(学生1份) 第12讲(相似三角形的基本模型)

微专题 相似三角形的判定及基本模型 A X AX K ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩相似三角形的相关概念相似三角形的判定相似三角形基本模型（字型）相似三角形基本模型（字型）相似三角形基本模型(型)相似三角形基本模型(母子型)相似三角形基本模型（旋转型）相似三角形基本模型(字型（一线三等角）)相似三角形常用辅助线基础知识点相似三角形的判定重难点题型（作平行线） 重难点题型题型1 相似三角形的判定【方法点拨】相似三角形的判定方法汇总：1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

1．（2020·陕西西安·高新一中初三一模）如图，点E 是平行四边形ABCD 中BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F ，交BD 于M ，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，AB//CD ， ∴△ADM ∽△EBM ，△ADF ∽△ECF ，△DFM ∽△BAM ，△EFC ∽△EAB ，∵∠AFD=∠BAE ，∠DAE=∠E ，∴△ADF ∽△EBA ，∴图中共有相似三角形5对，故选：B ．2．（2020·湖南茶陵·初三期末）如图，在大小为44⨯的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．乙和丁，23；丙中的三角形的三边分别是：2，3只有甲与丙中的三角形的三边成比例：2==C ． 3．（2020·河南罗山·初三期末）如图，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF BE ⊥，交CD 于F ，连结BF ，则图中与ABE △一定相似的三角形是 A ．EFB △B ．DEFC ．CFBD ．EFB △和DEF【解析】根据矩形的性质可得∠A=∠D=90°，再由EF BE ⊥根据同角的余角相等可得∠AEB=∠DFE ，即可得到结果.∵矩形ABCD ∴∠A=∠D=90°∴∠DEF+∠DFE=90° ∵EF BE ⊥∴∠AEB+∠DEF=90°∴∠AEB=∠DFE ∵∠A=∠D=90°，∠AEB=∠DFE ∴ABE ∽DEF 故选B.4．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校初三期中） 如图，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，要使△AED △与ABC 相似，不能添加的条件是( )A ．DE ∥BCB ．AD•AC=AB•AEC ．AD ：AC=AE ：AB D ．AD ：AB=DE ：BC【解析】A 、当DE ∥BC ，则△AED ∽ACB ，所以A 选项错误；B 、当AD•AC=AB•AE ，即AD ：AB=AE ：AC ，而∠A 公共，则△AED ∽ACB ，所以B 选项错误； C 、当AD ：AC=AE ：AB ，而∠A 公共，则△AED ∽△ABC ，所以C 选项D 、AD ：AB=DE ：BC ，而它们的夹角∠ADE 和∠ABC 不确定相等，则不能判断△AED 与△ABC 相似，所以D 选项正确．故选D ．5．（2020·广西蒙山县二中初三月考）能判定ABC 与A B C '''相似的条件是（ ）A ．ABAC A B A C ='''' B ．AB A B AC A C ''=''，且A C '∠=∠ C ．AB BC A B A C =''''且B A '∠=∠ D ．AB ACA B A C =''''，且B B '∠=∠【解析】解：Ａ．AB AC A B A C =''''，Ｂ．AB A B AC A C ''=''，且A C '∠=∠， Ｄ．AB ACA B A C =''''，且B B '∠=∠，均不能判断ABC 与A B C '''相似，故错误； Ｃ．AB BCA B A C =''''且B A '∠=∠，能判定ABC 与A B C '''相似，本选项正确故选：C ． 6．（2020·合肥市第四十六中学月考）如图，点D 、E 分别在ABC ∆的AB 、AC 边上，增加下列哪些条件：①AED B ∠=∠；②AE DE AB BC=；③AD AEAC AB =，使ADE ∆与ACB ∆一定相似（ ）A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③【解析】①∵A A ∠=∠ ,AED B ∠=∠ADEACB ∴,故正确；②虽然有对应边成比例，但是夹角并不一定相等，所以ADE ∆与ACB ∆不一定相似，故错误； ③∵A A ∠=∠，AD AEAC AB=ADE ACB ∴,故正确；所以正确的是：①③故选：A ．7．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）下列各组图形中，不一定相似的是（ ） A ．各有一个角是100°的两个等腰三角形 B ．各有一个角是90°的两个等腰三角形 C ．各有一个角是60°的两个等腰三角形 D ．各有一个角是50°的两个等腰三角形 【解析】A 、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；B 、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；C 、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；D 、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似；故选：D ．8．（2020·安徽初三月考）如图，在ABC 中，D 、E 分别是边AC 、AB 上的点，则下列命题中，属于假命题的是（ ）A ．若ADE ABC =∠∠，则ADE ABC △△∽B ．若AD ABAE AC =，则ADE ABC △△∽ C ．若AD AECD BE =，则ADE ACB ∽ D ．若AD AB DE BC=，则ADE ABC △△∽ 【解析】解：A 、若ADE ABC =∠∠，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题；B 、若AD ABAE AC=，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题； C 、若AD AECD BE =，则AD AE AC AB =，∠A 为公共角，则ADE ABC △△∽，是真命题； D 、若AD AB DE BC=，由于条件不够，不能证明ADE ABC △△∽，故D 是假命题；故选：D.9．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）点D 在ABC 的边AB 上，且2AC AD AB =⋅，则ABC ACD ，理由是_______．【解析】依题意，画图如下：2AC AD AB =⋅，即AB ACAC AD=， 又A A ∠=∠，ABC ACD ~∴（有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）， 故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．10．（2020·山西太原·初三期中）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，过点C 任作一直线l ，过点A 作AD l ⊥于点D ，过点B 作BE l ⊥于点E ．（1）指出图中的一对相似三角形并证明；（2）当ABC CBE ∆∆时，需添加一个条件，这个条件可以是___ (只要求写出一种情况即可)【解析】解：ACD CBE ∆∆，证明：AD l ⊥于点,D BE l ⊥于点E 90ADC CEB ︒∴∠=∠=90ACB ︒∠=90DAC DCA BCE DCA ︒∴∠+∠=∠+∠=DAC ECB ∴∠=∠.ACD CBE ∴∆∆∽()2BAC BCE ∠=∠,,AC BC ABC CBE CE BE ⎛⎫∠=∠= ⎪⎝⎭答案不唯一 ∵BE ⊥DE ∴∠BEC=90°=∠ACB ，再添加BAC BCE ∠=∠ 根据两角对应相等的两个三角形相似，得到ABC CBE ∆∆；∵∠BEC=90°=∠ACB ，再添加AC BC CE BE= 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到ABCCBE ∆∆题型2相似三角形基本模型（A 字型）【方法点拨】基本模型：A 字型（平行） 反A 字型（不平行）1．（2020·江苏宝应·）如图，在ABC ∆中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE ABAF AC =．（1）求证：AEFABC ∆∆；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FGBD CD=．【解析】解：（1）在△AEF 和△ABC 中，∵EAF BAC ∠=∠，AE ABAF AC=，∴△AEF ∽△ABC ； （2）∵△AEF ∽△ABC ，∴∠AEF =∠ABC ，∴EF ∥BC ， ∴△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，∴EG AG BD AD =,FG AGCD AD =，∴EG FG BD CD=．2.（2020•东明县模拟）如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3．（1）求CE 的长．（2）在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别是AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ．小明认为DPBQ=PE QC，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．【解答】解：（1）由DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AD+BD=AE AE+EC，∵AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，∴CE ＝6．（2）结论正确，理由如下，在△ABQ 中，由于DP ∥BQ ， ∴△ADP ∽△ABQ ，∴DP BQ=AP AQ，同理可得：EPCQ=AP AQ，∴DPBQ=EP CQ3.（2020•松江区一模）已知：如图，点D ，F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ，CD 2＝CF •CA ．（1）求证：EF ∥BD ；（2）如果AC •CF ＝BC •CE ，求证：BD 2＝DE •BA ．【解答】证明：（1）∵DE ∥AB ，∴CD AC=CE CB，∵CD 2＝CF •CA ．∴CD AC=CF CD，∴CFCD=CE CB，∴EF ∥BD ；（2）∵EF ∥BD ，∴∠CEF ＝∠CBD ， ∵AC •CF ＝BC •CE ，∴AC BC=CE CF，且∠C ＝∠C ，∴△CEF ∽△CAB ，∴∠CEF ＝∠A ，∴∠DBE ＝∠A ，∵DE ∥AB ，∴∠EDB ＝∠DBA ，且∠DBE ＝∠A ， ∴△BAD ∽△DBE ，∴BA BD=BD DE∴BD 2＝BA •DE4．（2020·上海浦东新·初三三模）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ．（1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EFDF的值．【解析】解：（1）∵AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒，∴30DAC ∠=︒．在Rt ACD ∆中，90ACD ∠=︒，30DAC ∠=︒，6AC =，∴CD =．在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，∴BC =BD BC CD =-=． ∵//DE CA ，∴BDE BCA ∽∴23DE BD CA BC ==．∴4DE =． （2）∵点M 是线段AD 的中点，∴DM AM =．∵//DE CA ，∴DFM AGM △∽△∴DF DMAG AM=．∴DF AG =． ∵//DE CA ，∴BEF BAG △∽△∴23EF BE BD AG BA BC ===∴23EF DF =． 5．（2019·全国初三专题练习）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，8AB =，6AC =．若动点D 从点A 出发，沿射线AB 运动，运动速度为每秒2个单位长度．过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y ．（1）求出y 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，BDE 的面积S 有最大值或最小值，最大值或最小值为多少？【解析】（1）①如图，当D 点在线段AB 上时， ∴ADE ∽ABC ，∴AD AEAB AC=又2AD x =，8AB =，AE y =，6AC =，∴296x y =，∴32y x =． ②如图，当D 在AB 延长线上时，∵DE BC ∥，∴AB AC AD AE =，∴862x y =，∴32y x =． （2）①如图，当D 在线段AB 上时，()2223336626222DEB ABE ADE S S S x x x x x =-=-+=-+=--+△△△．∴当2x =时，6S =最大 ．∴当2x =时，S 有最小值，且最小值为6-．不符合题意舍去． ②如图，当D 在AB 延长线上时，()223362622DEB ADE ABE S S S x x x =-=-=--△△△． 综上所述：当2x =时，S 有最大值，且最大值为6．6.（2020•东莞市一模）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，线段AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC=DF CG．（1）求证：△ADF ∽△ACG ；（2）若AD AC=37，求AF FG的值．【解答】（1）证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠CAB ，∴△AED ∽△ABC ，∴∠ADF ＝∠C ， 又∵AD AC=DF CG，∴△ADF ∽△ACG ；（2）解：∵△ADF ∽△ACG ，∴AD AC=AF AG，∵AD AC=37，∴AFAG=37，∴AF FG=34．7．（2020·广东华南师大附中初三零模）如图,在ABC 中，45B ∠=︒，5BC =，高4=AD ， 矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．(1)求证：AEF ABC ∽； (2)设EF x =，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求出最大面积； (3)当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线AD 匀速向上运动(当矩形的边PQ 到达A 点时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．【解析】解：（1）∵四边形EFPQ 为矩形，∴EF ∥BC ，∴AEF ABC ∽；（2）∵AEF ABC ∽∴AH EF AD BC =，即445HD x -=，∴HD=4-45x， ∴S 矩形EFPQ =EF•FQ=EF•HD=x （4-45x ）=-45x 2+4x ， 该函数为开口向下的二次函数，故当x=52时有最大值，最大值为5，即当x为52时，矩形的面积有最大值5；（3）由（2）可知，当矩形面积取最大值时，EF=52，FQ=2，①当0≤t≤2时，如图1，设矩形与AB 、AC 分别交与点M 、N 、R 、S ，与AD 交于J 、L ，连接RS ，交AD 于K ，由题意可知LD=JK=t ，则AJ=AD -LD -JL=4-t -2=2-t ，又∵RS=52，∴R 、S 为AB 、AC 的中点，∴AK=12AD=2，ES=FR=JK=t ，又∵MN ∥RS ，∴AJ MN AK RS =，即2522t MN-=，∴MN=52-54t ， ∴EM+FN=EF -MN=52-（52-54t ）=54t ，∴S △EMS +S △FNR =12ES （EM+FN ）=12t•54t=258t ，∴S=S 矩形EFPQ -（S △EMS +S △FNR ）=5-258t ；②当2＜t≤4时，如图2，设矩形与AB 、AC 、AD 分别交于点Q′、P′、D′，根据题意D′D=t ，则AD′=4-t ，∵PQ ∥BC ，∴Q D AD BC P A ='''，即445P Q t =''-，解得P′Q′=5-54t ， ∴S=S △AP′Q′=12P′Q′•AD′=12（4-t ）（5-54t ）=258t -5t+10； 综上可知S=()()22502855102485t t t t t ⎧≤-≤⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩＜．题型3相似三角形基本模型（X 字型）【方法点拨】基本模型：X 字型（平行） 反X 字型（不平行）1.（2020•黄浦区期中）如图，已知在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，点D 在BE 延长线上，且BA •BC ＝BD •BE ．（1）求证：△ABD ∽△EBC ；（2）求证：AD 2＝BD •DE ．【解答】证明：（1）∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBC ， ∵BA •BC ＝BD •BE ．即AB BC=BD BE，∴△ABD ∽△EBC ；（2）∵△ABD ∽△EBC ，∴∠BAD ＝∠BEC ，∠ADB ＝∠BCE ， ∵∠AED ＝∠BEC ，∴∠BAD ＝∠AED ，∴△ADE ∽△BEC ， ∴△AED ∽△ABD ，∴AD BD=DE AD，即AD 2＝BD •DE ．2.（2020•朔城区期末）如图，AG ∥BD ，AF ：FB ＝1：2，BC ：CD ＝2：1，求GEED的值【解答】解：∵AG ∥BD ，∴△AFG ∽△BFD ，∴AG BD=AF BF=12，∵BCCD =2，∴CD =13BD ，∴AG CD =32，∵AG ∥BD ，∴△AEG ∽△CED ，∴GEED=AG CD=32．3.（2020•花都区期末）如图：已知▱ABCD ，过点A 的直线交BC 的延长线于E ，交BD 、CD 于F 、G ． （1）若AB ＝3，BC ＝4，CE ＝2，求CG 的长；（2）证明：AF 2＝FG ×FE ．【解答】（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ， ∴△EGC ∽△EAB ，∴CG AB=EC EB，即CG 3=22+4，解得，CG ＝1；（2）证明：∴AB ∥CD ，∴△DFG ∽△BF A ，∴FG FA=DF FB，∴AD ∥CB ，∴△AFD ∽△EFB ，∴AF FE=DF FB，∴FG FA=AF FE，即AF 2＝FG ×FE ．4.（2020•滨江区期末）如图，AD 与BC 交于点O ，EF 过点O ，交AB 与点E ，交CD 与点F ，BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．（1）求证：∠A ＝∠D ．（2）若AE ＝BE ，求证：CF ＝DF ．【解答】证明：（1）∵BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．∴OB OC=AO DO，∵∠AOB ＝∠COD ，∴△OAB ∽△ODC ，∴∠A ＝∠D ． （2）∵∠A ＝∠D ，∴AB ∥CD ，∴AE DF=OE OF，BE CF=OE OF，∴AEDF=BE CF．∵AE ＝BE ，∴CF ＝DF ．5．（2020·江苏如皋·初三二模）已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒（如图）．以线段AB 为边向外作等边三角形ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ．（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）连接CD ，交AB 于点M ．①若6AB =，求BM 的长；②作MN AC ⊥，垂足为N ，求证：111BC AD MN+=．【解析】（1）∵ABD △是等边三角形 ∴AD AB BD ==，60BAD ABD D ∠=∠=∠=︒ 在Rt ABC 中，30CAB ∠=︒∴60ABC ∠=︒ ∵点E 是线段AB 的中点∴12CE BE AE AB ===∴BCE 是等边三角形 ∴60CEB CBE ABC ∠=∠=∠=︒，BC CE =∴60ABD CEB ∠=∠=︒∴//CF BD606060180CBD D CBE ABD D ∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴//BC FD ∴四边形BCFD 为平行四边形；（2）①如图，连接CD ，交AB 于点M ∵//BC FD ∴BCM ADM ~∴BM BCAM AD= ∵12BC CE AB ==，AB AD =∴12BM BC AM AD == ∵6AB BM AM =+=∴123BM AB ==； ②如图，作MN AC ⊥，垂足为N∵90ACB ∠=︒，306090CAD BAC BAD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，MN AC ⊥∴////BC MN DA ∴AMNABC ，C CMN DA ~∴MN AN BC AC =，MN CNDA CA = ∴1MN MN AN CN AN CN ACBC DA AC CA AC AC ++=+=== ∴111BC AD MN+=．6．（2020·苏州市吴中区光福中学初二期末）如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q ．（1）求证：△PCQ ∽△RDQ ；（2）求BP ：PQ ：QR 的值．【解析】解：（1）∵PC DR ∥，∴PCQ RDQ ∠=∠． 又∵PQC RQD ∠=∠．∴PCQ RDQ △∽△．（2）∵四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形， ∴BC AD CE ==，//AC DE ．∴PB PR =，12PC RE =． 又∵点R 是DE 中点，∴DR RE =．由（1）知PCQ RDQ △∽△，∴12PQ PC PC QR DR RE ===，∴2QR PQ =． 又∵3BP PR PQ QR PQ ==+=，∴::3:1:2BP PQ QR =．7．（2020·山东乐陵·初三期末）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目：如图1，在ABC ∆中，点O 在线段BC 上，30BAO ∠=︒，75OAC ∠=︒，AO =:2:1BO CO =，求AB 的长．经过数学小组成员讨论发现，过点 B 作//BD AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造ABD ∆就可以解决问题（如图2）请回答：____ADB ∠=︒，______AB =．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3在四边形ABCD 中对角线AC 与BD 相交于点O ，AC AD ⊥，AO =75ABC ACB ∠=∠=︒，:2:1BO OD =．求DC 的长．【解析】解: (1)//BD AC ，75ADB OAC ∴∠=∠=︒.BOD COA ∠=∠BOD COA ∴∆∆2OD OBOA OC∴==又3AO =2OD AO ∴==AD AO OD ∴=+=30,75,BAD ADB ∠=︒∠=︒18075,ABD BAD ADB ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒=∠AB AD ∴==75；(2)过点B 作//BE AD 交AC 于点E ，如图所示.AC AD ⊥，//BE AD 90DAC BEA ∴∠=∠=︒. AOD EOB ∠=∠AOD EOB ∴∆∆==OB OE BEOD OA DA∴ :2:1BO OD ==2OE BEOA DA∴=3AO =,EO ∴=AE =75ABC ACB ∠=∠=︒30,BAC AB AC ∴∠=︒=2AB BE ∴=在Rt AEB ∆中，222BE AE AB +=，即(()2222BE BE +=，解得：3BE =6,6AB AC AD ∴===32AC ∴=在Rt CAD ∆中，CD ===CD = 题型4相似三角形基本模型（AX 型）【方法点拨】A 字型及X 字型两者相结合，通过线段比进行转化.1．（2019·乡宁县枣岭乡谭坪中学初三期中）如图，在中，、分别是、的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，_____．【解析】如图，延长BQ 交射线EF 于点M、分别是、的中点ABC ∆6BC =E F AB AC P EF BP CE D CBP ∠CE Q 13CQ CE =EP BP+=E F AB AC //EF BC ∴M CBM ∴∠=∠平分 由得 即故答案为：12．2.（2020•丛台区三模）如图，△ABC 中，D ．E 分别是AB 、AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE ． （1）求证：△ADE ∽△ABC ；（2）若DF ＝2，求FC 的长度．【解答】（1）证明：∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AD AB=AE AC=13，又∵∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ； （2）解：∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC=AD AB=13，∠ADE ＝∠ABC ，∴DE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴DF CF=DE CB，即2CF=13，∴FC ＝6．3.（2020•江夏区模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ．如果CE BE=23，求FEEG的值．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ． ∵AD ∥BE ，∴△BEF ∽△DAF ，∴EF AF=BE DA ．又∵BC ＝BE +CE ，CEBE =23，∴BE =35BC =35DA ，∴EF =35AF ，∴AE =3+53EF =83EF ．∵CE ∥AD ，△CEG ∽DAG ，∴GE GA=CE DA=22+3，∴GE =25GA ，BQ CBP ∠CBM PBM ∴∠=∠PBM B ∴∠=∠BP MP ∴=EP BP EP M P EM ∴+=+=13CQ CE =2EQ CQ ∴=//EF BC EMQ CBQ ∆~∆2EM EQ BC CQ ∴==22612EM BC ∴==⨯=12EPBP +=∴GE =25−2AE =23×83EF =169EF ，∴FE EG =916．4．（2020·广东高州·初三其他）如图，在菱形ABCD 中，∠ADE 、∠CDF 分别交BC 、AB 于点E 、F ，DF 交对角线AC 于点M ，且∠ADE ＝∠CDF ．（1）求证：CE ＝AF ；（2）连接ME ，若CE BE ＝CDCE，AF ＝2，求ME 的长．【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠DAF ＝∠DCE ， 又∵∠ADE ＝∠CDF ，∴∠ADE ﹣∠EDF ＝∠CDF ﹣∠EDF ，∴∠ADF ＝∠CDE ，在△ADF 和△CDE 中，ADF CDFAD CD DAF DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADF ≌△CDE ，∴CE ＝AF ．（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，由（1）得：CE ＝AF ＝2，∴BE ＝BF ，设BE ＝BF ＝x ，∵CE BE ＝CDCE，AF ＝2，∴222x x +=，解得x1，∴BE ＝BF1，∵CE BE ＝CD CE ，且CE ＝AF ，∴CE BE ＝CD CE ＝CD AF， ∵∠CMD ＝∠AMF ，∠DCM ＝∠AMF ，∴△AMF ∽△CMD ，∴CD CMAF AM=， ∴CD CM CEAF AM BE==，且∠ACB ＝∠ACB,∴△ABC ～△MEC, ∴∠CAB ＝∠CME=∠ACB ，∴ME=CE=2．5．（2019·全国初三专题练习）已知如图，在梯形中，，、的延长线相交于点，、相交于点，连结并延长交于点，交于点．那么线段与是否相等？请说明理由．ABCD CD AB AD BC E AC BD O EO AB M CD N AM BM【解析】相等．理由如下：∵，∴∽，∽，∽．∴，，．∴．∴． ∵，∴∽，∽，∽．∴，，．∴． ∴．∴．∴．∴． 6.（2019•五华县期末）已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连接EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G ．（1）求证：△AFG ∽△CMG ；（2）求证：GF GM=EF EM．【解答】（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠F AG ＝∠MCG ，∵∠AGF ＝∠CGM ，∴△AFG ∽△CMG ； （2）证明：∵△AFG ∽△CMG ，∴GF GM=AF CM，∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△BEM ，∴AFBM=EF EM又∵CM ＝BM ，∴AFCM=EF EM，∴GFGM=EFEM．7.如图：AD ∥EG ∥BC ，EG 交DB 于点F ，已知AD ＝6，BC ＝8，AE ＝6，EF ＝2．（1）求EB 的长；（2）求FG 的长．【解答】解：（1）∵EG ∥AD ，∴△BAD ∽△BEF ，∴BE BA=EF AD，即BEBE+6=26，∴EB ＝3．（2）∵EG ∥∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EG BC=AE AB，即EG 8=66+3，∴EG =163，∴FG ＝EG ﹣EF =103．CD AB EDN △EAM △△ENC EM B △EDC △EAB DN DE AM AE =CN CE BM BE =DE CE AE BE =DN CN AM BM =BM CNAM DN=CD AB OND △OMB △ONC △OMA OCD OAB DN OD BM OB =CN OC AM OA =OD OC OB OA =DN CNBM AM =AM CN BM DN =BM AMAM BM=22AM BM =AM BM=题型5相似三角形基本模型（母子型）【方法点拨】图1垂直母子型条件：,AC BC AB CD ⊥⊥，图1结论：ABC ACD CBD ∽∽； 图2斜交母子字型条件：C ABD ∠=∠，图2结论：ABC ABD ∽；1、在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥，垂足为,8,2D AD DB ==，求CD 的长【解析】∵CD AB ⊥，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∴90ACD A ∠+∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCD ∠+∠=︒，∴A BCD ∠=∠， ∴ADC CDB ∽，∴CD ADBD CD=，∴28216CD AD BD =⋅=⨯=，∴4CD =． 2、如图，在ABC 中，AB AC =，点P 、D 分别是BC AC 、边上的点，且APD B ∠=∠． （1）求证：AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）若10,12AB BC ==，当//PD AB 时，求BP 的长．【解析】（1）∵AB AC =，∴B C ∠=∠．∵APD B ∠=∠，∴APD B C ∠=∠=∠． ∵,APC BAP B APC APD DPC ∠=∠+∠∠=∠+∠， ∴BAP DPC ∠=∠，∴ABP PCD ∽，∴BP ABCD CP=，∴AB CD CP BP ⋅=⋅． ∵AB AC =，∴AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）如图，∵//PD AB ，∴APD BAP ∠=∠．∵APD C ∠=∠，∴BAP C ∠=∠．∵B B ∠=∠，∴BAP BCA ∽，∴BA BPBC BA=． ∵10,12AB BC ==，∴101210BP =，∴253BP =．3.（2019•越城区一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC ：AC 是（ ）A ．3：2B ．2：3C ．3：√13D ．2：√13．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝∠ACB ＝90°， ∵∠A +∠B ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ，∴△ACD ∽△CBD ， ∴AC BC=CD BD=64=32∴BC AC=23，故选：B ．4．（2020•南京）如图，在△ABC 和△A 'B 'C '中，D 、D '分别是AB 、A 'B '上一点，AD AB=A′D′A′B′．（1）当CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′时，求证△ABC ∽△A 'B 'C ．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CD C′D′=AC A′C′=BC B′C′时，判断△ABC 与△A 'B 'C ′是否相似，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AD AB=A′D′A′B′，∴AD A′D′=AB A′B′，∵CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′，∴CDC′D′=ACA′C′=ADA′D′，∴△ADC ∽△A ′D ′C ，∴∠A ＝∠A ′，∵AC A′C′=AB A′B′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．故答案为：CDC′D′=AC A′C′=ADA′D′，∠A ＝∠A ′．（2）如图，过点D ，D ′分别作DE ∥BC ，D ′E ′∥B ′C ′，DE 交AC 于E ，D ′E ′交A ′C ′于E ′．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB=DE BC =AE AC，同理，A′D′A′B′=D′E′B′C′=A′E′A′C′，∵AD AB=A′D′A′B′，∴DE BC=D′E′B′C′，∴DE D′E′=BC B′C′，同理，AE AC=A′E′A′C′，∴AC−AE AC =A′C′−A′E′A′C′，即ECAC=E′C′A′C′，∴EC E′C′=ACA′C′，∵CD C′D′=AC A′C′=BC B′C′，∴CDC′D′=DED′E′=ECE′C′，∴△DCE ∽△D ′C ′E ′，∴∠CED ＝∠C ′E ′D ′，∵DE ∥BC ，∴∠CED +∠ACB ＝90°，同理，∠C ′E ′D ′+∠A ′C ′B ′＝180°，∴∠ACB ＝∠A ′B ′C ′， ∵AC A′C′=CB C′B′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．5.（2019•张家口模拟）如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB=12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（ ）A ．116B ．15C ．14D ．125【解答】解：∵AD AB=12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC =√5a ，∵BF ⊥AC ，∴△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ，∴BC 2＝CE •CA ，AB 2＝AE •AC ∴a 2＝CE •√5a ，4a 2＝AE •√5a ，∴CE =√5a5，AE =4√5a5，∴CE AE =14， ∵△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2=（CEAE）2=116，故选：A ． 6.（2019·全国初三课时练习）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP•BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．【解析】（2）易证∠APD=∠B=∠C ，从而可证到△ABP ∽△PCD ，即可得到BP ABCD CP=，即AB•CD=CP•BP ，由AB=AC 即可得到AC•CD=CP•BP ；（2）由PD ∥AB 可得∠APD=∠BAP ，即可得到∠BAP=∠C ，从而可证到△BAP ∽△BCA ，然后运用相似三角形的性质即可求出BP 的长．解：（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ．∵∠APD=∠B ，∴∠APD=∠B=∠C ． ∵∠APC=∠BAP+∠B ，∠APC=∠APD+∠DPC ，∴∠BAP=∠DPC ， ∴△ABP ∽△PCD ，∴BP ABCD CP=，∴AB•CD=CP•BP ．∵AB=AC ，∴AC•CD=CP•BP ； （2）∵PD ∥AB ，∴∠APD=∠BAP ．∵∠APD=∠C ，∴∠BAP=∠C ． ∵∠B=∠B ，∴△BAP ∽△BCA ，∴BA BP BC BA =．∵AB=10，BC=12，∴101210BP =，∴BP=253． 7、在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥，垂足为,8,2D AD DB ==，求CD 的长【解析】∵CD AB ⊥，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∴90ACD A ∠+∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCD ∠+∠=︒，∴A BCD ∠=∠，∴ADC CDB ∽， ∴CD ADBD CD=，∴28216CD AD BD =⋅=⨯=，∴4CD =．题型6相似三角形基本模型（旋转型（手拉手））【方法点拨】基本模型：旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形.1.如图，△ABC ∽△ADE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB 与DE 交于点O ，AB ＝4，AC ＝3，F 是DE 的中点，连接BD ，BF ，若点E 是射线CB 上的动点，下列结论：①△AOD ∽△FOB ，②△BOD ∽△EOA ，③∠FDB +∠FBE ＝90°，④BF =56AE ，其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②③④【解答】解：∵△ABC ∽△ADE ，∴∠ADO ＝∠OBE ， ∵∠AOD ＝∠BOE ，∴△AOD ∽△EOB ，∴OD OB=OA OE，∴OD OA=OB OE，∵∠BOD ＝∠AOE ，∴△BOD ∽△EOA ，故②正确，∵△AOD ∽△EOB ，△BOD ∽△EOA ，∴∠ADO ＝∠EBO ，∠AEO ＝∠DBO ， ∵∠ADO +∠AEO ＝90°，∴∠DBE ＝∠DBO +∠EBO ＝90°，∵DF ＝EF ，∴FD ＝FB ＝FE ，∴∠FDB ＝∠FBD ，∴∠FDB +∠FBE ＝∠FBD +∠FBE ＝90°，故③正确， 在Rt △ABC 中，∵AB ＝4，AC ＝3，∴BC =√32+42=5，∵△ABC ∽△ADE ，∴DE AE=BC AC=53，∵BF =12DE ，∴2BF AE=53，∴BF =56AE ，故④正确，∵∠ADO ＝∠OBE ，∴∠ADO ≠∠OBF ，∴无法判断△AOD ∽△FOB ，故①错误．故选：D ．2.（2019•福田区校级期末）如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，连接BD 、CE ，若AC ：BC ＝3：4，则BD ：CE 为（ ）A ．5：3B ．4：3C ．√5：2D ．2：√3【解答】解：∵∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ， ∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，AC AB=AE AD，∵∠BAC +∠BAE ＝∠DAE +∠BAE ，即∠CAE ＝∠BAD ， ∵AC AB=AE AD，∴△ACE ∽△ABD ，∴BD CE=AB AC，∵AC ：BC ＝3：4，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∴AC ：BC ：AB ＝3：4：5， ∴BD ：CE ＝5：3，故选：A ．3.（2020•昭平县期末）如图，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，AE ＝3，AD ＝4.5，DE ＝6，∠BAD ＝20°，则∠CAE 的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．40°D ．无法确定【解答】解：AC AE=23，AB AD=34.5=23，BC DE=46=23，∴AC AE=AB AD=BC DE，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ， ∴∠CAE ＝∠BAD ＝20°，故选：B ．4．（2020·全国初三专题练习）在和中，，，与在同一条直线上，点与点重合，，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，，若，求和的面积．Rt ABC Rt DEF △30ABC EDF ∠=∠=︒90BAC DEC ∠=∠=︒BC DF C F 2AC =CED C 30BD AE 12EF AC =BDC AEC【解析】解：如图所示，过点D 作DM BC 于点M ，∵AC=2，，∴，又∵，， ∴在BAC 和DEC 中，，，由旋转性质知，，，∴BDC ∽AEC ，故， 在DMC 中，，，∴，∴， ∵BDC ∽AEC ，∴，∴，∴BDC 和AEC 的面积分别为2和． 5.（2020•亳州模拟）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD ＝AF ，AE •CE ＝DE •EF ．（1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE •BD ＝EF •AF ，求证：AB ＝AC ．【解答】证明：（1）∵AD ＝AF ，∴∠ADF ＝∠F ，∵AE •CE ＝DE •EF ，∴AE DE=EF CE，又∵∠AEF ＝∠DEC ，∴△AEF ∽△DEC ，∴∠F ＝∠C ，∴∠ADF ＝∠C ， 又∵∠DAE ＝∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ． （2）∵AE •BD ＝EF •AF ，∴AE AF=EF BD，∵AD ＝AF ，∴AEAD=EF BD，∵∠AEF ＝∠EAD +∠ADE ，∠ADB ＝∠EAD +∠C ，∴∠AEF ＝∠ADB ， ∴△AEF ∽△ADB ，∴∠F ＝∠B ，∴∠C ＝∠B ，∴AB ＝AC ．⊥1EF=AC 2EC=1ABC=30∠︒EDC=30∠︒Rt △Rt △BC=2AC=4DC=2EC=2BCD ACE 30∠=∠=︒BC CD ==2AC EF BD BC==2AE ACRt △BCD=30∠︒DC=2DM=1BDC BC DM 41222S ⋅⨯===△2AEC BDC1124SS⎛⎫== ⎪⎝⎭AEC 11242S ⨯==△127．（2020·洛阳市第二外国语学校二模）已知，ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α°，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为线段AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转2α°得到线段EF ，连接FG ，FD ． （1）如图1，当∠BAC ＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC ＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；【解析】（1）连接BF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∵线段CE 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，∴EC ＝EF ，∠CEF ＝60°，∴△EFC 都是等边三角形， ∴AC ＝BC ，EC ＝CF ，∠ACB ＝∠ECF ＝60°，∴∠ACE ＝∠BCF ， ∴△ACE ≌△BCF （SAS ），∴AE ＝BF ，∴＝1． （2）不成立，结论：＝．证明：连接BF ， ∵AB ＝AC ，D 是BC 中点，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠BAC ＝∠CEF ＝90°， ∴△ABC 和△CEF 为等腰直角三角形，∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°，∴∠ACE ＝∠BCF ，BFAEBFAEAEBF 2∴＝，∴△ACE ∽△BCF ，∴∠CBF ＝∠CAE ＝α，∴＝题型7相似基本模型（K 字型（一线三等角））【方法点拨】基本模型：如图1，∠B =∠C =∠EDF 推出△BDE ∽△CFD （一线三等角） 如图2，∠B =∠C =∠ADE 推出△ABD ∽△DC E （一线三等角）如图3，特别地，当D 时BC 中点时：△BDE ∽△DFE ∽△CFD 推出ED 平分∠BEF ，FD 平分∠EFC. 1．（2020·广西平桂·期末）如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C ＝90°，AB ＝1，CD ＝2，BC ＝3，点P 为BC 边上一动点，若AP ⊥DP ，则BP 的长为_____．【解析】设BP=x ，则PC=3-x ，∵AB ∥CD ，∠C ＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C ， ∵AP ⊥DP ，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB ，∴△CDP ∽△BPA ，∴， ∵AB ＝1，CD ＝2，BC ＝3，∴，解得：x 1=1，x 2=2， ∴BP 的长为1或2，故答案为：1或22．（2020·湖北保康·初三其他）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点（不与B 、C 重合），∠ADE ＝∠B ＝α，DE 交AC 于点E ，且cos ∠α＝，下列结论：①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 为8或；④0＜CE ≤6.4．其中正确的结论是_________．（把你认为正确结论的序号都填上）AC BC CE CF AE BF AC BC AB PBPC CD=132xx =-45258【解析】解：①∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，又∵∠ADE ＝∠B ，∴∠ADE ＝∠C ，∴△ADE ∽△ACD ，故①正确； ②作AG ⊥BC 于G ，∵AB ＝AC ＝10，∠ADE ＝∠B ＝α，cosα＝，∴BG ＝ABcosB ，∴BC ＝2BG ＝2ABcosB ＝2×10×＝16， ∵BD ＝6，∴DC ＝10，∴AB ＝DC ，在△ABD 与△DCE 中，∴△ABD ≌△DCE （ASA ），故②正确；③当∠AED ＝90°时，由①可知：△ADE ∽△ACD ，∴∠ADC ＝∠AED ， ∵∠AED ＝90°，∴∠ADC ＝90°，即AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∴∠ADE ＝∠B ＝α且cosα＝，AB ＝10，BD ＝8， 当∠CDE ＝90°时，易△CDE ∽△BAD ，∵∠CDE ＝90°，∴∠BAD ＝90°， ∵∠B ＝α且cosα＝，AB ＝10，∴cosB ＝＝，∴BD ＝，故③错误； ④易证得△CDE ∽△BAD ，由②可知BC ＝16，设BD ＝y ，CE ＝x ，∴，∴， 整理得：y 2−16y ＋64＝64−10x ，即（y−8）2＝64−10x ，∴0＜x≤6.4，故④正确；故答案为：①②④． 3．（2020·江苏宝应·）如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，EF ⊥BE 交CD 于点F ． （1）求证：ABEDEF ∆∆；（2）连结BF ，若ABE EBF ∆∆，试确定点E 的位置并说明理由．4545BAD CDEB C AB DC ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝4545AB BD 45252AB BDDC CE=10y 16y x =-【解析】（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF=90°，∴∠ABE=∠DEF．在△ABE和△DEF中，ABE DEFA D∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴△ABE∽△DEF ；（2）∵△ABE∽△DEF，∴AB BE DE EF=，∵△ABE∽△EBF，∴AB BEAE EF=，∴AB ABDE AE=，∴DE=AE，∴点E为AD的中点．4．（2020·浙江上城·初三一模）如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；（2）若△PDE 为正三角形时，求BD+CE的值；（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．【解析】解：（1）∠BDP＝∠EPC，理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠DPE＝60°，∴∠DPE＝∠B，∵∠DPC是△BDP的外角，∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，∴∠EPC＝∠BDP；（2）∵△PDE为正三角形，∴PD＝PE，在△BDP和△CPE中，B CBDP CPEPD EP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDP≌△CPE（AAS），∴BD＝CP，BP＝CE，∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；（3）∵DE∥BC，△ABC为等边三角形，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝AE，∴BD＝CE，∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，∴△BDP∽△CPE，∴BD BPPC CE=，即8BD BPBP BD=-整理得，BD，﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，∴BD的最大值为4．5．（2020·全国初三专题练习）如图，//AB CD ，CD BD ⊥且6AB =，4CD =，14BD =，在BD 上是否存在一点P ，使得以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、D 、C 为顶点的三角形相似，若存在，求BP 的长，若不存在，请说明理由．【解析】解：存在．∵//AB CD ，CD BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，设BP x =，则14PD x =-． ①ABP PDC △△∽时，AB BPPD CD =，即6144x x =-，解得12x =，212x =， ∴当2BP =或12时，ABP PDC △△∽； ②当ABP CDP △△∽时，AB BPCD PD =，即6414x x=-，解得8.4x =， ∴当8.4BP =时，ABP CDP △△∽．综上所述，当2BP =或12或8.4时，以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、D 、C 为顶点的三角形相似． 6．（2020·全国初三专题练习）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点D 在BC 所在的直线上运动，作45ADE ∠=︒（A 、D 、E 按逆时针方向）．（1）如图，若点D 在线段BC 上运动，DE 交AC 于E ．①求证：ABD DCE △△∽；②当ADE 是等腰三角形时，求AE 的长；（2）如图，若点D 在BC 的延长线上运动，DE 的反向延长线与AC 的延长线相交于点E '，是否存在点D ，使ADE '△是等腰三角形？若存在，求出线段CD 的长度；若不存在，请简要说明理由；（3）若点D 在BC 的反向延长线上运动，是否存在点D ，使ADE 是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由．【解析】（1）①证明：∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴45B C ∠=∠=︒．∴135BAD ADB ∠+∠=︒． 又∵135ADB EDC ∠+∠=︒，∴BAD EDC ∠=∠．∴ABD DCE △△∽；②解：分三种情况：（i ）当AD AE =，45ADE AED ∠=∠=︒时，得到90DAE ∠=︒，点,D E 分别与,B C 重合，∴2AE AC ==．（ii ）当AD DE =时，在△ABD 和△DCE 中，B C ADB CED AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD DCE △△≌，∴2AB CD ==， ∵=2BD CE ==，∴4AE AC CE =-=- （iii ）当AE DE =时，有45EAD ADE C ∠=∠=︒=∠， ∴90ADC AED ∠=∠=︒，AD=CD ，AE=CE=DE ，∴112DE AE AC ===． 综上所述，当ADE 是等腰三角形时，AE 的长为2，4-1． （2）解：存在．∵45ACB ∠=︒，∴CAD ADC 45∠+∠=︒．∵45ADE ∠=︒，∴45DAC DE A '∠+∠=︒．∴ADC DE A '∠=∠，∴ADC AE D '△△∽，∴AC ADDC E D='，当AD DE '=，2DC AC ==． （3）解：不存在．理由如下：如图，∵D 和B 不重合，∴45AED ∠<︒，又45ADE ∠=︒，90DAE ∠>︒，∴AD AE ≠≠DE ．7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，D 是AC 中点，E 是BC 上一点，BE =52，∠AED ＝∠B ，则CE 的长为（ ）A ．152B ．223C ．365D ．649【解答】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠AEC ＝∠AED +∠DEC ＝∠B +∠BAE ，∠AED ＝∠B ，∴∠DEC ＝∠BAE ，∴△BAE ∽△CED ，∴BA CE=BE CD，∵AB ＝AC ＝6，AD ＝DC ＝3，BE =52，∴6CE =523，∴CE =365，故选：C ．题型8 相似三角形常用辅助线（作平行线）【方法点拨】解决此类问题的关键是作平行线去构造相似三角形从而利用相似三角形的性质去解决问题.基本模型：1．（2020·湖北武汉·初三一模）如图，在中，，，D 是AB 上一点，点E 在BC 上，连接CD ，AE 交于点F ．若，，则__________．【答案】2【解析】解：过D 作DH 垂直AC 于H 点，过D 作DG ∥AE 交BC 于G 点， 在直角三角形ABC 中，，∴又，∴AD=，∴在等腰直角三角形AHD 中，AH=DH=2，∴CH=6－2=4， 在Rt △CHD 中，∵AE ∥DG ，∴∠CFE=∠CDG=45°，∠B=45°，∴∠CDG=∠B ，又∠DCG=∠BCD ，∴△CDG ∽△CBD ，∴，∴ ， 即20=6CG ，∴CG= ，∴BG=BC －CG=6－=，又DG ∥AE ，∴△BDG ∽△BAE ，又，∴， 又BG=，∴BE=BG×=4，∴CE=6－4=2，故答案为：2．2．（2019·全国初三专题练习）如图，在中，是边上的中线，是上的一点，且Rt ABC 90ACB ∠=︒6AC BC ==45CFE ∠=︒2BD AD =CE =6AC BC ==2BD AD =CD CGCB CD=2CD CG CB =•103103832BD AD =23BD BG BA BE ==8332ABC △AD BC F AD，连结并延长交于点，则等于（______）．【解析】解：过点D 作GD ∥EC 交AB 于G ，∵AD 是BC 边上中线，，即BG=GE ， 又∵GD ∥EC ， 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是求出AE 、EB 、EG 之间的关系3．（2020·全国初三课时练习）已知：如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AB=4AE ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D ，求证：BC=2CD ．【解析】证明:（方法一）过点C 作CF ∥AB 交DE 于点F ，∴CDF ∆∽BDE ∆ ∴CF CDBE BD=∵点M 为AC 的中点，∴AM CM = ∵CFAB ∴BAC MCF ∠=∠又∵AME CMF ∠=∠ ∴AME ∆ ≌ CMF ∆ ∴AE CF = ∵4AB AE = ，BE AB AE =-，∴3BE AE = ∴13AE BE = :1:5AF FD =CF AB E :AEEB 1BG BDGE DC∴==15AE AF EG FD ∴==5EG AE ∴=::21:105EGAE EB EG ∴==。

相似三角形12种基本模型证明相似三角形是指拥有相同形状但不同大小的三角形。

在三角形中，如果它们的对应角度相等，那么它们就是相似三角形。

相似三角形一般用比例关系表示。

下面是相似三角形12种基本模型的证明：1. AAA相似模型如果两个三角形的三个角分别相等，则它们是相似的。

证明：三角形的三个角之和为180度。

如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们的三个角和也相等，即这两个三角形的三个角和相等，因此它们是相似的。

2. AA相似模型如果两个三角形中有两个对应角相等，则它们是相似的。

证明：假设两个三角形的对应角分别为A和A’，B和B’，C和C’。

由于A和A’相等，B和B’相等，那么它们的第三个对应角C和C’也必须相等。

因此，这两个三角形的三个角分别相等，它们是相似的。

3. SSS相似模型如果两个三角形的三条边分别成比例，则它们是相似的。

证明：假设两个三角形的三条边为a, b, c和a’, b’, c’。

由于它们是成比例的，即a/a’= b/b’= c/c’，那么它们的三边比例相等，即它们是相似的。

4. SAS相似模型如果两个三角形中有两条边成比例，且夹角相等，则它们是相似的。

证明：假设两个三角形的两条边为a, b和a’, b’，夹角为C和C’。

由于它们是成比例的，即a/a’= b/b’，那么它们的三边比例相等。

又由于它们的夹角相等，即C = C’，因此它们是相似的。

5. ASA相似模型如果两个三角形中有两个角相等，且它们对应的两条边成比例，则它们是相似的。

证明：假设两个三角形的两个对应角分别为A和A’，B和B’，且对应的两条边分别为a, a’和b, b’。

由于它们的两条边成比例，即a/a’= b/b’，那么它们的三边比例相等。

又由于它们的两个角相等，即A = A’，因此它们是相似的。

6. HL相似模型如果两个三角形中有一条边和一条斜边分别成比例，且这两条边夹角相等，则它们是相似的。

证明：假设两个三角形的一条边为b，斜边为c，且夹角为C，另一个三角形的一条边为b’，斜边为c’，且夹角为C’。

相似三角形的基本模型归纳总结
相似三角形是指拥有相似的形状但大小不同的三角形。

在相似三角形中，对应角度相等，而对应边长之间存在比例关系。

以下是一些基本的相似三角形模型：
1. 比例模型：在两个相似三角形中，对应边长之比相等。

例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有AB/DE = BC/EF = AC/DF。

2. 三角形高度模型：在两个相似三角形中，对应高度之比等于对应边长之比。

例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有h_1/h_2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF，其中h_1和h_2分别为∆ABC和
∆DEF的高度。

3. 角平分线模型：在两个相似三角形中，对应角的平分线所延伸的比例相等。

例如，若∆ABC与∆DEF相似，角A和角D相等，则有BD/CE = AB/DE = AC/DF。

4. 底角模型：在两个相似三角形中，底角对应相等。

例如，若∆ABC与∆DEF相似，并且∠A = ∠D，则有∠B = ∠E和∠C
= ∠F。

5. 周长模型：在两个相似三角形中，对应边长之比等于相似三角形的周长比。

例如，若∆ABC与∆DEF相似，则有
(A+B+C)/(D+E+F) = AB/DE = BC/EF = AC/DF。

这些是常见的相似三角形模型，可以根据具体问题选择适合的模型进行求解。

但需要注意的是，在相似三角形中，只有形状
相似，而边长比例相等，因此，对于三角形中角度的求解通常更加重要。

第12讲 相似三角形的基本模型一、相似三角形的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）AB CDE（平行） CB ADE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD二．例题精讲作辅助线构造“A ”“X ”型例1：如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上的一点，且AE=31AD ，CE交AB 于点F ．若AF=1.2cm ，则AB=______cm ．作DG ∥CF 于G ，根据平行线等分线段定理，得BG=FG，根据平行线分线段成比例定理，得： AF/AG=AE/AD ，AG=3.6cm ，则FG=2.4cm ，所以AB=1.2+4.8=6cm ．例2：已知：在△ABC 中，AD 为中线，F 为AB 上一点，CF 交AD 于E ，求证： AE:DE=2AF:BF证明：如图，过点D 作DG ∥CF 交AB 于G 点． ∵DG ∥CF ，D 为BC 中点，∴G 为BF 中点，FG=BG=1/2BF ,∵EF ∥DG ， ∴AE:DE=AF:GF=AF:1/2BF=2AF:BF ．例2：如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE·BF=2DE·AF.证明:过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N.在△BCF中，D是BC的中点，DN∥BF，∴DN=BF.∵DN∥AF，∴△AFE∽△DNE，∴=.又DN=BF，∴=，即AE·BF=2DE·AF.双垂型例1.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB∴∵A（2，1），＝45°∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1∴D点坐标为（2，3）∴B点坐标为（1，3）∴此时正比例函数表达式为：y＝3x第二种情况，图象经过第二、四象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴∵A（2，1），＝45° ∴OC＝1，AC ＝2，AO ＝AB ∴AD＝OC ＝1，BD ＝AC ＝2∴D 点坐标为（3，1） ∴B 点坐标为（3，﹣1）∴此时正比例函数表达式为：y ＝x例2.在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，点M 是AC 上的一点，点N 是BC 上的一点，沿着直线MN 折叠，使得点C 恰好落在边AB 上的P 点．求证：MC ：NC=AP ：PB ．证明：方法一：连接PC ，过点P 作PD ⊥AC 于D ，则PD//BC根据折叠可知MN ⊥CP ∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90° ∴∠2=∠CNM ∵∠CDP=∠NCM=90° ∴△PDC ∽MCN ∴MC ：CN=PD ：DC ∵PD=DA ∴MC ：CN=DA ：DC ∵PD//BC ∴DA ：DC=PA ：PB ∴MC ：CN=PA ：PB 方法二：如图，过M 作MD ⊥AB 于D ，过N 作NE ⊥AB 于E 由双垂直模型，可以推知△PMD ∽NPE ，则，根据等比性质可知，而MD=DA ，NE=EB ，PM=CM ，PN=CN ，∴MC ：CN=PA ：PB 练习：1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED（1）∵∠A=∠A,∠ADB=∠AEC=90°, ∴△ABD ∽△ACE ． （2）∵ABD ∽△ACE, ∴ AD/AB= AE/AC, ∵∠A=∠A,∴△ADE ∽△ABC ．2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，D E AB CDE=62，求：点B 到直线AC 的距离。

相似三角形是指具有相同形状但可能不同尺寸的三角形。

两个三角形相似的条件是它们的对应角相等，而对应边的比例相等。

相似三角形的基本模型包括比例、角的对应关系和性质等。

1. 相似三角形的定义：两个三角形ABC 和DEF 是相似的，记作∆ABC ∼ ∆DEF ，如果它们的对应角相等，即∠A = ∠D ，∠B = ∠E ，∠C = ∠F 。

2. 相似三角形的基本性质：• 对应边的比例： 如果两个三角形相似，那么它们的对应边的长度比是相等的，即AB DE =BC EF =CA FD 。

• 高与底的比例： 两个相似三角形的高与底的比例等于它们的对应边的比例。

•角平分线： 如果在一个三角形的两个角上分别引一条角平分线，这两条平分线所夹的角的正弦比等于与这两个角对应的边的比例。

3. 相似三角形的求解问题：•相似三角形的判定： 给定两个三角形的三个角，判断它们是否相似。

•相似三角形的边长求解： 已知一个三角形和一个角，求另一个相似三角形的边长。

• 相似三角形的角度求解： 已知两个相似三角形的边长比，求它们的角度。

4. 模型示例：考虑两个相似三角形ABC 和DEF ，其中∠A = ∠D ，∠B = ∠E 。

已知AB DE =BC EF =CA FD =k 。

• 已知边长求解： 如果已知AB=6，找出DE 、BC 和EF 。

DE =AB k , BC =AB k , EF =AB k• 已知一个角和边长比求解： 如果已知∠A=40°，找出∠D ，∠B 和∠E 。

∠D =40°, ∠B =40°, ∠E =40°•已知角度求解： 如果已知∠A=30°，∠B=60°，找出∠D 和∠E 。

∠D =30°, ∠E =60°这是一个基本的相似三角形模型，可以根据具体的已知条件和问题求解未知量。

在实际应用中，相似三角形的模型经常出现在几何问题中，例如测量远近、影子问题、光学等领域。