角平分线的性质练习题[1]

专题07 角的平分线性质专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（共12小题，每题4分，共计48分）1．（2018春 榆林市期末）如图，AD 是ABC V 的角平分线，DF AB ⊥，垂足为F ，DE DG =，ADG V 和AED V 的面积分别为60和35，则EDF V 的面积为( )A.25B.5.5C.7.5D.12.5【答案】D【详解】如图，过点D 作DH AC ⊥于H ，AD Q 是ABC V的角平分线，DF AB ⊥， DF DH ∴=，在Rt ADF V 和Rt ADH V 中，AD AD DF DH=⎧⎨=⎩， Rt ADF V ∴≌()Rt ADH HL V ，Rt ADF Rt ADH S S ∴=V V ，在Rt DEF V 和Rt DGH V 中，DE DG DF DH =⎧⎨=⎩Rt DEF ∴V ≌()Rt DGH HL V ，Rt DEF Rt DGH S S ∴=V V ，ADG QV 和AED V 的面积分别为60和35，Rt DEF Rt DGH 35S 60S ∴+=-V V ，Rt DEF S ∴V =12.5，故选D ．【名师点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记掌握相关性质、正确添加辅助线构造出全等三角形是解题的关键．2．（2018春 天津市期中）如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5【答案】C【详解】 本题主要考查三角形的角平分线。

三角形三条角平分线的交点为三角形的内心，即本题中O 点为△ABC 的内心，则O 点到△ABC 三边的距离相等，设距离为r ，有S △ABO = 12×AB×r，S △BCO = 12×BC×r，S △CAO = 12×CA×r，所以S △ABO :S △BCO :S △CAO =AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4.故答案选C.【名师点睛】本题考查的知识点是三角形的角平分线中线和高，解题的关键是熟练的掌握三角形的角平分线中线和高.3．（2017春 商丘市期中）如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）A ．59°B ．60°C ．56°D ．22°【答案】A【详解】 在△ABC 中，∠C =70°,∠ABC =48°，则∠CAB =62°，又AD 为△ABC 的角平分线，∠1=∠2=62°÷2=31°又在△AEF 中，BE 为△ABC 的高∴∠EFA =90°−∠1=59°∴∠3=∠EFA =59°4．（2018出 南阳市期末）如图，∠AOB 是平角，∠AOC=50°，∠BOD =60°，OM 平分∠BOD ，ON 平分∠AOC ，则∠MON 的度数是（ ）A.135°B.155°C.125°D.145°【答案】C【详解】 解：∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∴∠COD=180°-∠AOC-∠COD=70°，∵OM 、ON 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线，∴∠MOC=12∠AOC=25°，∠DON=12∠BOD=30°，∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=125°，故选：C ．【名师点睛】本题考查角度计算，解题的关键是熟练利用角分线的性质，本题属于基础题型．5．（2018春 徐州市期末）如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BD 是∠ABC 的平分线,AD=20,则BC 的长是 ( )A.20 C.30 D.10 【答案】D【详解】在Rt △ABC 中 由于∠A=30°,因此∠ABC=60°；因为BD 是∠ABC 的角平分中线,所以∠ABD=∠DBC=30°,因此三角形ADB 为等腰三角形,BD=AD=20在直角三角形DCB 中,DC=12BD 根据勾股定理,BD²=DC²+BC²=(12BD)²+BC²,所以BC=10故选：D【名师点睛】本题考核知识点：角平分线、等腰三角形、直角三角形.解题关键点：熟记直角三角形性质、等腰三角形性质.6．（2018春 信阳市期末）如图，在▱ABCD 中，已知AD 15cm =，AB 10cm =，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，则CE 长是( )A.8cmB.5cmC.9cmD.4cm【答案】B【详解】解：Q四边形ABCD是平行四边形，AD BC，∴==，//AD BC cm15∠交BC于点E，AEQ平分BAD∴∠=∠，DAE EABQ，//AD BC∴∠=∠，DAE AEB∴∠=∠，EAB AEB∴==，10AB BE cm()∴=-=-=．EC BC BE cm15105故选：B．【名师点睛】=是解题关键．此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，正确得出AB BE7．（2018春商丘市期末）如图，已知点O在直线AB上，∠COE=90°，OD平分∠AOE，∠COD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100° B．115° C．65° D．130°【答案】B【解析】∵∠COE=90°，∠COD=25°，∴∠DOE=90°﹣25°=65°，∵OD平分∠AOE，∴∠AOD=∠DOE=65°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=115°，故选：B．8．（2018春芜湖市期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB 于点D，交AC于点E．若BD=4，DE=7，则线段EC的长为（）A.3B.4C.3.5D.2【答案】A【详解】∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，∴BD=DF=4，FE=CE，∴CE=DE-DF=7-4=3．故选A．【名师点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，关键利用两直线平行内错角相等．9．（2018春石家庄市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC＝70°，则∠COE的度数是（）A．110°B．120°C．135°D．145°【答案】D【详解】∵∠BOC＝70°，∴∠AOD＝∠BOC＝70°．∴∠AOC＝180°﹣70°＝110°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝12∠AOD＝12×70°＝35°．∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝110°+35°＝145°，故选：D．【名师点睛】此题考查角的计算，角的平分线是中考命题的热点，常与其他几何知识综合考查．10．（2018春西安市期末）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=50°，则∠2的度数是（）A．50o B．60o C．70o D．80o【答案】D【详解】∵AB∥CD∴∠ABC=∠1=50°，∠ABD+∠BDC=180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABC=100°，∴∠BDC=180°-∠ABD=80°，∴∠2=∠BDC=80°．故选：D．【名师点睛】本题考查的是平行，熟练掌握平行的性质和角平分线的性质是解题的关键.11．（2018春恩施市期末）长方形如图折叠，D点折叠到D′的位置，已知∠D′FC＝40°，则∠EFC＝（）A.120°B.110°C.105°D.115°【答案】B【详解】根据翻折不变性得出，∠DFE=∠EFD′，∵∠D′FC=40°，∠DFE+∠EFD′+∠D′FC=180°，∴2∠EFD′=180°-40°=140°，∴∠EFD′=70°，∴∠EFC=∠EFD′+∠D′FC=70°+40°=110°．故选：B．【名师点睛】此题考查了角的计算和翻折变化，掌握长方形的性质和翻折不变性是解题的关键．12．（2019春周口市期末）已知∠BOC＝60°，OF平分∠BOC.若AO⊥BO，OE平分∠AOC，则∠EOF的度数是( )A．45°B．15°C．30°或60°D．45°或15°【答案】A【详解】如图1，由AO⊥BO，得∠AOB＝90°，由角的和差，得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝150°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE＝12∠AOC＝12×150°＝75°，∠COF＝12∠BOC＝12×60°＝30°，由角的和差，得∠EOF＝∠COE－∠COF＝75°－30°＝45°；如图2，由AO ⊥BO ，得∠AOB ＝90°，由角的和差，得∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝30°，∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ，∴∠COE ＝12∠AOC ＝12×30°＝15°，∠COF ＝12∠BOC ＝12×60°＝30°， 由角的和差，得∠EOF ＝∠COE ＋∠COF ＝15°＋30°＝45°，故选A.【名师点睛】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角平分线的定义，角的和差，正确地进行分类讨论、准确画出图形是解题的关键.二、填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）13．（2018春 常州市期中）如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．【答案】24【详解】∵DE 是AC 的垂直平分线,∴EA=EC ，∠EAC=∠C,∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC ，∵AF 平分∠BAC ，∴∠FAB=∠FAC.在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，∴∠C=∠EAC=24°，故本题正确答案为24.【名师点睛】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算. 14．（2016春西安市期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=130°，∠C=30°，则∠DAE的度数是__________.【答案】5°【详解】∵AD⊥BC，∠C=30°，∴∠CAD=90°-30°=60°，∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=130°，∴∠CAE=12∠BAC=12×130°=65°，∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=65°-60°=5°．故答案为：5°．【名师点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．15．（2017春扬州市期末）如图，AB、CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，∠BOD＝70°，∠EOF＝65°，则∠AOF的度数为______°．【答案】30°【解析】∵∠AOC 与∠BOD 是对顶角，∠BOD=70°，∴∠AOC=70°，∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE=12∠AOC=35°， ∴∠AOF=∠EOF-∠AOE=65°-35°=30°，故答案为：30°.16．（2018春 德州市期中）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 的长是______．【答案】3．【解析】解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于F ．∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DE=DF ．由图可知，S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴12×4×2+12×AC×2=7，解得：AC=3．故答案为：3．17．（2018春 广安市期末）如图所示，在ABC V 中，90C o ∠=，BE 平分ABC ∠，ED AB ⊥于D ，若6AC cm =，则AE DE +=________．【答案】6cm【详解】∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，∠C=90°，∴DE=CE ，∴AE+DE=AE+CE=AC=6cm ．故答案为：6cm．【名师点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．三、解答题（共4小题，每小题8分，共计32分）18．（2018春河源市期末）如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠ABC，∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，点E在BC 的延长线上。

【典型例题】例1.已知：如图所示，/ C=/ C'= 90 °, AC= AC 求证：（1）Z ABC=Z ABC ;（2）BO BC（要求：不用三角形全等判定）.分析：由条件/ C=Z C = 90°, AO AC，可以把点A看作是/ CBC平分线上的点，由此可打开思路.证明：（1）vZ C=Z C = 90°（已知），••• ACL BC, AC丄BC （垂直的定义）.又••• AO AC （已知），•••点A在/CBC勺角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.• / ABC=Z ABC.（2）vZ C=Z C；Z ABC=Z ABC,•180°—（/ C+Z ABC = 180°—（/ C '+/ ABC）（三角形内角和定理）即/ BAC=Z BAC,••• AC L BC, AC L BC,•BO BC （角平分线上的点到这个角两边的距离相等）.评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性.例 2.女口图所示，已知△ ABC中, PE// AB交BC于E, PF// AC交BC于F, P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分Z BAC 并说明理由.分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理.根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出Z 1 = Z 2,再利用平行线推得Z 3=Z 4,最后用角平分线的定义得证.解：AD平分Z BAC••• D到PE的距离与到PF的距离相等，•••点D在Z EPF的平分线上.• Z 1 = Z 2.又••• PE// AB •••/ 1 = Z 3.同理，/ 2二/4.•••/ 3=Z 4,二AD平分/ BAC评析：由角平分线的判定判断出PD平分/ EPF是解决本例的关键.“同理” 是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”.例3.如图所示，已知△ ABC的角平分线BM CN相交于点P,那么AP能否平分/ BAC请说明理由.由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段.解：AP平分/ BAC结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 理由：过点P分别作BC，AC, AB的垂线，垂足分别是E、F、D.••• BM是/ABC的角平分线且点P在BM上，••• PD= PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）.同理PF= PE,A PD= PF.••• AP平分/ BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）.例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y 轴建立平面直角坐标系.（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标.分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是4oom点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号.解：（1）v点p在公路与铁路所夹角的平分线上，•••点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，又•••点P到公路的距离是4oom•••点P （学校）到铁路的距离是400m（2）学校所在位置的坐标是（400，—400）.评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等.例5.如图所示，在△ ABC中，/ C= 90°, AOBC, DA平分/ CAB交BC于D, 问能否在AB上确定一点巳使厶BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E, 并给出证明；若不能，请说明理由.分析：由于点D在/ CAB的平分线上，若过点D作DEL AB于E，则DE= DC 于是有BD+ DE= BD+ DC= BO AC,只要知道AC与AE的关系即可得出结论.解：能.过点D作DEIAB于丘，则厶BDE勺周长等于AB的长.理由如下：••• AD平分/ CAB DC L AC, DEL AB••• DC= DE在Rt △ ACD和Rt △ AED中,,••• Rt △ AC坠Rt △ AED( HL).••• AO AE又••• AO BC,二AE= BC.•••△ BDE的周长=B» DE^ BE= B» DC+ BE= BC^ BE= AE^ BE= AB.评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系.本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化. 这是初中几何中常用的一种数学思想.【方法总结】学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论. 所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路.Welcome !!! 欢迎您的下载, 资料仅供参考!。

人教版八年级上册第1课时角的平分线的性质(348) 1.如图，已知∠1=∠2，BA<BC，P为BN上的一点，PF⊥BC于点F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180∘2.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，. 求证：．请你补全已知和求证，并写出证明过程．3.如图，已知AD//BC，∠D=90∘．(1)如图①，若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，CD经过点P．试问：P是线段CD的中点吗？为什么？(2)如图②，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB=35∘，求∠PAD的度数4.如图OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）A.PN<3B.PN>3C.PN≥3D.PN≤35.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm6.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长为（）A.3B.4C.6D.57.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是．8.如图，在△ABC中，两条外角平分线交于点P，PM⊥AC交AC的延长线于点M．若PM=6cm，则点P到AB的距离为．9.如图，已知AB//CD，O是∠BAC与∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC于点E，OE=2，则AB与CD之间的距离为．10.如图，已知点B，D分别在∠DAB的两边上，C为∠DAB的内部的一点，且AB=AD，DC=BC，CE⊥AD交AD的延长线于点E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．试判断CE与CF是否相等，并说明理由．11.如图，利用尺规作∠AOB的平分线OC，其作法如下：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点②分别以D，E为圆心，以大于12C；③画射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．这样作图的原理是一种三角形全等的判定方法，这种判定方法是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS12.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C,D，则下列结论错误的是（）A.PC=PDB.∠CPD=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=OD13.求证：直角三角形的两锐角互余14.如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠CAB=50∘，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB,AC于点E,F；EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；②分别以点E,F为圆心，大于12③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A.40∘B.55∘C.65∘D.75∘15.如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径画圆弧，分别交AB，AC于E，EF的长为半径画圆弧，两条圆弧交于点G，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12作射线AG交CD于点H．若∠C=140∘，则∠AHC的大小是（）A.20∘B.25∘C.30∘D.40∘参考答案1.【答案】:证明：如图，过点P 作PE ⊥BA 交BA 的延长线于点E ． ∵∠1=∠2，PF ⊥BC 于点F ，∴PE =PF ，∠PEA =∠PFC =90∘．在Rt △PEA 与Rt △PFC 中，PA =PC ，PE =PF ，∴Rt △PEA ≌Rt △PFC(HL )，∴∠PAE =∠PCB ．∵∠PAE +∠BAP =180∘，∴∠PCB +∠BAP =180∘．2.【答案】:解：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D,E 求证：PD =PE证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO =∠PEO =90∘．在△PDO 和△PEO 中，{∠PDO =∠PEO ，∠AOC =∠BOC ，OP =OP.∴△PDO ≌△PEO(AAS )，∴PD =PE .3(1)【答案】解：P 是线段CD 的中点．理由如下： 如图，过点P 作PE ⊥AB 于点E ．∵AD//BC ，∠D =90∘，∴∠C =180∘−∠D =90∘，即PC ⊥BC ．∵∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线交于点P ，∴PD =PE ，PC =PE ，∴PC=PD，∴P是线段CD的中点.(2)【答案】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E．∵AD//BC，∠D=90∘，∴∠C=180∘−∠D=90∘，即PC⊥BC．在△PBE与△PBC中，{∠PEB=∠C，∠PBE=∠PBC，PB=PB.∴△PBE≌△PBC(AAS)，∴∠EPB=∠CPB=35∘，PE=PC．∵PC=PD，∴PD=PE．在Rt△PAD与Rt△PAE中，{PA=PA，PD=PE∴Rt△PAD≌Rt△PAE(HL)，∴∠APD=∠APE．∵∠APD+∠APE=180∘−2×35∘=110∘，∴∠APD=55∘，∴∠PAD=90∘−∠APD=35∘．4.【答案】:C【解析】:作PM⊥OB于点M．∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=3，∴PN≥3. 故选 C5.【答案】:B【解析】:因为BE平分∠ABC，∠ACB=90°，DE⊥AB于点D，所以DE=EC，AE+DE=AE+EC=AC=3cm.故选 B.6.【答案】:A【解析】:如图，过点D作DF⊥AC于点F．∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2.由图可知S△ABC=S△ABD+S△ACD，即12×4×2+12AC×2=7，解得AC=3.故选A．7.【答案】:12【解析】:解：∵∠C=90∘，∴AC⊥CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD．∵BC=9，BE=3，∴△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12.8.【答案】:6cm【解析】:如图，过点P作PN⊥BC于点N，PQ⊥AB,交AB的延长线于点Q．∵PB，PC分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，PM⊥AC,∴PN=PM，PQ=PN，∴PQ=PM．∵PM=6cm，∴PQ=6cm，即点P到AB的距离为6cm．9.【答案】:4【解析】:如图，过点O作MN，使MN⊥AB于M，交CD于N．∵AB//CD，∴MN⊥CD．∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，∴OM=OE=2.∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON=OE=2，∴MN=OM+ON=4，即AB与CD之间的距离是4.10.【答案】:解：CE=CF．理由：∵AD=AB，DC=BC，AC=AC，∴△ACD≌△ACB，∴∠DAC=∠BAC，∴AC为∠EAF的平分线．∵CE⊥AE，CF⊥AF，∴CE=CF(角平分线上的点到角两边的距离相等).11.【答案】:A12.【答案】:B【解析】:∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，∴PC=PD，故A项正确．在Rt△OCP与Rt△ODP中，∵OP=OP,PC=PD,∴Rt△OCP≌Rt△ODP，∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C，D两项正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B项错误．故选B13.【答案】:已知：在△ABC中，∠C=90∘．求证：∠A+∠B=90∘．证明：∵∠A+∠B+∠C=180∘，而∠C=90∘，∴∠A+∠B=90∘，即∠A与∠B互余.14.【答案】:C【解析】:根据作图方法可得AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50∘，∠CAB=25∘，∴∠CAD=12∵∠C=90∘，∴∠CDA=90∘−25∘=65∘.故选C.15.【答案】:A【解析】:解：由题意可得AH平分∠CAB．∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180∘，∠HAB=∠AHC．∵∠ACD=140∘，∴∠CAB=40∘．∵AH平分∠CAB，∴∠HAB=20∘，∴∠AHC=20∘.。

1.4 角平分线的性质第1课时角平分线的性质定理要点感知角平分线的性质定理：角的平分线上的点到__________的距离相等.预习练习已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，则点D到AC的距离是( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.6 cm知识点角平分线的性质1.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=8，BD=5，则点D到AB的距离等于( )A.5B.4C.3D.22.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为( )A.1B.2C.3D.4第2题图第3题图第4题图3.如图，P是∠AOB的平分线OC上一点(不与O重合)，过P分别向角的两边作垂线PD，PE，垂足是D，E，连接DE，那么图中全等的直角三角形共有( )A.3对B.2对C.1对D.没有4.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB∶AC=3∶2，则△ABD与△ACD的面积之比为__________.5.如图，已知BD是∠ABC的内角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D 到BC，AC和AB的垂线DE，DF和DG，垂足分别为E，F，G，则DE，DF，DG的关系是__________.第5题图第6题图6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，ED⊥AB于D，ED=3，AE=5，则AC=__________.7.如图，已知CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD,CE交于点O且AO平分∠BAC.求证：OB=OC.8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：∠B=∠C.9.如图，△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD 的面积分别为S1、S2，则S1∶S2等于( )A.2∶1B.2∶1C.3∶2D.2∶3第9题图第10题图第11题图10.如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC=6，那么PD等于( )A.4B.3C.2D.111.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是( )A.3B.4C.5D.612.如图所示，若AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=3 cm，则AB与CD之间的距离为( )A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.无法确定第12题图第13题图第14题图13.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC=8 cm，且CD∶AD=1∶3，则点D到AB的距离为__________cm.14.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点.如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为__________.15.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，求证：BD+DE=AC.16.已知：如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB.17.如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB,AC于E,F两点.求证：AD⊥EF.18.如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB 于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论.参考答案要点感知角的两边预习练习 B1.C2.B3.A4.3∶25.DE=DF=DG6.87.证明：∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，∴OE=OD.在Rt△OBE和Rt△OCD中，∠EOB=∠DOC，∠BEO=∠CDO=90°，∴△OBE≌△OCD(ASA).∴OB=OC.8.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°.∵D是BC的中点，∴BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，DB=DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴∠B=∠C.9.A 10.B 11.A 12.B 13.2 14.515.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE.∴BC=BD+CD=BD+DE.∵AC=BC，∴AC=BD+DE.16.证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，∴DE=DC.又∵BD=DF，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB.17.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°.∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA.∴AD⊥EF.18.相等.证明：连接EB，EC.∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF=EG.∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，∴EB=EC.∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL).∴BF=CG.。

角的平分线的性质同步练习含答案解析一、填空题1．如图，∠B=∠D=90゜，依照角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2，则______=______．（2）若∠3=∠4，则______=______．2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=12，BC=15，S△ABD =36，则S△BCD=______．3．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO ：S△BCO：S△CAO等于______．4．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=2AC．则S△ABD ：S△ACD=______．二、选择题5．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图△ABC中，∠ACB=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm，则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm7．在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC 长为（）A．10 B．20 C．15 D．258．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定三、解答题9．如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．10．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：PE=PF．11．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．12．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S=90，AB=18，BC=12，求DE的长．△ABC13．如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．《12.3 角的平分线的性质》参考答案与试题解析一、填空题1．如图，∠B=∠D=90゜，依照角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2，则BC = DC ．（2）若∠3=∠4，则AB = AD ．【考点】角平分线的性质．【分析】（1）依照角平分线性质推出即可；（2）依照角平分线性质推出即可．【解答】解：（1）∵∠B=∠D=90°，∴AB⊥BC，AD⊥DC，∵∠1=∠2，∴BC=CD，故答案为：BC，DC．（2）∵AB⊥BC，AD⊥DC，∵∠3=∠4，∴AB=AD，故答案为：AB，AD．【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边距离相等．2．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=12，BC=15，S△ABD =36，则S△BCD= 45 ．【考点】角平分线的性质．【分析】第一依照△ABD的面积运算出DE的长，再依照角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF，然后运算出DF的长，再利用三角形的面积公式运算出△BCD的面积即可．【解答】解：∵S△ABD=36，∴•AB•ED=36，×12×ED=36，解得：DE=6，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∴DE=DF，∴DF=6，∵BC=15，∴S△BCD=•CB•DF=×15×6=45，故答案为：45．【点评】此题要紧考查了角平分线的性质，关键是把握角平分线上的点到角两边的距离相等．3．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO ：S△BCO：S△CAO等于2：3：4 ．【考点】角平分线的性质；三角形的面积．【专题】常规题型．【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．【解答】解：过点O 作OD ⊥AC 于D ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，∵O 是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF ，∵AB=20，BC=30，AC=40，∴S △ABO ：S △BCO ：S △CAO =2：3：4．故答案为：2：3：4．【点评】此题要紧考查角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线专门关键．4．如图，AD 是△ABC 的角平分线，若AB=2AC ．则S △ABD ：S △ACD = 2 ．【考点】角平分线的性质．【分析】过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥AB 于N ，依照角平分线性质得出DM=DN ，依照三角形面积公式求出即可．【解答】解：过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥AB 于N ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴DM=DN ，∴S △ABD ：S △ACD =（AB ×DN ）：（AC ×DM ）=AB ：AC=2AC ：AC=2，故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．二、选择题5．如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理：①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；③∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】角平分线的性质．【分析】直截了当依照角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．6．如图△ABC中，∠ACB=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，BD=3cm，则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【考点】角平分线的性质．【分析】依照角平分线的性质得出CD长，代入BC=BD+DC求出即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE=DC=1.5cm，∵BD=3cm，∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm，故选D．【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC 长为（）A．10 B．20 C．15 D．25【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于E，依照角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE，然后求出BD的长，再依照BC=BD+DE代入数据进行运算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵点D到AB的距离为6，∴DE=6，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，∴DC=DE=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=×3=9，∴BC=BD+DE=9+6=15．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．8．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定【考点】角平分线的性质．【分析】依照三角形的角平分线相交于一点，连接AO，则AO平分∠BAC，然后依照角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，∴AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD=OE．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，依照三角形的角平分线相交于一点作辅助线并判定出AO平分∠BAC是解题的关键．三、解答题9．如图，△ABC中，∠C=90゜，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）依照角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；（2）利用“边角边”证明△BDE和△FDC全等，再依照全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DC；（2）在△BDE和△FDC中，，∴△BDE≌△FDC（SAS），∴BD=DF．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．10．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点P是AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：PE=PF．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】依照“SSS”可得到△ABC≌△ADC，则∠BCA=∠DCA，再利用角平分线的性质即可得到结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA=∠DCA，∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，∴PE=PF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：三边都对应相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．11．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】依照角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD（SAS），然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND，最后依照全等三角形的对应边相等推知PM=PN．【解答】证明：在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），∠ABD=∠CBD（角平分线的性质），BD=BD（公共边），∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°；又∵PD=PD（公共边），∴△PMD≌△PND（AAS），∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．由已知证明△ABD≌△CBD是解决的关键．12．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S=90，AB=18，BC=12，求DE的长．△ABC【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DF⊥BC于F，依照角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后依照三角形的面积列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，=AB•DE+BC•DF=90，∴S△ABC即×18•DE+×12•DE=90，解得DE=6．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．13．如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）依照角平分线性质得出OR=OQ=OP，依照勾股定理起床AR=AQ，CQ=CP，BR=BP，得出方程组，求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘，ON⊥AB于N，求出OM=ON，证出△FON≌△EOM即可．【解答】解：连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR=OQ，OR=OP，∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，∴AR=AQ，同理BR=BP，CQ=CP，即O在∠ACB角平分线上，设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，则x=3，y=5，z=4，∴BP=3，CQ=5，AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，∵O在∠A的平分线，∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，∵∠A=60°，∴∠NOM=120°，∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，∴∠FON=∠EOM，在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM，∴OE=OF．【点评】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．。

角平分线的性质练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，BD是角B的平分线，若AB=5，BC=7，AC=6，那么BD的长度为：A. 4B. 6C. 8D. 无法确定2. 如果角平分线将三角形分成两个面积相等的部分，那么这两个部分的底边分别是：A. 相等B. 不相等C. 一个底边是另一个的两倍D. 底边长度无法确定3. 在三角形ABC中，角A的平分线与BC相交于点D，若AD=4，AC=8，那么AB的长度可能是：A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题4. 在三角形ABC中，如果角A的平分线将BC分为BD和DC两段，BD=DC，那么三角形ABD与三角形ACD的面积之比为________。

5. 若角平分线定理告诉我们，在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，则AB：AC=______：______。

6. 在三角形ABC中，如果角A的平分线与BC相交于点D，且AD垂直于BC，那么角B和角C的度数之和为________。

三、简答题7. 描述角平分线定理的内容，并给出一个应用此定理的几何问题。

8. 解释为什么在三角形中，角平分线可以将对边分成的两段长度与相邻两边成比例。

四、计算题9. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且BD=3，DC=4，AB=6，求AC的长度。

10. 在三角形ABC中，角B的平分线BE与AC相交于点E，已知AE=4，EC=6，AB=5，求BC的长度。

五、证明题11. 证明：在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，那么AB/AC = BD/DC。

12. 证明：如果点D在三角形ABC的边BC上，且AD是角A的平分线，那么三角形ABD与三角形ACD的面积相等。

六、综合题13. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且AD=2，BD=3，DC=4，AB=5，求BC的长度，并证明你的结论。

14. 给定三角形ABC，其中角A的平分线AD与BC相交于点D，角B的平分线BE与AC相交于点E。

八年级数学同步练习题及答案：角的平分线的性质【模拟试题】（答题时间：90分钟）一. 选择题1. 如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A. PC＞PDB. PC＝PDC. PC＜PDD. 不能确定2. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）A. BC＞AEB. BC＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4. 如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB 的距离是（）A.3B. 4B. C. 5 D. 65. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DEB. ∠AED＝90°C. ∠ADE＝∠ADCD. DB＝DC6. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定二. 填空题9. 如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．10. 如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．11. 如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．13. 如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C在__________．14. 如图所示，在R t△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．15. （1）∵OP平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴__________（依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP平分∠AOB（依据：___________）．三. 解答题16. 已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．。

七年级数学下册《第十二章全等三角形-角的平分线的性质》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且1CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是______．2．如图，点P 在AOB ∠内，因为PM OA ⊥，PN OB ⊥，垂足分别是M 、N ，PM PN =，所以OP 平分AOB ∠，理由是______．3．如图，ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，将ABC 分成三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S 等于__________．4．如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中30ABC ∠=︒），OM AB ⊥于点M ，ON BC ⊥于点N ，若OM ON =，则ABO ∠=_________度．5．如图，BE、CF都是ABC的角平分线，且110∠=︒，则ABDC∠=___________．二、单选题6．如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOE≅FOE，你认为要添加的那个条件是（）A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE<，将ABC以点A为中心逆时针旋转得到ADE，点D在BC边上，DE交7．如图，在ABC∆中，AB AC∠=∠，其中所有正确结论的AC于点F．下列结论：∠AFE DFC△△；∠DA平分BDE∠；∠CDF BAD序号是（）A．∠∠B．∠∠C．∠∠D．∠∠∠8．如图，三条公路两两相交，现计划在∠ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是∠ABC（）的交点．A．三条角平分线B．三条中线C ．三条高的交点D ．三条垂直平分线9．如图，Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB ＝10，S △ABD ＝15，则CD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题10．已知40AOB ∠=︒．(1)用直尺和圆规作出AOB ∠的平分线OD （不写作法，但保留作图痕迹，写出结论）；(2)已知AOB ∠与BOC ∠互为补角，画出符合条件的所有可能的图形，并求出COD ∠的度数．11．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，一段圆弧经过网格的格点A 、B 、C ．(1)请完成如下操作：∠以点O 为原点，竖直和水平方向所在的直线为坐标轴，小正方形的边长为单位长，建立平面直角坐标系； ∠用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置，不写作法，保留作图痕迹，并连接AD 、CD ．(2)请在（1）的基础上，解答下列问题：∠写出点的坐标：C ______、D ______；∠D 的半径为______（结果保留根号）；∠若扇形DAC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面积为______（结果保留π）；∠若点E 的坐标为()7,0，试判断直线EC 与D 的位置关系，并说明理由．12．如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．13．如图，∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，若点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A －C －B －A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)若点P 在AC 上，且满足P A ＝PB 时，求此时t 的值；(2)若点P 恰好在∠BAC 的平分线上，求t 的值．14．如图，在∠ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD ＝CD ，DE ∠AB ，DF ∠AC ，垂足分别为E 、F ，求证：AB ＝AC参考答案：1．1【分析】过点C 作CE ∠OB 于点E ，根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：过点C 作CE ∠OB 于点E ，∠点C 在∠AOB 的平分线上，CD ∠OA 于点D ，且CD ＝1，∠CE ＝CD ＝1，即CE 长度的最小值是1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．2．角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上【分析】根据角平分线判定定理即可得到结果．【详解】解：∠PM∠OA ，PN∠OB ，PM=PN∠OP 平分∠AOB （在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）故答案为：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上．【点睛】本题考查角平分线判定定理，掌握角平分线判定定理的内容是解题的关键．3．2：3：4【分析】过点O 分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．【详解】解：过点O 分别向BC 、BA 、AC 作垂线段交于D 、E 、F 三点．∠CO 、BO 、AO 分别平分、、ACB CBA BAC ∠∠∠∠OD OE OF == ∠12ABO SAB OE =，12△BCO S BC OD =，12△CAO S AC OF = ∠::::10:15:202:3:4ABO BCO CAO S S S AB BC AC ===故答案为：2：3：4【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键．4．15【分析】根据ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =判断OB 是ABC ∠的角平分线，即可求解．【详解】解：由题意，ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =，即点O 到BC 、AB 的距离相等，∠ OB 是ABC ∠的角平分线，∠ 30ABC ∠=︒， ∠1152ABO ABC ∠=∠=︒． 故答案为：15．【点睛】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．5．40°##40度【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．【详解】解：∠BE 、CF 都是∠ABC 的角平分线，∠∠A ＝180°−（∠ABC ＋∠ACB ），＝180°−2（∠DBC ＋∠BCD ）∠∠BDC ＝180°−（∠DBC ＋∠BCD ），∠∠A ＝180°−2（180°−∠BDC ）∠∠BDC ＝90°＋12∠A ，∠∠A ＝2（110°−90°）＝40°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．6．D【分析】根据OB 平分∠AOC 得∠AOB =∠BOC ，又因为OE 是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∠OB 平分∠AOC∠∠AOB =∠BOC当∠DOE ∠∠FOE 时，可得以下结论：OD =OF ，DE =EF ，∠ODE =∠OFE ，∠OED =∠OEF ．A 答案中OD 与OE 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应边，A 不正确；B 答案中OE 与OF 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应边，B 不正确；C 答案中，∠ODE 与∠OED 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应角，C 不正确；D 答案中，若∠ODE =∠OFE ，在∠DOE 和∠FOE 中，DOE FOE OE OEODE OFE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∠∠DOE ∠∠FOE （AAS ）∠D 答案正确．故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．7．D【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∠将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，∠ADE ABC ≌，E C ∴∠=∠，AFE DFC ∠=∠，∴AFE DFC △△，故∠正确；ADE ABC ≌，AB AD ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，ADE ABC ∠=∠，ADB ADE ∴∠=∠，∴DA 平分BDE ∠，故∠正确；ADE ABC ≌，BAC DAE ∴∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠，AFE DFC△△，CAE CDF∴∠=∠，CDF BAD∠=∠∴，故∠正确故选D【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．8．A【分析】根据角平分线的性质即可得到探照灯的位置在角平分线的交点处，即可得到结论．【详解】解：∠探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，∠探照灯位置是∠ABC的三条角平分线上，故选：A．【点睛】此题考查了角平分线的性质，数据角平分线的性质定理是解题的关键．9．B【分析】过点D作DE∠AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用∠ABD 的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE∠AB于E，∠∠C＝90°，AD平分∠BAC，∠DE＝CD，∠S△ABD＝12AB•DE＝12×10•DE＝15，解得：DE＝3，∠CD＝3.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．10．(1)见解析(2)图见解析，60°或120°【分析】（1 ）根据角平分线的定义作出图形即可；（2）分两种情形，分别画出图形求解即可．（1）解：如图，射线OD即为所求．（2）解：如图，∠BOC与∠AOB、∠BOC'与∠AOB都互为补角，∠∠AOB=40°，且OD平分∠AOB，∠∠BOC=140°，∠BOC'=140°，∠AOD=∠BOD=12∠AOB=20°，当射线OA在∠BOC的外侧时，∠COD=∠BOC+∠BOD=140°+20°=160°；当射线OA在∠BOC'内部时，∠C'OD=∠BOC'-∠BOD=140°-20°=120°．综上，∠COD的度数为60°或120°．【点睛】本题考查作图 复杂作图，角平分线的定义，补角的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11．(1)答案见详解(2)∠62（，）；20（，）；∠∠54π；∠相切，理由见详解 【分析】（1）∠根据叙述，利用正方形的网格即可作出坐标轴；∠利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，即可得到D ．（2）∠利用（1）中所作的坐标系，即可表示出点的坐标；∠在Rt OAD 中，利用勾股定理即可求得半径长；∠理由直角三角形全等可证得∠ADC =90°，则可求得AC 的长度，AC 的长就是圆锥的底面圆的周长，在利用圆的周长公式即可求得答案；∠利用勾股定理逆定理证明DCE 为直角三角形即可证得DC CE ⊥，从而即可得出结论．（1）∠如图，建立平面直角坐标系；∠利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，即可得到D ，如图所示：（2）∠根据平面直角坐标系可得C （6，2）；D （2，0）；故答案为：C （6，2）；D （2，0）；∠在Rt AOD △中，90AOD ∠=︒,4AO =，2OD =，AD =故答案为：∠由∠得AD =在Rt DCF △中，90DFC ∠=︒，4DF =，2CF =，DC ∴在Rt AOD △和Rt DFC 中，AD DC OA DF=⎧⎨=⎩， ()Rt AOD Rt DFC HL ≅，DAO CDF ∴∠=∠，90DAO ADO ∠+∠=︒，90CDF ADO ∴∠+∠=︒，18090ADC ADO CDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，AC ∴==，由2r π=，解得r =2254S r πππ∴===⎝⎭， ∴该圆锥的底面积为54π， 故答案为：54π． ∠直线EC 与D 相切，由图可知，在Rt CEF 中，90CFE ∠=︒，1EF =，2CF =，22222125CE EF CF ∴=+=+=，又由∠得DC =2220DC ==，2220525DC CE +=+=，22525DE ==，222DC CE DE ∴+=，∴DCE 为直角三角形，90DCE ∠=︒，DC CE ∴⊥，∴直线EC 与D 相切．【点睛】本题考查了不共线的三点确定圆心的方法、直线与圆相切的判定、根据平面直角坐标系写出点的坐标、勾股定理和圆锥的侧面展开图的弧长即为圆锥的底面圆的周长，垂径定理，圆锥的计算，正确求出弧长是难点．12．见解析【分析】根据角平分线的性质得PD PE =，再用HL 证明OPD OPE ≌．【详解】证明：∠AOC BOC ∠=∠，∠OC 为AOB ∠的角平分线，又∠点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，∠PD PE =，90PDO PEO ∠=∠=︒，又∠PO PO =（公共边），∠()HL OPD OPE ≌．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键． 13．(1)254 (2)323【分析】（1）连接PB ，在Rt ∠ABC 中，根据勾股定理得AC =6，由于AP ＝PB ＝t ，则PC ＝8-t ，在Rt ∠PCB 中，根据勾股定理得222PC BC PB +=，进行计算即可得；（2）由题意得，PC ＝t -8 ， PB ＝14-t ，过点P 作PE ∠AB ，由于AP 平分∠BAC ，且∠ACB ＝90°得PC ＝PE ，根据HL 得Rt ∠ACP ∠Rt ∠AEP ，即可得AC ＝AE ＝8， BE ＝2，在 Rt ∠PEB 中，根据勾股定理得222PE BE PB +=，进行计算即可得．（1）解：如图所示，连接PB ，∠在Rt ∠ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠8AC =由于AP ＝PB ＝t ，则PC ＝8-t ，在Rt ∠PCB 中，根据勾股定理得：222PC BC PB +=222(8)6t t -+= 解得254t =， 即此时t 的值为254． （2）解：由题意得，PC ＝t -8 ， PB ＝14-t ，如图所示，过点P 作PE ∠AB ，由于AP 平分∠BAC ，且∠ACB ＝90°，∠ PC ＝PE ，在Rt ∠ACP 与Rt ∠AEP 中，PC PE AP AP =⎧⎨=⎩∠Rt ∠ACP ∠Rt ∠AEP （HL ），∠AC ＝AE ＝8， BE ＝2，在 Rt ∠PEB 中，根据勾股定理得，222PE BE PB +=，222(8)2(14)t t -+=- 解得：323t =， ∠当点P 在∠BAC 的平分线上时，t 的值为323． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握这些知识点．14．证明见解析【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt∠BDE≅Rt∠CDF(HL)，根据全等三角形的性质得到结论．【详解】证明：∠AD是∠ABC的角平分线又∠DE∠AB于E，DF∠AC于F∠DE=DF，∠BED=∠CFD=90°又∠BD=CD∠Rt∠BED∠Rt∠CFD（HL）∠∠B=∠C∠AB=AC．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．。

111.3 角平分线的性质（1）1.在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为 。

2.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到OA 的距离为1.5㎝，则M 到OB 的距离为 ㎝。

3.如图，∠A ＝90°，BD 是△ABC 的角平分线，AC ＝8㎝，DC ＝3DA ，则点D 到BC 的距离为 。

4.如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD5.三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点6. 如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB=DC ．求证：BE=CF ．7.已知，如图BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， PN ⊥CD 于D ，求证：PM ＝PN 。

8、已知：如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且BO=CO ． 求证：O 在∠BAC 的角平分线上．9、如图：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足为C ，D 。

求证：（1）OC=OD ，（2）DF=CF 。

【能力提升】10.（安徽）如图，直线 表示三条相互 交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条 公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 11、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .第3题图D AB C 21D A PO E B第4题图CN P M D BAOFEDCBA。

处 D 、4处第4题 第5题 第6题DCAEB1． 已知：△ABC 中，∠B =90°， ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为的度数为 . 2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 4．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 课堂练习课堂练习5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm . 6．如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF ______FG ，CE ________CF . 7．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（为（ ）A 、4㎝B 、6㎝C 、10㎝D 、不能确定、不能确定9． 如图，已知△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，求证：D 到AB 、AC 的距离相等. D CB A8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．相等．9．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（，下列结论错误的是（ ）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD 3．如图，．如图，直线直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A 、1处B 、2处C 、321DAP OE 、∠QTN ＝90° D 、∠NQT ＝∠MQTNTQPMEDCBAEDC BAF第15题 第16题 第17题16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( ) A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm 17．如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（的平分线上．其中正确的是（ ）A ．①．①B ．②．②C ．①和②．①和②D ．①②③．①②③22． 如图，已知BE ⊥AC于Bl 2l 1l 3第12题 第13题15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（ ）A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC . 26．如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB . 。

角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

专题12.10角平分线的性质（精选精练）（专项练习）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（23-24八年级下·辽宁辽阳·阶段练习）如图，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，垂足为.E ABC V 的面积为12,7,2AB DE ==，则BC 的长为（）A ．7B ．6C ．5D ．42．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，垂足为E ，7ABC S =△，2DE =，4AB =，则AC 长是（）A ．6B ．5C ．4D ．33．（24-25八年级上·全国·假期作业）在ABC 中，点O 是ABC 内一点，且点O 到ABC 三边的距离相等．若40A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒4．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，直线l l l '''、、表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有（）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处5．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，AOB 的外角CAB ∠，DBA ∠的平分线AP ，BP 相交于点P ，PE OC ⊥于E ，PF OD ⊥于F ，下列结论：()1PE PF =；()2点P 在COD ∠的平分线上；()31902APB O ∠=︒-∠，其中正确的有（）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．（2024·山东烟台·一模）如图，在ABC 中，70BAC ∠=︒，根据图中尺规作图痕迹，BOC ∠的度数为（）A ．140︒B ．135︒C ．125︒D ．120︒7．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，ABC 的周长为23，BAC ∠和ABC ∠的角平分线交于点O ，且OD AB ⊥于点D ，4OD =，则ABC 的面积为（）A ．23B ．34C ．39D ．468．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知AOB ∠，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点E ，交OB 于点F ，分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧在AOB ∠的内部相交于点P ，点T 在射线OP 上，过点T 作TM OA ⊥，TN OB ⊥，垂足分别为点M ，N ，点G ，H 分别在OA ，OB 边上，180GTH AOB ︒∠+∠=．若5OM =，则OG OH +的值为（）A ．12B ．8C ．152D ．109．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）如图，AD 是ABC 的角平分线，DF AB ⊥，垂足为F ，DE DG =，ADG △和AED △的面积分别为48和26，则EDF 的面积为（）A ．11B ．22C ．26D ．3710．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在ABC 中，延长BA 到点E ，延长BC 到点F ．,ABC EAC ∠∠的角平分线,BP AP 交于点P ，过点P 分别作,PM BE PN BF ⊥⊥，垂足为,M N ，则下列结论正确的有（）①CP 平分ACF ∠；②2180ABC APC ∠+∠=︒；③2ACB APB =∠∠；④PAC MAP NCP S S S +=△△△．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在ABC 中，CD 是AB 边上的高线，ABC ∠的平分线交CD 于E ，当6BC =，BCE 的面积为12时，DE 的长为．12．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，点M 在ABC ∠内，ME AB ⊥于E 点，MF BC ⊥于F 点，且ME MF =，70ABC ∠=︒，则BME ∠=．13．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在ABC 中，6050ABC BAC ∠=︒∠=︒，，点D 在AB 的延长线上，BAC ∠的平分线与CBD ∠的平分线相交于点E ，连接CE ，则BCE ∠=．14．（19-20八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在ABC 中，BD 是边AC 上的高，CE 平分ACB ∠，交BD 于点E ，2DE =，5BC =，则BCE 的面积为．15．（2024·湖南岳阳·二模）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，5BC =，3CD =．按下列步骤作图：①以点D 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA ，DC 于E ，F 两点；②分别以点E ，F 为圆心以大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ；③连接DP 并延长交BC 于点G ．则BG 的长是．16．（2024·重庆·三模）如图，四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，BC DC CE AD =⊥，于点E ，127AD AB ==，，则DE 的长为．17．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在ABD 中，BC 平分ABD ∠，DE 为高，135ACB ABD ∠=︒ ，的面积为6，4AE =，则BD 的长为．18．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将ABC 纸片沿DE 折叠，点A 落在点A '处，恰好满足A B '平分,ABC A C ∠'平分ACB ∠，若1125∠=︒，则2∠度数为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．（1）若40ABC ∠=︒，70ACB ∠=︒，求BDC ∠的度数；（2）若2DE =，9BC =，求BCD △的面积．20．（8分）（2024·广东汕头·二模）如图，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，5BC =，（1）作ABC ∠的平分线，交AC 于点D ；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设ABD △的面积为1S ，BCD △的面积为2S ，试求12:S S 的值．21．（10分）（23-24八年级下·安徽阜阳·开学考试）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 是AC 上一点，DE AB ⊥于点E ，且DE DC =．（1）求证：BD 平分ABC ∠；（2）若36A ∠=︒，求DBC ∠的度数．22．（10分）（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，若BD CD BE CF ==，．（1）求证：AD 平分BAC ∠；（2）直接写出AB AC AE ，，之间的等量关系．23．（10分）（21-22八年级上·湖北黄冈·期中）如图，CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 交于点H ，连接CH ．（1）求证：AD BE =；（2）求证：CH 平分AHE ∠；（3）求CHE ∠的度数．（用含α的式子表示）24．（12分）（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍.【问题提出】（1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明CAD DAB ∠=∠的依据是AFD AED △≌△，这两个三角形全等的判定条件是______．【问题探究】（2）①巧翻折，造全等如图②，在ABC 中，AB AC AD <，是ABC 的角平分线，请说明B C ∠>∠．小明在AC 上截取AE AB =．连接DE ，则()SAS ABD AED ≌．请继续完成小明的解答；②构距离，造全等如图③，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90B Ð=°，BAD ∠和CDA ∠的平分线AE ，DE 交BC 于点E ．过点E 作EF AD ⊥于点F ．若12cm BC =，求点E 到AD 的距离；【问题解决】（3）如图④，在ABC 中，60A ∠=︒，BE ，CF 是ABC 的两条角平分线，且BE ，CF 交于点P ．请判断PE 与PF 之间的数量关系，并说明理由．参考答案：1．C【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作DF BC ⊥于F ，根据角平分线的性质得到DF DE =，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：作DF BC ⊥于F ，BD 是ABC 的角平分线，,DE AB DF BC ⊥⊥，2,DF DE ∴==111222AB DE BC DF ∴⨯⨯+⨯⨯=117221222BC ∴⨯⨯+⨯⨯=5BC ∴=故选：C ．2．D【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．过点D 作DF AC ⊥于F ，得到2DE DF ==，然后利用ABC 的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过点D 作DF AC ⊥于F ，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，2DE DF ∴==，11422722ABC S AC ∴=⨯+⨯= ，解得3AC =．故选：D ．3．A【分析】本题考查了角平分线的判定定理，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可推出O 是ABC 三条角平分线的交点，即BO 是ABC ∠的角平分线，CO 是ACB ∠的角平分线，再利用三角形内角和定理即可求出BOC ∠的度数．【详解】O 到ABC 三边的距离相等O ∴是三条角平分线的交点∴BO 是ABC ∠的角平分线，CO 是ACB ∠角平分线∴12CBO ABO ABC ∠=∠=∠，12BCO ACO ACB ∠=∠=∠40A ∠=︒∴180********ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒∴11()1407022CBO BCO ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒∴18070110BOC ∠=︒-︒=︒故选：A ．4．D【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，可得可供选择的地址有4个．【详解】解：作直线l l l '''、、所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，如图所示：外角平分线分别相交于点123,,P P P ，且内角平分线相交于点4P ，∴角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．故选：D ．5．A【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质和判定、全等三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和判定．作PG AB ⊥可通过角平分线的性质判断()1；根据角平分线的判定判断()2；利用Rt PEA Rt PGA ≌和Rt PGB Rt PFB ≌推得12EPA GPA EPG ∠=∠=∠，12FPB GPB FPG ∠=∠=∠，再根据APB GPA GPB ∠=∠+∠即可判断()3，综上即可得解．【详解】解：作PG AB ⊥于点G ，AP 、BP 分别平分CAB ∠、DBA ∠，且PE OC ⊥、PF OD ⊥、PG AB ⊥，PE PG ∴=，PF PG =，PE PF ∴=，()1∴正确；PE PF = 且PE OC ⊥、PF OD ⊥，P ∴在COD ∠的平分线上，()2∴正确；四边形OEPF 中，PE OC ⊥，PF OD ⊥，360180O EPF PEO PFO ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒，在Rt PEA 和Rt PGA 中，PA PA PE PG =⎧⎨=⎩，Rt PEA Rt PGA ∴ ≌，12EPA GPA EPG ∴∠=∠=∠，同理可得Rt PGB Rt PFB ≌，12FPB GPB FPG ∴∠=∠=∠，1122APB GPA GPB EPG FPG ∴∠=∠+∠=∠+∠，()1118022EPF O =∠=︒-∠，1902O =︒-∠，()3∴正确；综上，()()()123都正确．故选：A ．6．C【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和，尺规作一个角的平分线．解题的关键是确定点O 为三条角平分线的交点．由作图可知，点O 为三条角平分线的交点，利用角平分线平分角和三角形的内角和定理进行求解即可．【详解】解：∵ABC 中，70BAC ∠=︒，∴110ACB ABC ∠+∠=︒，由作图可知，点O 为三条角平分线的交点，∴1122OBC ABC OCB ACB ∠=∠∠=∠，，∴115522OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒，∴18055125BOC ∠=︒-︒=︒；故选C ．7．D【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键．过点O 作OE AC ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得4OD OE OF ===，再根据三角形面积计算即可．【详解】解：如图:过点O 作OE AC ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，,ABC BAC ∠∠ 的平分线交于O ，OE AC ⊥，OF BC ⊥，OD AB ⊥，∴OD OF =，OD OE =，∴4OD OE OF ===，∴ABC 的面积()()211423446cm 22ABO BCO ACO S S S AB BC AC =++=++⨯=⨯⨯= ．故选D ．8．D【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知OP 平分AOB ∠，由角平分线的性质定理可得TM TN =，进而证明()Rt Rt HL OTM OTN ≌，由全等三角形的性质可得OM ON =，再证明()Rt Rt AAS MTG NTH ≌，可得MG NH =，然后由OG OH OM MG ON NH OM ON +=-++=+求解即可．【详解】解：根据题意，可知OP 平分AOB ∠，∵TM OA ⊥，TN OB ⊥，∴TM TN =，90TMO TNO ∠∠==︒，∴36099090180MTN AOB ∠∠+=︒-︒-︒=︒，又∵OT OT =，∴()Rt Rt HL OTM OTN ≌，∴5OM ON ==，∵180GTH AOB ︒∠+∠=，∴MTN GTH ∠∠=，∴MTG NTH ∠∠=，∴()Rt Rt AAS MTG NTH ≌，∴MG NH =，∴10OG OH OM MG ON NH OM ON +=-++=+=．故选：D ．9．A【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作DH AC ⊥于H ，根据角平分线的性质得到DF DH =，证明Rt Rt FDE HDG ≌，Rt Rt FDA HDA ≌，根据题意列方程，解方程即可．【详解】解：如图，作DH AC ⊥于H ，AD 是ABC 的角平分线，DF AB ⊥，DH AC ⊥，DF DH ∴=，在Rt FDE △和Rt HDG △中，DF DH DE DG=⎧⎨=⎩，Rt Rt (HL)FDE HDG ∴ ≌，同理，Rt Rt (HL)FDA HDA ≌，设EDF 的面积为x ，由题意得，4826x x -=+，解得11x =，即EDF 的面积为11，故选：A10．D【分析】①过点P 作PD AC ⊥于点D ，根据角平分线的性质推出PD PN =即可进行判断；②证Rt Rt PAM PAD ≌，Rt Rt PCD PCN ≌即可进行判断；③根据“PA 平分CAE ∠，BP 平分ABC ∠”即可进行判断；④由②中全等三角形的性质即可进行判断．【详解】解：①如图，过点P 作PD AC ⊥于点D ，∵ABC EAC ∠∠，的平分线BP AP ，交于点P ，PM BE ⊥，PN BF ⊥，PD AC ⊥，PM PN ∴=，PD PM =，∴=PD PN ，∴PN BF ⊥，PD AC ⊥，∴CP 平分ACF ∠，故①正确；②PM AB ⊥ ，PN BC ⊥，9090360ABC MPN ∴∠+︒+∠+︒=︒，180ABC MPN ∴∠+∠=︒，在Rt PAM 和Rt PAD △中，PM PD PA PA=⎧⎨=⎩()Rt Rt HL PAM PAD ∴ ≌，APM APD ∴∠=∠，同理：()Rt Rt HL PCD PCN ≌，CPD CPN ∴∠=∠，2MPN APC ∴∠=∠，2180ABC APC ∴∠+∠=︒，故②正确；③PA 平分CAE ∠，BP 平分ABC ∠，2CAE ABC ACB PAM ∴∠=∠+∠=∠，12PAM ABP APB ABC APB ∠=+=∠+∠∠∠，2CAE ABC ACB ABC APB∴∠=∠+∠=∠+∠2ACB APB ∴∠=∠，③正确；④由②可知()Rt Rt HL PAM PAD ≌，()Rt Rt HL PCD PCN ≌，APD MAP S S ∴= ，CPD NCP S S = ，PAC APD CPD MAP NCP S S S S S +=∴=+ ，故④正确．综上分析可知，正确的有4个，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质、全等三角形的判断及性质，三角形外角的性质，四边形内角和定理等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．11．4【分析】本题考查了角平分线的性质，过点E 作EF BC ⊥于点F ，根据角平分线的性质可得出DE EF =，由三角形面积可得出EF ，即可求出DE 的长．【详解】解：过点E 作EF BC ⊥于点F ，如图所示．∵BE 平分ABC ∠，且ED AB ⊥，∴DE EF =．∵12BCE S BC EF =⋅ ，即11262EF =⨯⨯，∴4EF =，∴4DE =．故答案为：4．12．55︒/55度【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上．根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD 平分ABC ∠，再根据三角形内角和定理求解．【详解】∵ME AB ⊥，MF BC ⊥，且ME MF =，∴1352ABM CBM ABC ∠=∠=∠=︒∴18055BME ABM BEM ∠=︒-∠-∠=︒．故答案为：55︒．13．55︒【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，掌握角平分线性质和判定是解题的关键．根据角平分线的性质即可求得点E 到AC BC AB 、、的距离相等，再利用角平分线的判定即可得到CE 是BCH ∠的角平分线，进而得到BCE ∠的度数．【详解】解：过点E 分别作EH CH ⊥，EF BD ⊥，EG BC ⊥，垂足分别为H ，F ，G ，∵BAC ∠的平分线与CBD ∠的平分线相交于点E ，∴EH EG EF ==，∴CE 是BCH ∠的平分线，∴12BCE BCH ∠=∠，在ABC 中，6050ABC BAC ∠=︒∠=︒，，∴110BCH ABC BAC ∠=∠+∠=︒，∴111105522BCE BCH ∠=∠=⨯︒=︒，故答案为：55︒．14．5【分析】作EF BC ⊥于F ，根据角平分线的性质求得2EF DE ==，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：如下图，作EF BC ⊥于F ，CE 平分ACB ∠，BD AC ⊥，EF BC ⊥，2EF DE ∴==（角平分线上的点到角两边的距离相等），1152522BCE S BC EF ∴=⋅=⨯⨯= ，故答案为：5【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．15．2【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，先根据作图过程判断DG 平分ADC ∠，根据平行线的性质和角平分线的定义可得CDG CGD ∠=∠，进而可得3CG CD ==，由此可解．【详解】解：由作图过程可知DG 平分ADC ∠，∴ADG CDG ∠=∠，AD BC ∥，∴ADG CGD ∠=∠，∴CDG CGD ∠=∠，∴3CG CD ==，∴532BG BC CG =-=-=，故答案为：2．16．52【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，过点C 作CF AB ⊥交AB 的延长线于点F ，证明()HL Rt ACF Rt ACE ≌，则AE AF AB BF ==+，证明()HL Rt BCF Rt DCE ≌，则DE BF =，得到2AD AB DE =+，即可得到DE 的长．【详解】解：过点C 作CF AB ⊥交AB 的延长线于点F ，∵AC 平分BAD ∠，CE AD ⊥于点E ，CF AB ⊥于F ，∴CE CF =，∵AC AC =，∴()Rt HL Rt ACF ACE ≌，∴AE AF AB BF ==+，∵CE CF =，BC DC =，∴()HL Rt BCF Rt DCE ≌∴DE BF =，∴2AD AE DE AB BF DE AB DE =+=++=+，∴1272DE=+∴52DE =，故答案为：5217．3【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形．延长BD ，过点A 作AF BD ⊥于点F ，易得45DCB ∠=︒，则45ADF DBC ∠=︒+∠，进而推出45DAF DBC ∠=︒-∠，45DAE ABC ∠=︒-∠，则DAE DAF ∠=∠，通过证明()HL ADE ADF ≌，得出4AE AF ==，结合三角形的面积公式，即可解答．【详解】解：延长BD ，过点A 作AF BD ⊥于点F ，∵135ACB ∠=︒，∴18045DCB ACB ∠=︒-∠=︒，∴45ADF DCB DBC DBC ∠=∠+∠=︒+∠，∵AF BD ⊥，∴()90904545DAF ADF DBC DBC ∠=︒-∠=︒-︒+∠=︒-∠，∵45DCB DAE ABC ∠=∠+∠=︒，∴45DAE ABC ∠=︒-∠，∵BC 平分ABD ∠，∴DBC ABC ∠=∠，∴DAE DAF ∠=∠，∵AF BD ⊥，DE AB ⊥，∴DE DF =，∵DE DF =，AD AD =，∴()HL ADE ADF ≌，∴4AE AF ==，∵ABD 的面积为6，∴114622BD AF BD ⋅=⨯=，解得：3BD =，故答案为：3．18．70︒/70度【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180︒是解题的关键．连接AA '，过A '作,,A M AB A N BC A P AC '''⊥⊥⊥，利用角平分线的判定得到AA '平分BAC ∠，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得70BAC ∠=︒；再根据折叠可知，得出DA DA '=，由等腰三角形性质得出DAA DA A CAA ''∠=∠=∠'，最后利用外角性质即可得到答案．【详解】解：连接AA '，过A '作,,A M AB A N BC A P AC '''⊥⊥⊥，如图所示：∵A B '平分ABC ∠，A C '平分ACB ∠，A M A N A P '''∴==，∴AA '平分BAC ∠，∴DAA EAA ∠'=∠'，∵A B '平分ABC ∠，A C '平分ACB ∠，∴1122A BC ABC A CB ACB ''∠=∠∠=∠，， 1125∠=︒，∴A BC A CB ''∠+∠1801=︒-∠180125=︒-︒55=︒，∴()2110ABC ACB A BC A CB '∠+∠=∠+∠='︒，∴18011070BAC ∠=︒-︒=︒，∵将ABC 纸片沿DE 折叠，点A 落在点A '处，∴DA DA ='，∴DAA DA A ∠'=∠'，DAA CAA ∠'=∠' ，∴DAA DA A CAA ∠'=∠'=∠'，2∠ 是A DA ' 的一个外角，∴270DA A DAA DAA CAA BAC ∠=∠'+∠'=∠'+∠'=∠=︒，故答案为：70︒．19．(1)125︒(2)9【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，角平分线的性质：（1）根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论；（2）利用角平分线性质得出DE DF =，再利用三角形面积公式即可求出．【详解】（1）解：∵BD 平分ABC ∠，40ABC ∠=︒，∴11402022DBC ABC ∠=∠=⨯︒=︒，∵CD 平分ACB ∠，70ACB ∠=︒，∴11703522DCB ACB ∠=∠=⨯︒=︒，∴1802035125BDC ∠=︒-︒-︒=︒．（2）解：BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，DF BC ⊥，2DE =，∴2DF DE ==．∵9BC =，∴1192922BCD S BC DF =⨯⨯=⨯⨯=△．20．(1)见解析(2)35【分析】本题考查了尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握尺规作角平分线、角平分线的性质定理是解题的关键；（1）以点B 为圆心，适当长为半径画弧，得到弧与角的两边的交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，连接点B 和这个交点即可；（2）根据角平分线的性质定理，得出BCD △中，边BC 上的高AD =，再利用三角形的面积公式计算求值即可．【详解】（1）解：如图，射线BD 即为所求，（2）解：∵BD 平分ABC ∠，90A ∠=︒，∴BCD △中，边BC 上的高AD =，∵3AB =，5BC =，∴11322ABD S S AB AD ==×= ，21522BCD S S BC AD AD ==×= ，∴12353::225S S AD AD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．21．(1)见详解(2)27DBC ∠=︒【分析】（1）根据已知条件结合角平分线性质定理的逆定理即可证明；（2）根据直角三角形的两个锐角互余求解．此题主要考查了角平分线性质的运用和直角三角形性质的运用．题目比较简单，属于基础题．【详解】（1）证明：DC BC ⊥ ，DE AB ⊥，DE DC =，∴点D 在ABC ∠的平分线上，BD ∴平分ABC ∠．（2）解：90C ∠=︒ ，36A ∠=︒，54ABC ∴∠=︒，BD Q 平分ABC ∠，27DBC ABD ∴∠=∠=︒22．(1)见解析(2)结论：2AB AC AE +=，见解析部分【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS ASA AAS SSS HL ，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．（1）根据相“HL ”定理得出BDE CDF ≌，故可得出DE DF =，所以AD 平分BAC ∠；（2）由（1）中BDE CDF ≌可知BE CF AD =，平分BAC ∠，故可得出AED AFD ≌，所以AE AF =，故2AB AC AE +=．【详解】（1）证明：∵DE AB DF AC ⊥⊥，，∴90E DFC ∠=∠=︒，∴在Rt BED △和Rt CFD 中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩，∴Rt Rt HL BED CFD ≌（），∴DE DF =，∵DE AB DF AC ⊥⊥，，∴AD 平分BAC ∠；（2）解：结论：2AB AC AE +=．理由：∵Rt Rt BED CFD ≌，∴CF BE =，∵DE DF AD AD ==，，∴Rt Rt HL ADE ADF ≌（），∵AE AF =，∵2AC AF CF AE BE AE AE AB AE AB=+=+=+-=-．即：2AB AC AE +=．23．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)1902CHE α∠=︒-．【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键．（1）由条件根据SAS 可证明≌ACD BCE V V ，则结论得证；（2）过点C 作CM AD ⊥于M ，CN BE ⊥于N ，可证明ACM BCN ≌△△，可证得CM CN =，利用角平分线的判定可证明结论；（3）由（1）可得CAD CBE ∠=∠，再利用三角形内角及外角的性质可求得AHE ∠．【详解】（1）证明：ACB DCE α∠=∠= ，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD 和BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ACD BCE ∴ ≌，AD BE ∴=；（2）证明：过点C 作CM AD ⊥于M ，CN BE ⊥于N，ACD BCE ≌，CAM CBN ∴∠=∠，在ACM △和BCN △中，90CAM CBN AMC BNC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AAS ACM BCN ∴ ≌，CM CN ∴=，CM AD ⊥ 于M ，CN BE ⊥于N ，CH ∴平分AHE ∠；（3）解：ACD BCE ≌，CAD CBE ∴∠=∠，AMC AMC ∠=∠ ，AHB ACB α∴∠=∠=，180AHE α∴∠=︒-，由（2）得CH 平分AHE ∠，11802CHE AHE α∴∠=∠=︒-，即11(180)9022CHE α∠=︒-⨯=︒-．24．（1）SSS ；（2）①见解析；②点E 到AD 的距离是6cm ；（3）PE PF =，理由见解析【分析】（1）直接利用SSS 证明AFD AED △≌△即可得出CAD DAB ∠=∠；（2）①根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答；②如图：过点E 作EF AD ⊥，垂足为点F ，利用角平分线的性质证得BE EF EC ==,即E 为BC 的中点，进而求得EF 的长即可；（3）在BC 上截取BD BF =，连接PD ；再证明BFP BDP △≌△得到PF PD =，BPF BPD ∠=∠；再证明CDP CEP △≌△，最后利用全等三角形的性质即可解答．【详解】解：（1）证明：根据作图可得AE AF FD FD ==，，又AD AD =，∴()SSS AFD AED ≌，∴FAD EAD ∠=∠，即CAD DAB ∠=∠；故答案为：SSS ；（2）①在AC 上截取AE AB =．连接DE ，∵AD 是ABC 的角平分线，∴BAD EAD ∠=∠，又∵AD AD =，∴()SAS ABD AED ≌．∴B AED C ∠=∠>∠；②如图：过点E 作EF AD ⊥，垂足为点F ，BAD ∠和CDA ∠的平分线AE ，DE 交BC 于点E ，BE EF EC ∴==，即162BE BC ==，6EF ∴=，即点E 到AD 的距离是6cm ；（3）PE PF =，理由如下：60A ∠=︒ ，18060120ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，BE ，CF 是ABC 的两条角平分线，且BE ，CF 交于点P ．60CBE BCF ∴∠+∠=︒，∴BPC ∠=180120CBE BCF ︒-∠+∠=︒；在BC 上截取BD BF =，连接PD ，则()BFP BDP SAS ≌，∴PF PD =，BPF BPD ∠=∠，∵120BPC ∠=︒，∴60BPE ∠=︒，∴60BPD ∠=︒，∴60CPD ∠=︒，又 60CPE BPF ∠=∠=︒，∴CPD CPE ∠=∠，CF 是ABC 的角平分线，∴DCP ECP ∠=∠，CP CP =，∴()ASA CDP CEP ≌，∴PD PE =，∴PE PF =．【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)一、单选题1．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（）A．点O一定在△ABC的内部B．点O到△ABC的三边距离一定相等C．∠C的平分线一定经过点O D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等【答案】D【解析】由三角形的三条角平分线在三角形内相交于一点可知：A、C正确；而由角平分线的性质可证得点O到△ABC的三边距离相等，所以B正确；而三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离不一定相等，所以D错误.故选D.2．如图，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60º，则下列结论：①∠ABP=30º；②∠APC=60º；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．根据角平分线的性质定理可证得PN=PM ，再根据角平分线的判定定理可得PB 平分∠ABC ，即可判定①；证明⊥PAN ⊥⊥PAH ，⊥PCM ⊥⊥PCH ，根据全等三角形的性质可得⊥APN=⊥APH ，⊥CPM=⊥CPH ，由此即可判定②；在Rt ⊥PBN 中，∠PBN=30°，根据30°角直角三角形的性质即可判定③；由⊥BPN=⊥CPA=60°即可判定④.【详解】如图，作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．⊥⊥PAH=⊥PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ，⊥PN=PH ，同理PM=PH ，⊥PN=PM ，⊥PB 平分∠ABC ，⊥⊥ABP=12⊥ABC=30°，故①正确， ∵在Rt ⊥PAH 和Rt ⊥PAN 中，PA PA PN PH =⎧⎨=⎩， ⊥⊥PAN ⊥⊥PAH ，同理可证，△PCM ⊥⊥PCH ，⊥⊥APN=⊥APH ，⊥CPM=⊥CPH ，⊥⊥MPN=180°-⊥ABC=120°，⊥⊥APC=12⊥MPN=60°，故②正确，在Rt⊥PBN中，∵∠PBN=30°，⊥PB=2PN=2PH，故③正确，⊥⊥BPN=⊥CPA=60°，⊥⊥CPB=⊥APN=⊥APH，故④正确．综上，正确的结论为①②③④.故选D.【点睛】本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.3．如图，AD是△ABC中△BAC的角平分线，DE△AB于点E，S△ABC=9，DE=2，AB=5，则AC长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】如图，作DF⊥AC交AC于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF,∴S△ABC=S△ADC+S△ADB=12AC·DF+12AB·DE=12DE（AC+AB）=9，∴12×2×（AC+5）=9，∴AC=4.故选B.点睛：（1）遇到角平分线较常用的一类辅助线的作法是过角平分线上一点向角的两边作垂线.（2）三角形的面积除了用公式法还可以用割补法将三角形的面积用别的形式表示出来，此题将三角形面积表示为两个三角形的面积之和，然后列方程求解.4．若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC（）的交点．A．角平分线B．高线C．中线D．边的中垂线【答案】A【解析】试题分析：由角平分线性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，则这个点是三角形三条角平分线的交点，即可确定答案.解：∵到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，∴这个点是三角形三条角平分线的交点.故选A.5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BD=5cm，DE=3cm，则AC的长为（）A．8 cm B．10 cm C．6cm D．16 cm【答案】A【解析】解：⊥AD平分⊥BAC，⊥C=90°，DE⊥AB，⊥CD=DE，⊥BD=5，DE=3，⊥CD=3，⊥AC=BC=CD+DB=3+5=8．故选A．6．如图，在△ABC中，△1＝△2，G为AD的中点，BG的延长线交AC 于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（）△AD是△ABE的角平分线；△BE是△ABD的边AD上的中线；△CH是△ACD的边AD上的高；△AH是△ACF的角平分线和高A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选B．点睛：本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．7．如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，若∠=︒，则∠D的度数是（）A70A．40°B．50°C．65°D．55°【答案】D【解析】∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∴∠EBC+∠FCB=360°－110°=250°，∵BD、CD分别平分∠CBE、∠BCF，∴∠DBC=∠DBE，∠DCB=∠DCF，∴∠DBC+∠DCB=125°，∴∠D=55°.故选D.点睛:充分利用三角形的内角和，平角的性质，以及角平分线的性质.8．如图，△1＝△2，PD△OA，PE△OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A．PD＝PE B．OD＝OE C．△DPO＝△EPO D．PD＝OP【答案】D【解析】试题分析：根据角平分线的性质可得：PD=PE，根据题意HL判定定理可得：Rt△POE△Rt△POD，则OD=OE，△DPO=△EPO.考点：角平分线的性质9．若∠α与∠β互为余角，则∠α的补角与∠β的补角之和为( )A．90°B．180°C．270°D．360°【答案】C【解析】∵∠α与∠β互为余角，∴∠α+∠β=90°，∵∠α的补角为180°-∠α，∠β的补角为180°-∠β，∴(180°-∠α)+(180°-∠β)=360°-(∠α+∠β)=360°-90°=270°．故选C．【点睛】这是一道有关余角和补角的题目，需明确余角和补角的含义；由于互补的两角之和为180°，于是可以表示出∠α和∠β的补角，进而得到它们的之和；再根据互余的两角之和为90°得到∠α+∠β=90°，即可求出∠α与∠β的补角之和.10．在ABC △内部取一点P ，使得点P 到ABC △的的三边距离相等，则点P 是ABC △的（ ）．A ．三条高的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三边的垂直平凡线的交点【答案】B【解析】如图：PD PF PE ==．故选B ．。

同步习题及讲解一、选择题．1．如图6，AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（）．A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC>AD2．如图7：△ABC中，∠C=90°，E是AB中点，D在∠B的平分线上，DE⊥AB，则（）． A．BC>AE B．BC=AE C．BC<AE D．以上全不对A．三角形的一个外角等于两个内角和 B．三角形的一个外角大于任何一个内角C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D．有两边对应相等的两个直角三角形全等二、证明题．4．如图，AD是∠BAC的角的平分线，DB⊥AB，DC⊥AC，B、C是垂足，那么EB与EC•的关系是怎样的呢？请证明你的结论．5．如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线交于F，那么点F是否在∠DAE的平分线上？请证明你的结论．三、探索题:6．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是角的平分线，探索：在AB上是否存在点E，DE•不与AB垂直，而△BDE之周长等于AB的长．若点E存在，请你出证明；若点E不存在，请说明理由．四、聚焦中考:答案:一、1．B 2．B 3．D二、4．提示：∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠DBA=∠DCA，∴△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC，BD=DC，又∵DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴BE=EC5.过F作FM⊥AD于M，作FN⊥AE于N，作FP⊥BC于P，∵BF是∠DBC平分线，•∴FM=FP，同理FN=FP，∴FM=FN，∴F在∠DAE平分线上．三、6.不存在，作DH⊥AB于H，设点F在AB上，且AF=BD，点E是HB上任一点，有FE=FH+HE，又可证得DH=DC，△BDE的周长等于AB的长，由三角形三边关系得FE=•EH+•DH>DE，所以“周长”BD+DE+EB<EB+AF+DH+HE=AB，同样可证：AH•上任一点也不满足题目要求．。

角平分线练习一、选择题1.已知：如图1，B E，C F是△ABC的角平分线，B E，CF相交于D，若∠A=50°，则∠BDC=（）A.70°B.120°C.115°D.130°2.已知：如图2，△ABC中，AB = AC，BD为∠ABC的平分线，∠BDC = 60°，则∠A =（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°3.三角形中，到三边距离相等的点是（）A.三条高线交点B.三条中线交点C.三条角平分线的交点D.三边的垂直平分线的交点4.已知P点在∠AOB的平分线上，∠AOB = 60°，OP = 10 cm，那么P点到边OA、OB的距离分别是（）A. 5cm 、cmB. 4cm、5cmC. 5cm、5cmD. 5cm、10cm5.下列四个命题的逆命题是假命题的是（）A.直角三角形的两个锐角互余B.等腰三角形的两个底角相等C.全等三角形的对应角相等D.相等的两个角是对顶角6.已知：如图3，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB = 10cm，BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于（）cmA. 2、2、2B.3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、5 二、填空题1.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是，它是命题。

2.角平分线可以看作是的点的集合。

3.已知：△ABC中，∠C = 90°，角平分线AD分对边BD：DC = 3：2，且BC = 20cm，则点到AB的距离是cm。

4.命题“如果a = b，那么| a| = | b |”的命题是，它是命题。

三、简答题1.已知：如图4，△ABC的外角∠FAC的平分线为AE，∠1=∠2，AD = AC求证：DC∥AE2.已知：如图5，△ABC中，∠C= 90°，点D是斜边AB的中点，AB = 2BC， DE⊥AB交AC于E求证：BE平分∠ABC3.已知线段AB，求线段AB的四等分点。

人教版八年级数学上册12.3角平分线的性质课时训练（含答案）人教版八年级数学上册12.3 角平分线的性质课时训练一、选择题1. 如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，且PD＝PE，则△APD与△APE 全等的理由是()A．SAS B．AAA C．SSS D．HL2. 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OB的距离是()A．4 B. 3 C．2 D．13. 如图，P为OC上一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数为()A．30°B．45°C．60°D．50°4. 下面是黑板上给出的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容．已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线．作法如下：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交__○__于点N；②分别以点__⊕__为圆心，大于__△__的长为半径画弧，两弧在__?__的内部交于点C；③画射线OC，OC即为所求．则下列回答正确的是()A．○表示OA B．⊕表示M，CC．△表示MN D．?表示∠AOB5. 如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是()A.3B.-3C.2D.-26. 如图,利用尺规作∠AOB的平分线OC,其作法如下:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,与OA,OB分别交于点D,E;(2)分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C;(3)画射线OC,则射线OC就是∠AOB的平分线.这样作图的原理是三角形全等的一种判定方法,这种判定方法是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS7. 如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧在∠CAB的内部交于点G,作射线AG交CD于点H.若∠C=140°,则∠AHC 的大小是()A.20°B.25°C.30°D.40°8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝16，则△ABD的面积是()A．14 B．32 C．42 D．569. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC ＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是()A．24 B．30C．36 D．4210. 如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,AB=6 cm,DE=4 cm,S△ABC=30 cm2,则AC的长为()A.10 cmB.9 cmC.4.5 cmD.3 cm二、填空题11. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为________．12. 如图,在△ABC中,两条外角平分线交于点P,PM⊥AC交AC的延长线于点M.若PM=6 cm,则点P到AB的距离为.13. 将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC 即为∠AOB的平分线，理由是______________________．14. 如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线的性质填空：(1)若∠1＝∠2，则________＝________．(2)若∠3＝∠4，则________＝________．15. 如图,在△ABC中,E为AC的中点,AD平分∠BAC交BC于点D,AB︰AC=2︰3,AD与BE相交于点O.若△OAE的面积比△BOD的面积大1,则△ABC的面积是.三、解答题16. 育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，分别求一串红与鸡冠花两种花草的种植面积．17. 如图，已知∠1=∠2,BA18. 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取点D，M和点E，N，使OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C.求证:点C在∠AOB的平分线上.19. 如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部且CA＝CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE.(1)求证：OC平分∠MON；(2)如果AO＝10，BO＝4，求OD的长．20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD 与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.求证：FE＝FD.人教版八年级数学上册12.3 角平分线的性质课时训练-答案一、选择题1. 【答案】D2. 【答案】C[解析] 如图，过点P作PE⊥OB于点E.∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD＝2.3. 【答案】C[解析] ∵点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，PM ＝PN，∴OC是∠AOB的平分线．∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝60°.4. 【答案】D5. 【答案】A[解析] 如图，过点D作DE⊥AB于点E.∵点D的坐标是(0，-3)，∴OD=3.∵AD是△OAB的角平分线，∴ED=OD=3，即点D到AB的距离是3.6. 【答案】A7. 【答案】A[解析] 由题意可得AH平分∠CAB.∵AB∥CD,∴∠C+∠CAB=180°,∠HAB=∠AHC.∵∠ACD=140°,∴∠CAB=40°.∵AH平分∠CAB,∴∠HAB=20°.∴∠AHC=20°.8. 【答案】B[解析] 如图，过点D作DH⊥AB于点H. 由作法得AP平分∠BAC.∵DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH＝DC＝4.∴S△ABD＝12×16×4＝32.9. 【答案】B[解析] 过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H. ∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4.∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·DH＋12BC·CD＝12×6×4＋12×9×4＝30.10. 【答案】B[解析] 如图,过点D作DF⊥AC于点F.∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴DE=DF=4.∵AB=6,∴S △ABC =S △ABD +S △ACD =×6×4+AC ×4=30, 解得AC=9(cm).故选B .二、填空题11. 【答案】3 【解析】如解图，过点P 作PD ⊥OA 于点D ，∵OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥OB 于点C ，∴PD ＝PC ，∵PC ＝3，∴PD ＝3，即点P 到点OA 的距离为3.12. 【答案】6 cm[解析] 如图,过点P 作PN ⊥BC 于点N ,PQ ⊥AB 交AB 的延长线于点Q.∵BP ,CP 是两条外角的平分线,PM ⊥AC ,∴PN=PM ,PQ=PN.∴PQ=PM.∵PM=6 cm,∴PQ=6 cm,即点P 到AB 的距离为6 cm .13. 【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上14. 【答案】(1)BCCD (2)AB AD15. 【答案】10[解析] 如图,过点D 作DM ⊥AC 于点M ,DN ⊥AB 于点N.∵AD 平分∠BAC,DM ⊥AC ,DN ⊥AB , ∴DM=DN.∵S △ABD ︰S △ADC =BD ︰DC ,且S △ABD =·AB ·DN ,S △ADC =·AC ·DM ,∴BD ∶DC=AB ∶AC=2∶3. 设△ABC 的面积为S ,则S △ADC =S.∵E 为AC 的中点, ∴S △BEC =S.∵△OAE 的面积比△BOD 的面积大1, ∴△ADC 的面积比△BEC 的面积大1. ∴S-S=1.∴S=10.故答案为10.三、解答题16. 【答案】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF. ∵AB ＝20 m ，AC ＝10 m ，∴S △ABC ＝12×20×10＝12×20·DE ＋12×10·DF ，解得DE ＝203(m)．∴△ACD 的面积＝12×10×203＝1003(m 2)，△ABD 的面积＝12×20×203＝2003(m 2)．故一串红的种植面积为2003 m 2，鸡冠花的种植面积为1003 m 2.17. 【答案】证明:如图,过点P 作PE ⊥BA 交BA 的延长线于点E.又∵∠1=∠2,PF ⊥BC ,∴PE=PF ,∠PEA=∠PFC=90°. 在Rt △PEA 与Rt △PFC 中,∴Rt △PEA ≌Rt △PFC (HL). ∴∠P AE=∠PCB. ∵∠P AE+∠BAP=180°, ∴∠PCB+∠BAP=180°.18. 【答案】证明:如图，过点C 作CG ⊥OA 于点G ，CF ⊥OB 于点F .在△MOE 和△NOD 中，∴△MOE ≌△NOD (SAS). ∴S △MOE =S △NOD .∴S △MOE -S 四边形ODCE =S △NOD -S 四边形ODCE ，即S △MDC =S △NEC .由三角形面积公式得DM ·CG=EN ·CF .∵OM=ON ，OD=OE ，∴DM=EN.∴CG=CF . 又∵CG ⊥OA ，CF ⊥OB ，∴点C 在∠AOB 的平分线上.19. 【答案】解：(1)证明：∵CD ⊥OM ，CE ⊥ON ，∴∠CDA ＝∠CEB ＝90°.在Rt △ACD 与Rt △BCE 中，CA ＝CB ，AD ＝BE ，∴Rt △ACD ≌Rt △BCE(HL)．∴CD＝CE.又∵CD ⊥OM ，CE ⊥ON ，∴OC 平分∠MON. (2)在Rt △ODC 与Rt △OEC 中，CD ＝CE ，OC ＝OC ，∴Rt △ODC ≌Rt △OEC. ∴OD ＝OE. 设BE ＝x.∵BO ＝4，∴OE ＝OD ＝4＋x. ∵AD ＝BE ＝x ，∴AO ＝OD ＋AD ＝4＋2x ＝10. ∴x ＝3.∴OD ＝4＋3＝7.20. 【答案】证明：如图，连接BF.∵F 是△ABC 的角平分线AD ，CE 的交点，∴BF 平分∠ABC. ∵FM ⊥AB ，FN ⊥BC ，∴FM ＝FN ，∠DNF ＝∠EMF ＝90°.∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝30°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC ＝12∠BAC ＝15°. ∴∠CDA ＝75°.∵CE 平分∠ACB ，∠ACB ＝90°，∴∠ACE ＝45°. ∴∠MEF ＝75°＝∠NDF. 在△DNF 和△EMF 中，∠DNF ＝∠EMF ，∠NDF ＝∠MEF ，FN ＝FM ，∴△DNF ≌△EMF(AAS)．∴FE ＝FD.。

人教版八年级数学上册角的平分线的性质同步练习题（含答案）12.3 角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质要点感知1 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离_____.预习练习1-1 如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,垂足为C,PD⊥OB,垂足为D,则PC与PD的大小关系是( )A.PC>PDB.PC=PDC.PC<PDD.不能确定要点感知2 命题证明的一般步骤为：(1)明确命题中的已知和求证；(2)根据题意画出图形,并用数学符号表示已知和求证；(3)写出证明过程.预习练习2-1 命题“全等三角形对应角的角平分线长度相等”的已知是____,求证是____.知识点1 角平分线的作法1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等2.已知△ABC,用尺规作图作出∠ABC的角平分线,保留作图痕迹,但不写作法.知识点2 角平分线的性质3.如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4 cm，则点P到边BC的距离为cm.4.如图所示,E 是∠AOB 的平分线上一点,EC ⊥OA,ED ⊥OB,垂足分别为C ，D.求证：OC=OD.5.如图，BD 平分∠ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，△ABC 的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE 的长.知识点3 命题证明6.命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是____,结论是____.7.证明：全等三角形对应边上的中线相等.8.如图,AD ∥B C,∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P,作PE ⊥AB 于点E.若PE ＝2,则两平行线AD 与BC 间的距离为____.9.如图，在△ABC ，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 的长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点E 、F ；②分别以点E,F 为圆心，大于21EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线AG 交BC 边于点D ，则∠CDA 的度数为____. 10.已知，如图所示，△ABC 的角平分线AD 将BC 边分成2∶1两部分，若AC=3 cm ，则AB=____.11.已知:如图所示,点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,垂足分别为D ，E,求证：OB ＝OC.12.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB 的周长.13.求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.挑战自我14.如图，∠AOB=90°，OM 平分∠AOB ，直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问PC 与PD 相等吗？试说明理由.参考答案课前预习要点感知1 相等 预习练习1-1 B预习练习2-1 全等三角形对应角的角平分线 对应角的角平分线长度相等 当堂训练 1.A 2.图略. 3.4 4.证明：∵E 是∠AOB 的平分线上一点,CE ⊥OA,ED ⊥OB ，∴EC=ED.在Rt △OCE 和Rt △ODE 中,OE=OE,EC=ED,∴Rt △OCE ≌Rt △ODE(HL).∴OC=OD.5.∵BD 平分∠ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，∴点D 到BC 的距离等于DE 的长度.∵AB=18，BC=12，∴S △ABC =S △ABD +S △BCD =21×18·DE+21×12·DE=21DE(18+12)=15·DE.∵△ABC 的面积等于90，∴15·DE=90.∴DE=66.全等三角形对应边的高线 对应边的高线相等7.已知:△ABC ≌△A ′B ′C ′,AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线.求证：AD=A ′D ′.证明：∵△ABC ≌△A ′B ′C ′,∴AB=A ′B ′,∠B=∠B ′,BC=B ′C ′.又∵AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的中线,∴BD=21BC,B ′D ′=21B ′C ′.∴BD=B ′D ′.∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(SAS).∴AD=A ′D ′.课后作业 8.4 9.65° 10.6 cm 11.证明:∵点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,∴OE ＝OD,∠BEO ＝∠CDO ＝90°.在△BEO 与△CDO 中,∠BEO ＝∠CDO,OE ＝OD,∠EOB ＝∠DOC,∴△BEO ≌△CDO(ASA).∴OB ＝OC.12.∵AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE.∴Rt △ACD ≌Rt △AED.∴AE=AC.∴△DEB 的周长=DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10 cm. 13.已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B=∠B ′,∠BAC=∠B ′A ′C ′,AD,A ′D ′分别是∠BAC,∠B ′A ′C ′的平分线,且AD=A ′D ′.求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′.证明：∵∠BAC=∠B ′A ′C ′,AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的角平分线,∴∠BAD=∠B ′A ′D ′.∵∠B=∠B ′,AD=A ′D ′，∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(AAS).∴AB=A ′B ′.在△ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B=∠B ′,AB=A ′B ′,∠BAC=∠B ′A ′C ′,∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA).14.PC=PD.理由如下：过点P 分别作PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为点E ，F.又∵OM 平分∠AOB ，∴PE=PF.又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF=90°.∴∠EPC+∠CPF=90°.又∵∠CPD=90°，∴∠CPF+∠FPD=90°.∴∠EP C=∠FPD.在△PCE 与△PDF 中，∠PEC=∠PFD ，PE=PF ，∠EPC=∠FPD ，∴△PCE ≌△PDF(ASA).∴PC=PD.第2课时 角的平分线的判定要点感知1 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的______上.预习练习1-1 已知点P 为∠AOB 内部的一点,PD ⊥OB 于点D,PC ⊥OA 于点C,且PC=PD,则OP 平分_____.要点感知2 三角形的三条内角平分线相交于一点,并且这一点到_____.预习练习2-1 如图,在△ABC 中,BD ，CE 分别平分∠ABC ，∠ACB,并且BD ，CE 相交于点O,过O 点作OP ⊥BC 于点P,OM ⊥AB 于点M,ON ⊥AC 于点N,则OP ，OM ，ON 的大小关系是_____.知识点1 角平分线的判定1.已知：如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中:①∠AOC=∠BOC，②PD=PE，③OD=OE，④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的角平分线的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知：如图所示，BE=CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.知识点2 角平分线的性质与判定的综合运用3.如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于O，下面结论中正确的是( )A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.不能确定4.如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.知识点3 角平分线的性质与判定的实际应用5.如图,铁路OA和铁路OB交于O处,河道AB与铁路分别交于A处和B处,试在河岸上建一座水厂M,要求M到铁路OA，OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置.6.某市有一块由三条公路围成的三角形绿地,现准备在其中建一小亭子,供人们休息,而且要使小亭中心到三条公路的距离相等,试确定小亭的中心位置.7.如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小关系是( )A.∠1=∠2B.∠1＞∠2C.∠1＜∠2D.无法确定8.如图所示,P为△ABC外部一点,D，E分别在AB，AC的延长线上,若点P到BC，BD，CE 的距离都相等,则关于点P的说法最佳的是( )A.在∠DBC的平分线上B.在∠BCE的平分线上C.在∠BAC的平分线上D.在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上9.三条公路两两相交于A，B，C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路距离相等,则可供选择的地方有_____处.10.已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.11.如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.12.如图所示,△ABC中,∠B＝∠C,D是BC边上一动点,过D作DE⊥AB,DF⊥AC,E，F分别为垂足,则当D 移动到什么位置时,AD 恰好平分∠BAC,请说明理由.挑战自我13.已知：如图所示，在△ABC 中，BD=DC,∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.参考答案课前预习要点感知1 平分线 预习练习1-1 ∠AOB要点感知2 三边的距离相等 预习练习2-1 OP=OM=ON 当堂训练 1.D 2.证明：∵DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB=∠DFC=90°,在△BDE 和△CDF 中，∠BDE=∠CDF, ∠DEB=∠DFC,BE=CF,∴△BDE ≌△CDF(AAS).∴DE=DF.又∵DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，∴AD 平分∠BAC. 3.B 4.证明：过点D 分别作DE ⊥AB,DG ⊥AC,DF ⊥BC,垂足分别为E,G,F.又∵BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACF,∴DE=DF,DG=DF.∴DE=DG.∴AD 平分∠EAC,即AD 是∠BAC 的外角平分线.5.图略.提示：作∠AOB 的角平分线，与AB 的交点即为点M 的位置.6.在三角形内部分别作出两条角平分线,其交点O 就是小亭的中心位置,图略. 课后作业7.A8.D9.410.(1)证明：∵∠1＝∠2，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OE ＝OD ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°.在△BOD 和△COE 中，∠BOD=∠COE ，OD=OE ，∠ODB=∠OEC,∴△BOD ≌△COE(ASA).∴OB ＝OC. (2)证明：在△BOD 和△COE 中，∠ODB=∠OEC ，∠BOD=∠COE ， OB=OC ，∴△BOD ≌△COE(AAS).∴OD ＝OE.又∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴AO 平分∠BAC ，即∠1＝∠2.11.证明：过点D 作DH ⊥AB 于H ，DG ⊥AC 于G.∵S △DCE =21CE ·DG,S △DB F=21BF ·DH,S△DCE=S △DBF ,∴21CE ·DG=21BF ·DH.又∵CE=BF,∴DG=DH.∴点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC.12.移动到BC 的中点时,AD 恰好平分∠BAC.理由如下:∵D 是BC 的中点,∴BD ＝CD.∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.又∵∠B ＝∠C,∴△DEB ≌△D FC(AAS).∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴AD 平分∠BAC.13.证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.在△BED 和△CFD 中，∠BED=∠CF D=90°,∠1=∠2,BD=CD,∴△BED ≌△CFD(AAS).∴DE=DF.又DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC.。