对比精彩课例 感悟数学教学——两堂“几类不同增长的函数模型”课的评析与反思

高中数学《几类不同增长的函数模型》说课稿一、教材分析《几类不同增长的函数模型》是高中数学课程中的重要内容之一。

该内容主要介绍了指数函数、幂函数和对数函数三种不同增长方式的函数模型。

在教学过程中，本节内容主要涉及以下几个方面：1.指数函数：介绍指数函数的基本概念，以及指数函数的图像、性质和应用。

2.幂函数：介绍幂函数的基本概念，以及幂函数的图像、性质和应用。

3.对数函数：介绍对数函数的基本概念，以及对数函数的图像、性质和应用。

4.三种函数模型的比较：通过对指数函数、幂函数和对数函数的增长方式的比较，使学生能够理解不同函数模型的特点和应用场景。

通过该节内容的学习，可以帮助学生深入理解函数与函数模型的概念，培养学生的数学思维和推理能力，为后续学习提供基础。

二、教学目标1.知识与技能：了解指数函数、幂函数和对数函数的定义、图像、性质和应用，能够运用所学知识分析和解决实际问题。

2.过程与方法：培养学生的观察能力和数学建模能力，引导学生发现问题、分析问题、解决问题的方法。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和热爱，培养学生合作意识和探究精神。

三、教学重难点1.教学重点：指数函数、幂函数和对数函数的定义、图像、性质和应用。

2.教学难点：如何引导学生理解不同函数模型的特点和应用场景。

四、教学过程1. 导入引入（5分钟）首先，引入本节课的主题，通过一个生活案例，让学生了解函数与函数模型的重要性。

例如：假设有一个人的财富增长的速度可以用一个函数来表示，让学生思考财富增长速度与人们的人生选择有怎样的关系。

2. 知识讲解与示例分析（25分钟）2.1 指数函数首先，介绍指数函数的定义和图像，并通过一些具体的例子，让学生理解指数函数的性质和应用。

例如：讲解指数函数的增长趋势和应用于科学计算领域的案例。

2.2 幂函数然后，介绍幂函数的定义和图像，并通过一些实际问题的分析，让学生理解幂函数的性质和应用。

例如：讲解幂函数在物理学、化学等领域中的应用。

“几类不同增长的函数模型教学案例分析摘要：新人教教材编写时很注重体现知识的呈现、发展过程，让学生能够在教师指导下利用教材进行探究性的学习，培养学生的创新精神和探索能力。

在近一年的探究式教学开展过程中有很多的体会，以“几类不同增长的函数模型”为例，对探究性教学实施做了一些总结、反思，为以后的教学提供了方向。

关键词：几类不同增长的函数模型；教学案例；探究性教学今年，我们教研组承担了省教育学院的科研课题《数学课堂教学中学生探究能力的培养》，我在任教的高一七、八班做了对比教学，在七班进行传统的“讲授式”教学，在八班进行“探究式”教学。

我校学生的入学成绩相当于普通高中三类校水平，在此基础上又把高分考生编成一个宏志班，高一七、八班是普通平行班，学生的学习基础、态度、能力等方面差异不明显，均在同类学生中处于中下水平。

【教学过程与操作设计】创设情境：PPT展示材料：澳大利亚兔子数“爆炸”。

提出问题：为什么在短短几十年，兔子数会增长得如此迅猛，如何用相关知识来说明呢？在学习了本课之后这个问题就迎刃而解了。

设计意图：创设问题情境，以有趣的问题引入激起学生的热情，使课堂中的有效思维增强。

案例1：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0。

4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案？问题探究：（1）在本例中每种方案涉及哪些数量关系？如何用函数来描述这些数量关系？（2）建立函数模型以后，应该选择哪种方案呢？从哪个角度进行分析？（3）列表，根据表中的数据，你对三种方案表现出的回报资金的增长差异有什么认识？（4）描点、连线，利用图象描述一下三种方案的发展趋势，体会不同函数的增长特点。

（5）根据以上分析，你认为该如何做出选择？（6）你能根据本例体会函数思想的实际应用吗？体会不同函数的增长差异吗？设计意图：引导学生分析数量关系，并确定合适的函数模型。

高中数学必修一《几类不用增长的函数模型》名师教案及教学反思高中数学必修一《几类不用增长的函数模型》名师教案及教学反思高中数学必修一《几类不用增长的函数模型》教学设计一、教学内容与内容解析几类不同增长的函数模型是必修1第三章“函数的应用”的重要内容.它比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异,并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.对于函数增长的比较分为三个层次：（1）以实例为载体让学生切实感受不同函数模型的增长差异；（2）采用图、表两种方法比较三个函数（22,2,logxyxyyx===）的增长差异；（3）将结论推广到一般的指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异.其中（1）为第一课时的内容,（2）、（3）为第二课时的内容.学生在本节内容学习之前,已经有了指数函数、对数函数以及幂函数的相关知识,在这里进一步研究几类不同增长的函数模型的增长差异有着承上启下的作用.让学生在应用函数模型的过程中,体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点与差异,同时将感受到的这种差异应用在后续的函数模型实例中.二、教学目标与目标解析1．教学目标：（1）借助信息技术,利用函数图像及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异.（2）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.（3）恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）,并借助信息技术解决一些实际问题.（4）在实际问题解决过程中,体会数学的作用与价值,形成分析问题、解决问题的能力.2.教学目标解析：目标（1）、（2）是教学的重点,落实好目标（1）、（2）是实现教学目标（3）、（4）的前提与保证.落实目标（1）、（2）的过程中可以创设问题情景,并通过层层递进的问题串,让学生在不断观察、思考和探究的过程中,弄清几个函数间的增长差异,并培养分析问题、解决问题的能力,实现目标（4）.目标（3）要求“恰当运用”对于学生初学时是不易达到的目标,教学时通过学生自主探究,相互交流,教师适时提问引导,合作完成.另外利用信息技术工具,就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异．还使学生接触到更多的数学知识和思想方法.三、教学问题诊断分析2诊断１:本课中,学生对指数爆炸的认识缺乏一定的基础,本课先让学生利用表格读表,并在分析表格的过程中发现要分析增加量,通过数据对指数爆炸有了一种感性认识,再结合图像分析,从感性认识上升到理性认识,实现自我完善.诊断２：在公司奖励模型问题的解决过程中,教材中对判断模型二1log7+=xy是否满足约束条件7log10.25xx+≤是采用了“构造函数的思想方法”,我认为就高一年级学生而言,这种处理方法在理解上会有困难,所以宜采用两种方法进行求解：方法一,利用数形结合,学生能很直观地感受xy25.0=在图像1log7+=xy的上方；有此基础后,再讲解方法二,即“构造函数的思想方法”,通过板书详细分析这一过程,帮助学生对“构造函数的思想方法”留下一个美好又深刻的第一印象.诊断３:本节课教学的内容为教材中的例１、例２,为了激发学生的学习兴趣,并保障课堂的连续性,设计了“大学生自主创业情境”、“公司奖励情境”,可将例题的题意较好地表达出来,并符合学生的认知规律.诊断４:学生在学习时,可能会因更多地关注解决数学计算问题而忽略数学思想的提炼,这个教学问题的解决,需要教师有目的地进行引导.四、教学支持条件１.在进行几类不同增长的函数模型的教学时,学生已经学习了函数概念、表示法及性质,指数函数、对数函数以及幂函数的相关知识,这些内容是学生分析不同函数增长差异的重要条件,因此教学时应予以充分注意,引导学生多进行归纳与概括.２．为了能很好地帮助学生理解、反思学习内容,体会新学知识的要点,教学中需要用函数表格、图象来帮助学生理解分析问题,所以ppt和几何画板是重要的支持条件.教学时充分注意这一条件,不仅可以加强几何直观,节省大量时间用于学生思考,而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分析．五、教学设计过程：1.创设情景引入课题[问题1]在日常生活中,增长的话题比比皆是,而我们学过的函数中有没有呈增长态势发展的呢？如果都是增长型函数,那么它们增长的态势是否都一样呢？设计意图：通过提问比较自然地引导学生给出一次函数、指数函数、对数函数、幂函数,同时开门见山,直击主题“增长”,自然引出课题.师生活动：教师提问,学生回答,相互补充,教师点评并板书课题：几类不同增长的函数模型.2.组织引导合作探究同学们,现在越来越多的大学生毕业以后选择了自主创业,将来你们中的一些也可能会办公司,做老板.现在给大家一个模拟的投资情境.案例假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番．请问,你会选择哪种投资方案？[问题2]你会选择哪种投资方案？选择投资方案的依据是什么？请用数学语言呈现你的理由.设计意图：提此问题让学生先选择好解题的依据,是每天回报量还是累计回报量？还让学生找出问题中的数量关系,也就是函数关系.师生活动：(1)教师提问,通过学生讨论,具体计算后让学生说说自己会选择哪种投资方案？选择投资方案的依据是什么？用怎样的方式表达数量关系?学生1：选择累计回报量,用函数解析式表达数量关系；学生2：选择累计回报量,直接用函数图像表达数量关系；学生3：选择每天回报量,先写出函数解析式再用列表的方式表达.(2)教师针对学生的回答,点评指出：选择投资方案的依据是累计回报量,但为了看累计回报量,可以先看每天回报量；另外,用解析式、表格及图像三种方式表达数量关系均可,但表达的同时有所区别：解析式较抽象,图表较直观.(3)教师引导,学生参与并利用计算器得出：1.函数解析式；2.每天回报表；3.结论[问题３]每天回报表（表１）中“…”部分仍是方案三最大吗？设计意图：开始切入主题,通过引导使学生体会到表格中每一列数据增长的速度是不同的,从而使学生关注增加量,列出增加量,引出表２,同时也为累计回报量与每天回报量之间的关系埋下伏笔,进而培养学生分析解决数学问题的能力.4(1)学生思考并回答:我发现到第９天的时候,方案三最多,那么只要方案三数据的增长最快或者说增加量最多,即可解决这一问题.(2)教师适时给出表２,师生共同补充完整表格,让学生初步体会各种函数增长的差异.[问题４]你能根据表２中增加量的数据,概括出这几种常见函数的增长特点吗?设计意图：进一步引导学生关注增加量,感受增长差异,尤其是对“指数爆炸”含义的理解；在与学生交流和解决问题的过程中,使学生体会函数列表法的优点.师生活动：学生回答,教师加以完善.几种常见函数的增长特点：常数函数没有增长,一次函数匀速增长,指数函数爆炸增长.[问题５]通过表格比较了每天回报量的大小,得出相应结论,但这一案例解决完整了吗?设计意图：虽然本节课的主题是研究“增长”,但必须要回归问题本身,选择一个最佳的投资方案.师生活动：教师利用幻灯片快速给出累计回报表(表３),学生根据表3得出相应结论.[问题６]通过列表法己经得出案例的结论及对常见函数增长特点的初步体会,能否通过图像法来进一步认识？请大家画出这三个函数的图像？并根据图像说明结论与增长特点？设计意图：本节课的主要教学任务就是要体会几类不同函数的增长差异.让学生自己去概括总结出从图像上直观体会到的增长特点是本节课的一个重要环节,也作为一种完整的小结.与此同时,5学生良好的画图习惯,遵循列表、描点、连线画图三步骤,以及对函数定义域的关注,从中还能体会到数形结合思想是数学解题的一个重要的思想方法.(1)学生画图,教师纠错得出（图1）:1.函数图像为什么是孤立点？（定义域为N）2.为什么用光滑的虚线连接？（方便看增长趋势）(2)教师用多媒体动画演示连接孤立的点.学生１通过图像得出案例结论:学生２通过图像用不同的语言概括增长特点:常数函数保持不变,一次函数直线上升,指数函数指数爆炸.过渡语:现在你已经建好了公司,公司寻求回报,你的员工也要寻求回报.为了激励员工,你需要对他们实行奖励,你制定了这样一个公司奖励模型.公司奖励模型问题:图1你的公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y（单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加,但奖金不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：xy25.0=1log7+=xyxy002.1=．其中哪个模型能符合公司的要求？[问题７]大家认真审题,能否用数学符号语言将公司的要求（或条件）描述出来?设计意图：解决实际问题的第一步就是审题,并将之数学化.在此更进一步培养学生解决实际问题的能力.师生活动：个别学生回答,教师在黑板上列出：条件1：[10,1000]x∈；条件2：5y≤；条件3：0.25yx≤；条件４：增函数.[问题８]我们可以如何验证5y≤?设计意图：引导学生如何利用题目条件,从数和形两方面解决数学问题,既巩固应用前面学到的数学方法,又为下面问题的解决提供方向.师生活动：学生思考并个别回答：学生１：根据条件４：增函数,只需验证当1000x=时,5y≤即可,通过计算发现：xy25.0=、xy002.1=都不符,1log7+=xy符合.学生２：通过图像直观观察得出.[问题９]如何验证7log10.25xx+≤?设计意图：在7log10.25xx+≤的验证过程中,始终不脱离本课主题,回归到函数的“增长特征”上去,并充分体现数形结合、构造函数的思想方法.6师生活动:学生思考并个别回答,教师适时提问：(1)学生１:将图像放大后观察函数1log7+=xy与xy25.0=的图像,发现在[10,1000]x∈都(2)在教师的引导下,学生２加以补充．学生２：只需将10x=代入计算,是符合条件的；再结合图像发现直线的增长比对数函数快,对数函数增长较为平缓．所以[10,1000]x∈都满足.(3)教师根据以上学生回答板书方法一：数形结合法令10.25yx=,27log1yx=+当10x=时10.25102.5,y=⨯=27log1010y=+,127771.5log10loglog0yy-=-=>12yy∴>给合图(2)得7log10.25xx+≤对[10,1000]x∈恒成立图2并通过几何画板动画演示BC=12yy-的变化情况,引导学生构造函数.(4)学生三回答,教师继续板书方法二：构造函数法令7()0.25log1,[10,1000]Fxxxx=--∈由图(3)得7()0.25log1Fxxx=--在[10,1000]x∈上单调递增.所以()(10)FxF≤,即7log10.25xx+≤对[10,1000]x∈恒成立图33．总结反思归纳提升[问题１０]通过本节课的学习,你有哪些收获？请你对本节课作一总结.设计意图：归纳总结本节内容.师生活动：学生思考交流,教师帮助总结以下内容：（1）知识：对函数的性质有了解：我们体会到同是增长型函数,但其增长差异却很大:：常数函数没有增长,一次函数直线上升,指数函数爆炸增长,对数函数平缓增长.（2）方法：建模的思想,数形结合思想,构造函数思想等等.六、目标检测设计1.教科书P98,练习１、２7设计意图：让学生巩固函数增长特征这一知识点.2.探究题：请利用计算器或计算机从图、表两方面对函数222,,logxyyxyx===的增长差异进行比较.设计意图:：引出下一课时内容,为下面研究一般指数、对数、幂函数的增长差异奠定了探究的方向.七、教学体会与反思(1)数学问题解决教学应该从创设问题情景开始，本设计的情境创设比较成功.“日常生活中，增长的话题比比皆是，而我们学过的函数中有没有呈增长态势发展的呢？如果都是增长型函数，那么它们增长的态势是否都一样呢？”短短几句话，不但交代了本课的研究主题，而且比较自然地引导学生引出一次函数、指数函数、对数函数、幂函数，开门见山，直击“增长”.实际教学中大多以真实的或虚拟的“生活化”材料为载体创设教学情境，如用教材章头图中的兔子问题或其它情景作为素材,以迎合“能让学生体会到数学源于生活，增长学生的应用意识”，注重“数学教育应该与现实生活密切联系”这一现代教学理念.本课的教学内容是通过两个实际问题解决，让学生体会几类不同类型的函数增长的差异，执教教师就地取材，将书本中的例1为素材得到了一个虚拟的“生活化”材料，教学过程中不但自然地出示了例1，而且激发学生的学习和解决问题的兴趣，为学生的观察、归纳、猜想和证明提供了基础.(2)问题的解决围绕着“弄清问题—拟定计划—实现计划—回顾”进行教学，教学中充分发挥了学生的主体作用.在例题教学中既有动手操作的实践活动，又有动脑思考和数学思维活动.例1的教学过程中，抓隹关键词“回报”，从不同的角度看待回报，让学生辨别“每天回报量”、“累计回报量”；从函数表达的三种不同形式入手，建立函数模型，让学生经历从解析式到表格、图象的全过程.在这个过程中，让学生感受到图表的直观，解析式的抽象.在求累计回报量时，由于学生不会求等比数列的和，选取对函数模型列表计算作出判断和选择，处理有详有略，让学生体会到了常数函数、一次函数与指数型函数的增长差异.例2中在判断是否满足“约束条件7log10.25xx+≤”时，考虑到教课书上介绍的构造函数法学生理解比较困难，教师先用利用数形结合，学生能很直观地感受xy25.0=在图像1log7+=xy的上方，有此基础后，再讲解方法二，即“构造函数法”，通过板书详细分析求解过程，帮助学生对“构造函数法”的理解，给学生留下一个深刻的印象.整个例2教学让学生经历了观察、归纳、猜想、证明的完整过程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.商讨之处：(1)教学内容不能只局限于课本中两个例题,要适当进行拓展延伸,不仅巩固新知,而且让学生感觉数学是有用的,数学就在我们身边.如果对例2进行拓展延伸，效果更佳.如:为了实现1000万元利润的目标，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加,要求如下：10万～50万，奖金不超过2万；50万～200万,奖金不超过4万；200万～1000万,奖金不超过20万.请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案.（四人团队合作完成）(2)更加重视与学生合作交流,让学生自己动手操作.例如,原设计中[案例]的列表画图过程,教师可事前设计好两张表格(日回报表和累计回报表)及坐标系,在课堂上由学生两人小组合作完成,再让学生分析表格和图像有哪些区别,既培养学生分析问题、解决问题的能力,又提高了整个课堂的教学效率.(3)更加重视信息技术对课堂教学的作用.例如,原设计中[案例]的图像分析过程,可利用几何画y的变化情况，使教学过程更加生动，从而调动学生的学习积极板动点演示三条曲线的增长快慢和性,更直观地体会到三个函数模型的增长差异.。

3.2.1几类不同增长的函数模型<第一课时）一．内容和内容解读本节是高中数学必修1<人教A版）第三章《函数的应用》的起始课．该课将经历运用和选择函数模型解决实际问题的过程，从而认识在同为增函数的函数模型中，各种函数存在增长的差异；理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义；认识研究函数增长<衰减）差异的方法；感受数学建模的思想．b5E2RGbCAP对不同函数模型在增长差异上的研究，教材围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点．p1EanqFDPw教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明不同函数类型增长的含义．DXDiTa9E3d在必修1前两章，教材安排了函数的性质以及基本初等函数．本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此，从内容上看，本节课是对前面所学习的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲，是对研究函数的方法的进一步巩固和深化，同时，也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础，．因此本节内容，既是第二章基本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的基础，起着承前启后的作用.RTCrpUDGiT本节内容所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；在解决问题过程中函数与方程的思想．5PCzVD7HxA二．目标和目标解读本节课的教案任务为：<1）创设一个投资方案的问题情境，让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象和性质，体会直线上升和指数爆炸；jLBHrnAILg<2）创设一个选择奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会对数增长模型的特点；<3）通过建立和运用函数基本模型，让学生初步体验数学建模的基本思想，发展学生的创新意识和数学应用意识.xHAQX74J0X 根据内容解读和教案任务，本节课的教案目标确定为：<1）通过实例的解决，运用函数表格、图象，比较一次函数、指数型函数以及对数函数模型等的增长，认识它们的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义；LDAYtRyKfE<2）通过恰当地运用函数的三种表示方法<解读法、列表法、图象法），表达实际问题中的函数关系的操作，认识函数问题的研究方法：观察—归纳—猜想—证明；Zzz6ZB2Ltk<3）经历建立和运用函数基本模型的过程，初步体验数学建模的基本思想，体会数学的作用与价值，培养分析问题、解决问题的能力.dvzfvkwMI1这部分内容教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为主线，以几个重要的函数模型为对象，将前面已经学习过的内容以及处理问题的思想方法紧密结合起来，使之成为一个整体．因此教案中应当注意贯彻教材的设计意图，让学生经历函数模型应用的全过程，能在这一过程中认识不同增长的差异，认识知晓函数增长差异的作用，认识研究差异的思想方法．rqyn14ZNXI结合以上分析本节课的教案重点为：将实际问题转化为数学模型，在比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义．EmxvxOtOco三．教案问题诊断学生在前面已学过函数概念、指数函数、对数函数、幂函数，但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化复杂，这就使得学生在研究过程中可能遇到困难．因此本节课教案难点确定为：如何结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，以及如何利用这种增长差异来解决一些实际问题．SixE2yXPq5为了解决这一难点，教科书分三个步骤，创设问题情境，并通过恰点恰时而又层层递进的问题串，让学生在不断的观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题解决问题的能力．第一步，教科书先创设了一个选择投资方案的问题情境，在解决问题的过程中给出了解读式、数表和图象三种表示，然后提出了三个思考问题，让学生一方面从中体会直线上升和指数爆炸，另一方面也学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分析．第二步，教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会到对数增长模型的特点．第三步，教科书提出了三种函数存在怎样的增长差异的问题．先让学生从不同角度观察指数函数和幂函数的增长图象，从中体会二者的差异；再通过两个探究问题，让学生对幂函数和对数函数的增长差异，以及三种函数的衰减情况进行自主探究．这样的安排内容上层次分明，可以引导学生从不同的方面积极地开展观察、思考和探究活动，对典型的问题，多视点宽角度地进行了研究．对学生分析问题、解决问题能力的培养将有积极的推动．由于本节内容比较丰富，而且研究问题的方法和途径也比较多，所以本节课我们只能重点解决其中的前两个问题．6ewMyirQFL四．教案支持条件分析要让学生较为全面地体会函数模型的思想，特别是本节例题中用函数模型研究实际问题有许多数据、图象等方面处理上的困难，而利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异．这样，就使学生有机会接触到一些过去难以接触到的数学知识和思想方法．因此在本节内容教案的处理上，通过学生收集数据并建立函数模型，利用计算器和计算机，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．kavU42VRUs五．教案过程设计一、创设情境，引入课题1.介绍第三章章头图，提出问题．问题1：澳大利亚的兔子为什么能在短短的几十年中由5只发展到5亿只？澳大利亚兔子的急剧增长反映了自然界中一种增长现象：指数增长.问题2：在生活中，你还能举出其它增长的例子吗？2.在学生回答问题的基础上引出各种不同类型的函数增长模型．3.揭示课题：几类不同增长的函数模型．【设计意图】运用章头图，形成问题情境，产生应用函数的需要，激发学生的学习愿望．二、分析问题，建立模型<一）提出问题例1．假如你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问：你会选择哪种投资方式？<二）分析问题1.引导审题，抓住关键词“回报”问题3：你选择的是什么样的回报？怎样比较回报资金的大小？从解决问题的角度看：<1）比较三种方案的每日回报；<2）比较三种方案在若干天内的累计回报.2.引导分析数量关系，建立函数模型仅从日回报的角度引导学生根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解读式.【设计意图】引发学生思考，经历建立函数基本模型的过程．【备注】累计回报的本质是数列求和问题，由于学生目前的知识储备还不够，现在仅限于通过对函数模型通过列表计算、图象观察来作出判断和选择.y6v3ALoS89三、组织探究，感性体验1.教师提出问题问题4：你会选择哪种投资方案？请用数学语言呈现你的理由．2.学生分组操作，比较不同增长从解决问题的方式上：<1）用列表方法来比较；<2）画出函数图象来分析.【设计意图】保成学生合作探究、动手实践，能借助计算器，利用数据表格、函数图象对三种模型进行比较、分析，初步感受直线上升和指数爆炸的意义，初步体验研究函数增长差异的方法．M2ub6vSTnP四、成果交流，阶段小结<一）学生交流让学生交流小组探究的成果<表格、图象、结论）<二）师生互动1.阅读教材上例题解答中的数据表格与图象<突出散点图），引导学生关注增长量，感受增长差异．2.通过教师多媒体动态演示，让学生进一步体会增长差异．在不同的函数模型下，虽然都有增长，但增长态势各具特点．他们的增长不在同一个“档次”上，当自变量变得很大时，指数型函数比一次函数增长的速度要快得多．0YujCfmUCw <三）归纳小结1.通过教师的小结，增强学生对增长差异的认识．常数函数<没有增长），直线上升<匀速增长），指数爆炸<急剧增长）．2.上述问题的解决，是通过考虑其中的数量关系，把它抽象概括成一个函数问题，用解读式、数据表格、图象这三种函数的表达形式来研究的．eUts8ZQVRd【设计意图】分享学生成果，达到生生互动、师生互动；借助多媒体展示，帮助学生理解不同增长的函数模型的增长差异，并且初步体验数学建模的基本思想，认识函数问题的研究方法．sQsAEJkW5T五、深入探究，理性分析<一）提出问题例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金<单位：万元）随销售利润<单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：．其中哪个模型能符合公司的要求？GMsIasNXkA<二）引导分析问题5：你能立刻做出选择吗？选择的依据是什么？问题6：公司的要求到底意味着怎样的数学关系？问题7：我们提供的三个增长型函数哪一个符合限制条件？<三）解决问题1.通过多媒体演示，发现增长差异；2.结合限制条件，初步作出选择；3.通过计算，进一步确认，验证所得结论；4.体会对数增长模型的增长特征：当自变量变得很大时平缓增长；5.揭示函数问题的研究方法<观察—归纳—猜想—证明）．【设计意图】让学生在观察和探究的过程中，学会理性分析，体会对数增长模型的特点．【备注】对判断模型二是否满足限制条件“”，考虑到学生现在知识储备和接受水平，只能采用了直观教案，通过构造新函数，观察新函数的图象来解决<因为该函数单调性的判定，必须运用高二数学中的导数知识与方法才能解决）．TIrRGchYzg六、拓展延伸，创新设计这个奖励方案实施以后，立刻调动了员工的积极性，企业发展蒸蒸日上，但随着时间的推移，又出现了新的问题，员工缺乏创造高销售额的积极性.7EqZcWLZNX问题8：我们的奖励方案有什么弊端？问题9：你能否设计出更合理的奖励模型？【创新设计】为了实现1000万元利润的目标，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元>随着销售利润x (单位：万元>的增加而增加,要求如下：lzq7IGf02E 10万～ 50万，奖金不超过2万；50万～ 200万，奖金不超过4万；200万～ 1000万，奖金不超过20万．请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案．<四人一组，合作完成）zvpgeqJ1hk 【设计意图】设计开放性问题对例2拓展延伸，既检测了学生对几类不同模型增长差异的掌握情况，又鼓励学生学以致用，用以致优，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．NrpoJac3v1七、归纳总结，提炼升华问题10：通过本节课的学习，你有哪些收获？请你从知识、方法、思想方面作一个小结．1.知识：对函数的性质有了进一步的了解，我们体会到同是增长型函数，但其增长差异却很大：常数函数<没有增长）；一次函数<直线上升）；指数函数<爆炸增长）；对数函数<平缓增长）．1nowfTG4KI2.方法：函数有三种表示方法<解读法、列表法、图象法）；函数问题的一般研究方法<观察—归纳—猜想—证明）fjnFLDa5Zo3.思想：两个例题都体现了数学建模的思想，即把实际问题数学化：面对实际问题，我们要读懂问题，运用所学知识，将其转化成数学模型，最终得到实际问题的解. tfnNhnE6e5【设计意图】理解几类不同增长的函数模型的增长差异，提炼数学思想方法，认识数学的应用价值．八、布置作业，巩固提高1.课本98页课后练习1，2；课本107页习题3.2<A组）第1题；2.收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用．HbmVN777sL【设计意图】进一步体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述；培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用价值.V7l4jRB8Hs申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

3.2.1 几类不同增长的函数模型●三维目标1．知识与技能在掌握好函数基本性质的前提下，使学生探求函数在实际中的应用，并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题．2．过程与方法(1)培养学生应用数学的意识分析问题、解决问题的能力；(2)培养学生的综合实践和自主学习的能力．3．情感、态度与价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，认识事物之间的普遍联系与相互转化，在实践研究中，培养学生的创新精神，团结协作精神，激发学生学习数学的兴趣．二、重点与难点重点：将实际问题转化为函数模型，训练学生通过实践探求函数在实际中的应用．难点：怎样选择适当的数学模型分析解决实际问题．重难点突破：主要利用信息技术从图、表两方面对知识讲解．首先对具体函数y＝2x，y ＝x2，y＝log2x的增长的差异性进行比较．在比较函数y＝2x，y＝x2的增长的差异性时，分别选择了三个不同的步长进行研究，这样就更能反映了这两类函数的增长的特点，在教学时要让学生体会到为什么要选择三种不同的步长加以研究，能让学生在解决具体问题时可以针对不同的情况进行合理的选择．在比较幂函数与对数函数的增长的差异性时可利用类比的方法．然后将结论推广到一般的指数函数y＝a x(a＞1)、对数函数y＝log a x(a＞1)、幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)的增长的差异性，即存在一个x0，当x＞x0时，a x＞x n＞log a x，充分体现了“指数爆炸”、“直线上升”、“对数增长”的特点．整个过程向学生渗透从具体到一般、数形结合的数学思想方法，培养学生全面分析问题、解决问题的能力．【问题导思】函数y＝2x，y＝log2x及y＝x2的图象如图所示.1．当x∈(2,4)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？【提示】y＝x2.2．当x∈(4，＋∞)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？【提示】y＝2x.3．是否存在一个x0，使x>x0时恒有2x>x2>log2x成立？【提示】存在．1．三种函数模型的性质(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a x(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有log a x<x n<a x.【思路探究】解答本题的关键是在同一坐标系中画出它们的图象，结合图象说明它们的增长情况．【自主解答】分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图，从图象上可以看出函数y＝0.5e x－2的图象首先超过了函数y＝ln(x＋1)的图象，然后又超过了y＝x2－1的图象，即存在一个满足0.5e x0－2＝x20－1的x0，当x>x0时，ln(x＋1)<x2－1<0.5e x－2.规律方法1．判断不同函数增长模型的差异有两种方法，一是根据图象判断，二是根据函数的变化量的情况判断．2．三种函数模型的表达形式及其增长特点(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，c，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．变式训练三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2【解析】通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.【答案】 C，例B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2012)，g(2012)的大小．【思路探究】根据指数函数、幂函数增长差异进行判断．【自主解答】(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<6<x2,2012>x2.从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2012)>g(2012)．又∵g(2012)>g(6)，∴f(2012)>g(2012)>g(6)>f(6)．规律方法1．解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”、“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的．2．体会数形结合思想，明确图形是函数关系的直观反映．互动探究本例中若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a、b的值，并说明理由．【解】a＝1，b＝9.理由如下：令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，则x1，x2为函数φ(x)的零点，由于φ(x)在[1,13]上为连续函数，φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，所以函数φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，因此a＝1，b＝9.例3案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？【思路探究】作出函数图象→观察图象得到结论【自主解答】借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x 的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．规律方法不同的函数增长模型描述增长速度的差异：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．变式训练某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )A ．B ，A ，C B ．A ，C ，B C ．A ，B ，CD ．C ，A ，B【解析】 A 种债券的收益是每100元收益3元；B 种债券的利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为100×⎝⎛⎭⎫1＋51.4－50502≈105.68(元)，收益为5.68元；C 种债券的利率为100－9797，100元一年到期的本息和为100⎝⎛⎭⎫1＋100－9797≈103.09(元)，收益为3.09元． 【答案】 B数形结合思想在函数中的应用典例 (12分)电信局为了配合客户的不同需要，现设计A ，B 两种优惠方案，这两种方案的应付电话费y (元)与通话时间x (分钟)之间的关系如图3－2－2所示(实线部分)．(注：图中MN ∥CD )图3－2－2(1)若通话时间为2小时，则按方案A ，B 各付话费多少元？ (2)方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案B 才会比方案A 优惠？【思路点拨】 两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．【规范解答】 由图可知M (60,98)，N (500,230)，C (500，168)，MN ∥CD .1分 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为f A (x )，f B (x )， 则f A (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 310x ＋x ，f B (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 310x ＋x 3分(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元.4分 (2)因为f B (n ＋1)－f B (n )＝310(n ＋1)＋18－310n －18＝0.3(n >500)，6分所以方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元.7分 (3)由图可知，当0≤x ≤60时，有f A (x )<f B (x )． 当x >500时，f A (x )>f B (x ).9分当60<x ≤500时，168＝310x ＋80，解得x ＝8803.当60<x <8803时，f B (x )>f A (x )；当8803≤x ≤500时，f A (x )>f B (x ).11分即当通话时间在⎝⎛⎭⎫8803，＋∞时，方案B 才会比方案A 优惠.12分 思维启迪1．对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．2．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．课堂小结1．直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线y ＝kx ＋b (k ≥0)、指数函数y ＝a x (a >1)、对数函数y ＝log b x (b >1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．2．函数模型选取的择优意识解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．3．要注意化归思想和数形结合思想的运用．当堂检测1．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝1 B ．y ＝x C ．y ＝3xD ．y ＝log 3x【解析】 结合函数y ＝1，y ＝x ，y ＝3x 及y ＝log 3x 的图象可知，随着x 的增大，增长速度最快的是y ＝3x .【答案】 C2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用()A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数【解析】结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D.【答案】 D3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：【解析】指数型函数呈“爆炸式”增长．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.【答案】y24．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图3－2－3所示．图3－2－3(1)试根据函数增长差异找出曲线C1，C2对应的函数；(2)比较函数增长差异〔以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较〕．【解】(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x).课后检测一、选择题1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是() A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x【解析】显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.【答案】 D2．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图3－2－4所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是()图3－2－4A．310元B．300元C．290 D．280元【解析】由射线线经过点(1,800)，(2,1 300)得其解析式为y＝500x＋300(x≥0)，∴当x＝0时，y＝300.【答案】 B3．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是()【解析】 观察图象A ，体温逐渐降低，不合题意；图象B 不能反映“下午体温又开始上升”；图象D 不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”．故选C.【答案】 C4．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．2x >x 12>lg xB ．2x >lg x >x 12C ．x 12>2x >lg xD ．lg x >x 12>2x【解析】 如图所示，由图可知当x ∈(0,1)时，2x >x 12>lg x .【答案】 A5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y (万公顷)关于年数x (年)的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110x2＋2xC．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x 【解析】取x＝1,2,3代入各选项函数解析式中检验即可．【答案】 C二、填空题6．函数y＝2x与函数y＝x2的图象共有________个交点．【解析】如图所示，函数y＝2x与函数y＝x2的图象共有3个交点．【答案】 37．若a>1，n>0，那么当x足够大时，a x，x n，log a x的大小关系是________．【解析】由三种函数的增长特点可知，当x足够大时，总有log a x<x n<a x.【答案】log a x<x n<a x8．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图3－2－5所示．现给出下列说法：图3－2－5①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．其中正确的说法是________．(填序号)【解析】因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．【答案】②④三、解答题9．画出函数f (x )＝x 与函数g (x )＝14x 2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．【解】 函数f (x )与g (x )的图象如下．根据图象易得：当0≤x <4时，f (x )>g (x )；当x ＝4时，f (x )＝g (x )；当x >4时，f (x )<g (x )．10．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费y 1(元)、y 2(元)的关系分别如图3－2－6(1)、图(2)所示．图(1) 图(2)图3－2－6(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜．【解】 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30,35)，C (30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12. ∴y 1＝15x ＋29(x ≥0)，y 2＝12x (x ≥0)． (2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623. 当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623时，y 1>y 2，即便民卡便宜； 当x >9623时，y 1<y 2，即如意卡便宜． 11．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6 000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？【解】 设工厂生产x 件产品时，依方案一的利润为y 1，依方案二的利润为y 2，由题意知y 1＝(50－25)x －2×0.5x －30 000＝24x －30 000，y 2＝(50－25)x －14×0.5x ＝18x .(1)当x ＝3 000时，y 1＝42 000，y 2＝54 000，∵y 1<y 2，∴应选择方案二处理污水．(2)当x ＝6 000时，y 1＝114 000，y 2＝108 000，∵y 1>y 2，∴应选择方案一处理污水.。

几类不同增长的函数模型评课稿对王老师这堂课用“四个体”概括：一．例子近体老师在上课时，不拘泥于书本上仅有的例子，“不走寻常路”，（笑声）而是在吃透教材的前提下选取来源于学生身边的实际问题，符合“近体原则”。

学生感到很亲切，从而调动了学习的兴趣。

这样不仅有利于知识的掌握，也达到了学以致用之目的。

二．语言得体在整节课中，王老师时而激情高昂，时而语调舒缓，不把语调停在一个节奏上，不使学生产生疲倦。

尤其是插入几句幽默的话语，比如：“给点掌声”，（掌声）“你的团队认可你的曲线才好算”，“这个最不好玩了”，“不仅看到眼前还能看到未来”，“澳大利亚的兔子”等。

（笑声）学生在会心一笑中冲走了数学的枯燥与单调。

把数学课上得让学生愁眉苦脸是很容易的，上得让学生哈哈大笑是很不容易的。

（笑声）三．内容展示用多媒体（略）四．体现以学生为主体从一开始的画图到合作交流活动，再到归纳总结与作业，如：老师希望你们成为“分析家、预测家、小作家”，研究性问题等，整节课始终贯穿着学生为主体这条线。

五．值得商榷的问题（略）。

《方程的根与函数的零点》听了陈老师的课，清新、自然、洒脱的气息扑面而来，于是我产生了顿悟：哦，原来数学可以更美的！（笑声）原来数学课可以更美的！有哪些美呢?一．女性美甜美的笑容，和蔼的态度，亲切的语言，特别是在最后我们拍手致谢时含羞的一笑，简直就是一朵女人花嘛！（笑声）不由得让我想起徐志摩的一句诗：“最是那一低头的温柔，像一朵水莲花不胜凉风的娇羞”！充分散发着女性美。

（笑声）二．数学美这节课从数到形，从形到数，数形结合又相互转化，学生从怀疑到肯定，从迷茫到清晰，直至发现零点存在定理。

在这一过程中不断的感受着数学文化的神奇与博大。

陈老师充分展示了教育的智慧，充分展示了数学之美。

三．整体美整节课分为四个环节，各环节层层递进，环环相扣，循序渐进，没有一点拖泥带水之感，课堂设计具有整体美。

四．语言美比如：“有什么数学问题来问我”，“喊得很大声”，（笑声）“有一个超难的问题”，“牛刀小试”、“加油”等精彩的语言不时地在陈老师的课堂上自然的流淌出来，对学生以更多的数学思想方法上的点拨和引领，自然巧妙地引伸、过渡，简约而不简单，（笑声）充分彰显语言美。

人教版高中数学教学设计案例《几类不同增长的函数模型》一、教学任务分析1．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，建立实际问题的函数模型是函数教学的一项重要任务．而要建立实际问题的函数模型，不仅就要理解具体函数的概念和性质，还要能区别它们之间的差异．特别是在选择函数模型描述实际问题增长变化的规律时，更要能比较各个函数在不同范围的增长差异．这对进一步理解函数的增减性、增长（减少）快慢、增长（衰减）率等性质，更好地认识函数模型都有促进作用．2．本节内容的教学目就是能利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异，并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长的不同函数类型增长的含义．利用计算工具可以通过函数解析式、图象、表格等多元联系表示来比较函数增长的差异．3．本节内容的教学重点是通过实例比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异，并从中体会直线上升、指数爆炸、对数增长的不同函数类型增长的含义．由于一个函数在不同区间的增长情况会有所不同，所以学生要比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，特别是要比较指数函数与幂函数的增长差异，可能会有困难．二、教学基本流程三、教学情景设计1．通过例1体会直线上升和指数爆炸的不同函数类型增长的含义（1）提出问题问题：对于例1的三种投资方案，你觉得哪种方案的回报多？为什么？问题设计意图：先让学生凭直觉做出判断，再建立三种方案的函数模型进行准确地分析．这样，学生便可通过对比，对直线上升和指数爆炸有深刻的体会．师生活动：教师引导学生阅读例1，然后让学生凭直觉尝试回答问题．（2）建立实际问题的函数模型问题：怎样才能较为准确地评价三种投资方案？问题设计意图：引导学生将实际问题转化为数学问题，建立三种投资方案所对应的函数模型．师生活动：教师提出问题，学生交流并回答问题．问题：例1中存在哪些变量？能否分别用函数描述三种方案中变量间的关系？问题设计意图：引导学生分别建立三种投资方案所对应的函数模型．师生活动：学生分析问题中的变量关系，并写出每个方案的函数解析式．在此过程中，当学生在分析变量关系以及求函数解析式遇到困难时，教师适时进行指导．问题：根据所得到的函数解析式，能否合理地选择投资方案？如果不能怎么办？问题设计意图：了解学生对所学函数模型的认知情况，并启发学生对函数进行多元联系表示，从而能直观地进行定性和定量分析．师生活动：学生根据解析式进行分析，并发表对方案选择的观点，教师引导学生将函数由解析式表示为数表和图象．（3）利用计算工具比较三种投资方案所对应的函数模型，并体会它们的增长特点问题：用计算器或计算机作出所得函数的数表和图象，看能否对选择投资方案提供帮助？问题设计意图：利用函数的数表和图象为选择投资方案提供依据，引导学生从局部和整体的角度，对三种方案所对应的函数模型的增长情况进行定量和定性分析．师生活动：学生用计算器或计算机作出三个函数的数表和图象．教师引导学生根据函数的数表和图象分析三种方案的增长情况，并依此对三种方案作出正确的选择．问题：用计算器或计算机求出三种方案每天的增加量和累计量，再对三个函数模型的增长情况作进一步的比较，看对三种函数模型是否有更清楚的认识？问题设计意图：引导学生从本质上对三个函数模型的增长情况作定量分析，为今后进一步研究函数的增长速度和增长率奠定基础．师生活动：教师引导学生利用增加量来刻画三个函数模型的增长速度．问题：对比三个函数模型的增长情况，重新描述一下三种方案的特点？问题设计意图：结合实际问题，让学生通过对比前后的选择方案，体会到直线上升和指数爆炸的不同函数类型增长的含义．师生活动：教师引导学生联系函数的解析式、数表和图象，对三种方案相应的函数模型的增长情况进行描述．2．通过例2体会对数增长的特点，并进一步体会直线上升和指数爆炸的不同函数类型增长的含义（1）提出问题问题：通过对例1的解决，你认为应该如何选择例2的三个函数模型？问题设计意图：让学生认识到，应该从定量和定性的角度对题目所给的三个函数进行对比分析．师生活动：教师引导学生阅读例2，学生在教师的引导下对解决问题的方法作出选择．问题：在例2的解决过程中，应该注意哪些问题？问题设计意图：让学生关注实际问题的条件对函数模型选择的约束，养成分析问题解决问题的良好习惯．师生活动：教师提出问题，学生通过对题目的进一步分析，得出在选择函数模型时应注意：在区间[10，1 000]上分析，y不大于5，y与x的比值不大于25%．（2）利用计算工具选择函数模型，并体会三个函数模型的增长特点问题：例2涉及到哪几类函数模型？对它们进行选择的本质是什么？问题设计意图：让学生认识到，问题的本质就是要比较三个函数的增长情况是否符合题目的要求．师生活动：教师引导学生进行分析，题目所涉及到的奖金是随利润的增加而增加，所以用以刻画这一变化规律的函数模型应该是增长型的．但题目所提供的三个模型都是增长型的，所以问题的本质就是要对它们的增长情况进行比较，从中挑选出符合题目要求的模型．问题：你是如何选择三个函数模型的？问题设计意图：引导学生认识到，虽然利用函数的数表和图象都可为选择投资方案提供依据，但数表利于从局部较为准确地定量反映函数的变化情况，而图象则利于从整体定性地描述函数变化的概貌．所以应结合问题的具体情况，选择从局部或整体的角度，对已知的三个函数模型的增长情况进行定量或定性分析．师生活动：引导学生用计算器或计算机作出已知的三个函数以及y＝5的图象，通过对图象的分析，初步选择函数y＝log7x＋1作为奖励模型．问题：你的选择一定正确吗？是否需要作进一步的说明？问题设计意图：让学生认识到，虽然利用计算工具能简捷地作出图象，并帮助我们直观地进行判断，但对所得出的判断结果，还需要进行严格的证明．以此帮助学生形成良好的思维品质．师生活动：教师引导学生通过计算和证明，说明函数y＝0.25x和y＝1.002x都不符合奖励模型的要求，而只有函数y＝log7x＋1符合奖励模型的要求．问题：你对例1和例2所涉及到的函数模型的增长特点有何认识？问题设计意图：让学生通过对具体函数的分析，形成对其所涉及的各类函数模型增长特点的概括性认识，并通过归纳总结，加深对各类函数模型增长含义的体会．师生活动：学生进行交流，并归纳出：一次函数具有直线上升的增长特点，指数函数具有爆炸性上升的增长特点，对数函数具有平缓上升的增长特点．3．通过比较y＝2x、y＝x2和y＝log2x的增长情况，进一步认识指数函数、幂函数、对数函数在不同区间的增长差异问题：作出函数y＝2x、y＝x2和y＝log2x的数表和图象，看它们有何增长差异？问题设计意图：学生通过作函数的数表和图象，在一定区间范围对三个函数的增长差异形成初步的认识．师生活动：先让每个学生独立地用计算器或计算机作出三个函数的数表和图象，然后大家进行交流．对函数y＝log2x分别与函数y＝2x、y＝x2的增长差异形成统一认识．由于不同学生研究的区间范围不同，所以大家对函数y＝2x和y＝x2增长差异的认识会有所不同．教师组织学生对所得到的不同结论展开讨论．问题：你所作的函数数表和图象是否全面地反映出了这几个函数的增长差异？通过例1知道，函数在不同区间的增长情况会有所不同，这对分析这几个函数的增长差异有何启发？问题设计意图：引导学生在不同的区间范围，多角度地对函数y＝2x和y＝x2的增长差。

“几类不同增长的函数模型”的教学设计与反思台州市第一中学蒋茵一、教学内容与内容解析几类不同增长的函数模型是必修1第三章“函数的应用”的重要内容 .它比较指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异，并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.对于函数增长的比较分为三个层次：(1)以实例为载体让学生切实感受不同函数模型的增长差异；(2)米用图、表两种方法比较三个函数(y =x2,y = 2,y = log x )的增长差异；(3)将结2论推广到一般的指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异其中(1)为第一课时的内容，(2)、( 3)为第二课时的内容•学生在本节内容学习之前，已经有了指数函数、对数函数以及幕函数的相关知识，在这里进一步研究几类不同增长的函数模型的增长差异有着承上启下的作用•让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幕函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点与差异，同时将感受到的这种差异应用在后续的函数模型实例中二、教学目标与目标解析1. 教学目标：(1) 借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异.(2) 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义(3) 恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、表格) ，并借助信息技术解决一些实际问题•(4) 在实际问题解决过程中，体会数学的作用与价值，形成分析问题、解决问题的能力•2. 教学目标解析：目标(1)、( 2)是教学的重点，落实好目标(1) . ( 2)是实现教学目标(3)、( 4)的前提与保证•落实目标(1)、( 2)的过程中可以创设问题情景，并通过层层递进的问题串，让学生在不断观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题、解决问题的能力，实现目标(4).目标(3)要求“恰当运用”对于学生初学时是不易达到的目标，教学时通过学生自主探究，相互交流，教师适时提问引导，合作完成•另外利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幕函数的增长羌异.还使学生接触到更多的数学知识和思想方法三、教学问题诊断分析诊断1 :本课中，学生对指数爆炸的认识缺乏一定的基础，本课先让学生利用表格读表，并在分析表格的过程中发现要分析增加量，通过数据对指数爆炸有了一种感性认识，再结合图像分析，从感性认识上升到理性认识，实现自我完善•诊断2：在公司奖励模型问题的解决过程中，教材中对判断模型二=log +1y ? x 是否满足约束条+ <件log x 1 0.25x是采用了“构造函数的思想方法",我认为就高一年级学生而言,这种处理方法7在？I解上会有困难，匡以宜采畀两种方法进行求解：方法一，利用数形结合，学生能很直观地感受y 0.25x在图像y log? x 1的上方；有此基础后，再讲解方法二，即“构造函数的思想方法” 通过板书详细分析这一过程，帮助学生对“构造函数的思想方法”留下一个美好又深刻的第一印象.诊断3 :本节课教学的内容为教材中的例1、例2 ,为了激发学生的学习兴趣，并保障课堂的连续性，设计了“大学生自主创业情境”、“公司奖励情境”，可将例题的题意较好地表达出来，并符合学生的认知规律.诊断4 :学生在学习时，可能会因更多地关注解决数学计算问题而忽略数学思想的提炼，这个教学问题的解决，需要教师有目的地进行引导•四、教学支持条件1 .在进行几类不同增长的函数模型的教学时，学生已经学习了函数概念、表示法及性质，指数函数、对数函数以及幕函数的相关知识，这些内容是学生分析不同函数增长差异的重要条件，因此教学时应予以充分注意，引导学生多进行归纳与概括•2 .为了能很好地帮助学生理解、反思学习内容，体会新学知识的要点，教学中需要用函数表格、图象来帮助学生理解分析问题，所以ppt和几何画板是重要的支持条件•教学时充分注意这一条件不仅可以加强几何直观，节省大量时间用于学生思考，而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分析.五、教学设计过程：1 •创设情景引入课题［问题1］在日常生活中，增长的话题比比皆是，而我们学过的函数中有没有呈增长态势发展的呢？如果都是增长型函数,那么它们增长的态势是否都一样呢？设计意图：通过提问比较自然地引导学生给出一次函数、指数函数、对数函数、幕函数，同时开门见山，直击主题“增长”师生活动：教师提问，自然引出课题•，学生回答，相互补充，教师点评并板书课题：儿类不同增长的函数模型・2•组织引导合作探究同学们，现在越来越多的大学生毕业以后选择了自主创业，将来你们中的一些也可能会办公司做老板•现在给大家一个模拟的投资情境 .案例假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报 10元，以后每天比前一天多回报 10元； 方案三：第一天回报 0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？［问题2］你会选择哪种投资方案？选择投资方案的依据是什么？请用数学语言呈现你的理由设计意图：提此问题让学生先选择好解题的依据，是每天回报量还是累计回报量？还让学生找出问题中的数量关系，也就是函数关系•师生活动：(1)教师提问，通过学生讨论，具体计算后让学生说说自己会选择哪种投资方案？选择投资方案 的依据是什么？用怎样的方式表达数量关系 ？区别：解析式较抽象，图表较直观・学生 1:选择累计回报量 ，用函数解析式表达数量关系; 学生 2：选择累计回报量 ,直接用函数图像表达数量关系; 学生3：选择每天回报量,先写出函数解析式再用列表的方式表达 (2) 可以先看每天回报量；另外 ，用解析式、表格及图像三种方式表达数量关系均可教师针对学生的回答，点评指出：选择投资方案的依据是累计回报量，但为了看累计回报量，，但表达的同吋有所设计意图：开始切入主题，通过引导使学生体会到表格中每一列数据增长的速度是不同的学生关注增加量，列出增加量，引出表2，同吋也为累计回报量与每天回报量之间的关系埋下伏笔 培养学生分析解决数学问题的能力师生活动:(3)教师引导，学生参与并利用计算器得出： 1 •函数解析式；2•每天回报表；3•结论X 天方案一 方案二 方案三v=40•卩\ 10\*V=O.4X2X1140 10 0.440 20 0.8 3 40 30 1.6 440 40 3.2 耳40 50 6.4 640 60 12.840 70 25.6 8 40 80 51.2 9 40 90 102.4 1040100204.8• • • • ■ • • • •30 40300214^48364［问题3 ］每天回报表(表1 )中“，”从每天的回报量看: 第1 ~ 3天,方案一最多; 第4天,方案一和方案二最多 第5~8天，方案二最多; 第9天以后，方案三最多•部分仍是方案三最大吗?，从而使 ，进而表1(1) 学生思考并回答：我发现到第9天的时候，方案三最多，那么只要方案三数据的增长最快或者说增加量最多，即可解决这一问题•(2) 教师适时给出表2 ，师生共同补充完整表格，让学生初步体会各种函数增长的差异・表2［问题4］你能根据表2中增加量的数据，概括岀这几种常见函数的增长特点吗？设计意图：进一步引导学生关注增加量，感受增长差异，尤其是对“指数爆炸”含义的理解；在与学生交流和解决问题的过程中，使学生体会函数列表法的优点 .师生活动：学生回答，教师加以完善.几种常见函数的增长特点：常数函数没有增长，一次函数匀速增长，指数函数爆炸增长.［问题5］通过表格比较了每天回报量的大小，得出相应结论，但这一案例解决完整了吗？设计意图：虽然本节课的主题是研究“增长”，但必须要回归问题本身，选择一个最佳的投资方案师生活动：教师利用幻灯片快速给出累计回报表(表3 )，学生根据表3得出相应结论・系乍十问扌良衣刚IU x；\衣«1234567H9IO 1 1_ 1 40HU1202<M> 2 402K<»53“440IO Jo loo 2 Ki 2 HU3f»o45055<»MAI0.4 1.2 2.H<>I 2.425.25<>.H102204.4"9・2HI H.8从若干天累计冋扌艮量看:扌殳说— 6疋.应•送t扌奔方案；•投资7夭，应选择方案一豉方案二; 扌殳资X ~ 1()夭.应选择方耒= 扌殳资11疋(含11夭)> 应选扌幸右聚三［问题6 ］通过列表法己经得出案例的结论及对常见函数增长特点的初步体会，能否通过图像法来进一步认识？请大家画出这三个函数的图像？并根据图像说明结论与增长特点？设计意图：本节课的主要教学任务就是要体会几类不同函数的增长差异•让学生自己去概括总结出从图像上直观体会到的增长特点是本节课的一个重要环节，也作为一种完整的小结•与此同时，培养学生良好的画图习惯，遵循列表、描点、连线画图三步骤，以及对函数定义域的关注，从中还能体会到数形结合思想是数学解题的一个重要的思想方法师生活动：（1）学生画图，教师纠错得出（图1）: 1.函数图像为什么是孤立点？（定义域为N）2 •为什么用光滑的虚线连接？（方便看增长趋势）（2）教师用多媒体动画演示连接孤立的点学生1通过图像得出案例结论：学生2通过图像用不同的语言概括增长特点：常数函数保持不变，一次函数直线上升，指数函数指数爆炸.过渡语：现在你已经建好了公司，公司寻求回报，你的员工也要寻求回报•为了激励员工你需要对他们实行奖励，你制定了这样一个公司奖励模型・公司奖励模型问题你的公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元吋，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润X （单位：万元）也增加而埋加，但睾金不超电5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y 0.25Xy l°g7X 1 y 1.002X.其中哪个模型能符合公司的要求？［问题7］大家认真审题，能否用数学符号语言将公司的要求（或条件）描述出来？设计意图：解决实际问题的第一步就是审题，并将之数学化•在此更进一步培养学生解决实际问题的能力•€< 师生活动：个别学生回答，教师在黑板上列出：条件1： x ［10,1000］；条件2： y 5；条件—<y ；条件4：增函数.3：0.25［问题8 ］我们可以如何验证y 5 ?设计意图：引导学生如何利用题目条件，从数和形两方而解决数学问题，既巩固应用前面学到的数学方法，又为下面问题的解决提供方向 ・= v师生活动：学生思考并个别回答： 一= — = +一学生1：根崩条件4：增函数；只需验证当x 1000时，y 5即可，通过计算发现:X' y 1.002 都不锋，<y 通过图像直观观察得由一・［问题9 ］如何验证log 仝10.25X?7上去，并充分体现数形结合、构造函数的思想方法0.25x学生2log 7 x 1 符合.设计意图：在log? x 10.25x 的验证过程中，始终不脱离本课主题，回归到函数的“增长特征”(1)学生1 :将图像放大后观察函数y =log7 x +1与y」).25x的图像,发现在x e[10,1000]都师生活动：学生思考并个别回答，教师适时提问:满足・(2)在教师的引导下，学生2加以补充.学生2：只需将X =10代入计算，是符合条件的；再结合图像发现直线的增长比对数函数快，对数函数增长较为平缓.所以xe ［10,1000］都满足・令yi =0・25x, y =2 log?= = X当x 10 时w 0.25 10yi y2 1.5 log? 10给合图⑵(3) 教师根据以上学生回答板书方法一：数形结合法x [10,1000]恒成立并通过儿何画板动画演示BC=y y的变化情况，1 2引导学生构造函数・€(4) 学生三回答，教师继续板书方法二：构造函数法由图⑶得F (电0.25冬log? x 1 在x+[1^,1000]上令F(x) 0.25x=log x^1,x ［W,100(^单调递增.所以F(x) F( 1 0 ,)即log x 1 0.25x 对7x ［10,1000］恒成立图33 •总结反思归纳提升［问题1 0 ］通过本节课的学习，你有哪些收获？请你对本节课作一总结•设计意图：归纳总结本节内容•师生活动：学生思考交流，教师帮助总结以下内容：(1) 知识：对函数的性质有了解：我们体会到同是增长型函数，但其增长差异却很大::常数函数没有增长，一次函数直线上升，指数函数爆炸增长，对数函数平缓增长•(2) 方法：建模的思想，数形结合思想，构造函数思想等等.六、目标检测设计1.教科书P98,练习1、2 .设计意图：让学生巩固函数增长特征这一知识点2•探究题：请利用计算器或计算机从图、表两方面对函数 =2X =x 2 y = | %2 的增长差异进行比较•设计意图::引出下一课时内容，为下面研究一般指数、对数、幕函数的增长差异奠定了探究的方向•七、教学体会与反思(1)数学问题解决教学应该从创设问题情景开始，本设计的情境创设比较成功 •“日常生活中， 增长的话题比比皆是，而我们学过的函数中有没有呈增长态势发展的呢？如果都是增长型函数，那 么它们增长的态势是否都一样呢？ ”短短几句话，不但交代了本课的研究主题，而且比较自然地引 导学生引出一次函数、指数函数、对数函数、幕函数，开门见山，直击“增长” .实际教学中大多以真实的或虚拟的“生活化”材料为载体创设教学情境，如用教材章头图中的兔子问题或其它情景作 为素材，以迎合“能让学生体会到数学源于生活，增长学生的应用意识”，注重“数学教育应该与现 实生活密切联系”这一现代教学理念•本课的教学内容是通过两个实际问题解决，让学生体会几类不 同类型的函数增长的差异，执教教师就地取材，将书本中的例1为素材得到了一个虚拟的“生活化” 材料，教学过程中不但自然地出示了例1,而且激发学生的学习和解决问题的兴趣，为学生的观察、归纳、猜想和证明提供了基础 (2)问题的解决围绕着“弄清问题拟定计划一实现计划一回顾”进行教学，教学中充分发挥了学生的主体作用•在例题教学中既有动手操作的实践活动，又有动脑思考和数学思维活动•例1的教 从函数表达的三种不同形式入手，建立函数模型，让学生经历从解析式到表格、图象的全过程 •在这个过程中，让学生感受到图表的直观，解析式的抽象 •在求累计回报量时，由于学生不会求等比数列的和，选取对函数模型列表计算作出判断和选择，处理有详有略，让学生体会到耳常藝函数、一次函数与指 数型函数的增长差异 •例2中在判断是否满足“约束条件log 7x 1 0.25x”时，考虑到教课书上介绍 的构造函数法学生理解比较困难,+教师先用利用数形结合，学生能很直观地感受y 0.25 在图像 y log 7x 1“累计回报量'学过程中，抓隹关键词“回报”，从不同的角度看待回报, 让学生辨别 “每天回报量”x的上方，有此基础后，再讲解方法二，即“构造函数法” ，通过板书详细分析求解过程，帮助学生对“构造函数法”的理解，给学生留下一个深刻的印象•整个例2教学让学生经历了观察、归纳、猜想、证明的完整过程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程•商讨之处：(1) 教学内容不能只局限于课本中两个例题，要适当进行拓展延伸，不仅巩固新知，而且让学生感觉数学是有用的，数学就在我们身边•如果对例2进行拓展延伸，效果更佳.女口：为了实现1000万元利润的目标，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加，要求如下：10万〜50万，奖金不超过2万;50万〜200万，奖金不超过4万；200万〜1000万，奖金不超过20万•请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案•(四人团队合作完成)(2) 更加重视与学生合作交流，让学生自己动手操作•例如，原设计中［案例］的列表画图过程，教师可事前设计好两张表格 (日回报表和累计回报表)及坐标系，在课堂上由学生两人小组合作完成，再让学生分析表格和图像有哪些区别，既培养学生分析问题、解决问题的能力，又提高了整个课堂学效率・性，更直观地体会到三个函数模型的增长差异。

几类不同增长的函数模型教案不同的增长函数模型可以涵盖各种实际问题和数学概念。

以下是几个常见的函数模型以及它们的教学案例。

一、线性函数模型线性函数模型是最简单也是最容易理解的增长模型之一、在这个模型中，函数的增长率是恒定的，即每单位自变量增加都会导致固定的因变量增加。

这种模型可以用来解释一些日常生活中的现象，例如物体的匀速直线运动。

教学案例：以匀速直线运动为例，教师可以带领学生观察一个滚动的球，并记录下球滚动的时间和球滚动的距离。

通过分析数据，学生可以发现球滚动的距离与时间成正比，即球滚动的距离是时间的线性函数。

教师可以引导学生使用公式来表示这种线性关系，并使用此关系预测未来的球滚动距离。

二、指数函数模型指数函数模型中，增长率是以指数的形式增加或减少的。

这种模型适用于许多和复利相关的问题，如存款利息、细菌繁殖等。

教学案例：以细菌繁殖为例，教师可以给学生一个初始细菌数量，并告诉他们每小时细菌数量翻倍。

学生可以使用指数函数模型来表示细菌数量随时间的增长。

他们可以计算出不同时间点的细菌数量，并观察到数量的指数增长。

通过这个案例，学生可以理解指数函数模型的概念，并应用这个概念解决实际问题。

三、对数函数模型对数函数模型与指数函数模型相反，其增长率是逐渐减少的。

这种模型适用于许多与收益递减相关的问题，如广告效果的衰减、物种灭绝等。

教学案例：以广告效果的衰减为例，教师可以让学生观察一则广告的点击次数随时间的变化。

学生可以发现广告的点击次数一开始会快速增加，但随着时间的推移增长速度逐渐减慢。

通过绘制折线图并使用对数函数模型来拟合数据，学生可以更好地理解对数函数模型的特点，并预测广告点击数的未来情况。

四、多项式函数模型多项式函数模型是基于多项式函数的增长模型，适用于许多实际问题，如多项式曲线拟合、物体的轨迹等。

教学案例：以轨迹为例，教师可以引导学生观察一个投掷物体的轨迹，并记录下物体在不同时间点的位置信息。

学生可以通过数据拟合一条多项式曲线来表示物体的轨迹，并通过这个模型来预测物体下一步的位置。

几种不同增长的函数模型教案一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见函数的增长特征。

能够根据实际问题，建立相应的函数模型，并比较不同函数模型的增长差异。

2、过程与方法目标通过实例分析和数据对比，培养学生观察、分析和归纳的能力。

引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的数学应用意识和创新思维能力。

3、情感态度与价值观目标让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。

培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神。

二、教学重难点1、教学重点一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的增长特征。

不同函数模型在实际问题中的应用及比较。

2、教学难点如何根据实际问题选择合适的函数模型。

理解指数函数爆炸式增长的特点。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法、案例分析法四、教学过程1、导入新课展示一些生活中常见的增长现象，如人口增长、经济增长、细菌繁殖等。

提问学生这些增长现象可以用哪些数学函数来描述，引出本节课的主题——几种不同增长的函数模型。

2、知识讲解一次函数模型：形如 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）的函数，其增长特点是直线式增长，增长速度保持不变。

举例：某工厂生产某种产品，每月的产量与生产时间之间的关系可以用一次函数表示。

二次函数模型：形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 为常数，a ≠ 0）的函数，其增长特点是先增后减或先减后增，存在对称轴。

举例：某商场销售某种商品，销售额与销售价格之间的关系可以用二次函数表示。

指数函数模型：形如 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1）的函数，其增长特点是爆炸式增长，增长速度越来越快。

举例：某城市的人口增长情况可以用指数函数表示。

对数函数模型：形如 y ＝logₐx（a ＞ 0 且a ≠ 1）的函数，其增长特点是增长速度逐渐变慢。

举例：某种药物在人体内的浓度变化可以用对数函数表示。

3.2.1 几类不同增长的函数模型（第二课时）教学反思参赛编号：24学校：云南昌宁第一中学姓名：韩云凤3.2.1 几类不同增长的函数模型（第二课时）教学反思新一轮数学课程改革从理念、内容到实施都有较大变化。

要实现数学课程改革的目标，教师是关键。

新课程要求教师提高素质、更新观念、转变角色，在对待自我上，新课程还强调反思。

教学反思是教师发展和成长的核心因素。

在教学后进行反思，能使教学经验理论化，形成反思的意识和自我监控的能力。

针对本节课的教学，我的反思如下：一、思不足。

上完了课，坐下来回想，有很多地方不满意，也有很多地方需要改进，更有许多地方需要学习。

1、刚刚开始的时候因为有点紧张，所以讲话速度快了，可能不专心的同学就会听不懂。

后来虽然及时发现，把速度压下来了，可是，还是应该学会任何时候都保持平和的心态；2、课件制作的时候，字体颜色偏浅了，在我自己的电脑上看得很清楚但是拿到大屏幕上，有些地方对于学生来说看不清了，这也说明我考虑的不周到；3、在备课的时候，准备在几何画板上演示三种函数模型的增长差异，使分析更直观，但是因为给学生自主学习和讨论交流的时间太多，发现时间不够，所以没有演示，这样可能会使得到结论的说服力就不是那么强。

也失去了一些趣味性。

这证明，作为年轻老师的我，需要增强课堂的把控能力，在备课时也要尽量宏观考虑，在有限的时间里得到想要的教学效果；4、在讲解5个思考的时候，语言不够精炼，有些地方重复太多，有些地方表述又不到位。

并且既然给学生小组讨论了，那么应该让他们尽可能多的展示他们自学和交流的结果，根据展示的情况进行精讲，而不是我一个一个的又讲，没有做到“以学定教”，这样也可能会浪费了宝贵的时间；5、师生的交往互动没有达到很好的状态，虽然很多问题，学生愿意一起回答但是却不太愿意自己站起来回答，特别是抢答题时，学生的积极性没有被调动起来，我想是因为我的亲和力不够，而且引导还不到位；6、最后的“当堂检测”的第四题的第二个问，有很多同学没有写出来，本来应该讲评一下，但是时间到了，所以没有强调。

两堂“几类不同增长的函数模型”课的评析与反思温州市第二十三中学 325000 谢尚志1苍南县灵溪第二高级中学 325800 林光来2前不久，在浙江省高中数学课堂教学评比活动中，笔者有幸听到了温州二中张启津老师执教的《几类不同增长的函数模型》一课，学生配合默契投入，课堂气氛和谐愉快，师生互动风落水上，自然成纹，令我感触颇深；无独有偶，2005年10月，温州市高中数学青年教师课堂教学评比活动的课题之一也是《几类不同增长的函数模型》，当时第一名获得者苍南中学项延行老师执教的一课也是让听课教师耳目一新，如沐春风，给我留下的深刻的印像。

由于是两个不同时期的教学，两堂课的教学设计差别很大，出现了很多问题，引起了同行们的一些争论，因此笔者重新研究课标要求、教材编写意图，反复推敲两个案例，收获甚多。

下面是笔者对这两堂课的认识与思考，望与广大同仁交流学习。

1 课堂引入环节的比较与评析1.1 项老师的课堂引入材料：“玫瑰花”悬案公元1797年，法国元帅拿破仑参观国立卢森堡小学时许下诺言：赠上一束价值12000法郎的玫瑰花，以表两国的友谊，此后，由于连年的征战，拿破仑忘记了这一诺言！时隔97年，也就是公元1894年，卢森堡王国郑重向法国提出了“玫瑰花”悬案，要求法国兑现诺言，付给卢森堡王国136.1万法郎。

问题：当时卢森堡王国是怎么算这笔帐的？（年利率5%）生： )(1.136%)51(2.197万=+⋅.师（追问）：若按这种算法，这笔账到今天又是多少了？生：)(8.30658%)51(2.1208万=+⋅. (注:当时是2005年)此时学生表现出对指数效应的惊人变化的惊叹.1.2 张老师的课堂引入今天老师给大家带来两个可爱的礼物（储蓄罐），老师每天都向着两个储蓄罐里存钱，但存钱方式不一样。

储蓄罐A ：每天存40元；储蓄罐B ：第一天存10元，以后每天都比前一天多存入10元。

你可以从中选一个，你会选哪个？生：利用一一列举（列表法）顺利解决。

课题：几类不同增长的函数模型课 型：新授课教学目标:结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.教学重点、难点：1. 教学重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．教学难点 选择合适的数学模型分析解决实际问题.学法与教学用具：1. 学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.教学过程：（一）引入实例，创设情景.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.（二）互动交流，探求新知.1. 观察数据，体会模型.教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.2. 作出图象，描述特点.教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.（三）实例运用，巩固提高.1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.2. 教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。

4．教师引导学生利用解析式，结合图象，对例2的三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程. 进一步认识三个函数模型的增长差异，并掌握解答的规范要求.5．教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析，探究幂函数ny x =（n ＞0）、指数函数n y a =（a ＞1）、对数函数log a y x =（a ＞1）在区间（0，+∞）上的增长差异，并从函数的性质上进行研究、论证，同学之间进行交流总结，形成结论性报告. 教师对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示.6.课堂练习教材P98练习1、2，并由学生演示，进行讲评。