3.1 直线与圆的位置关系(第3课时)

江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：教学内容二、新知探究设直线的方程和圆的方程分别是：Ax+By+C=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0如果直线和圆有公共点，由于公共点同时在直线和圆上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解。

反之，如果这两个方程没有公共解，则说明直线和圆没有公共点。

有如下结论：教学内容三、例题讲解例1 判断直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=5的位置关系。

解法1：求出圆的半径r=5，圆心（0，0）到直线的距离为：22|30405|d153(4)⨯-⨯+==+-＜所以直线与圆相交。

解法2：解方程组：223x4y50x y5-+=⎧⎨+=⎩解得：11x=-x=15y=22y=-5⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩或所以，直线与圆有两个交点，即：直线与圆相交。

例2 已知圆（x+1）2+（y-2）2=a与直线3x+4y+5=0相切，求a的值。

（引导学生预习下节课内容）解：由题意得：圆心（-1，2）到直线的距离等于半径，所以：所以a=r2=4江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：备课组别数学上课日期主备教师授课教师课题：§8.7.2直线与圆的位置关系(2)教学目标1理解并能判断直线与圆的位置关系；2学会解决直线与圆相切的问题；3通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比分析的能力；重点直线与圆相切的问题；难点直线与圆相切的问题；教法引导探究，讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、复习直线与圆的位置关系的判断方法二、巩固练习：判断下列直线l与圆C的位置关系：（1）l：10x y+-=，C：229x y+=（2）l：4380x y--=，C：()2211x y++=江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：教学内容二例题讲解例5 已知圆C的方程为2210x y+=，求过圆上一点P（3，-1）和圆相切的直线l的方程。

第三章直线与圆、圆与圆的位置关系章节概述：直线与圆、圆与圆的位置关系，是初中几何类题型中较难的部分，许多同学在学习这部分内容时，较容易忽略最基本的定义、性质，拿到题目仍感无从下手。

本节课，老师将带领同学们一起系统地全面地梳理直线与圆、圆与圆的位置关系的内容，使同学们能够清晰地理解知识要点、掌握解题思路与步骤，全面突破直线与圆、圆与圆的位置关系！§3.1 直线与圆的位置关系教学目标：1.理解相交、相切、相离的概念并掌握判断方法2.掌握切线的判定、性质与定理3.理解并掌握弦切角、切割线定理与割线定理例1：已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交、相切、相离都有可能解析：判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．特别注意：这里的5不一定是圆心到直线的距离．解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于5．此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切、相离都有可能．故选D．例2：△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．给出下列三个结论：①以点C为圆心，2.3 cm 长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4 cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2.5 cm长为半径的圆与AB相交；则上述结论中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个解析：此题是判断直线和圆的位置关系，需要求得直角三角形斜边上的高．先过C作CD⊥AB 于D，根据勾股定理得AB=5，再根据直角三角形的面积公式，求得CD=2.4．①，即d＞r，直线和圆相离，正确；②，即d=r，直线和圆相切，正确；③，d＜r，直线和圆相交，正确．共有3个正确解：①，d＞r，直线和圆相离，正确；②，d=r，直线和圆相切，正确；③，d＜r，直线和圆相交，正确．故选D．即时练习：1、已知在直角坐标系中，以点A （0，3）为圆心，以3为半径作⊙A ，则直线y =kx +2（k ≠0）与⊙A 的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．与K 值有关2、请用尺规作图：过圆上一点作已知圆的切线3、已知：直线y =kx （k ≠0）经过点（3，4）．（1）k =（2）将该直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相离（点O 为坐标原点），则m 的取值范围为例3：如图，以△ABC 的直角边AB 为直径的半圆O 与斜边AC 交于点D ，E 是BC 边的中点．若AD 、AB 的长是方程x 2-6x +8=0的两个根，则图中阴影部分的面积为解析：本题主要考查了扇形的面积计算，一元二次方程的求解，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据方程的解判断出△AOD 是等边三角形是解题的关键．先利用因式分解法解方程求出AD 、AB 的长，然后连接OD 、BD 、OE ，并判定△AOD 是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角可得BD ⊥AC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE BC DE ==21，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得OE 垂直平分BD ，然后根据勾股定理求出BD 的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长，从而得到BE 的长度，最后根据阴影部分的面积等于四边形OBED 的面积减去扇形BOD 的面积，列式进行计算即可求解．解：x 2-6x +8=0，（x -2）（x -4）=0，解得x 1=2，x 2=4，∴AD =2，AB =4，∵AB 是直径，∴AO =BO =21AB =2，连接OD ，则AO =OD =AD =2， ∴△AOD 是等边三角形，连接BD ，则BD ⊥AC ，∵E 是BC 边的中点，∴DE =BE =21BC ，连接OE ，则OE 是线段BD 的垂直平分线， 在Rt △AOD 中，3222=+=AD AB BD ，∵∠A =∠A ，∠ADB =∠ABC =90°，∴△ABC ∽△ADB ，∴AD AB BD BC =，即2432=BC ， 解得:34=BC ，BE =21BC =32，∴S 四边形OBED =2S △OBE =2×21×2×32=34，又∠BOD =180°-∠AOD =180°-60°=120°，∴S 扇形BOD =ππ343602120020=•• ∴S 阴影部分的面积=S 四边形OBED -S 扇形BOD =π3434-故答案为：π3434- 例4：如图，正方形ABCD 的边长为2，⊙O 的直径为AD ，将正方形沿EC 折叠，点B 落在圆上的F 点，则BE 的长为解析：本题考查的是切线的判定与性质，根据三角形全等判定CF 是圆的切线，然后由翻折变换，得到对应的角与对应的边分别相等，利用切线的性质结合直角三角形，运用勾股定理求出线段的长．解：如图：连接OF ，OC ．在△OCF 和△OCD 中，∵OF =OD ，OC =OC ，CF =CD ，∴△OCF ≌△OCD ，∴∠OFC =∠ODC =90°，∴CF 是⊙O 的切线．∵∠CFE =∠B =90°，∴E ，F ，O 三点共线．∵EF =EB ，∴在△AEO 中，AO =1，AE =2-BE ，EO =1+BE ，∴()()22211BE BE -+=+，解得： 32=BE ；故答案是：32． 例5：在正方形ABCD 中，E 为AD 中点，AF 丄BE 交BE 于G ，交CD 于F ，连CG 延长交AD 于H ．下列结论：①CB CG =；②41=BC HE ；③31=GF EG ；④以AB 为直径的圆与CH 相切于点G ，其中正确的是解析：本题综合考查了切线的性质与判定、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点．解答③选项时，也可以利用相似三角形的判定与性质．解：连接OG 、OC ．∵AF 丄BE ，∴∠ABE =∠DAF ；在Rt △ABE 和Rt △DAF 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∠=∠090ADF BAE DA AB DAF ABE ，∴Rt △ABE ≌Rt △DAF （ASA ），∴AE =DF （全等三角形的对应边相等）；又∵E 为AD 中点，∴F 为DC 的中点；∵O 为AB 的中点，∴OC ∥AF ，∴OC ⊥BE ，∴∠BOC =∠GOC ；在△BOC 和△GOC 中，∵()⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=公共边CO OC GOC BOC OG OB ，∴△BOC ≌△GOC ，∴∠OBC =∠OGC =90°，即OG ⊥CH ，∴以AB 为直径的圆与CH 相切于点G ；故④正确；∵以AB 为直径的圆与CH 相切于点G ，AB ⊥BC ，∴CG =CB ；故①正确；∵AD ∥BC ，∴CGHG BG EG BC HE ==；∵CG =CB ，∴HG =HE ；又∵E 为AD 中点， ∴AH =HE =HG ，即点H 为AE 的中点，∴4141==AD AD BC HE ；故②正确； ∵点F 是CD 的中点，∴AD DF 21=；∴AD AF 25=（勾股定理）； ∵21tan ===∠AD DF AG EG DAF ，∴AG =2EG ，∴AD EG AE 215== ∴AD EG 105=∴AD AG 55= ∴AD AG AG AF FG 1053==-=∴31=GF EG ；故③正确； 综上所述，正确的说法有：①②③④．故答案是：①②③④．即时练习：1、如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA =∠CBD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC =6，tan ∠CDA =32，求BE 的长． 2、已知：Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，CD 为AB 边上的中线，AC =6cm ，BC =8cm ；点O 是线段CD 边上的动点（不与点C 、D 重合）；以点O 为圆心、OC 为半径的⊙O 交AC 于点E ，EF ⊥AB 于F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线．（如图1）（2）请分析⊙O 与直线AB 可能出现的不同位置关系，分别指出线段EF 的取值范围．3、三等分角仪--把材料制成如图所示的阴影部分的形状，使AB 与半圆的半径CB 、CD 相等，PB 垂直于AD ．这便做成了“三等分角仪”．如果要把∠MPN 三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN 上，适当调整它的位置，使PB 通过角的顶点P ，使A 点落在角的PM 边上，使角的另一边与半圆相切于E 点，最后通过B 、C 两点分别作两条射线PB 、PC ，则∠MPB =∠BPC =∠CPN ．请用推理的方法加以证明．4、（2012•扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且OA =2，OC =1，矩形对角线AC 、OB 相交于E ，过点E 的直线与边OA 、BC 分别相交于点G 、H ．（1）①直接写出点E 的坐标：②求证：AG =CH ．（2）如图2，以O 为圆心，OC 为半径的圆弧交OA 与D ，若直线GH 与弧CD 所在的圆相切于矩形内一点F ，求直线GH 的函数关系式．（3）在（2）的结论下，梯形ABHG 的内部有一点P ，当⊙P 与HG 、GA 、AB 都相切时，求⊙P 的半径．例6：已知：如图，在⊙O 中，AB 是直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BCD =130°，过D 点的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为解析：考查圆与切线的位置关系及其切线角之间的关系．解：连接BD ，则∠ADB =90°，又∠BCD =130°，故∠DAB =50°，所以∠DBA =40°；又因为PD 为切线，故∠PDA =∠ABD =40°，即∠PDA =40°．例7：如图，四边形ABED 内接于⊙O ，E 是AD 延长线上的一点，若∠AOC =122°，则∠B = 度，∠EDC = 度．解析：本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．解：由圆周角定理得，∠B =21∠AOC =61°，∵四边形ADCB 内接于⊙O ，∴∠EDC =∠B =61°． 即时练习：1、如图，P A 、PB 切⊙O 于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，且∠BAC =35°，则∠P = 度．2、如图，P A 切⊙O 于A 点，C 是弧AB 上任意一点，∠P AB =58°，则∠C 的度数是 度 例8：如图，P A 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，C 为弧AB 上任意一点，过点C 作⊙O 切线交P A 于点D ，交PB 于点E ，若P A =6，则△PDE 的周长为 ．解析：本题考查了切线长定理的应用能力．解：根据切线长定理得：CD =AD ，CE =BE ，P A =PB ，则△PDE 的周长=2P A =6×2=12．例9：如图等腰梯形ABCD 是⊙O 的外切四边形，O 是圆心，腰长4cm ，则∠BOC = 度，梯形中位线长 cm ．解析：本题考查了切线长定理、等腰梯形的性质和梯形的中位线定理，是基础知识要熟练掌握．即时练习：1、如图，AB 为半⊙O 的直径，C 为半圆弧的三等分点，过B ，C 两点的半⊙O 的切线交于点P ，若AB 的长是2a ，则P A 的长是2、（2012•岳阳）如图，AB 为半圆O 的直径，AD 、BC 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，AD 与CD 相交于D ，BC 与CD 相交于C ，连接OD 、OC ，对于下列结论：①OD 2=DE •CD ；②AD +BC =CD ；③OD =OC ；④S 梯形ABCD =21CD •OA ；⑤∠DOC =90°，其中正确的是（ ） A 、①②⑤ B 、②③④ C 、③④⑤ D 、①④⑤例10：已知如图，P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，过P ，O 两点作⊙O 的割线交⊙O 于A 、B 两点，且PC =4cm ，P A =3cm ，则⊙O 的半径R = cm 解析：此题主要运用了切割线定理的有关知识来解决问题．解：∵PC 是切线，∴PC 2=P A •PB ；又∵PC =4，P A =3，∴16=3（3+AB ），∴AB =37，∴半径R =67． 即时练习：1、如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3，4，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ，则AD =2、已知：如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC =2PB ，求PB PA = ． A 组1、如图，时钟的钟面上标有1，2，3，…，12共12个数，一条直线把钟面分成了两部分．请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中的两个部分所包含的几个数分别是 和 ．2、如图，PA 为O 的切线，A 为切点，4=PA 半径3=OB 则APO ∠cos ＝ ．3、如图，AB 是O 的直径，AD 是O 的切线，点C 在O 上，3,2,//==OD AB OD BC ，则BC 的长为 .4、如图，P 是O 外一点，PB PA ,分别和O 切于C B A ，、是AB 上任意一点，过C 作O 的切线分别交PB PA 、于E D 、，若PDE ∆的周长为12，则PA 长为多少？５、如图，若正111C B A ∆内接于正ABC ∆的内切圆，则111C B A ∆与ABC ∆的面积之比． ６．如图，已知点E 是矩形ABCD 的边AB 上一点，15,3:5:==EC EA BE ，把BEC ∆沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好在AD 上，设这个点为F ．（1）求BC AB ,的长度各是多少？（2）若O 内切于以C B E F ,,,为顶点的四边形，求O 的面积．B 组７．如图，在矩形ABCD 中，AB =2,CD =4，圆D 的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O 重合，绕着O 点转动三角板，使它的一条直角边与圆D 切于点H ，此时两直角边与AD 交于F E ,两点，则EFO ∠tan 的值为．8、已知AB 是O 的直径，PB 切O 于点B ，APB ∠的平分线分别交AB BC ,于点E D ,，交O 于点PA F ,交O 于点︒=∠60,A C ，线段BD AE ,的长是一元二次方程0322=+-kx x （k 为常数）的两个根．（1）求证：AE PB BD PA ⋅=⋅；（2）求证：O 的直径为k ；（3）求FPA ∠tan ．9、如图，从O 外一点A 作O 的切线AC AB ,，切点分别为C B ,，且O 直径6=BD ，连接AO CD ,．（1）求证：AO CD //；（2）设y AO x CD ==,，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）若11=+CD AO ，求AB 的长．10、（1）已知，如图①，在平行四边形ABCD 中，F E ,是对角线BD 上的两点，且DE BF =．求证：CF AE =；（2）已知，如图②，AB 是O 的直径，CA 与O 相切于点A ．连接CO 交O 于点D ，CO 的延长线交O 于点E ．连接︒=∠30,,ABD BD BE ，求EBO ∠和C ∠的度数． §3.2 内切圆教学目标：1. 掌握内切圆的定义与作图2. 掌握内切圆的性质例1：如图，直线a 、b 、c 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站．要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 处．解析：此题考查了角平分线与内心的关系解：∵△ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC 内角平分线的交点满足条件；如图：点P 是△ABC 两条外角平分线的交点，过点P 作PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，PF ⊥AC ，∴PE =PF ，PF =PD ，∴PE =PF =PD ，∴点P 到△ABC 的三边的距离相等，∴△ABC 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．故填4．例2：如图，△ABC 中，∠C =90°，AB =c ，BC =a ，AC =b ，I 是内心，圆I 与AB 、BC 、AC 分别相切于D 、E 、F 点。