河北省邯郸市-学年高二上学期期末考试数学(理)试题

2022-2023学年河北省邯郸市第十五中学高二物理上学期期末试卷含解析一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意1. （单选）如图所示，一个质量为M木箱原来静止在光滑水平面上，木箱内粗糙的底板上放着一个质量为m的小木块．现使木箱获得一个向左的初速度v0，则（）A．小木块和木箱最终都将静止B．木箱速度为零时，小木块速度为C．最终小木块速度为，方向向左D．木箱和小木块系统机械能最终损失Mv02参考答案：解：A、系统所受外力的合力为零，动量守恒，初状态木箱有向左的动量，小木块动量为零，故系统总动量向左，系统内部存在摩擦力，阻碍两物体间的相对滑动，最终相对静止，由于系统的总动量守恒，不管中间过程如何相互作用，根据动量守恒定律，最终两物体以相同的速度一起向左运动．故A错误；B、规定向左为正方向，根据动量守恒：Mv0=mv1+Mv2；v2=0，可得v1=，故B错误．C、最终两物体速度相同，由动量守恒得：Mv0=（m+M）v，则得v=，方向向左，故C正确．D、木箱和小木块系统机械能最终损失△E=Mv02﹣（m+M）v2=，故D错误；故选：C．2. 如图所示，电子在电势差为U1的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为U2的两块平行极板间的电场中，射入方向跟极板平行，整个装置处在真空中，重力可忽略，在满足电子能射出平行板区的条件下，下述四种情况中，一定能使电子的偏转角θ变大的是A．U1不变、U2变大B．U1变小、U2不变C．U1不变、U2变小D．U1变大、U2变小参考答案：AB3. 拿一个长约l.5m的玻璃筒，一端封闭，另一端有开关，在筒内放有质量不同的一片小羽毛和一块小铜片。

先把玻璃筒内抽成真空并竖直放置，再把玻璃筒倒立过来，小羽毛、小铜片同时从玻璃筒顶端由静止开始下落，那么( )A．小铜片先到达筒底端 B．小羽毛先到达筒底端C．小羽毛、小铜片同时到达筒底端 D．哪个先到达筒底端都有可能参考答案：C4. （单选题）如图，O是一固定的点电荷，另一点电荷P从很远处以初速度射入点电荷O的电场，在电场力作用下的运动轨迹是曲线MN。

邯郸市第二十五中学2022-2023学年第一学期期中考试八年级数学一、选择题（1—10题每题3分，11—16题每题2分，共42分）1.下列图形具有稳定性的是（）A. B. C. D.【答案】A解析：A .具有稳定性，符合题意；B .不具有稳定性，故不符合题意；C .不具有稳定性，故不符合题意；D .不具有稳定性，故不符合题意，故选：A ．2.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C解析：解：A 、不是轴对称图形，故此选项错误；B 、不是轴对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，故此选项正确；D 、不是轴对称图形，故此选项错误．故选C ．3.平面直角坐标系中，点()3,4A -关于y 轴的对称点是1A ，点1A 的坐标是（）A.()4,3-- B.()3,4- C.()3,4-- D.()3,4【答案】D解析：解：点()3,4A -关于y 轴的对称点的坐标为：()3,4．故选：D ．4.如图，点C 在AD 上，,40CA CB A =∠=︒，则BCD ∠等于（）A.40︒B.70︒C.80︒D.110︒【答案】C解析：解：CA CB = ，40A ∠=︒，40A B ∴∠=∠=︒，404080BCD A B ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．5.如图，△ABE ≌△ACD ，BC ＝10，DE ＝4，则DC 的长是（）A.8B.7C.6D.5【答案】B解析：解：∵△ABE ≌△ACD ，∴BE ＝CD ，∴BE +CD ＝BC +DE ＝14，∴2CD ＝14，∴CD ＝7，故选：B ．6.用三角板作△ABC 的边BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A. B.C. D.【答案】A解析：解：B ，C ，D 都不是△ABC 的边BC 上的高，A 选项是△ABC 的边BC 上的高，故选：A ．7.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC 等于（）A.30°B.35°C.45°D.60°【答案】A 解析：解：如图，∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，∴六边形花环为正六边形，∴∠ABD=×°6（6-2）180=120°，而∠CBD=∠BAC=90°，∴∠ABC=120°-90°=30°．故选：A ．8.如图，已知ABC 的周长是20，OB 和OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥，垂足为点D ，3OD =，则ABC 的面积是（）A.20B.30C.40D.60【答案】B 解析：连接AO ，过点O 分别作OE AB ⊥于点E ，OF AC ⊥于点F ，∵ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△，111222AB OE BC OD AC OF =++，∵BO 、CO 为角平分线，∴3OE OD OF ===，∴()113203022ABC S OD AB BC AC =++==．故选：B ．9.如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的距离为A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里【答案】D解析：∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M ＝70°，∠N ＝40°，∴根据三角形内角和定理得∠MPN ＝70°．∴∠M ＝∠MPN ＝70°．∴NP ＝NM ＝80（海里）．故选D ．10.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何？A.5B.6C.7D.10【答案】C 解析：依题意可得，当其中一个夹角为180°即四条木条构成三角形时，任意两螺丝的距离之和取到最大值，为夹角为180°的两条木条的长度之和．因为三角形两边之和大于第三边，若长度为2和6的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为3,4,8，不符合；若长度为2和3的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为4,5,6，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最大值为6；若长度为3和4的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为2,6,7，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最大值为7；若长度为4和6的两条木条的夹角调整成180°时，此时三边长为2,3,10，不符合．综上可得，任意两螺丝的距离之和的最大值为7，故选C11.如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，2AD =，连接BD ，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的值不可能是（）A.1.5B.2C.2.5D.3【答案】A 解析：解：如图，过点D 作DH BC ⊥交BC 于点H ，BD CD ⊥ ，90BDC ∴∠=︒，又180C BDC DBC ∠+∠+∠=︒ ，180ADB A ABD ∠+∠+∠=︒，ADB C ∠=∠，90A ∠=︒，ABD CBD ∴∠=∠，BD ∴是ABC ∠的角平分线，又AD AB ⊥ DH BC ⊥，，AD DH =∴，又2AD = ，2DH ∴=，又∵点D 是直线BC 上一点，∴当点P 在BC 上运动时，点P 运动到与点H 重合时DP 最短，其长度为DH 的长，即DP 的长最小值为2，1.52< ，DP ∴的长不可能是1.5，故选：A ．12.已知，在△ABC 中，AB AC =，如图，（1）分别以B ，C 为圆心，BC 长为半径作弧，两弧交于点D ；（2）作射线AD ，连接BD ，CD ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误．．的是（）A.BAD CAD∠=∠ B.△BCD 是等边三角形C.AD 垂直平分BCD.ABDC S AD BC= 【答案】D解析：解：∵BD BC CD ==∴△BCD 是等边三角形故选项B 正确；∵AB AC =，,BD CD AD AD==∴ABD ACD≅△△∴BAD CAD∠=∠故选项A 正确；∵BAD CAD ∠=∠，AB AC=∴据三线合一得出AD 垂直平分BC故选项C 正确；∵四边形ABCD 的面积等于ABD △的面积与ACD 的面积之和∴12ABCD S AD BC =⋅故选项D 错误．故选：D ．13.如图，在正方形网格中有M ，N 两点，在直线l 上求一点P ，使PM PN +最短，则点P 应选在（）A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点【答案】C 解析：解：如图，点M '是点M 关于直线l 的对称点，连接M N '，则M N '与直线l 的交点，即为点P ，此时PM PN +最短，M N ' 与直线l 交于点C ，∴点P 应选C 点．故选：C ．14.如图，在ABC 中，30,90A C ∠=︒∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 于D 点，交AB 于E 点，则下列结论错误的是（）A.DE DC= B.AD DB = C.AD BC = D.BC AE=【答案】C 解析：解：∵ 30, 90A C ∠=︒∠=︒，∴60ABC ∠=︒，∵DE 垂直平分AB ，∴AD BD =，AE BE =，故B 选项正确，不符合题意；C 选项错误，符合题意；∴30ABD A ∠=∠=︒，∴30CBD ∠=︒，∴CBD ABD ∠=∠，∵90,C DE AB ∠=︒⊥，∴DE DC =，故A 选项正确，不符合题意；∵ 30, 90A C ∠=︒∠=︒，∴12BC AB =，∴BC AE =，故D 选项正确，不符合题意；故选：C15.如图，D 为ABC 内一点，CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，垂足为D ，交AC 于点E ，A ABE ∠=∠．若5AC =，3BC =，则BD 的长为（）A.2.5B.1.5C.2D.1【答案】D 解析：解：∵CD 平分ACB ∠，BE CD ⊥，∴ECD BCD ∠=∠，90BDC EDC ∠=∠=︒，在BCD △与ECD 中，90ECD BCD CD CD BDC EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()ASA BCD ECD ∴≌ ，BC CE ∴=，BEC ∴ 是等腰三角形，∴12BD BE =，又A ABE ∠=∠ ，ABE ∴ 是等腰三角形，AE BE ∴=，()111222BD BE AE AC CE ∴===-，∵5AC =，3BC =，()15312BD ∴=⨯-=．故选：D ．16.如图，已知等边三角形ABC ，2AB =，点D 在AB 上，点F 在AC 的延长线上，,BD CF DE BC =⊥于E ，FG BC ⊥于G ，DF 交BC 于点P ，则下列结论：①BE CG =；②EDP GFP ≌；③60EDP ∠=︒；④1EP =．其中一定正确的是（）A.①③B.②④C.①②③D.①②④【答案】D 解析：解：ABC 是等边三角形，AB BC AC ∴==，60A B ACB ∠=∠=∠=︒．ACB GCF ∠=∠ ，DE BC ⊥ ，FG BC ⊥，90DEB FGC DEP ∴∠=∠=∠=︒．在DEB 和FGC △中，DEB FGC B GCF BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)DEB FGC ∴△≌△BE CG ∴=，DE FG =，故①正确；在DEP 和FGP 中，DEP FGP DPE FPG DE FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)DEP FGP ∴△≌△，故②正确；PE PG ∴=，EDP ∠不一定等于60︒，当PD AB ⊥时，60EDP ∠=︒，故③错误；PG PC CG =+ ，PE PC BE ∴=+．2PE PC BE ++= ，1PE ∴=．故④正确．正确的有①②④，故选：D ．二、填空题（17，18题每题3分，19题每空2分，共10分）17.如图，ABC 中，D ，E 分别是BC ，AD 的中点，ABC 的面积是20，则阴影部分的面积是______．【答案】5解析：解：ABC 中，D 、E 分别是BC ，AD 的中点，AD ∴是ABC 的中线，CE 是ADC △的中线，2ABC ADC S S ∴= ，2ADC AEC S S = ，4ABC AEC S S ∴= ，ABC 的面积是20，AEC ∴ 的面积为5，即阴影部分的面积是5．故答案为：5．18.如图，已知8AO =，P 是射线ON 上一动点（即Р点可在射线ON 上运动），60AON ∠=︒，则OP =_______时，AOP 为直角三角形．【答案】4或16##16或4解析：解：当90APO ∠=︒时，9030OAP AOP ∠︒∠=︒=-，142OP OA ∴==，当90OAP ∠=︒时，9030OPA AOP ∠=︒-∠=︒，216OP OA ∴==，故答案为：4或16．19.如图，已知()()3,0,0,1A B -，连接AB ，过B 点作AB 的垂线段BC ，使BA BC =，连接AC ，C 点坐标为__________；Р点从A 点出发沿x 轴向左平移，连接BP ，作等腰直角BPQ V ，连接CQ ，当C 、P 、Q 三点共线时Р点的坐标为___________．【答案】①.(1,4)-②.(1,0)解析：解：如图，过C 作CH y ⊥轴于H ，则90BCH CBH ∠+∠=︒，∵()()3,0,0,1A B -，∴3OA =，1OB =，AB BC ⊥ ，90ABC ∴∠=︒，90ABO CBH ∴∠+∠=︒，ABO BCH ∴∠=∠，在ABO 和BCH V 中，ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)ABO BCH ∴≌△△，3BH OA ∴==，1CH OB ==，4OH OB BH ∴=+=，C ∴点坐标为(1,4)-；BPQ △是等腰直角三角形，90PBQ ABC ∴∠=∠=︒，PBQ ABQ ABC ABQ ∴∠-∠=∠-∠，即PBA QBC ∠=∠，在PBA △和QBC △中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)PBA QBC ∴△≌△，135BPA BQC ∴∠=∠=︒，BPQ △是等腰直角三角形，45BQP ∴∠=︒，当C 、P ，Q 三点共线时，135BQC ∠=︒，18013545OPB ∴∠=︒-︒=︒，1OP OB ∴==，P ∴点坐标为(1,0)，故答案为：(1,4)-，(1,0)．三、解答题（共68分）20.求出下列图形中x 的值．【答案】（1）70x =；（2）60x =解析：解：（1）∵40180x x ++=，解得70x =；（2）∵()7010x x x +=++，解得60x =．21.如图，在平面直角坐标系中，A(﹣3，2)，B(﹣4，﹣3)，C(﹣1，﹣1)．（1）在图中作出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（2）写出点111,,A B C 的坐标（直接写答案）；（3）在y 轴上画出点P ，使PB+PC 最小．【答案】（1）图见解析；（2）111(3,2),(4,3),(1,1)A B C --；（3）图见解析．解析：（1）先根据轴对称的性质分别描出点111,,A B C ，再顺次连接即可得到111A B C △，如图所示：（2）点坐标关于y 轴对称的变化规律：横坐标变为相反数，纵坐标不变3,24,3(),(),()1,1A B C ----- 1113,24,(),(),(3)1,1A B C ∴--；（3）由轴对称的性质得：1PB PB =则1PB PC PB PC+=+由两点之间线段最短得：当1,,C P B 三点共线时，1PB PC +取得最小值，最小值为1CB 如图，连接1CB ，与y 轴的交点P 即为所求．22.如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝CE ．试说明：AB ∥DE ．【答案】见解析解析：证明：BF CE = ，BF CF CE CF ∴+=+，即BC EF =，在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC DEF SSS ≅∆∆∴，B E ∴∠=∠，//AB DE ∴．23.如图，ABC 和ADE V 中，AB AD =，B D ∠=∠，BC DE =．边AD 与边BC 交于点P （不与点B ，C 重合），点B ，E 在AD异侧．（1）若30B ∠=︒，70APC ∠=︒，求CAE ∠的度数；（2）当30B ∠=︒，AB AC ⊥，6AB =时，设AP x =，请用含x 的式子表示PD ，并写出PD 的最大值【答案】（1）40︒（2）6PD x =-；当3x =时，PD 有最大值，即3PD =【小问1详解】解：在ABC 与ADE V 中，AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABC ADE ∴≌△△，BAC DAE ∴∠=∠，BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠，BAD CAE ∴∠=∠，30B ∠=︒ ，70APC ∠=︒，703040CAE BAD APC B ∴∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒；【小问2详解】解：AB AC ⊥ ，90BAC ∴∠=︒，6AB = ，AP x =，()SAS ABC ADE ≌，6AB AD ∴==，∴当AD BC ⊥时，x 最小，PD 最大，6PD x =-，30B ∠=︒ ，AD BC ⊥，90APB ∴∠=︒，132AP AB ∴==，3AP x ∴==时，PD 有最大值，即633PD AD AP =-=-=．24.如图：已知等边ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE CD =．（1）求E ∠的度数．（2）求证：DBE 是等腰三角形．【答案】（1）30︒（2）见解析【小问1详解】解： ABC 是等边三角形，60ACB ABC ∠=∠=︒∴，又CE CD = ，E CDE ∴∠=∠，又ACB E CDE ∠=∠+∠ ，1302E ACB ∴∠=∠=︒；【小问2详解】证明： 等边ABC 中，D 是AC 的中点，11603022DBC ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒由（1）知30E ∠=︒，30DBC E ∴∠=∠=︒，DB DE ∴=，即DBE 是等腰三角形．25.如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形，(1)观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：正多边形边数3456……n ∠α的度数______°_____°______°______°……_____°(2)根据规律，计算正八边形中的∠α的度数.(3)是否存在正n 边形使得∠α=21°？若存在，请求出n 的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)60，45，36，30°，180n；(2)22.5；(3)不存在.解析：（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：正多边形边数3456…n ∠α的度数60°45°36°30°…（1808）°（2）根据规律，计算正八边形中的∠α=（1808）°=22.5°；（3）不存在，理由如下：设存在正n 边形使得∠α=21°，得∠α=21°=（180n）°．解得n=847，n 是正整数，n=847（不符合题意要舍去），不存在正n 边形使得∠α=21°．26.如图，已知：在ABC 中，4AC BC ==，120ACB ∠=︒，将一块足够大的直角三角尺()90,30PMN M MPN ∠=︒∠=︒按如图放置，顶点Р在线段AB 上滑动（且不与A 、B 重合），三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角PCB α∠=，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当α=______°，PN BC ∥，此时APD ∠=______°（2）点Р在滑动时，当AP 长为多少时，ADP △与BPC △全等，为什么？（3）点Р在滑动时，PCD 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出夹角α的大小；若不可以，请说明理由．【答案】（1）30，30（2）4AP =时，ADP △与BPC △全等，理由见解析（3）45α∠=︒或90︒时，PCD 的形状可以是等腰三角形【小问1详解】若PN BC ∥，则MPN α∠=∠，30MPN ∠=︒，∴30MPN α∠=∠=︒，120ACB ∠=︒ ，AC BC =，30A B ∴∠=∠=︒，30α∠=︒，303060APC B α∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，30MPN ∠=︒，603030APD APC MPN ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：30，30；【小问2详解】当4AP =时，ADP BPC ≌ ，理由如下：120ACB ∠=︒ ，AC BC =，30A B ∴∠=∠=︒，APC ∠ 是BPC △的一个外角，30APC B αα∴∠=∠+∠=︒+∠，30APC DPC APD APD ∠=∠+∠=︒+∠ ，APD α∴∠=∠，4AP BC == ，在ADP △和BPC △中，A B AP BC APD BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ADP BPC ∴≌ ；【小问3详解】PCD QV 是等腰三角形，120PCD α∠=-°，30CPD ∠=︒，①当PC PD =时，()118030752PCD PDC ∴∠=∠=︒-︒=︒，即12075α-=°°，45α∴∠=︒；②当PD CD =时，PCD 是等腰三角形，30PCD CPD ∴∠=∠=︒，即12030α-=°°，90α∴=︒；③当PC CD =时，PCD 是等腰三角形，30CDP CPD ∴∠=∠=︒，180230120PCD ∴∠=︒-⨯︒=︒，即120120α-=°°，0α∴=︒，此时点P 与点B 重合，点D 和A 重合，∵点P 不与A ，B 重合，0α∴=︒，舍去，综合所述：当PCD 是等腰三角形时，45α=︒或90︒．20。

邯郸市2024高二第二学期期末考试历史试卷本试卷满分100分，考试用时75分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本大题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.良渚遗址出土玉器上的兽面纹以有首无身者居多，突出反映的都是眼、鼻、嘴构成一个脸面形象，其各部位及构图格局几乎一致；这些特点在商周青铜器的饕餮纹中也能找到。

有研究者称：（兽面纹）突出在一种神秘威吓面前的畏怖、恐惧，残酷和凶狠，指向了某种似乎是超世间的权威神力的观念。

这说明良渚文化（）A.已形成较为完备的祭祀体系B.展现了文明起源的多样性C.呈现向阶级社会过渡的特征D.与中原文明存在互动交流【答案】C【解析】【详解】本题是单类型单项选择题。

据本题主题干的设问词，可知这是本质题。

据本题时间信息可知准确时空是：古代（中国）。

根据材料可知，良渚遗址出土玉器上的兽面纹“突出在一种神秘威吓面前的畏怖、恐惧，残酷和凶狠，指向了某种似乎是超世间的权威神力的观念”，体现了阶级特征，这说明良渚文化向阶级社会过渡，C项正确；仅凭材料内容，无法体现良渚文化已形成较为完备的祭祀体系，排除A项；材料说明良渚文化呈现向阶级社会过渡的特征，未体现文明起源的多样性，排除B项；材料说明良渚文化呈现向阶级社会过渡的特征，未涉及良渚文化与中原文明存在互动交流，排除D项。

故选C项。

2.东晋时期，某僧人在庐山传教三十余年间，不仅讲解《丧服经》，也讲解《诗经》；时常引用《庄子》的话来说明《般若经》中的内容。

他少年时便通读儒家经典，擅长用玄学比附佛经，在社会上层颇有影响。

2024~2025学年度高二上学期10月月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区战内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设直线的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D.2.已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ）A.B.C.1D.23.已知直线与平行，且过点，则（ ）A.B.3C.D.24.如图，在正三棱锥中，点为的重心，点是线段上的一点，且，记，则（ ）A. B.:80l x +=αα=30 60 120 150α()4,2,n m =- l ()1,3,2u =--l ∥αm =2-1-1:250l x y ++=2:30l x ay b ++=2l ()3,1-ab=3-2-P ABC -G ABC V M PG 3PM MG =,,PA a PB b PC c === AM =311444a b c -++ 311434a b c-++C. D.5.已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（）A. B.C. D.6.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（）7.已知实数满足，且，则的取值范围为（）A. B.C. D.8.在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（）D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知空间向量，且，则下列说法正确的是（）111444a b c-++111434a b c-++()1,5-220x y-+=()2,72110x y+-=410x y--=4150x y+-=90x y+-=111ABC A B C-ABCV1AA=2AB=C1AB ,x y21y x=-12x-……63yx--[)9,3,4∞∞⎛⎤--⋃+⎥⎝⎦93,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[)9,3,4∞∞⎛⎤-⋃+⎥⎝⎦9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦P ABC-3PA AB==M()2PM xPA yPB x y PC=++--AM ()()()1,2,3,23,0,5,2,4,a abc m=+=-=a ∥cA.B.C. D.10.已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）A.始终过定点B.若，则或C.若，则或2D.当时，始终不过第三象限11.如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（）A.点的轨迹长度为B.点到平面的距离是定值C.直线与平面D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为__________.13.已知向量，若共面，则__________.14.如图，在正三棱柱中，为棱上的动点（包括端点），为b = 6m =()2b c a +⊥cos ,b c <>= 1:0l x ay a +-=()2:2310l ax a y ---=2l 21,33⎛⎫⎪⎝⎭1l ∥2l 1a =3-12l l ⊥0a =0a >1l 1111ABCD A B C D -,P M 1111A B C D AP BM AC =⊥P πM 1A BD CP ABCD PM 1()3,1P l x y l ()()()3,2,3,1,3,2,7,0,a b c λ=-=--= ,,a b cλ=111ABC A B C -12,AB AA M ==11B C N的中点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）已知的顶点坐标为.（1）若点是边上的中点，求直线的方程；（2）求边上的高所在的直线方程.16.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与直线的夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且.AM CN 11ABB A ABC V ()()()1,6,3,1,4,2A B C ---D AC BD AB 111ABC A B C -1,AB AC AB AC AA ⊥==,E F 11,AB A B AF ∥1B CE 1C E AF 1111ABCD A B C D -ABCD 11,2AC DB AA ⊥==P 1DD 12DP PD =（1）求证：四边形为正方形；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）已知直线过定点.（1）求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程；（2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程.19.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且平面平面，在平面内过作，交于，连接.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在线段上存在一点，使直线与平面，求的长.ABCD 1AD PAC ()1:340l kx y k k ---=∈R P P 2l 1l x A y ,B ABO V S O S 1l P ABCD -ABCD 90,1,2,60,30ADC BCD BC CD PD PDA PAD ∠∠∠∠======= PAD ⊥ABCD ABCD B BO AD ⊥AD O PO PO ⊥ABCD A PB C --PA M BM PAD PM2024~2025学年度高二上学期10月月考·数学参考答案、提示及评分细则1.A 因为直线的斜率为，又，.故选A.2.B 因为，所以，所以，解得.故选B.3.D 因为直线与直线平行，，解得，直线过，则得，经验证与不重合，.故选D.4.A 因为为的重心，所以，又点是线段上的一点，且，所以.故选A.5.C 点关于对称的点设为，则，反射光线经过点，则反射光线所在的直线方程为，即，故选C.6.C 取的中点，则，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，所以在上的投影的长度为，:80l x +=k =tan α=0180α< …30α= l ∥αn u ⊥ 4620n u m ⋅=-++= 1m =-1:250l x y ++=2:30l x ay b ++=12121313,,22k k k k a a=-=-=⇒-=-6a =2:l ()3,1-960b -++=3b =1l 2l 2ab∴=G ABC V ()()()1112333AG AB AC PB PA PC PA b c a =+=-+-=+-M PG 3PM MG =()()1131311132444443444AM AG GM AG GA AP PA AG a b c a b c a =+=++=-+=-+⨯+-=+-()1,5-220x y -+=(),x y ()51312351202y x x y y x -⎧=-⎪=⎧⎪+⇒⎨⎨=+⎩⎪--+=⎪⎩()()733,3,2,7,423k -==--()433y x =--+4150x y +-=AC O ,BO AC BO ⊥=O xyz -()()10,1,0,,0,1,0A B C -()1,0,2,0AB CA ==-CA 1AB11CA AB AB ⋅==故点到直线的距离为.故选C.7.D 由于点满足关系式，且，可知在线段上移动，且，，设，则，因为点在线段上，所以的取值范围是，故选D.8.B 延长至点，使得，所以，又由，所以四点共面，所以的最小值为点到平面的距离，又点是的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，又，易得点到平面的距离为，所以.故选B.9.ABD ，故A 正确；，设，故B 正确；，故C 错误；，故D正确.故选ABD.10.ACD11.BCD 因为，所以，即点在底面C 1AB d ==(),x y 21y x =-12x -……(),x y AB ()1,3A --()2,3B ()3,6Q ()()63963,331432QA QB k k ---====---(),x y AB 63y x --9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,PA PB PC ,,D E F 2,2,2PD PA PE PB PF PC ===()()22222x y x y PM xPA yPB x y PC PD PE PF --=++--=++ ()21222x y x y --++=,,,M D E F AM A DEF A PD A DEF P DEF 6PD PE PF DE DF EF ======P DEF AM ()()()1,2,3,23,0,5,2,1,1,a a b b b =+=-∴=--∴== ()2,4,,c m a = ∥c 121,24263a c m m λλλλλ=⎧⎧=⎪⎪=∴=⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎩()()22,2,8,2212283260b c a b c +=-⋅+=-⨯+⨯+⨯=≠cos ,b c b c b c⋅<>===⋅AP ===11A P =E内是以为圆心､半径为1的圆上，所以点的轨迹长度为，故A 错误；在正方体中，，又平面，所以平面，所以点的轨迹为线段，又平面，所以点到平面的距离是定值，故B 正确；因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为，所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大，又，所以直线与平面所成角的正切，故C 正确；到直线的距离为落在上时，，故D 正确.故选BCD.12.答案见错题集13.5 因为共面，所以存在实数，使得，即，即14. 取中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，且，因为为的中点，故，于是，平面的一个法向量为，1111A B C D 1A 14P π21111ABCD A B C D -AC BD ⊥,,,AC BM BD BM B BD BM ⊥⋂=⊂DBM AC ⊥DBM M 11B D 11B D ∥1A BD M 1A BD P ABCD P ABCD P 'P C 'CP ABCD min 1P C ='CP ABCD 1A 11B D d =,P M 11A C min 1PM =-,,a b c ,x y c xa yb =+ ()()()7,0,3,2,31,3,2x y λ=-+--73023,3,2, 5.32x yx y x y x y λλ=-⎧⎪=-+===⎨⎪=-⎩解得AB O O ()0,1,0A )CM a a ⎛- ⎝a ⎡∈⎣N AM 2a N ⎛ ⎝2a CN a ⎛= ⎝ 11ABB A )OC =cos ,OC CN OC CN OC CN⋅<>==⋅设，则，，故.15.（1）因为点是边上的中点，则，所以，所以直线的方程为，即；（2）因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为，即.16.（1）证明：由于三棱柱是直三棱柱，所以，因为点分别为棱的中点，所以，则四边形是平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面（2）解：因为直三棱柱，所以以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，于是，设直线与直线的夹角为，则2a t t ⎡=∈⎢⎣cos ,OC CN <>==1t ⎡∈⎢⎣cos ,OC CN <>∈ D AC 3,42D ⎛⎫⎪⎝⎭14103932BD k --==--BD ()10139y x +=+109210x y -+=167312AB k --==-+AB 27-AB ()2247y x -=--27220x y +-=111ABC A B C -11AB A B ∥,E F 11,AB A B 1AE B F ∥1AEB F AF ∥1B E AF ⊄11,B CE B E ⊂1B CE AF ∥1;B CE 111,ABC A B C AB AC -⊥A 1,,AB AC AA x y z 12AA =()()()10,2,2,1,0,0,1,0,2C E F ()()11,2,2,1,0,2C E AF =--=1C E AF θ11cos C E AF C E AFθ⋅==⋅所以直线与直线17.（1）证明：连接，如图所示，在直四棱柱中，平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又四边形是矩形，所以四边形为正方形；（2）解：以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，所以，所以，设平面的一个法向量为，所以，令，解得，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的大小为，1C E AF DB 1111ABCD A B C D -1BB ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1BB AC ⊥111111,,,AC DB BB DB B BB DB ⊥⋂=⊂1BDB AC ⊥1BDB BD ⊂1BDB AC BD ⊥ABCDABCD D 1,,DA DCDD x y z )()()14,,0,0,2,0,0,3AC D P ⎛⎫ ⎪⎝⎭()144,,233PA PC AD ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎭⎝⎭PAC (),,n xy z =403403n EA z n EC z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩3z =x y ==PAC ()n =1AD PAC θ所以，即直线与平面.18.答案见错题集19.答案见错题集111sin cos ,||n AD n AD n AD θ⋅==== 1AD PAC。

唐山市2022~2023学年度高二年级第一学期学业水平调研考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线2330x y +-=的一个方向向量是（）A.()2,3- B.()2,3 C.()3,2- D.()3,2【答案】C 【解析】【分析】当直线的斜率存在时，由直线的方向向量为(,)n x y = ，则yk x=代入计算即可.【详解】因为2330x y +-=，所以23k =-，设直线的方向向量为(,)n x y = ，则23yk x=-=，取3x =，则=2y -，所以直线的一个方向向量为(3,2)n =-.故选：C.2.在等差数列{}n a 中，11a =，923a =-，则5a =（）A.－11B.－8C.19D.16【答案】A 【解析】【分析】代入等差数列通项公式求出公差，再代入公式即可求得.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，923a =-，所以91823a a d =+=-，解得3d =-，则51411211a a d =+=-=-.故选：A3.已知向量()0,1,1a =- ，()1,2,b y = ，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（）A.30︒ B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】根据题意，先得到b的坐标，然后根据空间向量数量积的坐标运算即可得到结果.【详解】根据题意可得，0231a b y y ⋅=-+=-⇒=-，即()1,2,1b =-则cos ,2a b a b a b⋅<>==-，且[],0,πa b <>∈r r ，所以a 与b的夹角为150︒故选:D4.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线1B C 与DE 所成角的余弦值为（）A.5B.105-C.4D.4-【答案】A 【解析】【分析】设出正方体的棱长，建立空间直角坐标系，得到各点坐标，表达出1B C 和DE，即可得出异面直线1B C 与DE 所成角的余弦值.【详解】由题意在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，设正方体的棱长为2a ，建立空间直角坐标系如下图所示，则()10,0,0A ，()12,0,0B a ，()2,2,2C a a a ，()12,2,0C a a ，()0,2,2D a a ，(),2,0E a a ∴()10,2,2B C a a = ，(),0,2DE a a =-，设异面直线1B C 与DE 所成角为θ，1110cos 5B C D B EC DEθ==⋅ ，∴异面直线1B C 与DE 所成角的余弦值为105，故选：A.5.F 为抛物线C :24x y =的焦点,点A 在C 上,点()0,5B ,若AF BF =,则ABF △的面积为（）A. B. C.4D.8【答案】B 【解析】【分析】求出焦点F 的坐标,根据两点间距离公式求得BF ,即AF 的长度,根据抛物线定义可求得A 点坐标,进而可求出面积.【详解】解:因为抛物线C :24x y =,所以()0,1F ,准线为:1y =-因为()0,5B ,所以4BF AF ==,设()11,A x y ,根据抛物线定义可知:114y +=,解得13y =,所以()A ±,所以111422ABF S BF x =⋅⋅=⨯⨯= .故选:B6.设直线210x y --=与x 轴的交点为椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点2F ，过左焦点1F 且垂直x 轴的直线与椭圆交于M ，132F M =，则椭圆的离心率为（）A.33B.22C.12D.32【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得()21,0F 以及2132b F M a =±=，再结合椭圆,,a bc 的关系，列出方程即可得到结果.【详解】根据题意可得，直线210x y --=与x 轴的交点为()1,0，即()21,0F ，所以1c =，且过左焦点1F 且垂直x 轴的直线与椭圆交于M ，将x c =-代入椭圆方程可得，2by a=±，即2132b F M a =±=，所以232b a =所以2222132c ba abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩12c e a ==故选:C7.已知圆O ：2216x y +=和点(P ，若过点P 的5条弦的长度构成一个递增的等比数列，则该数列公比的取值范围是（）A.(B.(]1,2C.( D.(]0,2【答案】A 【解析】【详解】圆半径4r =，OP r ==，则点P 在圆内，则过点P 的弦长[]2,8d Î=，（乱码，查看原文亦是乱码）故所求公比的取值范围是（乱码，查看原文亦是乱码）1,纟çúçú棼，即(.故选：A8.已知数列{}n a 满足11a =，()121n n n a a a ++=，令1n n n b a a +=，则数列{}n b 的前2022项和2022S =（）A.40444045B.20224045C.40434045D.20244045【答案】B 【解析】【分析】化简()121n n n a a a ++=，得1112n na a +-=，可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出通项公式，再用裂项相消的方法求数列{}n b 的前2022项和即可.【详解】因为数列{}n a 满足()121n n n a a a ++=，即112n n n n a a a a ++⋅+=，即1112n na a +-=，111a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，所以121n n a =-，则121n a n =-，因为1n n n b a a +=，则()()1111(212122121n b n n n n ==-+-+-，数列{}n b 的前2022项和2022111111112022(1(1233522022122022122202214045S =-+-++-=-=⨯-⨯+⨯+ .故选：B【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知直线l ：y x =+，圆O ：222(0)x y r r +=>，且圆O 上至少有三个点到直线l 的距离都等于1，则r 的值可以是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】CD 【解析】【分析】根据圆的对称性，结合圆心到直线距离列式求解即可.【详解】圆O 到直线的距离2d ==，由圆O 上至少有三个点到直线l 的距离都等于1得13r d r -侈.故选：CD.10.将数列{}n 中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号3个数，第四个括号4个数，…，进行排列：()1，()2,3，()4,5,6，()7,8,9,10，…，则（）A.第8个括号内的第一个数是29B.前9个括号内共有45个数C.第10个括号内的数的和比第8个括号内的数的和大136D.2022在第64个括号内【答案】ABD 【解析】【分析】第n 个括号有n 个数，则括号里数的数量满足等差数列，且括号里的数同为等差数列，根据等差数列的通项公式及求和公式逐个判断即可.【详解】对A ，第n 个括号有n 个数，则前7个括号内共有()177282+´=个数，故第8个括号内的第一个数是29，A 对；对B ，前9个括号内共有()199452+⨯=个数，B 对；对C ，由AB 得，第10个括号内的数的和为()4655105052+´=，第8个括号内的数的和为()293682602+´=，故第10个括号内的数的和比第8个括号内的数的和大505260245-=，C 错；对D ，设2022在第()*k k ∈N 个括号内，则有()()()1111202222k k k k +--+<£，解得64k =，D 对.故选：ABD.11.已知双曲线C ：2213y x -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 的右支上一点，则（）A.若120PF PF ⋅≤ ，则P 到x 轴的最大距离为32B.存在点P ，满足124PF PF =C.P 到双曲线的两条渐近线的距离之积为34D.12PF F △内切圆半径r 的取值范围是0r <<【答案】ACD 【解析】【分析】利用数量积坐标运算表示120PF PF ⋅≤，解不等式求点P 的纵坐标范围，判断A ，结合双曲线定义判断B ，利用点到直线的距离公式求P 到双曲线的两条渐近线的距离之积判断C ，根据直线与双曲线的位置关系确定12PF F ∠的范围，结合内切圆的性质判断D.【详解】设双曲线的实半轴为a ，虚半轴为b ，半焦距为c ，则双曲线2213y x -=的焦点1F 的坐标为()2,0-，2F 的坐标为()2,0，1,2a b c ===，渐近线方程为y =，设点P 的坐标为(),m n ，则m 1≥，2213n m -=，对于A ，因为()()122,,2,PF m n PF m n =---=--，所以()()222122240PF PF m m n m n ⋅=---+=+≤- 所以221403n n ++-≤，所以3322n -≤≤，所以P 到x 轴的最大距离为32，A 正确；对于B ，由已知124PF PF =，122PF PF -=，所以223PF =，又21PF c a ≥-=，矛盾，B 错误，对于C ，点P223344m n -==，C 正确；对于D ，因为12,,P F F 三点不共线，所以直线1PF 的斜率不为0，可设直线1PF 的方程为()2y k x =+，0k ≠，联立()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得()222234430k x k x k ----=，方程()222234430kxk x k ----=的判别式()()422216434336360k k k k ∆=----=+>，由已知224303k k--<-，所以23k <，又0k ≠，故0k <<或0k <<，设12PF F △的内切圆的圆心为E ，12PF F △的内切圆与x 轴相切于点M ，因为122PF PF -=，所以122MF MF -=，又124MF MF +=，所以13MF =，设122PF F θ∠=，则π023θ<<，又12PF F △内切圆半径1tan 3tan r MF θθ==，所以0r <<D 正确.故选：ACD.【点睛】本题为双曲线的综合性问题，考查双曲线的定义，直线与双曲线的位置关系，双曲线的性质，难度较大.12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 内运动（含边界），则（）A.存在点P ，使得11D P BC ⊥B.若15D P =BP 的最小值为221C.若11D P B D ⊥，则P 2D.若1A P BD ⊥，直线1A P 与直线1BD 所成角的余弦值的最大值为33【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，建立适当空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算判定即可；B 选项，找出动点P 在正方体底面ABCD 内的运动轨迹，利用点到圆上点的最值求解即可；C 选项，根据立体几何中线面垂直推出线线垂直，可找出动点P 在正方体底面ABCD 内的运动轨迹是线段AC ，即可求解；D 选项：建立适当空间直角坐标系，利用1A P BD ⊥可得出点(),2,0P x x -，再利用空间向量的坐标表示求解即可.【详解】对于A 选项：如图1,以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()2,2,0B ，()10,2,2C ，()10,0,2D ，设(),,0P x y ，[],0,2x y ∈，则()1,,2D P x y =- ，()12,0,2BC =-，若11D P BC ⊥，则11240D P BC x ×=--=，解得2x =-，不合题意，错误；对于B 选项：如图2，若15D P =DP ，则点P 在以D 为圆心，DP 为半径的圆上，此时点P 的轨迹为 FPE ，又15D P =，12DD =，2211541DP D P DD \=-=-，min 221BP BD DP \=-=，故正确；对于C 选项：如图3，连接1AD ，AC ，BD ，1CD ，11B D ，ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，又1DD ⊥Q 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，1BD DD D = ，1,BD DD ⊂平面11BDD B ，AC ∴⊥平面11BDD B ，1B D ⊂平面11BDD B ，1AC B D ∴⊥，同理可证：11AD B D ⊥，又1AC AD A =I ，1,AC AD ⊂平面1ACD ，1B D ∴⊥平面1ACD ，平面1ACD ⋂平面ABCD AC =，故点P 在正方体底面ABCD 内的运动轨迹是线段AC ，又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，AC ∴=，故错误；对于D 选项：如图4，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，连接AC ，BD ，1BD ，1A P ，则()2,2,0B ，()12,0,2A ，()10,0,2D ，()0,0,0D ，设(),,0P x y ，[],0,2x y ∈，则()1-2,,2A P x y =- ，()2,2,0BD =--，当1A P BD ⊥，有()122202240A P BD x y x y ×=---+=--+=，则2y x =-，此时(),2,0P x x -，又()12,2,2A P x x =--- ，()12,2,2BD =--，111111cos ,A P BD A P BD A P BD ×\<>==×当2x =时，11cos,A P BD <> 有最大值，此时11cos ,A P BD <>=.故答案选：BD.【点睛】关键点点睛：立体几何中线面垂直的判定定理，动点在立体几何中的轨迹问题，以及利用空间向量法解决立体几何的问题，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正项等比数列{}n a ，若1234a a +=，343a a +=，则4a =______.【答案】2【解析】【分析】由等比数列基本量列方程求得基本量，即可得结果.【详解】由题意，设等比数列的公比()0q q >，则()121314a a a q +=+=，()234113a a a q q +=+=，两式相除得，242q q =⇒=，∴31411,24a a a q ===.故答案为：2.14.正四面体ABCD 中，若M 是棱CD 的中点，AP AM λ= ，1166AB BP AC AD +=+，则λ=______.【答案】13【解析】【分析】根据空间向量线性运算得到1166AC AM AD λλ+= ，证明出共线定理的推论，由,,M C D 三点共线，得到11166λλ+=，求出13λ=.【详解】因为AB BP AP +=，所以1166AP AC AD =+ ，即1166AC A AM D λ+= ，1166AC AM AD λλ+=，下面证明：已知OB xOA yOC =+，若,,A B C 三点共线，则1x y +=，因为,,A B C 三点共线，所以存在非零实数t ，使得AB t AC =，即()OB OA t OC OA -=- ，整理得()1OB tOC t OA =+- ，故1x t =-，y t =，所以1x y +=，因为,,M C D 三点共线，故11166λλ+=，解得：13λ=.故答案为：1315.已知圆1O ：221x y +=，圆2O ：22(3)(4)100x y -+-=，过圆2O 上的任意一点P 作圆1O 的两条切线，切点为A ，B ，则四边形1PAO B 面积的最大值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意分析可得四边形1PAO B面积112△PAO B PAO S S ==，结合圆的性质求1PO 的最大值即可.【详解】圆1O ：221x y +=的圆心()10,0O ，半径11r =，圆2O ：22(3)(4)100x y -+-=的圆心()23,4O ，半径210r =，四边形1PAO B面积1111222△PAO B PAO S S PA AO PA ==⨯⨯⨯===，∵11221015PO O O r ≤+=+=，∴四边形1PAO B=.故答案为：.16.设双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ,点()0,P b ,直线20x y m ++=与C 交于M ,N 两点.若0FM FN FP ++=,则C 的离心率为______.【答案】233【解析】【分析】设()()1122,,,M x y N x y ,(),0F c ,根据0FM FN FP ++=,得到F 为MNP △的重心,利用重心的坐标式得到12123x x cy y b+=⎧⎨+=-⎩,再利用点差法和222c a b =+得到,,a b c 关系求解即可.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ,(),0F c ,因为0FM FN FP ++=,所以F 为MNP △的重心,则1212303x x c y y b +⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩,即12123x x c y y b +=⎧⎨+=-⎩,①因为()()1122,,,M x y N x y 在双曲线C :()222210,0x ya b a b-=>>上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减得:22221212220x x y y a b ---=,化简得:()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=,即()()()()12121222120x x y y y y a b x x ++⋅--=⋅-,②将①代入②得:()()22320b c a b--⋅-=,即()222322bc a c b ==-,解得:2c b =,所以a ==,则233c e a ==,即C 的离心率为233.故答案为：3.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆心为()3,3C 的圆经过点()1,5A .（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,5B -作直线l 与圆C 交于E ，F 两点.若4EF =，求直线l 的方程.【答案】（1）22(3)(3)8x y -+-=（2）1x =或158550x y --=.【解析】【分析】（1）直接将点A 的坐标代入圆的方程，即可得到结果；（2）根据截得的弦长，分l 的斜率不存在与l 的斜率存在分别讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可得到结果.【小问1详解】设所求圆C 的方程为222(3)(3)x y r -+-=，因为点()1,5A 在圆C 上，则222(13)(53)r -+-=，解得28r =，所以圆C 的方程为22(3)(3)8x y -+-=.【小问2详解】因为直线l 被圆C 截得的弦长为4，所以圆心到直线l的距离2d ==.当l 的斜率不存在时，直线l 方程为1x =，符合题意.当l 的斜率存在时，设直线l 方程为()51y k x +=-，即50kx y k ---=.则2d =，解得158k =.此时直线l 方程为155(1)8y x +=-，即158550x y --=.综上所述，直线l 的方程为1x =或158550x y --=.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AC ，1BB 的中点.（1）证明：//MN 平面11A B C ；（2）若CB ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，14BB =，求点A 到平面11A B C 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】(1)要证明//MN 平面11A B C ，通过证明平面MHN ∥平面11A B C 即可证得；(2)根据已知条件可以以B 为原点建立空间直角坐标系，求出平面11A B C 的法向量，以及一个方向向量，代入公式计算即可.【小问1详解】证明：取1AA 的中点H ，连接MH ，HN .因为M 为AC 的中点，所以1MH A C ∥.因为MH ⊄平面11A B C ，1AC ⊂平面11A B C ，所以MH ∥平面11A B C .因为H ，N 分别为1AA ，1BB 的中点，所以11HN A B ∥，因为HN ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，所以HN ∥平面11A B C .因为,,MH HN H MH HN ⋂=⊂面MHN ，所以平面MHN ∥平面11A B C .因为MN ⊂平面MHN ，所以//MN 平面11A B C .【小问2详解】因为CB ⊥平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，所以CB AB ⊥.因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB BC ⊥，1BB AB ⊥.以BA ，1BB ，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ，()2,0,0A ，()10,4,0B ，()12,4,0A ，()0,0,2C ，()10,4,0AA = ，()10,4,2CB =- ，()112,0,0B A =.设平面11A B C 的法向量为(),,n x y z =.由11100CB n B A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得42020y z x -=⎧⎨=⎩，取()0,1,2n = .所以点A 到平面11A B C 的距离1455AA n d n⋅==.19.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，A ，B 为C 上异于O 的两点，OA OB ⊥.（1）证明：直线AB 过定点；（2）求4AF BF +的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）21【解析】【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为x m ty -=，联立抛物线方程，由垂直斜率关系及韦达定理可求得参数m ，进而确定定点；（2）由抛物线定义结合基本不等式求最值.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为x m ty -=，将直线AB 的方程代入24y x =，得2440y ty m --=.由OA OB ⊥，得121212441y y x x y y ⋅=-=⋅，即1216y y =-，所以416m -=-，4m =，故直线AB ：4x ty -=，恒过定点()4,0.【小问2详解】抛物线准线为=1x -，由抛物线的定义，()()121144x x AF BF =++++221254y y =++12521y y ≥+=，当且仅当221248y y ==时等号成立，所以4AF BF +的最小值为21.20.已知数列{}n a 满足11a =,11,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.（1）记2n n b a =,写出1b ,2b ,3b ,4b ,并猜想数列{}n b 的通项公式;（2）证明（1）中你的猜想;（3）若数列{}n a 的前n 项和为n S ,求2n S .【答案】（1）12b =,25b =,311b =,423b =,猜想1321n n b -=⨯-（2）证明见解析（3）123236n n S n +=⨯--【解析】【分析】(1)根据{}n a 的递推关系式及首项,写出2348,,,,a a a a L ,进而求得1b ,2b ,3b ,4b ,根据推导过程及各项即可猜想其通项公式;(2)因为2n n b a =,所以找到22n a +和2n a 的关系,即1n b +与n b 的关系,对式子进行配凑,可发现{}1n b +是以3为首项,2为公比的等比数列,即可得{}n b 的通项公式;(3)根据2122n n a a +=,可得2112n n a b --=,将2n S 写为()()1321242n n a a a a a a -+++++++ ,再将2112n n a b --=,2n n a b =代入,可得()211123n n n S b b a b b -=+++++ ,将1321n n b -=⨯-代入,再利用等比数列的求和公式即可得2n S .【小问1详解】由题知11,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数,因为11a =,所以12112b a a ==+=,3224a a ==,24315b a a ==+=,54210a a ==,536111b a a +===,76222a a ==,748123b a a +===,综上:12b =,25b =,311b =,423b =,猜想1321n n b -=⨯-.【小问2详解】由题意,知2122n n a a +=,22211n n a a ++=+,代入得22221n n a a +=+,于是222122n n a a ++=+,即()1121n n b b ++=+,因为113b +=,所以{}1n b +是以3为首项,2为公比的等比数列,故1321n n b -=⨯-.【小问3详解】因为()()2112112122n n n n a a a b ---+-===,()()21321242n n n S a a a a a a -=+++++++()()112112222n n a b b b b b b -=++++++++ ()11213n n b b b b a -=+++++ ()()1012332323232111n n n --=⨯+⨯++⨯+⨯---+ ()()1012332323232111n n n --=⨯+⨯++⨯+⨯---+ ()()11311122332n n n --⎛⎫ ⎪=+⨯ ⎪⎝⎭----13236n n +=⨯--.21.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PB PD =，PA AC ⊥.（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若PA =PC 上是否存在点M ，使直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值为154？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由线线垂直证BD ⊥平面PAO ，再依次证PA BD ⊥、PA ⊥平面ABCD ；（2）以A 为坐标原点，分别以AH ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系A xyz -，设()01PM PC λλ=≤≤，由向量法建立线面角正弦值的方程，从解的情况即可判断.【小问1详解】证明：连接BD 交AC 于O ，连接PO .因为底面ABCD 是边长为2的菱形，所以BD AO ⊥，因为O 是BD 中点，PB PD =，所以BD PO ⊥.因为AO PO O = ，AO PO ⊂、平面PAO ，所以BD ⊥平面PAO ，因为PA ⊂平面PAO ，所以PA BD ⊥.因为PA AC ⊥，BD AC O ⋂=，BD AC ⊂、平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD .【小问2详解】如图，取线段BC 的中点H ，连接AH ，易知AH AD ⊥.以A 为坐标原点，分别以AH ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A，)1,0B-，)C，(P .()0,2,0BC =uu u r，PC = .设()01PM PC λλ=≤≤，则有(),,,,M M Mx y z λ=，解得),Mλ-，进而),AM λ=.设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =.由00m BC m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得200y y =⎧⎪+=，取()1,0,1m = .设直线AM 与平面PBC 所成的角为θ，则154sin cos ,m AM AM m m AMθ==⋅===⋅，化简得，2353070λλ-+=，此方程无解，所以满足条件的点P 不存在.22.已知点()4,0A ，()10B ,，动点P 满足6AB AP PB ⋅=.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设点10,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，斜率为k 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.若EM EN =，求k 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）1122k -<<【解析】【分析】（1）设动点(),P x y ，分别表示出,,AB AP PB，然后代入计算，化简即可得到结果；（2）根据题意，分0k =与0k ≠两种情况讨论，当0k ≠时，设直线l ：y kx m =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出MN 的中点Q 的坐标，再由条件列出方程，即可得到结果.【小问1详解】设动点(),P x y ，则()3,0AB =- ，()4,AP x y =-，()1,PB x y =--，由已知，得3(4)x --=，化简，得223412x y +=，故动点P 的轨迹C 的方程是22143x y +=.【小问2详解】当0k ≠时，设直线l ：y kx m =+，将y kx m =+代入22143x y+=，整理，得()2223484120kxkmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，()()2222644412340k m m k∆=-⨯-⨯+>，整理，得22430k m +->，①设MN 的中点为Q ，1224234x x km k +=-+，()12122232234k x x m y y mk +++==+，所以2243,3434km m Q k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，由EM EN =，得EQ MN ⊥，即直线EQ 的斜率为1k-，所以22131234434m k km k k-+=-+，化简，得()21432m k =-+，②将②代入①式，解得1122k -<<且0k ≠.当0k =时，显然存在直线l ，满足题设.综上，可知k 的取值范围是1122k -<<.。

2022-2023学年河北省邯郸市六校高二下学期期中数学试题一、单选题1．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）A ．10种B ．12种C ．20种D ．60种【答案】B【分析】分三类计数相加即可得解.【详解】分三类：第一类，从3幅不同的油画中任选一幅，有3种；第二类，从4幅不同的国画中任选一幅，有4种；第三类，从5幅不同的水彩画任选一幅，有5种，根据分类加法计数原理得共有34512++=种不同的选法.故选：B2．某物体沿直线运动，其位移s （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为()2122s t t t =+，则在24t ≤≤这段时间内，该物体位移的平均速度为（）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案.【详解】由题意可得该物体位移的平均速度为2211424(222)(4)(2)225422s s s v t ⨯+⨯-⨯+⨯∆-====∆-（m /s ），故选：C3．随机变量X 的分布列为X123P1214n 则()D X =（）A ．1116B ．58C ．916D ．34【答案】A【分析】根据分布列的性质求出n ，再根据方差公式可求出结果.【详解】由11124n ++=，得14n =，1117()1232444E X =⨯+⨯+⨯=，222717171()(1)(2)(3)424444D X =-⨯+-⨯+-⨯1116=.故选：A4．用0，1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（）A ．16B ．36C ．48D ．60【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果.【详解】第一步，从1,2,3,4中任选一个数字排在百位，有4种；第二步，从剩下的4个数字中任选2个排在十位和个位，有24A 12=种，根据分步乘法计数原理得共有41248⨯=个无重复数字的三位数.故选：C5．已知函数322()(0)f x x ax a x a =+-≠，则()f x 的极值点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】B【分析】求出函数导数，讨论a 的正负，判断函数的单调性，即可得到答案.【详解】由于322()(0)f x x ax a x a =+-≠，故22()32()(3)f x x ax a x a x a '=+-=+-，当0a >时，3a a -<，则,3ax a x <->时，()0f x '>，3aa x -<<时，()0f x '<，故()f x 在(,),(,)3a a -∞-+∞上都单调递增，在在(,)3aa -上单调递减，故x a =-是函数的极大值点，3ax =是函数的极小值点，同理判断当a<0时，3ax =是函数的极大值点，x a =-是函数的极小值点，故()f x 的极值点的个数为2，故选：B6．一个盒子中装有白色乒乓球4个，橘黄色乒乓球2个.现从盒子中任取2个乒乓球，记取出的2个乒乓球的颜色为橘黄色的个数为X ，则()E X =（）A ．1B ．2C ．13D ．23【答案】D【分析】根据题意可知橘黄色球的个数X 的所有可能取值为0,1,2，分别计算出其概率即可得出结果.【详解】由题意可知取出的橘黄色球的个数X 的所有可能取值为0,1,2，则()2426C 20C 5P X ===，()114226C C 81C 15P X ===,()2226C 12C 15P X ===；所以可得()2812012515153E X =⨯+⨯+⨯=.故选：D7．如图，小华从图中A 处出发，先到达B 处，再前往C 处，则小华从A 处到C 处可以选择的最短路径有（）A ．25条B ．48条C ．150条D ．512条【答案】C【分析】利用组合、分步乘法计数原理可得答案.【详解】从A 处到B 处的最短路径有46C 15=条，从B 处到C 处的最短路径有25C 10=条，则小华从A处到C 处可以选择的最短路径有1510150⨯=条．故选：C.8．某地区一个家庭中孩子个数X 的情况如下．X 123P615615215115每个孩子的性别是男是女的概率均为12，且相互独立，则一个家庭中男孩比女孩多的概率为（）A ．1130B ．1330C ．25D ．13【答案】A【分析】根据题意分析男孩比女孩多的可能情况，结合互斥事件以及独立事件概率乘法公式运算求解.【详解】一个家庭中男孩比女孩多有三种可能：“1个小孩，且为男孩”、“有2个小孩，且为男孩”、“3个小孩，3个男孩或2个男孩”，所以概率()()()233231111123C 2222P P X P X P X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+=⨯+=⨯+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦61612111152********=⨯+⨯+⨯=.故选：A.二、多选题9．由一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，L ，(),n n x y ，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为y bx a =+$$$，则下面说法正确的是（）A ．直线y bx a =+$$$至少经过点()11,x y ，()22,x y ，L ，(),n n x y 中的一个点B ．直线y bx a =+$$$必经过点(),x yC ．相关系数r 与回归系数b同号D ．相关系数r 越大，两个变量之间的线性相关性越强【答案】BC【分析】根据回归直线、相关系数、回归系数的概念逐项分析可得答案.【详解】对于A ，直线y bx a =+$$$有可能不经过点()11,x y ，()22,x y ，L ，(),n n x y 中的任何一个点，故A 不正确；对于B ，显然正确；对于C ，当两个变量正相关时，相关系数r 与回归系数b 同为正号，当两个变量负相关时，相关系数r 与回归系数b同为负号，故C 正确；对于D ，相关系数r 的绝对值越大，两个变量之间的线性相关性越强，故D 不正确.故选：BC10．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象大致如图所示，下列结论正确的是（）A ．()f x 在(),2-∞上单调递增B ．()f x 在()1,5-上单调递增C ．曲线()y f x =在2x =处的切线的斜率为0D ．曲线()y f x =在2x =处的切线的斜率为4【答案】BD【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系可判断A ，B ；根据导数的几何意义可判断C ，D.【详解】由导函数()f x '的图象可知当1x <-时，()0f x '<，()f x 在(,1)-∞-上单调递减，当12x -<<时，()0f x ¢>，()f x 在(1,2)-上单调递增，A 错误；由图象可知当15x -<<时，()0f x ¢>，()f x 在(1,5)-上单调递增，B 正确；由于()24f '=，根据导数的几何意义可知()y f x =在2x =处的切线的斜率为4，C 错误，D 正确，故选：BD11．某商场开业期间举办抽奖活动，已知抽奖箱中有30张奖券，其中有5张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，记A 表示甲中奖，B 表示乙中奖，则（）A ．()287P AB =B ．()429P B =C ．()429P AB =∣D ．()16P BA =∣【答案】AC【分析】根据题意直接计算出()P AB ，()P B ，()P AB ∣，()P B A ∣即可.【详解】由题意可知()()51542,306302987P A P AB ===⨯=，则A 正确；()()()225518730296P B P AB P AB =+=+⨯=，则B 错误；()()()24871296P AB P A B P B ===∣，则C 正确；()()()24871296P AB P B A P A ===∣，则D 错误；故选：AC.12．已知函数323,0()31,0x x f x x x x ->⎧=⎨-+≤⎩，函数()()()g x f f x m =-，下列结论正确的是（）A ．()f x 有2个零点B ．若3m =，则()g x 有4个零点C ．若()g x 只有1个零点，则m 的取值范围是()(),33,-∞-+∞D ．若()g x 恰有5个零点，则m 的取值范围是[)1,1-【答案】ABD【分析】利用导数，确定0x ≤时函数的单调性，并作出函数的图象，结合图象分3,13,11,31,3m m m m m =≤<-≤<-<<-<-及3m >讨论即可得答案.【详解】当0x ≤时，3()31f x x x =-+，所以()233f x x ='-，当(,1)x ∈-∞-时，()()0,f x f x '>单调递增；当(1,0)x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，所以当=1x -时，()f x 取极大值(1)3f -=，(3)17f -=-，(2)1f -=-，(0)1f =，(0)1f =，(1)1f =-，(2)1f =，(3)3f =，()y f x =的图象如图所示：由图可知()f x 有2个零点，则A 正确；设()t f x =，由()()()0g x f f x m =-=，得()m f t =，当3m =时，()m f t =的解是121,3t t =-=，所以()1f x t =有2个不同实根，2()f x t =有2个不同实根，则()t f x =有4个不同实根，故B 正确；当13m ≤<时，()m f t =有3个不同实根345,,t t t ，设345(2,1),(1,0],[2,3)t t t ∈--∈-∈．3()f x t =有2个不同实根，4()f x t =有2个不同实根，5()f x t =有3个不同实根，则()t f x =有7个不同实根；当11m -≤<时，()m f t =有2个不同实根67,t t ，设67[2,1),[1,2)t t ∈--∈，6()f x t =有2个不同实根，7()f x t =有3个不同实根，则()t f x =有5个不同实根；当3<1m -<-时，()m f t =有2个不同实根89,t t ，设89(3,2),(0,1)t t ∈--∈，8()f x t =有2个不同实根，9()f x t =有2个不同实根，则()t f x =有4个不同实根；当3m ≤-时，()m f t =有且只有1个实根10t ，且102t <-，当103t >-时，则()t f x =有2个不同实根；当103t ≤-时，()t f x =只有1个实根；当3m >时，()m f t =有且只有1个实根11t ，且113t >，则()t f x =只有1个实根．故C 错误，D 正确．故选：ABD ．三、填空题13．在()451x -的展开式中，2x 的系数为.【答案】150【分析】根据二项式展开式的通项即可求得答案.【详解】由题意可得在()451x -的展开式中，通项为414C (5)(1),0,1,2,3,4r rr r T x r -+=-=，2x 的系数为24224C 5(1)150--=，故答案为：15014．某科研院校培育枇杷新品种，新培育的枇杷单果质量X （单位：g ）近似服从正态分布()30,1N ，现有该新品种枇杷个，估计单果质量不低于28g 的枇杷有个.附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9977P X μσμσ-<≤+=.【答案】97725【分析】根据正态分布特殊区间的概率可求出结果.【详解】因为()~30,1X N ，所以30μ=，1σ=，所以(28)(2)P X P X μσ≥=≥-(22)122P X μσμσ-≤≤+=+0.95450.52=+0.97725=，所以估计单果质量不低于28g 的枇杷有1000000.9772597725⨯=个.故答案为：97725.15．某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有.【答案】540【分析】给5块不同的区域标别布置A ，B ，D 区域的花卉，继而讨论B ，E 是否布置同种花卉，根据分步计数原理，即可得答案.【详解】如图：给5块不同的区域标上字母，可先在A 中布置花卉，有5种不同的布置方案，再在B 中布置花卉，有4种不同的布置方案，再在D 中布置花卉，有3种不同的布置方案，若区域B ，E 布置同种花卉，则C 有3种不同的布置方案，若区域B ，E 布置不同的花卉，则E 有2种不同的布置方案，C 有3种不同的布置方案，故不同的布置方案有543(323)540⨯⨯=⨯⨯+种，故答案为：54016．已知直线y ax b =+与曲线ln y x x =-相切，则a b +的最小值是．【答案】1-【分析】设出切点，得到方程组，得到()ln 11b a =-+-，故()ln 11a b a a +=-+-，构造()()1ln 1,1g x x x x =--+>-，利用导函数求出最小值，得到答案.【详解】直线y ax b =+与曲线ln y x x =-相切，设切点为()00,A x y ，则11y x'=-，所以011a x -=，因为00x >，所以0111a x =->-，即011x a =+，又00y ax b =+，000ln y x x =-，故000ln ax b x x +=-，将011x a =+代入000ln ax b x x +=-得，1ln 11111a a a b a ⋅+-+++=，解得()ln 11b a =-+-，故()ln 11a b a a +=-+-，令()()1ln 1,1g x x x x =--+>-，则()1111xg x x x '=-=++，当()1,0x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，故()()1ln 1g x x x =--+在0x =处取得极小值，也时最小值，故()min 1g x =-，故a b +的最小值为-1.故答案为：-1【点睛】当已知切点坐标为()00,x y 时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用()()()000y f x f x x x '-=-求出切线方程；当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解.四、解答题17．近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，已逐渐成为社交平台发展的新方向，同时出现了利用短视频平台进行直播销售的模式.已知甲公司和乙公司两家购物平台所售商品类似，存在竞争关系.现对某时段100名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台购物的情况进行调查，得到如下数据：选择甲公司购物平台选择乙公司购物平台合计用户年龄段为19~24岁302050用户年龄段为25~34岁203050合计5050100参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828(1)依据0.05α=的独立性检验，能否认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关？(2)为了了解用户观看两家短视频后选择哪家公司购物的原因，用频率近似概率，从观看过这两家短视频且使用这两家平台购物的用户中抽取10名用户进行回访，记抽出的10人中年龄段为19~24岁，且选择甲公司购物平台的人数为X ，求X 的期望.【答案】(1)能认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关(2)()3E X =【分析】（1）先零假设，然后计算2χ，对照临界值表可得结论；（2）根据二项分布的期望公式可求出结果.【详解】（1）零假设为0H ：使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄无关，()221003030202050505050χ⨯-⨯=⨯⨯⨯4 3.841=>，所以依据0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即能认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关.（2）由列联表可知，观看过这两家短视频且使用这两家平台购物的用户中，年龄段为19~24岁，且选择甲公司购物平台的人数频率为300.3100=，用频率估计概率，所以~(10,0.3)X B ，故()100.33E X np ==⨯=.18．某视频UP 主采购了8台不同价位的航拍无人机进行测评，并从重量、体积、画质、图传、续航、避障等多方面进行综合评分.以下是价格和对应的评分数据：价格x /百元3681014172232评分y 4352607174818998(1)根据以上数据，求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.1）；(2)某网友准备购买一台评分不低于90分的航拍无人机，根据（1）中线性回归方程，预估最少需要多少元（结果精确到整数）.附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()121n ii i n i i x y nx y b x x ==-=-∑∑ ，a y bx =-$$.参考数据：819138i i i x y ==∑，()821634i i x x=-=∑.【答案】(1) 1.944.4y x =+(2)2400元【分析】（1）求出x ，y ，根据最小二乘法估计求得b， a ，即可得答案；（2）由（1）的结果可列出不等式，即可求得答案.【详解】（1）由题意得3681014172232148x +++++++==，4352607174818998718y +++++++==，故()8182189138814711186 1.9634634i i i i i x yx y b x x =--⋅-⨯⨯===≈=-∑∑ ，所以 ˆ71 1.91444.4ay bx =-≈-⨯≈，y 关于x 的线性回归方程为 1.944.4y x =+.（2）令 1.944.490y x =+≥，解得24≥x ，即预估最少需要2400元.19．从6名男生，5名女生中选举3人分别担任班长，学习委员和体育委员.(1)若担任班长，学习委员和体育委员的3人中有女生，则不同的情况有多少种？(2)若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的情况有多少种？【答案】(1)870(2)540【分析】（1）从11人中人选3人，减去全是选男生的情况，再分配担任不同的职务，可得答案（2）先从男女生中各选一人，分别担任班长和学习委员，再从剩余的9人中选一人担任体育委员即可.【详解】（1）由题意知担任班长，学习委员和体育委员的3人中有女生，可从11人中人选3人，减去全是选男生的情况，再分配担任不同的职务，故不同的情况有3331163(C C )A 870-=种；（2）若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的情况有11216529C C A C 540=种20．已知函数21()(2)2ln 2f x ax a x x =---.(1)当2a =时，证明：()sin f x x >.(2)讨论()f x 的单调性.【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）由导数求出()f x 的最小值，与sin x 的最大值比较可证不等式成立；（2）求导后，分类讨论a ，解导函数的不等式可得结果.【详解】（1）当2a =时，2()2ln f x x x =-(0)x >，2()2f x x x=-'，令()0f x '<，得01x <<，令()0f x '>，得1x >，所以()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，所以()(1)1f x f ≥=，当且仅当1x =时，等号成立，而当1x =时，sin 1x <，当0x >且1x ≠时，sin 1x ≤，所以()sin f x x >.（2）21()(2)2ln 2f x ax a x x =---的定义域为(0,)+∞，2()(2)f x ax a x '=---()(1)2x ax x -+=，当0a ≥时，20ax +>，令()0f x '<，得01x <<，令()0f x '>，得1x >，所以()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数.当0a <时，令()0f x '=，得1x =或2x a =-，若21a <-，即20a -<<时，令()0f x '<，得01x <<或2x a >-；令()0f x '>，得21x a<<-，所以()f x 在(0,1)和2(,)a -+∞上为减函数，在2(1,)a-上为增函数；若21a =-，即2a =-时，()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数；若21a >-，即2a <-时，令()0f x '<，得20x a <<-或1x >，令()0f x '>，得21x a-<<，所以()f x 在2(0,)a-和(1,)+∞上为减函数，在2(,1)a -上为增函数.综上所述：当0a ≥时，()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数；当20a -<<时，()f x 在(0,1)和2(,)a -+∞上为减函数，在2(1,)a-上为增函数；当2a =-时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当2a <-时，()f x 在2(0,)a-和(1,)+∞上为减函数，在2(,1)a -上为增函数.21．甲、乙两位围棋选手进行围棋比赛，比赛规则如下：比赛实行三局两胜制（假定没有平局），任何一方率先贏下两局比赛时，比赛结束，围棋分为黑白两棋，第一局双方选手通过抽签的方式等可能的选择棋色下棋，从第二局开始，上一局的败方拥有优先选棋权.已知甲下黑棋获胜的概率为12，下白棋获胜的概率为23，每位选手按有利于自己的方式选棋.(1)求甲选手以2:1获胜的概率；(2)比赛结束时，记这两人下围棋的局数为X ，求X 的分布列与期望.【答案】(1)13(2)分布列见解析，18572【分析】（1）由题意可知甲选手以2:1获胜必须前两局双方各胜一局，且第三局甲获胜，则分第一局甲下黑棋和第一局甲下白棋两种情况求出概率，然后利用互斥事件的概率公式求解，（2）由题意可知X 的取值可能为2，3，7，然后求出各自对应的概率，从而可求出X 的分布列与期望.【详解】（1）甲选手以2:1获胜，则前两局双方各胜一局，且第三局甲获胜.若第一局乙选棋，则所求概率为111211211222322326⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=；若第一局甲选棋，则所求概率为121211211232323326⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.故甲选手以2:1获胜的概率为111663+=.（2）由题可知，X 的取值可能为2，3，则()11111112111131222222323223372P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()11111212111241322222323223372P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.则X 的分布列为X23P 31724172()314118523727272E X =⨯+⨯=.22．已知函数()32e x f x mx nx x =+--（其中e 为自然对数的底数），且曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y x =-．(1)求实数m ，n 的值；(2)证明：对任意的x ∈R ，()32351f x x x ≥-+恒成立．【答案】(1)e m =，2en =(2)证明见解析【分析】（1）由已知得()()1111f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，代入求解即可；（2）由题知()()()32e e 32e 51x g x x x x =+-----，求导研究函数的单调性证得()0g x ≥恒成立，即可证得结论.【详解】（1）因为()32e x f x mx nx x =+--，所以()2e 321x f x mx nx '=+--．则()()1e 111e 3211f m n f m n ⎧=+--=⎪⎨='+--=-⎪⎩ 解得e m =，2e n =．（2）证明：设()()()()()3232351e e 32e 51x g x f x x x x x x =--+=+-----则()()()2e 3e 322e 51x g x x x =+----'．设()()h x g x '=，则()()()e 6e 322e 51x h x x x '=+----．设()()m x h x '=，则()()e 6e 3x m x =+-'．当()(),ln 186e x ∈-∞-时，()0m x '<，当()()ln 186e ,x ∈-+∞时，()0m x '>，所以()m x 在()(),ln 186e -∞-上单调递减，在()()ln 186e ,-+∞上单调递增，即()h x '在()(),ln 186e -∞-上单调递减，在()()ln 186e ,-+∞上单调递增．因为()0114e 0h =->'，()13e 80h '=->，1e+1e 02h ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以存在110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()120h x h x ''==．故当()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0h x '>；当()12,x x x ∈时，()0h x '<．所以()g x '在()1,x -∞与()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减．因为()00g '=，()10g '=，所以存在唯一的()312,x x x ∈，使得()30g x '=，所以当()()3,0,1x x ∈-∞ 时()0g x '<，当()()30,1,x x ∈+∞ 时，()0g x '>，则()g x 在(),0∞-与()3,1x 上单调递减，在()30,x 与()1,+∞上单调递增．故()min g x 是()0g 与()1g 中的较小值．因为()00g =，()10g =，所以()0g x ≥恒成立，即对任意的x ∈R ．()32351f x x x ≥-+恒成立．【点睛】关键点睛：在本题第二小问中，判断()g x 的单调性需要进行二阶求导，多次运用导数确定函数的单调性是解题关键，证明过程中需理清解题思路，运算难度较大，属于较难题.。

绝密★启用前邯郸市2022-2023学年第一学期期末质量检测高三数学（答案在最后）班级________ 姓名________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合12{|}A x x =-<≤，0{|}B x x a =<≤，若{13}A B x x =-<≤∣，则A B =（ ）A ．{}2|0x x -<<B ．{}02x x <≤C ．{13}x x <≤∣D ．{02}x x <<∣2．已知复数3i 3iz -=+，则z 的虚部为（ ） A ．45 B ．4i 5 C ．35D ．3i 5 3．已知向量,a b 的夹角为，且2a =，1b =，则()a b a ⋅-=（ ）A 34B ．334C ．2-D ．14．已知幂函数()f x 满足(6)4(2)f f =，则13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．2B ．14 C ．14-D ．2- 5．已知圆柱的底面半径为2，母线长为8，过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为4π的平面，把这个圆柱分成两个几何体，则两几何体的体积之比为（ ）A ．2:1B ．3:1C ．4:1D ．5:1 6．甲、乙两个家庭出去游玩，准备分别从北京、上海、重庆和天津4个地点中随机选择一个，记事件A ：甲和乙选择的地点不同，事件B ：甲和乙恰有一个选择北京，则()P B A =∣（ ） A ．14B ．34 C ．23D ．127．三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线．大数学家欧拉在1765年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线．在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点()0,2A ，()1,0B -，则“ABC 的欧拉线方程为1x =-”是“点C 的坐标为()2,2-”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知1a >，1b >，且lg 12lg a b =-，则log 2log 4a b +的最小值为（ ）A ．10B ．9C ．9lg 2D ．8lg 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是（ ）A ．10r <B ．21r >C ．12r r >D ．120rr +> 10．在等差数列{}n a 中，410a a =，公差0d >，则使其前n 项和n S 取得最小值的正整数n 是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．711．已知双曲线22145y x -=的上、下焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上且位于x 轴上方，则下列结论正确的是（ ）A ．线段1PF 的最小值为1B ．点P 到两渐近线的距离的乘积为209C ．若12PF F 为直角三角形，则12PF F 的面积为5D ．12PF F 的内切圆圆心在直线2y =上12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．四面体11A D AP 的体积为定值B ．AP PC +的最小值为22C ．1A P ∥平面1ACD D ．当直线1A P 与AC 所成的角最大时，四面体1A PCA 3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数121()2x x f x x a++=++为奇函数，则实数a =______． 14．已知4cos 125x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭______． 15．近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识．2021年10月，《中华人民共和国体育法》在颁布20多年后迎来首次大修．教育部发布的2022年工作要点中提出，实施学校体育和体教融合改革发展行动计划．为了考察某校各班参加两项以上体育项目锻炼小组的人数，在全校随机抽取五个班级，把每个班级参加两项以上体育项目锻炼小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本的标准差为2，若样本数据各不相同，则样本数据的第80百分位数是______．16．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，若123,,P P P 在抛物线C 上，且满足12233123PFP P FP P FP π∠∠∠===，则123PF P F P F ++的最小值为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足1cos 2a C c b +=． （1）求A ；（2）若3a =12c b -的取值范围． 18．（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2364n n n a a S +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n c a a +=，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：112812n T ≤<． 19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，AEB 为等边三角形，AD BC ∥，BC AB ⊥，22CE =22AB BC AD ===．（1）求证：平面DEC ⊥平面EBC ；（2）求直线AB 与平面DEC 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．11月22日，卡塔尔世界杯小组赛C 组第1轮比赛中，梅西领衔的阿根廷队1:2不敌沙特阿拉伯队．梅西在开场阶段打入一粒点球，但沙特在下半场开局后连入两球反超比分，这也是亚洲球队在本届世界杯上获得的首场胜利！为提升球队的射门技术，某足球队进行一次足球定点射门测试，规定每人最多踢3次，每次射门的结果相互独立．在A 处射进一球得3分，在B 处射进一球得2分，否则得0分．将队员得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止射门，否则应继续射门，直到踢完三次为止．现有两种射门方案，方案1：先在A 处踢一球，以后都在B 处踢；方案2：都在B 处踢球．已知甲队员在A 处射门的命中率为13，在B 处射门的命中率为45． （1）若甲队员选择方案1，求他测试结束后所得总分X 的分布列和数学期望()E X ；（2）你认为甲队员选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．21．（本小题满分12分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2且过点62,M ⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()8,0T 作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数2()e 2x f x x =-（其中e 为自然对数的底数）．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）已知0x 是2()()g x f x x =-的极大值点，若()()12g x g x =，且210x x <<．证明：()120ln 22ln 2x x x ++>+。

某某省某某市永年二中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞02．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜3．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．4．（5分）抛物线y=﹣的准线方程为（）A．x=B．y=C．x=D．y=5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．146．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值X围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．8．（5分）若不等式x2+px+q＜0的解集为（﹣）则不等式qx2+px+1＞0的解集为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣）D．R9．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．y=±4x D．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（）A．4：3：2 B．5：6：7 C．5：4：3 D．6：5：411．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．812．（5分）已知命题p：△ABC所对应的三个角为A，B，C．A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件；命题q：函数的最小值为1；则下列四个命题中正确的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为．14．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则通项公式a n=．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则=．16．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式≤0恒成立，则m的最大值为．三、解答题17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）已知p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1≤m2（m＞0）；若￢p是￢q的必要非充分条件，某某数m的取值X围．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．20．（12分）已知二次函数．f（x）=x2+（2a﹣1）x+1﹣2a（1）判断命题：“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”的真假，并写出判断过程（2）若y=f（x）在区间（﹣1，0）及内各有一个零点．某某数a的X围．21．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．22．（12分）已知圆A：（x+2）2+y2=，圆B：（x﹣2）2+y2=，动圆P与圆A、圆B均外切．（Ⅰ）求动圆P的圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求|MN|的最小值．某某省某某市永年二中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0考点：命题的否定．分析：根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．解答：解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选D．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的转化．注意：全称命题的否定是特称命题．2．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜考点：不等式比较大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特例法，判断选项即可．解答：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．3．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：结合已知，根据正弦定理，可求AC解答：解：根据正弦定理，，则故选B点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题4．（5分）抛物线y=﹣的准线方程为（）A．x=B．y=C．x=D．y=考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线方程化为标准方程，求出p，即可得到抛物线的准线方程．解答：解：抛物线方程y=﹣，可化为x2=﹣6y，∴2p=6，∴=，∴抛物线的准线方程为y=．故选B．点评：本题考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，将抛物线方程化为标准方程是关键．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．14考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6解答：解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C．点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．6．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a n}”不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}”为递增数列的既不充分也不必要条件，故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值X围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的X围解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义8．（5分）若不等式x2+px+q＜0的解集为（﹣）则不等式qx2+px+1＞0的解集为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣）D．R考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由条件可得，﹣，是方程x2+px+q=0的两个实根，运用韦达定理求出p，q，再由二次不等式的解法，即可得到．解答：解：由条件可得，﹣，是方程x2+px+q=0的两个实根，则﹣=﹣p，且=q，即p=，q=﹣，则不等式qx2+px+1＞0，即为﹣x2+x+1＞0，即为x2﹣x﹣6＜0，解得，﹣2＜x＜3．故选B．点评：本题考查二次不等式的解法，考查韦达定理和运用，考查运算能力，属于中档题．9．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．y=±4x D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用离心率公式，令c=t，a=2t，则b==t，再由渐近线方程，即可得到结论．解答：解：双曲线的离心率为，则=，令c=t，a=2t，则b==t，则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=±2x，故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（）A．4：3：2 B．5：6：7 C．5：4：3 D．6：5：4考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由题意可得三边即 a、a﹣1、a﹣2，由余弦定理可得 cosA=，再由3b=20acosA，可得 cosA=，从而可得=，由此解得a=6，可得三边长，根据sinA：sinB：sinC=a：b：c，求得结果．解答：解：由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为a、a﹣1、a﹣2．由余弦定理可得 cosA===，又3b=20acosA，可得 cosA==．故有=，解得a=6，故三边分别为6，5，4．由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a﹣1）：（ a﹣2）=6：5：4，故选D．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，求出a=6是解题的关键，属于中档题．11．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：由新定义得到数列{b n}为等比数列，然后由等比数列的性质得到b50=2，再利用基本不等式求得b8+b92的最小值．解答：解：依题意可得b n+1=qb n，则数列{b n}为等比数列．又，则b50=2．∴，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故选：B．点评：本题是新定义题，考查了等比数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．12．（5分）已知命题p：△ABC所对应的三个角为A，B，C．A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件；命题q：函数的最小值为1；则下列四个命题中正确的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：利用三角恒等变换证明在△ABC中，A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件；利用基本不等式求函数的最小值，证明命题q为真命题，再根据复合命题真值表依次判断可得答案．解答：解：∵在△ABC中，cos2B＞cos2A⇔1﹣2sin2B＞1﹣2sin2A⇔sin2B＜sin2A⇔sinA＞sinB⇔A＞B故A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件，即命题p为真命题；∵x∈（0，），∴函数y=+tanx+2﹣1≥2﹣1=1，∴命题q为真命题；由复合命题真值表知，p∧q为真命题；p∧（￢q）为假命题；￢p∧q为假命题；￢p∧￢q 为假命题，故选A．点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查基本不等式的应用及充要条件的判定，解题的关键是判断命题p，q的真假．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（y≠0）．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．解答：解：（1）∵△ABC的两顶点A（﹣4，0），B（4，0），周长为18，∴AB=8，BC+AC=10，∵10＞8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∵2a=10，2c=8，∴b=3，所以椭圆的标准方程是（y≠0）．故答案为：（y≠0）点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是2015届高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法，注意椭圆的定义的应用．14．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则通项公式a n=，n∈N*．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设，代入4a2=4a1+a3，能求出结果．解答：解：设，代入4a2=4a1+a3，解得q=2，∴，n∈N*．故答案为：，n∈N*．点评：本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则=2．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．解答：解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2．故答案为：2点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式≤0恒成立，则m的最大值为16．考点：函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：依题意，得m≤（+）（3a+b）=9+++1恒成立，构造函数g（a，b）=9+++1，利用基本不等式可求得g（a，b）min=16，从而可求m的最大值．解答：解：∵不等式≤0恒成立，∴≤+，又a＞0，b＞0，∴m≤（+）（3a+b）=9+++1恒成立，令g（a，b）=9+++1，则m≤g（a，b）min，∵g（a，b）=9+++1≥10+2=16（当且仅当a=b时取“=”），∴g（a，b）min=16，∴m≤16，∴m的最大值为16，故答案为：16．点评：本题考查函数恒成立问题，考查构造函数的思想与等价转换的思想的综合应用，突出考查基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．考点：正弦定理；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．解答：解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，∴sinA﹣cosA=1，整理得：2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣）=，∴A﹣=或A﹣=，解得：A=或A=π（舍去），则A=；（2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC的面积为，∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，整理得：b+c=4②，联立①②解得：b=c=2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）已知p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1≤m2（m＞0）；若￢p是￢q的必要非充分条件，某某数m的取值X围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由命题p成立得x的X围为A，由命题q成立求得x的X围为B，由题意可得A⊊B，可得关于m的不等关系式，由此求得实数m的取值X围．解答：解：由p：﹣2≤x≤10，记A={x|p}={x|﹣2≤x≤10}．由q：x2﹣2x+1≤m2即x2﹣2x+（1﹣m2）≤0（m＞0），得 1﹣m≤x≤1+m．…（6分）记B={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}，∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即 p⇒q，且 q不能推出 p，∴A⊊B．…（8分）要使A⊊B，又m＞0，则只需，…（11分）∴m≥9，故所某某数m的取值X围是[9，+∞）．…（12分）点评：本题主要考查分式不等式的解法，充分条件、必要条件、充要条件的定义，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由a n=s n﹣s n﹣1可求通项，进而可求b n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和解答：解：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，故a n=4n﹣1，又∵a n=4log2b n+3=4n﹣1∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2T n=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n∴=（4n﹣1）•2n=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用．20．（12分）已知二次函数．f（x）=x2+（2a﹣1）x+1﹣2a（1）判断命题：“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”的真假，并写出判断过程（2）若y=f（x）在区间（﹣1，0）及内各有一个零点．某某数a的X围．考点：命题的真假判断与应用；二次函数的性质；函数的零点．专题：计算题．分析：（1）“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”是真命题．依题意：x2+（2a﹣1）x﹣2a=0有实根，△=（2a﹣1）2+8a=（2a+1）2≥0对于任意的a∈R（R 为实数集）恒成立，得到f（x）=1必有实根．（2）依题意：要使y=f（x）在区间（﹣1，0）及内各有一个零点，只须，由此能求出实数a的X围．解答：（本大题12分）解：（1）“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”是真命题；…（3分）依题意：f（x）=1有实根，即x2+（2a﹣1）x﹣2a=0有实根∵△=（2a﹣1）2+8a=（2a+1）2≥0对于任意的a∈R（R为实数集）恒成立即x2+（2a﹣1）x﹣2a=0必有实根，从而f（x）=1必有实根…（6分）（2）依题意：要使y=f（x）在区间（﹣1，0）及内各有一个零点只须…（9分）即…（10分）解得：．（多带一个等号扣1分）…（12分）点评：本题考查命题的真假判断，某某数a的取值X围，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．考点：数列的求和．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据求得a 1，进而根据4S n=（a n+1）2和4S n﹣1=（a n﹣1+1）2（n≥2）两式相减整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，进而可得a n﹣a n﹣1=2判断出数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．求得其通项公式．（Ⅱ）把（1）中求得的a n代入中，即可求得b n，进而可用裂项法进行求和，得T n=根据使原式得证．解答：解：（Ⅰ）∵，∴a1=1．∵a n＞0，，∴4S n=（a n+1）2．①∴4S n﹣1=（a n﹣1+1）2（n≥2）．②①﹣②，得4a n=a n2+2a n﹣a n﹣12﹣2a n﹣1，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，而a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2（n≥2）．故数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n=2n﹣1．（Ⅱ）．T n=b1+b2++b n==．点评：本题主要考查了数列的求和问题．数列的求和问题是2015届高考中常考的题目，所以我们平时的时候应注意多积累数列求和的方法．22．（12分）已知圆A：（x+2）2+y2=，圆B：（x﹣2）2+y2=，动圆P与圆A、圆B均外切．（Ⅰ）求动圆P的圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求|MN|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（Ⅰ）设椭圆P的半径为r，则|PA|﹣|PB|=2，从而得到点P的轨迹是以A，B为焦点、实轴长为2的双曲线的右支，由此能求出动圆P的圆心的轨迹C的方程．（Ⅱ）设MN的方程为x=my+2，代入双曲线方程，得（3m2﹣1）y2+12my+9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出|MN|的最小值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆P的半径为r，则|PA|=r+，|PB|=r+，∴|PA|﹣|PB|=2，故点P的轨迹是以A，B为焦点、实轴长为2的双曲线的右支，∴动圆P的圆心的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设MN的方程为x=my+2，代入双曲线方程，得（3m2﹣1）y2+12my+9=0，由，解得﹣，设M（x1，y1），N（x2，y2），则|MN|=|y1﹣y2|==，当m2=0时，|MN|min=2（4﹣1）=6．点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查弦的最小值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．。

郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学（试题卷）注意事项：1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共6页，有四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准者证条形码粘贴在答题卡的指定位置，3.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1.设x ∈R ，则“3x >”是“2x >”的（ ）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知i 为虚数单位，若复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,1,2-，则复数12z z ⋅=（ ）A.5iB.5i -C.45i +D.45i-+1sin170=（ ）A.-4B.4C.-2D.24.已知P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一动点，12F F ､分别为其左右焦点，直线1PF 与C 的另一交点为2,A APF 的周长为16.若1PF 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）A.14 B.13 C.12 D.235.若n 为一组数8,2,4,9,3,10的第六十百分位数，则二项式1nx ⎫+⎪⎭的展开式的常数项是（ ）A.28B.56C.36D.406.三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：（ ）A.360种B.540种C.720种D.900种7.已知函数()2(0,0)f x x bx c b c =-+>>的两个零点分别为12,x x ，若12,,2x x -三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式0x bx c-≤-的解集为（ ）A.(](),45,∞∞-⋃+B.[]4,5C.()[),45,∞∞-⋃+D.(]4,58.设函数()f x 在R 上存在导数(),f x x '∀∈R ，有()()2f x f x x -+=，在()0,∞+上()f x x '<，若()()932262f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）A.1,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C.[)1,∞+D.3,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且MP =.下列结论正确的是（ ）A.动点P 的轨迹长度为π；B.异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C.MP AB ⋅的最大值为2；D.三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4.10.已知定义域在R 上的函数()f x 满足：()1f x +是奇函数，且()()11f x f x -+=--，当[]()21,1,1x f x x ∈-=-，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 的周期4T =B.5324f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.()f x 在[]5,4--上单调递增D.()2f x +是偶函数11.锐角ABC 中，角,,A B C 的对边为,,a b c .且满足4,2a b c ==+.下列结论正确的是（）A.点A的轨迹的离心率e =3c <<C.ABC 的外接圆周长()4π,5πl ∈D.ABC 的面积()3,6ABC S ∈ 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若直线:220l kx y k -+-=与曲线:C y =k 的取值范围是__________.13.已知数列{}n a 满足：()()111,11n n a na n a n n +=-+=+.若()1n nnb n a =+，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________.14.暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹.已知某座山高䇯入人云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的.如图，已知该座山的底面半径()2km R =，高)km h =，则盘山步道的长度为__________，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,a b ，c ，且满足()sin cos sin 1cos c A B b C A =+.（1）证明：2A B =；（2）求ca的取值范围.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面,2,ABCD PA AD E ==为线段PD 的中点，F 为线段PC （不含端点）上的动点.（1）证明：平面AEF ⊥平面PCD ；（2）是否存在点F ，使二面角P AF E --的大小为45 ？若存在，求出PFPC的值，若不存在，请说明理由.17.（本题满分15分）已知函数()2cos e ,xf x ax x a =+-∈R .（1）若()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）当0a =时，求证()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上恒成立.18.（本题满分17分）已知()2,A a 是抛物线2:2C y px =上一点，F 是抛物线的焦点，已知4AF =，（1）求抛物线的方程及a 的值；（2）当A 在第一象限时，O 为坐标原点，B 是抛物线上一点，且AOB 的面积为1，求点B 的坐标；（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于OA 的两个点分别记为12,B B ，问抛物线的准线上是否存在一点P 使得，12PB PB ⊥.19.（本题满分17分）材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件A 发生的概率为p ，试验进行到事件A 第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为ξ，其分布列为()()1(1)1,2,3,k P k p p k ξ-==-⋅=⋯，我们称ξ服从几何分布，记为()GE p ξ~.材料二：求无穷数列的所有项的和，如求2311111112222k k S ∞-==++++=∑ ，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前n 项和11112122nn k nk S -=⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑，再求n ∞→时n S 的极限：1lim lim 2122n nn n S S →∞→∞⎛⎫==-= ⎪⎝⎭根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量X.（1）证明：1()1k P X k∞===∑；（2）求随机变量X的数学期望()E X；（3）求随机变量X的方差()D X.郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学参考答案和评分细则一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1-5BABCA6-8CDD二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.ACD 10.BC11.CD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦13.1nn +14.5:2四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）（1）由()sin cos sin 1cos c A B b C A =+，结合正弦定理得()sin sin cos sin sin 1cos ,sin 0C A B C B A C =+≠ 可得sin cos cos sin sin A B A B B -=，所以()sin sin A B B -=，所以A B B -=或()πA B B -+=（舍去），所以2A B=（2）在锐角ABC 中，02022032B A B C B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，即ππ64B <<，cos B <<sin sin3sin2cos cos2sin 12cos sin sin2sin22cos c C B B B B B B a A B B B+====-.令1cos ,2,2B t y t t t ==-∈，因为122y t t =-在上单调递增，所以y y>=<=，所以ca∈.16.（1）证明： 底面ABCD为正方形，CD AD∴⊥.PA⊥平面,ABCD PA CD∴⊥.PA AD A⋂=CD∴⊥平面PAD.又AE⊂平面,PAD CD AE∴⊥.,PA PD E=为PD的中点，AE PD∴⊥.,CD PD D AE⋂=∴⊥平面PCD.AE⊂平面,AEF∴平面AEF⊥平面PCD.（2）以AB AD AP､､分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，()()0,0,0,2,0,0A B，()()()()2,2,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1C D P E设(01)PF PCλλ=<<，()()2,2,22,0,1,1AF AP PF AP PC AEλλλλ=+=+=-=，设平面AEF的法向量()111,,m x y z=，则(),12,,m AEmm AFλλλ⎧⋅=⎪=--⎨⋅=⎪⎩()()2,2,0,0,0,2AC AP==，设平面APF的法向量()222,,n x y z=，则,n ACn AP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩解得()1,1,0n=-由题意得：cos45m nm n⋅===，即13λ-=，解得23λ=.从而23PFPC=.17.（1）解：函数(),2cos e xf x ax x=+-，则()2sin e xf x a x=--'，对任意的()()0,,0x f x∞∈+'≤恒成立，所以()2e sinxa x g x≤+=，故()e cos1cos0xg x x x x=+≥++>'，所以()min 2()01a g x g ≤==，故实数a 的取值范围为1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2）证明：由题意知，要证在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，上，cos e 1x x -<，令()cos e xh x x =-，则()sin e xh x x =--'，显然在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭上()h x '单调减，()π0,002h h ⎛⎫->< ⎪⎝⎭''，所以存在0π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()000sin e 0x h x x '=--=，所以当0π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x '>，则()h x 单调递增，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()0max 00000π()cos ecos sin 04x h x h x x x x x ⎛⎫==-=+=+< ⎪⎝⎭，故()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，上恒成立.18.解：（1）由题意242pAF =+=，解得4p =，因此抛物线的方程为2:8C y x =点()2,A a 在抛物线上可得216a =，故4a =±（2）设点B 的坐标为()11,,x y OA 边上的高为h ，我们知道AOB 的面积是：112S h =⨯=1h h =⇒==直线OA 的方程是2y x =，利用B 到直线OA 的距离公式可得：化简得：1121x y -=由于点B 在抛物线上，代入条件可得：22111121184y y y y ⋅-=⇒-=可以得到211440y y --=或211440y y -+=，解这个方程可以得到12y ===±12y =代入拋物线方程可以得到：1x ==或1x ==112x =综上所述，点B的坐标有三个可能的值：12312,2,,22B B B ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（3）不存在，理由如下：由（2）知122,2B B +-则12,B B 的中点3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭12B B ===M 到准线2x =-的距离等于37222+=因为73.52=>所以，以M 为圆心122B B 为半径的圆与准线相离，故不存在点P 满足题设条件.19.（1）证明：可知()()1151,1,2,3,666k X GE P X k k -⎛⎫⎛⎫~⋅==⋅=⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012515151515115615666666666616nn nn S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅=⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-则15()lim lim 1 1.6n n n n k P X k S ∞→∞→∞=⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.（2）设1()nn k T k P X k ==⋅=∑0121152535566666666n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12151525155666666666n nn n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减，0121115151515566666666666n nn n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭01215555555616666666n n n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+-⨯=--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则随机变量X 的数学期望55()lim lim 61666n nn n n E X T n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）1221151()(6)()lim (6)66k nn k k D X k P X k k -∞→∞==⎛⎫=-⋅==-⋅⋅⎪⎝⎭∑∑()2211111236()()(12)()36()k k k k k k P X k k P X k k P X k P X k ∞∞∞∞=====-+⋅===+-=+⋅=∑∑∑∑2211()12636()36;k k k P X k k P X k ∞∞====-⨯+==-∑∑【也可利用()()()22D XE XE X =-】而012122222151515151()123466666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 121222215515151()12(1)6666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯==+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 两式相减：012121151515151()135(21)666666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 112()()2()111k k k P X k P X k E X ∞∞===⋅=-==-=∑∑从而：21()66k kP X k ∞===∑.那么21()()3630k D X k P X k ∞===-=∑.。

河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线10ax y +-=的倾斜角为30°，则=a （）A ．3-B C ．D 2．若a ，b ，c 成等比数列且公比为q ，那么1a ，1b ，1c（）A ．不一定是等比数列B ．一定不是等比数列C ．一定是等比数列，且公比为1qD ．一定是等比数列，且公比为q3．圆221:4240C x y x y +-+-=与圆222:4440C x y x y ++-+=的位置关系为（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离4．已知四棱锥P ABCD -底面为平行四边形，点M 为BC 中点，设AB a = ，AD b =，c AP = ，则下列向量中与PM相等的向量是（）A ．12a b c+-B ．12a b c+- C ．12a b c--+ D ．12a b c++ 5．已知点(4,0)A -到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>渐近线的距离为125，则C 的离心率为（）A ．54B ．53C ．43D ．26．已知1F ，2F 是椭圆22:143x yC +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上.当12PF F △的面积最大时，12PF F △的内切圆半径为（）A ．12B C ．1D 7．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，1160A AD A AB ∠=∠=︒，12AA =，则异面直线AC 与1DC 所成角的余弦值为（）A B C D 8．已知n S 和n T 分别是数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，且满足112n n S a =-，45n b n =-+，若对*n ∀∈N ，使得53(2)n n T S a a -≤+成立，则实数a 的取值范围是（）C ．2a ≤-或4a ≥D ．3a ≤-或1a ≥二、多选题9．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(1,1,1)P ，(1,0,1)A ，(0,1,0)B ，则下列说法正确的是（）A ．点P 关于yOz 平面对称的点的坐标为(1,1,1)-B ．若平面α的法向量(2,2,2)n =-，则直线//AB 平面αC ．若PA ，PB分别为平面α，β的法向量，则平面α⊥平面βD ．点P 到直线AB 10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，()00,M x y 是抛物线C 上一个动点，点(0,2)A ，则下列说法正确的是（）A ．若5MF =，则04y =B ．过点A 与抛物线C 有一个公共点的直线有3条C ．MF MA +D ．点M 到直线30x y -+=的最短距离为11．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，70a >，80a <，6890a a a ++=，则()A ．130S <B ．10a >，0d <C ．780a a +<D ．当7n =时，n S 有最大值12．已知双曲线22:13y C x -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A ，B ，则（）A ．若A 在双曲线右支上，则AF 的最短长度为1B ．若A ，B 同在双曲线右支上，则lC ．AB 的最短长度为6D ．满足8AB =的直线l 有4条三、填空题13．已知直线230x y +-=与直线(3)240a x y --+=平行，则=a ______.14．数列{}n a 的通项公式为()*(1)(21)n n a n n =--∈N ，其前n 项和为n S ，则15S =______.15．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为PC 的中点，则点P 到平面ABD 的距离等于______.16．已知点(2,2)E -和抛物线2:8C x y =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于P ，Q 两点.若90PEQ ∠=︒，则k =______.四、解答题17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过(1,1)A -和()1,3B 两点.(1)求圆C 的方程；(2)过点(3,2)P 的直线l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程.18．在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，22a b =，135b b a +=(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若{}n a 的前n 项和为n S ，1n n nc b S =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .19．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，13AA =，M ，N 分别为11A C ，1BB 的中点.(1)求证：//MN 平面1A BC ；(2)求直线1A N 与平面1A BC 所成角的正弦值.20．已知数列{}n a 的首项11a =，且()*132n n n a a n ++=⨯∈N ，2nn n b a =-.(1)计算1b ，2b ，3b 的值，并证明{}n b 是等比数列；(2)记(1)nn n c a =--，求数列{}(23)n n c -⋅的前n 项和n S .21．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，CD PB ⊥，122PD AD AB BC ====.(1)求证：PD ⊥平面ABCD ；(2)若直线PC 与平面ABCD 所成的角为30°，点E 在线段AP 上，且3PA PE =，求平面PBD 与平面BDE 夹角的余弦值.22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的上顶点到右顶点的距离为3，且过点()2,1P .(1)求椭圆E 的方程；(2)O 为坐标原点，点Q 与点P 关于x 轴对称，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，且满足APQ BPQ ∠=∠，求OAB 面积的最大值.参考答案：1．A【分析】根据方程和倾斜角分别求出直线的斜率，进而得到a 的值.【详解】由已知得直线的斜率tan 30k =︒a=-,∴a =,故选:A.2．C【分析】根据等比数列的定义及等比数列的中项判断.【详解】因为a ，b ，c 成等比数列且公比为q ，所以b q a =，2b ac =，可得211b ac =，111a b b qa ==，由等比数列的中项可判断得1a ，1b ，1c成等比数列，并且公比为1q .故选：C 3．C【分析】将两圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标和半径的长，然后利用圆与圆的位置关系判定.【详解】将两圆的一般方程化为标准方程得()()221:219C x y -++=;()()222 :224C x y ++-=,可知圆心()12,1C -,()22,2C -,半径123,2r r ==,12125C C r r ==+，故两圆外切，故选：C 4．B【分析】由平面向量的线性运算与基底表示计算可得答案.【详解】如图，因为四棱锥P ABCD -底面为平行四边形，点M 为BC 中点，所以()1122PM AM AP AB BM AP AB AD AP a b c ⎛⎫⎛⎫=-=+-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B5．A【分析】利用点到直线的距离公式求得a ,b 的关系，转化为a ,c 的关系，进而得到离心率.【详解】由双曲线的对称性，不妨取双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线0bx ay -=,由已知得125=,即()222925c c a =-,221625c a =,45c a =,54c e a ==,故选：A 6．B【分析】由椭圆方程得到椭圆的焦点坐标，由椭圆的性质得到P 的坐标，由椭圆的定义求得三角形的周长，利用面积法求得内切圆半径.【详解】解：由已知得224,3,2,1,a b a c ==∴==∴()()121,0,1,0F F -,∵点P 在椭圆C 上,当12PF F △的面积最大时，∴点P 到x 轴距离最大，即P 为椭圆的短轴的端点，不妨设P12PF F △周长为222226l c a =+=+⨯=，面积为S设内切圆半径为r ,则S =12rl ,∴r =23S l =,故选B.7．D【分析】设1,,AB a BC b CC c === ，则1,AC a b DC a c =++= ，根据空间向量夹角公式即可求解．【详解】设1,,AB a BC b CC c === ，底面ABCD 是边长为1的正方形，1112,60AA A AB A AD =∠=∠=，()()1AC DC a b a c∴⋅=+⋅+ 112cos6011cos9012cos603a a a c b a b c =⋅+⋅+⋅+⋅=+⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=，()222221102AC a ba b a b =+=++⋅=++=，()2222121427DC a c a c a c =+=++⋅=++=111cos ,,14AC DC AC DC AC DC ∴=⋅=⋅=异面直线AC 与1DC所成角的余弦值为14，故选：D 8．D【分析】利用和与项的一般关系求得数列{}n a 的递推关系，根据等比数列的定义判定为等比数列，得到通项公式，进而得到113n n S =-，利用等差数列的求和公式得到223nT n n =-+,进而结合二次函数和指数函数的单调性得到不等式左端的最大值，根据不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，求解即得.【详解】由112n n S a =-得111112a S a ==-,∴123a =,()111122n n S a n --=-≥,∴111122n n n n n a S S a a --=-=-,∴()1123n n a a n -=≥,∴数列{}n a 为首项为123a =，公比为13q =的等比数列，∴23n n a =,∴113nn S =-，∵45n b n =-+，∴{}n b 为等差数列，∴()2145232n n T n n n +-+=⨯=-+,21553110133n n n n T n S -=-+-+-,记211()101533n f n n n -=-+-+当n ∈N*时，()f n 为n 的单调递减函数，∴()()max 13f n f ==53(2)n n T S a a -≤+恒成立的充分必要条件是()32a a ≤+,解得3a ≤-或1a ≥，故选：D 9．ACD【分析】根据空间点的对称性判断A ，根据0A n B ⋅≠ 判断B ，根据0PA PB ⋅=判断C ，利用空间向量法求点到直线的距离判断D ；【详解】解：对于A ：因为(1,1,1)P ，所以点P 关于yOz 平面对称的点的坐标为(1,1,1)-，故A 正确；对于B ：因为(1,0,1)A ，(0,1,0)B ，所以()1,1,1AB =--，因为平面α的法向量(2,2,2)n =- ，所以()()12121260AB n =-⨯+⨯-+-⨯=⋅-≠，所以直线AB 与平面α不平行，故B 错误；对于C ：因为()0,1,0PA =- 、()1,0,1PB =-- ，所以0PA PB ⋅= ，因为PA ，PB分别为平面α，β的法向量，所以平面α⊥平面β，故C 正确；对于D ：因为()0,1,0AP = ，()1,1,1AB =-- ，所以1AP AB ⋅=，所以点P 到直线AB的距离d =D 正确；故选：ACD 10．BC【分析】A 选项，利用抛物线定义进行求解04x =，进而求出04y =±；B 选项，与抛物线相切的线有两条，与x 轴平行的有一条；C 选项，利用两点之间线段最短进行求解；D 选项，转化为两平行线之间距离进行求解最短距离.【详解】A 选项，过点M 作MA 垂直抛物线准线=1x -于点B ，根据抛物线定义可知：5MF MB ==，即015x +=，解得：04x =，代入抛物线中得：04y =±，故A 错误；B 选项，过点A 平行于x 轴的直线2y =与抛物线有一个公共点，过点A 的y 轴，与抛物线相切，有一个公共点，当直线斜率存在时，设过点A 的直线方程为2y kx -=，与抛物线联立得：()224440k x k x +-+=，由Δ0=得：12k =，即122y x =+与抛物线相切，只有一个交点，综上：共有3条，B 正确；C 选项，由抛物线方程可知：()1,0F ，连接AF ，与抛物线交于一点，由两点之间，线段最短，可知，此点即为符合要求的M 点，此时MF MA +=，C 正确；D 选项，设与30x y -+=平行且与抛物线相切的直线为:0l x y c -+=，此时直线:0l x y c -+=与抛物线的切点即为M ，则:0l x y c -+=与30x y -+=的距离即为点M 到直线30x y -+=的最短距离d ，联立:0l x y c -+=与抛物线方程得：()22240x c x c +-+=，由()222440c c ∆=--=解得：1c =，故d =D 选项错误.故选：BC 11．BD【分析】由等差数列前n 项和公式即可判断A ；由等差数列的单调性可判断B ；由6890a a a ++=可判断C ；由等差数列前n 项和的性质可判断D.【详解】70a > ，()113137131302a a S a +∴==>，故选项A 错误；70a > ，80a <，10a ∴>，0d <，故选项B 正确；6897880a a a a a a ++=++= ，且80a <，780a a ∴+>，故选项C 错误；由70a >，80a <知，当7n =时，n S 有最大值，故选项D 正确；故选：BD ．12．AD【分析】由双曲线的方程求出,,a b c 的值，A 在双曲线右支上，则AF 的最短长度为c a -可判断A ；求出双曲线的渐近线方程，由直线l 的斜率与渐近线斜率的关系可判断B ，讨论l 的斜率不存在和斜率为0时弦长AB ，即可得AB 的最短长度可判断C ，由l 的斜率不存在和斜率为0时弦长AB ，结合双曲线的对称性可判断D ，进而可得正确选项.【详解】由双曲线22:13y C x -=可得1a =，b =，所以2c ==，对于A ：若A 在双曲线右支上，则AF 的最短长度为211c a -=-=，故选项A 正确；对于B ：双曲线的渐近线方程为：by x a=±=，若A ，B 同在双曲线右支上，则l 的斜B 不正确；对于C ：当A ，B 同在双曲线右支上时，AB x ⊥轴时，AB 最短，将2x =代入2213y x -=可得3=±y ，此时6AB =，当A ，B 在双曲线两支上时，AB 最短为实轴长22a =，所以AB 的最短长度为2，故选项C 不正确；对于D ：当A ，B 同在双曲线右支上时，min 68AB =<，当A ，B 在双曲线两支上时，min 28AB =<，根据双曲线对称性可知：满足8AB =的直线l 有4条，故选项D 正确；故选：AD.13．1-【分析】先利用直线平行的一般式的计算公式代入求解a 的值，然后再将结果分别代入验证两条直线是否平行．【详解】由题意可知，(3)220a -+⨯=，得1a =-，当1a =-时，直线230x y +-=与直线4240x y --+=平行；故答案为：1-．14．15-【分析】根据解析式，分别求得奇数项和与偶数项和，综合即可得答案.【详解】由题意得1351,5,9a a a =-=-=-⋅⋅⋅，即奇数项为首项为-1，公差为-4的等差数列，所以1315878(1)(4)1202a a a ⨯++⋅⋅⋅+=⨯-+⨯-=-，2463,7,11a a a ===⋅⋅⋅，即偶数项为首项为3，公差为4的等差数列，所以2414767341052a a a ⨯++⋅⋅⋅+=⨯+⨯=，所以15121512010515S a a a =++⋅⋅⋅+=-+=-.故答案为：15-15【分析】根据线面垂直的性质定理，可证,PA AB PA BC ⊥⊥，即可求得各个边长、面积，利用等体积法，即可求得答案.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA BC ⊥⊥，所以在Rt PAB 中，12222PAB S =⨯⨯= ，在Rt ABC 中，2222AC AB AC =+=，在Rt PAC △中，2223PC PA AC =+=，因为D 为PC 中点，所以132AD BD PC ===，所以2211222ABDS AB BD AB ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，因为,BC AB BC PA ⊥⊥，所以BC ⊥平面PAB ，所以C 到平面PAB 的距离即为BC =2，因为D 为PC 的中点，所以D 到平面PAB 的距离即为112BC =，设P 到平面ABD 的距离为h ，因为P ABD D PAB V V --=，所以11133ABD PAB S h S ⨯⨯=⨯⨯ ，解得2h =，所以点P 到平面ABD 的距离等于2.故答案为：216．12##0.5【分析】设出直线方程，联立后用韦达定理得到两根之和，两根之积，根据垂直得到斜率的等量关系，代入后求得结果.【详解】设直线:2PQ y kx -=，与2:8C x y =联立得：28160x kx --=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则128x x k +=，1216x x =-，因为90PEQ ∠=︒，所以1PE QE k k ⋅=-，即121222122y y x x ++⋅=---，整理得：()()()21212142200kx x k x x ++-++=，即()2210k -=，解得：12k =.故答案为：1217．(1)22(2)10x y -+=(2)3x =或3410x y --=【分析】（１）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据已知条件列出方程组求解即得；（２）分斜率存在与否，利用直线与圆相切的条件求解.【详解】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则0,220,3100,E D E F D E F ⎧-=⎪⎪-+++=⎨⎪+++=⎪⎩解得4,0,6.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆C 的方程为22460x y x +--=，即()22210x y -+=.（2）因为直线l 被圆C 截得的弦长为6，所以圆心到直线l的距离1d ==.当l 的斜率不存在时，直线l 方程为3x =，符合题意.当l 的斜率存在时，设直线l 方程为()23y k x -=-，即320kx y k --+=则1d ==.解得34k =.此时直线l 方程为()3234y x -=-，即3410x y --=.综上所述，直线l 的方程为3x =或3410x y --=.18．(1)2n a n =，2nn b =(2)11211n n T n +=--+【分析】（1）列式计算等差数列的公差d 与等比数列的公比q ，从而写出通项公式；（2）计算n S ，从而表示出1nS ，利用分组求和法与裂项相消法求和n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则22222224d qd q q d +=⎧⇒==⎨+=+⎩.所以2n a n =，2n n b =.（2）(22)(1)2n n n S n n +==+，则1111(1)1n S n n n n ==-++，()2121211111111......1...(22...2)2231nn n n T b b b S S S n n ⎛⎫⎛⎫=+++++++=-+-++-++++ ⎪+⎝⎭⎝⎭1112211211121n n n n ++-=-+=--+-+.19．(1)证明见解析(2)310【分析】（1）取1CC 的中点E ，连接ME ，NE ，通过证明平面MNE //平面1A BC 可得结论；（2）取AB 中点O ，11A B 中点1O ，连接OC ，1OO ，以OB ，OC ，1OO 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，利用向量法求直线1A N 与平面1A BC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取1CC 的中点E ，连接ME ，NE ，M ，E 分别为11A C ，1CC 的中点，1ME //AC ∴.又ME ⊄ 平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，ME //∴平面1A BC .又N Q ，E 分别为1BB ，1CC 的中点，NE //BC ∴，又NE ⊄ 平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，NE //∴平面1A BC .又ME NE E ⋂= ，∴平面MNE //平面1A BC .又MN ⊂ 平面MNE ，MN //∴平面1A BC .（2）取AB 中点O ，11A B 中点1O ，连接OC ，1OO .ABC 是边长为2的正三角形，.OC AB ∴⊥.以OB ，OC ，1OO 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz则()3,0C ，()11,0,3A -，()1,0,0B ，31,0,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,3,0CB =- ，()1132,0,3,2,0,2BA A N ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 设平面1A BC 的法向量(),,n x y z =，由100CB n BA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得30230x x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，取()3,2n = 设直线1A N 与平面1A BC 所成的角为θ，则11133sin cos ,51042n A N n A N n A N θ⋅====⨯∴直线1A N 与平面1A BC 所成角的正弦值为310.20．(1)11b =-，21b =，31b =-，证明见解析(2)1(25)210n n S n +=-⨯+【分析】（1）由132n n n a a ++=⨯，分别计算出23,a a ，可得1b ，2b ，3b ，132nn n a a ++=⨯转化得()1122n n n n a a ++-=--，即1n n b b +=-，即可证明数列{}n b 是等比数列；（2）写出数列{}n c 的通项公式，然后利用错位相减法求和.【详解】（1）在132n n n a a ++=⨯中，令1n =得，126a a +=，2165a a ∴=-=.同理可得，37a =.1121b a ∴=-=-，22221b a =-=，33321b a =-=-.由132nn n a a ++=⨯得，()1122n n n n a a ++-=--，即1n n b b +=-，又110b =-≠ ，{}n b ∴是以1-为首项，1-为公比的等比数列.（2）由（1）可知，(1)n n b =-，2(1)2n n nn n a b =+=-+.则(1)2n nn n c a =--=.23(1)21232(23)2n n S n =-⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，23412(1)21232(23)2n n S n +=-⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，上述两式相减，得()23122222(23)2n n n S n +-=-+++⋅⋅⋅+--⨯2112222(23)212n n n ++-=-+⨯--⨯-1(25)210n n +=--⨯-1(25)210n n S n +∴=-⨯+【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解．21．(1)证明见解析【分析】（1）先利用线面垂直判定定理证得CD ⊥平面PBD ,得到CD PD ⊥,然后，根据已知条件，利用面面垂直的性质定理证得结论；（2）以DB ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量的坐标运算求解.【详解】（1）（1）证明：取BC 中点F ，连接DF .//AD BF ，且AD BF =，∴四边形ABFD 为平行四边形.则12DF AB BC ==，于是CD BD ⊥.又CD PB ⊥ ，PB BD B ⋂=，CD ∴⊥平面PBD .又PD ⊂ 平面PBD ，CD PD ∴⊥.又 平面PCD ⊥平面ABCD 且交线为CD ，PD ∴⊥平面ABCD .（2）（2）PD ⊥ 平面ABCD .PCD ∴∠即为直线PC 与平面ABCD 所成的角，30PCD ∴∠=︒.又2PD =，CD AF ∴==2BD =.以DB ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()2,0,0B，()1,A ，()0,0,2P.()1,2PA =- ，()2,0,0DB =，()0,0,2DP =.3PA PE = ，()()11140,0,21,2,,33333DE DP PA ⎛⎫∴=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BDE 的法向量(),,n x y z =，由0,0,DB n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,140,333x x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩取(0,n = .由（1）可知，DC ⊥平面PBD ，所以平面PBD的法向量()0,DC =,19DC n cos DC n DC n ⋅∴〈〉==.∴平面PBD 与平面BDE.【点睛】22．(1)22163x y +=(2)2【分析】（1）根据椭圆经过的点及上顶点到右顶点的距离，求出,a b ，得到椭圆方程；（2）设出直线AB 方程，联立后用韦达定理，根据角度相等，转化为斜率之和为0，列出方程，求出k ，求出弦长，表达出面积，求出面积最大值.【详解】（1）由已知可得，22229,411,a b ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得226,3.a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆E 的方程为22163x y +=.（2）依题意，直线AB 斜率一定存在，设AB 方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y .由22,163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()222124260k x kmx m +++-=，()()2222Δ16412260k m k m=-+->，得22630k m -+>，122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+.APQ BPQ ∠=∠ ，0PA PB k k ∴+=，121211022y y x x --∴+=--.()()()()211221210x y x y ∴--+--=，()()()()211221210x kx m x kx m ∴-+-+-+-=.()()()1212.221410kx x m k x x m ∴+--+--=.()()()2222264214101212k m km m k m kk---∴---=++.化简得，22310k k km m -++-=，即()()1210k k m -+-=1k ∴=或12m k =-.将12m k =-代入y kx m =+中，得()12y k x -=-，即直线AB 经过点P ，不合题意，所以12m k =-舍去，AB 分别位于PQ 的两侧，31m ∴-<<-，且1243m x x +=-，212263m x x -=.12AB x =-==O 到AB 的距离d =OAB ∴ 的面积为()22911222m m S AB d +-=⨯⨯=⨯=当且仅当229m m =-，即m =.OAB ∴ 面积的最大值为2.【点睛】对于圆锥曲线求解弦长，面积等最值问题，通常情况下，要设出直线方程，联立后利用韦达定理，求出弦长，表达出面积，再最后求解最值时，要结合代数式的特征，选择合适的方法，比如基本不等式，换元法，转化为二次函数求最值等.。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数为虚数单位对应的点位于2023-2024学年河北省邯郸市高一上学期期末数学试题( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的人数比为4：3：3：2，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为n 的样本，已知样本中O 型血的人数比AB 型血的人数多20，则( )A. 100B. 120C. 200D. 2403.已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为( )A.B.C.D.4.设m ，n 是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题中正确的是( )A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则5.饱和潜水是一种在超过百米的大深度条件下开展海上长时间作业的潜水方式，是人类向海洋空间和生命极限挑战的前沿技术，我国海上大深度饱和潜水作业能力走在世界前列．某项饱和潜水作业一次需要3名饱和潜水员完成，利用计算机产生之间整数随机数，我们用0，1，2，3表示饱和潜水深海作业成功，4，5，6，7，8，9表示饱和潜水深海作业不成功，现以每3个随机数为一组，作为3名饱和潜水员完成潜水深海作业的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：713，517，659，491，275，937，740，632，845，由此估计“3名饱和潜水员中至少有1人成功”的概率为( )A.B. C.D. 6.如图，在圆台中，，，且，，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.7.在等腰梯形ABCD中，，，，点M，N为边AB上动点，且，则的最小值为( )A. B. 3 C. D. 98.抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是( )A. 当时，B. 当时，事件A与事件B不独立C. 当时，D. 当时，事件A与事件B不独立二、多选题：本题共4小题，共20分。

河北省邯郸市2014-2015学年上学期期末考试高二物理试题2015.02注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2．所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效。

第Ι卷（选择题，共56分）一、选择题：本题共14小题，每小题4分，共56分。

在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求，第11～14题有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

1．物理学的发展丰富了人类对物质世界的认识，推动了科学技术的创新和革命，促进了物质生产的繁荣与人类文明的进步。

下列说法中正确的是A．安培提出了场的概念B．法拉第发现了电流的磁效应C．密立根通过油滴实验测定了电子的电荷量D．欧姆指出导体的电阻与导体两端的电压成正比，与通过导体的电流成反比2．关于磁场和磁感线的描述，下列说法中正确的是A．磁极之间的相互作用是通过磁场发生的，磁场和电场一样，也是一种客观存在的物质B．磁感线是真实存在的C．磁感线总是从磁铁的N极出发，到S极终止D．磁感线就是细铁屑在磁铁周围排列出的曲线，没有细铁屑的地方就没有磁感线3．关于磁感应强度B的概念，下列说法正确的是A．根据磁感应强度B的定义式B＝FIL可知，通电导线在磁场中受力为零时该处B为零B．一小段通电导线在某处不受磁场力作用，该处的磁感应强度不一定为零C．一小段通电导线放在磁感应强度为零处，它所受的磁场力不一定为零D．磁场中某处磁感应强度的方向，与通电导线在该处所受磁场力的方向相同4．图中L是绕在铁芯上的线圈，它与电阻R、R0、电键和电池E可构成闭合回路，线圈上的箭头表示线圈中电流的正方向，当电流的流向与箭头所示的方向相同，该电流为正，否则为负。

电键K1和K2都处于断开状态。

设在t=0时刻，接通电键K1，经过一段时间，在t=t1时刻，再接通电键K2，则能正确表示L中的电流I随时间t的变化图线的是5．如图是质谱仪的原理图，若速度相同的同一束粒子沿极板P1、P2的轴线射入电磁场区域，由小孔S射入右边的偏转磁场B2中，运动轨迹如图所示，不计粒子重力。

2023-2024学年河北省邯郸市魏县高一上册期末考试数学试题一、单选题1．设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】A【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，分析可知4n ≥，然后对n 的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【详解】解：设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，若3n =，则12A A ⋂≠∅，不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素，可设{}112,A x x =，则{}24634,A A A x x ===，{}35712,A A A x x ===，这与17A A ⋂=∅矛盾；②假设集合B 中含有5个元素，可设{}1612,A A x x ==，{}2734,A A x x ==，{}351,A x x =，{}423,A x x =，{}545,A x x =，满足题意.综上所述，集合B 中元素个数最少为5.故选：A.关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.2．已知函数()f x 的定义域为R ，则“()()10f x f x ++=”是“()f x 是周期为2的周期函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件【正确答案】A【分析】通过()()10f x f x ++=可以得出()()2f x f x +=，反过来不可以，反例见详解.【详解】由()()10f x f x ++=得，()()1f x f x +=-，所以，()()()()()()()111fx f x f x f x ++=-+=--=，即()()2f x f x +=.所以“()()10f x f x ++=”是“()f x 是周期为2的周期函数”的充分条件.如下图是一个周期为2得函数，得不出()()10f x f x ++=，所以“()()10f x f x ++=”是“()f x 是周期为2的周期函数”的不必要条件.所以“()()10f x f x ++=”是“()f x 是周期为2的周期函数”的充分不必要条件.故选：A.3．已知命题p ：任意2[1,2],0x x a ∈-，命题q ：存在2000,220x x ax a ∈++-=R ，若“p 且q ”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．2a -B ．1a ≤C ．2a -或=1a D ．2a >-且1a ≠【正确答案】D【分析】当命题为p 真时，此问题为恒成立问题，用最值法，转化为当x ∈[1，2]时，（x 2﹣a ）min ≥0，可求出a ≤1，当命题q 为真时，为二次方程有解问题，用“∆”判断，可得a ≤﹣2或a ≥1，先判定“p 且q ”是真命题，即p 真q 真时，a 的范围，再求出实数a 的补集即可．【详解】当命题为p 真时，即：“∀x ∈[1，2]，x 2﹣a ≥0“，即当x ∈[1，2]时，（x 2﹣a ）min ≥0，又当x ＝1时，x 2﹣a 取最小值1﹣a ，所以1﹣a ≥0，即a ≤1，当命题q 为真时，即：∃x ∈R ，x 2+2ax +2﹣a ＝0，所以∆＝4a 2﹣4（2﹣a ）≥0，所以a ≤﹣2或a ≥1，又命题“p 且q ”是真命题，所以p 真q 真，即121a a a ≤≤-≥⎧⎨⎩或，即实数a 的取值范围是：2a ≤-或=1a ；故命题“p 且q ”是假命题时，实数a 的取值范围是2a >-且1a ≠.故选：D ．4．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x -为偶函数，()()20f x f x -+-=，当[]2,1x ∈--时，()14x f x ax a =--（0a >且1a ≠），且()24f -=．则()131k f k ==∑（）A ．16B ．20C ．24D ．28【正确答案】C【分析】由条件可知()f x 有对称轴2x =-，对称中心(1,0)-，推出具有周期性4T =，由()24f -=求得a 的值，可分别计算(1),(2),(3),(4)f f f f ，结合周期性计算()131k f k =∑即可.【详解】因为()2f x -是偶函数，所以()2(2)f x f x --=-，所以()(4)f x f x =--，所以函数()f x 关于直线2x =-对称，又因为()()20f x f x -+-=，所以()()2f x f x --=-，所以()(2)f x f x =---，所以()f x 关于点(1,0)-中心对称，由()(4)f x f x =--及()(2)f x f x =---得(4)(2)f x f x --=---所以(4)(2)()f x f x f x --=---=-所以函数()f x 的周期为4，因为当[]2,1x ∈--时，()14xf x ax a =--（0a >且1a ≠），且()24f -=，所以21424a a -=+-，解得：2a =或4a =-，因为0a >且1a ≠，所以2a =.所以当[]2,1x ∈--时，()1(242xf x x =--，所以(2)4,(1)0f f -=-=，(3)(1)0f f -=-=，(0)(2)4f f =--=-，(1)(14)(3)0f f f =-=-=，(2)(2)4f f =-=，(3)(1)0f f =-=，(4)(0)4f f ==-，所以(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=，所以()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑,故选.C5．下列命题中，正确的有（）个①对应：21R,R,:1A B f x y x ==→=+是映射，也是函数；②若函数(1)f x -的定义域是（1,2），则函数()2f x 的定义域为,102⎛⎫⎪⎝⎭，；③幂函数23y x -=与4y x =图像有且只有两个交点；④当0b >时，方程210xb --=恒有两个实根.A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】对于①，由映射和函数的定义判断即可；对于②，由抽象函数的定义求解即可；对于③，结合幂函数的性质作出图象即可判断；对于④，将问题转化为21xy =-与y b =的图象交点个数的问题，作出图象即可判断.【详解】解：对于①，对应：21R,R,:1A B f x y x ==→=+是映射，也是函数；符合映射，函数的定义，故①对；对于②，若函数()1f x -的定义域是（1,2），则1x -()()10,1,20,10,2x x ⎛⎫∈∴∈⇒∈ ⎪⎝⎭故函数()2f x 的定义域为102⎛⎫⎪⎝⎭，，故②对对于③，幂函数23y x-==(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减且图像过()()1,1,1,1-，4y x =为偶函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增且图像过()()1,1,1,1-所以两个图像有且只有两个交点；故③对；于④，当1x >时，21x -单调递增，且函数值大于1，所以当1b >时，方程210xb --=只有一个实根.故④错；故选：C6．已知定义域为R 的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足：()()2xf xg x +=．若存在实数a ，使得关于x 的不等式()()()()0--≤nf x a g x a 在区间[]1,2上恒成立，则正整数n 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据奇偶性列方程组求得11()22x x f x ---=+，11()22x x g x ---=-，利用它们的单调性确定在[]1,2上的值域，再由不等式有()()a f x n g x a ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩或()()a f x n g x a⎧≤⎪⎨⎪≥⎩求a 的范围，进而求出正整数n 的范围.【详解】由题设，()()()()2x f x g x f x g x --+-=-=，又()()2xf xg x +=，联立可得：11()22x x f x ---=+，11()22x x g x ---=-，又()1f x ≥当且仅当0x =时等号成立，即()f x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增，所以，在[]1,2上517()[,]48f x ∈，而11()22x x g x ---=-在[]1,2上递增，故315()[,48g x ∈，若()()a f x n g x a⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，则15584n a ≤≤且n 为正整数，只需2n ≥即可.若()()a f x n g x a⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，则17384n a ≤≤且n 为正整数，不成立；综上，正整数n 的最小值为2.故选：B关键点点睛：利用奇偶性列方程组求()f x 、()g x 解析式，并根据单调性求闭区间上的值域，最后由不等式恒成立求参数a 的范围，即可得n 的范围.7．定义域为R 的函数()lg 2,21,2x x f x x ⎧-≠=⎨=⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则()12345f x x x x x ++++等于（）A ．1B ．2lg 2C ．3lg 2D ．0【正确答案】C【分析】分析出函数()f x 的图象关于直线2x =对称，分析可知2为关于x 的方程()()20f x bf x c ++=的一根，求出12345x x x x x ++++的值，即可得解.【详解】令()u f x =，作出函数()u f x =的大致图象，当2x ≠时，()()4lg 42lg 2lg 2f x x x x f x-=--=-=-=，故函数()f x 的图象关于直线2x =对称，因为关于x 的方程()()20f x bf x c ++=恰有5个不同的实数根，则关于u 的方程20u bu c ++=恰有两根，设为1u 、2u ，且必有一根为1，设21u =，设方程()1u f x =的两根分别为1x 、2x ，且12x x <，则124x x +=，所以，3456x x x ++=，12345=10x x x x x ++++，因此，()10lg83lg 2f ==.故选：C.8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x +=，当()0,1x ∈时，()1sinπ4f x x =-，若对任意(],x m ∈-∞，都有()2f x ≥-，则m 的取值范围是（）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【正确答案】B【分析】由题意可得当(]2,3x ∈时，()()()[]=42=sinπ21,0f x f x x --∈--，且(]π2π,3πx ∈，令sinπ2x -=-，得73x =或83x =，结合图象即可得m 的取值范围.【详解】解：由()()12f x f x +=得：()()21f x f x =-，又当(]0,1x ∈时，()11sinπ,044f x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，故当(]1,2x ∈时，()11sin[π(1)],022f x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦；依此类推得：当(]2,3x ∈时，()()[]42sin[π(2)]1,0f x f x x =-=--∈-，且(]π2π,3πx ∈.如图.由sinπ2x -=-，得sinπ2x =，解得ππ2π3x =+或2π2ππ3x =+，解得73x =或83x =.故若对任意(],x m ∈-∞，都有()2f x -73m .故选：B.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．x ∀∈R ，12x x+≥B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()20x x -<，则()2log 0,1x ∈D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104ab <≤【正确答案】BD【分析】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误.【详解】当0x <时，1x x+为负数，所以A 不正确；若0a b <<，则110b a<<，考虑函数3()f x x =在R 上单调递增，所以11((f f a b >，即3311()()a b>，所以B 正确；若()20x x -<，则02x <<，2log (,1)x ∈-∞，所以C 不正确；若0a >，0b >，1a b +≤21,0()224a b a b ab ++≤<≤=所以D 正确.故选：BD此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项.10．已知函数()()222,R 1ax bx f x a b x ++=∈+，则下列说法正确的是（）A ．,R a b ∃∈，()f x 为奇函数B ．R,R b a ∃∈∀∈，()f x 为偶函数C ．,R a b ∃∈，()f x 的值为常数D ．R,R b a ∃∈∀∈，()f x 有最小值【正确答案】BCD【分析】对于A 、B ，假设成立，根据奇偶性的性质得到方程，即可判断；利用特殊值判断C ；对于D ，将函数解析式变形为()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦，分()0a f x -=和()0a f x -≠两种情况讨论，即可判断.【详解】解：因为()()222,R 1ax bx f x a b x ++=∈+，x ∈R ，对于A ：若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即22222211ax bx ax bx x x -+++=-++，即220ax +=，显然方程220ax +=不恒成立，故不存在,R a b ∈，使得()f x 为奇函数，故A 错误；对于B ：若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，即22222211ax bx ax bx x x -+++=++，即0bx =，当0b =时方程0bx =恒成立，故当0b =时，对R a ∀∈，()f x 为偶函数，故B 正确；对于C ：当2a =，0b =时()222221x f x x +==+为常数函数，故C 正确；对于D ：()f x 的定义域为R ，()2221ax bx f x x ++=+，所以()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦，当()0a f x -=，即()f x a =时()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦变形为20bx a +-=，当0b ≠时方程20bx a +-=有解，当0b =、2a =时方程20bx a +-=在R 上恒成立，当()0a f x -≠，即()f x a ≠时，方程()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦在R 上有解，所以()()2420b a f x f x ∆=---≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()()2244280fx a f x a b -++-≤，因为()()()22221621681620a a b a b ⎡⎤+--=-+≥⎣⎦，当0b =、2a =时()()()2244280fx a f x a b -++-≤变形为()()2416160f x f x -+≤，解得()2f x =，当0b ≠或2a ≠时，()()()2244280fx a f x a b -++-=可以求得()f x 的两个值，不妨设为m 和n ()m n <，则2284m n a a b mn +=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，所以()()()2244280fx a f x a b -++-≤解得()m f x n ≤≤，所以当0b ≠时，R a ∀∈，()f x 有最小值，故D 正确；故选：BCD11．函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数()f x 同时满足①()f x 在[],a b 上是单调函数；②()f x 在[],a b 上的值域为[](),0ka kb k >，则称区间[],a b 为()f x 的“k 倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（）A ．()ln f x x=B ．()()10f x x x=>C ．()()20f x x x =≥D ．()()2011xf x x x =≤≤+【正确答案】BC【分析】根据函数新定义，结合各选项中函数的单调性判断a 、b 的存在性，即可得答案.【详解】A ：()ln f x x =为增函数，若()ln f x x =存在“3倍值区间”[],a b ，则()()ln 3ln 3f a a af b b b ⎧==⎪⎨==⎪⎩，结合ln y x =及3y x =的图象知，方程ln 3x x =无解，故()ln f x x =不存在“3倍值区间”，A 错误；B ：()()10f x x x=>为减函数，若存在“3倍值区间”[],a b ，则有()()1313f a b a f b a b ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，得13ab =，又0a >，0b >，所以可取13a =，1b =，所以()()10f x x x=>存在“3倍值区间”，B 正确；C ：()()20f x x x =≥为增函数，若()()20f x x x =≥存在“3倍值区间”[],a b ，则()()2233f a a af b b b ⎧==⎪⎨==⎪⎩，得03a b =⎧⎨=⎩，所以()()20f x x x =≥存在“3倍值区间”，C 正确；D ：当0x =时，()0f x =；当01x <≤时，()11f x x x=+，从而可得()f x 在[]0,1上单调递增，若()21x f x x =+存在“3倍值区间”[],a b 且[][],0,1a b ⊆，则有()()223131a f a a a b f b bb ⎧==⎪⎪+⎨⎪==⎪+⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩，不符合题意，所以()()2011xf x x x =≤≤+不存在“3倍值区间”，D 错误．故选：BC12．已知函数()|sin |cos ,R f x x x x =∈，则（）A ．函数()f x 的值域为11[,]22-B ．函数()f x 是一个偶函数，也是一个周期函数C ．直线34x π=是函数()f x 的一条对称轴D ．方程4()log f x x =有且仅有一个实数根【正确答案】ABD【分析】利用函数()f x 的奇偶性、周期性分析判断A ，B ；利用对称的性质验证判断C ；利用零点存在性定理分析判断D 作答.【详解】显然，()|sin()|cos()|sin |cos ()f x x x x x f x -=--==，即函数()f x 是偶函数，又(2)|sin(2)|cos(2)|sin |cos ()f x x x x x f x πππ+=++==，函数()f x 是周期函数，2π是它的一个周期，B 正确；当0πx ≤≤时，022x π≤≤，1()sin cos sin 22f x x x x ==的最小值为12-，最大值为12，即当0x π≤≤时，()f x 的取值集合是11[,]22-，因()f x 是偶函数，则当0x π-≤≤时，()f x 的取值集合是11[,]22-，因此，当x ππ-≤≤时，()f x 的取值集合是11[,]22-，而2π是()f x 的周期，所以x ∈R ，()f x 的值域为11[,]22-，A 正确；因1(42f π=，51()42f π=-，即函数()f x 图象上的点1(,)42π关于直线34x π=的对称点51(,)42π不在此函数图象上，C 不正确；因当2x >时，恒有41log 2x >成立，而()f x 的值域为11[,]22-，方程4()log f x x =在(2,)+∞上无零点，又当01x <<或22x π<<时，()f x 的值与4log x 的值异号，即方程4()log f x x =在(0,1)、(,2)2π上都无零点，令441()()log sin 2log 2g x f x x x x =-=-，[1,]2x π∈，显然()g x 在[1,2π单调递减，而1(1)sin 202g =>，4()log 022g ππ=-<，于是得存在唯一0(1,)2x π∈，使得0()0g x =，因此，方程4()log f x x =在[1,]2π上有唯一实根，则方程4()log f x x =在(0,)+∞上有唯一实根，又4log x 定义域为(0,)+∞，所以方程4()log f x x =有且仅有一个实数根，D 正确.故选：ABD结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.三、填空题13．设函数()22f x x x a =++，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围为____________.【正确答案】1, 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭【分析】根据题意，设()f x t =，可知1t a ≥-，从而将不等式()()0f f x <的解集为空集，转化为()0f t <在区间[)1,a -+∞上的解集为空集，从得出而()2110y t a =++-≥在区间[)1,a -+∞上恒成立，根据二次函数的图象与性质，得出()211y t a =++-，开口向上，对称轴为1t =-，且44a ∆=-，分类讨论0∆≤和0∆>两种情况，进而根据一元二次不等式恒成立问题，即可求出a 的取值范围.【详解】解：根据题意，可知()()222111f x x x a x a a =++=++-≥-，设()f x t =，则1t a ≥-，因为不等式()()0f f x <的解集为空集，即()0f t <在区间[)1,a -+∞上的解集为空集，即()222110y t t a t a =++=++-<在区间[)1,a -+∞上无解，所以()2110y t a =++-≥在区间[)1,a -+∞上恒成立，对于二次函数()211y t a =++-，开口向上，对称轴为1t =-，44a ∴∆=-，当440∆=-≤a ，即1a ≥时，则101a -≥>-，所以()2110y t a =++-≥在区间[)1,a -+∞上恒成立，符合题意；当440a ∆=-≥，即1a ≤时，令()2110y t a =++-≥，解得：1t ≤--1t ≥-+要使得()2110y t a =++-≥在区间[)1,a -+∞上恒成立，只需满足11a t ->=-且11a -≥-，即0a >且210a a +-≥，解得：12a -≤（舍去）或12a -≥，又因为1a ≤1a ≤<，综上得，实数a 的取值范围是 ⎫+∞⎪⎪⎣⎭.故答案为.1 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭14．已知定义在整数集合Z 上的函数()f x ，对任意的x ，Z y ∈，都有()()()()4f x y f x y f x f y ++-=且()114f =，则()()()()0122016f f f f +++⋅⋅⋅+=______.【正确答案】12##0.5【分析】先用赋值法得到()()6f x f x +=，即()f x 为周期为6的函数，从而得到()()()()()()()()()()0122016336012345f f f f f f f f f f ⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++++⎣⎦，赋值法求出()()()()()3450,2,,,f f f f f ，从而求出答案.【详解】()()()()4f x y f x y f x f y ++-=中，令1y =得：()()()()()1141f x f x f x f f x ++-==，所以()()()21f x f x f x ++=+，故()()()()21f x f x f x f x +++-=，即()()21f x f x +=--，所以()()3f x f x +=-，将3x +代替x 得：()()63f x f x +=-+，从而得到()()6f x f x +=，即()f x 为周期为6的函数，由于20166336=⨯，故()()()()()()()()()()0122016336012345f f f f f f f f f f ⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++++⎣⎦，()()()()4f x y f x y f x f y ++-=中，令1,0x y ==得：()()()()11410f f f f +=⋅，因为()114f =，所以()102f =，令1x y ==得：()()()()1204114f f f f +=⋅=，因为()102f =，所以()124f =-，令2,1x y ==得：()()()()31421f f f f +=，即()11344f +=-，解得：()132f =-，令2x y ==得：()()()()40422f f f f +=，即()11424f +=，解得：()144f =-，令4,1x y ==得：()()()()53441f f f f +=，即()11524f -=-，解得：()154f =，从而()()()()()()1111110120244424354f f f f f f +++++=+---+=，故()()()()()()10122016201602f f f f f f +++⋅⋅⋅+===.故答案为.1215．已知()8ln2+=-x f x x定义域为D ，对于任意1x ，2x D ∈，当122x x -=时，则()()12f x f x -的最小值是______．【正确答案】32ln2【分析】先求出函数()8ln2+=-x f x x的定义域()8,2-,根据函数的性质设12x x <，因122x x -=,则212x x =+，()18,0∈-x ，则()()()()2111211202ln 18f x f x f x f x x x ⎛⎫-=+-=- ⎪+⎝⎭,根据单调性和对数函数性质可知，当2118+x x 取得最小值，即14x =-时，取得最小值,代入即可得出结论.【详解】解：由题意，由802+>-x x，即()()820+-<x x ，解得82x -<<，∴函数()f x 定义域为()8,2-，不妨设12x x <，∵122x x -=∴212x x =+，()18,0∈-x ，∴()()()()112111112882lnln 222+++-=+-=----x x f x f x f x f x x x ()()()211112211111110282020ln ln ln 1888+-⎛⎫+-===- ⎪-+++⎝⎭x x x x x x x x x x ，∵()18,0∈-x ，则21180+<x x ，∴21120118->+x x ，∴21120ln 108⎛⎫-> ⎪+⎝⎭x x ，∴()()2121120ln 18⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭f x f x x x ，根据对数函数性质可知，当2118+x x 取得最小值，即14x =-时，()()21-f x f x 取得最小值，∴()()()()212min 2093ln 1ln 2ln 42484⎡⎤-=-==⎢⎥-+⨯-⎢⎥⎣⎦f x f x .故答案为:32ln2本题考查对数运算以及对数函数单调性的判断,属于中档题.16．在函数()()()sin 20f x x ϕϕ=->图象与x 轴的所有交点中，点,02ϕ⎛⎫⎪⎝⎭离原点最近，则ϕ可以等于__________（写出一个值即可）．【正确答案】π3（答案不唯一）【分析】先求出()f x 与x 轴的所有交点，再结合题意得到π222kϕϕ≤+恒成立，整理得π02k k ϕ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，分类讨论1k ≥，1k ≤-与11k -<<三种情况，结合恒成立可得到π02ϕ<≤，从而得解.【详解】因为()()()sin 20f x x ϕϕ=->，令()0f x =，即()sin 20x ϕ-=，得2π,Z x k k ϕ-=∈，即π,Z 22kx k ϕ=+∈，则()f x 图象与x 轴的所有交点为π,0,Z 22k k ϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为其中点,02ϕ⎛⎫⎪⎝⎭离原点最近，所以π,Z 222k k ϕϕ≤+∈恒成立，不等式两边平方整理得π02k k ϕ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当1k ≥时，π02k ϕ+≥，因为0ϕ>，故π02kϕ+≥恒成立；当1k ≤-时，π02k ϕ+≤，即π2k ϕ≤-恒成立，因为ππ22k -≥，则π2ϕ≤，故π02ϕ<≤；当11k -<<，即0k =时，显然上述不等式恒成立，综上，由于上述分类情况要同时成立，故π02ϕ<≤，所以ϕ可以等于π3.故π3（答案不唯一）.四、解答题17．对于非空数集A ，若其最大元素为M ，最小元素为m ，则称集合A 的幅值为A T M m =-，若集合A 中只有一个元素，则0A T =.(1)若{2,3,4,5}A =，求A T ；(2)若{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ ，123A A A A = ，求123A A A T T T ++的最大值，并写出取最大值时的一组123,,A A A ；(3)若集合*N 的非空真子集123,,,,n A A A A L 两两元素个数均不相同，且12355n A A A A T T T T ++++= ，求n 的最大值.【正确答案】(1)3A T =(2)123A A A T T T ++的最大值为18，{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===(3)n 的最大值为11【分析】（1）根据新定义即可求出；（2）由{},,,(,1,2,3,)i i i i i j A a b c A A A i j i j =⊆=∅=≠ ，123A A A A = 且要使得123A A A T T T ++取到最大，则只需123,,A A A T T T 中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.（3）要n 的值最大，则集合的幅值最小，且123,,,,n A A A A L 是集合*N 的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合123,,,,n A A A A L 中元素分析列出方程解出即可.【详解】（1）由集合{2,3,4,5}A =知，5,2M m ==，所以523A T M m =-=-=.（2）因为{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ ，123A A A A = ，由此可知集合123,,A A A 中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让123A A A T T T ++取到最大值，则只需123,,A A A T T T 中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以123A A A T T T ++的最大值为78912318++---=，所以有一组{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===满足题意，（3）要n 的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为1,2 ，，因为123,,,,n A A A A L 是集合*N 的两两元素个数均不相同的非空真子集，不妨设1A 是集合*N 中只有一个元素的非空真子集，此时10A T =，例如1{1}A =,则2A 是集合*N 中有两个元素的非空真子集，且21A T =，例如2{1,2}A =，同理3A 是集合*N 中有三个元素的非空真子集，且32A T =，例如3{1,2,3}A =，n A 是集合*N 中有n 个元素的非空真子集，且1nA T n =-，例如{1,2,3,,}n A n = ，所以123012(1)n A A A A T T T T n ++++=++++- ()1552n n -==，解得11n =或10n =-（舍去），所以n 的最大值为11.方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.18．已知函数()()()21,R f x ax x a =+-∈.(1)若12a =，解不等式()0f x ≥；(2)解关于x 的不等式()0f x <.【正确答案】(1){4x x ≤-或}1x ≥(2)答案见解析【分析】（1）利用二次不等式的解法解之即可；（2）分类讨论0a =，0a =，20a -<<，2a =-与2a <-五种情况，利用二次不等式的解法解之即可，注意0a >时不等号的方向.【详解】（1）当12a =时，()()()()11214122f x x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以由()0f x ≥得()()14102x x +-≥，解得4x ≤-或1x ≥，故()0f x ≥的解集为{4x x ≤-或}1x ≥.（2）由()0f x <得()()210ax x +-<，当0a =时，不等式化为()210x -<，解得1x <，故不等式的解集为{}1x x <；令()()210ax x +-=，解得12x a=-或21x =，当21a->，即20a -<<时，不等式解得1x <或2x a >-，故不等式的解集为{1x x <或2x a ⎫>-⎬⎭；当21a-=，即2a =-时，不等式化为()210x ->，解得1x ≠，故不等式的解集为{}1x x ≠；当201a <-<，即2a <-时，不等式解得2x a <-或1x >，故不等式的解集为2x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >；当201a -<<，即0a >时，不等式解得21x a -<<，故不等式的解集为21x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；综上：当0a >时，不等式的解集为21x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a =时，不等式的解集为{}1x x <；当20a -<<时，不等式的解集为{1x x <或2x a ⎫>-⎬⎭；当2a =-时，不等式的解集为{}1x x ≠；当2a <-时，不等式的解集为2x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >；19．对于在某个区间[),a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的),x a ⎡∈+∞⎣，有()()1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间[),a +∞上的弱渐近函数．(1)判断()g x x =是否是函数()f x =[)1,+∞上的弱渐近函数，并说明理由．(2)若函数()31g x x =+是函数()3mf x x x=+在区间[)4,+∞上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围；(3)是否存在函数()g x kx =，使得()g x 是函数()f x =[)1,+∞上的弱渐近函数？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】(1)答案见解析(2)08m ≤≤(3)不存在，理由见解析【分析】（1）首先代入()f x 与()g x 并化简整理成[)()()()1,f x g x x -=∈+∞，然后判断函数的单调性，最后利用函数单调性即可得(]()()0,1f x g x -∈，进而得证结论；（2）首先代入()f x 与()g x ，根据题意可得()()11mf xg x x-=-≤在区间[)4,+∞上恒成立，解绝对值不等式得02m x ≤≤在区间[)4,+∞上恒成立，根据解恒成立问题可得参数m 的取值范围；（3）利用反证法，然后求出满足恒成立条件的参数k 的范围，通过k 是无解的导出矛盾，进而验证结论.【详解】（1）[)()()()1,f x g x x x x -=-==∈+∞因为y x =[)1,+∞上单调递增，所以()()f x g x -在区间[)1,+∞上单调递减，故当1x =时取得最大值，最大值为1故(]()()0,1f x g x -∈，得证．（2）因为函数()31g x x =+是函数()3mf x x x=+在区间[)4,+∞上的弱渐近函数，所以()()11mf xg x x-=-≤在区间[)4,+∞上恒成立，即111mx-≤-≤在区间[)4,+∞上恒成立，整理得：02m x ≤≤在区间[)4,+∞上恒成立，因为2y x =在[)4,∈+∞x 上的最小值为8，得08m ≤≤．（3）不存在.假设存在，则有[)()()()1,1,f x g x kx x -=≤∀∈+∞即11kx -≤-，对任意[)1,x ∞∈+成立，k ≤≤[)1,x ∞∈+成立．等价于max mink ⎛≤≤ ⎝⎭⎝⎭，对任意[)1,x ∞∈+成立令()11h x x ==-+(]0,1t =∈，得()21h t t t =-+，当12t =时，取得最大值，最大值为14；令()21h x x(]0,1t =∈，得()22h t t t =+，易知()(]20,2h t ∈可得104k ≤≤，不存在．所以，假设不成立，不存在函数()g x kx =是函数()f x =[)1,+∞上的弱渐近函数．20．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其它扣除．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,3000002016920…………(1)设全年应纳税所得额为t （不超过元）元，应缴纳个税税额为y 元，求()y f t =；(2)小王全年综合所得收入额为元，假定缴纳的基本养老金、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其它扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？(3)设小王全年综合所得收入额为x （不超过元）元，应缴纳综合所得个税税额为y 元，求y 关于x 的函数解析式；并计算小王全年综合所得收入额由元增加到元，那么他全年缴纳多少综合所得个税？注：“综合所得”包括工资、薪金，劳务报酬，稿酬，特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用．【正确答案】(1)()[](](]0.03,0,360000.12520,36000,1440000.216920,144000,300000t t y f t t t t t ⎧∈⎪==-∈⎨⎪-∈⎩(2)1029.6元(3)[](](](]0,0,1467000.243520.8,146700,1917000.0814256,191700,3267000.1640392,326700,521700x x x y x x x x ⎧∈⎪-∈⎪=⎨-∈⎪⎪-∈⎩；5712元【分析】（1）由税率与速算扣除数表列分段函数即可；（2）根据公式计算即可；（3）先求出小王全年应纳税所得额（注意讨论0=t 的情况），再结合()y f t =分类讨论即可.【详解】（1）根据税率与速算扣除数表，可得()[](](]0.03,0,360000.12520,36000,1440000.216920,144000,300000t t y f t t t t t ⎧∈⎪==-∈⎨⎪-∈⎩.（2）小王应纳税所得额为()189600600001896008%2%1%9%52800456034320t =--´+++--=元.则小王全年应缴纳综合所得个税为.()343200.03343201029.6y f ==⨯=（3）小王全年应纳税所得额为()600008%2%1%9%5280045600.8117360t x x x =--+++--=-，由0.81173600146700t x t =-=Þ=，则有[]()0,0,1467000.8117360,146700,x t x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩.则当[]0,146700,0,0.030x t y t Î===；当(](]146700,191700,0,36000,0.030.243520.8x t y t x 挝==-；当(](]191700,326700,36000,144000,0.125200.0814256x t y t x 挝=-=-；当(](]326700,521700,144000,300000,0.2169200.1640392x ty t x 挝=-=-.故y 关于x 的函数解析式为[](](](]0,0,1467000.243520.8,146700,1917000.0814256,191700,3267000.1640392,326700,521700x x x y x x x x ⎧∈⎪-∈⎪=⎨-∈⎪⎪-∈⎩.故当249600x =时，0.08249600142565712y =⨯-=.∴小王全年应缴纳综合所得个税为5712元.21．已知函数()()sin 2sin cos 1sin cos 2f x x x x x x a =++-+-，其中R a ∈.(1)当1a =时，若()034f x =，求0sin 2x 的值；(2)记()f x 的最大值为()g a ，求()g a 的表达式并求出()g a 的最小值.【正确答案】(1)09sin 216x =(2)()112g a a =+--，()min 1g a =【分析】（1）令sin cos x x t +=，可得()()()31f x h t t ==-，即可得答案；（2）分16a ≥、1126a -<<、12a =-、12a <-四种情况讨论，每种情况下得到函数的单调性，即可得答案.【详解】（1）令sin cos x x t +=，则t ⎡∈⎣，21sin 2t x =+，∴()()()2112f x h t t t t a ==-+--，当1a =时，()()()()()()()23112112314f x h t t t t t t t t ==-+--=-++-=-=，∴54t =，∴20259sin 2111616x t =-=-=.（2）()()()()2222121,21122121,2t a a t ah t t t t a a t a t a ⎧-++-≥⎪=-+--=⎨+--<⎪⎩，①当2124a a +≥，即16a ≥时，()h t 在t ⎡∈⎣上单调递增，∴()()max 112g a h t h a ===+--.②当2124a a +<，即16a <时，1°.1126a -<<时，()h t 在)2a ⎡⎣上单调递增，在212,4a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在214a +⎛ ⎝上单调递增，∴()(){}max 2,g a h a h =，记()()))22241112414s a h a haa a a =-=-----=+--()s a 在11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增，()106s a s ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，∴()()20s a h a h=-<，∴()112g a ha ==+--.2°.12a =-时，()112g a ha ==+--.3°.12a <-时，()({}max ,g a h h=，而(1121112h a h a =-<<=+，∴()112g a ha ==+--.综上，对R a ∀∈，()112g a h a ==+--，∴()min 1g a =，当2a =时取得最小值.22．如图，矩形ABCD 的长AD =1AB =，,A D 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上移动，, B C 两点在第一象限.求2OB 的最大值.【正确答案】73+【分析】过点B 作BH OA ⊥，垂足为H ，设OAD θ∠=，求得,,,OA BH AH B 的坐标，由两点间的距离公式，结合正弦函数的性质，即可求解.【详解】由题意，过点B 作BH OA ⊥，垂足为H ，设(0)2OAD πθθ∠=<<，则,3,sin()cos ,cos()sin 222BAH OA BH AH πππθθθθθθ∠=-==-==-=，所以(23sin ,cos )B θθθ+，所以222(23sin )cos 76cos 2232OB θθθθθ=++=++73)3πθ=++，又由02πθ<<，可得42333πππθ<+<，所以当12πθ=时，2OB 取得最大值743+.本题主要考查了函数的实际应用，其中解答中注意运用三角函数的定义和二倍角公式和正弦函数的图象与性质，着重考查了化简与运算能力，属于中档试题.。

河北省承德市2023-2024学年高二数学上学期12月联考模拟试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 抛物线()20y ax a=<的焦点坐标是（）A.1,04a⎛⎫⎪⎝⎭ B.10,4a⎛⎫⎪⎝⎭C.10,16a-⎛⎫⎪⎝⎭ D.1,016a⎛⎫⎪⎝⎭2. 已知向量(),0,1a m=，()1,0,4b=-，且//a b，则实数m=（）A. 2-B. 4-C.12-D.14-3. 两平行直线3210x y-+=和6430x y--=间的距离是（）D.4. 双曲线()222210,0x ya ba b-=>>，则其渐近线方程为（）A.12y x=±B.2y x=±C. 4y x=± D. 8y x=±5. 过点()2,3P引圆222440x y x y+--+=的切线，其方程是（）A. 2x =B. 12590x y -+=C. 2x =或3y = D. 3x =或2y =6. 如图，已知四边形ABCD 、ABEF 都是正方形，若二面角D AB F --为60︒，则异面直线AC 与BF所成角的正切值为（）B.D. 7. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，1F ，2F 为椭圆E ：()222210,0x y a b a b +=>>的左、右焦点，中心为原点，椭圆E，直线4x =上一点P 满足12F PF △是等腰三角形，且12120F F P ∠=︒，则E的离心率为（）C. 15D. 258. 已知直线与抛物线C ：28y x =交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，直线AB 的倾斜角为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，OD AB ⊥交AB 于点D ，若P 为拋物线上任意一点，则PF PD+的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 10二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知直线l20y +=，则下列说法正确的有（）A. l的一个方向向量为(1,k =B. l1+=C. 若l 与直线()40R x ay a -+=∈互相垂直，则a =D. 点()1,0-到l 的距离为110. 已知曲线C ：221mx ny +=，则（）A. 若0m n =>，则C 是圆 B. 若0m n >>，则C 是椭圆C. 若0mn <，则C 是双曲线 D. 若0m =，0n >，则C 是两条射线11. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且1DAB DAA ∠=∠=160BAA ∠=︒，则（）A.1AC BD ⊥B. 1BD =C. BD ⊥平面1ACC D. 直线1BD 与AC12. 椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点(),0F c ，抛物线2C ：24y cx =，1C ，2C 交于点P ，过F 作x 轴垂线交1C 于A 、B ，交2C 于C 、D ，下列结论正确的是（）A .若AB CD>，则1C11e <<B .若AB CD<，则1C11e -<<C. 若43CD AB =，则1C 离心率12e =D. 若5PF =，则()225a c a c +=+三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 双曲线22221124x y m m -=+-的焦点坐标是______．14. 已知空间向量()1,,2a n = ，()2,1,2b =- ．若a b+ 与b垂直，则a =r ______．15. 已知圆1C ：222440x y x y +---=和圆2C ：22441616310x y x y +--+=，则这两个圆的位置关系为______．16. 中国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”，若三棱锥-P ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，3PA =，2AC BC ==，则结论正确的序号是______．（填写序号即可）①BC⊥平面PAB ；②直线PA 与平PBC③二面角A PB C --④三棱锥-P ABC 外接球的表面积为17π四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知点()2,4A ，()4,2B ，直线l 的方程为：210x y -+=．（1）求直线l 关于点A 对称的直线m 的方程；（2）求经过,A B 两点，且圆心在直线l 上的圆的标准方程．18. 已知圆P 在x 轴上截得线段长为4，在y轴上截得线段长为（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =，求圆P 的标准方程．19. 如图，在棱长为1的正方体OABC O A B C ''''-中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =．（1）求证：A F C E ''⊥；（2）当三棱推B BEF '-的体积取得最大值时，求平面B EF '与平面BEF 的夹角的正弦值．20. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>经过点(，其中一条渐近线为30y -=，O 为坐标原点．（1）求C 的标准方程；（2）过C 的右焦点F ，且在y 轴上的截距为2-的直线l ，交C 于P ，Q 两点，求OP OQ ⋅的值．21. 已知点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，过F 且垂直于x 轴的直线截C 所得线段长为4．（1）求p 的值；（2）M 为抛物线C 的准线上任意一点，过点M 作MA ，MB 与C 相切，A ，B 为切点，则直线AB 是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．22. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点到左焦点(),0F c -的距离与左焦点F 到直线2a x c =-的距离相等，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 过点F ，且与坐标轴不垂直，与椭圆C 相交于P ，H 两点，线段PH 的垂直平分线与x 轴交于点B ．①当76BF =时，求直线l 的倾斜角的正弦值；②求证：4PH BF．数学试题答案本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 抛物线()20y ax a =<的焦点坐标是（）A. 1,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,16a -⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,016a ⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】得到抛物线的标准方程，进而得到焦点坐标.【详解】a<0，则抛物线2y ax =的标准方程为：21x y a =，焦点坐标在y 轴上，焦点坐标为10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：B ．2. 已知向量(),0,1a m =，()1,0,4b =-，且//a b，则实数m =（）A. 2-B. 4- C. 12-D. 14-【正确答案】D【分析】根据空间向量共线定理计算即可.【详解】因为//a b，所以存在唯一实数λ，使得a b λ= ，则0014mλλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1414mλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故选：D．3. 两平行直线3210x y-+=和6430x y--=间的距离是（）D. 【正确答案】C【分析】根据平行线间距离公式进行求解即可.【详解】将直线6430x y--=化为33202x y--=，所以两平行直线3210x y-+=和6430x y--=间的距离为：d．故选：C．4. 双曲线()222210,0x ya ba b-=>>，则其渐近线方程为（）A.12y x=±B.2y x=±C. 4y x=± D. 8y x=±【正确答案】B【分析】根据双曲线的离心率可求得ba的值，由此可得出双曲线的渐近线方程.【详解】cea==2222221514b c aea a-∴==-=-=，2ba∴=，渐近线方程为by xa=±，∴渐近线方程为2y x=±．故选：B．5. 过点()2,3P 引圆222440x y x y +--+=的切线，其方程是（）A. 2x = B. 12590x y -+=C. 2x =或3y = D. 3x =或2y =【正确答案】C【分析】求出圆心和半径，考虑切线的斜率不存在和存在两种情况，结合圆心到直线距离等于半径，得到方程，求出答案.【详解】根据题意，圆222440x y x y +--+=，即()()22121x y -+-=，其圆心为()1,2，半径1r =；过点()2,3P 引圆222440x y x y +--+=的切线，若切线的斜率不存在，切线的方程为2x =，符合题意；若切线的斜率存在，设其斜率为k ，则有()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，1=，解得0k =，此时切线的方程为()302y x -=-，即3y =．综上：切线的方程为2x =和3y =．故选：C ．6. 如图，已知四边形ABCD 、ABEF 都是正方形，若二面角D AB F --为60︒，则异面直线AC 与BF所成角的正切值为（）B.D. 【正确答案】C【分析】根据题意，由条件可得60EBC ∠=︒，结合空间向量的运算，可得AC BF ⋅，再由空间向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果.【详解】根据题意可知，EBC ∠即为二面角D AB F --的平面角，所以60EBC ∠=︒，设正方形边长为1，异面直线AC 与BF 所成的角为θ，AC AB BC =+ ，BF BE EF =+ ，EF BA AB ==-，B A F C ==所以()()()()AC BF AB BC BE EF AB BC BE AB⋅=+⋅+=+⋅- ，即()210111cos 6002AC BF AB BE AB BC BE BC AB ⋅=⋅-+⋅-⋅=+-+⨯⨯︒-=-，所以1cos ,4AC BF AC BF AC BF⋅===- ，即1cos cos ,4F AC B θ==，sin θ=，所以tan 14θ==．故选：C ．7. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，1F ，2F 为椭圆E ：()222210,0x y a b a b +=>>的左、右焦点，中心为原点，椭圆E，直线4x =上一点P 满足12F PF △是等腰三角形，且12120F F P ∠=︒，则E的离心率为（）C. 15D. 25【正确答案】B【分析】根据题意，由条件可得12F PF △是以12120F F P ∠=︒为顶角的等腰三角形，列出关于,,a b c 的方程，再由离心率的计算公式，即可得到结果.πab =，即ab =12F PF △是以12120F F P ∠=︒为顶角的等腰三角形，则有：122F F PF =，122130PF F F PF ∠=∠=︒，230F PA ∠=︒，所以()2222482PF AF c c ==-=-，又因为122FF c =，即282c c =-，2c =，可得：2222ab c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故离心率为c e a ==．故选：B ．8. 已知直线与抛物线C ：28y x =交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，直线AB 的倾斜角为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，OD AB ⊥交AB 于点D ，若P 为拋物线上任意一点，则PF PD+的最小值为（）A. 2B. 4C. 6D. 10【正确答案】C【分析】设出直线AB 的方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程的判别式和根的系数关系、抛物线的定义逐一判断即可.【详解】由题意，可设直线AB 的方程为：x my n =+，()0n ≠，()11,A x y ，()22,B x y ，则：28x my n y x =+⎧⎨=⎩，消x 可得：2880y my n --=，由0∆>得220m n +>，则128y y m +=，128y y n ⋅=-，又OA OB ⊥，所以2121280OA OB x x y y n n ⋅=+=-= ，解得0n =（舍）或8n =，所以直线AB 的方程为：8x my =+，过定点()8,0T ，又OD AB ⊥，故点D 在以OT 为直径的圆上，故点D 的轨迹方程为()22416x y -+=，(48,40)x y ≤≤-≤≤，又点D 和点T 在直线AB 上，且AB 的倾斜角为ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即直线AB 的斜率[)1,DT k ∈+∞，故48D x ≤≤，40D y -≤≤，如下图弧所示，过P ，D 分别作准线2x =-的垂线，垂足分别为H ，I ，根据抛物线的定义知：PF PD PH PD ID+=+≥，当点P 为ID 与抛物线的交点时取等号，又2D ID x =+，当D x 取最小值4时，此时ID 取得最小值6，故PF PD+的最小值为6．故选：C关键点睛：本题的关键是利用抛物线的定义和一元二次方程根与系数的关系.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知直线l 20y +=，则下列说法正确的有（）A. l 的一个方向向量为(1,k =B. l 1+=C. 若l 与直线()40R x ay a -+=∈互相垂直，则a =D. 点()1,0-到l 的距离为1【正确答案】AD【分析】由直线一般方程写出一个方向向量及截距式判断A 、B ；由垂直关系的判定列方程求参判断C ；应用点线距离公式求距离判断D.【详解】由直线方程知：l 的一个方向向量为(1,k =，A 对；2y +=-1=，B 错；l 与直线()40R x ay a -+=∈11()0a +⨯-=，可得a =C 错；点()1,0-到l1=，D 对.故选：AD10. 已知曲线C ：221mx ny +=，则（）A. 若0m n =>，则C 是圆 B. 若0m n >>，则C 是椭圆C. 若0mn <，则C 是双曲线 D. 若0m =，0n >，则C 是两条射线【正确答案】ABC【分析】根据圆、椭圆、双曲线、射线的方程特征逐一判断即可.【详解】A 选项，当0m n =>时，222211mx ny x y n +=⇒+=，表示圆，A 选项正确；B 选项，当0m n >>时，22221111x y mx ny m n +=⇒+=11,0m n <<，方程表示焦点在y 轴上的椭圆，B 选项正确；C 选项，当0mn <时，22221111x y mx ny m n +=⇒+=，表示双曲线，C 选项正确；D 选项，当0m =，0n >时，22211mx ny y y n +=⇒=⇒==±表示两条直线，D 选项错误．故选：ABC ．11. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且1DAB DAA ∠=∠=160BAA ∠=︒，则（）A.1AC BD⊥B.1BD =C. BD ⊥平面1ACC D. 直线1BD 与AC所成角的正弦值为【正确答案】AC【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质和定义、空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】以{}1,,AB AD AA 为空间一组基底，11AC AB AD AA =++，()()111,BD AD AB AC BD AB AD AA AD AB AB AD AD AD AA AD=-⋅=++⋅-=⋅+⋅+⋅ 2211111111111111102222AB AB AD AB AA AB -⋅-⋅-⋅=⨯⨯++⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯= ，所以1AC BD⊥，A 选项正确；111A BD D AB AD AA AB =-=+-，所以()2222211111222BD AD AA ABAD AA AB AD AA AA AB AD AB=+-=+++⋅-⋅-⋅ 2221111112112112112222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以1BD =B 选项错误；依题意可知，四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，且1BD AC ⊥，由于1AC AC A = ，1AC ，AC ⊂平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，C 选项正确；设直线1BD 与AC 所成角为θ，π02θ<≤，11,AC AB AD BD AD AA AB =+=+- ，22221()21211132AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=，AC =()11()AC BD AB AD AD AA AB⋅=+⋅+- 11AB AD AB AA AB AB AD AD AD AA AD AB=⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅ 221111111111111112222=⨯⨯+⨯⨯-++⨯⨯-⨯⨯=，所以11cos AC BD AC BD θ⋅===⋅，sin θ==D 选项错误．故选：AC ．关键点睛：本题的关键是利用空间向量基本定理、空间向量夹角公式.12. 椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点(),0F c ，抛物线2C ：24y cx =，1C ，2C 交于点P ，过F 作x 轴垂线交1C 于A 、B ，交2C 于C 、D ，下列结论正确的是（）A .若AB CD>，则1C11e <<B. 若AB CD<，则1C11e -<<C. 若43CD AB =，则1C 离心率12e =D. 若5PF =，则()225a c a c +=+【正确答案】BCD【分析】利用代入法，结合抛物线和椭圆的定义和它们的离心率公式逐一判断即可.【详解】把x c =代入22221x y a b +=中，得2b y a =±，所以22b AB a =，把x c =代入24y cx =中，得2y c =±，所以4CD c =，A ：222224,2,b c b ac a c a >∴>∴->22,12,01ac e e e ∴->∴<<-，故A 错误；B ：同理可得B 正确；C ：22424,233b c b ac a =⨯∴= ，()()222123,213,2a c ac e e e ∴-=∴-=∴=，故C 正确；D ：设(,),||5,5,P x y PF x c x =∴+=∴= 25,4(5)c y c c -=⨯-，亦可知点P 到椭圆左焦点的距离为25a -，222(25)()(5a x c y c -=++=-+2)4(5)c c c +⨯-，整理得225()a c a c +=+，故D 正确．故选：BCD．关键点睛：本题的关键是利用代入法求出弦长表达式.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 双曲线22221124x y m m -=+-的焦点坐标是______．【正确答案】()4,0±【分析】求出2212a m =+，224b m =-，得到4c =，求出焦点坐标.【详解】因为2120m +>恒成立，故2212a m =+，224b m =-，所以22216c a b =+=，所以4c =，故焦点坐标为()4,0±．故()4,0±．14. 已知空间向量()1,,2a n =，()2,1,2b =-．若a b + 与b 垂直，则a =r ______．【正确答案】【分析】根据空间向量加法的坐标表示公式、垂直的坐标表示公式、空间向量模的坐标表示公式进行求解即可.【详解】()1,,2a n =，()2,1,2b =-，()1,1,4a b n ∴+=-+．a b + 与b垂直，()a b b ∴+⋅= ，2180n ∴+++=，解得11n =-，()1,11,2a ∴=- ，a ∴==故．15. 已知圆1C ：222440x y x y +---=和圆2C ：22441616310x y x y +--+=，则这两个圆的位置关系为______．【正确答案】内含【分析】根据圆心距和两圆半径的关系即可判断两圆的位置关系.【详解】因为圆1C ：()()22129x y -+-=，圆2C ：()()221224x y -+-=，所以圆心距121d C C ===，而两圆半径之差132-512=>，故两个圆内含．故内含16. 中国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”，若三棱锥-P ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，3PA =，2AC BC ==，则结论正确的序号是______．（填写序号即可）①BC⊥平面PAB ；②直线PA 与平PBC③二面角A PB C --④三棱锥-P ABC 外接球的表面积为17π【正确答案】③④【分析】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥-P ABC ，建立直角坐标系，结合空间向量的数量积和向量的夹角公式，以及球的截面圆的性质和球的表面积公式，即可求解.【详解】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥-P ABC ，建立如图所示的直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,3P ，可得()2,0,0CB =，()2,2,3BP =--，因为40CB BP ⋅=-≠ ，所以CB 与BP不垂直，BC 与平面PAB 不垂直，所以①错误；设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r，则202230n CB x n BP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩,令3y =，得平面PBC 的一个法向量为()0,3,2n = ，又由()0,0,3AP =，设PA 与平面PBC 所成角为θ，所以sin cos ,AP θ===n ，所以②错误；设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =r，且()0,0,3AP = ，()2,2,0AB = ，则11130220m AP z m AB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =，得平面PAB 的一个法向量为()1,1,0m =-r，可得cos ,m ，由图可知二面角A PB C --为锐角，所以二面角A PB C --，所以③正确；长方体的体对角线为三棱锥-P ABC 外接球的直径，可得2R PB ===所以，球的表面积为24π17πS R ==，所以④正确．故③④．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知点()2,4A ，()4,2B ，直线l 的方程为：210x y -+=．（1）求直线l 关于点A 对称的直线m 的方程；（2）求经过,A B 两点，且圆心在直线l 上的圆的标准方程．【正确答案】（1）2110x y -+=（2）()()221110x y -+-=【分析】（1）设直线m 上任意一点(),P x y 关于点(2,4)A 的对称点为()00,Q x y ，得到0048x xy y =-⎧⎨=-⎩，代入即可求解；（2）设圆心()21,C b b -，根据CA CB=，求得1b =，得到圆心和半径，即可求得圆C 的标准方程.【小问1详解】解：设直线m 上任意一点(),P x y 关于点(2,4)A 的对称点为()00,Q x y ，则0048x x y y =-⎧⎨=-⎩，因为00210x y -+=，所以()42810x y ---+=，整理得2110x y -+=，即直线m 的方程2110x y -+=．【小问2详解】解：设圆心()21,C b b -，由CA CB=，则=1b =，所以圆心为()1,1C ，半径r CA ==，所以圆C 的标准方程为()()221110x y -+-=．18. 已知圆P 在x 轴上截得线段长为4，在y 轴上截得线段长为（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =，求圆P 的标准方程．【正确答案】（1）228y x -=（2）()()221313x y +++=或()()221313x y -+-=【分析】（1）由弦长，半径，圆心到弦的距离之间的关系可知224r y =+，224r y =+，消去2r 即可得到圆心P 的轨迹方程；（2）设()00,P x y ，由点到直线的距离公式得002x y -=，与228y x -=联立即可求出圆心P 与半径r ，即可求出圆P 的标准方程.【小问1详解】设(),P x y ，圆P 的半径为r ，因为圆P 在x 轴上截得的线段长为4，点P 到x 轴的距离为y，所以有2222r y =+，即224r y =+,同理有2212r x =+,即22412y x +=+，即228y x -=故P 点的轨迹方程为228y x -=．【小问2详解】设()00,P x y，所以002x y -=．又()00,P x y 点在双曲线228y x -=上，所以00220028x y y x ⎧-=⎨-=⎩，解得：0013x y =-⎧⎨=-⎩或0013x y =⎧⎨=⎩此时圆的半径2201211213r x =+=+=，故圆P 的方程为()()221313x y +++=或()()221313x y -+-=．19. 如图，在棱长为1的正方体OABC O A B C ''''-中，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =．（1）求证：A F C E ''⊥；（2）当三棱推B BEF '-的体积取得最大值时，求平面B EF '与平面BEF 的夹角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式进行运算证明即可；（2）利用空间向量夹角公式，结合三棱锥的体积公式进行求解即可.【小问1详解】CO 、CB 、CC '两两垂直，∴以C 为原点，CO 、CB 、CC '为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()0,1,0B ，()1,1,0A ，()1,0,0O ，()0,0,1C '，()0,1,1B '，()1,1,1A '，()1,0,1O '，由于AE BF =，设CF a =，则()0,,0F a ，其中01a ≤≤，则(),1,0E a ，所以()1,1,1A F a '=---，(),1,1C E a '=-，则110A F C E a a '⋅=-+-+='，故A F C E ''⊥．【小问2详解】要使三棱锥B BEF '-的体积取得最大值，只要BEF △的面积最大即可，由题意知()22111111112222228BEFS BE BF a a a a a ⎛⎫=⋅=-=-+=--+ ⎪⎝⎭ ，当12a =时，即E ，F 分别为AB ，BC 中点时BEF △的面积最大，则10,,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面B EF '的法向量为(),,n x y z =r ，又11,,022EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，1,0,12EB '⎛⎫=-⎪⎝⎭，则110022110022y x x y EF n z x EB n x z ⎧⎧=---=⎧⎪⎪⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅=⎪⎪⎪-+=⎩'⎪⎪⎩⎩ ，令2x =得()2,2,1n =-，又正方体OABC O A B C ''''-中CC '⊥平面BEF ，所以()0,0,1CC '=为平面BEF 的一个法向量，所以11cos ,313n CC n CC CC n '⋅==⨯''=⋅，则sin ,n CC ==' ，所以平面B EF '与平面BEF．20. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>经过点(，其中一条渐近线为30y -=，O 为坐标原点．（1）求C 的标准方程；（2）过C 的右焦点F ，且在y 轴上的截距为2-的直线l ，交C 于P ，Q 两点，求OP OQ ⋅的值．【正确答案】（1）2213x y -=（2）7【分析】（1）根据渐近线方程以及点的坐标得到关于,a b 的方程组，由此求解出22,a b 即可知C 的标准方程；（2）根据条件先求出l 的方程，然后联立l 与双曲线的方程得到对应坐标的韦达定理形式，再将OP OQ ⋅表示为坐标形式即可求解出结果.【小问1详解】因为双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，所以b a =又因为点(在双曲线上，所以22921a b -=②，①②联立解得223,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2213x y -=．【小问2详解】由（1）可知双曲线C 中2224c a b =+=，所以右焦点F 坐标为()2,0，即直线l 的横截距为2，又因为直线l 在y 轴上的截距为2-，所以直线l 的方程为()122x y +=-，即2y x =-，联立22132x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩得2212150x x -+=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212156,2x x x x +==，所以1212OP OQ x x y y ⋅=+()()121222x x x x =+--()12122247x x x x =-++=．21. 已知点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，过F 且垂直于x 轴的直线截C 所得线段长为4．（1）求p 的值；（2）M 为抛物线C 的准线上任意一点，过点M 作MA ，MB 与C 相切，A ，B 为切点，则直线AB 是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．【正确答案】（1）2p =（2）直线AB 恒过定点()1,0，理由见解析【分析】（1）求出焦点坐标，将2px =代入抛物线方程，得到y p =±，故24p =，求出答案；（2）设直线MA 的方程为()11y k x x y =-+，与24y x =联立，根据Δ0=求出12k y =，()112yy x x =+，同理可得()222yy x x =+，又点()1,M a -在,MA MB ，得到直线AB 的方程为220x ay --=，求出定点坐标.【小问1详解】由题意知，,02pF⎛⎫⎪⎝⎭，将2px=代入抛物线方程得，2222py p p=⋅=，故y p=±，故过F且垂直于x轴的直线截C所得线段长为2p，由24p=可知2p=；【小问2详解】直线AB恒过定点，定点坐标为()1,0，理由如下：设()()() 1122,,,,1,A x yB x y M a-，由题意可知直线,MA MB的斜率均存在，且不为0，120,0y y≠≠，设直线MA的方程为()11y k x x y=-+，与24y x=联立得()211440ky y y kx-+-=，由于直线MA为切线．故()11Δ16160k y kx=--=，又2114y x=，则2211440k y ky-+=，解得12ky=，所以直线()1112:MA y x x yy=-+，即()112yy x x=+，同理直线MB的方程为()222yy x x=+，又点()1,M a-在,MA MB上，所以()()11222121ay xay x⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，从而直线AB的方程为：()21ay x=-+，即220x ay--=，故直线AB恒过定点() 1,0．圆锥曲线中探究性问题解题策略：（1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数，参数并建立有关未知数，参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；（2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证也可.22. 已知椭圆C：()222210x ya ba b+=>>的右顶点到左焦点(),0F c-的距离与左焦点F到直线2axc=-的距离相等，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l过点F，且与坐标轴不垂直，与椭圆C相交于P，H两点，线段PH的垂直平分线与x轴交于点B．①当76BF=时，求直线l的倾斜角的正弦值；②求证：4PH BF=．【正确答案】（1）221 43x y+=（2；②证明见解析【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c的方程组，求得,,a b c的值，即可求解；（2）设直线l的方程为()1y k x=+，()()1122,,,P x y H x y，且线段PH的中点为M，联立方程组，得到221212228412,3434k kx x x xk k--+==++，求得22243,3434k kMk k⎛⎫-⎪++⎝⎭，得到线段PH的垂直平分线方程，求得22,034kBk⎛⎫-⎪+⎝⎭，①当67BF=时，列出方程求得1k=±，进而求得直线l的倾斜角的正弦值；②利用弦长公式，分别求得PH和BF的表达式，即可求解.【小问1详解】解：因为椭圆C的右顶点到左焦点(),0F c-的距离与左焦点F到直线2axc=-的距离相等，且过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为3，可得()2222223a a c c c ba b a c⎧⎛⎫--=---⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，解得2,1a b c ===，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】解：因为直线l 过点()1,0F -，且与坐标轴不垂直，所以设直线l 的方程为()()10y k x k =+≠，()()1122,,,P x y H x y ，且线段PH 的中点为M ，联立方程组()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22223484120k x k x k +++-=，则Δ0>，所以221212228412,3434k k x x x x k k --+==++，所以线段PH 的中点22243,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以线段PH 的垂直平分线方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k -=+，即22,034k B k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，①当67BF =时，则2261347k k -=+，解得1k =±，故倾斜角为π4或3π4，所以直线l的倾斜角的正弦值为π3πsinsin 44==．②证明：因为()22212134k PH x k +=-==+，且22223313434k k BF k k +=-=++，所以4PH BF =．知识方法总结：对于直线与圆锥曲线问题的求解策略：1、求解直线与圆锥曲线交点问题，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组，得到一元二次方程，结合根与系数的关系，进而进行求解；2、参数范围问题，①通常利用圆锥曲线的几何性质或联立方程组，转化为方程或利用判别式构造不等关系，从而确定参数的值或取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解答的核心是建立两个参数之间的等量关系，结合题设中的不等关系建立不等式，从而求得参数的取值范围；③转化为函数，结合函数的值域将待求参数表达为其他变量的函数，求得函数的值域，从而确定参数的取值范围.。

2022年河北省邯郸市高级中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 计算sin240°的值为（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：A【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简可得所给式子的值．【解答】解：sin240°=sin=﹣sin60°=﹣，故选：A．2. 两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为( )A．4 B．C．D．参考答案：D【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据两条直线平行的条件，建立关于m的等式解出m=2．再将两条直线化成x、y的系数相同，利用两条平行直线间的距离公式加以计算，可得答案．【解答】解：∵直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，∴，解得m=2．因此，两条直线分别为3x+y﹣3=0与6x+2y+1=0，即6x+2y﹣6=0与6x+2y+1=0．∴两条直线之间的距离为d===．故选：D 【点评】本题已知两条直线互相平行，求参数m的值并求两条直线的距离．着重考查了直线的位置关系、平行线之间的距离公式等知识，属于基础题．3. 中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程是（）A、B、C、D、参考答案：D4. 已知函数则是成立的（）A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件 D .既不充分也不必要条件参考答案：A5. 设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则下列哪个条件能推出m⊥β ()A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l B．n⊥α，n⊥β，m⊥αC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ参考答案：B6. 为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A.B.C.D.参考答案：B分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7. 等比数列中，，，则等于（ )A. B. C. D.参考答案：A略8. 把“二进制”数化为“五进制”数是（）A． B． C． D．参考答案：C无9. 以下说法错误的是（）A．推理一般分为合情推理和演绎推理B．归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理C．在数学中，证明命题的正确性既能用演绎推理又能用合情推理D．演绎推理经常使用的是由大前提、小前提得到结论的三段论推理参考答案：C【考点】F2：合情推理的含义与作用．【分析】根据归纳推理、类比推理、演绎推理、合情推理的定义，即可得到结论．【解答】解：推理一般分为合情推理和演绎推理，故A正确所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，是从特殊到一般的推理过程，故B正确在数学中，证明命题的正确性能用演绎推理但不能用合情推理，故C错误演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，故D正确，故选C．10. 下列函数中，最小值为的是（）A． B．C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数f(x)=x2+在区间上单调递增，则实数的取值范围是参考答案：略12. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线方程为。

河北省邯郸市2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________对于BC，设(0AG m m=££10．CD【分析】根据线面平行、线线平行与面面平行的性质定理及判定定理一一判断即可；【详解】解：对于A ：当且仅当m 与n 相交时，满足//a b ，故A 错误；对于B ：若m n ^，//m a ，//a b ，则//n b 或n b Ì，或n 与b 相交，故B 错误；对于C ：假设a 与b 不平行，即a 与b 相交，设l a b =I ，若l 与m 、n 不重合，由m a Ì，//m b ，所以//l m ，又n b Ì，//n a ，所以l //n ，所以//m n ，与m ，n 异面矛盾，故假设不成立，若l 与m 、n 中某一条直线重合，则直接可以得到//m n ，与m ，n 异面矛盾，故假设不成立，故C 正确；对于D ：若//a b ，m a ^，则m b ^，又//n b ，所以m n ^，故D 正确；故选：CD11．ABD【分析】对于A ，取CD 的中点N ，连接MN ，BN ，根据中位线定理可得//MN PD ，//BN DE ，由面面平行的判定定理可得平面//BMN 平面PDE ，再由线面平行的性质定理，即可判断A 是否正确．对于B ，计算MN ，BM ，BN ，在BMN V 中，由余弦定理即可判断B 是否正确，对于C ，取PD 中点G ，可得BMGE 为平行四边形，用反证法推出矛盾，即可判断C 是否正确．对于D ，当三棱锥P CDE -的体积最大时，平面PDE ^平面CDE ，再由线面垂直的判定定理可得CE ^平面1A DE ，再计算外接球的半径OE ，即可判断D 是否正确．答案第251页，共22页。