二倍角的正弦、余弦、正切习题1

成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。

如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。

1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。

卓越个性化教案GFJW0901典型例题题型3：二倍角的正弦、余弦、正切公式（一）直接利用公式（无条件）化简求值1=( )A．sin4cos4+B．sin4cos4--C．sin4D．cos42．设212tan13cos66,,21tan13a b c===+则有（）A.a b c>>B.a b c<<C.a c b<<D.b c a<<3．函数221tan21tan2xyx-=+的最小正周期是( )A．4πB．2πC．πD．2π4、cos10cos80sin20⋅=.5．求值：001001cos20sin10(tan5tan5)2sin20-+--6.sin124cos 2-的值．（二）带条件的题型化简求值7．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ）A .1925B .1625C .1425D .7258．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ）A ．247 B ．247-C ．724 D ．724-9、已知32,244x k k ππππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈，且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则co s 2x 的值是 （ ） A 、725-B 、2425-C 、2425D 、72510、已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-的值是 （ ） A 、56π-B 、23π-C 、 712π- D 、34π- 11．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+= 。

12、若tan2α=，则tan α= ；sin 2cos2αα-= .13．已知sin cos 22θθ+=那么sin θ的值为 ,cos 2θ的值为 。

14、已知1cos sin 21cos sin x xx x-+=-++，则sin x 的值为 （ ）A 、45B 、45-C 、35-D 、15、已知12sin 41342x x πππ⎛⎫⎛⎫+=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则式子cos 2cos 4xx π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A 、1013-B 、2413C 、513D 、1213-16．已知,135)4sin(,40=-<<x x ππ求)4cos(2cos x x+π的值。

第八课时 ●课 题§4.7.1 二倍角的正弦、余弦、正切(一) ●教学目标 (一)知识目标1.二倍角的正弦、余弦、正切公式： (1)sin2α＝2sin αcos α (α为任意角)(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α (α为任意角)＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α (3)tan2α＝),24,2(tan1tan 22Z ∈++≠-k k k ππππααα(二)能力目标1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明. (三)德育目标1.引导学生发现数学规律；2.让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用；3.培养学生的创新意识. ●教学重点1.二倍角公式的推导；2.二倍角公式的简单应用. ●教学难点理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数. ●教学方法让学生推导倍角公式，从而了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，从而加深对倍角公式的理解，同时培养逻辑推理能力.(启发诱导式) ●教具准备投影片二张第一张（§4.7.1 A ）：二倍角公式： sin2α＝2sin αcos α(α为任意角)cos2α＝cos 2α－sin 2α(α为任意角)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+≠+≠∈-=242tan 1tan 22tan 2ππαππααααk k k Z 利用sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α 还可变形为：cos2α＝2cos 2α－1或cos2α＝1－2sin 2α 第二张（§4.7.1 B ）： 练习题：1.已知cos α＝ｍ，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值.2.化简cos （θ＋15°）＋cos （θ－15°）－θ2cos 23Ⅰ.课题导入师：前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.生：先回忆和角公式sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β当α＝β时，sin （α＋β）＝sin2α＝2sin αcos α 即：sin2α＝2sin αcos α(S 2α)cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β当α＝β时cos （α＋β）＝cos2α＝cos 2α－sin 2α即：cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α )tan （α＋β）＝βαβαtan tan 1tan tan -+当α＝β时 tan2α＝αα2tan1tan 2-(打出投影片§4.7.1 A ，让学生对照). Ⅱ.讲授新课师：同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α还可以变形为：cos2α＝2cos 2α－1或：cos2α＝1－2sin 2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式Ｓ2α、C 2α中，角α可以是任意角；但公式T 2α只有当α≠2π＋ｋπ及α≠4π＋2πk （ｋ∈Ｚ）时才成立，否则不成立(因为当α＝2π＋ｋπ，ｋ∈Ｚ时，tan α的值不存在；当α＝4π＋2πk ，ｋ∈Ｚ时tan2α的值不存在).当α＝2π＋ｋπ（ｋ∈Ｚ）时，虽然tan α的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：即：tan2α＝tan2（2π＋ｋπ）＝tan （π＋2ｋπ）＝tan π＝0(2)在一般情况下，sin2α≠2sin α 例如：16sin2233sin=≠=ππ；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝ｋπ （ｋ∈Ｚ)时，sin2α＝2sin α＝0成立］.同样在一般情况下cos2α≠2cos α tan2α≠2tan α(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为 2α的2倍，将α作为2α的2倍，将2α作为4α的2倍，将3α作为23α的2倍等等.下面，来看一些例子：［例1］已知sin α＝135，α∈（2π，π），求sin2α，cos2α，tan2α的值.解：∵sin α＝135，α∈（2π，π）∴cos α＝－.1312)135(1sin122-=--=-α∴sin2α＝2sin αcos α＝2×169120)1312(135-=-⨯，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×169119)135(2=，tan2α＝.1191201191691691202cos 2sin -=⨯-=αα(打出投影片§4.7.1 B ，师生共同完成).师：1.题中cos α＝ｍ，由此虽不能确定sin α的值，但由于已知α所在象限，所以也可确定其符号，从而求解.生：解：∵cos α＝ｍ，α在第二象限.∴sin α＝221cos 1m-=-α∴sin2α＝2sin αcos α＝221m -·ｍ＝2ｍ21m - cos2α＝2cos 2α－1＝2ｍ2－1 tan2α＝12122cos 2sin 22--=m mm αα或由tan α＝m m 21cos sin -=ααtan2α＝1212tan1tan 2222--=-mmm αα师：2.分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.生：解：cos （θ＋15°）＋cos （θ－15°）－23cos2θ＝θθθ2cos 232)]15(2cos[12)15(2cos[1-︒-++︒++=1＋21［cos （2θ＋30°）＋cos （2θ－30°）］－23cos2θ=1＋21［cos2θcos30°–sin2θsin30°+cos2θcos30°+sin2θsin30°］－23cos2θ＝1＋21×2cos2θcos30°－23cos2θ＝1＋23cos2θ－23cos2θ＝1评述：二倍角公式的等价变形：22cos 1cos,22cos 1sin22αααα+=-=，可以进行“升（降）幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.Ⅲ.课堂练习生：(板演练习)课本P 44 1、3、4.解： 1.(1)2sin67°30′cos67°30′＝sin135°＝22(2)cos 28π－sin 28π＝cos 4π＝23(3)2cos 212π－1＝cos 6π＝23(4)1－2sin 275°＝cos150°＝－23(5)︒-︒5.22tan15.22tan 22＝tan45°＝1(6)sin15°cos15°＝21sin30°＝41(7)1－2sin 2750°＝cos1500°＝cos （4×360°＋60°）＝cos60°＝21(8)3300tan 150tan1150tan 22-=︒=︒-︒3.解：∵sin α＝0.8 α∈（0，2π）∴cos α＝0.6∴sin2α＝2sin αcos α＝0.96cos2α＝1－2sin 2α＝－0.28 4.解：∵tan α＝21∴tan2α＝34tan1tan 22=-ααⅣ.课时小结要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.Ⅴ.课后作业(一)课本P 47习题4.7 1、2. (二)1.预习课本P 43 例2、例3 2.预习提纲如何灵活应用二倍角公式进行化简、求值、证明? ●板书设计●备课资料1.若270°＜α＜360°，则α2cos 21212121++等于 ( )A.sin 2αB.cos2αC.－sin 2αＤ.－cos2α解：∵cos2α＝2cos 2α－1 cos α＝2cos22α－1∴ααα22cos2121)1cos2(212121212cos 21212121+=-++=++又∵270°＜α＜360° 135°＜2α＜180°∴原式＝2cos2cos)12cos2(2121cos 212122αααα-==-+=+答案：Ｄ2.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40° sin70°＝cos20° ∴原式＝21cos80°cos40°cos20°＝21×︒︒︒︒︒20sin 20sin 20cos 40cos 80cos︒⨯⨯︒︒⨯=︒⨯︒︒︒⨯=20sin 212180sin 80cos 2120sin 2140sin 40cos 80cos 2116120sin 212121160sin 21=︒⨯⨯⨯︒=3.求证：8cos 4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3证明：8cos 4θ＝8（cos 2θ）2＝8(22cos 1θ+)2＝2（cos 22θ＋2cos2θ＋1） ＝2（44cos 1θ+）＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3 ●教学后记。

第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式课后训练巩固提升1.已知x ∈(-2,0),cos x=5,则tan 2x 等于( ) A.724 B.-724C.24D.-247cos x=45,x ∈(-π2,0), 所以sin x=-35.所以tan x=-34. 所以tan2x=2tanx 1-tan 2x=2×(-34)1-(-34)2=-247,故选D .2.已知α是第三象限角,cos α=-513,则sin 2α等于( ) A.-12B.1213C.-120169D.120169α是第三象限角,且cos α=-513, 所以sin α=-1213.所以sin2α=2sin αcos α =2×(-1213)×(-513)=120169.3.若tan (α-π4)=2,则tan 2α等于( )A.-3B.34C.-34D.3tan (α-π4)=tanα-11+tanα=2, α=-3.所以tan2α=2tanα1-tan 2α=2×(-3)1-(-3)2=34.4.若f (x )=2tan x-2sin 2x 2-1sin x 2cos x2,则f (π12)的值为( )A.-4√3B.8C.4√3D.-4√3f (x )=2sinxcosx +2cosxsinx=2·sin 2x+cos 2xsinxcosx =4sin2x , 所以f (π12)=4sinπ6=8.5.已知sin 2α=35(π4<α<π2),tan(α-β)=12,则tan(α+β)等于( ) A.-2B.-1C.-1011D.-211因为π4<α<π2,所以π2<2α<π. 因为sin2α=35,所以cos2α=-45, 所以tan2α=-34.所以tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]=tan2α-tan (α-β)1+tan2αtan (α-β)=-34-121-34×12=-2.6.已知sin 2α=23,则cos 2(α+π4)= .2(α+π4)=1+cos(2α+π2)2=1-sin2α2=1-232=16.7.已知α为第二象限角,sin α=35,则tan 2α= .sin α=35,且α为第二象限角, 所以cos α=-√1-sin 2α=-45. 所以tan α=sinαcosα=-34. 所以tan2α=2tanα1-tan 2α=-247.-2478.若cos (π4-α)=35,则sin 2α= .sin2α=cos (π2-2α)=2cos 2(π4-α)-1, 又cos (π4-α)=35,所以sin2α=2×925-1=-725. -725:(1)cos π5·cos 2π5; (2)12-cos 2π8; (3)tan π12−1tanπ12.(1)cos π5·cos 2π5=2sin π5cos π5·cos2π52sinπ5=2sin2π5·cos 2π52×2sinπ5=sin4π54sinπ5=14.(2)2-cos 2π8=12(1-2cos 2π8)=-12cos π4=-√24. (3)tanπ12−1tanπ12=sinπ12cosπ12−cos π12sin π12=sin 2π12-cos 2π12sin π12cos π12=-2cosπ6sin π6=-2×√3212=-2√3.10.已知函数f (x )=cos 2x2-sin x2cos x2−12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域; (2)若f (α)=3√210,求sin 2α的值.因为f (x )=cos 2x2-sin x2cos x2−12=12(1+cos x )-12sin x-12=√22cos (x +π4), 所以函数f (x )的最小正周期为2π,值域为[-√22,√22]. (2)由(1)知f (α)=√22cos (α+π4)=3√210,所以cos (α+π4)=35.所以sin2α=-cos (π+2α)=-cos [2(α+π)]=1-2cos 2(α+π)=1-18=7.1.已知函数f (x )=cos 2x+2sin x cos x-sin 2x ,若f (2)=4,则sin 2α=( )A.-1B.732C.-716D.78f (x )=cos 2x+2sin x cos x-sin 2x=cos2x+sin2x ,所以f (α2)=sin α+cos α=34.所以两边平方得1+sin2α=916,所以sin2α=-716,故选C .2.在△ABC 中,若√3(tan B+tan C )=tan B tan C-1,则sin 2A 等于( ) A.-√3B.√32C.-12D.12△ABC 中,因为√3(tan B+tan C )=tan B tan C-1,所以tan(B+C )=tanB+tanC1-tanBtanC=-√33,所以B+C=150°.所以A=30°. 所以sin2A=sin60°=√32.3.已知α为第二象限角,sin α+cos α=√33,则cos 2α等于 ( )A.-√5B.-√59C.√59D.√53sin α+cos α=√33,∴(sin α+cos α)2=13.∴1+sin2α=13.∴sin2α=-23.∵α为第二象限角,∴cos α-sin α<0.又sin α+cos α>0,∴cos α<0,sin α>0,且|cos α|<|sin α|, ∴cos2α=cos 2α-sin 2α<0,∴cos2α=-√1-sin 22α=-√1-(-23)2=-√1-49=-√53.α,β均为锐角,且3sin α=2sin β,3cos α+2cos β=3,则α+2β的值为( ) A.π B.π2 C.2π3 D.π{sinα=23sinβ, ①cosα=1-23cosβ,② ①2+②2得cos β=13,代入②式,得cos α=79. 由α,β均为锐角,知sin β=2√23,sin α=4√29. 所以tan β=2√2,tan α=4√27, tan2β=2tanβ1-tan 2β=-4√27, tan(α+2β)=tanα+tan2β1-tanαtan2β=0.又α+2β∈(0,3π2),故α+2β=π.5.已知sin α+cos β=32,则cos 2α+cos 2β的取值范围是 .sin α+cos β=32,α+cos2β=1-2sin 2α+2cos 2β-1=2(sin α+cos β)(cos β-sin α)=3(cos β-sin α).由sin α+cos β=32,得cos β=32-sin α. 所以sin α∈[12,1].所以cos β-sin α=32-2sin α∈[-12,12]. 所以cos2α+cos2β∈[-32,32].-32,32]6.已知tan θ2=2,则1-cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ= .tan θ2=2,∴1-cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ=2sin 2θ2+2sin θ2cosθ22cos 2θ2+2sin θ2cos θ2=2sin θ2(sin θ2+cos θ2)2cos θ2(cos θ2+sin θ2)=tan θ2=2.7.已知3sin β=sin(2α+β),且α≠kπ2,α+β≠π2+k π(k ∈Z ),求证:tan(α+β)=2tan α.sin β=sin[(α+β)-α] +β)cos α-cos(α+β)sin α; sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α, 所以3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α =sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α, 即sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α.又因为α≠kπ2,α+β≠π2+k π(k ∈Z ), 所以cos α≠0,cos(α+β)≠0.所以等式的两边同除以cos(α+β)cos α, 得tan(α+β)=2tan α.8.已知cos α=-34,sin β=23,α是第三象限角,β∈(π2,π).(1)求sin 2α的值; cos(2α+β)的值.因为α是第三象限角,cos α=-34, 所以sin α=-√1-cos 2α=-√74.所以sin2α=2sin αcos α =2×(-√74)×(-34)=3√78. (2)因为β∈(π2,π),sin β=23, 所以cos β=-√1-sin 2β=-√53. 因为cos α=-34,所以cos2α=2cos 2α-1=2×916-1=18. 所以cos(2α+β)=cos2αcos β-sin2αsin β =18×(-√53)−3√78×23=-√5+6√724.。

第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式基础过关练题组一 利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题 1.(2020河南信阳高一下期末)求值:cos 2π12sin 2π12= ( ) A.1 B.12 C.116D.-122.(cos π12-sin π12)(cos π12+sin π12)的值为 ( )A.-√32 B.-12C.12D.√323.(2020浙江嘉兴高一下期末)计算:2tan30°1-tan 230°= ( ) A.√33B.√3-1C.√3D.√3+14.(2019福建福州八县(市)协作校高一上期末联考)下列各式中与√1-sin4相等的是 ( ) A.sin 2-cos 2 B.cos 2-sin 2 C.cos 2 D.-cos 25.(2020浙江宁波高一下期末)sin 2π12= ( ) A.2-√34B.2+√34C.34D.146.(多选)(2020山东潍坊安丘实验中学高一下期中)下列各式中,值为√32的是 ( ) A.2sin 15°cos 15° B.1-2sin 215° C.sin 215°+cos 215° D.3tan 15°1-tan 215°题组二 利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题 7.(2020福建泉州高一下期末)若sin α=13,则cos 2α= ( ) A.2√29B.79C.-79D.±4√298.(2020福建南平高一下期末)已知cos α=13,则cos(π+2α)的值为 ( ) A.-89B.-79C.89D.799.(2020天津河西高一上期末)已知cos α=35,α∈(-π2,0),则sin 2α= .10.(2020浙江宁波高一下期末)已知α为锐角,且sin α2+cos α2=2√105,则sin α= ,tan 2α= .题组三 二倍角的三角函数公式的综合运用11.(2020浙江温州新力量联盟高一下期末联考)已知tan (π4+A)=-3,则sin2Asin2A+cos 2A = ( ) A.35 B.-35C.45D.-4512.求证:cos 2(A +B )-sin 2(A -B )=cos 2A cos 2B.13.已知函数f (x )=2cos (x -π6),x ∈R . (1)求f (π)的值; (2)若f (α+2π3)=65,α∈(-π2,0),求f (2α)的值.能力提升练题组一 利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题 1.(2020黑龙江牡丹江一中高一上期末,)若tan π12·cos 5π12=sin 5π12-m sin π12,则实数m 的值为( )A.2√3B.√3C.2D.3 2.(2020北师大附中高一上期末,)计算√3cos10°-1sin170°的结果是( )A.-4B.-2C.2D.43.(2020辽宁沈阳东北育才学校高一下期中,)cos π5·cos 2π5= .4.()sin 50°(1+√3tan 10°)的值为 .5.()4cos 50°-tan 40°= .题组二 利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题 6.(2020山东潍坊高一下期末,)已知cos (θ-π4)=7√210,则sin 2θ= ( )A.-2425 B.-1225 C.1225D.24257.(2020辽宁沈阳铁路实验中学高一下期中,)对于锐角α,若sin (α-π12)=35,则cos (2α+π3)=( )A.2425 B.38 C.√28D.-24258.(2020北京交大附中高一下期末,)已知cos 2α=13,则cos 2(π2+α)-2cos 2(π-α)的值为 .9.(2020福建厦门高一下期末,)等腰三角形顶角的余弦值为513,则一个底角的正切值为 .10.(2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校高一上期末联考,)若9-cos2θcosθ+1=4,则(sin θ)2 015+(cos θ)2 016的值为 .11.(2020四川雅安高一上期末,)已知α,β为锐角,sin α=17,cos(α+β)=35.(1)求sin (2α-π2)的值; (2)求cos β的值.题组三 二倍角的三角函数公式的综合运用 12.(2020山东潍坊诸城高一下期中,)若cos2αsin(α-π4)=-√22,则cos α+sin α= ( )A.2B.1C.12 D.-1213.(2020辽宁省实验中学高一下期中,)已知a =1+tan 16°1-tan 16°,b =cos 330°,c =√1+cos 58°2,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c14.(2020天津南开中学高一上期末,)设0≤x <2π,且√1-sin2x =sin x -cos x ,则 ( )A.0≤x ≤π4B.π4≤x ≤5π4C.π4≤x ≤7π4 D.π2≤x ≤3π215.(多选)(2020河北石家庄二中实验学校高一上期末,)已知0<θ<π4,若sin 2θ=m ,cos 2θ=n ,且m ≠n ,则下列选项中与tan (π4-θ)恒相等的为 ( ) A.n1+m B.m1+n C.1-nm D.1-m n16.(2020北京东城高一上期末,)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(-35,45),将角α的终边绕原点逆时针旋转π4后得到角β.(1)求tan α的值;(2)求cos(α+β)的值.17.(2019浙江衢州五校高一期末联考,)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上.(1)求cos(2α+π4)的值;(2)已知α∈(0,π2),sin(β+π4)=√1010,-π2<β<0,求α-β的值.答案全解全析基础过关练1.C cos 2π12sin 2π12=14sin 2π6=116,故选C . 2.D 原式=cos 2π12-sin 2π12=cos π6=√32. 3.C 2tan30°1-tan 230°=tan 60°=√3,故选C .4.A √1-sin4=√(cos2-sin2)2=|cos 2-sin 2|,又2弧度角的终边在第二象限, ∴sin 2>0,cos 2<0,∴√1-sin4=sin 2-cos 2,故选A . 5.A sin2π12=1-cos π62=1-√322=2-√34,故选A .6.BD A 不符合,2sin 15°cos 15°=sin 30°=12;B 符合,1-2sin 215°=cos 30°=√32;C 不符合,sin 215°+cos 215°=1;D 符合,3tan 15°1-tan 215°=32·2tan 15°1-tan 215°=32·tan 30°=√32.故选BD . 7.B ∵sin α=13,∴cos 2α=1-2sin 2α=1-2×19=79.故选B . 8.D cos(π+2α)=-cos 2α=1-2cos 2α=1-2×(13)2=79.故选D .9.答案 -2425解析 因为cos α=35,α∈(-π2,0),所以sin α=-45,故sin 2α=2sin αcos α=-2425. 10.答案 35;247解析 因为sin α2+cos α2=2√105, 所以sin 2α2+2sin α2cos α2+cos 2α2=(2√105)2=85,所以1+sin α=85,所以sin α=35.因为α为锐角,所以cos α=√1-sin 2α=45,所以tan α=sinαcosα=34, 所以tan 2α=2tanα1-tan 2α=2×341-(34)2=247.11.C 由tan (π4+A)=-3得tan π4+tanA1-tan π4tanA=-3,即1+tanA1-tanA =-3,解得tan A =2,因为sin2Asin2A+cos 2A =2sinAcosA2sinAcosA+cos 2A =2sinA2sinA+cosA =2tanA2tanA+1,所以sin2Asin2A+cos 2A =2×22×2+1=45.故选C .12.证明 左边=1+cos (2A+2B )2-1-cos (2A -2B )2=cos (2A+2B )+cos (2A -2B )2=12(cos 2A cos 2B -sin 2A sin 2B +cos 2A ·cos 2B +sin 2A sin 2B )=cos 2A cos 2B =右边, ∴等式成立.13.解析 (1)f (π)=2cos (π-π6) =-2cos π6 =-2×√32=-√3. (2)因为f (α+2π3)=2cos (α+π2)=-2sin α=65,所以sin α=-35. 又α∈(-π2,0),所以cos α=√1-sin 2α=√1-(-35)2=45,所以sin 2α=2sin αcos α=2×(-35)×45=-2425, cos 2α=2cos 2α-1=2×(45)2-1=725.所以f (2α)=2cos (2α-π6) =2cos 2αcos π6+2sin 2αsin π6 =2×725×√32+2×(-2425)×12=7√3-2425. 能力提升练1.A 由tan π12cos 5π12=sin 5π12-m sin π12,得m sin π12cos π12=sin 5π12cos π12-cos 5π12·sin π12, 因此12m sin π6=sin (5π12-π12)=sin π3, 则14m =√32,即m =2√3,故选A . 2.A√3cos10°-1sin170°=√3cos10°-1sin (180°-10°)=√3cos10°-1sin10° =√3sin10°-cos10°sin10°cos10°=2(√32sin10°-12cos10°)sin10°cos10°=2sin (10°-30°)sin10°cos10°=-2sin20°12×2sin10°cos10°=-4sin20°sin20°=-4.故选A .3.答案 14解析 cos π5·cos 2π5 =2sin π5·cos π5·cos2π52sinπ5=sin 2π5·cos2π52sinπ5=2sin2π5·cos 2π54sinπ5=sin4π54sin π5=14.解题模板 对于给角求值问题,通常先考虑式子中三角函数的名称,以及三角函数式的运算结构,从中找出解题的突破口,如本题中的运算结构是余弦的乘积形式,且角具有倍数关系,故可将分子、分母同乘最小角的正弦值,连续运用二倍角公式求解. 4.答案 1解析 原式=sin 50°(1+√3sin10°cos10°)=sin 50°·cos10°+√3sin10°cos10°=2sin 50°·sin30°cos10°+cos30°sin10°cos10°=2cos40°sin40°cos10°=sin80°cos10°=1.5.答案 √3解析 4cos 50°-tan 40° =4sin40°cos40°-sin40°cos40°=2sin80°-sin40°cos40°=2cos10°-sin40°cos40°=2cos (40°-30°)-sin40°cos40°=2cos40°cos30°+2sin40°sin30°-sin40°cos40°=√3cos40°cos40°=√3.6.D 因为cos (θ-π4)=7√210, 所以sin 2θ=cos (2θ-π2)=cos [2(θ-π4)]=2cos 2(θ-π4)-1=2×4950-1=2425.故选D .7. D 由α为锐角,得-π12<α-π12<5π12,因为sin (α-π12)=35,所以cos (α-π12)=45,所以cos (2α+π3)=cos [2(α-π12)+π2]=-sin [2(α-π12)]=-2sin (α-π12)·cos (α-π12)=-2×35×45=-2425,故选D . 解题模板 在解决已知一个三角函数值求其他三角函数值的问题中,常用已知角表示未知角,如本题中的“2α+π3=2(α-π12)+π2”,由此利用相关公式解题,必要时可采用换元法(令θ=α-π12),找到未知角与已知角的关系. 8.答案 -1解析 ∵cos 2α=cos 2α-sin 2α=13,且sin 2α+cos 2α=1,∴sin 2α=13,cos 2α=23, ∴cos 2(π2+α)-2cos 2(π-α)=sin 2α-2cos 2α=13-2×23=-1.9.答案 32解析 设等腰三角形的顶角为A ,一个底角为B ,则B 与A2互余, 因为等腰三角形顶角的余弦值为513,所以cos A =513,所以0<A <π2,所以A2∈(0,π4),所以2cos 2A2-1=513, 所以2cos 2A 2=1813,因为A2∈(0,π4), 所以cos A2=√913=√13=sin B ,则sin A2=√13=cos B , 所以tan B =√132√13=32.10.答案 1 解析 ∵9-cos2θcosθ+1=10-2cos 2θcosθ+1=4,∴cos 2θ+2cos θ-3=0,解得cos θ=1或cos θ=-3(舍去), ∴sin 2θ=1-cos 2θ=0,即sin θ=0, ∴(sin θ)2 015+(cos θ)2 016=0+1=1.11.解析 (1)sin (2α-π2)=-cos 2α=2sin 2α-1=-4749. (2)∵α为锐角,sin α=17,∴cos α=√1-sin 2α=4√37. 易知α+β∈(0,π),且cos(α+β)=35, ∴sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=45. ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =35×4√37+45×17=4+12√335. 12.C ∵cos2αsin(α-π4)=-√22,∴cos 2α=-√22sin (α-π4) =-√22(sinαcos π4-cosαsin π4) =-√22(√22sinα-√22cosα) =12(cos α-sin α),∵sin (α-π4)=√22sin α-√22cos α≠0, ∴cos α-sin α≠0,又cos 2α=cos 2α-sin 2α=(cos α+sin α)·(cos α-sin α),∴(cos α+sin α)(cos α-sin α)=12(cos α-sin α),即cos α+sin α=12.故选C . 13.C 因为tan 45°=1,所以a =1+tan16°1-tan16°=tan45°+tan16°1-tan45°tan16°=tan 61°>tan 45°=1.b =cos 330°=cos(-30°+360°)=cos 30°.c =√1+cos58°2=√1+2cos 229°-12=√2cos 229°2=cos 29°.由y =cos x 的单调性可知1>cos 29°>cos 30°,所以tan 61°>tan 45°>cos 29°>cos 30°, 即a >c >b ,故选C . 14.B 依题意得√1-sin2x =√(sinx -cosx )2=|sin x -cos x |=sin x -cos x , ∴{0≤x <2π,sinx -cosx ≥0, 解得π4≤x ≤5π4.故选B .15.AD tan (π4-θ)=1-tanθ1+tanθ=cosθ-sinθcosθ+sinθ=(cosθ-sinθ)2cos 2θ-sin 2θ=1-2sinθcosθcos 2θ-sin 2θ=1-sin2θcos2θ=cos2θ1+sin2θ, ∴tan (π4-θ)=1-m n =n 1+m ,即A,D 符合. 选项B 中,m 1+n =sin2θ1+cos2θ=2sinθcosθ2cos 2θ=tan θ,选项B 不符合.同理选项C 不符合.故选AD .16.解析 (1)∵角α的顶点与坐标原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,45),∴tan α=45-35=-43.(2)由题意得β=α+π4.易得cos α=-35,sin α=45,∴sin 2α=2sin αcos α=-2425,cos 2α=2cos 2α-1=-725. ∴cos(α+β)=cos (2α+π4)=cos 2αcos π4-sin 2αsin π4=√22(cos 2α-sin 2α)=17√250. 17.解析 (1)依题意知tan α=2.cos (2α+π4)=√22(cos 2α-sin 2α)=√22·cos 2α-sin 2α-2sinαcosαcos 2α+sin 2α=√22·1-tan 2α-2tanα1+tan 2α =√22×1-4-41+4=-7√210.(2)∵α∈(0,π2),∴sin α=2√55,cos α=√55. ∵-π2<β<0,∴-π4<β+π4<π4,∵sin (β+π4)=√1010,∴cos (β+π4)=3√1010, ∴cos [α-(β+π4)]=cos αcos (β+π4)+sin αsin (β+π4)=√55×3√1010+2√55×√1010=√22. ∵α∈(0,π2),β+π4∈(-π4,π4),∴α-(β+π4)∈(-π4,3π4), ∴α-(β+π4)=π4,∴α-β=π2.。

二倍角的正弦、余弦、正切公式[学习目标] 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一 二倍角公式的推导(1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝12sin α； (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α. 思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答案 ∵cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二 二倍角公式的常用变形(1)sin 2α2sin α＝cos α，sin 2α2cos α＝sin α； (2)(sin α±cos α)2＝1±sin 2α；(3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2； (4)1－cos α＝2sin 2α2,1＋cos α＝2cos 2α2. 二倍角的余弦公式cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α变形较多，应用灵活．其中sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2也称作降幂公式，1－cos α2＝sin 2α2，1＋cos α2＝cos 2α2也称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．思考 函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12的最小正周期是 ． 答案 π解析 ∵f (x )＝32sin 2x ＋12(2cos 2x －1) ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.题型一 利用倍角公式化简求值例1 求下列各式的值． (1)cos π12cos 512π； (2)13－23cos 215°. 解 (1)原式＝cos π12·sin π12＝12sin π6＝14. (2)原式＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30° ＝－36. 跟踪训练1 求下列各式的值．(1)cos 72°cos 36°；(2)1sin 50°＋3cos 50°. 解 (1)cos 72°cos 36°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2(12cos 50°＋32sin 50°)12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4. 题型二 三角函数式的化简或证明例2 求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4 A ＝右边，∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .跟踪训练2 化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ. 解 方法一 原式＝(1－cos 2θ)＋sin 2θ(1＋cos 2θ)＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(cos θ＋sin θ)＝tan θ.方法二 原式＝(sin θ＋cos θ)2－(cos 2θ－sin 2θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)－(cos θ－sin θ)](sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)]＝2sin θ2cos θ＝tan θ. 题型三 利用二倍角公式给值求值例3 已知sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16，且α∈(π2，π)，求sin 4α的值． 解 ∵(π4＋α)＋(π4－α)＝π2， ∴sin(π4－α)＝cos(π4＋α)． ∵sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16， ∴2sin(π4＋α)cos(π4＋α)＝13， ∴sin(π2＋2α)＝13，∴cos 2α＝13. 又∵α∈(π2，π)，∴2α∈(π，2π)． ∴sin 2α＝－1－cos 22α＝－223， ∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－429. 跟踪训练3 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值．解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x . ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4， ∴π4＋x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1213， ∴原式＝2×1213＝2413.合理配凑、巧用倍角公式求解例4 求cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11的值． 分析 添加“sin π11”及系数2，创造条件，注意重复使用倍角公式． 解 原式＝－cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π11 ＝－24sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π1124sin π11 ＝－sin 16π11cos 5π1124sin π11＝sin 5π11cos 5π1124sin π11＝12·sin 10π1124sin π11＝sinπ1125sin π11＝132.1.12sin π12cos π12的值等于( ) A.14 B.18 C.116D.122．sin 4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.323.2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α等于( ) A ．tan 2α B ．tan α C ．1 D.124．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，则sin 2x ＝ . 5．求值：sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.一、选择题 1．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247 D ．－2472．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.233．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13 B ．－79 C.13 D.794．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－125．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是( ) A.459 B.259 C ．－459 D ．－2596．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( ) A ．－105 B.105 C ．－155 D.155二、填空题7．2sin 222.5°－1＝ .8．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .9．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝ . 10．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是 ． 三、解答题11．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值．12．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α.13．求值：sin 2α＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α.当堂检测答案1.答案 B解析 原式＝14sin π6＝18. 2．答案 B解析 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 3.答案 A解析 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 4．答案 －2425解析 sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos 2[(x －π4)]＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫2102－1＝－2425. 5．解 ∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.课时精练答案一、选择题1．答案 D解析 cos x ＝45，x ∈(－π2，0)，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×(－34)1－(－34)2＝－247，故选D. 2．答案 A解析 因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos[2⎝⎛⎭⎫α＋π4]2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A. 3．答案 B解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)] ＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79. 4．答案 A解析 ∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12. ∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－121＋⎝⎛⎭⎫－12＝3.5．答案 A解析 设底角为θ，则θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，顶角为π－2θ. ∵sin θ＝53，∴cos θ＝1－sin 2θ＝23. ∴sin(π－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×53×23＝459.6．答案 C解析 ∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15， ∴cos θ<0，cos θ＝－15. ∵5π4<θ2<32π，∴sin θ2<0. ∵sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝－155. 二、填空题7．答案 －22解析 原式＝－cos 45°＝－22. 8．答案 116解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 9．答案 3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2 ＝tan θ2＝3. 10．答案 2解析 ∵f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 三、解答题11．解 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725， sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 原式＝1＋2(cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4)cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145. 12．解 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0， ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6. 13．解 原式＝1－cos 2α2＋1－cos ⎝⎛⎭⎫23π＋2α2＋ 1－cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α2＝32－12cos 2α－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫23π＋2α＋cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α ＝32－12cos 2α－cos 2π3·cos 2α ＝32－12cos 2α＋12cos 2α＝32.。

1.设f (tan x )＝tan2x ，则f (2)的值等于( )A.45B ．－43C ．－23D ．4解析：选B.由f (tan x )＝tan2x ＝2tan x 1－tan 2x 可知f (x )＝2x 1－x 2， ∴f (2)＝2×21－22＝－43. 2.(2011·高考辽宁卷)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( ) A ．－79B ．－19 C.19 D.79解析：选A.sin(π4＋θ)＝22(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin2θ)＝19，∴sin2θ＝－79. 3.函数f (x )＝sin x (1＋tan x tan x 2)的最小正周期为______________________________． 解析：f (x )＝sin x ·1＋2tan 2x 21－tan 2x 2＝sin x ·1＋tan 2x 21－tan 2x 2＝sin x ·sin 2x 2＋cos 2x 2cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x cos x＝tan x . ∵目标函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2且x 2≠k π＋π2，k ∈Z ， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2且x ≠2k π＋π，k ∈Z . 显然有f (0)＝0，而f (π)无意义，∴T ＝2π.答案：2π4.已知α为第二象限的角，sin α＝35，则tan2α＝__________． 解析：由于α为第二象限的角，且sin α＝35，∴cos α＝－45.∴tan α＝－34，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×（－34）1－（－34）2＝－321－916＝－247.答案：－247[A 级 基础达标]1.已知sin2α＝－2425，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α＝() A ．－15 B.15C ．－75 D.75解析：选B.∵α∈(－π4，0)，∴sin α＋cos α>0，(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝1－2425＝125，∴sin α＋cos α＝15.2.函数y ＝2cos 2x 的一个单调增区间是( )A ．(－π4，π4)B ．(0，π2)C ．(π4，3π4)D ．(π2，π)解析：选D.y ＝2cos 2x ＝2·1＋cos2x 2＝1＋cos2x .由2k π－π<2x <2k π，得k π－π2<x <k π，k ∈Z.当k ＝1时，π2<x <π. 3.(2012·沧州质检)1sin10°－3sin80°的值是( ) A ．1B ．2C ．4 D.14解析：选C.cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2（12cos10°－32sin10°）sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4. 4.已知tan x ＝2，则tan[2(x －π4)]＝__________． 解析：tan[2(x －π4)]＝tan(2x －π2)＝sin （2x －π2）cos （2x －π2）＝－cos2x sin2x ＝－1tan2x ＝－1－tan 2x 2tan x ＝－1－222×2＝34. 答案：345.1＋cos100°－1－cos100°＝__________．解析：原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos50°－sin50°)＝2(22cos50°－22sin50°) ＝2sin(45°－50°)＝－2 sin5°. 答案：－2sin5°6.已知：tan(α＋π4)＝－12(π2＜α＜π)． (1)求tan α的值；(2)求sin2α－2cos 2α2sin （α－π4）的值． 解：(1)由tan(α＋π4)＝－12，得1＋tan α1－tan α＝－12， 解得tan α＝－3.(2)sin2α－2cos 2α2sin （α－π4）＝2sin αcos α－2cos 2αsin α－cos α＝2cos α. 因为π2＜α＜π且tan α＝－3，所以cos α＝－1010，所以原式＝－105. [B 级 能力提升]7.设π<α<3π2，sin α＝－45，则sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值为( ) A ．20 B ．－20C ．4D ．－4解析：选A.∵π<α<32π，sin α＝－45，∴cos α＝－35. ∴sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos αcos 2α＋1－2sin 2α＝（－45）2＋2×（－45）×（－35）（－35）2＋1－2×（－45）2＝20. 8.已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )A. 2 B ．－22 C ．2D.2或－22 解析：选B.由题意得2tan θ1－tan 2θ＝－22， 解得tan θ＝－22或tan θ＝ 2. 又π<2θ<2π， 则π2<θ<π， 所以有tan θ＝－22. 9.若cos(x ＋π6)＝－513，则sin(π6－2x )的值是________． 解析：sin(π6－2x )＝－sin(2x －π6) ＝cos[π2＋(2x －π6)]＝cos(2x ＋π3) ＝2cos 2(x ＋π6)－1 ＝2×(－513)2－1＝－119169. 答案：－11916910.求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ.证明：原式变形为1＋sin4θ－ cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)，①而①式右边＝tan2θ(1＋cos4θ＋sin4θ)＝sin2θcos2θ(2cos 22θ＋2sin2θcos2θ) ＝2sin2θcos2θ＋2sin 22θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边，∴①式成立，即原式得证．11.(2012·重庆调研)已知向量a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，函数f (x )＝a ·B.(1)求f (x )的最大值及相应的x 值；(2)若f (θ)＝85，求cos2(π4－2θ)的值． 解：(1)因为a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，所以f (x )＝1＋sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)＋1. 因此，当2x －π4＝2k π＋π2(k ∈Z)， 即x ＝k π＋3π8(k ∈Z)时， f (x )取得最大值2＋1.(2)由f (θ)＝1＋sin2θ－cos2θ及f (θ)＝85得 sin2θ－cos2θ＝35，两边平方得1－sin4θ＝925， 即sin4θ＝1625. 因此，cos2(π4－2θ)＝cos(π2－4θ)＝sin4θ＝1625.。

专题4二倍角的三角函数（一）二倍角的正弦S 2α：sin2α＝2sin αcos α（二）二倍角的余弦C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；（三）二倍角的正切T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α；公式应用的条件：α≠24k ππ+且α≠k π＋2π(k ∈Z )，当α＝k π＋2π(k ∈Z )时，tan α不存在，求tan2α的值可采用诱导公式（四）二倍角公式的逆用、变形1.逆用形式：2sin αcos α＝sin2α；sin αcos α＝12sin2α；cos α＝sin2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝cos2α；2tan α1－tan 2α＝tan2α．2.变形用形式：1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；1＋cos2α＝2cos 2α；1－cos2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos2α2；sin 2α＝1－cos2α2．题型一公式的正用【典例1】（2022春·江苏南京·高一南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知()0,απ∈，1tan 2α=，则cos2α＝（）A ．15B ．35C ．45D ．1225【典例2】（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知向量3sin ,2,1,1cos a b αα=-=-，若2a b ⋅=-，则tan2α=（）A ．1213-B ．613-C ．125-D ．65-【典例3】（2022春·江苏徐州·高一校考竞赛）求sin sin sin 181818的值.由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．题型二公式的逆用【典例4】（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）设212tan13cos 66,,21tan 13a b c ︒=︒-︒==-︒则有（）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b<<D ．b<c<a正确的是（）A ．tan 25tan 3525tan 35︒+︒+︒⋅︒=B ．22ππ1cos sin 12122-=C ．2tan22.51tan45tan 22.52︒=︒-︒D．12sin10=(1)求值()4sin 67cos 27sin 23cos 27tan 40-- ；(2)已知ππ1sin sin 634αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ,32α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α的值当出现（或可化成）公式右端结构形式时，注意“逆用”公式，简化解题过程.题型三公式的变用【典例7】（2023秋·重庆沙坪坝·=（）A ．1BCD 122122212212222sin cos sin cos π，Z sin cos sin cos sin θθθθθk θθθθθ⎛⎫+-+++=≠∈ ⎪+++-⎝⎭．【典例9】（2023·江苏·高一专题练习）已知cos 2,252θθπ=<<．(1)求tan θ的值；(2)求22cos sin 24θθπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2．题型四三角函数式化简问题【典例10】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）化简：1cos15sin15·sin170cos15sin15⎫︒+︒-⎪⎪︒︒-︒⎝⎭____.sin21tan tan2ααα⎛⎫+=⎪⎝⎭__．︒-︒cos40sin501︒+︒︒1.三角公式化简求值的策略(1)使用倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型五三角恒等式证明问题【典例13】（2023·江苏·高一专题练习）证明：ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【典例14】（2023·江苏·高一专题练习）求证：tan 1sin 2cos 2ααα=++【典例15】（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）（1）化简：cos()2sin sin αβαβ--；（2）求证：1sin cos sin 1sin cos 1cos θθθθθθ+-=+++．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023·江苏·高一专题练习）1sin cos ,sin25ααα+=-=（）A ．2425-B ．2425C ．1225D ．1225-2．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知2sin 2cos24θ+=，则sin 2θ=A ．1516-B ．1516C ．34-D ．34tan 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．512B ．43-C ．34D ．43A ．0B ．2cos αC π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭D π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭5．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）若51sin 123⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα，则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．9B ．9-C ．79D ．79-sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．25B ．25-C ．65D ．65-7．（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）已知0,απ∈，且sin cos 5αα-=，则22sin2cos sin ααα=-（）A ．247B ．12C ．12-D ．247-，且，则α=（）A ．9B ．18C ．27oD ．36o【答案】D【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到()cos 29sin 9α+=，结合090α<< 得到29909α+=- ，求出α.【详解】因为()()sin181sin 22sin 9cos 91sin 2αα+=+，所以()22cos 9cos 22sin 9cos 91sin 2αα=+，整理得：cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα=+ ，cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα-= ，()cos 29sin 9α+= ，因为090α<< ，所以929189α<+< ，所以29909α+=- ，解得：36α= 故选：D.二、多选题9．（2022春·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考期中）下列等式成立的是（）A ．22cos 15sin 15-B ．sincos 882ππ=C ．1sin 4040sin 702=D ．tan152=10．（2022春·江苏徐州·高一统考期中）已知sin cos 5αα+=，以下选项正确的是（）A ．24sin 225α=±B ．7sin cos 5αα-=±C ．7cos 225α=±D ．447sin cos 25αα-=±11．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）24cos 20︒=___________.12.（2022春·江苏盐城·高一统考期中）若(,2)2απ∈_____．13．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知tan 2θ=-π02θ<<.(1)求tan θ；(2)求22cos sin 12π4θθθ+-⎛⎫- ⎪⎝⎭.14．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）（1）已知2sin sin 22α=-，求sin cos cos2ααα+的值；（2）已知ππ22x -<<，1sin cos 5x x +=，则2sin22sin 1tan x x x+-．15．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量()()sin ,1,3,cos m n αα=-=-，其中,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥ ．(1)求tan α和sin 2α的值；(2)若sin()αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β的值．16．（2022春·江苏盐城·高一盐城中学校考期中）已知向量()cos ,sin a αα=，122b ⎫=-⎪⎪⎝⎭，02πα<<．(1)若a b ⊥时，求sin 21cos 2αα+的值；(2)若a b -= sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．。

2019-2020学年高一数学必修四校本作业课题：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (一)班级_______姓名________座号________1.求值：（1）1－2sin 222.5°＝ ；解 原式＝22. （2）sin π8cos π8＝ ； 解 原式＝24. （3）12－cos 2π8＝ ； 解析 原式＝12⎝⎛⎭⎫1－2cos 2π8＝－12cos π4＝－24. （4）1－tan 275°tan 75°＝ ； 解 1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3. （5）sin 4π12－cos 4π12＝ 解析 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. （6）cos 20°cos 40°cos 80°＝ .解 原式＝12sin 20°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝12sin 20°·sin 40°·cos 40°cos 80° ＝122sin 20°sin 80°cos 80°＝123sin 20°·sin 160°＝sin 20°23sin 20°＝18. 2．已知α∈(0，π2)，2sin2α＝cos2α＋1，则sin α＝( ) A.15B.55C.33D.255解析：依题意得4sin αcos α＝2cos 2α，由α∈(0，π2)，知cos α>0， 所以2sin α＝cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋4sin 2α＝1，即sin 2α＝15. 又α∈(0，π2)，所以sin α＝55，选B. 答案：B3．已知等腰三角形底角的余弦为23，则顶角的正弦值是( ) A.259B.459 C ．－459D ．－259答案 B解析 ∵sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝2×1－⎝⎛⎭⎫232×23＝459. 4．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2，则cos 2α等于( ) A ．－35 B.35 C ．－45 D.45考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式题点 利用公式求二倍角余弦值答案 D解析 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2，解得tan α＝13， 则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－191＋19＝45.故选D. 5．1＋cos 100°－1－cos 100°等于( )A ．－2cos 5°B ．2cos 5°C ．－2sin 5°D ．2sin 5° 考点 利用二倍角公式化简求值题点 利用余弦的二倍角公式化简求值答案 C解析 原式＝2cos 250°－2sin 250°＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝⎛⎭⎫22cos 50°－22sin 50° ＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.6．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6 D.112考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 B解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时，f (x )的最大值为5. 7．若cos α＋sin α＝23，则2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α的值为( ) A.59 B ．0 C ．－518 D ．－59考点 应用二倍角公式化简求值题点 利用二倍角公式化简三角函数式答案 D解析 ∵cos α＋sin α＝23，∴1＋2sin αcos α＝49， ∴2sin αcos α＝－59. ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＋11＋tan α＝2×22(sin 2α－cos 2α)＋11＋tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－59. 8．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sinθ＝( ) A.35 B.45 C.74 D.34答案 D解析 因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以cos2θ<0，所以cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sinθ＝34，选D. 9．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 4α的值为 ． 考点 利用二倍角公式化简求值题点 综合利用二倍角公式化简求值答案 －429解析 因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13，即cos 2α＝13， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则2α∈(π，2π)，所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223， 故sin 4α＝2sin 2α·cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－223×13＝－429. 10．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 －79解析 cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79. 11．已知θ∈(0，π)，且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝ . 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用二倍角公式求二倍角的正切值答案 －247解析 由sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210， 得22(sin θ－cos θ)＝210， 即sin θ－cos θ＝15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1， 得⎩⎨⎧ sin θ＝45，cos θ＝35或⎩⎨⎧ sin θ＝－35，cos θ＝－45.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以⎩⎨⎧ sin θ＝－35，cos θ＝－45不合题意，舍去，所以tan θ＝43， 所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×431－⎝⎛⎭⎫432＝－247. 三、解答题 12.试用两种不同的方法化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ. 解 方法一 原式＝(1－cos 2θ)＋sin 2θ(1＋cos 2θ)＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(cos θ＋sin θ) ＝tan θ.方法二 原式＝(sin θ＋cos θ)2－(cos 2θ－sin 2θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)－(cos θ－sin θ)](sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)] ＝2sin θ2cos θ＝tan θ. 13．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sinx 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解析 (1)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210，则sinx ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45. (2)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4故cosx ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35， sin2x ＝2sinxcosx ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2xcos π3＋cos2xsin π3＝－24＋7350.14．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x . (1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈(π2，π)，且f (α)＝22，求α的值． 解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x ＝cos2x sin2x ＋12cos4x ＝12sin4x ＋12cos4x ＝22sin(4x ＋π4)， 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22. (2)解法1：因为f (α)＝22，所以sin(4α＋π4)＝1. 因为α∈(π2，π) ， 所以4α＋π4∈(9π4，17π4)． 所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16. 解法2：因为f (α)＝22，所以sin(4α＋π4)＝1. 所以4α＋π4＝π2＋2k π，k ∈Z ， 即α＝k π2＋π16，k ∈Z . 因为α∈(π2，π)，故α＝9π16.。