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教案----微积分基本定理

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学习必备 欢迎下载 第三节 微积分基本公式 在第一节的例1，我们学习了利用定积分的定义来计算定积分102dxx。通过这个例子我们看到，虽然被积函数只是简单的二次函数2()fxx，但是直接按定义来计算它的定积分102dxx已经很复杂了。如果被积函数是其它更复杂的函数，则复杂程度更大了。于是，我们就想能否寻求其他计算定积分的新方法。下面我们还是从实际问题中寻找解决问题的方法。先来下面这个例子：

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体作直线运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度，使其成为一数轴。时刻t时物体所在的位置为)(ts，速度为()vt。（为讨论方便，假设()0vt。）

物体在时间间隔],[21TT内经过的路程可以用速度函数)(tv在],[21TT上的定积分来表达，即 21)(TTdxtv；

另一方面，这段路程又可以通过位置函数)(ts在区间],[21TT上的增量来表示，即 21()()sTsT。

于是，位置函数)(ts与速度函数()vt之间有如下关系： 2211()()()TT

vtdxsTsT。

注意到()()stvt（我们称)(ts是)(tv的原函数）。上式表明，tv在区间],[21TT上的定积分21)(TTdxtv恰好等于其原函数ts在区间],[21TT上的增量21()()sTsT。

上面提到了)(ts是)(tv的原函数，对于一般情况，我们给出如下定义： 定义： 设函数,Fxfx在区间I上有定义，Ix，若有xFxf，则 称xF是xf 在区间I上的一个原函数。也称)(xf为)(xF在区间I 上的的导函数。原函数与导函数是一种互逆关系。

问题：引例中提到的这种积分与原函数的关系在一般情况下是否具有普遍性？ 下面介绍微积分基本定理（也叫Newton —Leibniz 公式）： 牛顿莱布尼兹（Newton —Leibniz）公式 设函数xf在区间ba,上连续，且)(xF是)(xf在区间[,]ab

上的一个原函数，即对[,]xab，有xfxF，则 aFbFdxxfba)(

也称作微积分基本公式。 证明见本节附录。 注： （1）为了计算中书写方便，通常将Newton —Leibniz公式写作： aFbFxFdxxfbaba)()(；

（2）牛顿－莱布尼茨公式表明：一个连续函数在区间[,]ab上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[,]ab上的增量，这给计算定积分提供了一个简洁又有效的方法；

（3）牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系。

阅读材料 牛顿莱布尼兹公式的证明 一、 积分上限函数及其导数 学习必备 欢迎下载 设函数)(xf在],[ba上连续，并且设x为],[ba上任一点，考察定积分 ()xaftdt

如果上限x在区间],[ba上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分()xaftdt有一个对应值，所以它在],[ba上定义了一个函数，记为 ()()xaxftdt()axb

我们称它为积分上限函数。

问题： （1）积分上限函数()()xaxftdt具有怎样的性质，是否可导？

（2）积分上限函数()()xaxftdt与被积函数)(xf有怎样的关系？

（i）当),(bax时， 设x有增量x，其绝对值足够小，使得(,)xxab，则积分上限函数()x在xx处的函数值为

()()xxaxxftdt

由此我们得到()x的增量为 )()()(xxxx

()()xxxaaftdtftdt ()()()xxxxaxaftdtftdtftdt

=()xxxftdt。 由积分中值定理，则在x与xx之间至少存在一点，使得 ()()xxxftdtfx，

即 ()()xfx。

上式两端同除以x，得

)()(fxx

。

由于位于x与xx之间，所以当0x时，有x。于是，对上式两端取极限(0)x，可得 00()limlim()lim()xxxxffx 又因为函数)(xf在],[ba上连续，故有 lim()()xffx

于是，结合上面两式，可得 ()()xfx

这说明()x在点x处可导，并且有()()xfx；

（ii）当xa或xb时， 考虑其单侧导数，类似可得 ()()afa，()()bfb。 学习必备 欢迎下载 综合（i）,(ii),我们可得如下 定理1 如果函数)(xf在区间],[ba上连续，则积分上限函数

xadttfx)()(

在],[ba上可导，并且它的导数是 ()()()xadxftdtfxdx（bxa）。

由定理1，可得下面结论 定理2 如果函数)(xf在区间],[ba上连续，则函数

xadttfx)()(

是)(xf在区间],[ba上的一个原函数。 注：（1）定理证明了连续函数的原函数是存在的； （2）揭示了定积分与原函数之间的关系，同时为通过原函数计算定积分开辟了道路。 二、牛顿莱布尼兹（Newton —Leibniz）公式的证明 现在，我们可以根据上面的定理来证明牛顿莱布尼兹公式。

牛顿莱布尼兹（Newton —Leibniz）公式 设函数xf在区间ba,上连续，且)(xF是)(xf在区间[,]ab上的一个原函数，即对[,]xab，有xfxF，则 aFbFdxxfba)(

也称作微积分基本公式。 证明：已知)(xF是)(xf在区间],[ba上的一个原函数，又由定理2，积分上限函数

xadttfx)()(

也是)(xf在区间],[ba上的一个原函数。故有 ()()FxxC （bxa）

即 ()()FxxC。

取xa，可得 ()()FaaC 又由于 ()()0aaaftdt

代入上式，可得 ()FaC （1） 取xb，可得()()FbbC

又由于()()babftdt 代入上式，可得()()baFbftdtC (2) (2)-(1),可得aFbFdxxfba)(。 第四节 不定积分

由牛顿－莱布尼茨（Newton —Leibniz）公式 aFbFxFdxxfbaba)()( 学习必备 欢迎下载 可知，一个连续函数在区间[,]ab上的定积分等于它的原函数在区间[,]ab上的增量。因此，求xf的定积分问题就转化为求其原函数的问题。

问题：对于连续函数xf，如何求其原函数呢？ 一、原函数与不定积分 在第三节，我们提到了原函数的概念，现在一起来回顾一下： 设函数,Fxfx在区间I上有定义，Ix，若有Fxfx，则称xF是xf 在区间I上的一个原函数。也称)(xf为)(xF在区间I 上的的导函数。原函数与导函数是 一种互逆关系。

例如： (1) 如果质点的路程函数为tss，速度函数为)(tv，已知)(tvts，由定义，ts是tv的一个原函数；

(2) xxcossin，故xsin是xcos的一个原函数； (3) 2211)1ln([xxx，故)1ln(2xx是211x的一个原函数； …… 问题： ① 在什么条件下，一个函数一定有原函数？ ② 若原函数存在, 如何求原函数? ③ 原函数是否唯一？ ④ 若不唯一它们之间有什么联系？

原函数存在定理：如果函数)(xf在区间I 上连续，则)(xf在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(xF，使得对任一Ix，都有 )()(xfxF。

证明略。 注： 1． 初等函数在定义区间内连续，故初等函数在其定义区间内一定有原函数（但是初等函数的原函数不一定还是初等函数）； 2． 如果)(xf有一个原函数，则)(xf就有无穷多个原函数。

设)(xF是)(xf的原函数，即Fxfx。则对任意常数C，显然也有 )(])([xfCxF，

表明CxF)(也为)(xf的原函数，其中C为任意常数。所以原函数不唯一； 3． 如果)(xF与)(xG都为)(xf在区间I 上的原函数，则)(xF与)(xG最多相差一个常数，即 CxGxF)()( （C为常数）。 证：设xF、xG都是函数xf的原函数，即xfxF，xfxG，对任意的x，有

0FxGxFxGxfxfx



由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，则有 FxGxC（C为常数）

表明)(xF与)(xG最多只相差一个常数。 4． 根据注3，如果已知xf的一个原函数为xF，则xf的所有的原函数可 以表示为FxC，即xf的原函数的全体为FxC，称为xf的原函数

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《微积分的基本定理》课件

《微积分的基本定理》课件


物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
微积分基本定理第二课时参考教案

微积分基本定理第二课时参考教案

微积分基本定理第二课时一：教学目标知识与技能目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二、教学重难点重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点了解微积分基本定理的含义三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：定积分的概念及用定义计算（二）、探究新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即=对于一般函数，设，是否也有若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。

注：1：定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则证明：因为=与都是的原函数，故-=C（）其中C为某一常数。

令得-=C，且==0即有C=，故=+ =-=令，有此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用表示，即该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。

它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。

它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。

因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

定积分的概念与微积分基本定理(优质课)教案

定积分的概念与微积分基本定理(优质课)教案

定积分的概念与微积分基本定理（优质课）教案教学目标：掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.教学过程：一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，()()i ni n ni i x f n x f S ξξ∑∑=∞→=→∆=∆•=1101lim lim ()()i ni n n i i t v nt v S ξξ∑∑=∞→=→∆=∆•=1101lim lim事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限1定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b −=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x −上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：()()i ni ni i f n ab x f ξξ∑∑==−=∆•11当n →+∞）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baf x dx ⎰即()baf x dx ⎰=()i ni n f n ab ξ∑=∞→−1lim其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 积分 ，a 积分 。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ−∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=−∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=−=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。

高中数学 第一章《1.6微积分基本定理》教案 新人教A版选修2-2

高中数学 第一章《1.6微积分基本定理》教案 新人教A版选修2-2

"福建省长乐第一中学2014高中数学 第一章《1.6微积分基本定理》教案 新人教A 版选修2-2 "一：教学目标知识与技能目标通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二：教学重难点重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点 了解微积分基本定理的含义三：教学过程：1、复习：定积分的概念及用定义计算2、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。

此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。

它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。

它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。

因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

例1．计算下列定积分：（1）211dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x-⎰。