三年级奥数和差的变化规律

三年级奥数-第一讲找规律填数【学法指导】寻找一列数的变化规律，再根据这样的规律填上适当的数，这样的问题我们叫作“找规律”。

在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律:1. 从相邻两数的和、差、积、商考虑，或将和、差、积、商依次写下来成新的一列数，通过对这列数的变化规律的分析，找出规律，推断出所要填的数。

2.有时要将一列数分成两列数，分别考虑它们的变化规律。

3.对于那些分布在某些图形中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关。

这是我们解决这类问题的入手点【经典例题1】找出下面各数的排列规律，并根据规律在括号里填出适当的数。

（1）2，5，8，11，14，( )，（）.(2) 1，2，4，7，11，16，( ).(3) 4，12 ,36 ,108，( ) ,972.(4) 1，2，6，24，120，( )，5040.思路点拨(1)比较相邻两个数的差。

发现后一个数总比前一个数大3。

(2)比较相邻两个数的差。

发现前6个数每相邻两个数的差依次是1，2，3，4，5，由此可以推算第7个数比第6个数16大6。

（3）比较相邻两个数的商，发现后一个数总是前一个数的3倍。

（4）比较相邻两个数的商，发现前5个数每相邻两个的商依次是2,3,4,5，由此可以推算第6个数是第5个数120的6倍。

完全解题（1）2，5，8，11，14，( 17 )，（ 20 ）.(2) 1，2，4，7，11，16，( 22 ).(3) 4，12 ,36 ,108， ( 324 ) ,972.(4) 1，2，6，24，120，( 720 )，5040.1.找规律填数。

（1）1，4，7，10，（）（2）55，49，43，（），31，（），19.2. 找规律填数。

（1）3，4，6，9，13，18，（），（），39.（2）1，4，9，16，（），36，（）。

3. 先找规律，再填数。

（1）1，3，9，27，（），（）.（2）1，2，6，24，（），720。

第5讲找规律(一)这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。

按一定次序排列的一列数就叫数列。

例如，(1) 1，2，3，4，5，6，…(2) 1，2，4，8，16，32；(3) 1，0，0，1，0，0，1，…(4) 1，1，2，3，5，8，13。

一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。

如，数列(1)的第3项是3，数列(2)的第3项是4。

一般地，我们将数列的第n项记作an。

数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。

许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。

数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第n项an＝n。

数列(2)的规律是：后项=前项×2，或第n项数列(3)的规律是：“1，0，0”周而复始地出现。

数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即a 3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，a 6=3+5=8，a7=5+8=13。

常见的较简单的数列规律有这样几类：第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。

例如数列(1)(2)。

第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。

例如数列(3)(4)。

第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。

这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。

例1找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：(1)4，7，10，13，( )，…(2)84，72，60，( )，( )；(3)2，6，18，( )，( )，…(4)625，125，25，( )，( )；(5)1，4，9，16，( )，…(6)2，6，12，20，( )，( )，…解：通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现(1)的规律是：前项+3=后项。

所以应填16。

(2)的规律是：前项-12=后项。

三年级奥数第17讲和差问题(wèntí)（教师版）教学目标①学习(xuéxí)了解和、差的变化规律；②利用(lìyòng)这些规律来解决一些较简单的问题；③通过学生(xué sheng)解决问题的过程,激发学生(xué sheng)的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。

知识梳理1、和差问题已知两个数的和与差,求出这两个数各是多少的应用题,叫和差应用题。

解答和差应用题的基本数量关系是：（和－差）÷2=小数小数＋差=大数（和－小数=大数）或：（和＋差）÷2=大数大数－差=小数（和－大数=小数）2、解题策略解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准,设法把若干个不相等的数变为相等的数,某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差,可以通过转化求它们的和与差,再按照和差问题的解法来解答。

典例分析例1、期中考试王平和李杨语文成绩(chéngjì)的总和是188分,李杨比王平少4分。

两人各考了多少(duōshǎo)分?【解析(jiě xī)】根据(gēnjù)题意画出线段图。

我们可以用假设法来分析(fēnxī)。

假设李杨的分数和王平一样多,则总分就增加4分,变为188+4=192分,这就表示王平的2倍,所以王平考了：192÷2=96分,李杨考了96－4=92分。

例2、两筐水果共重124千克,第一筐比第二筐多8千克。

两筐水果各重多少千克?【解析】大筐+小筐=124千克,大筐-小筐=8千克.利用公式（和－差）÷2=小数小数＋差=大数（和－小数=大数）得到千克,也就是小筐58千克,大筐58+8=66千克。

例3、两筐梨子共有120个,如果从第一筐中拿10个放到第二筐中,那么两筐的梨子个数相等。

两筐原来各有多少个梨?【解析】根据题意,第一筐减少10个,第二筐增加10个后,则两筐梨子个数相等,可知原来第一筐比第二筐多10×2=20个。

智力托管辅导中心三年级奥数（07-7）姓名：找规律填数按照一定规律排列的一系列数叫数列，数学中经常出现要求填出数列中的未知数（项）的问题。

∵数列中的每一个数都叫这个数列的项，排在第一位的叫第一项或叫“首项”，排列在第几个位置的叫“几项”，排列在最后一项的叫“尾项”。

解决这类问题时，首先要根据己知项找出规律，从相邻项之间入手，探求各项与项数之间暗藏数理关系，然后根据这一规律进行计算，填上所要求的项。

数列的种类多种多样，千变万化，表现形式各不相同，通过这类问题的训练，培养我们的观察力和分析能力，极有好处。

一，和差关系的数列。

1、150，135，120，（），90，（）2、1，3，5，7，（）……3、1，9，16，22，27，31，（），（）4、1，3，7，15，31，（），（）2555、2，5，8，11，（）……6、在横线上填上合适的数。

（1）12，27，15 （2）50，17，819 51 32 38 15 47 16 24 77、1，6，5，10，9，14，13，（），（）……8、（9，16），（12，13），（17，8）（19，□）练；找规律填数。

1、3，7，11，15，19，（），（）……2、（22，28），（17，23），（24，26），（12，□）3、智力托管辅导中心三年级奥数（07-7）姓名：找规律填数1、5，3，7，5，9，7，（），（）……2、12579，25791，57912，79125，（），……3、42875，54287，75428，87542，（）……4、82，75，68，（），54，（）……5、6，3，8，5，10，7，12，9，（），（）6、0，3，8，15，24，（），（）二、积、商乃至四则混和关系的数列。

1、1，4，9，16，25，（），（）……2、1，3，9，27，（），（）……3、4、3，6，18，36，108，（），（）……5、（），（），（），476，575，674，……6、1，3，7，15，31，（），（），……7、364，121，40，13，（），（）……8、2，5，2，10，2，15，（），（）……三练习1、（），（），256，64，16，4，（）。

年龄问题知识框架一、年龄问题变化关系的三个基本规律：1.两人年龄的倍数关系是变化的量.2.每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量；3.两个人之间的年龄差不变二、年龄问题的解题要点是：1．入手：分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系．2．关键：抓住“年龄差”不变．3．解法：应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式．4．陷阱：求过去、现在、将来。

年龄问题变化关系的三个基本规律：1．两人年龄的差是不变的量；2.两个人的年龄增加量是不变的；3．两人年龄的倍数关系是变化的量；年龄问题的解题正确率保证：验算！例题精讲【例 1】有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的2倍时，丙是22岁；当乙的年龄是丙的2倍时，甲是31岁；当甲60岁时，丙是多少岁？倍．问丁今年的年龄？【例 2】小芬家由小芬和她的父母组成，小芬的父亲比母亲大4岁，今年全家年龄的和是72岁，10年前这一家全家年龄的和是44岁．今年三人各是多少岁？【巩固】全家四口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁．四年前他们全家的年龄和为58岁，而现在是73岁．问：现在各人的年龄是多少？【例 3】李伟5年前的年龄与张磊8年后的年龄相等，李伟4年后与张磊3年前的年龄和是36岁，李伟和张磊两人今年各多少岁？【巩固】爸爸15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸多少岁？【例 4】已知祖孙三人，祖父和父亲的年龄差与父亲和孙子的年龄差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁，明年祖父年龄恰好等于孙子年龄的5倍．求祖孙三人各多少岁?【巩固】哥哥对弟弟说：“当我在你现在的年龄时，你才7岁”．弟弟又对哥哥说：“当我长到你现在的年龄时，你已22岁了”，问哥哥和弟弟现在各多少岁？【例 5】10年前父亲的年龄是儿子的7倍，15年后父亲的年龄是儿子的2倍，问现在父子的年龄各是多少？【巩固】今年父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，问：现在父子的年龄各是多少岁？【例 6】12年前，父亲的年龄是女儿年龄的11倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的3倍，请问多少年后父亲年龄是女儿年龄的2倍【巩固】1年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍。

三年级奥数-第一讲找规律填数【学法指导】寻找一列数的变化规律，再根据这样的规律填上适当的数，这样的问题我们叫作“找规律”。

在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律:1. 从相邻两数的和、差、积、商考虑，或将和、差、积、商依次写下来成新的一列数，通过对这列数的变化规律的分析，找出规律，推断出所要填的数。

2.有时要将一列数分成两列数，分别考虑它们的变化规律。

3.对于那些分布在某些图形中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关。

这是我们解决这类问题的入手点【经典例题1】找出下面各数的排列规律，并根据规律在括号里填出适当的数。

（1）2，5，8，11，14，( )，（）.(2) 1，2，4，7，11，16，( ).(3) 4，12 ,36 ,108，( ) ,972.(4) 1，2，6，24，120，( )，5040.思路点拨(1)比较相邻两个数的差。

发现后一个数总比前一个数大3。

(2)比较相邻两个数的差。

发现前6个数每相邻两个数的差依次是1，2，3，4，5，由此可以推算第7个数比第6个数16大6。

（3）比较相邻两个数的商，发现后一个数总是前一个数的3倍。

（4）比较相邻两个数的商，发现前5个数每相邻两个的商依次是2,3,4,5，由此可以推算第6个数是第5个数120的6倍。

完全解题（1）2，5，8，11，14，( 17 )，（ 20 ）.(2) 1，2，4，7，11，16，( 22 ).(3) 4，12 ,36 ,108， ( 324 ) ,972.(4) 1，2，6，24，120，( 720 )，5040.【能力冲浪1】1.找规律填数。

（1）1，4，7，10，（）（2）55，49，43，（），31，（），19.2. 找规律填数。

（1）3，4，6，9，13，18，（），（），39.（2）1，4，9，16，（），36，（）。

3. 先找规律，再填数。

（1）1，3，9，27，（），（）.（2）1，2，6，24，（），720。

和差问题★挑战锦囊★已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为“和差问题”。

掌握了和差问题的特征和规律，我们解答问题就很方便了。

解答“和差问题”通常用假设法，同时结合线段图进行分析。

可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数，再求小数；也可以假设大数减小与小数同样多，先求小数，再求大数。

用数量关系式表示：（和＋差）÷2＝大数、（和－差）÷2＝小数。

★基础挑战一例1：合唱团里共有58名成员，男生比女生多6人。

男生、女生各有多少人？分析：已知男生比女生多6人，假设男生减少6人，那么男生人数就和女生人数一样多了，但是总数也会因此减少6人，变为58－6＝52（人），52人表示女生人数的2倍，用52÷2＝26（人）求出的是女生人数，再用26＋6＝32（人）求出的就是男生人数。

解答：女生：（58－6）÷2＝26（人）男生：26＋6＝32（人）答：男生有32人，女生有26人。

挑战自己,我能行练习1：大、小两个量杯里共有350毫升的水，大量杯里的水比小量杯里的水多30毫升。

大、小量杯里各有多少毫升的水？练习2：小文和小月两人的身高总和是268厘米，小文比小月矮12厘米。

两人的身高各是多少厘米？★基础挑战二例2：笑笑期末考试时语文和数学的平均成绩是96分，数学比语文多得了4分。

笑笑的语文和数学各得了多少分？分析：根据“语文和数学的平均成绩是96分”可以得出笑笑的语文和数学的总分数是96×2＝192（分），假设数学少得了4分，那语文跟数学的分数就一样，但是总分会因此减少4分，变为192－4＝188（分），用188÷2＝94（分）求出的是语文的分数，再用94＋4＝98（分）求出的就是数学的分数。

解答：语文：（96×2－4）÷2＝94（分）数学：94＋4＝98（分）答：笑笑的语文得了94分，数学得了98分。

挑战自己,我能行练习1：青青和丽丽5分钟共踢毽子560下，已知青青平均每分钟比丽丽少踢6下。

一、数列的定义按一定次序排列的一列数就叫做数列；数列中每个数都叫做这个数列的项，其中的第一个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，第n 个数称为第n 项。

根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列；把项数无限的数列（即有无穷多个数的数列）称为无穷数列。

研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。

【诀窍】1，比较简单的数列，一般从相邻两数的和差积商中找规律，稍复杂的数列，要全方位入手，把数列合理地拆分成为几部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑。

2，图形中的数在图形中所处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要仔细进行分析，才能找到规律；3，由若干数组组成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。

【注意】通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识相综合的数列问题．二、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；知识框架数表规律和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．三、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、L 、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、L 、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++L11002993985051=++++++++L 1444444442444444443共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++LL L和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=L （），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=L （），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．注：找规律问题，答案并不唯一，只要言之成理即可！例题精讲一、简单数列规律.【例 1】例1 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字Array【巩固】用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：①这个三角阵的排列有何规律？②根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行。

小学三年级奥数找简单数列的规律【五篇】解答：奇数项构成数列1，3，5，7，…，每一项比前一项多2；偶数项构成数列4，8，12，…，每一项比前一项多4，所以应填：16”【第二篇：斐波那契数列】斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，那么数列的第100项与前98项之和的差是多少？解答：因为第100项等于第99项与第98项之和，所以第100项与前98项之和的差等于第99项与前97项之和的差．同理第99项与前97项之和的差等于第98项与前96项之和的差，……依次类推，可得第100项与前100项之和的差等于第3项与前1项的差，即为第2项，所以第100项与前98项之和的差是【第三篇：填完数列】按照数列的变化规律在括号里填上合适的数：3，1，6，2，12，3，24，4，（），（）。

【答案解析】第1个数、第3个数、第5个数、第7个数……依次为：3，6，12，24，…又组成一个新的数列，后一个数是前一个数的2倍。

所以，第9个数应填48；同样，第2个数、第4个数、第6个数、第8个数……依次为：1，2，3，4，…，也组成一个新的数列，后一个数比前一个数大1。

所以，第10个数应填5【第四篇：周期数列】小明在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3…你知道他写的第81个数是多少吗？你能求出这81个数相加的和是多少吗？【答案解析】⑴从排列上能够看出这组数按7，0，2，5，3依次重复排列，那么每个周期就有5个数．81个数则是16个周期还多1个，第1个数是7，所以第81个数是7，81÷5=16 (1)⑵每个周期各个数之和是：7+0+2+5+3=17．再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数，即可得到答案．17×16+7=279，所以，这81个数相加的和是279．【第五篇：等差数列】对于数列4、7、10、13、16、19……，第10项是多少？49是这个数列的第几项？第100项与第50项的差是多少？【答案解析】能够观察出这个数列是公差是3的等差数列.根据刚刚学过的公式：第n项=首项+公差×(n-1)，项数=(末项-首项)÷公差+1，第n项-第m项=公差×(n-m)；第10项为：4+3×(10-1)=4+27=31，49在数列中的项数为：(49-4)÷3+1=16，第100项与第50项的差：3×(100-50)=150。

(完整版)小学三年级奥数知识点.docx小学三年级奥数知识点1．和差倍咨询题和差和倍差倍几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范已知两个数的和，差，倍数关系公式①( 和－差) ÷2=小数小数＋差 =大数和－小数 =大数公式②( 和＋差) ÷2=大数和÷ ( 倍数＋ 1)= 小数差÷ ( 倍数 -1)= 小数大数－差 =小数小数×倍数 =大数小数×倍数 =大数和－大数 =小数和－小数 =大数小数＋差 =大数关求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数2．年龄咨询题的三个基本特征：①两个人的年差是别的；②两个人的年是同增加或者同减少的；③两个人的年的倍数是生化的；3．归一咨询题的基本特点：中有一具别的量，普通是这个“ 一量”，目普通用“照的速度”??等来表示。

关：依照目中的条件确定并求出一量；4．植树咨询题基本型在直或者别封的曲上植，两端都植在直或者别封的曲上植，两端都别植在直或者别封的曲上植，惟独一端植封曲上植关确定所属型，从而确定棵数与段数的关系基本公式棵数 =段数＋ 1棵距×段数 =棵数=段数－1棵距×段数 =棵数=段数棵距×段数 =5．鸡兔同笼咨询题基本概念：兔同又称置、假，算是把假的那部分置出来；基本思路：①假，即假某种象存在（甲和乙一或者乙和甲一）：②假后，生了和目条件别同的差，找出个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出个差的缘故；④再依照两个差作适当的整，消去出的差。

基本公式：①把所有假成兔子：数＝（兔足数× 数－足数）÷（兔足数－足数）②把所有兔子假成：兔数＝（足数一足数× 数）÷（兔足数一足数）关：找出量的差与位量的差。

6．盈亏咨询题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准别同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分配方案举行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，依照那个关系求出参加分配的总份数，然后依照题意求出对象的总量．基本题型基本公式① 一次有余数，另一次别脚；盈亏总份数＝（余数＋别脚数）÷两次每份数的差② 当两次都有余数；盈盈总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差③ 当两次都别脚；亏亏总份数＝（较大别脚数一较小别脚数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是别变的。

三年级奥数第一讲找规律教学目标：1.让学生主动经历自主探索、合作交流的过程，体会解决问题的不同策略及方法，逐步优化的过程。

2.掌握图形及数字排列的规律。

教学重点学生经历寻找规律的探索过程，找到规律。

并能运用到解题中。

教学难点学生能用恰当的方式表述并找到规律课时安排二课时课前准备教具教学步骤第一课时一、导入T：老师今天想考考大家在平时的生活当中是不是一个会细心观察的同学。

同学们有没有发现在我们的现实生活当中，有哪些事是可以重复的，或者说有哪些事是很有规律的？S：上学放学每个星期一到星期五的早上都要去学校上学（可以适当的引导学生重复很多的事）T：刚才同学们说的都非常的棒，表示个同学们平时的观察能力都非常的强。

那么老师今天要告诉大家，不光在我们平时生活当中有规律，在数学当中我们同样也有规律的应用。

老师希望在今天的学生当中同学们可以把平时在生活当中细心观察的好习惯带到今天的学习中来。

就请同学们来跟老师一起“找规律”。

（出示课题）二、教学过程例1.根据下列前三幅图的变化规律，在第四幅图中画出阴影部分。

T：老师这里有三张不同图片，请大家观察一下有什么区别。

（出示教具提出问题）S：位置发生了变化（可以适当的引导）T：其实啊，这三幅图的变化是有规律的，大家再来仔细看一看。

请几位同学上来帖或画出阴影部分，错误的提出并修改。

最后讲解时一个一个阴影部分的讲，引导学生学习发现，每个阴影部分顺时针移动了一格。

（可以提示逆时针移动二格）板书顺时针移动一格逆时针移动二格练习观察下列各组图的变化规律，并在“？”处画出相关的图形.小结：这个图形变化的规律是位置发生了变化，并且是顺时针移动一格，或者逆时针移动二格。

板书：位置发生变化例2.按顺序观察所给出的图形变化，依照这种变化规律，在空白处填上应有的图形。

T：刚才我们学习了图形位置变化的规律，大家看看老师这幅图里图形发生了变化吗？S：有，没有（引导学生发现数量发生变化）T：那么这个数量的变化有什么规律？请同学上来贴认为正确的填法。

第5讲 找规律(一)这一讲我们先介绍什么是这一讲我们先介绍什么是“数列”“数列”，然后讲如何发现和寻找然后讲如何发现和寻找“数列”“数列”的规律。

按一定次序排列的一列数就叫数列。

例如， (1) 1 1，，2，3，4，5，6，…(2) 1 1，，2，4，8，1616，，3232；；(3) 1 1，，0，0，1，0，0，1，…(4) 1 1，，1，2，3，5，8，1313。

一个数列中从左至右的第n 个数，称为这个数列的第n 项。

如，数列(1)的第3项是3，数列(2)的第3项是4。

一般地，我们将数列的第n 项记作a n 。

数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。

许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。

律。

数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项是：后项==前项前项+1+1+1，或第，或第n 项a n ＝n 。

数列(2)的规律是：后项的规律是：后项==前项×前项×22，或第n 项数列(3)的规律是：“的规律是：“11，0，0”周而复始地出现。

”周而复始地出现。

数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即a 3=1+1=2=1+1=2，，a 4=1+2=3=1+2=3，，a 5=2+3=2+3＝＝5，a 6=3+5=8=3+5=8，，a 7=5+8=13=5+8=13。

常见的较简单的数列规律有这样几类：第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。

例如数列(1)(2)。

第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。

例如数列(3)(4)。

第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。

这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。

来作一些说明。

例1 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )( )内填上合适的数：内填上合适的数：内填上合适的数：(1)4，7，1010，，1313，，( )( )，…，…(2)8484，，7272，，6060，，( )( )，，( )( )；；(3)2，6，1818，，( )( )，，( )( )，…，…(4)625625，，125125，，2525，，( )( )，，( )( )；；(5)1，4，9，1616，，( )( )，…，…(6)2，6，1212，，2020，，( )( )，，( )( )，…，…解：通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现(1)的规律是：前项的规律是：前项+3=+3=+3=后项。

一、数列的定义按一定次序排列的一列数就叫做数列；数列中每个数都叫做这个数列的项，其中的第一个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，第n 个数称为第n 项。

根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列；把项数无限的数列（即有无穷多个数的数列）称为无穷数列。

研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。

【诀窍】1，比较简单的数列，一般从相邻两数的和差积商中找规律，稍复杂的数列，要全方位入手，把数列合理地拆分成为几部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑。

2，图形中的数在图形中所处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要仔细进行分析，才能找到规律；3，由若干数组组成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。

【注意】通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识相综合的数列问题．二、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；知识框架数表规律和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．三、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．例题精讲一、简单数列规律【例1】例1 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字.【巩固】用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：①这个三角阵的排列有何规律？②根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行。

学习资料收集于网络，仅供参考第九讲 和差的变化规律姓名1、两个数相加，一个加数减少29,另一个加数不变，和将有什么变 化？1、 两个数相加，一个加数增加21，另一个加数增加19，和有什么 变化？2、 两个数相加，一个加数减少20,另一个加数增加20，和怎么样？3、 两个数相加，一个加数增加34,另一个加数减少26,和有什么 变化？学习资料收集于网络，仅供参考4、 两个数相减，被减数不变，减数120,差将有怎样的变化？两牛馥伯耳：们）削黑被咸颠iSJjl （或砖少）一牛数•诽裁不变*那医， 它们的差也咼fcH 盞SUM 目一吓Sr忖》如果耳敌理加（義漳少｝一个救"械甘热不賈"坯么它 们的差匪而克少（瞻鳌加）冋一牛披。

知疝两个啟相加：1. 如果一介脚戳不变*另一个Ml 数启加戒芒少n .和也会申 加巫戴少n ； 2、 如果 Y 加数堵抑孔另一介加数减少・.那去和不变*丸ai 卑f 加歆增加比另一平!rasa 少h （b/a ）r 那筑和 会堵加晚目加他们购建（J ）如果被威趣和只黏捧瞎H （却丈少》冋一伞盜，9 妇它们的差不夷*5、两个数相减，被减数增加38,减数增加38,差将有怎样的变化?6、两个数相减，被减数增加42,减数减少24,差将有怎样的变化?7、两个数相减，被减数增加42,减数增加15,差将有怎样的变化?9、两个数相加，一个加数减少39,要使和减少18,那么另一个加数将怎么样变化？10、11、两个数相加，和是100, —个加数减少48，另一个加数不变，现在和是多少？12、13、两个数相减，如果减数增加72,要使差不变，那么被减数将怎么样变化？14、两个数相减，如果被减数增加32,要使差减少52,减数将怎么样变化?学习资料收集于网络，仅供参考15、16、两个数相减，如果被减数减少11,要使差增加20,减数将怎么样变化？17、两个数相减，如果被减数增加17,减少增加32,差将有怎么样变化？1819、小丽在做一道加法题，一个加数十位上的4看作了7,个位上的5看作了2,算得的和是87。

第二讲算式中的规律知识点：在加减乘除法算式中，和、差、积、商往往会有由于某一部分的变化而发生变化，弄明白这些规律可以帮助我们更快的解决问题。

加法：减法：乘法：除法：例1：（1）两个加数，一个加数减少8，另一个加数增加，和有什么变化？（2）两数相减，如果被减数增加10，减数减少8，差将有怎样的变化？同步练习1、两个相加，一个加数增加5，另一个加数也增加5，和有什么变化？2、两数相减，被减数减少16，如果要使差不变，减数应有怎样的变化？3、两数相减，被减数增加5，减数也增加5，差有什么变化？例2：（1）两数相乘，一个因数扩大3倍，要使积扩大6倍，另一个因数应该怎样变化？（2）两数相除，如果被除数扩大6倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？同步练习1、两数相乘，如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小2倍，积将怎样变化？2、两数相除，如果被除数扩大8倍，除数扩大4倍，商将怎样变化？3、两数相除，如果被除数扩大3倍，除数也扩大3倍，商将怎样变化？例3：先观察下面各算式，找出规律，再填出正确的数12345679×9=111111111 12345679×18=222222222 12345679×27=333333333 12345679×（）=444444444 12345679×（）=55555555512345679×54=（）12345679×7×9=777777777（）×72=888888888 （）×（）=999999999 同步练习1、先观察算式，找出规律，再填数21×9=189 321×9=2889 4321×9=38889（）×9=488889 （）×9=（）2、观察算式，寻找规律，在填上合适的数37×3=111 37×6=（）37×9=（）37×15=（）37×（）=666 37×（）=8883、观察下面算式，寻找规律，再填上合适的数8547×13=111111 8547×26=（）8547×78=（）8547×（）=9999998547×（）=333333 8547×（）=444444例4：观察下面的一组算式，找出规律，再在括号里填上合适的数（1）1×9＋2=11 （2）12×9＋3=111 （3）123×9＋4=1111（4）1234×9＋5=（）（5）12345×9＋（）=111111（6）（）×9＋（）=1111111（7）（）×（）＋（）=11111111同步练习1、先观察算式，找出规律，再填数1＋121×9=1090 2＋232×9=2090 3＋343×9=30904＋（）×9=4090 （）＋（）×9=70902、根据规律在括号内填上合适的数1×5＋4=9=3×3 2×6＋4=16=4×4 3×7＋4=25=5×5 4×8＋4=36=6×610×（）＋4=（）=（）×（）（）×（）＋（）=（）=（）×（）3、根据下面的式子，请计算后面的三道算式1＋3=4=2×2 1＋3＋5=9=3×3 1＋3＋5＋7=16=4×41＋3＋5＋7＋9=（）=（）×（）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17=（）=（）×（）1＋3＋5＋……＋97＋99=（）=（）×（）课后巩固一、选择题1、两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和（）A、增大B、减小C、不变D、不确定2、两数相减，被减数增加5，如果要使差增加8，减数应该（）A、减少3B、增加3C、减少5D、增加53、两数相加，如果一个数增加8，要使和减少4，另一个加数将（）A、增加4B、增加12C、减少12D、减少144、两数相减，如果减数增加32，要使差减少29，被减数应（）A、减少3B、增加3C、减少7D、增加75、两数相加，一个加数增加10，另一个加数增加15，和应（）A、减少5B、增加5C、减少25D、增加25二、解决问题1、两数相减，被减数减少20，减数减少15，差有什么变化？2、两数相乘，一个因数缩小3倍，要使积不变，另一个因数应该有什么变化？3、两数相乘，如果一个因数缩小2倍，现在要使积扩大6倍，那么另一个因数应有什么变化？4、两数相除，如果除数扩大5倍，要使商缩小5倍，被除数应该怎样变化？5、两数相除，商为21，如果被除数扩大20倍，除数缩小5倍，商将变为多少？6、142857×1=142857142857×2=285714142857×3=428571142857×4=571428142857×5=（）142857×6=（）7、81=9×9 882=98×9 8883=987×9 88884=9876×9 888885=98765×9（）=987654×9 88888887=（）×98、1=1=1×1 1＋3=4=2×2 1＋3＋5=9=3×3 1＋3＋5＋7=16=4×41＋3＋5＋7＋9=25=5×51＋3＋5＋7＋9＋11=（）=（）×（）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13=（）=（）×（）9、9=1×9 108=12×9 1107=123×9 11106=1234×9 111105=12345×9（）=123456×9 （）=1234567×9（）=12345678×9 （）=123456789×9 10、1＋2＋1=41＋2＋3＋2＋1=91＋2＋3＋4＋3＋2＋1=161＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=251＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1=（）。