2019-2020学年福建省福州市鼓楼区九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列图标中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列说法正确的是（）A．可能性很大的事情是必然发生的B．可能性很小的事情是不可能发生的C．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件D．“任意画一个三角形，其内角和是180°”3．（4分）若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m≤0C．m＞0D．m≥04．（4分）在平面直角坐标系中，点（a，b）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣b，﹣a）C．（﹣a，b）D．（b，a）5．（4分）从1，2，3，5这四个数字中任取两个，其乘积为偶数的概率是（）A．B．C．D．6．（4分）若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝57．（4分）如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠A＝35°，则∠D等于（）A．50°B．65°C．55°D．70°8．（4分）为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t（单位：h），温度为y（单位：℃）．当4≤t≤8时，y与t的函数关系是y＝﹣t2+10t+11，则4≤t≤8时该地区的最高温度是（）A．11℃B．27℃C．35℃D．36℃9．（4分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，若∠CAD＝35°，则∠B+∠E的度数是（）A．210°B．215°C．235°D．250°10．（4分）对于反比例函数，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有（）A．最小值y＝B．最小值y＝﹣1C．最大值y＝D．最大值y＝﹣1二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝2，ED＝3，则的值是．12．（4分）圆心角为120°，半径为2的扇形的弧长是．13．（4分）如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，顺次连接E，F，G，H．向正方形ABCD 区域随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是．14．（4分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转55°得到△ADE，点B的对应点是点D，直线BC与直线DE 所夹的锐角是．15．（4分）若a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则的值是．16．（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，以BD为边，在BD上方作等腰直角三角形BDE，使得∠BDE＝90°，连接AE．若BC＝4，AC＝5，则AE的最小值是．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：x2﹣6x﹣1＝0．18．（8分）在一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三个小球，除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸球三次，每次摸出一个球，记下颜色后不放回．请用列举法列出三次摸球的结果，并求出第三次摸出的球是红球的概率．19．（8分）福建省会福州拥有“三山两塔一条江”，其中报恩定光多宝塔（别名白塔），位于于山风景区，利用标杆可以估算白塔的高度．如图，标杆BE高1.5m，测得AB＝0.9m，BC＝39.1m，求白塔的高CD．20．（8分）如图，已知⊙O，A是的中点，过点A作AD∥BC．求证：AD与⊙O相切．21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＞BC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E 落在边AB上（点E不与点B重合），连接AD．（1）依题意补全图形；（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．22．（10分）某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗．公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100元．（1）若该学校购买50棵树苗，求这所学校需向园林公司支付的树苗款；（2）若该学校向园林公司支付树苗款8800元，求这所学校购买了多少棵树苗．23．（10分）如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE 于点G，连接CD，CG，且∠CBE＝∠ACG．（1）求证：CG＝CD；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．25．（14分）已知抛物线C：y＝ax2﹣4（m﹣1）x+3m2﹣6m+2．（1）当a＝1，m＝0时，求抛物线C与x轴的交点个数；（2）当m＝0时，判断抛物线C的顶点能否落在第四象限，并说明理由；（3）当m≠0时，过点（m，m2﹣2m+2）的抛物线C中，将其中两条抛物线的顶点分别记为A，B，若点A，B的横坐标分别是t，t+2，且点A在第三象限．以线段AB为直径作圆，设该圆的面积为S，求S的取值范围．2019-2020学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．2．【解答】解：A、可能性很大的事情也可能不会发生，故错误，不符合题意；B、可能性很小的事情是也可能发生的，故错误，不符合题意；C、掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，故错误，不符合题意；D、“任意画一个三角形，其内角和是180°”，正确，符合题意，故选：D．3．【解答】解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由x2﹣m＝0知m≥0，故选：D．4．【解答】解：点（a，b）关于原点对称的点的坐标是：（﹣a，﹣b）．故选：A．5．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，其中积为偶数的有6种结果，∴积为偶数的概率是＝，故选：C．6．【解答】解：令y＝0得：x2+bx＝0．解得：x1＝0，x2＝﹣b．∵抛物线的对称轴为x＝2，∴﹣b＝4．解得：b＝﹣4．将b＝﹣4代入x2+bx＝5得：x2﹣4x＝5．整理得：x2﹣4x﹣5＝0，即（x﹣5）（x+1）＝0．解得：x1＝5，x2＝﹣1．故选：D．7．【解答】解：连DA，如图，∵点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∴DA＝DB，DB＝DC，即DA＝DB＝DC，∴点A、B、C三点在以D点圆心，DB为半径的圆上，∴∠BDC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．故选：D．8．【解答】解：∵y＝﹣t2+10t+11＝﹣（t﹣5）2+36，∴当t＝5时有最大值36℃，∴4≤t≤8时该地区的最高温度是36℃，故选：D．9．【解答】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝35°，∴∠B+∠E＝180°+35°＝215°．故选：B．10．【解答】解：由当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，得x＝﹣1时，y＝4．k＝﹣1×4＝﹣4，反比例函数解析式为y＝﹣，当x≥8时，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，当x＝8时，y最小值＝﹣，故选：A．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．【解答】解：如图所示：∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠EDC，∠EBA＝∠ECD，∴△EAB∽△EDC，∴，又∵AE＝2，ED＝3，∴，故答案为．12．【解答】解：l＝＝＝π．故答案为：π．13．【解答】解：设AD＝AB＝BC＝DC＝2，则AH＝GD＝AE＝BE＝CF＝BF＝GC＝DG＝1，可得四边形HEFG是正方形，边长为：，故阴影部分面积为：2，∵正方形ABCD的面积为：4，∴该点落在阴影部分的概率是：．故答案为：．14．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转55°得到△ADE，点B的对应点是点D，∴直线BC与直线DE所夹的锐角＝旋转角＝55°，故答案为：55°．15．【解答】解：＝＝，∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴a2+a﹣1＝0，∴＝＝1，故答案为1．16．【解答】解：如图，过点E作EH⊥AC于H，∵∠BDE＝90°＝∠C，∴∠EDA+∠BDC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠EDA，且DE＝BD，∠H＝∠C＝90°，∴△BDC≌△DEH（AAS）∴EH＝CD，DH＝BC＝4，∴AH＝DH﹣AD＝CD﹣1，∵AE2＝AH2+EH2＝CD2+（CD﹣1）2＝2（CD﹣）2+≥∴当CD＝时，AE的最小值为，故答案为．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0，移项得：x2﹣6x＝1，配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，开方得：x﹣3＝±，则x1＝3+，x2＝3﹣．18．【解答】解：依题意得，共有6种结果，分别是（红，黄，蓝）（红，蓝，黄）（黄，红，蓝）（黄，蓝，红）（蓝，红，黄）（蓝，黄，红），所有结果发生的可能性都相等，其中第三次摸出的球是红球的结果又2种，则第三次摸出的球是红球的概率是＝．19．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∵BE＝1.5，AB＝0.9，BC＝39.1，∴AC＝16，∴＝，∴CD＝．∴白塔的高CD为米．20．【解答】证明：过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于点E，如图所示：∴＝，∠OFB＝90°，∴E是的中点，∵A是的中点，∴点E与点A重合，∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OFB＝90°，∴OA⊥AD，∵点A为半径OA的外端点，∴AD与⊙O相切．21．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，DC＝AC，EC＝BC，∵AB＝AC，∴DC＝AB，∵△ABC≌△DEC，∴∠DCE＝∠ACB，∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠CEB＝∠DCE，∴DC∥AB，又∵DC＝AC，AB＝AC，∴四边形ABCD是平行四边形．22．【解答】解：（1）∵50＜60，∴120×50＝6000元，答：这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元．（2）∵购买60棵树苗所需要支付的树苗款为120×60＝7200元＜8800元，∴该中学购买的树苗超过60棵，∴购买100棵树苗时每棵树苗的售价恰好将至100元，∵购买树苗超过100棵后，每棵树苗的售价为100元，此时所需支付的树苗款超过100000元，而100000＞8800，∴该中学购买的树苗不过100棵，设购买了x（60＜x≤100）棵，根据题意可知：x[20﹣0.5（x﹣60）]＝8800，解得：x＝220（舍去）或x＝80，答：这所学校购买了80棵树苗23．【解答】解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B，∴AB＝n，OB＝m，又∵△AOB的面积是3，∴mn＝3，∴mn＝6，∵点A在双曲线y＝上，∴k＝mn＝6；（2）如图，延长DC交x轴于E，由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°，∵AB⊥x轴，∴∠ABE＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴∠DEB＝90°，∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n，∴C（m+n，n﹣m），∵点A，C都在双曲线上，∴mn＝（m+n）（n﹣m），即m2+mn﹣n2＝0，方程两边同时除以n2，得+﹣1＝0，解得＝，∵n＞m＞0，∴＝．24．【解答】解：（1）如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠1+∠2＝90°∵AD⊥BE于点G，∴∠1+∠5＝90°∴∠2＝∠5∵∠CBE＝∠ACG．即∠4＝∠3∠DGC＝∠2+∠3＝∠5+∠4＝∠ABC∵∠ABC＝∠D∴∠DGC＝∠D∴CG＝CD；（2）如图．连接AE、CE，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝2，根据勾股定理，得AC＝＝6，∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴∠AGE＝∠BEC，∴AD∥CE，∵∠CAE＝∠4，∠3＝∠4，∴∠CAE＝∠3，∴AE∥CG，∴四边形AGCE是平行四边形，∴AF＝FC＝3，在Rt△ABF中，BF＝＝5，∵S△ABF＝BF•AG＝AB•AF∴AG＝．过点C作CI⊥AD于点I，得矩形GICE，∴EC＝GI，∵CG＝CD，∴GI＝DI∵四边形AGCE是平行四边形，∴EC＝AG＝，∵∠D＝∠ABC，∠CID＝∠BAC＝90°，∴△CID∽△CAB，∴＝，即＝，∴CD＝．答：CD的长为．25．【解答】解：（1）当a＝1，m＝0时，抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+2，△＝8＞0，故C与x轴的交点个数为2；（2）当m＝0时，判断抛物线C的顶点为：（﹣，﹣+2），假设点C在第四象限，则﹣＞0，且﹣+2＜0，解得：0＞且＞0，故a无解，故顶点不能落在第四象限；（3）将点（m，m2﹣2m+2）代入抛物线表达式并整理得：（a﹣2）m2＝0，∵m≠0，故a＝2；则抛物线的表达式为：y＝2x2﹣4（m﹣1）x+（3m2﹣6m+2），则顶点坐标为：（m﹣1，m2﹣2m），当m﹣1＝t时，m＝t+1，则点A（t，t2﹣1）；当m﹣1＝t+1时，m＝t+3，点B（t+2，t2+4t+3）；点A在第三象限，即t＜0且t2﹣1＜0，解得：﹣1＜t＜0；y B﹣y A＝4t+4＞0，故点B在点A的右上方，AB2＝22+（4t+4）2＝16（t+1）2+4，﹣1＜t＜0时，4＜AB2＜20；S＝π（）2＝，故π＜S＜5π．。

2019-2020学年度第一学期福州市九年级期末质量抽测英语试卷Ⅱ. 选择填空(共15小题；每小题1分，满分15分)从每小题所给的A、B、C三个选项中，选出可以填入空白处的正确答案。

21.- Have you finished your project?- Not yet. But we are making _______ .A.peaceB. noiseC. progress22. Don’t worry! If you can’t complete the work _______ your own, I will give you a hand.A. InB. onC. at23.- How much difficulty did you have solving this problem?- _______. It’s quite easy.A. NobodyB. NowhereC. None24.--Kate, don’t sing here! I'm busy preparing for tomorrows math test.-Sorry, I didn’t _______ it.A. mentionB. realizeC. manage25.-What a fine day today!Yes. It’s ______ to stay indoors. Why not go out for a picnic?A. sillyB. naturalC. excellent26. Thomas and Martin climbed the higher mountain, ____they enjoyed a better view1A. butB. soC. or27. The style of my dress ______ that of Mary’s, but hers is a little longer.A. is similar toB. is pleased withC. is short of28.-How’s Mrs. Black?-She ______ her medicine and is resting now.A. takesB. is takingC. has taken29.-_____ have you been in the sports club?- Since the first month I came to this school.A. How longB. How soonC. How often30. We ______ respect the disabled and be kind to them.A. dare toB. orC. have to31.- Why can’t Karl enter the bar?- Only those _____ are above eighteen years old are allowed to enter.A. whoB. whichC. when32. My cat was lying under the shelf on the wall. So when the shelf fell, she _____ right on the head.A. hitB. was hitC. was hitting33. Jane and her friends ______ themselves when they saw one another’s costumesA. laughed atB. turned toC. named after34. The doctor did what he could ______ the girl who was badly injured in the accident.2A. saveB. savingC. to save35. Steve is free tomorrow. Let's ask him ________ .A. where he has goneB. when did he go to the Great WallC. whether he wants to go to the ball game with usCBCBA BACAB ABACCⅢ. 完形填空(共10小题；每小题1.5分，满分15分)阅读下面短文，从每小题所给的A、B、C三个选项中，选出可以填入空白处的最佳答案。

2019-2020学年福建省泉州市南安市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）下列实数中，介于与之间的是（）A．B．C．D．π2．（4分）下列计算正确的是（）A．B．a+2a＝3a C．（2a）3＝2a3D．a6÷a3＝a23．（4分）为了让市民游客欢度“五一”，泉州市各地推出了许多文化旅游活动和景区优惠，旅游人气持续兴旺．从“五一”假日全市累计接待国内外游客171.18万人次，171.18万这个数用科学记数法应表示为（）市文旅局获悉，A．1.7118×102B．0.17118×107C．1.7118×106D．171.18×104．（4分）图①是由五个完全相同的小正方体组成的立方体图形，将图①中的一个小正方体改变位置后如图②，则三视图发生改变的是（）A．主视图B．俯视图C．左视图D．主视图、俯视图和左视图都改变5．（4分）不透明袋子中装有若干个红球和6个蓝球，这些球除了颜色外，没有其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是0.6，则袋子中有红球（）A．4个B．6个C．8个D．10个6．（4分）如图，将直尺与含30°角的三角尺放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°7．（4分）如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于（）A．45°B．60°C．72°D．90°8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴正半轴上，点A与原点重合，点D的坐标是（3，4），反比例函数y＝（k≠0）经过点C，则k的值为（）A．12B．15C．20D．329．（4分）完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）A．6（m﹣n）B．3（m+n）C．4n D．4m10．（4分）如图，矩形ABCD中，E是AB的中点，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，tan∠DCE＝．设AB＝x，△ABF的面积为y，则y与x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）计算：|﹣3|﹣sin30°＝．12．（4分）已知一组数据：12，10，8，15，6，8．则这组数据的中位数是．13．（4分）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高OC的长度是．14．（4分）如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是75°、45°，则∠1的度数为．15．（4分）等腰Rt△ABC中，斜边AB＝12，则该三角形的重心与外心之间的距离是．16．（4分）动点A（m+2，3m+4）在直线l上，点B（b，0）在x轴上，如果以B为圆心，半径为1的圆与直线l 有交点，则b的取值范围是．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：18．（8分）如图：△ABC与△DEF中，边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，且BF＝CE，求证：AC＝DF．19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝1﹣．20．（8分）用列代数式或列方程（组）的方法，解决网络上流行的一个问题：法国新总统比法国第一夫人小24岁，美国新总统比美国第一夫人大24岁，法国新总统比美国新总统小32岁．求：美国第一夫人比法国第一夫人小多少岁？21．（8分）在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：类别家庭藏书m本学生人数A0≤m≤2520B26≤m≤50aC51≤m≤7550D m≥7666根据以上信息，解答下列问题：（1）该调查的样本容量为，a＝；（2）随机抽取一位学生进行调查，刚好抽到A类学生的概率是；（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书不少于76本的人数．22．（10分）阅读下列材料，关于x的方程：x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；x﹣＝c﹣的解是x1＝c，x2＝﹣；x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；……（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+＝c+（a≠0）与它们的关系猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）可以直接利用（1）的结论，解关于x的方程：x+＝a+．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到边AB的距离等于PC的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）（2）在（1）的条件下，以点P为圆心，PC长为半径的⊙P中，⊙P与边BC相交于点D，若AC＝6，PC＝3，求BD的长．24．（12分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若Rt△ABC是“匀称三角形”．①请判断“匀称中线”是哪条边上的中线，②求BC：AC：AB的值．（2）如图②，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＞AC，∠BAC＝45°，S△ABC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，点B的对应点为D，AD与⊙O交于点M，若△ACD是“匀称三角形”，求CD的长，并判断CM是否为△ACD的“匀称中线”．25．（14分）已知：抛物线y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）与x轴交于点AB（点A在点B的左侧）．（1）不论a取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点C，请直接写出点C的坐标；（2）如图，当AC⊥BC时，求a的值和AB的长；（3）在（2）的条件下，若点P为抛物线在第四象限内的一个动点，点P的横坐标为h，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点D，作PE∥AC交BC于点E，设△ADE的面积为S，请求出S与h的函数关系式，并求出S 取得最大值时点P的坐标．2019-2020学年福建省泉州市南安市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵＜＜＜＜π＜，∴介于与之间的是．故选：A．2．【解答】解：A、+，无法计算，故此选项错误；B、a+2a＝3a，正确；C、（2a）3＝8a3，故此选项错误；D、a6÷a3＝a3，故此选项错误；故选：B．3．【解答】解：将171.18万用科学记数法表示为：1.7118×106．故选：C．4．【解答】解：①的主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；②的主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；故选：A．5．【解答】解：设袋子中有红球x个，根据题意得＝0.6，解得x＝4．经检验x＝4是原方程的解．答：袋子中有红球有4个．故选：A．6．【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝25°，∠F＝30°，∴∠BEF＝∠1+∠F＝55°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEF＝55°，故选：C．7．【解答】解：多边形内角和（n﹣2）×180°＝720°，∴n＝6．则正多边形的一个外角＝，故选：B．8．【解答】解：如图，分别过点D，C作x轴的垂线，垂足为M，N，∵点D的坐标是（3，4），∴OM＝3，DM＝4，在Rt△OMD中，OD＝＝5，∵四边形ABCD为菱形，∴OD＝CB＝OB＝5，DM＝CN＝4，∴Rt△ODM≌Rt△BCN（HL），∴BN＝OM＝3，∴ON＝OB+BN＝5+3＝8，又∵CN＝4，∴C（8，4），将C（8，4）代入y＝，得，k＝8×4＝32，故选：D．9．【解答】解：设小矩形的长为a，宽为b（a＞b），则a+3b＝n，阴影部分的周长为2n+2（m﹣a）+2（m﹣3b）＝2n+2m﹣2a+2m﹣6b＝4m+2n﹣2n＝4m，故选：D．10．【解答】解：设AB＝x，则AE＝EB＝由折叠，FE＝EB＝则∠AFB＝90°由tan∠DCE＝∴BC＝，EC＝∵F、B关于EC对称∴∠FBA＝∠BCE∴△AFB∽△EBC∴∴y＝故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．【解答】解：原式＝3﹣＝．故答案为：．12．【解答】解：将数据从小到大重新排列为：6、8、8、10、12、15，所以这组数据的中位数为＝9，故答案为：9．13．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，∵AC＝6，∠ACB＝120°，∴＝＝2πr，∴r＝2，即：OA＝2，在Rt△AOC中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC＝＝4，故答案为：4．14．【解答】解：由图可知，∠AOB＝75°﹣45°＝30°，根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可知，∠1＝∠AOB＝×30°＝15°．故答案为15°．15．【解答】解：∵直角三角形的外心是斜边的中点，∴CD＝AB＝6，∵I是△ABC的重心，∴DI＝CD＝2，故答案为：2．16．【解答】解：∵动点A（m+2，3m+4）在直线l上，∴直线l解析式为y＝3x﹣2如图，直线l与x轴交于点C（，0），交y轴于点A（0，﹣2）∴OA＝2，OC＝∴AC＝＝若以B为圆心，半径为1的圆与直线l相切于点D，连接BD∴BD⊥AC∴sin∠BCD＝sin∠OCA＝∴∴BC＝∴以B为圆心，半径为1的圆与直线l相切时，B点坐标为（﹣，0）或（+，0）∴以B为圆心，半径为1的圆与直线l有交点，则b的取值范围是故答案为：三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：由不等式①得：x＞4．由不等式②得：x＞2．不等式组的解集：x＞4．18．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵AC∥DF∴∠ACB＝∠EFD，∵BF＝CE∴BC＝EF，且∠B＝∠E，∠ACB＝∠EFD，∴△ABC≌△DEF（ASA）∴AC＝DF19．【解答】解：原式＝÷＝•＝1﹣x，当x＝1﹣时，∴原式＝1﹣（1﹣）＝；20．【解答】解：设法国新总统x岁，则法国第一夫人：（x+24）岁，美国新总统：（x+32）岁，美国第一夫人：（x+32﹣24）＝（x+8）岁，故美国第一夫人比法国第一夫人小：（x+24）﹣（x+8）＝16（岁）．故美国第一夫人比法国第一夫人小16岁．21．【解答】解：（1）调查的样本容量为50÷25%＝200（人），a＝200﹣20﹣50﹣66＝64（人），故答案为200，64；（2）刚好抽到A类学生的概率是20÷200＝0.1，故答案为0.1；（3）全校学生中家庭藏书不少于76本的人数：2000×＝660（人）．答：全校学生中家庭藏书不少于76本的人数为660人．22．【解答】解：（1）方程的解为x1＝c，x2＝，验证：当x＝c时，∵左边＝c+，右边＝c+，∴左边＝右边，∴x＝c是x+＝c+的解，同理可得：x＝是x+＝c+的解；（2）方程整理得：（x﹣3）+＝（a﹣3）+，解得：x﹣3＝a﹣3或x﹣3＝，即x＝a或x＝，经检验x＝a与x＝都为分式方程的解．23．【解答】解：如图所示：（1）作∠A的平分线交BC于点P，点P即为所求作的点．（2）作PE⊥AB于点E，则PE＝PC＝3，∴AB与圆相切，∵∠ACB＝90°，∵AC与圆相切，∴AC＝AE，设BD＝x，BE＝y，则BC＝6+x，BP＝3+x，∵∠B＝∠B，∠PEB＝∠ACB，∴△PEB∽△ACB∴＝＝∴＝＝解得x＝2，答：BD的长为2．24．【解答】解：（1）①如图①，作Rt△ABC的三条中线AD、BE、CF，∵∠ACB＝90°，∴CF＝，即CF不是“匀称中线”．又在Rt△ACD中，AD＞AC＞BC，即AD不是“匀称中线”．∴“匀称中线”是BE，它是AC边上的中线，②设AC＝2a，则CE＝a，BE＝2a，在Rt△BCE中∠BCE＝90°，∴BC＝，在Rt△ABC中，AB＝，∴BC：AC：AB＝．（2）由旋转可知，∠DAE＝∠BAC＝45°．AD＝AB＞AC，∴∠DAC＝∠DAE+∠BAC＝90°，AD＞AC，∵Rt△ACD是“匀称三角形”．由②知：AC：AD：CD＝：2：，设AC＝，则AD＝2a，CD＝a，如图②，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴，∵＝，解得a＝2，a＝﹣2（舍去），∴，判断：CM不是△ACD的“匀称中线”．理由：假设CM是△ACD的“匀称中线”．则CM＝AD＝2AM＝4，AM＝2，∴tan，又在Rt△CBH中，∠CHB＝90°，CH＝，BH＝4﹣，∴tan B＝，即∠AMC≠∠B，这与∠AMC＝∠B相矛盾，∴假设不成立，∴CM不是△ACD的“匀称中线”．25．【解答】解：（1）y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）＝a（2x2﹣x﹣3）﹣3，令2x2﹣x﹣3＝0，解得：x＝或﹣1，故第三象限内的一个定点C为（﹣1，﹣3）；（2）函数的对称轴为：x＝﹣＝，设函数对称轴与x轴交点为M，则其坐标为：（，0），则CM＝＝，则AB＝2CM＝，则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（，0）；将点A的坐标代入函数表达式得：18a+3a﹣3a﹣3＝0，解得：a＝，函数的表达式为：y＝（x+3）（x﹣）＝x2﹣x﹣；（3）过点E作EF⊥PH，设：∠ACB＝α，则∠ACB＝∠HPE＝∠DEF＝α，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x﹣，设点P（h，h2﹣h﹣），则点D（h，h﹣），故tan∠ACB＝tanα＝，则sinα＝，y D﹣y E＝DE sinα＝PD sinα•sinα，S＝S△ABE﹣S△ABD＝×AB×（y D﹣y E）＝××（h﹣﹣h2+h+＝﹣h2+h﹣，∵﹣＜0，∴S有最大值，当h＝时，S的最大值为：，此时点P（，﹣）．。

九年级上册期末综合练习卷一．选择题1．下列各式①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cos B的值是（）A．B．C．D．3．四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图3所示，若AD⊥CD，AB∥CD，AB＝5，A点坐标为（﹣2，7），则点B坐标为（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，12）C．（3，7）D．（﹣7，7）4．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为（）A．1B．C．D．5．已知方程x2﹣4x+2＝0的两根是x1，x2，则代数式的值是（）A．2011B．2012C．2013D．20146．如图，在△ABC中，点D在边AB上，则下列条件中不能判断△ABC∽△ACD的是（）A．∠ABC＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．D．AC2＝AD•AE 7．若分式的值是正整数，则m可取的整数有（）A．4个B．5个C．6个D．10个8．一枚均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个点．甲乙两人各掷一次，如果朝上一面的两个点数之和为奇数，则甲胜；若为偶数，则乙胜，下列说法正确的是（）A．甲获胜的可能性大B．乙获胜的可能性大C．甲乙获胜的可能性一样大D．乙一定获胜9．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝210二．填空题10．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．11．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．12．把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是．13．如图，ED为△ABC的中位线，点G是AD和CE的交点，过点G作GF∥BC交AC于点F，如果GF＝4，那么线段BC的长是．14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE 折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为．三．解答题（共8小题，满分75分）15．计算下列各题（1）（2）（3）（4）16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．18．在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）一次，根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目．（1）转动转盘①时，该转盘指针指向歌曲“3”的概率是；（2）若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”，即指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，求他演唱歌曲“1”和“4”的概率．19．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C 港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE ＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝2，BD＝1，求CE的长．参考答案一．选择题1．C．2．B．3．C．4．B．5．D．6．C．7．A．8．C．9．B．二．填空题10．解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．11．解：如图，tanα＝＝故答案为：．12．解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是y＝（x﹣1+3）2+2﹣2，即y＝（x+2）2，故答案为y＝（x+2）2．13．解：∵ED为△ABC的中位线，∴AD、CE为△ABC的中线，∴点G为△ABC的重心，∴AG＝2GD，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ADC，∴＝＝，∴CD＝GF＝×4＝6，∴BC＝2CD＝12．故答案为12．14．解：分两种情况：①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴AM＝BN＝AD＝1，∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，∴A′E＝AE，A′B＝AB＝1，∴A′N＝＝0，即A′与N重合，∴A′M＝1，∴A′E2＝EM2+A′M2，∴A′E2＝（1﹣A′E）2+12，解得：A′E＝1，∴AE＝1；②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，∴PQ⊥AB，AP＝PB，AD∥PQ∥BC，∴A′B＝2PB，∴∠P A′B＝30°，∴∠A′BC＝30°，∴∠EBA′＝30°，∴AE＝A′E＝A′B×tan30°＝1×＝；综上所述：AE的长为1或；故答案为：1或．三．解答题15．解：（1）原式＝﹣1+4﹣2＝+1；（2）原式＝2﹣3﹣（3﹣2）+3＝2﹣；（3）原式＝10+3+2＝15；（4）原式＝3+4+4﹣4+2＝9．16．解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+，答：AB的长是3+．17．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣，∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1．18．解：（1）∵转动转盘①一共有3种可能，∴转盘指针指向歌曲“3”的概率是：；故答案为：；（2）分别转动两个转盘一次，列表：（画树状图也可以）45 6BA11，41，51，622，42，52，633，43，53，6共有9种，它们出现的可能性相同．由于指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，所以所有的结果中，该歌手演唱歌曲“1”和“4”（记为事件A）的结果有2种，所以P（A ）＝．（说明：通过枚举、画树状图或列表得出全部正确情况得（4分）；没有说明等可能性扣（1分）．）19．解：（1）过点B作BD⊥AE于D在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，则BD ＝，BC＝2x在Rt△ABD中，∠BAD＝45°则AD＝BD＝，AB＝BD＝由AC+CD＝AD得20+x＝x解得：x＝10+10故AB＝30+10答：港口A到海岛B的距离为海里．（2）甲船看见灯塔所用时间：小时乙船看见灯塔所用时间：小时所以乙船先看见灯塔．20．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，又因为∠DEC＝∠ADE+∠CAD＝45°+∠CAD（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），同理∠ADB＝∠C+∠CAD＝45°+∠CAD，∴∠DEC＝∠ADB，又∠ABD＝∠DCE＝45°，∴△ABD∽△DCE；（2）∵AB＝2，∴BC＝2，∵△ABD∽△DCE，∴＝，即＝，＝，CE＝﹣．。

2019-2020学年福建省福州市鼓楼区一年级（上）期末数学试卷一、算一算。

(15+12+4+4＝35分)1．（15分）口算。

8+6＝10﹣2＝2+18＝15+5＝15+3﹣10＝9+5＝7+7＝17﹣7＝6+6＝17﹣6+4＝16﹣4＝13﹣2＝1+12＝18﹣2＝5+4+10＝2．（12分）填数。

7+＝175+＝14+＝1517﹣＝714﹣＝515﹣＝17﹣＝1014﹣＝915﹣＝7+8＝3．（4分）在横线里填上“+”或“﹣”。

97＝1667＝1372＝5010＝10 4．（4分）在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。

122014﹣4799﹣08+76+9二.填一填。

（第2题5分，其余每空1分，共27分）5．（10分）看图填空。

上面共有个数，其中最大的数是，它的两个珠子在位，表示。

6．（5分）（1）按规律在空白方格中填上数。

（2）圈出左边的3个数；右边起第2个数是。

（3）从如图选数填写。

+＝﹣＝7．（4分）一个数的右起第一位是9，第二位是1，这个数是，这个数表示有个一，在它后面的一个数是，在它前面的一个数是。

8．（3分）最大的一位数是，最小的两位数是，它们的和是，差是．9．（2分）写出比7大比12小的数，一共有个数。

10．（1分）一个大正方体至少是由个相同的小正方体拼成。

11．（2分）在正确的答案上画“√”，再填数。

□比〇（多少）个。

〇比□（多少）个。

三、选一选。

（12分）12．（2分）下列图是左手图的是（）A．B．C．13．（2分）和13相邻的两个数是（）A．12和14B．13和14C．11和1214．（2分）数量最少的图形是（）A．B．〇C．◇15．（2分）是（）A．正方体B．长方体C．圆柱体16．（2分）钟面上的时间是（）A．11：00B．12点刚过C．快12点了17．（2分）在福州的小红站在阳光下看自己的影子，影子最短时是在（）A．中午1：00B．上午8：00C．上午9：00四、先画一画，再填答案。

2018-2019学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）若两个相似三角形的面积比为2：3，那么这两个三角形的周长的比为（）A．4：9B．2：3C．：D．3：23．（4分）已知﹣1是关于x的方程x2+4x﹣m＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．34．（4分）事件①：射击运动员射击一次，命中靶心；事件②：购买一张彩票，没中奖，则（）A．事件①是必然事件，事件②是随机事件B．事件①是随机事件，事件②是必然事件C．事件①和②都是随机事件D．事件①和②都是必然事件5．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（）A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD6．（4分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，y1）．B （1，y2）两点，则不等式ax+b﹣＜0的解集为（）A．x＜﹣2B．x＜﹣2或0＜x＜1C．0＜x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞17．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当y≥5时，x的取值范围是（）A．x≤0B．0≤x≤4C．x≥4D．x≤0或x≥4 8．（4分）如图，⊙O是△ABP的外接圆，半径r＝2，∠APB＝45°，则弦AB的长为（）A．B．2C．2D．49．（4分）如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于D、E．若∠A＝60°，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．3π10．（4分）如图，正方形ABCO的边长为4，点E在线段AB上运动，AE＝BF，且AF与OE相交于点P，直线y＝x﹣3与x轴，y轴交于M、N两点，连接PN，PM，则△PMN 面积的最大值（）A．10.5B．12C．12.5D．15二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共40分．11．（4分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是．12．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是．13．（4分）已知点A（1，y1），B（﹣，y2），C（﹣2，y3）在y＝2（x+1）2﹣0.5的函数图象上，请用“＜“号比较y1，y2，y3的大小关系．14．（4分）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，如果AB＝9，BD＝3，那么CF的长度为．15．（4分）如图，网络格上正方形小格的边长为1，图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则在1区～4区中，点P′所在的单位正方形区域是（选填区域名称）16．（4分）如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC 与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（2，2），∠BAC＝60°，则k的值是．三、解答题（共9小题，共86分）17．（10分）解方程：（1）x2+2x﹣1＝0（2）x（x﹣3）＝x﹣3．18．（8分）在边长为1的正方形网格中，△AOB的位置如图所示．（1）将△OAB绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△OCD；（2）直接写出旋转过程中，点A所经过路径的长为．19．（8分）小芳从家骑自行车去学校，所需时间y（min）与骑车速度x（m/min）之间的反比例函数关系如图．（1）写出y与x的函数表达式；（2）学校要求学生每天7点20分前到校，而小芳的骑车速度最快不超过300m/min，为了安全起见，她每天至少要几点出发？20．（8分）已知：△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与△ABC相似．（保留作图痕迹，不写作法）21．（10分）在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；（2）以坐标原点为圆心，4为半径作圆，求出点（x，y）在圆内的概率．22．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，CE为△ABC外接圆的切线，AE⊥CE于点E．（1）求证：∠ACE＝∠B．（2）若AE＝2，求CE的长．23．（10分）一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件．为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售．经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出5件．（1）请确定该T恤涨价后每周的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？（2）若要使每周的销售利润不低于7680元，请确定销售单价x的取值范围．24．（12分）已知锐角△ABC内接于O，AD⊥BC．垂足为D．（1）如图1，若＝，BD＝DC，求∠B的度数．（2）如图2，BE⊥AC，垂足为E，BE交AD于点F，过点B作BG∥AD交⊙O于点G，在AB边上取一点H，使得AH＝BG；①连接CG，试探究∠ABC，∠ACG的数量关系，并给予证明．②求证：△AFH是等腰三角形．25．（14分）已知：二次函数y＝﹣x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0）、B （1，0），顶点为C．（1）求该二次函数的解析式和顶点C的坐标；（2）如图，过B、C两点作直线，并将线段BC沿该直线向下平移，点B、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，P≤y≤．2018-2019学年福建省福州市鼓楼区屏东中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形；故选：B．2．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为2：3，∴这两个三角形的相似比为：，∴这两个三角形的周长的比为：，故选：C．3．【解答】解：设方程x2+4x﹣m＝0的另一个根为：x1，由根与系数的关系得：﹣1+x1＝﹣4，解得：x1＝﹣3，故选：A．4．【解答】解：射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件；购买一张彩票，没中奖是随机事件，故选：C．5．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠ACD+∠BAD＝90°，故选：D．6．【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴不等式ax+b﹣＜0的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．故选：D．7．【解答】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x＝2，并且x＝2时函数有最小值1，因为x＝0时，y＝5，所以，x＝4时，y＝5，所以，y≥5时，x的取值范围为x≤0或x≥4．故选：D．8．【解答】解：连接OA、OB，如图所示：则∠AOB＝2∠APB＝90°，∵OA＝OB＝r＝2，∴AB＝＝＝2；故选：C．9．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵△OBD、△OCE是等腰三角形，∴∠BDO+∠CEO＝∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BOD+∠COE＝360°﹣（∠BDO+∠CEO）﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∵BC＝6，∴OB＝OC＝3，∴S阴影＝＝3π，故选：D．10．【解答】解：由题意易得△AEO≌△AFB（SAS）∴∠BAF＝∠EOA∵四边形ABCO是正方形∴∠BAF+∠P AO＝90∴∠EOA+∠P A0＝90∴∠APO＝90点P在以AO为直径的圆上要使得△PMN的面积最大，点P到直线y＝x﹣3的距离最大，即平移直线MN使其与圆相切于点P，使距离最大，则过点P做直线MN的垂线与MN交于点H，此时PH一定过圆心G，如图所示当y＝0时，0＝x﹣3得x＝4，M（4，0）当x＝0时，y＝x﹣3得y＝﹣3，∴N（0，﹣3）∴MN＝5，GN＝5，sin∠OMN＝＝在R△GNH中，有sin∠GNH＝＝，∴GH＝4，∴PH＝6，△PMN的最大面积＝×PH×MN＝×6×5＝15故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共40分．11．【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（2，3）．故答案为：（2，3）．12．【解答】解：由题意知，△＝4﹣4m≥0，∴m≤1答：m的取值范围是m≤1．13．【解答】解：∵抛物线y＝2（x+1）2﹣0.5的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，而A（1，y1）点离直线x＝﹣1的距离最远，B（﹣，y2）点离直线x＝﹣1最近，∴y2＜y3＜y1．故答案为y2＜y3＜y1．14．【解答】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∠E＝∠EAD＝60°，∴∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD＝AE：EF．同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF＝AE：EF，∴AB：BD＝CD：CF，即9：3＝（9﹣3）：CF，∴CF＝2．故答案为：2．15．【解答】解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，由图可知，线段AB和点P绕着同一个该点逆时针旋转90°，∴点P逆时针旋转90°后所得对应点P′落在4区，故答案为：4区．16．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵点A（2，2），∴OA＝2，∴BO＝＝＝2，∵直线AC的解析式为y＝x，∴直线BD的解析式为y＝﹣x，∵OB＝2，∴点B的坐标为（﹣2，2），∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣2×2＝﹣12，故答案为：﹣12．三、解答题（共9小题，共86分）17．【解答】解：（1）x2+2x﹣1＝0，x2+2x＝1，x2+2x+1＝1+1，（x+1）2＝2，x+1＝，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）x（x﹣3）＝x﹣3，x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，x﹣3＝0或x﹣1＝0，x1＝3，x2＝1．18．【解答】解：（1）△OCD如图所示．（2）旋转过程中，点A所经过路径的长＝＝π故答案为π．19．【解答】解：（1）设y＝，当x＝240时，y＝10，解得：k＝2400，故y与x的函数表达式为：y＝；（2）当x＝300时y＝8，∵k＞0，∴在第一象限内y随x的增大而减小，20﹣8＝12∴她每天至少要7：12出发．20．【解答】解：如图，直线BD即为所求．21．【解答】解：（1）画树状图得：∴共有12种等可能的结果数，即点P所有可能的坐标为（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）；（2）其中事件点（x，y）在圆内的点有：（1，2），（1，3）（2，1）（2，3）（3，1）（3，2）∴在圆内的概率．P＝＝．22．【解答】（1）证明：取AB的中点O，连接OC，∵CE为△ABC外接圆的切线，∴∠OCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠OCE﹣∠ACO＝∠ACB﹣∠ACO，即∠ACE＝∠OCB，∵∠ACB＝90°，∴AB为直径，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠ACE＝∠B；（2）解：∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∵∠ACE＝∠B，∴△ACE∽△ABC，∴＝，∵AE＝2，AB＝8，∴AC2＝2×8＝16，∴AC＝4，Rt△ACE中，CE＝＝2．23．【解答】解：（1）根据题意得y＝（x﹣40）[300﹣5（x﹣60）]＝﹣5（x2﹣160x+4800）＝﹣5（x﹣80）2+8000，∵a＜0，∴当x＝80时，y的值最大＝8000，即销售单价定为80元时，每周的销售利润最大；（2）当y＝7680时，﹣5（x﹣80）2+8000＝7680，整理得：（x﹣80）2＝64，∴x﹣80＝±8，∴x1＝88，x2＝72，∴72≤x≤88．24．【解答】解：（1）∵＝，∴AB＝BC．∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°；（2）①连接GC，GA，∵BG⊥BC，∴GC是⊙O的直径，∴∠GAC＝90°，∵∠ABC＝∠AGC，∴∠ABC+∠ACG＝90°；②∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠GAC＝90°，∴AG∥BE．∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠GBC＝90°，∴BG∥AD，∴四边形GBF A是平行四边形，∴BG＝AF．∵BG＝AH，∴AH＝AF，∴△AFH是等腰三角形．25．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），∴，解得：，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+，∴顶点C的坐标为（﹣1，2）；（2）如图，过C作CH⊥x轴于H，∵C（﹣1，2），∴CH＝2，OH＝1，∵BO＝1，∴BH＝CH＝2，∴△BCH是等腰直角三角形，∴∠1＝45°，∴BC＝＝2，在Rt△DEF中，DE＝DF＝BC＝2，∠FDE＝90°，∴∠2＝45°，EF＝＝4，∴∠1＝∠2＝45°，∴EF∥CH∥y轴，∵B（1，0），C（﹣1，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+1，设F（m，﹣m2﹣m+）（m＞1），则点E（m，﹣m+1），∴EF＝（﹣m+1）﹣（﹣m2﹣m+）＝m2﹣＝4，解得：m1＝3，m2＝﹣3（不合题意，舍去），∴点F的坐标（3，﹣6）；（3）当y＝时，﹣x2﹣x+＝，解得：x1＝﹣2，x2＝0，∵y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+2，当x＜﹣1时，y随x的增大二增大，当x＞﹣1时，y随x的增大二减小，当x＝1时，y由最大值2；∵当p≤x≤q时，P≤y≤，∴可分三种情况：①当P≤Q≤﹣1时，由增减性得，当x＝q＝﹣2时，y最小＝，当x＝p时，y＝p代入y＝﹣（x+1）2+2，解得：p1＝﹣2+，p2＝﹣2﹣＜﹣1（不合题意，舍去），∴p＝﹣2+，q＝﹣2；②当p＜﹣1≤q时，当x＝﹣1时，y最大＝2＞（舍去），③当﹣1≤p＜q时，由增减性得，（Ⅰ）当x＝p＝0时，y最大＝，把x＝p＝0，y＝代入y＝﹣（x+1）2+2得，p＝﹣（p+1）2+2，解得：p1＝0，p2＝﹣1（不合题意，舍去），∴p＝0，（Ⅱ）当x＝q时，y最小＝p＝0，把x＝q，y＝p＝0代入y＝﹣（x+1）2+2，得﹣（p+1）2+2＝0，解得：q1＝1，q2＝﹣3＜﹣1（不合题意，舍去），∴p＝0，q＝1，综上所述，满足条件的实数p，q的值为：p＝﹣2+，q＝﹣2或p＝0，q＝1．。

2023-2024学年福建省福州市鼓楼区格致中学高三（上）期中数学试卷一、单选题（每小题5分）1．若复数z满足2﹣z＝z•i，则|z|＝（）A．1B．√2C．2D．2√22．满足等式{0，1}∪X＝{x∈R|x3＝x}的集合X共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知m∈R，命题p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0，命题q：m≥3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数y＝（2x﹣2﹣x）sin x在区间[﹣π，π]的图像大致为（）A．B．C．D．5．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME﹣7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝A5A6＝A6A7＝A7A8＝⋯＝2，A1，A2，A3⋯为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{a n}，令b n=2a n−2，S n为数列{b n}的前n项和，则S120＝（）A ．8B ．9C ．10D ．116．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，D 为BC 的中点，点P 在△ABC 斜边BC 的中线AD 上，则PB →⋅PC →的取值范围为（ ） A ．[﹣5，0]B ．[﹣3，0]C ．[0，3]D ．[0，5]7．已知函数f(x)=13x 3−3x 2+8x −83，g （x ）＝x ﹣lnx ，若∀x 1，x 2∈（0，3），g （x 1）+k ≥f （x 2）恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[2+ln 2，+∞）B ．[3，+∞）C ．[53，+∞)D ．[﹣3，+∞）8．△ABC 中，sin(π2−B)=cos2A ，则AC−BC AB 的取值范围是（ ）A ．(−1，12)B ．(13，12)C ．(12，23)D ．(13，23)二、多选题（每小题5分，部分选对得2分，错选不得分）9．已知定义域为I 的偶函数f （x ），∃x n ∈I ，使f （x 0）＜0，则下列函数中符合上述条件的是（ ） A ．f （x ）＝x 2﹣3 B ．f （x ）＝2x +2﹣x C ．f （x ）＝log 2|x |D ．f （x ）＝cos x +110．若12a ＝3，12b ＝4，则（ ） A ．ba ＞1B ．ab ＞14C ．a 2+b 2＞12D ．2a−b ＞1211．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别为A 1B 1，B 1C 1，B 1B 的中点，若点P 在线段EF 上运动，则下列结论正确的为（ ）A ．AC 1与EF 为共面直线B ．平面ACD 1∥平面EFGC ．三棱锥P ﹣AD 1C 的体积为定值D ．AC 1与平面A 1BC 所成角的正切值为√312．将两圆方程C 1：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0，C 2：x 2+y 2﹣2x +（m ﹣2）y +（3﹣m ）＝0（m ＞2）作差，得到直线l 的方程，则（ ）A．直线l一定过点(−14，1)B．存在实数m＞2，使两圆心所在直线的斜率为﹣2C．对任意实数m＞2，两圆心所在直线与直线l垂直D．过直线l上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等三、填空题（每小题5分）13．已知函数f(x)=x−1e x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为．14．已知点A（﹣3，5）和B（2，4），P为直线x﹣y+1＝0上的动点，则|P A|+|PB|的最小值为．15．椭圆的两个焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，|MF1|=43|NF1|，|MF2|＝|F1F2|，则椭圆的离心率为．16．函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，若f（x1）+f（x2）＝0，且f(x1)=√34，则x1+x2＝，cos（x2﹣x1）＝．四、解答题（17题10分，18-22题每题12分）17．（10分）已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+2√3sin2ωx−√3（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调减区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．18．（12分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点Q(1，32)的直线交曲线C于AB两点，使得Q为AB中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．19．（12分）已知数列{a n}满足a1＝2，na n+1＝（n+1）a n+1．（1）证明{a n+1n}为常数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b m为数列{a n}落在区间（3m，3m+1），m∈N+内的项的个数，求数列{b m}的前m项和．20．（12分）如图，在三棱锥V ﹣ABC 中，VA ⊥平面ABC ，VA ＝AB ＝BC ＝1，AB ⊥BC ，M 是VB 的中点，N 为BC 上的动点．（1）证明：平面AMN ⊥平面VBC ；（2）VC ∥平面AMN 时，求平面AMN 与平面ABC 夹角的余弦值．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），四点P 1（2，2），P 2（0，2），P 3(−2，√2)，P 4(2，√2)中恰有三点在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，若∠AMP 2＝2∠ABP 2，试问直线l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 22．（12分）已知函数f(x)=alnx −ex(a ∈R)．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若函数g(x)=f(x)+e xx在区间（1，+∞）上恰有一个零点，求a 的取值范围．2023-2024学年福建省福州市鼓楼区格致中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分）1．若复数z满足2﹣z＝z•i，则|z|＝（）A．1B．√2C．2D．2√2解：2﹣z＝z•i，则（1+i）z＝2，故z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，|z|=√12+(−1)2=√2．故选：B．2．满足等式{0，1}∪X＝{x∈R|x3＝x}的集合X共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：{x∈R|x3＝x}＝{﹣1，0，1}，∴满足{0，1}∪X＝{﹣1，0，1}的X为：{﹣1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{﹣1，0，1}，共4个．故选：D．3．已知m∈R，命题p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0，命题q：m≥3，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0为真命题，则Δ＝16﹣8m≤0，故m≥2，由于{m|m≥3}⫋{m|m≥2}，所以p是q的必要不充分条件．故选：B．4．函数y＝（2x﹣2﹣x）sin x在区间[﹣π，π]的图像大致为（）A．B．C．D．解：f（x）＝（2x﹣2﹣x）sin x，f（﹣x）＝（2﹣x﹣2x）sin（﹣x）＝（2x﹣2﹣x）sin x＝f（x），故f （x ）为偶函数，故排除AC ，当x =π2时，y =2π2−2−π2＞0，故排除D ．故选：B ．5．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME ﹣7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5＝A 5A 6＝A 6A 7＝A 7A 8＝⋯＝2，A 1，A 2，A 3⋯为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{a n }，令b n =2a n −2，S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 120＝（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11解：由题意得OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5＝A 5A 6＝A 6A 7＝A 7A 8＝...＝2， 则OA 2=2√2，OA 3=2√3，…，OA n =2√n ， ∴a n =OA n +OA n+1+A n A n+1=2√n +2√n +1+2， ∴b n =2a n −2=1√n+√n+1=√n +1−√n ， ∴前n 项和S n =b 1+b 2+⋯+b n =√2−1+√3−√2+⋯+√n +1−√n =√n +1−1， 故S 120=√120+1−1=10， 故选：C ．6．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，D 为BC 的中点，点P 在△ABC 斜边BC 的中线AD 上，则PB →⋅PC →的取值范围为（ ） A ．[﹣5，0]B ．[﹣3，0]C ．[0，3]D ．[0，5]解：以A 为坐标原点，AC ，AB 为x ，y 轴的正方向建立平面直角坐标系， 所以A （0，0），B （0，2），C （4，0）， 因为D 为BC 的中点， 所以D （2，1）， 则AD →=(2，1)，设AP →=λAD →(0≤λ≤1)， 所以AP →=λ(2，1)=(2λ，λ)， 所以P （2λ，λ），可得PB →=(0，2)−(2λ，λ)=(−2λ，2−λ)，PC →=(4，0)−(2λ，λ)=(4−2λ，−λ)， 所以PB →⋅PC →=−10λ+5λ2=5(λ−1)2−5， 因为0≤λ≤1，所以PB →⋅PC →=5(λ−1)2−5∈[−5，0]． 故选：A ．7．已知函数f(x)=13x 3−3x 2+8x −83，g （x ）＝x ﹣lnx ，若∀x 1，x 2∈（0，3），g （x 1）+k ≥f （x 2）恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[2+ln 2，+∞）B ．[3，+∞）C ．[53，+∞)D ．[﹣3，+∞）解：f ′（x ）＝x 2﹣6x +8＝（x ﹣2）（x ﹣4）， 当x ∈（0，2）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ∈（2，3）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， 所以f （x ）在（0，3）上的最大值时f （2）＝4.g ′(x)=x−1x， 当x ∈（0，1）时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减， 当x ∈（1，3）时，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增， 所以g （x ）在（0，3）上的最小值是g （1）＝1． 若∀x 1，x 2∈（0，3），g （x 1）+k ≥f （x 2）恒成立， 则[g （x ）+k ]min ≥f （x ）max ，即1+k ≥4，所以k ≥3， 所以实数k 的取值范围是[3，+∞）． 故选：B ．8．△ABC 中，sin(π2−B)=cos2A ，则AC−BC AB的取值范围是（ ）A．(−1，12)B．(13，12)C．(12，23)D．(13，23)解：由题意，sin(π2−B)=cosB=cos2A，在△ABC中，A，B∈（0，π），故2A＝B或2A+B＝2π，当2A+B＝2π时，A+B2=π，故A+B＞π，不合要求，舍去，所以2A＝B，C＝π﹣A﹣B＝π﹣A﹣2A＝π﹣3A，因为A，B∈（0，π），所以2A∈（0，π），即A∈(0，π2 )，因为C＝π﹣3A∈（0，π），所以A∈(0，π3 )，由正弦定理得ACsinB=ABsinC=BCsinA，故AC−BCAB=sinB−sinAsinC=sin2A−sinAsin(π−3A)=2sinAcosA−sinAsin(2A+A)=2sinAcosA−sinAsin2AcosA+cos2AsinA，因为A∈（0，π），所以sin A≠0，故AC−BCAB=2cosA−12cos2A+cos2A=2cosA−14cos2A−1=2cosA−1(2cosA−1)(2cosA+1)，因为A∈(0，π3)，所以2cos A﹣1＞0，故AC−BCAB=12cosA+1，因为A∈(0，π3)，所以cosA∈(12，1)，2cos A∈（1，2），2cos A+1∈（2，3），故AC−BCAB=12cosA+1∈(13，12)．故选：B．二、多选题（每小题5分，部分选对得2分，错选不得分）9．已知定义域为I的偶函数f（x），∃x n∈I，使f（x0）＜0，则下列函数中符合上述条件的是（）A．f（x）＝x2﹣3B．f（x）＝2x+2﹣xC．f（x）＝log2|x|D．f（x）＝cos x+1解：对于A，f（x）＝x2﹣3，定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）2﹣3＝x2﹣3＝f（x），所以f（x）为偶函数，又f（1）＝﹣2＜0，故A正确；对于B，f（x）＝2x+2﹣x＞0恒成立，故B错误；对于C，f（x）＝log2|x|，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）＝log2|﹣x|＝log2|x|＝f（x），所以f（x）为偶函数，又f(12)=−1＜0，故C正确；对于D ，因为﹣1≤cos x ≤1，所以f （x ）＝cos x +1≥0恒成立，故D 错误． 故选：AC ．10．若12a ＝3，12b ＝4，则（ ） A ．ba ＞1B ．ab ＞14C ．a 2+b 2＞12D ．2a−b ＞12解：若12a ＝3，12b ＝4，则a ＝log 123，b ＝log 124，a +b ＝1，a ≠b ， A ：b a =log 124log 123=log 34＞1，正确；B ：ab ＜(a+b)24=14，错误；C ：a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝1﹣2ab ＞1−2×14=12，正确； D ：a ﹣b ＝log 1234＞−1，则2a ﹣b ＞12，正确．故选：ACD ．11．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别为A 1B 1，B 1C 1，B 1B 的中点，若点P 在线段EF 上运动，则下列结论正确的为（ ）A ．AC 1与EF 为共面直线B ．平面ACD 1∥平面EFGC ．三棱锥P ﹣AD 1C 的体积为定值D ．AC 1与平面A 1BC 所成角的正切值为√3解：对于A ：连接A 1C 1，如图所示：∵E ，F 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点，∴EF ∥A 1C 1，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1∥AC ， ∴EF ∥AC ，∴AC 1∩EF ＝A ，故A 错误； 对于B ：连接BC 1，∵点F ，G 分别为B 1C 1，B 1B 的中点， ∴FG ∥BC 1， 由选项A 得EF ∥AC ，∵EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EF ⊄平面ACD 1，FG ⊄平面ACD 1， ∴EF ∥平面ACD 1，FG ∥平面ACD 1， 又EF ∩FG ＝F ，∴平面ACD 1∥平面EFG ，故B 正确； 对于C ：由选项B 得EF ∥平面ACD 1， ∵点P 在线段EF 上运动，∴点P 到平面ACD 1的距离等于点E 到平面ACD 1的距离，且为定值， 又△AD 1C 的面积为定值，则三棱锥P ﹣AD 1C 的体积为定值，故C 正确； 对于D ：建立以D 为原点的空间直角坐标系D ﹣xyz ，如图所示：则D （0，0，0），A （2，0，0），B （2，2，0），A 1（2，0，2），C 1（0，2，2），C （0，2，0）， ∴AC 1→=（﹣2，2，2），CA 1→=（2，﹣2，2），BA 1→=（0，﹣2，2）， 设平面A 1BC 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅CA 1→=2x −2y +2z =0n →⋅BA 1→=−2y +2z =0，取y ＝1，则z ＝1，x ＝0， ∴平面A 1BC 的一个法向量为n →=（0，1，1），设AC 1与平面A 1BC 所成角为α， ∴sin α＝|cos ＜AC 1→，n →＞|=|n →⋅AC 1→||n →|⋅|AC 1→|=423×2=√63， ∴cos α=√1−sin 2α=√33，∴tan α=sinαcosα=√2，故D 错误． 故选：BC ．12．将两圆方程C 1：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0，C 2：x 2+y 2﹣2x +（m ﹣2）y +（3﹣m ）＝0（m ＞2）作差，得到直线l 的方程，则（ ） A ．直线l 一定过点(−14，1)B ．存在实数m ＞2，使两圆心所在直线的斜率为﹣2C ．对任意实数m ＞2，两圆心所在直线与直线l 垂直D ．过直线l 上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等 解：联立{x 2+y 2+2x −4y +4=0x 2+y 2−2x +(m −2)y +(3−m)=0，两式相减可得l ：4x ﹣（m +2）y +m +1＝0，对A ：由l ：4x ﹣（m +2）y +m +1＝0，得（1﹣y ）m +（4x ﹣2y +1）＝0， 则{1−y =04x −2y +1=0，解得x =14，y =1，所以直线l 恒过定点(14，1)，故A 错误；对B ：C 1(−1，2)，C 2(1，1−m 2)⇒k C 1C 2=−12−m4=−2⇒m =6＞2，故B 正确； 对C ：因为k l =4m+2，k C 1C 2=−m+24⇒k l k C 1C 2=−1⇒l ⊥C 1C 2，故C 正确； 对D ：C 1(−1，2)，C 2(1，1−m2)，r 1=1，r 2=√m 2−42，m ＞2，则圆心C 1到直线l 的距离为d 1=√16+(m+2)=√16+(m+2)，圆心C 2到直线l 的距离为d 2=|4−(1−m 2)(m+2)+m+1|√16+(m+2)2=m 2+2m+62√16+(m+2)2，又（m +7）2﹣[16+（m +2）2]＝10m +29＞0， 得d 1＞r 1，即直线l 与圆C 1相离， 由[2√16+(m+2)]2−(√m 2−4)2=40m+11616+(m+2)2＞0，得d 2＞r 2，即直线l 与圆C 2相离，∴过直线l上任一点可作两圆的切线．在直线l：4x﹣（m+2）y+m+1＝0上任取一点P(mn+2n−m−14，n)，设点P到圆C1的切线长为L1，到圆C2的切线长为L2，则L12=|PC1|2−r12=(mn+2n−m−14+1)2+(n−2)2−1=116(m2n2+4mn2−2m2n+2mn+20n2+m2−52n−6m+57)，L22=|PC2|2−r22=(mn+2n−m−14−1)2+(n−1+m2)2−m2−44=116(m2n2+4mn2−2m2n+2mn+20n2+m2−52n−6m+57)，∴L12=L22，即L1＝L2，故D正确．故选：BCD．三、填空题（每小题5分）13．已知函数f(x)=x−1e x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为2x﹣y﹣1＝0．解：因为f(x)=x−1e x，则f′(x)=2−xe x，可得f（0）＝﹣1，f′（0）＝2，即切点坐标为（0，﹣1），斜率k＝2，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x﹣1，即2x﹣y﹣1＝0．故答案为：2x﹣y﹣1＝0．14．已知点A（﹣3，5）和B（2，4），P为直线x﹣y+1＝0上的动点，则|P A|+|PB|的最小值为2√10．解：∵两定点A（﹣3，5），B（2，4），动点P在直线x﹣y+1＝0上，∴点A（﹣3，5），B（2，4）在直线x﹣y+1＝0同侧，设点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（a，b），则{a−32−b+52+1=0b−5a+3=−1，解得a＝4，b＝﹣2，∴C（4，﹣2），∴|P A|+|PB|的最小值为：|BC|=√(4−2)2+(−2−4)2=2√10．故答案为：2√10．15．椭圆的两个焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，|MF1|=43|NF1|，|MF2|＝|F1F2|，则椭圆的离心率为57．解：设椭圆的方程为：x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0）因为|MF1|=43|NF1|，|MF2|＝|F1F2|＝2c，则|MF1|＝2a﹣2c，|NF1|=3(a−c)2，|NF2|=a+3c2，过F2作NF2⊥MN交于Q，则Q为MF1的中点，则cos∠MF1F2=|QF1||F1F2|=a−c2c，cos∠NF1F2=|NF1|2+|F1F2|2−|NF2|22|NF1|⋅|F1F2|=[3(a−c)2]2+(2c)2−(a+3c2)22⋅3(a−c)2⋅2c=a−2c3c，因为∠NF1F2+∠MF1F2＝π，所以cos∠NF1F2+cos∠MF1F2＝0，即a−2c3c=−a−c2c，整理可得：ca=57，故答案为：5 7．16．函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，若f（x1）+f（x2）＝0，且f(x1)=√34，则x1+x2＝4π3，cos（x2﹣x1）＝58．解：由题设f(0)=sinφ=√32，又0＜φ＜π2，则φ=π3，f(−π3)=sin(π3−ωπ3)=0，则π3−ωπ3=kπ，k∈Z，故ω＝1﹣3k，k∈Z，由ω＞0且−π3是y轴左侧第一个零点，故k＝0，即ω＝1，则f(x)=sin(x+π3)，由图知：x1，x2关于函数图象中y轴右侧第一个零点对称，即x=2π3对称，所以x1+x2=4π3，由f(x1)=sin(x1+π3)=√34，且x1+π3∈(π2，π)，所以sin(x1−π6)=sin[(x1+π3)−π2]=−cos(x1+π3)=√134，而x2=4π3−x1，则cos(x2−x1)=cos(4π3−2x1)=−cos(π3−2x1)=−cos(2x1−π3)=2sin2(x1−π6)−1=5 8．故答案为：4π3，58．四、解答题（17题10分，18-22题每题12分）17．（10分）已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+2√3sin2ωx−√3（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调减区间；（2）将函数f（x）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．解：（1）由题意得：f（x）＝2sinωx cosωx+2√3sin2ωx−√3＝sin2ωx−√3cos2ωx＝2sin（2ωx−π3）由最小正周期为π=2π2ω，得ω＝1，得f（x）＝2sin（2x−π3）令2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2，k∈Z．整理得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12，k∈Z，所以函数f（x）的单调减区间是[kπ+5π12，kπ+11π12]，k∈Z．（2）将函数f（x）的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y＝2sin2x+1的图象，∴g（x）＝2sin2x+1．令g（x）＝0，得x＝kπ+7π12或x＝kπ+11π12（k∈Z），∴y＝g（x）在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g（x）在[0，b]上至少有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π+11π12=59π12．18．（12分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点Q(1，32)的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．解：（1）由题意可得{a −c =3e =c a =12，可得a ＝6，c ＝3，b 2＝a 2﹣c 2＝36﹣9＝27， 所以椭圆C 的方程为x 236+y 227=1；（2）假设存在过点Q(1，32)的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 22=1，y 1+y 22=32，则{x 1236+y 1227=1x 2236+y 2227=1，两式相减得x 12−x 2236=−y 12−y 2227， 得y 1−y 2x 1−x 2=−2736⋅x 1+x 2y 1+y 2=−34⋅2×12×32=−12，即k AB =−12， 由点斜式得直线AB 方程为y −32=−12(x −1)，即x +2y ﹣4＝0． 因为，136+927×4＜1，所以Q （1，32）在椭圆内部，经检验存在过点Q(1，32)的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点，且该直线方程为x +2y ﹣4＝0．19．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，na n +1＝（n +1）a n +1． （1）证明{a n +1n}为常数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）设b m 为数列{a n }落在区间（3m ，3m +1），m ∈N +内的项的个数，求数列{b m }的前m 项和． 解：（1）因为na n +1＝（n +1）a n +1， 两边同时除以n （n +1）得：a n+1n+1=a n n+1n(n+1)．所以a n+1n+1=a n n+1n−1n+1，即a n+1+1n+1=a n +1n． 所以{a n +1n}为常数列． 又a 1+11=3，所以a n +1n=3，即a n ＝3n ﹣1．（2）由题意，得3m＜3n ﹣1＜3m +1，所以3m +13＜n ＜3m+1+13，∴3m−1+13＜n ＜3m +13∵b m 为数列{a n }落在区间（3m ，3m +1），m ∈N +内的项的个数， ∴b m =3m +13−(3m−1+13)=3m ﹣3m ﹣1＝2×3m ﹣1．所以数列{b m}是首项为2，公比为3的等比数列．设数列{b m}的前m项和为S m，所以S m=2(1−3m)1−3=3m−1．20．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA⊥平面ABC，VA＝AB＝BC＝1，AB⊥BC，M是VB的中点，N为BC上的动点．（1）证明：平面AMN⊥平面VBC；（2）VC∥平面AMN时，求平面AMN与平面ABC夹角的余弦值．（1）证明：因为VA⊥平面ABC，VA⊂平面VAB，所以平面VAB⊥平面ABC，又AB⊥BC，平面VAB∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面VAB，因为AM⊂平面VAB，所以BC⊥AM，因为VA＝AB，M是VB的中点，所以AM⊥VB，又VB∩BC＝B，VB，BC⊂平面VBC，所以AM⊥平面VBC，因为AM⊂平面AMN，所以平面AMN⊥平面VBC．（2）解：以A为坐标原点，AB，AV所在直线分别为y，z轴，过点A作与BC平行的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为VC∥平面AMN，VC⊂平面VBC，平面AMN∩平面VBC＝MN，所以VC∥MN．又M 是VB 的中点，所以N 是BC 的中点，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，V(0，0，1)，M(0，12，12)，N(12，1，0)，所以AM →=(0，12，12)，AN →=(12，1，0)，AV →=(0，0，1)，则平面ABC 的一个法向量为AV →=(0，0，1)． 设平面AMN 的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{AM →⋅n →=0，AN →⋅n →=0， 即{12y +12z =0，12x +y =0. 令y ＝1，得x ＝﹣2，z ＝﹣1，所以平面AMN 的一个法向量为n →=(−2，1，−1)．设平面AMN 与平面ABC 的夹角为θ，所以cosθ=|AV →→⋅n →||AV →→||n →|=|−1|1×√(−2)2+1+(−1)2=√66，故平面AMN 与平面ABC 夹角的余弦值为√66． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），四点P 1（2，2），P 2（0，2），P 3(−2，√2)，P 4(2，√2)中恰有三点在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，若∠AMP 2＝2∠ABP 2，试问直线l 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 解：（1）由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点． 又由22a 2+22b 2＞22a 2+(√2)2b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此{ 22b 2=1，22a 2+(√2)2b2=1，解得{a 2=8，b 2=4．故C 的方程为x 28+y 24=1．（2）在△ABP 2中，∠AMP 2＝2∠ABP 2，∠AMP 2＝∠ABP 2+∠BP 2M ， 所以∠ABP 2＝∠BP 2M ，从而|P 2M |＝|BM |，又M 为线段AB 的中点，即|BM|=12|AB|，所以|P 2M|=12|AB|，因此∠AP 2B ＝90°，从而P 2A →⋅P 2B →=0，根据题意可知直线l 的斜率一定存在，设它的方程为y ＝kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =kx +m x 28+y 24=1，消去y 得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0①，Δ＝（4km ）2﹣4（2m 2﹣8）（2k 2+1）＞0，根据韦达定理可得x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1， 所以P 2A →⋅P 2B →=(x 1，y 1−2)⋅(x 2，y 2−2)=(1+k 2)x 1x 2+k(m −2)(x 1+x 2)+(m −2)2=(1+k 2)2m 2−82k 2+1+k(m −2)(−4km2k 2+1)+(m −2)2，所以(1+k 2)2m 2−82k 2+1+k(m −2)(−4km 2k 2+1)+(m −2)2=0，整理得（m ﹣2）（3m +2）＝0，解得m ＝2或m =−23，又直线l 不经过点（0，2），所以m ＝2舍去， 于是直线l 的方程为y =kx −23，恒过定点(0，−23)，该点在椭圆C 内，满足关于x 的方程①有两个不相等的解， 所以直线l 恒过定点，定点坐标为(0，−23)．22．（12分）已知函数f(x)=alnx −ex(a ∈R)．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若函数g(x)=f(x)+e xx 在区间（1，+∞）上恰有一个零点，求a 的取值范围．解：（1）已知f(x)=alnx −ex(a ∈R)，函数定义域为（0，+∞），可得f ′(x)=a x +e x 2=ax+e x2， 当a ≥0，f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增； 当a ＜0，当0＜x ＜−ea 时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ＞−ea时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，综上，当a ≥0时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＜0时，函数f （x ）在(0，−e a )上单调递增，在(−ea，+∞)上单调递减；（2）易知g(x)=f(x)+e xx=alnx−ex+e xx，函数定义域为（0，+∞），若函数g（x）在区间（1，+∞）上恰有一个零点，此时g（x）＝0在区间（1，+∞）上有且仅有一个解，即axlnx﹣e+e x＝0在（1，+∞）上有且仅有一个解，不妨设h（x）＝axlnx﹣e+e x，函数定义域为（1，+∞），可得h′（x）＝a（lnx+1）+e x，当a≥0时，h′（x）＞0恒成立，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，此时h（x）＞h（1）＝0，则h（x）＝0在（1，+∞）上无解；当a＜0时，不妨设k（x）＝h′（x）＝alnx+e x+a，函数定义域为（1，+∞），可得k′（x）=ax+e x=a+xe xx，不妨设m（x）＝a+xe x，函数定义域为（1，+∞），可得m′（x）＝（x+1）e x＞0，所以函数m（x）在（1，+∞）上单调递增，此时m（x）＞m（1）＝a+e，当﹣e≤a＜0时，m（x）＞0，所以k′（x）＞0 恒成立，即函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，此时h（x）＞h（1）＝e+a＞0，即函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）＝0在（1，+∞）上无解；当a＜﹣e时，m（1）＝a+e＜0，当x→+∞时，h（x）→+∞，所以∃x0∈（1，+∞），使得m（x0）＝0，当1＜x＜x0时，m（x）＜0，k′（x）＜0，k（x）单调递减；当x＞x0时，m（x）＞0，k′（x）＞0，k（x）单调递增，又k（1）＝e+a＜0，当x→+∞时，k（x）→+∞时，所以函数h（x）在（1，x0）上恒负，在（x0，+∞）上存在一个零点x1，当1＜x＜x1时，k（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞x1时，k（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，又h（1）＝0，当x→+∞时，h（x）→+∞时，所以函数h（x）在（1，x1）上恒负，在（x1，+∞）上仅有一个零点，符合题意，综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣e）．。

2021-2022学年福建省福州市鼓楼区文博中学九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（每题3分，共24分）1．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）2．二次函数y＝3（x﹣2）2﹣5与y轴交点坐标为（）A．（0，2）B．（0，﹣5）C．（0，7）D．（0，3）3．如图所示，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不一定成立的是（）A．点A与点A'是对称点B．BO＝B'OC．∠ACB＝∠C'A'B'D．AB∥A'B'4．如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△DEC，点A对应点D，点B对应点E，且点B刚好落在DE边上，∠A＝24°，∠BCD＝48°，则∠ABD等于（）A．30°B．38°C．36°D．45°5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为（）A．B．4C．2D．56．对于函数y＝5x2，下列结论正确的是（）A．y随x的增大而增大B．图象开口向下C．图象关于y轴对称D．无论x取何值，y的值总是正的7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x﹣10123y51﹣1﹣11则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x＝C．直线x＝2D．直线x＝8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．将∠COB绕点O顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），角的两边分别与BC，AB交于点M，N，连接DM，CN，MN，下列四个结论：①∠CDM＝∠COM；②CN⊥DM；③△CNB≌△DMC；④AN2+CM2＝MN2；其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：（每题3分，共18分）9．若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是．10．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是．11．如图，已知点A（3，0），B（1，4），C（3，﹣2），D（7，0），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使A，B分别与C，D重合，则旋转中心的坐标为．12．如图，△ABC是等边三角形，点D为△ABC内一点，连接AD，BD，CD，∠ADB＝150°，AD＝2，CD＝，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点D′，则CD′的长为．13．若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为．14．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上的一个动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为．三、解答题：（共58分）15．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．16．已知抛物线y＝x2﹣kx﹣3k与x轴的一个交点为（﹣2，0）（1）求k的值；（2）求抛物线与x轴的另一个交点坐标．17．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，且点A、C、E在同一直线上．若AB＝6，AC＝4，则AD＝．18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为（2，﹣2），与x轴交于点（1，0）、（3，0），根据图象回答下列问题：（1）此二次函数的关系式为．（2）方程ax2+bx+c＝0的两个根是．（3）当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x 的增大而增大．19．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系y＝ax2+bx﹣75．其图象如图（图象过（5，0）、（7，16）两点）．（1）求a、b的值．（2）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（3）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？20．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的动点（不与B，C重合），将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，EF、AF分别与CD交于点M、N，作FG⊥BC于点G；（1）求证：BE＝CG．（2）若BE＝2、DN＝3，求EN的长．参考答案一、选择题（每题3分，共24分）1．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．解：∵抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3，∴其顶点坐标为（2，3）．故选：B．2．二次函数y＝3（x﹣2）2﹣5与y轴交点坐标为（）A．（0，2）B．（0，﹣5）C．（0，7）D．（0，3）【分析】根据题目中的函数解析式，令x＝0，求出相应的y的值，即可解答本题．解：∵y＝3（x﹣2）2﹣5∴当x＝0时，y＝7，即二次函数y＝3（x﹣2）2﹣5与y轴交点坐标为（0，7），故选：C．3．如图所示，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不一定成立的是（）A．点A与点A'是对称点B．BO＝B'OC．∠ACB＝∠C'A'B'D．AB∥A'B'【分析】利用中心对称的性质一一判断即可．解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，∴点A与点A'是对称点，BO＝B′O，AB∥A′B′，故选项A，B，D正确，故选：C．4．如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△DEC，点A对应点D，点B对应点E，且点B刚好落在DE边上，∠A＝24°，∠BCD＝48°，则∠ABD等于（）A．30°B．38°C．36°D．45°【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．解：∵△ABC绕顶点C旋转得到△DEC，∴∠D＝∠A＝24°，∠ACB＝∠DCE，∵∠BCD＝48°，∴∠CBE＝48°+24°＝72°，∵CE＝CB，∴∠E＝∠CBE＝72°，∴∠ECB＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∵∠CBA＝∠E＝72°，∴∠ABD＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故选：C．5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为（）A．B．4C．2D．5【分析】根据旋转可得∠A′C′B＝∠C＝90°，A′C′＝AC＝4，由勾股定理求出AB ＝A′B＝5，进而可得AC′的值，再根据勾股定理可得AA′的长．解：根据旋转可知：∠A′C′B＝∠C＝90°，A′C′＝AC＝4，AB＝A′B，根据勾股定理，得AB＝＝＝5，∴A′B＝AB＝5，∴AC′＝AB﹣BC′＝2，在Rt△AA′C′中，根据勾股定理，得AA′＝＝＝2．故选：C．6．对于函数y＝5x2，下列结论正确的是（）A．y随x的增大而增大B．图象开口向下C．图象关于y轴对称D．无论x取何值，y的值总是正的【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．解：∵二次函数解析式为y＝5x2，∴二次函数图象开口向上，当x＜0时y随x增大而减小，当x＞0时y随x增大而增大，对称轴为y轴，无论x取何值，y的值总是非负．故选：C．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x﹣10123y51﹣1﹣11则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x＝C．直线x＝2D．直线x＝【分析】由于x＝1、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．解：∵x＝1和2时的函数值都是﹣1，∴对称轴为直线x＝＝．故选：D．8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．将∠COB绕点O顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），角的两边分别与BC，AB交于点M，N，连接DM，CN，MN，下列四个结论：①∠CDM＝∠COM；②CN⊥DM；③△CNB≌△DMC；④AN2+CM2＝MN2；其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由“ASA”可证△OCM≌△OBN，可得CM＝BN，∠CDM＝∠BCN，由余角的性质可判断②，由点O，点M，点B，点N四点共圆可判断①，由“SAS”可证△DCM ≌△CNB，由勾股定理可判断④．解：∵四边形ABCD是正方形∴CD＝BC，BO＝CO，AC⊥BD，∠ACB＝∠ABD＝45°∵将∠COB绕点O顺时针旋转，∴∠COM＝∠BON，且BO＝CO，∠ACB＝∠ABD∴△OCM≌△OBN（ASA）∴CM＝BN，∠CDM＝∠BCN∵∠CDM+∠CMD＝90°∴∠BCN+∠CMD＝90°∴CN⊥DM故②正确∵∠MON＝∠ABC＝90°∴点O，点M，点B，点N四点共圆∴∠BON＝∠BMN＝∠COM＞∠BCN＝∠CDM故①错误∵CM＝BN，CD＝BC，∠ABC＝∠DCB＝90°∴△DCM≌△CNB（SAS）故③正确∵AB＝BC，BN＝CM∴AN＝BM∵BN2+BM2＝MN2，∴AN2+CM2＝MN2；故④正确故选：C．二、填空题：（每题3分，共18分）9．若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是5．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．解：∵点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，∴m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣5，解得：m＝﹣2，n＝7，故m+n＝5．故答案为：5．10．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是4．【分析】把抛物线化为顶点式可得出其顶点坐标，根据顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标为0可求得c．解：∵y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4，∴其顶点坐标为（2，c﹣4），∵顶点在x轴上，∴c﹣4＝0，解得c＝4，故答案为：4．11．如图，已知点A（3，0），B（1，4），C（3，﹣2），D（7，0），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使A，B分别与C，D重合，则旋转中心的坐标为（2，﹣1）．【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，作线段BD，AC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．解：如图，连接BD，作线段BD，AC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心，M （2，﹣1）．故答案为：（2，﹣1）．12．如图，△ABC是等边三角形，点D为△ABC内一点，连接AD，BD，CD，∠ADB＝150°，AD＝2，CD＝，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点D′，则CD′的长为3．【分析】连接DD'，由旋转的性质得出AD＝AD'＝2，∠DAD'＝60°，∠ADB＝∠AD'C，得出△ADD'为等边三角形，求出∠DD'C＝90°，由勾股定理可得出答案．解：如图，连接DD'，∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点D′，∴AD＝AD'＝2，∠DAD'＝60°，∠ADB＝∠AD'C，∴△ADD'为等边三角形，∴∠AD'D＝60°，∠AD'C＝150°，DD'＝2，∴∠DD'C＝∠AD'C﹣∠AD'D＝150°﹣60°＝90°，∵CD＝，∴CD'＝＝＝3，故答案为：3．13．若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为x1＝2，x2＝4．【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，∴，得b＝﹣4，则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，解得x1＝2，x2＝4．故答案为：x1＝2，x2＝4．14．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上的一个动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为．【分析】将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BP'C'，可得△PBP'为等边三角形，若PA+PB+PC＝AP+PP'+P'C'，即AP，PP'，P'C'在一条直线上，PA+PB+PC有最小值，求出AC'的值即可解：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BP'C'，∴BP＝BP'，∠PBP'＝60°，△BPC≌△BP'C'，∴△BPP'是等边三角形，PC＝P'C'，∠PBC＝∠P'BC'，BC＝BC'＝2，∴BP＝PP'，∴PA+PB+PC＝AP+PP'+P'C'，∴当AP，PP'，P'C'在一条直线上，PA+PB+PC有最小值，最小值是AC'的长，∵∠ABP+∠PBP'+∠P'BC'＝60°+∠ABP+∠PBC＝150°，∴∠EBC＝30°，∴EC'＝1，BE＝EC'＝，∴AE＝2+，∴AC'＝，∴AP+BP+CP的最小值．故答案为：．三、解答题：（共58分）15．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1；（2）根据中心对称的定义即可画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；（3）根据旋转的性质即可将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，进而写出旋转中心的坐标．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）根据图形可知：旋转中心的坐标为：（﹣3，0）．16．已知抛物线y＝x2﹣kx﹣3k与x轴的一个交点为（﹣2，0）（1）求k的值；（2）求抛物线与x轴的另一个交点坐标．【分析】①将点（﹣2，0）的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得k的值；②确定出抛物线的解析式，令抛物线中y＝0，可得出关于x的一元二次方程，即可求得抛物线与x轴的另一交点的坐标．解：（1）根据题意得，4+2k﹣3k＝0，所以k＝4；得抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣12；（2）∵x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（6，0）．17．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，且点A、C、E在同一直线上．若AB＝6，AC＝4，则AD＝10．【分析】直接利用旋转的性质得出AD＝DE，∠ADE＝60°，AB＝CE，再根据等边三角形的判定与性质得出答案．解：∵将△ABD绕着D点按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置，∴AD＝DE，∠ADE＝60°，AB＝CE，∵∠BDC+∠BAC＝60°+120°＝180°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠ABD＝∠DCE，∴∠ACD+∠DCE＝180°，∴A，C，E在同一条直线上，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝AE＝AC+EC＝AC+AB＝10，故答案为：10．18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为（2，﹣2），与x轴交于点（1，0）、（3，0），根据图象回答下列问题：（1）此二次函数的关系式为y＝2（x﹣2）2﹣2．（2）方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝3，x2＝1．（3）当x x＜2时，y随x的增大而减小；当x x＞2时，y随x的增大而增大．【分析】（1）设该二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣2（a≠0），把点（1，0）代入即可求得a的值；（2）根据抛物线与x轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论；（3）根据二次函数的性质即可得到结论．解：（1）设该二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣2（a≠0），点（1，0）代入得0＝a﹣2，解得a＝2，∴二次函数的关系式为y＝2（x﹣2）2﹣2，故答案为：y＝2（x﹣2）2﹣2；（2）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（3，0）、（1，0），∴ax2+bx+c＝0的根为：x1＝3，x2＝1，故答案为：x1＝3，x2＝1；（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为（2，﹣2），∴开口向上，对称轴为直线x＝2，∴当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大，故答案为：x＜2，x＞2．19．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系y＝ax2+bx﹣75．其图象如图（图象过（5，0）、（7，16）两点）．（1）求a、b的值．（2）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（3）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；（2）由（1）可得函数解析式，再根据函数的性质求最大值；（3）利用二次函数对称性得出每天的销售利润不低于16元时x的取值范围即可解：（1）由图象可得出：图象过（5，0），（7，16）点，故，解得：，∴a＝﹣1，b＝20；（2）由（1）知，y＝﹣x2+20x﹣75＝﹣（x﹣10）2+25，∵﹣1＜0，∴当x＝10时，y有最大值，最大值为25，答：当销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（3）∵函数y＝﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x＝10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），又∵函数y＝﹣x2+20x﹣75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16．答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．20．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的动点（不与B，C重合），将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，EF、AF分别与CD交于点M、N，作FG⊥BC于点G；（1）求证：BE＝CG．（2）若BE＝2、DN＝3，求EN的长．【分析】（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE＝EF，利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等即可解决问题．（2）延长EB到到K，使得BK＝DN，证明△ADN≌△ABK（SAS），由全等三角形的性质得出AK＝AN，∠DAN＝∠BAK，证明△EAK≌△EAN（SAS），由全等三角形的性质得出EK＝EN，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵EF⊥AE，FG⊥BC，四边形ABCD是正方形，∴∠AEF＝∠ABE＝∠EGF＝90°，AB＝BC，∴∠AEB+∠BAE＝∠AEB+∠GEF＝90°，∴∠BAE＝∠GEF，∵AE＝EF，∴△ABE≌△EGF（AAS），∴AB＝EG＝BC，∴BC﹣EC＝EG﹣EC，即：BE＝CG；（2）解：延长EB到到K，使得BK＝DN，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝∠D＝∠ABC＝∠ABKF＝90°，∵DN＝BK，∴△ADN≌△ABK（SAS），∴AK＝AN，∠DAN＝∠BAK，∵EA＝EF，∠AEF＝90，∴∠EAF＝45°，∴∠KAE＝∠BAK十∠BAE＝∠DAN十∠BAE＝45°，∴∠EAK＝∠EAN＝45°，又∵AE＝AE，∴△EAK≌△EAN（SAS），∴EK＝EN，∵BE＝2、DN＝3，∴EN＝EK＝EB+BK＝BE+DN＝2+3＝5．。

2023-2024学年福建省福州市鼓楼区九年级上学期数学月考试题及答案一、单选题（每题4分，共10题）1. 在平面直角坐标系中，点()4,2P -关于原点的对称点的坐标为（ ）A. ()4,2 B. ()4,2- C. ()4,2-- D. ()2,4-【答案】B【解析】【分析】根据关于原点对称的点的特征：横纵坐标均为相反数，进行求解即可．【详解】解：点()4,2P -关于原点的对称点的坐标为()4,2-；故选B ．【点睛】本题考查坐标与中心对称．熟练掌握关于原点对称的点的特征：横纵坐标均为相反数，是解题的关键．2. 关于x 的方程221(21))10(k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是 （ ）A. 14k ≥且1k ≠± B. 14k ≥且1k ≠ C. 14k > D. 14k ≥【答案】D【解析】【分析】分两种情况讨论：①2(1)0k -=，为一元一次方程；②2(01)k -¹，为一元二次方程，根据根的判别式计算即可．【详解】解：①当2(1)0k -=时1k =，此时方程为310x +=，有实数根；②当2(01)k -¹时1k ≠，此时方程为为一元二次方程，∵方程有实数根∴22(21))1(04k k +--∆=≥，解得：14k ≥综上所述：14k ≥故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）根的判别式24b ac ∆=-：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=，方程有两个相等的实数根；当Δ0<，方程没有实数根．分两种情况讨论是解题的关键．3. 某种音乐播放器3MP 原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，设平均每次降价的百分比为x ，则可列方程为（ ）A. ()4001256x -=B. ()24001256x -=C. ()2561400x -=D. ()22561400x -=【答案】B【解析】【分析】根据原价、降价的百分比、售价的关系列方程即可．【详解】解：第一次降价后的售价为()4001x -元，第二次降价后的售价为()24001x -元，因此可列方程为：()24001256x -=，故选B ．【点睛】本题考查列一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，找准等量关系．4. 关于二次函数 221y x =-+ 的图象，下列说法中，正确的是（ ）．A. 对称轴为直线 1x =B. 顶点坐标为()21-，C. 可以由二次函数 22y x =- 的图象向左平移1个单位得到D. 在y 轴的左侧，图象上升，在y 轴的右侧，图象下降【答案】D【解析】【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断即可．【详解】解：A.二次函数 221y x =-+ 的对称轴为直线0x =，故A 选项不符合题意；B. 二次函数 221y x =-+ 的顶点坐标()01，，故B 选项不符合题意；C. 二次函数 221y x =-+ 的图像可以由二次函数 22y x =- 的图像向上平移1个单位得到，故C 选项不符合题意；D. 二次函数221y x =-+ 的图像开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，故D 选项符合题意．故答案：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象与解析式系数的关系是解答本题的关键．5. 如图所示是一个中心对称图形，点A 为对称中心．若90C ∠=︒，30B ∠=︒，1BC =，则BB '的长为（ ）A. 4【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的特点可知：AB AB '=，再根据含30︒角的直角三角形的性质以及勾股定理求出AB =，问题随之得解．【详解】根据中心对称图形的特点可知：AB AB '=，∵90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴在Rt ABC △中，12AC AB =，∵在Rt ABC △中，222AB AC BC =+，1BC =，∴222112AB AB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：AB =（负值舍去），∴AB AB '==，∴B AB AB B ='='+，故选：D ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的特点，含30︒角的直角三角形的性质以及勾股定理，为根据中心对称图形的特点得到AB AB '=，是解答本题的关键．6. 2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度h 与足球被踢出后经过的时间t 之间的关系式为2h t bt =-+．已知足球被踢出9s 时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间t 为（ ）A. 3sB. 3.5sC. 4sD. 4.5s 【答案】D【解析】【分析】根据题意可得当9t =时，0h =，再代入，可得到该函数解析式为29h t t =-+，然后化为顶点式，即可求解．【详解】解：根据题意得：当9t =时，0h =，∴2099b =-+，解得：9b =，∴该函数解析式为29h t t =-+，∵()229 4.520.25h t t t =-+=--+，∴足球到达距离地面最大高度时的时间t 为4.5s ．故选：D【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象经过的点必能满足解析式．7. 如图，O 的半径为5,M 是圆外一点，6MO =，30,OMB MB ∠=︒交O 于点,A B ，则弦AB 的长为（ ）A. 4B. 6C.D. 8【答案】D【解析】【分析】过O 作OC AB ⊥于C ，连接OA ，根据含30︒角的直角三角形的性质得出132OC MO ==，根据勾股定理求出AC ，再根据垂径定理得出2AB AC =，最后求出答案即可．【详解】解：过O 作OC AB ⊥于C ，连接OA ，则90OCA ∠=︒，6MO = ，30OMA ∠=︒，132OC MO ∴==，在Rt OCA 中，由勾股定理得：4AC ===，OC AB ⊥ ，BC AC ∴=，即2248AB AC ==⨯=，故选：D ．【点睛】本题考查了含30︒角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题的关键是能熟记垂直于弦的直径平分弦．8. 如图，O 是弧AD 所在圆的圆心．已知点B 、C 将弧AD 三等分，那么下列四个选项中不正确的是（ ）A. 2AC CD =B. 2AC CD =C. 2AOC COD ∠=∠D.2AOC COD S S =扇形扇形．【答案】B【解析】【分析】利用三等分点得到 AB BCCD ==，由此判断A ；根据AB=BC=CD ，得到AB+BC>AC ，由此判断B ；根据 2AC CD=即可判断C ；根据 AB BC CD ==，得到AOB BOC COD S S S ==扇形扇形扇形，由此判断D ．【详解】解：连接AB 、BC ，OB ，∵点B 、C 将弧AD 三等分，∴ AB BCCD ==，∴ 2AC CD=，故A 选项正确；∵ AB BCCD ==，∴AB=BC=CD，∵AB+BC>AC，∴AC<2CD，故B 选项错误；∵ 2AC CD=，∴2AOC COD ∠=∠，故C 选项正确；∵ AB BCCD ==，∴∠AOB=∠BOC=∠COD，∴AOB BOC COD S S S ==扇形扇形扇形，∴2AOC COD S S =扇形扇形，故D 选项正确；故选：B ．【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦中有一个量相等，另两个量也对应相等．9. 一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（ ）A. 2.25米B. 2.2米C. 2.15米D. 2.1米【答案】A【解析】【分析】连接矩形门洞的对角线交于点O ，过点O 作OD BE ⊥于点D ，由圆周角定理得到AB 为圆O 的直径，勾股定理得到 2.5AB =米，则圆的半径1 1.252AB ==米，由中位线定理得到112OD BC ==米，即可得到改造后门洞的最大高度 1.251 2.25=+=米．【详解】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O ，过点O 作OD BE ⊥于点D ，∴点O 为线段AB 中点，90ACB ∠=︒，∴AB 为圆O的直径，的∵宽为1.5米，高为2米，∴ 2.5AB ==（米），∴圆的半径1 1.252AB ==（米），∵OD BE ⊥，∴点D 为BE 的中点，又∵点O 为线段AB 的中点，∴OD 是BCE 的中位线，∴112OD BC ==（米），则改造后门洞的最大高度 1.251 2.25=+=（米）；故选：A ．【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、中位线定理、矩形的性质等知识，求出圆的半径是解题的关键．10. 已知抛物线()20y ax bx c a =++≠ 与x 轴交于点A(－1,0)，对称轴为直线x=1，与y 轴的交点B 在(0,2)和(0,3)之间(包含这两个点)运动,有如下四个结论：①抛物线与x 轴的另一个交点是(3,0)；②点()11,C x y ，()22,D x y 在抛物线上，且满足121x x <<，则12y y >；③常数项c 的取值范围是23c ≤≤；④系数a 的取值范围是213a -≤≤-．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ①③④【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的对称性对①进行判断；根据④的结论可知函数的开口方向，然后得到二次函数的增减性，即可对②进行判断；根据抛物线与y 轴的交点对c 进行判断即可判断③；由对称轴可得b=-2a ，由x=-1时，可得a-b+c=0，则c=-3a ，又由③得到c 的取值范围，进而得到a 的取值范围．【详解】抛物线对称轴为x=1，且与x 轴交点为（-1，0），故与x 轴的另一个交点为（3,0），故①正确；抛物线与y 轴的交点为（0，c ），且与y 轴交点B 在()0,2和()0,3之间（包含这两个点）运动，故c 的取值范围是23c ≤≤，故③正确；抛物线对称轴为x=1，得b=-2a ，由x=-1时，可得a-b+c=0，则c=-3a ，又由③已知23c ≤≤，故有2≤-3a≤3，故213a -≤≤-，故④正确；由④得结论可知，抛物线开口向下，且对称轴为x=1，得到当x ＜1时，y 随x 增大而增大，故当121x x <<，有y 1<y 2，故②错误；综上正确的有①③④，故选D ．【点睛】本题考查二次函数一般式的基本性质，熟练掌握二次函数一般式各系数的意义是解题关键．二、填空题（每题4分，共8题）11. 已知点()2,2P a b --与点()6,2Q a b -+关于原点对称，则a b +=______.【答案】0【解析】【分析】根据中心对称的性质，构建方程组2(6)2(2)a b a b -=--⎧⎨+=--⎩，求解计算即可．【详解】解：由题意，2(6)2(2)a b a b -=--⎧⎨+=--⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩；∴0a b +=．故答案为：0．【点睛】本题考查中心对称的性质，理解中心对称的定义是解题的关键．12. 已知点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线23y x =-上，且120x x <<，则1y _________2y ．（填“<”或“>”或“=”）【答案】<【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．【详解】解：23y x =-的对称轴为y 轴，∵10a =>，∴开口向上，当0x >时， y 随x 的增大而增大，∵120x x <<，∴12y y <．故答案为：<．【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．13. 新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x 人，则x 的值为______ ．【答案】14【解析】【分析】第一轮共感染()1x +人，第二轮共感染()()2111x x x x +++=+（人），根据经过两轮传染将会有225人感染，列出一元二次方程，解方程即可．【详解】解：由题意得：()21225x +=，解得：114x =，216x =-（不合题意舍去），故答案为：14．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14. 如图，BD OD =，38B ∠=︒，则AOD ∠的度数为___________．【答案】28︒##28度【解析】【分析】根据等腰三角形性质可得38DOB B ∠=∠=︒，利用三角形外角的性质可得：的276ADO B ∠=∠=︒，即可求解．【详解】解：∵BD OD =，38B ∠=︒∴38DOB B ∠=∠=︒∴276ADO B ∠=∠=︒由题意可得：OA OD=∴76ADO DAO ∠=∠=︒∴180228AOD ADO ∠=︒-∠=︒故答案为：28︒【点睛】此题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．15. 如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，点D 是O 上一点，55CDB ∠=︒，则ABC ∠=________︒．【答案】35【解析】【分析】由同弧所对的圆周角相等，得55,A CDB ∠=∠=︒再根据直径所对的圆周角为直角，得90ACB ∠=︒，然后由直角三角形的性质即可得出结果．【详解】解：,A CDB ∠∠Q 是 BC所对的圆周角，55,A CDB ∴∠=∠=︒AB 是O 的直径，90ACB ∠=︒ ，在Rt ACB △中，90905535ABC A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为: 35．【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．16. 二次函数2()y a x h =-的图象如图所示，已知1,2a OA OC ==，则该二次函数的解析式为________．【答案】21(2)2y x =-【解析】【分析】把a 的值代入二次函数解析式，根据OA OC =求出h 的值，即可确定出解析式．【详解】解：由题意，得(),0C h ，OA OC = ，()0,A h ∴，将点A 坐标代入抛物线解析式，得()2102h h =⨯-，解得：2h =或0(不合题意，舍去)，∴该抛物线的解析式为()2122y x =-，故答案为：()2122y x =-．【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式，解题关键在于把坐标代入解析式求解．17. 如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x 轴，拱桥的拱点O 为原点建立直角坐标系，它可以近似地用函数218y x =-表示（单位：m ）．已知目前桥下水面宽4m ，若水位下降1.5m ，则水面宽为______m ．【答案】8【解析】【分析】由目前桥下水面宽4m ，求得对应y 的值，再由水位下降1.5m ，得到此时y 的值，代入解析式即可求得x 的值，即可求出水面的宽．【详解】解：目前桥下水面宽4m ，即x=2时，221112=882=y x =--⨯-当水位下降1.5m ，即1= 1.522y --=-2128=x --4x ∴=±此时水面的宽为8m故答案为：8．【点睛】本题考查二次函数的应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．18. 喜欢数学的小西同学在学习旋转的时候想到了一个新的定义：对于线段MN ，先将线段MN 绕点M 逆时针旋转75︒，再绕点N 顺时针旋转75︒，旋转后的两条线段交于点P ，我们称点P 为线段MN 的“双旋点”，如图，已知直线2y x =+与x 轴和y 轴分别相交于点A ，点B ，则线段AB 的“双旋点”P 的坐标为______．【答案】(3-+【解析】【分析】根据直线2y x =+与x 轴和y 轴分别相交于点A ，点B ，得到()()2002A B -，，，，从而得到2,45OA OB OAB OBA AB ==∠=∠=︒==，得75PAB PBA ∠=∠=︒，继而得到30,120APB PAO ∠=︒∠=︒，过点P 作PG AO ⊥于点G ，继而得到60,30PAG GPA ∠=︒∠=︒，过点B 作BQ AO 交PA 于点Q ，过点A 作AD BQ ⊥于点D ，解直角三角形计算即可．【详解】∵直线2y x =+与x 轴和y 轴分别相交于点A ，点B ，∴()()2002A B -，，，，∴2,45OA OB OAB OBA AB ==∠=∠=︒==，根据题意，得75PAB PBA ∠=∠=︒，∴30,120APB PAO ∠=︒∠=︒，过点P 作PG AO ⊥于点G ，∴60,30PAG GPA ∠=︒∠=︒，过点B 作BQ AO 交PA 于点Q ，∴60PAG AQB ∠=∠=︒，∴30PBQ AQB APB APB ∠=∠-∠=︒=∠，∴QP QB =，过点A 作AD BQ ⊥于点D ，∴四边形ADBO 是正方形，∴2AD DB BO OA ====，30DAQ ∠=︒，∴2AQ QD =，∴2224AQ QD AD -==，∴()2224QD QD -=，解得QD AQ ==∴2QP QB ==+，∴22PA ==+∴112GA PA ==∴3PG ==∴3GO AG OA =+=+，∴点(33P -+，故答案为：(3-+．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，正方形的判定和性质，坐标与线段的关系，熟练掌握旋转性质，直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．三、解答题19. 解方程：（1）()22218x -=；（2）2260x x --=．【答案】（1）15=x ，21x =-（2）132x =-，22x =【解析】【分析】1（）利用直接开平方法解方程即可；2（）利用“十字相乘法”对等式左边进行因式分解，然后解方程．【小问1详解】由原方程，得()229x -=，开方，得23x -=±，解得15=x ，21x =-；的【小问2详解】由原方程，得()()2320x x +-=，解得132x =-，22x =．【点睛】本题考查了因式分解法、直接开平方法解一元二次方程．关键是根据方程的特点，合理地选择解方程的方法．20. 已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若12x x ，是原方程的两根，且12x x -=，求m 的值．【答案】（1）证明过程见详解（2）m 的值3或5-【解析】【分析】（1）原方程总有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，由此即可求解；（2）方程有两个根，根据韦达定理，分别表示出12x x +，12x x ∙的值，由此即可求解．【小问1详解】解：原方程总有两个不相等的实数根，2(3)10x m x m ++++=中1a =，3b m =+，1c m =+，∴2224(3)41(1)25b ac m m m m ∆=-=+-⨯⨯+=++，∴()2Δ140m =++>，∴无论m 取何值，原方程的判别式恒大于零，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：2(3)10x m x m ++++=中1a =，3b m =+，1c m =+，且12x x ，是原方程的两根，12x x -=，∴12(3)b x x m a +=-=-+，121c x x m a ∙==+，∴2222121122()2(3)x x x x x x m +=++=+，则22212(3)2(1)x x m m +=+-+，∵12x x -=，即(2212()x x -=，∴221212220x x x x +-=，∴2(3)2(1)2(1)20m m m +-+-+=，整理得，22150m m +-=，解方程得，13m =，25m =-，∴m 的值3或5-．【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的根据的情况求出参数，掌握一元二次方程中根的判别式，根据与系数的关系，韦达定理是解题的关键．21. 如图，若将线段AB 绕点O 旋转180︒，得到点A 的对应点A '，点B 的对应点为B '．（1）画出旋转后的图形，并连接AB BA ''，；（2）四边形ABA B ''的形状一定为___________．（填写序号即可）①矩形；②菱形；③平行四边形；④不能确定形状的任意四边形【答案】（1）见解析 （2）③【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用平行四边形的判定证明即可．【小问1详解】解：旋转后的图形，如图所示：【小问2详解】解：结论：四边形ABA B ''是平行四边形．理由：∵OA OA '=，OB OB =¢，∴四边形ABA B ''是平行四边形．故答案为：③．【点睛】本题考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．22. 如图，O 的半径为1，点A ，B ，C 是O 上的三个点，点P 在劣弧AB 上，120APB ∠=︒，PC 平分APB ∠．求证：（1）ABC 是等边三角形；（2）PA PB PC +=．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，以及角平分线平分角，推出60CAB CBA ∠=∠=︒，即可得证；（2）在PC 上截取PD AP =，易得APD △为等边三角形，证明CAD PAB ≌，得到CD PB =，即可得证．【小问1详解】证明：∵120APB ∠=︒，PC 平分APB ∠，∴60APC CPB ∠=∠=︒，∵CBA CPA CAB CPB ∠=∠∠=∠，，∴60CAB CBA ∠=∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∴ABC 是等边三角形；【小问2详解】证明：在PC 上截取PD AP =，∵60CPA ∠=︒，∴APD △为等边三角形，∴AD AP =，60DAP ∠=︒，由（1）知ABC 为等边三角形，∴AC AB =，60CAB DAP ∠=︒=∠，∴CAD BAP ∠=∠，∴CAD PAB ≌，∴CD PB =，∴PC CD PD PB PA =+=+．【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟知同弧所对的圆周角相等，以及等边三角形的判定和性质．23. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg ，销售价格不高于18元/kg ，且每售卖1kg 需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y （kg ）与销售价格x （元/kg ）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y 与x 的函数解析式．（2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？【答案】（1）1003000y x =-+（2）当销售单价定为18元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元【解析】【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解；（2）设销售销这种荔枝日获利w 元，由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解．【小问1详解】解：设y 与x 的函数解析式为y kx b =+，∵改函数图象经过点()8,2200和点()14,1600∴82200141600k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：1003000k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 的函数解析式为1003000y x =-+；【小问2详解】解：设销售销这种荔枝日获利w 元，根据题意，得，()()621003000w x x =---+2100380024000x x =-+-()21001912100x =--+1000a =-< ，对称轴为直线19x =，∴在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，∵销售价格不高于18元/kg ，∴当18x =时，w 有最大值为12000元，∴当销售单价定为18时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，求出函数关系式是本题的关键．24. 如图，正方形OEFG 绕着边长为a 的正方形ABCD 的对角线的交点O 旋转，边OE OG 、分别交边AD AB 、于点M 、N ．（1）求证：OM ON =；（2）问四边形OMAN 的面积是否随着a 的变化而变化？若不变，请用a 的代数式表示出来，若变化，请说明理由；（3）试探究PA PN BN 、、三条线段之间有怎样的数量关系，并写出推理过程．【答案】（1）证明见解析（2）不变，214OMAN S a =四边形 （3）222PN BN PA =+【解析】【分析】（1）连接AC BD 、，证明AOM BON≌()ASA ，即可得到OM ON =；（2）由AOM BON ≌可知AOM BON S S = ，则21144OMA OAN OBN OAN OAB ABCD OMAN S S S S S S S a =+=+=== 正方形四边形；（3）由（1）可知AOM BON ≌，则,AM BN OM ON ==，由四边形OEFG 是正方形得到45MOP NOP ∠=∠=︒，证明()SAS MOP NOP ≌，则PM PN =，由勾股定理得到222PM MA PA =+，等量代换后即可的结论【小问1详解】证明：连接AC BD 、，在正方形ABCD 中，45,OAM OAN OBN OA OB ∠=∠=∠=︒=，∵90AOM AON EOG ∠+∠=∠=︒，90BON AON AOB ∠+∠=∠=︒，∴AOM BON ∠=∠，在AOM 和BON △中，OAM OBN OA OB AOM BON ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AOM BON≌()ASA ，∴OM ON =；【小问2详解】不变，214OMAN S a =四边形，∵AOM BON ≌，∴AOM BON S S = ，∴21144OMA OAN OBN OAN OAB ABCD OMAN S S S S S S S a =+=+=== 正方形四边形；【小问3详解】222PN BN PA =+，证明如下：如图，由（1）可知AOM BON ≌，∴,AM BN OM ON ==，∵四边形OEFG 是正方形，∴45MOP NOP ∠=∠=︒，在Rt MOP 和Rt NOP 中，OM ON MOP NOP OP OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS MOP NOP ≌，∴PM PN =，在Rt AMP 中，由勾股定理得222PM MA PA =+，∴222PN BN PA =+．【点睛】此题考查了正方形的判定和性质、矩形的判定和性质、图形的旋转、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．25. 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(2,0)A -、(6,0)B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为(4,3)．（1）求抛物线的解析式与直线l 的解析式；（2）若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA 、PD ，求当PAD ∆面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为2134y x x =-++，直线l 的解析式为112y x =+；（2）PAD ∆的面积的最大值为274，15(1,)4P ．（3）Q 的坐标为13(0,)3或(0,9)-．【解析】【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图1中，过点P 作PE∥y 轴交AD 于点E ．设P （m ，-14m 2+m+3），则E （m ，12m+1）．因为S △PAD =12•（x D -x A ）•PE=3PE ，所以PE 的值最大值时，△PAD 的面积最大，求出PE的最大值即可．（3）如图2中，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AT ，则T （-5，6），设DT 交y 轴于点Q ，则∠ADQ=45°，作点T 关于AD 的对称点T′（1，-6），设DQ′交y 轴于点Q′，则∠ADQ′=45°，分别求出直线DT ，直线DT′的解析式即可解决问题．【详解】解：（1） 抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(2,0)A -、(6,0)B 两点，∴设抛物线的解析式为(2)(6)y a x x =+-，解得，2x =-，或6x =，(4,3)D 在抛物线上，3(42)(46)a ∴=+⨯-，解得14a =-，∴抛物线的解析式为211(2)(6)344y x x x x =-+-=-++， 直线l 经过(2,0)A -、(4,3)D ，设直线l 解析式为(0)y kx m k =+≠，则2043k m k m -+=⎧⎨+=⎩，的解得，121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线l 的解析式为112y x =+；（2）如图1中，过点P 作//PE y 轴交AD 于点F ．设21(,3)4P m m m -++，则1,12F m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．()132PAD D A S x x PF PF ∆=⋅-⋅= ，PF ∴的值最大值时，PAD ∆的面积最大，()2221111193121424244PF m m m m m m =-++--=-++=--+ ，104-< ，1m ∴=时，PF 的值最大，最大值为94，此时PAD ∆的面积的最大值为274，15(1,4P ．（3）如图2中，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AT ，则(5,6)T -，设DT 交y 轴于点Q ，则45ADQ ∠=︒，(4,3)D ，∴直线DT 的解析式为11333y x =-+，13(0,)3Q ∴，作点T 关于AD 的对称点(1,6)T '-，则直线DT '的解析式为39y x =-，设DQ '交y 轴于点Q '，则45ADQ ∠'=︒，(0,9)Q ∴'-，综上所述，满足条件的点Q 的坐标为13(0,3或(0,9)-．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题．。

2022-2023学年福建省福州市鼓楼区三年级（下）期末数学试卷一、填空题。

1．（3分）今年（2023）是 年 月 日，这个月有 天。

2．（3分）把1元平均分成10份，每份是1 ，也就是元，还可以写成 元。

8元5角写成小数是 元。

3．（3分）填上合适的单位。

有一所小学占地9800 ，旁边有棵大树高16 ，树下有块墙报面积约200 。

正在读报的小明同学身高135 ，腰围6 。

4．（3分） 个月＝半年300平方分米＝ 平方米下午5时是 时2日＝ 时5．（3分）有余数除法算式：641除以一个一位数，商是两位数，这个一位数最小是 。

6．（3分）在横线上填上“＞”“＜”或“＝”。

1个十 10个0.1100分 1时45平方米 450平方分米360÷6 360÷325×40 20×50七八两个月共多少天　60天数学课本封面能摆多少个1平方厘米 1平方米正方形能站多少个同学7．（3分）一场音乐会从晚上7：30开始，演出时长为120分钟，结束的时间用24时计时法表示是 。

8．（3分）三（1）班同学参观文学历史展，各展区如图所示。

（1）从“唐诗”向 走到“宋词”，再向 走到“元曲”，最后向 走到“明清小说”。

（2）“汉赋”在“唐诗”的南面，在“元曲”的东面，请用“汉”字标出它可能的位置。

9．（3分）戴老师要从本班以下6位同学中挑选出跑得快的4人参加校运动会百米接力跑，按从快到慢顺序，他应该选择 （填序号）参加比赛。

姓名①小刘②小关③小张④小赵⑤小马⑥小黄成绩/秒16.317.515.716.516.017.910．（3分）5个同学进行估面积比赛，每2人比一场，一共要比多少场？请在图中用连线表示比赛，并数一数有 场。

11．（3分）两个相同的长方形，长20厘米，宽10厘米。

如果拼成正方形，它的周长是 厘米。

如果拼成长方形，它的周长是 厘米。

二、选择题（把正确答案的序号填在括号里）12．（3分）下面选项中（ ）的面积最接近1平方厘米。

2018—2019学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）方程x2=3x的解为（）A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=32．（3分）下面左侧几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）如果=2，则的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．4．（3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（）A．20 B．30 C．40 D．505．（3分）关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣36．（3分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为x，可列方程为（）A．300（1+x%）2=950 B．300（1+x2）=950 C．300（1+2x）=950 D．300（1+x）2=950 7．（3分）今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A．y=+2000 B．y=﹣2000 C．y=D．y=8．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=38°，则∠E的值是（）A．19°B．18°C．20°D．21°9．（3分）下列说法正确的是（）A．二次函数y=（x+1）2﹣3的顶点坐标是（1，3）B．将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=（x+2）2的图象C．菱形的对角线互相垂直且相等D．平面内，两条平行线间的距离处处相等10．（3分）如图，一路灯B距地面高BA=7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H 的方向行走至点G，若AD=6m，DG=4m，则小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是（）A．变长1m B．变长1.2m C．变长1.5m D．变长1.8m11．（3分）一次函数y=ax+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+x+c的图象可能大致是（）A．B．C．D．12．（3分）如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）有三张外观完全相同的卡片，在卡片的正面分别标上数字﹣1，0，﹣2，将正面朝下放在桌面上．现随机翻开一张卡片，则卡片上的数字为负数的概率为．14．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）（x+2）的对称轴方程是．15．（3分）如图，点A在曲线y=（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，OA的垂直平分线交OB、OA于点C、D，当AB=1时，△ABC的周长为．16．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是OB上一点，且OB=3OE，连接AE，过点D作DG⊥AE于点F，交AB边于点G，连接GE，若AD=6，则GE的长是．三、解答题（本大题共7小题，共52分）17．（5分）计算：（﹣1）2018﹣（）﹣1+2×（）0+．18．（5分）x2﹣8x+12=0．19．（8分）在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，它们除颜色外其余完全相同．（1）从袋中任意摸出两个球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个白球的概率；（2）若在布袋中再添加a个白球，充分搅匀，从中摸出一个球，使摸到红球的概率为，试求a的值．20．（8分）如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC=60，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．21．（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：（1）填空：每天可售出书本（用含x的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？22．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，▱OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在x轴上，且OA=4，OC=2，∠COA=45°．反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连接AC，CD．（1）试求反比例函数的解析式；（2）求证：CD平分∠ACB；（3）如图2，连接OD，在反比例的函数图象上是否存在一点P，使得S△POC=S△COD？如果存在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）方程x2=3x的解为（）A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3【解答】解：∵x2﹣3x=0，∴x（x﹣3）=0，则x=0或x﹣3=0，解得：x=0或x=3，故选：D．2．（3分）下面左侧几何体的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从左面看，是一个长方形．故选C．3．（3分）如果=2，则的值是（）A．3 B．﹣3 C．D．【解答】解：∵=2，∴a=2b，∴==3．故选A．4．（3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（）A．20 B．30 C．40 D．50【解答】解：根据题意得=0.4，解得：n=30，故选：B．5．（3分）关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，∴△＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，解得a＞﹣1且a≠0，故选B．6．（3分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为x，可列方程为（）A．300（1+x%）2=950 B．300（1+x2）=950 C．300（1+2x）=950 D．300（1+x）2=950 【解答】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得2018年年收入为：300（1+x）2，列出方程为：300（1+x）2=950．故选：D．7．（3分）今年，某公司推出一款的新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款2000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A．y=+2000 B．y=﹣2000 C．y=D．y=【解答】解：由题意可得：y==．故选：C．8．（3分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=38°，则∠E的值是（）A．19°B．18°C．20°D．21°【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=60°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=38°，即∠E=19°．故选A9．（3分）下列说法正确的是（）A．二次函数y=（x+1）2﹣3的顶点坐标是（1，3）B．将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=（x+2）2的图象C．菱形的对角线互相垂直且相等D．平面内，两条平行线间的距离处处相等【解答】解：A、二次函数y=（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3），错误；B、将二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到二次函数y=x2+2的图象，错误；C、菱形的对角线互相垂直且平分，错误；D、平面内，两条平行线间的距离处处相等，正确；故选D10．（3分）如图，一路灯B距地面高BA=7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H 的方向行走至点G，若AD=6m，DG=4m，则小红在点G处的影长相对于点D处的影长变化是（）A．变长1m B．变长1.2m C．变长1.5m D．变长1.8m【解答】解：由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB，∴=、=，即=、=，解得：DE=1.5、HG=2.5，∵HG﹣DE=2.5﹣1.5=1，∴影长边长1m．故选：A．11．（3分）一次函数y=ax+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+x+c的图象可能大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵一次函数y=ax+c的图象经过一三四象限，∴a＞0，c＜0，故二次函数y=ax2+x+c的图象开口向上，对称轴在y轴左边，交y轴于负半轴，故选：C．12．（3分）如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（）A．①③B．②③C．②③④D．②④【解答】解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM=0，显然FM≠CM；②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP=∠DCP，∵四边形PECF是矩形，∴OF=OC，∴∠OCF=∠OFC，∴∠OFC=∠DAP，∵∠DAP+∠AMD=90°，∴∠GFM+∠AMD=90°，∴∠FGM=90°，∴AH⊥EF．③正确．∵AD∥BH，∴∠DAP=∠H，∵∠DAP=∠PCM，∴∠PCM=∠H，∵∠CPM=∠HPC，∴△CPM∽△HPC，∴=，∴PC2=PM•PH，根据对称性可知：PA=PC，∴PA2=PM•PH．④正错误．∵四边形PECF是矩形，∴EF=PC，∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，∵AC=2，∴PC的最小值为1，∴EF的最小值为1；故选B．二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）有三张外观完全相同的卡片，在卡片的正面分别标上数字﹣1，0，﹣2，将正面朝下放在桌面上．现随机翻开一张卡片，则卡片上的数字为负数的概率为．【解答】解：∵共有3张卡片，卡片的正面分别标上数字﹣1，0，﹣2，卡片上的数字为负数的有2张，∴卡片上的数字为负数的概率为；故答案为：．14．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）（x+2）的对称轴方程是x=﹣．【解答】解：y=﹣（x﹣1）（x+2）=﹣（x2+x﹣2）=﹣（x+）2+，∴二次函数y=﹣（x﹣1）（x+2）的对称轴为x=﹣，故答案为：x=﹣．15．（3分）如图，点A在曲线y=（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，OA的垂直平分线交OB、OA于点C、D，当AB=1时，△ABC的周长为4．【解答】解：∵点A在曲线y=（x＞0）上，AB⊥x轴，AB=1，∴AB×OB=3，∴OB=3，∵CD垂直平分AO，∴OC=AC，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=1+BC+OC=1+OB=1+3=4，故答案为：4．16．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是OB上一点，且OB=3OE，连接AE，过点D作DG⊥AE于点F，交AB边于点G，连接GE，若AD=6，则GE的长是．【解答】解：作EH⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=A D=6，∴OA=OB=6，∵OB=3OE，∴OE=2，EB=4，∵∠EBH=∠BEH=45°，∴EH=BH=2，∴AH=AB﹣BH=4，∵∠ADG+∠DAF=90°，∠DAF+∠EAH=90°，∴∠ADG=∠EAH，∵∠DAG=∠AHE，∴△DAG∽△AHE，∴=，∴=，∴AG=3，∴GH=AH﹣AG=，在Rt△EGH中，EG==．故答案为．三、解答题（本大题共7小题，共52分）17．（5分）计算：（﹣1）2018﹣（）﹣1+2×（）0+．【解答】解：原式=1﹣3+2+3=3．18．（5分）x2﹣8x+12=0．【解答】解：x2﹣8x+12=0，分解因式得（x﹣6）（x﹣2）=0，∴x﹣6=0，x﹣2=0，解方程得：x1=6，x2=2，∴方程的解是x1=6，x2=2．19．（8分）在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，它们除颜色外其余完全相同．（1）从袋中任意摸出两个球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个白球的概率；（2）若在布袋中再添加a个白球，充分搅匀，从中摸出一个球，使摸到红球的概率为，试求a的值．【解答】解：（1）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球都是白色的有2种情况，∴随机从袋中摸出两个球，都是白色的概率是：=．（2）根据题意，得：=，解得：a=5，经检验a=5是原方程的根，故a=5．20．（8分）如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC=60，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．【解答】（1）证明：∵EF是DC的垂直平分线，∴DE=EC，DF=CF，∠EGC=∠FGC=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ECG=∠FCG，∵CG=CF，∴△CGE≌△FCG（ASA），∴GE=GF，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE=CE，∴四边形DFCE是菱形；（2）解：过D作DH⊥BC于H，则∠DHF=∠DHB=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BDH=30°，∴BH=BD=1，在Rt△DHB中，DH==，∵四边形DFCE是菱形，∴DF∥AC，∴∠DFB=∠ACB=45°，∴△DHF是等腰直角三角形，∴DH=FH=，∴BF=BH+FH=1+．21．（8分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：（1）填空：每天可售出书300﹣10x本（用含x的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？【解答】解：（1）∵每本书上涨了x元，∴每天可售出书（300﹣10x）本．故答案为：300﹣10x．（2）设每本书上涨了x元（x≤10），根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，整理，得：x2﹣20x+75=0，解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．22．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，▱OABC的一个顶点与坐标原点重合，OA边落在x轴上，且OA=4，OC=2，∠COA=45°．反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点C，与AB交于点D，连接AC，CD．（1）试求反比例函数的解析式；（2）求证：CD平分∠ACB；（3）如图2，连接OD，在反比例的函数图象上是否存在一点P，使得S△POC=S△COD？如果存在，请直接写出点P的坐标．如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥x轴于E，∴∠CEO=90°，∵∠COA=45°，∴∠OCE=45°，∵OC=2，∴OE=CE=2，∴C（2，2），∵点C在反比例函数图象上，∴k=2×2=4，∴反比例函数解析式为y=，（2）如图2，过点D作DG⊥x轴于G，交BC于F，∵CB∥x轴，∴GF⊥CB，∵OA=4，由（1）知，OC=CE=2，∴AE=EC=2，∴∠ECA=45°，∠OCA=90°，∵OC∥AB，∴∠BAC=∠OCA=90°，∴AD⊥AC，∵A（4，0），AB∥OC，∴直线AB的解析式为y=x﹣4①，∵反比例函数解析式为y=②，联立①②解得，或（舍），∴D（2+2，2﹣2），∴AG=DG=2﹣2，∴AD=DG=4﹣2，∴DF=2﹣（2﹣2）=4﹣2，∴AD=DF，∵AD⊥AC，DF⊥CB，∴点D是∠ACB的角平分线上，即：CD平分∠ACB；（3）存在，∵点C（2，2），∴直线OC的解析式为y=x，OC=2，∵D（2+2，2﹣2），∴CD=2﹣2Ⅰ、如图3，当点P在点C右侧时，即：点P的横坐标大于2，∵S△POC=S△COD，∴设CD的中点为M，∴M（+2，），过点M作MP∥OC交双曲线于P，∴直线PM的解析式为y=x﹣2③，∵反比例函数解析式为y=④，联立③④解得，或（舍），∴P（+1，﹣1）；Ⅱ、当点P'在点C左侧时，即：点P'的横坐标大于0而小于2，设点M关于OC的对称点为M'，M'（m，n），∴=2，=2，∴m=2﹣，n=4﹣，∴M'（2﹣，4﹣），∵P'M'∥OC，∴直线P'M'的解析式为y=x+2⑤，联立④⑤解得，或（舍），∴P'（﹣1，+1）．即：点P的坐标为（﹣1，+1）或P（+1，﹣1）．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m=，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y=a（x+2）（x﹣4），∵OC=2OA，OA=2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a=﹣，∴y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+．（2）如图1中，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m==，∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y=﹣x+4，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF=﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣（n﹣2）2+2，∴m==﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n=2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，有（2）可知P（2，4），代入y=kx+1中，得到k=，∴直线DP的解析式为y=x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），由△DOE∽△QOD可得=，∴OD2=OE•OQ，∴1=•OQ，∴OQ=，∴Q（，0）．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y=x+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y=﹣x+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2=x2+1，QP2=（x﹣2）2+42，PD2=13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2=PD2，∴x2+1+（x﹣2）2+16=13，整理得x2﹣2x+4=0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．。

2020-2021学年福建省福州市鼓楼区五年级（上）期末数学试卷一.填空题。

1．2300cm2＝dm22时45分＝时2．在横线里填上“＞”、“＝”或“＜”。

5.35÷0.99 5.35 2.7÷0.18 27÷1.88.6÷1.1 1.1×8.60.06⋅5⋅0.065⋅3．每盒饼干6.9元钱，50元最多可以买盒饼干．4．一个灯塔上的信号灯，闪5下用了20秒，信号灯闪了12下用时秒，30秒最多闪下。

5．光年是计量天体距离的单位，1光年约9.5万亿千米．距地球最近的一颗恒星约有4.22光年，合万亿千米．6．袋子里有三种大小相同颜色不同的小球，其中红球5个，黑球3个，蓝球2个。

任意摸出1个球，摸到球的可能性最大。

7．小强走0.25千米需要0.1小时，他每小时走千米，每走1千米需要小时．8．一本书有a页，张华每天看5页，看了b天。

5b表示，a﹣5b表示。

9．第一颗人造卫星绕地球一圈要用114分钟，比“神舟”六号绕地球一圈所用时间的2倍少66分钟。

设“神舟”六号绕地球一圈的时间为x分钟，列方程为。

10．一条直线上有A、B、C三个点，A点用数对表示为（2，1），B点用数对表示为（4，2），那么C点用数对表示为（x，5），那么x的值为。

二、对号入座（选择正确答案序号填在括号内）11．与4.886÷1.03的商相等的是（）A．488.6÷10.3B．48.86÷103C．48.86÷10.3D．4886÷103 12．如图，如果点A的位置表示为（5，4），那么B的位置可以表示为（）A．（2，3）B．（3，2）C．（1，2）D．（2，2）13．x＝3是下面方程（）的解。

A．4x+8＝17B．23﹣5x＝8C．20.4÷x＝5.1D．6x＝7814．如果7.3×□+□×2.7＝31.5，那么□里应填的数是（）A．3.15B．31.5C．0.315D．无法确定15．与35.87÷7.04的商最接近的算式是（）A．35÷7B．36÷7C．35÷8D．38÷816．下面等式不成立的是（）A．5.6×102＝5.6×100+2×5.6B．18.4﹣6.5+4.2＝18.4﹣（6.5﹣4.2）C．7×0.98＝7×1﹣0.02D．7.23﹣0.31﹣0.69＝7.23﹣（0.31+0.69）17．下列事件中，（）是不可能发生的。

2019-2020 学年南京市鼓楼区第一学期初三英语期中测试卷一、听力部分（共 20 小题；每小题 1 分，计 20 分）略二、单项填空（共 15 小题；每小题 1 分，满分 15 分）请认真阅读下列各题，从题中所给的 A、B、C、D 四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡将该项涂黑。

21.The notice on the right tells you that .A.you should take all your books with youB.t he librarian needs to see your books before you goC the librarian will show you where to put your booksD.you must return your books before you leave the library22.---What makes a good artist,John?---An artist should be enough to come up with something new or different.A.creativeanizedC.energeticD.patient23.---How did you feel when you talked to Miss Sun, Billy?---She seemed serious, but the of her voice made me feel less nervous.A.warmthB.strengthC.styleD.calm24.---What do you think is the best way to protect wild animals?---I'm very much _all kinds of hunting.A.oppositeB.towardsC.forD.against25.---When shall we meet, Thursday night or Friday morning?--- you want. Either is OK with me.A.IfB.AsC.WheneverD.Although26.---Why are you so crazy about watching basketball matches?---They are exciting and sometimes you won't know the result the match ends.A.whenB.afterC.untilD.as soon as27.---We hardly have any time for our hobbies. Have you got any ideas, Samuel?--- choosing our hobbies according to the time we have?A. What aboutB.Why notC. Shall weD.Why don't we28.--- Tom Mary speaks good Chinese, so they can talk with theChinese students.A. Neither; norB. Either, orC.Both; andD. Not only; but also29.--- you which scarf to choose?---Just a minute . I'm thinking about which one matches my dress.A.Are;decidingB.Did;decideC.Have;decidedD.Will;decide30.Can you a story to tell us what Alice will see in the garden? Work in groups of four and have a discussion.A.work outB.make upC.find outD.put up31.---Are you really willing to do so much homework?---To tell you the truth, sometimes I to do that, but I think it really helps me.A.forceB.am forcedC.forcedD.was forced32.---Could you tell me how to pay you?---You'd better use your mobile phone . I don't care it is Alipay or WeChat Pay.A.thatB.whenC.whichD.whether33.---I saw May talking to you just now. What did she say?---She went to my classroom but didn't find me . She asked me .A. if I can help her with MathsB.why I was late this morningC. where was I going at that timeD. what present shall we buy for Kate34.My trip to Nanjing is an unforgettable experience, Henry."An unforgettable experience" in the sentence means .A. something that you will never forgetB. something that you will soon forgetC.something that you will forget easilyD.something that you will forget finally35.---Would you offer me some advice on how to improve my oral English?--- . Reading aloud matters a lot.A. That's OKB. Never mindC.With pleasureD. Don't mention it三、完形填空（共 10 小题；每小题 1 分，满分 10 分）请认真阅读下列短文，从短文后各题所给的 A、B、C、D 四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

2021-2022学年福建省福州市鼓楼区九年级第一学期期末数学试卷一．选择题（共10小题，每题4分）1．下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（）A．4个B．5个C．不足4个D．6个或6个以上3．抛物线y＝﹣（x+1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）4．已知x＝1是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则实数c的值是（）A．﹣1B．0C．1D．25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经变换后得到抛物线y＝x2+2，则这个变换可以（）A．向左平移2个单位B．向上平移2个单位C．向下平移2个单位D．向右平移2个单位6．下列说法正确的是（）A．概率很小的事件不可能发生B．抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为1C．必然事件发生的概率是1D．某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票一定会中奖7．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（）A．300（1+x）2＝260B．300（1﹣x2）＝260C．300（1﹣2x）＝260D．300（1﹣x）2＝2608．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（）A．AB∥CD B．∠A＝∠D C．D．9．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm10．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（）A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜二．填空题（共6小题，每题4分）11．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是．12．若点P（m，5）与点Q（3，﹣5）关于原点成中心对称，则m的值是．13．已知一个扇形的圆心角为100°，半径为4，则此扇形的弧长是．14．如图，▱ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD ∥x轴，当双曲线y＝经过点D时，则▱ABCD面积为．15．已知⊙O的内接正六边形的边心距为2．则该圆的的半径为．16．如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为．三．解答题（共9小题）17．解方程：x2﹣2x﹣5＝0．18．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．19．如图，直线l1∥l2∥l3，点A，C分别在直线l1，l3上，连接AC交直线l2于E点，AE＝EC．（1）尺规作图：在直线l2上从左到右依次确定B，D两点，使得四边形ABCD是矩形（保留作图痕迹，不必写作法及证明）；（2）在（1）的情况下，若AE＝4，∠AEB＝60°，求矩形ABCD的周长．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，直角顶点B位于x轴的负半轴，点A（0，﹣2），斜边AC交x轴于点D，且D（1，0），BC与y轴交于点E，y轴平分∠BAC，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C．（1）直接写出点B的坐标；（2）求y＝（x＞0）的函数表达式．22．生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为；（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，则n的最小值为．23．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：每条裤子每降价1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．（1）求出y与x之间的函数关系式（不用写自变量的取值范围）；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当每条裤子的售价降价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？24．如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF ⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，每题4分）1．下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；故选：A．2．在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（）A．4个B．5个C．不足4个D．6个或6个以上【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案．解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，∴红球的个数比白球个数多，∴红球个数满足6个或6个以上，故选：D．3．抛物线y＝﹣（x+1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）【分析】直接由抛物线的顶点式即可求得答案．解：∵y＝﹣（x+1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），故选：A．4．已知x＝1是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则实数c的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】将x＝1代入x2﹣2x+c＝0得到关于c的方程，解之可得．解：根据题意，将x＝1代入x2﹣2x+c＝0，得：1﹣2+c＝0，解得：c＝1，故选：C．5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经变换后得到抛物线y＝x2+2，则这个变换可以（）A．向左平移2个单位B．向上平移2个单位C．向下平移2个单位D．向右平移2个单位【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．解：y＝x2的顶点坐标是（0，0）．y＝x2+2的顶点坐标是（0，2）．所以将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度得到抛物线y＝x2+2，故选：B．6．下列说法正确的是（）A．概率很小的事件不可能发生B．抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为1C．必然事件发生的概率是1D．某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票一定会中奖【分析】根据概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，不可能事件的特点逐一判断即可解：A．概率很小的事件也可能发生，故A不符合题意；B．抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为，故B不符合题意；C．必然事件发生的概率是1，故C符合题意；D．某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票不一定会中奖，故D不符合题意；故选：C．7．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（）A．300（1+x）2＝260B．300（1﹣x2）＝260C．300（1﹣2x）＝260D．300（1﹣x）2＝260【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意，得：300（1﹣x）2＝260．故选：D．8．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（）A．AB∥CD B．∠A＝∠D C．D．【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．故选：D．9．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直径为52cm，∴OB＝OC＝26cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），故选：C．10．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（）A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜【分析】二次函数的图象过点（﹣1，0），则a﹣b+＝0，而t＝2a+b，则a＝，b ＝，二次函数的图象的顶点在第一象限，则﹣＞0，﹣＞0，即可求解．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+的图象过点（﹣1，0），∴a﹣b+＝0，∴b＝a+，而t＝2a+b，则a＝，b＝，∵二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，∴﹣＞0，﹣＞0，将a＝，b＝代入上式得：﹣＞0，解得：﹣1＜t＜，﹣＞0，解得：t≠，故：﹣1＜t＜，故选：D．二．填空题（共6小题，每题4分）11．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是．【分析】找到满足不等式x+1＜2的结果数，再根据概率公式计算可得．解：在﹣1，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式x+1＜2的有﹣1、0这两个，所以满足不等式x+1＜2的概率是＝，故答案为：．12．若点P（m，5）与点Q（3，﹣5）关于原点成中心对称，则m的值是﹣3．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m的值．解：若点P（m，5）与点Q（3，﹣5）关于原点成中心对称，则m的值是﹣3．故答案为：﹣3．13．已知一个扇形的圆心角为100°，半径为4，则此扇形的弧长是．【分析】根据弧长公式计算即可．解：此扇形的弧长＝＝，故答案为．14．如图，▱ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD ∥x轴，当双曲线y＝经过点D时，则▱ABCD面积为8．【分析】设点D的坐标为（a，b），即可得到ab＝4，再根据AD＝a，AO＝b，即可得到▱ABCD面积．解：设点D的坐标为（a，b），∵双曲线y＝经过点D，∴ab＝4，∵AD∥x轴，∴AD＝a，AO＝b，又∵点O为AC的中点，∴AC＝2AO＝2b，∴▱ABCD面积＝2×AD×AC＝a×2b＝2ab＝8，故答案为：8．15．已知⊙O的内接正六边形的边心距为2．则该圆的的半径为4．【分析】连接OA、OB，证出△AOB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义即可求得半径．解：如图所示，连接OA、OB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠OAM＝60°，∴OM＝OA•sin∠OAM，∴OA＝＝＝4，∴该圆的半径为4．故答案为：4．16．如图，平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（3，﹣10）．【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性质确定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标．解：∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四边形ABCD为正方形，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D的坐标为（3，﹣10）．故答案为：（3，﹣10）．三．解答题（共9小题）17．解方程：x2﹣2x﹣5＝0．【分析】先利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．解：x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．18．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC；（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，那么∠FAG＝50°．由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝28°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝78°．【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF＝BC；（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，∴∠FAG＝∠BAE＝50°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝28°，∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°．19．如图，直线l1∥l2∥l3，点A，C分别在直线l1，l3上，连接AC交直线l2于E点，AE＝EC．（1）尺规作图：在直线l2上从左到右依次确定B，D两点，使得四边形ABCD是矩形（保留作图痕迹，不必写作法及证明）；（2）在（1）的情况下，若AE＝4，∠AEB＝60°，求矩形ABCD的周长．【分析】（1）以AC为直径作圆交直线l2于B，D，四边形ABCD即为所求．（2）证明△ABE是等边三角形，利用勾股定理求出AD即可解决问题．解：（1）如图，所作的四边形ABCD是矩形．（2）∵AE＝BE，∠AEB＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝4，又∵∠BAD＝90°，∴AD＝＝＝4，所以，矩形ABCD的周长为：2（AB+AD）＝8+8．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；（2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，直角顶点B位于x轴的负半轴，点A（0，﹣2），斜边AC交x轴于点D，且D（1，0），BC与y轴交于点E，y轴平分∠BAC，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C．（1）直接写出点B的坐标；（2）求y＝（x＞0）的函数表达式．【分析】（1）根据已知条件得到OD＝1，根据角平分线的定义得到∠BAO＝∠DAO，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过C作CH⊥x轴于H，得到∠CHD＝90°，根据余角的性质得到∠DCH＝∠CBH，根据三角函数的定义得到＝＝，设DH＝x，则CH＝2x，BH＝4x，列方程即可得到结论．解：（1）∵点A（0，﹣2），∴OA＝2，∵D（1，0），∴OD＝1，∵y轴平分∠BAC，∴∠BAO＝∠DAO，∵∠AOD＝∠AOB＝90°，AO＝AO，∴△AOB≌△AOD（ASA），∴OB＝OD＝1，∴点B坐标为（﹣1，0）；（2）过C作CH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBO＝∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠DAO＝∠CBD，∵∠ADO＝∠CDH，∴∠DCH＝∠DAO，∴∠DCH＝∠CBH，∴tan∠CBH＝tan∠DCH＝，∴＝＝，设DH＝x，则CH＝2x，BH＝4x，∴2+x＝4x，∴x＝，∴OH＝，CH＝，∴C（，），∴k＝×＝，∴y＝（x＞0）的函数表达式为y＝．22．生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．（1）用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数；（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为16；（3）某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用n×n的网格图来表示个人身份信息，若该校师生共492人，则n的最小值为3．【分析】（1）画出树状图，即可得出答案；（2）画出树状图，即可得出答案；（3）由题意得出规律，即可得出答案．解：（1）画树状图如下：共有4种等可能结果，∴图③可表示不同信息的总个数为4；（2）画树状图如下：共有16种等可能结果，故答案为：16；（3）由图②得：当n＝1时，21＝2，由图④得：当n＝2时，22×22＝16，∴n＝3时，23×23×23＝512，∵16＜492＜512，∴n的最小值为3，故答案为：3．23．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：每条裤子每降价1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．（1）求出y与x之间的函数关系式（不用写自变量的取值范围）；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当每条裤子的售价降价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每月可多销售5条，写出y与x的函数关系式；（2）该网店每月获得的利润w元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）＝﹣5x+500，∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500；（2）由题意得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500，∵a＝﹣5＜0，抛物线开口向下，∴w有最大值，即当x＝70时，w最大值＝4500，∴降价为80﹣70＝10（元），每条裤子的售价降价10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元．24．如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF ⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．【分析】（1）连结OD，根据已知条件可推出△DOA是等边三角形，利用∠ODA＝∠C 即可证明OD∥BC，进而即可知∠DFC＝∠ODF＝90°，即可求证；（2）用含有a和r的式子分别表示出BE和BF的长，根据BF＝2BE列出等式即可找到r与a的数量关系．【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：∵∠DAO＝60°，OD＝OA，∴△DOA是等边三角形，∴∠ODA＝∠C＝60°，∴OD∥BC，又∵∠DFC＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，即DF是⊙O的切线；（2）设半径为r，等边△ABC的边长为a，由（1）可知：AD＝r，则CD＝a﹣r，BE＝a﹣2r在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝a﹣r，∴CF＝，∴BF＝a﹣，又∵EF是⊙O的切线，∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，∴BF＝2BE，∴a﹣（a﹣r）＝2（a﹣2r），解得：a＝3r，即r＝，∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r＝．25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）△BCE是直角三角形．运用勾股定理逆定理即可证明；（3）如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，∴BE2＝BC2+CE2，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是直角三角形；（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．理由如下：连结CP，∵CP为半径，∴＝＝，又∵∠FCP＝∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴＝＝，即FP＝EP，∴BF＝BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．∵CF＝CE，E（2，8），∴由比例性质，易得F（，），∴BF＝＝．。

福建省福州屏东中学2022-2023学年九年级上学期开门考数学试卷（附答案与解析）一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（）A．0.215×108B．2.15×107C．2.15×106D．21.5×106 2．（4分）下列二次根式，化简后能与合并的是（）A．B．C．D．3．（4分）若m＞n，则下列不等式正确的是（）A．＞B．m﹣2＜n﹣2C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n 4．（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：甲乙丙丁平均数9.69.59.59.6方差0.280.270.250.25若从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．（4分）如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．100°6．（4分）一次函数y＝1﹣2x的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（4分）为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类．已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（）A．60（1+x）2＝285B．60（1﹣x）2＝285C．60（1+x）+60（1+x）2＝285D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝2858．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为（）A．B．1C．D．29．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为（）A．1B．2C．3D．410．（4分）点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（）A．m＞2B．m＞C．m＜1D．＜m＜2二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）已知一组数据为1，10，6，4，7，4，则这组数据的众数为．12．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是．13．（4分）Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为．14．（4分）如图，直线y1＝2x与y2＝﹣x+a交于点P（1，2），则不等式2x≥﹣x+a的解集为．15．（4分）如图，△ABC的周长是10，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是．16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，①△ABE的面积＝△BCE 的面积；②∠F AG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．以上说法正确的是．三、解答题（9小题，共86分）17．（8分）计算：+|﹣1|﹣20220．18．（8分）解不等式组：．19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3．20．（8分）如图，F，C是AD上两点，且AF＝CD，点E，F，G在同一直线上，且BC∥GF，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF．21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．（1）尺规作图：在边AB上确定一点D，使∠ADC＝2∠B（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；（2）在（1）的条件下，若∠B＝15°，∠ACB＝105°，CD＝3，AC＝，求△ABC 的面积．22．（10分）新世纪百货茶江商都统计了30名营业员在某月的销售额，统计图如图，根据统计图中给出的信息，解答下列问题：（1）设营业员的月销售额为x（单位：万元），商场规定：当x＜15时为不称职，当15≤x＜20时为基本称职，当20≤x＜25为称职，当x≥25时为优秀．称职和优秀的营业员共有的人数为．（2）根据（1）中规定，所有称职以上（称职和优秀）的营业员月销售额的中位数为，平均数是多少？（写出计算平均数的解答过程）（3）为了调动营业员的工作积极性，决定制定月销售额奖励标准，凡到达或超过这个标准的营业员将受到奖励．如果要使得称职以上（称职和优秀）的营业员有一半能获奖，你认为这个奖励标准应定月销售额为多少元合适？并简述其理由．23．（10分）成都是一座休闲又充满幸福感的城市，眼下露营正成为成都人民一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定采购一批帐篷进行销售，已知防晒帐篷的采购价是普通帐篷的2倍，且用4500元购买的防晒帐篷比用1500元购买的普通帐篷多5件．（1）求防晒帐篷和普通帐篷的采购价；（2）小明准备拿出7500元全部用于采购防晒帐篷和普通帐篷并进行销售，设防晒帐篷采购a件，普通帐篷采购b件．①用含a的式子表示b；②经过市场调研，小明决定将防晒帐篷售价定为380元/件，普通帐篷售价定为180元/件．若采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，为了使销售完采购的帐篷时所获得的利润最大，请你为小明制定采购方案并求出最大利润．24．（12分）已知△ABC为等边三角形，其边长为4．点P是AB边上一动点，连接CP．（1）如图1，点E在AC边上且AE＝BP，连接BE交CP于点F．①求证：BE＝CP；②求∠BFC的度数．（2）如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D．设BP＝x，CD＝y，求y与x的函数关系式．25．（14分）如图1，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，2），连接AC，BC．（1）求这个二次函数的表达式及点A坐标；（2）点P是AC上方抛物线上的动点，①当S△APC＝3，求点P的坐标；②过点P作PD∥BC，交x轴于点D，求PD的最大值．福建省福州屏东中学2022-2023学年九年级上学期开门考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（）A．0.215×108B．2.15×107C．2.15×106D．21.5×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将21500000用科学记数法表示为2.15×107，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（4分）下列二次根式，化简后能与合并的是（）A．B．C．D．【分析】先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．【解答】解：A、＝3，不能与合并，不合题意；B、＝，能与合并，符合题意；C、＝2，不能与合并，不合题意；D、＝2，不能与合并，不合题意．故选：B．【点评】本题考查了同类二次根式的应用，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式．3．（4分）若m＞n，则下列不等式正确的是（）A．＞B．m﹣2＜n﹣2C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n 【分析】根据不等式的性质分析判断．【解答】解：A、不等式m＞n的两边同时除以4，不等号的方向不变，即，故此选项符合题意；B、不等式m＞n的两边同时减去2，不等号的方向不变，即m﹣2＞n﹣2，故此选项不符合题意；C、不等式m＞n的两边同时乘6，不等号的方向不变，即6m＞6n，故此选项不符合题意；D、不等式m＞n的两边同时乘﹣8，不等号的方向改变，﹣8m＜﹣8n，故此选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．4．（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：甲乙丙丁平均数9.69.59.59.6方差0.280.270.250.25若从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【解答】解：∵丁的平均分最高，方差最小，最稳定，∴应选丁．故选：D．【点评】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．5．（4分）如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．100°【分析】根据任意多边形内角和都等于360°，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：∠1+2+∠3+∠4+∠5＝360°，∵∠1+2+∠3+∠4＝280°，∴∠5＝360°﹣280°＝80°，故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握任意多边形内角和都等于360°是解题的关键．6．（4分）一次函数y＝1﹣2x的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+6中，k＝﹣2＜0，b＝1＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限故不经过三象限，故选：C．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时函数的图象在一、二、四象限是解答此题的关键．7．（4分）为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类．已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（）A．60（1+x）2＝285B．60（1﹣x）2＝285C．60（1+x）+60（1+x）2＝285D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝285【分析】设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，根据年底全市共285个社区实现垃圾分类，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，依题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2＝285．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为（）A．B．1C．D．2【分析】先根据三角形的中位线定理证明DE∥BC，则△ADE∽△ABC，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，即可由S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE求出四边形DBCE的面积．【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC，AE＝CE＝AB，∴＝，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∴S△ABC＝4S△ADE＝4×＝2，∴S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝2﹣＝，故选：C．【点评】此题重点考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积是解题的关键．9．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质证明∠ADE＝∠AED，根据等角对等边，即可求得AE的长，在直角△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，则CE的长即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠ADE，又∵∠DEC＝∠AED，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝10，在直角△ABE中，BE＝＝＝8，∴CE＝BC﹣BE＝AD﹣BE＝10﹣8＝2．故选：B．【点评】本题是平行四边形的性质，以及勾股定理，等腰三角形的判定定理：等角对等边，正确求得AE的长是关键．10．（4分）点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（）A．m＞2B．m＞C．m＜1D．＜m＜2【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．【解答】解：∵点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上，∴y1＝（m﹣1﹣1）2+n＝（m﹣2）2+n，y2＝（m﹣1）2+n，∵y1＜y2，∴（m﹣2）2+n＜（m﹣1）2+n，∴（m﹣2）2﹣（m﹣1）2＜0，即﹣2m+3＜0，∴m＞，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m 的不等式．本题属于基础题，难度不大．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）已知一组数据为1，10，6，4，7，4，则这组数据的众数为4．【分析】根据众数的定义就可以求解．【解答】解：4出现的次数最多，所以众数为4．故答案为：4．【点评】主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．12．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是x≠．【分析】根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得2x﹣3≠0，解可得答案．【解答】解：由题意得：2x﹣3≠0，解得：x≠，故答案为：x≠．【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．13．（4分）Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为16．【分析】由勾股定理得AB2+AC2＝BC2，＝（2）2＝8，则AB2+AC2+BC2＝2BC2，即可得出结论【解答】解：∵Rt△ABC中，斜边BC＝2，∴AB2+AC2＝BC2＝（2）2＝8，∴AB2+AC2+BC2＝2BC2＝2×8＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．14．（4分）如图，直线y1＝2x与y2＝﹣x+a交于点P（1，2），则不等式2x≥﹣x+a的解集为x≥1．【分析】根据一次函数图象可确定不等式的解集．【解答】解：∵直线y1＝2x与y2＝﹣x+a交于点P（1，2），根据图象可知，不等式2x≥﹣x+a的解集为x≥1，故答案为：x≥1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练一次函数的图象是解题的关键．15．（4分）如图，△ABC的周长是10，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是15．【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD＝3，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵△ABC的周长是10，∴AB+AC+BC＝10，∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，OD＝3，∴OE＝OF＝OD＝3，∴S△ABC＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD＝×10×3＝15，故答案为：15．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，①△ABE的面积＝△BCE 的面积；②∠F AG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．以上说法正确的是①③．【分析】根据三角形面积公式，利用BE是AC边的中线可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠BAD＝∠ACD，而∠ACF＝∠BCF，∠F AG＝2∠FCB，则可对②进行判断；证明∠ABD＝∠CAD，根据三角形外角性质证明∠AFG＝∠AGF，所以AF＝AG，则可对③进行判断；利用特例对④进行判断．【解答】解：∵BE是AC边的中线，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，所以①正确；∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠ABD+∠ACD＝90°，∴∠BAD＝∠ACD，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴∠F AG＝∠ACD＝2∠FCB，所以②错误；∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABD+∠FCB，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，所以③正确；设∠ABD＝60°，则∠ACD＝30°，∠HCB＝15°，∴AC＝AB，∴AE＝AB，∴△ABE不是等腰直角三角形，∴∠ABE≠45°，∴∠EBC≠15°，∴∠HBE≠∠HCB，∴HB≠HC，所以④错误．故答案为：①③．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、解答题（9小题，共86分）17．（8分）计算：+|﹣1|﹣20220．【分析】应用零指数幂，绝对值，算术平方根的计算方法进行计算即可得出答案．【解答】解：原式＝2+﹣1﹣1＝．【点评】本题主要考查了零指数幂，绝对值，算术平方根，熟练掌握零指数幂，绝对值，算术平方根的计算方法进行求解是解决本题的关键．18．（8分）解不等式组：．【分析】先求出不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解：解不等式①，得x≥3，解不等式②，得x＜4，∴原不等式组的解集为3≤x＜4．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝3．【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．【解答】解：＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝3．【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．20．（8分）如图，F，C是AD上两点，且AF＝CD，点E，F，G在同一直线上，且BC∥GF，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF．【分析】根据平行线的性质可得∠BCA＝∠EFD，再根据SAS证明三角形全等即可．【解答】证明：∵BC∥GF，∵∠GF A＝∠EFD，∴∠BCA＝∠EFD，∵AF＝CD，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．（1）尺规作图：在边AB上确定一点D，使∠ADC＝2∠B（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；（2）在（1）的条件下，若∠B＝15°，∠ACB＝105°，CD＝3，AC＝，求△ABC 的面积．【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于点D，连接CD，点D即为所求；（2）根点C作CH⊥AB于点H，求出AB，CH可得结论．【解答】解：（1）如图，点D即为所求；（2）过点C作CH⊥AB于点H．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB＝15°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝30°，∴∠ACD＝90°，∵CD＝，∴AC＝CD•tan30°＝1，∴AD＝2AC＝2，CH＝CD＝，∵AB＝AD+BD＝2+，∴S△ABC＝•AB•CH＝×（2+）×＝+．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）新世纪百货茶江商都统计了30名营业员在某月的销售额，统计图如图，根据统计图中给出的信息，解答下列问题：（1）设营业员的月销售额为x（单位：万元），商场规定：当x＜15时为不称职，当15≤x＜20时为基本称职，当20≤x＜25为称职，当x≥25时为优秀．称职和优秀的营业员共有的人数为21．（2）根据（1）中规定，所有称职以上（称职和优秀）的营业员月销售额的中位数为22万元，平均数是多少？（写出计算平均数的解答过程）（3）为了调动营业员的工作积极性，决定制定月销售额奖励标准，凡到达或超过这个标准的营业员将受到奖励．如果要使得称职以上（称职和优秀）的营业员有一半能获奖，你认为这个奖励标准应定月销售额为多少元合适？并简述其理由．【分析】（1）根据条形统计图的数据即可求出称职、优秀层次营业员人数；（2）根据中位数和平均数的意义解答即可；（3）如果要使得称职和优秀这两个层次的所有营业员的半数左右能获奖，月销售额奖励标准可以定为称职和优秀这两个层次销售额的中位数，因为中位数以上的人数占总人数的一半左右．【解答】解：（1）由图可知营业员优秀人数为：2+1＝3（人），称职人数为：5+4+3+3+3＝18（人），所以称职和优秀的营业员共有的人数为：18+3＝21（人），故答案为：21；（2）称职以上的营业员月销售额的中位数是22万元，平均数是：（5×20+4×21+3×22+3×23+3×24+2×25+1×28）÷21＝（万元）．故答案为：22万元；（3）这个奖励标准应定月销售额为22万元合适．因为称职以上的营业员月销售额的中位数是22万元，说明销售额达到和超过22万元的营业员占称职营业员的一半，正好使称职以上营业员有一半能获奖．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．除此之外，本题也考查了加权平均数、中位数、众数的认识．23．（10分）成都是一座休闲又充满幸福感的城市，眼下露营正成为成都人民一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定采购一批帐篷进行销售，已知防晒帐篷的采购价是普通帐篷的2倍，且用4500元购买的防晒帐篷比用1500元购买的普通帐篷多5件．（1）求防晒帐篷和普通帐篷的采购价；（2）小明准备拿出7500元全部用于采购防晒帐篷和普通帐篷并进行销售，设防晒帐篷采购a件，普通帐篷采购b件．①用含a的式子表示b；②经过市场调研，小明决定将防晒帐篷售价定为380元/件，普通帐篷售价定为180元/件．若采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，为了使销售完采购的帐篷时所获得的利润最大，请你为小明制定采购方案并求出最大利润．【分析】（1）设普通帐篷的采购价位x元，则防晒帐篷的采购价为2x元，以购买帐篷的数量为等量关系列出分式方程解答即可；（2）①根据购买普通帐篷和防晒帐篷的总价是7500列出式子整理即可；②列出利润w关于a的函数关系式，然后根据不等关系得出a的取值范围，计算w即可．【解答】解：（1）设普通帐篷的采购价位x元，则防晒帐篷的采购价为2x元，由题意得，，解得x＝150，经检验x＝150是原分式方程的根并符合实际意义，所以2x＝2×150＝300，答：普通帐篷的采购价为150元，防晒帐篷的采购价为300元．（2）①根据题意可知：300a+150b＝7500，整理得：b＝50﹣2a；②设销售利润为w元，则w＝（380﹣300）a+（180﹣150）b＝80a+30（50﹣2a）＝20a+1500，w是关于a的一次函数，a＞0，所以w随着a的增大而增大，∵采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，∴，解得10，a为正整数，所以当a＝16时利润最大，最大利润w＝20×16+1500＝1820，所以购买16件防晒帐篷，18件普通帐篷，可以获得最大利润1820元．【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键．24．（12分）已知△ABC为等边三角形，其边长为4．点P是AB边上一动点，连接CP．（1）如图1，点E在AC边上且AE＝BP，连接BE交CP于点F．①求证：BE＝CP；②求∠BFC的度数．（2）如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D．设BP＝x，CD＝y，求y与x的函数关系式．【分析】（1）①根据SAS证明三角形全等即可；②利用全等三角形的性质求解即可；（2）如图2，在AC上截取AG＝BP＝x，连接BG，QG，证明四边形BCQG是平行四边形，推出CD＝CG，可得结论．【解答】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，∵AE＝BP，∴△ABE≌△BCP（SAS），∴BE＝CP；②解：由①知，△ABE≌△BCP，∴∠ABE＝∠BCP，∴∠CFE＝∠CBE+∠BCP＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°，∴∠BFC＝180°﹣∠CFE＝120°；（2）解：如图2，在AC上截取AG＝BP＝x，连接BG，QG，同（1）①的方法知，BG＝CP，由旋转知，∠PCQ＝120°，CP＝CQ，∴BG＝CQ，由（1）②知，∠BFC＝120°，∴∠BFC＝∠QCP，∴BG∥CQ，∴四边形BCQG是平行四边形，∴CD＝CG，∵等边△ABC的边长为4，∴AC＝4，∴CG＝AC﹣AG＝4﹣x，∴CD＝（4﹣x）＝2﹣x，即y＝2﹣x（0≤x≤4）．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．25．（14分）如图1，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，2），连接AC，BC．（1）求这个二次函数的表达式及点A坐标；（2）点P是AC上方抛物线上的动点，①当S△APC＝3，求点P的坐标；②过点P作PD∥BC，交x轴于点D，求PD的最大值．【分析】（1）将B（1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求函数的解析式；（2）①先求直线AC的解析式，过P作PG∥y轴交AC于点G，设P（t，﹣t2﹣t+2），则G（t，t+2），则S△APC＝﹣t2﹣4t＝3，求出t的值即可求P（﹣1，3）或（﹣3，2）；②先求直线BC的解析式，设P（t，﹣t2﹣t+2），则直线PD的解析式为y＝﹣2x﹣t2+t+2，可求D（﹣t2+t+1，0），再由PD＝﹣（t+）2+，则当t＝﹣时，PD有最大值．【解答】解：（1）将B（1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣x+2，令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，解得x＝﹣4或x＝1，∴A（﹣4，0）；（2）①设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+2，过P作PG∥y轴交AC于点G，设P（t，﹣t2﹣t+2），则G（t，t+2），∴PG＝﹣t2﹣t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣2t，∴S△APC＝×4×（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣4t＝3，解得t＝﹣1或t＝﹣3，∴P（﹣1，3）或（﹣3，2）；②设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣2x+2，∵PD∥BC，设P（t，﹣t2﹣t+2），则直线PD的解析式为y＝﹣2x﹣t2+t+2，∴D（﹣t2+t+1，0），∴PD＝＝﹣（t2+3t﹣4）＝﹣（t+）2+，∴当t＝﹣时，PD有最大值．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，两直线平行的性质是解题的关键．。

2025届福建省福州市鼓楼区福州屏东中学九上数学开学调研模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图在5×5的正方形网格中（每个小正方形的边长为1个单位长度），格点上有A 、B 、C 、E 五个点，若要求连接两个点所成线段的长度大于3且小于4，则可以连接（）A ．AE B ．AB C ．AD D ．BE 2、（4分）已知一次函数的图象经过点(0，3)和（－2，0），那么直线必经过点（）A ．（－4，－3)B ．(4，6)C ．(6，9)D ．(－6，6)3、（4分）下列给出的四个点中，在直线21y x =+的是（）A ．()1,0B ．()1,1C ．()1,1-D ．()0,14、（4分）使分式22x +有意义的x 的取值范围是（）A ．2x ≠-B ．2x ≠C ．2x >-D ．2x <-5、（4分）如图，矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF=2FC，AF 分别与DE、DB 相交于点M，N，则MN 的长为（）A ．5B ．20C ．4D ．56、（4分）某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件．若设这个百分数为x ，则可列方程（）A ．()220020011400x ++= B ．()()2200200120011400x x ++++= C ．()220011400x += D ．()()2200120011400x x +++= 7、（4分）如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的角平分线且交CD 于点M ，MC ＝2，▱ABCD 的周长是16，则DM 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．48、（4分）下面说法中正确的个数有（）①等腰三角形的高与中线重合②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形③顺次连接任意四边形的中点组成的新四边形为平行四边形④七边形的内角和为900°，外角和为360°⑤如果方程23111xkx x x +=---会产生增根，那么k 的值是4A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知四边形ABCD 为菱形，∠BAD=60°，E 为AD 中点，AB=6cm ，P 为AC 上任一点．求PE+PD 的最小值是_______10、（4分）已知点A （a ,b ）是一次函数3y x =-+的图像与反比例函数1y x =的图像的一个交点，则11a b +=___．11、（4分）已知方程ax 2+7x ﹣2＝0的一个根是﹣2，则a 的值是_____．12、（4分）已知等腰三角形有两条边分别是3和7，则这个三角形的周长是_______.13、（4分）在平行四边形ABCD 中，已知∠A﹣∠B＝60°，则∠C＝_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）计算：（1-；（2+（3﹣（3+）15、（8分）如图，ABC 中任意一点()00,P x y 经平移后对应点为()003,4P x y '++，将ABC 作同样的平移得到DEF ，其中点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 分别对应，请解答下列问题：（1）画出DEF ，并写出点D 、E 、F 的坐标．．（2）若DEF 与111D E F V 关于原点O 成中心对称，直接写出点D 的对应点1D 的坐标．16、（8分）如图，在▱ABCD 中，点E ，F 在对角线AC 上，且AE=CF ．求证：（1）DE=BF ；（2）四边形DEBF 是平行四边形．17、（10分）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：①如图1，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．②如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt ABC∆外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；（3）问题解决：如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG，GE，已知AC=2，AB=1．求GE的长度．18、（10分）解方程：（1）32511xx x+=--；（2）21122xx x=---．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）在学校的社会实践活动中，一批学生协助搬运初一、二两个年级的图书，初一年级需要搬运的图书数量是初二年级需要搬运的图书数量的两倍.上午全部学生在初一年级搬运，下午一半的学生仍然留在初一年级（上下午的搬运时间相等）搬运，到放学时刚好把初一年级的图书搬运完.下午另一半的学生去初二年级搬运图书，到放学时还剩下一小部分未搬运，最后由三个学生再用一整天的时间刚好搬运完.如果这批学生每人每天搬运的效率是相同的，则这批学生共有人数为______.20、（4分）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B 两点，P 是线段AB 上任意一点（不包括端点），过P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是__．21、（4分）若，则_________．22、（4分）“五一”期间，小红到某景区登山游玩，小红上山时间x （分钟）与走过的路程y （米）之间的函数关系如图所示，在小红出发的同时另一名游客小卉正在距离山底60米处沿相同线路上山，若小红上山过程中与小卉恰好有两次相遇，则小卉上山平均速度v （米/分钟）的取值范围是_____．23、（4分）已知一组数据3、x 、4、8、6，若该组数据的平均数是5，则x 的值是______．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）计算：×2÷﹣（2﹣．25、（10分）已知一次函数y=1x-4的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点P 在该函数的图象上，P 到x 轴、y 轴的距离分别为d 1,d 1．（1）求点A,B 的坐标；（1）当P 为线段AB 的中点时，求d 1+d 1的值；（3）直接写出d 1+d 1的范围，并求当d 1+d 1=3时点P 的坐标；（4）若在线段AB 上存在无数个点P ，使d 1+ad 1=4（a 为常数），求a 的值．26、（12分）如图，在菱形ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，求△ABC 的周长．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C 【解析】根据勾股定理求出AD ，BE ，根据算术平方根的大小比较方法解答．【详解】AE=4，AB=3，由勾股定理得，3＜4，=1．故选C ．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．2、A 【解析】分析:先根据“待定系数法”确定一次函数解析式，再检验直线解析式是否满足各点的横纵坐标．详解:设经过两点(0,3)和(−2,0)的直线解析式为y =kx +b ，则320b k b =⎧⎨-+=⎩,解得332b k =⎧⎪⎨=⎪⎩,∴y =32x +3；A.当x =−4时,y =32×(−4)+3=−3，点在直线上；B.当x =4时,y =32×4+3=9≠6，点不在直线上；C.当x =6时,y =32×6+3=12≠9，点不在直线上；D.当x =−6时,y =32×(−6)+3=−6≠6，点不在直线上；故选A.点睛:本题考查用待定系数法求直线解析式以及一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式是解答本题的关键．3、D 【解析】只需把每个点的横坐标即x 的值分别代入21y x =+，计算出对应的y 值，然后与对应的纵坐标比较即可．【详解】解：A 、当1x =时，3y =，则()1,0不在直线21y x =+上；B 、当1x =时，3y =，则()1,1不在直线21y x =+上；C 、当1x =-时，1y =-，则()1,1-不在直线21y x =+上；D 、当0x =时，1y =，则()0,1在直线21y x =+上；故选：D.本题考查判断点是否在直线上，知识点是：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．4、A 【解析】根据分式有意义的条件进行求解即可.【详解】由题意得，x+2≠0，解得：x ≠-2，故选A.本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握“分母不为0时，分式有意义”是解题的关键.5、B【解析】过F 作FH ⊥AD 于H ，交ED 于O ，于是得到FH=AB=1，根据勾股定理得到=，根据平行线分线段成比例定理得到，OH=13AE=13，由相似三角形的性质得到153AM AEFM FO===35，求得AM=38AF=324，根据相似三角形的性质得到AN ADFNBF==32，求得AN=35AF=625，即可得到结论．【详解】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=1．∵BF=1FC，BC=AD=3，∴BF=AH=1，FC=HD=1，∴=∵OH∥AE，∴HO DHAE AD==13，∴OH=13AE=13，∴OF=FH﹣OH=1﹣13=53，∵AE∥FO，∴△AME∽△FMO，∴153AM AEFM FO===35，∴AM=38AF=324，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴AN ADFN BF==32，∴AN=35AF=5，∴MN=AN﹣AM=5﹣4=20，故选B．6、B【解析】根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=1且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数x．【详解】解：已设这个百分数为x．200+200（1+x）+200（1+x）2=1．故选：B．本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．7、D【解析】根据BM是∠ABC的平分线和AB∥CD，求出BC＝MC＝2，根据▱ABCD的周长是16，求出CD＝6，得到DM的长．【详解】解：∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM＝∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM＝∠BMC，∴∠BMC＝∠CBM，∴BC＝MC＝2，∵▱ABCD的周长是16，∴BC+CD＝8，∴CD＝6，则DM＝CD﹣MC＝4，故选：D．本题考查的是平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出BC +CD 是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用．8、B 【解析】依据等腰三角形的性质可对①做出判断，依据平行四边形的判定定理可对②做出判断；依据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理可对③做出判断；依据多边形的内角和公式可对④做出判断，依据方程有增跟可得到x 得值，然后将分式方程化为整式方程，最后，将x 的值代入求得k 的值即可．【详解】解：①等腰三角形的底边上的高与底边上中线重合，故①错误；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形还可能是等腰梯形，故②错误；③顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形，这个四边形的对边都等于原来四边形与这组对边相对的对角线的一半，并且和这条对角线平行，故得到的中点四边形是平行四边形，故③正确．④七边形的内角和=（7-2）×180°=900°，任意多边形的外角和都等于360°，故④正确；⑤如果方程23111x k x x x +=---会产生增根，那么x-1=0，解得：x=1．23x k x 1x 1x 1+=---,∴2+3x=k ，将x=1代入得：k=2+3×1=5，故⑤错误．故选B ．本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线的性质、多边形的内角和、外角和公式、分式方程的增根，熟练掌握相关知识是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、根据菱形的性质，可得AC 是BD 的垂直平分线，可得AC 上的点到D 、B 点的距离相等，连接BE 交AC 与P ，可得答案．【详解】解：∵菱形的性质，∴AC 是BD 的垂直平分线，AC 上的点到B 、D 的距离相等．连接BE 交AC 于P 点，PD=PB ，PE+PD=PE+PB=BE ，在Rt △ABE 中，由勾股定理得BE ===故答案为本题考查了轴对称，对称轴上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．10、3【解析】将点A （a ，b ）带入y=-x+3的图象与反比例函数中，即可求出a+b=3，ab=1，再根据11a b +＝a b ab +进行计算.【详解】∵点A （a ,b ）是一次函数3y x =-+的图像与反比例函数1y x =的图像的一个交点，∴a+b=3，ab=1，∴11a b +＝a b ab +=3.故答案是：3.考查了一次函数和反比例函数上点的坐标特点，解题关键是利用图象上点的坐标满足函数的解析式．11、1根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣2代入已知方程，通过一元一次方程来求a的值．【详解】解：根据题意知，x＝﹣2满足方程ax2+7x﹣2＝0，则1a﹣11﹣2＝0，即1a﹣16＝0，解得，a＝1．故答案是：1．考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．12、17【解析】根据等腰三角形的可得第三条边为3或7，再根据三角形的三边性质即可得出三边的长度，故可求出三角形的周长.【详解】依题意得第三条边为3或7，又3+3＜7，故第三条边不能为3，故三边长为3,7,7故周长为17.此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知三角形的构成条件.13、120【解析】根据平行四边形的性质可得到答案.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＋∠B＝180°，又∠A－∠B＝60°，故可知∠A＝120°，∴∠C＝∠A＝120°，故答案为120°.本题主要考查了平行四边形的基本性质，解本题的要点在于熟记平行四边形的对角相等.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）﹣3【解析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的性质和平方差公式计算．【详解】解：（1+33＝﹣3；（2）原式＝7+9﹣12＝1．本题考查了二次根式的运算，正确掌握二次根式的性质是解题的关键.15、（1）D(0，4)，E(2，2)，F(3，5)，画图见解析；（2）(0，-4)【解析】（1）根据平面直角坐标系中点的坐标的平移规律求解可得；（2）根据关于原点中心对称的规律“横纵坐标都互为相反数”即可求得．【详解】解：（1）如图，△DEF 即为所求，点D 的坐标是(3304)-++，，即(0，4)；点E 的坐标是(1324)-+-+，，即(2，2)；点F 的坐标为(03,14)++，即(3，5)；（2）点D(0，4)关于原点中心对称的1D 的坐标为(0，-4)．本题主要考查了平移变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．16、详见解析.【解析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE ≌△CBF ，即可推得DE=BF ．（2）首先判断出DE ∥BF ；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF 是平行四边形即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AD=CB ，∴∠DAE=∠BCF ，在△ADE 和△CBF 中，{AD CB DAE BCF AE CF =∠=∠=∴△ADE ≌△CBF ，∴DE=BF ．（2）由（1），可得∴△ADE ≌△CBF ，∴∠ADE=∠CBF ，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE ，∠BFE=∠BCF+∠CBF ，∴∠DEF=∠BFE ，∴DE ∥BF ，又∵DE=BF ，∴四边形DEBF 是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．17、（1）四边形ABCD 是垂美四边形，证明见解析（2）①2222AD BC AB CD +=+，证明见解析；②四边形FMAN 是矩形，证明见解析（3【解析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）①根据垂直的定义和勾股定理解答即可；②根据在Rt △ABC 中，点F 为斜边BC 的中点，可得AF CF BF ==，再根据△ABD 和△ACE 是等腰三角形，可得AD DB AE CE ==，，再由（1）可得，,DF AB EF AC ⊥⊥，从而判定四边形FMAN 是矩形；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．【详解】（1）四边形ABCD 是垂美四边形连接AC 、BD ∵AB AD =∴点A 在线段BD 的垂直平分线上∵CB CD =∴点C 在线段BD 的垂直平分线上∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线∴AC BD ⊥∴四边形ABCD 是垂美四边形；（2）①2222AD BC AB CD +=+，理由如下如图，已知四边形ABCD 中，AC BD ⊥，垂足为E AC BD ^90AED AEB BEC CED ︒∴∠=∠=∠=∠=由勾股定理得222222AD BC AE DE BE CE +=+++222222AB CD AE BE CE DE +=+++2222AD BC AB CD ∴+=+②四边形FMAN 是矩形，理由如下如图，连接AF ∵在Rt △ABC 中，点F 为斜边BC 的中点AF CF BF ∴==∵△ABD 和△ACE 是等腰三角形,AD DB AE CE ∴==由（1）可得，,DF AB EF AC ⊥⊥∵90BAC ︒∠=90AMF MAN ANF ︒∴∠=∠=∠=∴四边形FMAN 是矩形；（3）连接CG 、BE ，90CAG BAE ︒∠=∠=CAG BAC BAE BAC ∴∠+∠=∠+∠，即GAB CAE ∠=∠在△AGB 和△ACE 中AG ACGAB CAE AB AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AGB ACE SAS ∴≅ABG AEC ∴∠=∠∵90AEC AME ︒∠+∠=90ABG AME ︒∴∠+∠=，即CE BG ⊥∴四边形CGEB 是垂美四边形由（2）得2222CG BE CB GE +=+2,5AC AB ==BC CG BE ∴===222237GE CG BE CB ∴=+-=GE ∴=．本题考查了垂美四边形的问题，掌握垂直平分线的判定定理、垂直的定义、勾股定理、垂美四边形的性质、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．18、（2）原方程无解；（2）x =-2【解析】根据去分母，去括号转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解.【详解】（2）解：方程两边同乘(x －2)，得3x +2=2．解这个方程，得x =2．经检验：x =2是增根，舍去，所以原方程无解。