应用随机过程
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安徽大学2009—2010学年第一学期 《 应用随机过程 》考试试卷（A 卷）
（闭卷 时间120分钟）
院/系 年级 专业 姓名 学号
题 号 一 二 三 四 总分
得 分
得分
一、填空题（每小题3分，共24分）
1、设X 是概率空间上的一个随机变量，且EX 存在，C 是F 的子σ-域，定义(,,)F P Ω(|)E X C 如下：(1) ；(2) 。
2、由全数学期望公式,取()[(|)]E X E E X C =X = ，C = ，即有连续型（广义）的全概率公式 。
3、设是强度为{(),0}N t t ≥λ的Poisson 过程，则N(t)具有 增量，且充分小，有0,0t h ∀>>{}(()(0P N t h N t +−=))= , ({})()()1P N t h N t +−== 。
4、设{(是强度为),0}N t t ≥λ的Poisson 过程, {, ,分别为其时间间隔序列和等待时间序列，则1},{,1n n X n S n ≥}≥12,,,n X X X 独立且服从参数为λ的指数分布， n S ∼，
1(|N t X )1=∼
；
12(,,S S (),)|n N t n S =d 。
5、试述连续鞅（过程）的定义 。
设{(为一维标准Brown 运动，则),0}W t t ≥0,t ∀>()W t ∼ ，且由{(可构造出如下的鞅（试举两例） ),0}W t t ≥。
6、在金融衍生品定价模型中，通常假设原生资产（如：股票）的价格过程{(遵循几何Brown 运动，即股价过程服从随机微分方程： ),0}S t t ≥（其中参数的含义为 ），这是由于 。
7、试述关于测度变换的Girsanov 定理： 。
8、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为 ，其处理问题的实质在于 。
得分 二、证明分析题（共10分）
假设X 是概率空间（Ω,F,P ）上的非负随机变量，且服从指数分布，即：,0a ∀>{}()1,a P X a e λ−≤=−>0λ为常数；设λ是另一个正常数，定义
()(),(),X A Z Z e P A P A F λλλωλ
−−==
=∈∫Zd ,
(1)证明： ()1P
Ω=； (2)求在概率测度 P
下，随机变量X 的分布函数： 0,({})a P X a >≤。
得分
三、计算题（共46分）
1、(1)(12分)假设()X E λ∼，给定，试分别由指数分布的无记忆性、条件密度和
0c >(())
(|E X (|)()
E XI A E X A P A =，求。
)X c >
(2)(14分)假设()X E λ∼，()Y E μ∼，且X 、Y 独立，0z ∀>，试分别由条件密度和条件数学期望的一般定义求。
(|E X )X Y z +=
2、(1)(4分).设在公路上，汽车运输流构成一个Poisson 流，其强度等于每分钟30辆，试求“n 辆汽车通过观察站的时间需要多于x 秒”的概率。
(2)(6分). 假设与分别是参数为1{(),0}N t t ≥2{(),0N t t ≥}1λ与2λ的独立Poisson 过程，试由连续型全概率公式求“在过程的任意两个相邻事件的时间间隔内，过程恰好有k 个事件到达（发生）”的概率。
1()N t 2()N t
3(10分)设表示P 下的标准Brown 运动，定义：{(),0}W t t ≥()exp[()]Z t aW =t ，利用 IT o Doebl −in （伊藤-德布林）公式写出()Z t 满足的随机微分方程，因此求出()[()]m t def E Z t 满足的常微分方程，并通过求解它来证明：。
2xp(())]exp(/2)E aW t a t =[e 得分 四、应用分析题（共20分）
试分别由偏微分方程方法（无套利定价方法）和风险中性概率方法（等价鞅测度方法）推导欧式看涨期权价值的Black-Scholes 方程，并通过风险中性概率方法求其解。
