母函数法求解数列

母函数（⽣成函数）介绍母函数是组合数学中相当重要的⼀个知识点，可以⽤来解决⼀些排列组合问题，还有所有的常系数线性齐次递推问题。

如果系数不是常数，需要根据具体情况进⾏处理。

具体的内容可以看组合数学相关书籍或者，由于⼤佬总是想当然地把别⼈当成⼤佬，⼀些内容对（像我这种）蒟蒻来说不是很友好，在这⾥讲⼀下母函数的基础。

（研究母函数时，钦定|x|<1）,这样，由等⽐数列求和公式有：11−x=∑∞i=0x i=1+x+ (x)11−kx=∑∞i=0k i x i=1+kx+...+k∞x∞1.普通型母函数。

假设有⼀个数列a,那么它的母函数其实就是⼀个关于x的多项式，x n的系数为a n，对于已知通项的数列，其母函数可以直接写出来。

⽽对于未知的数列，主要分为两类：递推型和组合型。

递推型就是利⽤错位相消，举个栗⼦：a n=3a n−1+10a n−2,a0=1,a1=2移项，得a n−3a n−1−10a n−2=0，设a n的母函数为G(x)G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3...−3xG(x)=−3a0x+(−3)a1x2+(−3)a2x3...−10x2G(x)=−10a0x2+(−10)a1x3三⾏相加，可以发现等式右侧除了第⼀⾏的第1,2项和第⼆⾏的第1项外全消掉了。

所以我们可以得到(1−3x−10x2)G(x)=a0+a1x−3a0x=1−x，即G(x)=1−x1−3x−10x2，⽣成函数就求出来了，那如果我们还要求an的通项呢？对于这种东西，我们可以把他化成k1x−A+k2x−B这种形式，其中A和B由分母的因式分解唯⼀确定，然后k1,k2可由待定系数法解得。

然后对于kx−A,总可以化成k′∗11−Nx，就是k′∑∞i=0N i x i，找出x k的系数就是a n，如果母函数拆开成多个该类分式的话各部分相加就好。

具体计算就不算了。

PS:⼀部分⾮齐次线性递推其实也可以这样解，⽐如a n−3a n−1−10a n−2=f(n)，按照上述⽅法错项后会剩下⼀个等⽐数列和前⼏项余项。

组合数学第2章答案2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。

解：()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()46414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数：()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。

解：1(1)nx -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)x -2.3 已知母函数G （X ）=25431783x x x--+,求序列{ n a }解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B A G （X ）=)61(4)91(7x x +-+-G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156xx x ---，求对应的序列{}n a 。

解：母函数为239()156x G x x x -=--39(17)(18)xx x -=+- A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A +7B =9+=⎧⎨--⎩解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。

第二章母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法比较麻烦（参见表2.0.1）。

新方法：母函数方法。

基本思想：把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。

2.1 母函数（一） 母函数 （1）定义【定义2.1.1】对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。

（2）例【例2.1.1】有限数列rn C （r ＝0, 1, 2, …, n ）的普母函数是：()x G ＝nn n n n n x C x C x C C ++++ 2210＝()nx +1【例2.1.2】无限数列{1, 1. …, 1, …}的普母函数是()x G ＝ +++++n x x x 21＝x-11（3）说明● n a 可以为有限个或无限个。

● 数列{}n a 与母函数一一对应。

{0, 1, 1, …, 1, …}↔ +++++nx x x 20＝xx-1● 将母函数视为形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。

（4）常用母函数（二） 组合问题 （1）组合的母函数【定理2.1.1】组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1＋n 2＋…＋n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为()x G ＝∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi n j j i x 10＝∑=n r rr x a 0其中，r 可重组合数为rx 之系数r a ，r ＝0, 1, 2, …, n 。

理论依据：多项式的任何一项与组合结果一一对应。

优点：● 将无重组合与重复组合统一起来处理； ● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。

（2）特例【推论1】{}n e e e S ,,,21 =，则r 无重组合的母函数为G (x )＝ (1＋x )n组合数为r x 之系数rn C 。

母函数详解在数学中，某个序列的母函数(Generating function，⼜称⽣成函数)是⼀种形式幂级数，其每⼀项的系数可以提供关于这个序列的信息。

使⽤母函数解决问题的⽅法称为母函数⽅法。

母函数———把组合问题的加法法则和幂级数的的乘幂的相加对应起来我们从经典的砝码的例⼦讲起题⽬：有1g 2g 3g 4g的砝码各⼀枚，能称出多少种重量？每种重量的可能组合砝码是什么穷举的话，很容易得出结果，单数时间复杂的度为n的四次⽅，较⼤，不能采取所以，我么可以采⽤⼀个类似离散数学的逻辑式⼦表⽰前两种砝码组合产⽣的情况这⾥ ||代表或 &&代表与（使⽤1g||不使⽤1g）&&（使⽤2g||不适⽤2g）=使⽤1g&&使⽤2g||不使⽤1g&&使⽤2g||使⽤1g&&不使⽤2g||不使⽤1g&&不使⽤2g思考：⼤家可以发现这个表达式和⼀种表达式很像，没错，如果把“||”看成加法，“&&”看成乘法，和多项式的乘法⼀模⼀样。

那么我们直觉的想到，有没有可能⽤多项式乘法来表⽰组合的情况呢？我们再来看题⽬，题⽬需要的是⼏种砝码组合后的重量，是⼀个加法关系，但是在上式中“&&”是⼀种类似于乘法的运算关系，这怎么办呢？有没有什么这样⼀种运算关系，以乘法的形式运算，但是结果表现出类似于加法的关系呢？正好有⼀个，那就是幂运算。

Xm 乘上Xn结果是Xm+n，他完美的符合了我们的要求。

那么以次数表⽰砝码的质量，就可以以多项式的形式表⽰砝码组合的所有⽅案。

还是以前俩个砝码为例说明。

表⽰1g砝码的两种多项式就是（x^0+x^1），表⽰2g砝码的两种多项式就是（x^0+x^2)，x的0次⽅表⽰没有使⽤该砝码，当然x的0次⽅等于1，所以写成1也是对的。

注意，砝码的重量是⽤次数表⽰的，⽽不是⽤下标表⽰的 （x^0+x^1)*(x^0+x^2) =x^0*x^0+x^1*x^1+x^0*x^1+x^1*x^2 =x^0+x^1+x^2+x^3 结果很显然，有四个⽅案；0g 1g 2g 3g 再试试四个砝码加⼀起的结果 ⼀个1g 2g 3g 4g （x^0+x^1）* （x^0+x^2） * （x^0+x^3）* （x^0+x^4） =x^0 + x^1 + x^2 + 2x^3 + 2x^4 + 2x^5 + 2x^6 + 2x^7 + x^8+ x^9 + x^10 结果就是0g 1g 2g 2个3g 2个4g 2个5g 2个6g 2个7g ⼀个8g ⼀个9g ⼀个10g ⾄此也就得出了答案。

第二章 母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。

新方法：母函数方法，问题将显得容易多了。

其次，在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时，母函数方法是一种非常重要的手段。

表2.0.1 条件组合方案数排列方案数对应的集合相异元素，不重复()!!!r n r n C rn -⋅=()!!r n n P rn -={}n e e e S ,,, 21=相异元素，可重复rr n C 1-+rnS ＝{,,21e e ⋅∞⋅∞ne ⋅∞, }不尽相异元素（有限重复）特例r ＝n1 !!!!m n n n n 21S ＝{11e n ⋅，22e n ⋅，…，m m e n ⋅}, n 1＋n 2＋…＋n m ＝nn k ≣1, (k ＝1,2,…, m )r ＝1mm所有n k ≣r rr m C 1-+rm至少有一个n k 满足1≢n k < r母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。

2.1 母 函 数（一）母函数（1）定义定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n nnxax G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。

（2）例例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是()nx +1。

例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是+++++=-nxx x x2111（3）说明● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是 +++++n x x x 20＝xx-1● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。

母函数母函数思想的起源可以追溯到18世纪Jacob B的《猜度术》一书。

这本书是在作者去世8年后的1713年出版的，它是早期概率论中最重要的著作。

《猜度术》一书共分四个部分，其中在第二部分中，作者讨论了组合论问题。

主要是运用伯努利数通过完全归纳法证明了n 为正整数时的二项式定理。

在第三部分中，作者把排列和组合的理论运用到概率论中，给出了24种有关在各种赌博情形中利益预测的例子。

在第四部分中作者给出了著名的伯努利大数定律:若P是事件发生一次的概率，q是该事件不发生的概率，则在n次实验中该事件至少出现m次的概率等于的展开式中从项到包括为止的各项之和。

母函数是组合数学的一个重要理论。

Jacob B考虑掷n粒骰子时所得点数总和等于m，这种场合的数目等于的展开式中这一项的系数，开了母函数研究的先河。

在18世纪，Euler L对组合方法的发展做出了重大贡献。

他关于自然数的分解与合成的研究为母函数方法奠定了基础。

1812年，法国数学家Laplace P.S. 出版了《概率的分析理论》一书。

这本书第一部分的小标题为“母函数的计算”，这一部分致力于母函数计算的数学方法及其一般数学理论，这是对Euler L所提出的母函数理论的发展。

所以现代学术界认为母函数方法是由Euler L和Laplace P.S. 共同发现的。

由此，组合数学中的母函数理论基本建立起来了。

在当代组合学理论中，母函数是解决计数问题的重要方法。

一方面，母函数可以看成是代数对象，其形式上的处理使得人们可以通过代数手段计算一个问题的可能性的数目；另一个方面，母函数是无限可微分函数的Taylor级数。

如果能够找到函数和它的Talor级数，那么Taylor级数的系数则给出了问题的解。

本章主要介绍母函数的两种形式：普通型母函数和指数型母函数。

然后通过一些典型问题的分析，帮助读者加深对这一方法的理解。

并且在分析中，有的问题采用多种方法求解。

通过对比，读者可以明显地看到用母函数的方法解决问题具有较高的效率，并且程序具有非常规范的形式，易于实现。

母函数和特征函数简介§1 母函数（生成函数）简介对于取值非负整数的随机变量，其母函数有极其良好的性质且又便于计算和分析，因此引入母函数是非常必要的。

母函数又称生成函数(Generating function)。

母函数的定义● 定义：对于数列}0,{≥n a n ，称幂级数)1(0≤∑∞=s sa n nn 为}0,{≥n a n 的母函数。

● 定义：设X 为取值于非负整数随机变量，分布率为 ,2,1,0,}{===k p x X P k k ，则称1)(?)(0≤==∑∞=s s p s E s g k kk X为随机变量X 的概率母函数，简称母函数。

一些常用分布的母函数（1）若).(~p n B X ，则n sp q s g )()(+=（2）若)(~λPo X ，则)1()(-=s e s g λ （3）若)(~p G X ，则qs pss g -=1)(母函数的基本性质（1）X 的母函数与其分布率是一一对应的，且有!)0()(k g p k k =（2）设非负整值随机变量n X X X ,,,21 相互独立，而n g g g ,,,21 分别是它们的母函数，则∑==nk kXY 1的母函数为：)()()()(21s g s g s g s g n Y =（3）设随机变量X 的母函数为)(s g ，则有：（a ）)1()(g X E '=（b ）2)]1([)1()1()()(g g g X Var X D '-'+''==母函数的应用（4）设n X X X ,,,21 独立同分布，且).1(~p B X i ，求∑==nk kXY 1的分布。

（5）设21,X X 独立，且2,1,).(~=i p n B X i i ，证明),(~2121p n n B X X ++。

（6）设21,X X 独立，且2,1,)(~=i Po X i i λ，证明)(~2121λλ++Po X X 。

母函数（Generating function）详解前段时间写了一篇《背包之01背包、完全背包、多重背包详解》，看到支持的人很多，我不是大牛，只是一个和大家一样学习的人，写这些文章的目的只是为了一是希望让大家学的轻松，二是让自己复习起来更方便。

（PS：大家觉得我的文章还过的去就帮我支持下我的个人独立博客---Tanky Woo 的程序人生：，谢谢）(以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科)在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。

使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。

对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。

构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看："把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来""母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. "我们首先来看下这个多项式乘法：由此可以看出:1. x的系数是a1,a2,…a n的单个组合的全体。

2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。

………n. x n的系数是a1,a2,….a n的n个组合的全体（只有1个）。

由此得到：母函数的定义：对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：第一种：有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量每种重量各有几种可能方案考虑用母函数来接吻这个问题：我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：1个1克的砝码可以用函数1+x表示，1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，上面这四个式子懂吗我们拿1+x2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么1代表重量为2的砝码数量为0个。

1绪论母函数又可译为发生函数或生成函数.母函数方法是现代离散数学领域中的重要方法.它是联结离散数学与连续数学的桥梁.它是解决组合计数问题的一个重要工具之一.母函数方法是一种既简单又有用的数学方法，是一个古老方法.他源于De Moivre 在1720前后的工作，1748年欧拉在研究关于划分的问题中发展了这一方法.拉普拉期于18世纪末及19世纪初期对其进行了广泛的论述.其探究主要与概率论相关.尽管这一方法有其悠久的历史，但是正如我们将要看到的那样，这一方法有着广泛的应用.当代计算机科学家克努特（D.E.Knuth）在其名著《The art of computer programming,voll》中作了这样的论述：“…当运用母函数时，通常无需担心级数的收敛性，因为我们只是在探求得到某个问题的解的可能途径，一旦当我们用任何手段发现了解，尽管这些手段也许不严格，就有可能独立的验证这个解…例如有时很容易用数学归纳法来证明，我们甚至不必提到它是利用母函数发现的.此外，可以证明我们对母函数所做的绝大多数——如果不是所有的话——运算都能严格论证其可行而无须顾及级数的收敛性.”这段引文最后的断言是通过把母函数作为形式幂级数而得以实现的.一般情况下，母函数中的x只是一个抽象符号，并不需要对它赋予具体数值.因而不需要考虑它的收敛性.此时的变量x只是一种形式变元.对这种级数可以把它看成形式幂级数，可以按通常方式定义其加法、乘法、形式微分等运算，从而构成一个代数体系.母函数有多种类型，这里仅讨论最常见的两种：普通母函数和指数母函数.下面分别进行讨论.2母函数基本概念定义2.1. 对于数列{}0n n a ≥，称函数 120120()k k k f x a x a a x a x ≥==+++∑为数列{}0n n a ≥的普通型母函数（简称普母函数）．定义2.2. 对于数列{}0n n a ≥，称函数120120()!1!2!k kk x x x f x a a a a k ≥==+++∑为数列{}0n n a ≥的指数型母函数（简称指母函数）．数列与母函数可以互求.已知母函数，可求出其对应的数列；已知数列，可求出其对应的母函数.R 上的母函数的全体记为[]R x ⎡⎤⎣⎦.在集合[]R x ⎡⎤⎣⎦中适当定义加法和乘法运算，可使它成为一个整环，任何一个母函数都是这个环中的元素.定义2.3. 设0()kk k A x a x ∞==∑与0()k k k B x b x ∞==∑是R 上的两个母函数.若对任意0k ≥，有k k a b =.则称()A x 与()B x 相等.记作()()A x B x =.定义 2.4. 设α为任意实数. []0()kk k A x a x R x ∞=⎡⎤=∈⎣⎦∑,则()0()kk k A x a x αα∞==∑称作α与()A x 的数乘积.定义2.5. 设0()kk k A x a x ∞==∑与0()k k k B x b x ∞==∑是R 上的两个母函数.（1）将()A x 与()B x 相加定义为0()()()k k k k A x B x a b x ∞=+=+∑，并称()()A x B x +为()A x 与()B x 的和，把运算“+”称作加法.（2）将()A x 与()B x 相乘定义为01100()()()k k k k k A x B x a b a b a b x ∞-=⋅=+++∑，并称()()A x B x ⋅为()A x 与()B x 的积，把运算“⋅”称作乘法.3母函数的性质母函数与数列之间是一一对应的，因此，若两个母函数之间存在某种关系，那么相应的两个数列之间也必然存在一定的关系；反过来说当然也能成立．设数列{}0n n a ≥的母函数为()A x ，数列{}0n n b ≥的母函数为()B x ，我们可以得到下面的一些性质：性质3.1. 若0n n kn k b a n k-<⎧=⎨≥⎩ , 则 ()()k B x x A x =．证明： 由假设条件，有 21101211()k k k k k k B x b b x b x b x b x b x -+-+=+++++++11k k k k b x b x ++=++ 101k k a x a x +=++()01k x a a x =++()k x A x =.例3.1. 2()11!2!xx x A x e =+++= 且()B x 满足0n n kn k b a n k-<⎧=⎨≥⎩，则求()B x .解：利用性质1，()()k B x x A x =k x x e =⋅性质3.2. 若n n k b a +=，10()()k n k n n B x A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑.证明： 又假设条件，有2012()B x b b x b x =+++212k k k a a x a x ++=+++()12121k k k k k k k a x a x a x x ++++=+++ ()10111()k k k A x a a x a x x--=----10()k n k n n A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑.例3.2. 35()sin 3!5!x x A x x x ==+++,且6k k b a +=，求()B x .解： 6160()()n n n B x A x a x x -=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑356()3!5!x x A x x x ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦.性质3.3. 若0nn k k b a ==∑，则()()1A x B x x=-． 证明： 有假设条件，有 00b a =， 101b x a x a x =+， 22222012b x a x a x a x =++， …，012n n n n n n n b x a x a x a x a x =++++…， 把以上两边分别相加，得2222012()(1)(1)(1)B x a x x a x x x a x x x =++++++++++++22012()(1)a a x a x x x =++++++()1A x x=-. 例3.3. 21()11A x x x x =+++=- ，且0nn k k b a ==∑，则 ()2()1()11A x B x x x ==-- . 性质3.4. 若n k k nb a ∞==∑，则(1)()()1A xA x B x x -=-．这里0k n a ≥∑是收敛的．证明： 因为0k n a ≥∑是收敛的，所以n k k nb a ∞==∑是存在的．于是有0012(1)b a a a A =+++= 1120[(1)]b x a x a x A a x =++=-， 222222301[(1)]b x a x a x A a a x =++=--，…， 1011[(1)]k k k k k k k k b x a x a x A a a a x +-=++=----，…．把以上各式的两边分别相加，得0()(1)[(1)]B x A A a x =+-201[(1)]A a a x +--+01[(1)]k k A a a x -+--+2(1)(1)A x x =+++20(1)a x x x -+++221(1)a x x x -+++- 21(1)k k a x x x --+++-2012[(1)()]A x a a x a x =-+++2(1)x x +++(1)()1A xA x x-=-.性质3.5. 若n n na b =, 则'()()B x xA x =．证明： 由'()A x 的定义知'11()n n n na xxA x x ∞-==∑0n n n na x ∞==∑n n n b x ∞==∑()B x =．例3.4. 已知21()11A x x x x =+++=- ，n n na b =，则()21()11x B x x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-. 性质3.6. 若1nn a b n =+， 则1()()xB x A t dt x =⎰．证明： 由假设条件，有0()xxn n n A t dt a t dt ∞==∑⎰⎰(1)xn n n b n t dt ∞==+∑⎰1n n n b x ∞+==∑＝()xB x ．性质3.7. 若0112200nn n n n n k n k k c a b a b a b a b a b ---==++++=∑.则2012()()()C x c c x c x A x B x =+++=证： 000c a b =()10110c x a b a b x =+ ()222021120c x a b a b a b x =++ …()()()2222001210122012()c x a b b x b x a x bb x b x a x bb x b x =++++++++++++()()22012012a a x a x bb x b x =++++++()()A x B x =.例3.5. 已知21()11n A x x x x x=+++++=- ()22()21n xB x x x nx x =++++=-()11232n n n c n +=++++=则 ()3()1xG x x =-.性质3.8. 若k k k c a b αβ=+ ，则()()()0k k k c x c x A x B x αβ∞===+∑.证明：有假设条件，有()()00kkk k k k k c x c x a b x αβ∞∞====+∑∑0kk k k k k a x b x αβ∞∞===+∑∑kk k k k k a x b x αβ∞∞===+∑∑()()A x B x αβ=+.4性质的应用利用这些性质，可以求某些数列的母函数，也可以计算数列的和.下面列出几个常见的简单数列的母函数.(1) {}111G x=- (2) {}11k G a ak=-(3) {}()21xG k x =-(4) (){}()3211xG k k x +=-(5) {}()()2311x x G k x +=-(6) ()(){}()46121xG k k k x ++=-(7) 1!x G e k ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(8) ()1aa G x k ⎧⎫⎛⎫=+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭(9) ()111n n k G k x +⎧+⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭ 例4.1.求序列{}5,6,7,,5,n +的母函数.解：()()25675n A x x x n x =++++++()()2235123x x x xx =+++++++(){}51G G k =+ ()()221545111x xx x x -=⋅+=---. 母函数的应用很多.求解递推关系,排列组合中,计数问题中的应用等等.利用母函数的性质,可以求某些数列的母函数,也可以计算数列的和.结束语母函数又称生成函数，是一种即简单又有用的数学方法，求解递推关系和组合计数问题中母函数是一种重要的数学方法.用母函数可以求解常系数线性齐次、非齐次递推关系、求解非线性递推关系、非常系数递推关系等等递推关系.这篇文章给出了母函数的基本知识,从最基本点开始讨论了母函数的性质.利用母函数的性质,可以求某些数列的母函数,也可以计算数列的和.参考文献【1】卢开澄,卢华明. 组合数学（第四版）.北京：清华大学出版社,2006,12．【2】田秋成等编著. 组合数学. 电子工业出版社,2006,11.【3】李凡长,康宇,董海峰,段爱华编著.组合理论及其应用. 北京：清华大学出版社,2005,9.【4】冯速译. 应用组合学. 拉特格大学狄克森学院：机械工业出版社,2007,5.【5】李乔.组合学讲义（第二版）.北京：高等教育出版社,2008,1.【6】孙淑玲许胤龙编著.组合数学引论.中国科学技术大学出版社,2004,1.【7】孙世新张先迪编著.组合原理及其应用.北京：国防工业出版社,2006,3.。

用母函数求解排列问题作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2024年第06期［摘要］母函数是组合数学中的一个重要概念，用母函数来处理中学数学中的一些排列问题，其可操作性强，学生容易理解. 文章先介绍指数型母函数的相关内容和定理，然后结合实例给出其应用.［关键词］排列问题；母函数；指数型母函数；理解；应用计数问题在日常生活、生产中普遍存在. 计数问题属于组合问题，而组合中有一个重要概念——母函数（也叫发生函数、生成函数）［1］. 指数型母函数（简称指母函数）正是将复杂的计数问题简单化的一个工具，利用指母函数可以轻松求解排列问题.预备知识定义1 设a，a，…，a，…是一个给定的数列，我们称形式幂级数f（x）=xn=a+ax+x2+x3+…+xn+…①为这个数列的指数型母函数，简称指母函数［2］.例如，数列1，1，1，…，1，…的指母函数是f（x）=xn=1+x++…++…. 这个指母函数非常重要，我們专门用f（x）=ex来记它，即f（x）=ex=1+x++…++….规定：在进行这些运算时，把形式幂级数看成幂级数，然后按照幂级数的运算法则去运算.定义2 设f（x）=xn和g（x）=xn是两个形式幂级数，则f（x）±g（x）=xn，f（x）·g（x）=xn（其中c=Cakbn-k）.定理1 ex·ey=ex+y.在定理1中，取y=x，则（ex）2=e2x，即=xn.推论1 （ex）m=emx，即=xn.在定理1中，取y=-x，则ex·e-x=1，即=e-x. 由ex=1+x++…++…，e-x=1-x+-…+（-1）n+…，得到：推论2 ex+e-x=21+++…++…，ex-e-x=2x+++…++….注：对于指数幂ax（a>0，且a≠1），显然ax·ay=ax+y. 从定理1可以看出，ex·ey=ex+y具有指数幂的运算性质. 这就是称式①为指母函数的原因.用指母函数求解排列问题排列问题，困难在于对问题背景的理解，这是一个数学化过程，需要通过不同情境加强训练、加深理解.我们先来看看下列三类排列问题.问题1 （不许重复的排列）从n个不同的物体中，任意取出r个作排列，不许重复，问有多少种不同的排法？问题2 （允许无限重复的排列）从n个不同的物体中，任意取出r个作排列，允许重复，问有多少种不同的排法？问题3 （允许有限重复的排列）设n个物体中，有n个物体A，n个物体A，…，n个物体A，n+n+…+n=n，现从中任取r个作排列，问有多少种不同的排法？［3］分析问题1的解答很简单，不同的排列的总数为A=n（n-1）…（n-r+1）. 特别地，当r=n 时，不同的排列的总数为A=n（n-1）…3×2×1=n！. 这在中学课本上已经很熟悉了.问题2的解答也不困难.因为允许重复，所以每个排列的r个位置上都有可能放n个不同物体中的任何一个，即每个位置都有n种可能，因此不同的排列的总数为nr［4］.解答困难的是问题3，因为每个物体重复的次数是有限的，这给问题带来了复杂性.但如果考虑r=n的情形，问题还不算太难.定理2 设n个物体中，有n个物体A，n个物体A，…，n个物体A，n+n+…+n=n，则这n个物体不同的排列的总数为.证明由于对每个排列来说，n个物体A，n个物体A，…，n个物体A都出现在排列中，因此n个物体排列的总数为n！，而在这n！个排列中有很多的排列是一样的，例如n个物体A任意交换位置，若其他物体不动，这样得到的排列全是一样的，这种相同的排列有n！个. 同理，对物体A，A，…，A，也会有同类情况. 去掉这些相同的排列后，真正不同的排列的总数为.注：这是问题3中当r=n时的解答.最困难的是r<n的情形，这没有一般公式，而指母函数是解决这类问题的有力工具.定理3 设n个物体中，有n个物体A，n个物体A，…，n个物体A，n+n+…+n=n，从这n个物体中任取r（r<n）个物体，不同的排列的总数记为a，则数列｛a｝的指母函数为f（x）=1+x++…+1+x++…+…1+x++…+②.证明让第i个括号代表第i个物体A（i=1，2，…，k）.从第一个括号中取出项，解释为“取出3个物体A”；从第二个括号中取出项，解释为“取出4个物体A”；其余类似.现在研究式②的展开式中的系数.合并同类项前，式②的展开式中的是由各个括号中的项相乘而来的：··…·=，这里0≤m≤n，0≤m≤n，…，0≤m≤n，而且m+m+…+m=r. 故··…·=·. 由此可知，的系数是③，而且m+m+…+m=r.根据定理2可知，式③恰好就是这r个物体不同的排列的总数：在这r个物体中有m个A，m个A，…，m个A，这说明乘积··…·就对应一种排列. 由于m（i=1，2，…，k）可以取遍0，1，2，…，n（i=1，2，…，k）中的所有整数，因此合并同类项后，的系数就表示从这n个物体中取出r个物体的不同的排列的总数.这就证明了式②就是数列｛a｝的指母函数.在此我们可以把定理3推广到更一般的情形：定理4 设A=｛a，a，…，a｝，M，M，…，M均为非负整数集的子集，从A中可重复地选取r个元素作排列. 如果a可重复选取的全部次数为M（k=1，2，…，n），记所有可能的排列数为er，则数列｛er｝（r≥0）的指母函数为f（x）=…. 将指母函数解析式展开，的系数就是所求的排列数e.证明留给读者完成.指母函数应用举例题1 将8个不同的球分发给4个不同的班级，要求每个班至少分得一个球，问有多少种不同的分法？解析将8个不同的球排成一列，4个班依次编号为1，2，3，4.对于一个满足条件的分法，若把某个球分给编号为i的班，就在该球所排的位置上填上i，则得到｛1，2，3，4｝的一个“8可重”排列（即从集合｛1，2，3，4｝中可重复地选取8个元素作成排列）. 由于每个班至少分得一个球，所以每个数至少出现一次，即每个数出现的次数都属于集合｛1，2，3，…｝. 将n个不同的球分给4个不同的班且每个班至少分得一个球的分法数记为a，由定理4可知数列｛a｝（n≥1）的指母函数为f（x）=x+++…=（ex-1）4=e4x-4e3x+6e2x-4ex+1=xn-4xn+6xn-4xn+1=（4n-4×3n+6×2n-4）+1. 由此可得，的系數a=48-4×38+6×28-4=40824. 所以，共有40824种不同的分法.题2 用数字1，2，3，4作六位数，每个数字在六位数中出现的次数不得大于2，问可作出多少个不同的六位数？解析这是排列问题，每个数字出现的次数都属于集合｛0，1，2｝. 设所求为N，由定理4可知，N是指母函数f（x）=1+x+的展开式中的系数，而1+x+=［x2+（2x+2）］4=［x8+4x6（2x+2）+6x4（2x+2）2+4x2（2x+2）3+（2x+2）4］，所以N=（4×2+6×22）=1440.题3 把n（n≥1）个彼此不同的球放到4个不同的盒子A，A，A，A中，要求A有奇数个球，A有偶数个球，问不同的放球方法有多少种？解析设不同的放球方法有a种.因为要求A有奇数个球，A有偶数个球，A，A中球的个数没有限制，所以A盒子出现的球的个数属于集合｛1，3，5，…｝，A盒子出现的球的个数属于集合｛0，2，4，…｝，A，A盒子出现的球的个数都属于集合｛0，1，2，3，…｝.由定理4可知，数列｛a｝的指母函数是f（x）=x+++…1+++…1+x+++….由推论1和推论2可得f（x）=··（ex）2=（e4x-1）=·=. 比较（n≥1）的系数，得a=4n-1.结束语母函数分为普通型母函数（简称普母函数）和指数型母函数（简称指母函数）.普母函数主要应用于求解组合问题，而指母函数则主要应用于求解排列问题.高中阶段的排列问题，有些是难以处理的，这时可借助指母函数来求解. 利用指母函数求解排列问题，学生容易理解，而且可操作性强，是处理排列问题的好方法.参考文献：［1］李鸿昌，徐章韬. 用母函数理解组合问题［J］. 数学通讯，2023（10）：59-61+66.［2］曹汝成. 组合数学［M］. 广州：华南理工大学出版社，2000.［3］刘会科. 母函数在组合计数中的应用［J］. 数理化解题研究，2016（13）：16-17.［4］高仕学. 用母函数法统一解决三类排列与组合问题［J］. 课程教育研究，2017（07）：161.。