第三章 3.3 3.3.3&3.3.4 点到直线距离公式 两平行线间的距离

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3 3.3.4 两条平行直线间的距离A级基础巩固一、选择题1．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于（ C )A．3 B．7 C．110D．错误![解析] 在3x＋4y－2＝0上取一点（0，错误!)，其到6x＋8y－5＝0的距离即为两平行线间的距离，d＝错误!＝错误!.2．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，6）、B（－4,3)、C(2，－3)，则点A到BC 边的距离为 ( B )A．错误!B．错误!C．错误!D．4错误![解析］BC边所在直线的方程为错误!＝错误!，即x＋y＋1＝0；则d＝错误!＝错误!.3．若点A（－3,－4)、B（6,3）到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( C ）A．错误!B．－错误!C．－错误!或－错误! D．错误!或13［解析］由题意及点到直线的距离公式得错误!＝错误!，解得a＝－错误!或－错误!。

4．若点P在直线3x＋y－5＝0上,且点P到直线x－y－1＝0的距离为错误!，则点P 的坐标为 ( C )A．（1，2) B．(2,1）C．(1，2)或(2,－1）D．(2,1)或(－1，2）[解析］设点P的坐标为（x0，y0），则有错误!,解得错误!或错误!.5．已知点A(1，3）、B(3,1)、C（－1，0)，则△ABC的面积等于（ C )A．3 B．4 C．5 D．6［解析］设AB边上的高为h，则S△ABC＝错误!|AB|·h.｜AB|＝错误!＝2错误!,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为错误!＝错误!，即x＋y－4＝0。

点C到直线x＋y－4＝0的距离为错误!＝错误!,因此，S△ABC＝错误!×2错误!×错误!＝5。

6．直线l垂直于直线y＝x＋1,且l在y轴上的截距为错误!，则直线l的方程是 ( A ) A．x＋y－错误!＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋错误!＝0［解析］方法1:因为直线l与直线y＝x＋1垂直,所以设直线l的方程为y＝－x＋b，又l 在y 轴上截距为错误!，所以所求直线l 的方程为y ＝－x ＋错误!，即x ＋y －错误!＝0.方法2:将直线y ＝x ＋1化为一般式x －y ＋1＝0,因为直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，可以设直线l 的方程为x ＋y ＋c ＝0,令x ＝0，得y ＝－c ，又直线l 在y 轴上截距为错误!，所以－c ＝错误!，即c ＝－错误!，所以直线l 的方程为x ＋y －错误!＝0。

3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离目标定位 1.会求两条直线的交点坐标.2.理解两条直线的平行、相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.3.掌握平面上两点间的距离公式并会应用.自 主 预 习1.两条直线的交点已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行.若方程组有无穷多个解，则两条直线重合. 2.过定点的直线系方程已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P (x 0，y 0)，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过点P 的直线系，不包括直线l 2. 3.两点间的距离平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式 |P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.两点间距离的特殊情况(1)原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.即 时 自 测1.判断题(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组.(√)(2)两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交的充要条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.(√) (3)方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，表示经过直线l 1：∴A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的所有直线.(×)(4)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.(√)提示 (3)无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2. 2.直线x ＝1与直线y ＝2的交点坐标是( )A.(1，2)B.(2，1)C.(1，1)D.(2，2)答案 A3.已知M (2，1)，N (－1，5)，则|MN |等于( ) A.5B.37C.13D.4解析 |MN |＝（2＋1）2＋（1－5）2＝5. 答案 A4.已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________.解析 l 1与l 2相交则有：a 4≠36，∴a ≠2.答案 a ≠2类型一 两直线的交点问题【例1】 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程.解 法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2，2).∵直线过坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1. 故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.规律方法 (1)方法一是解方程组方法，思路自然，但计算量稍大，法二运用了交点直线系，是待定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0，0)不能在直线2x ＋y ＋2＝0上.否则，会出现λ的取值不确定的情形.(2)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0可表示过l 1、l 2交点的所有直线； ②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0不能表示直线l 2.【训练1】 求经过直线l 1：x ＋3y －3＝0，l 2：x －y ＋1＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程.解 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴直线l 1与l 2的交点坐标为(0，1)，再设平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程为2x ＋y ＋C ＝0， 把(0，1)代入所求的直线方程，得C ＝－1， 故所求的直线方程为2x ＋y －1＝0. 法二 设过直线l 1、l 2交点的直线方程为x ＋3y －3＋λ(x －y ＋1)＝0(λ∈R )，即(λ＋1)x ＋(3－λ)y ＋λ－3＝0，由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53， 所以所求直线方程为83x ＋43y －43＝0，即2x ＋y －1＝0.类型二 两点间距离公式的应用(互动探究)【例2】 已知△ABC 三顶点坐标A (－3，1)、B (3，－3)、C (1，7)，试判断△ABC 的形状. [思路探究]探究点一 如何判断三角形的形状？提示 判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.探究点二 从哪几个方面分析三角形的形状？提示 在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或满足勾股定理. 解 法一 ∵|AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， |AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， 又|BC |＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |，∴△ABC 是等腰直角三角形.法二 ∵k AC ＝7－11－（－3）＝32，k AB ＝－3－13－（－3）＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB .又|AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， |AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， ∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形.规律方法 1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.【训练2】已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标.解设点P的坐标为(x，0)，由|PA|＝10，得（x－3）2＋（0－6）2＝10，解得：x＝11或x＝－5.所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0).类型三坐标法的应用【例3】证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.证明如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)，因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2).所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.规律方法坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴.【训练3】已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).∴|AC |＝（b －0）2＋（c －0）2＝b 2＋c 2，|BD |＝（a －b －a ）2＋（c －0）2＝b 2＋c 2.故|AC |＝|BD |. [课堂小结]1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.1.直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A.(4，1)B.(1，4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.答案 C2.经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( )A.2x ＋y －8＝0B.2x －y －8＝0C.2x ＋y ＋8＝0D.2x －y ＋8＝0解析 首先解得交点坐标为(1，6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0. 答案 A3.已知点A (－2，－1)，B (a ，3)，且|AB |＝5，则a 的值为________. 解析 由题意得（a ＋2）2＋（3＋1）2＝5，解得a ＝1或a ＝－5.答案 1或－54.求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程.解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.∵所求直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝－3，根据点斜式可得y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.基 础 过 关1.已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12C.3D.2解析 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－（－1）]2＋（4－0）2＝42，|CB |＝（3－5）2＋（4－6）2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.答案 D2.两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( ) A.－24 B.6 C.±6 D.24解析 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.答案 C3.以A (5，5)，B (1，4)，C (4，1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形解析 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形.故选B.答案 B4.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________. 解析 设A (x ，0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2， 即A (4，0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5. 答案 2 55.若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是________.解析 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋62＋3k ，y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限，故x >0，y >0，解得k >33.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 6.在直线l ：3x －y ＋1＝0上求一点P ，使点P 到两点A (1，－1)，B (2，0)的距离相等. 解 法一 设P 点坐标为(x ，y )，由P 在l 上和点P 到A ，B 的距离相等建立方程组⎩⎨⎧3x －y ＋1＝0，（x －1）2＋（y ＋1）2＝（x －2）2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以P 点坐标为(0，1).法二 设P (x ，y )，两点A (1，－1)、B (2，0)连线所得线段的中垂线方程为x ＋y －1＝0.① 又3x －y ＋1＝0，②解由①②组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以所求的点为P (0，1).7.求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.证明 法一 对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0，令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0得两条直线的交点坐标为(2，－3).将点(2，－3)代入直线方程，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).法二 将已知方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.由于m 取值的任意性，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).能 力 提 升8.已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互为垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( ) A.24B.20C.0D.－4解析 由垂直性质可得2m －20＝0，m ＝10.由垂足可得⎩⎪⎨⎪⎧10＋4p －2＝0，2－5p ＋n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－2，n ＝－12.∴m －n＋p ＝20. 答案 B9.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895B.175C.135D.115解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135.答案 C10.过点P (3，0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，则此直线l 的方程是________.解析 法一 显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意，当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，将此方程分别与l 1，l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3），2x －y －2＝0和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3），x ＋y ＋3＝0. 解得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1，∵P (3，0)是线段AB 的中点，∴x A ＋x B ＝6，即3k －2k －2＋3k －3k ＋1＝6，解得k ＝8. 故直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二 设l 1上的点A 的坐标为(x 1，y 1)， ∵P (3，0)是线段AB 的中点， ∴l 2上的点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－y 1－2＝0，（6－x 1）＋（－y 1）＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝113，y 1＝163.∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫113，163，由两点式可得l 的方程为8x －y －24＝0.答案 8x －y －24＝011.已知直线l 1过点A (2，1)，B (0，3)，直线l 2的斜率为－3且过点C (4，2). (1)求l 1，l 2的交点D 的坐标； (2)已知点M (－2，2)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，72，若直线l 3过点D 且与线段MN 相交，求直线l 3的斜率k 的取值范围.解 (1)∵直线l 1过点A (2，1)，B (0，3)，∴直线l 1的方程为y －13－1＝x －20－2，即y ＝－x ＋3.∵直线l 2的斜率为－3且过点C (4，2)， ∴直线l 2的方程为y －2＝－3(x －4)，即y ＝－3x ＋14.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋14，y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－52，即l 1，l 2的交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫112，－52. (2)由题设知k MD ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－2－112＝－35.k ND ＝72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52152－112＝3.因为过点D 的直线与线段MN 相交，故直线l 3的斜率k 的取值范围为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－35∪[3，＋∞).探 究 创 新12.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|PA |＋|PB |为多少？解 如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |.因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值.设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3，6). 所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3811，y ＝3611.所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611. 故供水站应建在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611处， 此时|PA |＋|PB |＝|A ′B |＝（3－4）2＋（6－0）2＝37.。

§3.3 抛物线3．3.1 抛物线及其标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程． 导语通过前面的学习可以发现，如果动点M 到定点F 的距离与M 到定直线l (不过点F )的距离之比为k ，当0<k <1时，点M 的轨迹为椭圆；当k >1时，点M 的轨迹为双曲线．一个自然的问题是：当k ＝1时，即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离相等时，点M 的轨迹会是什么形状？ 一、抛物线的定义问题1 利用信息技术作图，如图所示，F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是直线l 上任意一点，过点H 作MH ⊥l ，线段FH 的垂直平分线m 交MH 于点M ，拖动点H ，点M 随之运动，你能发现点M 满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？提示 点M 随着点H 运动的过程中，始终有|MF |＝|MH |，即点M 与定点F 的距离等于它到定直线l 的距离，点M 的轨迹形状与二次函数的图象相似． 知识梳理1．定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．2．焦点：定点F . 3．准线：定直线l . 注意点：(1)“一动三定”：一动点M ；一定点F (即焦点)；一定直线l (即准线)；一定值1(即动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为1)．(2)若点F 在直线l 上，点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线．问题2 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？提示 我们取经过点F 且垂直于直线l 的直线为x 轴，垂足为K ，并使原点与线段KF 的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy .设|KF |＝p (p >0)，那么焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线l 的方程为x ＝－p2.设M (x ，y )是抛物线上任意一点，点M 到准线l 的距离为d .由抛物线的定义，抛物线是点的集合P ＝{M ||MF |＝d }． 则M 到F 的距离为|MF |＝⎝⎛⎭⎫x －p 22＋y 2，M 到直线l 的距离为⎪⎪⎪⎪x ＋p 2， 所以⎝⎛⎭⎫x －p 22＋y 2＝⎪⎪⎪⎪x ＋p 2，将上式两边平方并化简，得y 2＝2px (p >0)． 知识梳理图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0) ⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px (p >0) ⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2x 2＝2py (p >0) ⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0) ⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2注意点：(1)p 的几何意义是焦点到准线的距离．(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x 或y )的取值范围．例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．解(1)因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，；则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝16若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝92.故所求抛物线的标准方程为y2＝－12＝－9y.3x或x(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p＝3，所以p＝6，2此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，p＝4，所以p＝8，2此时抛物线的标准方程为y2＝16x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.反思感悟用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．跟踪训练1 (1)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________． 答案 2 x ＝－1解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________． 答案 x 2＝10y 和x 2＝－10y解析 设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y . 二、抛物线定义的应用例2 (1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 A解析 ∵14＋x 0＝54x 0，∴x 0＝1.(2)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P ，点(0,2)和抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(2－0)2＝172.延伸探究1．若将本例(2)中的点(0,2)改为点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值． 解 将x ＝3代入y 2＝2x ，得y ＝±6.所以点A 在抛物线内部．设点P 为其上一点，点P 到准线(设为l )x ＝－12的距离为d ，则|P A |＋|PF |＝|P A |＋d .由图可知，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值是72.即|P A |＋|PF |的最小值是72.2．若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l 1：3x －4y ＋72＝0，求点P 到直线3x －4y ＋72＝0的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值． 解 如图，作PQ 垂直于准线l 于点Q ，|P A 1|＋|PQ |＝|P A 1|＋|PF |≥|A 1F |min .|A 1F |的最小值为点F 到直线3x －4y ＋72＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪3×12＋7232＋(－4)2＝1.即所求最小值为1.反思感悟 抛物线定义的应用实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．跟踪训练2 (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 1，若点A (2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________． 答案 4解析 把点(2，－4)代入抛物线y 2＝2px ，得16＝4p ，即p ＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A 到焦点的距离为4.(2)设点A 的坐标为(1，15)，点P 在抛物线y 2＝8x 上移动，P 到直线x ＝－1的距离为d ，则d ＋|P A |的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由题意知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，点P 到准线x ＝－2的距离为d ＋1，于是|PF |＝d ＋1，所以d ＋|P A |＝|PF |－1＋|P A |的最小值为|AF |－1＝4－1＝3. 三、抛物线的实际应用问题例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面上的部分高0.75 m ，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m 时，小船开始不能通航．反思感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3 某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h ，跨径为a ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A.a 28h B.a 24h C.a 22h D.a 2h答案 A解析 如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系Oxy .设抛物线为x 2＝－2py (p >0)，结合题意可知，该抛物线经过点⎝⎛⎭⎫a 2，－h ，则a 24＝2hp ，解得p ＝a 28h，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p ＝a 28h.1．知识清单： (1)抛物线的定义．(2)抛物线的标准方程的四种形式． (3)抛物线定义的应用．2．方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归． 3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式．1．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是( )A ．x ＝132B ．x ＝12C ．y ＝2D ．y ＝4答案 C解析 将y ＝－18x 2化为标准方程x 2＝－8y ，由此可知准线方程为y ＝2.2．已知抛物线y ＝2px 2过点(1,4)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A ．(1,0) B.⎝⎛⎭⎫116，0 C.⎝⎛⎭⎫0，116 D ．(0,1) 答案 C解析 由抛物线y ＝2px 2过点(1,4)，可得p ＝2， ∴抛物线的标准方程为x 2＝14y ，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116，故选C. 3．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．答案 y 2＝16x解析 ∵双曲线的方程为x 216－y 29＝1，∴右顶点的坐标为(4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 则p2＝4，即p ＝8， ∴抛物线的标准方程为y 2＝16x .4．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M 的坐标为________． 答案 (－9,6)或(－9，－6)解析 由抛物线方程y 2＝－2px (p ＞0)， 得其焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0， 准线方程为x ＝p2.设点M 到准线的距离为d ， 则d ＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10，得p ＝2，故抛物线方程为y 2＝－4x . 由点M (－9，y )在抛物线上，得y ＝±6， 故点M 的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．课时对点练1．准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．x 2＝－2y答案 B解析 由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p > 0)， 则(－2)2＝2p ，解得p ＝1，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x .2．(多选)经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程可以为( ) A ．y 2＝x B ．x 2＝8y C ．x 2＝－8y D ．y 2＝－8x 答案 AC解析 若抛物线的焦点在x 轴上， 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， 又因为抛物线经过点P (4，－2)， 所以(－2)2＝2p ×4， 解得p ＝12，所以抛物线的方程为y 2＝x . 若抛物线的焦点在y 轴上， 设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)， 又因为抛物线经过点P (4，－2)， 所以42＝－2p ×(－2)，解得p ＝4， 所以抛物线的方程为x 2＝－8y .3．过点A (3,0)且与y 轴相切的圆的圆心轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线 D ．抛物线 答案 D解析 由题意可知，动圆的圆心到点A 的距离与到y 轴的距离相等，满足抛物线的定义，故应选D.4．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝±8x答案 D解析 由题意知，抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .5．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.115 D.3716答案 A解析 易知直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线，如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为PF 的长度，其中F (1,0)为抛物线y 2＝4x 的焦点．由图可知，距离和的最小值即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|42＋(－3)2＝2.6．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为 2 m ，镜深0.25 m ，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点( )A ．0.5 mB ．1 mC ．1.5 mD ．2 m 答案 B解析 若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，集光板端点A (1,0.25) ，代入抛物线方程可得2×0.25p ＝1，p ＝2，所以抛物线方程为x 2＝4y ，故焦点坐标是F (0,1)．所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝33x ，且一个焦点在抛物线y 2＝8x 的准线上，则该双曲线的方程为___________．答案 x 23－y 2＝1 解析 ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝33x ， ∴b a ＝33，① ∵抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，该双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝8x 的准线上，∴c ＝2，而c ＝a 2＋b 2， ∴a 2＋b 2＝4，②由①②，得a 2＝3，b 2＝1，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. 8．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上的一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.答案 8解析 如图，∠AFE ＝60°，因为F (2,0)，所以E (－2,0)，则|AE ||EF |＝tan 60°， 即|AE |＝43，所以点P 的坐标为(6,43)，故|PF |＝|P A |＝6＋2＝8.9．根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5.解 (1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p 2＝－3， ∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .10．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上两点A ，B 且AB ⊥y 轴，OA ⊥OB ，△AOB 的面积为16，求抛物线C 的方程．解 不妨设点A 在第一象限且A (m ，n )，则B (－m ，n )，可得m 2＝2pn ，AB ⊥y 轴，且OA ⊥OB ，即△AOB 为等腰直角三角形，则OA 的斜率为1，即m ＝n ，由△AOB 的面积为16，可得12·2m ·n ＝16， 解得m ＝n ＝4，p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .11．已知P 为抛物线y ＝x 2上的动点，A ⎝⎛⎭⎫0，14，B (1,2)，则|P A |＋|PB |的最小值为( ) A.32 B.74 C.94 D.52答案 C解析 由题意知，A 为抛物线的焦点．设点P 到准线y ＝－14的距离为d ， 则|P A |＋|PB |＝d ＋|PB |，d ＋|PB |的最小值为B 到准线的距离，故最小值为2＋14＝94. 当PB 垂直于准线时取最小值．12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( )A.72B.52C ．3D ．2 答案 C解析 过点Q 作QQ ′⊥l 于点Q ′，如图．∵FP →＝4FQ →，∴|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，∴|QF |＝|QQ ′|＝3.13．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又F (1,0)．由F A →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6. 14．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)答案 ②④解析 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足； 由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝⎛⎭⎫52，0，设过该焦点的直线的斜率存在，方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．15．已知P 为抛物线x 2＝12y 上一个动点，Q 为圆(x －4)2＋y 2＝1上一个动点，则点P 到点Q 的距离与点P 到x 轴距离之和的最小值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 D解析 由抛物线的方程可知焦点F (0,3)，则准线方程为y ＝－3，如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点A ，延长P A 交准线于点B ，设圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为点C .根据抛物线的定义可得|P A |＝|PB |－|AB |＝|PF |－|AB |，∴|P A|＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－|AB|＝|PF|＋|PQ|－3，∴当|P A|＋|PQ|最小时，则|PF|＋|PQ|最小，即F，P，Q(Q位于C，P之间)三点共线时，|P A|＋|PQ|最小，∴(|PF|＋|PQ|)min＝|FC|－|QC|＝32＋42－1＝4，∴(|P A|＋|PQ|)min＝(|PF|＋|PQ|)min－3＝4－3＝1.16．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|P A|＋d的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．解(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|P A|＋|PF|的最小值．如图，连接AF，交抛物线于点P，此时|P A|＋d最小，最小值为22＋12＝ 5.(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±23，因为23>2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.。

3.3几种典型晶体的结合分散的原子相互结合成晶体的根本原因在于这些原子结合起来后整个系统具有更低的能量。

在结合过程中，有一定的能量W 释放出来，称为晶体的结合能。

如果以分散的原子作为计量相互作用势能的零点，则 -W 就是结合成晶体后系统的相互作用势能。

各种不同的晶体，其结合力的类型和大小是不同的。

但是在任何晶体中，两个原子之间的相互作用力或相互作用势与它们之间距离的关系在定性上是相同的。

晶体中原子的相互作用可以分为两大类，即吸引作用和排斥作用。

吸引作用是异性电荷之间的库仑引力，排斥作用是由于同性电荷之间的库仑斥力和泡利原理引起的排斥。

在某一适当的距离，两种力平衡，晶格处于稳定状态。

两个原子的相互作用势能通常可以用幂函数描述：()n m rBr A r u +-= (3.3.1)此处r 为两个原子之间的距离，A, B, m, n 皆为大于零的常数，第一项表示吸引能，第二项表示排斥能。

由势能u (r )可以计算相互作用力：()()drr du r f -= (3.3.2)图3.3.1 两个原子之间的相互作用力或相互作用势与它们之间距离的关系相互作用力为零时晶格最稳定，由此可以决定原子之间的平衡距离r 0：()00=⎪⎭⎫⎝⎛r dr r du (3.3.3)内能是晶体体积的函数，设开始原子相距很远，逐渐被压缩相互靠近，体积逐渐缩小，系统的相互作用势能U 逐渐下降，体积缩小到一定程度时，相互作用势能达到极小值。

这时如果再压缩系统，排斥的作用转变为主要的，相互作用势能将上升。

根据功能原理，系统温度不变时外界作功p (-dV )等于相互作用势能的增加dU ：dVdUp -= (3.3.4)在一般情况下，晶体受到的仅是大气压力p 0，由于数量级为大气压的压力对一般固体体积的影响很小，因此可以近似看作零。

由上式得：00≈=-p dVdU(3.3.5) 这个关系确定了平衡晶体的体积。

体积弹性模量的定义为：0V dV dp V B ⎪⎭⎫⎝⎛-= (3.3.6)其中p 为压力，V dV /-为相对体积变化。