尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》第11版课后习题详解(成本函数)【圣才出品】

尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》第11版课后习题详解
第10章成本函数
1．假设厂商生产两种不同的产品，数量分别为q 1和q 2。

一般地，厂商的总成本可以用C（q 1，q 2）表示。

如果对于任何一种商品的所有产出水平都有C（q 1，0）＋C（0，q 2）＞C（q 1，q 2）
则此函数表现出范围经济性。

（1）用文字解释为什么这个数学式说明厂商混合生产的成本低于两个分别生产一种商品的厂商的成本？
（2）如果两种产出实际上是同一种产品，我们可以将总产出定义为q＝q 1＋q 2。

假设此种情况下平均成本（C/q）随着q 的增加而降低，试说明此厂商在此条件下仍然享受范围经济性。

解：（1）根据范围经济的定义，由一家厂商同时生产q 1和q 2比由两家不同的企业分别生产q 1和q 2成本更低，因为C（q 1，0）意味着一家企业仅生产q 1，C（q 2，0）意味着另一家企业仅生产q 2，而C（q 1，q 2）则意味着一家企业同时生产q 1和q 2。

（2）令q＝q 1＋q 2（q 1＞0，q 2＞0）。

由假设可知：
1211
(,)(,0)C q q C q q q <从而有：
1121(,)(,0)q C q q C q q
<①
类似的，有：
2122(0,)q C q q C q q
<②加总①②两式可得：C（q 1，q 2）＜C（q 1，0）＋C（0，q 2）
即该厂商也享有范围经济。

2．史密斯教授和琼斯教授将写一本新的教科书。

作为真正的科学家，他们将书的生产函数设为：q＝S 1/2J 1/2
其中q＝已完成书稿的页数，S＝史密斯花费的工作时间，J＝琼斯花费的工作时间。

史密斯将劳动价格定为每小时3美元，他花费了900小时准备初稿。

琼斯的劳动价格是每小时12美元，他将把史密斯的初稿校订成书。

（1）琼斯将花费多长时间校订一本l50页的书？300页的书、450页的书呢？
（2）这本成书第l50页的边际成本是多少？第300页、第450页呢？
解：（1）由于史密斯教授已经花费了900个小时准备初稿，所以生产函数就变为：q ＝9001/2J 1/2＝30J 1/2
这样本问题就变成了求解下面三个方程：
1/2
115030J =1/2
230030J =1/2
345030J =解得J 1＝25（小时），J 2＝100（小时），J 3＝225（小时）。

（2）生产书的成本函数为：c（q）＝900×3＋（q/30）2×12＝2700＋q 2/75
相应的边际成本:MC＝2q/75
把q＝150、300、450分别代入边际成本的表达式得到：MC 1＝4，MC 2＝8，MC 3＝
12。

3．假设一个厂商的固定比例生产函数是q＝min｛5k，10l｝。

（1）计算厂商的长期总成本、长期平均成本、长期边际成本函数。

（2）假定短期将k 固定在10。

计算厂商的短期总成本、短期平均成本、短期边际成本函数。

（3）假设资本和劳动的租金率是v＝1，w＝3，计算厂商长期和短期的平均成本、边际成本函数。

解：（1）设资本和劳动的租金分别为v、w，则厂商成本函数为C＝vk＋wl。

由厂商生产函数q＝min｛5k，10l｝知，在长期有5k＝10l＝q 成立，从而可解得：LTC（k，l，q）＝vk＋wl＝（2v＋w）q/10LAC＝LTC（k，l，q）/q＝（2v＋w）/10
(,,)2+10
∂==∂LTC k l q v w LMC q （2）当k＝10时，有q＝min｛50，10l｝，即厂商的生产函数可表示为：
10 0550 5
l l q l ≤≤⎧=⎨>⎩因为当l＞5时，厂商会选择在5k＝10l 处生产，故l≤5，则q≤50。

短期总成本为：
10 05010
q STC v w q =+≤≤ 相应的平均成本函数和边际成本函数为：
10 050
10v w SAC q q =+≤≤05010
w
SMC q =≤≤（3）当v＝1，w＝3时，将其代入（1）（2）所求的函数表达式可得：
长期平均成本函数为：LAC＝（2v＋w）/10＝0.5
长期边际成本函数为：LMC＝（2v＋w）/10＝0.5
短期平均成本函数为：SAC＝10v/q＋w/10＝10/q＋3/10，0≤q≤50
短期边际成本函数为：SMC＝w/10＝3/10，0≤q≤504．一个生产曲棍球球棒的厂商的生产函数是
q kl
=短期内，厂商的资本设备数量固定为k＝100。

k 的租金价格为v＝1美元，劳动的工资率是w＝4美元。

（1）计算厂商的短期总成本曲线及短期平均成本曲线。

（2）厂商短期边际成本函数是怎样的？如果厂商生产25个曲棍球球棒，SC，SAC 和SMC 是多少？如果生产50个呢？100个又会怎样？200个呢？
（3）画出厂商的SAC 和SMC 曲线，标出（2）中所求得的点。

（4）SMC 曲线与SAC 曲线在何处相交？为何SMC 曲线总交于SAC 曲线的最低点？现在假设短期生产曲棍球球棒的资本投入固定为⎺k。

（5）计算该厂商的总成本，使其为q，w，v 和⎺k 的函数。

（6）给定q，w 和v，厂商将如何选择资本存货以使总成本最小化？
（7）使用你从（6）中得出的结果计算曲棍球球棒生产的长期总成本。

（8）对于w＝4美元，v＝1美元，画出曲棍球球棒生产的长期总成本曲线。

并通过考察k 的值等于100、200或者400时，证明其是（5）中计算出的短期曲线的包络线。

解：（1）短期内，固定投入的数量为k＝100，所以厂商的生产函数为：
q l =所以厂商的短期总成本函数为:
2
2()100410020100q q STC q ⎛⎫=+⨯=+ ⎪⎝⎭相应的短期平均成本函数为:100()100
q SAC q q =+（2）短期边际成本为SMC（q）＝q/50，由此可知，当厂商的产量分别为25个、50个、100个、200个时，短期总成本分别为106.25美元、125美元、200美元、500美元；短期边际成本分别为0.5美元、1美元、2美元、4美元；短期平均成本分别为4.25美元、
2.5美元、2美元、2.5美元。

（3）如图10-4所示。

图10-4短期总成本和短期平均成本曲线
（4）SMC 与SAC 相交于SAC 曲线的最低处。

当多生产一单位产品的成本的增加低于平均成本时，平均成本下降；当多生产一单位产品的成本的增加高于平均成本时，平均成本上升。

并且，在生产要素的边际报酬递减规律作用下，边际成本曲线呈先下降后上升的U 型。

因此，当多生产一单位的产品的成本等于平均成本时，平均成本最低。

（5）在短期内，当⎺k＝k 时，q＝2
2q kl
=从而可以解得：l＝q 2/（4⎺k）
因而厂商的总成本函数为：SC＝v ⎺k＋wl＝v ⎺k＋wq 2/（4⎺k）（6）
22/40SC v k wq k
∂=-=∂从而可以解得使总成本最小的资本存量为：
0.50.5
= 0.5k qw v -（7）由（6）可知，长期总成本为：C＝vk＋wl＝0.5qw 0.5v 0.5＋0.5qw 0.5v 0.5＝qw 0.5v 0.5
（8）当w＝4，v＝1时，长期总成本为：C＝2q。

当产量为q＝100时，短期成本曲线为：SC （⎺k＝100）＝100＋q 2/100，长期成本为：SC＝200。

当产量为q＝200时，短期成本曲线为：SC （⎺k＝200）＝200＋q 2/200，长期成本为：SC＝400。

当产量为q＝400时，短期成本曲线为：SC （⎺k＝400）＝400＋q 2/400，长期成本为：SC＝800。