安徽省肥东县第二中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题理(共建班)

肥东二中2019-2020学年度第二学期期中考试高二年级肥东二中与合肥六中共建班数学试卷(理)一、选择题(每题5分,共60分)1.下列求导运算正确的是( )A. (cosx)'＝sinxB. (3x)'＝3x log3eC. D. (x2cos x)′＝﹣2x sin x【参考答案】C【试题解答】利用基本初等函数的求导公式和运算法则进行求解即可.对于选项A:因为(cos x)'＝﹣sin x,故选项A不正确；对于选项B:因为(3x)'＝3x ln3,故选项B不正确；对于选项C:因为(lgx)′＝,故选项C正确；对于选项D:因为(x2cos x)′＝2x cos x﹣x2sin x,故选项D不正确.故选:C本题考查基本初等函数的导数公式和运算法则；考查运算求解能力；熟记基本初等函数的导数公式和运算法则；属于基础题.2.对抛物线,下列描述正确的是 ( )A. 开口向上,焦点为(0,2)B. 开口向上,焦点为C. 开口向右,焦点为(2,0)D. 开口向上,焦点为【参考答案】A【试题解答】先将抛物线化成标准形式,然后给找到开口方向和焦点.抛物线方程,化成标准方程形式,可得其开口向上,焦点坐标为.故选A项.本题考查由抛物线方程求其图像的开口和焦点坐标.属于简单题.3.若函数在区间上的平均变化率为4,则m等于( )A. B. 3 C. 5 D. 16【参考答案】B【试题解答】根据平均变化率为计算,即可得出结果.因为,所以.故选:B.本题考查了导数的基本概念,考查对基础知识的理解和掌握,属于基础题.4.计算定积分＝( )A. B. C. D.【参考答案】B【试题解答】,∴定积分,本题选择B选项.:定积分的计算方法:(1)用微积分基本定理求定积分,关键是求出被积函数的原函数.此外,如果被积函数是绝对值函数或分段函数,那么可以利用定积分对积分区间的可加性,将积分区间分解,代入相应的解析式,分别求出积分值相加.(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.(3)若y＝f(x)为奇函数,则.5.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )A. 2B. 6C. 4D. 12【参考答案】C【试题解答】根据椭圆定义,椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解.设另一焦点为,由题在BC边上,所以的周长故选:C此题考查椭圆的几何意义,椭圆上的点到两焦点距离之和为定值,求解中要多观察图形的几何特征,将所求问题进行转化,简化计算.6.函数的单调递减区间是( )A. B. C. D.【参考答案】A【试题解答】对函数进行求导,利用导数解不等式即可求解.,,根据单调性与不等式的关系可得,解得.所以函数的单调递减区间是.故选:A.本题考查利用导数求函数的单调区间,考查运算求解能力,属于基础题.7.下列椭圆中最扁的一个是( )A. B. C. D.【参考答案】B【试题解答】只需分别计算各选项中的值,越小,椭圆越扁,进而可得出结果.由得；由得；由得；由得；因为,所以最扁的椭圆为.故选B本题主要考查椭圆的特征,熟记椭圆的简单性质即可,属于基础题型.8.与曲线相切,且与直线垂直的直线的方程为( )A. B. C. D.【参考答案】C【试题解答】由导数的几何意义可得所求直线的斜率,根据两直线垂直可求得,即可求得切线方程.设切点为,由导数的几何意义可得所求直线的斜率,又直线的斜率为,所以,解得,则,,所以所求直线的方程为,即.故选:C.本题考查导数的几何意义,考查计算能力,属于基础题.9.设F1,F2为椭圆的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为( )A. B. C. D.【参考答案】C【试题解答】由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=6,由中位线定理可得PF2⊥x轴,令x=2,可得y=即有|PF2|=,|PF1|=,则故选C.10.设,若函数,,有大于零的极值点,则( )A. B. C. D.【参考答案】A【试题解答】题意即有大于0的实根,数形结合令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选A.11.设,分别为曲线的左、右焦点,P是曲线与的一个交点,则的值是( )A. B. C. D.【参考答案】B【试题解答】根据,分别为曲线左、右焦点,设P是曲线与的第一象限的交点,进而求得三角形的三条边的长,再利用余弦定理即可求解.解:曲线与曲线的焦点重合,两曲线共有四个交点,不妨设P为第一象限的交点.则,,解得,.又,在中,由余弦定理可求得,故选:B.本题主要考查椭圆和双曲线的定义及余弦定理的应用,属于简单题.12.已知函数,则函数的大致图象是( )A. B.C. D.【参考答案】A【试题解答】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果.由题意,所以函数为偶函数,其图象关于轴对称,排除D；又,所以排除B,C.故选A.已知函数的解析式判断图象的大体形状时,可根据函数的奇偶性,判断图象的对称性:如奇函数在对称的区间上单调性一致,偶函数在对称的区间上单调性相反,这是判断图象时常用的方法之一.二、填空题(每题5分,共20分)13.曲线在点处的切线斜率为______.【参考答案】2【试题解答】先求出函数的导数,然后将代入即可求得切线斜率.曲线,则点在曲线上.则,所以当时,.故答案为:2.本题考查导数的几何意义及切线斜率的求法,属于基础题.14.过点(0,1)且与抛物线只有一个公共点的直线有________条.【参考答案】3【试题解答】过点的斜率不存在的直线为满足与只有一个公共点,当斜率存在时,设直线为,与联立整理得当时,方程是一次方程,有一个解,满足一个交点当时由可得值有一个,即有一个公共点,所以满足题意的直线有条.15.若函数,则__________.【参考答案】0【试题解答】对函数进行求导,再求出,然后即可得的解析式,再代入进行计算即可得解.因为,所以两边同时求导数可得令,则,所以,即,,所以,,则,故答案为:0.本题考查了函数导数的运算,属于基础题.16.已知椭圆的左顶点为,过点作一条直线分别交椭圆于、两点,直线、的斜率记为,,则_________【参考答案】【试题解答】根据题意设,从而由两点间斜率公式即可得到关于y的式子,结合椭圆的方程代入化简即可得. 【详解】设,则, 椭圆的左顶点为,则, 过点作一条直线分别交椭圆于、两点,直线、的斜率记为,,所以, 又点在椭圆上,所以, 代入上式得. 故答案为:. 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题中的定值问题,考查学生的计算能力,属于中档题.三、解答题(17题10分,其余每题12分,共70分)17.已知抛物线y2=2px的焦点为F,准线方程是x=﹣1.(I)求此抛物线的方程；(Ⅱ)设点M在此抛物线上,且|MF|=3,若O为坐标原点,求△OFM的面积.【参考答案】(Ⅰ)y2=4x ；(Ⅱ)【试题解答】试题分析:(I)利用准线方程是x=﹣1,求此抛物线的方程；(Ⅱ)设点M在此抛物线上,且|MF|=3,利用抛物线的定义求出M的坐标,即可求△OFM的面积.解:(Ⅰ)因为抛物线的准线方程为x=﹣1,所以得p=2所以,抛物线的方程为 y2=4x(Ⅱ)设M(x0,y0),因为点M(x0,y0)在抛物线上,且|MF|=3,由抛物线定义知|MF|=x0+=3得x0=2由M(2,y0)在抛物线上,满足抛物线的方程为y2=4x知y0=±2所以△OMP的面积为|y0|==.考点:抛物线的简单性质.18.已知曲线与在第一象限内的交点为P.(1)求曲线在点P处的切线方程(2)求两条曲线所围图形如图所示阴影部分的面积S.【参考答案】(1)(2)【试题解答】(1)先通过解方程组求交点的坐标,再根据导数的几何意义求出函数在处的导数,从而得到切线的斜率,再利用点斜式方程写出切线方程即可；(2)先确定积分区间,再确定被积函数,从而可求由两条曲线曲线:与:所围图形的面积.解:(1)由题可知,曲线与在第一象限内的交点为.的导函数,则,又切点的坐标为,所以曲线在点P处的切线方程为,即.(2)由曲线与,可得两曲线的交点坐标为,,所以两条曲线所围图形的面积.本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,定积分在求面积中的应用,考查运算求解能力,属于基础题.19.已知椭圆,在椭圆上求一点,使到直线的距离最短,并求出最短距离.【参考答案】,最短距离为.【试题解答】设与直线平行且与椭圆相切的直线的方程为,将直线的方程与椭圆的方程联立,由求得的值,进而求得切点坐标,即为所求的点的坐标,并求出两平行直线间的距离,进而得解.设与直线平行且与椭圆相切的直线为,联立方程,消去得,①令,解得.与直线距离最近的切线方程为,最小距离为.将代入方程①得,解得,则,所以,点的坐标为.本题考查直线与椭圆的位置关系,属基础题目,由直线与椭圆相离,设椭圆的切线然后求切线方程,直线与切线间的距离即为最短距离.20.某工厂生产一种产品,已知该产品的月产量x吨与每吨产品的价格(元)之间的关系为,且生产吨的成本为(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)【参考答案】315万元【试题解答】解: 每月生产x吨时利润为答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.21.已知函数f(x)＝x2＋2a ln x.(1)当a ＝1时,求函数f′(x)的最小值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值. 【参考答案】(1)4. (2) 函数f(x )的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,＋∞).函数f(x)有极小值f()＝－a＋2a ln.【试题解答】分析:首先求出函数的定义域,先保证函数的生存权,对于第一问,对函数求导,之后应用基本不等式求出的最小值,注意等号成立的条件；对于第二问求导,之后对参数的取值进行讨论,利用导数大于零,函数单调增,导数小于零,函数单调减,从而确定出函数的单调区间以及函数的极值.详解:函数f(x)的定义域为(0,＋∞).(1)当a＝1时,f′(x)＝2x＋≥2＝4,当且仅当2x＝,即x＝1时等号成立,故函数f′(x)的最小值为4. (2)f′(x)＝2x＋＝2(x＋). ①当a≥0时,f′(x)＞0,因此f(x)的单调递增区间为(0,＋∞),这时函数无极值；②当a＜0时,f′(x)＝.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下:x (0,) (,＋∞)f′(x) －0 ＋f(x) 减极小值增因此函数f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,＋∞).且当x＝时,函数f(x)有极小值f()＝－a＋2a ln.:该题考查的是有关应用导数研究函数的问题,对于第一问,注意应用基本不等式求最值,当然也可以借助于导数来求解,对于第二问,要注意对的取值范围进行正确的讨论.22.已知动点到点与点的斜率之积为,点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)若点为曲线上的一点,直线与直线分别交于两点,求线段长度的最小值.【参考答案】(1)；(2).【试题解答】试题分析:(1)设,根据条件,表示直线AP和BP的斜率,代入,得到点P的轨迹方程；(2)根据(1)设直线AQ和直线BQ的方程,并且得到点M和点N的坐标,用坐标表示线段的长度,根据基本不等式求线段长度的最值试题解析:(1)设,由题意知,∴,化简得曲线方程为.(2)满足题意的直线的斜率显然存在且不为零,设其方程为,由(1)知,∴可设直线方程为,当时,得点坐标为,易求点坐标为,∴,当且仅当时,等号成立,∴线段长度的最小值.考点:1.轨迹法；2.直线与椭圆的位置关系.。

【2019-2020】安徽省高二数学下学期期中考查试题理高二数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数11-2+1-2i i +的虚部是（ ）A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-2．下列求导运算正确的是（ ）A ．(cos )sin x x '=B ．1(ln 2)x x'=C ．3(3)3log x x e '=D ．2()2x x x e xe '= 3. 函数()y=f x 在点00(,)x y 处的切线方程为21y=x+ ，则000()(2)lim x f x f x x x∆→--∆∆等于（ ） A.－4 B.－2 C. 2 D. 44．由曲线,,x xy e y e -==以及1x =所围成的图形的面积等于（ ）A ．2B ．22e -C ．12e-D ．12e e+- 5．直线12y x b =+是曲线ln y x =的一条切线，则实数b 的值为（ ）A ．2B ．ln2+1C ．ln2﹣1D ．ln26”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）A. 12k -B. 21k -C. 2kD. 21k + 7．已知(0,)x ??有下列各式：221442,3,22x x x x x x x +?=++? 3327274,333x x x x x x +=+++?成立，观察上面各式，按此规律若4+5,a x x³则正数a =（ ）A ．4B ．5C ．44D ．558．设函数()f x 在R 上可导，其导函数'()f x ，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数'()y xf x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若ln 3ln 5ln 6,,,356a b a ===则（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<10．若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13-22（，）B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ． [)1,2D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．若点(,)P a b 在函数2ln y x x =-+的图象上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图象上，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）A ．B ．8C ．2D ．212.若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23()2()0f x af x b ++=的不同实数根个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上） 13．设复数21iz i-=+，则z 的共轭复数为 ． 14．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A，D 两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C 作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．15．如图所示的数阵中，第15行第2…16．以下判断正确的序号是（1）集合{}1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，}{4M N ?，则复数4z i =-.（2）4(13)10.x x dx -+-=ò（3）已知函数3()f x x x =+，对任意的[2,2],(2)()0m f mx f x ?-+<恒成立，则x 的取值范围为2(2,)3-．（4）设1()c o s f x x =，定义1()n f x +为()n f x 的导数，即'1()=()n n f x f x n N +Î，若△ABC 的内角A 满足1220181()()()3f A f A f A L +++=，则8sin 2.9A =三、解答题 （本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分8分）已知函数()()ln 3f x ax b x bx =+-+在(1,(1))f 处的切线方程为2y =. （1）求,a b 的值； （2）求函数()f x 的极值.18．（本小题满分8分）由下列不等式：112>,111123++>,111312372+++>L ,111122315+++>L,…，你能得到一个怎样的一般不等式？并请加以证明．19．（本小题满分8分）（1）已知0,0a b >>且2a b +>，求证：1+1,b aa b+中至少有一个小于2；（2）已知110,1,ab a>->20. （本小题满分8分）已知函数()3ln af x ax x x=+-. （1）当2a =时，求()f x 的最小值；（2）若()f x 在(]1,e 上为单调函数，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分8分）已知函数(),x e af x a R x-=∈. （1）若()f x 在定义域内无极值点，求实数a 的取值范围；（2）求证：当1,0a x <<>0时，()1f x >恒成立.22．（本小题满分12分）． 已知函数()(ln 1)f x x x =+ （1）求函数()f x 的最小值；（2）设2'()()()F x ax f x a R =+∈，讨论函数()F x 的单调性；（3） 若斜率为k 的直线与曲线'()y f x =交于1122(,)(,)A x y B x y 、两点，求证：121x x k<<.高二数学（理）参考答案：BBDDC CCABB BA13.14. B 15.110616. (1) (2)(3)(4) 17.解（1）因为()132f b =-+=，所以1b =；...............................1分 又()1ln ln 1b f x a x a b a x a x x'=++-=++-，..............................2分 而函数()()ln 3f x ax b x bx =+-+在()()1,1f 处的切线方程为2y =，所以()1110f a '=+-=，所以0a =；......................................3分 （2）由（1）得()ln 3f x x x =-+，()11f x x'=-， 当01x <<时，()0f x '>； 当1x >时，()0f x '<；所以()f x 在()0,1上单调递增，()f x 在()1,+∞上单调递减，....................6分 所以()f x 有极大值()12f =,无极小值．......................................8分 18.解：根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为：． (2)分用数学归纳法证明如下：①当n=1时，1②假设n=k 时猜想成立，即则n=k+1时，==即当n=k+1时，猜想也成立，所以对任意的n ∈N +，不等式成立．......................................8分19．证明：（1）假设都不小于2，则，∵a ＞0，b ＞0，∴1+b ≥2a ，1+a ≥2b ，两式相加得：2+a+b ≥2（a+b ），解得 a+b ≤2，这与已知a+b ＞2矛盾，故假设不成立，∴中至少有一个小于2．......................................4分（2）∵1，a ＞0，∴0＜b ＜1，要证＞，只需证•＞1，只需证1+a ﹣b ﹣ab ＞1，只需证a ﹣b ﹣ab ＞0，即＞1．即﹣＞1．这是已知条件，所以原不等式成立．...................................8分20.解：（1）当2a =时，2()23ln f x x x x =+-，∴22223232()2x x f x x x x --'=--=.令()0f x '=，得2x =或1x =-（舍）.又当2x =时，()=(2)53ln 2f x f =-极小，∴当2a =时，函数()f x 的最小值为53ln2-.................................3分 （2）∵()3ln a f x ax x x =+-，∴223()ax x af x x --'=，又()f x 在(]1,e 上为单调函数，∴当(]1,x e ∈时，()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，也就是230ax x a --≥或230ax x a --≤对(]1,x e ∀∈恒成立， 即231x a x ≥-或231x a x ≤-对(]1,x e ∀∈恒成立.令23()1xG x x =-，则2223(1)()(1)x G x x -+'=-.∴当(]1,x e ∈时，()0G x '<.∴()G x 在(]1,e 上单调递减，又当1x → 时，()G x →+∞；当x e =时，23()1eG x e =-，................................8分∴231e a e ≤-，故()f x 在(]1,e 上为单调函数时，实数a 的取值范围为23,1e e ⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦. 21.解：（1）由题意知()()21x e x af x x-+'=，令()()()1,0x g x e x a x =-+≠，则()xg x e x '=⋅，当0x <时，()0,()x g g x '<在(),0-∞上单调递减， 当0x >时，()0,()x g g x '>在()0,+∞上单调递增， 又()01g a =-，∵()f x 在定义域内无极值点，∴1a >又当1a =时，()f x 在(),0-∞和()0,+∞上都单调递增也满足题意，所以1a ≥ ................................4分（2）()()21x e x af x x -+'=，令()()1xg x e x a =-+，由（1）可知()g x 在()0,+∞上单调递増，又()()01010g a g a ⎧=-<⎪⎨=>⎪⎩，所以()f x '存在唯一的零点()00,1x ∈，故()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递増，∴()()0f x f x ≥由()0010x e x a -+=知()001xf x e =>即当01,0a x <<>时，()1f x >恒成立. ................................8分21:(1)()ln 2(0),()0,.f x x x f x x e22.解令得''=+>==2211(0,)`()0;(,)`()0x f x x f x e e∈<∈+∞>当时，当时，. 则2211()(0,)(+)f x e e ∞在上递减，在，上递增 .1)11(ln 1)(,1222min 2ee e xf e x -=+==∴时当 ......................3分).0(1212)(,2ln )()2(22>+=+='++=x xax x ax x F x ax x F .............4分① 0≥a 当时，恒有0)(>'x F ，)(x F 在),0(+∞上是增函数；② 0<a 当时, ;210,012,0)(2ax ax x F -<<>+>'解得即令;21,012,0)(2ax ax x F -><+<'解得即令 综上，当0≥a 时，)(x F 在),0(+∞上是增函数； .........................5分0<a 当时，)(x F 在)21,0(a -上单调递增，在),21(+∞-a上单调递减....6分 （3）221''12121ln ln ()().x x f x f x k x x x x --==-- 211212211:,:.ln ln x x x x x x k x x -<<<<-要证即证 ..ln 11:12121212x xt x x x x x x =<-<令等价于，则只要证:111t t nt-<<，由,0ln 1>>t ，t 知 故等价于证:ln 1ln (1)t t t t t <-<>(*) ...............................8分 ①()1ln (1),g t t t t =-->设1()10(1),()(1,),g t t g t t'=->>∴+∞则在上是增函数,0)1(ln 1)(1=>--=>g t t t ，g t 时当.ln 1t t >-∴ ......................................................10分②()ln (1)(1),()ln 0(1),h t t t t t h t t t '=-->=>>设则()(1,),h t ∴+∞在上是增函数,0)1()1(ln )(,1=>--=>∴h t t t t h t 时当ln 1(1),t t t t ∴>->由①②知（*）成立，.121x kx <<∴ .......................................12分。

2 (a b)2 4(a b) 20 0 ，a b 2 2 6 或 a b 2 2 6 （舍 ) ，
当且仅当 a b 1 6 时等号成立， a b 的最小值为 2 2 6 ． 20．解：（Ⅰ）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为 6 6 36 ， （2 分）
D． 105 1024
13. 高一、高二、高三三个年级共有学生 1800 人，其中高一共有学生 800 人，现
用分层抽样的方法抽取 90 人作为样本，则应抽取高一学生为 人．
14. 已知二进制数1010(2) 化为十进制数为 n ，则 n 为 ．
15. 已知函数 f (x) log2 (| x 1| | x 2 | m) ．若关于 x 的不等式 f (x) 2 的解集
画出图形如图，矩形的面积为 S矩形 25 ，
阴影部分的面积为
S阴影
25
1 2
2
4
21 ， （10
分）
故满足 ab 0 的概率为 21 ． （12 分） 25
21．解：（Ⅰ）证明： f (x) | x a | | x 1 | | x a x 1 || a 1 | 2 ；
a
a
a
一．选择题（共 12 小题）
1． D 2． B 3． C 4． A 5． D 6． D
7． D 8． B 9． C 10． D 11． D 12． C
二．填空题（共 4 小题）
13． 40． 14． 10．
15． m≤− 1
16．
[0,
16 5
]
三．解答题（共 6 小题）
17． 解：（Ⅰ）由题意可得 a 1 [1 (0.01 0.06 0.07 0.04) 5] 0.02 ． 5

2020-2021学年安徽省合肥市肥东二中高二（下）期中数学试卷（理科）一、单选题（每小题5分）.1．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设函数y＝f（x）在x＝x0处可导，且＝1，则f'（x0）等于（）A．B．﹣C．1D．﹣13．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（）A．35种B．30种C．28种D．25种4．展开式中x3的系数为（）A．15B．26C．30D．355．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1B．C．D．6．如图，阴影部分的面积是（）A．38B．37C．36D．357．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2+b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O﹣ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为（）A．S＝S1+S2+S3B．S2＝C．D．S＝8．若函数f（x）＝e x﹣lnx﹣mx在区间（1，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围（）A．（﹣∞，e﹣1）B．（﹣∞，e﹣1]C．（﹣∞，e+1）D．（﹣∞，e+1] 9．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面10．若，则二项式的展开式中的常数项为（）A．6B．12C．60D．12011．面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力技术手段，科研攻关组第一时间把疫苗研发作为重中之重，对灭活疫苗、重组蛋白疫苗、腺病毒载体疫苗、减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗5个技术路线并行研发，组织了12个优势团队进行联合攻关，其中有5个团队已经依据各自的研究优势分别选择了灭活疫苗、重组蛋白疫苗、腺病毒载体疫苗、减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗这5个技术路线，其余团队作为辅助技术支持进驻这5个技术路线，若保障每个技术路线至少有两个研究团队，则不同的分配方案的种数为（）A．14700B．16800C．27300D．5040012．已知函数f（x）＝e x（x﹣2）﹣ax+a，（a＜2），若不等式f（x）＜0恰有三个不同的整数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为．14．用数学归纳法证明某不等式时，其左边，则从“n＝k到n ＝k+1”应将左边加上．15．若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为．16．已知函数f（x）＝x﹣（a+1）lnx﹣（a∈R，且a＜1），g（x）＝x2+e x﹣xe x，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，则a的取值范围是．三、解答题（第17题10分，其他每题12分，本大题共6小题，共70.0分）17．计算下列定积分：（1）（3x2﹣2x+5）dx（2）（cos x﹣sin x）dx．18．已知函数f（x）＝﹣1．（1）求函数在点（1，f（1））处的切线方程．（2）试判断函数f（x）的单调性；19．已知函数f（x）＝ax3+bx在x＝1处有极值2．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）在区间[﹣2，]上的最大值．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，其中且．（1）求a2，a3；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．21．在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．（1）当4个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？（3）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？22．已知函数，其中a∈R．（1）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝0时，证明：f（x）＜2e2﹣x﹣4（其中e为自然对数的底数）．参考答案一、单选题（共12小题）.1．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：＝i（1+i）＝﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．2．设函数y＝f（x）在x＝x0处可导，且＝1，则f'（x0）等于（）A．B．﹣C．1D．﹣1解：＝×＝f'（x0）＝1，所以f'（x0）＝，故选：A．3．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（）A．35种B．30种C．28种D．25种解：这3人中既有男性又有女性，包括2男1女和1男2女两种情况．若3人中有2男1女，则不同的选法共有种，若3人中有1男2女，则不同的选法共有＝12种，根据分类计数原理，所有的不同的选法共有18+12＝30种，故选：B．4．展开式中x3的系数为（）A．15B．26C．30D．35解：由（1+x）6展开式的通项T r+1＝x r得：展开式中x3的系数为1×＝26，故选：B．5．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1B．C．D．解：设函数y＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣lnx，求导数得＝当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选：D．6．如图，阴影部分的面积是（）A．38B．37C．36D．35解：直线y＝2x﹣2与抛物线y＝3﹣2x﹣x2相交，联立：，解得交点为A（﹣5，﹣12）和B（1，0），则阴影部分的面积为：S＝[（3﹣2x﹣x2）﹣（2x﹣2）]dx＝（﹣x3﹣2x2+5x）＝．故选：C．7．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2+b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O﹣ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝90°，S 为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为（）A．S＝S1+S2+S3B．S2＝C．D．S＝解：由a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2+b2＝c2，类比到空间中：在四面体O﹣ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则S，S1，S2，S3满足的关系式为：．故选：C．8．若函数f（x）＝e x﹣lnx﹣mx在区间（1，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围（）A．（﹣∞，e﹣1）B．（﹣∞，e﹣1]C．（﹣∞，e+1）D．（﹣∞，e+1]解：由题意，函数f（x）＝e x﹣lnx﹣mx，可得，因为函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，即f'（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，即在（1，+∞）上恒成立，设，则，所以函数g（x）在（1，+∞）为单调递增函数，所以m≤g（1）＝e﹣1，即实数m的取值范围是（﹣∞，e﹣1]．故选：B．9．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（）A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面解：当时间为t0时，利用定积分得到甲走过的路程＝v甲dt＝a+c，乙走过的路程＝v 乙dt＝c；当时间为t1时，利用定积分得到甲走过的路程＝v甲dt＝a+c+d，而乙走过的路程＝v乙dt＝c+d+b；从图象上可知a＞b，所以在t1时刻，a+c+d＞c+d+b即甲的路程大于乙的路程，A正确；t1时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B错；在t0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C错；t0时刻后，t1时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D错．故选：A．10．若，则二项式的展开式中的常数项为（）A．6B．12C．60D．120解：∵＝﹣3cos x＝﹣3cosπ+3cos0＝6，∴＝，通项为＝，由6﹣，得r＝4，∴二项式的展开式中的常数项为．故选：C．11．面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力技术手段，科研攻关组第一时间把疫苗研发作为重中之重，对灭活疫苗、重组蛋白疫苗、腺病毒载体疫苗、减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗5个技术路线并行研发，组织了12个优势团队进行联合攻关，其中有5个团队已经依据各自的研究优势分别选择了灭活疫苗、重组蛋白疫苗、腺病毒载体疫苗、减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗这5个技术路线，其余团队作为辅助技术支持进驻这5个技术路线，若保障每个技术路线至少有两个研究团队，则不同的分配方案的种数为（）A．14700B．16800C．27300D．50400解：根据题意，分2步进行分析：①将没有选择技术路线的7个团队分成5组，若分为3﹣1﹣1﹣1﹣1的五组，有C73＝35种分组方法，若分为2﹣2﹣1﹣1﹣1的五组，有＝105种分组方法，则有35+105＝140种分组方法，②将分好的五组安排到已经选择技术路线的五个团队工作，有A55＝120种情况，则有140×120＝16800种安排方法，故选：B．12．已知函数f（x）＝e x（x﹣2）﹣ax+a，（a＜2），若不等式f（x）＜0恰有三个不同的整数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．解：由f（x）＝e x（x﹣2）﹣ax+a＜0，得e x（x﹣2）＜ax﹣a，令g（x）＝（x﹣2）e x，h（x）＝ax﹣a＝a（x﹣1），则h（x）过定点（1，0）由题意知，存在3个正整数，使g（x）在直线h（x）的下方，∵g′（x）＝（x﹣1）e x，∴当x＞1时，g′（x）＞0，此时g（x）为增函数，当x＜1时，g′（x）＜0，此时g（x）为减函数，即当x＝1时，g（x）取得极小值，同时也是最小值g（x）min＝g（1）＝﹣e，且g（0）＝﹣2，g（2）＝0，g（3）＝e3，g（﹣1）＝﹣直线h（x）恒过点（1，0），且斜率为a，由题意可知当a≤0时，不满足条件．有很多整数解，则a＞0，此时x＝1，x＝2满足条件，由图象知，此时只能x＝0时，满足条件，则满足，即得，即≤a＜2，故实数a的取值范围是[，2），故选：D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为﹣2．解：由（1﹣2i）（a+i）＝（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，得，解得：a＝﹣2．故答案为：﹣2．14．用数学归纳法证明某不等式时，其左边，则从“n＝k到n ＝k+1”应将左边加上．解：当n＝k时，，当n＝k+1时，，所以f（k+1）﹣f（k）＝．故答案为：．15．若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为15．解：由已知可得，2n＝32，即n＝5．∴＝，其二项展开式的通项＝．取，得r＝4．∴展开式中x的系数为．故答案为：15．16．已知函数f（x）＝x﹣（a+1）lnx﹣（a∈R，且a＜1），g（x）＝x2+e x﹣xe x，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，则a的取值范围是（，1）．解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝（a∈R），当a＜1时，x∈[e，e2]，f′（x）≥0，f（x）为增函数，所以f（x）min＝f（e）＝e﹣（a+1）﹣；若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即f（x）min＜g（x）min，g′（x）＝x+e x﹣xe x﹣e x＝x（1﹣e x），当x∈[﹣2，0]时g′（x）≤0，g（x）为减函数，g（x）min＝g（0）＝1，∴e﹣（a+1）﹣＜1，a＞，∴a∈（，1），故答案为：（，1）．三、解答题（第17题10分，其他每题12分，本大题共6小题，共70.0分）17．计算下列定积分：（1）（3x2﹣2x+5）dx（2）（cos x﹣sin x）dx．解：（1）（3x2﹣2x+5）dx＝＝111．（2）（cos x﹣sin x）dx＝（sin x+cos x）＝（sin 2π+cos 2π）﹣（sin 0+cos 0）＝0．18．已知函数f（x）＝﹣1．（1）求函数在点（1，f（1））处的切线方程．（2）试判断函数f（x）的单调性；解：（1）由题可知：f′（x）＝；所以：f′（1）＝1，f（1）＝﹣1；∴函数在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（﹣1）＝x﹣1即：y＝x﹣2．（2）因为函数的定义域（0，+∞）且f′（x）＝；令f′（x）＝＞0得0＜x＜e，f′（x）＝＜0得x＞e，因此函数单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞）．19．已知函数f（x）＝ax3+bx在x＝1处有极值2．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）在区间[﹣2，]上的最大值．解：（1）∵函数f（x）＝ax3+bx在x＝1处取得极值2，∴，解得，（2）由（1）得：f（x）＝﹣x3+3x，f′（x＝﹣3x2+3＝﹣3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜﹣1，故f（x）在[﹣2，﹣1）递减，在（﹣1，]递增，故f（x）的最大值是f（﹣2）或f（），而f（﹣2）＝2＞f（）＝，故函数f（x）的最大值是2．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，其中且．（1）求a2，a3；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．解：（1）又，则，类似地求得（2）由，，…猜得：以数学归纳法证明如下：①当n＝1时，由（1）可知等式成立；②假设当n＝k时猜想成立，即那么，当n＝k+1时，由题设得，所以S k＝k（2k﹣1）a k＝k（2k﹣1）＝S k+1＝（k+1）（2k+1）a k+1a k+1＝S K+1﹣S K＝（k+1）（2k+1）a k+1﹣因此，所以＝这就证明了当n＝k+1时命题成立．由①、②可知命题对任何n∈N*都成立．21．在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．（1）当4个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？（3）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？解：（1）第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有种方法，第二步再松绑，给4个节目排序，有种方法．根据分步乘法计数原理，一共有5040×24＝120960种．（2）第一步将6个演唱节目排成一列（如图中的“口”），一共有种方法，×□×□×□×□×□×□×第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间（即图中“×”的位置），这样相当于7个“×”选4个来排，一共有种，根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604800种．（3）若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有种排法．22．已知函数，其中a∈R．（1）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝0时，证明：f（x）＜2e2﹣x﹣4（其中e为自然对数的底数）．解：（1）由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），．当时，f'（x）＞0⇒0＜x＜2或；；当时，f'（x）≥0⇒f'（x）≥0；当时，或x＞2；．综上，当时，f（x）在（0，2），上单调递增，在上单调递减；当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当时，f（x）在，（2，+∞）上单调递增；在上单调递减．（2）证明：当a＝0时，由f（x）＜2e x﹣x﹣4，只需证明e x＞lnx+2，令g（x）＝e x﹣lnx﹣2（x＞0），．设g'（x0）＝0，则．当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴当x＝x0时，g（x）取得唯一的极小值，也是最小值，g（x）的最小值是成立．故f（x）＜2e x﹣x﹣4成立．。