最新人教版高中数学必修四2.2.3向量数乘运算及其几何意义精品课件

探究一： 探究一：向量的数乘运算及其几何意义
O
A
B
C
OC
uur u OP =
P
N
M
O
-
2
O
A
B
C
P
N
M
O
2 3
- 2：如图，设点M为△ABC的重心， ABC的重心， 的重心 BC的中点 的中点， D为BC的中点，那么向量 BD 与 BC ， 分别有什么关系？ A D与 DM 分别有什么关系？
A
1 BD BC 2
M B D C
A D 3DM
探究二: 探究二:向量的数乘运算性质
(3 2)
2
2
思考6 若存在实数λ 思考6：若存在实数λ，使 A B l BC ， 三点的位置关系如何？ 则A、B、C三点的位置关系如何？ A B l BC A、B 、C 共线
3.向量的数乘运算律，不是规定， 3.向量的数乘运算律，不是规定，而是 向量的数乘运算律 可以证明的结论. 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线，直线平行， 几何中证明三点共线，直线平行，线段 数量关系的理论依据. 数量关系的理论依据.
作业： 作业： P90练习 练习： P90练习：3，4，5，6.
高中新课程数学必修④ 高中新课程数学必修④
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
mzgang888@
问题提出
1.如何求作两个非零向量的和向量、 1.如何求作两个非零向量的和向量、差 如何求作两个非零向量的和向量 向量？ 向量？
2.相同的几个数相加可以转化为数乘运 2.相同的几个数相加可以转化为数乘运 3=5×3=15.那么相 算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相 等的几个向量相加是否也能转化为数乘 运算呢？这需要从理论上进行探究. 运算呢？这需要从理论上进行探究.

2 a ＋2 b ，（3+ 2）a
可分别转化为什么运算？
提示:
r
r
-2× (5 a )= -10 a ；
r 2a＋
(3＋
2
2
r b
=
2(
r a
+
)
r a
=3
ar＋
br )r； 2a.
r 思考2：一r般地，设rλ，r μ为实数，则λ(μa )， (λ＋μ) a ，λ( a ＋b )分别等于什么？
uuur PB
，其中
λ∈R，则点
P
一定在(
B)
A．△ABC 的内部
B．AC 边所在的直线上
C．AB 边所在的直线上
D．BC 边所在的直线上
4.已知|a|＝4，b 与 a 的方向相反，且|b|＝2，a ＝mb，则实数 m＝____-_2___.
rr
rr
5．(2015·全国卷Ⅱ)设向量 a ，b 不平行，向量 a b
【变式练习】
在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，
uuur AB
uuur AD
uuur AO
，则
___2__．
例3.如图，□ABCD的两条对角线相交于点M，且
AB
=
r a
，
AD
=
br，你能用
r a
,
r b
表示
M
A
，M
B
，MC
和MD
吗？
D
C
解 :在平行四边形ABCD中， uur uur uur r r
D．若 a＋b＋c＝0，则 a＋b＝－c 【解析】判断 a 与 b 共线的方法是：存在实数 λ， 使 a＝λb.在 A 中，若 b＝0 时不成立．B 正确．在 C 中，m＝2n，∴m∥n，∴C 正确．D 也正确，所 以应选 A.

实数与向量的积的定义：
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讲授新课
实数与向量的积的定义：
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注意：
实 数与 向 量a， 可 以 作 积 ， 但 不 可 以 作 加 减 法 ， 即＋a， －a是 无 意 义 的 ．
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实数与a向量的积的运算律：
BC

aaa
记
作
3
a
,
O
C与
a的
方
向
相
同
，且
3a

3a
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P
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DP
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EDP
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FE D P
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2 a

2b
2(a

b
)

2b
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实数与向量b的积的2运(a算律b：)
2 a

2b
2(a

b
)

2b

(a b ) a b
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实数与向量的积的运算律：
设a
,
b为
任
意
向
量
(

a
)
向 量 ， 并 指 出 相 加 后 和的 长 度 和 方 向 有
什么变化？
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1．化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b) ＝－2a＋4b.
用已知向量表示其他向量 如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点 M，且A→B＝ a，A→D＝b，你能用 a、b 表示M→A、M→B、M→C和M→D吗？
[解] 分别作向量O→A、O→B、O→C，过点 A、C 作直线 AC(如 图)．由图猜想 A、B、C 三点共线． 因为A→B＝O→B－O→A
＝a＋2b－(a＋b)＝b， 而A→C＝O→C－O→A ＝a＋3b－(a＋b)＝2b， 于是A→C＝2A→B. 所以，A、B、C 三点共线．
(1)证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个 向量共线，两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题 的依据． (2)若 A，B，C 三点共线，则向量A→B，A→C，B→C在同一直 线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线 性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．
[解] (1)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b. (2)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c. (3)原式＝12(2a＋32b)－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.
向量的数乘运算方法 (1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方 法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是 向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数． (2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知 量，通过解方程的方法求解．
解：由三角形中位线定理， 知 DE 綊12BC，

讲授新课
实数与向量嘚积嘚运算律： a
讲授新课
实数与向量嘚积嘚运算律： a
讲授新课
实数与向量嘚积嘚运算律： a
2a
讲授新课
实数与向量嘚积嘚运算律：
a
2a
3( 2a )
讲授新课
实数与向量嘚积嘚运算律：
a
2a
3( 2a )
6a
讲授新课
实数与向量嘚积嘚运算律：
a
2a
3( 2a )
6a
2.2.3向量数乘运算 及其几何意义
主讲老师：
复习回顾
请
作
出a
a
a和(
a
)
(
a
)
(
a
)
向 量 ， 并 指 出 相 加 后 和的 长 度 和 方 向 有
什么变化？
复习回顾
请
作
出a
a
a和(
a
)
(
a
)
(
a
)
向 量 ， 并 指 出 相 加 后 和的 长 度 和 方 向 有
什么变化？
复习回顾
(1) (a) ()a
(2)
(
)a
a
a
(3) (a b ) a b
讲授新课
例 1.
讲授新课
例 2.
讲授新课
练 习1.
练 习2. 教材P.90练习第5题.
讲授新课
思考
a与
a有
何
关
系
？(
a
0)
讲授新课
思考
a与
a有
何
关
系
？(
a
0)
结 论：
如 那
果b 么a，

1 2
= ������������, 则选项A,C,D
不正确 ,很明显 ������������ = ������������, 则选项B 正确 . 答案 :B
-9-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
������ ������ a,向量 是与向量a 同向的单位向量 .向量 − |������| |������|
是与向量a 方向相反的单位向量 . 3.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩 小到原来的 |λ|倍.
-4-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1 2 3 4
1 ������������. 4 1 ������������, ������������与BA 相交于 3
E.求
-14-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
-11-
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
共线向量定理的应用 剖析:共线向量定理可以分为两个定理: 判定定理:如果存在一个实数λ满足b=λa(a≠0),那么a∥b. 性质定理:如果a∥b,a≠0,那么存在唯一一个实数λ,使得b=λa. (1)判定定理的结论是a∥b,那么用共线向量定理可以证明两个向 量共线.此时证明向量a∥b,只需找到满足a=λb或b=λa的实数λ的值 即可.

是实现线性关系的根据.
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
变式训练 3 已知 O,A,M,B 为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ
∈R,λ≠0,且 λ≠1).
(1)求证:A,B,M 三点共线;
(2)若点 B 在线段 AM 上,求实数 λ 的取值范围.
(1)证明∵=λ+(1-λ),
1
(2)∵a= 6b,∴a与b共线.
(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),
∴(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.
∵e1与e2是两非零不共线向量,
∴1-3λ=0,1+3λ=0.
这样的λ不存在,因此a与b不共线.
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
反思感悟向量共线的判定一般是用其判定定理,即a是一个非零
(5)由本性质定理知,若向量=λ,则, 共线.又, 有公
共点 A,从而 A,B,C 三点共线,这是证明三点共线的重要方法.
一
二
三
四
自主检测
4.做一做:若向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的
有
.(填序号)
①a=2e1,b=-2e1;
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
4
4
8
∴r=5,s=-5,∴3r+s=5.
答案C
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
向量线性运算的综合应用
角度1 判断三角形的形状
例 6 若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足| −
|=| + -2|,则△ABC 的形状为

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
ppt课件
1.掌握向量的数乘运算及几何意义； 2.掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算； 3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共
线的向量，能判断两个向量共线； 4.通过本节课的学习，体会类比和化归思想．
如何求作两个非零向量的和向量？
a
NoO
a
A
吗？蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是
3a
吗? 你能用图形表示吗？
向量数乘的定义
思考1：已知非零向量 a ，如何求作向量 a ＋ a ＋ a 和 （－ a ）＋（－ a ）＋ （－ a ）？
a
a
a
a
OA
BC
a
a
OC aaa
a
P
N MO
OP （－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）
思考2：向量 a ＋ a ＋ a 和（－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）
解:在平行四边形ABCD中，
ACABADab,
DBABADab.
又 平行四边形的两条对角线互相平分，
MA1AC 2
D
C
b
M
1(ab) 1a1b;
2
22 A a
B
M B 1D B 1(a b )1a1b ;
22
22
M C1AC1a1b; 2 22
M D M B 1D B 1a1b . 2 22
事实上，因为 A B = O B -O A
a 2b (a b) b, 而 AC OC OA =a 3b (a b) =2b, 于 是 AC=2AB. 所以，A、B、C三点共线.
ppt课件
例3 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，

D
C
M
在 解：
ABCD 中，
b
A
AC AB AD a a b
1 1 1 1 MA AC (a b) a b ， 2 2 2 2 1 1 1 1 MB DB (a b) a b ， 2 2 2 2 1 1 1 MC AC a b ， 2 2 2 1 1 1 MD MB DB a b . 2 2 2
12 e1 18 e 2 6 ( 2 e1 3e 2 ) 6 AB .
AD 与 AB 共线 . 又 AD 与 AB 有共同的起点 A ，
A，B，D 三点共线 .
课后作业
1.教材P77习题2.2A9-13
例2 如图，
ABCD 的两条对角线相交于点 M， 且
AB a ， AD b ， 用a 、 b 表示 MA 、 MB 、 MC 和 MD .
(2) 原式 3a 3b 2a 2b a 5b ； (3) 原式 2a 3b c 3a 2b c
a 5b 2c .
例2.
G
G
A
A G B C
证明： 如图所示，
A
BGCD，
B D
G E C
且 | GA || GD | 2 | GE |
A G B
D
C
例3.
解：
变式3已知两个非零向量 e1 ， e 2 不共线，如果
AB 2 e1 3e 2 ， BC 6 e1 23e 2 ， CD 4 e1 8 e 2 ，
求证： A，B，D 三点共线 .
证明： AD AB BC CD
2 e1 3e 2 6 e1 23e 2 4 e1 8 e 2

已知非零向量a，b满足a＝4b，则( A．|a|＝|b| C．a与b的方向相同 B．4|a|＝|b|
)
D．a与b的方向相反
[答案]
C
[解析]
∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.
∵4b与b的方向相同的运算律 向量的数乘运算满足下列运算律： 设λ，μ为实数，则
计算： ①(－5)×4a； ②5(a＋b)－4(a－b)－3a； ③(3a－5b＋2c)－4(2a－b＋3c)．
[解析]
①原式＝(－5×4)a＝－20a.
②原式＝5a＋5b－4a＋4b－3a＝－2a＋9b. ③原式＝3a－5b＋2c－8a＋4b－12c＝－5a－b－10c.
反之，已知向量b与a(a≠0)共线且向量b的长度是向量a长 度的λ倍，即|b|＝λ|a|，那么当b与a同方向时b＝λa，当b与a反 方向时b＝－λa. (2)如果向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0. [拓展]已知三点A，B，C共线，O是平面内任意一点，则 → → → 有OC＝λOA＋mOB，其中λ＋m＝1.
)
[答案]
[解析]
C
→ → → AC＝AB＋AD＝2a＋3b.
思路方法技巧
命题方向
向量线性运算的运算律
[例 1]
1 计算：(1)3(6a＋b)－9(a＋ b)； 3
1 3 1 1 (2) [(3a＋2b)－(a＋ b)]－22a＋8b； 2 2
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. [分析] 综合运用实数与向量的运算律解题．
4．向量的线性运算
加、减、数乘 向量的________________ 运算统称为向量的线性运算，
对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a± μ2b)＝ λμ1a± λμ2b.

有唯一一个实
数，
使得b
a .
讲授新课
例3 向量a e1 e2 , b 2e1 2e2
是否共线？
例4 如图，平行四边形ABCD的两条对
角线相交于点M
,
且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AB
a,
AD
b,
你
能用 a、b表示MA、MB、MC和 MD吗？
D
C
M
b
A
aB
课堂小结
1. 实数与向量积的定义与运算； 2. 向量共线的判断：
2.2.3向量数乘运算 及其几何意义
思考：已知非零向量
ar ，作出
r a
r a
r a
和(ar )
(ar )
(ar )
，
你能说明它r们的几何意义吗r ？ r
r
a
aaa
O
A
B
C
rrr a a a
N
M
Q
P
r 3a
r 3a
如 图： OC OA AB BC a a a 记作3a,OC与a的方向相同，且 3a 3 a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
r
a
b
2(a b) 2a 2b
2(a b)
rr
ab
2b
r
2a
(a
b)
a
b
实数与向量的积的运算律：
设 , 为实数，那么 r
r
(1)(a) ()a;
rrr
第一分配律 (2)( )a a a;
rr r r
第二分配律 (3)(a b) a b.
特别地，当
0或ar
0r 时， ar
r 0

17:34
练习1:
如图,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a).
a O a -a a a A
OA= a+a+a
=3a
B
-a
-a
P
PB= (-a)+(-a)
=-2a
探究: 相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？
17:34
定义:
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘
(3) 原式 =
= -a+5b-2c
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 对于任意的向量 a,b 以及任意实数 λ,μ , 恒有 λ(μ1a±μ2b)=
17:34
λμ1a±λμ2b
思考:
1、如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？ 2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=λa ？ 对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa , 那么，由数乘 向量的定义知：向量a与b共线。
练习4:
P90
2、3、4、5
17:34
小结回顾:
一、概念与定理 ① λa 的定义及运算律 ② 向量共线定理 ( a≠0 ) b=λa 向量a与b共线
二、知识应用： 1.证明 向量共线； 2.证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线； 3.证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB、CD不重合
又 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b
∴
17:34
b a
AC=2AB
又 AB与AC有公共点A，
A、B、C三点共线.
a
例3 如图: ABCD的两条对角线交于点M, a b 且 , AD 你能用 AB a, b ，表示 吗？ MA, MB, MC, MD .

3.解读运算律 λ(a+b)=λa+λb 的几何意义 (1)当 a,b 中有一个等于 0,或 λ=0 或 1 时,等式显然成立. (2)当 a,b 都不等于 0,且 λ≠1,λ≠0, 当 λ>0,且 λ≠1 时,如图, ������������=a,������������ =b,������������1 =λa,������1 ������1 =λb,������������=a+b,������������1 =λa+λb, 由作法知������������ ∥ ������1 ������1 , 所以|������1 ������1 |=λ|������������ |, 所以|������������1 |=λ|������������|,且������������1 与������������方向也相同, 故有 λ(a+b)=λa+λb 成立. 当 λ<0 时,同理可证. 综上,λ(a+b)=λa+λb 成立.
一
二
三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 1】 计算:(1)3(6a+b)-9 ������ + ������ ; (2) (3������ + 2������)- ������ + ������ -2 ������ + ������ ; 2 2 2 8 (3)2(5a- 4b+c)-3(a-3b+c)-7a. 思路分析 :可综合运用向量数乘的运算律求解 . 解:(1)原式=18a+3b- 9a- 3b=9a; (2)原式 =
1 2 1 1 1 3 3
1
2������ + ������ -a- b=a+ b-a- b=0;

4.已知向量a与b反向,且|a|=r,|b|=R,b=λ a,则λ 的
值等于________.
【解析】因为b=λ a,所以|b|=|λ ||a|. 又a与b反向,所以λ=- .R
r
答案:- R
r
5.下列各式中成立的是________. ①|λ a|=λ a; ②0·a=0; ③(λ +μ )a=λ a+μ a; ④λ (a+b)=λ b+λ a. 【解析】①中|λ a|=|λ ||a|,错误;②中,0·a=0,错误; 答案:③④
【解析】1.选D.因为E是BC的中点, 所以 C E ＝ 1C B ＝ 1A D ＝ 1b，
22 2
所以 D E ＝ D C C E A B C E ＝ a 1b .
2
2.选C.由 a b＝知2 PQ， PQ①＝正3a确3; b，
3
22
由 PT＝3a从3而b，②错误;
(2)关于向量共线 ①向量共线定理中规定向量a≠0,因为如果a=0, 当b=0时,0=λ 0,λ 可以是任意实数; 当b≠0时,b=λ 0,λ 值不存在. ②当向量a,b同向时,λ >0,当向量a,b反向时,λ <0.
【自我检测】
1.已知λ ∈R,则下列命题正确的是 ( )
A.|λ a|=λ |a|
应有 BD1BC或 BD2BC.解题时条件转化要全面准确.
3
3
【自我纠正】因为D为BC的三等分点,
当BD=1 BC时,如图1,BD 1 BC，
3
3
所以 A DA BB DA B1B C
3 AB 1（AC AB）
3
2 AB 1 AC 2 a 1 b.
3