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东华大学2015线代A试卷B答案

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东华大学《线性代数》期末考试题2017-2018(1)线代A试卷A

东华大学《线性代数》期末考试题2017-2018(1)线代A试卷A

东华大学 2017-2018 学年第一学期线性代数A 试卷A踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

一1. 03121111x中一次项x 的系数为 .2. 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010311A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=310101B ，则=AB . 3. 设三阶方阵B A ,满足关系式BA A BA A +=61-，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=714131000000A 则=B . 4.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3223-01-042A 的秩为 . 5.设B A ,均为n 阶矩阵，3-2==B A ，，则=1-*2BA6.正交矩阵的行列式为7. 、设C B A ,,为n 阶方阵，且E ABC =，则必有=BCA .8.已知二次型32312123222142244x x x x x tx x x x f +-+++=为正定二次型的条件为9.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11a β是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=302212221A 的特征向量，则=a 10.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a b b a A ，其中1,022=+>>b a b a ，则A 为 矩阵.二.（10分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为11321==-=λλλ，，对应于1λ的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101ξ，求A 。

三、（10分）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100110111A ，且I AB A =-2,其中I 为三阶单位阵，求矩阵B .四、（10分）已知3R 中的向量组321ααα，，线性无关，向量组,211ααβk -=,322ααβ+=,133ααβk +=线性相关，求k 的值。

五、（12分）设矩阵B A 、相似，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=a A 33242111，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b B 00020002（1）求b a 、的值。

（2）求可逆矩阵P 使得B AP P =1-六、（12分）λ取何值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+-=-+1554212321321321x x x x x x x x x λλ无解？有唯一解？有无穷多解？并在无穷多解时写出方程组的通解。

参考答案2015-2016几何与多元微积分A(上)_A卷

参考答案2015-2016几何与多元微积分A(上)_A卷

（2） 若 r > 1 ，则由 lim
n →∞
an +1 = r > 1 ，推知 n 充分大时 an +1 > an ，故 an
lim an ≠ 0 ⇒ lim an ≠ 0 ，此与条件矛盾。
n →∞ n →∞
（3） 若 r = 1 ，则由 lim 件收敛矛盾。 综上得
∞
∞ an +1 = 1 ，推知 n 充分大时， an 同为正值或同为负值，与 ∑ an 条 n →∞ a n =1 n
x − 2 y − 2z +1 12 + (Leabharlann 2) 2 + (−2) 2
去掉绝对值符号，得所求平面方程为
=
3x − 4 y + 5 32 + (−4) 2
7 x − 11 y − 5 z + 10 = 0
或
2 x − y + 5z + 5 = 0
4、求常数项级数
∞
3n −1 − 1 的和. ∑ n −1 n =1 6
π ⎧ ⎪1, 0 ≤ x < 2 ⎪ π ⎪ = < x≤π 和函数 s ( x) ⎨0, 2 ⎪ π ⎪1 ⎪2 , x = 2 ⎩
四、 （6 分）求直线 L : 曲面？ 解：设 P ( x, y , z ) 为旋转曲面上任一点，它是由直线 L 上 Q( x1 , y1 , z1 ) 点绕 z 轴旋转所得，则
4、在空间直角坐标系中，方程 y = 2 x 表示的曲面是 抛物柱面 ，方程 z = 1 −
2
示的曲面是 圆锥面 . 5、设 u ( x, y , z ) = z
z z x −3 x dx − y 2 dy + ，则 du = 2 y 2 xy

东华大学 线性代数试题答案

东华大学 线性代数试题答案

线代B 试卷答案一、填空题（每小题4分，共40分）.1、132. 2、1632816−−⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 3、2−. 4、1(2)X A E A −=− 5、7A =. 6、 73⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 7、24−.8、可能无解. 9、 101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦，1. 10、1,2,2,− 1. 二、3132332131323211421419 6.421214111or C C C −−−++=−+=−−+=− （6+1分）三、2131101100101100[,]111010010110112001011101r r r r A I −−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−⎯⎯⎯→−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦32132(1)101100100311010110010110001211001211r r r r r +−×−−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯⎯→−⎯⎯⎯→−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦， 故 1311110.211A −−−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦（6+1分）四、123102*********[]012101210121110201210000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→−−→−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦a a ab （5分） 122323,2 1.x x x x +=⎧⎨−=−⎩ 有无穷多解。

b 是123,,a a a 线性组合， （1分）且b 123(32)(12)a a a λλλ=−+−++，λ是任意常数. （1分）五、与121u ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦正交的向量x y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦应满足方程20x y z +−= (3分)它的一个基础解系为12110,1,11v v −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (2分) 故与u 正交的所有向量 121101,11x y k k z −⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 其中12,k k 为任意常数. (1分){}(,,)20T H x y z x y z =+−=是一个平面，它是3 的子空间，维数是2. (2分)六、证 123121912191219[]2575015130151337810152800015v v v p −−−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦∼∼2分方程112233++=x v x v x v p 无解，p 不属于ColA . 1分由121902575037810Ap −−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得p 属于NulA 1+1分（2）由[]123121121257015378000−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦∼A v v v ， 得123,,v v v 线性相关，故123,,v v v 不可以生成3R . 1分ColA 的基为12122,537⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦v v ，维数为2. 1+1分由1232320,50,x x x x x +−=⎧⎨−=⎩ 得 NulA 的基为951−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，维数为1. 1+1分七、解法一 111111111a A a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠211101110011a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎯⎯→−−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠ 111010(1)(2)0011a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎯⎯→−−+⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠4分（a ） 当1a ≠时，11110010102010200110011a A a a −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎯⎯→+⎯⎯→+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠方程组有唯一解1231,2, 1.x x a x =−=+=− 2+1分（b ） 当1a =时，111100000000⎛⎞⎜⎟⎯⎯→⎜⎟⎜⎟⎝⎠A对应方程为1231x x x ++=，令2132,x k x k ==，得11221321,,,x k k x k x k =−−+⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故通解为12123111100,010x x k k x −−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠其中12,k k 为任意常数. 2+1分解法二 211111111011(1)1101A a a a a aa ==−−=−−−， 4分（a ）当1a ≠时，0A ≠，方程组有唯一解；唯一解1231,2, 1.x x a x =−=+=− 2+1分 （b ）当1a =时，111111111111A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠111100000000⎛⎞⎜⎟⎯⎯→⎜⎟⎜⎟⎝⎠， 方程组有无穷多解.(通解的求法同解法一）. 2+1分八、二次型的矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=100032023A ,（2分）0)5()1(100320232=−−−=−−−−−=−λλλλλλE A ,特征值1,5321===λλλ. （2分）当51=λ时，0)5(=−x E A的系数矩阵,000100011~4000220225⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=−E A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=0111p . （1分）当132==λλ时，0)(=−x E A的系数矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=−000000011~000022022E A , ,0112⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=p .1003⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=p （2分）,1p ,2p 3p 已经正交, 单位化,得⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011211e ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=011211e ,.1003⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=e令()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==20001101121321e e e P (1分） 作变换y P x=，二次型化为标准形 2322215y y y f ++=. （1分） 该二次型f 是正定的. （1分）二次型f 在1Tx x =时的最大值是5. （1分）。

14-15-1学期-《线性代数A》B卷-答案

14-15-1学期-《线性代数A》B卷-答案

鲁东大学2014—2015学年第1学期2013级物理类、计算类、电子类、软件本、电气本、能源本专业本科卷B 参考答案与评分标准 课程名称 线性代数A课程号（2190050） 考试形式（闭卷笔试） 时间（120分钟）一、判断题：本大题共5个小题，每小题4分。

共20分。

如果命题成立，则在题后（ ）内划“√”，否则划“×”。

1. √;2. ×;3. × ;4. √ ;5.√. 二、填空题 本题共5小题，满分15分。

1、 CB ；2、010⎛⎫ ⎪± ⎪ ⎪⎝⎭；3、3 ；4、 01020315k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5、 0 .三、选择题 本题共5小题，满分15分。

1、C ;2、D ;3、A;4、B ;5、B. 四 、计算题 本题共4小题，满分60分。

1、（12分）计算行列式6427811694143211111=D ＝4818401262032101111---------------（5分）＝481841262321---------------（3分）＝3610062321=600620321=12---------------（4分）注： 解法不是唯一的，根据解题情况适当给分．2、（14分）求解矩阵方程X A AX +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010312022A 。

解：把所给方程变形为A X E A =-)(，而由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-010110312302022021)(A EA ---------------------（3分）经初等行变换，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----312100302010622001~)(A EA ---------------------（6分）所以，得E A -可逆，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-312302622)(1A E A X ---------------------（5分）（也可以按照公式法求解）3、（14分）求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=++-=++-11511322326417532432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.解：对增广矩阵)(b A 进行初等行变换得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000811100211610231~)(b A ---------------------（8分）所以方程组的特解为T)0,0,0,21(=η ---------------------（2分）导出组的基础解系为：TT)16,22,0,1(,)0,0,2,3(21-==ξξ ---------------------（2分） 方程组的通解为R c c c c x ∈++=212211,,ηξξ ---------------------（2分）4、（20分）把实二次型222123123121323(,,)4484f x x x x x x x x x x x x =++---用正交变换x Py =化二次型为标准形，求出所用正交变换以及所得到的标准形.解：二次型对应的矩阵为A=124242421--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦………………… （3分） 则2124242(4)(5)0421I A λλλλλλ--=-=+-=- ………………… （4分）特征值分别为234,51λλλ=-== ………………… （1分） （1）当4A+4E X=0λ=-时，解方程组（）由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=+5242824254E A 初等行变换⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0002110101，得一特征向量T p )2,1,2(1= …………………（3分）（2）当5A-5E X=0λ=时，解方程组（）由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-4242124245E A 初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000001211，得两个特征向量Tp )0,2,1(2-=，T p )1,2,0(3-=． ………………… （3分）利用施密特正交化方法确定正交矩阵为231315203P ⎡-⎢⎢⎢⎢=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，…………………（5分） 则1455P AP --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即标准形为222123123(,,)455q y y y y y y =-++。

2015年11月CAP线性代数考试参考答案(深度解析版)

2015年11月CAP线性代数考试参考答案(深度解析版)

此时，
(6 分)
六、 (20 分) 设 V 是实数域 R 上的一个 n 维向量空间。 1) 对 n = 1, 2 的两种特殊情况，举例说明 V 中有限多个真子空间的并不可能充满 全空间。 2) 以下取 n 为任意正整数。设 U ， W 是 V 的两个真子空间， α, β ∈ V . 如果 α ∈ U , α ̸∈ W , β ̸∈ U ，证明对所有实数 k , β + kα ∈ / U ，且至多存在一个实数 k0 ，使得 β + k0 α ∈ W .
解得 B 的所有特征值为 λ1 = 4, λ2 = 1. (5 分) 记 X = (x1 , x2 , x3 )T . 对 λ1 = 4, 相应的特征向量是方程 (4I − B )X = 0, 即 2x − x2 − x3 = 0, 1 −x1 + 2x2 − x3 = 0, −x − x + 2x = 0 1 2 3
因此，r(A, b) = r(A) = 1 < 3, 方程组有无穷多解，其所有解为 x1 = 1 − x2 − x3 , 当 k ̸= 1 时， x2 , x3 为任意实数 (3分)
2 2 1 1 k k 1 1 k k (A, b) −→ 0 1 −1 −k −k −→ 0 1 −1 2 2 0 1 k+1 k +k+1 0 0 k + 2 (k + 1) (3分)
5 的非零解。解之得 x1 = x3 , x2 = x3 , x3 是自由变量。因此，属于 λ1 = 4 的所有 特征向量为 X = (t, t, t)T , (t ̸= 0). (4 分) 对 λ2 = 1, 相应的特征向量是方程 (I − B )X = 0 即 x + x2 + x3 = 0, 1 x1 + x2 + x3 = 0, x + x + x = 0 1 2 3 的非零解。解之得 x1 = −x2 − x3 , x2 , x3 为自由变量。因此, 属于 λ2 = 1 的所有 特征向量为 X = (−t1 − t2 , t1 , t2 )T , 其中 t1 , t2 不全为 0. (5 分) 取特征向量 α1 = (1, 1, 1)T , α2 = (1, −1, 0)T , α3 = (1, 0, −1)T , 得矩阵 1 1 1 1 −1 0 . 1 0 −1 将其标准正交化，得正交阵 √ √ √ 1/ 3 1/ 2 1/ 6 √ √ √ . P = 1/ 3 −1/ 2 1/ 6 √ √ 1/ 3 0 −2/ 6 4 0 0 . P −1 BP = P T BP = 0 1 0 0 0 1

东华大学《线性代数》期末考试题2018-2019(1)线代A试卷A答案

东华大学《线性代数》期末考试题2018-2019(1)线代A试卷A答案

东华大学 2018--2019 学年第一学期期末试题A 卷答案 踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

考试科目 线性代数 A 使用专业 全校相关专业一1. 1. 设B A ,都是n 阶方阵,且3,2==B A ,则=00BA ()16n- .2. 设A 是n m ⨯矩阵,TA 是A 的转置矩阵,且TA 的行向量组线性无关. 则秩=)(A n3设A 是n m ⨯阶矩阵,B 是s n ⨯阶矩阵,()r A R =,且0=AB ,则()B R 的取值范围是________()min(,)r B s n r ≤-_______4. 若一组非零向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组 无关 （线性相关或无关）5.设β1、β2是非齐次方程组A x =b 的两个不同的解，α是对应的齐次方程组的基础解系，则用β1 ,β2α ,表示A x =b 的通解为 122ka ββ++（答案不唯一）6设A 为3阶方阵,*A 为伴随矩阵,81=A ,则*1831A A -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=_____64______ 7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=14523121x A 是不可逆矩阵,则=x _____113_______ 8. 设A 是43⨯矩阵,(),2=A R ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111211120B ,则()=BA R __2______ 9设可逆方阵A 的特征值为λ，则k A -1的特征值为kλ。

10. 二次型xz xy z y x f 44465222++---=的正定性为___负定_____。

二、（10分））计算行列式的值1234523451345124512351234A =解：12345112342345110-5= (33451210)0-504512310-500512341-53123400005= (3000500050005)000000-500-503........30-500-50001875.......1A =----==分分分分三、（12分）设方阵A 满足2+=4A A E ，证明-A E 可逆，并求其逆。

《线性代数》东华大学 2016--2017 学年第一学期期末试题 A 卷


次型 f 化为没有交叉项的形式，并给出正交矩阵 P 和新的二次型.
4
4、向量 x = ⎢
.
⎡5⎤ ⎡1⎤ ⎡ −3 ⎤ 2 相对于 \ 的基 b1 = ⎢ ⎥ , b2 = ⎢ ⎥ 的坐标向量为 ⎥ ⎣ −1⎦ ⎣2⎦ ⎣ −4 ⎦
⎡−2 ⎤ T ，则 u u = ⎥ ⎣ 1 ⎦
， u u =
T
.
5、设向量 u = ⎢
.
6、设 AB = C ，其中 A = ⎢
⎡1 −2 ⎤ ⎡ −5 1 ⎤ , C=⎢ ⎥ ⎥ ，则矩阵 B 的行列式 B = ⎣2 1 ⎦ ⎣ 0 2⎦
东华大学 2016--2017 学年第一学期期末试题 A 卷 踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。 使用专业 相关专业 考试科目 线性代数 B 教师
试题 得分
班号____ 学号
一 二 三 四
姓名
五 六 七
考试教室
八 总分
一、填空题（每小题 4 分，共 40 分）.
1、 一个顶点在原点， 相邻顶点在 (1, 0, −1), (2, −1, 4), (0, −3, 2) 的平行六面体的体积为 .
1 −1 0 3 三、 （7 分）计算行列式 −1 1 1 2
0 2 5 3
1 0 . 6 4
⎡ 1 −2 2 ⎤ ⎢ ⎥ −1 四、 （7 分）已知矩阵 A = −2 4 −5 ，用行化简法求 A . ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 3 −5 6 ⎥ ⎦
2
⎡1 ⎤ ⎡ − 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 五、 （8 分）设 v 1 = 2 , v 2 = 3 , u 与 v1 正交，且 u = v 2 − λ v1 , 求数 λ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ − 1⎥ ⎦ ⎣1 ⎥ ⎦

2014-2015第二学期线性代数试卷A 答案

东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷参考答案）2014 --2015学年第二学期《 线性代数 》试卷开课单位： 计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 入场每题或每空3分,共36分）、设n 元线性方程组Ax b =，其中()(,)R A R A b n ==，则该方程组( B )A ．有无穷多解B ．有唯一解C ．无解D ．不确定、设P 为正交矩阵，则P 的列向量（ C ） ．可能不正交 B. 有非单位向量 C. 组成单位正交向量组 C. 必含零向量 、设A 是m n ⨯型矩阵，B 是s m ⨯型矩阵，则TTA B 是（ B ）型矩阵 A ．m s ⨯ B ．n s ⨯ C ．m n ⨯ D ．s n ⨯ 、如果A 、B 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ D ）若0=A ,则必有0A = B.若AX BX =,则A B =( X 也是n 阶方阵)C. 若0AB =,则0A =或0B =D.2B -2（E+B ）(E-B)=E (E 为n 阶单位阵) 、已知α=T（1，-1，-1，1），则α=2 ,其单位化向量是()11,1,1,12T-- 、设12,ξξ是线性方程组Ax b =的两个解，则12ξξ-是线性方程组__0Ax =__的解，12ξξ-是线性方程组Ax b =的解.7、12a b A c d λλ⎛⎫=⎪⎝⎭，，是A 的两个特征值，则12λλ+=a d +8、已知二次型()12,3121323,226f x x x x x x x x x =+-，则二次型的矩阵011103130A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭9、 矩阵A 与B 相似， 111021003B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A = 610、矩阵11t A t ⎛⎫=⎪⎝⎭，正定时，t 就满足的条件是 0t > 二、解答题（共37分）1、（10分）设A 为5阶方阵，且3A =，求1A -；A *解：30A =≠ ,A ∴可逆， (1)111,1A A E A A A A E ---=∴=== 又 (2)1113A A--∴== (1)111,A A A A A A-**-=∴= 又 …………….2 511A A A A A -*-== (3)=4A =81 (1)2、（8分）已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102111A ，,201112⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B求(1)2;(2).T A B A B -解：(1).5003332⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-B A (4)(2) 1241321110211.10211113T A B --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ (4)3、（7分）设,100210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 求.1-A解：构造矩阵()=E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100100010210001321 (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→100100010210021101 ……………………2 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→100100210010121001 ……………………2 所以，.1002101211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-A ………………………….1 4、（6分）已知矩阵52002100,0012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭求.A解：将矩阵化为分块矩阵12,A O A OA ⎛⎫=⎪⎝⎭ (1)则12.A A A =⋅ (2)52121332111-=⋅=⨯= (3)5、（6分）判定向量组()()()1231,0,1,0,1,1,1,0,1T T T ααα===-的线性相关性解：3132101101101010010010111012002A γγγγ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (3)即： ()3n R A == ，则矩阵A 有唯一的0解 .................2 所以向量组是线性无关的 . (1)三、应用题（共27分）1、（12分）求非齐次线性方程组1234123412342142 2221x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩的通解解：对曾广矩阵施行初等行变换，则有：3121123222211112111121101422120001000010,211110002000000A γγγγγγγγ--+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-−−−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22110100010,0000γ--⎛⎫ ⎪−−→⎪ ⎪⎝⎭ ………………………4 可见：()()24R A R A ==<, 故此线性方程组有无穷多解， (2)基础解系中有4-2=2个解， (2)与之同解的方程组是123421x x x x +-=⎧⎨=⎩选取1,3x x 为自由变量，并令1,13212,,x c x c c c R ==∈，则方程组的通解是11213334120x x x x x x x x =⎧⎪=-+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 向量形式为：121234010121001000x x c c x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4)2、（15分）设二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=，求一个正交变换化此二次型为标准型,并写出标准型．解：二次型的矩阵,320230002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A (1)特征多项式：).5)(2)(1(3223002----=---=-λλλλλλλE A特征值.5,2,1321===λλλ (3)当11=λ时，解0)(=-x E A ，,000110001220220001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1101ξ ． (2)当21=λ时，解0)2(=-x E A ， ,1000100001202100002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012ξ ． (2)当53=λ时，解0)5(=-x E A ， ,0001100012202200035⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1103ξ ． (2)将上述三个两两正交的特征向量321,,ξξξ单位化,得 ,21210,001,21210321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=p p p (1)则在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212102121021010y y y x x x (2)二次型的标准形为23222152y y y f ++=． (2)。

2015-16线代A卷答案


一个极大无关组，故所求向量组的秩为 3，且 α1, α2, α3 为它的一个极大无关组.
10 分
4 0 0
20.（本题
10
分）设实对称矩阵
A
0 0
3 1
1 3
，求正交矩阵
P，使 P1AP
.
4 0 0 解 | A E | 0 3 1 (4 )(2 6 8) (2 )(4 )2 0 ，
对于
2
3
4 ，由
(A 2E)x
0
，即
0
1
1
x2
0
，解得基础解系为
0 1 1 x3 0
(1, 0, 0)T , (0,1,1)T ，因为该基础解系中的两个向量恰好正交，只要单位化即得两个正交的单
位特征向量： p2 (1, 0, 0)T , p3 (0,
1, 2
1 )T . 2
0
1
于是可得正交矩阵
3
2
1
2
3
1
1 1 ,2 0 ,3 0 .
6分
0
1
0
0
0
1
1
取
x3 x4 x5
0 0
,
0
得非齐次方程组的一个特解 0
2
0
0 0
，于是，所求方程
组的通解为 x 0 k11 k22 k33 , （k1, k2, k3 为任意实数）.
1 0
0
1 0 -2
-1 5 4
1 0 -1
0 5
2
1 0
0
1 0 0
-1 1 7
1 0 0
0 1
7
1 3 2 2 5 0 2 3 1 5 0 2 3 1 5

线性代数考试练习题带答案大全(二)

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

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2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 k 2 0 k 2 0 0 k 2 0
解：
k 2 1 0 2 k 1 k 0 0 1 k
(k 2)(k 1) 所以，(1)当 k 1和k 2 时，方程有唯一解。
1 1 1 1 1 1 1 1



1 3


1
为



2 3

0


k

0

1
五、（12 分）设二次型 f x12 ax22 x32 2x1x2 2ax1x3 2x2 x3 ，已知秩 r( f ) 2 。 试求：（1） a 的值； （2）正交变换 X PY 化二次型 f 为标准型。
，
B


2 1
y 0

，若
AB

BA
则
x=
1
，y=
22
0 0 1
2、若
A


0
1 1 ，则A1
1 1 1
0 1 1
Байду номын сангаас
1
1
0

.
1 0 0
1 2a a 2
3、 1 a b ab (b a )3
。
1 2b b 2
1 1 1 1 x1
(1)求 A 的属于 3 的特征向量； （2）求矩阵 A。
解：（1）设 A 的属于 3 的特征向量为3 x1 x 2 x 3 T
因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量两两正交，所以
1T 3 0,T23 0
即
x1, x 2 , x 3
是齐次线性方程组
x1x1 2xx
y
2 2
。
六、（6 分）设 A2 E ,但 A E , 证明： det(A E ) 0 证明：由 A2 E ,得：
3
A2 E (A E )(A E ) 0 ， 又因为 A E , 即 A E 0,所以齐次线性方程组(A E )x 0, 有非零解 所以， det(A E ) 0
1 1 a
解（1）
A


1
a
1

，
r(
f
)

r( A)

2
，故
a

2
。
a 1 1
（2） 特征值为 1 3， 2 3 ， 3 0 。
1 1

2
6
P


0

2 6


1 2
1 6
1
3

1 3

，
1
3
f
3 y12

3
当
k=2
时，

2
2
2
0



0
0
3
4

方程无解。
2 2 1 2 0 0 0 2
1 1 1 1 1 1 1 1
（2）k=-1 时， 2
1 2
0



0
3
0
2

，这时方程有无穷好多解，
1 2 1 1 0 0 0 0
4
（1）若方阵 A 与 B 都是 n 阶对称正定阵，则 A1 3A* 也是对称正定阵。（√ ）
1
（2）转置运算不改变行列式的值，秩和特征值。（ √ ）
(3)若 m n, 则 Amn x 0 有非零解.( √ )
(4)若向量1,2 ,3 线性相关，则3 能由1,2 线性表示。（ ）
1
三、（8
分）设
A


0
0
0 2 1
0
1
1
，C


3
1
2
2 1 ,B 0

1

2
2 3

，

AYB
C
,求矩阵
Y。
1 0 0
解：
A
1


0
0
1 1
1 2
，
B
1


3 2
2 1
1 0 0 1 2
2 2

x3 x3

0 0
1 0 1 T ，因此 A 属于特征值 3 的特征向量为
有非零解，解的基础解系为
3 k 1 0 1 T （k 为任意常数）
四、（12
分）设
2
x1 x1

x2 kx
x3 2 2x3
1 0
，问：

kx1

2x 2

x3

k
(1)k 为何值时，方程有唯一解？无解？ （2）k 为何值时，方程有无穷多解？1 并求出它的通解。
1 0
Y
A1CB 1

0
0
1 1
1

3
2 2
1 0

3 2
2 1
=

1 5
1

3
四、设三阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2,3；矩阵 A 的属于特征值 1,2 的特征向量是
1 1 1 1T ，2 1 2 1T ，求：
2014 —— 2015 学年第一学期期终试题B卷
踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负
课程名称： 线性代数 A
任课教师
班号 姓名
使用专业： 全校各专业
学号
考试教室
试题 一 二 三 四 五 六 七 八 总分
得分
一、填空题（每空 4 分，共 40 分）：
1、设
A


1 x
2 1
4、若
A


2 3

4
4 5 6
3 2 3
1
,
x
4
5



x x x
2 3 4

，则 A

的秩=
1。
3 . Ax 0 解空间的维数是
1 k 1
5、若向量

0
,
3

,
4

线性相关，则
k=
-3 .
1 0 k
6、设二次型 f (x1, x2, x3) x12 5x22 9x32 4x1x2 2kx2x3
1 2 0
（1）这个二次型对应的对称矩阵为

2
5
k

.
0 k 9
（2）这个二次型正定的充要条件为 k 3
.
二、判断题(每小题 3 分，共 12 分)：在括号内填：“√”或“ ”表示命题正确或错误。