1）+（2m﹣3﹣1）+…+（21﹣1）=（2m+2m﹣1+2m﹣2+…+21）﹣m﹣3=2m+1﹣m ﹣5，故．…（18分）【点评】本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．。
2012学年静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（文科） 2013.04.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z . 3．已知直线012=++y x 的倾斜角大小是θ，则=θ2tan .4．若关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是 .5．已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线=-y x 则函数)(x f y =的解析式为 .6．已知双曲线的方程为1322=-y x 离为 .7．函数xx xx x f cos sin sin cos )(=的最小正周期=T .8．若⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥621y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为 .9．执行如图所示的程序框图，若输入p 的值是7，则输出S 的值是 . [来源:学|科|网Z|X|X|K]10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为 cm ．11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲乙2名学生，这2名学生选择的选修课相同的概率是 (结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→n nn S S ，则其公比q 的取值范围是 .13．已知函数x x x f =)(.当[]1,+∈a a x 时，不等式)(4)2(x f a x f >+恒成立，则实数a 的取值范围是 .14．函数)(x f y =的定义域为[)(]1,00,1 -，其图像上任一点),(y x P 满足122=+y x ．① 函数)(x f y =一定是偶函数；② 函数)(x f y =可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③ 函数)(x f y =可以是奇函数；④ 函数)(x f y =如果是偶函数，则值域是[)1,0或(]0,1-； ⑤ 函数)(x f y =值域是()1,1-，则)(x f y =一定是奇函数． 其中正确命题的序号是 （填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4tan(πα-的值等于………………………（ ）（A ）71. （B ）71- . （C ）7 . （D ）7-.16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于…（ ）（A ） 22+. （B ）23+. （C ）24+. （D ）6.17． 若直线2=+by ax 通过点)sin ,(cos ααM ，则 ………………………………（ ）（A ） 422≤+b a . （B ）422≥+b a （C ）41122≤+b a . （D ）41122≥+ba .18．某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设x CP =，则PF AP x f +=)(．那么，可推知方程222)(=x f 解的个数是………………………………………………………（ ）（A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）4.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分7分 ．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是85.0是5.1米．（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？ (精确到01.0米2)20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P ． （1）若C 是OA 的中点，求PC ；（2）设θ=∠COP ，求△POC 周长的最大值及此时θ的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆141222=+Γy x ：.（1）直线AB 过椭圆Γ的中心交椭圆于B A 、两点，C 是它的右顶点，当直线AB 的斜率为1时，求△ABC 的面积；（2）设直线2+=kx y l ：与椭圆Γ交于Q P 、两点，且线段PQ 的垂直平分线过椭圆Γ与y 轴负半轴的交点D ，求实数k 的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数a x x f +=2)(．（1）若函数))((x f f y =的图像过原点，求)(x f 的解析式； （2）若12)()(++=bx x f x F 是偶函数，在定义域上ax x F ≥)(恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当1=a 时，令)())(()(x f x f f x λϕ-=，问是否存在实数λ，使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数，在()0,1-上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，3)1(1++=+n n S na n n ．从}{n a 中抽出部分项,,,,21n k k k a a a ,)(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，设该等比数列的公比为q ， 其中*1,1N n k ∈=．（1）求2a 的值；（2）当q 取最小时，求}{n k 的通项公式； （3）求n k k k +++ 21的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．]3,1[-； 2．2； 3．34； 4．31≠m ； 5．12-=x y ； 6．1；7．π；8．4；9．6463；10．17；11．414214=C ；12．(]1,0；13．(1,)+∞；14．②③⑤二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15． D ； 16．B ； 17． B ；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .[来源:学*科*网]19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．解：（1）如图正四棱锥底面的边长是5.1米，高是85.0米sh V 31=36375.085.05.15.131m =⨯⨯⨯= 所以这个四棱锥冷水塔的容积是36375.0m ． (2)如图，取底面边长的中点E ，连接SE ，222275.085.0+=+=EO SO SESE ⨯⨯⨯=5.1214S 侧22240.375.085.05.1214m ≈+⨯⨯⨯=答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解:（1）在△POC 中，32π=∠OCP ，1,2==OC OP 由32cos 2222πPC OC PC OC OP ⋅-+=得032=-+PC PC ，解得2131+-=PC ． （2）∵CP ∥OB ，∴θπ-=∠=∠3POB CPO ，在△POC 中，由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠，即θπsin 32sin 2CP = ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC ． 记△POC 的周长为)(θC ，则2)3sin(34sin 342)(+-+=++=θπθθOC CP C1sin2223πθθθ⎫⎛⎫++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭∴6πθ=时，)(θC2+.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：(1)依题意，32=a，)0,32(C，由221124x yy x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得y=[来源:学科网]设),(11yxA),(22yxB，32=OC∴63232212121=⨯⨯=-⋅=∆yyOCSABC；(2)如图，由2221124y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(31)120k x kx++=，0)12(2≥=∆k依题意，0k≠，设1122()()P x y Q x y，，，，线段PQ的中点00()H x y，，则12026231x x kxk+-==+，0022231y kxk=+=+，D(02)-，，由1-=⋅PQD Hkk，得2222311631k kkk++⋅=--+，∴k=22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解:（1）aaaxxxffy+++==2242))((过原点，02=+aa10-==⇒aa或得2)(xxf=或1)(2-=xxf（2）12)(2+++=bxaxxF是偶函数，0=∴b即2)(2++=axxF，Rx∈又axxF≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++xxaaxax当1=x时Ra∈⇒当1>x 时，213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ，232+≤a当1<x 时，213)1(122+-+-=-+≥x x x x a ， 232+-≥a综上： 232232+≤≤+-a [来源:学#科#网Z#X#X#K]（3）)())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数，要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数， 即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数． 令2x t =，当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ，由于()+∞∈,0x 时，2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数，其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ． 23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 解：（1）令1=n 得321112⋅+=⋅a a ，即3212=-a a ；又21=a 382=⇒a （2）由3212=-a a 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=-+3)1()1(,3)1(11n n S a n n n S na n n n n 32)1(1n a a n na nn n +=--⇒+321=-⇒+n n a a ，所以数列}{n a 是以2为首项，32为公差的等差数列，所以)2(32+=n a n ． [来源:学&科&网] 解法一：数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{nk a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a 得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n 解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ；若42=k ，则由44=a 得2=q ，此时122-⋅=n k n a 组成等比数列，所以)2(32221+=⋅-m n ，2231+=⋅-m n ，对任何正整数n ，只要取2231-⋅=-n m ，即n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．………（10分） 解法二: 数列}{n a 是正项递增等差数列，故数列}{n k a 的公比1>q ，设存在 ,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{nk a 是等比数列，则3122k k k a a a ⋅=，即()()232)2(322)2(32322322+=+⇒+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k k k 因为1*232>∈k N k k 且、所以22+k 必有因数3，即可设N t t t k ∈≥=+,2,322，当数列}{n k a 的公比q 最小时，即42=k ，2=⇒q 最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ．（3）由（2）可得从}{n a 中抽出部分项 ,,,,21n k k k a a a )(21 <<<<n k k k 组成的数列}{n k a 是等比数列，其中11=k ，那么}{n k a 的公比是322+=k q ，其中由解法二可得N t t t k ∈≥-=,2,232．)2(32)32(312+=+⋅=-n n k k k a n 2)32(312-+⋅=⇒-n n k k 2)3223(31-+-⋅=⇒-n n t k 231-⋅=⇒-n n t k ，N t t ∈≥,2所以3232)1(31221--⋅=-++++=+++-n t n t t t k k k n n n。
