有限元第二章(2)

第二章有限元法的基本原理1. 引言有限元法(Finite Element Method, FEM)是一种数值分析方法，用于解决工程和科学领域中的复杂物理问题。

它通过将连续的物理领域离散化成许多小元素，通过求解代表元素之间关系的离散方程来近似解决原问题。

本章将介绍有限元法的基本原理。

2. 有限元法的基本思想有限元法的基本思想是将复杂的问题分割成更小的、易于处理的部分，通过求解这些部分的解，并通过它们之间的关系来得到整体解。

在有限元法中，将连续问题离散化为有限元模型，分为以下几个步骤：2.1 建立几何模型首先，根据实际问题建立几何模型。

几何模型可以是二维或三维的，通常使用节点和单元表示。

节点表示模型中的离散点，单元表示连接节点的几何形状。

2.2 确定节点自由度每个节点都有与之关联的自由度，它们是用来表示节点状态的参数。

常见的自由度有位移、温度等。

2.3 建立单元和节点之间的关系根据单元类型和节点连接关系，建立单元与节点之间的关系。

通常，一个单元由若干个节点组成。

2.4 建立元素刚度矩阵根据单元类型和材料参数，建立元素刚度矩阵。

2.5 建立整体刚度矩阵利用单元刚度矩阵和节点关系，建立整体刚度矩阵。

整体刚度矩阵由元素刚度矩阵按照节点自由度的排列组成。

2.6 施加边界条件和载荷根据实际问题，施加边界条件和载荷。

边界条件可以是位移、力或温度等。

2.7 求解方程通过将边界条件和载荷应用于整体刚度矩阵，可以得到未知节点的解答。

3. 有限元法的优缺点3.1 优点•适用于复杂几何形状和复杂边界条件的问题。

有限元法可以通过将问题离散化为小元素来逼近实际几何形状和边界条件。

•高精度的数值解。

有限元法通过增加节点数量和使用高阶元素可以得到更精确的数值解。

•灵活性。

有限元法可以灵活地处理不同类型的物理问题，例如结构力学、热传导、电磁场等。

3.2 缺点•需要大量的计算资源。

有限元法需要求解大型稀疏矩阵，这导致了计算资源的要求较高。

2 弹性力学问题的有限单元法思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。

2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。

2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。

而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。

2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。

矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。

矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。

因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。

2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？ 答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。

计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。

2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。

在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。

若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。

2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。

第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。

经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。

从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。

它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。

通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。

在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。

尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。

通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。

2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。

3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。

4）有限元的收敛性和误差估计。

由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。

另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。

§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。

2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。

第二章 有限元分析基本理论有限元法的基本思路是将一个连续求解区域分割成有限个不重叠且按一定方式相互连接在一起的子域(单元)，利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。

单元内的场函数通常由未知场函数或其导数在单元各个节点的数值和其插值函数来近似表示。

这样，未知场函数或其导数在各个节点上的数值即成为未知量(自由度)。

根据单元在边界处相互之间的连续性，将各单元的关系式集合成方程组，求出这些未知量，并通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到全求解域上的近似解。

有限元将一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题进行求解。

如果将区域划分成很细的网格，也即单元的尺寸变得越来越小，或随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断被改进。

如果单元是满足收敛要求的，近似解最后可收敛于精确解。

2.1 有限元分析的基本概念和计算步骤首先以求解连续梁为例，引出结构有限元分析的一些基本概念和计算步骤。

如图2-1，连续梁承受集中力矩作用。

将结构离散为三个节点，两个单元。

结构中的节点编号为1、2、32.1.1单元分析在有限元分析过程中，第一步是进行结构离散，并对离散单元进行分析，分析的目的是得到单元节点的力与位移的关系。

单元分析的方法有直接法和能量法，本节采用直接法。

从连续梁中取出一个典型单元e ，左边为节点i ，右边为节点j 。

将节点选择在支承点处，单元两端只产生转角位移e i θ、ej θ，顺时针转动为正。

独立的单元杆端内力为弯矩i m 、j m ，顺时针为正。

记：{}e j i eu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=θθ为单元e 的节点位移向量；{}ej i em m f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=为单元e 的杆端力向量。

根据结构力学位移法可得如下平衡方程：⎪⎭⎪⎬⎫+=+=e j e e i e e j ej e e i e e i k k m k k m θθθθ22211211 (2-1)式中：ee e e ee i k k i k k 2412212211====，lEIi e =，EI 、l 分别为单元e 的抗弯刚度和长度。

第二章有限元方程的求解方法有限元方法是一种用于求解微分方程的数值近似方法，它将求解域（问题的区域）分割成许多小的子域，通过在每个子域上建立适当的数学模型，将微分方程转化为代数问题进行求解。

在有限元方法中，关键的一步是建立数学模型，即选择合适的试验函数空间和相应的权函数。

常用的有限元方法有有限元法和有限差分法，这两种方法都是在数学模型的基础上进行离散化处理，然后用有限元方程求解方法求解代数问题。

有限元法是一种建立在小区域上近似表示的方法，它将整个求解域分割成许多小的子域，每个子域内选取适当的试验函数来近似表示原问题的解。

这样，原问题就可以表示为求解子域上的代数问题。

有限元法的关键是选择适当的试验函数和权函数。

试验函数是用来近似表示原问题的解，而权函数则是用来衡量试验函数与原问题解之间的误差。

通常，试验函数和权函数都是在每个子域上选取的多项式函数。

有限差分法是一种将原问题的微分方程转化为代数方程的方法。

在有限差分法中，求解域被分割成格点，并在这些格点上定义函数的值。

通过使用各个格点上的函数值及其邻域的函数值，可以近似表示微分方程中的导数项。

然后，将微分方程转化为代数方程进行求解。

有限差分法的关键是选择合适的差分格式，这决定了在每个格点上求解代数方程时所使用的邻域函数值。

无论是有限元法还是有限差分法，最后都需要用数值算法求解得到的代数方程。

常用的数值算法有直接法和迭代法。

直接法是一种直接求解代数方程的方法，例如高斯消元法和LU分解法等。

迭代法是一种通过迭代求解逼近原问题解的方法，常用的迭代法有雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法等。

在使用有限元方法求解微分方程时，步骤通常包括：建立数学模型，选择合适的试验函数和权函数；将微分方程离散化处理，得到代数方程；选择适当的数值算法求解代数方程；对得到的数值解进行后处理，例如计算导数或积分等。

在实际应用中，有限元方法广泛应用于结构力学、流体力学、热传导等领域的求解。

第二章有限元分析基础有限元分析是一种常用的工程计算方法，在工程学科中被广泛应用。

本章将介绍有限元分析的基本概念和基础知识。

有限元分析是一种数值分析方法，用于求解复杂的物理问题。

它的基本思想是将一个连续的物体或结构离散化为有限数量的基本单元，通过在每个单元上进行计算，最终得到整个物体或结构的行为。

这些基本单元通过节点连接在一起，形成了一个有限元网格。

通过在每个节点上求解方程，可以得到整个物体或结构的应力、变形等相关信息。

在有限元分析中，有三个重要的步骤：建模、离散和求解。

建模是指将实际物体或结构转化为数学模型的过程。

在建模过程中，需要确定物体或结构的几何形状、边界条件和力学性质等。

离散是指将物体或结构划分为有限数量的基本单元。

常用的基本单元有三角形、四边形和六面体等。

离散过程中需要确定每个基本单元的几何属性和材料性质等。

求解是指在离散的基础上，通过求解节点上的方程，得到物体或结构的应力、变形等结果。

求解过程中，需要确定节点的位移和应变等参数。

有限元分析的基本假设是在每个基本单元内，应力和应变满足线性关系。

这意味着在小变形和小位移的情况下，有限元分析是有效的。

此外，为了提高计算精度，通常会增加更多的基本单元。

但是，增加基本单元数量会增加计算复杂度和计算时间。

因此，在实际应用中，需要根据问题的复杂程度和计算资源的限制进行权衡。

有限元分析广泛应用于各个领域，例如结构力学、热传导、电磁场、流体力学等。

在结构力学中，有限元分析可以用于求解静力学和动力学问题。

在热传导中，有限元分析可以用于求解温度分布和热流问题。

在电磁场中，有限元分析可以用于求解电荷和电场分布等。

在流体力学中，有限元分析可以用于求解流速和压力分布等。

总之，有限元分析是一种重要的工程计算方法，可以用于求解各种物理问题。

通过建模、离散和求解等步骤，可以得到物体或结构的应力、变形等结果。

有限元分析在工程学科中有着广泛的应用前景，对于工程设计和优化起着重要作用。

第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。

有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。

2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。

在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。

2.1.1 微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组12()()()0A A A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭u u u （在Ω内） （2-1）域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。

同时未知函数u 还应满足边界条件12()()()0B B B ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭u u u （在Γ内） （2-2）要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。

A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。

微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。

所以在以上两式中采用了矩阵形式。

以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：()()()0A k k q x x y yφφφ∂∂∂∂=++=∂∂∂∂ （在Ω内） （2-3）0()0q B k q n φφφφφ⎧-=Γ⎪=⎨∂-=Γ⎪∂⎩（在上）（在上） （2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k 是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度/K μ）；φ和q 是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n 是有关边界Γ的外法线方向；q 是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。

第二章有限元分析基本理论有限元分析是一种数值计算方法，广泛应用于结构分析、流体力学、热传导等工程领域。

它通过将连续的物理问题离散化为有限个简单的子问题，再通过数值方法求解这些子问题，最终得到原始问题的近似解。

有限元分析的基本理论包括三个方面：离散化、加权残差和求解方法。

首先是离散化。

离散化是指将原始的连续问题转化为离散的子问题。

有限元分析中常用的离散化方法是将求解区域分割成有限的子域，称为单元。

每个单元内部的场量（如位移、温度等）可以用其中一种函数近似表示。

离散化的关键是选择适当的单元形状和适量的节点，使得子问题的离散解能够较好地近似原问题的解。

接下来是加权残差方法。

加权残差方法是有限元分析的核心思想，用于构造子问题的弱型方程。

弱型方程是原始问题的一种积分形式，由应力平衡和边界条件推导而来。

在加权残差方法中，我们引入加权函数，将弱型方程乘以权函数，再对整个求解区域进行积分，从而将连续问题转化为离散问题。

通过选择合适的权函数，可以使得该离散问题具有良好的数学特性，比如对称、正定等。

最后是求解方法。

有限元分析的求解方法主要包括直接法和迭代法。

直接法适用于小型问题，通过对离散问题的系数矩阵进行直接求解，得到场量的离散解。

而迭代法适用于大型问题，通过迭代求解线性代数方程组，得到场量的近似解。

迭代法的常用算法有雅可比法、高斯-赛德尔法、共轭梯度法等。

在求解中还需要注意计算误差的控制和收敛性的判定。

除了这三个基本理论，有限元分析还有一些相关的概念和技术。

例如，网格生成用于生成离散化的单元网格；后处理用于对离散解进行可视化和数据分析；材料模型用于描述材料的本构关系。

这些概念和技术在具体的有限元分析应用中，有着重要的作用。

综上所述，有限元分析的基本理论包括离散化、加权残差和求解方法。

离散化将连续问题转化为离散子问题，加权残差方法用于构造子问题的弱型方程，求解方法用于求解离散问题。

掌握这些基本理论，对于理解和应用有限元分析方法具有重要意义。