2013-2014学年沭阳银河学校高一数学教案：2.1.4《两条直线的交点》

两条直线的交点教学目标1．学生通过本节课学习，掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线间不同位置的 对应关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况．2．学生通过一般形式直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力．3．从“特殊”到“一般”，培养学生探索事物本质属性的精神，以及运动变化和相互联系的观点． 教学重点两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系，本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论．教学难点对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论．教学过程【问题情境】问题1：平面上两直线的位置关系？问题2：判断两直线y ＝x ＋1和y ＝3x －2 的位置关系问题3：如何判断1l :0111=++C y B x A ,2l :0222=++C y B x A 的位置关系？【建构数学】设两条直线的方程分别是1l :0111=++C y B x A ,2l :0222=++C y B x A ．研究两条直线21,l l 的位置关系（相交、重合、平行）可以转化为两条直线方程所得的方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的解的个数问题【数学运用】例1．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：（1）1l :72=-y x ，2l :0723=-+y x ；（2）1l :0462=+-y x ，2l :08124=+-y x ；（3）1l :0424=++y x ，2l :32+-=x y ．解：（1）因为方程组⎩⎨⎧=-+=--0723072y x y x 的解为⎩⎨⎧-==13y x 因此直线1l 和2l 相交，交点坐标为()13-，．（2）方程组⎩⎨⎧=+-=+-081240462y x y x 有无数组解，这表明直线12,l l 重合． （3）方程组⎩⎨⎧=-+=++0320424y x y x 无解，这表明直线12l l ,没有公共点，故1l ∥2l ． 总结：判断两直线相交的方法例2：已知两条直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，当m 为何值时，直线1l 与2l ：(1)平行；(2)重合；(3)相交．解：(1)若21//l l ，则)2(31-⨯=⨯m m ，解得31或-=m .代入两直线方程检验得当3=m 时两直线重合. 所以1-=m 时两直线平行.(2) 由(1)知3=m 时两直线重合.(3) 由(1，(2)知31≠-≠m m 且时两直线相交.【变式】已知直线1l :310x my +-=，2l :3250x y --=，3l :650x y +-=，(1)若这三条直线交于一点，求m 的值； (2) 若三条直线能构成三角形，求m 的值．解：(1),11,0560523⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=--y x y x y x 解得联立代入,013=-+my x 得2=m .(2)当三条直线相交于一点或其中两直线平行时三条直线不能构成三角形.由(1)知当2=m 时三条直线相交于一点.当 21//l l 时，则3)2(3⨯=-⨯m ，解得2-=m .当 31//l l 时，则613⨯=⨯m ，解得21=m . 综上所述：当212≠±≠m m 且时，三条直线能构成三角形. 例3．直线l 经过原点，且经过另外两条直线0832=++y x ，01=--y x 的交点，求直线l 的方程．分析：法一、由两直线方程组成方程组⎩⎨⎧=--=++010832y x y x ，求出交点()2,1--，再过原点()0,0，由两点求直线方程． 【变式】求证：无论λ取什么实数，直线08)3()2(:=-+-++λλλy x l 都过定点，并求出这个定点的坐标.证明:即直线l 0)1(832=--+++y x y x λ⎩⎨⎧=++=--083201y x y x 所以,解得⎩⎨⎧-=-=21y x ，定点为)2,1(--.思考：当λ变化时，方程(238)(1)0x y x y λ+++--=表示什么图形？图形有何特点？结论：已知直线1l :0111=++C y B x A ，2l :0222=++C y B x A 相交，那么过两直线的交点的直线方程（不含2l ）可设为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ ()R ∈λ例三 解法二、设经过两条直线0832=++y x ，01=--y x 交点的直线方程为()()01832=--+++y x y x λ，又过原点，由()0,0代入可求λ的值．【巩固练习】：1.根据下列条件，求直线方程（1）斜率为－2，且过两条直线3x -y +4=0和x +y -4=0的交点；（2）过两条直线x -2y +3=0和x +2y -9=0的交点和原点；（3）过两条直线2x -2y +10=0和3x +4y -2=0的交点，且垂直于直线3x -2y +4=0；（4）过两条直线2x +y -8=0和x -2y +1=0的交点，且平行于直线4x -3y-7=0。

两直线的交点坐标教案教案标题：两直线的交点坐标教案教学目标：1. 理解两直线的交点坐标的概念和意义；2. 掌握求解两直线交点坐标的方法；3. 能够应用所学知识解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：投影仪、计算器、白板、马克笔；2. 学生准备：直尺、铅笔、纸、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过引入实际问题，如两条铁轨相交的问题，引发学生对两直线交点坐标的兴趣；2. 提问学生：你们对两直线的交点坐标有什么了解？二、知识讲解（15分钟）1. 教师通过投影仪展示直线交点的概念，并解释交点坐标的含义；2. 教师讲解两直线交点坐标的求解方法，包括代入法和消元法；3. 教师通过示例演示两种方法的具体步骤和计算过程。

三、示范演练（15分钟）1. 教师选取一些简单的例题，引导学生运用代入法和消元法求解两直线的交点坐标；2. 学生跟随教师的指导，逐步完成计算过程；3. 教师及时给予学生反馈和指导，纠正他们可能存在的错误。

四、合作探究（20分钟）1. 学生分组合作，互相出题并解答；2. 学生通过合作讨论，探究两直线交点坐标的应用场景；3. 学生将自己的解题过程和思路展示给全班，进行互评和讨论。

五、拓展应用（10分钟）1. 教师提供一些实际问题，要求学生运用所学知识解决；2. 学生独立或小组完成问题的分析和求解；3. 学生展示解题过程和答案，教师进行点评和总结。

六、作业布置（5分钟）1. 布置相关练习题，要求学生独立完成；2. 强调作业的重要性，鼓励学生主动思考和解决问题。

教学反思：本节课通过引入实际问题，结合示范演练和合作探究等多种教学方法，激发了学生对两直线交点坐标的学习兴趣。

通过学生的自主探究和合作讨论，培养了学生的解决问题的能力和团队合作精神。

同时，通过拓展应用和作业布置，巩固了学生的学习成果。

2.1.4两条直线的交点学习目标1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.3.会求过两直线交点的直线方程，并能解决一些简单的直线过定点问题.知识点直线的交点与直线的方程组解的关系思考1直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？思考2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？思考3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？梳理(1)两直线的交点(2)类型一两直线的交点问题命题角度1代数法判断两直线的位置关系例1分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.反思与感悟两条直线相交的判定方法跟踪训练1命题角度2根据交点求参数的值或其范围引申探究若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a的取值范围又如何？例2已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________.反思与感悟求解此类问题关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围.跟踪训练2若直线l1：y＝kx＋k＋2与l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是__________.类型二求过两条直线交点的直线方程例3求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程.引申探究本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解.反思与感悟求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括l 2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程.跟踪训练3直线l 经过原点，且经过另外两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为______________. 类型三直线恒过定点问题例4求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.反思与感悟解含有参数的直线恒过定点的问题(1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.(2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得.若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示所有直线必过定点(x 0，y 0).跟踪训练4不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过的定点坐标是_____.1.已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是__________.2.已知直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________.3.不论m 取什么实数，直线mx ＋y －m ＝0都过定点的坐标为________.4.下列各组直线中，两直线相交的为________.(填序号) ①y ＝x ＋2和y ＝1； ②x －y ＋1＝0和y ＝x ＋5；③x ＋my －1＝0(m ≠2)和x ＋2y －1＝0； ④2x ＋3y ＋1＝0和4x ＋6y －1＝0.5.直线l 过直线2x －y ＋4＝0与x －3y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0，则直线l 的方程是________.1.方程组{ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.2.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线.答案精析问题导学 知识点思考1直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标． 思考2只需写出这两条直线的方程，然后联立求解． 思考3(1)若方程组无解，则l 1∥l 2；(2)若方程组有且只有一个解，则l 1与l 2相交； (3)若方程组有无数解，则l 1与l 2重合． 梳理(1)A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0，A 2a ＋B 2b ＋C 2＝0 (2)无解无数个相交平行 题型探究例1解(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1)．(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6y ＋4＝0，4x －12y ＋8＝0有无数个解，这表明直线l 1和l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，2x ＋y －3＝0无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2. 跟踪训练1(1,2) 例2(－32，2)引申探究解由例2得交点坐标为(2a ＋37，a －27)，则由⎩⎨⎧2a ＋37<0，a －27<0，得a <－32.跟踪训练2⎝⎛⎭⎫－23，2 例3解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为(－35，－75)．又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为 y ＋75＝－3(x ＋35)， 即15x ＋5y ＋16＝0. 引申探究解设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 所以3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0， 解得λ＝－34，所以所求直线方程为5x －15y －18＝0. 跟踪训练32x －y ＝0例4证明对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0，令m ＝0， 得x －3y －11＝0； 令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0，得两条直线的交点坐标为(2，－3)．将点(2，－3)代入方程组左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数， 所给直线均经过定点(2，－3)． 跟踪训练4(9，－4) 当堂训练1．(13，1)2.233.(1,0)4．①③5.10x ＋5y ＋8＝0。

2.1.4 两条直线的交点学习目标1.会求直线和直线的交点以及它与二元一次方程组的解之间的关系;2.学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法;3.通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之间的联系.能够用辩证的观点看问题.学习重点 判断两直线是否相交,求交点坐标.学习难点 两直线相交与二元一次方程的关系.学习过程 自主学习指导问题1.平面上两直线的位置关系?能否通过方程去研究直线的相交问题?问题2.由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那么如果两直线相交于一点,这一点与两条直线的方程有何关系?问题3.如果两条直线相交,交点坐标与二元一次方程组有什么关系?问题4.若二元一次方程组有唯一解,两直线 ,若二元一次方程组无解,两直线 ,若二元一次方程组有无数解,两直线 .问题5.直线和直线的交点以及它与二元一次方程组的解之间的关系问题6.直线1111:A 0l x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=是否有交点的一般性结论:若 ,则直线1l 和直线2l 相交;若 ,则直线1l 和直线2l 重合;若 ,则直线1l 和直线2l 平行. ☞课前自主练习1. 分别判断下列直线1l 和直线2l 是否相交,若相交,求出它们的交点.(1) 12:27,:3270l x y l x y -=+-=;(2) 12:2640,:41280l x y l x y -+=-+=;(3) 12:4240,:23l x y l y x ++==-+.2.直线l 经过原点,且经过另两条直线 2380,10x y x y ++=--=的交点,求直线l 的方程.3.若3条直线2380,10x y x y ++=--=和0x ky +=相交于一点,则k 的值等于 .☞课堂检测训练1. 已知两条直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=.当m 为何值时, 1l 与2l :(1)相交? (2)平行? (3)垂直?2. 已知直线l 经过两条直线2330,20x y x y --=++=的交点,且与直线310x y +-=平行,求直线l 的方程.课后巩固训练1.两直线320x y -+=与320x y +-=的位置关系是 .2.已知直线210x y +-=与直线(1)30m x y --+=相交,则实数m 的取值范围是 .3.已知点(0,1)M -,点N 在直线10x y -+=上,若直线MN 垂直于直线230x y +-=,则点N 的坐标是 .4.求经过两条直线78380x y +-=和320x y -=的交点,且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程.。

两条直线的交点坐标教案教学目标：1. 理解两条直线的交点是满足两个方程组的解；2. 掌握求解两个方程组的方法；3. 能够应用求解两条直线交点的方法解决实际问题。

教学内容：1. 引入问题：什么是两条直线的交点？2. 介绍求解两个方程组的方法：消元法和代入法。

3. 列举几个实际问题，引导学生应用所学知识解决问题。

教学过程：Step 1：引入问题教师出示两条直线的示意图，引导学生思考两条直线的交点是什么，为什么存在交点。

Step 2：介绍求解方程组的方法教师讲解消元法和代入法两种求解方程组的方法。

并以具体的例子进行演示，解释每一步的操作过程。

- 消元法：通过消去变量的方式，将方程组化为较简单的形式，然后求解未知数。

- 代入法：通过将一个方程的解代入另一个方程，消去一个变量，从而得到另一个变量的值，最终求解未知数。

Step 3：实际问题的应用教师给出几个实际问题，鼓励学生应用所学知识解决问题。

例如：问题一：已知两条直线的方程分别为y = 2x + 1和y = -3x + 5，求解两直线的交点坐标。

问题二：一块矩形农田的长和宽分别为x和y，已知长的方程为2x + y = 10，宽和长的比率为2:3，求农田的长和宽。

Step 4：解答问题，讲解解题思路和步骤问题一的解答：解法一：消元法对方程组进行消元操作：2x + 1 = -3x + 55x = 4x = 4/5将x的解代入其中一个方程，求得y的值：y = 2(4/5) + 1 = 3.8所以两条直线的交点坐标为(4/5, 3.8)。

解法二：代入法将y = 2x + 1代入y = -3x + 5，得到：2x + 1 = -3x + 55x = 4x = 4/5将x的解代入其中一个方程，求得y的值：y = 2(4/5) + 1 = 3.8所以两条直线的交点坐标为(4/5, 3.8)。

问题二的解答：已知长的方程为2x + y = 10，宽和长的比率为2:3，宽的方程为2y = 3x。

2．1.4 两条直线的交点从容说课两条直线交点位置的确定体现了坐标法的思想，两条直线的交点坐标就是由这两条直线的方程组成的方程组的解，因此，确定两条直线交点的位置就是解方程组找出它的解.如果这个方程组只有一个解，说明这两条直线只有一个交点;如果这个方程组没有解，说明这两条直线没有公共点，是两条平行线.课本对方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 并没有进行一般性的讨论，直接给出了方程组的解的个数与两条直线位置的关系，这样设置的目的在于适当降低要求，如果学生的基础较好，可以对一般情形进行讨论.教学重点两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系. 教学难点对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论. 教具准备多媒体. 课时安排1课时 三维目标一、知识与技能1.知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解.2.会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件.二、过程与方法1.通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力.2.通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x 后直接分析出y 的表达式，培养学生的抽象思维能力与类比思维能力．3.分析、启发、诱导、讲练结合． 三、情感态度与价值观通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想．教学过程 导入新课师平面几何里，我们研究两条直线的关系通常是判断其是否垂直、是否平行，有时研究其所成的角.引入平面直角坐标系后，用方程表示直线，直线的方程就是直线上的每一点坐标满足的关系式，即二元一次方程.这样，我们可以通过方程研究直线上的点，用代数方法研究直线上的点.今天我们研究在直角坐标系下，如果给出两条直线的方程，该如何求其交点的问题.（板书：两条直线的交点） 推进新课师设两条直线的方程分别是（板书） l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0.如果这两条直线相交，设交点P 0(x 0,y 0)，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的解，所以A 1x 0+B 1y 0+C 1=0，A 2x 0+B 2y 0+C 2=0，所以⎩⎨⎧==00,y y x x 是方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 的解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解⎩⎨⎧==00,y y x x ，那么A 1x 0+B 1y 0+C 1=0，A 2x 0+B 2y 0+C 2=0，以这个解为坐标的点P 0(x 0,y 0)同时在l 1和l 2上，即为直线l 1和l 2的交点.这样我们就得到l 1和l 2的交点坐标与联立两条直线方程得到的二元一次方程组解之间的关系，于是研究两条直线的交点问题就转化为研究其对应方程解的问题，下面请大家思考一下（投影）.方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 的解一组 无数组 无解两条直线l 1、l 2的公共点 直线l 1、l 2的位置关系师当方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 的解仅有一组时，两条直线l 1、l 2的公共点仅有一个，那么有无数组解时就意味着两条直线有多少个交点？生无数个.师直线l 1、l 2的位置关系如何？ 生重合.师对！两条直线有无数个公共点，则这两条直线重合.如果方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 无解，那么两条直线l 1、l 2的公共点有多少个？生0个.师也就是没有交点.此时直线l 1、l 2的位置关系如何？ 生平行.师于是我们就可以把表格填完.方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 的解一组 无数组 无解两条直线l 1、l 2的公共点一个无数个零个 直线l 1、l 2的位置关系相交重合平行这样研究两条直线的位置关系（相交、重合、平行）可以转化为联立两条直线方程所得方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 的解的个数问题.【例1】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点： （1）l 1：2x -y =7，l 2:3x +2y -7=0; （2）l 1：2x -6y +4=0，l 2:4x -12y +8=0; （3）l 1：4x +2y +4=0，l 2:y =-2x +3. 解：（1）因为方程组⎩⎨⎧=-+=--0723,072y x y x 的解为⎩⎨⎧-==,1,3y x 因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为（3，－1）.（2）方程组⎩⎨⎧=+-=+-08124,0462y x y x 有无数组解，这表明l 1和l 2重合.（3）方程组⎩⎨⎧=-+=++032,0424y x y x 无解，这表明l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2.【例2】直线l 经过原点，且经过另两条直线2x +3y +8=0，x -y -1=0的交点，求直线l 的方程.解：解方程组⎩⎨⎧=--=++,01,0832y x y x 得⎩⎨⎧-=-=.2,1y x所以两条直线2x +3y +8=0，x -y -1=0的交点坐标为（－1，－2）.又直线l 经过原点，所以直线l 的方程为10020---=---x y ，即2x -y =0.【例3】如下图，以Rt △ABC 的两条直角边AB 、BC 向形外分别作正方形ABDE 和正方形BCFG ，连结EC 、AF ，两直线交于点M .求证：BM ⊥AC .(1) (2)师这是一道平面几何问题，如果不添加辅助线要想证明是困难的.我们可以用刚刚学过的坐标法来处理，面临的首要问题是如何建立直角坐标系.生只要找出两条互相垂直的直线即可，比如以EA 所在直线为x 轴,ED 所在直线为y 轴，建立坐标系.师应该说是可以的，不过图中互相垂直的直线很多，建立直角坐标系的形式很多，我们通常以建立坐标系后以对应的点的坐标或直线方程很简洁为标准.这里选择以DC 、AG 所在直线分别作为x 轴、y 轴，则对应的点的坐标则大部分简洁.下面我们一起来写出本题的分析和证明过程.分析：建立适当的直角坐标系，将证明BM ⊥AC 转化为k BM ²k AC =-1，也就是将几何问题转化为代数问题计算.证明：如图（2）以两条直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系，设正方形ABDE 和正方形BCFG 的边长分别为a 、b ，则A(0,a ),C(b ，0)，B （0，0），E(-a ，a )，F(b ，－b ).直线AF 的方程是b b x b a b y --=++0，即(a +b )x +by -ab =0.直线EC 的方程是ba bx a y ---=--00,即ax +(a +b )y -ab =0.解方程组⎩⎨⎧=-++=-++0)(,0)(ab y b a ax ab by x b a 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=,,222222b ab a ab y b ab a b a x即M 点的坐标为（222222,bab a ab b ab a b a ++++），故k BM =a b ，k AC =00--b a ＝－b a . 所以k BM ²k AC =-1.因此BM ⊥AC.【例4】某商场的市场需求量y 1（万件）、市场供应量y 2（万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：y 1＝－x +70,y 2=2x -20.当y 1=y 2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为市场平衡需求量. (1)求平衡价格和平衡需求量；(2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？师这是一道实际应用题，平衡价格和平衡需求量是指什么？ 生y 1=y 2的x 值和y 值.师对！我们一起来分析一下.分析：市场平衡价格和平衡需求量实际上就是直线y =-x +70与y =2x -20交点的横坐标和纵坐标，即为方程组⎩⎨⎧-=+-=202,70x y x y 的解.解：（1）解方程组⎩⎨⎧-=+-=202,70x y x y 得⎩⎨⎧==40,30y x 故平衡价格为30元/件，平衡需求量为40万件.（2）设政府给予t 元/件补贴，此时的市场平衡价格（即消费者支付价格）为x 元/件，则供货者实际每件得到（x ＋t ）元，依题意得方程组⎩⎨⎧=-+=+-,4420)(2,4470t x x ,得x =26,t=6,依次，政府对每件商品应给予6元的补贴.延展拓宽：已知三条直线l 1：4x +y -4=0，l 2：x m+y =0，l 3：2x -3m y -4=0，求分别满足下列条件的m 的值：（1）使这三条直线交于同一点； （2）使这三条直线不能构成三角形．分析：三条直线交于同一点的条件是两直线交点在第三条直线上；三条直线不能构成三角形的条件是三条直线交于一点或其中有两条直线平行．解：(1)要使三直线交于一点，则l 1与l 2不平行，∴m ≠4.∴由⎩⎨⎧=+=-+0,044y xm y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=m my mx 44,44,即l 1与l 2的交点为(m m m ---44,44). 代入l 3方程得m -48-3m ²mm --44-4=0,解得m=-1或32．（2）若l 1、l 2、l 3交于一点，则m=-1或32；若l 1∥l 2，则m=4；若l 1∥l 3，则m=-61；若l 2∥l 3，则m 无解. 综上可得m=-1或32或4或-61． 课堂小结今天我们通过解两条直线对应的方程构成的方程组来研究两条直线的位置关系，当对应方程组仅有一解时则两条直线仅有一个交点，当对应方程组有无数解时则两条直线有无数个交点即重合，当对应方程组无解时则两条直线没有交点即两条直线平行.布置作业P 87练习2、3、4. 板书设计2.1.4 两条直线的交点方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 的解与直线l 1、l 2的位置关系……例1 例2 例3 例4课堂小结 布置作业 活动与探究【例题】求证：不论m 为何实数，直线l ：(m-1)x +(2m-1)y =m-5恒过一定点，并求出此定点的坐标．分析：证明直线过定点即证定点坐标始终满足直线方程． 解法一：将直线l 的方程(m-1)x +(2m-1)y =m-5,整理为(x +2y -1)m-x -y +5=0，该方程表示过直线x +2y -1=0和-x -y +5=0交点的直线，由⎩⎨⎧=+--=-+,05,012y x y x 得交点(9,-4).∴直线l 过定点(9,-4)． 解法二：令m=1得y =-4，m=21得x =9，两直线y =-4和x =9交点为(9,-4)，将(9,-4)代入直线方程得9m-9-8m+4=m-5恒成立，所以，直线l 过定点(9,-4)．习题详解课本第87页习题2．1（2）解答： 1．（1）4x +y -14=0；（2）x -2y -3=0；（3）7x -2y -20=0. 2.因为k AB =274607＝--,所以AB 边上的高所在直线的方程为y -3=-72x ,即2x +7y -21=0. 3.(1)由方程组⎩⎨⎧=-+=+-,04,043y x y x 可得交点坐标为(0,4),故所求直线的方程为y -4=-2x ,即2x +y -4=0.(2)由方程组⎩⎨⎧=-+=+-,092,032y x y x 可得交点坐标为(3,3),故所求直线的方程为30030--=--x y ,即x -y =0. (3)由方程组⎩⎨⎧=-+=+-,0243,01022y x y x 可得交点坐标为(-717,718),故所求直线的方程为y -717=-)718(32+x ,即14x +21y -15=0. (4)由方程组⎩⎨⎧=+-=-+,012,082y x y x 可得交点坐标为(3,2),故所求直线的方程为y -2=34(x -3),即4x -3y -6=0.4.由方程组⎩⎨⎧=-=+102,1034y x y x 可得交点坐标为P (4,-2).依题意知,点P (4,-2)在直线ax +2y +8=0上.将点P 的坐标代入直线方程,可解得a =-1.5.k AB =451332-=+--,k BC =313621=-+-,k CD =456214-=-+,k DA =311234=+-. 6.显然a ≠0.直线ax +2ay +1=0的斜率为-21,从而直线(a -1)x -(a +1)y -1=0的斜率为2,即11+-a a ,∴a =-3.所以两条直线的方程分别是-3x -6y +1=0和-4x +2y -1=0.联立这两个方程可解得交点坐标为(-307,152).7.当m ≠－1且m ≠－7时,l 1与l 2相交;当m ＝－7时,l 1与l 2平行；当m=-313时，l 1与l 2垂直.8．由⎩⎨⎧=+-=++082,01y x y x 可得交点的坐标为（-3，2）.依题意，实数a 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠--≠-≠-⨯+-,23,13,0523)3(·a aa 即a ≠31，且a ≠3，且a ≠－6. 9.证法一:仿教材第82页的证明可得.证法二:若k 1k 2=-1,如图,不妨设k 1>0,k 2<0.过l 1与l 2的交点P 作x 轴的垂线,垂足为Q (若P 在x 轴上,则过P 作一与x 轴平行的直线的垂线).则k 1=QA PQ ,k 2=QBPQ. ∵k 1k 2=-1,∴QA PQ =PQQB. 又∵∠A QP ＝∠PQ B ＝90°, ∴△A QP ∽△PQ B. ∴∠A PQ ＝∠P B Q .∴∠A P B ＝90°,即l 1⊥l 2.10.(1)①当B ＝0时,必有A ≠0,直线l 的方程为A x +C ＝0,此时,直线l 垂直于x 轴.由l ∥l 1,知直线l 1也垂直于x 轴,故其方程可以表示为A x +C 1＝0(C 1≠C).反之,方程A x +C 1＝0(C 1≠C)表示的是一条垂直于x 轴的直线,且与直线l:A x +C ＝0平行.②当B ≠0时,直线l 的斜率为-B A .由l ∥l 1,知直线l 1的斜率也为-BA,故其方程可以表示为y =-BAx +C 0,即A x +B y -BC 0=0.令-BC 0=C 1,可得直线l 1的方程为A x +B y +C 1=0.反之,方程A x +B y +C 1=0(C 1≠C)表示的是一条斜率为-BA的直线,且与直线l 1:A x +B y +C=0平行.(2)①当B ＝0时,必有A ≠0,直线l 的方程为A x +C ＝0,此时,直线l 垂直于x 轴.由l 2⊥l,知直线平行于x 轴,故其方程可以表示为A y +C 2＝0.反之,方程A y +C 2＝0表示的是一条平行于x 轴的直线,且与直线l:A x +C ＝0垂直.②当B ≠0时,直线l 的斜率为-B A .由l 2⊥l,知直线l 2的斜率也为AB,故其方程可以表示为y =ABx +C 3,即B x -A y +AC 3=0.令AC 3=C 2,可得直线l 2的方程为B x -A y +C 2=0.反之,方程B x -A y +C 2=0表示的是一条斜率为AB的直线,且与直线l:A x +B y +C=0垂直.11.略（此题已在前面作为例题解答过）.备课资料一、备选例题 【例1】求经过两条直线2x -3y -3=0和x +y +2=0的交点，且与直线3x +y -1=0垂直的直线l 的方程．分析：可先求两直线交点坐标，然后求直线l 的斜率，再根据点斜式写出直线l 的方程．解法一：由⎩⎨⎧=++=--,02,0332y x y x 得交点坐标(57,53--).又∵直线l 与直线3x +y -1=0垂直，∴直线l 的斜率为31. ∴直线l 的方程为y +57=)53(31+x ，即5x -15y -18=0．解法二：设直线l 的方程为2x -3y -3+λ(x +y +2)=0，即(λ+2)x +(λ-3)y +2λ-3=0.又∵直线l 与直线3x +y -1=0垂直， ∴-32-+λλ²(-3)=-1，解得λ=-43. ∴直线l 的方程为5x -15y -18=0． 点评：经过直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0和直线l 2：A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线方程为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0．二、备选习题1.若三条直线2x +3y +8=0,x -y -1=0,x +k y =0相交于一点，则k 的值等于（）A.-2B.-21C.2D.21 2.已知直线y =k x +3与直线y =x +1的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（） A.1<k<3 B.k<1 C.k>3 D.k>13.已知两直线a 1x +b 1y +3=0和a 2x +b 2y +3=0的交点是(2,3)，则过两点P (a 1,b 1)、Q (a 2,b 2)的直线方程是（）A.3x +2y =0B.2x +3y +3=0C.3x +2y +3=0D.2x -3y -5=04.若一条直线过点(2,1)，且与另一条直线y =k x +b 相交于点(1,2),则该直线的方程为__________．5.三条直线x +y +1=0，2x -y +8=0，ax +3y -5=0有且只有两个交点，则a =__________．6.设m+n=k （k 为非零常数），则直线m x +n y +1=0恒过点__________．7.直线l 平行于直线4x -3y +5=0，且被直线3x +4y =0与11x -2y =0截得的线段长为10，求直线l 的方程．8.求证：不论m 为何实数，直线l ：(2m-1)x -(m+3)y -(m-11)=0恒过一定点，并求出此定点的坐标．参考答案：1.B2.B3.C4.x +y -3=05.3或-66.(-k 1,-k1) 7.4x -3y ±25=0. 8.定点坐标为(2,3).。

§两条直线的交点教学设计江苏省徐州市侯集高级中学马芹艳学习目标：1．会求两条直线的交点；2．理解两条直线的位置关系与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系；3．加深对解析法的理解，进一步渗透数形结合、转化的思想．学习重点：两条直线相交求交点；用方程组的解研究两直线的位置关系．学习难点：两条直线的位置关系与相应二元一次方程组解的对应关系．1 问题情境分别在同一平面直角坐标系中，作出以下两条直线:1： 2 ： 3 ：：：：设计意图：〔1〕通过三个同学的板演展示，观察图“形〞可以直观地看出两条直线公共点的个数1个、0个、无数个；也就可以看出两条直线的位置关系，培养学生的动手能力，让学生体会从形到数的思想〔2〕如果两条直线相交，公共点就是两条直线的交点，如何求交点坐标呢？引出本节课的课题。

〔3〕学生都会说联立方程组，但是为什么呢？让学生思考这个问题，如果两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点坐标就是这两个方程的公共解，反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线的交点，这就是方程的解和解的方程，把纯粹性和完备性讲清楚，学生自会明白其中道理。

〔4〕学生理解了解方程组法，即可把三个问题的方程组解好，同时解的个数对应着图象的交点个数，让学生体会了从数到形的思想。

〔5〕从问题情境还可以让学生深深体会，两条直线位置关系的判断可以转化为解方程组，通过方程组解的个数来判断，用代数的方法解决几何问题，渗透解析法。

2 数学建构设两条直线的方程分别是：设计意图：〔1〕由问题情境的三个例子得到一般性的结论，渗透有特殊到一般的归纳推理方法。

让学生口答即可，但是必须要让学生记忆并理解。

〔2〕从问题情境和数学建构两方面可以得出：①判断两条直线位置关系的方法：解方程组〔易操作〕、图象〔更直观〕，数形都表达出来。

②如何求两条直线的交点坐标？解方程组法。

③小问题，大发现，让学生在平常的学习中学会善于观察、归纳。

2.1.4 两条直线的交点教学目标：1．知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解2．当两条直线相交时，会求交点坐标3．学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力 教学重点：根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线相交求交点教学难点：对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解教学过程：1．引入新课问题：任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，那么两条直线是否有交点与它们的方程所组成的方程组是否有解有何联系？2．两条直线的交点设两条直线的方程分别是l :0=++C y B x A ,l :0=++C y B x A ．研究两条直线21的位置关系(相交、重合、平行)可以转化为两条直线方程所得的方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的解的个数问题． 3．例题讲解例1．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：(1)1l :72=-y x ，2l :0723=-+y x ；(2)1l :0462=+-y x ，2l :08124=+-y x ；(3)1l :0424=++y x ，2l :32+-=x y ．解：(1)⎩⎨⎧=-+=--0723072y x y x 的解为31x y =⎧⎨=-⎩，直线1l 与2l 相交，交点坐标为()13-，． (2)⎩⎨⎧=+-=+-081240462y x y x 有无数组解，这表明直线1l 和2l 重合． (3)⎩⎨⎧=-+=++0320424y x y x 无解，这表明直线1l 和2l 没有公共点，故12l l P ． 例2．直线l 经过原点，且经过另外两条直线0832=++y x ，01=--y x 的交点，求直线l 的方程．分析：法一：由两直线方程组成方程组⎩⎨⎧=--=++010832y x y x ，求出交点()2,1--，再过原点()0,0，由两点求直线方程．法二：设经过两条直线0832=++y x ，01=--y x 交点的直线方程为()()01832=--+++y x y x λ，又过原点，由()0,0代入可求λ的值．(直线系)结论：已知直线1l :0111=++C y B x A ，2l :0222=++C y B x A 相交，那么过两直线的交点的直线(不含2l )方程可设为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ()R ∈λ． 练习：(1)求证：无论m 为何实数，l ：5)12()1(-=-+-m y m x m 恒过一定点，求出此定点坐标．(2)求经过两条直线0332=--y x 和02=++y x 的交点，且与直线013=-+y x 垂直的直线的方程．例3．(教科书86P 例3)某商品的市场需求1y (万件)、市场供求量2y (万件)、市场价格x (元/件)分别近似地满足下列关系：202,70-=+-=x y x y ．当21y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．(1)求市场平衡价格和平衡需求量；(2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？解：(1)解方程组⎩⎨⎧-=+-=20270x y x y 得⎩⎨⎧==4030y x ， 故平衡价格为30元/件，平衡需求量为40元/件． (2)设政府给予t 元/件补贴，此时的市场平衡价格(即消费者支付价格)x 元/件，则供货者实际每件得到)(t x +元．依题意得方程组⎩⎨⎧=-+=+-4420)(24470t x x ，解得6,26==t x ． 因此，政府对每件商品应给予6元补贴．例4．已知直线1l :310x my +-=，2l :3250x y --=，3l :650x y +-=，(1)若这三条直线交于一点，求m 的值；(2)若三条直线能构成三角形，求m 的值．解：(1)325016501x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩，代入1l 得，2m =； (2)分析：当三直线交于一点或其中两条互相平行时，它们不能构成三角形．○1由(1)得，当2m =时，三线共点，不能构成三角形， ○2当12l l P 时，2m =-，当13l l P 时，12m =，此时它们不能构成三角形， 综上所述：当2m ≠±且12m ≠时，三条直线能构成三角形． 4．课堂小结通过对两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程组的解的个数与直线位置关系的联系．培养同学们的数形结合、分类讨论和转化的数学思想方法．。

两条直线的交点教案教案主题：两条直线的交点教学目标：1.理解两条直线的交点定义；2.学会根据直线的方程求解两条直线的交点；3.掌握通过图形法求解两条直线的交点。

教学重点：掌握通过直线方程求解两条直线的交点方法。

教学环节安排：一、导入新知识（10分钟）1.利用幻灯片展示两条直线的交点图像，引发学生对交点的兴趣。

2.提出以下问题：a.你认为什么样的直线才会有交点？b.如果已知两条直线的方程，是否可以求出两条直线的交点？为什么？c.有哪些方法可以求解两条直线的交点？3.小组讨论，总结出各种求解两条直线交点的方法，并进行展示。

二、直线方程求解交点（30分钟）1.提供一种方法：代入法。

a.解释代入法的基本原理：将其中一条直线的方程中的未知数代入另一条直线的方程，得到一个含有一未知数的方程，进而求解该未知数的值。

b.利用幻灯片展示代入法的具体步骤。

c.通过例题演示代入法的应用。

2.提供第二种方法：联立法。

a.解释联立法的基本原理：将两条直线的方程联立，得到一个含有两未知数的方程组，通过求解该方程组，得到两条直线的交点的坐标。

b.利用幻灯片展示联立法的具体步骤。

c.通过例题演示联立法的应用。

3.提供第三种方法：向量法。

a.解释向量法的基本原理：将两条直线的表示向量相等，推导出一个含有两个未知数的方程组，通过求解该方程组，得到两条直线的交点的坐标。

b.利用幻灯片展示向量法的具体步骤。

c.通过例题演示向量法的应用。

三、图形法求解交点（30分钟）1.引导学生回忆坐标系的基本知识，并讲解直线的图形表示。

2.通过图形法求解两直线交点的基本原理：在坐标系上绘制两条直线的图形，通过观察图形的交点来求解两条直线的交点。

3.通过例题演示图形法求解两直线交点的具体步骤。

4.练习训练：提供多个题目，让学生运用图形法求解两直线交点。

四、巩固练习及拓展（20分钟）1.以小组竞赛的形式，提供一些综合性的题目，让学生灵活运用所学方法求解两条直线的交点。

高一数学《两条直线的交点坐标》教案高一数学《两条直线的交点坐标》教案3.3.1两条直线的交点坐标一、学习目标:知识与技能：会求两直线的交点坐标，会判断两直线的位置关系。

过程与方法：通过两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。

掌握数形结合的方法。

情感态度与价值观：通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系。

能够用辩证的观点看问题。

二、学习重点、难点：学习重点: 判断两直线是否相交，求交点坐标。

学习难点: 两直线相交与二元一次方程的关系。

三、使用说明及学法指导:1、先阅读教材102103页，然后仔细审题，认真思考、独立规范作答。

2、、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。

（会解二元一次方程组）3、A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成A.B 类题。

平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C 力争完成60％以上。

四、知识链接：1．直线方程有哪几种形式？（1）l1：x－y＝0， l2：3x＋3y－10＝0（2）l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y＝0（3）l1：3x＋4y－5＝0， l2：6x＋8y－10＝0六、达标检测A1.教材109页习题3.3A组1,2,3B 2. 光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x 轴反射，求反射光线所在的直线方程。

B3求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程七、小结与反思：会求两直线的交点坐标，会判断两直线的位置关系【金玉良言】临渊羡鱼不如退而结网。