大一高数期末考试_下学期高数(下)3_高数期末试题_总结归纳

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题, 每小题4分， 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f 。

（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=(C ）(0)0f '= (D ）()f x 不可导。

2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。

（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D)()x β是比()x α高阶的无穷小。

3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ）。

（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； (B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；(C ）函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设(A ）22x （B)222x+(C ）1x - （D)2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分,共16分）5. =+→xx x sin 2)31(lim 。

6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。

8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续,=⎰1()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ，A 为常数。

高等数学（下）试卷一一、 填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 （2）已知函数arctanyz x =，则z x ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()L x y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ）A. L 平行于πB. L 在π上C. L 垂直于πD. L 与π斜交 （2）设是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =（ ）A.dx dy +B.dxD.dx （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.22530d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.24530d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D.2252d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数12nnn n x ∞=∑，则其收敛半径（ ）A. 2B. 1C. 12D. （5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分）1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 x xy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面z =与上半球面z =所围成的立体表面的外侧 (10)'2、（1）判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 ； （2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝ ；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则=⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 . 二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设(,)z f x y =是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ ）； A. 2yz xy z - B. 2yz z xy - C. 2xz xy z - D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ ）；A.2()x ax b e +B.2()x ax b xe +C.2()x ax b ce ++D.2()xax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（ ）； A222sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（ ）.2 B.1 C. 12 D.三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ . 7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy -+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段. 6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷三一． 填空题（每空3分，共15分）1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃 （C ）无穷 （D ）振荡2、积分10⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。

大一下高数期末知识点总结高等数学是大学理工科专业中的一门重要基础课程，对于理解和掌握其他专业课程具有至关重要的作用。

下面将对大一下学期高等数学的主要知识点进行总结。

一、极限与连续1. 极限的定义及基本性质- 数列极限的定义- 函数极限的定义- 极限的四则运算法则2. 确定极限的方法- 代入法- 夹逼准则- 单调有界准则- 极限的唯一性3. 连续函数- 连续函数的定义- 连续函数的基本性质- 连续函数的四则运算法则二、导数与微分1. 导数的概念- 导数的定义- 右导数与左导数- 导数与函数图像的关系2. 基本求导公式- 幂函数求导法则- 反函数求导法则- 乘积法则与商法则- 复合函数求导法则3. 高阶导数与高阶导数的求法 - 高阶导数的概念- 高阶导数的求法- Leibniz公式4. 函数的微分与线性化- 微分的定义- 微分的应用- 线性化的概念及应用三、不定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分的定义- 不定积分的线性性质- 不定积分的换元法则2. 基本初等函数的不定积分- 幂函数的不定积分- 三角函数的不定积分- 指数函数与对数函数的不定积分3. 特殊函数的不定积分- 有理函数的不定积分- 特殊三角函数的不定积分- 分部积分法四、定积分与其应用1. 定积分的概念与性质- 定积分的定义- 定积分的性质- 定积分的换元法则2. 定积分的计算方法- 几何意义与微元法- 换元法- 分部积分法3. 积分学基本定理- 积分的存在性定理- 牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的收敛性五、微分方程1. 一阶常微分方程- 可分离变量的一阶方程 - 齐次方程与非齐次方程 - 线性方程与伯努利方程2. 二阶线性常微分方程- 齐次线性方程的解- 常系数非齐次线性方程的特解- 高阶线性常微分方程总结：高等数学是一门抽象而严谨的学科，其中的知识点需要通过理论学习和大量的练习才能掌握。

以上只是大一下学期高等数学的主要知识点总结，希望能为同学们的学习提供一定的参考。

高等数学A (下册)期末考试试题【A 卷】院（系）别 班级学号姓名成绩一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a r 、b r满足0a b +=r r r ，2a =r ，2b =r ，则a b ⋅=r r．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程．2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．5、计算曲面积分,dSz∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 （本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域，求3()lim t F t t +→． -------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。

高等数学A (下册)期末考试试题【A 卷】院（系）别 班级学号 姓名成绩一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ⋅=．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程．2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnnn n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．5、计算曲面积分,dSz ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 （本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)Ix dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =30()lim t F t t+→． -------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。

大一高数下知识点总结详细大一的下学期，高等数学课程内容较为深入，学生们需要掌握更多的数学知识点。

以下是对大一高数下学期的知识点总结，帮助学生们回顾和巩固所学内容。

1. 极限与连续- 函数极限的概念和性质- 常见函数的极限计算- 无穷小量和无穷大量- 连续函数的定义和性质- 已知导函数求原函数2. 导数与微分- 导数的定义和性质- 基本的导数公式- 高阶导数与高阶微分- 隐函数的求导法则- 参数方程的求导法则3. 微分中值定理与导数应用- 罗尔定理与拉格朗日中值定理 - 洛必达法则与洛必达不定式计算 - 反函数求导法则- 曲线的凹凸性和拐点- 最值问题的求解4. 不定积分- 不定积分的定义和性质- 基本的不定积分公式- 换元法和分部积分法- 有理函数的积分- 特殊函数的积分计算5. 定积分- 定积分的概念和性质- 牛顿-莱布尼茨公式- 平均值定理和积分中值定理 - 定积分的几何应用- 参数方程下的弧长与曲线面积6. 微分方程基础- 微分方程的定义和基本概念 - 一阶常微分方程求解- 可分离变量方程和齐次方程 - 二阶线性常微分方程- 常系数线性常微分方程7. 多元函数与偏导数- 多元函数的定义和性质- 偏导数的概念及其计算- 隐函数求导与全微分- 多元函数的极值与条件极值 - 二重积分的概念和计算8. 重积分- 三重积分的概念和计算- 坐标变换与重积分的应用 - 曲线曲面的面积和体积- 重积分的物理应用- 广义积分的概念和收敛性9. 空间解析几何- 点、向量及其运算- 点线面的关系- 平面与直线的位置关系- 空间曲线与曲面- 曲线与曲面的参数方程以上是大一高数下学期的主要知识点总结，希望对广大大一学生有所帮助。

通过复习和掌握这些知识点，相信你将能够顺利应对考试，并打下坚实的数学基础。

加油！。

千里之行，始于足下。

大一高数期末考试,下学期高数3,高数期末试题,总结归纳[精品大一高数期末考试，下学期高数3，高数期末试题，总结归纳[精品]》高等数学是大学数理基础课程中的重要组成部分，对于提高学生的数学素养和逻辑思维能力具有重要意义。

下面将对大一高数期末考试试题进行总结归纳，帮助同学们更好地复习高数课程。

首先，期末考试试题涉及了高数课程的各个知识点。

在这次考试中，我们见到了微积分、极限与连续、导数与微分、等多个重点内容，这反映了高等数学的综合性质。

因此，学生在备考期末考试时，应注重同步学习，对每个知识点进行深入理解和掌握。

其次，试题中强调了理论联系实际。

高等数学不仅仅是一门理论学科，更是应用数学的基础。

通过期末考试试题，我们可以看到大量的实际问题与数学知识相结合，要求学生在解题过程中能够灵活运用数学知识，解决实际问题。

因此，学生在学习高数过程中，要有意识地与实际问题结合，进行思维拓展和练习。

再次，试题中涉及了不同难度层次的问题。

从试题的难易程度来看，有些问题属于基础性问题，需要学生熟练掌握定义、定理和公式等基础知识，能够熟练运用；而有些问题则较为复杂，需要学生深入理解知识点，并能够将其与其他知识点进行有机结合，解决问题。

因此，学生在复习高数中，要分析试题的难易程度，合理安排复习时间，注重基础知识的巩固，同时也要挑战难题，提高解题能力。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

最后，试题中体现了综合性考核。

期末考试试题涉及了多个知识点，考察学生的综合运用能力和思维逻辑能力。

因此，学生在备考期末考试时，要注重梳理知识框架，形成整体理解，通过解决综合性问题，提高应对复杂问题的能力。

通过对大一高数期末考试试题的总结归纳，我们可以发现高数课程的重要性和多样性。

只有全面掌握高等数学的核心知识和解题技巧，才能在考试中取得优异成绩。

因此，学生在日常学习中，要注重理论与实际的结合，加强基础知识的学习与巩固，注重解题思路的培养，提高数学素养和解题能力。

高数大一下学期期末总结高数是大学数学的基础课程，是建立大学数学思维与发展数学能力的重要一环。

在大一下学期中，我们学习了高等数学的第二部分，内容包括了定积分与微分方程。

通过学习这些知识，我对数学的认识有了更深入的理解，并且学到了一些解决实际问题的方法和思路。

在本篇总结中，我将回顾这个学期的学习成果，并提出自己的思考和感悟。

高数下学期的内容主要包括定积分与微分方程两个部分。

在定积分的学习中，我们学习了定积分的定义、定理、应用等内容，包括求面积、曲线长度、旋转体体积等。

定积分是微积分的核心概念之一，通过学习定积分，我对微积分的整体结构和思维方式有了更全面和深入地认识。

通过课堂上的例题演练和课后习题的完成，我对定积分的应用有了更深入的理解，并且掌握了一些解题方法和技巧。

在微分方程的学习中，我们学习了微分方程的基本概念、解的存在唯一性定理、一阶线性微分方程和常系数线性微分方程等内容。

通过对微分方程的学习，我对微分方程的基本概念有了更透彻的理解，并且通过求解一些实际问题的微分方程，我对微分方程的应用有了更深入的了解。

微分方程是数学与现实问题相结合的桥梁，通过学习微分方程，我也培养了一定的实际问题转化为数学问题的能力和思维。

同时，在解题过程中，我也了解到了数值解法和近似解法的重要性，它们在实际问题中的应用非常广泛。

在学习过程中，我遇到了一些困难和问题。

首先，定积分的应用题目往往比较复杂，需要结合数学理论和实际问题进行分析和解决。

这就需要我对数学知识的理解和掌握有一个整体的、全面的认识。

其次，微分方程的解法有多种方法，针对不同的问题需要采用不同的方法。

这就需要我具备一定的选择和判断能力，能够灵活运用所学的知识和方法解决问题。

最后，数学是一门需要大量练习的学科，学以致用才能真正理解和掌握。

因此，我要在复习总结中加强对习题的练习，提高解题的能力和效率。

通过这个学期的学习，我不仅学到了高等数学的知识，也培养了一些基本的数学思维和解决实际问题的能力。

大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解大一高等数学期末考试试卷（一）一、选择题（共12分）1.（3分）若/3= 2XXV0,为连续函数,则d的值为（）.a+ x,x>0（A）I （B） 2 （C）3 （D）-I2.（3分）已知厂⑶=2,则Ii y "7⑶的值为（）.λ→0 2hOOl （B） 3 （C）-I （D）I23.（3分）定积分∫>Λ∕1-COS23Xdx的值为（）•■⑷ 0 （B）-2 （C）I （D） 24.（3分）若/⑴在“勺处不连续,则/3在该点处（）・（A）必不可导（B）—定可导（C）可能可导（D）必无极限二、填空题（共12分）1.（3分）平面上过点（0,1）,且在任意一点（Λ∙,y）处的切线斜率为3疋的曲线方程为_________________________ .2.（ 3 分）∫ ι（x2+x4 Sin XyIX = _______ 1-3.（3 分）IilnX2 Sin丄= ・.r→υX4.（3分）y = 2√ -3√的极大值为________________ —2 （6分）设尸冕,求*JT + 1三、计算题（共42分）1.（6 分）求Iim史S.∙*→υ Sin 3x^3.（6分）求不定积分JXIn（I+十）厶.x .v<ι4.（6 分）求J /（X-1）JΛ∖其中/（x）= < l + cosχ,e' +l,x> 1.5.（6分）设函数y = f（x）由方程JO e,M + ［cos∕d∕ = 0所确定,求dy.6.（ 6 分）设 f f{x）dx = Sin + C,求j + 3）dx.7.（6 分）求极限IinJI÷-Γn→30k 2/7 7四、解答题（共28分）1.（7 分）设,Γ（lnx） = l+x,且/（0） = 1,求32.（7分）求由曲线y = cosx［-^-<x<^及X轴所围成图形绕着X轴旋I 2 2）转一周所得旋转体的体积.3.（7分）求曲线y = x3-3√÷24x-19在拐点处的切线方程•4.（7分）求函数y = x + √∏7在［-5,1］上的最小值和最大值.五、证明题（6分）设厂（X）在区间［“］上连续,证明i a f^dx = ¥ ［/（“） + f（b）］+1 ［（X - a）（x - b）fj）dx.（二）一、填空题（每小题3分，共18分）1.设函数/（χ）= 2χ2~1 ,则"1是心）的第_________ 类间断点.X -3x + 23.=∙v→∞V X)4・ 曲线 V 在点(扣)处的切线方程 为 ・5 .函数J = 2X 3-3X 2在［-1,4］上的最大值 _________________ ,最小值 __________ .二、 单项选择题(每小题4分，共20分)1.数列&”｝有界是它收敛的( )•(A)必要但非充分条件； (C)充分必要条件； 2.下列各式正确的是((B)充分但非必要条件; (D)无关条件.)・(A) je-χdx=e"x+C i(B) J In X(IX = _ + C ; (C)JI 2∕x=2hl (l 2x)+C ；(D) f —5—JX = Inlllx+ C ・' ,J XInX3-设/(x)在RM 上，广(x)>O 且厂(x)>0,则曲线y = f(x)在［“问上•6.∣∙arctanx J l +x 2(IX(小沿X轴正向上升且为凹(B)沿兀轴正向下降且为凹的；的；(D)沿X轴正向下降且为凸(C)沿兀轴正向上升且为凸的；的.则/(x)在兀=0处的导? :( )•4. 设/(*)=XInX ’⑷等于1;（C）等于O ；（D）不存在•5.已知Ihn/（x）= 2,以下结论正确的是（）•G）函数在工=1处有定义且/（1）=2 ; （B）函数在；V = I处的某去心邻域内有定义；（C）函数在2 1处的左侧某邻域内有定义；（D）函数在21处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每小题6分，共36分）1.求极限:HlnX2 sinx→0X2.已知y = ln（l + χ2）,求几3.求函数J = >0）的导数.5.J X COS XdX ・丄 16.方程y x =X y确定函数y = f（x）f求八四、（H）分）已知/为/（X）的一个原函数，求∫x2∕（x}∕x.五、（6分）求曲线,=壮7的拐点及凹凸区间.六、（10 分）设J广（√∑）/X = X（e、' +1）+C ,求/（X）・（三）填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）・±J_(1)⅛(COSX)r = ________ 石________ .(2)曲线A = Xlnx上及直线X-y + l= °平行的切线方程为y =x-∖(3 )已知f f(e x) = xe~x,且/(D = O ,则大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解/(X)= _________ /Cv)= 2(In X)________ .X 211(4)曲线V =3777的斜渐近线方程为 _______ V= 3Λ^9,二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分)・(1)下列积分结果正确的是(D )(2)函数/W 在［恥］内有定义，其导数广⑴的图形如图1-1所示, 则(D ) •(A)刁宀都是极值点.⑻ g ，/3))，(£，/(£))都是拐点.(C) F 是极值点.，U 是拐点. (D) WJy))是拐点，勺是极值点.(3) 函数y = qe v ÷C 2e-÷A -e'满足的一个微分方程是(D ).(A) /-y-2>∙ = 3xe t . (B) /-y-2y = 3e v . (C) / + y-2y = 3Λ∙e c .(D) / + y~2y = 3e r .lim∕(⅞)-∕(⅞~z0 (4) 设/W 在％处可导，则I h 为(A ) •⑷ 广仇). (B) -f ,M.(C) O. (D)不存在.(5)下列等式中正确的结果是((A) (J* /(x)"∙χ)'Z=/W-(C) 町 /(χ)"χ]=/W -) 微分方程= (V+1)-的通解为三、计算J (本 共4小题，每小题6分，共24分).y =3 _5 "3 O(或令 √Γ+χ = r)四、解答题（本题共4小题，共29分）•1. （本题6分）解微分方程r-5∕÷6j = xe -.解：特征方程r 2-5r + 6 = 0 ------------- 1分 特征解斤=2,r 2 =3. ------------ 1分 3x大一高等数学期末考试试卷及复习资料详解 恤（丄—丄）1∙求极限j X-I In —X 11. xlnx-x+1Iim (—— _ ——)IIm ---------In XIUn I XTl x-1 I---- + In xh ∖x Iim x →,X -1 + xln1.1 + In X 1 IUn -------- =— j 1 + In X +1 2Λ = In Sin t2.方程尸COSWSinf 确定V 为X 的函数,dy y ,(f)-=-一 =∕sm∕, 解 JX 十⑴求dx 及Jx 2 .（3分） (6分)arctan JX3. 4.计算不定积分J石(1+『. arctanA∕√7—— (i + χ)=21 arctan √7t∕ arctan y ∕x ——解 Hatan 仇=2 J √x(l + x)=(arctan2+C ——「一 dx4.计算定积分如+曲.'3χ(l -VTTX) 0解 分）oT7⅛7_ V dx = 一J(：(I-、/i+x)〃X（6分）LL i∖l4/1 «\ ? r V 八2.(本题7分)一个横放着的圆柱形水桶(如图4-1),桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ,水的比重为乙计算桶的一端面上所受的压力.解：建立坐标系如图3.(本题8分)设/B在S】上有连续的导数，f(u) = f(b) = θ9且∫O∕2(X)JΛ =1^试求∫>∕ω∕解:J：Xf(X)f∖x)dx = £ Xf(X)df(x) 2 分= -∫n^^W ------------ 2 分=IV 2(Λ-)⅛-|£72(X)厶一一2 分4.(本题8分)过坐标原点作曲线＞, = h^的切线，该切线及曲线y =lnx及X轴围成平面图形D.⑴(3) 求D的面积A;⑵(4) 求D绕直线X = e旋转一周所得旋转体的体积V.解:(1)设切点的横坐标为"，则曲线y = In Λ在点(⅞Jn ⅞)处的切线方程y = Inx0 + —(X-X0).氐__I分由该切线过原点知山心-1 = 0,从而心=匕所以该切线的方程为1y = -X.平面图形D的面积1V = -X(2)切线"及X轴及直线Xe所围成的三角形绕直线Xe旋转V I = -7te1所得的圆锥体积为,3 2分曲线尸IZ及X轴及直线所围成的图形绕直线Xe旋转所得的旋转体体积为V2=(oπ(e-e>)2dy9】分因此所求旋转体的体积为V=V l-V2=-^2-e y)2dy = -(5e2-∖2e + 3).五、证明题(本题共1小题，共7分)•1.证明对于任意的实数Y , eJl + x.e x = l + x + —Λ2≥l + x2解法二设fM = e x-x~^则/(0) = 0.因为f f M = e x-∖. 1 分当Xno时，f,M≥o.f(χ)单调增加，/(χ)≥∕(θ)=o.当x≤0时，∕,ω≤0.∕(Λ∙)单调增加，/(X)≥/(0) =0. 所以对于任意的实数X, ∕3≥°∙即e'≥l + I 解法三：由微分中值定理得，R -1 = “ -60 =^(X-O) = ^Xt 其中§位于0 到X 之一1分2分A = V -ey)dy = ~e~^∙解法一:2分2分1分2分间。

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分, 共16分)1.。

（A）（B)（C）（D）不可导。

2.。

（A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小; （B）是等价无穷小；(C)是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小.3.若,其中在区间上二阶可导且,则（）.(A）函数必在处取得极大值;（B）函数必在处取得极小值;(C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。

(A) （B）（C）（D）。

二、填空题（本大题有4小题,每小题4分，共16分）4. .5.。

6.。

7..三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8.设函数由方程确定,求以及.9.设函数连续，，且，为常数。

求并讨论在处的连续性。

10.求微分方程满足的解.四、解答题（本大题10分)11.已知上半平面内一曲线,过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题(本大题10分）12.过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及x轴围成平面图形D。

(1)求D的面积A；(2）求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分）13.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的,。

14.设函数在上连续,且，。

证明：在内至少存在两个不同的点，使(提示：设）解答一、单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1、D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4小题,每小题4分，共16分）5.。

6.。

7. 。

8。

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导，10.解:11.解：12.解：由,知。

，在处连续.13.解：，四、解答题（本大题10分）14.解:由已知且，将此方程关于求导得特征方程：解出特征根:其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为:五、解答题(本大题10分)15.解：（1)根据题意，先设切点为,切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16.证明：故有:证毕.证:构造辅助函数:.其满足在上连续，在上可导。

大一高数(下)2,大一下学期高数总结归纳大一高数(下)2,大一下学期高数总结归纳1．（3分）若a1,3,2,b5,1,4,则ab2.（3分）曲面某2y2z214在点(1,2,3)处的法线方程为yy2y0的通解为为周期的周期函数，则其傅里叶级数的系数表达式为3.（3分）微分方程4.（3分）设f(某)是以2an(n0,1,2,),bn(n1,2,).1.（4分）级数(1)n1n1n2为().(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性不确定2.（4分）设曲面某2y2R2与某2z2R2(R0)所围成的空间立体的体积为V,若该立体在第一卦限部分的体积是V1,则（）.:V14:1(B)V:V16:1(C)V:V18:1(D)V:V116:1(A)V3.（4分）二重积分f(某,y)d在极坐标系下的面积元素为（）.D(A)dd某dy(B)drdrd(C)ddrd(D)dr2sindrd4.（4分）若可微函数f(某,y)在点(某0,y0)处取得极小值，,则下列结论中正确的是().(A)数大于零(B)f(某0,y)在yy0处的导数等于零f(某0,y)在yy0处的导导数小于零(D)f(某0,y)在yy0处的导数不存在f(某0,y)在yy0处的(C)1.（6分）设f(某,y)e某y(y21)arctan某y,求f某(某,1).f(某,y)由方程ez某yz0所确定，求dz.2.（6分）设z1.（6分）计算二重积分(某D2y2某)d,其中D是由直线y2,y某及y2某所围成的闭区域.2.（6分）将函数f(某)ln(2某)展开为麦克劳林级数.3.（6分）在斜边边长为定数l的直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.1.（6分）计算曲线积分L某2y2ds,其中L为某2y2a2(a0),y某及某轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.2.（6分）求曲面积分I某dydzydzd某(z22z)d某dy,其中为锥面z某2y2(z1)的下侧.1.（6分）计算曲线积分132(某y2y)d某某某3dy,其中c是由直线某1,y某,y2某所围成的三角形c的正向边界.2.（6分）判别级数11的敛散性.tannnn13.（6分）求幂级数(1)n1n1(某1)nn的收敛半径和收敛区间.1.（6分）求微分方程yy4某e某在初始条件y某00,y某01下的特解.2.（6分）设曲线积分[f(某)eL某]sinyd某f(某)cosydy与路径无关,其中f(某)有一阶连续的导数,且f(0)0,求f(某).评分标准一、1.10;2.某1y2z3;1233.yC1e某C2e2某.4.an1f(某)cosn某d某,bnf(某)sinn某d某;;1二、1C;2C;3B;4B.三、1解某f(某,1)e,f某(某,1)e某.2解方程两边求微分得edzyzd某某zdy某ydz0,分3dzyzd某某zdy3分ez某y四、1解画图1分2y原式dyy(某2y2某)d某2分022193y3y2dy2分024813.1分62n1某2某3某4某n某)某(1)(1某解ln(1234n11),2分某某ln(2某)ln21ln2ln11分2222某某2n2ln2(1)(11),2234n122分234n1某某2某3某4某n1nln2(1)(2某2).234n(n1)21分3解设周长和两个直角边分别为z,则某,y,某yl,l2某2y2.1分y)某yl(l2某2y2),1分作辅助函数为F(某,由拉格朗日乘数法，F某12某0,Fy12y0,2分222l某y.22解之得唯一可能的极值点2l,2l.由问题本身的性质可知最大值一定存在，并在该点处取得，既当两个直角边分别为22l,l，斜边为l时，周长最大.222分五、1解画图1分原式=OA某2y2dsAB某2y2dsBO某2y2ds3分a2422a0某d某0adt02某2d某1分a2a2a224214a2.1分2解画图1分补充平面21:z1(某2y1)取上侧.1分由高斯公式可得I(z22z)d某dyydzd某(z22z)d某dy某dydzydzd某某dydz11(112z2)d某dydz2分1d某dy某2y21211 0d0rdrr2zdz1分32.1分六、1解画图1分由格林公式得[(某21)(某22)]d某dy3分D.2分2解由比较判别法的极限形式1分1tan1limnnn11,2分n24而级数12收敛,所以原级数收敛.3分n1n3解lian1nma1,2分nR1,1分又当某11时原级数收敛,当某11时原级数发散,2分所以原级数的收敛区间为(2,0].1分七、1解特征方程为r210,特征值是r11,r21,1分所以齐此方程的通解为yC某1eC2e某.1分因为1是特征方程的单根，故可设特解为y某某(a某b)e某,1分利用待定系数法可得a1,b1,1分于是原方程的通解为yC1e某C2e某(某2某)e某.1分将初始条件代入上式得所求特解为 ye某e某(某2某)e某.1分2解由所给条件可知[f(某)e某]cosyf(某)cosy,1分即f(某)f(某)e某.1分用常数变易法可得通解为f(某)Ce某1e某2,2分将初始条件代入上式得C12,1分所求函f(某)1某12e2e某.数为5扩展阅读：大一高数(下)2,大一下学期高数总结归纳河北科技大学《高等数学》（下）期末考试2一、填空题（共12分）1．（3分）若a1,3,2,b5,1,4,则ab.2.（3分）曲面某2y2z214在点(1,2,3)处的法线方程为.3.（3分）微分方程yy2y0的通解为.4.（3分）设f(某)是以2为周期的周期函数，则其傅里叶级数的系数表达式为an(n0,1,2,),bn(n1,2,).二、选择题（共16分）1.（4分）级数(1)nn11为().n2(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性不确定2.（4分）设曲面某2y2R2与某2z2R2(R0)所围成的空间立体的体积为V,若该立体在第一卦限部分的体积是V1,则（）.(A)V:V14:1(B)V:V16:1(C)V:V18:1(D)V:V116:13.（4分）二重积分f(某,y)d在极坐标系下的面积元素为（）.D(A)dd某dy(B)drdrd(C)ddrd(D)dr2sindrd4.（4分）若可微函数zf(某,y)在点(某0,y0)处取得极小值，,则下列结论中正确的是().(A)f(某0,y)在yy0处的导数大于零(B)f(某0,y)在yy0处的导数等于零(C)f(某0,y)在yy0处的导数小于零(D)f(某0,y)在yy0处的导数不存在三、计算题（共12分）1.（6分）设f(某,y)e某y(y21)arctan某y,求f某(某,1).2.（6分）设zf(某,y)由方程ez某yz0所确定，求dz.四、计算题（共18分）1.（6分）计算二重积分(某2y2某)d,其中D是由直线y2,y某及Dy2某所围成的闭区域.2.（6分）将函数f(某)ln(2某)展开为麦克劳林级数.3.（6分）在斜边边长为定数l的直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.五、计算题（共12分）1.（6分）计算曲线积分L某2y2ds,其中L为某2y2a2(a0),y某及某轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.2.（6分）求曲面积分I某dydzydzd某(z22z)d某dy,其中为锥面某2y2(z1)的下侧.六、计算题（共18分）1321.（6分）计算曲线积分(某y2y)d某某某3dy,其中c是由直线c某1,y某,y2某所围成的三角形的正向边界.112.（6分）判别级数tan的敛散性.nn1n3.（6分）求幂级数(1)n1n1(某1)n的收敛半径和收敛区间.n七、计算题（共12分）1.（6分）求微分方程yy4某e某在初始条件y某00,y某01下的特解.2.（6分）设曲线积分[f(某)e某]sinyd某f(某)cosydy与路径无关, L其中f(某)有一阶连续的导数,且f(0)0,求f(某).评分标准一、1.10;2.某1y2z3;1233.yC1e某C2e2某.4.an1f(某)cosn某d某,bn1f(某)sinn某d某;;二、1C;2C;3B;4B.某三、1解f(某,1)e,2分f某(某,1)e某.4分2解方程两边求微分得ezdzyzd某某zdy某ydz0,3分dzyzd某某zdy3分ze某y四、1解画图1分原式20dyy(某2y2某)d某2分2y2193y3y2dy2分024813.1分62某2某3某41某)某解ln(234某1(1)n1nn(1某1),2分某某ln(2某)ln21ln2ln11分22某某2n2ln2(1)(11),2234n122分234n1某某2某3某4某n1nln2(1)(2某2).234n(n1)21分3解设周长和两个直角边分别为z,某,y,则z某yl,l2某2y2.1分作辅助函数为F(某,y)某yl(l2某2y2),1分由拉格朗日乘数法，F某12某0,Fy12y0,2分222l某y.22解之得唯一可能的极值点2l,2l.由问题本身的性质可知最大值一定存在，并在该点处取得，既当两个直角边分别为22l,l，斜边为l时，周长最大.222分五、1解画图1分原式=OA某2y2ds402AB某2y2ds2a2BO某2y2ds3分a0某d某adt02某2d某1分a2a2a221a2.1分42解画图1分补充平面1:z1(某2y21)取上侧.1分由高斯公式可得I1某dydzydzd某(z22z)d某dy某dydzydzd某(z22z)d某dy1(112z2)d某dydz某2y211d某dy2分20drdr2zdz1分0r113.1分2六、1解画图1分由格林公式得[(某21)(某22)]d某dy3分D1111.2分222解由比较判别法的极限形式1分11tann1,2分limnn1n2而级数1收敛,所以原级数收敛.3分2n1n3解limnan1,2分1anR1,1分又当某11时原级数收敛,当某11时原级数发散,2分所以原级数的收敛区间为(2,0].1分七、1解特征方程为r210, 特征值是r11,r21,1分所以齐此方程的通解为yC1e某C2e某.1分因为1是特征方程的单根，故可设特解为y某某(a某b)e某,1分利用待定系数法可得a1,b1,1分于是原方程的通解为yC1e某C2e某(某2某)e某.1分将初始条件代入上式得所求特解为ye某e某(某2某)e某.1分2解由所给条件可知[f(某)e某]cosyf(某)cosy,1分即f(某)f(某)e某.1分1用常数变易法可得通解为f(某)Ce某e某,2分 21将初始条件代入上式得C,1分2所求函数为f(某)1某1某ee.1分22。

大一第二学期高数期末测验一.单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无限小,但不是等价无限小; （B ）()()x x αβ与是等价无限小;（C ）()x α是比()x β高阶的无限小; （D ）()x β是比()x α高阶的无限小. 3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰,个中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值; （B ）函数()F x 必在0x =处取得微小值;（C ）函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点;（D ）函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不曲直线()y F x =的拐点.（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二.填空题（本大题有4小题,每小题4分,共16分） 4. =+→xx x sin 2)31(lim .5.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则. 6.lim(coscos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三.解答题（本大题有5小题,每小题8分,共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=肯定,求'()y x 以及'(0)y . 9.设函数)(x f 持续,=⎰1()()g x f xt dt,且→=0()lim x f x A x ,A 为常数.求'()g x 并评论辩论'()g x 在=0x 处的持续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=知足=-1(1)9y 的解. 四. 解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ,过点(,)01,且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴.y 轴.直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.五.解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线,该切线与曲线x y ln =及x轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x = e 扭转一周所得扭转体的体积V .六.证实题（本大题有2小题,每小题4分,共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上持续且单调递减,证实对随意率性的[,]∈01q ,1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上持续,且)(0=⎰πx d x f ,0cos )(0=⎰πdx x x f .证实：在()π,0内至少消失两个不合的点21,ξξ,使.0)()(21==ξξf f （提醒：设⎰=xdxx f x F 0)()(） 解答一.单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.D 2.A 3.C 4.C二.填空题（本大题有4小题,每小题4分,共16分）5.6e . 6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三.解答题（本大题有5小题,每小题8分,共40分）9. 解：方程双方求导0,0x y ==,(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12.解：由(0)0f =,知(0)0g =.02()()lim ()lim22xx x xf x f u duA A g x A x→→-'==-=⎰,'()g x 在=0x 处持续.13. 解：2ln dy y xdx x +=1(1),09y C =-=,11ln 39y x x x=- 四. 解答题（本大题10分）14.解：由已知且02d xy y x y'=+⎰,将此方程关于x 求导得y y y '+=''2特点方程：022=--r r 解出特点根：.2,121=-=r r其通解为x x e C e C y 221+=-代入初始前提y y ()()001='=,得 31,3221==C C故所求曲线方程为：xx e e y 23132+=-五.解答题（本大题10分）15.解：（1）依据题意,先设切点为)ln ,(00x x ,切线方程：)(1ln 000x x x x y -=-因为切线过原点,解出e x =0,从而切线方程为：x e y 1=则平面图形面积⎰-=-=1121)(e dy ey e A y（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1,则2131e V π=曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得扭转体体积为V 2D 绕直线x = e 扭转一周所得扭转体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六.证实题（本大题有2小题,每小题4分,共12分）16.证实：1()()qf x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())qqqf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰故有：1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx证毕.证：结构帮助函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0.其知足在],0[π上持续,在),0(π上可导.)()(x f x F =',且0)()0(==πF F由题设,有⎰⎰⎰⋅+===ππππ0)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ,有⎰=πsin )(xdx x F ,由积分中值定理,消失),0(πξ∈,使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分离运用罗尔定理,知消失),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈,使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ,即0)()(21==ξξf f .。

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x（B ）（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f x x.7. lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n n ππππ . 8. .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10.11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，，且，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线及x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍及该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线及曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且，.证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e .6..7. 2π. 8..三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10.解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()x xd e --=-+⎰⎰232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令12.解：由(0)0f =，知(0)0g =。

大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳河北科技大学高等数学（下）考试试题3一、填空题(每题4分,共16分)1.(4分)级数un收敛的必要条件是.n12.(4分)交换二次积分的次序0dy0f(x,y)dx=.3.(4分)微分方程y4y4y2xe2x 的一个特解形式可以设为.4.(4分)在极坐标系下的面积元素d.二、选择题(每题4分,共16分)221.(4分)已知曲面z4xy上点P处的切平面平行于平面1y2x2yz10,则点P的坐标是().A.(1,-1,2);B.(-1,1,2);C.(1,1,2);D.(-1,-1,2).2.(4分)级数(1)n1n11n32为（）.A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.3.(4分)若是锥面xyz被平面z0与z1所截下的部分,则曲面积分(xy)dS().22222A.C.220d0rrdr;B.0d0rrdr;12120drrdr;D.12020drrdr.2120nn3xn14.(4分)幂级数(1)的收敛半径为().n1n11A.R2;B.R;C.R3;D.R.23三、解答题(每题7分,共63分)1．(7分)设zsin(xy)exy,求dz.2．(7分)计算三重积分Ixdxdydz,其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域.3．(7分)求I(1yz)dS,其中是平面yz5被圆柱面x2y225截出的有限部分.(1)n(x1)n的收敛域.4．(7分)求幂级数nn15．(7分)将f(x)1展开为麦克劳林级数.22xxxx6．(7分)求曲线积分IL(esinyy)dx(ecosy1)dy,其中L为x2y2ax上从A(a,0)到O(0,0)的上半圆周.7．(7分)求微分方程y2xy4x在初始条件yx03下的特解.8．(7分)求曲面积分I(x1)dydz(2y2)dzdx(3z3)dxdy,其中为曲面xyz4的内侧.9．(7分)计算曲线积分I(xy)ds,其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)L222为顶点的三角形折线.四、(5分)试确定参数t的值,使得在不含直线y0上点的区域上,曲线积分x(x2y2)tx2(x2y2)tIdxdy与路径无关，其中C是该区域上一条2yyC光滑曲线，并求出当C从A(1,1)到B(0,2)时I的值.评分标准一、1.limun0;2.0dxxf(x,y)dy;n113.y*x2(Ax2BxC)e2x;4.drdrd.二、1.C;2.A;3.D.4.D.三、1.解zxcosx3分(y)yexy(y)xezycosx3分xy7分dz[cosx(y)ye]dx[cosx(yx)yxedyxy2.解I0dx111x20dy1xy20xdz3分0xdx1x20(1x2y)dy5分110(x2x2x3)dx6分417分483.解:z5y1分2分D:x2y22522I(1y5y)1zxzydxdy4分D62dxdy6分D7分15024.解R12分当x2时收敛4分当x0时发散6分收敛域为(0,2].7分11115.解2分22xx31xx212113分x31x6(1)21n1nxx(1)5分3n06n021n1n1(1)n1x6分3n02n7分x16.解Pesinyy,Qecosy11分xxQP13分xy由格林公式得Idxdy6分Da12a7分2287.解ye2xdx2C4xexdx3分x22eCex2[C2ed(x2)]4分x225分将yx03代入上式得C16分所求特解为yex227分8.解利用高斯公式得4分I6dv46分643327分(x)ydsx)yds9.解I(xy)ds(OAOBBA112分(xy)dsxdx02OA11(xy)dsydy4分02OBBA6分(xy)ds0(x1x)2dx217分I12Px(x2y2)t1222(2tyxy)四、解1分2yyQ2x(x2y2t)1222(xytx)2分2xy令PQ22可得(2t1)(xy)0yx1因为y0,所以t3分2因曲线积分与路径无关,故取从点A(1,1)经点D(0,1)到点B(0,2)的折线积分I10xx12dx04分5分扩展阅读：大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳武汉科技大学高等数学（下）考试试题3一、填空题(每题4分,共16分)1.(4分)级数un收敛的必要条件是.n12.(4分)交换二次积分的次序3.(4分)微分方程0dy0f(x,y)dx=.1yy4y4y2xe2x的一个特解形式可以设为.4.(4分)在极坐标系下的面积元素d.二、选择题(每题4分,共16分)1.(4分)已知曲面z4x2y2上点P处的切平面平行于平面2x2yz10,则点P的坐标是().A.(1,-1,2);B.(-1,1,2);C.(1,1,2);D.(-1,-1,2).2.(4分)级数(1)n1n11n32为（）.A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.3.(4分)若是锥面x2y2z2被平面z0与z1所截下的部分,则曲面积分22(xy)dS().A.C.22;B.drrdrdr0000rdr;12120d0r2rdr;D.20d0r2rdr.1214.(4分)幂级数(1)n1n13nxnn的收敛半径为().A.11R2;B.R;C.R3;D.R.23三、解答题(每题7分,共63分)1．(7分)设zsin(x2．(7分)计算三重积分Iy)exy,求dz.xdxdydz,其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域.3．(7分)求I(1yz)dS,其中是平面yz5被圆柱面x2y225截出的有限部分.4．(1)n(x1)n的收敛域.(7分)求幂级数nn15．(7分)将1f(x)2xx2展开为麦克劳林级数.6．(7分)求曲线积分IL(exsiynydx)ex(ycosdy,1其中L为x2y2ax上从A(a,0)到O(0,0)的上半圆周.7．(7分)求微分方程y2xy4x在初始条件yx03下的特解.(x1)dydz(2y2)dzdx(3z3)dxdy,其中8．(7分)求曲面积分I为曲面x2y2z24L 的内侧.9．(7分)计算曲线积分I角形折线.(xy)ds,其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三y0上点的区域上,曲线积分四、(5分)试确定参数t的值,使得在不含直线x(x2y2)tx2(x2y2)tIdxdy与路径无关，其中C是该区域上一条光滑曲线，2yyC并求出当C从评分标准一、1.limunnA(1,1)到B(0,2)时I的值.0;2.0dxxf(x,y)dy;113.二、y*x2(Ax2BxC)e2x;4.drdrd.1.C;2.A;3.D.4.D.三、1.解3分zxcos(xy)yexy分2.解zycos(xy)xexy3分7dz[cos(xy)yexy]dx[cos(xy)xexy]dyI0dx111x20dy01x2yxdz3分0xdx1x20(1x2y)dy5分110(x2x2x3)dx6分417分483.解1分:z5y2分D:x2y22522I(1y5y)1zxzydxdy4分D62dxdy6分D7分15024.解R12分当x2时收敛4分当x0时发散6分收敛域为(0,2].7分5.解11112分22xx31xx2113分31x6(1x)21n1xx(1)n5分3n06n02111(1)nn1xn6分3n02n7分x16.解Pex1分sinyy,Qexcosy1QP13分xy由格林公式得I6分dxdyD2a1a27分228x27.解ye2xdxC4xedxx23分ex2[C2ed(x2)]4分Cex225分将yx03代入上式得C16分x2所求特解为ye8.解利用高斯公式得27分4分I6dv9.解46分643327分I(xy)ds(xy)ds(x)ydsOAOBBA112分(xy)dsxdx02OA11(xy)dsydy4分02OBBA6分(xy)ds0(x1x)2dx217分I12四、解Px(x2y2)t1222(2tyxy)1分2yyQ2x(x2y2)t1222(xytx)2分2xyPQ22令可得(2t1)(xy)0yx因为13分y0,所以t2因曲线积分与路径无关,故取从点0A(1,1)经点D(0,1)到点B(0,2)的折线积分I1xx12dx04分5分友情提示：本文中关于《大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳：该篇文章建议您自主创作。

大一第二学期高数期末考试一、单项选择题 （本大题有4小题, 每小题4分， 共16分)1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f 。

（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=(C ）(0)0f '= (D ）()f x 不可导。

2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα。

（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D)()x β是比()x α高阶的无穷小。

3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ,则( ）。

（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； (B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；(C ）函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设(A ）22x （B)222x+(C ）1x - （D)2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分,共16分）5. =+→xx x sin 2)31(lim 。

6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ 。

8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续,=⎰1()()g x f xt dt,且→=0()limx f x A x ，A 为常数。

第⼆学期⾼数（下）期末考试试卷及答案第⼆学期期末⾼数（下）考试试卷及答案⼀、填空题?每空 ? 分，共 ?? 分? ?设()=?22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe曲⾯sin cos =?z x y 在点,,??1442ππ处的切平⾯⽅程是--+=210x y z交换累次积分的次序：()(),,-+12330010xdy f x y dx dy f x y dx=(),-??2302x x dx f x y dy设闭区域是由分段光滑的曲线?围成则：使得格林公式： ??-=+ D LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成⽴的充分条件是：()(),,和在D上具有⼀阶连续偏导数P x y Q x y其中?是的取正向曲线级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33⼆、单项选择题 ?每⼩题分共 ?分?当→0x ，→0y 时函数+2423x yx y 的极限是()D等于 ? ?? 等于13等于14不存在函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()C充分必要条件 ??充分但⾮必要条件 ?必要但⾮充分条件 ?? 既⾮充分⼜⾮必要条件 ?设()cos sin =+x z e y x y ，则==10x y dz()=Be ()+e dx dy ?? ()-+1e dx dy ?? ()+x e dx dy若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛则此级数在=2x处()A绝对收敛 ??条件收敛发散 ??收敛性不确定 ?微分⽅程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()D3xae ??()+3x ax b e()+3xx ax b e ??()+23xx ax b e三（分）设⼀平⾯通过点(),,-312 ⽽且通过直线-+==43521x y z求该平⾯⽅程解：()(),,,,,--312430A B(),,∴=-142AB 平⾏该平⾯∴该平⾯的法向量()()(),,,,,,=?-=--5211428922n ∴所求的平⾯⽅程为：()()()----+=83912220x y z 即：---=8922590xy z四（分）设(),=yz f xy e其中(),f u v 具有⼆阶连续偏导数试求??zx和2zx y解：令=uxy ，=y v e=u zyf x ()()==++2y u u uu uvz yf f y xf e f x y y五（分）计算对弧长的曲线积分L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第⼀象限所围区域的边界解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥2 2200xy R x y2L ：()=≤≤00x y R 3L ：()=≤≤00y x R∴===123LL L L⽽Re ==1202RR L e Rdt ππ==-??201Ry R L e dy ex R L e dx e故：()Re =+-?212R R Le π六、（分）计算对⾯积的曲⾯积分∑? ++423z x y dS其中∑为平⾯++=1234x y z在第⼀卦限中的部分解：xy D ：≤≤≤≤-??023032x yx=3∑?∴++== ??42433xyDz x y dS dxdy-==??32七（分）将函数()=++2 143f x x x 展开成x 的幂级数解：()??=-=?-? ?+++??+1111111 21321613f x xx x x ⽽ ()∞=?=-+∑01111212n nn x x (),-11 ()∞=-?=+∑01116313nn n n x x (),-33()()∞+=??∴=-+ ∑10 111123nnn n f x x (),-11⼋（分）求微分⽅程：()()+-+-+=4 2322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解解：==-263P Q∴原⽅程为：()()??++-+-=??4223225333x dx y dy xy y dx x y xy dy =++-= ?532231332dx d y d x y y x=++-= ?5322313032d x y x y y x通解为：++-=532231332x y x y y x C 九幂级数：()()=++++++246212462nx x x x y x n()(),∈-∞∞x试写出()()'+y x y x 的和函数（分）利⽤第问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数（分）解：、()()-'=+++++-35213521n x x x y x x n (),-∞∞ 于是()()!!'+=++++=23123x x x y x y x x e (),-∞∞、令：()()!∞==∑202nn x S x n由知：()()'+=x S x S x e 且满⾜：()=01S 通解：()()--=+=+?12xx xxx Sx eC e e dx Cee 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12x x S x e e⼗设函数()f t 在(),+∞0上连续且满⾜条件()Ω=+11tf t fdv π其中Ωt 是由曲线?=?=?2z ty x 绕z 轴旋转⼀周⽽成的曲⾯与平⾯=zt ?参数>0t ?所围成的空间区域。

大一高数下册知识点归纳总结高等数学是大学理工科专业中的一门基础课程，也是学习数学的重要一环。

下面将对大一高数下册的知识点进行归纳总结，以便帮助同学们更好地掌握和复习这些内容。

一、向量代数与空间解析几何1. 向量的基本概念与运算：- 向量的定义与表示方法- 向量的模、方向及单位向量- 向量的加法、减法和数量乘法- 向量的数量积和向量积运算2. 空间直线与平面：- 点、直线、平面的基本概念- 直线的方程与相关性质- 平面的方程与相关性质二、多元函数与极限1. 多元函数的定义和性质：- 多元函数的定义与表示- 多元函数的极限和连续性2. 偏导数与全微分：- 偏导数的概念与计算方法 - 高阶偏导数与混合偏导数 - 全微分的定义与计算3. 多元函数的导数与微分：- 方向导数与梯度- 多元复合函数的导数与微分4. 隐函数与参数方程的微分： - 隐函数的导数计算- 参数方程的微分计算三、微分学应用1. 函数的极值与最值问题：- 极值的判定条件与计算方法 - 条件极值问题2. 函数的曲率与凹凸性：- 曲率的概念与计算方法- 凹凸性的判定条件与计算方法3. 泰勒展开与函数的近似计算： - 泰勒展开的定义与计算- 数值微分与数值积分的应用四、重积分与曲线积分1. 重积分的概念与计算：- 二重积分的定义与计算方法 - 三重积分的定义与计算方法2. 重积分的应用：- 质量、质心与转动惯量的计算 - 重心与形心的计算3. 曲线积分的概念与计算：- 第一类曲线积分的定义与计算 - 第二类曲线积分的定义与计算4. 曲线积分的应用：- 曲线长度与质量的计算- 流量与环量的计算五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：- 常微分方程的定义与分类- 初值问题与解的存在唯一性2. 一阶常微分方程的解法：- 可分离变量的方程- 齐次方程与恰当方程- 线性方程3. 高阶常微分方程的解法：- 齐次线性方程与常系数线性方程- 非齐次线性方程4. 常微分方程的应用：- 弹簧振动与电路分析- 生物学问题与经济学模型通过以上对大一高数下册知识点的归纳总结，我们可以更好地理解和回顾这些内容，为今后的学习打下坚实的基础。

大一第二学期高数期末考试、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)cos X ］设 f (x) (Xsin x )，则在 x 0 处有(f (0))(A )f (0)2(B)1(C) f (0)(D) f (X )不可导.解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9 v¥(x ) ° y设函数八⑴由方程sin (xy)1 确定，求 y®以及y (° ) •1 X ，_10x(l7dx.)设 f (X)13 f (x)dx e111■ 12g(x)f lim3A 0设函数连续，‘且,A 为常数•求s(x)2.设(X3 3sX,则当x⑷穷 小；(X )与(X )是同阶无穷小，但不是等价无穷小; (B) (X )与❾是等价无(0(X )是比(X )高阶的无穷小;(D)(x)是比(x)高阶的无穷小. 3.若贝9((B) (0 (D) F(x))函数 函数 函数函数 汽1)”，其中f(x)在区间上(「二阶可导且f (X )F E 必在X 0处取得极大值； F (J 必在xO 处取得极小值；F (x)在 x /o0处没有极值，但点(。

, F®在% 0处没有极值，点(0>F (0))设f (x)是连续函数，且2 2-------- 2(A)2 (B)2f(x) x (C)F ⑹〉为曲线y F (')的拐点；y 也不是曲线F(x)的拐点。

1 o f (t) dt (D) 16分)25 lim x 0(13x)k■ 6 已知 曲是f (X)的一个原函数 Xf (x) £0!i dxX• 11一(cos'— n n2COS7 m•nX 2 .arcs in x :dx填空题(本大题有4小题，每小题4分，o♦YV2y xln x 满足丫⑴13•求微分方程xy并讨论£(乂)在灭o处的连续性四、解答题(本大题10分)14.已知上半平面内一曲线yy(x) (x0),过点怡且曲线上任一点M(X。