异面直线所成的角

异面直线所成角的几种求法仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。

因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。

在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。

一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。

求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。

解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。

作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。

过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。

由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。

在△GHS 中，设正方体边长为a 。

GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， B A CD FEB 1 A 1 D 1C 1G HSRPQ仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3连QH ，可知△GQH 为直角三角形），HS=26a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS=426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。

∴Cos ∠GHS=61。

所以直线A 1E 与直线B 1F解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。

以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，设BC 长度为2。

异面直线所成角的求解方法
向量相交所产生的两个平面夹角，可以用叉乘来求解，结果可以用两种方式计算：第一种求解方法：
假定两个向量u和v 是两个不同的平面所给定的向量，它们可以表示为：
u= (u1, u2, u3)
叉乘满足：u X v = (u2v3-u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)
使用叉乘向量的结果，可以计算出 u 与 v 的夹角为：
β =arccos[(u X v) / (|u|*|V|)]
其中，|u| 与|v| 分别为u 向量与v 向量的模。

可以利用两个向量的内积来求夹角。

内积的运算公式为：
总的来说，利用叉乘或内积来计算两条直线所成的角度，可以将求解过程简化，并让求解结果更加准确。

最后要注意的是，当实际求解时，应先把两个向量方向向量化，然后用叉乘或内积公式计算夹角，以便得出精确的解决方案。

异面直线所成角的几种求法之袁州冬雪创作异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的.因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小.在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有杰出的空间观和作图才能.一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两正面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心.求A 1E 和B 1F 所成的角的大小.解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上.作法：保持B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，保持GH ，有GH//A 1E.过F 作CD 的平行线RS ，分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，保持SH ，保持GS.由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH.在△GHS 中，设正方体边长为a.B ACD F EB 1A 1 D 1 C 1G HSRP Q（作直线GQ//BC交BB1于点Q，连QH，可知△GQH为直角三角形），（连A1S，可知△HA1S为直角三角形），（作直线GP交BC于点GPDS为直角梯形）.∴Cos∠所以直线A1E与直线B1F解法二：（向量法）分析：因为给出的平面图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以操纵点的坐标暗示出空间中每个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角.以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2.则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；1-1，2，1（2，1，-1），所以这两个向量的夹角θ知足cosθ所以直线A1E与直线B1F小结：上述解法中，解法一要求有杰出的作图才能，且可以在作图完毕后可以看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大小.而解法二不需要学生作图，只需建立空间直角坐标系，标出相应的点的坐标，从而得到所需向量的坐标，求出两个向量的夹角，即所求的两条直线所成的角.当然，如果题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形，比方刚才的正方体，或者说是长方体，或者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我们便可以建立空间直角坐标系，从而操纵向量的坐标暗示来求两个向量的夹角.如果没有这样的性质，我们也可以操纵空间向量基本定理，寻找空间的一组基底（即三个不共面的向量，且这三个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合暗示出来，因而也可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角.例2：已知空间四边AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别为AM和CN所成的角为α，求cosα的值且两两之间的夹角均为60°.角）知足cosθ2）2；21+1+1）a2 a2；2=2a2.所以cosα=| cosθ例3：已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，且BE：EC=AF：FD=1：2，AB和CD所成的角的大小.解：取AC上点G，使AG：GC=1：2.保持EG、FG，可知EG//AB，FG//CD，3EG=2AB，3FG=CD..则由2==4+1+4cosθ=7，得cosθAB和CD所成的角为60°.二、操纵模子求异面直线所成的角引理：已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2.求证：cosθ= cosθ1·cosθ2.ABCDEFG证明：设PA 是α的斜线，OA 是PA 在α上的射影， OB//b ，如图所示.则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2，过点O 在平面α内作OB ⊥AB ，垂足为B ，保持PB. 可知PB ⊥AB. 所以cos θ1 cos θcos θ2所以cos θ= cos θ1·cos θ2.这一问题中，直线a 和b 可以是相交直线，也可以是异面直线.我们无妨把θ1叫做线面角，θ叫做线线角，θ2叫做线影角.很分明，线线角是这三个角中最大的一个角.我们可以操纵这个模子来求两条异面直线a 和b 所成的角，即引理中的角θ.从引理中可以看出，我们需要过a 的一个平面α，以及该平面的一条斜线b 以及b 在α内的射影.例4：如图，MA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且MA=AB=a ，试求异面直线MB 与AC 所成的角. 解：由图可知，直线MB 在平面ABCD 内的射影为AB ，直线MB 与平面ABCD 所成的角为45°，直线AC 与直线MB 的射影AB 所成的角为45°，PbA BO α ABCD M所以直线AC 与直MB 所成的角为θ，知足cos θ=cos45°· cos45°所以直线AC 与MB 所成的角为60°.例5：如图，在平面图形P-ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角，AE ⊥PD 于D.求异面直线AE 与CD 所成的角的大小.解：过E 作的平行线EF 交AD 于F ，由PA ⊥底面ABCD 可知，直线AE 在平面 ABCD 内的射影为AD ，直线AE 与平面ABCD 所成的角为∠DAE ，其大小为60°， 射影AD 与直线CD 所成的角为∠CDA ，其大小为45°， 所以直线与直线所成的角θ知足 cos θ=cos60°· cos45°所以其大小为由上两例可知，求异面直线间的夹角，若存在一个平面的垂线，则可以联想到操纵线面角的这个公式来求得异面直线间的夹角，当然，上二例也可用平移直线的方法来求，也可以用向量法来求，这里只作简单的先容，不再重PE DF ABC复.。

异面直线所成的角取值范围1. 引言大家好，今天咱们聊聊一个有点抽象但其实非常有趣的话题——异面直线和它们所成的角。

乍一听，可能觉得这个话题有点高深莫测，但其实，咱们可以把它想象成生活中那些错综复杂的关系，听起来是不是觉得好玩多了？所以，准备好了吗？让我们一起走进这个有趣的数学世界吧！2. 什么是异面直线？2.1 定义首先，咱得搞清楚，什么是异面直线。

简单来说，异面直线就是那种永远不会相交的两条直线，它们在不同的平面上。

就像你和你朋友的生活轨迹，虽然平行发展，但永远不会交汇，哈哈！这条线在这里，那条线在那儿，互不干扰，像是两个不相干的故事。

2.2 特点而且，异面直线的存在让我们感受到一种微妙的美感，就像是在拥挤的街道上，你和朋友的步伐总能保持一致却又不碰撞。

虽然它们不在同一平面，但却能形成一种角度，哇，这种角度就好像你们之间的默契，既让人惊叹又让人感慨。

想想看，生活中不也是这样吗？有些人虽然不常见面，但一旦相聚，总能擦出火花。

3. 异面直线所成的角3.1 角度的范围那么，异面直线所成的角的范围又是什么呢？这就要提到一个非常关键的概念了。

其实，异面直线所成的角是一个很宽泛的概念，它的取值范围是从0度到90度之间的所有角度。

听起来有点抽象，咱们可以把它想象成一道无形的屏障，遮挡着无数种可能性。

就好像生活中的选择，有时候你可能会觉得有些事情是非黑即白的，但实际上，灰色地带可多了去了。

3.2 实际应用这也不是说这些角度只是冷冰冰的数学概念，生活中到处都有它的影子。

比如说，你在做决策的时候，往往需要考虑不同的角度；而当你在和人沟通时，能够从不同的视角看待问题，往往能让你更容易找到共鸣。

这就好比你和朋友的对话，不同的观点碰撞在一起，才会迸发出智慧的火花，嘿，这就很有意思了。

4. 小结与反思说到这里，我想大家对异面直线和它们所成的角度有了更深的理解，没错吧？它们不仅仅是冷冰冰的直线和角度，更是一种生活中的智慧。

异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。

在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。

2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。

异面直线所成的角公式
异面直线，也叫做垂直直线，指的是两条互相垂直、不平行的直线。

异面直线有一个重要的作用，那就是它们可以定义一个角。

一条线与一个平面上的两条线构成的角被称为锐角。

异面直线所构成的角的公式是：角度θ= 90° 。

这个公式告诉我们，任何两条垂直直线之间所形成的角都是90°。

所以，只要两条直线是垂直的，就可以构成一个90°锐角，也就是一个直角。

直角在数学、几何和微积分中非常常见，它在建筑、机械、电子、消防及绘图中也有着广泛的应用。

直角的含义是可以拆分为两个90°的角度，两条直线可以垂直的切割，在很多图表中直角比较有意义，并且有助于达到更好的完美。

垂直直线的公式表明，两条互相垂直的线可以构成90°的角，这种角就叫直角，它可以在数学、几何和微分学中作为一种特殊的角。

它有着广泛的应用，并且也在图表中发挥着重要作用。

如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。

其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。

Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。

解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。

设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。

解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。

设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。

解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。

异面直线所成角求解方法：平面投影与夹角计算
在立体几何中，求解异面直线所成的角，可以采用以下步骤：
1.确定两条异面直线，并选择其中一条作为基准。

2.在这条基准直线上选择一个点，作为求解异面直线所成角的起点。

3.分别过这条基准直线上的点和另一条异面直线作平面，这两个平面会相交
于一条直线。

4.计算这条交线与基准直线的夹角，即为异面直线所成的角。

具体来说，假设两条异面直线分别为$l_1$和$l_2$，其中$l_1$为基准直线，点$P$在$l_1$上，过点$P$和$l_2$作平面$\alpha$和$\beta$，两平面相交于直线$m$。

由于$m$与$l_1$的夹角是异面直线$l_1$和$l_2$所成的角，记作$\angle l_1 m l_2$。

为了求解$\angle l_1 m l_2$，可以在平面$\alpha$上过点$P$作直线$n \parallel l_2$，交直线$m$于点$Q$。

由于$\angle l_1 PQ$是两平面$\alpha$和$\beta$的夹角，也是直线$l_1$和直线$m$的夹角，记作$\angle l_1 m l_2'$。

因此，异面直线所成的角$\angle l_1 m l_2 = \angle l_1 m l_2'$。

通过以上步骤，我们可以求解出异面直线所成的角。

两异面直线所成的角的范围
两异面直线所成的角的范围，一般来说是介于0度到180度之间。

而如果两条直线平行，也就是说它们是同面的，那么它们之间所成的
夹角就是0度。

而当两条直线垂直的时候，也就是它们是垂直的异面
直线，所以它们之间所成的夹角就是90度。

因此，两条异面直线之间
所成的夹角一般都是在0度到180度之间。

另外，在数学上，所谓的“异面直线”其实指的是起点不同，方
向相同的两条直线，因此这两条直线是有可能重合的，即它们所成角
度可能大于180度，甚至是360度，但是它们依然是异面直线。

再比如，如果两条异面直线为AB和CD，它们之间所成的夹角可以
通过以下几种方法来进行求解：
1、求出AB和CD的各自斜率，然后用两个向量的数量积求出其夹角；
2、把AB和CD分别看作两个向量，并且求出它们的向量积；
3、先求出AB和CD的向量积，再将其转化为弧度，最后将弧度转
化为角度；
4、使用三角函数进行求解。

因此，总结而言，两异面直线之间所成的角度一般都是介于0度
到180度之间，但也有可能大于180度，甚至是360度，而如果两条
异面直线重合，那么它们之间所成的夹角就是360度，而且它们也是
异面直线，只是它们的起点相同，方向也相同而已。