导数综合测试

高等数学导数与微分综合测试题（3）一、选择题1．设函数()n f x =()f x 在(),-∞+∞内________.A 处处可导B 恰有一个不可导点C 恰有两个不可导点D 至少有三个不可导点2．若()()f x f x =--，且在()0,+∞内()()0,0,f x f x '''>>则在(),0-∞内必有 A ()()0,0f x f x '''<< B ()()0,0f x f x '''<> C ()()0,0f x f x '''>< D ()()0,0f x f x '''>>3．设2,0,(),0,x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处________. A 极限不存在 B 极限存在，但不连续 C 连续，但不可导 D 可导 4．设函数()f x 可导，()()()1F x f x sin x =+,则()0f 0=是()F x 在0x =处可导的________.A 充分必要条件B 充分条件，但非必要条件C 必要条件，但非充分条件D 既非充分条件，又非必要条件 5．()()000limx x f x f x x x →--存在的充要条件是（ ）A ()00f x =B ()f x 在0x 点连续C ()00f x '=D ()f x 在0x 处可导 6．设函数()f x 在点x a =处可导，则函数()f x 在点x a =处不可导的充分条件是______.A ()0f a =且()0f a '=B ()0f a =且()0f a '≠C ()>0f a 且()0f a '>D ()<0f a 且()0f a '< 7．设函数()f x 连续，且()00f '>，则存在0δ>，使得_______. A ()f x 在()0,δ内单调增加 B ()f x 在()0,δ-内单调减少C 对任意的x ∈()0,δ，有()f x ()0f >D 对任意的x ∈()0,δ-，有()f x ()0f > 8．设()f x '在[]a,b 上连续，且()>0f a '，()<0f b '，则下列结论错误的是_______.A 至少存在一点()0x a,b ∈，使得()()0f x f a >B 至少存在一点()0x a,b ∈，使得()()0f x f b >C 至少存在一点()0x a,b ∈，使得()0=0f x 'D 至少存在一点()0x a,b ∈，使得()0=0f x 二. 填空题1.设函数()=y f x 由方程2ln +4xy x =y 所确定，则曲线()=y f x 在点()1,1处的切线方程是_____________. 2．函数()1sin ,xy x =+则x dyπ==_____________.3．设3(),(1),tx f t y f e π=-⎧⎨=-⎩其中f 可导，且()00f '≠，则t 0dy dx ==______________.4．已知函数()y y x =由方程2610y e xy x ++=－确定，则()0y ''=______________. 5．设)(x f 为可导函数，且满足条件()()11lim12x f f x x→--=-，则曲线()y f x =在点()()11,f 处的切线斜率为_____________.6．设函数()f x 有任意阶导数，且()()2f x f x '=，则()()n f x ＝_____________. 7．设sin 2,x y =则dydx＝_____________. 8．22,()d yy f f x dx=已知具有二阶导数，则=_____________.三、计算题与证明题1．求函数()()ln 1+2f x x x ＝在0x =处的n 阶导数()()(n)0n 3f ≥.2．设函数()f x 在0x =可导，且()()0000f f '≠≠，，若()()()20af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.3．已知()f x 是周期为5的连续函数，它在0x =的某邻域内满足关系式()()()1sin 31-sin 8,f x f x x x α-=+＋其中()x α是0x →时是比x 高阶的无穷小，且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在点()()6,6f 处的切线方程. 4．设()()0101,f f '==-，求下列极限：（1）()222lim 21x x xf x →--- （2）()021lim x x f x x→-5．设函数()y y x =由方程()f y yxee =确定的，其中f 具有二阶导数且()1,f x '≠求22d y dx.6. 设函数()f x 在x a =可导，且()0f a ≠，求()1lim xx f a x f a →∞⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 7. 设()222x y f f ⎡⎤=⎣⎦求dydx.四．证明题1. 设()(),f x g x 的定义域为(),-∞+∞，且它们在点0x 可导，证明：()()()00,,,,f x x x h xg x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0x 可导的充要条件是：()()()()0000,.f x g x f x g x ''==2. 设()[]f x C a,b ∈，()()f a f b 0,==且()()0,0.f a f b +-''<<证明：()f x 在(),a b 内必有一个零点.高等数学导数与微分综合测试题（3）答案一、选择题1．C 2．C 3．D 4．A 5． C 6．B 7．C 8．D 二、填空题1. -0x y = 2．dx π- 3．3 4．-2 5．-2 6． ()1!n n fx + 7．1ln 2sin 22sin x x⋅⋅ 8．321144f f x x -'''⋅-三、计算题与证明题1．解：由莱布尼兹公式及()()()()()111!ln 1+1k k kk x x ---=⎡⎤⎣⎦+(k 为正整数)，得 ()()()()()()()()()()()n-13111!-12!-13!-1111n-2n-(n)2n n-n-2-n -n -n -fx x+2nx +n n +x +x +x =，所以()()()()()13()1!0113!2n n n n fn n n n ---=---=-.2．解：由于()()()0lim 200h af h bf h f →+-=，所以()()-=100a+b f ，由于()≠00f ，故-=10a+b .又因()()()()()()()001lim lim 0==h h af h +bf 2h -f 0af h +-a f 2h -f 0h h→→()()()()000lim lim ((+=0)+20)h h a f h -f 2h f 2h f =af f h h →→⎡⎤⎣⎦''－－， 由此得2,1a b ==-.3．解：()()()0lim 1sin 31sin lim 8,x x f x f x x a x →→--=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦＋得()()131f f 0－＝，故 ()10f ＝。

完整版)导数测试题(含答案)1.已知函数y=f(x)=x^2+1，则在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为0.41.2.函数f(x)=2x^2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率为4+4Δx。

3.设f′(x)存在，则曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线与x 轴相交但不垂直。

4.曲线y=-1/x在点(1，-1)处的切线方程为y=x-2.5.在曲线y=x^2上，且在该点处的切线倾斜角为π/4的点为(2,4)。

6.已知函数f(x)=1/x，则f′(-3)=-1/9.7.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(2,∞)。

8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的充要条件。

9.函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有2个。

10.函数f(x)=-x^2+4x+7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是f(3)和f(5)。

11.函数f(x)=x^3-3x^2-9x+k在区间[-4,4]上的最小值为-71.12.速度为零的时刻是0,1,4秒末。

13.已知函数 $y=f(x)=ax^2+2x$，且 $f'(1)=4$，则 $a=3$。

14.已知函数 $y=ax^2+b$ 在点 $(1,3)$ 处的切线斜率为 $2$，则 $b=a+1$。

15.函数 $y=x e^x$ 的最小值为 $-1/e$。

16.有一长为 $16$ m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 $64$ $m^2$。

17.(1) $y'=6x+\cos x$；(2) $y'=\dfrac{1}{(1+x)^2}$；(3)$y'=\dfrac{1}{x}-e^x$。

18.(1) 解方程 $x^2+4=x+10$ 得 $x=3$ 或 $x=-2$，故交点为 $(3,13)$ 或 $(-2,0)$；(2) 在交点 $(3,13)$ 处，抛物线的斜率为 $6$，故该点处的切线方程为 $y=6x-5$。

导数与函数倒数测试题1. 某函数 f(x) 在区间 [-2, 3] 上连续且可导，已知 f(-2) = 4，f(3) = 1。

求函数 f(x) 在区间 [-2, 3] 上的所有驻点和极值点。

解析：首先，我们要求函数的导数，并找到所有可能的导数值为零的点，即驻点。

然后，通过判断驻点的二阶导数符号来确定驻点是极大值点还是极小值点。

因为题目中已经说明函数连续可导，所以我们可以使用导数的定义进行计算。

导数的定义是：f'(x) = limit[(Δx -> 0) (f(x+Δx) - f(x))/Δx]对于给定的函数 f(x)，我们可以使用有限差分法来计算导数。

在区间 [-2, 3] 上，我们将Δx 设置为一个较小的值（如0.01），计算每个点的导数值。

如果某个点的导数值接近于零，我们可以认为它是一个驻点。

下面是使用有限差分法计算函数 f(x) 在区间 [-2, 3] 上的导数值的代码示例（假设使用 Python 编程语言）：```pythondef finite_difference(f, x, delta):return (f(x + delta) - f(x)) / deltadef f(x):# 输入函数 f(x) 的定义return ...delta = 0.01x = -2.0while x <= 3.0:# 计算每个点的导数值derivative = finite_difference(f, x, delta)if abs(derivative) < 0.001:# 导数值接近于零，认为是一个驻点print("驻点:", x)x += delta```通过运行以上代码，我们可以得到函数 f(x) 在区间 [-2, 3] 上的所有驻点。

接下来，我们要判断每个驻点是极大值点还是极小值点。

根据驻点x，我们可以计算二阶导数 f''(x) 的值。

【高二】导数的概念综合测试题(含答案)选修2-21.1第2课时导数的概念我1．函数在某一点的导数是( )a、此时函数值增量与自变量增量之比b．一个函数c、是常数，不是变量d．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答：]C[解析] 由定义，f′(x0)是当δx无限趋近于0时，δyδx无限趋近的常数，故应选c.2.如果粒子a按照s=3t2定律移动，则t0=3时的瞬时速度为（）a．6 b．18c、 54d、 81[答案] b[分析]∵ s（T）=3t2，t0=3，∴δs＝s(t0＋δt)－s(t0)＝3(3＋δt)2－3?32＝18δt＋3（δt）2∴ δsδt＝18＋3δt。

当δt→0时，δsδt→18，故应选b.3.y=x2在x=1处的导数为（）a．2x b．2c、 2＋δxd.1[答案] b[分析]∵ f（x）=X2，x=1，∴δy＝f(1＋δx)2－f(1)＝(1＋δx)2－1＝2?δx＋(δx)2∴ δyδx＝2＋δx当δx→0时，δyδx→2‡f′（1）=2，因此应选择B4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的瞬时速度为( )a、 37b、 38c．39 d．40[答：]d[解析] ∵δsδt＝4(5＋δt)2－3－4×52＋3δt＝40＋4δt，∴s′（5）＝limδt→0δsδt＝limδt→0（40＋4δt）＝40。

因此，D5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( )a、δy＝f（x0＋δx）-f（x0）称为函数值的增量b.δyδx＝f(x0＋δx)－f(x0)δx叫做函数在x0到x0＋δx之间的平均变化率c、 F（x）在x0处的导数写成y′d．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)[答：]C[解析] 由导数的定义可知c错误．故应选c.（X.XF=0）的导数可以表示为（X.XY′）的函数a．f′(x0)＝f(x0＋δx)－f(x0)b、f′（x0）＝limδx→0[f（x0＋δx）－f（x0）]c．f′(x0)＝f(x0＋δx)－f(x0)δxd、f′（x0）＝limδx→0f（x0＋δx）－f（x0）δx[答案] d【分析】从导数的定义，我们知道D是正确的。

导数及其应用测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.（2007·海南、宁夏文，10）曲线y =e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ） A .49e 2B .2e2C .e2D .2e 22.（2008·福建文，11）如果函数y =f (x )的图象如图所示，那么导函数y =)(x f '的图象可能是 ( )3.设f (x )=x 2(2-x ),则f (x )的单调增区间是（ ）A .(0,)34 B .(+∞,34)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(34,+∞）4.(2008· 广东文，9）设a ∈R,若函数y =e x +ax ,x ∈R 有大于零的极值点，则 ( )A .a ＜-1B .a ＞-1C .a ＜-e1 D .a ＞-e15.已知函数y =f (x )=x 3+px 2+qx 的图象与x 轴切于非原点的一点，且y 极小值=-4，那么p 、q 的值分别为 （ ）A .6,9B .9,6C .4,2D .8,66.已知x ≥0,y ≥0，x +3y =9,则x 2y的最大值为（ ） A .36 B .18 C .25 D.42 7.下列关于函数f (x )=(2x -x 2)e x的判断正确的是（ ）①f (x )＞0的解集是{x |0＜x ＜2}; ②f (-2)是极小值，f (2)是极大值； ③f (x )没有最小值，也没有最大值.A .①③B .①②③C .②D .①②8.函数f (x )的图象如图所示，下列数值排序正确的是 ( )A .0＜)2('f ＜)3('f ＜f (3)-f (2)B .0＜)3('f ＜f (3)-f (2) ＜)2('fC .0＜f (3)＜)2('f ＜f (3)-f (2)D .0＜f (3)-f (2)＜)2('f ＜)3('f 9.设f (x )=x 3+x ,则x x f d )(22-⎰的值等于（ ）A .0B .8C .x x f d )(20⎰ D .xx f d )(20-⎰10.函数f (x )=x 3-ax 2-bx +a 2,在x =1时有极值10，则a 、b 的值为 （ ）A .a =3,b =-3，或a =-4,b =11B .a =-4,b =11C .a =3,b =-3D .以上都不正确 11.设f (x )=22e x x+-,g (x )=xxe ,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),若有kx f )(1≤1)(2+k x g 恒成立，则A .（0，1）B .（0，+∞）C .［1，+∞）D .［1e 212-，+∞） 12.定义在R 上的可导函数f (x ),已知y =e )(x f '的图象如图所示，则y =f (x )的增区间是（ ）A .(-∞,1)B .(-∞,2)C .(0,1)D .(1,2)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F 与缩短的距离l 按胡克定律F =kl 计算.今有一弹簧原长90 cm ，每压缩1 cm 需0.049 N 的压缩力，若把这根弹簧从80 cm 压缩至60 cm （在弹性限度内），则外力克服弹簧的弹力做了多少功 .14.如图所示，曲线y =x 2-1及x 轴围成图形的面积S 为 . 15.若函数f (x )=142+x x在区间（m ,2m +1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是 .16.已知函数f (x )的导函数为)(x f ',且满足f (x )=3x 2+2x )2('f ,则)5('f = .三、解答题 (本大题共6小题,共74分) 17.（12分）已知函数f (x )=x 3-21x 2+bx +c .(1)若f (x )在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围;(2)若f (x )在x =1处取得极值，且x ∈［-1,2］时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围.18.（12分）设p :f (x )=(x 2-4)(x -a )在(-∞,-2)和(2,+∞）上是单调增函数；q :不等式x0⎰(2t -2)d t ＞a 的解集为R .如果p 与q 有且只有一个正确，求a 的取值范围.19.（12分）一列火车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v(t)=5-t+t155(单位：m/s)紧急刹车至停止.求：（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后火车运行的路程比正常运行的路程少了多少米？20.（12分）已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x2上的点，直线l1过点A且与抛物线C相切，直线l2:x=a(a＜-1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.（1）求直线l1的方程； （2）求△ABD的面积S1；（3）求由抛物线C及直线l1和直线l2所围成的图形面积S2.1x2上一点，直线l过点P并与抛物21.（12分）如图所示，P是抛物线C：y=2线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.22.（14分）已知函数f(x)=(1+x)2-a ln(1+x)2在(-2,-1)上是增函数，在（-∞，-2）上为减函数.（1）求f(x)的表达式；1-1, e-1］时，不等式f(x)＜m恒成立，求实数m的值； （2）若当x ［e（3）是否存在实数b使得关于x的方程f(x)=x2+x+b在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根.若存在，求实数b的取值范围.。

导数 专题测试（限时120min ）一、单选题1．函数()2ln 1f x x x =-+的单调递减区间为（ ）A ．(0,2)B ．(0,)eC ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(2,)+∞2．函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(2)(3)(2)(3)f f f f ''<<-<C ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<3．函数9()(2)2f x x x x =++的最小值为（ ） A ．174 B ．4 C ．6 D ．724．函数()sin f x x x =的导函数()f x '在区间[]π,π-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()f x =2a ≤是()f x a ≥恒成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分不必要条件6．函数()||3e x x xf =的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知函数()()221sin 1x x f x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（ ）A ．0B ．2C ．2019D ．20208．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()2y x =-()f x '的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()2f 和极小值()1fB ．函数()f x 有极大值()2f -和极小值()1fC ．函数()f x 有极大值()2f 和极小值()2f -D ．函数()f x 有极大值()2f -和极小值()2f9．已知函数()2ln ,013,22x x e x f x x x e e e ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，若,a b c <<且()()()f a f b f c ==，则ln ln b a c a b ⋅的取值范围是（ ） A ．(),3e e B ．()3,e e -- C ．()1,3e D ．()3,1e --10．设函数2()()()f x x x a x =--∈R ，当3a >时，不等式()22(sin 1)sin f k f k θθ---≥-对任意的[1,0]k ∈-恒成立，则θ的可能取值是（ ）A ．3π-B ．43πC ．2π-D ．56π 11．若函数()y f x =的图象上存在两个不同的点,A B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，称函数()y f x =为“自重合”函数．下列函数中是“自重合”函数的为（ ）A ．ln y x x =+B ．e 1x y =+C ．3y x =D ．cos y x x =-12．在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．若函数f (x )＝x 3＋mx 2＋x ＋1在R 上无极值点，则实数m 的取值范围是_____.14．已知曲线C ：()3f x x ax a =-+，若过曲线C 外一点1,0A 引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a 的值为______．15．定义在()0+∞，上的函数()f x 满足：0x ∀>有()()0f x xf x '+>成立且()12f =，则不等式()2f x x <的解集为__________．16．数列{}n a 中，112a =，()()()*111n n n na a n n na +=∈++N ，若不等式()24110n n a n nλ++-≥恒成立，则实数λ的取值范围为__________.三、解答题17．求下列函数的导数．（1）22y x x -=+；（2）32x x x y e e =-+；（3）2ln 1x y x =+；（4）2sin cos 22x x y x =-． 18．在“①()f x 在1x =处取得极小值2，①()f x 在1x =-处取得极大值6，①()f x 的极大值为6，极小值为2”这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知函数()33f x x ax b =-+（0a >），且______，求()f x 的单调区间．19．已知函数3211()326m f x x x x =+-+. （1）当1m =时，求曲线()f x 上在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.若()f x ___________，求实数m 的取值范围.①在区间(,1)m m +上是单调减函数；①在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在减区间；①在区间(,)m +∞上存在极小值. 20．已知函数()211cos 4f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（2）当1a ≥时，证明：对任意[]0,2x ∈，()0f x ≤.。

单元综合测试三(第三章)时间：90分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(12)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(12)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos xD ．y ′＝cos 2x ＋cos x解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .答案：C3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．答案：C4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )A ．14B ．4C ．10D ．6解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.答案：A5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π2)＝1， ∴k ＝－a2＝－1，a ＝2. 答案：D6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎨⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎨⎧y 1＝8，y 2＝2，∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立⎩⎨⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A的纵坐标为－4. 答案：C7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a的取值范围是()A．a>0 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1解析：依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)，故a>0.答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．0 B．10C．18 D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：D10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f(－33)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.答案：D11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则()A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在R上是增函数，又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．答案：B12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意知f ′(x )＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g (x )＝e x－2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g (x )x 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．解析：∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4. 答案：414．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解，∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈(0，12)．答案：{b |0<b <12}15．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23.又f (－1)＝1, f (－23)＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1.答案：(－∞，1]16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，若∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值是________．解析：二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(0)>0，得b >0，又对∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则a >0， 且Δ＝b 2－4ac ≤0，故c >0，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a b ＋c b ＋1≥2acb 2＋1≥2ac4ac ＋1＝2，所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，且f ′(0)＝23.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线f (x )在x ＝－1处的切线方程． 解：(1)∵f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，∴f ′(x )＝12x ＋a ·(2x ＋a )′＋2x ＝22x ＋a ＋2x .又∵f ′(0)＝23，∴2a ＝23，解得a ＝3. 故f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.(2)由(1)知f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3，且f (－1)＝ln(－2＋3)＋(－1)2＝1， f ′(－1)＝4×(－1)2＋6×(－1)＋22(－1)＋3＝0，因此曲线f (x )在(－1,1)处的切线方程是y －1＝0(x ＋1)，即y ＝1.18．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的增区间；(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f (2)＝－43，f ′(2)＝0，又f ′(x )＝x 2＋a ，所以83＋2a ＋b ＝－43，4＋a ＝0，所以a ＝－4，b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0，得x <－2或x >2，所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，则当x ∈[－4,3]时，f (x )的最大值为283，故要使f (x )≤m 2＋m ＋103对∈[－4,3]恒成立，只要283≤m 2＋m ＋103，所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤－3.19．(12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b －4＝4，所以a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x－12)．令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．20．(12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0可知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品日供应量p 万千克，日需量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(t >0)，q ＝24＋8ln 20x .当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由p ＝q 得2(x ＋4t －14) ＝24＋8ln 20x (16≤x ≤24，t >0)， 即t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)． ∵t ′＝－14－1x <0，∴t 是x 的减函数． ∴t min ＝132－14×24＋ln 2024＝12＋ln 2024＝12＋ln 56； t max ＝132－14×16＋ln 2016＝52＋ln 54， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ln 56，52＋ln 54.(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而当x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，∴欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)． 要使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为1.5元/千克．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值． (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围． (3)当a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)， 因为x ＝2时，函数f (x )取得极值，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，依题意，f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在x >0时恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1min (x >0)，当x ＝1时，⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)当a ＝－12时，f (x )＝－12x ＋b ， 即14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)， 则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x， 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )极大极小所以g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2， g (x )极大值＝g (1)＝－b －54， 又g (4)＝2ln2－b －2，因为方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0，解得ln2－2<b ≤－54，所以实数b 的取值范围是(ln2－2，－54)．。

高二数学下册（必修三）导数 单元测试卷及答案解析一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）函数f(x)在x =4处的切线方程为y =3x +5，则f(4)+f ′(4)=( )A. 10B. 20C. 30D. 402.（5分）设a 为实数，函数f (x )=x 3+ax 2+(a −2)x 的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是偶函数，则曲线y =f (x )在原点处的切线方程为( )A. y =−2xB. y =3xC. y =−3xD. y =−4x3.（5分）若函数f(x)=x 2+lnx 的图像在(a,f(a))处的切线与直线2x +6y −5=0垂直，则a 的值为( )A. 1B. 2或14C. 2D. 1或124.（5分）已知函数f (x )={&ln (x +1),−1<x ⩽14 x 2+14,x >14 ，且关于x 的方程f (x )−kx =0恰有2个实数解，则实数k 的取值范围是( )A. [1,54] B. [54,+∞)C. [4ln 54,1]D. [4ln 54,1]⋃[54,+∞)5.（5分）曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为( )A. 1B. −π4C. π4D.5π46.（5分） 若曲线f(x)=x 4−4x 在点A 处的切线平行于x 轴，则点A 的坐标为( )A. (-1,2)B. (1,-3)C. (1,0)D. (1,5)7.（5分）曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A. e4B. e2C. eD. 2e8.（5分）曲线f(x)=x 2+3x 在点A(1,4)处的切线斜率为( )A. 2B. 5C. 6D. 11二 、多选题（本大题共5小题，共25分） 9.（5分）下列命题中是真命题有()A. 若f′(x0)=0，则x0是函数f(x)的极值点B. 函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点C. 函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，则f′(1)=2D. 若函数f(x)的导数f′(x)<1，且f(1)=2，则不等式f(x)>x+1的解集是(−∞,1)10.（5分）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数y=f(x)具有“T性质”.则下列函数中具有“T性质”的是()A. y=xe x B. y=cosx+1 C. y=1x3D. y=ln2log2x11.（5分）已知函数f(x)=x+√2x图象上的一条切线与g(x)=x的图象交于点M，与直线x=0交于点N，则下列结论不正确的有()A. 函数f(x)的最小值为2√2B. 函数的值域为(−∞,−2√24]C. |MN|2的最小值为16−8√2D. 函数f(x)图象上任一点的切线倾斜角的所在范围为[0,π4]12.（5分）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的取值()A. 196B. 3 C. 103D. 9213.（5分）设函数f(x)=x−ln|x|x，则下列选项中正确的是()A. f(x)为奇函数B. 函数y=f(x)−1有两个零点C. 函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称D. 过原点与函数f(x)相切的直线有且只有一条三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知倾斜角为45°的直线l与曲线y=lnx−2x+1相切，则直线l的方程是 ______.15.（5分）已知曲线C：y=x3−3x2+2x，直线l过(0,0)与曲线C相切，则直线l的方程是______ ．16.（5分）函数f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0，函数g(x)=k(x−2)，若方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则实数k的取值范围为__________.17.（5分）函数f(x)=√4x+1，则函数f(x)在x=2处切线的斜率为 ______.18.（5分）某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为S=t+2√t(t的单位为秒，S的单位为米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为______米/秒．四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知函数f(x)=x3+x−16．(1)求曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．20.（12分）在抛物线C：y=ax2(a>0)上取两点A(m1,n1),B(m2,n2)，且m2−m1=4，过点A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点P(1,−3).(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l交抛物线C于M，N两点，记直线OM，ON(其中O为坐标原点)的斜率分别为k OM,k ON，且k OM.k ON=−2，若ΔOMN的面积为2√3，求直线l的方程.21.（12分）已知函数f(x)=(x+a)lnx，g(x)=x 2e x.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y=0平行．(1)求a的值；(2)证明：方程f(x)=g(x)在(1,2)内有且只有一个实根．22.（12分）设f(x)=ae x+1ae x+b(a>0)(I)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y=32x；求a，b的值．(II)求f(x)在[0,+∞)上的最小值．23.（12分）已知曲线y=13x3+43，(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．参考答案与解析1.【答案】B;【解析】解：∵函数f(x)在x=4处的切线方程为y=3x+5，∴f′(4)=3，又f(4)=3×4+5=17，∴f(4)+f′(4)=17+3=20.故选：B.由已知可得f′(4)，在切线方程中取x=4求得f(4)，则答案可求．此题主要考查对数的几何意义及其应用，是基础题．2.【答案】A;【解析】此题主要考查导数的几何意义，函数的奇偶性，直线的点斜式方程，属于基础题.求导函数f′(x)，由f′(x)是偶函数求出a的值，然后根据导数的几何意义求切线方程.解：由f(x)=x3+ax2+(a−2)x，得，f′(x)=3x2+2ax+(a−2)，又∵f′(x)是偶函数，∴2a=0，即a=0，∴f′(x)=3x2−2，∴曲线y=f(x)在原点处的切线斜率为−2，曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=−2x，故选A.3.【答案】D;【解析】解：函数f(x)=x2+lnx的导数为f′(x)=2x+1x，在(a,f(a))处的切线的斜率为2a+1a，由切线与直线2x+6y−5=0垂直，可得−13(2a+1a)=−1，解得a=1或12，故选：D．求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，解方程可得所求值．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C;【解析】此题主要考查了方程的根与函数的图象之间的关系应用及学生的作图能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，等价于y=f(x)与y=kx有2个交点，又k表示直线y= kx的斜率，求出k的取值范围．解：画出函数f(x)图象，可求得函数f(x)=ln(x+1)(−1<x⩽14)图象在点O(0,0)处的切线方程为y=x，过点O(0,0)且与函数f(x)=x2+14(x>14)图象相切的直线方程也为y=x，即得直线y=x为函数f(x)图象的切线，且有两个切点，切点为O(0,0)和A(12,12 )，关于x的方程f(x)−kx=0恰有2个实数解当且仅当直线y=kx函数f(x)图象有两个公共点，由图可知当且仅当k OB⩽k⩽k OA时符合题意，又k OA=1，k OB=ln(14+1)14=4ln54，则求得4ln54⩽k⩽1.故选C.5.【答案】C;【解析】解：∵y =13x 3，∴y ′=x 2，设曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为α，根据导数的几何意义可知，切线的斜率k =y ′|x=1=12=1=tan α， ∴α=π4，即倾斜角为π4． 故选C ．欲求在x =1处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k =y ′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．该题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的性质可求倾斜角，本题属于容易题．6.【答案】B;【解析】解：f(x)=x 4−4x 的导数为f ′(x)=4x 3−4， 设切点为A(m,n)，则n =m 4−4m ， 可得切线的斜率为k =4m 3−4=0， 解得m =1，n =−3.即A(1,−3)． 故选：B ．求得函数的导数，设出切点A(m,n)，代入函数式，求得切线的斜率，令它为0，解得m ，n ，进而得到切点A 的坐标．该题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解答该题的关键，属于基础题．7.【答案】B; 【解析】此题主要考查导数的几何意义及三角形面积公式，属于基础题，先求出曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程，再其求与坐标轴的交点即可求得三角形面积;解：f ′(x)=e xlnx +e x x，则f ′(1)=e ，f(1)=0，∴曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程为y =e(x −1)，令x=0，得y=−e，令y=0，得x=1，∴切线与坐标轴围成的三角形面积为S=12×e×1=e2.故选B.8.【答案】B;【解析】解：函数的导数为f′(x)=2x+3，所以函数在A(1,4)处的切线斜率k=f′(1)=2+3=5．故选：B．求曲线在点处得切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值．该题考查了导数的几何意义．导数的几何意义是指函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y= f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率．它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体．9.【答案】BCD;【解析】此题主要考查极值的概念，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解不等式，属于中档题．由题意结合知识点，逐个选项分析即可.解：选项A，若f′(x0)=0，x0不一定是函数f(x)的极值点，例如函数f(x)=x3，f′(0)=0，但x=0不是极值点，故错误；选项B，函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点，例如函数f(x)=x3−3x，在x=1处的切线为y=−2与函数还有一个公共点为(−2,−2)，故正确；选项C，因为函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，所以f′(1)=2，故正确. 选项D，令g(x)=f(x)−x−1，因为函数f(x)的导数f′(x)<1，则g′(x)=f′(x)−1<0，所以函数g(x)=f(x)−x−1在R上单调递减，又g(1)=f(1)−2=0，由不等式f(x) > x+1得g(x) > 0=g(1)，得x 1，所以不等式f(x) > x+1的解集是(−∞,1)，故正确．故选BCD.10.【答案】AB;【解析】解：由题意，可知若函数y =f(x)具有“T 性质”，则存在两点， 使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1， 对于A ，(xe x )′=1−x e x，满足条件；对于B ，(cosx +1)′=−sinx ，满足条件；对于C ，(1x 3)′=−3x 4<0恒成立，负数乘以负数不可能得到−1，不满足条件；对于D ，(ln2log 2x)′=ln2.1xln2=1x >0恒成立，正数乘以正数不可能得到−1，不满足条件． 故选：AB.分别求出四个选项中函数的导函数，看是否满足存在两点，使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1即可．此题主要考查导数的几何意义及应用，考查化归与转化思想，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题．11.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查导数的运算和几何意义以及基本不等式求最值，属于中档题. 由题意和导数的运算结合基本不等式，逐个选项验证正误即可. 解：已知f(x)=x +√2x，当x >0时，f(x)=x +√2x⩾2√24，当x <0时，f(x)=x +√2x⩽−2√24，故选项A 、B 不正确;设直线l 与函数f(x)的图象相切于点(x 0,x 02+√2x 0)，函数f(x)的导函数为f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2，则直线l 的方程为y −x 02+√2x 0=x 02−√2x 02(x −x 0)，即y =x 02−√2x 02x +2√2x 0，直线l 与g(x)=x 的交点为M(2x 0,2x 0)，与x =0的交点为N(0,2√2x 0)， 所以|MN|2=4x 02+(2x 0−2√2x 0)2=8x 02+8x 02−8√2⩾16−8√2，当且仅当x 02=1时取等号，故选项C 正确; f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2⩽1，可知切线斜率可为负值，即倾斜角可以为钝角，故选项D 不正确.故选ABD.12.【答案】AC;【解析】此题主要考查导数的几何意义和二次方程的实根的分布，考查运算能力，属于中档题．求出导数，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，由此列出不等式组即可得到a 的取值范围，进而可得a的可能取值．解：f(x)=23x3−x2+ax−1的导数为f′(x)=2x2−2x+a，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，则{Δ=28−8a>0a−32>0，解得3<a<72，故选：AC.13.【答案】BCD;【解析】解：函数f(x)=x−ln|x|x的定义域为{ x|x≠0}，f(−x)+f(x)=1−ln|−x|−x +1−ln|x|x=2≠0，所以f(x)不为奇函数，故A错误；由f(x)=1，可得ln|x|x=0，解得x=±1，故y=f(x)−1有两个零点，故B正确；由f(−x)+f(−2x)+f(x)+f(2x)=[f(−x)+f(x)]+[f(−2x)+f(2x)]=2+2=4，则函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称，故C正确；当x>0时，f(x)=1−lnxx ，f′(x)=−1−lnxx2，设过原点与f(x)相切的切点为(m,n)，则切线的方程为y−n=lnm−1m2(x−m)，即y−1+lnmm =lnm−1m2(x−m)，代入(0,0)，可得1+m=2lnm，设g(m)=2lnm−1−m，g′(m)=2m−1，当0<m<2时，g(m)递增，m>2时，g(m)递减，则g(m)的最大值为g(2)=2ln2−3<0，所以x>0时，不存在过原点的切线；当x<0时，f(x)=1−ln(−x)x ，f′(x)=−1−ln(−x)x2，设过原点与f(x)相切的切点为(s,t)(s<0)，则切线的方程为y−t=ln(−s)−1s2(x−s)，即y−1+ln(−s)s =ln(−s)−1s2(x−s)，代入(0,0)，可得1+s=2ln(−s)，设g(s)=2ln(−s)−1−s，g′(m)=2s−1<0，所以g(s)递减，则g(s)只有一个零点，所以x<0时，只存在一条过原点的切线．综上可得存在一条过原点的切线，故D正确．故选：BCD.由函数的奇偶性和零点、对称性、导数的几何意义，可得结论．此题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.【答案】x−y+ln2−2=0;【解析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，求出原函数的导函数，由导函数值为1求解切点坐标，再由直线方程的点斜式得答案．此题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．解：直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan45°=1，由y=lnx−2x +1，得y′=1x+2x2，由y′=1x +2x2=1，解得x=−1(舍去)或x=2.∴切点坐标为(2,ln2)，则直线l的方程为y−ln2=1×(x−2)，即x−y+ln2−2=0.故答案为：x−y+ln2−2=0.15.【答案】y=−x或y=−14x或y=2x;【解析】求出函数的导数，结合直线关系即可得到结论．这道题主要考查函数的切线的求解，根据函数导数的几何意义是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．解：函数的导数为f ′(x)=3x 2−6x +2， 设切点为(a,b)，则k =f ′(a)=3a 2−6a +2，b =a 3−3a 2+2a ， 则切线的方程y −b =(3a 2−6a +2)(x −a)， 即y =(3a 2−6a +2)x −2a 3+9a 2−4a ， ∵直线l 过点(0,0)， ∴−2a 3+9a 2−4a =0， 即2a 3−9a 2+4a =0， 则a(a −4)(2a −1)=0， 解得a =0或a =4或a =12，当a =1时，对应的直线方程为y =−x ， 当a =12时，对应的直线方程为y =−14x ， 当a =0时，对应的直线方程为y =2x ， 故答案为：y =−x 或y =−14x 或y =2x16.【答案】(0,4-2√3) ; 【解析】此题主要考查函数的零点与方程的根之间的关系，函数的导数求解切线方程，考查数形结合以及计算能力，是难题．画f(x)={1−2x ,x ⩾012x 2+2x,x <0，的图象，结合直线g(x)=k(x −2)过定点(2,0)，函数g(x)的图象与f(x)=12x 2+2x ，x <0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．设切点为P(x 0,y 0)，由f ˈ(x)=x +2，x <0，求出切线的斜率，利用函数的图象的交点个数与函数的零点个数，推出k 的范围即可．解：依题意，画出f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0的图象如图：因为直线g(x)=k(x−2)过定点(2,0)，由图象可知，当函数g(x)的图象与f(x)=12x2+2x，x<0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率．设切点为P(x0,y0)，由fˈ(x)=x+2，x<0，则k=f′(x0)=x0+2=12x02+2x0x0-2，解得x0=2+2√3(舍去)或x0=2-2√3，则k=4−2√3，要使方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则函数f(x)，g(x)的图象恰有三个交点，结合图象可的实数k的取值范围为(0,4-2√3)，故答案为(0,4-2√3).17.【答案】23;【解析】解：由f(x)=√4x+1，得f′(x)=2(4x+1)−1 2，所以函数f(x)在x=2处切线的斜率k=f′(2)=23.故答案为：23.对f(x)求导，根据导数的几何意义，得到f(x)在x=2处的切线斜率．此题主要考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属基础题．18.【答案】32;【解析】解：S=t+2√t，∴S′=1+√t，∴它在4秒末的瞬时速度为1+√4=32，故答案为：32．物理中的瞬时速度常用导数来求，故求出S的导数，代入4求值．该题考查变化的快慢与变化率，解答本题关键是理解导数的物理意义，由此转化为求导数的问题．19.【答案】解：(1)∵f′(x)=(x3+x−16)′=3x2+1，∴在点(2,−6)处的切线的斜率k=f′(2)=3×22+1=13，∴切线的方程为y=13x−32．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，∴直线l的方程为y=(3x02+1)(x−x0)+x03+x0−16．又∵直线l过点(0,0)，∴0=(3x02+1)(−x0)+x03+x0−16，整理，得x03=−8，∴x0=−2，∴y0=(−2)3+(−2)−16=−26，直线l的斜率k=3×(−2)2+1=13，∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为(−2,−26)．;【解析】(1)先求出函数的导函数，再求出函数在(2,−6)处的导数即斜率，易求切线方程．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，从而求得直线l的方程，有条件直线1过原点可求解切点坐标，进而可得直线1的方程．此题主要考查直线的点斜式方程，属基础题型，较为简单．20.【答案】解：(1)由y=ax2(a>0)得y′=2ax(a>0)，则曲线在点A处的切线斜率为2am1，曲线在点A处的切线方程为y−am12=2am1(x−m1)，曲线在点A处的切线过点P(1,−3)，故am12−2am1−3=0①，同理可得曲线y=ax2(a>0)在点B处的切线方程为y−am22=2am2(x−m2)，∴am12−2am1−3=0②，①−②得m1+m2=2，m2−m1=4，∵m2−m1=4，∴m1=−1,m2=3，将m1=−1代入①，可得a=1，故抛物线方程为x2=y;(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x2−kx−b=0，∴x1+x2=k,x1.x2=−b，∴k OM.k ON=x12x1.x22x2=x1x2=−2，可得b=2，∴直线l经过点(0,2)，∴SΔ=12×|OP|×|x1−x2|=2√3，∴|x1−x2|=2√3，∴k2=4，∴k=±2，经检验k=±2,b=2符合题意，∴直线l的方程为y=2x+2或y=2x−2.;【解析】此题主要考查了直线与抛物线涉及到利用导数求曲线的切线方程、抛物线的几何性质、直线方程的求法等知识，综合性较强.(1)利用导数，可以求出曲线在点A，B处的切线斜率为2am1，2am2，从而求出切线方程，得到关于m1,m2的关系式，可以求出m的值，从而求出切线方程；(2)设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x1+x2=k,x1.x2=−b，求出b=2，根据题意列方程求出k的值，从而求出直线方程.21.【答案】（本题满分为12分）解：（1）f′(x)=lnx+ax+1，由题意知，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则f'（1）=2，所以a+1=2，解得a=1．…（4分）（2）令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x 2e x，x∈（1，2），则ˈ(1)=−1e ＜0，ˈ(2)=3ln2−4e2＞0，所以h（1）h（2）＜0，所以函数h（x）在（1，2）内一定有零点，…（8分）可得ˈ′(x)=lnx+x+1x −2x−x2e x(e x)2=lnx+1x+1−−(x−1)2+1e x＞1−1e＞0，∴h（x）在（1，2）上单调递增，所以函数h（x）在（1，2）内有且只有一个零点，即方程f（x）=g（x）在（1，2）内有且只有一个实根．…（12分）;【解析】(1)求得f(x)的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求值．(2)令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x2e x ，x∈(1,2)，由ˈ(1)=−1e<0，ˈ(2)=3ln2−4e2>0，可得函数ˈ(x)在(1,2)内一定有零点，进而证明ˈ′(x)>0，可得ˈ(x)在(1,2)上单调递增，即可得证．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查函数的零点判定定理，正确求导是解答该题的关键，属于中档题．22.【答案】解：（I ）由题意得，f(x)=ae x +1aex+b ，则f ′(x)=ae x −1ae x，因为在点（2，f （2））的切线方程为y=32x ，所以{(f(2)=3f ′(2)=32)， 即{(ae 2+1ae 2+b =3ae 2−1ae 2=32)，解得{(a =2e 2b =12)…（6分）（Ⅱ）设t=e x （t ≥1），则原函数化为：y =at +1at +b ， 所以y ′=a −1at 2=a 2t 2−1at 2，令y ′=0，解得t=±1a ，（1）当a ≥1时，则y ′＞0在[1，+∞）上成立， 所以函数y =at +1at +b 在[1，+∞）上是增函数， 则当t=1（x=0）时，函数f （x ）取到最小值是a +1a +b ； （2）当0＜a ＜1时，y =at +1at +b ≥2+b ，当且仅当at=1（t=e x =1a ＞1，则x=-lna ）时，取等号， 此时函数f （x ）取到最小值是b+2，综上可得，当a ≥1时，函数f （x ）的最小值是a +1a +b ； 当0＜a ＜1时，函数f （x ）的最小值是b+2．…（12分）; 【解析】(Ⅰ)由求导公式和法则求出f ′(x)，根据导数的几何意义和条件列出方程组，求出a 、b 的值； (Ⅱ)设t =e x (t ⩾1)，代入原函数化简并求出导数，根据临界点和区间对a 进行分类讨论，利用导数与单调性、基本不等式求出函数的最小值．此题主要考查求导公式和法则，导数的几何意义，以及导数与函数单调性、基本不等式求函数的最值问题，属于中档题．23.【答案】解：(1)∵P(2,4)在曲线y =13x 3+43上，且y ′=x 2 ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k =y ′|x=2=4；∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y −4=4(x −2)，即4x −y −4=0．(2)设曲线y =13x 3+43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x 0,13x 03+43)，则切线的斜率k=y′|x=x=x02，∴切线方程为y−(13x03+43)=x02(x−x0)，即y=x02.x−23x03+43∵点P(2,4)在切线上，∴4=2x02−23x03+43，即x03−3x02+4=0，∴x03+x02−4x02+4=0，∴(x0+1)(x0−2)2=0解得x0=−1或x0=2故所求的切线方程为4x−y−4=0或x−y+2=0．(3)设切点为(x0,y0)则切线的斜率为k=x02=4，x0=±2.切点为(2,4)，(−2,−43)∴切线方程为y−4=4(x−2)和y+43=4(x+2)即4x−y−4=0和12x−3y+20=0．;【解析】该题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．(1)根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；(2)设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到(1)求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；(3)设出切点坐标，由切线的斜率为4，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于4列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可．。

导数测试题姓名 班别 座号 分数一、选择题答题卡：二．填空题答题卡13. 14.15. 16.1.曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）A.1B.2C.eD.1e2.设x x x x f ln 42)(2--=，则0)('>x f 的解集为（ ）A. ),0(+∞B. ),2()0,1(+∞-C. ),2(+∞D.)0,1(- 3.已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（ ）A ．9B ．6C ．-9D ．-64. 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．35.函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（ ）（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞）6.设函数f （x ）=2x +lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点 7.曲线3ln 2y x x =++在点0P 处的切线方程为410x y --=,则点0P 的坐标是 （ ）A ．(0,1)B ．(1,1)-C ．(1,3)D ．(1,0)8.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）9.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 横坐标的取值范围为 ( ) A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,0- C ．[]0,1 D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 （ ）（A ）21y x =- （B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+11.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 （ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12- 12.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为 （ ） (A) 1n (B) 11n + (C) 1n n + (D) 1 二．填空题13.曲线y=x 3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 ．14.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =____________. 15.若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值，则a =16.已知函数32()42f x x ax x =-+-=在处取得极值,若,[1,1],()()m n f m f n '∈-+则的最小值是_______.三．解答题17.函数()2ln 2x f x k x =-，0k >． （I ）求()f x 的单调区间和极值；（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．。

导数测试卷一、选择题1.设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A . 2eB . ln 2C .ln 22D . e2.已知函数()d cx bx ax x f +++=23的图象如图所示，则 （ ）A . ()0,∞-∈bB . ()1,0∈bC . ()2,1∈bD . ()+∞∈,2b3.方程2log 2=+x x 和2log 3=+x x 的根分别是α、β A . α＜β B . α＞β C . α=β D . 无法确定α与β的大小4.已知a >0且a ≠1，若函数f （x ）= log a （ax 2–x ）在[3，4]是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．11[,)(1,)64+∞C ．11[,)(1,)84+∞D ．11[,)64 5.已知函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A .(0,)+∞B . 1(0,]2C . 1(0,]4D . 11[,]43二、填空题6.已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ． 7.若函数())4(log -+=xax x f a （a >0且a ≠1）的值域为R ，则实数a 的取值范围是________________.8.13)(3+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立，则a = ．9.已知函数3()(1).1axf x a a -=≠- （1）若a ＞0,则()f x 的定义域是 ；（2）若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 .10.已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表, ()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示. 下列关于()f x 的命题：①函数()f x 的极大值点为0，4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是 ．三、解答题11.已知函数)(21)1ln()(2R m x x m x f ∈-+=，满足.1)0(='f （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若关于x 的方程c x x x f ++-=243)(在[0，2]恰有两个不同的实根，求实数c 的取值范围。

单元综合测试十四(导数)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1．函数y ＝(sin x 2)3的导数是( )A ．3x ·sin x 2·sin2x 2B ．3(sin x 2)2C ．3(sin x 2)2·cos x 2D ．6sin x 2·cos x 2 解析：[(sin x 2)3]′＝3(sin x 2)2(sin x 2)′ ＝3(sin x 2)2cos x 2(x 2)′＝3(sin x 2)2cos x 2·2x ＝3x sin2x 2sin x 2 答案：A2．在曲线y ＝x 3＋x －2的切线中，与直线4x －y ＝1平行的切线方程是( )A ．4x －y ＝0B ．4x －y －4＝0C ．2x －y －2＝0D ．4x －y ＝0或4x －y －4＝0 解析：y ′＝3x 2＋1，又4x －y ＝1的斜率为4，设曲线y ＝x 3＋x －2的切线中与4x －y ＝1平行的切线的切点为M (x 0，y 0)， 则3x 20＋1＝4，∴x 0＝1或x 0＝－1.∴切点为M (1,0)、N (－1，－4)均不在4x －y ＝1上． ∴有两条直线与4x －y ＝1平行． 答案：D 3．(2009·江西高考)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为()A ．4B ．－14C ．2D ．－12解析：依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A. 答案：A4．质点运动方程为s ＝20＋12gt 2(g ＝9.8m/s 2)，则t ＝3s 时的瞬时速度为()A ．20B ．49.4C ．29.4D ．64.1 解析：s ′＝gt ，v (3)＝s ′(3)＝3g ＝29.4. 答案：C5．函数f (x )＝(x 2－1)3＋2的极值点是()A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0解析：f ′(x )＝3×2x (x 2－1)2，令f ′(x )＝0， 得x ＝0或x ＝±1，但x ＝1或x ＝－1时，两侧的导数值的符号同号，不是极值点． 答案：D6．对函数f (x )＝－x 4＋2x 2＋3有()A ．最大值4，最小值－4B ．最大值4，无最小值C ．无最大值，最小值－4D ．既无最大值也无最小值解析：f ′(x )＝－4x 3＋4x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝±1，列表如下：∵x ∈R ，故无最小值，最大值为4. 答案：B7．若m ∈R ，方程x 3－3x ＋m ＝0在区间[0,1]上不等的实根( )A ．有3个B ．有2个C ．没有D ．至多有一个解析：设f (x )＝x 3－3x ＋m ，则f ′(x )＝3x 2－3. 所以f (x )在区间[0,1]上是单调减函数，函数f (x )在图象与x 轴至多有一个交点．应选D. 答案：D8．设f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－5，＋∞)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D ．[－5，5]解析：由f (x )在[1,3]上单调可得：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在[1,3]上恒成立，利用分离参数即可得知应选C.答案：C 9．(2010·武汉调研)若函数y ＝f (x )满足f ′(x )>f (x )，则当a >0时，f (a )与e a f (0)之间的大小关系为( )A ．f (a )<e a f (0)B ．f (a )>e af (0) C ．f (a )＝e a f (0) D ．与f (x )或a 有关，不能确定解析：设g (x )＝f (x )e x ，则有g ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x>0，因此g (x )在R 上是增函数，当a >0时，有g (a )>g (0)，即f (a )e a >f (0)e0＝f (0)，f (a )>e a f (0)，选B.答案：B10．(2009·黄冈检测)已知m <0，f (x )＝mx 3＋12mx ，且f ′(1)≥－12，则实数m 的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：依题意，f ′(x )＝3mx 2＋12m ，则f ′(1)＝3m ＋12m≥－12，所以m 2＋4m ＋4≤0，故m ＝－2，选择B. 答案：B11．(2009·合肥质检三)已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )图1A ．(2,3)∪(－3，－2)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：由图知，f (x )在(－∞，0)上单调增，在(0，＋∞)上单调减，又f (－2)＝1，f (3)＝1，∴所求不等式等价于－2<x 2－6<3，解得2<x <3或－3<x <－2.答案：A 12．(2010·西安八校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为函数f (x )的导函数．已知函数y ＝f ′(x )的图象如图2所示，两个正数a 、b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋2a ＋2的取值范围是( )图2A ．(13，12)B ．(－∞，12)∪(3，＋∞)C ．(12，3) D ．(－∞，－3)解析：由题中图可知，当x >0时，f ′(x )>0，此时f (x )是增函数．由2a ＋b >0，f (2a ＋b )<1＝f (4)得2a ＋b <4，即2a ＋b －4<0.在直角坐标平面aOb 内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a >0b >02a ＋b －4<0表示的平面区域，将b ＋2a ＋2视为该平面区域内的点(a ，b )与点(－2，－2)的连线的斜率，结合图形不难得知b ＋2a ＋2的取值范围是(12，3)，选C.答案：C二、填空题(每小题4分，共16分)13．已知函数f (x )是可导函数，且f ′(a )＝1，则lim x →a f (2x －a )－f (2a －x )x －a＝________. 解析：令x －a ＝h ，则原式＝lim h →0f (a ＋2h )－f (a －h )h＝2lim h →0 f (a ＋2h )－f (a )2h ＋lim h →0 －f (a )＋f (a －h )－h＝2f ′(a )＋f ′(a )＝3. 答案：314．(2009·陕西高考)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．解析：由题意可得，y ′|x ＝1＝n ＋1，则所求切线为：y ＝(n ＋1)x －n ，令y ＝0，得x n ＝nn ＋1.由对数运算法则可知a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝lg(x 1·x 2·x 3·…·x 99)＝lg 1100＝－2.答案：－2 15．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为__________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6.要使f (x )有极大值和极小值，需f ′(x )＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0.∴a >6或a <－3.答案：a >6或a <－316．在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形的面积最大时，其梯形的上底长为__________．解析：设梯形的上底长为2x ，高为h ，面积为S ，因为h ＝r 2－x 2，所以S ＝2r ＋2x 2·r 2－x 2＝(r ＋x )r 2－x 2，S ′＝r 2－x 2－x (r ＋x )r 2－x 2＝(r －2x )(r ＋x )r 2－x 2.令S ′＝0得x ＝r 2，h ＝32r ，当0<x <r 2时，S ′>0；当r2<x <r 时，S ′<0.∴当x ＝r2时，S 取极大值．又∵极值点唯一，因此当梯形的上底长为r 时，它的面积最大． 答案：r三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)如图3所示，曲线段OMB ：x 2＝y (0<x <6)在点x ＝t (即点M )处的切线PQ 交x 轴于点P ，交线段AB 于点Q ，且BA ⊥x 轴于点A .图3(1)试用t 表示切线PQ 的方程； (2)求△QAP 的面积g (t )的表达式．解：(1)∵y ′＝2x ，∴k PQ ＝y ′|x ＝t ＝2t ， 切线方程为y －t 2＝2t (x －t )， 即y ＝2tx －t 2(0<t <6)．(2)在切线方程中令y ＝0，得x ＝t 2，∴P (t2，0)，令x ＝6，得y ＝12t －t 2，∴Q (6,12t －t 2)．∴g (t )＝12|AP |·|AQ |＝12(6－t 2)(12t －t 2)＝14t 3－6t 2＋36t (0<t <6)．18．(12分)若直线y ＝kx 与y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求k 的值． 解：y ′＝3x 2－6x ＋2，设切点为(x 0，y 0)，则 k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2.∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0＋2)(x －x 0)．又y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y ＝(3x 20－6x 0＋2)x －(3x 20－6x 0＋2)x 0＋(x 30－3x 20＋2x 0)，即y ＝(3x 20－6x 0＋2)x ＋(－2x 30＋3x 20)．又切线是y ＝kx ，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋2＝k ， ①－2x 30＋3x 20＝0. ② 由②得x 0＝0或x 0＝32，代入①知k ＝2或k ＝－14.19．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2经过点M (1,4)，在点M 处的切线恰与直线x ＋9y ＋5＝0垂直．(1)求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m －1，m ＋1]上单调递增，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2， ∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝4，f ′(1)＝9，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，3a ＋2b ＝9. ∴a ＝1，b ＝3.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋3x 2， ∴f ′(x )＝3x (x ＋2)．令f ′(x )>0，解得x ≤－2或x ≥0，∴f (x )在区间(－∞，－2)和[0，＋∞)上单调递增．若f (x )在[m －1，m ＋1]上单调递增， 则[m －1，m ＋1]⊆(－∞，－2)或[m －1，m ＋1]⊆[0，＋∞)， ∴m ＋1≤－2或m －1≥0. ∴m ≤－3或m ≥1.∴m 的取值范围是m ≤－3或m ≥1.20．(12分)某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益．通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3(百万元)时，每投入x (百万元)广告费，增加的销售额可近似的用函数y 1＝－2x 2＋14x (百万元)来计算；每投入x (百万元)技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数y 2＝－13x 3＋2x 2＋5x (百万元)来计算．现该公司准备共投入3(百万元)，分别用于广告投入和技术改造投入，请设计一种资金分配方案，使得该公司获得最大收益．(注：收益＝销售额－投入，答案数据精确到0.01)(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：设3(百万元)中技术改造投入为x (百万元)，广告费投入为3－x (百万元)，则广告收入带来的销售额增加值为－2(3－x )2＋14(3－x )(百万元)，技述改造投入带来的销售额增加值为－13x 3＋2x 2＋5x (百万元)，所以，投入带来的销售额增加值F (x )＝－2(3－x )2＋14(3－x )－13x 3＋2x 2＋5x .由于投入为常量，采取措施前的收益、投入也是常量．所以该公司收益最大时就是销售额增加值最大的时候．整理上式得F (x )＝－13x 3＋3x ＋24，因为F ′(x )＝－x 2＋3，令F ′(x )＝0，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)，当x ∈[0，3)，F ′(x )＞0，当x ∈(3，3]时，F ′(x )＜0， 所以，x ＝3≈1.73时，F (x )取得最大值．所以，当该公司用于广告投入1.27(百万元)，用于技术改造投入1.73(百万元)时，公司将获得最大收益．21．(12分)(2009·南昌调研)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若方程f (x )＝(a 2－3)x －1(a >0)至多有两个解，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0，∵x ≥1，∴a ≤32(x －1x)．当x ≥1时，32(x －1x )是增函数，其最小值为32(1－1)＝0，∴a ≤0.(2)令h (x )＝f (x )－(a 2－3)x ＋1，h ′(x )＝3x 2－2ax －a 2＝0，得x ＝a 或x ＝－a，∵a >0，∴有∴x ＝－a 3时h (x )有极大值，h (x )极大值＝h (－a 3)＝527a 3＋1.x ＝a 时h (x )有极小值，h (x )极小值＝h (a )＝－a 3＋1， ∵若方程f (x )＝(a 2－3)x －1(a >0)至多有两个解，∴h (a )≥0或h (－a3)≤0，∴－a 3＋1≥0或527a 3＋1≤0(舍)，解得0<a ≤1.22．(14分)(2009·长望浏宁)设函数f (x )＝ax －(a ＋1) ln(x ＋1)，其中a >0. (1)求f (x )的单调区间；(2)当x >0时，证明不等式：x1＋x<ln(x ＋1)<x ；(3)设f (x )的最小值为g (a )，证明不等式：－1a<g (a )<0.解：(1)由已知得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)且f ′(x )＝ax －1x ＋1(a >0)f ′(x )＝0，解得x ＝1a当x 变化时，f － ＋由上表可知，当x ∈(－1，1a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1a)内单调递减，当x ∈(1a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1a，＋∞)内单调递增．所以，函数f (x )的单调减区间是(－1，1a )，函数f (x )的单调增区间是(1a，＋∞)．(2)设φ(x )＝ln(x ＋1)－x1＋x，x ∈[0，＋∞)对φ(x )求导，得：φ′(x )＝1x ＋1－1(1＋x )2＝x(1＋x )2当x >0时，φ′(x )>0，所以φ(x )在(0，＋∞)内是增函数． 所以φ(x )在[0，＋∞)上是增函数．当x >0时，φ(x )>φ(0)＝0即ln(x ＋1)－x 1＋x >0，∴x1＋x<ln(x ＋1)．同理可证ln(x ＋1)<x ，∴x1＋x <ln(x ＋1)<x .(3)由(1)知，g (a )＝f (1a )＝1－(a ＋1)·ln(1a＋1)将x ＝1a 代入x 1＋x<ln(x ＋1)<x得：1a ＋1<ln(1a ＋1)<1a即：1<(a ＋1)ln(1a ＋1)<1＋1a∴－1a <1－(a ＋1)ln(1a ＋1)<0，即－1a<g (a )<0.。

高三数学阶段性测试题（文科）集合 函数 三角函数 导数部分一.选择题(每题5分，共60分)1.已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N ⋂=（ ）A ∅B {}|03x x <<C {}|13x x <<D {}|23x x <<2.已知函数1()1f x x=-的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（ ）（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅3.若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是( )A.[－5，－1]B.[－2,0]C.[－6，－2]D.[1,3] 4.若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上（ ）. A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点 C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定5.函数y ＝ln(x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为 ( )A.(－4，－1)B.(－4,1)C.(－1,1)D.(－1,1] 6、下列关系式中正确的是 （ ）1123331.52111A.2 B.3222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C.211233331.5 1.511112 D.22222--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 7.y=a x(a>1)的图象是（ ）8. 32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A. 319B. 316C. 313D. 3109．如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ） xA1o y xB1oy xCo y 1xDoyA ．15-B ．15C ．D 10．设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()20f =，则不等式0)()(<--xx f x f 的解集为（ ） A ．()()2,02,-+∞ B ．()(),20,2-∞-C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()()2,00,2-11.已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，则sin(3π＋α)·tan(α－7π2)的值为 （ ）A.45B.54C.35D.5312.设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ＝ ( ) A ．－79 B ．－19 C.19 D.79二、填空题（每题4分，共16分）13. 曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 14．函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 15. 函数y ＝2x ＋1+x 的值域是________________16. 若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ=三、解答题17. 已知实数{}21,1,a a ∈-，求函数2()(1)2f x x a x =---的零点。

高三数学阶段性测试题（文科）集合 函数 三角函数 导数部分一.选择题(每题5分，共60分)1.已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>，则M N ⋂=（ ）A ∅B {}|03x x <<C {}|13x x <<D {}|23x x << 2.已知函数()f x =的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（ ）（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅3.若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是( )A.[－5，－1]B.[－2,0]C.[－6，－2]D.[1,3]4.若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上（ ）.A. 一定没有零点B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定5.函数y ＝ln(x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为 ( ) A.(－4，－1) B.(－4,1) C.(－1,1) D.(－1,1]6、下列关系式中正确的是 （ ）1123331.52111A.2 B.3222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C.211233331.5 1.511112 D.22222--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 7.y=a x (a>1)的图象是（ ）8. 32()32f x ax x =++,若'(1)4f-=,则a 的值等于（ ）A. 319B. 316C. 313D. 3109．如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ） A B CDA ．15-B ．15C ．D 10．设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()20f =，则不等式0)()(<--xx f x f 的解集为（ ）A ．()()2,02,-+∞B ．()(),20,2-∞-C ．()(),22,-∞-+∞D ．()()2,00,2-11.已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，则sin(3π＋α)·tan(α－7π2)的值为 （ ）A.45B.54C.35D.5312.设sin(π4＋θ)＝13，则sin 2θ＝ ( ) A ．－79 B ．－19 C.19 D.79二、填空题（每题4分，共16分）13. 曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为14．函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为15. 函数y ＝2x ＋1+x 的值域是________________16. 若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= 三、解答题17. 已知实数{}21,1,a a ∈-，求函数2()(1)2f x x a x =---的零点。

高三一轮复习综合测试三一、选择题：每小题5分，共60分。

1．已知全集}1|{},0|{,>>==x x B x x A R U ，则=)C (B A U （ ） A ．}10|{<≤x x B ．}10|{≤<x xC ．}0|{<x xD ．}1|{>x x2．复数3223ii +=-（ ） A ．i B ．i - C ．12-13i D ． 12+13i3．如果1cos 5α=，且α是第四象限的角，那么cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．15-B ．15C．5-D．54．已知b a R b a >∈且,,，则下列不等式中成立的是（ ）A ．1>baB ．22b a >C ．0)lg(>-b aD ．b a )21()21(<5．不等式02>+-c x ax 的解集为}12|{<<-x x ，则函数c x ax y ++=2的图象大致为( )AB C D6．已知向量b a b x a⊥==),6,3(),1,(，则实数x 的值为（ ）A ．12B ．2-C ．2D ．21-7. 若0≤x ≤2，则f(x)=()x x 38-的最大值( ) A ．5 B ．334 C ．316 D ．28．设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()20f =，则不等式0)()(<--xx f x f 的解集为（ ） A ．()()2,02,-+∞B ．()(),20,2-∞-C ．()(),22,-∞-+∞D ．()()2,00,2-9．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2 D ．y =2x 2＋x ＋110．函数a ax x y +-=23在)1,0(内有极小值，则实数a 的取值范围为（ ）A.(0,3)B. )3,(-∞C. ),0(+∞D. )23,0(11．函数()01x y a a a =>≠且在[]1,2上的最大值比最小值大2a，则a 为（ ）A 12B 32C 12 或32D 1412．在()n m f ,中，()*∈N n m f n m ,,,，且对任意,m n 都有：(1)()11,1=f , (2)()()2,1,+=+n m f n m f ,（3）()()1,21,1m f m f =+; 给出下列三个结论：①()95,1=f ； ②()161,5=f ； ③()266,5=f ; 其中正确的结论个数是（ ）个A. 3B. 2C. 1D. 0二、填空题：每小题5分，共20分。