线性代数重要定理及公式手册

1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ijM A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-；(1)22(1)n n D D -=-将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A BCB O B==、(1)m n CA OA A BB OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数） ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTmβββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 是否有AX B ⇔=解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ） ②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。

《线性代数》公式大全1.向量1.1向量的加法和减法v1=(x1,y1,z1)v2=(x2,y2,z2)v1+v2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)v1-v2=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)1.2向量的数量乘法v=(x,y,z),k是一个实数kv = (kx, ky, kz)1.3向量的点积v1·v2=x1x2+y1y2+z1z21.4向量的模长v，=√(x^2+y^2+z^2)2.矩阵2.1矩阵的加法和减法A = (aij),B = (bij)是两个m x n矩阵A +B = (aij + bij)A -B = (aij - bij)2.2矩阵的数量乘法A = (aij)是一个m x n矩阵，k是一个实数kA = (kaij)2.3矩阵的乘法A = (aij)是一个m x n矩阵，B = (bij)是一个n x p矩阵AB = (cij)是一个m x p矩阵，其中cij = a1j*b1i + a2j*b2i+ ... + anj*bni2.4矩阵的转置A = (aij)是一个m x n矩阵A的转置为A^T = (aij)^T = (aji)2.5矩阵的逆A为可逆矩阵，A^-1为其逆矩阵，满足AA^-1=A^-1A=I，其中I为单位矩阵3.行列式3.1二阶行列式D=，abc d， = ad - b3.2三阶行列式D=，abcdeg h i， = aeI + bfG + cdH - ceG - afH - bd3.3n阶行列式D=，a11a12 (1)a21a22...a2...........an1 an2 ... ann， = (-1)^(i+j)*Mij，其中Mij为aij的代数余子4.线性方程组4.1齐次线性方程组Ax=0，其中A为一个mxn矩阵4.2非齐次线性方程组Ax=b，其中A为一个mxn矩阵，x为一个n维列向量，b为一个m维列向量4.3线性方程组的解法4.3.1矩阵消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组转化为行阶梯形或最简形4.3.2克拉默法则Ax = b的解可以表示为x = (Dx1/D, Dx2/D, ..., Dxn/D)，其中D 为系数矩阵A的行列式，Di为将第i列的系数替换为b后的行列式4.3.3矩阵求逆法若A为可逆矩阵，则Ax=b的解可以表示为x=A^(-1)b以上是线性代数的一些重要公式，通过理解和掌握这些公式，可以帮助我们解决线性代数相关的问题和应用。

线性代数第一章行列式一、相关概念1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里 是1，2，·n的一个排列。

当 是偶排列时，该项的前面带正号；当 是奇排列时，该项的前面带负号，即(1.1)这里表示对所有n阶排列求和。

式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。

2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。

一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。

用 表示排列 的逆序数。

3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。

4.2阶与3阶行列式的展开—— ，5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去 所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式称为 的余子式，记为 ；称为 的代数余子式，记为 ，即 。

6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作 。

二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。

2.两行互换位置，行列式的值变号。

特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。

4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即|A|按i行展开的展开式|A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；2.关于副对角线的n阶行列式的值3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则4.范德蒙行列式5.抽象n阶方阵行列式公式 (矩阵)若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值：；； |AB|=|A||B|；；；；若 ，则，且特征值相同。

线性代数公式大全第一章 行列式1．逆序数 1.1 定义n 个互不相等的正整数任意一种排列为：12n i i i ⋅⋅⋅，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用()12n i i i τ⋅⋅⋅表示，()12n i i i τ⋅⋅⋅等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。

1.2 性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ()211ττ=-。

证明如下：设排列为111l m n a a ab b bc c ，作m 次相邻对换后，变成111l m n a a abb b c c ，再作1m +次相邻对换后，变成111l m n a a bb b ac c ，共经过21m +次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少1 ，相当于()211ττ=-，也就是排列必改变改变奇偶性，21m +次相邻对换后()()2121111m τττ+=-=-，故原命题成立。

2．n 阶行列式的5大性质性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。

性质2：互换任意两行（列）其值变号。

性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。

性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。

性质5：把行列式某行（列）λ倍后再加到另一行（列），其值不变。

行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。

对性质4的重要拓展： 设n 阶同型矩阵，()()(); ij ij ij ij A a B b A B a b ==⇒+=+，而行列式只是就某一列分解，所以，A B +应当是2n个行列式之和，即A B A B+≠+。

韦达定理的一般形式为：()121201201110; ; 1n nnn n n n n n n n n i i j i i i j i n n n a a aa x a xa xa x x x x a a a ------=≠==++++=⇒=-==-∑∑∏一、行列式定义 1．定义111212122212n n n n nna a a a a a a a a n n nj j j j j j a a a 221211)()1(τ∑-=其中逆序数 ()121n j j j j τ=后面的1j 小的数的个数 2j +后面比2j 小的数的个数+1n j -+后面比1n j -小的数的个数.2．三角形行列式1112122200n n nna a a a aa 11212212000n n nna a a a a a =1122nn a a a=1211000n n n nn nna a a a a -111212122100n n a a a a a a =()()12112111n n n n n a a a τ-⋅⎡⎤⎣⎦-=-()()1212111n n n n n a a a --=-二、行列式性质和展开定理1．会熟练运用行列式性质，进行行列式计算. 2．展开定理1122i k i k in kn ik a A a A a A A δ+++=A A a A a A a jk nk nj k j k j δ=+++2211三、重要公式 设A 是n 阶方阵，则 1．T A A =2．11A A--=3．1*n A A-=4．n kA k A =5．AB A B =，其中B 也是n 阶方阵6．设B 为m 阶方阵，则00A C A A B B CB ==()10mnAC A A BB CB==-7．范德蒙行列式()1222212111112111n ijnj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏四．有关结论 1．对于,n n n n A B ⨯⨯(1)00A A ⇒==⇐ (2) A B A B⇒==⇐2.A 为n 阶可逆矩阵A E A E ⇔→⇔→行变列变（A 与E 等价）0AX ⇔=只有惟一零解AX b ⇔=有惟一解（克莱姆法则） A ⇔的行（列）向量组线性无关 A ⇔的n 个特征值0,1,2,,i i n λ≠=⇔A 可写成若干个初等矩阵的乘积 ⇔)()(B r AB r = ⇔A A T 是正定矩阵⇔A 是n R 中某两组基之间的过渡矩阵3.A 为n 阶不可逆矩阵0=A 0AX ⇔=有非零解 ⇔n A r <)( ⇔0是A 的特征值 ⇔A A -=4.若A 为n 阶矩阵，)2,1(n i i =λ为A 的n 个特征值，则∏==ni i A 1λ5.若B A ~，则B A =行列式的基本计算方法：1. 应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。

一、矩阵的基本运算1.AB B A +=+2.()()C B A C B A ++=++3.()A -A O+=()-=+-A B A B 4.()B A B A λλλ+=+()AA A μλμλ+=+5.()()λμλμ=A A6.00=⇔=k kA 或=A O7.()TT AA=()TT TA B A B ±=±()()TT kA k A =()TT TAB B A =转置行列式不变T A A =逆值变AA 11=-AA n λλ=8.γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+9.()321,,ααα=A ，()321,,βββ=B ，3阶矩阵BA B A +≠+()332211,,βαβαβα+++=+B A 332211,,βαβαβα+++=+B A B A BA B A =*=*0010.()()1,=c j i E 二、有关矩阵乘法的基本运算C AB =，即1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++ .1.线性性质()B A B A B A A 2121+=+()2121AB AB B B A +=+()()()B A AB B A λλλ==2.结合律()()BC A C AB =3.()TTTAB B A =4.B A AB =5.lk lkAA A +=()kllk A A =()k k kB A AB =不一定成立！6.A AE =，A EA =，()kA kE A =，()kA A kE =，E BA E AB =⇔=与数的乘法的不同之处：()kkkB A AB =不一定成立！7.无交换律因式分解的障碍是交换性，一个矩阵A 的每个多项式可以因式分解，例如()()E A E A E A A +-=--33228.无消去律（矩阵和矩阵相乘）由=AB O ⇒=/A O 或=B O 由≠A O 和=⇒=/AB O B O 由≠A O 时C B AC AB =⇒/=（无左消去律）特别地，设A 可逆，则A 有消去律.左消去律：C B AC AB =⇒=右消去律：CB CA BA =⇒=如果A 列满秩，则A 有左消去律，即①00=⇒=B AB ；②C B AC AB =⇒=三、可逆矩阵的性质1.当A 可逆时，⑴TA 也可逆，且()()1TT 1A A --=；⑵k A 也可逆，且()()kk A A11--=；⑶数0≠λ，A λ也可逆，()111--=A A λλ.2.若A ，B 是两个n 阶可逆矩阵，则AB 也可逆，且()111---=A B AB 推论：设A ，B 是两个n 阶矩阵，则E BA E AB =⇔=3.命题：初等矩阵都可逆，且()()()j i E j i E ,,1=-；()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-c i E c i E 11；()()()()()c j i E c j i E -=-,,1.4.命题：准对角矩阵kkA A A A 0000000002211 =可逆⇔每个ii A 都可逆，记11221111000000000----=kkA A A A .5.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()R =A n （是满秩矩阵）⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组=0Ax 没有非零解；⇔R ∀∈n b ，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0；⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是R n 的一组基；⇔A 是R n 中某两组基的过渡矩阵.6.逆矩阵的求法①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→ 初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦TT T T T A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21111211na a na a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦四、伴随矩阵的基本性质：1.EA A A AA ==**2.当A 可逆时，E A A A =*（求逆矩阵的伴随矩阵法）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==----A A A A A 1111*3.伴随矩阵的其他性质1*-=A A A ⑵()(),**TT A A =⑶()**1A ccA n -=,⑷()*,**A B AB =⑸()()kkA A **=，2=n 时,()A A =**,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=a c b d A *.⑺伴随矩阵的特征值：*1*(,)AA AX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =.4.关于矩阵右上肩记号：T ，k ，1-，*⑴任何两个的次序可交换，如()()TT**AA =，11()()--=T T A A ，()()**11--=A A ⑵()()111,---==A B AB A B AB TTT，()***A B AB =但()k k kA B AB =不一定成立！五、线性表示全课程的理论基础：线性表示→线性相关性→极大无关组和秩→矩阵的秩1.⑴s ααα,,,021 →⑵si αααα,,,21 →⑶βααααααβ=+++⇔→s s s x x x 221121,,,有解()βααα=⇔x s ,,,21 有解()()T1,,s x x x = β=Ax 有解，即β可用A 的列向量组表示⑷()s r r r C AB ,,,21 ==，()n A ααα,,,21 =，则n s r r r ααα,,,,,,2121 →.⑸s t αααβββ,,,,,,2121 →，则存在矩阵C ，使得()()Cs t αααβββ,,,,,,2121 =2.线性表示关系有传递性当p s t r r r ,,,,,,,,,212121 →→αααβββ，则p t r r r ,,,,,,2121 →βββ.3.等价关系：如果sααα,,,21 与tβββ,,,21 互相可表示t s βββααα,,,,,,2121 ←→,记作t s βββααα,,,,,,2121 ≅.4.线性相关如果向量组12,,,s ααα 中有向量可以用其它的s -1个向量线性表示,就说12,,,s ααα 线性相关.如果向量组12,,,s ααα 中每个向量都不可以用其它的s -1个向量线性表示,就说12,,,s ααα 线性无关.⑴1=s ，单个向量α,0=αx ,α相关0=⇔α⑵2=s ,21,αα相关⇔对应分量成比例即21,αα相关nn b a b a b a :::2211===⇔①()n A ααα,,,21 =，=0Ax 有非零解0=⇔A ②如果n s >，则s ααα,,,21 一定相关，=0Ax 的方程个数<n 未知数个数s ③如果s ααα,,,21 无关，则它的每一个部分组都无关④如果s ααα,,,21 无关，而βααα,,,,21s 相关，则sαααβ,,,21 →⑤当s ααβ,,1 →时，表示方式唯一s αα 1⇔无关（表示方式不唯一s αα 1⇔相关）⑥若s t ααββ,,,,11 →，并且s t >，则t ββ,,1 一定线性相关⑦s ααα,,,21 “线性相关还是无关”就是向量方程11220s s x x x ααα+++= “有没有非零解”.5.各性质的逆否形式⑴如果s ααα,,,21 无关，则ns ≤⑵如果s ααα,,,21 有相关的部分组，则它自己一定也相关⑶如果s αα 1无关，而s ααβ,,1 →/，则βαα,,,1s 无关⑷如果s t ααββ 11→，t ββ 1无关，则s t ≤推论：若两个无关向量组s αα 1与t ββ 1等价，则t s =6.极大无关组⑴设s ααα,,,21 是n 维向量组,12,,,ααα 是它的一个部分组.如果①12,,,r ααα 线性无关，②12,,,r ααα 就称12,,,r ααα 为s ααα,,,21 的一个最大无关组.称12,,,r ααα 中所包含向量的个数为s ααα,,,21 的秩.记作R (s ααα,,,21 ).⑵①s ααα,,,21 无关⇔()sR s =ααα,,,21 ②()()s s s R R ααβααααααβ,,,,,,,,,12121 =⇔→另一种说法：取s ααα,,,21 的一个最大无关组()*，()*也是βααα,,,,21s 的最大无关组⇔()β,*相关.③β可用s αα,,1 唯一表示()()s R R s s ==⇔ααβαα,,,,,11 ④()()s t s s t R R ααββααααββ,,,,,,,,,,,11111 =⇔→()()s t R R ααββ,,,,11 ≤⇒⑤⇔≅t s ββαα,,,,11 ()()()t t s s R R R ββββαααα,,,,,1111 ==⑶矩阵与向量组的对比矩阵的秩如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()R A r=向量组的秩向量组12,,,n ααα 的最大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n R ααα 矩阵等价A 经过有限次初等变换化为B .记作：A B= 向量组等价12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示.记作()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 7.矩阵的秩的简单性质⑴①A 行满秩：()m A R =，A 列满秩：()n A R =②(){}n m A R ,min 0≤≤，()00=⇔=A A R ③n 阶矩阵A 满秩：()nA R =A 满秩A ⇔的行（列）向量组线性无关0≠⇔A A ⇔可逆0=⇔Ax 只有零解，β=Ax 唯一解⑵T()()R R =A A ⑶0≠c 时，()()A R cA R =⑷若≅A B ，则()()R R =A B ⑸若P 、Q 可逆，则()()()()R R R R ===A PA AQ PAQ （可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑹{}max (),()(,)()()R R R R R ≤≤+A B A B A B ⑺()()()R R R +≤+A B A B ⑻()()(){}B R A R AB R ,min ≤，()0()00R A k R kA k ≠⎧=⎨=⎩若若⑼如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：①B 的列向量全部是齐次方程组=0Ax 解（转置运算后的结论）；②()()R R +≤A B n⑽若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()R R R n ≥+-AB A B ；⑾,()()A R AB R B =若可逆则，,()()B R AB R A =若可逆则⑿()()A R R A R B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦六、线性方程组1.解的性质1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==- 是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其对应的其次线性方程组的解是的解是的两个解是其对应的其次2112121122121122120(6),0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ==⇔-==++=⇔++=++=⇔++= 线性方程组的解是的解则也是它的解是其对应的其次线性方程组的解是的解则也是的解是的解2.解的情况判别方程：β=Ax ，即βααα=+++n n x x x 2211，有解nαααβ,,,21 →⇔()()R A R A β⇔= ()()n n R R αααβααα,,,,,,,2121 =⇔无解()()R A R A β⇔> 唯一解()()R A R A n β⇔== 无穷多解()()R A R A nβ⇔=< 3.对于方程个数m 有()(),R A m R A m β≤≤ ，①当()m A R =时，()R A m β= ，方程组一定有解②当n m <时，()n A R <，方程组不会是唯一解4.对于齐次线性方程组=0Ax ，只有零解()n A R =⇔（即A 列满秩）有非零解()nA R <⇔5.矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AXB XA B ==(I)或(II)，A B E X −−−−→ 初等行变换(I)的解法：构造()()T T T T A X B X X=(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得七、特征值、特征向量1.两种特殊情形：（1）A 是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*=321000**λλλA ()()()3213210**λλλλλλ---=-*-----=-x x x x x x A xE （2）()1=A R 时：A 的特征值为()0,0,,0,tr A 2.特征值的性质⑴命题：n 阶矩阵A 的特征值λ的重数()A E r n --≥λ⑵命题：设A 的特征值为n,,,21λλλ ，则②()A tr n =+++21λλλ ⑶命题：设η是A 的特征向量，特征值为λ，即ληη=A ，则①对于A 的每个多项式()A f ，()()ηηx f A f =②当A 可逆时，λη11=-A ，ηλη||*A A =⑷命题：设A 的特征值为n ,,,21λλλ ，()f x 是多项式则①()A f 的特征值为()()()n f f f ,,,21λλλ②A 可逆时，1-A 的特征值为n1,,1,121λλλ *A 的特征值为nA A A 21||,,||,||λλλ ③TA 的特征值也是n,,,21λλλ⑸1122,.m m Ak kAa b aA bEAA A A A λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值⑹1221,m mk kA a b aA bE Ax A x A A A Aλλλλλλλ-*⎧⎪+⎪+⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量.３．计算特征值和特征向量的一般公式⑴①λ是A 的特征值()0λη⇔-=A E ,即()λ-A E 不可逆．②η是属于λ的特征向量⇔η是齐次方程组()λ-=0A E x 的非零解规定Ａ的特征多项式为λ-E A ，则Ａ的特征值就是它的特征多项式的根．４．计算特征值和特征向量的具体步骤为：①计算Ａ的特征多项式．②求出它的根，即Ａ的特征值．③然后对每个特征值i λ，求齐次方程组()i λ-=0A E x 的非零解，即属于λ的特征向量．说明⑴n 阶矩阵的特征多项式是一个n 次多项式，一般来说求它的根是困难的，因此上述计算步骤②并不总是可行的，只能用在少数特殊矩阵上．例如用于对角矩阵和三角矩阵，得出它们的特征值就是对角线上的元素．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛***=32100λλλA ，则()()()321321000λλλλλλλλλλλλλ---=-*--*-*--=-A E ，⑵ｎ阶矩阵Ａ的特征值共有ｎ个（其中有的相同，有的是虚数），规定特征值λ的重数：即λ作为特征多项式的根的重数．Ａ的全体不同特征值的重数和等于ｎ．⑶λ不是Ａ的特征值⇔0A λλ-≠⇔-A E E 可逆．０不是Ａ的特征值⇔Ａ可逆．５．特征值的计算设Ａ是ｎ阶矩阵，记Ａ的全体特征值为n λλλ,,,21 ．则))()((321333231232221131211λλλλλλλλλλ---=---------=-a a a a a a a a a A E ①令0=λ，左＝A A n)1(-=-，右＝n nλλλ 21)1(-．②比较两边1-n λ的系数．命题２设λ是n 阶矩阵Ａ的特征值，则它的重数()n R A E λ≥--．应用：如果n 阶矩阵Ａ的秩R （Ａ）＝１，（ｎ＞１），则０是Ａ的特征值，并且重数()1n R n ≥-=-A ．于是Ａ的特征值为０，０，…，０，ｔｒ（Ａ）．6.特征值的应用①求行列式nA ,,,||21λλλ =②判别可逆性E A λ-可逆λ⇔不是A 的特征值当()0=A f 时，如果()0≠c f ，则cE A -可逆若λ是A 的特征值，则()λf 是()A f 的特征值()0=⇒λf ()c c f ⇒≠0不是A 的特征值AcE ⇔可逆.八、n 阶矩阵的相似关系当UA AU =时，A B =，而UA AU ≠时，A B ≠.1.相似关系有i ）对称性：AB B A ~~⇔ii ）有传递性：B A ~，C B ~，则CA ~2.命题当B A ~时，A 和B 有许多相同的性质①B A =②()()B R A R =③A ，B 的特征多项式相同，从而特征值完全一致④A 与B 的特征向量的关系：η是A 的属于λ的特征向量η1-⇔U 是B 的属于λ的特征向量.九、n 阶矩阵的对角化问题１．如果一个n 阶矩阵相似与一个对角矩阵，就说它可以对角化．并不是每个矩阵都可以对角化的．２．⑴判别法则１n 阶矩阵Ａ可对角化⇔Ａ有n 个线性无关的特征向量．实现方法１以Ａ的n 个线性无关的特征向量1η，2η，…，n η为列向量，构造矩阵Ｐ＝（1η，2η，…，n η），则Ｐ－１ＡＰ是对角矩阵．⑵判别法则２Ａ可对角化⇔对于Ａ的每个特征值λi ，其重数ｋｉ＝n －r （Ａ－λｉＥ）．实现方法２对Ａ的每个特征值λi ，求（Ａ－λi Ｅ）Ｘ＝０的基础解系，合在一起，就是Ａ的ｎ个线性无关的特征向量．用它们构造矩阵Ｐ．注意：当k i ＝１时，k i ＝n －r （Ａ－λi Ｅ）一定成立！⑶推论如果Ａ的特征值两两不相同，则Ａ可以对角化．３．内积，正交矩阵和实对称矩阵的对角化⑴内积的性质：①正定性：0),(≥αα，并且00),(=⇔=ααα．22221),(n a a a +++= αα．②对称性：),(),(αββα=．③线性性质：),(),(),(2121βαβαββα+=+；),(),(),(2121βαβαβαα+=+．),(),(),(βαβαβαc c c ==．（ｃ为任意实数）⑵正交矩阵①n 阶矩阵A 称为正交矩阵，如果它是实矩阵，并且T=AA E （即1T -A =A ）．②Ｑ是正交矩阵⇔Ｑ的列向量组是单位正交向量组⇔Ｑ的行向量组是单位正交向量组．③正交矩阵的性质：(ⅰ)T1A A -=；(ⅱ)T TAA A A E ==；(ⅲ)A 是正交阵,则TA （或1A -）也是正交阵；(ⅳ)两个正交阵之积仍是正交阵；(ⅴ)正交阵的行列式等于1或-1.⑶施密特正交化这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法．以３个线性无关向量1α，2α，3α为例．（ⅰ）令11αβ=，1111222),(),(ββββααβ-=，1111333),(),(ββββααβ-=22223),(),(ββββα-．此时1β，2β，3β是和1α，2α，3α等价的正交非零向量组．（ⅱ）单位化：作111ββη=，222ββη=，333ββη=，则1η，2η，3η是和1α，2α，3α等价的单位正交向量组．⑷实对称矩阵的对角化如果A 是实对称矩阵,A 的特征值和特征向量有以下特点:①特征值都是实数.②对每个特征值λ,其重数=n -r (A -λE ).即实对称矩阵可对角化,③属于不同特征值的特征向量互相正交.可以用正交矩阵将实对称矩阵A 对角化,构造正交矩阵Q (使得Q -1AQ 是对角矩阵)的步骤:①求出A 的特征值;②对每个特征λ,求(A -λE )X =0的单位正交基础解系,合在一起得到A 的n 个单位正交的特征向量;③用它们为列向量构造正交矩阵Q .十、正定二次型与正定矩阵性质与判别1.可逆线性变换替换保持正定性，()n x x x f ,,,21 变为()n y y y g ,,,21 ，则它们同时正定或同时不正定.2.B A -~，则A ，B 同时正定，同时不正定.3.实对称矩阵Ａ正定⇔正惯性指数为n ；⇔A 的特征值全大于0；⇔A 的所有顺序主子式全大于0；⇔A 合同于E ，即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =；⇔存在可逆矩阵P ，使T A P P =（从而0A >）；⇔存在正交矩阵，使12T 1n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （i λ大于0）.⇒成为正定矩阵的必要条件：0ii a >；0A >.4.判断A 正定的三种方法：①顺序主子式法。

线性代数重要公式定理大全线性代数是数学中的一个重要分支，它研究矩阵、向量、线性方程组等基本概念和性质，并运用线性代数的理论和方法解决实际问题。

在学习线性代数时，了解一些重要的公式和定理，不仅可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的知识，还能为进一步学习和研究提供基础。

在线性代数中，有许多公式和定理与行列式、矩阵、向量、线性变换和特征值等相关。

下面我将介绍一些重要的公式和定理，希望对你的学习有所帮助。

一、行列式的公式和定理1. 行列式的定义：设有n阶方阵A，它的行列式记作，A，或det(A)，定义为：A，=a₁₁A₁₁-a₁₂A₁₂+...+(-1)^(1+n)a₁ₙA₁其中，a₁₁，a₁₂，...，a₁ₙ分别是矩阵第一行元素，A₁₁，A₁₂，...，A₁ₙ是矩阵去掉第一行和第一列的余子式。

2.行列式的性质：（1）行互换改变行列式的符号，列互换改变行列式的符号。

（2）行列式相邻行（列）对换，行列式的值不变。

（3）行列式其中一行（列）中的各项都乘以同一个数k，行列式的值也乘以k。

（4）互换行列式的两行（列），行列式的值不变。

（5）若行列式的行（列）的元素都是0，那么行列式的值为0。

（6）行列式的其中一行（列）的元素都是两数之和，那么行列式的值等于两个行列式的值之和。

3.行列式的计算：（1）按第一行展开计算行列式：将行列式的第一行元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。

（2）按第一列展开计算行列式：将行列式的第一列元素与其所对应的代数余子式相乘，然后加上符号，得到行列式的值。

4.行列式的性质定理：（1）拉普拉斯定理：行列式等于它的每一行（列）的元素与其所对应的代数余子式的乘积之和。

（2）行（列）对阵定理：行列式的值等于它的转置矩阵的值。

（3）行列式的转置等于行列式的值不变。

二、矩阵的公式和定理1.矩阵的定义：将一个复数域上的m行n列数排成一个长方形，并按照一定的顺序进行排列，这个排列称为一个m×n矩阵，其中m是矩阵的行数，n是矩阵的列数。

大一线性代数知识点公式线性代数是大一数学课程中的一门重要学科，涵盖了许多核心概念和基本公式。

下面将介绍一些大一线性代数中常见的知识点和相关公式。

1. 向量的加法和标量乘法向量的加法和标量乘法是线性代数中最基本的运算。

对于向量v和w，其加法定义为：v + w = (v₁ + w₁, v₂ + w₂, ..., vₙ + wₙ)其中vᵢ和wᵢ是向量v和w的第i个分量。

标量乘法定义为：k · v = (k · v₁, k · v₂, ..., k · vₙ)其中k是一个实数。

2. 向量的点乘和模长向量的点乘也称为向量的内积或数量积。

对于向量v和w，其点乘定义为：v ∙ w = v₁w₁ + v₂w₂ + ... + vₙwₙ点乘的结果是一个实数。

另外，向量的模长定义为：‖v‖ = √(v₁² + v₂² + ... + vₙ²)模长表示向量的长度或大小。

3. 矩阵的加法和标量乘法矩阵的加法和标量乘法也是线性代数中常见的操作。

对于m×n 的矩阵A和B，其加法定义为：A +B = [aᵢₙ + bᵢₙ]其中aᵢₙ和bᵢₙ是矩阵A和B的第i行第j列的元素。

标量乘法定义为：k · A = [kaᵢₙ]其中k是一个实数。

4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是线性代数中最重要的运算之一。

对于m×n的矩阵A和n×p的矩阵B，它们的乘积AB定义为：AB = [cᵢₙ]其中cᵢₙ是矩阵乘积的第i行第j列的元素，计算公式为：cᵢₙ = aᵢ₁b₁ₙ + aᵢ₂b₂ₙ + ... + aᵢₙbₙₙ5. 行列式的计算行列式是线性代数中独特的概念，用于描述矩阵的性质。

对于n阶方阵A，其行列式定义为|A|或det(A)。

行列式的计算公式较复杂，可以通过展开定理、高斯消元法等方法进行计算。

6. 矩阵的转置和逆矩阵的转置是将其行和列对调得到的新矩阵。

线性代数N阶行列式定理1：任意一个排列经过对换后，其奇偶性改变。

推论：奇排列变成自然数顺序排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然数顺序排列的对换次数为偶数。

定理2：n个自然数（n-1）共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。

行列式的性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。

性质2：交换行列式的两行（列），行列式变号。

*注2：交换i,j两列，记为ri↔ri（ci↔cj）。

推论1：如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，那么该行列式必为零。

性质3：用数k乘行列式的某一行（列），等于用k乘此行列式。

注3：第i行（列）乘以k，记为ri×k（ci×k）。

推论2：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

推论3：在一个行列式中，如果有两行（列）元素成比例，则这个行列式必等于零。

性质4：如果将行列式的某一行（列）的每个元素都改写成两个数的和，则此行列式可写为两个行列式的和，且这两个行列式分别为所在行（列）对应位置的元素，其它元素不变。

#注4：上述结果可推广到有限个数和的情形。

性质5：将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一个行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。

注5：以数k乘第j行加到第i行上，记作ri+krj；以数k乘第j列加到第i列上，记作ci+kcj。

行列式按行（列）展开余子式：Mij 代数余子式：Aij=（-1）i+j Mij引理：一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除aij外都为0，则该行列式等于aij 与它代数余子式的乘积，即D=aijAij[定理：行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

推论：行列式某一行（列）的每元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

k阶行列式：在n阶行列式D中，任意选定k行k列，位于这些行和列交叉处的k²个元素，按原来顺序构成一个k阶行列式M,称为D的一个k阶子式，划去这k行k列，余下的元素按原来的顺序构成一个n-k阶行列式，在其前面冠以符号(-1)的（i1+i2+…+i k+j1+j2+…+j k）次方，称为M的代数余子式，其中i1,i2,…,i k为k阶子式M在D中的各行标，j1,j2,…,j k为M在D 中的各列标。

1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nn k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵） ⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数） ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTmβββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,s ααα线性相关，则121,,,,s s αααα+必线性相关；若12,,,s ααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3） 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论）8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9.对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10.若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）11.齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B 与K 的列向量组具有相同线性相关性） （必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法）注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ） ②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则T C AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ○注：全体n 维实向量构成的集合nR 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量○注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+<⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩有非零解=-⎫⎪≅⎪−−−→⎬⎪⎪⎭:;具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n¡的标准基，n¡中的自然基，单位坐标向量87p 教材；②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑LL L L L M M M L1√ 行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OA A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-K NN 1 （即：所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和）⑤范德蒙德行列式：()1222212111112n i j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L L M M M L 称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m n A a ⨯=或m n A⨯()1121112222*12n Tn ijn n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:① 1A A A *-= ○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 L L 主换位副变号 ②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mnA A =√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪ ⎪⋅⋅⋅=⎪⎪⎝⎭L L L M M M L ⇔i iA c β= ，(,,)i s =L 1,2⇔iβ为iAx c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L ⇔12,,,s c c c L 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵.同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，T A 为系数矩阵.即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L ⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L √ 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量； 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√ 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O C B B CA B ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫=⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B BB A **⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→MM 初等行变换(I)的解法：构造()()T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示.⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=.⑨ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0⑪ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ； 对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r =向量组12,,,n αααL 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααLA 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =%12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅%⑫ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ B =，,P Q 可逆⇔()(),,,r A r B A B A B =≠>为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑬ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔AX B =有解⇔12(,,,)=n r ααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；p 教材94,例10 ⑯ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑰ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑱ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑲ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关. √ 矩阵的秩的性质：①()A O r A ≠⇔若≥1 ()0A O r A =⇔=若 0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n ②()()()TTr A r A r A A == p 教材101,例15③()()r kA r A k =≠ 若0④()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥()()()()A r AB r B B r AB r A ⇒=⇒=若可逆若可逆 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B OA AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧()rrE O E O r A r A A O O O O ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70⑩()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭121212,,,0,,,()(),,,A n n A n Ax A n Ax Ax r A r A Ax A n βαααβαααβββααα⇔=−−−−−→=<⇔⇒⇔=⇔=⇔=⇔=−−−−−→≠⇒=⇔⇒L L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解0表示法不唯一线性相关有非零解可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一 线127()(),,,()()()1()n Ax r A r A Ax r A r A r A r A οββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⇔=⎪⎩⎧⇔≠⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩M L M M 教材72讲义8性无关只有零解不可由线性表示无解 ○注：AxAx ββ⇒=<≠⇒=<≠有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M ML 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M 11212(,,,)n n x x x αααβ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L M线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =⇒()()r A r A β=M⇒Ax β=一定有解， 当m n <时,一定不是唯一解⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM和的上限. √ 判断12,,,s ηηηL 是Ax ο=的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηηL 线性无关； ② 12,,,s ηηηL 都是Ax ο=的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξL 是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*L 线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 两个齐次线性线性方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔()()A r r A r B B ⎛⎫==⎪⎝⎭. √ 两个非齐次线性方程组Ax β=与Bx γ=都有解，并且同解⇔()()A r r A r B B βγ⎛⎫==⎪⎝⎭MM .√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）；101p 教材 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）. √ 关于公共解的三中处理办法：① 把(I)与(II)联立起来求解；② 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设123,,ηηη是(I)的基础解系, 45,ηη是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解⇔基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即：1231231425(,,)(,,)r r c c ηηηηηηηη=+M当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设11122c c ξηη++是(I)的通解，233c ξη+是(II)的通解，两方程组有公共解⇔2331c ξηξ+-可由12,ηη线性表示. 即：12122331(,)(,)r r c ηηηηξηξ=+-M③ 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确A可逆r(A) nA的列（行）向量线性无关的特征值全不为0AA 0 A x x Ax只有零解，nR, Ax总有唯一解TA A是正定矩阵A EA p p p p 是初等阵1 2 s i存在n阶矩阵B,使得AB E 或AB E○注：全体n维实向量构成的集合nR叫做n维向量空间.A不可逆r(A) n0 的列（行）向量线性相关AA0是的特征值A有非零解, 其基础解系即为关于0的特征向量AxAr (aE bA) n○注aE bA (aE bA) x 有非零解=- ab1向量组等价矩阵等价( )矩阵相似( )具有反身性、对称性、传递性矩阵合同( )√关于e e e ：1, 2, , n①称为n 的标准基，n 中的自然基，单位坐标向量p教材87 ；②e1,e2, ,e n 线性无关；③e1,e2, ,e n 1；④tr E=n ；⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2 , ,e n 线性表示.a a a11 12 1n行列式的定义a a a21 22 2n ( j j j )1D ( ) a a an 1j 2 j nj1 2 n1 2 nj j j1 2 na a an1 n2 nn√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.2②若A与B 都是方阵（不必同阶）, 则A O A A O=O B O B BO A A= ( 1)B O B OmnABA B（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.a O a1n1n④关于副对角线：a a2n 1 2n 1n(n1)( 1) 2 （即：所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）a a a1n 2n n1a O a On1 n11 1 1x x x1 2 n⑤范德蒙德行列式： 2 2 2x x x1 2 nx xi j1 j i nn 1 n 1 n 1x x x1 2 na a a11 12 1n矩阵的定义由m n个数排成的m 行n列的表 A a a a21 22 2n 称为m n矩阵. 记作：A a 或A m nij m na a am1 m2 mnA A A11 21 n1伴随矩阵*A AijA A AT n12 22 2，A为 A 中各个元素的代数余子式.ijA A A1n 2n nn√逆矩阵的求法:3① A 1AA○注：1a b 1 d b 主换位c d ad bc c a 副变号②初等行变换1( A E) (E A )a11 1a1a11 1a3③ a21a2a21a2 a31a3a31a1√方阵的幂的性质：m n m n m n mnA A A (A ) (A)√设A m n ,B n s, A 的列向量为1, 2, , n , B 的列向量为1, 2 , , s ，b b b11 12 1s则AB C m sb b b21 22 2 s, , , c ,c , ,c1 2 n 1 2 sA c ，(i 1,2 , ,s)i ii 为Ax c i 的解b b bn1 n2nsA 1, 2 , s , A 1 A, 2 s , A , c1 s cc1,2,c2, ,, c c s 可由, 1, 2 , , n 线性表示. 即：C 的列向量能由A的列向量线性表示，B 为系数矩阵.同理：C 的行向量能由 B 的行向量线性表示，TA 为系数矩阵.a a a c11 12 1n 1 1 a a a c11 1 12 2 1n 2 1即：a a a c21 22 2n 2 2a a a c21 1 22 2 2n 2 2a a a cn1 n2 mn n ma a a cm1 1 m 2 2 mn 2 m√用对角矩阵○左乘一个矩阵, 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；4用对角矩阵○右乘一个矩阵, 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. √两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√分块矩阵的转置矩阵：T T T A B A CT T C D B D分块矩阵的逆矩阵：1 1A AB B 11 1A B1B A1 1 1 1A C A A CB1 1A O A OO B O B 1 1C B B CA B分块对角阵相乘：A B11 11A ,BA B22 22ABA B11 11A B22 22, nAnA11nA22分块对角阵的伴随矩阵：* *A BA*B AB*mnA ( 1) A BmnB ( 1) B A√矩阵方程的解法( A 0) ：设法化成(I) AX B 或(II) XA B初等行变换(I) 的解法：构造( A B) ( E X )T T T (II) 的解法：将等式两边转置化为 AX B ，T用(I) 的方法求出X ，再转置得X①零向量是任何向量的线性组合, 零向量与任何同维实向量正交.②单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.5③部分相关, 整体必相关；整体无关, 部分必无关. （向量个数变动）④原向量组无关, 接长向量组无关；接长向量组相关, 原向量组相关. （向量维数变动）⑤两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关教材.p114⑥向量组1, 2, , n 中任一向量i (1≤i ≤n) 都是此向量组的线性组合.⑦向量组1, 2, , n 线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n 1个向量线性表示.向量组1, 2 , , n 线性无关向量组中每一个向量i 都不能由其余n 1个向量线性表示.⑧m维列向量组1, 2 , , n 线性相关r(A) n；m 维列向量组1, 2 , , n 线性无关r (A) n .⑨若1, 2 , , n 线性无关，而1, 2, , n , 线性相关,则可由1, 2, , n 线性表示, 且表示法唯一.⑩矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为行阶梯形矩阵可画出一条阶梯线，线的下1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.6√矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A；对A施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .矩阵的秩如果矩阵 A 存在不为零的r 阶子式，且任意r 1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r . 记作r ( A) r向量组的秩向量组1, 2 , , n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩. 记作r( 1 , 2 , , n)矩阵等价A经过有限次初等变换化为 B . 记作： A B向量组等价1, 2, , n 和1, 2 , , n 可以相互线性表示.记作：1, 2, , n 1, 2, , n? 矩阵A与B 等价PAQ B ，P,Q 可逆r (A) r (B), A, B为同型矩阵A, B作为向量组等价, 即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B 作为向量组等价r( , , , n) r( , , , n) r ( 1, 2, n, 1 , 2 , , n )1 2 1 2矩阵A与B 等价.? 向量组1, 2, , s 可由向量组1, 2, , n 线性表示A X B 有解r ( 1, 2, , n )= r ( 1, 2, n, 1, 2 , , s ) r( 1, 2 , , s ) ≤r( 1, 2 , , n) . ? 向量组1, 2, , s 可由向量组1, 2, , n 线性表示,且s n，则1, 2 , , s 线性相关.向量组1, 2, , s 线性无关, 且可由1, 2, , n 线性表示,则s≤n .? 向量组1, 2, , s 可由向量组1, 2, , n 线性表示,且r ( 1 , 2, , s ) r( 1, 2 , , n ) , 则两向量组等价；p教材94,例10? 任一向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组等价.7? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.? 若两个线性无关的向量组等价, 则它们包含的向量个数相等.?设A是m n矩阵, 若r ( A) m，A的行向量线性无关；若r ( A) n ，A的列向量线性无关, 即：1, 2 , , n 线性无关. √矩阵的秩的性质：r A r A r A A p教材101,T T①若A O r (A) ≥ 1 若A O r( A) 0 0≤r( A) ≤min( m, n) ②( ) ( ) ( )m n 例15③r (kA) r (A) 若k 0④若A , B ,若r( A B) 0m n n s r( A) r (B) nB的列向量全部是Ax 的解⑤r ( AB) ≤min r ( A), r (B)⑥若A可逆r ( AB) r (B)若B可逆r AB r A( ) ( )即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.Ax只有零解⑦若r (A m n) nr ( AB) r (B)A在矩阵乘法中有左消去律AB O B O AB AC B C；若r (B ) nn s r ( AB) r (B)B在矩阵乘法中有右消去律.8E O E Or r⑧( )若r A r A与唯一的等价，称为矩阵A的等价标准型.O O O O⑨r (A B) ≤r (A) r (B) max r ( A), r (B) ≤r(A,B) ≤r (A) r (B) p教材70A O O A⑩r r (A) r(B) O B B OA Cr r (A) r(B)O B当为方阵时AAx 有无穷多解 A 0n表示法不唯一, , , 线性相关0有非零解Ax 1 2 n可由, , , 线性表示Ax 有解r (A) r (A )1 2 n A当为方阵时Ax 有唯一组解 A 0 克莱姆法则n表示法唯一, , , 1 2线n性无关只有零解Axr (A) r (A )不可由, , , 线性表示Ax 无解r (A) r( A)1 2 n教材72r (A) 1 r ( A )讲义87Ax有无穷多解其导出组有非零解○注：Ax有唯一解其导出组只有零解式Ax 向量式x x x阵线性方程组的矩1 12 2 n n9a a a x b11 12 1n 1 11 ja a a x b21 22 2n 2 2A , x , j2 j, ,2, ,j 1 na a a x bm1 m 2 mn n mmjx1( , , , n)1 2 x 2 x nT T T T T T T 矩阵转置的性质：( A ) A ( AB) B A ( k A) kATT T TA A (A B) A B1 T T 1 T T(A ) (A ) ( A ) ( A )矩阵可逆的性质： 1 1( A ) A1 1 1( AB) B A1 1 1( k A) k A1A A1 1 1 1(A B) A B1 k k 1 k(A ) (A ) A伴随矩阵的性质：n 2( A ) A A ( AB) B A n 1( k A) k A A An 1 * * *(A B) A B1 1( ) ( ) AA A ( ) ( )k kA AAn r(A) n若r(A ) 1 r(A) n 1若AB A B nkA k AkkA A AB A B AA A A A E （无条件恒成立）0 r(A) n 1若10(1) , 是Ax 的解, 也是它的解1 2 1 2(2) 是Ax 的解,对任意k, k 也是它的解齐次方程组(3) , , , 是Ax 的解, 对任意k个常数1 2 k, , , , 也是它的解1 2 k 1 1 2 2 k k线性方程组解的性质：(4) , ,是Ax 的解是其导出组Ax 的解是Ax 的解(5) , Ax , Ax是的两个解是其导出组的解 12 1 2(6 ) Ax , Ax是的解则也是它的解是其导出组的解2 1 1 2(7) , , , Ax ,是的解则 1 2k也是的解Ax1 12 2 k k 1 2 k1是的解Ax 0 0 1 1 2 2 k k1 2 k√设A为m n矩阵, 若r (A) m r (A) r ( A ) Ax 一定有解，当m n 时, 一定不是唯一解方程个数未知数的个数向量维数向量个数, 则该向量组线性相关.m 是r ( A)和r (A ) 的上限.√判断1, 2, , s 是Ax 的基础解系的条件：①1, 2, , s 线性无关；②1, 2, , s 都是Ax 的解；③s n r (A) 每个解向量中自由未知量的个数.√一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√若是Ax 的一个解，1, , , s 是Ax 的一个解1, , , s , 线性无关√Ax 与Bx 同解（A,B 列向量个数相同）, 则：①它们的极大无关组相对应, 从而秩相等；②它们对应的部分组有一样的线性相关性；③它们有相同的内在线性关系.A.√两个齐次线性线性方程组Ax 与Bx 同解r r ( A) r (B)BA. √两个非齐次线性方程组Ax 与Bx 都有解，并且同解r r (A) r(B)B11√矩阵A与B l n 的行向量组等价齐次方程组Ax 与Bx 同解PA B （左乘可逆矩阵P ）；m n p教材101矩阵A m n 与B l n 的列向量组等价AQ B （右乘可逆矩阵Q ） .√关于公共解的三中处理办法：①把(I) 与(II) 联立起来求解；②通过(I) 与(II) 各自的通解，找出公共解；当(I) 与(II) 都是齐次线性方程组时，设1 , 2, 3 是(I) 的基础解系, 4, 5 是(II) 的基础解系，则(I) 与(II) 有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即：r ( , , ) r( , , c c )1 2 3 1 2 3 1 4 2 5当(I) 与(II) 都是非齐次线性方程组时，设1c1 1 c2 2 是(I) 的通解， 2 c3 3 是(II) 的通解，两方程组有公共解2c3 3 1 可由 1 , 2线性表示. 即：r( 1, 2) r ( 1, 2 2 c3 3 1)③设(I) 的通解已知，把该通解代入(II) 中，找出(I) 的通解中的任意常数所应满足(II) 的关系式而求出公共解。

线性代数公式大全第一章 行列式1．逆序数 1.1 定义n 个互不相等的正整数任意一种排列为：12n i i i ⋅⋅⋅，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用()12n i i i τ⋅⋅⋅表示，()12n i i i τ⋅⋅⋅等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。

1.2 性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ()211ττ=-。

证明如下：设排列为111l m n a a ab b bc c L L L ，作m 次相邻对换后，变成111l m n a a abb b c c L L L ，再作1m +次相邻对换后，变成111l m n a a bb b ac c LL L ，共经过21m +次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少1 ，相当于()211ττ=-，也就是排列必改变改变奇偶性，21m +次相邻对换后()()2121111m τττ+=-=-，故原命题成立。

2．n 阶行列式的5大性质性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。

性质2：互换任意两行（列）其值变号。

性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。

性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。

性质5：把行列式某行（列）λ倍后再加到另一行（列），其值不变。

行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。

对性质4的重要拓展：设n 阶同型矩阵，()()(); ij ij ij ij A a B b A B a b ==⇒+=+，而行列式只是就某一列分解，所以，A B +应当是2n个行列式之和，即A B A B+≠+。

韦达定理的一般形式为：()121201201110; ; 1n nnn n n n n n n n n i i j i i i j i n n n a a aa x a xa xa x x x x a a a ------=≠==++++=⇒=-==-∑∑∏L一、行列式定义 1．定义111212122212n nn n nna a a a a a a a a L L L L L L Ln n nj j j j j j a a a ΛΛ221211)()1(τ∑-=其中逆序数 ()121n j j j j τ=L 后面的1j 小的数的个数 2j +后面比2j 小的数的个数+L1n j -+后面比1n j -小的数的个数.2．三角形行列式11121222000n n nn a a a a a a L L L L O L L11212212000n n nna a a a a a =LL L L L L L1122nn a a a =L 1211000n n n nn nn a a a a a -L L N L N L L L1112121221000nn a a a aa a =L N L N L L L ()()12112111n n n n n a a a τ-⋅⎡⎤⎣⎦-=-L L ()()1212111n n n n n a a a --=-L 二、行列式性质和展开定理1．会熟练运用行列式性质，进行行列式计算. 2．展开定理1122i k i k in kn ik a A a A a A A δ+++=L A A a A a A a jk nk nj k j k j δ=+++2211三、重要公式 设A 是n 阶方阵，则 1．T A A =2．11A A --= 3．1*n A A-=4．n kA k A =5．AB A B =，其中B 也是n 阶方阵6．设B 为m 阶方阵，则00A C A A B B CB ==()10mnAC A A BB CB==-7．范德蒙行列式()1222212111112111n i j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L L L L L L四．有关结论 1．对于,n n n n A B ⨯⨯(1)00A A ⇒==⇐ (2) A B A B⇒==⇐2.A 为n 阶可逆矩阵A E A E ⇔→⇔→行变列变（A 与E 等价）0AX ⇔=只有惟一零解AX b ⇔=有惟一解（克莱姆法则）A ⇔的行（列）向量组线性无关A ⇔的n 个特征值0,1,2,,i i n λ≠=L⇔A 可写成若干个初等矩阵的乘积 ⇔)()(B r AB r = ⇔A A T 是正定矩阵⇔A 是n R 中某两组基之间的过渡矩阵3.A 为n 阶不可逆矩阵0=A 0AX ⇔=有非零解 ⇔n A r <)( ⇔0是A 的特征值 ⇔A A -=4.若A 为n 阶矩阵，)2,1(n i i Λ=λ为A 的n 个特征值，则∏==ni i A 1λ5.若B A ~，则B A =行列式的基本计算方法：1. 应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。

1、行列式1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；2. 代数余子式的性质：①、ij A 和ij a 的大小无关；②、某行〔列〕的元素乘以其它行〔列〕元素的代数余子式为0； ③、某行〔列〕的元素乘以该行〔列〕元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，那么(1)21(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，那么(1)22(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后〔转置〕，所得行列式为3D ，那么3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，那么4D D =； 5. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式〔 = ◥◣〕：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：A O A C AB CB O B==、(1)m n CA OA AB B OB C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；7. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠〔是非奇异矩阵〕； ⇔()r A n =〔是满秩矩阵〕 ⇔A 的行〔列〕向量组线性无关； ⇔齐次方程组0Ax =有非零解； ⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成假设干个初等矩阵的乘积； ⇔A 的特征值全不为0；⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行〔列〕向量组是n R 的一组基； ⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3.1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== ***111()()()T T TAB B A AB B A AB B A ---===4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：假设12s A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，那么： Ⅰ、12s A A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； ②、111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；〔主对角分块〕 ③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；〔副对角分块〕 ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；〔拉普拉斯〕 ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；〔拉普拉斯〕 3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ，假设()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：〔初等列变换类似，或转置后采用初等行变换〕①、假设(,)(,)rA E E X ，那么A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，那么A 可逆，且1x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、12n ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，i λ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k -=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的根本性质：①、0()min(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =； ③、假设AB ，那么()()r A r B =；④、假设P 、Q 可逆，那么()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；〔可逆矩阵不影响矩阵的秩〕 ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；〔※〕 ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；〔※〕 ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；〔※〕⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，那么：〔※〕 Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解〔转置运算后的结论〕；Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、假设A 、B 均为n 阶方阵，那么()()()r AB r A r B n ≥+-；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵〔向量〕⨯行矩阵〔向量〕的形式，再采用结合律；②、型如101001a c b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C a b C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()n a b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n n n n n n n m n C C C m m n mⅢ、组合的性质：111102---+-===+==∑nmn m mm m r nr r nnn n nnn n r C C CC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A A A X X λλλ- == ⇒ =；③、*1A A A -=、1*n A A-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；〔两句话〕②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，那么：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程；②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换〔只能使用初等行变换〕；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭〔向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m 个方程，n 个未知数〕 ③、()1212n n x x a a a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭〔全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭〕； ④、1122n n a x a x a x β+++=〔线性表出〕⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤〔n 为未知数的个数或维数〕4、向量组的线性相关性1.m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,m ααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m 个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T TTmβββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；〔齐次线性方程组〕②、向量的线性表出 Ax b ⇔=是否有解；〔线性方程组〕 ③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；〔矩阵方程〕3. 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()T r A A r A =；(101P 例15)5.n 维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关⇔0α=； ②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线〔平行〕；③、,,αβγ线性相关 ⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：假设12,,,s ααα线性相关，那么121,,,,s s αααα+必线性相关；假设12,,,s ααα线性无关，那么121,,,s ααα-必线性无关；〔向量的个数加加减减，二者为对偶〕假设r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：假设A 线性无关，那么B 也线性无关；反之假设B 线性相关，那么A 也线性相关；〔向量组的维数加加减减〕简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A 〔个数为r 〕能由向量组B 〔个数为s 〕线性表示，且A 线性无关，那么r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，那么()()r A r B ≤；〔86P 定理3〕 向量组A 能由向量组B 线性表示AX B ⇔=有解； ()(,)r A r A B ⇔=〔85P 定理2〕向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==〔85P 定理2推论〕8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A P P P =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=〔左乘，P 可逆〕0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=〔右乘，Q 可逆〕； ③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=〔P 、Q 可逆〕； 9. 对于矩阵m n A ⨯与l n B ⨯：①、假设A 与B 行等价，那么A 与B 的行秩相等；②、假设A 与B 行等价，那么0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 假设m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，那么：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；〔转置〕11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解；②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解；12. 设向量组12:,,,n r r B b b b ⨯可由向量组12:,,,n s s A a a a ⨯线性表示为：〔110P 题19结论〕1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K =〔B AK =〕其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，那么B 组线性无关()r K r ⇔=；〔B 与K 的列向量组具有相同线性相关性〕〔必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法〕 注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵m n A ⨯，存在n m Q ⨯，m AQ E = ()r A m ⇔=、Q 的列向量线性无关；〔87P 〕 ②、对矩阵m n A ⨯，存在n m P ⨯，n PA E = ()r A n ⇔=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s ααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=成立；〔定义〕⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r s ααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，那么n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-；16. 假设*η为Ax b =的一个解，12,,,n r ξξξ-为0Ax =的一个根底解系，那么*12,,,,n r ηξξξ-线性无关；〔111P 题33结论〕5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵T A A E ⇔=或1T A A -=〔定义〕，性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)0T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、假设A 为正交矩阵，那么1T A A -=也为正交阵，且1A =±； ③、假设A 、B 正交阵，那么AB 也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=T C AC B ，其中可逆； ⇔T x Ax 与T x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似 1-⇔=P AP B ； 5. 相似一定合同、合同未必相似；假设C 为正交矩阵，那么T C AC B =⇒A B ，〔合同、相似的约束条件不同，相似的更严格〕； 6. A 为对称阵，那么A 为二次型矩阵； 7. n 元二次型T x Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使T C AC E =； A ⇔的所有特征值均为正数； A ⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)。