定积分的发展史.docx

概述定积分的发展与应用摘要：概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用.关键词：分割近似; 定积分; 流数法; 应用微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正如恩格斯评价的那样："在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了." 它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极限, 证明不等式等. 而在物理方面的应用,能够说是定积分最重要的应用之一,正是因为定积分的产生和发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能, 如：气象,弹道的计算,运动状态的分析等都要用的到微积分.定积分的发展大致能够分为三个阶段：古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶段以及19世纪的完成阶段.1准备阶段主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.整个16世纪,积分思想一直围绕着"求积问题"发展,它包括两个方面：一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家开普勒在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中,认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中使用无穷小方法的数学家.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了"分割求和"及无穷小的性质的观点求积.可见,利用"分割求和"及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用.2 创立阶段主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼兹的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼兹几乎同时且互相独立地进入了微积分的大门.牛顿从1664年开始研究微积分,早期的微积分常称为"无穷小分析",其原因在于微积分建立在无穷小的概念上.当时所谓的"无穷小"并不是我们现在说的"以零为极限的变量",而是含糊不清的,从牛顿的"流数法"中可见一斑,"流数法"的主要思想是把连续变动的量称为"流量",流量的微小改变称为"瞬"即"无穷小量",将这些变量的变化率称为"流数".用小点来表示流数,如x,y 表示变量x,y 对时间的流数.他指出：曲线()0,=y x f 在某给定点处切线的斜率就是y 流数与x 流数之比,从而导出y 对x 的导数就是y 的流数与x 的流数之比,即相当于现在的xy dx dy =. 莱布尼兹从1673年开始研究微积分问题,他在《数学笔记》中指出求曲线的切线依赖于纵坐标与横坐标的差值之比（当这些差值变成无穷小时）;求积依赖于在横坐标的无限小区间纵坐标之和或无限小矩形之和,并且莱布尼兹开始人理解到求和与求差运算的可逆性,用dy 表示曲线上相邻点的纵坐标之差,把⎰dy 表示为所有这些差的和,⎰=dy y 明确指出："⎰"意味着和,d 意味着差.明确指出了：作为求和过程的积分是微分之逆,实际上也就是今天的定积分.3 完成阶段19世纪的前20年,微积分的逻辑基础仍然不够完善.从19世纪20年代至19世纪末,经过波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等数学家的努力,微积分的理论基础基本完成,波尔查诺通过极限给出了函数连续的概念及导数的严格定义,柯西用极限给出了积分的定义,指出"⎰"不能理解为一个和式,而是和式∑=---=n k k k k n x x xf s 11))(1(.当1--k k x x 无限减小时,n s 能"最终达到的某个极限值"s ,这个s 就是函数)(x f 在区间[]x x ,0上的定积分.柯西定义了函数⎰=xx dt t f x F 0)()(,证明了当)(x f 在[]x x ,0上连续时,)(x F 在[]x x ,0上连续、可导,且)()(x f x F ='.继之柯西证明了)(x f 的全部原函数彼此只相差一个常数,所以,他把不定积分写成：C dt t f dx x f xx +=⎰⎰0)()(,并由此推出了牛顿-莱布尼兹公式)()()(00x F x F dx x f xx -=⎰.至此,微积分基本定理给出了严格证明和最确切的表示形式.二 定积分在不同学科中的应用1 定积分在分析中的应用例1 求极限nn n n ⋅++++∞→ 321lim .解：因为∑=⋅=⋅++++n i n n i n n n 11321 可取区间[]b a ,为[]1,0,函数x x f =)(,则n i n a b i a i +=-+=1ξ,nn a b x i 1=-=∆. 故：原式321lim 101==⋅=⎰∑=∞→dx x n n i n i n . 例2 求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-∞→222231241141lim n n n n . 分析：此题所研究的极限为n 项和的形式,可看成函数在241)(x x f -=在区间[]1,0上的一个和式的极限.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+-∞→222231241141lim n n n n n n n n n n 1)(41)2(41)1(41lim 222⋅⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=∞→ ⎰∑==-=⋅-==∞→10102126|2arcsin 411)(41lim πx dx x n n i n i n . 2 定积分在几何中的应用(1) 用定积分求平面图形的面积例3 如图1,计算由曲线4,22-==x y x y 所围成图形的阴影部分的面积.分析：先根据所给曲线方程,在坐标系中画出曲线,确定所围成图形的范围;然后根据图形的范围,比较两条曲线的位置关系;最后用定积分求所围图形的面积.解：解方程组⎩⎨⎧-==422x y x y 得出交点坐标为（2,-2）,（8,4）,所以所求图形的面积为423242264224--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰y y y dy y y s .。

定积分的起源和背景引言定积分是微积分中的重要概念之一，它在数学、物理、经济学等领域中具有广泛应用。

在本文中，我们将探讨定积分的起源和背景，以便更好地理解这一概念的意义和应用。

定积分的概念定积分是对函数在一个区间上的积分进行定义和计算的过程。

它是微积分中的积分概念的一个重要分支，与不定积分和微分方程等同样重要。

定积分的定义在一个闭区间[a, b]上，将其等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。

选择每个小区间中的一个代表点xi，并计算函数f(xi)在该小区间上的面积Δs。

将所有小区间上的面积Δs相加，并取极限得到区间[a, b]上的定积分值。

定积分的表示定积分的表示方法非常简洁。

代表区间[a, b]上的函数f(x)的定积分可以用下面的数学符号来表示：∫[a, b]f(x)dx其中∫代表积分符号，a和b为积分的上限和下限，f(x)为积分的被积函数，dx表示x的微小变化。

定积分的起源古代希腊定积分的起源可以追溯到古代希腊。

古希腊数学家阿基米德在研究物理问题时，使用了一种近似求和的方法，这种方法可以看作是定积分的雏形。

他通过将曲线分割为无限多个短小的线段，然后对这些线段的长度进行求和，得到了图形的面积近似值。

牛顿和莱布尼茨定积分的现代定义和形式是在17世纪由牛顿和莱布尼茨独立发现的。

他们发现了微积分的基本原理，并建立了定积分的数学理论体系。

牛顿和莱布尼茨的工作奠定了微积分的基础，为定积分的应用奠定了坚实的数学基础。

定积分的背景物理学中的应用定积分在物理学中有广泛的应用。

物理学家使用定积分来计算曲线下的面积和体积，从而解决各种物理问题。

例如，在动力学中，物体的位移可以通过计算速度-时间曲线下的定积分得到；在电磁学中，电场强度可以通过计算电荷分布下的定积分得到。

经济学中的应用经济学家也经常使用定积分来解决经济学中的各种问题。

定积分可以用来计算生产函数下的总产出，消费函数下的总消费等。

经济学家还可以使用定积分来计算收入和消费之间的差异以及产出的边际效益等。

定积分的发展史起源定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。

定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。

比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。

公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。

在历史上，积分观念的形成比微分要早。

但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。

未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16世纪。

此时的卡瓦列利与他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利× N的N积分奠定现代微积分的基础，计算度 = 9 卡瓦列利的正交公式。

17世纪初巴罗提供的第一个证明微积分基本定理。

牛顿和莱布尼茨在一体化的重大进展是在17世纪独立发现的牛顿和莱布尼茨的微积分基本定理。

定理演示了一个整合和分化之间的连接。

这方面，分化比较容易地结合起来，可以利用来计算积分。

特别是微积同等重要的是，分基本定理，允许一个要解决的问题更广泛的类。

．由于名称的微积分，它允许牛顿和莱布尼茨开发全面的数学框架。

这个框架最终成为现代微积分符号积精确的分析在连续域的功能。

分是直接从莱布尼茨的工作。

正式积分定积分概念的理论基础是极限。

年的时间。

在牛人类得到比较明晰的极限概念，花了大约2000牛顿和莱布尼茨建立顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。

因此由此引起的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，并引发了“第二次数学危机”。

经过十八、十九世纪一大批数学家的努力，特别是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义，极限概念才完全确立，微积分才有了坚实的基础，也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。

第五章定积分本章知识结构导图定积分定积分的概念与意义定积分的性质定积分的计算定积分的应用平面区域的面积经济中的应用牛顿-莱布尼兹公式换元积分法分部积分法§5. 1 数学家的故事: 莱布尼兹简介莱布尼兹(G. W. Leibniz, 1646-1716), 是德国最重要的数学家、物理学家、历史学家和哲学家, 一个举世罕见的科学天才, 和牛顿同为微积分的创建人. 生于莱比锡, 卒于汉诺威. 莱布尼兹的父亲在莱比锡大学教授伦理学, 在他六岁时就过世, 留下大量的人文书籍, 早慧的他自习拉丁文与希腊文, 广泛阅读. 1661年进入莱比锡大学学习法律, 又曾到耶拿大学学习几何, 1666年在纽伦堡阿尔多夫大学通过论文《论组合的艺术》, 获法学博士, 并成为教授, 该论文及后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始人．1667年, 他投身外交界, 游历欧洲各国, 接触了许多数学界的名流并保持联系, 在巴黎受惠更斯的影响, 决心钻研数学．他的主要目标是寻求可获得知识和创造发明的一般方法, 这导致了他一生中的许多发明, 其中最突出的是微积分．与牛顿不同, 他主要是从代数的角度, 把微积分作为一种运算的过程与方法; 而牛顿则主要从几何和物理的角度来思考和推理, 把微积分作为研究力学的工具．莱布尼茨于1684年发表了第一篇微分学的论文《一种求极大极小和切线的新方法》．是世界上最早的关于微积分的文献, 虽仅6页, 推理也不清晰, 却含有现代的微分学的记号与法则．1686年, 他又发表了他的第一篇积分论文, 由于印刷困难, 未用现在积分记号“⎰”, 但在他1675年10月的手稿中用了拉长的S “⎰”, 作为积分记号, 同年11月的手稿上出现了微分记号dx ．有趣的是, 在莱布尼兹发表了他的第一篇微分学的论文不久, 牛顿公布了他的私人笔记, 并证明至少在莱布尼兹发表论文的10年之前已经运用了微积分的原理．牛顿还说: 在莱布尼兹发表真成果的不久前, 他曾在写给莱布兹的信中, 谈起过自己关于微积分的思想．但是, 事后证实, 在牛顿给莱布尼兹的信中有关微积分的几行文字, 几乎没有涉及到这一理论的重要之处．因此, 他们是各自独立地发明了微积分．莱布尼兹思考微积分的问题大约开始于1673年, 其思想和研究成果, 记录在从该年起的数百页笔记本中．其中他断言, 作为求和的过程的积分是微分的逆．正是由于牛顿在1665～1666年和莱布尼兹在1673～1676年独立建立了微积分学的一般方法, 他们被公认为是微积分学的两位创始人．莱布尼兹创立的微积分记号对微积分的传播和发展起了重要作用, 并沿用至今．莱布尼兹的其他著作包括哲学、法学、历史、语言、生物、地质、物理、外交、神学, 并于1671年制造了第一架可作乘法计算的计算机, 他的多才多艺在历史上少有人能与之相比．§5. 2 定积分的概念＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿在上一章, 我们研究了积分学的第一类问题, 即求原函数的问题．本章, 我们将研究积分学中的第二类问题——定积分．定积分的概念最早是在研究平面图形的面积、变速直线运动物体的运动距离以及变力做功等问题中产生的．一、问题的引入问题1: 曲边梯形的面积设()y f x =在[],a b 上连续, 我们称由直线,x a x b ==及曲线()y f x =所围的图形为曲边梯形（如图5. 1）图5. 1 图5. 2下面我们研究曲边梯形面积的计算方法.（1）分割. 用满足012n a x x x x b =<<<⋅⋅⋅<=的1n +个分点k x 将区间[],a b 分割成n 个小区间[]1,k k x x -(1,2,,)k n =⋅⋅⋅并作垂线k x x =, 把整个曲边梯形分成几个小的曲边梯形（如图5. 2）, 每一个小曲边梯形的宽度记作1k k k x x x -=-.（2）求曲边梯形面积S 的近似值．在[]1,k k x x -上任取一点k ξ, 则()k k f x ξ⋅是第k 个小矩形的面积, 它与小曲边梯形的面积有一定的差别, 但是, 分割越细, 误差越小．当n 个区间分割都很细时, 我们把n 个小矩形的面积之和作为S 的近似值:1()nk k k S f x ξ=≈⋅∑．（3）求S 的实际值．由于k x 越小, 上式的近似程度就越好．于是我们规定: 若当0k x →时, 和式1()nkk k f x ξ=⋅∑的极限存在, 且与k ξ的取法及区间的分割无关, 则称此极限值为曲边梯形的面积, 即1lim ()nk k k S f x λξ→==⋅∑,式中{}12max ,,,n x x x λ=⋅⋅⋅.这样, 我们得到了和式极限形式的曲边梯形的面积． 问题2——总产量的变化率为变化时的总产量．我们知道, 当总产量对时间的变化率（即边际产量）为常量时, 总产量等于变化率乘以时间. 现在设总产量的变化率Q 是时间t 的函数()Q Q t =, 求时间t 从a 到b 的总产量Q ．（1）我们也将时间区间[],a b 分成几个小区间[]1,k k t t -(1,2,,)k n =⋅⋅⋅, 记其长度为1k k k t t t -=-, 在[]1,k k t t -上任取一点k ξ, 则()k k Q t ξ⋅∆为时间段[]1,k k t t -的生产量的近似值.（2）作和式1()nkk k Q t ξ=⋅∑, 当分割相对较细时, 它是实际产量的近似值．即1()nk k k Q Q t ξ=≈⋅∑当分割越细, 上式的近似程度就越好．（3）我们规定, 当0k t →时, 上述各式的极限存在, 且与区间的分割和k ξ的取法无关, 我们就称该极限值为a t b ≤≤中的总产量, 即1lim ()nk k k Q Q t λξ→=≈⋅∑．式中 {}1,2,max,n t t t λ=⋅⋅⋅．从上面两个问题看出, 虽然它们是两个截然不同的问题, 但解决问题的方法和计算形式都是想同的, 即都是一个和式的极限．其实, 还有许多问题的解决都有类似的方法．于是, 我们有必要在抽象的形式下去研究这一和式的极限, 这就引出了定积分的概念．二、定积分的定义【定义1】 设函数()y f x =在[],a b 上有定义且有界, 在,a b 之间任意插入1n -个分点12,,,n x x x ⋅⋅⋅, 把[],a b 分成n 个小区间, 即01n a x x x b =<<⋅⋅⋅<=记 1(1,2,,)k k k x x x k n -=-=⋅⋅⋅为第k 个小区间的长度, 在小区间[]1,k k x x -上任取一点k ξ, 作和式1()nkk k f x ξ=⋅∑．记{}12max ,,,n x x x λ=⋅⋅⋅, 若当0λ→时, 极限1lim ()nk k k f x λξ→=⋅∑存在, 且与分点k x 及k ξ的取法无关, 我们就称()f x 在区间[],a b 上是可积的, 并把该极限值称为()f x 在[],a b 上的定积分, 记作()baf x dx ⎰．即:1()lim ()nbk k ak f x dx f x λξ→==⋅∑⎰．其中, ()f x 称为被积函数, x 称为积分变量, ()f x dx 称为被积表达式, [],a b 为积分区间,a 为积分下限,b 为积分上限, ⎰称为积分号．注1. 定积分的结果是一个数值, 这个数值的大小只与被积函数()f x 及区间[],a b 有关, 与区间的分法及k ξ的取法无关.2. 定积分与积分变量用什么字母也无关, 即()()bbaaf x dx f u du =⎰⎰．3. 定积分存在的条件【定理1】（必要条件） 设()f x 在[],a b 上有定义, 若()f x 在[],a b 上可积, 则()f x 在[],a b 上一定有界．【定理2】（充分条件）设()f x 在[],a b 上有定义, 若下列条件之一成立, 则()f x 在[],a b 上可积:（1）()f x 在[],a b 上连续;（2）()f x 在[],a b 上只有有限间断点, 且有界; （3）()f x 在[],a b 上单调． 【例1】 计算120x dx ⎰【解】 因为2()f x x =在[]0,1上连续, 由定理2, ()f x 在[]0,1上可积. 将[]0,1分成n 等份, 于是各分点为0110,,,,,1k n k x x x x n n ==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=, 各小区间的长度为1k x n=(1,2,,)k n =⋅⋅⋅, 取k knξ=（如图5. 3）, 从而211()nn k k kk k k f x x ξξ==⋅=⋅∑∑2231111()nn k k k k nn n ===⋅=∑∑2223311(1)(21)(123)6n n n n n n ++=+++⋅⋅⋅+=⋅ 111(1)(2)6n n=+⋅+. 此时 1n λ=, 所以, 由定义1 12001lim ()n k k k x dx f x λξ→==⋅∑⎰ 图5. 31111lim1263n n n →∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 三、定积分的几何意义与经济意义1. 定积分的几何意义由定义, 在[],a b 上当()f x 非负时,()baf x dx ⎰在几何上表示曲线()y f x =与直线x a =、x b =及x 轴所围曲边梯形的面积．而在[],a b 上, 当()0f x <时, ()y f x =在[],a b 上与x 轴围的图形在x 轴的下方, 定积分()ba f x dx ⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的负值．在[],a b 上当()y f x =要变号时, 定积分()baf x dx ⎰的几何意义为: 介于x 轴, 曲线()y f x =及直线,x a x b ==之间的各部分面积的代数和（如图5. 4）．图5. 42. 定积分的经济意义我们已知, 某一经济总量函数的导数, 是该经济量的变化率（边际）, 而已知某一经济量的变化率求其总量函数, 用的是不定积分．如果已知某一经济量的变化率为()f x , 则其定积分()baf x dx ⎰表示的是x 在[],a b 这一阶段的经济总量．如设总收入R 关于产量x 的变化率为()R x , 则()baR x dx ⎰的意义是: 当产量从a 变化到b 时的总收入．四、定积分的性质根据定积分的定义, 我们不加证明也给出定积分的一些性质, 这些性质对加深定积分的理解及定积分的计算有比较重要的作用．以下我们总假设函数在所考虑的区间上可积．【性质1】()()ba abf x dx f x dx =-⎰⎰, 特别地有()0aaf x dx =⎰.即对调积分上下限, 其值要变号．【性质2】 两个函数代数和的定积分, 等于它们定积分的代数和, 即[]()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．【性质3】 被积函数的常数因子可以提到积分号外面, 即()()bbaak f x dx k f x dx ⋅=⋅⎰⎰．【性质4】 设a c b <<, 则有()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰．该性质称之为积分的区间可加性．利用性质1, 可以证明: 无论,,a b c 的位置如何, 上式都成立．【性质5】 若在[],a b 上, ()0f x ≥, 则()0baf x dx ≥⎰．【推论1】 若在[],a b 上, 恒有()()f x g x ≤, 则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰上式称为定积分的比较性质．【性质6】 设()f x 在[],a b 上有最大值M 和最小值m , 则有()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰．上式称之为定积分的估计性质．【性质7】（定积分中值定理）若()f x 在[],a b 上连续, 则在[],a b 上至少有一点ξ, 使得下式成立:()()()baf x dx f b a ξ=-⎰性质7 的几何意义如图5. 5所示图5. 5请读者对性质7作几何解释.【性质8】设()f x 在对称区间[],a a -上连续，则有① 如果()f x 为奇函数，则0aa f x dx -=⎰（）;② 如果()f x 为偶函数，则02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰（）（）.习题5. 2_______________________________________________________1. 填空题（1）设某产品关于产量的边际成本为()C x , 则()baC x dx ⎰的意义是 ;（2）1xdx =⎰;（3）22sin xdx ππ-=⎰ .2．选择题（1）下列各不等式成立的是（ ）A . 11200xdx x dx ≤⎰⎰B . 2312ln ln xdx xdx ≤⎰⎰ C . 11sin xdx xdx ≤⎰⎰ D . 211xx e dx e dx ≤⎰⎰（2）下列各式有意义的为（ ）A . 1-⎰ B . 31ln xdx -⎰ C . 2-⎰D .2-⎰3．解答题 （1）比较积分12x dx ⎰与 130x dx ⎰的大小;（2）利用定积分的几何意义, 求定积分R-⎰之值．§5. 3 定积分的基本定理（牛顿——莱布尼兹公式）＿＿＿ ＿＿＿＿从例1我们看到, 用定义去计算定积分是比较复杂的, 尽管被积函数很简单, 但求和式的极限却非常困难; 因此, 有必要寻求一种简便而有效的计算方法. 本节指出了定积分的计算可以归结为计算原函数的函数值, 从而揭示了不定积分与定积分的关系．一、变上限的定积分与原函数存在定理【定义2】 设()f x 在[],a b 上可积, 则对任意的[],x a b ∈, ()f x 在[],a x 上可积, 于是,()xaf x dx ⎰存在, 我们称此积分为变上限的定积分．由于任意给定一个[],x a b ∈, 有一个积分值与之对应, 该值是积分上限x 的函数, 所以, 可以记()()xax f x dx ϕ=⎰．式中积分变量与上限都可以x 表示, 但含义是不同的. 有时候为了区别起见, 把积分变量用t 表示, 即()()()x xaax f x dx f t dt ϕ==⎰⎰, [],t a x ∈.【定理3】（原函数存在定理）若()f x 在[],a x 上连续, 则()()()xa x f t dt f x ϕ'⎡⎤'==⎢⎥⎣⎦⎰. 证明略．【例2】 求20sin xd t dt dx ⎰． 【解】 因为2sin t 在R 上连续, 由定理3有220sin sin x d t dt x dx=⎰． 定理3的结果回答了第四章中关于“连续函数必存在原函数”的结论, 并且, 其原函数就等于以本身为被积函数的变上限的定积分．【例3】 求2t xe dt ⎰关于x 的导数．【解】 因为20t xe dt ⎰=20xt e dt -⎰, 所以, 由2t e 的连续性及定理3, 有22200x t t x x e dt e dt e ''⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰．【例4】 求极限 02sin limxx tdt x→⎰.【解】 此式为的未确定型, 利用洛必塔法则: 原式 0200(sin )sin 1limlim()22xx x tdt x x x →→'==='⎰.二、牛顿——莱布尼兹公式【定理4】（定积分的基本定理）设()f x 在[],a b 上连续, ()F x 是()f x 在[],a b 上的任一个原函数, 则有【证明】 取()()xax f t dt ϕ=⎰, 则()x ϕ是也是()f x 在[],a b 上的一个原函数, 它与()F x 最多差一个常数, 即()()x F x C ϕ=+,或()()xaf t dt F x C =+⎰,在上式中, 令x a =, 有0()F a C =+ , 即 ()C F a =-, （1）又令x b =, 有()()baf t dt F b C =+⎰, （2）结合(1)、（2）两式有()()()baf t dt F b F a =-⎰,即()()()baf x dx F b F a =-⎰．这个定理将积分学中的两个重要概念不定积分与定积分联系到了一起, 并把求定积分的过程大大简化了, 所以, 称之为微积分基本定理. 同时, 它是由牛顿和莱布尼兹各自单独创立的, 故又称牛顿—莱布尼兹公式．【例5】 求120x dx ⎰．【解】 因2()f x x =在[]0,1上连续, 且31()3F x x =是它的一个原函数, 所以 1230111100333x dx x ==-=⎰． 【例6】 求312x dx --⎰【解】 因为 2(12)22(23)xx x x x --≤≤⎧-=⎨-<≤⎩,所以, 原式2312(2)(2)x dx x dx -=-+-⎰⎰=2223112251222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 在利用牛顿——莱布尼兹公式求定积分时, 一定要注意被积函数在积分区间中是否满足可积条件．【例7】 讨论 21()f x x =在[]1,1-上的可积性． 【解】 如果直接利用牛顿——莱布尼兹公式, 有1211111121dx x x -=-=--=--⎰; 显然这是错误的, 因为根据性质, 在[]1,1-上有210x≥, 则12110dx x -≥⎰, 这显然与用牛顿—莱布尼兹公式计算的结果相矛盾．原因出在21x在[]1,1-上不连续且无界, 所以, 它不满足牛顿—莱布尼兹公式的条件, 从而也就不能利用牛顿—莱布尼兹公式计算．【例8】 计算曲线sin y x =在[]0,π上与x 轴所围图形的面积S ． 【解】 由图5.6及定积分的几何意义, 有sin cos 112S xdx xππ==-=+=⎰图5. 6【例9】 求 21201x dx x +⎰． 【解】 原式2112201111(1)(tan )10114x dx dx x arc x x x π+-==-=-=-++⎰⎰． 【例10】 求1x xe dx ⎰．【解】 因为x x x x xe dx xde xe e C ==-+⎰⎰, 利用牛顿—莱布尼兹公式，即原式100()01x x xe e e =-=+=.习题5.3＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿1．填空题 （1）221x dx =⎰;（2）设某产品利润关于产量的变化率为()l x , 则()200100l x dx ⎰的意义是 ;（3）0tan xd arc tdt dx=⎰ ． 2．选择题（1）下列函数在[]1,1-上满足牛顿——莱布尼兹公式条件的是（ ）;A . 1()f x x= B . ()f x =C .21()(1)f x x =+ D . ()f x =（2）设1()cos xf x tdt =⎰, 则2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭=（ ）．A . 0B . 1C . 1-D .2π3．求下列函数的导数: （1）xt te dt ⎰（2）12ln(1)xt dt +⎰4．求下列极限（1）231limsin xx t dt x →⎰（2）0()limxt t x e e dt x-→-⎰5．用牛顿——莱布尼兹公式求下列定积分: （1）1321()x x dx --⎰ （2）271⎰（3）21x dx -⎰(4) 20cos xdx π⎰（5）2()f x dx ⎰, 其中20()10xx f x x x >⎧=⎨+≤⎩.§5. 4 定积分的计算＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿由牛顿—莱布尼兹公式知道, 求定积分可利用被积函数的原函数来进行. 所以, 计算定积分 的关健是要找一个原函数, 而原函数问题在上一章已解决, 但为今后计算上的方便, 在此,引进定积分的换元法和分部积分法.一、换元积分法【定理5】 设()y f x =在[],a b 上连续, 令()x t ϕ=, 若满足（1）()c a ϕ=, ()d b ϕ=, 且()a t b ϕ≤≤, 对任意[],t c d ∈（或[],t d c ∈）成立; （2）()t ϕ在[],c d （或[],d c ）中有连续的导数()t ϕ', 且单调, 则有()()(())'()bdx t acf x dxf t t dt ϕϕϕ=⋅⎰⎰.证明略. 【例11】 求80⎰【解】令3x t =, 有23dx t dt =, 且当0x =时0t =, 当8x =时2t =, 于是282222000011113331111t t dt dt t dt t t t -+⎛⎫=⋅==-+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 2213ln(1)3ln 302t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭． 【例12】 求⎰(0)a >．【解】令sin x a t =, 有cos dx a tdt =与cos a t =, 且当0x =时0t =,当x a =时2t π=, 所以2222222200001111cos cos 2sin 222224a a tdt a t dt t t a ππππ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰．【例13 】 求21x xe dx ⎰．【解】 令2t x =,即x =, 2dt xdx =, 且当0x =时0t =, 当1x =时1t =, 所以()21100111110222x t t xe dx e dt e e ===-⎰⎰． 【例14】 求11ln exdx x⎰． 【解法1】令tx e =（或ln t x =）, 则tdx e dt =, 且当1x =时0t =, 当x e =时1t =, 所以11210011111ln 022ett xdx t e dt tdt t x e =⋅⋅===⎰⎰⎰．【解法2】 按照不定积分中第一类换元法的思路,原式()ln 121101111ln ln ln 022t x ee xdx x d x tdt t x ===⋅===⎰⎰⎰令．【解法3】 还是按解法2的思路,原式()222111111ln ln ln =ln (ln ln 1)1222ee e xdx xd x x e x ===-=⎰⎰．【解法4】 先求1ln x x 的原函数, ()()211ln ln ln ln 2xdx xd x x C x ==+⎰⎰,所以 ()21111ln ln 122eexdx x x ==⎰．请读者体会以上各种解法的步骤, 并比较它们的优劣, 在计算中采用何种方法, 完全按函数的特点和解题的习性而定．请思考:sin 20cos xxedx π⎰, 1x ⎰.【例15】 试证明: 若()f x 为连续的奇函数, 则()0aaf x dx -=⎰．【证明】 因为()f x 为奇函数, 则有 ()()f x f x -=-, 且00()()()aaaaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰对于()af x dx -⎰, 令x t =-, 则dx dt =-, 且当x a =-时t a =, 当0x =时0t =, 所以00()()()()aaaf x dx f t dt f t dt -=--=-⎰⎰⎰，从而00()()()()()0aa a aaaf x dx f x dx f x dx f x dx f x dx --=+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰．类似地可以证明: 若()f x 为偶函数, 则()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰．这就是定积分的性质8.【例16】 求1221sin 3tan x x x dx -⎛⎫⋅++ ⎪⎝⎭⎰． 【解】 因为2sin3tan x x ⋅都是奇函数, 所以原式11122310122sin 3tan 200033x xdx x dx x --=++=++=⎰⎰⎰．【例17】 若()f x 在[]0,1连续, 证明()()220sin cos f x dx f x dx ππ=⎰⎰．【证明】 设2x t π=-, 则dx dt =-, 且当0x =时2t π=, 当2x π=时0t =, 所以左边()02sin()2f t dt ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰()222000(cos )(cos )(cos )f t dt f t dt f x dx πππ=--===⎰⎰⎰右边．二、分部积分法【定理6】 设函数()u x , ()v x 在[],a b 上有连续的导数, 则有定积分的分部积分公式:()()()()()()bbaab u x dv x u x v x v x du x a =⋅-⎰⎰. 证明略．【例18】 求 1x xe dx ⎰．【解】 原式111110x xx xxde xee dx e e==-=-=⎰⎰．定积分的分部积分公式与不定积分的分部积分公式, 在形式上完全是一样的, 不同的是定积分中多了积分上下限; 另外, 用分部积分公式计算定积分的函数特点与不定积分中的特点也是完全相同的．【例19】 求220sin x xdx π⎰．【解】222200sin (cos )x xdx x d x ππ=-⎰⎰（取2,cos u x v x ==-）22220cos 2cos 02sin x xx xdx xd x πππ=-+=+⎰⎰ (再取,sin u x v x ==)22202sin 2sin 22(cos )22x xxdx x πππππ=-=⋅-⋅-=-⎰.【例20】 设 1ln 1bxdx =⎰, 求b .【解】11111ln (ln )ln ln ln ln 1bbbb bxdx x x xd x b b dx b b x b b b =-=⋅-=⋅-=⋅-+⎰⎰⎰.由已知条件得, ln 11b b b ⋅-+= , 即(ln 1)0b b -=. 因0b ≠, 从而有ln 1b =, 即b e =.习题5. 41．填空题 （1）121sin x xdx -⋅=⎰;（2）若11(2)2x k dx -+=⎰, 则常数 k = ．2．选择题（1）对定积分1120xedx x ⎰, 利用换元法求解的换元是令（ ）; A . 21t x = B . 1t x= C . 1t x =- D . 21t x =-（2）下列可用分部积分计算的定积分是（ ）．A . 120cos(1)x x x dx +⎰ B . 1ln exdx x⎰C . 2111cos dx x xπ⎰D . 1xdx ⎰ 3．求下列各定积分:（1）1()x x e dx +⎰（2）0⎰（3）20cos 2xdx π⎰（4）320x e dx ⎰（5）11ln exdx x +⎰ （6）41⎰ （7）2120t te dt ⎰ （8）cos 0sin x x e dx π⋅⎰（9）1x xe dx -⎰（10）1ln ex xdx ⎰（11）20sin x xdx π⎰（12）1⎰4. 解答题: （1）设1(21)6ax dx +=⎰, 试确定a 的值;（2）设(21)xf x xe +=, 求53()f x dx ⎰．5. 设()f x 是奇函数, 证明0()()xF x f t dt =⎰是偶函数．§5. 5 定积分的应用定积分的概念是在解决实际问题中产生发展起来的, 随着社会的发展, 其应用越来广泛．在本节, 我们重点介绍定积分在求平面区域的面积和经济方面的应用．一、平面图形的面积由定积分的几何意义知道,()baf x dx ⎰是曲线()y f x =介于x a =, x b =, x 轴上、下相应的梯形面积的代数和, 我们将从特殊到一般讨论其面积的计算方法．1．曲线()y f x =在[],a b 内与x 轴所围图形的面积（图5. 7所示）在[],a c 和[],d b 上, 积分值为正, 其面积就是在上述区间的积分值; 而在[],c d 上, 由于积分值为负, 所以其面积为积分值的相反数, 故()()()()b c d baacdS f x dx f x dx f x dx f x dx ==-+⎰⎰⎰⎰．图5. 7 图5. 8【例21】 求曲线 sin y x =在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上与x 轴所围图形的面积（如图5. 8）【解法1】 333222sin sin sin coscos 213S x dx xdx xdx xπππππππ==-=-+=+=⎰⎰⎰．【解法2】 32220sin 3sin 3(cos )3S x dx xdx x πππ===-=⎰⎰．2．在平面上, 由若干条曲线所围的封闭区域的面积其实, 在第一部分中, x a =、x b =、x 轴(0)y =是一些特殊的曲线, 求的是它们与曲线()y f x =所围图形的面积．现在, 我们不妨以两条曲线()y f x =与()y g x =在[],a b 中所围的区域进行讨论（图5. 9所示）.图5. 9 图5. 10由于在[],a c 和[],d b 上, ()()g x f x ≥, 而在[],c d 中, ()()f x g x ≥, 所以, 我们有(()())(()())(()())()()c d b bacdaS g x f x dx f x g x dx g x f x dx f x g x dx =-+-+-=-⎰⎰⎰⎰．【例22】 求曲线1y x=及直线y x =, 2x =所围图形的面积（图5. 10） 【解】曲线与直线之间的交点坐标分别是(1,1), 12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,2), 于是2212113ln ln 2122S x dx x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.通过计算我们可以发现, 用定积分求平面区域的面积的主要步骤是:① 作图; ② 列出积分公式子; ③ 求定积分的值. 其中第二步最关键也是最难的．为此, 我们分两种情况给予特别说明． （1）关于x 求积分先确定积分限a 与b , 它们分别是x 在区域上的最小和最大值, 不妨称之为左端点和右端点; 为了确定被积函数, 在区间(,)a b 上任取一点0x , 则直线0x x =与区域的边界一般有上、下两个交点, 上方交点所在的曲线不妨称之为上边界曲线, 下方交点所在的曲线称之为下边界曲线, 那么, 我们可以把求面积S 的式子表示为以下形式:()S dx =-⎰右端点左端点上边界函数下边界函数 【例23】 求2y x y x ==与所围平面区域的面积（图5. 11）【解】 在区域中, x 的最小和最大取值分别是0和1, 在[]0,1上任作一条平行于y 轴的直线, 该直线与区域边界上、下交点分别在直线y x =和曲线2y x =上, 所以()12230111111023236S x x dx x x ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰．图5. 11 图5. 12（2）关于y 求积分如果平行于y 轴的直线与区域边界的交点不止两个或边界的函数不统一的时候, 采用y 作为积分变量比较合适．先确定积分限c 与d , 它们分别是y 在区域上的最小和最大取值, 不妨称之为下端点和上端点; 在(,)c d 上任取一点0y , 作平行于x 轴的直线0y y =, 则该直线与区域的边界一般有左、右两个交点, 左交点所在的曲线不妨称之为左边界曲线1()x y ϕ=, 右交点所在的曲线称之为右边界曲线2()x y ϕ=, 那么, 我们可以把关于y 求面积的积分式子表示为:()S dy =-⎰上端点下端点右边界函数左边界函数．【例24】 求22y x =及直线4y x =-所围平面图形的面积（图5. 12）【解】 曲线之间交点坐标分别是(2,2)-和(8,4), 如果在(0,8)中, 作平行于y 轴的直线0x x =,则下边界有两条曲线y =4y x =-, 我们采用两种分法求解．方法一、（关于x 求积分）用直线2x =把原域分成左、右两块, 则由情况（1）的讨论, 有281202(4)]S S S dx x dx =+=+-⎰⎰)824x dx =++⎰3382222214182x x x x ⎫=+-+=⎪⎭;方法二、（关于y 求积分）我们可以把边界曲线表示成4x y =+和212x y =, 在区域上y 的最小、最大取值分别是2-和4, 左、右边界函数分别是212x y =和4x y =+, 于是 4422322111(4)418226S y y dy y y y --⎡⎤⎛⎫=+-=+-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰．读者可以比较两种解法的优劣, 并考虑: 由曲线1,2xy y x y ===与所围图形的面积（图 5. 13所示）图5. 13二、定积分在经济中的应用由定积分的经济意义知道, 已知某一经济量的边际函数为()f x , 则定积分()baf x dx ⎰是关于x 在区间[],a b 上的该经济的总量．【例25】 某企业生产一种产品, 每天生产x 吨的边际成本为()0.412C x x '=+（万元）, 固定成本5万元, 求总成本函数及产量从开始到10吨时的总成本．【解】 总成本函数20()(0.412)0.212C x x dx x x C =+=++⎰, 由于固定成本为5万元, 即05C =, 所以, 2()0.2125C x x x =++（万元）;当产量从开始到10吨时的总成本为:102010(0.412)(0.212)201201400C x dx x x =+=+=+=⎰（万元）． 【例26】 已知生产某产品x 单位总收入的变化率为()20050xR x '=-（万元／单位）, 试求（1）生产x 单位时的总收入及平均单位收入; （2）求生产2000个单位时的总收入和平均单位收入．【解】（1）总收入函数 2()20020050100x x R x dx x C ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰, 由于(0)0R =, 所以2()200100x R x x =-, 此时的平均单位收入()()200100R x xR x x ==-; （2）当生产2000个单位产品时的总收入为:200020002012002004000004000036000050100x R dx x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰（万元）,此时平均单位收入为:(2000)360000180********R R ===（万元）． 【例27】 设生产某产品的固定成本为10, 而当产量为x 时的边际成本()40 2.5C x x '=+, 边际收入()8010R x x '=-, 试求:（1）总利润函数; （2）总利润最大的产量．【解】（1）设总利润函数为()L x , 则()()()L x R x C x =-, 且'()'()'()(8010)(40 2.5)4012.5L x R x C x x x x =-=--+=-,于是, 总利润函数2()'()(4012.5)40 6.25L x L x dx x dx x x C ==-=-+⎰⎰,由于0x =时, 10L =-（固定成本）, 所以, 2()40 6.2510L x x x =--．（2）令'()4012.50L x x =-=, 得到 3.2x =且'()12.50L x =-<, 所以, 当产量为3.2个单位时, 利润最大, 此时, 最大利润为(3.2)54L =．习题5. 51．求下列各区域的面积（1）曲直线2,3y x x x ==及轴所围的平面区域; （2）由曲线22y x y x ==与所围的平面区域; （3）由曲线13x y y x x ⋅===与及所围的区域; （4）由1xy =, y x =及2y =所围的区域; （5）sin 2y x =在[]0,π上与x 轴所围的区域;（6）2y x =与22y x =-所围的区域．2．求k 的值, 使得由曲线22y x y kx ==与所围图形的面积为23． 3．某企业生产某产品的边际成本()0.210C x x '=-（元／件）, 固定成本1万元, 产品单价190元, 设产销平衡, 问产量多少时利润最大, 并求最大利润值．4．设某产品的边际成本()2C x x '=-（万元／台）其中x 为产量, 固定成本022C =万元; 边际收益()204R x x '=-（万元／台）, 求:（1）总成本和总收益函数; （2）当产量为何值时利润最大？（3）从最大利润时的产量开始, 又生产了5台, 求此时间段利润的总变量． 5． 设生产某产品x 个单位的边际收益为()abR x x b'=+, 求总收益和平均收益函数, 其中,a b 为常数．本章小结本章主要掌握定积分的概念、意义、性质以及会用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分. 一、定积分的概念、意义与性质1. 概念: 定积分源自于求曲边梯形的面积, 它的计算形式为:1()lim ()nbk k ak f x dx f x λξ→==∆∑⎰, 结果是一个数值, 其值的大小取决于两个因素（被积函数与积分限）．2. 几何意义: 是曲线[](),y f x a b =介于之间与x 轴所围的面积的代数和;3. 经济意义: 若()f x 是某经济量关于x 的变化率（边际问题）, 则()baf x dx ⎰是x 在区间[],a b 中的该经济总量．4. 性质: 本章共列了定积分的八条性质, 其中以下几条在计算定积分中经常用到.（1）()()baa bf x dx f x dx =-⎰⎰;（2）[]()()()()bbba a af xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰;（3）()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰; （4）()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰;（5）00()2()aaaf x f x dx f x dx f x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为奇函数时（）（）为偶函数时.二、定积分的计算1．牛顿—莱布尼兹公式: 若()f x 在[],a b 上连续, ()F x 是()f x 的一个原函数, 则()()()baf x dx F b F a =-⎰.2．换元法: 若()f x 在[],a b 连续, ()x t ϕ=在[],c d 上有连续的导数'()t ϕ, 且()t ϕ单调, 则有()()(())'()bdx t acf x dxf t t dt ϕϕϕ=⋅⎰⎰．3. 分部积分法: 若()u x 与()v x 在[],a b 上有连续的导数, 则有()()()()()()bb aab u x dv x u x v x v x du x a =⋅-⎰⎰. 三、定积分的应用1. 求平面区域的面积, 一般有两类公式:关于x 积分: ()S dx =-⎰右端点左端点上边界函数下边界函数 关于y 积分: ()S dy =-⎰上端点下端点右边界函数左边界函数2. 定积分的经济应用, 重点是已知某经济量（如成本、收益、利润）的变化率, 求在生产阶段[],a b 的经济总量．综合练习一、填空题1．tan xd arc tdt dx =⎰（ ）;2．tan ba d arc xdx dx=⎰（ ）; 3．21-=⎰（ ）;4．若0(21)0k x dx k -==⎰，则（ ）;5．=⎰（ ）;6．02arcsin limxx tdt x →=⎰（ ）;7．由,1,2y x x x x ===与轴所围图形的面积为（ ）． 二、选择题1．下列积分为零的是（ ）;A .11sin x xdx -⎰B .11cos x xdx -⎰C .()1231xx dx -+⎰ D . 11x e dx --⎰2．由定积分的几何意义,定积分1-=⎰（ ）;A . 0B . πC . 2πD .2π 3．图中阴影部分的面积可按（ ）计算;A . ()baf x dx ⎰B .()baf x dx ⎰C .()baf x dx ⎰D . ()()()cdbacdf x dx f x dx f x dx ++⎰⎰⎰4．sin bad arc xdx dx =⎰（ ）． A . 0 B .C . 1D . sin arc x三、计算题1．求下列各函数的导数:（1）211()1xF x dt t=+⎰ （2）02()cos xF x t tdt =⋅⎰求'()F π（3）22()1tx xte F x dt t =+⎰2．求下列各极限:（1）203sin limxx tdt x →⎰（2）02(2)limxt t x e e dtx-→+-⎰3．求下列各定积分: （1）1(1)x dx -⎰（2）120(3)x x dx +⎰（3）20cos 2xdx π⎰（4）1310x e dx -⎰（5）212x dx -⎰（6）0cos x dx π⎰（7）20a dx ⎰ （8）21201x dx x +⎰ （9）40⎰ （10）20a x ⎰ （11）101dx x +⎰ （12）21dx x⎰ （13）221x edx -⎰（14）0cos3xdx π⎰（15）20cos 2xdx π⎰ （16）212ln e x dx x +⎰（17）21x xe dx ⎰（18）120x ⎰（19）1201x x e dx e +⎰ （20）12⎰（21）1xxe dx -⎰（22）20sin x xdx π⎰（23）1ln(1)e x x dx -+⎰（24）1ln eex dx ⎰（25）220sin x xdx π⎰ （26）20cos 2x x π⎰（27）1ln et tdt ⎰（28）220cos x e xdx π⎰（29）cos xdx （30）1⎰四、解答题 1．求0()(4)xF x t t dt =-⎰在区间[]1,5-上的最大值与最小值;2．设20()(1)xf t dt x x =+⎰, 求(0),'(0)f f ;3．设(21)xf x e +=, 求53()f x dx ⎰;4．若1(2)2x k dx +=⎰, 试确定k 的值;5．若(21)3cx dx +=⎰, 试确定c 的值;6． 证明: 112211111xx dt dt t t =++⎰⎰（提示: 令1t u=）; 7．证明:42(4)(4)02x x x x e dx e dx --=⎰⎰;8．已知(0)1,(2)4,(2)2f f f '===, 求1(2)x f x dx ''⎰．五、求下列曲线所围的平面区域的面积: 1．24y x =-与0y =; 2．1,y y x x==及3x =; 3．22,4y x y x ==及1x =; 4．22,4y x y x ==及1y =; 5．2y x =与2x y =; 6．2=x y 与2y x =-． 六、经济应用题:1．某产品在时刻t 的变化率为2120.6t t +（单位／小时）, 求从2t =到4这两个小时的产量;2．已知生产某产品x 件时的边际收益()10020xR x '=-（元／件）, 求: （1）生产此产品1000件时的总收入;（2）产量从1000件到2000件时所增加的收入;3．设某产品总成本C （万元）的变化率是产量x （百台）的函数()44xC x '=+, 而边际收入()8R x x '=-, 求:（1）产量从100台到500台时, 总收入与总成本各增加多少？（2）已知固定成本为(0)1C =（万元）, 分别求出总成本, 总收益, 总利润与x 的关系; （3）当产量为多少时, 利润最大, 并求出最大利润值．。

定积分概念形成的源头
魏晋南北朝时期的数学家刘徽提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。

其方法是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆台体而无所失矣。

”也就是说：刘徽用圆内接正多边形去逐步逼近圆。

如图，设圆面积为S ，半径为r ，圆内接正n 边形边长为n l ，周长为n L ，面积为
n S 。

将边数加倍后，得到圆内接正2n 边形，其边长、周长、面积分别记为n l 2、n L 2、n S 2，则
22222222121⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=
=n n n l r r l CD AC AD l ， r L CD AB n S n n ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=21212，
)(222n n n n S S S S S -+<<。

当n 无限增大时，n S 2便趋于圆的面积，祖冲之按刘徽割圆术从正六边形连续算到正24576边形时，得到圆周率π的上下限：3.1415926<π<3.1415927。

这是当时世界在这一领域的最高水平。

刘徽割圆的逼近思想是以后极限思想的萌芽，为定积分概念的形成积累了素材。

定积分的发展史起源定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。

定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。

比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。

公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。

在历史上，积分观念的形成比微分要早。

但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。

未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16世纪。

此时的卡瓦列利与他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9 × N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。

17世纪初巴罗提供的第一个证明微积分基本定理。

牛顿和莱布尼茨在一体化的重大进展是在17世纪独立发现的牛顿和莱布尼茨的微积分基本定理。

定理演示了一个整合和分化之间的连接。

这方面，分化比较容易地结合起来，可以利用来计算积分。

特别是微积分基本定理，允许一个要解决的问题更广泛的类。

同等重要的是，牛顿和莱布尼茨开发全面的数学框架。

由于名称的微积分，它允许精确的分析在连续域的功能。

这个框架最终成为现代微积分符号积分是直接从莱布尼茨的工作。

正式积分定积分概念的理论基础是极限。

人类得到比较明晰的极限概念，花了大约2000年的时间。

在牛顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。

因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，并引发了“第二次数学危机”。

经过十八、十九世纪一大批数学家的努力，特别是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义，极限概念才完全确立，微积分才有了坚实的基础，也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。

定积分的发展史起源定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。

定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。

比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。

公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。

在历史上，积分观念的形成比微分要早。

但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。

未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16世纪。

此时的卡瓦列利与他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9 × N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。

17世纪初巴罗提供的第一个证明微积分基本定理。

牛顿和莱布尼茨在一体化的重大进展是在17世纪独立发现的牛顿和莱布尼茨的微积分基本定理。

定理演示了一个整合和分化之间的连接。

这方面，分化比较容易地结合起来，可以利用来计算积分。

特别是微积分基本定理，允许一个要解决的问题更广泛的类。

同等重要的是，牛顿和莱布尼茨开发全面的数学框架。

由于名称的微积分，它允许精确的分析在连续域的功能。

这个框架最终成为现代微积分符号积分是直接从莱布尼茨的工作。

正式积分定积分概念的理论基础是极限。

人类得到比较明晰的极限概念，花了大约2000年的时间。

在牛顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。

因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，并引发了“第二次数学危机”。

经过十八、十九世纪一大批数学家的努力，特别是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义，极限概念才完全确立，微积分才有了坚实的基础，也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。

定积分的发展史和应用
积分作为古老的一项重要的管理学术原理，已有延续了很久的发展史，主要应
用于高校和高等教育机构。

首先，积分系统最早出现在美国，其发展最为成熟，理念来源于威廉·科技森
博士的“学分制度”理论，秉持“能力驱动”的思路，按照毕业所需学分进行考核，以检验学生是否能够达到毕业要求，在美国以及日本等国家引入了学分制度。

其次，积分在高校和高等教育中的应用也演变得越来越广泛。

另一种学分制度
称为“学术学分”，它是学校把正式课程分为“核心课程”和“选修课”来计算学生所获取的学分，学习达到规定的要求时可以获得学分，让学生的学习更具有灵活性。

此外，一些大学和高等教育机构也采用积分制，可以根据不同专业制定不同学分，同时依据学生在课堂和实践中的成绩以及活动参与情况，给予不同学分以改善学习评估，重视学习能力和实践经验，以更好地考量学生的表现。

总之，积分作为古老重要的管理学术原理，从设立学分制度、学术学分以及不
同专业等方面在高校和高等教育中得以不断发展和应用，为学生的学习和毕业提供了便利。