上海市静安区2015学年第二学期高三年级高考模拟文理科数学试卷--含答案

上海静安区2023-2024学年第二学期教学质量调研高三数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟．2024.4一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．1．中国国旗上所有颜色组成的集合为________．2．已知i 是虚数单位，复数i2i++=m z 是纯虚数，则实数m 的值为________．3．函数xxy +-=21ln的定义域为________．4．若单位向量a 、b 满足⊥a b，则=-||a ________．5．某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩X 服从正态分布),100(2σN （试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间]120,80[的学生人数约为_______．6．已知物体的位移d (单位：m)与时间t (单位：s)满足函数关系t d sin 2=，则在时间段)6,2(∈t 内，物体的瞬时速度为s /m 1的时刻=t _______(单位：s)．7．已知等比数列的前n 项和为a S nn +⎪⎭⎫⎝⎛=21，则a 的值为________．8．在下列关于实数b a 、的四个不等式中，恒成立的是_______．(请填入全部正确的序号)①ab b a 2≥+；②ab b a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+22；③||||||b a b a -≤-；④1222-≥+b b a ．9．正四棱锥ABCD P -底面边长为2，高为3，则点A 到不经过点A 的侧面的距离为_______．10．某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有i (=i 0,1,2)个次品的概率如下：一批产品中有次品的个数i012概率0.30.50.2则各批产品通过检查的概率为________．(精确到0.01)11．已知实数)6,0(∈a ，记))(a x x x f -=．若函数)(x f y =在区间[]2,0上的最小值为2-，则a 的值为________．12．我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点),(y x P 都满足方程022||2||222=+-+-y x y y x x ．现将一边在x 轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,22M 到“爱心线”上任意一点的最小距离为d ，则用d 表示心吧面积的最大值为_______．xy O二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．13．函数)(cos sin 2R ∈-=x x x y 的最小正周期为…………………………………………()A ．2π；B ．π；C ．23π；D ．2π．14．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是………()A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；B ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β；C ．若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；D ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β．15．设1>a ，则双曲线1)1(2222=+-a y a x 的离心率e 的取值范围是…………………………()A ．)2,2(；B ．)5,2(；C ．)5,2(；D ．)5,2(．16．如果一个非空集合G 上定义了一个运算*，满足如下性质，则称G 关于运算*构成一个群．(1)封闭性，即对于任意的G b a ∈,，有G b a ∈*；(2)结合律，即对于任意的G c b a ∈,,，有))(c b a c b a **=**（；(3)对于任意的G b a ∈,，方程b a x =*与b y a =*在G 中都有解．例如，整数集Z 关于整数的加法(+)构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的∈b a ,Z ，方程b a x =+与b y a =+都有整数解；而实数集R 关于实数的乘法(⨯)不构成群，因为方程10=⨯y 没有实数解．以下关于“群”的真命题有………………………………………………………………()1自然数集N 关于自然数的加法(+)构成群；2有理数集Q 关于有理数的乘法(⨯)构成群；3平面向量集关于向量的数量积(⋅)构成群；4复数集C 关于复数的加法(+)构成群．A ．0个；B ．1个；C ．2个；D ．3个．三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(满分12分)共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3=a ，5=b ，7=c ．(1)求角C 的大小；(2)求)sin(C A +的值．18．(满分15分)共3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．某高中随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位：cm)，按照区间[)165,160,[)170,165,[)175,170,[)180,175,[]185,180分组，得到样本身高的频率分布直方图(如下图所示).(1)求身高不低于170cm 的学生人数；(2)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]区间内的学生依次记为A ，B ，C 三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．①求从这三个组分别抽取的学生人数；②若要从6名学生中抽取2人，求B 组中至少有1人被抽中的概率．19．(满分15分)共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分．如图1所示，ABCD 是水平放置的矩形，32=AB ，2=BC ．如图2所示，将ABD 沿矩形的对角线BD 向上翻折，使得平面⊥ABD 平面BCD ．(1)求四面体ABCD 的体积V ；(2)试判断与证明以下两个问题：①在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得AD l ⊥？②在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得AD l //？ABCD ABCD图1图220．(满分18分)共3个小题，每个小题均是满分6分．江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A 与点B ．现在准备以地平面上的点C 与点D 为起点建造上、下桥坡道，要求：①AC BD =；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为22:1(坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比)；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；(精确到0.1米)(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由(如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算)．21．(满分18分)共3个小题，第一小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知R ∈k ，记x x a k a x f -⋅+=)((0>a 且1≠a )．(1)当e =a (e 是自然对数的底)时，试讨论函数)(x f y =的单调性和最值；(2)试讨论函数)(x f y =的奇偶性；(3)拓展与探究：①当k 在什么范围取值时，函数)(x f y =的图像在x 轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数)(x f y =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．(不必证明)C DAB20米参考答案与评分标准一、1．{红，黄}；2．21-；3．)1,2(-；4．2；5．1360；6．5π3；7．1-；8．②③④；9．5；10．0.91；11．3；12．225d -．二、13．A ；14．C ；15．D ．16．B ．三、17．解：(1)由余弦定理，有212cos 222-=-+=ab c b a C ，所以3π2=C …………………6分(2)解1：由正弦定理，有CcB b sin sin =，即.1435sin sin ==c C b B 所以B B C A sin )πsin()sin(=-=+.1435=………………………6分解2：由正弦定理，有C cA a sin sin =，即.1433sin sin ==c C a A 所以.1413sin 1cos 2=-=A A 故，.1435sin cos cos sin )sin(=+=+C A C A C A ………………………6分解3：由余弦定理，有14132cos 222=-+=bc a c b A ，所以.1433sin =A 故，.1435sin cos cos sin )sin(=+=+C A C A C A ………………………6分18．解:(1)由频率分布直方图可知515(0.070.040.020.01)x =-⨯+++，所以1[150.14]0.065x =-⨯=．身高在170cm 以上的学生人数为100(0.0650.0450.025)60⨯⨯+⨯+⨯=(人)．(2)A ,B ,C 三组的人数分别为30人,20人,10人.因此应该从A ,B ,C 三组中每组各抽取630360⨯=(人),620260⨯=(人),610160⨯=(人)．………………………4分设A 组的3位同学为1A ,2A ,3A ,B 组的2位同学为1B ,2B ,C 组的1位同学为1C ,则从6名学生中抽取2人有15种可能：12(,)A A ,13(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,11(,)A C ,23(,)A A ,21(,)A B ,22(,)A B ,21(,)A C ,31(,)A B ,32(,)A B ,31(,)A C ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .其中B 组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .所以B 组中至少有1人被抽中的概率为93155P ==．……………6分19．解：(1)过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ．因为平面⊥ABD 平面BCD ，ABDEF有AE ⊥平面BCD，则AE =……………………4分所以11122332BCD V S AE ==⨯⨯⨯ △．………2分(2)①在平面BCD 上存在经过点C 的直线l ，使得AD l ⊥．……………………1分证明：过点C 作CF BD ⊥，垂足为F ．因为AE ⊥平面BCD ，则DE 为AD 在平面BCD 内的投影．由三垂线定理，CF AD ⊥，则存在l AD ⊥．……………………4分②在平面BCD 上不存在经过点C 的直线l ，使得AD l //……………………1分证明：假设存在//l AD ，因为AD 不在平面BCD 内，则//AD 平面BCD ，与AD 平面BCD D =矛盾．…3分所以不存在//l AD ．注：用异面直线判断定理证明给满分．20．解1：如图，以线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系.…………………1分……………………2分则，圆O 的方程为10022=+y x ；由221tan =C ，10=OE 得220=CE ，30=CO ．过点C 作圆O 的切线DE ，切点为E ，直线CE 的斜率为221，其方程为)30(221+=x y ．所以直线OE 的斜率为22-，其方程为x y 22-=，将其代入10022=+y x ，得点E 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3220,310．经过点D 作圆M 与圆O 切于点F （圆O 与y 轴的交点），设圆M 的半径为r ，则，222DM OM OD =+，即222)10(30r r =-+，解得50=r ．所以，圆M 的方程为22250)40(=++y x ，故，用函数表示过桥道路为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤--<≤---<≤-+=.300,402500,0310,100,31030),30(22122x x x x x x y ……………………3分(2)解1：由点E 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3220,310，得22arctan 2π-=∠EOF ，CDAB20米E OFxy所以圆弧EF 的长为⎪⎭⎫⎝⎛-22arctan 2π10≈3.398，……………………2分由点D 的坐标为()0,30，点M 的坐标为()40,0-，得43arctan =∠DMF ，所以圆弧FD 的长为43arctan50≈32.175，……………………2分故，过桥道路的总长度为+220⎪⎭⎫⎝⎛-22arctan 2π1043arctan 50+9.63≈m ．……2分解2：(1)如图建系…………………………………………………………1分……………………2分作圆N 与x 轴相切于点D ，并和圆O 切于点G ，设圆M 的半径为r ，则，222ON DN OD =+，即222)10(30+=+r r ，解得40=r ．所以，圆N 的方程为22240)40()30(=-+-y x ，将直线OG 的方程代入10022=+y x 得，点G 的坐标为()6,8故，用函数表示过桥道路为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤---<≤---<≤-+=.306,)30(160040,6310,100,31030),30(22122x x x x x x y …………………3分(2)因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3220,310OE ，)8,6(=OG ，则15283,cos +-==〉〈OG OE OG OE ，即，15283arccos ,+-=〉〈OG OE ．所以圆弧EG 的长为15283arccos 10+-≈9.833．……………………2分又由点G 的坐标为)8,6(，得34arctan 2π-=∠OND ，所以圆弧GD 的长为⎪⎭⎫ ⎝⎛-34arctan 2π40≈25.740．………………………2分故，过桥道路的总长度为+22015283arccos10+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+34arctan 2π40≈63.9m ．………2分CDAB20米EGOxy(3)设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形ACE 为底面，高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形BDF (BDG )为底面，高为10米的柱体；……………………2分提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？……………………2分方案1：=-=∆AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOFDOM DMF BDF S S S S 扇形扇形曲边形--=∆所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DOM DMF AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形--+-∆∆)3m ．………2分方案2：=-=∆AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOGDNG ODN BDG S S S S 扇形扇形曲边形--=∆所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DNG ODN AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形--+-∆∆)3m ．………2分注:1、用直线和圆的方程表示坡道给满分；2、在拱桥右边设计与圆拱相切，切点不在圆拱最高点的上凸圆弧坡道，若计算正确，可酌情给满分；3、在拱桥右边设计与圆拱相切，与水平线相交的下凸圆弧作为坡道，若计算正确，可酌情给满分．4、若学生在拱桥左边设计圆的割线段，建议各扣1分；5、在拱桥右边设计相交圆弧作为坡道，但计算正确，建议各扣1分．21．解：(1)xx k x f -⋅-=e e )('，当0≤k 时，0)('>x f ，故函数)(x f y =在R 上为严格增函数；……………………1分函数)(x f y =在R 上无最值．……………………1分当0>k 时，令0)('=x f ，得k x ln 21=，所以，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈k x ln 21,时，0)('<x f ，函数)(x f y =在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-k ln 21,上为严格减函数；…1分当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,ln 21k x 时，0)('>x f ，函数)(x f y =在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,ln 21k 上为严格增函数．…………1分函数)(x f y =在R 上有最小值0，无最大值．……………………1分(2)因为“)(x f y =为偶函数”⇔“对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f =-”⇔对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且x x x x a k a a k a ⋅+=⋅+--；⇔对于任意的R ∈x ，0))(1(=---x x a a k ⇔1=k ．故，1=k 是)(x f y =为偶函数的充要条件．……………………3分因为“)(x f y =为奇函数”⇔“对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f -=-”⇔对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且x x x x a k a a k a ⋅+=⋅----；⇔对于任意的R ∈x ，0))(1(=++-x x a a k ⇔1-=k ．故，1-=k 是)(x f y =为奇函数的充要条件．……………………3分当1±≠k 时，)(x f y =是非奇非偶函数.(3)①当0<k 时，函数)(x f y =有对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛-0),log(21k ．即，当0<k 时，对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且=--))((log x k f a )(x f -．………2分证明：当0<k 时，令0)(=x f ，解得)(log 21k x a -=为函数)(x f y =的零点由xx a k a x f -⋅+=)(得，=--))((log x k f a ))((log )(log x k x k a a a k a -----⋅+x x a a k -⋅-=-)(x f -=．……………………2分②答案1：当0>k 时，函数)(x f y =有对称轴k x a log 21=．即，当0>k 时，对于任意的R ∈x ，都有R ∈-x ，并且=-)(log x k f a )(x f ．………………3分参考证明：当0>k 时，由xx a k a x f -⋅+=)(得，=-)(log x k f a )(log log x k xk a aa k a ---⋅+x x a a k +⋅=-)(x f =．答案2：当1=k 时，)(x f y =的图像关于y 轴对称，即，对于任意的R ∈x ，都有)()(x f x f =-．………………………………………………1分答案3：当0<k 时，函数)(x f y =的零点为)(log 21k x a -=，即.0)(log 21=⎪⎭⎫⎝⎛-k f a …………1分答案4：表述函数)(x f y =的单调性和最值，并写出定义形式各给1分.。

2015年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分.1．（4分）（2015•上海模拟）幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m=0．【考点】：幂函数的单调性、奇偶性及其应用；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：根据幂函数的性质，可得m2+2m﹣3＜0，解不等式求得自然数解，即可得到m=0．【解析】：解：由幂函数y=xm2+2m﹣3在（0，+∞）为减函数，则m2+2m﹣3＜0，解得﹣3＜m＜1．由于m∈N，则m=0．故答案为：0．【点评】：本题考查幂函数的性质，主要考查二次不等式的解法，属于基础题．2．（4分）（2015•上海模拟）函数的定义域是（0，1]．【考点】：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【专题】：计算题．【分析】：令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域．【解析】：解：∴0＜x≤1∴函数的定义域为（0，1]故答案为：（0，1]【点评】：求解析式已知的函数的定义域应该考虑：开偶次方根的被开方数大于等于0；对数函数的真数大于0底数大于0小于1；分母非0．3．（4分）（2006•上海）在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．【考点】：余弦定理的应用．【专题】：计算题．【分析】：先通过BC=8，AC=5，三角形面积为12求出sinC的值，再通过余弦函数的二倍角公式求出答案．【解析】：解：∵已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，∴•BC•ACsinC=12∴sinC=∴cos2C=1﹣2sin2C=1﹣2×=故答案为：【点评】：本题主要考查通过正弦求三角形面积及倍角公式的应用．属基础题．4．（4分）（2015•上海模拟）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=1．【考点】：复数相等的充要条件．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：把n代入方程，利用复数相等的条件，求出m，n，即可．【解析】：解：关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，可得n2﹣（2+i）n+1+mi=0所以，所以m=n=1，故答案为：1．【点评】：本题考查复数相等的条件，考查计算能力，是基础题．5．（4分）（2015•上海模拟）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=4或8．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：首先分两种情况：①焦点在x轴上．②焦点在y轴上，分别求出a的值即可．【解析】：解：①焦点在x轴上时：10﹣a﹣（a﹣2）=4解得：a=4．②焦点在y轴上时a﹣2﹣（10﹣a）=4解得：a=8故答案为：4或8．【点评】：本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x轴或y轴上，考察a、b、c 的关系式，及相关的运算问题．6．（4分）（2015•上海模拟）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是4π．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：易得圆锥侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．【解析】：解：圆锥的侧面展开图的弧长为：=2π，∴圆锥的底面半径为2π÷2π=1，∴此圆锥的表面积=π×（1）2+π×1×3=4π．故答案为：4π．【点评】：本题考查扇形的弧长公式为；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，圆锥的表面积的求法．7．（4分）（2015•上海模拟）若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a的取值范围为﹣3≤a≤9．【考点】：函数的零点．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由题意，x2+ax﹣10=0在x∈[1，5]上有解，可得a=﹣x在x∈[1，5]上有解，利用a=﹣x在x∈[1，5]上单调递减，即可求出实数a的取值范围．【解析】：解：由题意，x2+ax﹣10=0在x∈[1，5]上有解，所以a=﹣x在x∈[1，5]上有解，因为a=﹣x在x∈[1，5]上单调递减，所以﹣3≤a≤9，故答案为：﹣3≤a≤9．【点评】：本题主要考查方程的根与函数之间的关系，考查由单调性求函数的值域，比较基础．8．（4分）（2015•上海模拟）《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）．．（只需写出一个答案即可）【考点】：进行简单的合情推理．【专题】：推理和证明．【分析】：根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解析】：解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．故答案为：23，或105k+23（k为正整数）．【点评】：本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键．[可以原文理解为：三个三个的数余二，七个七个的数也余二，那么，总数可能是三乘七加二，等于二十三．二十三用五去除余数又恰好是三]9．（4分）（2015•上海二模）在极坐标系中，某直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，则极点O 到这条直线的距离为．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：由直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，展开并利用即可得出直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解析】：解：由直线的极坐标方程为ρsin（θ+）=，展开为，化为x+y﹣1=0，∴极点O到这条直线的距离d==．故答案为：．【点评】：本题考查了直线的极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（4分）（2015•上海二模）设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取两个球，令取到白球的个数为ξ，且ξ的数学期望Eξ=，则口袋中白球的个数为3．【考点】：离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：设口袋中有白球x个，由已知得ξ的可能取值为0，1，2，由Eξ=，得×，由此能求出口袋中白球的个数．【解析】：解：设口袋中有白球x个，由已知得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∵Eξ=，∴×，解得x=3．∴口袋中白球的个数为3．故答案为：3．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．11．（4分）（2015•上海模拟）如图所示，一个确定的凸五边形ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为x＞y＞z．【考点】：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据向量的数量积公式分别判断x，y，z的符号，得到大小关系．【解析】：解：由题意，x=•=AB×ACcos∠BAC＞0，y=•=AB×ADcos∠BAD≈AB×ACcos∠BAD，又∠BAD＞∠BAC所以cos∠BAD＜cos∠BAC，所以x＞y＞0z=•=AB×AEcos∠BAE＜0，所以x＞y＞z．故答案为：x＞y＞z．【点评】：本题考查了向量的数量积的公式；属于基础题．12．（4分）（2015•上海模拟）设函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为f：x→sin x，现已知f（x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有1395个．【考点】：映射．【专题】：函数的性质及应用；集合．【分析】：分别求出sinx=0，x=0，π，2π，3π，4π，sinx=，x=，x=，x=，x=，sinx=1，x=，x=利用排列组合知识求解得出这样的函数共有：（C+C）（）（）即可．【解析】：解：∵函数f（x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，∴它的对应法则为f：x→sin x，f（x）的值域为{0，﹣，1}，sinx=0，x=0，π，2π，3π，4π，sinx=，x=，x=，x=，x=，sinx=1，x=，x=这样的函数共有：（C+C）（）（）=31×15×3=1395故答案为：1395【点评】：本题考查了映射，函数的概念，排列组合的知识，难度不大，但是综合性较强．13．（4分）（2015•上海二模）若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+…+a2015=0．【考点】：二项式定理的应用．【专题】：二项式定理．【分析】：根据等式，确定a1=﹣2000×2001+2001×2000=0，a3=0，a5=0，…，即可得出结论．【解析】：解：根据（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，可得a1=﹣2000×2001+2001×2000=0，a3=0，a5=0，…，所以a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=0，故答案为：0．【点评】：本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（4分）（2015•上海模拟）在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为2．【考点】：两点间距离公式的应用．【专题】：计算题；转化思想；推理和证明．【分析】：由题意，设M（a，﹣a）（a＜0），则r=﹣2a，N（﹣2a，0）．可得|AM|+|BN|=+，设2a=x，进而可以理解为（x，0）与（﹣，）和（﹣1，）的距离和，即可得出结论．【解析】：解：由题意，设M（a，﹣a）（a＜0），则r=﹣2a，N（﹣2a，0）．∴|AM|+|BN|=+设2a=x，则|AM|+|BN|=+，可以理解为（x，0）与（﹣5，）和（﹣1，）的距离和，∴|AM|+|BN|的最小值为（﹣5，）和（﹣1，﹣）的距离，即2．故答案为：2．【点评】：本题考查两点间距离公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2015•上海模拟）若非空集合A中的元素具有命题α的性质，集合B中的元素具有命题β的性质，若A⊊B，则命题α是命题β的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：集合；简易逻辑．【分析】：可举个例子来判断：比如A={1}，B={1，2}，α：x＞0，β：x＜3，容易说明此时命题α是命题β的既非充分又非必要条件．【解析】：解：命题α是命题β的既非充分又非必要条件；比如A={1}，α：x＞0；B={1，2}，β：x＜3；显然α成立得不到β成立，β成立得不到α成立；∴此时，α是β的既非充分又非必要条件．故选：D．【点评】：考查真子集的概念，以及充分条件、必要条件、既不充分又不必要条件的概念，以及找一个例子来说明问题的方法．16．（5分）（2015•上海二模）用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被5 整除，那么a、b 中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b 都能被5 整除B．a、b 都不能被5 整除C．a、b 不都能被5 整除D． a 不能被5 整除【考点】：反证法．【专题】：推理和证明．【分析】：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解析】：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．【点评】：反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．17．（5分）（2015•上海二模）实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则x﹣y的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】：基本不等式．【专题】：三角函数的求值．【分析】：x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cosθ，2xy=2sinθ，θ∈[0，2π）．化简利用三角函数的单调性即可得出．【解析】：解：x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cosθ，2xy=2sinθ，θ∈[0，2π）．则（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=4cos2θ﹣4sinθ=5﹣4（sinθ+）2≤5，∴x﹣y．故选：C．【点评】：本题考查了平方法、三角函数代换方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（5分）（2015•上海模拟）直线m⊥平面α，垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面α上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是（）A．[，] B．[2﹣2，2+2] C．[，] D．[3﹣2，3+2]【考点】：点、线、面间的距离计算．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：确定直线BC与动点O的空间关系，得到最大距离为AD到球心的距离+半径，最小距离为AD到球心的距离﹣半径．【解析】：解：由题意，直线BC与动点O的空间关系：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径=2+2．最小距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）﹣半径=2+2．∴点O到直线AD的距离的取值范围是：[2﹣2，2+2]．故选：B．【点评】：本题考查点、线、面间的距离计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤. 19．（12分）（2015•上海模拟）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）由已知得AB⊥平面B1BCC1，从而PQ⊥平面B1BCC1，进而C1Q⊥PQ，又C1Q ⊥QR，由此能证明C1Q⊥平面PQR．（2）由已知得B1Q=1，BQ=1，△B1C1Q∽△BQR，从而BR=，QR=，由C1Q、QR、QP 两两垂直，能求出四面体C1PQR 的体积．【解析】：（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，∴AB⊥平面B1BCC1，又PQ∥AB，∴PQ⊥平面B1BCC1，∴C1Q⊥PQ，又已知C1Q⊥QR，且QR∩QP=Q，∴C1Q⊥平面PQR．（2）解：∵B1C1=，，∴B1Q=1，∴BQ=1，∵Q是BB1中点，C1Q⊥QR，∴∠B1C1Q=∠BQR，∠C1B1Q=∠QBR，∴△B1C1Q∽△BQR，∴BR=，∴QR=，∵C1Q、QR、QP两两垂直，∴四面体C1PQR 的体积V=．【点评】：本小题主要考查空间线面关系、线面垂直的证明、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．（14分）（2015•上海模拟）已知数列{bn}满足b1=1，且bn+1=16bn（n∈N），设数列{}的前n项和是Tn．（1）比较Tn+12与Tn•Tn+2的大小；（2）若数列{an} 的前n项和Sn=2n2+2n，数列{cn}=an﹣logdbn（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{cn}是递增数列．【考点】：数列递推式；数列的函数特性．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：（1）由数列递推式可得数列{bn}为公比是16的等比数列，求出其通项公式后可得，然后由等比数列的前n项和求得Tn，再由作差法证明Tn+12＞Tn•Tn+2；（2）由Sn=2n2+2n求出首项，进一步得到n≥2时的通项公式，再把数列{an}，{bn}的通项公式代入cn=an﹣logdbn=4n+（4﹣4n）logd2=（4﹣4logd2）n+4logd2，然后由一次项系数大于0求得d的取值范围．【解析】：解：（1）由bn+1=16bn，得数列{bn}为公比是16的等比数列，又b1=1，∴，因此，则=，∵Tn+12﹣Tn•Tn+2 =．于是Tn+12＞Tn•Tn+2；（2）由Sn=2n2+2n，当n=1时求得a1=S1=4；当n≥2时，=4n．a1=4满足上式，∴an=4n．可得cn=an﹣logdbn=4n+（4﹣4n）logd2=（4﹣4logd2）n+4logd2，要使数列{cn}是递增数列，则4﹣4logd2＞0，即logd2＜1．当0＜d＜1时，有logd2＜0恒成立，当d＞1时，有d＞2．综上，d∈（0，1）∪（2，+∞）．【点评】：本题考查了等比关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了对数不等式的解法，是中档题．21．（14分）（2015•上海二模）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A 类波“中有一个是f1（x）=Asinx，从A类波中再找出两个不同的波f2（x），f3（x），使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后f1（x）+f2（x）+f3（x），并说明理由．（3）在n（n∈N，n≥2）个“A类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明．【考点】：两角和与差的正弦函数；归纳推理．【专题】：综合题；三角函数的图像与性质；推理和证明．【分析】：（1）根据定义可求得f1（x）+f2（x）=（cosφ1+cosφ2）sinx+（sinφ1+sinφ2）cosx，则振幅是=，由=1，即可求得φ1﹣φ1的值．（2）设f2（x）=Asin（x+φ1），f3（x）=Asin（x+φ2），则f1（x）+f2（x）+f3（x）=0恒成立，可解得cosφ1=﹣，可取φ2=（或φ2=﹣等），证明f1（x）+f2（x）+f3（x）=0．（3）由题意可得f1（x）=Asinx，f2（x）=Asin（x+），f3（x）=Asin（x+），…，从而可求fn（x）=Asin（x+），这n个波叠加后是平波．【解析】：解：（1）f1（x）+f2（x）=sin（x+φ1）+sin（x+φ2）=（cosφ1+cosφ2）sinx+（sinφ1+sinφ2）cosx，振幅是=则=1，即cos（φ1﹣φ2）=﹣，所以φ1﹣φ2=2kπ±，k∈Z．（2）设f2（x）=Asin（x+φ1），f3（x）=Asin（x+φ2），则f1（x）+f2（x）+f3（x）=Asinx+Asin（x+φ1）+Asin（x+φ2）=Asinx（1+cosφ1+cosφ2）+Acosx（sinφ1+sinφ2）=0恒成立，则1+cosφ1+cosφ2=0且sinφ1+sinφ2=0，即有：cosφ2=﹣cosφ1﹣1且sinφ2=﹣sinφ1，消去φ2可解得cosφ1=﹣，若取φ1=，可取φ2=（或φ2=﹣等），此时，f2（x）=Asin（x+），f3（x）=Asin（x+）（或f3（x）=Asin（x﹣）等），则：f1（x）+f2（x）+f3（x）=A[sinx+（sinx+cosx）+（﹣sinx﹣cosx）]=0，所以是平波．（3）f1（x）=Asinx，f2（x）=Asin（x+），f3（x）=Asin（x+），…，fn（x）=Asin（x+），这n个波叠加后是平波．【点评】：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了归纳推理的常用方法，综合性较强，考查了转化思想，属于中档题．22．（16分）（2015•上海二模）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b 的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）若a≠0，函数y=f（x）在区间[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值．【考点】：函数的最值及其几何意义；函数的零点与方程根的关系．【专题】：综合题；函数的性质及应用．【分析】：（1）求出a=0的解析式，再由一次函数的单调性，得到不等式，即可得到范围；（2）b=﹣1时，y=a（x2﹣1）﹣x﹣2，当x2=1时，无论a取任何值，y=﹣x﹣2为定值，y=f （x）图象一定过点（1，﹣3）和（﹣1，﹣1），运用函数的定义即可得到结论；（3）由题意，存在t∈[3，4]，使得at2+（2b+1）t﹣a﹣2=0，即（t2﹣1）a+（2t）b+t﹣2=0，由点到直线的距离意义可知≥=，由此只要求，t∈[3，4]的最小值．【解析】：解：（1）当a=0时，f（x）=（2b+1）x﹣2，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，则f（）≥0且f（1）≥0，即b﹣≥0且2b﹣1≥0，解得b≥；（2）b=﹣1时，y=a（x2﹣1）﹣x﹣2，当x2=1时，无论a取任何值，y=﹣x﹣2为定值，y=f（x）图象一定过点（1，﹣3）和（﹣1，﹣1）由函数定义可知函数图象一定不过A（1，y1）（y1≠﹣3）和B（﹣1，y2）（y2≠﹣1）；（3）由题意，存在t∈[3，4]，使得at2+（2b+1）t﹣a﹣2=0即（t2﹣1）a+（2t）b+t﹣2=0，由点到直线的距离意义可知≥=，由此只要求，t∈[3，4]的最小值．令g（t）=，t∈[3，4]设u=t﹣2，u∈[1，2]，则g（t）=f（u）==∴u=1，即t=3时，g（t）取最小值，∴t=3时，a2+b2的最小值为．【点评】：本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的值域问题，主要考查一次函数的单调性，运用主元法和直线和圆有交点的条件是解题的关键．23．（18分）（2015•上海二模）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线г：f（x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上г，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线г与x轴的交点是M、N，抛物线г′：y=x2+1与y 轴的交点是G，直线MG与曲线г′交于点P，直线NG 与曲线г′交于Q，求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标．（3）设曲线г与x轴的交点是M（u，0），N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线∧上运动，曲线∧与上述曲线г在a≠0时共有四个交点：A（x1，x2），B（x3，x4），C（x5，x6），D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Yi（i=1，2，…，255），将Yi中的所有元素相加（若i Y 中只有一个元素，则其是其自身）得到255 个数y1，y2，…，y255求所有的正整数n 的值，使得y1n+y2n+…+y255n 是与变数a及变数xi（i=1，2，…8）均无关的常数．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（1）令f（x，y）=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣1=0，解得x﹣y=﹣1±，由于f（x，y）表示两条平行线，之间的距离是2，为一个正方形，即可得出面积S．（2）：在曲线C中，令y=0，则x2+ax﹣1=0，设M（m，0），N（n，0），则mn=﹣1，G（0，1），则直线MG：y=﹣x+1，NG：y=﹣x+1．分别与抛物线方程联立可得P，Q．直线PQ的方程为：，令x=0，可得y=3，因此直线PQ过定点（0，3）．（3）令y=0，则x2+ax﹣1=0，则mn=﹣1，即点R（u，v）在曲线xy=﹣1上，又曲线C：f（x，y）=0．恒表示平行线x﹣y=，A（x1，x2），B（x3，x4）关于直线y=﹣x对称，即x1+x2+x3+x4=0，同理可得x5+x6+x7+x8=0，则x1+x2+…+x8=0，集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Yi=1，2，…，255），取Y1={x1，x2，…，x8}，则y1=x1+x2+…+x8=0，即n∈N*，=0，对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Yp，Yq），Yp∪Yq=X，Yp∩Yq=∅，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足yp+yq=0．可以利用扇形归纳法证明：对于Yp的元素和yp与Yq的元素和yq，当n为奇数时，=0．即可得出．【解析】：解：（1）令f（x，y）=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣1=0，解得x﹣y=﹣1±，∴f（x，y）=0表示两条平行线，之间的距离是2，此为一个正方形的一个边长，其面积S=4．（2）证明：在曲线C中，令y=0，则x2+ax﹣1=0，设M（m，0），N（n，0），则mn=﹣1，G（0，1），则直线MG：y=﹣x+1，NG：y=﹣x+1．联立，解得P，同理可得Q．∴直线PQ的方程为：令x=0，则y===3，因此直线PQ过定点（0，3）．（3）令y=0，则x2+ax﹣1=0，则mn=﹣1，即点R（u，v）在曲线xy=﹣1上，又曲线C：f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1=0．恒表示平行线x﹣y=，如图所示，A（x1，x2），B（x3，x4）关于直线y=﹣x对称，则=，即x1+x2+x3+x4=0，同理可得x5+x6+x7+x8=0，则x1+x2+…+x8=0，集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Yi，取Y1={x1，x2，…，x8}，则y1=x1+x2+…+x8=0，即n∈N*，=0，对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Yp，Yq），Yp∪Yq=X，Yp∩Yq=∅，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足yp+yq=0．以下证明：对于Yp的元素和yp与Yq的元素和yq，当n为奇数时，=0．先证明：n为奇数时，x+y能够整除xn+yn，用数学归纳法证明．1°当n=1时，成立；2°假设当n=k（奇数）时，x+y能够整除xk+yk，则当n=k+2时，xk+2+yk+2=xk+2﹣xky2+xky2+yk+2=xk（x2﹣y2）+y2（xk+yk），因此上式可被x+y整除．由1°，2°可知：n为奇数时，x+y能够整除xn+yn．又∵当n为奇数时，=（yp+yq）M，其中M是关于yp，yq的整式，∵Yp∪Yq=X，Yp∩Yq=∅，∴每一个集合“对”（Yp，Yq）都满足yp+yq=0．则一定有=（x+y）M=0，M∈N*，于是可得y1n+y2n+…+y255n=0是常数．【点评】：本题考查了平行直线系、直线的交点、一元二次方程的根与系数的关系、集合的性质、中点坐标公式、对称性、扇形归纳法，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ= {1，4}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．解答：解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁U B）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，4}，故答案为：{1，4}．点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．解答：解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．考点：二阶行列式与逆矩阵．专题：矩阵和变换．分析：根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．解答：解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．点评：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．解答：解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．点评：本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．5．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．解答：解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．解答：解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：．点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．7．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．解答：解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．点评：本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．解答：解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．点评：本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．9．（2015•上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C2的渐近线方程．解答：解：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ，∴C2的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为4．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f﹣1（x）在[]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f﹣1（x）的最大值．解答：解：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[]，可得y=f﹣1（x）在[]上为增函数，因此y=f（x）+f﹣1（x）在[]上为增函数，∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（2）+f﹣1（2）=1+1+2=4．故答案为：4．点评：本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45（结果用数值表示）．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x2项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．解答：解：∵（1+x+）10=，∴仅在第一部分中出现x2项的系数．再由，令r=2，可得，x2项的系数为．故答案为：45．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=0.2（元）．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．解答：解：赌金的分布列为1 2 3 4P所以Eξ1=（1+2+3+4+5）=3，奖金的分布列为1.42.8 4.2 5.6P====所以Eξ2=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，则Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元．故答案为：0.2点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键．13．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥0，m∈N*），则m的最小值为8．考点：正弦函数的图象．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f （x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．解答：解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．点评：本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题．14．（2015•上海）在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然后代入数量积公式得答案．解答：解：如图，∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，可得，，∴．又tanA=，∴，联立sin2A+cos2A=1，得，cosA=．由，得．则．∴•==．故答案为：．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015•上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑；数系的扩充和复数．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．解答：解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．16．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A ．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．解答：解：∵点A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OP|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．17．（2015•上海）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据方程根与判别式△之间的关系求出a12≥4，a22＜8，结合a1，a2，a3成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论．解答：解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，即a3=，则a32=（）2=，即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B点评：本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．18．（5分）（2015•上海）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A ．﹣1 B．﹣C．1 D．2考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．解答：解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．点评：本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：利用长方体的集合关系建立直角坐标系．利用法向量求出二面角．解答：解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，所以A1、C1、F、E四点共面．以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为xyz轴，建立空间直角坐标系，易求得，设平面A1C1EF的法向量为则，所以，即，z=1，得x=1，y=1，所以，所以=，所以直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小arcsin．点评：本题主要考查利用空间直角坐标系求出二面角的方法，属高考常考题型．20．（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f （t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（1）由题意可得t1==h，由余弦定理可得f（t1）=PC=，代值计算可得；（2）当t1≤t≤时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=，当＜t≤1时，f（t）=PB=5﹣5t，综合可得当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，可得结论．解答：解：（1）由题意可得t1==h，设此时甲运动到点P，则AP=v甲t1=5×=千米，∴f（t1）=PC===千米；（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，∴f（t）=PQ===，当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t∴f（t）=∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，故f（t）的最大值超过了3千米．点评：本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题．21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，可得直线l1与l2的方程，联立方程组，可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．解答：解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；（2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣，设直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=﹣，所以x1x2=﹣2y1y2，∴=4=﹣2x1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即﹣4x1x2y1y2+2（+）=1，所以（x1y2﹣x2y1）2=，即|x1y2﹣x2y1|=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．22．（16分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．考点：数列递推式；数列的函数特性．专题：创新题型；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n 可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范围．解答：（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，∴a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=λ，∴∈（﹣2，2），∴λ∈，∴．②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，（﹣2，2），不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．考点：函数与方程的综合运用．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：（1）根据余弦周期函数的定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可；（2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x0，使得f（x0）=c，而根据f（x）在R上单调递增即可说明x0∈[a，b]，从而完成证明；（3）只需证明u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解得出u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T），可讨论x=0，x=T，x∈（0，T）三种情况：x=0时是显然成立的；x=T时，可得出cosf（2T）=1，从而得到f（2T）=2k1π，k1∈Z，根据f（x）单调递增便能得到k1＞2，然后根据f（x）的单调性及方程cosf（x）=1在[T，2T]和它在[0，T]上解的个数的情况说明k1=3，和k1≥5是不存在的，而k1=4时结论成立，这便说明x=T时结论成立；而对于x∈（0，T）时，通过考查cosf（x）=c的解得到f（x+T）=f（x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可．解答：解：（1）g（x）=x+sin；∴==cosg（x）∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；（2）∵f（x）的值域为R；∴存在x0，使f（x0）=c；又c∈[f（a），f（b）]；∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）为增函数；∴a≤x0≤b；即存在x0∈[a，b]，使f（x0）=c；（3）证明：若u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解；则：cosf（u0+T）=1，T≤u0+T≤2T；∴cosf（u0）=1，且0≤u0≤T；∴u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上的解；∴“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）：①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立；②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1；∴f（2T）=2k1π，（k1∈Z），f（T）=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2；1）若k1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）=2π；cosf（x0+T）=cosf（x0）=1⇒f（x0+T）=2k2π，k2∈Z；∴f（T）＜f（x0+T）＜f（2T）；∴4π＜2k2π＜6π；∴2＜k2＜3，无解；2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）=6π，f（x2）=8π；则T，x1，x2，2T为cosf（x）=1在[T，2T]上的4个解；但方程cosf（x）=1在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾；3）当k1=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解；设其解为f（x1），f（x2），…，f（x n），（x1＜x2＜…＜x n）；则f（x1+T），f（x2+T），…，f（x n+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；又f（x+T）∈（4π，8π）；而f（x1）+4π，f（x2）+4π，…，f（x n）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解；∴f（x i+T）=f（x i）+4π=f（x i）+f（T）；∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．点评：考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由cosf （x）=1能得出f（x）=2kx，k∈Z，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=．2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．4．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．5．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．6．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．7．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．8．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9．（2015•上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．10．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为．11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=（元）．13．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥0，m∈N*），则m的最小值为．14．（2015•上海）在锐角三角形A BC中，tanA=，D为边BC上的点，△A BD与△ACD 的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于E，DF⊥AC于F，则•=．二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2015•上海）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．17．（2015•上海）记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根18．（5分）（2015•上海）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）C．1D．2A．﹣1 B．﹣三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．20．（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f （t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．21．（14分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．22．（16分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．。

静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测数学（理）试卷（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}0,2>==x x y y M ，{})2lg(2x x y x N -==，则=N M . 答案：)2,0(考点：集合的描述法备考建议：强调，对集合描述法要区分集合的代表元。

2．设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则=++++8710a a a a . 答案：25628=考点：二项式定理解法：将1x =-代入式子中备考建议：让学生理解，二项式题型中的赋值法，并补充一些通过某一项系数判断二项式次数的题型。

3．不等式01271<--x 的解集是 . 答案：)4,21(考点：分式不等式的解法备考建议：分式不等式建议通分后再解不等式，易错点是：不等式性质中，若要两边同乘除，要注意所乘所除数的正负性。

4．如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 底面ABCD ，1=PA ，底面ABCD 是正方形，PC 与底面ABCD 所成角的大小为6π，则该四棱锥的体积是 . 答案：12考点：锥体体积的求法备考建议：让学生熟练掌握各简单几何体面积与体积的公式。

5．已知数列{}n a 的通项公式1222+-+=n nn a （其中*N n ∈），则该数列的前n 项和=n S .答案：)212(4n n -考点：数列分组求和，等比数列求和。

A BCDP备考建议：此类题型要让学生观察数列通项公式的结构，从而选择正确的求和方法。

同时，也可带领回忆一下倒序相加、错位相减、裂项相消的常用求和方法及其适用情况。

6．已知两个向量，的夹角为303=，b 为单位向量，b t a t c )1(-+=, 若c b ⋅=0，则t = . 答案：-2考点：向量的数量积：解法：由于b 与c 、a 、b 的数量积都有联系，故等式两边同乘上一个b 。

静安区2014学年第一学期高三年级高考数学模拟理卷（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2014.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}0,2>==x x y y M ，{})2lg(2x x y x N -==，则=N M . 答案：)2,0(考点：集合的描述法备考建议：强调，对集合描述法要区分集合的代表元。

2．设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则=++++8710a a a a . 答案：25628=考点：二项式定理解法：将1x =-代入式子中备考建议：让学生理解，二项式题型中的赋值法，并补充一些通过某一项系数判断二项式次数的题型。

3．不等式01271<--x 的解集是 . 答案：)4,21(考点：分式不等式的解法备考建议：分式不等式建议通分后再解不等式，易错点是：不等式性质中，若要两边同乘除，要注意所乘所除数的正负性。

4．如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 底面ABCD ，1=PA ，底面ABCD 是正方形，PC 与底面ABCD 所成角的大小为6π，则该四棱锥的体积是 . 答案：12考点：锥体体积的求法备考建议：让学生熟练掌握各简单几何体面积与体积的公式。

5．已知数列{}n a 的通项公式1222+-+=n n n a （其中*N n ∈），则该数列的前n 项和=n S .答案：)212(4n n-考点：数列分组求和，等比数列求和。

备考建议：此类题型要让学生观察数列通项公式的结构，从而选择正确的求和方法。

同时，也可带领回忆一下倒序相加、错位相减、裂项相消的常用求和方法及其适用情况。

AB CDP6．已知两个向量a ，b 的夹角为303=，b 为单位向量，t t )1(-+=, 若c ⋅=0，则t = . 答案： 2考点：向量的数量积：解法：由于b 与c 、a 、b 的数量积都有联系，故等式两边同乘上一个b 。

2015届普陀区高三二模数学试卷（理科）2015.04一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1.不等式01xx >-的解集为 . 2.若1m i i i+=+（i 为虚数单位），则实数m = . 3.若函数()()sin sin 022x xf x ωπωω+=>的最小正周期为π，则ω= .4.集合{{}2,4,R A x y B x y x x ====∈，则AB .5. 若0x π≤≤，则函数sin cos 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间为 .6.如图，若6OFB π∠=，6OF FB ⋅=-，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 .7.函数())1f x x =≤，若函数()2g x x ax =+是偶函数，则()f a = .8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为 .9.已知直线l 和曲线Γ的极坐标方程分别为()sin cos 1ρθθ-=和1ρ=，若l 和Γ相交于两点,A B ，则AB = .10.如图，机车甲、乙分别停在A B ，处，且=10AB km ，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的12，甲沿北偏东60︒的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为 千米.11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.从袋中随机地取出3个小球.其中取到黑球的个数为ξ，则E ξ= （结果用最简分数作答）. 12.若正方形ABCD 的边长为1，且,,,AB a BC b AC c ===则326a b c +-= . 13.已知复数12,z z 满足11z ≤，21Re 1z -≤≤，21Im 1z -≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为.6第题图北AC B ∙D6010第题图14.R x ∈，用记号()N x 表示不小于实数的最小整数，例如()2.53N =，(1N =-，()11N =；则函数()()13122f x N x x =+-+的所有零点之和为 . 二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15. ,,a b c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ ）A.若//a b ，//a α，则//b αB. 若a ⊥b ， b ⊥α，则a ⊥αC. 若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a bD.若a ⊥α，b ⊥α，则//a b16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 17.在*22)()nn N x∈的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ ）A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项18.已知,,,m n i j 均为正整数，记,i j a 为矩阵1,21,2,22,,1,2,12m m n mn n n m a a a a A a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭中第i 行、第j 列的元素，且,,11i j i j a a ++=，2,1,,2i j i j i j a a a ++=+（其中2i n ≤-，2j m ≤-）；给出结论：①5,6134a =；②2,12,22,2m a a a m +++=；③1,,12nn m n ma a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭④若m 为常数，则,23lim 3n m n m a →∞+=.其中正确的个数是（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤） 19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 已知函数()2cos f x x =，()1cos 2g x x x =. （1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求()2g a 的值； （2）若02x π≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点.（1）求直线BE 与平面11ABB A 所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱1C D 上是否存在一点F ，使得1//BF 平面1A BE ，若存在，指明点F 的位置，若不存在，请说明理由.20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()2x f x =的反函数为1()f x -（1）若11()(1)1f x f x ----=，求实数x 的值；（2）若关于x 的方程()(1)0f x f x m +--=在区间[]0,2内有解，求实数m 的取值范围；22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）如图，射线,OA OB 所在的直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N ；（1）若1k =，31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1P ，OMP ∆的面积为65，求k 的值； （3）已知k 为常数，,M N 的中点为T ，且1MONS k=，当P 变化时，求动点T 轨迹方程；23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）A1A B 1B C1C D1D E已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log n n n b S a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若02n πθ<<，2tan n n n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222n n c a a a a =-+-+-++-，若对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，求实数m 的取值范围.2015届普陀区高三二模数学试卷（理科）答案2015.04一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1.不等式01xx >-的解集为 ()0,1 . 2.若1m i i i+=+（i 为虚数单位），则实数m 1- . 3.若函数()()sin sin 022x xf x ωπωω+=>的最小正周期为π，则ω=2 .4. 集合{{}2,4,R A x y B x y x x ====∈，则AB []0,1 .5. 若0x π≤≤，则函数sin cos 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间为536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， . 6.如图，若6OFB π∠=，6OF FB ⋅=-，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 22182x y += .7.函数())1f x x =≤，若函数()2g x x ax =+是偶函数，则()f a = 1 . 8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为 4π .9.已知直线l 和曲线Γ的极坐标方程分别为()sin cos 1ρθθ-=和1ρ=，若l 和Γ相交于两点,A B ，则AB =10.如图，机车甲、乙分别停在A B ，处，且=10AB km ，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的12，甲沿北偏东60︒的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米. 11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.从袋中随机地取出6第题图北AC B ∙D6010第题图3个小球.其中取到黑球的个数为ξ，则E ξ=67（结果用最简分数作答）. 12.若正方形ABCD 的边长为1，且,,,AB a BC b AC c ===则326a b c +-= 5 . 13.已知复数12,z z 满足11z ≤，21Re 1z -≤≤，21Im 1z -≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为 12π+ .14.R x ∈，用记号()N x 表示不小于实数的最小整数，例如()2.53N =，(1N =-，()11N =；则函数()()13122f x N x x =+-+的所有零点之和为 4- . 二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15. ,,a b c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ D ） A.若//a b ，//a α，则//b α B. 若a ⊥b ， b ⊥α，则a ⊥αC. 若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a bD.若a ⊥α，b ⊥α，则//a b16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ A ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.非充分非必要条件 17. 在*22)()n n N x ∈的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ B ）A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项18.已知,,,m n i j 均为正整数，记,i j a 为矩阵1,21,2,22,,1,2,12m m n mn n n m a a a a A a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭中第i 行、第j 列的元素，且,,11i j i j a a ++=，2,1,,2i j i j i j a a a ++=+（其中2i n ≤-，2j m ≤-）；给出结论：①5,6134a =；②2,12,22,2m a a a m +++=；③1,,12nn m n ma a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭④若m 为常数，则,23lim 3n m n m a →∞+=.其中正确的个数是（ B ）A.0个B.1个C.2个D.3个 三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤） 19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 已知函数()2cos f x x =，()1cos 2g x x x =. （1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求()2g a 的值； （2）若02x π≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.解：（1）()21cos2cos 2xf x x +==， 其对称轴为2,,2k x k x k Zππ==∈， 因为直线线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴， 所以,2k a k Z π=∈， 又因为()122g x x =，所以()()()1122=22g a g k k ππ==+ 即()122g a =. (2)由（1）得 ()()()1cos2212sin 216h x f x g x x x x π=+=+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1710,,2,,sin 2,2266662x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈∴+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦所以()h x 的值域为122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点.（1）求直线BE 与平面11ABB A 所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱11C D 上是否存在一点F ，使得1//BF 平面1A BE ，若存在，指明点F 的位置，若不存在，请说明理由.解：（1） （2）存在，F 在棱11C D 的中点.(提示：用空间向量)21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()2x f x =的反函数为1()f x -（1）若11()(1)1f x f x ----=，求实数x 的值；（2）若关于x 的方程()(1)0f x f x m +--=在区间[]0,2内有解，求实数m 的取值范围；解：（1）23x =（2）92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分） 如图，射线,OA OB 所在的直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N ；（1）若1k =，31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1P ，OMP ∆的面积为65，求k 的值； （3）已知k 为常数，,M N 的中点为T ，且1MONS k=，当P 变化时，求动点T 轨迹方程；解：（1（2）1122k =或； （3）设()()()1122,,,,,M x kx N x kx T x y -，120,00x x k >>>，，A1A B 1B C1C D1D E设直线OA 的倾斜角为α，则22tan ,sin21kk kαα==+，根据题意得 ()12112222x x x y x x k x x k y y x x OM x k ON x +⎧=⎪⎪⎧=+-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎪=⎪⎩ 代入11sin22MON S OM ON k α∆==化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log n n n b S a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若02n πθ<<，2tan n n n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222n n c a a a a =-+-+-++-，若对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，求实数m 的取值范围. 解：（1）*12,N n b n n =-∈ (2)由tan 2tan 2n nn n n n a a θθ⋅==得代入()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭得12tan n n nS θ=，当2n ≥时，111112tan 2tan n n n n n n n a S S θθ---=-==， 因为tan 2n n n a θ=，代入上式整理得()1tan tan 2n n θθ-=，02nπθ<<所以1112,02n n n n θθθθ--==≠的常数. 当1n =时，111111111,,0,tan 1,424n a S a a a a πθθ⎛⎫=⋅=>∴===⎪⎝⎭所以数列{}n θ是等比数列，首项为4π，公比为12，其通项公式为 11*11,N 422n n n n πθπ-+⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）由（2）得*11tan ,N 22n n n a n π+=∈，它是个单调递减的数列， 所以 11111,0,2222n n n n a a a a a ≤=-≤∴-=-123111122222n n n c a a a a nS =-+-+-++-=-对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，所以()min n m c ≤. 由111110222n n n n n c c n n S S a ++++⎛⎫---=- ⎝-≥⎪⎭=知，1n n c c +≥ 所以数列{}n c 是单调递增的，n c 最小值为10c =，()min 0n m c ≤= 因此，实数m 的取值范围是(],0-∞.。

静安区2014学年第二学期高三年级教学质量检测英语试卷（时间120分钟，满分150）2015.04第Ⅰ卷（共103分）Ⅰ. Listening ComprehensionSection ADirections: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be about what was said. The conversation and the question will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which is the best answer to the question you have heard.1. A.5:35pm. B.5:45pm. C.5:50pm. D.6:00pm2. A. In Room 340 B. In Room 314 C.In Room 223 D.In Room 2303. A.By train B.By foot C.By bus D.By taxi4. A.At a bus stop B.At an airportC.In a city HallD.At a railway station5. A .Sister and brother. B. Mother and sonC.wife and husbandD.waitress and customer6. A. The History Museum B.The Science MuseumC.The Art MuseumD.The Special Museum7. A.The two speakers are going to study abroad B.The woman is a tour guideC.The tour guide was born in New YorkD.The man is a British native speaker8. A.Lock the computer lab later B.Leave with the manC.Buy a new lock for the computer labD.Show the man where the lab is.9. A.She wants to change a new photo number.B.She doesn’t want to be interruptedC.The program will be over soon.D.She asks someone to watch the program with her.10. A.Kevin prefers outdoor activities.B. The man has already download some sales data.C. They all make preparations for the meetingD. The woman asks for high quality service.Section BDirections: In Section B, you will hear two short passages, and you will be asked three questions on each of the passages. The passages will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11thouth 13 are based on the following passage.11. A.Oct.10. B.Apr.16. C.Mar.25 D.Jun.30.12. A.Passionate and knowledgeable. B. Investigative and creative.C.Objective and accurate.D.Authoritative and careful.13. A. How competitions win in journalist competitionB. How to enter the magazine website.C. How to run the business.D. How to host the competition.Questions 14thouth 16 are based on the following passage.14. A.Playing golf B.Hiking C.Jigging D.Flying kites.15. A.12 B.17 C.20 D.2216. A.warm temperature may make people ill.B. Snow storm may bring trouble to transportationC. Waves at coast may bring danger to peopleD. Fire rains may destroy the roadsSection CDirections: In Section C, you will hear two longer conversations. Each conversation will be readtwice.After you hear each conversation, you are required to fill in the numbered blanks with the information you have heard. Write your answer sheet.Blanks 17 though 20 are based on the following passage.Complete the form. Write ONE WORD for each answer.What is the woman doing in the beginning? Reading a(n) 17 .When was the singer in a car accident? In 18 .Form whom did the singer learn to sing? A(n) 19 teacher.In which language did the singer sing We Are Young? 20 .Questions 21 though 24 are based on the following passage.Complete the form. NO MORE THAN THREE WORDS for each answer.Because there is 21 there. Why does the woman think the man should clean bedroomcloset first?What else does the woman think the man should clean? 22 .What is the woman going to do? 23 and wash them. What’s the passage mainly about? 24 at homeⅡ. Grammar and vocabularySection ADirections: After reading the passages below, fill in the blanks to make the passages coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank.(A)You took a midterm exam(25) (hope) to get a 95 percent. When you got your best paper back, you see you received only a 70 percent. How do you handle the situation? Do you1.make a study plan for(26) (improve) your grade;2.keep doing what you’re doing and hope for the best next time;e a persuasive argument to try and convince your teacher to give you(27) better grade?Your answer to the above question shows your EQ, you emotional intelligence. What exactly is EQ? Psychologists Peter Salovey and John Mayer define it as the ability to understand your own feeling and emotions and(28) of others.Research supports the significance of EQ. A 40-year study of 450 boys found that IQ wasn’t the only thing that affected life success. The qualities that did were ability(29) (handle) frustration, control emotions and get along with other people.Can you improve a low EQ? Yes! Start by noticing how you feel. That’s the first step in becoming more skillful at managing your feelings. Second, pay attention to how you behave when you feel certain emotions. Then analyze(30) that affects your daily life.Next, take responsibility for your feelings and actions. They come from you and no one else. Then you (31) (have) a higher EQ ------and likely have a happier and more rewarding life as well.(B)Imagine shopping in another country and spotting a beautiful scarf. The salesperson tell you the price,(32) it’s more than you want to pay. What do you do?The answer depends largely on what part of the world you’re in. Are you visiting Southeast Asia, the Middle East, Latin American or Africa? In these places, prices often are not set in stone. In fact, customers (33) (expect) to begin before agreeing to a price.On the other, in North America, Europe and Australia, bargaining is rare and often not allowed. The price(34) (list) on a price tag cannot be changed.Large stores and malls usually don’t allow bargaining. On the other hand, outdoor stalls and flea markets, even in Western countries, usually don’t allow bargaining. When in doubt, consult a guidebook or (35) (good)yet, a local friend.(36) bargaining customs vary, a few rules of etiquette apply in most cultures. First, avoid wasting people’s time. If you don’t intend to make a purchase, don’t start bargaining. While bargaining, it is OK to walk away. But once you agree to a price, you(37) buy the item. Even in countries(38) don’t allow bargaining, you may find plentiful opportunities to save money. Many stores sell old items on clearance. Other offer discount cards to regularcustomers. Some of these can function as credit cards(39) the store, and a few can even be used elsewhere.(40) you go, understanding local customs can help you find good prices.Section BDirections: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need.A.accountedB. limitedC. commercialsD. popularE. overnightF. helpedG. increasedH. symbolsI. thoughJ. talentedK. fashionThe next time you watch NBA playoff (季后赛) action on TV, take a close look at the shows that many players are wearing. Gone, for the most part, are the ankle-hugging high-tops that supposedly ___41___ to protect players from injury.The change over the last few years to low-top sneakers(运动鞋) seems to go against conventional wisdom. Strangely, ___42___ , Steven Nash and Kobe Bryant, two of the most ___43___ players with the Los Angeles Lakers, aren’t worried.According to the US market-research firm NPD Groups, high-tops once ___44___ for about 20 percent of the US basketball shoe market. Now, the number has sunk to about 8 percent. Low-tops, the kind that Nash and Bryant wear, have grown to 29 percent, from just 11 percent in 2002.High-top sneakers are one of the most celebrated ___45___ in modern basketball. After the 1985 Air Jordans so transformed the market, show companies began battling one another. They put air pumps in the tongues of their shoes and made carefully prepared and organized ___46___.“All of a sudden it became a ___47___ business,”Marshal Cohen, an analyst with NPD group, told The Wall Street Journal. “The Jordans were excellent. The market went from being nothing to a million-dollar business ___48___.”One of the reasons high-tops are not so ___49___ anymore I sthat they were never really very good at protecting the feet.In an article in the British Journal of Sports Medicine in 2008, University of Newcastle researcher Craig Richards found no evidence that sneakers ___50___ injuries. His research actually found that high-top basketball sneakers could ever cause players to run slower and jump lower. Now the contest has become a war. Companies like Adidas, Nike, Converse and Reebok are all fighting to create the next “air Jordan,” and with the next market battle.Ⅲ. Reading ComprehensionSection ADirections: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.Are you a graduate trying to plan out the b est career path for yourself? We’ve asked five careers consultants to give some tips on how to go about it.A university degree is no ___51___ of a job, and job hunting in itself requires a whole set ofskills. If you find you are not getting past the first interview, ask yourself what is happening. Is it a(n) ___52___ to communicate or are there some skills you lack? And find out what you need to do to bring yourself up to the level of___53___ that would make you more attractive to them.Do not be too dispirited if you are ___54___ for a job, but think about the reasons the employers give. Those who made the second interview might have been studying the same subject as you and be of ___55___ ability level, but they had something which made them a ___56___ m atch to the selector’s ideal. That could be experience gained through projects or vacation work, or it might be that they were better at communicating what they could offer. Do not take the comments at ___57___ value: think back to the interviews that generated them and make a list of where you think the shortfall in your performance lies. With this sort of analytical approach you will eventually get your foot in the door.Deciding how long you should stay in your first job is a tough call. Stay too long and future employers may question your ___58___ and ambition. Of course, it depends where you are aiming. There can be advantages in moving sideways rather than up, if you want to gain real depth of knowledge. If you are a graduate, spending five or six years in the same job is not too long provided that you take full advantage of the ___59___. However, do not use this as a(n) ___60___ for lacking interest or enthusiasm. Graduates sometimes fail to take ownership of their careers and take the initiative. It is up to you to make the most of what’s available within a company, and to monitor your progress in case you need to ___61___. This applies particularly if you are still not sure where your career path lies.It is helpful to think through what kind of experience you need to get your ___62___ job and it is not a problem to move around to a certain extent. But in the ___63___ stages of your career you need a definite strategy for reaching your goal, so think about that carefully before deciding to move on from your first job. You must cultivate ___64___ to be content for any role. There is no guarantee that you will get adequate training, and research has shown that if you do not receive proper help in a new role, it can take 18 months to ___65___ it.51. A. input B. cause C. guarantee D. preparation52. A. failure B. key C. introduction D. contribution53. A. highlight B. comments C. fluency D. qualification54. A. asked B. refused C. headed D. helped55. A. different B. high C. similar D. low56. A. closer B. better C. stronger D. poorer57. A. depth B. face C. data D. test58. A. character B. personality C. behaviour D. drive59. A. knowledge B. experience C. skill D. loyalty60. A. substitute B. equivalent C. excuse D. requirement61. A. pass by B. switch on C. move on D. stick to62. A. part-time B. dream C. secure D. well-paid63. A. critical B. last C. middle D. early64. A. patience B. love C. habits D. friendship65. A. know B. prohibit C. master D. selectSection BDirections: Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.(A)Iceland, an island just south of the Arctic Circle, has fairly mild winters, thanks to warm ocean currents. Time your vacation here during the winter months to take advantage of off-season deals.Off-season means good deals on flights, hotels and tours. You may also find that the locals are a bit f riendlier and more welcoming when tourists aren’t arriving in crowds.In the winter months there are less than seven hours of daylight；thus, chances are good you’ll catch sight of the northern lights. Sunsets are also beautiful ant this time, making for some great photo opportunities.In Iceland, winter is the perfect time to hike glaciers, go ice climbing, explore caves made out of hardened lava(岩浆) and much more. One of the most popular activities is off-roading (越野比赛) in a specially-equipped “super jeep.”Before booking your trip, be sure to check for volcano alerts. There are about 130 volcanoes on or around Iceland. Thirty-five of them are active. In 2010, a volcano named Eyjafjallajokull exploded, sending clouds of ash up to four kilometers in the atmosphere. The ash drifted toward the UK and Europe. Because the ash could damage aircraft engines, airlines operating in the region were forced to cancel flights for six days. As a result, thousands of people were stuck in airports.Recently, another volcano named Bardarbunga has become active, erupting ash into the air. Such events, if large enough could prevent your trip from going ahead. So check the latest volcano news prior to making your reservations.66. According to this article, why are you more likely to see the northern lights in the winter?A. They move from rural areas to cities.B. The weather is more stable at that time.C. They’re a special feature of many festivals.D. The sky is dark for longer periods then.67. According to this article, how do visitors to Iceland have fun in the winter?A. They learn how to ski down the mountains.B. They photograph famous historic sites.C. They explore the countryside in well made vehicles.D. They spend a week at one of the seaside resorts.68. What is true about the volcanoes of Iceland?A. The majority of them are quiet.B. Their age hasn’t bee n determined.C. All but one of them are extinct.D. Citizens aren’t affected by them.69. What does this article explain?A. Some of Iceland’s urban cultural attractions.B. A way to reduce the cost of a trip to Iceland.C. Reasons for visiting Iceland in June and July.D. The average price for a short tour of Iceland.(B)SELF-REFLECTION OF TEACHING PRACTICES READING, WRITING, TALKINGSchool: Date:Grade(s) presently teaching:PLEASE DO NOT SIGN YOUR NAME. Mark the responses that most nearly reflect your teaching practices. This is one way to reflect on your practices and how much you got out of it. Keep one copy and give one to your tutor(s).HOW OFTEN:0=never 1=rarely 2=sometimes(1-2x/week) 3=moderately(3x/week) 4=often(4x/week) 5=daily0 1 2 3 4 5 DEVELOPMENTAL APPROPRIATENESS: I provide opportunities forstudents to use literacy for their own purposes using previous knowledge,developmentally appropriate strategies and world experiences.0 1 2 3 4 5 ENVIRONMENT:I use flexible grouping, e.g., pairs, small groups ofdifferent levels, small needs-based groups, and working alone.0 1 2 3 4 5 KNOWLEDGE CONSTRUCTION：I provide opportunities for studentsto interpret literary and informational texts before, during and after readingor listening by talking, writing, enacting, drawing, etc.0 1 2 3 4 5 ASSESSMENT OF LEARNING:I assess students’ use of literacystrategies using this information to measure student progress and refocusmy own teaching.0 1 2 3 4 5 DEMONSTRATION OF STARTEGIES:I read aloud to students andwrite in front of them, using literary and informational texts.READING STRATEGIES: I instruct students to read strategically, e.g., to0 1 2 3 4 5 reflect, predict, decode, question, connect, retell, summarize, map, etc.0 1 2 3 4 5 WRITING STRATEGIES:I provide opportunities for students to workthrough the writing processes alone and with others, e.g., thinking aboutpurposes and audiences, prewriting, drafting, revising, editing andpublishing.0 1 2 3 4 5 SELF-SELECTION: I provide time for the self-selection of books forindependent reading in the classroom, and for book sharing.0 1 2 3 4 5 DEVELOPING MEANING: I provide clear targets to students to develophigher levels of learning, e.g., What does it mean? Why do I need to knowit? How will I use it?EXTENSION OF LEARNING: I provide opportunities and activities for0 1 2 3 4 5 students to learn more about topics of their choice through problem-basedlearning assignments, etc.BUILDING SUCCESS:I structure lessons/activities that provide0 1 2 3 4 5 opportunities for all students to experience success.70. According to the passage, who most probably mark the responses in the form?A. Professional tutorsB. Language teachers.C. Personal Physician.D. Psychological therapist.71. According to this passage, which frequency degree would you choose if you carry out the practice in the form not at all often?A. 0.B. 1.C. 2.D. 3.72. Mr. Kent bears EXTENSION OF LEARNING in mind, he quite often tend to ____________.A. always set groups to encourage students to work out something by putting heads togetherB. prepare grade-level materials for teachingC. develop students reading skills during pre-, while- and post- reading stagesD. provide students with extra learning materials to further their study73. Mrs. Grace likes to share her version of tasks out come in class which could be labeled___________.A. ASSESSMENT OF LEARNINGB. KNOWLEDGE CONSTRUCTIONC. DEMONSTRA TION OF STRA TEGIESD. SELF-SELECTION(C)A rapidly advancing contemporary science that is highly dependent on new tools is Earth system science. Earth system science involves observation and measurements on the Earth at all scales from the largest to the smallest. The huge amounts of data that are gathered come from many different locations and require special techniques for handling data. Important new tools that facilitate Earth system science include satellite remote sensing, small deep-sea submarines, and geographic information systems.More than any other way of gathering evidence, satellite observations continually remind us that each part of the Earth interacts with and is dependent on all other parts.Earth system science was born from the realization of that interdependence. Satellite remote sensing makes possible observations at large scales, and in many cases, measurements of factors that could not otherwise be measured. For example, the ozone hole over Antarctica--the decrease in the concentration of ozone high in the atmosphere--is measured by remote sensing, as are changes in deserts, forests, and farmlands around the world. Such measurements can be used in many areas of specialization besides Earth system science. Archaeology, for example, has benefited from satellite observations that reveal the traces of ancient trade routes across the Arabian Desert.New tools for exploring previously inaccessible areas of the Earth have also added greatly to our knowledge of the Earth system. Small deep-sea submarines allow scientists to travel to the depths of the ocean. There they have discovered new species and ecosystems thriving near deep-sea vents that emit heat, sasses, and mineral-rich water.Just as important as new methods of measurement and exploration are new ways to store and analyze data about the Earth system. Computer-based software programs known as geographicinformation systems, or GIS, allow a large number of data points to be stored along with their locations. These can be used to produce maps and to compare different sets of information gathered at different times. For example, satellite remote sensing images of a forest can be converted to represent stages in the forest's growth. Two such images, made at different times can be overlaid and compared, and the changes that have taken place can be represented in a new image.74. The word "facilitate" in line 5 is closest in meaning to ________.A. enableB. requireC. organizeD. examine75. The author of the passage mentions that satellite observations are especially effective in ________.A. conducting scientific studies of life on the ocean floorB. predicting future climate changesC. providing data to determine Earth's ageD. demonstrating interactions among all of Earth's parts76. According to the passage, satellite observations of the Arabian Desert allow archaeologists to discern ________.A. indications of ancient routesB. evidence of former lakesC. traces of early farmsD. remains of ancient forests77. What is the main idea of the passage?A. Special techniques are needed to classify the huge amounts of data about Earth.B. New tools provide information about Earth that was once impossible to obtain.C. Advances in Earth system science have resolved many environmental problems.D. Satellite remote sensing can show changes between two images taken years apart.Section CDirections: Read the passage carefully. Then answer the questions or complete the statements in the fewest possible words.For a glimpse of an evolving technology that promises to shake video gaming to its foundation, check out "Throw Trucks With Your Mind."Unlike most video games, it doesn't rely solely on a mouse or joystick. Instead, its players also don a headset that enables them to hurl trucks or other virtual objects simply by thinking.And that's just for starters. Advocates of so-called neurogaming(交感神经游戏) say the concept in a few years will incorporate a wide array of physiological factors, from a player's heart rate and hand gestures to pupil dilation and emotions. Moreover, they envision many such games being developed to improve the health, brainpower and skills of those playing them.The electroencephalography（脑电波仪）, or EEG, headset used to toss trucks and other objects onto adversaries was made by San Jose, Calif.-based NeuroSky. It measures separatebrainwave frequencies that reflect how focused the player is and how calm they are, according to Lat Ware of Emeryville, Calif., who developed the game and is the founder of Crooked Tree Studios. The game, which can be purchased at , costs $25, or $99 with the headset.Ware, 29, said it's possible to move a pear or other small virtual object if the player is calm, but not focused, or vice versa. But he said both mental states are essential to flatten a foe with a hurled monster truck, which takes considerable concentration.Although only a few neurogames have been introduced so far and their action tends to be fairly limited, the games are expected to become far more challenging - and multipurpose - as the software and related technology improves.One concept being explored is to develop games that adjust their action according to the player's changing emotions, as measured by such factors as their facial expressions, eye movement and skin-conductance（皮肤导电）levels. Another approach is to make games that influence how the player thinks and feels.Consider Los Angeles-based Melon, which, like "Throw Trucks With Your Mind," was recently launched via the online fundraising site Kickstarter. Melon officials say their first game - which challenges players to fold origami（折纸）with their mind, using NeuroSky's EEG headset - helps people "learn how to focus, relax and meditate better."（Note: Answer the questions or complete the statements in NO MORE THAN ELEVEN WORDS.）78. According to this article, what is the purpose of developing the new kind of games?___________________________________________________________________________.79. The function of brainwave frequencies measured by EEG made by San Jose is to ______________________________________________________________________________________.80. According to Ware, if you want to throw something such as a truck, you must be _____________________________________________________________________________________.81. What is the new idea being studied to develop more challenging and multipurpose games?___________________________________________________________________________.第Ⅱ卷（共47分）Ⅰ.TranslationDirections: Translate the following sentences into English, using the words given in the brackets.1.在美国和加拿大，用餐后不付小费是很失礼的事。

2015年静安区高考数学二模含答案数学试卷（理科） 2015.04.（满分150分，考试时间120分钟）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知抛物线22y px =的准线方程是2x =-，则p = ．2．已知扇形的圆心角是1弧度，半径为5cm ，则此扇形的弧长为 cm ． 3．复数34ii-（i 为虚数单位）的模为 ． 4．函数221y x x =+-的值域为 ． 5．若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ．6．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，31x 的系数是 ．7．方程)cos (lg )sin 3(lg x x -=的解集为 ．8．射击比赛每人射2次，约定全部不中得0分，只中一弹得10分，中两弹得15分，某人每次射击的命中率均为45，则他得分的数学期望是 分． 9．过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为 ． 10．在极坐标系中，点P (2，6π11)到直线πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离等于 ． 11．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤．12．设12,e e 是平面内两个不共线的向量，12(1)AB a e e =-+，122AC be e =-，0,0a b >>.若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值是 ．13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n A ，等比数列{}n b 的前n 项和为n B ，若33a b =，44a b =，且53427A A B B -=-，则5353a ab b +=+． 14．已知：当0x >时，不等式11kx b x≥++恒成立，当且仅当13x =时取等号，则k = ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15.如图，ABCDEF 是正六边形，下列等式成立的是（ ） （A ）0AE FC ⋅= （B ）0AE DF ⋅> （C ）FC FD FB =+ （D ）0FD FB ⋅<16.已知偶函数)(x f 的定义域为R ，则下列函数中为奇函数的是（ ） （A ）)](sin[x f （B ）)(sin x f x ⋅（C ）)(sin )(x f x f ⋅（D ）2)](sin [x f 17. 如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（ ）（A ）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.18.定义：最高次项的系数为1的多项式1110n n n p (x)x a x a x a --=++鬃?+（*∈n N ）的其余系数(0,1,,1)=⋅⋅⋅-i a i n 均是整数，则方程()0=p x 的根叫代数整数． 下列各数不是代数整数的是（ ） （A ）22 （B ）3 （C ）152+ （D ）1322i-+三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．FA BCE D如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知21===AB BC AA ，AB ⊥BC ． （1）求四棱锥111A BCC B -错误！未指定书签。

2015年上海市静安区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）计算：＝．2．（4分）已知集合M＝{y|y＝2x，x≥0}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）}，则M∩N＝．3．（4分）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为4，则该数列的前n项和S n ＝．4．（4分）一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有种不同结果（用数值作答）．5．（4分）不等式的解集是．6．（4分）设（1﹣x）8＝a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|＝．7．（4分）已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是．8．（4分）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边在射线y＝﹣2x（x≤0）上，则sin2α＝．9．（4分）已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若＝0，则t＝．10．（4分）已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1＝0和l2：2x﹣y+2＝0，则这两条直线的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）．11．（4分）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4＝0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β＝．12．（4分）直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是．13．（4分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是．14．（4分）一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是（）A．y＝x﹣2B．C．D．16．（5分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6＝0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2＝0，记．D＝0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件17．（5分）已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q18．（5分）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）A．1个B．4个C．7个D．8个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（14分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；（2）若b＝，△ABC的面积S＝，求a+c的值．△ABC20．（14分）某地的出租车价格规定：起步费a元，可行3公里，3公里以后按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算（这里a、b、c规定为正的常数，且c＞b），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定．（1）若取a＝14，b＝2.4，c＝3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y＝f（x）．21．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点．PM⊥平面ABCD交AD与M，MN⊥BD于N．（1）求异面直线PN与A1C1所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣BMN的体积．22．（16分）已知函数（其中a＞1）．（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求函数y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断函数y＝f﹣1（x）与g（x）＝a x在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．23．（16分）在数列{a n}中，已知a2＝1，前n项和为S n，且．（其中n∈N*）（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．2015年上海市静安区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）计算：＝．【解答】解：原式＝＝．故答案为：．2．（4分）已知集合M＝{y|y＝2x，x≥0}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）}，则M∩N＝（0，2）．【解答】解：∵集合M＝{y|y＝2x，x≥0}＝{y|y≥0}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）}＝{x|2x﹣x2＞0}＝{x|0＜x＜2}，∴M∩N＝（0，2）．故答案为：（0，2）．3．（4分）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为4，则该数列的前n项和S n＝2n2+n．【解答】解：由题意可得a1＝3，公差d＝4，∴S n＝na1+d＝3n+2n（n﹣1）＝2n2+n故答案为：2n2+n．4．（4分）一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有45种不同结果（用数值作答）．【解答】解：一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有＝45种不同结果．故答案为：45．5．（4分）不等式的解集是（，4）．【解答】解：不等式即为或，即x∈∅或＜x＜4，则解集为（，4）．故答案为：（，4）．6．（4分）设（1﹣x）8＝a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|＝256．【解答】解：由题意可得（1+x）8＝|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x＝1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|＝28＝256，故答案为：256．7．（4分）已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是3π．【解答】解：∵圆锥底面的半径r＝1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，故圆锥的母线l满足：，解得：l＝3，∴该圆锥的侧面积S＝πrl＝3π．故答案为：3π8．（4分）已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边在射线y＝﹣2x（x≤0）上，则sin2α＝．【解答】解：根据题意得：tanα＝﹣2，sinα＝，cosα＝﹣，∴sin2α＝2sinαcosα＝﹣2××＝．故答案为：．9．（4分）已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若＝0，则t＝﹣2．【解答】解：向量，的夹角为30°，，为单位向量，则有＝||•||•cos30°＝＝，由于，若＝0，则t+（1﹣t）＝0，即有t+1﹣t＝0，解得，t＝﹣2．故答案为：﹣2．10．（4分）已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1＝0和l2：2x﹣y+2＝0，则这两条直线的夹角大小为arctan（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，则由tanθ＝||＝||＝，∴θ＝arctan，故答案为：．11．（4分）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4＝0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β＝﹣．【解答】解：tanα，tanβ是方程的两根，tanα+tanβ＝﹣3，tanαtanβ＝4，tan（α+β）＝＝又∵α、β∈（﹣，），∴α+β∈（﹣π，π）．又∵tanα+tanβ＝﹣3，tanα•tanβ＝4，∴α、β同为负角，∴α+β＝﹣．故答案为﹣12．（4分）直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是或．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；y﹣1＝k（x+2），即kx﹣y+2k+1＝0，∵点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，∴＝1，解得k＝，∴直线l的方程为：或．故答案为：或．13．（4分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是[﹣2，2]．【解答】解：画出满足条件|x|≥|y|+1的平面区域，如图示：，设z＝，则y＝zx+2，当直线过（﹣1，0）时，z最大为：2，当直线过（1，0）时，z最小为：﹣2，∴﹣2≤z≤2，故答案为：[﹣2，2]．14．（4分）一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是1＜S＜2．【解答】解：设等比数列的公比为q，则q＜0∵各项和为S，∴﹣1＜q＜0，∴S＝＝＞1，∴1＜S＜2故答案为：1＜S＜2二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是（）A．y＝x﹣2B．C．D．【解答】解：对于A．有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，但在（0，+∞）上递减，则A不满足；对于B．定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具奇偶性，则B不满足；对于C．有f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，则C不满足；对于D．定义域R关于原点对称，f（﹣x）＝f（x），则为偶函数，且在（0，+∞）上递增，则D满足．故选：D．16．（5分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6＝0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2＝0，记．D＝0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵直线l1：3x﹣（k+2）y+6＝0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2＝0，记．∴3（2k﹣3）+（k+2）k＝0k2+8k﹣9＝0，k＝﹣9或k＝1，当k＝1时，直线l1：x﹣y+2＝0，直线l2：x﹣y+2＝0，∴l1l2重合，当k＝9时，直线l1：3x+7y+6＝0，直线l2：﹣9x﹣21y+2＝0，根据充分必要条件的定义得出：D＝0是两条直线l1与直线l2平行的必要不充分条件．故选：B．17．（5分）已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q【解答】解：由图可知：z＝3+i．∴复数＝＝＝＝2﹣i表示的点是Q（2，﹣1）．故选：D．18．（5分）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）A．1个B．4个C．7个D．8个【解答】解：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即过相对棱的异面直线共垂线段的中点，且和两条相对棱平行的平面，满足条件．因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选：C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（14分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；＝，求a+c的值．（2）若b＝，△ABC的面积S△ABC【解答】解：（1）由正弦定理：＝，得＝＝，∴sin B＝，又由B为锐角，得B＝；＝ac sin B＝，sin B＝，（2）∵S△ABC∴ac＝3，根据余弦定理：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝7+3＝10，∴（a+c）2＝a2+c2+2ac＝16，则a+c＝4．20．（14分）某地的出租车价格规定：起步费a元，可行3公里，3公里以后按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算（这里a、b、c规定为正的常数，且c＞b），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定．（1）若取a＝14，b＝2.4，c＝3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y＝f（x）．【解答】解：（1）由题意可知，起步（3公里以内）价是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8﹣3＝5公里的收费是5×2.4＝12元，总共收费14+12＝26（元）故他应付出出租车费26元．（2）3公里以内价是a元，即0＜x≤3时，y＝a（元）；大于3公里而不超过10公里时，即3＜x≤10时，收费y＝a+（x﹣3）b＝bx+a ﹣3b（元）；大于10公里时，即x＞10时，收费y＝a+7×b+（x﹣10）c＝cx+a+7b﹣10c（元）．∴，21．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点．PM⊥平面ABCD交AD与M，MN⊥BD于N．（1）求异面直线PN与A1C1所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣BMN的体积．【解答】解：（1）∵点P为面ADD1A1的对角线AD1的中点，且PM⊥平面ABCD，∴PM为△ADD1的中位线，得PM＝1，又∵MN⊥BD，∴，∵在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，∴MN∥AC，又∵A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角，在△PMN中，∠PMN为直角，，∴．即异面直线PN与A1C1所成角的大小为．（2），，代入数据得三棱锥P﹣BMN的体积为．22．（16分）已知函数（其中a＞1）．（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求函数y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断函数y＝f﹣1（x）与g（x）＝a x在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．【解答】解：（1）∵，∴函数y＝f（x）的定义域为R，又∵＝＝0，∴函数y＝f（x）是奇函数．（2）由，且当x→﹣∞时，，当x→+∞时，，得的值域为实数集．解得，x∈R．（3）在区间[1，2]上恒成立，即，即a x+a﹣x＞4在区间[1，2]上恒成立，令a x＝t，∵a＞1，∴t∈[a，a2]，在t∈[a，a2]上单调递增，∴，解得，∴．23．（16分）在数列{a n}中，已知a2＝1，前n项和为S n，且．（其中n∈N*）（1）求a1；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．【解答】解：（1）因为，令n＝1，得，所以a1＝0；或者令n＝2，得，所以：a1＝0（2）当n≥2时，，，，推得，利用叠乘法求出数列a n＝n﹣1又a2＝1，a3＝2a2＝3，所以a n+1＝n，当n＝1，2时也成立，所以a n＝n﹣1，（n∈N*）（3）假设存在正整数p，q使得b1，b p，b q成等比数列，则：lgb1，lgb p，lgb q成等差数列．则：①由于等式右边大于，故则：下面考察数列d的单调性．因为：故数列是单调递减数列．当p＝2时，代入①式得：解得：q＝3当故存在（p，q）为（2，3）使得b1，b p，b q成等比数列．。

静安区2015学年第二学期高三年级高考模拟数学试卷（理科）适用年级：高三建议时长：0分钟试卷总分：150.0分一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题。

1.计算：=____. （4.0分）2.设复数z满足(3-4i)z=5(i为虚数单位)，则z=____. （4.0分）3.若原点（0，0）和点（1，1）在直线的x+y-a=0两侧，则a的取值范围是____. （4.0分）4.函数y=cos2x，x∈[0，π]的递增区间为____. （4.0分）5.算法流程图如图所示，则输出的k值是____. （4.0分）6.抛物线上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是____. （4.0分）7.一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为____. （4.0分）8.关于的函数的最大值记为M（x），则M（x）的解析式为____. （4.0分）9.如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长为，侧面积为，则它的体积为____. （4.0分）10.已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为____. （4.0分）11.已知△ABC外接圆的半径为2，圆心为O，且，，则____. （4.0分）12.若以过（0，0）点的直线的倾斜角为参数，则圆的参数方程为____.（4.0分）13.已知数列满足，，则数列的前n项和的最大值为____. （4.0分）14.设关于x的实系数不等式对任意x∈[0，+∞)恒成立，则=____. （4.0分）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。

1.下列不等式一定成立的是( ). （5.0分）(单选)A.B.C.D.2.在极坐标系中,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）. （5.0分）(单选)A. 和B. 和C. 和D. 和3.若函数为奇函数，且 g(x)=f(x)+2，已知f(1)=1,则g（-1）=（）.（5.0分）(单选)A. -1B. 1C. -2D. 24.袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5. 现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为，则等于( ). （5.0分）(单选)A. 4B. 4.5C. 4.75D. 5三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题。

上海市十二校联考2015届高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分. 1．幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m=__________．2．函数的定义域是__________．3．在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=__________．4．设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=__________．5．若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=__________．6．若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是__________．7．若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a的取值范围为__________．8．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？__________．（只需写出一个答案即可）9．若（x≥0，y≥0），则目标函数k=6x+8y取最大值时点的坐标为__________．10．设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取2个球，已知取到至少1个白球的概率为，则口袋中白球的个数为__________．11．如图所示，一个确定的凸五边形 ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为__________．12．设函数 f（ x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为 f：x→sin x，现已知 f （ x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有__________个．13．若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=__________．14．在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为__________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．若非空集合 A中的元素具有命题α的性质，集合B中的元素具有命题β的性质，若 A⊊B，则命题α是命题β的( )条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要16．用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除17．实数x、y满足x2+2xy+y2+x2y2=1，则x﹣y的最大值为( )A．4 B．2C．2 D．18．直线m⊥平面α，垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面α上运动，点B 在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是( )A．[，] B．[2﹣2，2+2] C．[，] D．[3﹣2，3+2]三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤.19．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．20．已知数列{b n}满足b1=1，且b n+1=16b n（n∈N），设数列{}的前n项和是T n．（1）比较T n+12与T n•T n+2的大小；（2）若数列{a n} 的前n项和S n=2n2+2n+2，数列{c n}=a n﹣log d b n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c n}是递增数列．21．某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f （x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A类波“中有一个是f1（x）=sinx，从 A类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相φ都不同）使得这三个不同的波叠加之后是“平波”，即叠加后y=0，并说明理由．22．（16分）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）当a2+b2=1时，函数y=f（x）存在零点x0，求x0的取值范围．23．（18分）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f（x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线C与x轴的交点是M、N，抛物线E：y=x2+1与 y 轴的交点是G，直线MG与曲线E交于点P，直线NG 与曲线E交于Q，求证：直线PQ过定点（0，3）．（3）设曲线C与x轴的交点是M（u，0）、N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线上运动，曲线与上述曲线C在a≠0时共有4个交点，其分别是：A（x1，|x2）、B（x3，x4）、C（x5，x6）、D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i=1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若Y i中只有一个元素，则和是其自身）得到255个数y1、y2、…、y255，求y13+y23+…+y2553的值．上海市十二校联考2015届高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分. 1．幂函数y=x（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m=0．考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据幂函数的性质，可得m2+2m﹣3＜0，解不等式求得自然数解，即可得到m=0．解答：解：由幂函数y=x m2+2m﹣3在（0，+∞）为减函数，则m2+2m﹣3＜0，解得﹣3＜m＜1．由于m∈N，则m=0．故答案为：0．点评：本题考查幂函数的性质，主要考查二次不等式的解法，属于基础题．2．函数的定义域是（0，1]．考点：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域．解答：解：∴0＜x≤1∴函数的定义域为（0，1]故答案为：（0，1]点评：求解析式已知的函数的定义域应该考虑：开偶次方根的被开方数大于等于0；对数函数的真数大于0底数大于0小于1；分母非0．3．在△ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=．考点：余弦定理的应用．专题：计算题．分析：先通过BC=8，AC=5，三角形面积为12求出sinC的值，再通过余弦函数的二倍角公式求出答案．解答：解：∵已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，∴•BC•ACsinC=12∴sinC=∴cos2C=1﹣2sin2C=1﹣2×=故答案为：点评：本题主要考查通过正弦求三角形面积及倍角公式的应用．属基础题．4．设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=1．考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：把n代入方程，利用复数相等的条件，求出m，n，即可．解答：解：关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，可得n2﹣（2+i）n+1+mi=0所以，所以m=n=1，故答案为：1．点评：本题考查复数相等的条件，考查计算能力，是基础题．5．若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=4或8．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先分两种情况：①焦点在x轴上．②焦点在y轴上，分别求出a的值即可．解答：解：①焦点在x轴上时：10﹣a﹣（a﹣2）=4解得：a=4．②焦点在y轴上时a﹣2﹣（10﹣a）=4解得：a=8故答案为：4或8．点评：本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x轴或y轴上，考察a、b、c的关系式，及相关的运算问题．6．若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120°、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是4π．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：易得圆锥侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．解答：解：圆锥的侧面展开图的弧长为：=2π，∴圆锥的底面半径为2π÷2π=1，∴此圆锥的表面积=π×（1）2+π×1×3=4π．故答案为：4π．点评：本题考查扇形的弧长公式为；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，圆锥的表面积的求法．7．若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x∈[1，5]上有解，则实数a的取值范围为﹣3≤a≤9．考点：函数的零点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，x2+ax﹣10=0在x∈[1，5]上有解，可得a=﹣x在x∈[1，5]上有解，利用a=﹣x在x∈[1，5]上单调递减，即可求出实数a的取值范围．解答：解：由题意，x2+ax﹣10=0在x∈[1，5]上有解，所以a=﹣x在x∈[1，5]上有解，因为a=﹣x在x∈[1，5]上单调递减，所以﹣3≤a≤9，故答案为：﹣3≤a≤9．点评：本题主要考查方程的根与函数之间的关系，考查由单调性求函数的值域，比较基础．8．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）．．（只需写出一个答案即可）考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．解答：解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．故答案为：23，或105k+23（k为正整数）．点评：本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键．[可以原文理解为：三个三个的数余二，七个七个的数也余二，那么，总数可能是三乘七加二，等于二十三．二十三用五去除余数又恰好是三]9．若（x≥0，y≥0），则目标函数k=6x+8y取最大值时点的坐标为（0，5）．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意，画出约束条件的可行域，结合目标函数K=6x+8y取得最大值的点的坐标即可．解答：解：由题意画出约束条件的可行域，与直线6x+8y=0平行的直线中，只有经过M点时，目标函数K=6x+8y取得最大值．目标函数K=6x+8y取得最大值时的点的坐标M为：x+y=5与y轴的交点（0，5）．故答案为：（0，5）．点评：本题是中档题，考查线性规划的应用，注意正确做出约束条件的可行域是解题的关键，考查计算能力．10．设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取2个球，已知取到至少1个白球的概率为，则口袋中白球的个数为3．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：设口袋中白球个数为x个，由对立事件概率公式得到1﹣=，由此能求出口袋中白球的个数．解答：解：设口袋中白球个数为x个，由已知得1﹣=，解得x=3．故答案为：3．点评：本题考查口袋中白球的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．11．如图所示，一个确定的凸五边形 ABCDE，令x=•，y=•，z=•，则x、y、z 的大小顺序为x＞y＞z．考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的数量积公式分别判断x，y，z的符号，得到大小关系．解答：解：由题意，x=•=AB×ACcos∠BAC＞0，y=•=AB×ADcos∠BAD≈AB×ACcos∠BAD，又∠BAD＞∠BAC所以cos∠BAD＜cos∠BAC，所以x＞y＞0z=•=AB×AEcos∠BAE＜0，所以x＞y＞z．故答案为：x＞y＞z．点评：本题考查了向量的数量积的公式；属于基础题．12．设函数 f（ x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，它的对应法则为 f：x→sin x，现已知 f （ x）的值域为{0，﹣，1}，则这样的函数共有1395个．考点：映射．专题：函数的性质及应用；集合．分析：分别求出sinx=0，x=0，π，2π，3π，4π，sinx=，x=，x=，x=，x=，sinx=1，x=，x=利用排列组合知识求解得出这样的函数共有：（C+C）（）（）即可．解答：解：∵函数 f（ x）的定义域为D，D⊆[0，4π]，∴它的对应法则为 f：x→sin x，f（ x）的值域为{0，﹣，1}，sinx=0，x=0，π，2π，3π，4π，sinx=，x=，x=，x=，x=，sinx=1，x=，x=这样的函数共有：（C+C）（）（）=31×15×3=1395故答案为：1395点评：本题考查了映射，函数的概念，排列组合的知识，难度不大，但是综合性较强．13．若多项式（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，则a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=0．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：根据等式，确定a1=﹣2000×2001+2001×2000=0，a3=0，a5=0，…，即可得出结论．解答：解：根据（1﹣2x+3x2﹣4x3+…﹣2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+…+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+…+a3999x+a4000，可得a1=﹣2000×2001+2001×2000=0，a3=0，a5=0，…，所以a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=0，故答案为：0．点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．14．在平面直角坐标系中有两点A（﹣1，3）、B（1，），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=﹣x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为2．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题；转化思想；推理和证明．分析：由题意，设M（a，﹣a）（a＜0），则r=﹣2a，N（﹣2a，0）．可得|AM|+|BN|=+，设2a=x，进而可以理解为（x，0）与（﹣，）和（﹣1，）的距离和，即可得出结论．解答：解：由题意，设M（a，﹣a）（a＜0），则r=﹣2a，N（﹣2a，0）．∴|AM|+|BN|=+设2a=x，则|AM|+|BN|=+，可以理解为（x，0）与（﹣5，）和（﹣1，）的距离和，∴|AM|+|BN|的最小值为（﹣5，）和（﹣1，﹣）的距离，即2．故答案为：2．点评：本题考查两点间距离公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．若非空集合 A中的元素具有命题α的性质，集合B中的元素具有命题β的性质，若 A⊊B，则命题α是命题β的( )条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：集合；简易逻辑．分析：可举个例子来判断：比如A={1}，B={1，2}，α：x＞0，β：x＜3，容易说明此时命题α是命题β的既非充分又非必要条件．解答：解：命题α是命题β的既非充分又非必要条件；比如A={1}，α：x＞0；B={1，2}，β：x＜3；显然α成立得不到β成立，β成立得不到α成立；∴此时，α是β的既非充分又非必要条件．故选：D．点评：考查真子集的概念，以及充分条件、必要条件、既不充分又不必要条件的概念，以及找一个例子来说明问题的方法．16．用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除考点：反证法．专题：证明题；反证法；推理和证明．分析：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．解答：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b 都不能被5整除”．故选：B．点评：反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．17．实数x、y满足x2+2xy+y2+x2y2=1，则x﹣y的最大值为( )A．4 B．2C．2 D．考点：三角函数的最值；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由x2+2xy+y2+x2y2=1，变形为（x+y）2+（xy）2=1．可设x+y=cosθ，xy=sinθ，θ∈[0，2π）．利用（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=﹣（sinθ+2）2+5≤4，即可得出．解答：解：由x2+2xy+y2+x2y2=1，变形为（x+y）2+（xy）2=1．可设x+y=cosθ，xy=sinθ，θ∈[0，2π）．∴（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=cos2θ﹣4sinθ=1﹣sin2θ﹣4sinθ=﹣（sinθ+2）2+5≤4，∴x﹣y≤2，故选：C．点评：本题考查了三角函数代换、三角函数的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．直线m⊥平面α，垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面α上运动，点B 在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是( )A．[，] B．[2﹣2，2+2] C．[，] D．[3﹣2，3+2]考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：确定直线BC与动点O的空间关系，得到最大距离为AD到球心的距离+半径，最小距离为AD到球心的距离﹣半径．解答：解：由题意，直线BC与动点O的空间关系：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径=2+2．最小距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）﹣半径=2﹣2．∴点O到直线AD的距离的取值范围是：[2﹣2，2+2]．故选：B．点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤.19．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQ∥AB，C1Q⊥QR（1）求证：C1Q⊥平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得AB⊥平面B1BCC1，从而PQ⊥平面B1BCC1，进而C1Q⊥PQ，又C1Q⊥QR，由此能证明C1Q⊥平面PQR．（2）由已知得B1Q=1，BQ=1，△B1C1Q∽△BQR，从而BR=，QR=，由C1Q、QR、QP两两垂直，能求出四面体C1PQR 的体积．解答：（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，∴AB⊥平面B1BCC1，又PQ∥AB，∴PQ⊥平面B1BCC1，∴C1Q⊥PQ，又已知C1Q⊥QR，且QR∩QP=Q，∴C1Q⊥平面PQR．（2）解：∵B 1C1=，，∴B1Q=1，∴BQ=1，∵Q是BB1中点，C1Q⊥QR，∴∠B1C1Q=∠BQR，∠C1B1Q=∠QBR，∴△B1C1Q∽△BQR，∴BR=，∴QR=，∵C1Q、QR、QP两两垂直，∴四面体C1PQR 的体积V=．点评：本小题主要考查空间线面关系、线面垂直的证明、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．20．已知数列{b n}满足b1=1，且b n+1=16b n（n∈N），设数列{}的前n项和是T n．（1）比较T n+12与T n•T n+2的大小；（2）若数列{a n} 的前n项和S n=2n2+2n+2，数列{c n}=a n﹣log d b n（d＞0，d≠1），求d的取值范围使得{c n}是递增数列．考点：数列递推式；数列的函数特性．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由数列递推式可得数列{b n}为公比是16的等比数列，求出其通项公式后可得，然后由等比数列的前n项和求得T n，再由作差法证明T n+12＞T n•T n+2；（2）由S n=2n2+2n+2求出首项，进一步得到n≥2时的通项公式，再把数列{a n}，{b n}的通项公式代入c n=a n﹣log d b n=4n+（4﹣4n）log d2=（4﹣4log d2）n+4log d2，然后由一次项系数大于0求得d的取值范围．解答：解：（1）由b n+1=16b n，得数列{b n}为公比是16的等比数列，又b1=1，∴，因此，则=，∵T n+12﹣T n•T n+2 =．于是T n+12＞T n•T n+2；（2）由S n=2n2+2n+2，当n=1时求得a1=S1=6；当n≥2时，=4n．a1=6不满足上式，∴a n=．当n=1时，c1=a1﹣log d b1=6﹣log d1=6，当n≥2时，可得c n=a n﹣log d b n=4n+（4﹣4n）log d2=（4﹣4log d2）n+4log d2，要使数列{c n}是递增数列，则，解得：0＜d＜1或d＞4．综上，d∈（0，1）∪（4，+∞）．点评：本题考查了等比关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了对数不等式的解法，是中档题．21．某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f （x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+φ1）与f2（x）=sin（x+φ2）叠加后仍是“1类波”，求φ2﹣φ1的值；（2）在“A类波“中有一个是f1（x）=sinx，从 A类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相φ都不同）使得这三个不同的波叠加之后是“平波”，即叠加后y=0，并说明理由．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）首先对函数的关系式进行恒等变换进一步求出函数中角的大小．（2）利用（1）的结论再对函数关系式进行变换最后证明出函数时平波．解答：解：（1）f1（x）+f2（x）=sin（x+Φ1）+sin（x+Φ2）=（cosΦ1+cosΦ2）sinx+（sinΦ1+sinΦ2）cosxΦ所以函数的振幅为：=则：=1即：所以：（k∈Z）（2）设f2（x）=Asin（x+Φ1），f3（x）=Asin（x+Φ2）则：f1（x）+f2（x）+f3（x）=Asinx+Asin（x+Φ1）+Asin（x+Φ2）=Asinx（1+cosΦ1+cosΦ2）+Acosx（sinΦ1+sinΦ2）=0恒成立．则：即：消去Φ2得到：若取Φ1=，则可取Φ2=此时：，f1（x）+f2（x）+f3（x）=+=0所以为平波．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，信息题的应用，主要考查学生对实际问题的应用能力，属于中档题型．22．（16分）设函数f（x）=ax2+（2b+1）x﹣a﹣2（a，b∈R）．（1）若a=0，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，求b的取值范围；（2）若a≠0且b=﹣1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）当a2+b2=1时，函数y=f（x）存在零点x0，求x0的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（1）求出a=0的解析式，再一次函数的单调性，得到不等式，即可得到范围；（2）（2）b=﹣1时，y=a（x2﹣1）﹣x﹣2，当x2=1时，无论a取任何值，y=﹣x﹣2为定值，y=f（x）图象一定过点（1，﹣3）和（﹣1，﹣1），运用函数的定义即可得到结论；（3）存在x0，ax02+（2b+1）x0﹣a﹣2=0，即（x02﹣1）a+（2x0）b+x0﹣2=0，可看作点（a，b）的直线方程，而a2+b2=1可看作点（a，b）的圆，运用直线和圆有交点的条件，结合点到直线的距离公式，解不等式即可得到范围．解答：解：（1）当a=0时，f（x）=（2b+1）x﹣2，当x∈[，1]时恒有f（x）≥0，则f（）≥0且f（1）≥0，即b﹣≥0且2b﹣1≥0，解得b≥；（2）b=﹣1时，y=a（x2﹣1）﹣x﹣2，当x2=1时，无论a取任何值，y=﹣x﹣2为定值，y=f（x）图象一定过点C（1，﹣3）和D（﹣1，﹣1）由函数定义可知函数图象一定不过A（1，y1）（y1≠﹣3）和B（﹣1，y2）（y2≠﹣1）；（3）存在x0，ax02+（2b+1）x0﹣a﹣2=0，即（x02﹣1）a+（2x0）b+x0﹣2=0，可看作点（a，b）的直线方程，而a2+b2=1可看作点（a，b）的圆，直线与圆有交点，则圆心到直线的距离d=≤1，即≤1，即为x0﹣2≤x02+1，且x0﹣2≥﹣x02﹣1，解得x0∈（﹣∞，]∪[，+∞）．点评：本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的值域问题，主要考查一次函数的单调性，运用主元法和直线和圆有交点的条件是解题的关键．23．（18分）设有二元关系f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1，已知曲线Γ：f（x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线C与x轴的交点是M、N，抛物线E：y=x2+1与 y 轴的交点是G，直线MG与曲线E交于点P，直线NG 与曲线E交于Q，求证：直线PQ过定点（0，3）．（3）设曲线C与x轴的交点是M（u，0）、N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线上运动，曲线与上述曲线C在a≠0时共有4个交点，其分别是：A（x1，|x2）、B（x3，x4）、C（x5，x6）、D（x7，x8），集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i=1，2，…，255），将Y i中的所有元素相加（若Y i中只有一个元素，则和是其自身）得到255个数y1、y2、…、y255，求y13+y23+…+y2553的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；数列的求和；数列与函数的综合．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）令f（x，y）=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣1=0，解得x﹣y=﹣1，可得f（x，y）表示两条平行线，之间的距离是2，为一个正方形，即可得出其面积S．（2）在曲线C中，令y=0，则x2+ax﹣1=0，设M（m，0），N（n，0），则mn=﹣1，G（0，1），可得直线MG，NG方程．联立解得P，同理可得Q（2m，2m2+1）．可得直线PQ的方程为：，即可验证直线PQ过定点（0，3）．（3）令y=0，则x2+ax﹣1=0，则mn=﹣1，即点R（u，v）在曲线xy=﹣1上，又曲线C：f （x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1=0．恒表示平行线x﹣y=，如图所示，A（x1，x2），B（x3，x4）关于直线y=﹣x对称，可得x1+x2+x3+x4=0，同理可得x5+x6+x7+x8=0，则x1+x2+…+x8=0，集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i=1，2，…，255），取Y1={x1，x2，…，x8}，则y1=x1+x2+…+x8=0，=0，对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Y p，Y q），Y p∪Y q=X，Y p∩Y q=∅，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足y p+y q=0，因此=0，即可得出．解答：解：（1）令f（x，y）=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣1=0，解得x﹣y=﹣1，∴f（x，y）表示两条平行线，之间的距离是2，为一个正方形，其面积S=4．（2）证明：在曲线C中，令y=0，则x2+ax﹣1=0，设M（m，0），N（n，0），则mn=﹣1，G（0，1），则直线MG：y=﹣x+1，NG：y=﹣x+1．联立，解得P，同理可得Q（﹣，+1）．∴直线PQ的方程为：y﹣=（m+n）（x+）令x=0，则y=+（m+n）=+（﹣+n）=3，因此直线PQ过定点（0，3）．（3）令y=0，则x2+ax﹣1=0，则mn=﹣1，即点R（u，v）在曲线xy=﹣1上，又曲线C：f（x，y）=（x﹣y）2+a（x﹣y）﹣1=0．恒表示平行线x﹣y=，如图所示，A（x1，x2），B（x3，x4）关于直线y=﹣x对称，则，即x1+x2+x3+x4=0，同理可得x5+x6+x7+x8=0，则x1+x2+…+x8=0，集合X={x1，x2，…，x8}的所有非空子集设为Y i=1，2，…，255），取Y1={x1，x2，…，x8}，则y1=x1+x2+…+x8=0，=0，对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Y p，Y q），Y p∪Y q=X，Y p∩Y q=∅，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足y p+y q=0，因此=0，于是y13+y23+…+y2553=0．点评：本题考查了平行直线系、直线的交点、一元二次方程的根与系数的关系、集合的性质、中点坐标公式、对称性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

静安区2015学年高三年级第一学期期末教学质量检测数学试卷（文科）适用年级：高三建议时长：0分钟试卷总分：150.0分一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题。

1.抛物线的准线方程是____ （4.0分）2.在等差数列中，已知公差，则____ （4.0分）3.已知圆锥的底面半径为4cm，高为 cm，则这个圆锥的表面积是____cm2. （4.0分）4.方程的解为x=____ （4.0分）5.已知为第二象限角，且，则____（4.0分）6.坐标原点关于直线对称的点的坐标是____ （4.0分）7.已知复数z满足,其中i为虚数单位,则____ （4.0分）8.的展开式中项的系数等于____. (用数值作答) （4.0分）9.在产品检验时，常采用抽样检查的方法.现在从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有____种. (用数值作答) （4.0分）10.经过直线与圆的两个交点,且面积最小的圆的方程是____ （4.0分）11.已知数列中，，当时，，则____ （4.0分）12.在平面直角坐标系中，坐标原点、点，将向量绕点按逆时针方向旋转后得向量，则点的横坐标是____ （4.0分）13.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，，且△ABC的面积为，则b =____. (用数值作答)（4.0分）14.在平面直角坐标系中，将直线沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线.再将直线沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线重合.则直线与直线的距离是____ （4.0分）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。

1.设全集，则（）。

（5.0分）(单选)A.B.C.D.2.组合数恒等于（）。

（5.0分）(单选)A.B.C.D.3.函数的反函数是（）。

（5.0分）(单选)A.B.C.D.4.下列四个命题中，真命题是（）。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作静安区2015学年第二学期高三年级高考模拟文理科数学试卷（试卷满分150分考试时间120分钟） 2016.4 考生注意：本试卷共有23道题，答题前，请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.（文）已知全集，集合，则集合的补集 . （理）计算： _.2.（文）指数方程的解是 .（理）设复数满足（为虚数单位），则 .3.（文）已知无穷等比数列的首项，公比，则无穷等比数列各项的和是 .（理）若原点和点在直线的两侧，则的取值范围是．4．函数的递增区间为 .5．算法流程图如图所示，则输出的值是 .6. 抛物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是．7. （文）设函数，则不等式的解集为 .（理）一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为 .8.关于θ的函数的最大值记为，则的解析式为 .9．（文）如图所示，是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图，若，则该几何体的体积等于．（理）如图，正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为 .10. （文）圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于A(0,-4)、B(0, -2)两点，则圆C的方程为 .（理）已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为 .11.已知△ABC外接圆的半径为，圆心为，且，，则.12.（文）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 .（理）若以过点的直线的倾斜角为参数，则圆的参数方程为 .13. （文）掷两颗均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋n i)(n－m i)(i为虚数单位)为实数的概率为 .（理）已知数列满足，，则数列的前项和的最大值为 .14.设关于的实系数不等式对任意恒成立，则 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（文）的展开式中的系数为（）A.1B. 4C. 6D. 12（理）下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．16.（文）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积，∠A的弧度数为（）A.B.C. D.（理）在极坐标系中,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．B．C．D．17. 若函数为奇函数，且g(x)=f(x)＋2，已知f(1)=1，则g (－1)的值为（） A．－1B．1C．－2D．218. （文）已知实数满足则的最大值为（）A. 17B.15C. 9D. 5（理）袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5. 现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则Eξ等于（）A．4 B．4.5 C．4.75 D．5三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（文）（本题满分12分）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF（底面正六边形ABCDEF的中心为球心）.求：正六棱锥P—ABCDEF的体积和侧面积．（理）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知分别是椭圆（其中）的左、右焦点，椭圆过点且与抛物线有一个公共的焦点．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，求线段的长度．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（文）题同理科第19题。

2015年上海市静安区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知集合M＝{y|y＝2x，x≥0}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）}，则M∩N＝．2．（4分）设（1﹣x）8＝a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|＝．3．（4分）不等式1﹣＜0的解集是．4．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，P A＝1，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，则该四棱锥的体积是．5．（4分）文：已知数列{a n}的通项公式a n＝22﹣n+2n+1（其中n∈N*），则该数列的前n项和S n＝．6．（4分）已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若＝0，则t＝．7．（4分）已知f（x）＝x|x﹣1|+1，f（2x）＝（其中x＞0），则x＝．8．（4分）已知△ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（﹣1，﹣3），则△ABC 的内角∠BAC的大小是．（结果用反三角函数值表示）9．（4分）若α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，则＝．10．（4分）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4＝0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β＝．11．（4分）直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是．12．（4分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是．13．（4分）一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是．14．（4分）两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分．两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有名高二年级的学生参加比赛．（结果用数值作答）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是（）A．y＝x﹣2B．C．D．16．（5分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6＝0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2＝0，记．D＝0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件17．（5分）已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q18．（5分）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）A．1个B．4个C．7个D．8个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（14分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；＝，求a+c的值．（2）若b＝，△ABC的面积S△ABC20．（14分）某地的出租车价格规定：起步费a元，可行3公里，3公里以后按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算（这里a、b、c规定为正的常数，且c＞b），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定．（1）若取a＝14，b＝2.4，c＝3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y＝f（x）．21．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）．PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD于点N．（1）设AP＝x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）22．（16分）已知函数（其中a＞1）．（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断（其中m，n∈R且m+n≠0）的正负号，并说明理由；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）与g（x）＝a x在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．23．（16分）在数列{a n}中，已知a2＝1，前n项和为S n，且．（其中n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．2015年上海市静安区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知集合M＝{y|y＝2x，x≥0}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）}，则M∩N＝（0，2）．【解答】解：∵集合M＝{y|y＝2x，x≥0}＝{y|y≥0}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）}＝{x|2x﹣x2＞0}＝{x|0＜x＜2}，∴M∩N＝（0，2）．故答案为：（0，2）．2．（4分）设（1﹣x）8＝a0+a1x+…+a7x7+a8x8，则|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|＝256．【解答】解：由题意可得（1+x）8＝|a0|+|a1|x+…+|a7|x7+|a8|x8，在此等式中，令x＝1，可得|a0|+|a1|+…+|a7|+|a8|＝28＝256，故答案为：256．3．（4分）不等式1﹣＜0的解集是（，4）．【解答】解：不等式1﹣＜0即为＜0，即为或，即有x∈∅或＜x＜4，则解集为（，4）．故答案为：（，4）．4．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，P A＝1，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，则该四棱锥的体积是．【解答】解：∵P A⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为，∴Rt△P AC中，P A＝1，∠PCA＝，AC＝，∵底面ABCD是正方形，∴AB＝，V＝××1＝故答案为：；5．（4分）文：已知数列{a n}的通项公式a n＝22﹣n+2n+1（其中n∈N*），则该数列的前n项和S n＝．【解答】解：数列数列{a n}的通项公式：整理得：则：+2（21+22+…+2n）＝4•+2＝＝故答案为：6．（4分）已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若＝0，则t＝﹣2．【解答】解：向量，的夹角为30°，，为单位向量，则有＝||•||•cos30°＝＝，由于，若＝0，则t+（1﹣t）＝0，即有t+1﹣t＝0，解得，t＝﹣2．故答案为：﹣2．7．（4分）已知f（x）＝x|x﹣1|+1，f（2x）＝（其中x＞0），则x＝．【解答】解：∵f（x）＝x|x﹣1|+1，f（2x）＝（其中x＞0），∴，∴，∵x＞0，∴（2x）2﹣2x﹣＝0，解得2x＝，∴．故答案为：．8．（4分）已知△ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（﹣1，﹣3），则△ABC的内角∠BAC的大小是arccos．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：∵△ABC的顶点A（2，6）、B（7，1）、C（﹣1，﹣3），∴|AB|＝c＝＝5，|AC|＝b＝＝3，|BC|＝a＝＝4，∴cos∠BAC＝＝＝，则∠BAC＝arccos，故答案为：arccos9．（4分）若α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，则＝﹣．【解答】解：∵α，β是一二次方程2x2+x+3＝0的两根，∴α+β＝﹣，α•β＝，∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣10．（4分）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4＝0的两根，α，β∈（﹣，）则α+β＝﹣．【解答】解：tanα，tanβ是方程的两根，tanα+tanβ＝﹣3，tanαtanβ＝4，tan（α+β）＝＝又∵α、β∈（﹣，），∴α+β∈（﹣π，π）．又∵tanα+tanβ＝﹣3，tanα•tanβ＝4，∴α、β同为负角，∴α+β＝﹣．故答案为﹣11．（4分）直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是或．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；y﹣1＝k（x+2），即kx﹣y+2k+1＝0，∵点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，∴＝1，解得k＝，∴直线l的方程为：或．故答案为：或．12．（4分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是[﹣2，2]．【解答】解：画出满足条件|x|≥|y|+1的平面区域，如图示：，设z＝，则y＝zx+2，当直线过（﹣1，0）时，z最大为：2，当直线过（1，0）时，z最小为：﹣2，∴﹣2≤z≤2，故答案为：[﹣2，2]．13．（4分）一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是1＜S＜2．【解答】解：设等比数列的公比为q，则q＜0∵各项和为S，∴﹣1＜q＜0，∴S＝＝＞1，∴＜0∴1＜S＜2故答案为：1＜S＜214．（4分）两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分．两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有7或14名高二年级的学生参加比赛．（结果用数值作答）【解答】解：设高二学生有n名．则共比赛场，每名高二年级的学生都得相同分数为k．∴．化为n2+（3﹣2k）n﹣14＝0，∵﹣14＝﹣2×7＝2×（﹣7）＝﹣1×14＝1×（﹣14）．当2k﹣3＝7﹣2时，可得k＝4，此时n＝7，当2k﹣3＝14﹣1时，可得k＝8，此时n＝14．而2k﹣3＝2﹣7或2k﹣3＝1﹣14，k＜0，舍去．综上可得：n＝7或14．故答案为：7或14．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在下列幂函数中，是偶函数且在（0，+∞）上是增函数的是（）A．y＝x﹣2B．C．D．【解答】解：对于A．有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，但在（0，+∞）上递减，则A不满足；对于B．定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具奇偶性，则B不满足；对于C．有f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，则C不满足；对于D．定义域R关于原点对称，f（﹣x）＝f（x），则为偶函数，且在（0，+∞）上递增，则D满足．故选：D．16．（5分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6＝0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2＝0，记．D＝0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵直线l1：3x﹣（k+2）y+6＝0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2＝0，记．∴3（2k﹣3）+（k+2）k＝0k2+8k﹣9＝0，k＝﹣9或k＝1，当k＝1时，直线l1：x﹣y+2＝0，直线l2：x﹣y+2＝0，∴l1l2重合，当k＝9时，直线l1：3x+7y+6＝0，直线l2：﹣9x﹣21y+2＝0，∴l1∥l2，根据充分必要条件的定义得出：D＝0是两条直线l1与直线l2平行的必要不充分条件．故选：B．17．（5分）已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q【解答】解：由图可知：z＝3+i．∴复数＝＝＝＝2﹣i表示的点是Q（2，﹣1）．故选：D．18．（5分）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）A．1个B．4个C．7个D．8个【解答】解：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即过相对棱的异面直线共垂线段的中点，且和两条相对棱平行的平面，满足条件．因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选：C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（14分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．（1）求∠B的大小；＝，求a+c的值．（2）若b＝，△ABC的面积S△ABC【解答】解：（1）由正弦定理：＝，得＝＝，∴sin B＝，又由B为锐角，得B＝；＝ac sin B＝，sin B＝，（2）∵S△ABC∴ac＝3，根据余弦定理：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝7+3＝10，∴（a+c）2＝a2+c2+2ac＝16，则a+c＝4．20．（14分）某地的出租车价格规定：起步费a元，可行3公里，3公里以后按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算（这里a、b、c规定为正的常数，且c＞b），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定．（1）若取a＝14，b＝2.4，c＝3.6，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x（公里）之间的函数关系式y＝f（x）．【解答】解：（1）由题意可知，起步（3公里以内）价是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价，则8﹣3＝5公里的收费是5×2.4＝12元，总共收费14+12＝26（元）故他应付出出租车费26元．（2）3公里以内价是a元，即0＜x≤3时，y＝a（元）；大于3公里而不超过10公里时，即3＜x≤10时，收费y＝a+（x﹣3）b＝bx+a ﹣3b（元）；大于10公里时，即x＞10时，收费y＝a+7×b+（x﹣10）c＝cx+a+7b﹣10c（元）．∴，21．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）．PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD于点N．（1）设AP＝x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）在△APM中，，；其中；在△MND中，，在△PMN中，，；（2）当时，PN最小，此时．因为在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，所以MN∥AC，又A1C1∥AC，∠PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，在△PMN中，∠PMN为直角，，所以，异面直线PN与A1C1所成角的大小．22．（16分）已知函数（其中a＞1）．（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断（其中m，n∈R且m+n≠0）的正负号，并说明理由；（3）若两个函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上恒满足|F（x）﹣G（x）|＞2，则称函数F（x）与G（x）在闭区间[p，q]上是分离的．试判断y＝f（x）的反函数y＝f﹣1（x）与g（x）＝a x在闭区间[1，2]上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．【解答】解：（1）∵，∴函数y＝f（x）的定义域为实数集R；又，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴函数y＝f（x）是奇函数．（2）∵a＞1，∴在[0，+∞）上递增，以下给出证明．证明：任取0≤x1＜x2，设，，则＝，∴0＜u1＜u2，即，．又为奇函数，∴f（﹣n）＝﹣f（n）且在（﹣∞，+∞）上递增．∴m+n＝m﹣（﹣n）与f（m）+f（n）＝f（m）﹣f（﹣n）同号，∴．∴当a＞1时，．（3）∵，x∈R，∴在区间[1，2]上恒成立，即，∴在区间[1，2]上恒成立，令a x＝t∵a＞1，a x＝t∈[a，a2]，在t∈[a，a2]递增，∴，解得；∴．23．（16分）在数列{a n}中，已知a2＝1，前n项和为S n，且．（其中n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求；（3）设，问是否存在正整数p、q（其中1＜p＜q），使得b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；否则，说明理由．【解答】解：（1）因为，①令n＝2，得，所以a1＝0；S n+1＝，②②﹣①，得（n﹣1）a n+1＝na n③，于是，na n+2＝（n+1）a n+1④，③+④，得na n+2+na n＝2na n+1，即a n+2+a n＝2a n+1，又a1＝0，a2＝1，a2﹣a1＝1，所以数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以a n＝n﹣1．（6分）（2）∵a n＝n﹣1，∴S n＝0+1+2+…+n﹣1＝＝，∴＝＝…（9分）（3）假设存在正整数p、q，使得b1，b p、b q成等比数列，则lgb1，lgb p、lgb q 成等差数列，故，（**）…（11分）由于右边大于，则，即．因为，所以数列为单调递减数列．…（14分）当p＝2时，，代入（**）式得，解得q＝3；当p≥3时，（舍）．综上得：满足条件的正整数组（p，q）为（2，3）．…（16分）。

2015届高中数学·二模汇编（专题：解析几何）2015届高中数学·二模汇编 解析几何一、填空题1.（2015崇明二模文6理6）设直线0132=++y x 和圆22230x y x +--=相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 ．2.（2015崇明二模文12理11）已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离等于 ．3. （2015奉贤二模文6理6）以抛物线x y 42=的焦点F 为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．4. （2015奉贤二模理11）关于x 的实系数一元二次方程2240x px -+=的两个虚根1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为__________．5. （2015奉贤二模文13）设12,F F 是曲线()0,012222>>=+n m ny m x 的两个焦点，曲线上一点与12,F F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则=n ____________．6. （2015虹口二模文8）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点在圆22(1)4x y -+=上，则p =________.7. （2015虹口二模理11文11）如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，且122F F =，若以坐标原点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B 两点，且2F AB ∆为正三角形，则双曲线的实轴长为__________.8.（2015虹口二模文13）已知直线1:125150l x y -+=和2:2,l x =-28P y x =点为抛物线上的动点，则1P l 点到直线2l 和直线的距离之和的最小值为_________.9．（2015黄浦二模文8理8）已知点(2,3)(1,4)A B --、，则直线AB 的点法向式方程是 ．10．（2015黄浦二模文9理9）已知抛物线216y x =的焦点与双曲线2221(0)12x y a a -=>的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是 ．11．（2015静安二模文9）圆22420x y x y +-+=的圆心到直线3430x y ++=的距离为 ． 12.（2015静安二模理9）过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的切线方程为 ．xy2F 1F A BO13.（2015闵行二模理11文11）斜率为22的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b +=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .14.（2015闵行二模理13）如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于O ：221x y +=， M 、N 分别为边AB 、BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时， PM ON ⋅的取值范围为 ．15．（2015浦东二模理6文6）已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为 ．16.（2015普陀二模理6文6）如图，若,66π∠=⋅=-OFB OF FB ，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 ．17．（2015徐汇二模理3文3）已知直线l 的一个法向量是()1,3n =-，则此直线的倾斜角的大小为 ． 18．（2015徐汇二模理14文14）对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)0(12)0(1:22x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是 ．19.（2015闸北二模文9理8）从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是____________．20．（2015长宁二模文2理2）抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________．二、选择题1. （2015虹口二模理17）如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥， BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是（ ）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分2. （2015虹口二模理18）已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点，O 为坐标原点，F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ，则222123S S S ++的值为 （ ）A.3B.4C.6D.9βαP BA DCABDy xCP NMO3．（2015浦东二模理17文17）若直线30ax by +-=与圆223x y +=没有公共点，设点P 的坐标(,)a b ，则过点P的一条直线与椭圆22143x y +=的公共点的个数为 ( ) )(A 0 )(B 1)(C 2 )(D 1或24．（2015长宁二模文17）设双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为 （ ）A ．x y 2±=B ．x y 2±=C ．x y 22±= D ．x y 21±=三、解答题1.（2015崇明二模理22文22）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点． （1）求椭圆的方程；（2）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（3）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2.（2015奉贤二模理21文21）平面直角坐标系中，点()0,2-A 、()0,2B ，平面内任意一点P 满足：直线PA 的斜率1k ，直线PB 的斜率2k ，4321-=k k ，点P 的轨迹为曲线1C ．双曲线2C 以曲线1C 的上下两顶点N M ,为顶点，Q 是双曲线2C 上不同于顶点的任意一点，直线QM 的斜率3k ，直线QN 的斜率4k ． （1）求曲线1C 的方程；(5分)（2）如果04321≥+k k k k ，分别求双曲线2C 的两条渐近线倾斜角的取值范围．(9分)(第22题图）F 2F1y xPQ O 3.（205虹口二模文22理22）已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=， O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由.4.（2015黄浦二模理23）已知点()12,0F -、()22,0F ，平面直角坐标系上的一个动点(),P x y 满足124PF PF +=，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆()22:31N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围； （3）已知点,A B 是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥（O 是坐标原点），试证明：直线AB 与某个定圆 恒相切，并写出定圆的方程．5.（2015黄浦二模文23）已知点12(2,0)(2,0)F F -、，平面直角坐标系上的一个动点(,)P x y 满足12||+||=4PF PF ．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）点M 是曲线C 上的任意一点，GH 为圆22:(3)1N x y -+=的任意一条直径，求MG MH ⋅的取值范围； （3）已知点A B 、是曲线C 上的两个动点，若OA OB ⊥(O 是坐标原点)，试证明：原点O 到直线AB 的距离是定值．6.（2015静安二模理22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积取最小值时， 求直线AB 的方程．7.（2015静安二模文22）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C 的方程为2218x y +=，设AB 是过椭圆C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若2MO OA =，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为(0)y kx k =>，当△AMB 面积为4147时， 求直线AB 的方程．8.（2015闵行二模理22）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足0MA MB ⋅=．（1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM △面积S 的最大值．9.（2015闵行二模文22）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)F x y r -+=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=．（1）求曲线C 的方程；（2）若A 的坐标为(2,0)-，求直线AB 和y 轴的交点N 的坐标；（3）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标．10．（2015浦东二模理22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线()222122222:10,0,x y a C a b a b bλλ-=>>+=，试问D 是否为定点？若是，求点D 的坐标；若不是，说明理由．11．（2015浦东二模文22）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于两点,A B ，与x 轴，y 轴分别交于D E 、两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．（1）已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值；（2）已知直线():11l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；（3）已知双曲线C ：1322=-y x ，621=+λλ，求点D 的坐标．11.（2015普陀二模理22文22）如图，射线OA OB 、所在的直线的方向向量分别是()()()121,1,0==->d k d k k 、，点P 在∠AOB 内，⊥PM OA 于M ，⊥PN OB 于N ．（1）若311,,22k P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1,∆P OMP 的面积为65，求k 的值； （3）已知k 为常数，M N 、的中点为T ，且1∆=MON S k， 当P 变化时，求动点T 的轨迹方程．22465NMPyxAOBS RPQDC BAO12.（2015年徐汇二模文21理21）用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS ，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点 为,C D ．已知梯形的高是40厘米，C D 、两点间的距离为40厘米．（1）求横梁AB 的长度;（2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）13.（2015年杨浦文23理23） 已知抛物线x y C 4:2=的焦点F ，线段PQ 为抛物线C 的一条弦. （1）若弦PQ 过焦点F ，求证：11FP FQ+为定值； （2）求证:x 轴的正半轴上存在定点M ，对过点M 的任意弦PQ ，都有2211MP MQ +为定值； （3）对于（2）中的点M 及弦PQ ，设PM MQ λ=，点N 在x 轴的负半轴上，且满足()NM NP NQ λ⊥-， 求N 点坐标.14.（2015年闸北二模文17理16）已知圆()221:18C x y ++=，点()21,0C ，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹W 方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2015长宁二模文22）已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的焦距为2，且椭圆C 的短轴的一个端点与左、右焦点1F 、2F构成等边三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设M 为椭圆上C 上任意一点，求21MF MF ⋅的最大值与最小值；（3）试问在x 轴上是否存在一点B ，使得对于椭圆上任意一点P ，P 到B 的距离与P 到直线4=x 的距离 之比为定值．若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由．16.（2015长宁二模理22）已知椭圆1:2222=+by a x C （0>>b a ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点B ),0(b ，过点B 且与2BF垂直的直线交x 轴负半轴于点D ，且→=+02221D F F F ．（1）求证：△21F BF 是等边三角形；（2）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线l ：033=--y x 相切，求椭圆C 的方程；（3）设过（2）中椭圆C 的右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于P 、Q 两点，M 是点P 关于x 轴的对称点．在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。