精校word版答案全---2019届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末考试数学(理)(解析版)

2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M＝{x|2x﹣3≤0}，N＝{0，1，2}，则M∩N＝（）A．{1，2}B．{0，1}C．{0}D．{0，1，2} 2．（5分）若复数z＝（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则z的实部为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（，0）D．（，0）4．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||＝1，||＝2，则|2+|＝（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，∠A＝，AB＝2，BC＝5，则cos∠C＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知一个样本，样本容量为7，平均数为11，方差为2，现样本中又加入一个新数据11，此时样本容量为8，平均数为，方差为s2，则（）A．B．C．D．7．（5分）《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知抛物线C：y2＝8x焦点为F，点P为其准线上一点，M是直线PF与抛物线C的一个交点，若，则直线PF的斜率为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面边长为2，，则直线AB′与直线A′C所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）f（x）＝cos x﹣sin x在区间[﹣α，α]仅有三个零点，则α的最小值是（）A．B．C．D．11．（5分）设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[1，2]上单调递减，且满足，则满足不等式组的解集为（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为e，过原点斜率为k的直线与椭圆交于A、B两点，M、N分别为线段AF、BF的中点，以MN为直径的圆过原点O，若，则e的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上）13．（5分）双曲线的渐近线方程为．14．（5分）的展开式中x的系数为．15．（5分）某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲团队获得一等奖”；小王说：“甲或乙团队获得一等奖”；小李说：“丁团队获得一等奖”；小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是．16．（5分）已知底面边长为3的正三棱锥P﹣ABC的外接球的球心Q满足，则正三棱锥P﹣ABC的内切球半径为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d．（1）若d＝1且S5＝a1a9，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a3，a4成等比数列，求公比q．18．（12分）某工厂有两台不同的机器A和B，生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行质量鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩在[90，100）内的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩在[80，90）内的产品，质量等级为良好；鉴定成绩在[60，80）内的产品，质量等级为合格，将频率视为概率．（1）完成下列2×2列联表，以产品质量等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上（含良好）与生产产品的机器有关：（2）已知质量等级为优秀的产品的售价为12元/件，质量等级为良好的产品的售价为10元/件，质量等级为合格的产品的售价为5元/件，A机器每生产10万件的成本为20万元，B机器每生产10万件的成本为30万元，该工厂决定，按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，淘汰收益低的机器，你认为该工厂会怎么做？19．（12分）如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，F A＝FC，且∠DAB＝∠DBF＝60°（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求二面角A﹣FB﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为2时，坐标原点O到l的距离为．（1）求a、b的值；（2）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的点P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣ae x（a∈R）．（1）若a＝2，求函数f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若y＝f（x）有两个零点x1、x2，且x1＜x2．①求a的取值范围；②证明：x1+x2＞2．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程是，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）把曲线C1的参数方程化为极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为θ＝，直线l与C1相交于点A，直线l与C2相交于点B（A、B异于极点），求线段AB的长．[选修4-4：不等式选讲]23．设f（x）＝|x+2|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）≥6的解集；（2）若不等式f（x）＞m2﹣4m恒成立，求实数m的取值范围．2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．【解答】解：集合M＝{x|2x﹣3≤0}＝{x|x≤}，N＝{0，1，2}，则M∩N＝{0，1}．故选：B．2．【解答】解：∵z＝（1+i）（2﹣i）＝2﹣i+2i+1＝3+i．∴z的实部为3．故选：C．3．【解答】解：∵在抛物线y＝2x2，即x2＝y，∴p＝，＝，∴焦点坐标是（0，），故选：B．4．【解答】解：∵向量，的夹角为60°，且||＝1，||＝2，∴＝1×2×cos60°＝1，∴|2+|＝＝＝＝2，故选：D．5．【解答】解：∵∠A＝，AB＝2，BC＝5，∴由正弦定理可得：＝，可得：sin∠C＝＝，∵AB＜BC，可得：∠C为锐角，∴cos∠C＝＝．故选：D．6．【解答】解：∵某7个数的平均数为11，方差为2，现又加入一个新数据11，此时这8个数的平均数为，方差为s2，∴＝＝11，s2＝＜2，故选：A．7．【解答】解：设水深为x尺，则（x+1）2＝x2+52，解得x＝12，即水深12尺．又葭长13尺，则所求概率，故选：B．8．【解答】解：当点P在x轴上方时，如图：过M作MN⊥准线x＝﹣2于N，则根据抛物线的定义得FM＝MN因为＝4，所以PM＝3MF＝3MN∴PN＝＝2MN，∴tan∠PMN＝＝2，此时PF的斜率为﹣2，当点P在x轴下方时，同理可得直线PF的斜率为2故选：B．9．【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面边长为2，，以A为原点，AB为x轴，在平面ABC中，过A作AB的垂线为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B′（2，0，2），A′（0，0，2），C（1，，0），＝（2，0，2），＝（1，，﹣2），设直线AB′与直线A′C所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴直线AB′与直线A′C所成角的余弦值为．故选：A．10．【解答】解：f（x）＝cos x﹣sin x在区间[﹣α，α]仅有三个零点，即cos x＝sin x在区间[﹣α，α]仅有三个解，即tan x＝1在区间[﹣α，α]仅有三个解，这三个根应为：﹣，，，故选：C．11．【解答】解：根据题意，f（x）为周期为2的偶函数，则f（x）＝f（x+2）且f（x）＝f （﹣x），则有f（﹣x）＝f（x+2），则函数f（x）关于直线x＝1对称，又由f（x）在区间[1，2]上单调递减，且，则f（x）在[0，1]上递增，且f（）＝1，f（）＝0，则⇒≤x≤，即不等式组的解集为[，]；故选：A．12．【解答】解：记线段MN与x轴交点为C．∵AF的中点为M，BF的中点为N，∴MN∥AB，|FC|＝|CO|＝，∵A、B为椭圆上关于原点对称的两点，∴|CM|＝|CN|．∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴|CO|＝|CM|＝|CN|＝．∴|OA|＝|OB|＝c．∵|OA|＞b，∴a2＝b2+c2＜2c2，∴e＝＞．设A（x，y），F1（﹣c，0），易得AF1⊥AF．由，可得得x2＝，y2＝．∵直线AB斜率为0＜k，∴0＜k2＜3，0＜≤3∴4﹣2≤e2≤4+2，由于0＜e＜1，∴离心率e的取值范围为[，1）故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上）13．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程为＝0，即y＝±x．故答案为：y＝±x．14．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1＝•28﹣r•x3r﹣8，令3r﹣8＝1，求得r＝3，可得展开式中x的系数为•25＝1792，故答案为：1792．15．【解答】解：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小王、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，②若获得一等奖的团队是乙团队，则小王预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小赵预测结果是对的，与题设相符，即假设正确，即获得一等奖的团队是：丁故答案为：丁16．【解答】解：正三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O满足，∴Q为△ABC的外心．△ABC外接圆的圆心为正三棱锥P﹣ABC的外接球的球心，∴PQ＝AQ＝3××＝，QD＝，∴PD＝．∴S P AC＝S P AB＝S PBC＝×3×＝．S△ABC＝，∴V P﹣ABC＝．则这个正三棱锥的内切球半径r满足：（×3+）r＝，解得r＝故答案为：．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）∵d＝1且S5＝a1a9，∴5a1+×1＝a1（a1+8），解得a1＝﹣5，或a1＝3，当a1＝﹣5时，a n＝﹣5+n﹣1＝n﹣6，当a1＝2时，a n＝2+n﹣1＝n+1，（2）∵a1，a3，a4成等比数列，∴a32＝a1a4，∴（a1+2d）2＝a1（a1+3d），整理可得d（a1+4d）＝0，则d＝0或a1＝﹣4d，当d＝0时，公比为1，当d≠0，a1＝﹣4d，q＝＝＝＝18．【解答】解：（1）根据题意填写列联表如下，计算K2＝＝＝3.636＜0.05，∴不能判断在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上（含良好）与生产产品的机器有关；（2）A机器每生产10万件的利润为10×（12×0.1+10×0.2+5×0.7）﹣20＝47（万元），B机器每生产10万件的利润为10×（12×0.15+10×0.45+5×0.4）﹣30＝53（万元），则53﹣47＝6＞5，所以该工厂不会仍然保留原来的两台机器，应该会卖掉A机器，同时购买一台B机器．19．【解答】证明：（1）设AC、BD交于点O，连结OF、DF，∵四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，F A＝FC，且∠DAB＝∠DBF＝60°，∴BF＝DF，∴FO⊥AC，FO⊥BD，∵四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，∴AC⊥BD，∵FO∩BD＝O，∴AC⊥平面BDEF．（2）∵FO⊥AC，FO⊥BD，∴FO⊥平面ABCD，∴以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，设F A＝FC＝，则A（，0，0），F（0，0，），B（0，1，0），C（﹣，0，0），＝（），＝（0，1，﹣），＝（﹣），设平面ABF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，，1），设平面BCF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，﹣1），设二面角A﹣FB﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角A﹣FB﹣C的余弦值为﹣．20．【解答】解：（1）设F（c，0），直线l的方程为y＝2（x﹣c），∵坐标原点O到l的距离为，∴＝，∴c＝，∵e＝＝，∴a＝，∴b2＝a2﹣c2＝，即b＝；（2）由（1）知椭圆的方程为+＝1，即+＝4，假设存在满足题设条件的直线，由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为l：x＝ty+，设A（x1，y1）、B（x2，y2），把l：x＝ty+代入椭圆方程，整理得（2t2+3）y2+2ty﹣＝0，显然△＞0．由韦达定理有：y1+y2＝﹣，∴x1+x2＝t（y1+y2）+1＝，∵，∴P（，﹣）∵P在椭圆上，∴代入椭圆方程整理得2t2+3＝，解得无解，故不存在这样的点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立．21．【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣2e x，由条件知f′（0）＝1﹣2＝﹣1，f（0）＝﹣2，∴函数f（x）在x＝0处的切线方程为y+2＝﹣x，即x+y+2＝0，（2）①∵f′（x）＝1﹣ae x，当a≤0时，f′（x）＞0在x∈R上恒成立，此时f（x）在R上单调增，函数至多有一个零点，当a＞0时，由f'（x）＝0解得x＝﹣lna当x＜﹣lna时，f'（x）＞0，f（x）单调增，当x＞﹣lna时，f'（x）＜0，f（x）单调减，∵y＝f（x）有两个零点x1、x2，∴f（x）max＝f（﹣lna）＝﹣lna﹣ae﹣lna＝﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜②由条件知x1＝ae，x2＝ae，∴0＜x1＜x2．可得lnx1＝lna+x1，lnx2＝lna+x2．方法一：．故x2﹣x1＝lnx2﹣lnx1＝．设＝t，则t＞1，且，解得x1＝，x2＝．x1+x2＝，要证：x1+x2＝＞2，即证明（t+1）lnt＞2（t﹣1），即证明（t+1）lnt﹣2t+2＞0，设g（t）＝（t+1）lnt﹣2t+2（t＞1），g′（t）＝lnt+﹣1，令h（t）＝g′（t），（t＞1），则h′（t）＝＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调增，g′（t）＝h（t）＞h（1）＝0，∴g（t）在（1，+∞）上单调增，则g（t）＞g（1）＝0．即t＞1时，（t+1）lnt﹣2t+2＞0成立，∴x1+x2＞2．方法二：则lnx1﹣x1＝lnx2﹣x2＝lna，设g（x）＝lnx﹣x﹣lna，则x1，x2为g（x）的两个零点，g′（x）＝﹣1＝，易得g（x）在（0，1）上单调增，在（1，+∞）上单调减，所以0＜x1＜1＜x2，设h（x）＝g（x）﹣g（2﹣x），（0＜x＜1），则h（x）＝lnx﹣ln（2﹣x）+2﹣2x（0＜x＜1），h′（x）＝+﹣2＝＞0恒成立，则h（x）在（0，1）上单调增，∴h（x）＜h（1）＝0，∴h（x1）＝g（x1）﹣g（2﹣x1）＜0，即g（x1）＜g（2﹣x1），即g（x2）＜g（2﹣x1），又g（x）在（1，+∞）上单调减，x2，2﹣x1∈（1，+∞），∴x2＞2﹣x1，即x1+x2＞2，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程是，∴曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2＝4，即x2+y2﹣4y＝0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ．（2）∵直线l的极坐标方程为θ＝，∴直线l的直角坐标方程为y＝，∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，即ρ2＝2ρsinθ，∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0，∵直线l与C1相交于点A，直线l与C2相交于点B（A、B异于极点），∴联立，得A（，3），联立，得B（，），∴|AB|＝＝．∴线段AB的长为．[选修4-4：不等式选讲]23．【解答】解：（1）f（x）≥6可化为：|x+2|+|x﹣3|≥6，①当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+3≥6，解得x≤﹣；②当﹣2≤x≤3时，x+2﹣x+3≥6不成立；③当x＞3时，x+2+x﹣3≥6，解得x≥综上所述f（x）≥6的解集为{x|x或x}（2）∵|x+2|+|x﹣3|≥|（x+2）﹣（x﹣3）|＝5，即f（x）min＝5又不等式f（x）＞m2﹣4m恒成立等价于f（x）min＞m2﹣4m 即5＞m2﹣4m，解得﹣1＜m＜5实数m的取值范围是（﹣1，5）。

辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测数学理试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{﹣1} B．{1，2} C．{0，3} D．{﹣1，1，2，3}2．已知i是虚数单位，复数i•z=1﹣2i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知平面向量=（3，4），=（x，），若∥，则实数x为（）A．﹣B．C．D．﹣4．命题p：“∀x∈N+，（）x≤”的否定为（）A．∀x∈N+，（）x＞ B．∀x∉N+，（）x＞C．∃x∉N+，（）x＞ D．∃x∈N+，（）x＞5．已知直线l：y=k（x+）和圆C：x2+（y﹣1）2=1，若直线l与圆C相切，则k=（）A．0 B．C．或0 D．或06．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．36+6B．36+3C．54 D．277．将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是（）A．B．C．D．8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A．21 B．22 C．23 D．249．将函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为（）A．3 B．2 C．D．10．已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=1，BC=，若球O 的表面积为4π，则SA=（）A． B．1 C．D．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|﹣|BN|=12，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．612．已知函数f（x）=，则函数F（x）=f[f（x）]﹣2f（x）﹣的零点个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．二项式（x+）6的展开式中的常数项为．14．若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=3x﹣y的最大值为．15．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则S的最大值为．16．设函数f（x）=g（）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为9x+y﹣1=0，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{an }是公差不为0的等差数列，首项a1=1，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn }满足bn=an+2n a，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（12分）为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查，得到如下2×2列联表：（单位：人）．（Ⅰ）据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？（Ⅱ）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布及数学期望．附：参考数据：（参考公式：X2=）19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣C1的大小．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣，0），e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，设R（x0，y）是椭圆C上一动点，由原点O向圆（x﹣x）2+（y﹣y）2=4引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1•k2为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（Ⅰ）当a=0时，求证：f（x）≥0；（Ⅱ）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若x＞0，证明（e x﹣1）ln（x+1）＞x2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系xOy中，直线l：y=x，圆C：（φ为参数），以坐标原点为为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣x，（a＞0）．（Ⅰ）若a=3，解关于x的不等式f（x）＜0；（Ⅱ）若对于任意的实数x，不等式f（x）﹣f（x+a）＜a2+恒成立，求实数a的取值范围．辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测数学理试题参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{﹣1} B．{1，2} C．{0，3} D．{﹣1，1，2，3}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x（x﹣3）＜0}={x|0＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={1，2}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．已知i是虚数单位，复数i•z=1﹣2i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数i•z=1﹣2i，∴﹣i•i•z=﹣i（1﹣2i），z=﹣2﹣i，则复数z在复平面内对应的点（﹣2，﹣1）位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知平面向量=（3，4），=（x，），若∥，则实数x为（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴4x﹣3×=0，解得x=，故选：C．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．命题p：“∀x∈N+，（）x≤”的否定为（）A．∀x∈N+，（）x＞ B．∀x∉N+，（）x＞C．∃x∉N+，（）x＞ D．∃x∈N+，（）x＞【考点】命题的否定．【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可．【解答】解：∵命题p：“∀x∈N+，（）x≤”是全称命题，∴“∀x∈N+，（）x≤”的否定是∃x∈N+，（）x＞”，故选：D．【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解全称命题否定的书写方法，其规则是全称命题的否定是特称命题，书写时注意量词的变化．5．已知直线l：y=k（x+）和圆C：x2+（y﹣1）2=1，若直线l与圆C相切，则k=（）A．0 B．C．或0 D．或0【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d=r，即可求出k的值．【解答】解：由圆的方程得到圆心C（0，1），半径r=1，∵圆心C（0，1）到直线l：y=k（x+）和的距离d==1，∴k=或0，故选D．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．36+6B．36+3C．54 D．27【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，代入柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，其底面积为×（2+4）×3=9，底面周长为：2+4+2=6+2，高h=3，故棱柱的表面积S=2×9+（6+2）×3=36+6，故选：A【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．7．将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；集合思想；定义法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数n=，再利用列举法求出“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”包含的基本事件个数，由此能求出“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率．【解答】解：∵将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，基本事件总数n==4×3×2×1=16，“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”包含的基本事件有：ABCD，CBAD，CDAB，BACD，共4个，∴“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率p==．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A．21 B．22 C．23 D．24【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论．【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．9．将函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[﹣，]上为增函数，则ω的最大值为（）A．3 B．2 C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】函数思想；转化法．【分析】根据平移变换的规律求解g（x），结合三角函数g（x）在[﹣，]上为增函数建立不等式即可求解ω的最大值【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位，可得g（x）=2sin[ω（x﹣）+]=2sin（ωx）在[﹣，]上为增函数，∴且，（k∈Z）解得：ω≤3﹣12k且，（k∈Z）∵ω＞0，∴当k=0时，ω取得最大值为．故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据平移变换规律求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．10．已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=1，BC=，若球O的表面积为4π，则SA=（）A． B．1 C．D．【考点】球的体积和表面积．【专题】综合题；方程思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，易S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，利用球的表面积公式即可得到答案．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵球O的表面积为4π，∴R=1∵AB=1，BC=，∴2R==2，∴SA=1故选B．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球O 的直径（半径），是解答本题的关键．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|﹣|BN|=12，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据已知条件，作出图形，MN的中点连接双曲线的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为2a，求出||AN|﹣|BN||，可得结论．【解答】解：设双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，如图，连接PF1，PF2，∵F1是MA的中点，P是MN的中点，∴F1P是△MAN的中位线，∴|PF1|=|AN|，同理|PF2|=|BN|，∴||AN|﹣|BN||=2||PF1|﹣|PF2||，∵P在双曲线上，根据双曲线的定义知：||PF1|﹣|PF2||=2a，∴||AN|﹣|BN||=4a=12，∴a=3．故选A．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，同时考查三角形的中位线，运用定义法是解题的关键，属于中档题．12．已知函数f（x）=，则函数F（x）=f[f（x）]﹣2f（x）﹣的零点个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】函数零点的判定定理．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】令t=f（x），F（x）=0，则f（t）﹣2t﹣=0，分别作出y=f（x）和直线y=2x+，得到两交点的横坐标，再由图象观察，即可得到所求零点个数．【解答】解：令t=f（x），F（x）=0，则f（t）﹣2t﹣=0，分别作出y=f（x）和直线y=2x+，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2，则t1=0，1＜t2＜2，即有f（x）=0有两根；1＜f（x）＜2时，t2=f（x）有3个不等实根，综上可得F（x）=0的实根个数为5，即函数F（x）=f[f（x）]﹣2f（x）﹣的零点个数是5．故选：B．【点评】本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和换元法，以及数形结合思想方法，考查判断和观察能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．二项式（x+）6的展开式中的常数项为．【考点】二项式系数的性质．【专题】方程思想；定义法；二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：二项式（x+）6展开式的通项公式为=•x6﹣r•（）r=••x6﹣2rTr+1令6﹣2r=0，求得r=3，故展开式中的常数项为•=．故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，是基础题．14．若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=3x﹣y的最大值为 1 ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，得A（1，2），化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3×1﹣2=1，故答案为：1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则S的最大值为8 ．【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】满足S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，利用余弦定理与三角形的面积计算公式可得：2bcsinA=2bc ﹣（b2+c2﹣a2）=2bc﹣2bccosA，化为sinA=1﹣cosA，与sin2A+cos2A=1，解得sinA，进而利用三角形面积公式，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵满足4S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，∴4××bcsinA=2bc﹣（b2+c2﹣a2）=2bc﹣2bccosA，化为sinA=1﹣cosA，又∵sin2A+cos2A=1，∴解得：sinA=1，∴S=bcsinA=bc≤（）2=8，当且仅当b=c=4时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设函数f（x）=g（）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为9x+y﹣1=0，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为x+2y+6=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】由题意求得g（1））=﹣8，g′（1）=﹣9，对f（x）求导，注意复合函数的导数，求出f（2），x=2处切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程．【解答】解：曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为9x+y﹣1=0，可得g（1）=﹣8，g′（1）=﹣9，函数f（x）=g（）+x2的导数为f′（x）=g′（）+2x，即有f（2）=g（1）+4=﹣8+4=﹣4，f′（2）=g′（1）+4=4﹣=﹣，则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣（﹣4）=﹣（x﹣2），即为x+2y+6=0．故答案为：x+2y+6=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，注意运用复合函数的导数，直线的点斜式方程，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{an }是公差不为0的等差数列，首项a1=1，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn }满足bn=an+2n a，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（II）利用等差数列与等比数的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由题设，，…（2分）即（1+d）2=1+3d，解得d=0或d=1…（4分）又∵d≠0，∴d=1，可以求得an=n…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=（1+2+3+…+n）+（2+22+…+2n）=…（12分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查，得到如下2×2列联表：（单位：人）．（Ⅰ）据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？（Ⅱ）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布及数学期望．附：参考数据：（参考公式：X2=）【考点】独立性检验的应用．【专题】综合题；转化思想；演绎法；概率与统计．【分析】（I）计算K2，根据临界值表作出结论；（II）分别计算X=0，1，2，3时的概率得出分布列，根据分布列得出数学期望和方差．【解答】解：（Ⅰ）…（2分）∴有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关…（4分）（Ⅱ）估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为…（6分）X的可能取值为0，1，2，3，由题意，得X～B（3，），∴随机变量X的分布列为…（10分）∴随机变量X的数学期望…（12分）【点评】本题考查了独立性检验的应用，离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，是中档题．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣C1的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）推导出A 1O ⊥AC ，由此能证明A 1O ⊥平面ABC ．（Ⅱ）以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣A 1B ﹣C 1的大小． 【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵AA 1=A 1C ，且O 为AC 的中点， ∴A 1O ⊥AC ，…（2分）又∵侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，交线为AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ∴A 1O ⊥平面ABC …（4分）解：（Ⅱ）如图，以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．由已知可得O （0，0，0），A （0，﹣1，0），，，∴，，…（6分）设平面AA 1B 的一个法向量为，则有令x 1=1，得，z 1=1 ∴…（8分）设平面A 1BC 1的法向量为，则有令x 2=1，则y 2=0，z 2=1，∴…（10分）∴∴所求二面角的大小为…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F 1（﹣，0），e=．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，设R （x 0，y 0）是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1•k 2为定值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问OP 2+OQ 2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；分类讨论；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由题意得，c ，a ，推出b ，即可得到椭圆的方程．（Ⅱ）由已知，直线OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x ，且与圆R 相切，列出方程，说明k 1，k 2是方程的两个不相等的实数根，推出，通过点R （x 0，y 0）在椭圆C 上，化简求解即可．（Ⅲ）OP 2+OQ 2是定值18．设直线OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x ，联立解得同理，得，然后计算OP2+OQ2=+化简求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得，，解得，b==…（1分）∴椭圆方程为…（3分）（Ⅱ）由已知，直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，且与圆R相切，∴，化简得同理，…∴k1，k2是方程的两个不相等的实数根∴，△＞0，…（7分）∵点R（x0，y）在椭圆C上，所以，即∴…（8分）（Ⅲ）OP2+OQ2是定值18．设直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，，联立解得∴同理，得…（10分）由OP2+OQ2=+=，∴OP2+OQ2====综上：OP2+OQ2=18…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分类讨论思想、转化思想以及计算能力．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（Ⅰ）当a=0时，求证：f（x）≥0；（Ⅱ）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若x＞0，证明（e x﹣1）ln（x+1）＞x2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于x的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，证出结论即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，根据【解答】解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1…（1分）当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0…（2分）故在单调递减，在单调递增，=f（0）=0，∴f（x）≥0…（3分）f（x）min（Ⅱ）f'（x）=e x﹣1﹣2ax，令h（x）=e x﹣1﹣2ax，则h'（x）=e x﹣2a．1）当2a≤1时，在[0，+∞）上，h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）≥h（0），即f'（x）≥f'（0）=0，∴f（x）在[0，+∞）为增函数，∴f（x）≥f（0）=0，∴时满足条件；…2）当2a＞1时，令h'（x）=0，解得x=ln2a，当x∈[0，ln2a）上，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴x∈（0，ln2a）时，有h（x）＜h（0）=0，即f'（x）＜f'（0）=0，∴f（x）在区间（0，ln2a）为减函数，∴f（x）＜f（0）=0，不合题意…（7分）综上得实数a的取值范围为…（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当a=时，x＞0，e x＞1+x+，即e x﹣1＞x+，欲证不等式（e x﹣1）ln（x+1）＞x2，只需证ln（x+1）＞…（10分）设F（x）=ln（x+1）﹣，则F′（x）=，∵x＞0时，F′（x）＞0恒成立，且F（0）=0，∴F（x）＞0恒成立．所以原不等式得证…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想以及不等式的证明，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系xOy中，直线l：y=x，圆C：（φ为参数），以坐标原点为为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】选作题；方程思想；演绎法；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的互化方法，求直线l与圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C的交点为M，N，求出圆心到直线的距离，|MN|，即可求△CMN的面积．【解答】解：（Ⅰ）将C的参数方程化为普通方程为（x+1）2+（y+2）2=1，极坐标方程为ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ+4=0…（1分）直线l：y=x的极坐标方程为（ρ∈R），…（3分）（Ⅱ）圆心到直线的距离d==，∴|MN|=2=，∴△CMN的面积S==．【点评】本题考查三种方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣x，（a＞0）．（Ⅰ）若a=3，解关于x的不等式f（x）＜0；（Ⅱ）若对于任意的实数x，不等式f（x）﹣f（x+a）＜a2+恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）将a的值带入f（x），两边平方求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出f（x）=|x﹣a|﹣|x|+，原问题等价于|a|＜a2，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）a=3时，f（x）=|x﹣3|﹣x＜0，即|x﹣3|＜x，两边平方得：（x﹣3）2＜x2，解得：2＜x＜6，故不等式的解集是{x|2＜x＜6}；（Ⅱ）f（x）﹣f（x+a）=|x﹣a|﹣x﹣|x|+（x+a）=|x﹣a|﹣|x|+，若对于任意的实数x，不等式f（x）﹣f（x+a）＜a2+恒成立，即|x﹣a|﹣|x|+＜a2+对x∈R恒成立，即a2＞|x﹣a|﹣|x|，而|x﹣a|﹣|x|≤|（x﹣a）﹣x|=|a|，原问题等价于|a|＜a2，又a＞0，∴a＜a2，解得a＞1．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。

2019届辽宁省高三上学期期末考试数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2. 已知集合，则（）A. B. C. D.3. 《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第题为：“今有女善织，日益攻疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现一月（按天计）共织尺布”，则从第天起每天比前一天多织（）尺布A. B. C. D.4. 双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（）A. B. C. D.5. 将某师范大学名大学四年级学生分成人一组，安排到城市的甲、乙两所中学进行教学实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有（）A. 种________B. 种________C. 种________D. 种6. 执行如图程序，输出的值为（）A. B. C. D.7. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积是（）A. B. C. D.8. 设函数图像关于直线对称，它的周期是，则（）A. 的图像过点________B. 在上是减函数C. 的一个对称中心是________D. 将的图象向右平移个单位得到函数的图像9. 已知且，则为（）A. B. C. D.10. 给出以下命题：（1）“ ”是“曲线表示椭圆”的充要条件（2）命题“若，则”的否命题为：“若，则”（3）中， . 是斜边上的点， .以为起点任作一条射线交于点，则点落在线段上的概率是（4）设随机变量服从正态分布，若，则则正确命题有（）个A. B. C. D.二、解答题11. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.三、选择题12. 已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是（）A. B. C. D.四、填空题13. 二项式展开式中的常数项为 __________ ．14. 若为不等式组表示的平面区域，则从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 __________ ．15. 意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被整除后的余数构成一个新数列， __________ ．16. 已知函数若的两个零点分别为，则__________ ．五、解答题17. 设函数 .（1）求函数在上的单调递增区间；（2）设的三个角所对的边分别为，且，成公差大于零的等差数列，求的值.18. 某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于或车速大于是需矫正速度.（1）从该快速车道上所有车辆中任取个，求该车辆是需矫正速度的概率；（2）从样本中任取个车辆，求这个车辆均是需矫正速度的概率；（3）从该快速车道上所有车辆中任取个，记其中是需矫正速度的个数为，求的分布列和数学期望.19. 已知直角梯形中，是边长为2的等边三角形，．沿将折起，使至处，且；然后再将沿折起，使至处，且面面，和在面的同侧．(Ⅰ) 求证：平面；(Ⅱ) 求平面与平面所构成的锐二面角的余弦值．20. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点到直线的距离为，与的公共弦长为 .（1）求椭圆的方程及点的坐标；（2）过点的直线与交于两点，与交于两点，求的取值范围.21. 已知函数 .（1）若曲线在处的切线方程为，求的极值；（2）若，是否存在，使的极值大于零？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数).它与曲线交于两点.（1）求的长；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.23. 选修4-5：不等式选讲已知实数满足，且 .（1）证明：；（2）证明： .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。

2018-2019学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题数学(理科)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U（A∩B）＝（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．已知1+i，则在复平面内，复数z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列说法错误的是（）A．xy≠10是x≠5或y≠2的充分不必要条件B．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则￢p：∃x∈R，x2+x+1＝0C．线性相关系数r的绝对值越接近1，表示两变量的相关性越强．D．用频率分布直方图估计平均数，可以用每个小矩形的高乘以底边中点横坐标之和4．函数f（x）＝2x﹣tan x在（，）上的图象大致是（）A．B．C．D．5．若m是2和8的等比中项，则椭圆的离心率是（）A．B．C．或D．或6．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域内的一个动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[0，1] D．[0，2]7．一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圈，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（）A．πB．3π+4 C．π+4 D．2π+48．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是4π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x对称9．设a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sin A•x﹣ay﹣c＝0与bx+sin B•y+sin C ＝0的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且在[0，1）上单调递减，若方程f（x）＝﹣1在[0，1）上有实数根，则方程f（x）＝1在区间[﹣1，11]上所有实根之和是（）A．30 B．14 C．12 D．611．已知一个圆锥的母线l与底半径r满足r2+l＝5，则当圆锥表面积最大时，它的母线与底面所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．12．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的焦点为F1、F2，渐近线为l1，l2，过点F2且与l1平行的直线交l2于M，若M在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．函数f（x）的定义域为．14．已知正三棱锥P﹣ABC的顶点A，B，C，P都在半径为的球面上，若P A，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为．15．已知向量（cosθ，sinθ），向量（，﹣1），则|2|的最大值与最小值的差为．16．已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线1（a＞0，b＞0）相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程是y x，点F是抛物线的焦点，且△F AB是等边三角形，则该双曲线的标准方程是．三、解答题（要求写出必要的计算步骤和思维过程，共70分．其中22题10分，17-21题每题12分．）17．设数列{a n}为等差数列，且a3＝5，a5＝9；数列{b n}的前n项和为S n，且S n+b n＝2．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若，T n为数列{c n}的前n项和，求T n．18．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：（Ⅰ）判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？（Ⅱ）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．下面的临界值表供参考：（参考公式：K2，其中n＝a+b+c+d）19．在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，，AB＝2BC＝2，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）求四面体FBCD的体积；（Ⅲ）线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？证明你的结论．20．已知函数f（x）＝lnx﹣ax在x＝2处的切线l与直线x+2y﹣3＝0平行．（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）+m＝2x﹣x2在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（3）记函数g（x）＝f（x）x2﹣bx，设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，且g （x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的最大值．21．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，离心率e，P为椭圆上任一点，且△PF1F2的最大面积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，且以AB为直径的圆恒过原点O，若实数m满足条件•，求m的最大值．请考生在第22、23两个题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）＝|x﹣2|（1）解不等式xf（x）+3＞0；（2）对于任意的x∈（﹣3，3），不等式f（x）＜m﹣|x|恒成立，求m的取值范围．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．A2．A3．D4．D5．A6．D7．B8．D9．C10．A11．A12．A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．要使函数有意义，则＞＞，得＞＜，得＞＜，得＞＜＜，得﹣2＜x＜1，即函数的定义域为（﹣2，1），14．因为P A，PB，PC两两垂直共点，且棱锥为正三棱锥，则可以将其嵌入正方体中，设P A＝PB＝PC＝a，则，解得，所以AB＝4，为底面为正三角形，设三角形ABC外接圆的半径为r，则，解得，所以在Rt△OO'B中，．15．向量（cosθ，sinθ），向量（，﹣1），则2（2cosθ，2sinθ+1），（2sinθ+1）2＝4cos2θ﹣4cosθ+3+4sin2θ+4sinθ+1＝4sinθ﹣4cosθ+8＝8sin（θ）+8；由﹣1≤sin（θ）≤1，得0≤8sin（θ）+8≤16，所以|2|的最大值是4，最小值是0；所以最大值与最小值的差为4﹣0＝4．16．由题意可得抛物线y2＝8x的准线为x＝﹣2，焦点坐标是（2，0），又抛物线y2＝8x的准线与双曲线1交于A，B两点，又△F AB是等边三角形，则有A，B两点关于x轴对称，横坐标是﹣2，纵坐标是4tan30°与﹣4tan30°，将坐标（﹣2，±）代入双曲线方程得1，①又双曲线的一条渐近线方程是y x，得，②由①②解得a，b＝4．所以双曲线的方程是1．三、解答题（要求写出必要的计算步骤和思维过程，共70分．其中22题10分，17-21题每题12分．）17．（I）由题意可得数列{a n}的公差d（a5﹣a3）＝2，故a1＝a3﹣2d＝1，故a n＝a1+2（n﹣1）＝2n﹣1，由S n+b n＝2可得S n＝2﹣b n，当n＝1时，S1＝2﹣b1＝b1，∴b1＝1，当n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝2﹣b n﹣（2﹣b n﹣1），∴，∴{b n}是以1为首项，为公比的等比数列，∴b n＝1•；（II）由（I）可知c n（2n﹣1）•2n﹣1，∴T n＝1•20+3•21+5•22+…+（2n﹣3）•2n﹣2+（2n﹣1）•2n﹣1，故2T n＝1•21+3•22+5•23+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，两式相减可得﹣T n＝1+2•21+2•22+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n＝1+2（2n﹣1）•2n＝1﹣4+（3﹣2n）•2n，∴T n＝3+（2n﹣3）•2n18．（1）由公式K211.978＞7.879，所以有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关…（II）设所抽样本中有m个“大于40岁”市民，则，得m＝4人所以样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，分别记作B1，B2，B3，B4，G1，G2．从中任选2人的基本事件有（B1，B2）、（B1，B3）、（B1，B4）、（B1，G1）、（B1，G2）、（B2，B3）、（B2，B4）、（B2，G1）、（B2，G2）、（B3，B4）、（B3，G1）、（B3，G2）、（B4，G1）、（B4，G2）、（G1，G2），共15个，…（9分）其中恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的事件有（B1，G1）、（B1，G2）、（B2，G1）、（B2，G2）、（B3，G1）、（B3，G2）、（B4，G1）、（B4，G2），共8个，所以恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的概率为P．…19．（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵AC，AB＝2，BC＝1，∴AC2+BC2＝AB2．∴AC⊥BC．又∵AC⊥FB，BF∩CB＝B，∴AC⊥平面FBC．（Ⅱ）解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC．∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD．在Rt△ACB中，BC AB，∴∠CAB＝30°，∴在等腰梯形ABCD中可得∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝30°，∴CB＝DC＝1，∴FC＝1．∴△BCD的面积S°．∴四面体FBCD的体积为：V F﹣BCD．（Ⅲ）解：线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM，证明如下：连接CE与DF交于点N，连接MN．由CDEF为正方形，得N为CE中点．∴EA∥MN．∵MN⊂平面FDM，EA⊄平面FDM，∴EA∥平面FDM．所以线段AC上存在点M，使得EA∥平面FDM成立．20．（1）（2分）∵函数在x＝2处的切线l与直线x+2y﹣3＝0平行，∴，解得a＝1；…（2）由（1）得f（x）＝lnx﹣x，∴f（x）+m＝2x﹣x2，即x2﹣3x+lnx+m＝0，设h（x）＝x2﹣3x+lnx+m，（x＞0）则h′（x）＝2x﹣3，令h′（x）＝0，得x1，x2＝1，列表得：∴当x＝1时，h（x）的极小值为h（1）＝m﹣2，又h（）＝m，h（2）＝m﹣2+ln2，…（7分）∵方程f（x）+m＝2x﹣x2在，上恰有两个不相等的实数根，∴＜，即＜，解得m＜2；（也可分离变量解）…（10分）（3）∵g（x）＝lnx，∴g′（x），由g′（x）＝0得x2﹣（b+1）x+1＝0∴x1+x2＝b+1，x1x2＝1，∴，∵，∴＜＜解得：＜∴g（x1）﹣g（x2），设＜，则＜∴F（x）在，上单调递减；∴当时，，∴k，∴k的最大值为．…21．（Ⅰ）∵椭圆C：1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，离心率e，P为椭圆上任一点，且△PF1F2的最大面积为1，∴，解得：a，b＝1，c＝1，所以椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程y＝kx+n，由，得：（2k2+1）x2+4knx+2n2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．由于以AB为直径的圆恒过原点O，于是，即x1x2+y1y2＝0，又y1y2＝（kx1+n）（kx2+n），于是：，即3n2﹣2k2﹣2＝0，依题意有：，即||•||cos∠OAB．化简得：m2S△OAB．因此，要求m的最大值，只需求S△OAB的最大值，下面开始求S△OAB的最大值：|AB|．点O到直线AB的距离d，于是：．又因为3n2﹣2k2﹣2＝0，所以2k2＝3n2﹣2，代入得．令t＝3n2﹣1，得n2，于是：．当，即t＝2，即n＝±1时，S△OAB取最大值，且最大值为．所以m的最大值为．请考生在第22、23两个题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2＝4．（2分），x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2＝4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21＝0．（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2＝0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为23．[选修4-5：不等式选讲]（1）∵f（x）＝|x﹣2|，∴xf（x）+3＞0⇔x|x﹣2|+3＞0⇔ ＞①或＞＞②，解①得：﹣1＜x≤2，解②得x＞2，∴不等式xf（x）+3＞0的解集为：（﹣1，+∞）；（2）f（x）＜m﹣|x|⇔f（x）+|x|＜m，即|x﹣2|+|x|＜m，设g（x）＝|x﹣2|+|x|（﹣3＜x＜3），则＜＜＜＜，g（x）在（﹣3，0]上单调递减，2≤g（x）＜8；g（x）在（2，3）上单调递增，2＜g（x）＜4∴在（﹣3，3）上有2≤g（x）＜8，故m≥8时不等式f（x）＜m﹣|x|在（﹣3，3）上恒成立．。

2018-2019上学期期末考试高三数学（理）试题答案一、选择题1-5 BCBDD 6-10 ABBAC 11、12 AD二、填空题13 、14 80 15 丁1617.解：（1）由可得即----------------2分当时------------------------------------------------------------------------------------4分当时--------------------------------------------------------------6分（2）由已知可得或-------------------8分当时，;---------------------------------------------------------------------------------9分当时----------------------------------------------------------------------------------11分----------------------------------------------------------------------------------12分2-------------2分可得-------------------4分故在误差不超过0.05的情况下，不能认为产品等级是否达到良好以上（含良好）与生产产品的机器有关。

-------------------6分（2）A机器每生产10万件产品的利润为------------8分B机器每生产10万件产品的利润为-------------10分因为47<53.所以该工厂应该会淘汰A机器。

--------------------------------------------------------------------------------12分19.（1）证明：设，连接,四边形是菱形，, ---------------------------1分, --------------------------3分-----------------------5分（2）--------------------------------------- ---------------------------6分则；于是，设平面的一个法向量，由即令所以，-------------------------------------------------------------8分设平面的一个法向量，由即令所以. -------------------------------------------------------------10分设二面角的大小为，（>）=所以二面角的余弦值为-------------------------------------------------------------12分22..解：(1)曲线的普通方程为，展开得，由互化公式得的极坐标方程为.(2)联立方程组由得,由得，所以.23.解：（1）等价为解得或无解或，故不等式的解集为。

2019年沈阳市高三数学上期末试卷及答案一、选择题1．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234yx a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,4-B ．()1,4-C ．[]4,1-D ．()4,1-2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．44．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243- B ．242-C ．162-D ．2435．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（ ） A ．B ．C ．D ．6．在ABC ∆中，2AC =,22BC =,135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) A ．25 B ．2C ．3D ．57．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．8．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2019．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 10．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 22n n S T n +=，则77a b =（ ） A ．4126B ．2314C ．117 D ．11611．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140B ．280C ．168D ．5612．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．32二、填空题13．已知数列{}n a 满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ，记数列{}n a 的前n项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M 、最小值为m ，则M m +=______.14．ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos (32)cos b C a c B =-.当b =2ac =，ABC ∆的面积为______.15．设0a >，若对于任意满足8m n +=的正数m ，n ，都有1141a m n ++≤，则a 的取值范围是______.16．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是__________． 17．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =g ，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式112020|1|13n nT a -->成立的最大正整数n 的值是__________．18．已知0,0a b >>，且20a b +=，则lg lg a b +的最大值为_____．19．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为______． 20．若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 三、解答题21．若0,0a b >>,且11a b+=（1）求33+a b 的最小值；（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.22．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =.（1）若b =30A =︒，求角B 的值； （2）若ABC ∆的面积3ABC S ∆=，cos 45B =，求,b c 的值. 23．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+.24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==． (1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足141n n n b T S =-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．25．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21nn n S a S =-．（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：2221274n S S S +++<L ． 26．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222230a c b ac +-+=. （1）求cos B 的值； （2）求sin 24B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 根据1444y y x x x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式可求得44yx +≥，从而得到关于a 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】 由题意知：1442444y y x y x x x y y x⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0x Q >，0y > 40x y ∴>，04yx>424x y y x ∴+≥=（当且仅当44x y y x =，即4x y =时取等号） 44yx ∴+≥ 234a a ∴-<，解得：()1,4a ∈- 本题正确选项：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.2．B解析：B 【解析】11111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤故选B点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果3．C解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.4．B解析：B【解析】 【分析】 【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223nn S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即11322n n a a -=，即()132nn a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113a q S q---∴===---，故选B.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果. 【详解】由余弦定理得：，即解得：或为最小角本题正确选项： 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.6．A解析：A【解析】【分析】先由余弦定理得到AB边的长度，再由等面积法可得到结果.【详解】根据余弦定理得到2222.22AC BC ABAC BC+-=-⨯⨯将2AC=,22BC=,代入等式得到AB=25,再由等面积法得到11225 25222222CD CD⨯⨯=⨯⨯⨯⇒=故答案为A.【点睛】这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab及2b、2a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.7．D解析：D【解析】【分析】根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB.【详解】由内角和定理知，所以，即，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于中档题.8．A解析：A【解析】【分析】先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ，()119919910019919902a a S a+⨯==<，由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．9．C解析：C 【解析】 【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<, 1322a ∴-<<故选：C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键10．A解析：A【解析】依题意，113713113713132412226132a a a S b b b T +⋅===+⋅.11．A解析：A 【解析】由等差数列的性质得，5611028a a a a +==+，∴其前10项之和为()11010102814022a a +⨯==，故选A. 12．B解析：B 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=.所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则451216a =⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题13．1078【解析】【分析】根据数列的递推关系求出数列的前四项的最大最小值得出何时和最大何时和最小进而求得结论【详解】解：因为数列{an}满足：即解得；或或；或所以最小为4最大为8；所以数列的最大值为时解析：1078 【解析】 【分析】根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何时和最小，进而求得结论． 【详解】解：因为数列{a n }满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ，{}211a a a ∴-∈即211a a a -=解得22a =； {}3212,a a a a ∴-∈321a a ∴-=或322a a -= 33a ∴=或34a =；{}43123,,a a a a a ∴-∈431a a ∴-=或432a a -=，433a a -=，434a a -=所以4a 最小为4，4a 最大为8；所以，数列10S 的最大值为M 时，是首项为1，公比为2的等比数列的前10项和：()10112102312M ⨯-==-；10S 取最小值m 时，是首项为1，公差为1的等差数列的前10项和：()101011011552m ⨯-=⨯+⨯=；∴1078M m +=． 故答案为：1078． 【点睛】本题考查了数列的递推关系式，等比数列以及等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．本题的关键在于观察出数列的规律．14．【解析】【分析】由利用正弦定理得到再用余弦定理求得b 可得ac 利用面积公式计算可得结果【详解】由正弦定理可化为所以在三角形中所以因为所以又所以由余弦定理得又所以有故的面积为故答案为【点睛】本题考查了正【解析】 【分析】由()2cos 32cos b C a c B =-，利用正弦定理得到2cos 3B =，再用余弦定理求得b ，可得a 、c ，利用面积公式计算可得结果. 【详解】由正弦定理()2cos 32cos b C a c B =-可化为2sin cos 3sin cos 2sin cos B C A B C B =-，所以()2sin 3sin cos B C A B +=， 在三角形中，()sin sin B C A +=，所以2sin 3sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，所以2cos 3B =， 又0B π<<，所以sin B == 由余弦定理得2224323b a c ac =+-=，又2a c =，所以有2967c =. 故ABC ∆的面积为2219696sin sin sin 27737S ac B c B c B =====⨯=.故答案为7. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】【分析】由题意结合均值不等式首先求得的最小值然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式求解不等式即可确定实数a 的取值范围【详解】由可得故：当且仅当即时等号成立故只需又则即则的取值范围是【点睛】在 解析：[)1,+∞【解析】 【分析】由题意结合均值不等式首先求得141m n ++的最小值，然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式，求解不等式即可确定实数a 的取值范围. 【详解】由8m n +=可得19m n ++=，故：()1411411411419191n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=+++=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭11419⎛⨯++= ⎝≥， 当且仅当12141n mn m mn +=⎧⎪+⎨=⎪+⎩，即3m =，5n =时等号成立，故只需11a≤，又0a >，则1a ≥. 即则a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．16．【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足解得∴实数的取值范围是答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时需要综合考虑边的限制条件在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用必须要考虑到三个内角的解析：a <<【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足22222222224130130310a a a a <<⎧⎪+->⎪⎨+->⎪⎪+->⎩，解得a << ∴实数a的取值范围是．答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围．17．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考 解析：8【解析】【分析】根据1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，求得15181a a =⎧⎨=⎩，13-=n n a .再求出13(1)3n n T =-，带入不等式112020|1|13n nT a -->，解不等式即可. 【详解】因为数列{}n a 为正项的递增等比数列，由1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得15181a a =⎧⎨=⎩. 则3q =，13-=n n a .1(1)1323(1)1313n n n T -=⨯=--. 112020|1|13n n T a -->⇒1112020|11|133n n ---->. 整理得：38080n <.使不等式成立的最大整数n 为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.18．【解析】【分析】由为定值运用均值不等式求的最大值即可【详解】当且仅当时等号成立即而当且仅当时等号成立故的最大值为2故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值对数的运算属于中档题解析：2【解析】【分析】由0,0a b >>，20a b +=为定值，运用均值不等式求ab 的最大值即可.【详解】0,0a b ∴>>,20a b +=,20a b ∴=+≥当且仅当10a b ==时，等号成立，即100ab ≤，而lg lg lg lg1002a b ab +=≤=，当且仅当10a b ==时，等号成立，故lg lg a b +的最大值为2，故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值，对数的运算，属于中档题.19．6【解析】【分析】由题意公差d=1na1+=2668∴n （2a1+n-1）=5336=23×23×29得出满足题意的组数即可得出结论【详解】由题意公差d=1na1+=2668∴n （2a1+n-1）=解析：6【解析】【分析】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论．【详解】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29， ∵n ＜2a 1+n-1，且二者一奇一偶，∴（n ，2a 1+n-1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组；同理d=-1时，也有三组．综上所述，共6组．故答案为6．【点睛】本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题．20．【解析】当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才能应用否则会出现解析：8【解析】1212412(2)()448b a a b a b a b a b a b +=∴+=++=++≥+=Q ，当且仅当2b a = 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题21．（1）；（2）不存在.【解析】【分析】（1）由已知11a b+=，利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥，利用基本不等式可将33+a b 转化为ab ，由不等式的传递性，可求33+a b 的最小值；（2）由基本不等式可求23a b +的最小值为6>，故不存在．【详解】（111a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故33+a b ≥≥a b ==所以33+a b 的最小值为（2）由（1）知，23a b +≥≥由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=成立．【考点定位】基本不等式．22．（1）60B =︒或120︒. (2) b =【解析】【分析】（1）根据正弦定理，求得sin 2B =，进而可求解角B 的大小； （2）根据三角函数的基本关系式，求得3sin 5B =，利用三角形的面积公式和余弦定理，即可求解。

辽宁省沈阳市郊联体2019届高三上学期期中考试数学试题（理）【参考答案】1.A2.B3.C4.B5.C6.D7.C8.A9.D 10.C 11.C 12.C 【解析】1.由题意，集合{}|20A x x =-≤≤，集合{}|0B x x =>，故{}|2AB x x =≥-，故选A ；2.由正弦定理可知2sin sin sin sin 32a c A A C A =⇒=⇒=，故选B ； 3.由三角函数的单调性可知只有C 正确；4.由函数的单调性，2xy =在R 上单调递增，故选B ；5.以A 为坐标原点，以AC AB 、分别为,x y 的正方向建系，易知()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2,00300m D m C B A ，，，，，，则()⎪⎭⎫⎝⎛==3203m AD AB ，，，，故6=⋅，故选C ；6.若丙在第一位（或第五位）的排法共有48244=⨯A 种；若丙在第二位（或第四位）的排法共有2422223=⨯⨯A A 种；若丙在第三位的排法共有822222=⨯⨯A A ，故总数8082448=++=N 种，故选D ；7.由已知，()3625942361394914191419141=⋅+≥+++=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a a b b a a b b a b a b a ，故选C ；8.根据题意，良马与驽马所行的里数均是等差数列，良马每日行的距离记为{}n a ，其中13,19311==d a ，驽马每日行的距离记为{}n b ，5.0,9721-==d b ，各行驶4天，故123543214321=+++++++=b b b b a a a a S ，故选A ；9.由条件概率可知，()4715|1413131514151315=⋅+⋅+⋅⋅=C C C C C C C C A B P ，故选D ； 10.考查空间中的平行.垂直关系：①111A C AD 与成异面直线，111A C AD 与所成角即为1AC AD 与所成角，易知为3π，故①错误；②由11//AC BD AC AC ⊥，,可知11AC BD ⊥，故②正确； ③由 1111////A B CD AC AC ，且11111=,//A BAC A AC CD C =，由面面平行的判定推论可知平面11A C B //平面1ACD ，故③正确；④易知111111,AC BD AC AC B ⊥⊂面且面，故平面11A C B ⊥平面11BB D D ，故④正确； 故正确的推断有三个，选C ；11.如图所示，记圆心为G ，射线OP 交圆于点C ，连接OG ,GC ，则x x x f S x OGC 2sin 21)(,2-===∠对于A.则214323sin 2143)43(+=-==ππππf S ，故A 错误；对于B.当()02cos 1)(,,0'>-=∈x x f x π，因此()x f 在()π,.0上单调递增，故B 错误；对于C.则对于任意ππππππππ=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛∈x x x x x f x f x 22sin 21222sin 212)2()2(,2,0，故C 正确； 对于D.代入4π即可判断其错误；故选C ；12.由函数()()+∈++-=N m nx mx x x f 12323在1-=x 处取得极值可知：()06301'=++⇒=-n m f ，又对任意R x ∈，()027'>+x f 恒成立，即 027632>++-n mx x 恒成立，即()027123602<+-⇒<∆n m ，代入可得()()24024<<-⇒<-+m m m ，由+∈N m ，可得9,1-==n m ，即()129323+--=x x x x f ，又()()22=-+x f x f则403521240352018403520184034201832018220181=⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛f f f f f故选C13.2 14.2- 15.-1 16.2 【解析】13.由等比数列的定义及性质可知：q =214.由题意，1A =代入1(,)32M π，可知=2πϕ，所以()33sin cos cos 2442f x x x f πππ⎛⎫⎛⎫=+=⇒==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 15.由二项式定理可知，()()r r r rrrr x C x xC T n 493333111,3--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==，所以令9-433r r =-⇒=，故其系数为-116.依题意，2322=⇒=-=AG BE AB AE由余弦定理可知,53sin 54cos =∠⇒=∠BAC BAC 设其外接圆的半径为R ，则 ,35sin 2=∠=BAC BC R 由题意，球的半径为r ，9619244422=⇒=r r ππ，结合球的性质可知：2tan ,42222==∠=⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛+AG AD AGD AD r AD R17.解：（Ⅰ）由题意可知()03f π=，即22()2cos sin10333f a πππ=++=，即21()2()1032f π=++=，解得a = ………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2()2cos 21f x x x =+cos 222x x =+2sin(2)26x π=--+，………5分由()f x 的单调性：3222262k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈， 得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ………7分 所以，()f x 的单调递增区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． ………9分再令2=6212k x k x ππππ-⇒=+ ………10分 故()f x 的对称中心为,2122k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭………12分 18.解：记第i 名师范毕业生选择的教育属于学前教育.特殊教育和网络教育分别为事件(),1,2,3i i i A B C i =,.由题意知123,A A A ,相互独立，123,B B B ,相互独立，123,C C C ,相互独立，(),,,1,2,3,,,i j k A B C i j k i j k =,且互不相同相互独立，且()()1126i i P A P B =,=， ()13i P C =(Ⅰ)他们选择的教育所属类别相同的概率()()()33312312312311112636P P A A A P B B B P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ………4分(Ⅱ)记第i 名师范毕业生选择的教育属于学前教育或网络教育分别为事件()1,2,3i D i =,由已知123,D D D ,相互独立，且()()()()56i i i i i P D P A C P A P C =+=+=，所以53,6B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭即()3351,0,1,2,366k kk P k C k ξ-⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………8分故ξ的分布列为：ξ的数学期望()11575125540501232162162162162162E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯== ………12分19.解：(Ⅰ)由已知可得)2111n S +=⇒=,所以1为公差的等差数列 ………3分()211n n n S n =-⨯=⇒= ………4分当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =也成立，故21na n =- ………6分（2）由题意：因为()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭所以123111221n n T b b b b n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=- ⎪+⎝⎭………9分显然n T 是关于n 的增函数，所以n T 有最小值()1min 13n T T ==，由于11111333n T m m ≥-⇒≥-恒成立 ………11分 所以4m ≤ ………12分 20. 解：（Ⅰ）取BC 中点E ，连接DE ，PE ，在∆PDE 内作DM ⊥PE ，垂足为M ， 则………5分（Ⅱ）以D 为坐标原点，DA ，DE ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D-xyz ，如图，A(2，0，0),P(0，0，2),B(1，，0)，C （-1，0）(2,0,2),(1,3,2),(2,0,0),AP PB BC =-=-=- ………6分分别设平面PAB ，平面PBC 的法向量为11112222(,,),(,,)n x yz n x y z ==，则111211122020n AP x z n PB x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令111,(3,1y n ==………8分2222222020n BC x n PB x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令222,y n == ………10分125cos ,7n n ∴==, 又二面角A-PB-C 的大小为钝角 ………11分 二面角A-PB-C 的余弦值为57-………12分 21.解：（Ⅰ）由()ax xe x f x -='． ………1分假设函数()x f 的图象与x 轴相切于点()0,t ，则有， 即． ………3分 显然0≠t ，0>=a e t 代入方程()0212=--t a e t t 中得，． ………5分 ∵04<-=∆，∴无解．故无论a 取何值，函数()x f 的图象都不能与x 轴相切．……6分 （Ⅱ）依题意，()()()()21212121x x x x x x f x x f +-->--+恒成立． ………7分设()()x x f x g +=，则上式等价于()()2121x x g x x g ->+，要使其成立对任意()+∞∈∈,0,21x R x 恒成立，即使()()x x a e x x g x +--=221在R 上单调递增， ∴()01'≥+-=ax xe x g x 在R 上恒成立． ………8分 则()1011'+≤⇒≥+-=e a a e g ，∴()0'≥x g 在R 上恒成立的必要条件是：1+≤e a ． ………10分下面证明：当3=a 时，013≥+-x xe x 恒成立．设()1--=x e x h x ，则()1'-=x e x h ，当0<x 时，()0'<x h ，当0>x 时，()0'>x h ， ∴()()00min ==h x h ，即1,+≥∈∀x e R x x ．那么，当0≥x 时，01213,22≥+-≥+-+≥x x x xe x x xe x x ；当0<x 时，1<x e ，01313>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-x e x x xe x x ．∴恒成立．因此，a 的最大整数值为3． ………12分22.解：（Ⅰ）由α是第四象限角，53sin 1cos 2=-=αα ………2分 所以sin 424tan ,sin 22sin cos cos 325αααααα==-==- ………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知471tan 133tan 71441tan 133πααα----⎛⎫-==== ⎪+⎛⎫⎝⎭-+- ⎪⎝⎭………10分。

辽宁省沈阳市郊联体2019届高三上学期期末考试理数试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合，1，，则 A. B. C. D. 1，【答案】B【解析】解：集合，1，，则．故选：B．化简集合M，根据交集的定义写出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2. 若复数为虚数单位，则z的实部为 A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：．的实部为3．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3. 抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D.【答案】B【解析】解：在抛物线，即y，，，焦点坐标是，故选：B．先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线y的焦点坐标为，求出物线的焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线y的焦点坐标为4. 已知向量，的夹角为，且，，则 A. B. C. D.【答案】D【解析】解：向量，的夹角为，且，，，，故选：D．由题意可得，，再根据，计算求的结果．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．5. 在中，，，，则 A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，由正弦定理可得：，可得：，，可得：为锐角，．故选：D．由已知利用正弦定理可得的值，根据大边对大角可求为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．6. 已知一个样本，样本容量为7，平均数为11，方差为2，现样本中又加入一个新数据11，此时样本容量为8，平均数为，方差为，则 A. B. C.D.【答案】A【解析】解：某7个数的平均数为11，方差为2，现又加入一个新数据11，此时这8个数的平均数为，方差为，，，故选：A．由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解．本题考查平均数和方差的计算公式的应用，是基础题．7. 九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐如图所示，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为 A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设水深为x尺，则，解得，即水深12尺．又葭长13尺，则所求概率，故选：B．设水深为x尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长13尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案．本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．8. 已知抛物线C：焦点为F，点P为其准线上一点，M是直线PF与抛物线C的一个交点，若，则直线PF的斜率为 A. B. C. D.【答案】B【解析】解：当点P在x轴上方时，如图：过M作准线于N，则根据抛物线的定义得因为，所以，，此时PF的斜率为，当点P在x轴下方时，同理可得直线PF的斜率为故选：B．根据向量知识和抛物线的定义将问题转化在直角三角形中锐角的正切值．本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．直9. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，则线与直线所成角的余弦值为 A.B.C.D.【答案】A【解析】解：在正三棱柱中，底面边长为2，，以A为原点，AB为x轴，在平面ABC中，过A作AB的垂线为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，0，，0，，0，，，0，，，设直线与直线所成角为，则．直线与直线所成角的余弦值为．故选：A．以A为原点，AB为x轴，在平面ABC中，过A作AB的垂线为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与直线所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10. 在区间仅有三个零点，则的最小值是 A. B. C. D.【答案】C【解析】解：在区间仅有三个零点，即在区间仅有三个解，即在区间仅有三个解，这三个根应为：，，，故选：C．根据题意可得，在区间仅有三个交点，结合正切函数的图象，求得的最小值．本题主要考查函数的零点的定义，正切函数的图象，属于中档题，11. 设是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间上单调递减，且满足，则满足不等式组的解集为 A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，为周期为2的偶函数，则且，则有，则函数关于直线对称，又由在区间上单调递减，且，则在上递增，且，，则，即不等式组的解集为；故选：A．根据题意，由函数的周期性与奇偶性分析可得，则函数关于直线对称，据此可得在上递增，且，，则进而分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与对称性，关键是分析函数的对称轴，属于基础题．12. 已知椭圆的右焦点为，离心率为e，过原点斜率为k的直线与椭圆交于A、B两点，M、N分别为线段AF、BF的中点，以MN为直径的圆过原点O，若，则e的取值范围是 A. B. C. D.【答案】D【解析】解：记线段MN与x轴交点为C．的中点为M，BF的中点为N，，，、B为椭圆上关于原点对称的两点，．原点O在以线段MN为直径的圆上，．．，，．设，，易得．由，可得得，．直线AB斜率为，，，由于，离心率e的取值范围为故选：D．通过几何法得到，由，可得到A点坐标，从而求出OA的斜率，由直线AB斜率为，求出e的取值范围．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，同时考查圆的性质和直线斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 双曲线的渐近线方程为______．【答案】【解析】解：双曲线，双曲线的渐近线方程为，即故答案为：双曲线的渐近线方程为，整理后就得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．14. 的展开式中x的系数为______．【答案】1792【解析】解：的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中x的系数为，故答案为：1792．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中x的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15. 某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲团队获得一等奖”；小王说：“甲或乙团队获得一等奖”；小李说：“丁团队获得一等奖”；小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是______．【答案】丁【解析】解：若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小王、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，若获得一等奖的团队是乙团队，则小王预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小赵预测结果是对的，与题设相符，即假设正确，即获得一等奖的团队是：丁故答案为：丁先阅读理解题意，再逐一进行检验进行简单的合情推理即可．本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属简单题．16. 已知底面边长为3的正三棱锥的外接球的球心Q满足，则正三棱锥的内切球半径为______．【答案】【解析】解：正三棱锥的外接球的球心O满足，为的外心．外接圆的圆心为正三棱锥的外接球的球心，，，．．，．则这个正三棱锥的内切球半径r满足：，解得故答案为：．由已知可得Q为的外心，外接圆的圆心为正三棱锥的外接球的球心，求得PQ，再由等积法求解正三棱锥的内切球半径．本题考查了球的内接三棱锥的内切球的半径求法，考查了计算能力，转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列的前n项和为，公差为d．若且，求数列的通项公式；若，，成等比数列，求公比q．【答案】解：且，，解得，或，当时，，当时，，，，成等比数列，，，整理可得，则或，当时，公比为1，当，，【解析】根据等差数列的通项公式和求和公式即可求出，根据等比数列的性质即可求出．本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了运算和求解能力，属于基础题18. 某工厂有两台不同的机器A和B，生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行质量鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩在内的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩在内的产品，质量等级为良好；鉴定成绩在内的产品，质量等级为合格，将频率视为概率．完成下列列联表，以产品质量等级是否达到良好以上含良好为判断依据，判断能不能在误差不超过的情况下，认为产品等级是否达到良好以上含良好与生产产品的机器有关：A机器生产的产品B机器生产的产品合计良好以上含良好______ ______ ______合格______ ______ ______合计______ ______ ______已知质量等级为优秀的产品的售价为12元件，质量等级为良好的产品的售价为10元件，质量等级为合格的产品的售价为5元件，A机器每生产10万件的成本为20万元，B机器每生产10万件的成本为30万元，该工厂决定，按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，淘汰收益低的机器，你认为该工厂会怎么做？【答案】6 12 18 14 8 22 20 20 40【解析】解：根据题意填写列联表如下，A机器生产的产品B机器生产的产品合计良好以上含良好 6 12 18合格14 8 22合计20 20 40计算，不能判断在误差不超过的情况下，认为产品等级是否达到良好以上含良好与生产产品的机器有关；机器每生产10万件的利润为万元，B 机器每生产10万件的利润为万元，则，所以该工厂不会仍然保留原来的两台机器，应该会卖掉A机器，同时购买一台B机器．根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；计算A、B机器每生产10万件的利润，比较得出结论．本题考查了茎叶图与独立性检验的应用问题，是基础题．19. 如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且求证：平面BDEF；求二面角的余弦值．【答案】证明：设AC、BD交于点O，连结OF、DF，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，且，，，，四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，，，平面BDEF．，，平面ABCD，以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，0，，1，，0，，，1，，，设平面ABF的法向量y，，则，取，得，设平面BCF的法向量y，，则，取，得，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．【解析】设AC、BD交于点O，连结OF、DF，推导出，，，由此能证明平面BDEF．以OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 已知椭圆C：的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为2时，坐标原点O到l的距离为．求a、b的值；上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的点P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【答案】解：设，直线l的方程为，坐标原点O到l的距离为，，，，，，即；由知椭圆的方程为，即，假设存在满足题设条件的直线，由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为l：，设、，把l：代入椭圆方程，整理得，显然．由韦达定理有：，，，在椭圆上，代入椭圆方程整理得，解得无解，故不存在这样的点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立．【解析】设，则直线l的方程为，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b把l：代入椭圆方程，由韦达定理可求得和的表达式，可得点P的坐标，代入椭圆方程，即可解决．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21. 已知函数．若，求函数在处的切线方程；若有两个零点、，且．求a的取值范围；证明：．【答案】解：，由条件知，，函数在处的切线方程为，即，，当时，在上恒成立，此时在R上单调增，函数至多有一个零点，当时，由解得当时， 0'/>，单调增，当时，，单调减，有两个零点、，，解得由条件知，，．可得，．方法一：故．设，则，且，解得，．，要证：，即证明，即证明，设，，令，，则，在上单调增，，在上单调增，则即时，成立，．方法二：则，设，则，为的两个零点，，易得在上单调增，在上单调减，所以，设，，则，恒成立，则在上单调增，，，即，即，又在上单调减，，，，即，【解析】求出的导数，，，即可求出切线方程，求出的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，有两个零点、，则，解得即可先得到，，方法一：设，解得，，问题转化为证明即可；方法二：由，设，根据函数的单调性得到，设，，结合的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，考查了运算能力以及转化与化归能力，方程与函数的思想，整体与部分的思想，属于难题22. 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．把曲线的参数方程化为极坐标方程；直线l的极坐标方程为，直线l与相交于点A，直线l与相交于点、B异于极点，求线段AB的长．【答案】解：曲线的参数方程是，曲线的普通方程为，即，曲线的极坐标方程为，即．直线l的极坐标方程为，直线l的直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为，即，曲线的直角坐标方程为，直线l与相交于点A，直线l与相交于点、B异于极点，联立，得，联立，得，．线段AB的长为．【解析】由曲线的参数方程，求出曲线的普通方程，由此能求出曲线的极坐标方程．求出直线l的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程，联立方程组求出，，由此能求出线段AB的长．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23. 设．求不等式的解集；若不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：可化为：，当时，，解得；当时，不成立；当时，，解得综上所述的解集为或，即又不等式恒成立等价于即，解得实数m的取值范围是【解析】两个绝对值分三种情况讨论：，解得结果再相并；先用绝对值不等式的性质求得的最小值，然后将恒成立转化为最小值即可解决．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

2018-2019学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题理科综合试卷可能用到的元素相对原子质量：H-1 Be-9 C-12 N-14 O-16Na-23 Ca-40 S-32 Ni-59第Ⅰ卷选择题一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1.寨卡病毒(RNA病毒)是一种虫媒病毒，人体感染塞卡病毒后会造成神经和自身免疫系统并发症。

下列有关寨卡病毒的叙述，正确的是A.寨卡病毒是一种只能发生基因突变的生命系统B.寨卡病毒会被人体的细胞免疫消灭，不会被抗体结合C.寨卡病毒会将自身所有成分都注入到人体细胞内进行增殖D.被寨卡病毒侵染的细胞的清除属于细胞编程性死亡2.下列有关蛋白质的相关叙述，不正确的是A.蛋白质结合Fe2+形成的血红蛋白具有运输氧气的功能B.由m条肽链组成，含n个氨基酸的蛋白质分子中的氧原子数至少为n+m个C.鉴定蛋白质时，需将NaOH溶液和CuSO4溶液混匀后使用并水浴加热D.抗利尿激素的作用需要肾小管、集合管细胞膜上的某些蛋白质协助3.关于生命活动调节的叙述，下列选项正确的是(①激素、抗体和酶都具有特异性，只能参与特定靶细胞的代谢反应②看物体时，神经冲动是由脑和脊髓产生的，在视网膜上形成视觉③由脑垂体分泌功能不足引起的呆小症，可通过注射生长激素治疗④内环境稳态是神经调节和体液调节共同作用的维持机制是由美国生理学家坎农提出的⑤鼻炎、皮肤荨麻疹、系统性红斑狼疮都是由于免疫系统过于敏感、反应过度，将自身物质当作外来异物进行攻击引起的免疫失调病⑥光照、温度等环境因子的变化会引起包括植物激素合成在内的多种变化，但不会引起基因组表达的改变。

因此，植物的生长发育过程在根本上是基因组程序性表达的结果A.有3项说法正确B.有1项说法正确C.有2项说法不正确D.没有正确的4.下列分别与甲、乙、丙、丁四图相对应的叙述中，正确的是A.甲图所示同种生物雌性个体和雄性个体携带AB基因的配子数目相等B.乙图所示生物可以是三倍体也可以是单倍体C.丙图中如果黑方格表示有病个体，那么所示W个体一定是该病基因的携带者D.丁图所示生态系统内的食物链最多可达30条，图中所有生物可构成群落5.某种植物的花色同时受A、a与B、b两对基因控制，基因型为A_bb的植株开蓝花，基因型为aaB_的植株开黄花。