二次根式及勾股定理单元测试题及答案(最新)

2022-2023学年人教版八年级数学下册阶段性（二次根式+勾股定理）综合练习题（附答案）一、选择题（共36分）1．下列式子不是二次根式的是（）A．B．C．D．2．在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．3，5，9B．4，6，8C．1，，2D．3．的化简结果为（）A．25B．5C．﹣5D．﹣254．下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．B．C．D．6．下列二次根式中，与可以合并的是（）A．B．C．D．7．计算3﹣2的结果是（）A．B．2C．3D．68．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1B．﹣+1C．D．﹣19．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（）A．18m B．10m C．14m D．24m10．把中根号外面的因式移到根号内的结果是（）A．B．C．D．11．如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，边BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为（）A．14B．16C．20D．2812．已知，则的值为（）A．B．±2C．±D．二、填空题（共18分）。

13．使有意义的x的取值范围是．14．已知Rt△ABC两直角边长为5，12，则斜边长为．15．计算：5÷×所得的结果是．16．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．17．若y＝，则x+y＝．18．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4＝．三、解答题（共46分）19．计算：（1），（2）．20．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝12，BC＝10，DB＝6．（1）求CD的长．（2）求AB的长．21．在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）22．如图，在△ABD中，∠A是直角，AB＝3，AD＝4，BC＝13，DC＝12，求四边形ABCD 的面积．23．已知a、b、c满足．（1）求a、b、c的值；（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长，若不能，请说明理由．24．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若a＝，求4a2﹣8a﹣3的值．参考答案一、选择题（共36分）1．解：A、是二次根式，故本选项不符合题意；B、是二次根式，故本选项不符合题意；C、是二次根式，故本选项不符合题意；D、不是根式，故本选项符合题意．故选：D．2．解：A、∵3+5＝8＜9，∴不能组成三角形，故A不符合题意；B、∵42+62＝52，82＝64，∴42+62≠82，∴不能组成直角三角形，故B不符合题意；C、∵12+（）2＝4，22＝4，∴12+（）2＝22，∴能组成直角三角形，故C符合题意；D、∵（）2+（）2＝8，（）2＝6，∴（）2+（）2≠（）2，∴不能组成直角三角形，故D不符合题意；故选：C．3．解：＝5．故选：B．4．解：因为＝＝2，因此不是最简二次根式．故选：B．5．解：A、与不能合并，所以A选项错误；B、原式＝6×2＝12，所以B选项错误；C、原式＝＝2，所以C选项准确；D、原式＝2，所以D选项错误．故选：C．6．解：A、＝＝2，与不能合并，本选项不符合题意；B、＝，与可以合并，本选项符合题意；C、＝＝3，与不能合并，本选项不符合题意；D、＝＝，与不能合并，本选项不符合题意；故选：B．7．解：原式＝（3﹣2）＝．故选：A．8．解：图中直角三角形的两直角边为1，2，∴斜边长为＝，那么﹣1和A之间的距离为，那么a的值是：﹣1，故选：D．9．解：如图：∵BC＝8米，AC＝6米，∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴AB＝10米，∴这棵树在折断之前的高度是18米．故选：A．10．解：根据被开方数非负数得，﹣＞0，解得a＜0，﹣a＝＝．故选：A．11．解：∵矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，∴AB＝＝＝6，由平移的性质可知：五个小长方形的周长和＝2×（AB+BC）＝2×14＝28．故选：D．12．解：∵，∴（x+）2＝7∴x2+＝5（x﹣）2＝x2+﹣2＝5﹣2＝3，x﹣＝±．故选：C．二、填空题（共18分）。

二次根式测试题及答案
一、选择题
1. 以下哪个选项不是二次根式？
A. √3
B. √x
C. √x^2
D. √x^3
答案：D
2. 计算√(4×9)的结果是什么？
A. 6
B. 12
C. √36
D. √4×√9
答案：B
3. 以下哪个表达式等于√(2x)？
A. √2x
B. √x×√2
C. √2×√x
D. √2+√x
答案：C
二、填空题
1. 计算√(25)的结果是______。

答案：5
2. 如果√(a+b) = √a + √b，那么a和b的值分别是______。

答案：0
三、解答题
1. 化简下列二次根式：
√(32) = ______。

答案：4√2
2. 解方程：
√x + 3 = 7。

答案：x = 16
四、证明题
1. 证明√2是一个无理数。

答案：略
五、应用题
1. 一个正方形的面积是50平方厘米，求这个正方形的边长。

答案：边长为√50厘米，即5√2厘米。

六、综合题
1. 一个直角三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。

答案：斜边长度为5厘米，根据勾股定理，√(3^2 + 4^2) = √(9
+ 16) = √25 = 5。

七、附加题
1. 如果一个数的平方根等于这个数本身，这个数是多少？
答案：0或1（因为√0 = 0，√1 = 1）
请注意，以上测试题及答案仅供参考，具体题目和答案应根据实际教学大纲和教材内容进行调整。

八年级数学试卷 第 1 页 共 4 页二次根式和勾股定理测试卷（时间90分钟）（满分100分）一、选择题：（每题3分，共30分）（每题只有一个正确答案，请将正确答案序号填入下表）1．若m -3为二次根式，则m 的取值为 （ ）A ．m ≤3B ．m ＜3C ．m ≥3D ．m ＞3 2．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ． 48 B ． 14 C ．baD ．44+a 3．化简二次根式352⨯-)(得 （ ）A ．35-B ．35C ．35±D ．304．若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为 （ ）A ．43-=aB ．34=a C ．a=1 D ．a= —15 . 化简)22(28+-得 （ ）A ．—2B ．22-C ．2D ． 224- 6. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) （A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形.7. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25（B ）14（C ）7（D ）7或258. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）9. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（ ）八年级数学试卷 第 2 页 共 4 页CABDCB A D EF（A ）4 cm （B ）8 cm （C ）10 cm （D ）12 cm10.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（ ）. （A ）50a 元 （B ）600a 元 （C ）1200a 元 （D ）1500a 元 二、填空题：（每题4分，共32分）（请将每题正确答案填在下列对应横线上） 11.___________ 12.___________ 13.____________ 14._____________ 15.___________ 16.___________ 17.____________ 18._____________ 11. 如图所示，以Rt ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为123,,S S S ,且1234,8,S S S ===则 ；12如图，90,4,3,12C ABD AC BC BD ︒∠=∠====,则AD= ；13、若三角形的三边满足::5:12:13a b c =，则这个三角形中最大的角为 ；14、一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，上午10：00，两小相距 海里。

二次根式单元测试题(卷)经典3套二次根式单元测试题一一、填空题（每题2分，共20分）1、当a=0时，有意义1-a=12、计算：（-3/2）^2=9/432）^2=10241-1/2）×（1+1/2）=3/43、计算：（1）×（-27）=-272）8a^3b^2c=8abc^2×a^2b4、计算：(a>0,b>0,c>0)5、计算：(1)=1/42)=3a/86、如果xy>0，化简-xy^2=-y^2x7、32+42=25，332+442=221，3332+4442= 则33×(32+44)×(42+25)=8、(2-1)2005×(2+1)2006=3×(3^2005)9、观察以下各式：1=2-1。

1/2=3-2。

1/3=4-3利用以上规律计算：1+1/2+1/3+…+1/2007)/[(2+1)+(3+2)+(4+3)+…+(2006+2005 )]=2007/401310、已知x=3+√2，y=3-√2，则(y/x+1)/(x/y+1)=1二、选择题（每题3分，共30分）11、若2x+3有意义，则x≤-3或x≥212、化简(2-a)^2+a^-2的结果是4+2a13、能使等式x/(x-3)=x/x成立的条件是x≠0且x≠314、下列各式中，是最简二次根式的是y/215、已知x+1/x=5那么x-1/x的值是2或-216、如果a^2-2ab+b^2=-1，则a≠b17、已知xy>0，化简二次根式√(x-y^2/x^2)的正确结果为(y/|x|)√(x-y^2)18、如图，Rt△AMC中，∠C=90°，∠AMC=30°，AM∥BN，MN=23cm，XXX=1cm，则AC的长度为3cm。

19、下列说法正确的个数是()①2的平方根是同类二次根式；②2-1与2+1互为倒数；③2^3/2与(2/3)^-2互为倒数；④3√2是同类三次根式。

八年级数学下册《勾股定理》单元测试卷(带答案解析)一、单选题1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=√10，则BC的长为()A. 3√3B. √5+1C. √10−1D. √10+12.下列长度的线段中，能组成直角三角形的一组是()A. 1，√3，2B. 2，3，4C. 4，5，6D. 5，6，73.如图，在ΔABC中，三边a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<a<c4.下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是()A. 3，5，7B. 5，7，8C. 4，6，7D. 1，√3，2，则AC的长为()5.如图，点A，B都在格点上，点C在线段AB上，每个小格长度为1，若BC=2√133A. √13B. 4√13C. 2√13D. 3√1336.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=√2，则线段BN的长为()B. √2C. 1D. 2−√2A. √227.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是(0,3)、(−4,0)，则原点到直线AB的距离是()A. 2B. 2.4C. 2.5D. 38.等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是()A. 3√7B. 8√2C. 6√7D. 3√7或8√29.如图，一只蚂蚁从长宽高分别是3，2，6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是()A. √61B. 11C. 7D. 810.若一个三角形的三边长分别为a，b，c，满足(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，则这个三角形的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定二、填空题11.如图，直角三角形的两直角边长分别为6 cm和8 cm，分别以三边为直径作半圆，则阴影部分的面积为_______________.12.已知直角三角形的三边长分别为6，7，x，则x2=_______________.13.△ABC中，∠C=90°，AB=8，BC=6，则AC的长是 ______.14.如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，已知：AB =15，AD =12，AC =13，CD =5，则BC 的长为 ______.15.如图，学校有一块长方形花圈，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草，则他们仅仅少走了 ______步路．(假设2步为1米)16.ΔABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =3.以BC 为边作等边ΔBCD ，连接AD ，则AD 的长为____．17.如图，P 是∠AOB 的平分线OC 上一点，PD ⊥OB ，PE ⊥OA ，垂足分别为D ，E ，若PD =3，则PE 的长是 ______.18.如图，等腰ΔABC 的底边BC =20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF =3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则ΔCDF 周长的最小值为______．三 、解答题19.在数轴上表示下列各数，并用“<”连接.−12，0，√3，√−83，(−1)2.20.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”．(1)如图，在△ABC中，AB=AC=2√5，BC=4，求证：△ABC是“奇妙三角形”；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2√3，若△ABC是“奇妙三角形”，求BC的长．21.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．(1)线段AB的长是______；(2)在图中画出一条线段EF，使EF的长为√13，并判断AB、CD、EF三条线段的长能否成为一个直角三角形三边的长？说明理由．22.如图，某工人在两墙AB，CD之间施工(两墙与地面垂直)，架了一架长为2.5m的梯子DE，此时梯子底端E距离墙角C点O.7m，由于E点没有固定好，向后滑动到墙角B处，使梯子顶端D沿墙下滑了0.4m到F处，求梯子底端E向后滑动的距离BE的长．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6.BE平分∠ABC交AC于点E.求CE的长．24.如图，矩形ABCD是一个底部直径BC为12cm的杯子的示意图，在它的正中间竖直放一根筷子EG，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时(筷子底端E不动)，筷子顶端正好触到杯口，求筷子EG的长度．25.请阅读下列材料：已知：如图(1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE= 45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图(2)，其它条件不变，(1)中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已知：如图(3)，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．参考答案与解析1.【答案】D;【解析】解：在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=√AD2−AC2=√10−9=1，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD，∵∠ADC=2∠B，∴∠B=∠BAD，∴BD=AD=√10，∴BC=√10+1.故选：D.由勾股定理求出CD=1，再根据∠ADC是△ABD的外角，证出∠B=∠BAD，从而有BD=AD，即可求出BC的长．此题主要考查了勾股定理、三角形外角的性质等知识，利用外角证出∠B=∠BAD是解答该题的关键．2.【答案】A;【解析】解：A、∵12+(√3)2=22，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；B、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵52+62≠72，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：A.由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．此题主要考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答该题的关键．3.【答案】D;【解析】解：根据勾股定理，得a=√1+9=√10；b=√1+4=√5；c=√4+9=√13.∵5<10<13，∴b<a<c.故选：D.先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．此题主要考查了勾股定理及比较无理数的大小，属中学阶段的基础题目．4.【答案】D;【解析】解：A、因为32+52≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；B、因为52+72≠82，所以不能构成直角三角形，此选项错误；C、因为42+62≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；D、因为12+(√3)2=22，能构成直角三角形，此选项正确．故选D.分别计算每一组中，较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就是直角三角形，否则就不是直角三角形．此题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．5.【答案】B;【解析】解：∵点A，B都在格点上，点C在线段AB上，每个小格长度为1，∴AB=√62+42=2√13，∵BC=2√133，∴AC=AB−BC=2√13−2√133=4√133，即AC的长为4√133，故选：B.由勾股定理求出AB的长，即可得出结论．此题主要考查了勾股定理，由勾股定理求出AB的长是解答该题的关键．6.【答案】C;【解析】解：过M点作MH⊥AC于H点，∵四边形ABCD是正方形，∴∠HAM=45°．∴ΔHAM是等腰直角三角形，∴HM=√22AM=1．∵CM平分∠ACB，MH⊥AC，MB⊥CB，∴BM=HM=1，∠ACM=∠BCN．∵∠BMN=45°+∠ACM，∠BNM=45°+∠BCM，∴∠BMN=∠BNM．∴BN=BM=1．故选：C．过M点作MH⊥AC于H点，在等腰直角ΔHAM中可求HM=√22AM=1，根据角平分线的性质可得BM=MH=1，再证明BN=BM即可．这道题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质，解决这类问题一般会利用到正方形对角线平分90°得到等腰直角三角形，涉及角平分线时作角两边的垂线段是常见辅助线．7.【答案】B;【解析】解：∵点A、B的坐标分别是(0,3)、(−4,0)，∴OA=3，OB=4，∴AB=5，ΔAOB是直角三角形，∴O到AB的距离为3×45=125；故选：B．由ΔAOB是直角三角形，利用直角三角形面积相等，将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高求解；该题考查坐标平面内点的特征；将将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高是解答该题的关键；8.【答案】D;【解析】该题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解答该题的关键．因为已知长度为4和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解：①当4为底时，其它两边都为6，4、6、6可以构成三角形，底边上的高为√62−22=4√2，∴等腰三角形的面积=12×4×4√2=8√2；②当4为腰时，其它两边为4和6，∵4+4>6，∴4、4、6能构成三角形．∴底边上的高为=√42−32=√7，∴等腰三角形的面积=1×√7×6=3√7．2故选D．9.【答案】A;【解析】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．(1)展开前面右面由勾股定理得AB2=(3+2)2+62=61；(2)展开前面上面由勾股定理得AB2=(2+6)2+32=73；(3)展开左面上面由勾股定理得AB2=(3+6)2+22=85.所以最短路径的长为AB=√61(cm).故选：A.把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．此题主要考查了平面展开−最短路径问题及勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．10.【答案】B;【解析】解：∵(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，∴a−3=0，b−4=0，c−5=0，解得：a=3，b=4，c=5，则a2+b2=c2，故这个三角形的形状是直角三角形；故选：B.利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值，进而判断出三角形的形状即可．此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握两边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形．11.【答案】24cm2;【解析】略12.【答案】85或13;【解析】略13.【答案】2√7;【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，BC=6，则AC=√AB2−BC2=√82−62=2√7，故答案为：2√7.根据勾股定理计算即可．此题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.14.【答案】14;【解析】解：∵AD=12，AC=13，CD=5，∴AC2=169，AD2+CD2=144+25=169，即AD2+CD2=AC2，∴△ADC为直角三角形，且∠ADC=90°，∴∠ADB=90°，∵AB=15，AD=12，∴BD=√AB2−AD2=√152−122=9，∴BC=BD+CD=9+5=14.故答案为：14.在△ADC中，由三边长，利用勾股定理的逆定理判断出△ADC为直角三角形，可得出AD与BC垂直，在直角三角形ABD中，由勾股定理求出BD，再根据线段的和差关系即可求解．此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．15.【答案】4;【解析】解：由勾股定理，得路长=√32+42=5(m)，少走(3+4−5)×2=4步，故答案为：4.根据勾股定理，可得答案．此题主要考查了勾股定理，利用勾股定理得出路的长是解题关键．16.【答案】3或3√7;【解析】该题考查了勾股定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质是解答的关键.本题分两种情况，①D在AB边上，由直角三角形的性质解答即可；②D在三角形外面，由等边三角形的性质得出三角形ΔBCE和ΔDCA全等的条件，得出ΔBCE≌ΔDCA，推出BE=AD，由勾股定理得出BE，也就得出AD 了．解：分两种情况：①如图所示：D在AB边上，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，∴AD=CD=BC=3；②D在三角形外面，以AC为边做等边ΔACE，连接BE，如图所示：∵ΔBCD和ΔACE是等边三角形，∴BC=DC，CE=CA，∠BCD=∠ACE=60°，∴∠BCE=∠DCA=60°+90°=150°，∴ΔBCE≌ΔDCA，∴BE=AD，∵在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，∴AB=2BC=6，AC=√AB2−BC2=3√3，∵ΔACE为等边三角形，∴∠CAE=60°，AE=3√3，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，∴BE=√AB2+AE2=√62+(3√3)2=3√7，∴AD=BE=3√7，综上所述，AD=3或3√7．故答案为3或3√7．17.【答案】3;【解析】解：∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD，∵PD=3，∴PE=3.故答案为：3.根据角平分线的性质定理可得答案．此题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．18.【答案】18;【解析】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵1⋅BC⋅AH=120，2∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF=√AH2+HF2=√122+52=13，∴DF+DC的最小值为13．∴ΔCDF周长的最小值为13+5=18；故答案为18．如图作AH⊥BC于H，连接AD.由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；该题考查轴对称−最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解答该题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：√3≈1.73，√−83=-2，（-1）2=1，在数轴上表示如下：∴√−83＜-12＜0＜（-1）2＜√3．; 【解析】根据实数的符号和绝对值，在数轴上表示即可；依据数轴表示数的特征，右边的数总比左边的大，比较大小．此题主要考查数轴表示数的意义和方法，理解符号和绝对值是确定实数的两个必要条件．20.【答案】（1）证明：过点A 作AD ⊥BC 于D ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=12BC=2，由勾股定理得，AD=√AB 2−BD 2=4，∴AD=BC ，即△ABC 是“奇妙三角形”；（2）解：当AC 边上的中线BD 等于AC 时，BC=√BD 2−CD 2=3，当BC 边上的中线AE 等于BC 时，AC 2=AE 2-CE 2，即BC 2-（12BC ）2=（2√3）2， 解得BC=4．综上所述，BC 的长是3或4．;【解析】(1)过点A 作AD ⊥BC 于D ，根据等腰三角形的性质求出BD ，根据勾股定理求出AD ，根据“奇妙三角形”的定义证明；(2)分AC 边上的中线BD 等于AC ，BC 边上的中线AE 等于BC 两种情况，根据勾股定理计算．此题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.21.【答案】null;【解析】解：(1)线段AB的长是：√12+22=√5；故答案为：√5；(2)如图所示：EF即为所求，AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长理由：∵AB2=(√5)2=5，DC2=8，EF2=13，∴AB2+DC2=EF2，∴AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长．(1)直接利用勾股定理得出AB的长；(2)直接利用勾股定理以及勾股定理逆定理分析得出答案．此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正确结合网格分析是解题关键．22.【答案】解：由题意得：∠DCE=90°，BF=DE=2.5m，CE=0.7m，DF=0.4m，在Rt△DCE中，由勾股定理得：DC=√DE2−CE2=√2．52−0．72=2.4（m），∴CF=DC-DF=2.4-0.4=2（m）在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF=√BF2−CF2=√2．52−22=1.5（m），∴BE=BC-CE=1.5-0.7=0.8（m），答：梯子底端E向后滑动的距离BE的长为0.8m．;【解析】由勾股定理得DC=2.4m，再由勾股定理得BC=1.5m，即可得出结论．此题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理．23.【答案】解：如图，过E作ED⊥AB于D，∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴EC⊥BC，AC=√AB2−BC2=√102−62=8，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，∴CE=DE，在Rt△BDE和Rt△BCE中，{DE=CEBE=BE，∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），∴BD=BC=6，∴AD=AB-BD=10-6=4，设CE=DE=x，则AE=AC-CE=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：42+x2=（8-x）2，解得：x=3，即CE的长为3．;【解析】过E作ED⊥AB于D，由勾股定理得AC=8，再证Rt△BDE≌Rt△BCE(HL)，得BD=BC=6，则AD= AB−BD=10−6=4，设CE=DE=x，则AE=AC−CE=8−x，然后在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．此题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解答该题的关键．24.【答案】解：设杯子的高度是x cm，则筷子的高度为（x+2）cm，∵杯子的直径为12cm，∴DF=6cm，在Rt△DEF中，由勾股定理得：x2+62=（x+2）2，解得x=8，∴筷子EG=8+2=10cm．;【解析】设杯子的高度是xcm，则筷子的高度为(x+2)cm，在RtΔDEF中，利用勾股定理列出方程：x2+62=(x+ 2)2，解方程即可．此题主要考查了勾股定理的应用，运用方程思想是解答该题的关键，属于常考题．25.【答案】解：（1）DE2=BD2+EC2；（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，又∵AB=AC，∴AF=AC，∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠EAC，又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，即DE2=BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT=∠C=45°，AT=AE，∠TAE=90°，∵∠ABC=45°，∴∠TBC=∠TBD=90°，∵∠DAE=45°，∴∠DAT=∠DAE，∵AD=AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT=DE，∵DT2=DB2+EC2，∴DE2=BD2+EC2；（3）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD=DF，EF=BE．∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．;【解析】(1)DE2=BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；(2)根据(1)的思路一样可以解决问题；(3)当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与(1)类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD=DF，EF=BE.由此可以得到∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°，这样就可以解决问题．此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．。

二次根式及勾股定理习题满分： 时间：一、选择题（每题3分，共30分） 1.2x ）A ．0x ≥ ＜0 ≠0 ≤0 2.2(3)- ）A ．-3 3下列运算正确的是（ ）2323+= B. 3a-a=3 C. 233= D. ()325a a =4.23 ）|A 5 B. 32 C.6 D. 35．下列根式中，最简二次根式是（ ） A 4 B.12C. 2xD. 26. 2合并的是（ ） A 5 B. 32 C. 6 D. 37．下列计算正确的是（ ）①69494=-⋅-=--))((；②69494=⋅=--))((； ③145454522=-⋅+=-；④145452222=-=-；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8. 一直角三角形的两直角边长分别为3和4．则第三边的长为（ ） (A 5 B.7 C. 57 D. 59.如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）A ．4 B. 6 C. 16 D. 55 10. 一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A ．10米 B. 15米 米 D. 30米二、填空题（每题4分，共24分） 11.二次根式1x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 。

12.已知221y x x =-+-+，则y x = 。

13. 把下列二次根式化成最简二次根式 》125= 0.01=14. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧，交x 正半轴于点C ，则点C 的坐标为 。

15. 能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股 数．请你写出一组勾股数： 。

16. 若三角形三条边长a 、b 、c 满足2a 512c 130b -+-+-=（），则△ABC 是三角形。

《二次根式》和《勾股定理》综合测试A一、选择（每小题3分，共36分）1．使有意义的x的取值范围是（）A. x≥1B. x≥0C. x＞1D. x≠12．下列二次根式中能与合并的二次根式是（）A. B. C. D.3．以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（）A. 1、2、3B. 9、12、15C. 1、1、D. 6、7、84．如果，那么x取值范围是（）A. x≤2B. x＜2C. x≥2D. x＞25．若是正整数，最小的整数n是（）A. 6B. 3C. 48D. 26．下列运算和化简，不正确的是（）A. =0.5B.C.D.7．计算﹣的结果正确的是（）A. B. C. D. 08.如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（）A. 12B. 13C. 144D. 1949．如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m，若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的（）A. 北偏东75°的方向上B. 北偏东65°的方向上C. 北偏东55°的方向上D. 无法确定10．设，则代数式a2+2a﹣10的值为（）A. B. C. ﹣3 D. ﹣411．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米12．如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（）A. 11cmB. 12cmC. 13cmD. 14cm二、填空（每小题3分，共18分）13．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．14．化简：= ．15．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是．16．计算：（+）2﹣= ．17．有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为．18．如图所示，在高为3m，斜坡长为5m的楼梯表面铺地毯，至少需要地毯米．三、解答（8个小题，共66分）19．（6分）计算：（1）；（2）﹣6+2．20．（8分）图①和图②均是边长为1的正方形网络，按要求用实线画出顶点在格点上的图形．（1）在图①中画出一个等腰三角形ABC，使其腰长是；（2）在图②中画出一个正方形ABCD，使其面积是5．21．（8分）计算：5+﹣×+÷．22．（8分）已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．23．（8分）某居民小区有一块长方形绿地，先进行如下改造：将长方形的长减少米，宽增加米，得到一块正方形绿地，它的面积是原长方形绿地的2倍，求改造后的正方形绿地的边长是多少米？（结果精确到1米）24．（9分）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．25.（9分）阅读下列解题过程：，，请回答下列回题：（1）观察上面的解答过程，请直接写出= ；（2）根据上面的解法，请化简：．26.（10分）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为；（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为；（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．参考答案一、1. A 2.C 3.B 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C 9.B 10.D 11.B 12.C二、13. x＞3 14.-1 15.76 16.5 17.或3 18.7三、19. 解：（1）原式=3×5÷＝15÷＝15．（2）原式=2=220.解：（1）、（2）如图所示：21.解：原式=+﹣+3÷=2﹣1+3=2+2．22.解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2，∴AD===3，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°，∴AB=AD=3，BD=AD=3，在Rt△ADC中，CD=2+3=5，由勾股定理得，AC===．23.解：设改造后正方形绿地的边长为a米，则改造前长方形绿地的长为（a+）米，宽为（a﹣）米，由题意得，a2=2（a+）（a﹣），整理，得a2=68，a=2（取正）.答：改造后正方形绿地的边长为2米．24.解：如图，连接AC．∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC==，在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD，=×1×2+××2，=1+．故四边形ABCD的面积为1+．25.解：（1）=﹣；（2）+++…++，=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣，=﹣1，=10﹣1，=9．26.解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC2+AC2=AD2，即x2+82=（6+x）2，解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．。

二次根式与勾股定理测试题一、选择题1. 若为二次根式, 则m 的取值为 （ ）A. m ≤3B. m ＜3C. m ≥3D. m ＞32. 下列式子中二次根式的个数有 （ ） ⑴31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸；⑹)(11>-x x ；⑺322++x x . A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个3．当有意义时, a 的取值范围（ ）A ．a ≥2 B ．a ＞2 C ．a ≠2 D ．a ≠－24. 下列计算正确的是 （ ） ①69494=-⋅-=--))((；②69494=⋅=--))((； ③145454522=-⋅+=-；④145452222=-=-；A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 5．对于二次根式, 以下说法不正确的是 （ ） A. 它是一个正数 B. 是一个无理数C. 是最简二次根式 D. 它的最小值是3 6. 把分母有理化后得（ ）A. B. C. D. 7．下列二次根式中, 最简二次根式是（ ）A ． B ． C ． D ． 8. 化简二次根式得（ ）A. B. C. D. 309.下列几组数中, 不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A.1.5, 2, 2.5 B.3, 4, 5 C.5, 12, 13 D.20, 30, 4010、如图, 在Rt△ABC中, ∠B＝90°, BC＝15, AC＝17, 以AB为直径作半圆, 则此半圆的面积为（）. A. 16π B. 12π C. 10π D. 8π11.已知直角三角形两边的长为3和4, 则此三角形的周长为（）．A. 12B. 7＋C. 12或7＋D. 以上都不对12.如图, 梯子AB靠在墙上, 梯子的底端A到墙根O的距离为2m, 梯子的顶端B到地面的距离为7m, 现将梯子的底端A向外移动到A′, 使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m. 同时梯子的顶端B下降至B′, 则BB′（）. A. 小于1m B. 大于1m C. 等于1m D. 小于或等于1m 13.将一根24cm的筷子, 置于底面直径为15cm, 高8cm的圆柱形水杯中, 如图所示, 设筷子露在杯子外面的长度为hcm, 则h的取值范围是（）．A. h≤17cmB. h≥8cmC. 15cm≤h≤16cmD. 7cm≤h≤16cm14. 、如图, , 且, , , 则线段AE的长为（）；A. B、 C、 D、（第14题）15.如图, 一块直角三角形的纸片, 两直角边AC=6㎝, BC=8㎝, 现将直角边AC沿直线AD折叠, 使它落在斜边AB上, 且与AE重合, 则CD等于（）；A.2㎝B.3㎝C.4㎝D.5㎝16、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）...A 、6cm2 B 、8cm2C 、10cm2D 、12cm2二、填空题1. 当x___________时, 在实数范围内有意义. 当x 时,式子有意义2. 比较大小: ______;3. ____________；__________.4. 当a=时, 则______;5. 若成立, 则x 满足___________. 6、如图, 矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）．7、如图, △ABC 中, AC ＝6, AB ＝BC ＝5, 则BC 边上的高AD ＝______. 7.已知: , 则 。

二次根式测试题及答案第二十一章二次根式填空题：1.要使根式 x-3 有意义，则字母 x 的取值范围是x≥3.2.当 x>1/2 时，式子 1/(2x-1) 有意义。

3.要使根式 4-3x/(x+2) 有意义，则字母 x 的取值范围是x<4/3.4.若 4a+1 有意义，则 a 能取得的最小整数值是 a=-1/4.5.若 x-√x 有意义，则 x+1=2.6.使等式 x+2x-3=0 成立的 x 的值为 x=3.7.一只蚂蚁沿图 1 中所示的折线由 A 点爬到了 C 点，则蚂蚁一共爬行了 10 cm。

选择题：8.使式子 3x+2 有意义的实数 x 的取值范围是x≥-2/3.9.使式子 (x-1)/(|x|+2) 有意义的实数 x 的取值范围是x≥1 或 x<-2.10.x 为实数，下列式子一定有意义的是 1/(x2-1)。

11.有一个长、宽、高分别为 5cm、4cm、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是5√2 cm。

解答题：13.要使下列式子有意义，字母 x 的取值必须满足以下条件：分母不能为 0，即x≠-1 或x≠1/2.分子的平方根存在，即x≥1.14.△ABC 的周长为 12 cm。

15.等面积的正方形的边长为√(π/4) cm。

16.挖去的圆的半径为 b/2a。

17.(1) x=-4 或 x=1/2.(2) y=-2 或 y=-3.18.2006年黄城市的国内生产总值为264亿元，比2005年增长了23%。

问题：(1) 2005年黄城市的国内生产总值是多少亿元（精确到1亿元）？(2) 预计黄城市在2008年的国内生产总值可达到386.5224亿元，那么2006年到2008年的平均年增长率是多少？（下列数据供计算时选用：1.4641=1.21，1.4884=1.22）探究问题：已知实数x、y满足y=x^2-4+(4-x^2)/(x-2)+3，求9x+8y的值。

《二次根式、勾股定理》阶段性检测一、选择题（每题3分，共15分）：1．下列根式不是最简二次根式的是( )A B C D2．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（）．A．a=9，b=41，c=40 B．a=b=5，C．a:b:c=3:4:5 D．a=11，b=12，c=153）A B C D4）A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数5．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，AB＝8，BC＝15，CA＝17，则下列结论不正确的是（）A．△ABC是直角三角形，且AC为斜边 B．△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°C．△ABC的面积是60 D．△ABC是直角三角形，且∠A＝60°二、填空（每空2：1；= ；2．当x 时,是_______．3________．4．长方形的长__________．5．在直角坐标系内，点P（2= ．CBA D6．若一个直角三角形的两条边长为5cm ，12cm ，则它的第三条边长为______________． 7．在实数范围内因式分解25x -= ． 8．当x 时，()22332x x -=-9、已知322--+-=x x y ，则=y x 。

三、计算（每小题5分，共30分）：⑴27×48÷6 ⑵ ()23553- ⑶1121231897233-+- ⑷22122-- ⑸(754321415)3-+÷ ⑹21146229m m m m m m +-四、解答：1．如图，每个小方格的边长都为1．求：⑴图中格点四边形ABCD 的周长；⑵四边形ABCD 的面积．（10分）2.如图，有一块地，已知，AD=4m ，CD=3m ，∠ADC=90°，AB=13m ，BC=12m 。

求这块地的面积。

（8分）ACBD3、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？（7分）《勾股定理》单元测试题一、 填空题1、 若直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边为___________ ；2、能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数。

单元测试卷（内容：二次根式及勾股定理）一．选择题（共14小题）1．下列各式中，正确的是（）A．B．C．D．2．下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．4．如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（）A．公路l走向是南偏西45°B．公路l走向是北偏东45°C．从点P向北走3km后，再向西走3km到达lD．从点P向北偏西45°走3km到达l5．若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（）A．13B．13或C．D．12或136．如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO＝3，BO＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C．则OC的长为（）A．5B．4C．3D．27．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（）A．5B．9C．16D．258．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（）A．184B．86C．119D．819．已知△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：7B．∠A＝∠B﹣∠CC．a：b：c＝2：3：4D．b2＝（a+c）（a﹣c）10．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．4≤a≤5B．3≤a≤4C．2≤a≤3D．1≤a≤211．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．下列所给数据中，不能判断△ABC 是直角三角形的是（）A．a＝，b＝2，c＝1B．∠A﹣∠B＝∠CC．（a﹣b）（a+b）＝c2D．∠A：∠B：∠C＝2：5：812．如图，正方形ABCD的顶点A，D在数轴上，且点A表示的数为﹣1，点D表示的数为0，用圆规在数轴上截取AE＝AC，则点E所表示的数为（）A．1B．1﹣C．﹣1D．13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，作AC的中垂线1交BC于点D，连接AD，若AB ＝3，BC＝9，则BD的长为（）A．6B．5C．4D．314．若3、4、a为勾股数，则a的值为（）A．B．5C．5或7D．5或二．填空题（共4小题）15．若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝．16．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：，（1）将分母有理化可得；（2）关于x的方程3x﹣＝+++…+的解是．17．已知x＝+1，y＝﹣1，则x2﹣5xy+y2+6＝．18．把a中根号外面的因式移到根号内的结果是．三．解答题（共15小题）19．若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值．20．阅读下列解题过程：＝＝＝﹣1；＝＝＝﹣．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①＝；②＝；（2）应用：求++++…+的值；（3）拓广：﹣+﹣＝．21．已知：a＝﹣1，求÷（2﹣）的值．22．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．例如：化简解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2∴＝＝1+；请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．23．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值24．计算：（1）÷+2×﹣（2+）2（2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2012×﹣+25．计算：（1）﹣（3+）；（2）（+1）（﹣1）+﹣（）0．26．计算：（1）（2﹣6+3）÷2；（2）（2+5）（2﹣5）﹣（﹣）2．27．已知x＝+，y＝﹣，求：（1）+的值；（2）2x2+6xy+2y2的值．28．计算与求值．已知a＝，求﹣的值．29．观察下列各式，发现规律：＝2；＝3；＝4；…（1）填空：＝，＝；（2）计算（写出计算过程）：；（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．30．如图，在平静的湖面上，有一支芦苇AB，高出水面部分AC为1米，一阵风吹来，芦苇被吹到一边，芦苇顶端被水面淹没（即AB＝DB），一支芦苇移动的水平距离为3米，则湖水深度BC为所少米？31．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．（1）△ABC的面积是．（2）求BC、AD的长．32．如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B 有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB．33．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC+BC＝，AB＝2．（1）求△ABC的面积；（2）求CD的长．。

《勾股定理》与《二次根式》综合测试题A卷(100分)一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）．1．使x－3有意义的x的取值范围是(C)A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≠3分析：根据被开方数是非负数解之．解：由题意，得x－3≥0，解得x≥3．2．在－38，3，0.6·，π，3.10这六个数中，无理数有(A)A．2个B．3个C．4个D．6个分析：根据无理数的定义进行判断．解：－38，3，0．6·，π，3.10这六个数，无理数为3，π．判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．3．有下列说法：(1)－3是9的平方根；(2)7是(－7)2的算术平方根；(3)27的立方根是±3；(4)1的平方根是±1；(5)0没有算术平方根．其中正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个分析：根据平方根与立方根的定义即可求出答案．解：(1)－3是81的平方根，(1)正确；(2)7是(－7)2的算术平方根，(2)正确；(3)27的立方根是3，(3)错误；(4)1的平方根是±1，(4)正确；(5)0的算术平方根是0，(5)错误．4．估计31－2的值应在(B)A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间分析：估算出31在5和6之间，即可解答．解：∵5＜31＜6，∴3＜31－2＜4．5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(D)A．b2－c2＝a2B．a︰b︰c＝3︰4︰5C．∠C＝∠A－∠B D．∠A︰∠B︰∠C＝9︰12︰15分析：根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．解：b2－c2＝a2，则b2＝a2＋c2，∴△ABC是直角三角形；a︰b︰c＝3︰4︰5，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；∠C＝∠A－∠B，则∠B＝∠A＋∠C，∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；∠A︰∠B︰∠C＝9︰12︰15，设∠A，∠B，∠C分别为9x，12x，15x，则9x＋12x＋15x＝180°，解得，x＝5°，则∠A，∠B，∠C分别为45°，60°，75°，∴△ABC不是直角三角形．6．若a，b为实数，且|a＋1|＋b－1＝0，则－(－ab)2020的值是(C)A．1 B．2020 C．－1 D．－2020分析：根据绝对值和算术平方根的非负性求出a，b的值，再代入求出即可．解：∵|a＋1|＋b－1＝0，∴a＋1＝0，b－1＝0，∴a＝－1，b＝1，∴－(－ab)2020＝－[－(－1)×1)]2020＝－1．7．当x＝3＋1时，式子x2－2x＋2的值为(C)A．3＋2 B．5 C ．4 D．3分析：根据完全平方公式以及二次根式的运算法则即可求出答案．解：当x＝3＋1时，x－1＝3，∴原式＝x2－2x＋1＋1＝(x－1)2＋1＝3＋1＝4．8．如图所示，数轴上表示3，13的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是(C)A．－13 B．3－13 C．6－13 D．13－3分析：点C是AB的中点，设A表示的数是c，则13－3＝3－c，即可求得c的值．解：点C是AB的中点，设A表示的数是c，则13－3＝3－c，解得：c＝6－13．9．如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，则(a＋b)2的值为(C)A．13 B．19 C．25 D．169分析：根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得(a＋b)2的值．解：(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝大正方形的面积＋四个直角三角形的面积和＝13＋(13－1)＝25．10．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是(C)A．B．C．D．分析：过C作CD⊥AB于D，依据AB＝6，AC＝8，可得CD≤8，进而得到当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC＝90°，△ABC的面积最大．解：如图，过C作CD⊥AB于D，∵AB＝6，AC＝8，∴CD≤8，∴当CD与AC重合时，CD最长为8，此时，∠BAC＝90°，△ABC的面积最大，∴BC＝62＋82＝10，∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6，8，10．二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）．11．（1）8的算术平方根是22，（2）3－0.064＝－0.4．12．如图，在数轴上点A表示的实数是－5．分析：根据勾股定理，可得圆的半径，根据圆的性质，可得答案．66861286108688解：如图，由勾股定理，得OB ＝OC 2＋BC 2＝12＋22＝5， 由圆的性质，得OA ＝OB ＝5， ∴点A 表示的实数是－5．13．若最简二次根式1＋a 与4－2a 是同类二次根式，则a ＝ 1 ．分析：直接利用最简二次根式以及同类二次根式的性质得出关于a 的等式求出答案． 解：∵最简二次根式1＋a 与4－2a 能进行加法运算， ∴1＋a ＝4－2a ，解得：a ＝1．14．直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则斜边长为 13 ，斜边上的高为6013． 分析：可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可． 解：由勾股定理可得：AB 2＝52＋122，则AB ＝13， 直角三角形面积S ＝12×5×12＝12×13×CD ，可得：斜边的高CD ＝6013．15．已知a ＝3－2，b ＝3＋2，求a 2＋b 2的值为 10 ． 分析：把已知条件代入求值．解：原式＝(3－2)2＋(3＋2)2＝5－26＋5＋26＝10． 三．解答题(本大题共5个大题，共50分)． 16．（16分）计算 (1)12－613＋48；(2)2320×(－1348)÷223． (3)2|1－6|＋(3＋2)(2－3)＋(3－2)2＋(－2π)0． 解：(1)原式＝23－23＋43＝43； (2)原式＝－(23×13)20×48×38＝－29360＝－29×610＝－4310；(3)原式＝26－2＋4－3＋3－26＋2＋1＝5．17．（8分）已知5a －1的算术平方根是3，3a ＋b －1的立方根为2． （1）求a 与b 的值； （2）求2a ＋4b 的平方根．解：(1)由题意，得5a －1＝32，3a ＋b －1＝23， 解得a ＝2，b ＝3．(2)∵2a ＋4b ＝2×2＋4×3＝16， ∴2a ＋4b 的平方根±16＝±4．18．（8分）已知2＋3的小数部分为m ，2－3的小数部分为n ，求3(m ＋n )2020的值． 解：∵1＜3＜4，∴1＜3＜2．∴m ＝2＋3－3＝3－1，n ＝2－3－0＝2－3， ∴(m ＋n )2020＝12020＝1，∴3(m ＋n )2020＝1．19．（8分）定义：如图，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN ，NB ，若以AM ，MN ，NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点．（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．解：（1）是．理由：∵AM2+BN2＝1.52+22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN＝x，则MN＝24－AM－BN＝18－x，①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，即（18－x）2＝x2+36，解得x＝8；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．即x2＝36+（18－x）2，解得x＝10，综上所述，BN＝8或10．20．（10分）已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC＝2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．（1）如图1，证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，即∠DAC＝∠BAE．在△ACD与△ABE中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AE ，∠DAC ＝∠BAE ，AC ＝AB ，∴△ACD ≌△ABE （SAS ）， ∴CD ＝BE ； （2）连接BE ，∵CD 垂直平分AE ，∴AD ＝DE ， ∵∠DAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形， ∴∠CDA ＝12∠ADE ＝12×60°＝30°，∵△ABE ≌△ACD ，∴BE ＝CD ＝4，∠BEA ＝∠CDA ＝30°， ∴BE ⊥DE ，DE ＝AD ＝3， ∴BD ＝5；（3）如图，过B 作BF ⊥BD ，且BF ＝AE ，连接DF ， 则四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB ＝EF ，设∠AEF ＝x ，∠AED ＝y ， 则∠FED ＝x +y ，∠BAE ＝180°－x ，∠EAD ＝∠AED ＝y ，∠BAC ＝2∠ADB ＝180°－2y ，∠CAD ＝360°－∠BAC －∠BAE －∠EAD ＝360°－（180°－2y ）－（180°－x ）－y ＝x +y ， ∴∠FED ＝∠CAD ， 在△ACD 和△EFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝FE ，∠FED ＝∠CAD ，AD ＝ED ，∴△ACD ≌△EFD （SAS ）， ∴CD ＝DF ， 而BD 2+BF 2＝DF 2， ∴CD 2＝BD 2+4AH 2．B 卷(50分)一、选择题(每小题4分，共20分)21．已知一个正数的两个平方根分别为2m－6和3＋m，则这个正数是16，326m＋1＝3．分析：根据题意得出方程2m－6＋3＋m＝0，求出m，最后，再代入计算即可．解：∵一个正数的两个平方根分别为2m－6和3＋m，∴2m－6＋3＋m＝0，解得：m＝1，∴这个正数为(2m－6)2＝16，326m＋1＝327＝3．22．构造如图所示的图形推算可得5＋1＞10 (填“＞”或“＜”或“＝”)．（其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上，且BD＝AC＝1．）解：∵∠C＝90°，BC＝3，BD＝AC＝1，∴CD＝2，AD＝DC2＋AC2＝5，AB＝AC2＋BC2＝10，∴BD＋AD＝5＋1，又∵△ABD中，AD＋BD＞AB，∴5＋1＞10．23．在实数范围内，若y＝｜x｜－2＋2－｜x｜2－x－3x＋1，则y2020＋x的个位数字是9．解：由题意可得：|x|－2＝0，2－x≠0，解得：x＝－2，则y＝7，∵71＝7，72＝49，73＝343；74＝2401；75＝16807，∴个位数每4个一循环，∵2020÷4＝505，∴y2020的个位数字是：1，∴y2018＋x的个位数字是：9．24．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝3－1．解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝2AB＝2，BF＝AF＝22AB＝1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝AD2－AF2＝3，∴CD＝BF＋DF－BC＝1＋3－2＝3－1．25．若117－122的整数部分为a，小数部分为b，那么a2－ab＋b2的值为47－182．解：117－122＝117－272＝1(3－22)2＝13－22＝3＋22(3－22)(3＋22)＝3＋22，∵1＜2＜2，∴2＜22＜4，∴5＜3＋22＜7，∴a＝5，b＝3＋22－5＝22－2，∴a2－ab＋b2＝52－5(22－2)＋(22－2)2＝25－102＋10＋8－82＋4＝47－182．二、解答题(共30分)26．(8分)已知12＋1＝2－1(2＋1)(2－1)＝2－1，13＋2＝3－2(3＋2)(3－2)＝3－2，…，（1）从计算结果中找出一般规律：1n＋1＋n＝；（2）比较大小：32－1719－32（填“＞”、“＝”或“＝”）；（3）若实数x，y满足(x＋x2＋2020)(y＋y2＋2020)＝2020，求x2－3xy－4y2的值．解：（1）n＋1－n；（2）＞；（3）∵(x＋x2＋2020)(y＋y2＋2020)＝2020，∴(x＋x2＋2020)(y＋y2＋2020)(x－x2＋2020)＝2020(x－x2＋2020)，(x＋x2＋2020)(y＋y2＋2020)(y－y2＋2020)＝2020(y－y2＋2020)，∴(y＋y2＋2020)[x2－(x2＋2020)]＝2020(x－x2＋2020)，(x＋x2＋2020)[(y2－(y2＋2020)]＝2020(y－y2＋2020)，∴－2020(y＋y2＋2020)＝2020(x－x2＋2020)，－2020(x＋x2＋2020)＝2020(y－y2＋2020)，∴－y－y2＋2020＝x－x2＋2020，－x－x2＋2020＝y－y2＋2020，∴－y－x＝x＋y，∴y＝－x．∴原式＝x2＋3x2－4(－x)2＝0．27．(10分) 勾股定理的证明：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，得S梯形ABCD＝12a（a+b），S△EBC＝12b（a－b），S四边形AECD＝12c2，探究这三个图形面积之间的关系，得12a（a+b）＝12b（a－b）+12c2，化简，可得到勾股定理a2＋b2＝c2．勾股定理的运用：（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，垂足分别为A 、B ，AD ＝25千米，BC ＝16千米，则两个村庄的距离为 41 千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB ＝40千米，AD ＝24千米，BC ＝16千米，要在AB 上建造一个供应站P ，使得PC ＝PD ，请用尺规作图在图2中作出P 点的位置并求出AP 的距离．知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式x 2＋9+(16－x )2＋81的最小值（0＜x ＜16）． 解：【证明】 S 梯形ABCD ＝12a （a +b ），S △EBC ＝12b （a －b ），S 四边形AECD ＝12c 2，则它们满足的关系式为：12a （a +b ）＝12b （a －b ）+12c 2故答案为：12a （a +b ），12b （a －b ），12c 2，12a （a +b ）＝12b （a －b ）+12c 2．【运用】（1）如图2①，连接CD ，作CE ⊥AD 于点E ， ∵AD ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴BC ＝AE ，CE ＝AB ，∴DE ＝AD －AE ＝25－16＝9千米，∴CD ＝DE 2＋CE 2＝92＋402＝41（千米）， ∴两个村庄相距41千米． 故答案为：41． （2）如图2②所示：设AP ＝x 千米，则BP ＝（40－x ）千米， 在Rt △ADP 中，DP 2＝AP 2+AD 2＝x 2+242， 在Rt △BPC 中，CP 2＝BP 2+BC 2＝（40－x ）2+162， ∵PC ＝PD ，∴x 2+242＝（40－x ）2+162， 解得x ＝16， 即AP ＝16千米． 【知识迁移】：如图3，代数式x 2＋9+(16－x )2＋81的最小值为：(9＋3)2＋162＝20．28．(12分)定义：如图（1）△ABC 中，M 是BC 的中点，P 是射线MA 上的点，设APPM ＝k ，若∠BPC ＝90°，则称k 为勾股比．（1）如图（1），过B 、C 分别作中线AM 的垂线，垂足为E 、D ．求证：CD ＝BE ． （2）①如图（2），当k ＝1，且AB ＝AC 时，AB 2+AC 2＝ 2.5 BC 2（填一个恰当的数）．②如图（1），当k ＝1，△ABC 为锐角三角形，且AB ≠AC 时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；③对任意锐角或钝角三角形，如图（1）、（3），请用含勾股比k 的表达式直接表示AB 2+AC 2与BC 2的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可）． （1）证明：∵M 是BC 的中点， ∴BM ＝CM ，∵BE ⊥AM 于E ，CD ⊥AM 于D ， ∴∠E ＝∠CDM ＝90°， 在△BME 和△CMD 中，，∴△BME ≌△CMD （AAS ）， ∴CD ＝BE ；（2）①AB 2+AC 2＝2.5BC 2． 理由如下：∵AM 是△ABC 的中线， ∴PM ＝BM ＝CM ＝12BC ，∵k ＝1，∴AP ＝PM ， ∴AM ＝2PM ＝BC ，在Rt △ABM 中，AB 2＝AM 2+BM 2＝BC 2+14BC 2＝54BC 2，在Rt △ACM 中，AC 2＝AM 2+CM 2＝BC 2+14BC 2＝54BC 2，∴AB 2+AC 2＝54BC 2+54BC 2＝2.5BC 2；即AB 2+AC 2＝2.5BC 2；②结论仍然成立．设EM ＝DM ＝a ，则AE ＝AM +a ，AD ＝AM －a ，在Rt △ABE 中，AB 2＝AE 2+BE 2＝（AM +a ）2+BE 2＝AM 2+2AM •a +a 2+BE 2， 在Rt △ACD 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝（AM －a ）2+CD 2＝AM 2－2AM •a +a 2+CD 2， ∴AB 2+AC 2＝2AM 2+（a 2+BE 2）+（a 2+CD 2）， ∵BE ⊥AM 于E ，CD ⊥AM 于D ， ∴∠E ＝∠CDM ＝90°，∴a 2+BE 2＝BM 2＝14BC 2，a 2+CD 2＝CM 2＝14BC 2，∴AB 2+AC 2＝2AM 2+12BC 2，∵APPM＝1，∴AP ＝PM ， ∵∠BPC ＝90°，AM 是△ABC 的中线，∴PM ＝12BC ，若△ABC 是锐角三角形，则AM ＝AP +PM ＝PM +PM ＝（1+1）PM ＝BC ， ∴AB 2+AC 2＝2×BC 2+12BC 2＝52BC 2，即AB 2+AC 2＝2.5BC 2；③结论：锐角三角形：AB 2+AC 2＝k 2＋2k ＋22BC 2，钝角三角形：AB 2+AC 2＝k 2－2k ＋22BC 2，理由如下：设EM ＝DM ＝a ，则AE ＝AM +a ，AD ＝AM －a ，在Rt △ABE 中，AB 2＝AE 2+BE 2＝（AM +a ）2+BE 2＝AM 2+2AM •a +a 2+BE 2， 在Rt △ACD 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝（AM －a ）2+CD 2＝AM 2－2AM •a +a 2+CD 2， ∴AB 2+AC 2＝2AM 2+（a 2+BE 2）+（a 2+CD 2）， ∵BE ⊥AM 于E ，CD ⊥AM 于D ， ∴∠E ＝∠CDM ＝90°，∴a 2+BE 2＝BM 2＝14BC 2，a 2+CD 2＝CM 2＝14BC 2，∴AB 2+AC 2＝2AM 2+12BC 2，∵APPM＝k ，∴AP ＝kPM ， ∵∠BPC ＝90°，AM 是△ABC 的中线，∴PM ＝12BC ，若△ABC 是锐角三角形，则AM ＝AP +PM ＝kPM +PM ＝（k +1）PM ＝k ＋12BC ，第 1 页 共 10 页 ∴AB 2+AC 2＝2×（k ＋12BC ）2+12BC 2＝k 2＋2k ＋22BC 2， 即AB 2+AC 2＝k 2＋2k ＋22BC 2； 若△ABC 是钝角三角形，则AM ＝PM －AP ＝PM －kPM ＝（1－k ）PM ＝1－k 2BC ， AB 2+AC 2＝2×（1－k 2BC ）2+12BC 2＝k 2－2k ＋22BC 2， 即AB 2+AC 2＝k 2－2k ＋22BC 2．。

《二次根式-勾股定理》综合测试题一、选择题（每题4分，共32分）1.若a 是二次根式，则a 的值不可以是（ ）.A ．4B ．91C ．1.0D ．﹣22.下列各根式中，最简二次根式是（ ）.A ．a 8B ．61C ．222b a +D ．b a 223.下列各组能组成直角三角形的是（ ）.A ．4、5、6B ．13、14、15C ．11、12、15D ．8、15、17 4.若直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为（ ）.A ．13 B.119 C.13或119 D.不能确定 5.在△ABC 中，若C 31B 21A ∠=∠=∠，则它的三条边之比为（ ）.A.1∶1B.1∶2C.1∶4∶1 6.已知23+=a ，23-=b ，则22b a +的值为（ ）.A ．34B ．14C ．14D ．3414+7.在平面直角坐标系中，点P (3,4)到原点的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.7 8.下列定理中,没有逆定理的是（ ）.A.两直线平行，内错角相等B.直角三角形两锐角互余C.对顶角相等D.同位角相等，两直线平行二、填空题（每题3分，共18分）9.若x x -=-3)3(2，则x 的取值范围为____________. 10. 若等边三角形的边长为2cm ，则它的面积为____________.11.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面____________.（填“合格”或“不合格” ）12.如图所示，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AB=27，AC=17，若以Rt △ACB 的三边向外作正方形，则阴影部分的面积为________.13.一只蚂蚁从边长为4cm 的正方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是__________cm.14.如图,数轴上点A 所表示的数为_________.三、解答题（共70分） 15.（12分）计算： （1）()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+6815.024 （2） )52)(32(-+（3）3)154276485(÷+- （4）)625()23(2+-16.（8分）计算：（1）()202123)325()33(--+-- （2） ()()202120213232322181+-+--+AB.. 第13题图12 1AB第14题图A CB第12题图17.（5分）先化简，再求值：1231621222+-+÷-+-+x x x x x x x ，其中2=x .18.（5分）若c b a ,,为△ABC 的三边，化简：()()22a c b c b a -+---.19.（8分）如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求图中格点四边形ABCD 的周长和面积.20.（6分）如图，由于受大风的影响，一棵树在离地面2.5m 处（A ）折断，树顶落在离树干底部（C ）6m 处（B ），求这棵树在折断前的高度.DCABABC21.（8分）如图，有一底面直径为5cm 的圆柱体玻璃杯，将一根吸管竖直放在玻璃杯内，则吸管比玻璃杯长出5cm ，若如图斜放在玻璃杯内，则吸管比玻璃杯长出4cm ，问：吸管的长度是多少？22.（10分）如图所示，有一块不规则空地，∠ADC ＝90°，AD ＝12m ，CD ＝9m ，AB ＝39m ，BC ＝36m ，求这块空地的面积.23.（8分）长方形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按下图方式折叠，折痕为EF ，若使点B 与点D 重合，则点E 在AB 的什么位置.A B CDEFC ′。