浙教版八年级数学下册特殊四边形综合提高讲义设计

课题特殊平行四边形精讲知识点一：矩形的性质和判定考点1：直角对边平行且相等对角线相等考点2：一个角是直角的平行四边形三个角是直角对角线相互平分且相等考点3：勾股定理(主要与折叠相关) 一定要用起来对应边相等，对应角相等经典例题分析，提高综合能力例题1：如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是cm．例题2：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD 边的F点上，则DF的长为．例题3：、如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 .例题4：如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 .例题5：如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形；对角线相交于点；再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．(1）求矩形的面积；(2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形 和第6个平行四边形的面积．例题6：如图，已知直线与直线分别交轴于两点．矩形的顶点上，顶点都在轴上，且点与点重合．(1）求的面积；(2）求矩形的边与的长；知识点二：菱形的性质和判定 考点1：四边相等对角相等且被对角线平分对角线互相垂直考点2:一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直 平分对角 考点3：对称性勾股定理例题1：在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．(1）求的周长；(2）点为线段上的点，连接并延长交于点．求证：．ABCD 1220AB AC ==，O OB OC 1OBB C 1A 11A B 1A C 111A B C C 1O 11O B 11O C 1121O B B C ABCD 11OBB C 111A B C C 128:33l y x =+2:216l y x =-+C l l 12，、x A B 、DEFG D E 、12l l 、F G 、x G B ABC △DEFG DE EF ABCD AC BD O 56AB AC ==，D DE AC ∥BC E BDE △P BC PO AD Q BP DQ = AQ DEBP COA 1 A 2B 2C 2C 1 B 1O 1 DABC O例题2：如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE//BC，过点D作DE//AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．(1)求证：AD＝EC；(2)当∠BAC＝Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．例题3：如图，△ABC中，AD是边BC 上的中线，过点A作AE//BC，过点D作DE//AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．(1)求证：AD＝EC；(2)当∠BAC＝Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．例题4：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．例题5：如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（）A、（2,2-） B、（2,2-） C、（3,3-） D、（2,2--）知识点3：正方形考点1: 直角平行四边相等45°特殊角度对角线互相垂直辅助线考点2：勾股定理综合应用例题1：如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG 于F．求证：．DE AG⊥BF DE∥AF BF EF=+ DCBAEFG例题2：正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，且G 为BC 的三等分点，R 为EF 中点，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为（ ） A ．10 B ．12C ．14D ．16例题3：如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC =10，则正方形的边长为 .例题4：如图（22），直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒（）． (1）求两点的坐标；(2）用含的代数式表示的面积；(3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为， ①当时，试探究与之间的函数关系式；②在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的？l 4y x =-+x y A B 、l m O x x y M N 、t 04t <≤A B 、t MON △1S MN OMPN MPN △OAB △2S 2t <≤42S t m t 2S OAB △516OMAP N y l mx BO MAP N y l mxBE PF 图。

课题特殊平行四边形精讲知识点一：矩形的性质和判定考点1：直角对边平行且相等对角线相等考点2：一个角是直角的平行四边形三个角是直角对角线相互平分且相等考点3：勾股定理(主要与折叠相关) 一定要用起来对应边相等，对应角相等经典例题分析，提高综合能力例题1：如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是cm．例题2：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD 边的F点上，则DF的长为．例题3：、如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 .例题4：如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 .例题5：如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形；对角线相交于点；再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．(1）求矩形的面积；(2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形 和第6个平行四边形的面积．例题6：如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．(1）求的面积；(2）求矩形的边与的长；知识点二：菱形的性质和判定 考点1：四边相等对角相等且被对角线平分对角线互相垂直考点2:一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直 平分对角 考点3：对称性勾股定理例题1：在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．(1）求的周长；(2）点为线段上的点，连接并延长交于点．求证：．ABCD 1220AB AC ==，O OB OC 1OBB C 1A 11A B 1A C 111A B C C 1O 11O B 11O C 1121O B B C ABCD 11OBB C 111A B C C 128:33l y x =+2:216l y x =-+C l l 12，、x A B 、DEFG D E 、12l l 、F G 、x G B ABC △DEFG DE EF ABCD AC BD O 56AB AC ==，D DE AC ∥BC E BDE △P BC PO AD Q BP DQ = AQ DEBP COA 1A 2B 2C 2C 1 B 1O 1 DABCOA DB EOCF x yy（G ）例题2：如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE//BC ，过点D 作DE//AB ，DE 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连接EC ． (1)求证：AD ＝EC ；(2)当∠BAC ＝Rt ∠时，求证：四边形ADCE 是菱形．例题3：如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE//BC ，过点D 作DE//AB ，DE 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连接EC ． (1)求证：AD ＝EC ；(2)当∠BAC ＝Rt ∠时，求证：四边形ADCE 是菱形．例题4：如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 ．例题5：如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B =120°，OA =2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为（ ）A 、（2,2-）B 、（2,2-）C 、（3,3-）D 、（2,2--） 知识点3：正方形考点1: 直角 平行 四边相等 45°特殊角度对角线互相垂直辅助线考点2：勾股定理 综合应用例题1：如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，于E ，，交AG 于F ．求证：． DE AG ⊥BF DE ∥AF BF EF =+ DC BA EF G例题2：正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，且G 为BC 的三等分点，R 为EF 中点，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为（ ） A ．10 B ．12C ．14D ．16例题3：如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC =10，则正方形的边长为 .例题4：如图（22），直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒（）． (1）求两点的坐标；(2）用含的代数式表示的面积；(3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为， ①当时，试探究与之间的函数关系式；②在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的？ l 4y x =-+x y A B 、l m O x x y M N 、t 04t <≤A B 、t MON △1S MN OMPN MPN △OAB △2S 2t <≤42S t m t 2S OAB △516OMAP N y l mxBOMAP N y l mxB E P F 图22。

版本科目年级课时教学设计图片欣赏：请同学们观察它们由什么图形组成？菱形具有工整，匀称，美观等许多优点，常被人们用在图案设计上.一组邻边相等平行四边形菱形菱形:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.画出菱形的两条折痕,并通过折叠(上下对折、左右对折)手中的图形，得到菱形有哪些平行四边形不具有的性质？从以下方面进行讨论：1、对称性2、是否有特殊的三角形3、边4、角5、对角线菱形性质定理的探究：通过上面的折叠猜想菱形的四条边有什么关系？你的猜想是什么？你能证明这个猜想的正确性吗？已知：如图，四边形ABCD是菱形.求证：AB=BC=CD=DA.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD，四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD，AD=BC.∴AB=BC=CD=AD.菱形性质定理1:菱形的四条边都相等.几何语言：∵四边形ABCD是菱形,∵四边形ABCD是菱形,通过上面的折叠猜想菱形的对角线有什么关系？你的发现是什么？你能证明你的猜想的正确性吗？已知:如图，AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，AC，BD相交于点O.求证: （1）AC⊥BD;（2）AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD，AO=CO.∵DO=DO，∴△AOD≌△COD(SSS).∴∠AOD=∠COD=900.∴AC⊥BD.（2）∵AD=AB,DA=DC，AC⊥BD;∴AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ADC和∠ABC.菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形是轴对称图形，对称轴有两条．几何语言：∵菱形ABCD，∴ AC ⊥BD ，BD 平分∠ADC 和∠ABC ，BD 平分∠ADC 和∠ABC ．例1.在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠BAC=30°，BD=6. 求菱形的边长和对角线AC 的长.解：∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB=CD(菱形的定义)AC 平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角) ∵∠BAC=30° ∴∠BAD=60° ∴△ABD 是等边三角形. ∴AB=BD=6 又∵OB=OD=3(平行四边形的对角线互相平分) AC ⊥BD(菱形的对角线互相垂直) 由勾股定理,得 AO=22226333AB BO -=-=AC=2AO= 63 典例解析：如图，菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 边的中点． 求证：AE=AF ．证明：在菱形ABCD 中， AB=BC=CD=AD ， ∠B=∠D ，∵点E 、F 分别是BC 、CD 边的中点，∴BE=12BC ，DF=12CD ，∴BE=DF ， ∴△ABE ≌△ADF ， ∴AE=AF ．思考：利用菱形的对角线能计算菱形的面积吗？如图，菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ．求该菱形的面积． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∴S 菱形ABCD =S △ABD +S △CBD1122BD AO BD CO =+1()2BD AO CO =+12BD AC =结论：菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半． 针对练习：如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，∠BAD=120°．对角线AC 、BD 相交于点O ，求这个菱形的对角线长和面积．解：∵菱形ABCD 中∠ABC=60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AO=12×4=2，BO=22AB AO -=23， ∴AC=2AO=2×2=4，1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2、菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（1，3）3．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，求AE的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，∴AC⊥BD，AO=12AC，BD=2BO，∴∠AOB=90°，∵AC=6，∴AO=3，∴BO=4，∴DB=8，∴菱形ABCD的面积是1 2×AC•DB=12×6×8=24，∴BC•AE=24，AE=245．拓展提升：已知：如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长．解：连接BD．∵在菱形ABCD中，∴AD∥BC，AC⊥BD．又∵EF⊥AC，∴BD∥EF．∴四边形EFBD为平行四边形．∴FB=ED=2．∵E是AD的中点．∴AD=2ED=4．∴菱形ABCD的周长为4×4=16．。

第十二讲 特殊四边形综合拓展与提升一、知识梳理1、特殊四边形的判定方法2、特殊四边形的边、角、对角线性质的应用3、特殊四边形中的平移、旋转、对称二、精典题例巧解点拨1、已知，如图，在ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于一点P.若AE=AP=1，PB=5.下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为2；③EB ⊥ED ；④APD APB S +S =1+6△△；⑤ABCD S =4+6正方形.其中正确结论的序号是___________2．如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，连接对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1，使∠D 1AC =60°，连接AC 1，再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2，使∠D 2AC 1=60°；…，按此规律所作的第六个菱形的边长为（ ）A ．9B ．9C ．27D ．273. 如图6为正三角形ABC 与正方形DEFG 的重叠情形，其中D ,E 两点分别在AB 、BC 上，且BD =BE ．若AC =18，GF =6，则F 点到AC 的距离为何？（ ）A.2B.3C.12－43D.63－64. 正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2…..按如图所示的方式放置，点A 1、A 2、A 3…….和点C 1、C 2……..分别在直线(0)y kx b k =+>和x 轴上，已知点B 1（1,1），B 2（3,2），则点B 2014的坐标是___________.5、在平行四边形ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ的平分线交直线ＢＣ于点Ｅ，交直线ＤＣ于点Ｆ。

（1）在图１中证明ＣＥ＝ＣＦ；（2）若∠ＡＢＣ＝90°，Ｇ是ＥＦ的中点（如图２），直接写出∠ＢＤＧ的度数；（3）若∠ＡＢＣ＝１２０°，ＦＧ∥ＣＥ，ＦＧ＝ＣＥ，分别连续DＥ、ＤＧ（如图３），求∠ＢＤＧ的度数。

第6章特殊平行四边形与梯形教案一、矩形1、有一角是直角的平行四边形是矩形2、矩形的四个角都是直角；3、矩形的对角线相等。

4、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形5、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半二、菱形1、把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2、定理1:菱形的四条边都相等3、菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.4、菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以25、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形6、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

三、正方形1、有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2、性质：（1）四个角都是直角，四条边相等（2）对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角3、判定：（1）一组邻边相等的矩形是正方形（2）有一个角是直角的菱形是正方形四、梯形1、一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

3、直角梯形：一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

4、①等腰梯形是轴对称图形，对称轴是连接两底中点的直线。

②等腰梯形同一底上的两个内角相等，两条对角线相等。

5、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

6、作出下列梯形常用的辅助线五、综合1、下列判定正确的是（）A、对角线互相垂直的四边形是菱形B、两角相等的四边形是等腰梯形C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D、对角线相等且互相垂直的四边形是正方形2、平行四边形的各个内角平分线若能围成一个四边形，则这个四边形一定是（）A、正方形B、矩形C、菱形D、平行四边形顺次连接矩形各边中点所得的四边形是_______________；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是____________________.下列图形不符合“既是中心对称图形，又是轴对称图形”的是（）A、线段B、半圆C、矩形D、菱形3、下列说法中错误．．的是（）A、四个角相等的四边形是矩形B、四条边相等的四边形是正方形C、对角线相等的菱形是正方形D、对角线互相垂直的矩形是正方形下列性质，矩形没有而菱形有的是（）A、对角线互相垂直B、对角线互相平分C、对角线相等D、以上都不对4、下列判断错误的是（）A、对角线相等的平行四边形是矩形B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是菱形C、对角线垂直且相等的四边形是正方形D、对角线平分一个内角的平行四边形是菱形1、在线段、角、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是轴对称图形的是。

特殊平行四边形第2讲（正方形）命题点一：根据相应的判定方法解题例1下列判断错误的是( D )A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形例2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE ＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( D )A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF命题点二：利用性质解决相关问题例3如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( C )A．4个 B．6个 C．8个 D．10个例4如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE＝AC，CF∥AE，则∠BCF 的度数为 105°.命题点三：利用图形的对称性解题例5如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD ＝2E C．其中正确结论的序号是( A )A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②④ D．①④例6(宁波一中预录题)如图，正方形ABCD，正方形CGEF的边长分别是2,3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则额MF的长为( A)A．22B．1 C． 2 D． 3命题点四：用旋转的方法解决问题例7如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是( B )A． 2 B． 3 C．2 D． 5例8(江西省南昌市竞赛题)如图，P为正方形ABCD内一点，若PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，则∠APB 的度数为( B )A．120°B．135° C．150°D．以上都不对命题点五：利用面积法解有关的问题例9有3个正方形如图所示放置，涂色部分的面积依次记为S1，S2，则S1∶S2等于( D ) A．1∶ 2 B．1∶2 C．2∶3 D．4∶9例10将五个边长都为3 cm的正方形按如图所示的样子摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块涂色面积的和为( C )A．3 cm2 B．6 cm2 C．9 cm2 D．18 cm2命题点六：利用正方形半角模型解题例11(2018·湖北)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是( C )A．1 B．1.5 C．2 D．2.5例12如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG，GF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S＝3.其中正确结论的个数是( B )△FGCA．4 B．3 C．2 D．1命题点七：利用弦图模型解题例13如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF ＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( C )A．7 B．8 C．7 2 D．7 3例14按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形(涂色部分)的周长为20 2 .命题点八：正方形内部“线段”垂直必相等；相等不一定垂直例15如图，将边长为12 cm的正方形ABCD折叠，使得A落在边CD上的E点，折痕为FG，连结AE，若FG的长为13 cm，则线段CE的长为 7_cm.例16如图所示，正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC相交于点P，Q .若PQ＝AE，则AP长为( C )A．0.5 B．1 C．1或2 D．0.5或2.5课后练习1．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC 的度数为( A )A．60°B．67.5°C．75°D．54°2．如图所示，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于( B )A．70 B．74 C．144 D．1483．如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F在BC上，∠EAF＝∠DAE，则下列结论中正确的是( D )A．∠EAF＝∠FAB B．FC＝13BC C．AF＝AE＋FC D．AF＝BC＋FC4．如图是由三个边长分别为6,9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( D )A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或65．在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用涂色部分表示)，点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是( D )A．3＋318B．3＋118C．3＋36D．3＋166．如图，正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连结GH，则GH的长为1234.7．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQS正方形AEFG＝89.8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连结OC，若AC＝5，OC＝62，则另一直角边BC的长为 7 .9．如图，在正方形ABCD中，点P，P1为正方形内的两点，且PB＝PD，P1B＝AB，∠CBP＝∠P1BP，则∠BP1P＝ 45°.10．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小是 15°或165°.11．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B＝90°，∠ADC＝∠ACB＋45°，BC＝AB＋3，若AC＝CD，则边AD的长为6.12．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，BP的垂直平分线分别交CD，AB于点E，F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H.(1)求证：HF ＝AP .(2)若正方形ABCD 的边长为12，AP ＝4，求线段EQ 的长． 解：(1)∵EF ⊥BP ，EH ⊥AB ，∴∠FEH ＋∠EMQ ＝90°＝∠PBA ＋∠BMH . 又∵∠QME ＝∠BMH ， ∴∠FEH ＝∠PB A ． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝A D ． ∵EH ⊥AB ，∴∠EHA ＝90°＝∠A ＝∠D ． ∴四边形ADEH 是矩形． ∴AD ＝EH . 又∵AB ＝AD ， ∴AB ＝EH .在△ABP 与△HEF 中，∵⎩⎨⎧∠A ＝∠FHE ，AB ＝HE ，∠ABP ＝∠HEF ，∴△ABP ≌△HEF (ASA )． ∴AP ＝FH .(2)如图，连结PF ，PE .∵EF 垂直平分BP ， ∴PF ＝BF .设AF ＝x ，则PF ＝BF ＝12－x .∴在△APF 中，42＋x 2＝(12－x )2，解得x ＝163.∴AF ＝163. ∴BF ＝AB －AF ＝203，BH ＝BF －FH ＝83， DE ＝AB －BH ＝283. ∴PE ＝DP 2＋DE 2＝4853. ∵BP ＝AP 2＋AB 2＝410， ∴PQ ＝12BP ＝210.∴EQ ＝PE 2－PQ 2＝10103. 13．(2018·北京) 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上的一动点(不与A ，B 重合)，连结DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连结EF 并延长交BC 于点G ，连结DG ，过点E 作EH ⊥DE 交DG 的延长线于点H ，连结BH .(1)求证：GF ＝G C ．(2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明． 证明：(1)如图，连结DF . ∵点A ，F 关于DE 对称， ∴AD ＝FD ，AE ＝FE . 在△ADE 和△FDE 中，∵⎩⎨⎧AD ＝FD ，AE ＝FE ，DE ＝DE ，∴△ADE ≌△FDE (SSS )． ∴∠DAE ＝∠DFE .∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠C ＝90°，AD ＝C D ． ∴∠DFE ＝∠A ＝90°.∴∠DFG ＝180°－∠DFE ＝90°. ∴∠DFG ＝∠C ．∵AD ＝DF ，AD ＝CD ，∴DF ＝C D ． 在Rt △DCG 和Rt △DFG 中，∵⎩⎨⎧DC ＝DF ，DG ＝DG ，∴Rt △DCG ≌Rt △DFG (HL )． ∴GF ＝G C ． (2)BH ＝2AE .如图，在AD 上取点M 使得AM ＝AE ，连结ME .∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝AB ，∠A ＝∠ADC ＝90°. ∵△ADE ≌△FDE ， ∴∠ADE ＝∠FDE . 同理，∠CDG ＝∠FDG .∴∠EDG ＝∠EDF ＋∠GDF ＝12∠ADF ＋12∠CDF ＝12∠ADC ＝45°. ∵DE ⊥EH ，∴∠DEH ＝90°.∴∠EHD ＝180°－∠DEH －∠EDH ＝45°.∴∠EHD ＝∠EDH .∴DE ＝EH .∵∠A ＝90°，∴∠ADE ＋∠AED ＝90°.∵∠DEH ＝90°，∴∠AED ＋∠BEH ＝90°.∴∠ADE ＝∠BEH .∵AD ＝AB ，AM ＝AE ，∴DM ＝E B ．在△DME 和△EBH 中，∵⎩⎨⎧ DM ＝EB ，∠MDE ＝∠BEH ，DE ＝EH ，∴△DME ≌△EBH (SAS )．∴ME ＝BH .在Rt △AME 中，∠A ＝90°，AE ＝AM ，∴ME ＝AE 2＋AM 2＝2AE .∴BH ＝2AE . 14．四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连结CE ，以CE 为边，作正方形CEFG (点D ，点F 在直线CE 的同侧)，连结BF .(1)如图①，当点E 与点A 重合时，请直接写出BF 的长．(2)如图②，点E 在线段AD 上，AE ＝1.①求点F 到AD 的距离；②求BF 的长．(3)若BF＝310，请直接写出此时AE的长．解：(1)BF＝4 5.(2)如图，①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，∵四边形CEFG是正方形，∴EC＝EF，∠FEC＝90°.∴∠DEC＋∠FEH＝90°.又∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°.∴∠DEC＋∠ECD＝90°.∴∠ECD＝∠FEH.又∵∠EDC＝∠FHE＝90°，∴△ECD≌△FEH. ∴FH＝E D．∵AD＝4，AE＝1，∴ED＝AD－AE＝4－1＝3. ∴FH＝3，即点F到AD的距离为3.②延长FH交BC的延长线于点K，∴∠DHK＝∠HDC＝∠DCK＝90°.∴四边形CDHK为矩形．∴HK＝CD＝4.∴FK＝FH＋HK＝3＋4＝7.∵△ECD≌△FEH，∴EH＝CD＝AD＝4.∴AE＝DH＝CK＝1.∴BK＝BC＋CK＝4＋1＝5.在Rt△BFK中，BF＝FK2＋BK2＝72＋52＝74.(3)AE＝2＋41或AE＝1.15．(自主招生模拟题)如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF ＝1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次回到点E时，小球P所经过的路程为6 5 .16．(自主招生模拟题)图①中，正方形ABDE，CDFI，EFGH的面积分别为17,10,13；图②中，四边形DPQR为矩形，对照图②，计算图①中六边形ABCIGH的面积应为 62 .17．(自主招生模拟题)如图所示，四边形ABCD是正方形，且∠1＝∠2＝∠3.(1)若∠1＝30°，DG＝3，求正方形ABCD的边长．(2)求证：AG－GF＝GE.解：(1)∵∠1＝30°，DG＝3，∴正方形ABCD的边长为3DG＝3.(2)如图，在AG上截取GH＝GF，过点H作HP⊥AD，垂足为P. ∵∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠1＝∠3，∴∠4＝90°－2∠1.在等腰三角形GFH中，∠GHF＝12(180°－∠4)＝45°＋∠1. 又∵∠GHF＝∠1＋∠AFH，∴∠AFH＝45°.∴△PFH为等腰直角三角形，PH＝PF. 由GH＝GF且PH＝PF，得GP⊥FH.∴∠FPG＝45°.∴DP＝DG，AP＝CG.∴△APH≌△GCE，AH＝GE.∴AG＝AH＋HG＝GE＋GF.∴AG－GF＝GE.。

特殊平行四边形第1讲（矩形与菱形）命题点一：利用性质解决相关问题例1如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(2,3)，则BD＝13.例2如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD 交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH 的周长之差为12时，AE的值为( C )A．6.5 B．6 C．5.5 D．5命题点二：根据相应的判定方法解题例3下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( C )A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B＝∠D＝90°C．AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90° D．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°例4四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( B ) A．BA＝BC B．AC，BD互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD例5如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD的中点，M是边AB上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连结MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形．(2)填空：①当AM 的值为 1 时，四边形AMDN 是矩形； ②当AM 的值为 2 时，四边形AMDN 是菱形. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM .∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME . ∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE .在△NDE 和△MAE 中，∵⎩⎨⎧∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME ，DE ＝AE ，∴△NDE ≌△MAE (AAS )．∴ND ＝M A ． ∴四边形AMDN 是平行四边形．命题点三：利用图形的轴对称性解题例6如图，四边形ABCD 是菱形，△AEF 是正三角形，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AB ＝AE ，则∠B 的大小为( B )A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°例7如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E ，F 在BD 上，已知∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°，则ABAE ＝6＋22. 命题点四：利用图形的中心对称性解题例8如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝110°，E ，F 分别是AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC 的大小为( D )A．35° B．45° C．50° D．55°例9如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，其速度为1 cm/s，运动时间为t(s)．当AC＝16 cm，BD＝12 cm，且以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形时，t＝ 2或14 .命题点五：用旋转的方法解决问题例10如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(－6,0)，C(0,23)，将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为(－23，6) .例11如图，在边长为2的菱形ABCD中，BD＝2，E，F分别是AD，CD上的动点(包含端点)，且AE＋CF＝2，则线段EF的长的取值范围是3≤EF≤2 .命题点六：巧用公式解决面积有关的问题例12如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD 的周长为( A )A．52 cm B．40 cm C．39 cm D．26 cm例13如图，在矩形ABCD中，M为边BC上一点，连结AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E，若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为255.命题点七：在矩形、菱形中的拼接问题例14如图，四张大小不一样的正方形纸片分别放置于矩形的四个角落，其中，①和②纸片既不重叠也无空隙，在矩形的周长已知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得涂色部分的周长( B)A．① B．② C．③ D．④例15如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无空隙，其中两张等腰三角形纸片的面积都为S1，且AE＝AH，CF＝CG，另外两张三角形纸片的面积都为S2，中间一张菱形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为( A )A．4S1 B．4S2 C．4S2＋S3 D．3S1＋4S3课后练习1．如图，矩形ABCD的周长是16，DE＝2，△EFC是等腰直角三角形，∠FEC＝90°，则AE的长是( A )A ．3B ．4C ．5D ．62．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，连结BM ，DN .若四边形MBND 是菱形，则AMMD等于( C )A ．38B ．23C ．35D ．453．如图，在菱形ABCD 中，边BC 的长为5，高DE 的长为3(垂足E 落在BC 边上)，则AC 的长为( A )A ．310B ．4 5C ．8D ．104．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝3，DF ＝1，∠DAB ＝60°，∠EFG ＝15°，FG ⊥BC ，则AE 等于( D )A ．1＋ 2B ． 6C ．23－1D ．1＋ 35．如图，大矩形分割成五个小矩形，④号、⑤号均为正方形，其中⑤号正方形边长为1.若②号矩形的长与宽的差为2，则知道哪个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积( A )A．①或③ B．② C．④ D．以上选项都可以6．如图，在矩形中ABCD中，AD＝2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连结BH并延长交CD于点F，连结DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH ＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤AB＝HF.其中正确的有( C )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图，在长方形ABCD中，M是AD边的中点，N是DC边的中点，AN与MC交于点P.若∠MCB ＝∠NBC＋33°，则∠MPA的度数为 33°.8．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，P为BC上一点，PF⊥AC，PE⊥BD，则PF＋PE 的值为 4.8 .9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝53，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒 (t>0)，过点D作DF⊥BC于点F，连结EF，当四边形AEFD为菱形时，t的值为103.10．如图，点D，F把线段BH分成三条线段BD，DF，FH，分别以这三条线段为一条对角线作菱形ABCD，菱形DEFG，菱形FMHN，连结CE，EM，MG，GC组成四边形CEMG.若菱形ABCD的边长为7，菱形DEFG的边长为13，菱形FMHN的边长为6，BH＝40，DF＝24，则四边形CEMG的面积为 160 .11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E，F分别在BC，CD上，若AE＝5，∠EAF＝45°，则AF的长为4103.12．将矩形ABCD绕点A按顺时针旋转α(0°<α<360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝C D．(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．13．(2018·江西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE.点E的位置随着点P位置的变化而变化．(1)如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连结CE，BP与CE的数量关系是BP＝CE，CE与AD的位置关系是CE⊥AD.(2)当点E在菱形ABCD外部时，题(1)中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由 (选择图②，图③中的一种情况予以证明或说理)．(3)如图④，当点P在线段BD的延长线上时，连结BE，若AB＝23，BE＝219.求四边形ADPE的面积．解：(2)仍然成立．选图②，证明如下：连结AC交BD于点O.设CE交AD于点H.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∵BA＝BC，∴△ABC为等边三角形．∴BA＝C A．∵△APE为等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝∠BAC＝60°.∴∠BAP＝∠CAE.∴△BAP≌△CAE(SAS)．∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°.∵AC和BD为菱形的对角线，∴∠CAD＝60°.∴∠AHC＝90°，即CE⊥A D．选图③，证明如下：连结AC交BD于点O.设CE交AD于点H.同理可得△BAP≌△CAE(SAS)，BP＝CE，CE⊥A D．(3)连结AC交BD于点O，连结CE交AD于点H.由题(2)可知，BP＝CE，CE⊥A D．在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥B C．∵BC＝AB＝23，BE＝219，∴在Rt△BCE中，CE＝2192－232＝8. ∴BP＝CE＝8.∵AC与BD是菱形的对角线，∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，AC⊥BD，BD＝2BO＝2AB·32＝6.∴OA＝12AB＝3，DP＝BP－BD＝2. ∴OP＝5，AP＝AO2＋OP2＝27.S四边形ADPE ＝S△ADP＋S△AEP＝12×2×3＋12×27×27×32＝3＋73＝8 3.14．(自主招生模拟题)如图，AB＝CD，BC＝2AD，∠ABC＝90°，∠BCD＝ 30°.则∠BAD的大小为( B )A．25° B．30° C．35° D．45°15．(自主招生模拟题)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0,0)，点A(5,0)，点B(0,3)．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC得到矩形ADEF，O，B，C的对应点分别为D，E，F.记K为矩形AOBC对角线的交点，则△KDE的最大面积为30＋3344.16．一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图①，在矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．(1)判断与操作如图②，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．(2)探究与计算已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a(a<20)，且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．(3)归纳与拓展已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c(b<c)，且它是4阶奇异矩形，求b∶c(直接写出结果)．解：(1)矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下．(2)裁剪线的示意图如下．(3)b∶c的值为15，45，27，37，47，57，38，58.。

《特殊平行四边形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 理解矩形、菱形的概念，探索并证明矩形、菱形的性质定理，以及它们的判定定理.2. 理解正方形的概念，探索并掌握正方形的对称性及其他有关性质，以及一个四边形是正方形的条件.3.会初步综合应用特殊平行四边形的知识，解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形 S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、矩形1、（2015春•青山区期中）如图1，已知AB∥CD，AB=CD ，∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD 为矩形；（2）E 是AB 边的中点，F 为AD 边上一点，∠DFC=2∠BCE．①如图2，若F 为AD 中点，DF=1.6，求CF 的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC= ，AF= ．【答案与解析】（1）证明：∵AB∥CD，AB=CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵∠A=∠D，∠A+∠D=180°，∴∠A=90°，∴四边形ABCD 为矩形；（2）解：①延长DA，CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，∵E是AB边的中点，∴AE=BE，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG=BC，∵DF=1.6，F为AD中点，∴BC=3.2，∴AG=BC=3.2，∴FG=3.2+1.6=4.8，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠BCF，∵∠DFC=2∠BCE，∴∠BCE=∠FCE，∵AD∥BC，∴∠BCE=∠G，∴CF=FG=4.8；②若CE=4，CF=5，由①得：AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，AG=AD，∴CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；故答案为：5；设DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，即52﹣x2=82﹣（5+x）2，解得：x=，∴DG=5+=，∴AD=DG=，∴AF=AD﹣DF=；故答案为：．．【总结升华】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；本题有一定难度.举一反三：【变式】如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．【答案】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG是△ABC的中位线；∴DG∥BC，且DG＝12 BC；同理可证：EF∥BC，且EF＝12 BC；∴DG∥EF，且DG＝EF；故四边形DEFG是平行四边形；（2）O在BC边的高上且A和垂足除外．理由如下：连接OA；同（1）可证：DE∥OA∥FG；∵四边形DEFG是矩形，∴DG⊥DE；∴OA⊥BC；即O点在BC边的高上且A和垂足除外．2、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4．过点A作AE⊥AB且AB＝AE，过点E分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC和BC的延长线与点F，D．若FC＝5，求四边形ABDE的周长．【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF，即可得出BC＝AF，AC＝EF，再利用勾股定理得出AB 的长，进而得出四边形EFCD是矩形，求出四边形ABDE的周长即可．【答案与解析】解：∵∠ACB＝90°，AE⊥AB，∴∠1＋∠B＝∠1＋∠2＝90°．∴∠B＝∠2．∵EF⊥AC，∴∠4＝∠5＝90°．∴∠3＝∠4．在△ABC和△EAF中，∵342BAB AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，∴△ABC≌△EAF（AAS）．∴BC＝AF，AC＝EF．∵BC＝4，∴AF＝4．∵FC＝5，∴AC＝EF＝9．在Rt△ABC中，AB=．∵ED⊥BC，∴∠7＝∠6＝∠5＝90°．∴四边形EFCD是矩形．∴CD＝EF＝9，ED＝FC＝5．∴四边形ABDE的周长＝AB＋BD＋DE＋EA＋4＋9＋5＝18＋．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出AC＝EF＝9是解题关键．举一反三：【变式】（2015•杭州模拟）如图，平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8，点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动．（1）经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？（2）若BC⊥AC垂足为C，求（1）中矩形边BQ的长．【答案】解：（1）当时间t=7秒时，四边形BPDQ为矩形．理由如下：当t=7秒时，PA=QC=7，∵AC=6，∴CP=AQ=1∴PQ=BD=8∵四边形ABCD为平行四边形，BD=8∴AO=CO=3∴BO=DO=4∴OQ=OP=4∴四边形BPDQ为平形四边形，∵PQ=BD=8∴四边形BPDQ为矩形；（2）由（1）得BO=4，CQ=7，∵BC⊥AC∴∠BCA=90°BC2+CQ2=BQ2∴BQ=．类型二、菱形3、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC AC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF＝90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，又由AB⊥AC，AB＝1，BC OA＝AB，即可得∠AOB＝45°，求得∠AOF＝45°，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°．【答案与解析】（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，又AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．（2）证明：四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.∴△AOF≌△COE∴AF＝CE（3）四边形BEDF可以是菱形．理由：如图，连接BF，DE，由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．AC==，在Rt△ABC中，2∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，∴∠AOF＝45°，∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知:如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.【答案】证明：∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∠EBD＝∠EDB.又∵∠EBD＝∠FBD，∴∠FBD＝∠EDB，ED∥BF. 同理，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形.又∵EB＝ED，∴四边形BFDE是菱形.4、在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．（1）求证：EF＝BF；（2）在上述条件下，若AC＝BD，G是BD上一点，且BG：GD＝3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．【思路点拨】（1）根据平行四边形性质推出BD＝2BO，推出AB＝BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF＝BF＝CF即可；（2）根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG＝12 BC，求出EG∥BC，EG＝12BC，求出BF＝EG，BF∥EG，EG＝GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD＝2BO，∵BD＝2AB，∴AB＝BO，∵E为OA中点，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∵F为BC中点，∴EF＝BF＝CF，即EF＝BF；（2）四边形EBFG是菱形，证明：连接CG，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2BO＝2OD，∴BD＝2AB＝2CD，∴OC＝CD，∵BG：GD＝3：1，OB＝OD，∴G为OD中点，∴CG⊥OD（三线合一定理），即∠CGB＝90°，∵F为BC中点，∴GF＝12BC＝12AD，∵E为OA中点，G为OD中点，∴EG∥AD，EG＝12 AD，∴EG∥BC，EG＝12 BC，∵F为BC中点，∴BF＝12BC，EG＝GF，即EG∥BF，EG＝BF，∴四边形EBFG是平行四边形，∵EG＝GF，∴平行四边形EBFG是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．类型三、正方形5、（2016•日照）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．【思路点拨】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．【答案与解析】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∴∠QAE=45°，∴∠QAE=∠FAE，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．【总结升华】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出△AQE≌△AFE（SAS）是解题关键．举一反三：【变式】如图（1），正方形ABCD和正方形CEFG有一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE．（1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由．（2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG和DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．【答案】解：(1)BG＝DE，BG⊥DE；理由是：延长BG交DE于点H，因为BC＝DC，CG ＝CE，∠BCG＝∠DCE所以△BCG ≌△DCE ，所以BG ＝DE ，∠GBC ＝∠CDE ．由于∠CDE ＋∠CED ＝90°，所以∠GBC ＋∠DEC ＝90°， 得∠BHE ＝90°．所以BG ⊥DE.(2)上述结论也存在．理由：设BG 交DE 于H ，BG 交DC 于K ，同理可证△BCG ≌△DCE ，得BG ＝ED ，∠KBC ＝∠KDH ．又因为∠KBC ＋∠BKC ＝90°，可得∠DKH ＋∠KDH ＝90°，从而得∠KHD ＝90°．所以BG ⊥DE.6、探究：如图①，在四边形ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB ＝AD ，AE⊥CD 于点E ．若AE ＝10，求四边形ABCD 的面积．应用：如图②，在四边形ABCD 中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB ＝AD ，AE⊥BC 于点E ．若AE ＝19，BC ＝10，CD ＝6，则四边形ABCD 的面积为_______.【思路点拨】探究：过点A 作AF⊥CB，交CB 的延长线于点F ，先判定四边形AFCE 为矩形，根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE＝90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB＝∠EAD，再利用“角角边”证明△AFB 和△AED 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE ＝AF ，从而得到四边形AFCE 是正方形，然后根据正方形的面积公式列计算即可得解；应用：过点A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于F ，连接AC ，根据同角的补角相等可得∠ABC＝∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE 和△ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AF ＝AE ，再根据ABC ACD ABCD S S S =+V V 四边形列式计算即可得解．【答案与解析】解:探究：如图①，过点A 作AF⊥CB，交CB 的延长线于点F ，∵AE⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形AFCE 为矩形，∴∠FAE＝90°，∴∠FAB＋∠BAE＝90°，∵∠EAD＋∠BAE＝90°，∴∠FAB＝∠EAD，∵在△AFB 和△AED 中，90FAB EAD F AED AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AFB≌△AED（AAS ），∴AF＝AE ，∴四边形AFCE 为正方形，∴AFCE ABCD S S =正方形四边形＝2210AE =＝100；应用：如图，过点A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于F ，连接AC ，则∠ADF＋∠ADC＝180°，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADF，∵在△ABE 和△ADF 中，90ABC ADF AEB F AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADF（AAS ），∴AF＝AE ＝19，∴ABC ACD ABCD S S S =+V V 四边形 ＝12BC•AE＋12CD•AF ＝12×10×19＋12×6×19 ＝95＋57＝152．故答案为：152．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键；（2）作辅助线构造出全等三角形并把四边形分成两个三角形是解题的关键．。

5.3 正方形（2）教案
【教学目标】
1、回顾正方形的概念、正方形与矩形、菱形的关系以及正方形的判定
2、掌握正方形的性质
【教学重点、难点】
【教学过程】
一、知识回顾
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形的一些判定定理：
一组邻边相等的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
二、探索新知
我们知道正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故正方形具有矩形、菱形的性质．
性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等．
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
三、巩固新知
P126-127 课内练习
四、理论提升
例2 已知：如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分别为垂足，连结AG，EF
求证：AG=EF
（接下来课件出示练习题）
五、小结
(1)这节课我的收获是什么？
(2)我最感兴趣的是什么？
(3)我还有什么疑问？。

特殊四边形综合提高讲义（2020 ﹒龙岗区校级模拟）如图 1，在正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中，点 A,B,E 在同 一条直线上， P 是线段 DF 的中点，连接 PG,PC ．（2）如图 2，将原问题中的正方形 ABCD 和正方形 BEFG 换成菱形 ABCD 和菱形BEFG , 且∠ABC ＝∠BEF ＝60 度．探究 PG 与 PC 的位置关系及 PG 的值，写出你的猜想并加 PC 以证明；（ 3）如图 3，将图 2 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，使菱形 BEFG 的边 BG 恰好 与菱形 ABCD 的边 AB 在同一条直线上，问题（ 2）中的其他条件不变．你在（ 2 ）中 得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．1）探究 PG 与 PC 的位置关系及PGPC的值（写出结论，不需要证明）例1考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；正方形的性质．【分析】（1）可通过构建全等三角形求解．延长 GP 交 DC 于H ，可证三角形 DHP 和 PGF 全等，已知的有 DC ∥GF ，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对 应的角相等，又有 DP=PF ，因此构成了全等三角形判定条件中的（ AAS ），于是两三角 形全等，那么 HP=PG ，DH=GF=BG ，那么可得出 CH=CG ，于是三角形 CHG 就是等 腰三角形且 CP 是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点，即可得出 CP=PG=PH ，CP ⊥PG ；（ 2）方法同（ 1），只不过三角形 CHG 是个等腰三角形，且顶角为 120°，可根据三 角函数来得出 PG 、CP 的比例关系；（3）经过（1）（2）的解题过程，我们要构建出以 CP 为底边中线的等腰三角形，那么 可延长 GP 到 H ，使 PH=PG ，连接 CH 、 DH ，那么根据前两问的解题过程，我们要求 的是三角形 CHG 是个等腰三角形，关键是证三角形 CDH 和 CBG 全等，已知的只有CD=CB ，我们可通过其他的全等三角形来得出三角形 CDH 和 CBG 全等的条件．三角 形 DHP 和 FGP 中，有一组对顶角， DP=PF ， HP=PG ，那么这两个三角形就全等，可 得出DH=GF=BG ，∠HDP= ∠GFP ，根据平行线间的内错角相等可得出∠ CDP=∠EFD ， 那么∠CDH=∠EFG=∠CBG ，由此可得出三角形 CDH 和 CBG 全等，然后证法同 （2）．2）猜想：线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG ⊥PC ；PG = 3 PC证明：如图 2，延长 GP 交 DC 于点 H ， ∵P 是线段 DF 的中点， ∴FP=DP ，由题意可知 DC ∥ GF ， ∴∠ GFP=∠ HDP ，∵∠GPF ＝∠ HPD, ∴△GFP ≌△ HDP,∴GP ＝HP,GF ＝HD ， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CD ＝CB ， ∴CG ＝CH ，∴△ CHG 是等腰三角形， ∴PG ⊥PC,（三线合一） 又∵∠ ABC ＝∠ BEF ＝60 ∴∠ GCP ＝ 60°,【解答】（ 1）线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG ⊥ PG=1 PC=13 ）在（ 2 ）中得到的两个结论仍成立．证明：如图3，延长GP 到H，使PH ＝PG，连接CH ,CG,DH ,∵ P 是线段DF 的中点，∴FP ＝DP，∵∠ GPF ＝∠ HPD ,∴△ GFP ≌△ HDP ,∴GF＝HD,∠GFP＝∠ HDP,∵∠ GFP＋∠PFE＝120°,∠PFE＝∠ PDC,∴∠ CDH ＝∠ HDP ＋∠ PDC＝120 °,∵四边形ABCD 是菱形，∴CD＝CB,∠ADC＝∠ABC＝60°,点A、B、G又在一条直线上，∴∠ GBC ＝120 °,∵四边形BEFG 是菱形，∴GF＝GB，∴HD ＝GB，∴△ HDC≌△ GBC,∴CH＝CG,∠DCH＝∠ BCG,∴∠ DCH ＋∠ HCB＝∠ BCG＋∠ HCB ＝120 °,即∠ HCG ＝120 °∵CH＝CG,PH＝PG，∴PG⊥PC,∠GCP＝∠ HCP＝60°,∴ PG＝3．即PG＝3PC．PC【点评】本题主要考查了正方形，菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．例2如图，在正方形 ABCD 中， E 、F 分别为 BC 、AB 上两点，且 BE BF ，过点 B 作 AE连接 DG ，在 △ABG 和△ADG 中， AB ADDACBAC 45 ，AG AG∴ △ ABG ≌△ ADG (SAS) ，∴ BG DG ，2 3，∵ BG AE∴ BAE 2 90∵ BAD BAE4 90 ，∴ 2 3 4，∵ GM CF∴ BCF 1 90又 BCF BFC 90 ，∴ 1 BFC 2 ， ∴ 1 3 ，在△ ADG 中， DGC 3 45 ， ∴ DGC 也是 △ CGH 的外角， ∴D 、G 、 M 三点共线， 34 （已证）， AM DM ，DM DG GM BG GM ， AM BG GM ．的垂线交 AC 于点 G ，过点 G 作 CF 的垂线交 证： AM BG GM ．BC 于点 H 延长线段 AE 、GH 交于点 M ．求如图，在菱形 ABCD 中， 连接 NM ， NP ． （ 1）若 B 60 ，这时点 （ 2）求证： NM NP ； （ 3）当 △ NPC 为等腰三角形时，求1）∵MP AB 交边 CD 于点 P ， B60 ，点P 与点 C 重合， ∴ NPM 30 ， BMP 90 ，∵N 是 BC 的中点，∴ MN PN ，∴ NMP NPM 30 ；（ 2）如图 1，延长 MN 交 DC 的延长线于点 E ，∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AB ∥ DC ，∴ BMNE ，∵点 N 是线段 BC 的中点，∴ BN CN ，在 △ MNB 和 △ ENC 中，BMN EMNB ENC ， BN CN∴ △ MNB ≌△ ENC ， ∴ MN EN ，即点 N 是线段 ME 的中点， ∵ MP AB 交边 CD 于点 P ， ∴ MP DE ， ∴ MPE 90 ，1∴ PN MN ME ；2（ 3）如图 2∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AB BC ， 又 M ， N 分别是边 AB ，BC 的中点， ∴ MB NB ，BMN BNM ，M ，N 分别是边 AB ，BC 的中点，P 与点 C 重合，则 NMP __B 的度数．MP AB 交边 CD 于点 P ，___度；备用图（1） PG PC ， PCG 30 ；如图① ，延长 GP 交DC 于点 H ，∵在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中， AE// DC ， AE//GF ， ∴DC //GF ，∴ PDH PFG ，∴ BMN BNM E CNE ， 又∵ PN MN NE ，∴ NPE E ，设 BMNBNM E CNENPE x ，则 NCP 2x ， NPC x ，①若 PN PC ，则 PNC NCP 2x ， 在 △ PNC中， 2x 2x x 180，解得： x 36，∴BPNC NPC 2x x 36 3 108 ②若 PC NC ，则 PNC NPC x ， 在 △ PNC 中， 2x xx 180，教师备课提示】 针对变式题的例题，每一种的变式所对应的解题方法都是类似的，只要能够掌握其中的一种变式的解决思路，其他的变式的解题思路 也就类似了．例3如图 3-1，将菱形 ABCD 和菱形 BEFG 拼接在一起，使得点 A ，B ，E 在同一条直线上， 点 G 在 BC 边上， P 是线段 DF 的中点，连接 PG ， PC ．若 ABC 120 . （1）求出线段 PG 与 PC 的位置关系及 PCG 的大小；（2）将图 3-1中的菱形 BEFG 绕点B 顺时针旋转，使点 E 恰好落在 CB 的延长线上， 原问题中的其他条件不变（如图 3-2 ）．你在（ 1）中得到的两个结论是否仍成立？ 写出你的猜想并加以证明．由（ 2）知： △ MNB ≌△ ENC ， 解得：x 45， ∴ B PNC NPC x x 45 45 90F图 3-1 图 3-2PDH PFG在 △ PDH 和 △ PFG 中， PD PFDPH FPG∴ △ PDH ≌△ PFG (ASA) ， ∴ DH GF ， PH PG ，∵ BG GF ，∴ DH BG ，∵ DC BC ， ∴ HC GC ，∴ △ GCH 是等腰三角形， ∴ PG PC ， PCG PCH ， ∵ ABC 120 ， ∴ BCD 60 ，∴ PCG 30 ；( 2)( 1)中两个结论仍成立；证明：如图 ②，延长 GP 交AD 于点 H ，连接 CG ，DC BC∵四边形 ABCD 和 BEFG 是菱形， ∴AD//BC ，BE//FG ， ∵E 在 CB 的延长线上 ∴AD //FG ，∴ HDPGFP ，PDHPFG 在 △ DPH 和 △ FPG 中， PD PFDPHFPG∴ △ DPH ≌△ FPG (ASA) 在 △ CDH 和 △ CBG 中，PHDH BGHDC CBG 120 ，△CDH ≌△CBG (SAS) CH CG ， DCH CP PG ，HCG HCB1PCG HCG 2 教师备课笔记BCG ，BCG30 ．】当菱形 PCG HCBBEFG 30 也成立 . DCH DCB 60 ，B 点旋转的角度为任意角时， 延长 GP 到 H 点使得 PHCP PG 和PG ，连接 DH ，PG ， DH FG BG ，例4西川期末）在平行四边形ABCD 中，BAD 的角平分线交直线BC 于点E，交直线DC 于点F．1）在图4-1 中证明CE CF ；2）若ABC 90 ，G 是EF 的中点（如图4-2），求BDG 的度数；3）若ABC 120 ，FG//CE，FG CE ，分别连接BD 、DG（如图4-3），直接写出BDG 的度数．图4-3（1）证明：如图1，∵AF 平分BAD ，∴ BAF DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴ DAF CEF ，BAF F ，∴ CEF F .∴ CE CF .（2）连接GC、BG，∵四边形ABCD 为平行四边形，ABC 90 ，∴四边形ABCD 为矩形，∵AF 平分BAD ，∴ DAF BAF 45 ，∵ DCB 90 ，DF//AB，∴ DFA 45 ，ECF 90∴ △ ECF 为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴ EG CG FG ，CG EF ，∵ △ ABE 为等腰直角三角形，AB DC ，∴ BE DC ，∵ CEF GCF 45 ，∴ BEG DCG 135 EG CG在△ BEG 与△ DCG 中，∵BEG DCGBE DC∴ △ BEG ≌△ DCG （SAS ） ， ∴ BG DG ∵ CG EF ∴ DGC 又∵ DGC ∴ BGA ∴ △ DGB 为等腰直角三角形， ∴ BDG 45 .（ 3）证法同 2，如图 3．【 教师备课笔记 】本题就是考查利用已知条件通过辅助线构造全等三角形的知识． 在菱形 ABCD中， ABC 60 ，E 是对角线 AC 上一点， F 是线段 BC 延长线上一点， 且 CF AE ，连接 BE 、 EF ． （1） （2） 线段（ 1）∵四边形 ABCD 为菱形， ∴ AB BC ，又∵ ABC ∴△ABC 是等边三角形， ∵ E 是线段 AC 的中点， 1图 3： BE图 2 证明如下：过点 E 作 EG//BC ，交 AB 于点 G ， ∵四边形 ABCD 为菱形，DGA 90 ， BGA ，DGA 90 ，例 5若 E 是线段 AC 的中点，如图 5-1 ，证明： BE EF ；若 E 是线段 AC 或 AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，如图 5-2 、图 5-3 ， BE 、 EF 有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．60 ，CB E ABC 30 ，2AE CF ，∴ CE CF ， F CEF，F CEF ACB 6 F 30 ，∴ CBEBE EF ；2）图2： BE EF ． 图 5-1F图 5-5EF ．∴ AB BC ，又∵ ABC 60 ，∴ △ ABC 是等边三角形，∴ AB AC ，ACB 60 ，又∵ EG //BC，∴ AGE ABC 60 ，又∵ BAC 60 ，∴ △ AGE 是等边三角形，∴ AG AE ，∴ BG CE ，又∵ CF AE ，∴ GE CF ，又∵ BGE ECF 120 ，∴ △ BGE≌△ECF (SAS) ，∴ BE EF ；图 3 证明如下：过点 E 作EG//BC 交AB 延长线于点G ，∵四边形ABCD 为菱形，∴ AB BC ，又∵ ABC 60 ，∴ △ ABC 是等边三角形，∴ AB AC ，ACB 60 ，又∵ EG//BC ，∴ AGE ABC 60 ，又∵ BAC 60 ，∴ △ AGE 是等边三角形，∴ AG AE ，∴ BG CE ，又∵ CF AE ，∴ GE CF ，又∵ BGE ECF 60 ，∴ △ BGE≌△ECF (SAS) ，∴ BE EF ．【教师备课笔记】本题就是考查辅助线构造全等三角形的知识．在菱形 ABCD 中， DAB 120 ，点 E 平分 DC ，点 P 在 BD 上，且 PE PC 1 ，那 么边 AB 长的最大值是 _______如图，矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，过点 O 的直线分别与 AB ，CD 交于点 E ，F ，连①③④；连接 OD即可．如图，连接 AP ，AE ， AC根据四边形 ABCD 是菱形，∴ AD CD ， AP∴ PE PC PE PA 1 ，∵ DAB 120 ，∴ ADE 60 ， AD CD ，∴△ADC 是等边三角形，∵ DE CE ，∴ AED 90 ， DAE 30 ，∴ AE 3 AD 3 AB 1 ，所以 AB 2 32 23 即 AB 长的最大值是 2 3 ．3接 BF 交 AC 于点 M ，连接 DE ，BO ．若 ① FB OC ， OM CM ；② △ EOB ≌△ CMB ；③ 四边形 EBFD 是菱形；④ MB : OE 3: 2． 其中正确结论为 ．COB 60 ， FO FC ，则下列结论：演练3已知：矩形 ABCD 中 AD AB ，O 是对角线的交点，过 O 任作一直线分别交 BC 、AD 于点 M 、N （如图 3-1 ）．1）求证： BM DN ；2）如图 3-2 ，四边形 AMNE 是由四边形 CMND 沿 MN 翻折得到的， 四边形 AMCN 是菱形；△CDN 的面积与 △CMN 的面积比为 1:3 ，求 MN 的值． DN∴ DN:CM 1:3 ，设 DN k ，则 CN CM 3k ，过 N 作 NG MC 于点 G ，则 CG DN k ， MG CM CG 2k ， NG C N 2 CG 29k 2 k 2 2 2k ∴ MN MG 2 NG 2 4k 2 8k 2 2 3k ∴ MN 2 3k 2 3．DN 连接 CN ，求证： 3）在（ 2）的条件下，若1）连接 BD ，则 BD 过点 O ，∵AD//BC ，∴ OBM ODN ，又 OB OD ， BOM DON ，∴ △ OBM ≌△ ODN ，∴ BM DN ；（2）∵矩形 ABCD ，∴AD//BC ， AD BC ，又 BM DN ，∴ AN CM ，∴四边形 AMCN 是平行四边形，由翻折得， AM CM ， ∴四边形AMCN 是菱形；3）∵ S △ CDN 1DN CD ， S △ CMN 2 △ CMN 1CM CD ， 2 又S △CDN : S △ CMN 1:3，图 3-1 图 3-2已知：在 △ABC 中， BAC 90 ， AB AC ，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B 、C 重合）．以 AD 为边作正方形 ADEF ，连接 CF ．（1）如图 4-1，当点 D 在线段 BC 上时，求证：① BD CF ．② CF BC CD ． （ 2）如图 4-2，当点 D 在线段 BC 的延长线上时， 其它条件不变， 请直接写出 CF 、BC 、 CD 三条线段之间的关系；（ 3）如图 4-3，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A 、F 分别在直线 BC 的两 侧，其它条件不变：①请直接写出 CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．②若连接正方 形对角线 AE 、DF ，交点为 O ，连接 OC ，探究 △AOC 的形状，并说明理由． （1）证明：①∵ BAC 90 ， AB AC ，∴ ABC ACB 45 ，∵四边形 ADEF 是正方形，∴ AD AF ， DAF 90 ，∵ BAC BAD DAC 90 ，DAF CAF DAC 90 ，∴ BAD CAF ，AB AC在 △BAD 和 △CAF 中， BAD CAF ，AD AF∴ △ BAD ≌△CAF （SAS ） ，∴ ACF ABD 45 ，∴ ACF ACB 90 ，∴ BD CF ；②由① △BAD ≌△CAF 可得 BD CF ，∵ BD BC CD ，∴ CF BC CD ；（2）与（ 1）同理可得 BD CF ， 所以， CF BC CD；图 4-3（3）①与（1）同理可得，BD CF ，所以，CF CD BC ；②∵ BAC 90 ，AB AC ，∴ ABC ACB 45 ，则ABD 180 45 135 ，∵四边形ADEF 是正方形，∴ AD AF ，DAF 90 ，∵ BAC BAF CAF 90 ，DAF BAD BAF 90 ，∴ BAD CAF ，AB AC在△BAD 和△CAF 中，BAD CAFAD AF∴ △ BAD≌△ CAF （SAS），∴ ACF ABD 180 45 135 ，∴ FCD ACF ACB 90 ，则△ FCD 为直角三角形，∵正方形ADEF 中，O 为DF 中点，1∴OC DF ，21∵在正方形ADEF 中，OA AE ，AEDF ，2∴ OC OA ，∴△AOC 是等腰三角形．。

5.1 矩形学习目标知识与技能：1.探索并掌握矩形的有关性质，领会矩形的内涵.2.理解并掌握矩形的判定方法.3.会利用矩形的判定方法进行简单的证明.过程与方法：经历探索矩形有关性质和矩形的判定过程，在直观操作活动中学会简单说理，发展初步的合情推理能力和主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法．学习难点理解和掌握矩形的性质和判定方法，发展合情推理能力和主动探究习惯．教学过程一、回顾.1．平行四边形有哪些性质？2．有几种方法可以识别四边形是平行四边形？3．平行四边形是中心对称图形吗？它的对称中心是什么样的点？•平行四边形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是怎样的直线？如果不是，请说明理由．二、创设问题情境，引入新课.1．教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，•用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上．拉动一对不相邻的顶点A，C，立即改变平行四边形的形状，如图．学生思考如下问题：(1)无论∠α如何变化，四边形ABCD还是平行四边形吗？(2)随着∠α的变化，两条对角线的长度有没有变化？学生凭直觉可以很快地回答上述问题．随着∠α由锐角变成钝角时，过∠α顶角的对角线由长变短，而另一条对角线由短变长．当∠α是锐角时，学生可以用刻度尺量出两条对角线的长度，你可判别它们数量之间的关系吗？当∠α是钝角时，学生也可以用同样的办法，得到两对角线的数量关系．(3)当∠α为直角时，这个时候平行四边形就变成一个特殊的平行四边形──矩形．这就是你们以前学过的长方形．教师根据学生的回答，板书：矩形．这就是我们今天着手研究的一个课题．(4)那怎样的平行四边形是矩形呢？2．同学回答，老师板书：有一个内角为直角的平行四边形是矩形？如果人家问怎样的四边形是矩形呢？那就要说四个内角都是直角(或三个内角都是直角)的四边形是矩形．大家想一想矩形是平行四边形吗？（是）那么矩形就具有平行四边形的一切性质．即矩形是中心对称图形；对边分别平行；两组对边分别相等；两组对角分别相等；对角线互相平分．3．矩形除了以上性质外，还有它的特有的性质吗？学生思考以下问题：(1)上面的活动架当∠α为直角时，它们的对角线有何关系？(2)矩形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是怎样的直线？•如果不是请说明理由．(3)说出日常生活中的矩形图象．4．让我们一起来归纳矩形的性质，并板书：(1)矩形具有平行四边形的一切性质．(2)矩形是轴对称图形．(3)矩形的对角线相等．(4)矩形的四个角都是直角．思考:(1)平行四边形的判定方法除定义外，还有哪几种判定方法？(2)这些判定方法是通过什么方法得到的？(平行四边形的性质定理的逆命题，猜测、验证、逻辑推理得到的)5.你能根据矩形特有性质猜想出矩形的判定方法吗？猜想结论:(1)有三个角是直角的四边形是矩形；(2)对角线相等的平行四边形是矩形.这两个猜想正确吗？①画图验证.②演绎推理证明：(1)有三个角是直角的四边形是矩形.已知:在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，求证:四边形ABCD是矩形.(教师引导学生证明，先证这个四边形是平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形证明.学生独立完成)(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(引导学生证明这个四边形有一个角是直角)归纳:矩形的判定方法：判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形.判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形.归纳后，让学生说出这两个判定定理的不同.三、例题讲解.例1 已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=4 cm.(1)判断△AOB的形状.(2)求矩形的对角线的长.例2 如图，一张四边形纸板ABCD的两条对角线互相垂直.若要从这张纸板中剪出一个矩形，并使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎样剪？四、全课小结，提高认识.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形的性质：①矩形的四个角都是直角.②矩形的对角线相等.矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形.②对角线相等的四边形是矩形.5.2 菱形教学目标1．掌握菱形的性质，使学生能够灵活运用菱形的知识解决有关问题，提高能力.2．经历探究菱形判定条件的过程，探索并掌握菱形的判定方法.3．利用菱形的判定方法进行合理的论证和计算．教学重点1．菱形的性质.2．菱形的判定方法．教学难点1．菱形的性质定理的运用.2．探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．教学过程一．以旧引新，探索菱形的性质你能从一个平行四边形中剪出一个菱形来吗？学生活动，由平行四边形较短的边折叠到较长的边上，剪去不重合部分，可得到一个菱形.有的学生可由其他方式得到一个菱形.小组内互相交流学习，拓展思维，并由语言叙述自己的发现，引出菱形的概念（尽量由学生归纳）.菱形的概念：两组邻边相等菱形的概念：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形也是特殊的平行四边形，它有平行四边形的性质：①对角相等；②对边相等；③对角线互相平分.它特有的性质:①四条边相等；②对角线互相垂直，并且每条对角戏平分一组对角.例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6.求菱形的边长和对角线AC的长.二.探究菱形的判定条件生：可以用菱形的概念判定．也就是说：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．师：很好．大家再用类比的方法想一想，受矩形的判定条件的启发，你对菱形的判定条件有什么猜想．师：提出作图要求：1．按要求画出四边形ABCD，发现它是菱形，产生直观感受．平行四边菱形平行四边形菱形2．证明四边形ABCD是菱形．师生总结：得菱形的第一个判定方法：判定定理1：四边相等的四边形是菱形．生甲：矩形的定义是在四边形的基础上限制角，于是有“三个角是直角的四边形是矩形”；菱形的定义是在四边形的基础上限制边，是不是可以得到：“四条边相等的四边形是菱形”呢？生乙：矩形的对角线相等，于是有对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的对角线互相垂直，是不是可以猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．师：猜得有理．下面请大家做一做，看有什么新发现．操作要求：用一长一短的两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉；做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋（如图a），做成一个四边形，转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？学生活动：通过操作、观察、思考、讨论最后发现并证明猜想和观察到的结论．生甲：将中点固定在一起，说明对角线互相平分，所以这是一个平行四边形．生乙：转动十字架，当变成菱形时，看起来对角线要互相垂直．生丙：那就是说对角线垂直的平行四边形是菱形．生乙：我觉得也可以说成：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．生甲：是的，这两种说法都对．对角线平分能得到平行四边形嘛．师：同学们的研究和分析合情合理，能不能证明这个命题呢？生：能：如图（b）90OB ODAO AOAOB AOD=⎫⎪=⇒⎬⎪∠=∠=︒⎭△AOB≌△AOD⇒AB=AD．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．师：大家做得很好．这样，我们就得到了第二个菱形的判定定理．判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．例2 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.三．课后小结矩形、菱形分别具有哪些性质？填写下表：矩形菱形共有性质特有性质的性质.2．图形的定义既是这个图形的一个性质，又是这个图形的一个判定方法.判定一个图形是菱形时，用它的定义判定是最基本、最重要的方法.3．矩形、菱形都是特殊的平行四边形.矩形有一个特殊角（直角），菱形有一组特殊的邻边（相等）.我们要注意比较矩形和菱形之间的异同点.4.引导学生归纳总结菱形的判定方法，通过课件演示逐渐得出下表．让学生从图形的变化中形象地看到被判定图形是四边形还是平行四边形，它们分别要具备什么条件才是菱形，从中领悟到各种图形之间的内在联系．5.3 正方形教学目标知识与技能1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系.2.掌握正方形的性质和判定方法.3.正确运用正方形的性质和判定方法解题.过程与方法在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，进一步培养学生数学说理的习惯与能力.情感、态度与价值观通过理解四种四边形的内在联系，培养学生的辩证观点.教学重点正方形的定义、性质和判定方法.教学难点正方形的性质和判定的综合运用.教学设计一、复习提问1.让学生叙述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质.2.说明平行四边形、矩形、菱形的内在联系.二、引入新课矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？它又有什么特殊性质呢？这一堂课就来学习这种特殊的图形—正方形(写出课题).三、探究新知(一)探索正方形的判定条件1.学生活动：四人一组进行讨论研究，老师在各组间巡视，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法.(1)直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，则可以判定这个平行四边形是正方形；(2)先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；(3)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形.后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.这三个方法还可写成:有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但因为判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断.2.正方形判定条件的应用判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由.(1)四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；(2)四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；(3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形；(4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.例1 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：四边形CFDE是正方形.师生共同完成.（二)正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形的所有性质，因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结）：正方形的性质1:正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的性质2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.说明:性质2包括了平行四边形、矩形、菱形对角线的性质，—个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，运用时需要哪个结论就用哪个结论，并非要把结论都写全.例2 已知：如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结AG，EF.求证：AG=EF.四、课堂小结(1)正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系如下图.(2)正方形的判定：①有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.②有一组邻边相等的矩形是正方形.③有一个角是直角的菱形是正方形.(3)正方形的性质：①正方形的对边平行.②正方形的四边相等.③正方形的四个角都是直角.④正方形的对角线互相垂直平分且相等，毎条对角线平分一组对角.六、作业教材P125作业题第1，2，3，4题.。

第6章特殊平行四边形与梯形教案一、矩形1、有一角是直角的平行四边形是矩形2、矩形的四个角都是直角；3、矩形的对角线相等。

4、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形5、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半二、菱形1、把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2、定理1:菱形的四条边都相等3、菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.4、菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以25、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形6、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

三、正方形1、有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2、性质：（1）四个角都是直角，四条边相等（2）对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角3、判定：（1）一组邻边相等的矩形是正方形（2）有一个角是直角的菱形是正方形四、梯形1、一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

3、直角梯形：一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

4、①等腰梯形是轴对称图形，对称轴是连接两底中点的直线。

②等腰梯形同一底上的两个内角相等，两条对角线相等。

5、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

6、作出下列梯形常用的辅助线五、综合1、下列判定正确的是（）A、对角线互相垂直的四边形是菱形B、两角相等的四边形是等腰梯形C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D、对角线相等且互相垂直的四边形是正方形2、平行四边形的各个内角平分线若能围成一个四边形，则这个四边形一定是（）A、正方形B、矩形C、菱形D、平行四边形顺次连接矩形各边中点所得的四边形是_______________；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是____________________.下列图形不符合“既是中心对称图形，又是轴对称图形”的是（）A、线段B、半圆C、矩形D、菱形3、下列说法中错误．．的是（）A、四个角相等的四边形是矩形B、四条边相等的四边形是正方形C、对角线相等的菱形是正方形D、对角线互相垂直的矩形是正方形下列性质，矩形没有而菱形有的是（）A、对角线互相垂直B、对角线互相平分C、对角线相等D、以上都不对4、下列判断错误的是（）A、对角线相等的平行四边形是矩形B、对角线互相垂直平分且相等的四边形是菱形C、对角线垂直且相等的四边形是正方形D、对角线平分一个内角的平行四边形是菱形1、在线段、角、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是轴对称图形的是。

八年级下期数学教案特殊的四边形特殊的四边形是什么?这是八年级下册数学的一个知识点，下面店铺为你整理了八年级下期数学教案特殊的四边形，希望对你有帮助。

八年级下期数学教案(教学目标)1、知识目标(1)使学生掌握平行四边形的概念，理解两条平行线间的距离的概念。

(2)掌握平行四边形的性质定理1、2，并能运用这些知识进行有关的证明或计算.2、能力目标(1)通过启发、引导，让学生猜想结论，培养学生的观察能力和猜想能力。

(2)验证猜想结论，培养学生的论证和逻辑思维能力。

(3)通过开放式教学，培养学生的创新意识和实践能力。

3、非智力目标渗透从具体到抽象、化未知为已知的数学思想及事物之间相互转化的辩证唯物主义观点.八年级下期数学教案(教学重点、难点)重点：平行四边形的概念及其性质.难点：正确理解两条平行线间的距离的概念和性质定理2的推论。

平行四边形的概念及性质的灵活运用教学方法：讲解、分析、转化八年级下期数学教案(教学过程设计)一、利用分类、特殊化的方法引出平行四边形的概念1.复习四边形的知识.(1)引导学生画任意凸四边形，指出它的主要元素&mdash;&mdash;顶点、边、角、对角线的性质，强调对角线的作用：将四边形分割化归为三角形来研究.(2)将四边形的边角按位置关系分为两类：教学时应结合图形，让学生识别清楚，并注意与三角形中角的对边、边的对角及第一章中的邻角相区别.2.教师提问：四边形中的两组对边按位置关系分为几种情况?引导学生画图回答，并出示投影片显示四边形与特殊四边形的关系，如图4-11.3.对比引出平行四边形的概念.(1)引导学生根据图4-11，叙述平行四边形的概念，引出课题.(2)注意它与梯形的对比，及它与四边形的特殊与一般的关系：平行四边形是特殊的四边形，因此它具有四边形的一切性质(共性).同时它还具有一般四边形不具备的特殊性质(个性).(3)强调定义既是平行四边形的一个判定方法，同时又是平行四边形的一个性质.(4)介绍平行四边形的符号表示及定义的使用方法：如图4-12.①∵ ABCD，&there4;AD∥BC，AB∥CD.(平行四边形的定义)②∵AD∥BC，AB∥CD，&there4;四边形ABCD是平行四边形.(平行四边形的定义)练习1(投影)如图4-13，DC∥EF∥AB，DA∥GH∥CB，图中的平行四边形共有__个，它们是__.二、探索平行四边形的性质并证明1.探索性质.启发学生从平行四边形的主要元素&mdash;&mdash;边、角、对角线的位置关系及数量关系入手，来观察、探索、猜想平行四边形的特有的性质如下：(3)对角线⑤对角线互相平分(性质定理3)教师注意解释并强调对角线互相平分的含义及表示方法.2.利用化归的方法对性质逐一进行证明.(1)由平行四边形的定义及平行线的性质很快证出性质①，④，③.(2)启发学生添加一条或两条对角线，将四边形分割、化归为三角形;利用全等三角形的知识证出性质②，⑤.(3)写出证明过程.3.关于“两条平行线间的平行线段和距离”的教学.(1)利用性质定理2导出推论：夹在两条平行线间的平行线段相等.①提问：在图4-14中，l1∥l2，AB∥CD，那么AB，CD的数量有何关系?引导学生根据平行四边形的定义和性质进行证明.②引导学生用语言简练地叙述图4-14所反映的几何命题，并强调它的作用.证题时可节省步骤，省掉判定平行四边形这一步，直接得到夹在两条平行线间的平行线段相等.③强调推论中的条件：“夹”、“平行线间”、“平行线段”的含义和重要性，并做一组辨析练习.练习2(投影)如图4-15，判断下列几组图形能否体现推论所代表的含义.(2)根据图4-15(d)引出两条平行线的距离的概念，并通过练习区别三个距离.练习3在图4-15(d)中，①点A与点C的距离是线段__的长;②点A到直线l2的距离是线段__的长;③两条平行线l1与l2的距离是线段__或__的长;④由推论可得：两条平行线间的距离__.三、平行四边形的定义及性质的应用1.计算.例1填空.(1)在ABCD中，AB=a，BC=b，&ang;A=50&deg;，则ABCD 的周长为__，&ang;B=__，&ang;C=__，&ang;D=__;(2)在ABCD中：①&ang;A∶&ang;B=5∶4，则&ang;A=__;②&ang;A+&ang;C=200&deg;，则&ang;A=___，&ang;B=__;(3)已知平行四边形周长为54，两邻边之比为4∶5，则这两边长度分别为__;(4)已知 ABCD对角线交点为O，AC=24mm，BD=26mm，①若AD=22mm，则△OBC周长为__;②若AB&perp;AC，则△OBC比△OAB的周长大___;(5)在ABCD中，AB=8cm，BC=10cm，&ang;B=30&deg;，S ABCD=__;说明：通过此题让学生熟悉平行四边形的性质，会用它及方程的思想进行计算，并复习了平行四边形的面积公式.2.证明.例2 已知：如图4-16， ABCD中，E，F分别为BC，AD上的点，AE∥CF.求证(1)BE=DF;(2)EF过BD的中点.分析：(1)尽量利用平行四边形的定义和性质，避免证三角形全等.(2)考虑特殊化情形.在 ABCD中，若E，F在BC，AD上运动到如下位置：AE&perp;BC于E，CF&perp;AD于F，求证BE=DF.在题目的变化与联系中灵活选用性质来解题.例3已知：如图4-17，A&prime;B&prime;∥BA，B&prime;C&prime;∥CB，C&prime;A&prime;∥AC.求证：(1)&ang;ABC=&ang;B&prime;，&ang;CAB=&ang;A&prime;，&ang;BCA=&ang;C&prime;;(2)△ABC的顶点分别是△B&prime;C&prime;A&prime;各边的中点.着重引导学生先分解基本图形，图中有3个平行四边形：C&prime;BCA，ABCB&prime;，ABA&prime;C，分别利用对角相等和对边相等的性质使问题得到证明.对于第(2)问也可用“夹在两条平行线间的平行线段相等”来证明.例4 已知：如图4-18(a)， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OE=OF，AE=CF，BE=DF.分析：(1)引导学生证明以OE，OF为边的两个三角形全等，如证△AOE≌△COF或证△BOE≌△DOF.(2)根据学生实际，对图4-18(a)可作适当引申，如图4-18(b)，(c)，(d)，并归纳结论如下：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得对应线段相等.(3)图4-18是一组重要的基本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的.3.供选用例题.(1)从平行四边形的一个锐角顶点作平行四边形的两条高线.如果这两条高线的夹角为135&deg;，则这个平行四边形相邻两内角的度数为__;若高线分别为1cm和2cm，则平行四边形的周长为__，面积为___;若两条高线夹角为120&deg;呢?(2)如图4-19，在△ABC中，AD平分&ang;BAC，过D作DE∥AC 交AB于E，过E作EF∥DC交AC于F.求证：AE=FC.(3)如图4-20，在ABCD中，AD=2AB，将AB向两方延长，使AE=BF=AB.求证：EC&perp;FD.四、师生共同小结1.平行四边形与四边形的关系.2.学习了平行四边形哪些方面的性质?3.两条平行线的距离是怎样定义的?有什么性质?五、作业课本第143页第2，3，4，5，6题.八年级下期数学教案(设计说明)本教学设计需2课时完成.这节内容分2课时.第1课时在复习四边形的有关知识的基础上，用对比的方式引入平行四边形的概念，充分体现了平行四边形在四边形体系中的地位，然后，教师应启发学生从边、角、对角线三个方面探索平行四边形的性质，使知识更加系统，更符合学生的认知规律，而且突出了第1课时的重点，同时更能培养学生主动探求知识的精神和思维的条理性.第2课时重点应用平行四边形的定义、性质进行计算和证明，教师注意让学生巩固基础知识和基本技能，加强对解题思路的分析，解题思想方法的概括、指导和结论的升华.。