安徽省枞阳县钱桥初级中学八年级数学下册 17.4 一元二次方程根与系数的关系教案1 (新版)沪科版

一元二次方程根与系数关系一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．二、教学重点、难点1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．三、教学步骤（一）明确目标1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十七章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？（3）什么叫做分式方程？问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫．2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念．整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程．一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定义的．一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”指的是“未知数的最高次数是2”．“元”和“次”的概念搞清楚则给定义一元三次方程等打下基础．一元二次方程的定义是指方程进行合并同类项整理后而言的．这实际上是给出要判定方程是一元二次方程的步骤：首先要进行合并同类项整理，再按定义进行判断．3．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；（3）-x5＝0 （4）6x2＝x；（5）2x2＝5y；（6）-x2＝04．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数．一般式中的“a≠0”为什么？如果a＝0，则ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．5．例1 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．6．练习1：教材P．5中1，2．要求多数学生在练习本上笔答，部分学生板书，师生评价．题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数．练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项．8mx-2m-1＝0；（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx．教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化．（四）总结、扩展引导学生从下面三方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法．2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程．3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的区别和联系．强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义．四、布置作业1．思考题：1）能不能说“关于x的整式方程中，含有x2项的方程叫做一元二次方程？”2）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式。

沪科版数学八年级下册《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教学设计1一. 教材分析《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》是沪科版数学八年级下册的一个重要内容。

本节内容是在学生已经掌握了方程的解法、根的判别式的基础上，进一步引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系，培养学生的抽象概括能力，也为后续学习一元二次方程的应用打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了方程的基本概念和解法，对根的判别式也有了一定的了解。

但学生对于根与系数之间的关系可能存在一定的困惑，因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、实验、猜想、验证等方法，逐步发现并理解根与系数之间的关系。

三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.培养学生通过观察、实验、猜想、验证等方法探索问题的能力。

3.提高学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：理解并运用根与系数之间的关系解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：教师引导学生通过观察、实验、猜想、验证等方法，发现并理解根与系数之间的关系。

2.互动法：教师与学生进行提问、讨论，促进学生对知识的理解和运用。

3.案例分析法：教师给出实际问题，引导学生运用一元二次方程解决。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.实际问题：准备一些实际问题，用于引导学生运用一元二次方程解决。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法和根的判别式，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示一元二次方程的根与系数之间的关系，引导学生观察、实验、猜想、验证，让学生通过自主学习发现并理解这一关系。

3.操练（10分钟）教师给出一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固对根与系数之间关系的理解。

4.巩固（10分钟）教师继续给出练习题，让学生进一步巩固对根与系数之间关系的理解。

《一元二次方程的根与系数的关系》教案
一、基本信息
二、教学目标
知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，能不解方程
求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单
的问题。

过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，使
学生经历观察、思考、猜想、证明、归纳概括等数学活动过程，发展学生的推理能力。

在运用关系解决问题的过程中，培养学
生解决问题能力，渗透整体的数学思想。

情感态度与价值观：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，使学生感受成功的喜悦，激发学生应用数学
的热情。

培养科学探究精神。

三、学习者分析
1．学生已学习一元二次方程的各种解法。

2．本课的教学对象是
初中八年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注
意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征。

这为学生猜想韦
达定理提供必要条件3.学生已掌握基本的公式及相关运算法则，为
证明一元二次方程的根与系数的关系提供必要条件。

四、教学重难点分析及解决措施
重点：一元二次方程的根与系数的关系。

难点：一元二次方程的根与系数的发现及应用。

解决措施：课始，我让学生回顾一元二次方程的各种解法，再让学生练习解方程（完成表格），顺利过渡到观察方程的两根的和与积与方程系数的关系，从而能正确猜想结论。

在教学中，我采用了2人或4人一组，让学生在合作中互相学习，并给学生展示探究结果的机会，鼓励学生大胆猜想，严密论证。

整节课师生在和谐的氛围中教学和学习，身心得到愉悦。

一元二次方程的根与系数之间的关系一元二次方程是数学中经常遇到的一类方程，它由一个未知数的二次多项式等于一个常数构成，通常的一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，而x为未知数。

解一元二次方程的根是求出使得方程成立的未知数的值。

在研究一元二次方程的根之前，我们先来了解一下一元二次方程的系数。

系数是指方程中各个项的系数，即a、b和c。

在一元二次方程中，系数与根之间存在着一些规律和关系。

首先，我们来探讨一元二次方程的两个根与系数之间的关系。

根据求根公式，一元二次方程的根可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

从该公式中可以看出，根的值与方程的系数a、b和c有关。

具体来说，b^2 - 4ac称为判别式，它决定了方程有多少个根以及根的性质。

1. 当判别式大于0时（b^2 - 4ac > 0），方程有两个不相等的实根。

这意味着方程在坐标系中图像与x轴交于两个点。

此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为实数，且有两个解分别为x1和x2。

可以推导出，这两个解与系数的关系为：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a2. 当判别式等于0时（b^2 - 4ac = 0），方程有两个相等的实根。

这意味着方程在坐标系中图像与x轴有且只有一个交点。

此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为0，解的公式变为：x = -b/(2a)。

可以看出，根与系数的关系为：x1 = x2 = -b/(2a)3. 当判别式小于0时（b^2 - 4ac < 0），方程没有实根，而是有两个共轭复根。

也就是说，方程在坐标系中与x轴没有交点。

此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为纯虚数，解的公式可以写成：x = (-b ± i√(|b^2 - 4ac|)) / (2a)，其中i为虚数单位。

因此，系数与根的关系可以表示为： x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = -c/a由上述关系可知，一元二次方程的根与系数之间确实存在一些规律。

八年级数学下册 17.4 一元二次方程根与系数的关系学案（新版）沪科版17、4 一元二次方程根与系数的关系一、学习内容：一元二次方程根与系数的关系。

二、学习目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两根的倒数和与平方和。

三、学习过程：解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？（1）x2－2x＝0 （2）x2＋3x－4＝0 （3）x2－5x＋6＝0、探索一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知太妙了！我想知道为什么？乘以 x1=,x2= 能得出以下结果：x1＋x2= 即：两根之和等于 x1•x2= 即：两根之积等于 =+ = = = === 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为x1+x2=，x1x2= 如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为x2＋ x＋＝0(a≠0)，则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-（）x＋x1x2＝0(a≠0)例1：已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；解：设方程的另一个根是x1，那么（为什么？）∴ x1= 又x1+2= （为什么？）∴ k= 想一想，还有没有别的做法？例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的（1）平方和（2）倒数和解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2= ， x1x2= （1）∵ （x1+x2）2= x12+2 +x22 ∴x12+x22=（x1+x2）2-2 = （2）例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是解：所求的方程是x2-（）x＋（）＝0 (为什么？)即x2+ x- ＝0 或6x2+ x- ＝0例4：已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。

一元二次方程方程根与系数关系
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

方程的根是使方程成立的x值。

在这篇文章中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。

首先，我们来看一元二次方程的根的求解公式，x = (-b ± √(b^2 4ac)) / (2a)。

这个公式告诉我们，方程的根取决于方程的系数a、b和c。

1. 系数a的影响：
当a>0时，抛物线开口向上，方程有两个实根或没有实根。

当a<0时，抛物线开口向下，方程有两个实根。

2. 系数b的影响：
系数b影响方程的根的位置，它决定了根的和与积的关系。

当b>0时，两个根的和为负值，两个根的积为正值。

当b<0时，两个根的和为正值，两个根的积为正值。

3. 系数c的影响：
系数c决定了方程的常数项，它影响方程的根的大小。

当c>0时，两个根都是负数。

当c<0时，两个根一个是正数，一个是负数。

通过分析上述关系，我们可以看出，方程的根与系数之间存在着一定的关联。

系数a决定了抛物线的开口方向，系数b决定了根的和与积的关系，系数c决定了根的大小。

因此，我们可以通过观察方程的系数来初步判断方程的根的性质。

总之，一元二次方程的根与系数之间存在着密切的关系，通过对系数的分析，我们可以初步了解方程根的性质。

这种关系不仅有助于我们更好地理解方程的性质，也为我们解决实际问题中的应用提供了一定的指导。

17.4《一元二次方程的根与系数的关系》一、教材及学情分析本节课的内容是一元二次方程的根与系数的关系，该内容是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。

它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。

本阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。

因此在学过了一元二次方程的解法后，让学生自主探究其根与系数的关系是完全可能的。

二、三维目标1、知识与技能：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2、过程与方法：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．3、情感态度价值观：（1）渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；（2）通过所学数学知识解决生活中的问题，激发学生对数学学习的兴趣。

三、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的其推导。

2．教学难点：运用韦达定理解决问题。

四、教学流程（一）、创设情境导入新课1.利用求根公式解一元二次方程的步骤？2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？师：上节我们已学过用公式法解一元二次方程。

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，当b2－4ac≥0时，则有242b b acxa。

利用它可不用解方程，根据一元二次方程的系数a、b、c的值，直接求出方程的根，也就是说方程的根是由系数a、b、c的值决定的。

那么它们之间到底有什么样的关系呢？这就是我们今天所要研究的话题（一元二次方程的根与系数的关系）（二）、探索新知：1、观察与归纳解下列方程，求出它们的根x1、x2，并计算x1+x2，x1*x2的值，填写下表，然后观察根与系数的关系。

方 程 X 1 X 2 X 1+X 2 X 1X 2 X 2-2x=0 0 2 2 0 X 2+3x-4=0 1 -4 -3 -4 X 2-5x+6=0 2 3562x 2-x-1=01-21 21 -21 师：同学们你们通过填表、计算，有什么新的发现？ 生发现：当二次项系数等于1时(1)方程的两根之和等于一次项系数的相反数； (2)两根之积等于常数项. 生发现：当二次项系数不等于1且a ≠0时(1)方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数； (2)两根之积等于常数项除以二次项系数 2、由特殊到一般（韦达定理的推导）师：是不是所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？下面找一名学生板书，其它学生在练习本上推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．解：设x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．定理：如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，则：x 1+x 2 = -ab, x 1x 2 = ac此公式是法国人韦达发现的,人们为了怀念他，把此定理叫做韦达定理。

初三数学一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系，就像是一场神秘又有趣的魔法秀。

你看啊，一元二次方程ax²+bx+c = 0（a≠0），它的两个根x1和x2就像两个调皮的小精灵。

而根与系数之间的关系呢，就像是一条神奇的纽带，把它们紧紧地拴在了一起。

韦达定理就像是这个魔法世界的一个秘籍。

x1+x2=-b/a，这就好比是两个小精灵在跳双人舞，它们的舞步总和与这个方程的系数b和a有着一种奇妙的默契。

就好像是它们按照上帝设定好的舞步规则，不管怎么跳，这个总和是固定的，按照-b/a这个节奏来。

再看x1x2=c/a，这就像两个小精灵在分享宝藏。

它们所分享的宝藏数量和方程里的系数c和a又有了这样奇特的联系。

如果把方程想象成一个大宝藏箱，那这两个根小精灵按照这个规则来分配宝藏，简直太有趣了。

有时候我觉得一元二次方程的根就像一对双胞胎，虽然它们各自独立，但又被系数这个“家长”管着。

不管它们怎么折腾，都逃不出根与系数关系这个“家规”。

要是方程的系数是厨师，根就是厨师做出来的菜。

不同的系数组合（厨师的厨艺），就会做出不同的根（菜肴），但这些菜肴（根）的味道（根与系数的关系）总是遵循着韦达定理这个美食菜谱。

当我们去求解一元二次方程的根的时候，就像是在寻找这两个小调皮鬼的藏身之处。

而根与系数的关系呢，就像是它们留下的小线索。

只要我们掌握了这个线索，就像是拥有了魔法棒，能轻松地在方程这个魔法森林里找到它们。

而且这个关系还特别有用。

比如说在一些复杂的数学题里，就像在一个充满迷雾的迷宫里，根与系数的关系就是那根能指引方向的丝线。

我们抓住这根丝线，就能顺利地走出迷宫，找到答案这个宝藏。

它也像一把万能钥匙，不管一元二次方程的题目怎么千变万化，只要我们掏出这把钥匙，就能打开通往正确答案的大门。

这根与系数的关系，真的是一元二次方程这个小世界里最奇妙的魔法规则了。

17.4一元二次方程的根与系数的关系 【学导目标】1、 能说出一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。

2 、运用韦达定理由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数3 、能利用韦达定理与根的判别式解题4 、会说出韦达定理的逆定理以及推论【学导重点】熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系【学导难点】能熟练运用一元二次方程的根与系数的关系解题。

【自学质疑】一、自主导航1、韦达定理的内容如果02=++c bx ax （0≠a ）的两个根为1x ，2x ，那么1x +2x =________ 1x 2x =________2 、韦达定理的逆定理：如果实数1x +2x =a b -，1x 2x =ac 那么1x ，2x 是一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的________。

3 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准式为o q px x =++2设它的两个1x ,2x 这时韦达定理应是：________________二、探究质疑1、填写教材第37页探究中的表格. 请大家再仔细的观察这张表,能不能发现02=++c bx ax 的两个根1x ，2x ， 12x x + =_________ ,12x x = _________2、例1：已知方程2x ²+kx-4=0的一个根是-4，求它的另一根及 k 的值.3、例2： 方程2x ²—3x+1=0的两个根记作1x ，2x ，不解方程，求1x —2x 的值【测评提升】一、基础测评1. 下列方程两根的和与两根的积各是多少?（不解方程）（1）x ²-3x+1=0（2）3x ²-2x-2=0（3）4x ²-7x+1=0（4）2x ²+3x=02、 方程012=--x x 和032=-+x x 的所有根的积是_______。

3、 已知5和2分别是方程02=++n mx x 的两个根，则mn 的值是_______。

19.4一元二次方程的根与系数的关系（1）教学目标： 1.探索一元二次方程的根与系数的关系，与关系的应用。

2.实践，观察，讨论，经历 发现关系的过程。

3.初步体验发现问题，总结规律的态度，养成独立思考的习惯。

教学重，难点： 1.重点：猜想一般性质，用求根公式加以确证。

2.难点：根与系数的关系的应用。

教学过程： 一、回顾感知 1.写出一元二次方程的一般形式和求根公式2. 一元二次方程的一般形式有两不相等的根且它们互为相反数的条件是什么?二．探索发现1. 解下列方程,将得到的解填入下面的表格中，表格中两个解的和与积和程而言，两个根的和等于一次项系数的相反数，两个根的积等于它的常数项。

即x 2+px+q=0 , x 1+x 2 = -P x 1·x 2= g 3.思考（1）：利用 上述结论填空：一元二次方程两个根,02=++acx a b x 是x 1 ，x 2 ，那么 x 1+x 2=x 1·x 2=思考（2）：方程,02=++acx a b x 能变形得到)0(02≠=++a c bx ax 的形式吗？它们的解相同吗？ 思考（3）：仿照上述结论，如果方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根是x 1 ，x 2 ，那么 两根的和与两根的积 和原方程的系数有什么关系? 4.韦达定理： 如果 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根是x 1 ，x 2 ，那么acx x a b x x =+-=+2121,5.思考（4）：上述 结论能利用求根公式验证吗？三 知识应用：1. 不解方程，求出方程的两根的和与两根的积。

（1）0132=-+x x （2）01422=+-x x练习：P36 练习1 （1）---（6）2.已知关于X 的方程0422=-+kx x 的一个根是 -4， 求它的另一根及K 的值。

四，巩固练习：已知方程0652=-+kx x 的一个根是2，求它的 另一个根及K 的值。