【走向高考】高考数学总复习 1-6 对数与对数函数课后作业 新人教A版

必修Ⅰ-06 对数与对数函数对数的概念与运算：（1）概念：若是(01)x a N a a =>≠且，那么x 叫 为底 的对数.记作 ，其中a 叫对数的底数，N 叫对数的真数.（2）对数的大体性质：①对数的真是大于0，底数大于0且不等于1；②log 10a =； ③log 1a a =；④对数恒等式log a N a = (01,0)a a N >≠>且； （3）积、商、幂、方根的对数（M,N 都是常数，01a a >≠且）的运算性质： ①log ()a M N ⋅= ； ②log ()a M N = ；③log __________n a M =；④log __________a =； ⑤经常使用对数：10log N = _ ； ⑥自然对数：log e N = （ 2.71828e =）（4）对数的换底公式及恒等式： ①换底公式：log log (0,1,01,0)log b a b N N a a b b N a =>≠>≠>且且 ②经常使用结论：log 1a = ，log log a b b a ⋅= ，log b a a = ，1log a a = . 二、对数函数log (01,0)a y x a a x =>≠>且的图像及性质.利用对数函数的性质比较大小底数相同，真数不同，可利用对数函数的单调性比较.底数不同，真数也不相同时，能够引入中间量或画函数的图像比较.例一、计算：（1）7lg142lg lg 7lg183-+-（2）522log 253log 64+ （3）348log 4log 8log ⋅⋅例二、（1）设3436x y ==，求21x y +.（2）已知18log 9,185b a ==，求36log 45. 例3、比较大小：（1）0.80.8log 1.5log 2与（2）27log 5log 5与 （3）36log 5log 4与例4、已知函数()log (1),()log(1)(01).a f x x g x x a a =+=->≠且 求函数()()f x g x +的概念域；判定函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由.。

第六节 对数与对数函数2019考纲考题考情1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

(2)几种常见对数(1)对数的性质 ①alog aN＝N (a >0且a ≠1，N >0)。

②log a a N＝N (a ＞0，且a ≠1)。

(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零，且不等于1)。

②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。

(3)对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N 。

②log a M N＝log a M －log a N 。

③log a M n＝n log a M (n ∈R )。

④log am M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R )。

3．对数函数的图象与性质4.y ＝a x与y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的关系指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称。

1．指数与对数的等价关系：a x＝N ⇔x ＝log a N 。

2．换底公式的三个重要结论(1)log a b ＝1log b a； (2)log am b n＝n mlog a b ；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。

3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。

故0<c <d <1<a <b 。

由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大。

第六节 对数与对数函数对数与对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．(2)理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点． (3)知道对数函数是一类重要的函数模型．(4)了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，且a ≠1)． 知识点一 对数及对数运算 1．对数的定义一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a _N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质 (1)log a 1＝0，log a a ＝1. (2)a log a N ＝N ，log a a N ＝N . (3)负数和零没有对数． 3．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N . (2)log aMN＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(4)换底公式log a b ＝log m blog m a (a >0且a ≠1，b >0，m >0，且m ≠1).必记结论1．指数式与对数式互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N . 2．对数运算的一些结论：①log am b n ＝nm log a b .②log a b ·log b a ＝1.③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .易误提醒 在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M ＞0.[自测练习]1．(2015·临川一中模拟)计算⎝⎛⎭⎫lg 1125－lg 82÷4－12＝________. 解析：本题考查指数和对数的运算性质．由题意知原式＝(lg 5－3－lg 23)2÷2－1＝(－3lg 5－3lg 2)2×2＝9×2＝18.答案：18 2．lg427－lg 823＋lg 75＝________. 解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：12知识点二 对数函数定义、图象与性质定义函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫作对数函数图 象a >10<a <1性 质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)当0<x <1时， y ∈(－∞，0)； 当x >1时， y ∈(0，＋∞) 当0<x <1时， y ∈(0，＋∞)； 当x >1时， y ∈(－∞，0) 在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数易误提醒 解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域． (2)对数底数的取值范围． 必记结论1．底数的大小决定了图象相对位置的高低；不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．[自测练习]3．已知a ＞0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有B. 答案：B4．函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________．解析：(1)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝1，所以a ＝2. (2)当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 24＝1，所以a ＝12.由(1)(2)知a ＝2或a ＝12.答案：2或12考点一 对数式的化简与求值|1．(2015·内江三模)lg51 000－823＝( )A.235 B ．－175 C ．－185 D ．4 解析：lg 51 000－823＝lg 1035－(23)23＝35－4＝－175.答案：B2.(log 23)2－4log 23＋4＋log 2 13＝( )A ．2B ．2－2log 2 3C ．－2D ．2log 2 3－2解析：(log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2＝2－log 23，又log 213＝－log 23，两者相加即为B.答案：B3．(2015·高考浙江卷)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 解析：原式＝2log 4 3＋2－log 4 3＝3＋13＝433.答案：433对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考点二 对数函数图象及应用|(1)(2016·福州模拟)函数y ＝lg |x －1|的图象是( )[解析] 因为y ＝lg |x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x ＞1，lg (1－x )，x ＜1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意． [答案] A(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] 法一：构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，可知，f ⎝⎛⎭⎫12＜g ⎝⎛⎭⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.法二：∵0＜x ≤12，∴1＜4x ≤2，∴log a x ＞4x ＞1，∴0＜a ＜1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有412＝2，log 12 12＝1，显然4x ＜log a x 不成立，排除选项A.[答案] B应用对数型函数的图象可求解的两类问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：作出f (x )的大致图象，不妨设a ＜b ＜c ，因为a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，由函数的图象可知10＜c ＜12，且|lg a |＝|lg b |，因为a ≠b ，所以lg a ＝－lg b ，可得ab ＝1，所以abc ＝c ∈(10,12)．答案：C考点三 对数函数性质及应用|已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集． [解] (1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数， 所以f (x )＞0⇔x ＋11－x ＞1，解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1)．利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．2．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，求实数a 的取值范围．解：当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数， 由f (x )＞1恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－2a )＞1， 解之得1＜a ＜83.若0＜a ＜1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函数， 由f (x )＞1恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－a )＞1， 且8－2a ＞0，∴a ＞4，且a ＜4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83. 5.插值法比较幂、对数大小【典例】 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.3 0.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b(2)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝⎛⎭⎫15log 30.3，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b(3)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞a ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b[思路点拨] (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 3 0.3＝log 3 103的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解． [解析] (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5＜0.50.5＜10.5＝1，即b ＜a ＜1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性， 可得log 0.30.2＞log 0.30.3＝1，即c ＞1. 所以b ＜a ＜c .(2)c ＝⎝⎛⎭⎫15log 3 0.3＝5－log 3 0.3＝5log 3 103. 法一：在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2 x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知： log 2 3.4＞log 3 103＞log 43.6. 法二：∵log 3 103＞log 33＝1，且103＜3.4， ∴log 3103＜log 3 3.4＜log 2 3.4. ∵log 4 3.6＜log 4 4＝1，log 3103＞1，∴log 4 3.6＜log 3 103. ∴log 2 3.4＞log 3103＞log 4 3.6. 由于y ＝5x 为增函数，∴5log 2 3.4＞5log 3103＞5log 4 3.6. 即5log 2 3.4＞⎝⎛⎭⎫15log 3 0.3＞5log 4 3.6，故a ＞c ＞b . (3)因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称， 所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时， [xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＜0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减； 因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减． 因为1＜20.2＜2,0＜log π3＜1，log 39＝2，所以0＜log π 3＜20.2＜log 3 9，所以b ＞a ＞c ，选A. [答案] (1)C (2)C (3)A[方法点评] (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[跟踪练习] 设a ＞b ＞0，a ＋b ＝1且x ＝⎝⎛⎭⎫1a b，y ＝log ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ab ，z ＝log 1b a ，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ．y ＜x ＜zB ．z ＜y ＜xC ．y ＜z ＜xD ．x ＜y ＜z解析：用中间量比较大小．由a ＞b ＞0，a ＋b ＝1，可得0＜b ＜12＜a ＜1，所以1b ＞2＞1a ＞1，所以x ＝⎝⎛⎭⎫1a b＞1，y ＝log ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ab ＝log ⎝⎛⎭⎫1ab ab ＝－1,0＞z ＝log 1b a ＞log 1bb ＝－1，则y＜z ＜x ，故选C.答案：CA 组 考点能力演练1．函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )解析：由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出x ＞0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x ＜0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位即得f (x )的图象，结合图象知选A.答案：A2．设a ＝30.5，b ＝0.53，c ＝log 0.5 3，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：因为a ＝30.5＞30＝1,0＜b ＝0.53＜0.50＝1，c ＝log 0.5 3＜log 0.5 1＝0，所以c ＜0＜b ＜1＜a ，故选C.答案：C3．(2015·郑州二检)若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6 (a ＋b )，则1a ＋1b 的值为( )A ．36B ．72C ．108D.172解析：设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k ，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝6k 2k －23k －3＝108.所以选C. 答案：C4．(2015·长春质检)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)＜f (－2)＜f (1) B ．f (1)＜f (－2)＜f (3) C ．f (－2)＜f (1)＜f (3) D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)解析：因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞1，f (1)＜f (2)＜f (3)． 又函数f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)＜f (－2)＜f (3)． 答案：B5．已知函数f (x )＝log 2 ⎝⎛⎭⎫21－x ＋t 是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：由f (－x )＝－f (x )得log 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x ＋t ＝－log 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋t ，所以21＋x ＋t ＝121－x ＋t，整理得1－x 2＝(2＋t )2－t 2x 2，可得t 2＝1且(t ＋2)2＝1，所以t ＝－1，则f (x )＝log 21＋x1－x＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋x1－x＞01＋x 1－x ＜1，解得－1＜x ＜0.答案：A6．(2015·深圳一模)lg 2＋lg 5＋20＋⎝⎛⎭⎫5132×35＝________. 解析：lg 2＋lg 5＋20＋⎝⎛⎭⎫5132×35＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝132. 答案：1327．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵a 2＋1＞1，log a ()a 2＋1＜0，∴0＜a ＜1. 又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.答案：⎝⎛⎭⎫12，18．(2015·成都摸底)关于函数f (x )＝lg x 2＋1x，有下列结论： ①函数f (x )的定义域是(0，＋∞)；②函数f (x )是奇函数；③函数f (x )的最小值为lg 2；④当x ＞0时，函数f (x )是增函数．其中正确结论的序号是________(写出所有你认为正确的结论的序号)．解析：函数f (x )＝lg x 2＋1x的定义域为(0，＋∞)，其为非奇非偶函数，即得①正确，②不正确；由f (x )＝lg x 2＋1x ＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥lg ⎝⎛⎭⎫2 x ×1x ＝lg 2，得③正确；函数u ＝x ＋1x 在x ∈(0,1)时为减函数，在x ∈(1，＋∞)时为增函数，函数y ＝lg u 为增函数，所以函数f (x )在x ∈(0,1)时为减函数，在x ∈(1，＋∞)时为增函数，即得命题④不正确．故应填①③.答案：①③9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，∴函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，求a的取值范围．解：由已知f (x )＝log a x ，当0＜a ＜1时，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13－|f (2)|＝log a 13＋log a 2＝log a 23＞0， 当a ＞1时，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13－|f (2)|＝－log a 13－log a 2＝－log a 23＞0，故⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13＞|f (2)|总成立．则y ＝|f (x )|的图象如图． 要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ， 当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3； 当0＜a ＜1时，得a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)． B 组 高考题型专练1．(2014·高考福建卷)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )解析：由y ＝log a x 的图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.对于选项A ：y ＝3－x ＝⎝⎛⎭⎫13x 为减函数，A 错误；对于选项B ：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C ：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误；对于选项D ：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.答案：B2．(2014·高考山东卷)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1解析：由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a ＜1.又当x ＝0时，y ＞0，即log a c ＞0，所以0＜c ＜1.答案：D3.(2015·高考北京卷)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2 (x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：在平面直角坐标系中作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象如图所示．所以f (x )≥log 2 (x ＋1)的解集是{x |－1＜x ≤1}，所以选C.答案：C4．(2015·高考浙江卷)log 2 22＝________，2log 2 3＋log 4 3＝________. 解析：log 222＝log 22－12＝－12，2log 2 3＋log 4 3＝232log 2 3＝2log 2 332＝27＝3 3. 答案：－12 3 3 5．(2015·高考北京卷)2－3,312，log 25三个数中最大的数是________． 解析：因为2－3＝123＝18，312＝3≈1.732，而log 24＜log 25，即log 25＞2，所以三个数中最大的数是log 25.答案：log 25。

第5讲 对数与对数函数一、选择题1．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <c <aB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a解析 由题知，a ＝log 45>1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，c ＝log 30.4<0，故c <b <a .答案 D 2．设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )． A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1. ∴f (x )＝lgx ＋11－x ，由f (x )＜0得，0＜x ＋11－x＜1， ∴－1＜x ＜0. 答案 A3．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )． A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析 由于y ＝x 2－ax ＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a 24，故要使函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a >1，且4－a 24>0，得1<a <2，故选C. 答案 C4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是 ( )．解析 由已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可得0<a <1，0<b <1.则g (x )＝a x ＋b 的图象由y ＝a x 的图象沿y 轴向上平移b 个单位而得到，故选B. 答案 B5．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0，则实数a 的取值范围为( )．A ．(0,1)∪(1,3)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,23)D ．(1,23)解析 “对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f (x )有意义”．事实上由于g (x )＝x 2－ax ＋3在x ≤a2时递减，从而⎩⎨⎧a >1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0.由此得a 的取值范围为(1,23)．故选D.答案 D6．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )． A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析 作出函数f (x )＝|lg x |的图象，由f (a )＝f (b )，0<a <b 知0<a <1<b ，－lg a ＝lg b ，∴ab ＝1，∴a ＋2b ＝a ＋2a ，由函数y ＝x ＋2x 的单调性可知，当0<x <1时，函数单调递减，∴a ＋2b ＝a ＋2a >3.故选C. 答案 C 二、填空题。

对数对数的概念课后篇巩固提升合格考达标练1.方程2log 3x =14的解是( )A.19B.√3C.√33D.92log 3x =14=2-2,∴log 3x=-2,∴x=3-2=19.2.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是( )A.e 0=1与ln 1=0B.8-13=12与log 812=-13C.log 39=2与912=3D.log 77=1与71=739=2应转化为32=9.3.(多选题)(2021湖南邵阳十一中高一期末)下列结论正确的是( )A.log 24=2B .2.10.5>2.1-1.8C .3log 32=2D .-ln e =124=2,故A 正确;根据函数y=2.1x 是增函数可知2.10.5>2.1-1.8,故B 正确;根据指对恒等式可知3log 32=2,故C 正确;-ln e =-1,故D 不正确.故选ABC .4.(2021北京大兴高一期末)813+log 122等于( ) A.0B .1C .2D .3813+log 122=23×13-log 22=2-1=1.故选B .5.若a>0,a 2=49,则lo g 23a= .a 2=49且a>0,∴a=23,∴lo g 2323=1.6.解答下列各题.(1)计算:lg 0.000 1;log 2164;log 3.12(log 1515).(2)已知log 4x=-32,log 3(log 2y )=1,求xy 的值.因为10-4=0.000 1,所以lg 0.000 1=-4.因为2-6=164,所以log 2164=-6.log 3.12(log 1515)=log 3.121=0.(2)因为log 4x=-32,所以x=4-32=2-3=18.因为log 3(log 2y )=1,所以log 2y=3.所以y=23=8.所以xy=18×8=1.7.求下列各式的值:(1)lo g 1162; (2)log 7√493; (3)log 2(log 93).设lo g 1162=x ,则(116)x =2,即2-4x =2,∴-4x=1,x=-14,即lo g 1162=-14. (2)设log 7√493=x ,则7x =√493=723. ∴x=23,即log 7√493=23.(3)设log 93=x ,则 9x =3,即32x =3,∴x=12.设log 212=y ,则2y =12=2-1,∴y=-1.∴log 2(log 93)=-1.等级考提升练8.若log a 3=m ,log a 5=n (a>0且a ≠1),则a 2m+n 的值是( )A.15B.75C.45D.225log a 3=m ,得a m =3,由log a 5=n ,得a n =5, ∴a 2m+n =(a m )2·a n =32×5=45.9.函数y=log (2x-1)√3x -2的定义域是( )A.23,1∪(1,+∞)B.12,1∪(1,+∞)C.23,+∞ D.12,+∞解析要使函数有意义,则{2x -1>0,2x -1≠1,3x -2>0,解此不等式组可得x>12且x ≠1且x>23,故函数的定义域是23,1∪(1,+∞),故选A .10.已知f (x 6)=log 2x ,则f (8)=( )A.43B .8C .18D .12x 6=8,则x 2=2,因为x>0,则x=√2,故f (8)=log 2√2=12.11.(多选题)(2021福建泉州高一期末)下列函数中,与y=x 是同一个函数的是( )A.y=√x 33B .y=√x 2C .y=lg 10xD .y=10lg x的定义域为R ,值域为R ,函数y=√x 33=x 的定义域为R ,故是同一函数;函数y=√x 2=|x|≥0,与y=x 解析式、值域均不同,故不是同一函数;函数y=lg 10x =x ,且定义域为R ,对应关系相同,故是同一函数;y=10lg x =x 的定义域为(0,+∞),与函数y=x 的定义域不相同,故不是同一函数.故选AC .12.已知f (x )={1+log 2(2-x ),x <1,2x -1,x ≥1,则f (-2)+f (2)的值为( ) A.6B .5C .4D .3f (-2)+f (2)=(1+log 24)+2=5,故选B .13.已知lo g 12(log 2x )=lo g 13(log 3y )=1,则x ,y 的大小关系是( )A.x<yB.x=yC.x>yD.不确定lo g 12(log 2x )=1,所以log 2x=12.所以x=212=√2.又因为lo g 13(log 3y )=1,所以log 3y=13.所以y=313=√33.因为√2=√236=√86<√96=√326=√33,所以x<y.故选A . 14.21+12·log 25的值等于 .√51+12log 25=2×212log 25=2×(2log 25)12=2×512=2√5.15.已知log a b=log b a (a>0,a ≠1,b>0,b ≠1),求证:a=b 或ab=1.log a b=log b a=k ,则b=a k ,a=b k ,因此b=(b k )k =b k 2.因为b>0,b ≠1,所以k 2=1,即k=±1.当k=1时,a=b ;当k=-1时,a=b -1=1b ,即ab=1.综上可知a=b 或ab=1. 新情境创新练16.已知二次函数f (x )=(lg a )x 2+2x+4lg a (a>0)的最大值是3,求a 的值.f (x )有最大值,所以lg a<0.又f (x )max =16lg 2a -44lga =4lg 2a -1lga=3, 所以4lg 2a-3lg a-1=0.所以lg a=1或lg a=-14.因为lg a<0,所以lg a=-14.所以a=10-14.。

高考数学总复习 36 对数与对数函数配套课时作业文 新人教A 版一、选择题1．函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调增区间为( )A ．(52，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，52)D ．(－∞，2)解析：由x 2－5x ＋6>0解得x <2，或x >3，则函数的定义域为(－∞，2)∪(3，＋∞)，又t ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上递减，因此函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调增区间为(－∞，2)．答案：D2．(2012年济南模拟)已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x(a >0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a 的值为( )A. 3 B ．3 C ．9D.32解析：∵f (log 124)＝f (log 214)＝f (－2)＝－f (2)＝－a 2＝－3，∴a 2＝3，解得a ＝±3，又a >0，∴a ＝ 3. 答案：A3．(2011年辽宁)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x， x ≤1，1－2log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：当x ≤1时， f (x )≤2，即21－x≤21，∴1－x ≤1，即x ≥0.∴0≤x ≤1，当x >1,1－log 2x ≤2，∴log 2x ≥－1，∴x ≥12，即x >1.由此得x ≥0. 答案：D4．(2012年湖南株州一中月考)函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( )A ．2 B.23 C.13D ．1解析：由题知函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，当f (x )＝0时，x ＝1；当f (x )＝1时，x ＝3或13，所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[x,3](13≤x ≤1)，[13，x ](1≤x <3)，所以b －a 的最小值为23，故选B.答案：B5．(2012年东北三校第一次联考)已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)<f (3)B ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)C ．f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0) D ．f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 解析：依题意得f (3)＝log 122，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝log 1232，f (0)＝log 121，又log 122<log 1232<log 121，所以f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)．故选C. 答案：C6．设函数 f (x )＝若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：①当a >0时，f (a )＝log 2a ，f (－a )＝log 12a ，f (a )>f (－a )，即log 2a >log 12a ＝log 21a ，∴a >1a，解得a >1.②当a <0时，f (a )＝log 12(－a )，f (－a )＝log 2(－a )，f (a )>f (－a )，即log 12(－a )>log 2(－a )＝log 121－a， ∴－a <1－a ，解得－1<a <0，由①②得－1<a <0或a >1. 答案：C 二、填空题7．(2012年江苏)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为______．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧1－2log 6x ≥0，x >0，∴⎩⎨⎧x ≤6，x >0，∴定义域为{x |0<x ≤6}． 答案：{x |0<x ≤6}8．设 f (x )＝log 3(x ＋6)的反函数为f －1(x )，若[f －1(m )＋6]·[f －1(n )＋6]＝27，则f (m ＋n )＝________.解析：y ＝f (x )的反函数为y ＝3x－6，∴[f －1(m )＋6]·[f －1(n )＋6]＝27⇒3m ·3n＝27， 即3m ＋n＝27，∴m ＋n ＝3，∴f (m ＋n )＝log 39＝2.答案：29．(2012年山东潍坊模拟)已知实数a ，b 满足log 12a ＝log 13b ，下列五个关系式：①a >b >1，②0<b <a <1，③b >a >1，④0<a <b <1，⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．解析：当a ＝b ＝1或a ＝12，b ＝13或a ＝2，b ＝3时，都有log 12a ＝log 13b ，故②③⑤均可能成立．故不可能成立的关系式有2个．答案：2 三、解答题10．(1)计算：2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 22－lg 2＋1；(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a2m ＋n的值．解：(1)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5) ＋lg 22－2lg 2＋1＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1|＝lg 2＋(1－lg 2)＝1. (2)法一：∵log a 2＝m ，∴a m＝2. ∵log a 3＝n ，∴a n＝3. 故a2m ＋n＝(a m )2·a n＝4×3＝12.法二：∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，11．(2012年广东佛山高三月考)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围． 解：(1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求定义域为{x |－1<x <1}． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}上是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}．12．若 f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． (1)求 f (log 2x )的最小值及对应的x 值；(2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )<f (1)． 解：(1)∵ f (x )＝x 2－x ＋b ， ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ，由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0. ∵a ≠1，∴log 2a ＝1，∴a ＝2. 又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4. ∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝4－a 2＋a ＝2. 故 f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74. ∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－log 2x ＋2>2log 2x 2－x ＋2<2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >2或0<x <1－1<x <2⇒0<x <1.[热点预测]13．(2012年长春名校联考)令f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)．如果对k (k ∈N *)，满足f (1)·f (2)·…·f (k )为整数，则称k 为“好数”，那么区间[1,2 013]内所有的“好数”的和M ＝__________.解析：对任意正整数k ，有f (1)·f (2)·…·f (k )＝log 23·log 34·…·log k ＋1(k ＋2)＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg k ＋2lg k ＋1＝lg k ＋2lg 2＝log 2(k ＋2)．若k 为“好数”，则log 2(k ＋2)∈Z ，从而必有k ＋2＝2l (l ∈N *)．令1≤2l－2≤2 013，解得2≤l ≤10，所以区间[1,2 013]内所有“好数”的和M ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－2×9＝2 026.答案：2 026。

第二章 第6节 对数与对数函数A －基础巩固题组1．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为( )解析：选A ．易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C 、D ．当x >32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，故选A ．2．设a ＝log 20.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．a <c <b解析：选D ．∵a ＝log 20.3<log 21＝0，∴a <0，∵b ＝log 120.4＝－log 20.4＝log 252>log 22＝1，∴b >1，∵0<0.40.3<0.40＝1，∴0<c <1，∴a <c <b .3．(2023·江苏淮安五校联考)已知log 2a >log 2b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．1a >1bB ．log 2(a －b )>0C ．(13)a <(12)bD ．2a －b <1解析：选C ．因为log 2a >log 2b ，所以a >b >0，所以1a <1b ，2a －b >20＝1，故AD 不成立；当a ＝32，b ＝1时，log 2(a －b )＝log 212＝－1<0，故B 不成立；由指数函数和幂函数的单调性得(13)a <(13)b <(12)b ，故C 成立．故选C ． 4．已知函数y ＝log 13(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．( －∞，2)C ．(－12，2]D ．[－12，2]解析：选C ．令u (x )＝x 2－ax ＋3a ，因为外层函数y ＝log 13u 为减函数，所以内层函数u (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且u (1)>0，则a 2≤1，且1＋2a >0，解得－12<a ≤2.故选C ．5．(多选)(2023·山东潍坊模拟)已知a ＝x lg x ，b ＝y lg y ，c ＝x lg y ，d ＝y lg x ，且x ≠1，y ≠1，则( )A ．∃x ，y ∈R ＋，a <b <c <dB ．∀x ，y ∈R ＋，c ＝dC ．∃x ，y 且x ≠y ，a ＝b ＝c ＝dD ．a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1解析：选BD ．由c ＝x lg y ，d ＝y lg x ，两边分别取以10为底的对数，得lg c ＝lg y lg x ，lg d ＝lg x lg y ，所以lg c ＝lg d ，从而c ＝d ，所以B 正确，A 错误；由a ＝x lg x ，b ＝y lg y ，两边分别取以10为底的对数得，lg a ＝lg x lg x ＝(lg x )2>0，可得a >1，lg b ＝lg y lg y ＝(lg y )>0，可得b >1，所以D 正确； 对于选项C ，若a ＝c ，则lg a ＝lg c ，于是lg x lg x ＝lg y lg x ，得lg x ＝lg y ，x ＝y ，这与x ≠y 矛盾．故选BD ．6．若a ＝log 23，3b ＝2，则2a ＋2－a ＝________，ab ＝________. 解析：2a ＋2－a ＝2log 23＋2－log 23＝3＋13＝103.∵3b ＝2，∴b ＝log 32，∴ab ＝log 23×log 32＝lg 3lg 2×lg 2lg 3＝1.答案：10317．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12.答案：x 128．已知函数f (x )满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R ；③f (－x )＝f (x ).写出一个满足上述条件的函数f (x )＝________.解析：f (x )＝ln |x |的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ，且f (－x )＝ln |－x |＝ln |x |＝f (x )，因此f (x )＝ln |x |符合题意．答案：ln |x |(答案不唯一)9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1). (1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x ).所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log a (x ＋1)，x ≥0，log a (－x ＋1)，x <0.(2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a 1a <log a 2<log a a .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a <2，a >2，解得a >2；②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为(0，12)∪(2，＋∞).10．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0，且a ≠1).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，∵当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴0<a <1或1<a <32，∴实数a 的取值范围为(0，1)∪(1，32).(2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数．∵f (x )在区间[1，2]上单调递减，y ＝log a t 在区间[1，2]上单调递增，∴a >1，当x ∈[1，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎨⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32．故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为1.B －能力拔高题组11．(2023·安徽铜陵期中)已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[ －1，1)D ．(－3，－1]解析：选D ．由题意，函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)满足－x 2－2x ＋3>0，解得－3<x <1，即函数f (x )的定义域为(－3，－1).函数g (x )＝－x 2－2x ＋3在(－3，－1]上单调递增，在(－1，1)上单调递减. 因为f (0)<0，即f (0)＝log a 3<0，所以0<a <1，根据复合函数的单调性可得，函数f (x )的单调递减区间为(－3，－1]，故选D ．12．(2023·广东湛江模拟)若函数f (x )＝log a (x 2－2ax ＋52a －1)有最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(25，12)D ．(1，2)解析：选B ．设t ＝x 2－2ax ＋52a －1，要使函数f (x )＝log a (x 2－2ax ＋52a －1)有最大值，则t ＝x 2－2ax ＋52a －1要有最小正值，且y ＝log a t 为减函数，可知0<a <1.要使t ＝x 2－2ax ＋52a－1有最小正值，则Δ＝4a 2－4·(52a －1)<0，解得12<a <2.综上，实数a 的取值范围为(12，1).故选B ．13．(多选)函数f (x )＝log a |x －1|在(0，1)上是减函数，那么( ) A ．f (x )在(1，＋∞)上递增且无最大值 B ．f (x )在(1，＋∞)上递减且无最小值 C ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．∃a ＝2 020，满足f (x )在(0，1)上是减函数解析：选ACD ．由题意，函数f (x )＝log a |x －1|在(0，1)上是减函数，即f (x )＝log a (1－x )在(0，1)上是减函数，因为y ＝1－x 是减函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得a >1，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＝log a |x －1|＝log a (x －1)，因为y ＝x －1是增函数，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且无最大值，所以A 正确，B 错误；又由f (2－x )＝log a |2－x －1|＝log a |x －1|＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以C 正确；由a >1可知，当a ＝2 020时，函数f (x )在(0，1)上是减函数，所以D 正确．故选ACD ．14．已知函数f (x )＝|log 2x |，当0<m <n 时，f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：如图所示，根据函数f (x )＝|log 2x |的图象，得0<m <1<n ，所以0<m 2<m <1.结合函数图象，易知当x ＝m 2时f (x )在[m 2，n ]上取得最大值，所以f (m 2)＝|log 2m 2|＝2，又0<m <1，所以m ＝12，再结合f (m )＝f (n )，可得n ＝2，所以nm＝4.答案：415．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________.解析：当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上可知，实数a 的取值范围是(13，1).答案：(13，1)16．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )log 2x ＝2－2(log 2x －1)2.因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]，故函数h (x )的值域为[0，2].(2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )，得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0，2]恒成立，①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0，2]时，k <(3－4t )(3－t )t 恒成立，即k <4t ＋9t －15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t －15的最小值为－3.所以k <－3.综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3).。

2021年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2对数函数2.2.1对数与对数运算课后训练新人教A版必修基础巩固1．下列说法中，错误的是( )A．零和负数没有对数B．任何一个指数式都可化为对数式C．以10为底的对数叫做常用对数D．以e为底的对数叫做自然对数2．已知log x16＝2，则x等于( )A．±4 B．4C．256 D．23．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若e＝ln x，则x＝e2．其中正确的是( )A．①③ B．②④C．①② D．③④4．的值是( )A． B．1C． D．25．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )A．a＞5或a＜2 B．2＜a＜3或3＜a＜5C．2＜a＜5 D．3＜a＜46．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则＝( )A． B．3 C． D．－37．log56·log67·log78·log89·log910＝( )A．1 B．lg 5C． D．1＋lg 28．方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是__________．9．lg2lg5lg112lg lg82+-+×(lg 32－lg 2)＝__________．10．已知log23＝a，log37＝b，则log1456＝__________(用a，b表示)．11．计算51－log0.23的值．能力提升12．已知a＝log32，则log38－2log36的值是( )A．a－2 B．5a－2C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－113．如果方程(lg x)2＋(lg 2＋lg 3)lg x＋lg 2·lg 3＝0的两根为x1，x2，则x1x2的值为__________．14．设x，y，z均为正数，且3x＝4y＝6z，求证：．15．(学科综合)根据规划，我国工农业生产总值从xx年到2020年经过20年将要翻两番，问年平均增长率至少应为多少？(lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 1.072＝0.030 1) 错题记录参考答案1．B 点拨：A 是对数的性质，C 是常用对数定义，D 是自然对数定义，显然正确．对于B ，任何一个底大于零且不等于1的指数式都可化为对数式，这是对数的定义，但整数指数幂和分数指数幂可以扩大底数的范围，如(－5)2＝25就不能写成log (－5)25＝2．2．B 点拨：由log x 16＝2得x 2＝16，又∵x ＞0，∴x ＝4．3．C 点拨：∵lg 10＝1，ln e ＝1，∴①②正确．由10＝lg x 得x ＝1010，故③错；由e ＝ln x 得x ＝e e ，故④错．4．A 点拨：322822222log 3log 3log 923log 3log 3log 33===． 5．B 点拨：由对数的定义知502021a a a ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，，，即523.a a a <⎧⎪>⎨⎪≠⎩，，故2＜a ＜3或3＜a ＜5．6．A 点拨：∵x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000， ∴ 1 0002.5 1 000111log 1 000log 1000log 2.5x ==＝log 1 0002.5． 同理＝log 1 0000.25，∴＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝．7．C 点拨：原式＝lg 6lg 7lg8lg9lg10lg101lg5lg 6lg 7lg8lg9lg5lg5⋅⋅⋅⋅==． 8．x ＝5 点拨：原方程可化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )，所以x 2－10＝3x ，解得x ＝－2，或x ＝5．经检验知x ＝5．9．4 点拨：原式＝2lg(25)032lg 21lg 82⨯-⨯⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝×lg 24＝4．10． 点拨：由log 23＝a ，log 37＝b ，得log 27＝ab ， 则log 1456＝22222222log 56log 8log 73log 73log 14log 2log 71log 71ab ab+++===+++． 11．解：51－log 0.23＝0.25511log 3log 3log 3log 5355555155553-====＝15． 12．A 点拨：log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2．13． 点拨：可将原方程看作关于lg x 的二次方程，则其根为lg x 1，lg x 2．由根与系数的关系，知lg x 1＋lg x 2＝－(lg 2＋lg 3)＝－lg 6＝，所以x 1x 2＝．14．证明：设3x ＝4y ＝6z ＝t ，由x ，y ，z 均为正数知t ＞1，在上式中取以t 为底的对数，可得x log t 3＝y log t 4＝z log t 6＝1，于是，，．因此＝log t 6－log t 3＝log t 2．∵＝log t2，∴．15．解：设xx年总产值为a，年平均增长率为x，由题意，得a(1＋x)20＝4a，即(1＋x)20＝4．∵将上式化为对数式得lg(1＋x)20＝lg 4，即20lg(1＋x)＝2lg 2＝0.602 0，∴lg(1＋x)＝0.030 1＝lg 1.072．∴1＋x＝1.072，即x＝0.072．故年平均增长率至少应为7.2%．。

第六讲 对数及对数函数一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log m na M ＝n mlog a M . 二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．考向一 对数的运算【例1】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝. （2）若3a=5b=225，则1a +1a = 。

（4）若log a 2=a ，log a 5=a ，则a 3a +a =( 。

【答案】（1）1 （2）12 （3）40【解析】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝lg 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg1 0004＋(1－lg 2)2·(2lg 2＋1) ＝lg 22·(3－2lg 2)＋(lg 22－2lg 2＋1)·(2lg 2＋1)＝1.（2）∵3a =5a =225∴a =log 3225, a =log 5225则1a +1a =log 2253+log 2255=log 22515=12 （3）∵log a 2=a ，log a 5=a ，∴a a =2，a a =5∴a 3a +a =a 3a ⋅a a =23⋅5=40【举一反三】1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为． 【答案】 a －2【解析】 log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33) ＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 2．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝.【答案】 1【解析】 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得x log 63＝y log 64＝2， ∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1y ＝log 62，故2x ＋1y＝log 63＋log 62＝1.3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝.【答案】 10【解析】 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.4．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.【答案】 1【解析】 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.5.已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z，且1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．【答案】1【解析】 令a x ＝b y ＝c z＝k .由已知k >0且k ≠1，于是x lg a ＝y lg b ＝z lg c ＝lg k ，故1x ＝lg a lg k ，1y ＝lg b lg k ，1z ＝lg c lg k .因为1x ＋1y ＋1z ＝0，所以lg a ＋lg b ＋lg c lg k ＝0，即lg (abc )lg k ＝0.故lg(abc )＝0，得abc ＝1.6.设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．【答案】±55. 【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，log a C ·log b C ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1log Ca ＋1log Cb ＝3，1log Ca ·log Cb ＝1，于是有⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，log C a ·log C b ＝1，(log C a －log C b )2＝(log C a ＋log C b )2－4log C a ·log C b ＝32－4＝5，故log C a －log C b ＝± 5.于是log a bC ＝⎝⎛⎭⎪⎫log C a b －1＝1log C a －log C b ＝±55.7.方程33x －56＝3x －1的实数解为．【答案】 x ＝log 32【解析】 原方程可化为2(3x )2＋5·3x－18＝0，即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，得x ＝log 32.考向二 对数函数的判断【例2】函数a (a )=(a 2+a −5)log a a 为对数函数，则a (18)等于( ) A ．3 B ．−3 C ．−log 36 D ．−log 38 【答案】B【解析】因为函数a (a ) 为对数函数，所以函数a (a )系数为1，即a 2+a −5=1，即a =2或−3，因为对数函数底数大于0，所以a =2，a (a )=log 2a ，所以a (18)=−3。

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节对数与对数函数学案文含解析新人教A 版第六节 对数对数函数2019考纲考题考情1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

(2)几种常见对数(1)对数的性质 ①alog aN＝N (a >0且a ≠1，N >0)。

②log a a N＝N (a ＞0，且a ≠1)。

(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零，且不等于1，N >0)。

②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。

(3)对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N 。

②log a M N＝log a M －log a N 。

③log a M n＝n log a M (n ∈R )。

④log am M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R )。

3．对数函数的图象与性质4.y ＝a x与y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的关系指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称。

1．指数与对数的等价关系：a x＝N ⇔x ＝log a N 。

2．换底公式的三个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log am b n＝n mlog a b ；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。

3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。