高一数学竞赛练习

数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。

答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。

答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。

答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。

答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。

证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。

因此，该三角形为直角三角形。

2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。

解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(1) \)的值。

A. -2B. -1C. 0D. 12. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。

A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切3. 集合\( A = \{1, 2, 3\} \)，\( B = \{2, 3, 4\} \)，求\( A \cup B \)。

A. \( \{1, 2, 3, 4\} \)B. \( \{1, 2, 3\} \)C. \( \{2, 3, 4\} \)D. \( \{1, 4\} \)4. 已知等差数列的第1项为2，公差为3，求第5项的值。

A. 14B. 17C. 20D. 235. 已知正弦函数\( y = \sin x \)的周期为2π，求\( y = \sin 2x\)的周期。

A. πB. 2πC. 4πD. 8π6. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5，求三角形ABC的面积。

A. 6B. 9C. 12D. 157. 函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间(1, 2)上的单调性是？A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减8. 已知\( a^2 + b^2 = 13 \)，\( a + b = 5 \)，求ab的值。

A. 12B. 10C. 8D. 69. 已知\( \cos x = \frac{3}{5} \)，\( \sin x \)的值在区间[-1,1]内，求\( \sin x \)的值。

A. \( -\frac{4}{5} \)B. \( \frac{4}{5} \)C. \( -\frac{3}{5} \)D. \( \frac{3}{5} \)10. 已知\( \log_2 8 = 3 \)，求\( \log_{16} 8 \)的值。

A. \( \frac{3}{4} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{3}{2} \)D. \( \frac{4}{3} \)二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数\( h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( h(2) \)的值。

高一数学竞赛试题一、选择题1、若A={3，4，5}，B={1，2}，f为集合A到集合B的映射，则这样的映射f的个数为（）A、8个B、6个C、9个D、12个2、已知I=R，A={x||x－a|≤2}，B={x||x－1|≥3}且A∩B= ，则实数a的取值范围是（）A、0≤a≤2B、0<a<2C、0≤a≤1D、0<a<13、已知函数，则它的定义域是（）A、[-2,0)∪(0,2]B、C、D、(0,2]4、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在（－∞，0）上递增，n=f(a2+a+1)，则m，n的大小关系是（）A、m>nB、m<nC、a>0时，m>nD、不能确定5、设a、b、c 分别是方程的实数根，则（）A、a>b>cB、b>a>cC、b>c>aD、c>a>b6、已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)=a x－a－x＋2，且g(b)=a，则f(2)=（）A、a2B、2C、b>c>aD、c>a>b6、已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)=a x－a－x＋2，且g(b)=a，则f(2)=（）A、a2B、2C、D、7、数的大小顺序为（）A、a>b>cB、a<b<cC、a<c<bD、c<a<b8、如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中如果某人不亚于其它99人，就称它为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（）A、1个B、2个C、50个D、100个[答案]二、填空题9、如果质数p、q满足关系式3p＋5q=31，那么= ___________．10、非空集合则具备这样性质的集合s共有______个．11、若，则a0＋a2＋a4＋a6=______．12、一个学校中有2001个学生，每人都学习法语或西班牙语，其中学习西班牙语的学生数在总人数中所占的比例介于80%与85%之间；学习法语的学生数在总人数中所占的比例介于30%与40%之间，设两门都学的学生数的最小值为m，最大值为M，则M－m的值为_____________．[答案]三、解答题13、设－1≤x≤0，求函数y=2x＋2－3×4x的最大值及最小值．[解答]14、已知A={x|x2－7x＋10≤0}，B={x|x2＋ax＋b<0}，且A∩B≠,A∪B={x||x－3|<4≤2x}，写出集合s={x|x=a＋b}．[解答]15、设其中a i∈N(i=1,2,3,4,5)，a1<a2<a3 <a4<a5，且A∩B={a1,a4},a1+a4=10,又A∪B元素之和为224，求A．[解答]16、函数f(n)是定义在正整数集上，并取非负整数值，且对所有m，n，有f(m＋n)－f(m)－f(n)=0或1，以及f(2)=0，f(3)>0，f(9999)=3333，求f(1982)．[解答]。

高一数学竞赛试题（1）(注意:共有二卷,时间100分钟, 满分150)第一卷（本卷100分）一、选择题（每小题5分，共50分）1．下列结论中正确的是（ ）A ．{}{}3,2,1,00∈B ．{}无理数∈2C ．{}φ==0|2x xD ．{}{}等腰直角三角形等腰三角形∈2．若集合M={x │x 2-3x+2≥0}，N={x|5<x ,R x ∈}，则M ∩N 是（ ）A ．}15|{≤<-x x B. }52|{<≤x xC. }5215|{<≤≤<-x x x 或D. φ3．函数2-=x y 的图象是( )4. 一个教室的面积为x m 2, 其窗子的面积为y m 2, (x>y), 如果把y/x 称为这个教室的亮度, 现在教室和窗子同时增加z m 2, 则其亮度将( ) A. 增加 B. 减小 C. 不变 D. 不确定5．奇函数)()0,(,)(),0()(x f x x x f x f 上的则在上的表达式为在-∞+=+∞的 表达式为f(x)=( )A ．x x +- B ．x x -- C ．x x -+-D ．x x --- 6．函数()22--+=x x x f 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数7．已知x x 322-≤0，则函数f (x ) = x 2 +x +1 ( )A. 有最小值43, 但无最大值 B. 有最小值43, 有最大值1C. 有最小值1，有最大值419D. 以上选项都不对8. 方程ax 2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是（ ）A. 0<a ≤1B. a<1C. 0<a ≤1或a<0D. a ≤19. 已知)2(log ax y a -=在[0，1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为（） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（0，2） D ．),2[+∞ 10．若 02log 2log <<b a ，则( )A. 0＜a ＜b ＜1B. 0＜b ＜a ＜1C. a ＞b ＞1D. b ＞a ＞1二．填空题（每小题5分，共15分）11．数y=)1(log 21--x x 的定义域是____________________12．“若0)2)(1(=+-y x ，则21-==y x 或”的否命题是_________________________________________________13．函数y=1313+-x x 的反函数是______________________________三．解答题(共35分. 需要写出详细求解过程)14．（10分）（1）求函数4236)(22-++-=x x x x f 的定义域；（2）已知函数43)(-=x x f 的值域为[-1，5]，求函数)(x f 的定义域。

高一全国数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共10分）1. 下列哪个数不是有理数？- A. π- B. √2- C. 0.33333...（无限循环小数）- D. -1/32. 如果一个函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在这个区间上f(x)的值域为[c, d]，那么下列哪个选项是正确的？- A. f(a) = c- B. f(b) = d- C. f(a) ≤ c- D. f(x)在[a, b]上存在最大值和最小值二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(-1)的值。

2. 若a、b、c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是____。

3. 一个圆的半径为5，求该圆的面积。

三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

2. 解不等式：|x + 2| + |x - 3| ≥ 5。

四、综合题（每题25分，共50分）1. 某工厂生产一种产品，每件产品的成本为c元，售价为p元。

工厂每月固定成本为F元，每月生产x件产品。

求工厂的月利润函数，并讨论其增减性。

2. 在平面直角坐标系中，已知点A(-1, 2)和点B(4, -1)，求直线AB的方程，并求出该直线与x轴和y轴的交点坐标。

五、附加题（10分）1. 一个数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a_1 = 1，且对于所有n > 1，有a_n = 1/2(a_{n-1} + S_{n-1})。

求证：数列{a_n}是等差数列。

结束语数学竞赛不仅是一场智力的较量，更是一次思维的锻炼。

希望同学们能够通过练习这些题目，提高自己的数学素养和解题能力。

预祝大家在数学竞赛中取得优异的成绩！。

上海高一高中数学竞赛题目为了准确满足标题描述的内容需求，我将按照数学竞赛试题的格式给你写一篇关于上海高一高中数学竞赛的文章。

以下是正文：上海高一高中数学竞赛题目第一题：几何问题已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是线段BC、CD上的点，且满足BE = 3CF。

若四边形AEFD的面积为S，求S的值。

解析：首先，我们可以根据题意得知三角形BEA与三角形CFD是全等三角形，因为它们的两条边相等，所以它们的面积也相等。

又根据正方形的特性可知，三角形BEA和三角形CFD是等腰直角三角形，所以它们的面积可以通过直角边的平方除以2来求得。

设BE = x，则CF = (2 - x) / 3。

根据等腰直角三角形的面积公式，BEA的面积为 x^2 / 2，CFD的面积为 [(2 - x) / 3]^2 / 2。

由于AEFD是正方形ABCD减去三角形BEA和三角形CFD所得到的四边形，所以S = 2 - (x^2 / 2) - {[(2 - x) / 3]^2 / 2}。

将式子进行整理和计算，可得S = (5x^2 - 16x + 8) / 18。

第二题：函数问题已知函数f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c的图像经过点P(2, 2)，Q(3, 4)，R(4, 8)。

求函数f(x)的解析式。

解析：首先，我们将点P(2, 2)代入函数f(x)，可得 2 = 8 + 4a + 2b + c。

同理，将点Q(3, 4)代入函数f(x)，可得 4 = 27 + 9a + 3b + c。

再将点R(4, 8)代入函数f(x)，可得 8 = 64 + 16a + 4b + c。

通过解这个线性方程组，可以求得函数f(x)的解析式。

解方程组得到 a = -4, b = 2, c = -4，所以函数f(x)的解析式为 f(x) =x^3 - 4x^2 + 2x - 4。

第三题：概率问题若从一副完整的扑克牌中随机抽取两张牌，求这两张牌中至少有一张是红心的概率。

高一数学竞赛试题北京【试题一：代数问题】题目：已知函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中\( a \)，\( b \)，\( c \)为常数，且\( a \neq 0 \)。

若函数\( f(x) \)在\( x = 1 \)处取得极小值，求\( a \)，\( b \)，\( c \)之间的关系。

解答：首先，我们知道一个二次函数的极值点可以通过求导数来找到。

对于函数\( f(x) \)，其导数为\( f'(x) = 2ax + b \)。

由于\( x = 1 \)是极小值点，我们有\( f'(1) = 2a + b = 0 \)。

又因为极小值点处的导数为0，我们可以得出\( a \)和\( b \)之间的关系。

同时，我们可以利用极小值的定义，即\( f(1) \)是\( x \)在\( 1 \)附近的最小值，进一步确定\( a \)的符号。

由于\( a \)是二次项系数，它决定了函数的开口方向，而极小值意味着开口向上，所以\( a > 0 \)。

结合以上信息，我们可以得出\( b = -2a \)。

【试题二：几何问题】题目：在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB是斜边，且AC = 6，BC = 8。

求直角三角形ABC的周长。

解答：根据勾股定理，我们知道在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

即\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)。

将已知的AC和BC的值代入，我们得到\( AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)，所以\( AB = 10 \)。

直角三角形的周长是三边之和，所以周长为\( AC+ BC + AB = 6 + 8 + 10 = 24 \)。

【试题三：数列问题】题目：给定数列\( \{a_n\} \)，其中\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} =a_n + 2n \)。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。

8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。

9. 一个正六边形的内角和为 _______。

10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。

11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。

三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。

13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。

高一数学竞赛试题一．选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.）1、设集合Ａ＝{}43.21,,,a a a a ，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成集合{}8,5,3,1-=B ，则A ＝（ ）A ．{}6,2,1,3-B ．{}6,2,0,3-C ．{}6,2,1,1-D ．{}6,1,0,3- 2、等差数列{}n a 中，已知10573a a =，且01<a ，则前n 项和S n 中最小的是（ ） A ．S 7或S 8 B ．S 12 C ．S 13 D ．S 15 3、已知函数x a x f 3sin)(π=，a等于抛一骰子得到的点数，则)(x f y =在[0，4]上至少有5个零点的概率为（ ） A ．31 B ．21 C ．32 D ．654、若方程 04)1(2=++-x m x 在（0，3]上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为（ ） A ．（3，310） B ．[3，310） C ．[3，310] D ．（3，310]5、已知在半径为2的圆Ｏ上有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点，若ＡＢ＝ＣＤ＝2，ＡＢ、ＣＤ中点分别为O 1,Ｏ2，则△Ｏ2AB 的面积最大值为（ ） A ．32 B ．22 C ．3 D ．336、函数)123(log )(2-++-=a x ax x f a 对于任意的x ∈（0，1]恒有意义，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞0且a ≠1 B ．a ≥21且a ≠1 C ．a ＞21且a ≠1 D ．a ＞17、已知0＜α2＜090＜β＜0180，a ＝βαcos )(sin ，βαsin )(cos =b ，βαcos )(cos =c ，则a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b8、已知数列}{n a 满足1a ＝1，1321113121--+⋯⋯+++=n n a n a a a a ,2(≥n )*N n ∈，若100=k a ，则k 为（ ）A ．100B ．300C ．200D ．4009、设Ｐ为△AB Ｃ内一点，且ACAB AP 5152+=,则△ＰB Ｃ与△AB Ｃ的面积之比为（ ） A ．51 B ．53C ．54 D ．5210、若任意满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-03050y y x y x 的实数x ，y ，不等式222)()(y x y x a +≤+恒成立，则实数a 的最大值为（ ） Ａ.1322 B.1325 C. 2 D.2513二、填空题（每小题5分，共25分）11、如图，四边形ＡＢＣＤ中，Ａ＝60°, AD ⊥CD ，ＤＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝32，ＢＤ＝4，则BC 的长为 。

高一数学《函数与方程》竞赛试题第I 卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数2229,0()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2．（2021·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）已知函数()lg ,010=11,10x x f x x x ⎧<≤⎨-+>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）A ．()1，10B ．()111，C ．()1011，D ．()10+∞，3．（2022安徽·高一竞赛）已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)4．（2022浙江温州·高一竞赛）已知函数32log ,0()41,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（）.A ．-4B ．-3C ．-2D ．-15．（2022广东潮州·高一竞赛）已知()()20f x ax bx c a =++>，分析该函数图像的特征，若方程()0f x =一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A ．232ba<-<B ．240ac b -≤C ．()20f <D ．()30f <6．（2022湖南·衡阳市八中高一竞赛）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．1,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2022陕西渭南·高二竞赛）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]222,1,0()2,0,1x x f x x x ⎧--∈-⎪=⎨-∈⎪⎩且(2)()f x f x +=，52()2xg x x -=-，则方程()()f x g x =在区间[]37-,上的所有实根之和为（）A ．14B ．12C ．11D ．78．（2022河南·高三竞赛（理））已知函数lg ,0,()2,0,x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若关于x 的方程2()()10f x af x -+=有且只有3个不同的根，则实数a 的值为A ．2-B ．1C ．2D ．3二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f （x ＋2）＝－f (x )＋f (1)，且在区间[0，2]上是增函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 在[6,5)--上单调递增，在[5,4)--上单调递减D ．方程()0f x =在[0，2021]内有1010个根10．（2022·湖南衡阳·高二竞赛）已知函数()22,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则（）A ．()f x 的单调递减区间为()0,1B ．a 的取值范围是()0,2C ．123x x x 的取值范围是(]2,0-D ．函数()()()g x f f x =有4个零点11．（2022·山东德州·高二竞赛）对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（）A ．[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B ．x ∀∈R ，[]1x x <+C ．函数[]y x x =-的值域为［0，1）D ．方程22022[]20230x x --=有两个实数根12．（2022·辽宁高二竞赛）已知函数()221,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()()222g x f x mf x =-+，下列说法正确的是（）A ．()y f x =只有一个零点()1,0B ．若()y f x a =-有两个零点，则2a >C ．若()y f x a =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，则121=x x D ．若()g x 有四个零点，则32m >第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数()11||f x x x x +=-++，则方程()()21f x f x -=所有根的和是___________．14．（2022浙江高三竞赛）已知()f x 是偶函数，0x ≤时，()[]f x x x =-(符号[]x 表示不超过x 的最大整数)，若关于x 的方程()() 0f x kx k k =+>恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为__________．15．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，，，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是_________.16．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数22log (2),20()21,0x x f x x x x +-<≤⎧=⎨-+>⎩，若函数[]2()(())(1)(())()g x f f x a f f x R a a =-++∈恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是____________．四、解答题:本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022湖南·高三竞赛）已知二次函数2()163f x x x p =-++.（1）若函数在区间[1,1]-上存在零点，求实数p 的取值范围；（2）问是否存在常数(0)q q ≥，使得当[,10]x q ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12q -.（注：区间[,]a b ()a b <的长度为b a -）.18．（2022浙江高二竞赛）已知函数()2,,f x x ax b a b =++∈R ，(1)0f =．(1)若函数()y f x =在[0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)设()()()21212x xF x f a =-+--，若函数()F x 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围；19．（2022四川高一竞赛））已知函数()21log f x x =+，()2xg x =.(1)若()()()()()F x f g x g f x =⋅，求函数()F x 在[]1,4x ∈的值域；(2)若()H x 求证()()11H x H x +-=.求12320212022202220222022H H H H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(3)令()()1h x f x =-，则()()()()24G x h x k f x =+-，已知函数()G x 在区间[]1,4有零点，求实数k 的取值范围.20．（2022广东高一竞赛）已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎣⎦．(1)当2k =时，求函数()f x 在[0,)+∞的值域；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围．21．（2022·山西运城高二竞赛）已知函数()()44log 41log 2x x f x =+-，()142log 23x g x a a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.(1)若1x ∀∈R ，对[]21,1x ∃∈-，使得()221420x xf x m +≥-成立，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.22．（2022江苏盐城高一竞赛）若定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足()0a f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则称()f x 为“a 型”弱对称函数.(1)若函数sin ()ln 1x mf x x x +=-+为“1型”弱对称函数，求m 的值；(2)已知函数()f x 为“2型”弱对称函数，且函数()f x 恰有101个零点(1,2,...,101)i x i =，若1011i i x =∑>λ对任意满足条件函数()f x 的恒成立，求λ的最大值.高一数学《函数与方程》竞赛试题答案一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。

莆田一中2021-2022学年度下学期期初学科素养能力竞赛考试高一数学必修第一册一，单选题（本大题共8小题,每题5分,共40.0分）1. 已知集合{}1,0,1M =-,{}2N y y x ==,则M N = （ ）A. {}0 B. {}1,1- C. {}0,1 D. {}1,0,1-2. 已知点()sin ,tan P αα在第二象限,则角α地终边在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 方程3log 4x x =-一个实根所在地区间是A. ()2,3 B. ()3,4 C. ()5,6 D. ()6,74. 已知命题:,21x p x x ∃∈≤+N ,则命题p 地否定为（ ）A.,21x x x ∃∈>+N B.,21x x x ∃∈≥+N C. ,21x x x ∀∈≤+N D. ,21x x x ∀∈>+N 5 已知0.32=a ,0.43b =,0.2log 0.3c =,则（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D. b a c>>6. 函数21xy x =-地图象大约是（ ）A. B. C.D.7. 某地新能源汽车工厂2023年生产新能源汽车地年产量为260万辆,依据前期市场调研,为满足市场需求,以后每一年地产量都比上一年产量提高25%,那么该工厂到哪一年地产量才能首次超过800万辆（参考数据：lg1.250.097,lg1.30.11,lg 40.60≈≈≈）（ ）A. 2023年B. 2023年C. 2023年D. 2023年的.8. 设函数f(x)是定义在R 上地偶函数,且f(x ＋2)＝f(2－x),当x∈[－2,0]时,f(x)＝1x-,则在区间(－2,6)上有关x 地方程f(x)－log 8(x ＋2)＝0地解地个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二，多选题（本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出地四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对地得5分,部分选对地得2分,有选错地得0分）9. 若0a b <<则下面结论中错误地有（ ）A.11a b< B. 01a b << C. 2ab b > D.b a a b>10. 下面有关函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭表达正确地是（ ）A. 周期为π B. 增区间是5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. 图像有关点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 D. 图象有关直线23x π=对称11. +地值可能为（ ）A. 3B. 3- C. 1 D. 1-12. 已知函数3log (1),1()1,13xx x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩,下面结论正确是（ ）A. 若()1f a =,则4a =B. 202120202020f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 若()3f a ≥,则1a ≤-或28a ≥D. 若方程()f x k =有两个不同地实数根,则13k >三，填空题（本大题共4小题,共20.0分）13. 52cos 3π⎛⎫-⎪⎝⎭等于____________.14. 已知0x >,0y >,24xy x y =++,则x y +地最小值为______．15. 已知()f x 是定义在R 上地偶函数,且在区间(],0-∞上单调递增,若实数a 满足()(212a f f ->,的则a 地取值范围是______．16. 已知函数()4cos f x x =()[0,]x π∈图像与函数()15tan g x x =地图像交于A ,B 两点,则OAB （O 为坐标原点）地面积为_______．四，解答题（本大题共6小题,共70+6分）17. 化简与求值：（1）已知(),0x π∈-,1sin cos 5x x +=,求sin cos x x -地值。

高一数学竞赛试题一、单选题1．若集合A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{x |x 2＋2x <0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1}B ．{－1，0}C ．{－2，－1，0}D ．{－1，0，1} 2．对于任意0a >且1a ≠，函数()log (1)3a f x x =-+的图象必经过点（ ） A ．（4，2） B ．（2，4） C ．（2，3） D ．（3，2） 3．在ABC 中､角A ，B 均为锐角，cos sin A B >，则C ∠是（ ）A ．直角B ．锐角C ．钝角D ．不确定4．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 5．下列说法正确的是（ ）A ．若0a b >>，则b b m a a m+<+ B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b >>，则11a b b a +>+ D ．若,R a b ∈，则2a b +6．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 7．已知0.22a -=，ln3b =，0.2log 3c =，则（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a << 8．若关于x 的方程(||)1x x a +=有三个不同的实数解，则实数a 的可能取值（ ） A ．－5B ．－2C ．2D ．3二、多选题9．下列命题正确的是( )A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan α≥0，则k π≤α<π2 ＋k π(k ∈Z )C ．若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．当2k π<α<π4＋2k π(k ∈Z )时，sin α<cos α 10．已知函数)123f x =，则（ ） A ．()17f = B ．()225f x x x =+C ．()f x 的最小值为258- D ．()f x 的图象与x 轴只有1个交点 11．命题“x R ∀∈，则2x <”的一个必要不充分条件是（ ）A ．1x <B ．3x <C ．3x >D ．5x ≤12．设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则下列说法正确的是（ ）A ．41a b +的最小值为9B ．222a b +的最小值为23CD三、填空题 13.函数()f x =______.14． 3log 5lg5lg321-+=____________ 15．223(8)--⨯ __． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．四、解答题17．已知集合{}1A x x =≥，集合{}33,B x a x a a R =-≤≤+∈.（1）当4a =时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.18．已知α为第三象限角，且3sin cos tan()22()sin tan(2)2f ππαααπαπαπα⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（1）化简()f α；（2）若()f α=，求cos()πα+的值.19．已知函数2()21f x x ax =+-，[1,1]x ∈-.（1）若12a =，求函数()f x 的最值； （2）若a ∈R ，记函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 关于a 的函数解析式.20．已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件（025x <≤）并全部销售完，每千件的销售收入为()R x （单位：万元），且21108(010),3()17557(1025).x x R x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-++<≤⎪⎩（1）写出年利润()f x （单位：万元）关于年产量x （单位：千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）21．已知函数()y f x =的图像与()log (0a g x x a =>，且1)a ≠的图像关于x 轴对称，且()g x 的图像过点(9,2).(1)求函数()f x 的解析式；(2)若(31)(5)f x f x ->-+成立，求实数x 的取值范围.22．已知函数f(x)＝log a(2＋3x)－log a(2－3x)(a>0，a≠1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)当0<a<1时，求关于x的不等式f(x)≥0的解集．。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。

答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。

答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。

如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。

答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。

首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。

设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。

可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。

对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。

同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

目录四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题 4第一次考试题 四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题 8.第二次考试题 四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题 15.第三次考试题 高一竞赛数论专题1.整除高一竞赛数论专题 4.第一次考试题(满分180分)1.(满分40分)设p 是素数,,a b 是整数,(mod )p p a b p ≡,证明：2(mod ).p p a b p ≡2.(满分40分)设p 是奇素数,证明：11()!(1)!p k p p k k -=--∑.(其中!(1)21,n n n =-⋅约定0! 1.=)3.(满分50分)设2012333n n m d d d d =+⋅+⋅++⋅为一个正整数的平方,且{0,1,2},0,1,2,,.i d i n ∈=证明：至少有一个 1.i d =4.(满分50分)设p 是大于1的奇数,若4(1)!4(mod (2)).p p p p -+≡-+证明：,2p p +是孪生素数. (孪生素数是指相差为2的一对素数).高一竞赛数论专题4.第一次考试题解答(满分180分)1.(满分40分)设p 是素数,,a b 是整数,(mod )ppa b p ≡,证明：2(mod ).ppa b p ≡证明：因为p 是素数,所以由Fermat 小定理知道(mod ),(mod )ppa a pb b p ≡≡. 于是(mod ).a b p ≡20分从而,.a b pq q Z =+∈011222()()()p p p p p p p p p p p a b pq C b C b pq C b pq C pq --=+=++++.所以011122()(mod )p p p p p p p p b pq C b C bpq b b p q b p --+=+≡+≡ 所以2(mod ).p p a b p ≡40分2.(满分40分)设p 是奇素数,证明：11()!(1)!p k p p k k -=--∑.(其中!(1)21,n n n =-⋅约定0! 1.=)证明：因为(1)!(1)(2)((1))()!p p p p k p k -=-----又1(1)(2)((1))(1)(2)((1))(1)(1)!(mod ).k p p p k k k p -----≡----≡--于是1(1)!(1)()!(1)!(mod ).k p p k k p --≡---20分由Wilson 定理知(1)!1(mod ).p p -≡- 所以()!(1)!(1)(mod ).kp k k p --≡- 从而1111()!(1)!(1)0(mod )(1p p kk k p k k p p --==--≡-≡-∑∑是偶数).所以11()!(1)!p k p p k k -=--∑40分3.(满分50分)设2012333n n m d d d d =+⋅+⋅++⋅为一个正整数的平方,且{0,1,2},0,1,2,,.i d i n ∈=证明：至少有一个 1.i d =证明：因为2012333n n m d d d d =+⋅+⋅++⋅为一个正整数的平方,所以012,,,,n d d d d 不全为0.对于任意的,0,1,1(mod3)x x ≡-,所以20,1(mod3).x ≡ 所以00,1(mod3).m d ≡≡所以00d =或1.若00,d =则212333.n n m d d d =⋅+⋅++⋅从而3|.m 因为2*,.m t t N =∈所以23|.t 从而3|,t 于是23|.m于是13|d ,所以10.d =则222223333(33)n n n n m d d d d d -=⋅++⋅=+⋅++⋅ .于是22333n n d d d -+⋅++⋅是一个正整数的平方,按上面的推导方法可得20.d =如此下去,可以推导出0120.n d d d d =====(矛盾)若01d =,则结论成立. 所以0 1.d = 至少有一个 1.i d =4.(满分50分)设p 是大于1的奇数,若4(1)!4(mod (2)).p p p p -+≡-+证明：,2p p +是孪生素数. (孪生素数是指相差为2的一对素数).证明：引理 若(1)!1(mod ).p p -≡-则p 是素数.引理的证明：假设p 不是素数,则p 为合数,于是.p ab =其中1,.a b p <<于是,a b 必是1,2,,1m -中的某个数.若a b ≠,则|(1)!p p -矛盾.若a b =,则2.m a = 当2a >时,22a a >因为21,2,,1a -一定含有,2a a ,所以22|(1)!a a -矛盾.当2a =时, 4.p =所以(1)!3!1(mod ).p p -=≡/矛盾. 所以假设错误, p 是素数. 10分回到原题,因为4(1)!4(mod (2)).p p p p -+≡-+所以(2)|4(1)!4p p p p +-++.因为p 是奇数,所以(,2)(,2) 1.p p p +==于是|4(1)!4p p p -++且(2)|4(1)!4p p p +-++.因为|4(1)!4p p p -++,所以|4[(1)!1]p p -+,p 是奇数,(,4) 1.p =|(1)! 1.p p -+ 即(1)!1(mod ).p p -≡- 由引理知道p 是素数. 30分因为(2)|4(1)!4p p p +-++,所以(2)|4(1)!2p p +-+,p 是奇数,(,2) 1.p =(2)|2(1)! 1.p p +-+ 即2(1)!1(mod 2).p p -≡-+于是(1)(2)(1)!1(mod 2).p p ---≡-+也就是(21)(22)(1)!1(mod 2).p p p p +-+--≡-+ 即((2)1)!(1)!(1)(1)!1(mod 2).p p p p p p +-=+=+-≡-+ 由引理知道2p +是素数. 所以,2p p +是孪生素数. 50分高一竞赛数论专题 8.第二次考试题(满分180分)1.(满分40分)设k 是非负整数,记号||k a b 表示b 恰被a 的k 次方整除,即1|,.k k a b ab +设,m s 都是大于1的正整数,且2|| 1.sm -证明：对所有的正整数n 都有22||1nn s m +-成立.2.(满分40分)证明：对每个素数,p 有无穷多个正整数,n 使得|2.np n -3.(满分50分)证明：对于任意的正整数,k 120!(!)()!k j j k j k -=+∏为整数.4.(满分50分)以(,)S n p 表示(1)nx +的展开式中不可被p 整除的系数的个数. 证明：2017(2018,2017)S 可被2018整除.高一竞赛数论专题 7.第二次考试题解答1.(满分40分)设k 是非负整数,记号||ka b 表示b 恰被a 的k 次方整除,即1|,.kk a b ab +设,m s 都是大于1的正整数,且2|| 1.sm -证明：对所有的正整数n 都有22||1nn s m +-成立. 证明：方法1 因为2|| 1.s m -所以12|1,2 1.s s m m +--于是0021,s m q q =+是正奇数.我们用数学归纳法证明.当1n =时,2222111000001(21)1222(21).s s s s s m q q q q q ++--=+-=+=⋅+ 因为0q 是正奇数,所以1002(21).s q q -+所以12222|1,2 1.s s m m ++--即122|| 1.s m +-所以当1n =时,结论成立.假设当n k =时,结论成立,即22||1k k s m +-.也就是2122|1,2 1.kkk s k s m m +++--于是221,kk s k k m q q +=+是正奇数. 当1n k =+时,122222221111()1(21)1222(21).k kk s k s k s k s k s k k k k k m m q q q q q +++++++-+-=-=+-=+=+因为k q 是正奇数,所以12(21).k sk k q q -++所以1112222|1,2 1.k k k s k s m m ++++++--即1122|| 1.k k s m +++-即当1n k =+时,结论成立.于是对所有的正整数n 都有22||1nn s m +-成立. 方法2：我们用数学归纳法证明. 当1n =时,21(1)(1).m m m -=-+因为2||1,sm -1,s >又2||2,所以2||1m +所以122|| 1.s m +-所以当1n =时,结论成立.假设当n k =时,结论成立,即22||1kk s m +-. 当1n k =+时,1222221()1(1)(1).k k k km m m m +-=-=-+因为22||1,kk s m +-1,s >又2||2,所以22||1,km +所以1122|| 1.k k s m +++-即当1n k =+时,结论成立.于是对所有的正整数n 都有22||1nn s m +-成立.方法3 一方面2122221(1)(1)(1)(1)(1)nn n m m m m m m ---=-++++.由于2||1,sm -则m 为奇数.故22|1(0,1,2,,1).im i n +=-所以1202|(1).in ni m-=+∏又2| 1.s m -所以12202|(1)(1) 1.inn n si m m m -+=-+=-∏另一方面,,m s 都是大于1的正整数,所以2,s ≥于是4| 1.m -12220112(1)(1)2422(21).i iji j m m m m q q -=+=-+=-++=+=+∏即22||1(0,1,,1).im i n +=-结合2||1,sm -所以22|| 1.nn s m +-方法4 12221(1)(1)(1)(1).nn m m m m m --=-+++因为2|1,sm -对于任意的12,1(1)(1),kk k m m m m -≥-=-+++所以2|1s k m -.设12,km A -=则12|.s A -因为1,s >所以A 是偶数.112222(1).kkm m A A +=-+=+=+1A +是奇数. 所以2|| 1.k m +又2|| 1.sm - 所以12202||(1)(1) 1.i nn n si m m m -+=-+=-∏方法5 一方面,由于2||1sm -,故m 是奇数,则有22|1(0,1,,1).im i n +=-故1222|(1)(1)(1).n nm m m-+++又2|1,s m -所以22| 1.nn s m +-另一方面,若存在i 使得212,it m k k +=⋅是正奇数, 2.t ≥则211222(21)it t m k k --=⋅-=⋅-,因为121t k -⋅-是奇数,所以22||(1).im -而22|1,(1)|(1)is m m m ---,故22|(1)(1)is m s ->与22||(1)im -矛盾. 所以对0,1,2,,1i n =-都有22||1(0,1,,1).im i n +=-于是1222||(1)(1)(1).n n m m m -+++结合2|| 1.sm -所以22||1(0,1,,1).in s m i n ++=-2.(满分40分)证明：对每个素数,p 有无穷多个正整数,n 使得|2.np n - 证明：若2p =,取n 为正偶数即可.若p 是奇素数,则(2,) 1.p =于是由Fermat 小定理知道121(mod ).p p -≡若取的正整数n 满足(1)n s p =-,则21(mod ).np ≡为使得|2.np n -则正整数n 还需满足1(mod ).n p ≡ 即(1)1(mod ).n s p p =-≡所以取(1)(1)(1,2,)n kp p k =--=.则(1)(1)112122(1)(1)(2)(1)110(mod )nkp p p kp kp n kp p kp kp p p ------=---=---+≡-=.所以有无穷多个正整数(1)(1)(1,2,)n kp p k =--=使得|2.n p n -所以命题得证.法2：若2p =,取n 为正偶数即可.若p 是奇素数,取2(1)(1),0,1,2,kn p p k =+-=,2(1)(1)21(1)(1)2222(1)(1)(2)(1)(1)11(1)0(mod ).kkn p p k p p p k k n p p p p p +--+--=-+-=-+-≡--≡3.(满分50分)证明：对于任意的正整数,k 120!(!)()!k j j k j k -=+∏为整数. 证明：注意到!n 的素因数分解式为(,)!,p n p nn pα≤=∏其中p 是素数,1(,).j j n p n p α∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑所以只需证明12!(!)()!k j j k j k -=+∏对任意的素数p 的指数均为非负整数,即只要证明对于任意的素数的正整数次幂,P 有210.k j k j k j P P P -=⎡⎤⎛+⎫⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑ 因为两边均为整数,所以只需证明210 1.k j k j k j P P P -=⎡⎤⎛+⎫⎡⎤⎡⎤>--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑即2211100011k k k j j j k k j k j k j j k j k j P P P P P P P P P ---===⎧⎫⎛++⎫⎛+⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫->--+-=---⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭∑∑∑ 注意到210,k j k k P P -==∑所以只需要证明21100 1.k k j j k j j k P P P --==⎧⎫+⎧⎫⎧⎫+<+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑∑然而,数0,1,,1k -模P 的余数之和显然不大于数,1,,21k k k +-模P 的余数之和,也即1100k k j j j j k P P --==+⎧⎫⎧⎫<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑,再注意到21k P ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.从而211001k k j j k j j k P P P --==⎧⎫+⎧⎫⎧⎫+<+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑∑得证对于任意的正整数,k 120!(!)()!k j j k j k -=+∏为整数. 法2注意到!n 的素因数分解式为(,)!,p n p nn pα≤=∏其中p 是素数,1(,).j j n p n p α∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑所以只需证明12!(!)()!k j j k j k -=+∏对任意的素数p 的指数均为非负整数,即只要证明对于任意的素数p 有210.k i i i j k j k j p p p -=⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≥- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑设,,0.iik t p s t N s p =⋅+∈≤<(1)11100i i iir p p p ii i i i i i j j j rp j k j j s j j s j t tp p p p p p p +---===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 110+.i ii p s p i ii i i i j j p s j s j j s j tp tp s p p p p ---==-⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=+--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭∑∑ 1111000i itp s s s s ii i i i i i i i j j j j tp j k j j k j j s j j s j t sp p p p p p p p p +----====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++-=-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 10.s ii j j s sp p -=⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦∑于是11200.k s i ii i i j j j k j j s t p st sp p p p --==⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤++-=+++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑∑111002.ii p s s s i i i i j j j p s j s j s j s s p p p p ----===-⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑ 所以122202(1)2(1)22k i i i i i ii i j j k j t p st sp s p t p st sp s t p st s p p -=⎛⎫⎡⎤⎡⎤+-=+++-=-+++<-++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑所以120(1)22 1.k ii i j j k j t p st s p p -=⎛⎫⎡⎤⎡⎤+-≤-++- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑ 222222()22.i i i i ii k t p stp s s t p st p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++==++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以22222222221(1)21(1)221i i i i ii i i ik s s s t p st t p st t p st p t p st s p p p p ⎡⎤⎡⎤=++>++-=-+++-≥-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以210.k i i i j k j k j p p p -=⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≥- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑所以对于任意的正整数,k 12!(!)()!k j j k j k -=+∏为整数. 4.(满分50分)以(,)S n p 表示(1)nx +的展开式中不可被p 整除的系数的个数. 证明：2017(2018,2017)S 可被2018整除.证明：设p 为素数,而2012110()k k k k p n n n p n p n p n n n n -=+⋅+⋅++=是n 的p 进制表达式.引理：01(,)(1)(1)(1).k S n p n n n =+++若引理已证明,因为2017是素数,201720172017201702018(12017)2017.ii i C ==+=⋅∑ 因为20172017|(1,2,,2016)iC i =,所以从第4项起,都可以被42017整除.而前3项的和为12223201720171201720171201710082017.C C +⋅+⋅=++⋅2017234201812017100820172017M =++⋅+⋅201711020172018()k k n n n n -=的01231,0,1,1008.n n n n ====201701(2018,2017)(1)(1)(1).m S n n n =+++其中03(1)(1)(11)(10081)2018.n n ++=+⨯+= 所以2017(2018,2017)S 可被2018整除.下面证明引理,(1)nx +的展开式中i x 的系数为,i n C 所以应该计算!(0,1,,)!()!in n C i n i n i ==-中不可被p整除的个数.2012110()k k k k p n n n p n p n p n n n n -=+⋅+⋅++=,2012110()k k k k p i i i p i p i p i i i i -=+⋅+⋅++=由Lucas 定理知道0101(mod )k kii iin n n n C C C C p ≡,所以0110(mod )kki i i n nn C C C p =表示i n C 可被p 整除, 01011,2,,1(mod )k ki i i n n n C C C p p =-均表示不可被p 整除.注意到!(0)!()!ba a Cb a p b a b =≤≤<-均不能被素数p 整除.于是!(0,1,,)!()!in n C i n i n i ==-中不可被p 整除等价于0011,,,.k k i n i n i n ≤≤≤这个的i 的个数为01(1)(1)(1)k n n n +++个.所以01(,)(1)(1)(1).k S n p n n n =+++所以引理得证.法2 我们证明,若p 是奇素数,((1),)pS p p +可被1p +整除.(1)(1)pp x ++的展开式的每一项的系数为(1)(0,1,2,,(1)).pmp p C m p +=+(1)(1)!.!((1))!pp mpp p Cm p m ++=+-考虑此式的分子分母中p 的幂次. 注意到3p ≥,ln ()p f p p=单调递减,所以1(1).p p p p ++< 111(1)(1)((1)!),((1))!),(!).p p pp pppp p p i ii i i i p p m m V p V p m V m p p p ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤++-+=+-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑ 注意到(1)(1).p p i ii p p m m p p p++-=+ 所以012211110122()(1)i i i i p p i i p p i i p p p p p p p p p p p i i i iC C p C p C p C p C p C p C C p C p p p p p p --------++++++++++==+012211110122()(1)i i i i p p i i p p i i p p p p p p p p p p p i i i iC C p C p C p C p C p C p C C p C p p p p p p--------++++++++++==+ 注意到!!(!k kk p p C p p k p k =-的p 的幂次为1.k p +所以11(1).i i p p p p p i i C p C p p p p --++⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦所以0122(1)(1).i i p p p p p i i iC C p C p p p p p p --++⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦若m 模ip 的余数超过0122i i p p p C C p C p --++,高一竞赛数论专题 15.第三次考试题(满分180分)1.设k 为不等于1的整数,证明存在无穷多个正整数,n 使得n k +不整除2.nn C2.是否存在正项数列{}n a 满足1(),n n a a d n +=+(其中()d n 表示n 的正因数的个数)且至少连续两项为完全平方数.3.设,m n 为大于1的整数,用()n a a a n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦表示(mod )a n 的最小非负剩余.求120,,,1max min ()m mjn k na a a j ak ≤<=+∑,其中最大遍及所有的m 项整数数列.高一竞赛数论专题 15.第三次考试题解答(满分180分)1.设k 为不等于1的整数,证明存在无穷多个正整数,n 使得n k +不整除2.nn C证明：当1k >时,k 有素因子,p 取,mn p k =-其中正整数m 足够大,使得0,n >这样的n 有无穷多个. 我们证明对这些n 有2,nnn kC +即2.m n n p C 设素数p 在22(2)!(!)n nn C n =中出现的幂次为.α则1122.j j j j n n p p α∞∞==⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑因为,m n p k =-所以122,m m n p p+<≤所以1,j m ≥+20,0.j j n n p p ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦于是1122()22m m mm j j jj j j n n p k p k p p p p α==⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭∑∑ 12222mm j m jj j j k k p p p p --=⎛⎫⎡⎤⎡⎤--=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑122.m j j j k k p p =⎛⎫⎡⎤⎡⎤--=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑ 因为|,p k 所以220.k k p p ⎡⎤⎡⎤---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以222m j j j k k p p α=⎛⎫⎡⎤⎡⎤--=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑ 因为1[2][][][][]12[] 1.2x x x x x x =++≤++=+所以[2]2[] 1.x x -≤于是2221.mj j j k k m m p p α=⎛⎫⎡⎤⎡⎤--=-≤-< ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑所以2.mn n pC 当0k ≤时,因为素数有无穷多个,故可取奇素数2||,p k >令||,n p k =+这样的正整数n 有无穷多个. 我们证明对这些n 有2,nn n kC +即2.n n p C设奇素数p 在22(2)!(!)nnn C n =中出现的幂次为.α则1122.j j j j n n p p α∞∞==⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑因为||,n p k =+所以2222||3.n p k p p <+<≤所以2,j ≥20,0.j j n n p p ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以22(||)||2||||2||||222222n n p k p k k k k k p p p p p p p p α⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=-=-=+--=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭ 因为2||,p k >所以2||||0,0.k k p p ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦于是2||||20.k k p p α⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以2.nn p C 于是我们证明了k 为不等于1的整数,存在无穷多个正整数,n 使得n k +不整除2.nn C2.是否存在正项数列{}n a 满足1(),n n a a d n +=+(其中()d n 表示n 的正因数的个数)且至少连续两项为完全平方数.解：不存在这样的正项数列{}n a .先证明()d n ≤设121212(2,ss s i n p p p p p p p ααα=≤<<<都是素数,.i N α∈于是12()(1)(1)(1).s d n ααα=+++于是只需证明31212222121212394(1)(1)(1)33()().43sss s s n p p p p p p p αααααααααα+++≤==下面分别证明(1)12119(1),4p αα≥+(2)22224(1),3p αα≥+(3)2(1)(3,4,,).i i i p i s αα≥+=先证明(1)12119(1).4p αα≥+ 因为111992.44p αα≥⋅于是只需证明12192(1).4αα⋅≥+ 下面用数学归纳法证明.当1120,1,2ααα===时显然成立. 假设当1(2)k k α=≥时结论成立即292(1).4kk ⋅≥+ 当11k α=+时,112999222(2)2(1).444k k k α+⋅=⋅=⋅⋅≥+ 注意到222222(1)(11)2(1)(2)20,k k k k k +-++=+-+=-> 所以112221999222(2)2(1)(11)(1).444k k k k αα+⋅=⋅=⋅⋅≥+>++=+ 所以当11k α=+结论成立. 所以11199244p αα≥⋅成立.我们不难发现当且仅当112,2p α==时等号成立. 再证明(2)22224(1).3p αα≥+ 因为222443.33p αα≥⋅于是只需证明22243(1).3αα⋅≥+ 下面用数学归纳法证明. 当220,1αα==时显然成立. 假设当2(1)k k α=≥时结论成立即243(1).3kk ⋅≥+ 当21k α=+时,212444333(3)3(1).333k k k α+⋅=⋅=⋅⋅≥+ 注意到222223(1)(11)3(1)(2)2210.k k k k k k +-++=+-+=+-> 所以212222444333(2)3(1)(11)(1).333k k k k αα+⋅=⋅=⋅⋅≥+>++=+所以当21k α=+结论成立. 所以22244333p αα≥⋅成立.我们不难发现当且仅当223,1p α==时等号成立. 最后证明(3)2(1)(3,4,,).i i i p i s αα≥+=因为3,i ≥所以 5.i p ≥于是只需证明25(1).i i αα≥+ 下面用数学归纳法证明. 当0i α=时显然成立.假设当(0)i k k α=≥时结论成立即25(1).k k ≥+当1i k α=+时,1222222555(5)5(1)4(1)(22)(2)(11)(1).ik k i k k k k k αα+==≥+>+=+>+=++=+所以当1i k α=+结论成立.所以25(1)i i αα≥+成立.我们不难发现当且仅当0i α=时等号成立.于是我们证明了()d n ≤回到原题.由1()n n a a d n +=+知道1(1)(2)(1).n a a d d d n =++++-对于素数p 有() 2.d p =又(1) 1.d =对于合数a 有() 2.d a ≥于是112(2)2 2.n a n n ≥++-=- 若存在连续两项为完全平方数设22*1,(,).n n a s a t s t N +==∈1()1,n n a a d n +-=≥即221,t s -≥于是 1.t s ≥+所以 1.s t ≤-22221()(1)211 1.n n d n a a t s t t t +=-=-≥--=-=≥1.≥于是1 1.≥≥>矛盾. 所以不存在这样的正项数列{}n a .3.设,m n 为大于1的整数,用()n a a a n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦表示(mod )a n 的最小非负剩余.求120,,,1max min()m mjn k na a a j ak ≤<=+∑,其中最大遍及所有的m 项整数数列.解：不妨设0(1),j a n j m ≤<≤≤令121(,,,)().mk m j n j S a a a a k ==+∑当0k =时,m 项整数数列为{()}j n a , 当1k =时,m 项整数数列为{(1)}j n a +,当k t =时,m 项整数数列为{()}j n a t +,当k m =时,m 项整数数列为{()}j n a m +, 如果120120min (,,,)(,,,),k m m k nS a a a S a a a ≤<<则存在0t n <<使得1212(,,,)(,,,)(0).t m k m S a a a S a a a k n ≤≤<令(1),j j a a t j m '=+≤≤于是()(),(1)(1),(2)(2),,j n j n j n j n j n j n a a t a a t a a t '''=++=+++=++()(),(1)(),(2)(1),,j n j n j n j n j n j n a m t a m a m t a a m t a '''+-=++-+=+-+=+()(1).j n j n a m a t '+=+- 于是我们有01212(,,,)(,,,)(0).mk mS a a a S a a a k n ''''''≤≤< 这表明对遍及所有的m 项整数数列求120,,,1max min ()m mj n k na a a j a k ≤<=+∑ 可以限定在满足12012min (,,,)(,,,)k m m S a a a S a a a =的那些数列12,,,m a a a 上求解.因为()j j n j a k a k a k n n +⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦,所以,(),j j j n jj a k n a n k a k a k a n k +-≥-⎧+=⎨+<-⎩若若.设j a i =的次数为.i μ所以1211()().mmk jn j n n n k j j S ak a mk n μμμ---===+=+-+++∑∑当且仅当12(0)n n n kmkk n nμμμ---+++≤≤<时1201211min (,,,)(,,,).mk m m j k n j S a a a S a a a a ≤<===∑于是11111110121111111(,,,)()=(1)jmn n n n n n n m j i n i n i n i n i j i i i j ii j i j i S a a a a i n i μμμμμ-----------============-==∑∑∑∑∑∑∑∑∑因为12(0),n n n kmkk n n μμμ---+++≤≤<所以11012111(,,,).jn n m n i j i j mj S a a a n μ---===⎡⎤=≤⎢⎥⎣⎦∑∑∑考虑函数m y x n =及矩形,OABC 其中(1)(1)(1,0),(1,),(0,).m n m n A n B n C n n---- 由矩形的中心对称性知道112((,)1)(1)(1).n j mj m n m n n -=⎡⎤--=--⎢⎥⎣⎦∑于是111((1)(1)(,)1).2n j mj m n m n n -=⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦∑ 所以101211(,,,)((1)(1)(,)1).2n m j mj S a a a m n m n n -=⎡⎤≤=--+-⎢⎥⎣⎦∑于是120,,,11max min()((1)(1)(,)1).2m mj n k na a a j a k m n m n ≤<=+≤--+-∑ 选取(1),1,2,,.n i mi m i i n n n μ--⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则121(1)(0),kn n n k i m i m i m k mk k n n n n n μμμ---=⎛⋅⋅-⎫⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=-=≤≤< ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑ 于是此时1201211min (,,,)(,,,).mk m m j k nj S a a a S a a a a ≤<===∑于是数列12,,,m a a a 有(1),1,2,,n i mi m i i n n n μ--⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个.n i -且121(1)(0),kn n n k i m i m i m k k n n n n μμμ---=⎛⋅⋅-⎫⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=-=≤< ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑ 于是110121111(,,,)((1)(1)(,)1).2jn n m n i j i j mj S a a a m n m n n μ---===⎡⎤===--+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑所以120,,,11max min()((1)(1)(,)1).2m mj n k na a a j a k m n m n ≤<=+=--+-∑ 高一竞赛数论专题1.整除设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b . 整除关系的基本性质 (1)|,||.a b b c a c ⇒(2)|,|a b a c ⇔对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a1.设12,a a 是两个不全为零的整数,证明对任意整数q ,都有12121(,)(,).a a a a qa =+2.设(,)1,a b =证明(1)若|,|a c b c 则|.ab c(2)若|a bc 则|.a c3.(Bezout 定理)设,a b 是不全为零的整数,证明(,)1a b =的充要条件是存在整数,x y 使得 1.ax by +=4.证明对任意整数n ,65222n n n n +--能被120整除.5.设m 是一个大于2正整数,若存在正整数n 使得21|21m n -+.求m 的所有可能取值.6.证明：正整数M 是完全平方数的充要条件是对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.7.已知整数,x y 满足1,1,x y ≠-≠-且使得441111x y y x --+++是整数,求证4441x y -能被1x +整除.8.证明：对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410k k f n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.9.对于所有素数p 和所有正整数()n n p ≥,证明：p n n C p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦能被p 整除.10.(1)求所有的素数数列12n p p p <<<,使得11(1)n k kp =+∏是一个整数. (2)是否存在n 个大于1的不同正整数*12,,,,,n a a a n N ∈使得211(1)n k k a =+∏为整数?.11.设,m n 是正整数, 证明(,)(21,21)21.m n m n --=-12.任给2n ≥,证明：存在n 个互不相同的正整数,其中任意两个的和整除这n 个数的积.高一竞赛数论专题1.整除解答设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b .整除关系的基本性质(1)|,||.a b b c a c ⇒(2)|,|a b a c ⇔对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a1.设12,a a 是两个不全为零的整数,证明对任意整数q ,都有12121(,)(,).a a a a qa =+证明：记121(,),a a d =1212(,)a a qa d +=.121(,),a a d =即1112|,|.d a d a 于是11121|,|.d a d a qa +所以12.d d ≤1212(,)a a qa d +=,即21221|,|.d a d a qa +于是2122112|,|().d a d a qa qa a +-=所以21.d d ≤所以12.d d =命题得证.2.设(,)1,a b =证明(1)若|,|a c b c 则|.ab c(2)若|a bc 则|.a c证明(,)1,a b =则1.ax by =+于是1().c c c ax by acx bcy =⋅=+=+(1)|,|a c b c ,则12,.c aq c bq ==于是2121().c abq x baq y ab q x q y =+=+所以|.ab c(2)|,a bc 则|.a acx bcy +即|.a c3.(Bezout 定理)设,a b 是不全为零的整数,证明(,)1a b =的充要条件是存在整数,x y 使得 1.ax by +=证明：当,a b 中有一个为零时,结论是显然的.不妨设,a b 都不为零,且||||.a b ≤一方面若存在整数,x y 使得 1.ax by +=注意到(,)|,(,)|a b a a b b .所以(,)|.a b ax by +即(,)|1.a b 所以(,)1a b =.另一方面设11111,0||,,b aq r r a q r =+≤<为整数,若10,r =则辗转相除到此为止；否则继续.1222122,0,,a r q r r r q r =+≤<为整数,若20,r =则辗转相除到此为止；否则继续.12333233,0,,r r q r r r q r =+≤<为整数,若30,r =则辗转相除到此为止；否则继续.由于123r r r >>>且123,,,r r r 均为自然数,所以经过有限步辗转相除可得0.k r =即3211.k k k k r r q r ----=+21(0).k k k k k r r q r r --=+=引理：设,a b 是两个整数且0,a ≠,0||,,b aq r r a q r =+≤<为整数.则(,)(,).a b a r =证明：因为(,)(,).a b a b aq =-又.r b aq =-所以(,)(,).a b a r =回到原题：利用引理我们可得112211(,)(,)(,)(,)(,).k k k k a b a r r r r r r r ---=====注意到0.k r =由辗转相除的过程知道1321.k k k k r r r q ----=-2432.k k k k r r r q ----=-3123.r r r q =-212.r a r q =-11r b aq =-所以11,r b aq =-212122()(1),r a b aq q q q a q b =--=+-311223123123[(1)][(1)](1),r b aq q q a q b q q q q q a q q b =--+-=+-++所以1k r -是,a b 的线性组合即存在整数,x y 使得1.k r ax by -=+即(,).a b ax by =+所以若(,)1,a b =则存在整数,x y 使得 1.ax by +=4.证明对任意整数n ,65222n n n n +--能被120整除.证明：65254222(2)(2)(2)(1)(2)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n +--=+-+=+-=+-++ 22(2)(1)(1)(45)(2)(1)(1)(2)5(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n n n =+-+-+=--+++-++.5!|(2)(1)(1)(2),n n n n n --++4!|(1)(1)(2),5!|5(1)(1)(2),n n n n n n n n -++-++所以65222n n n n +--能被120整除.5.设m 是一个大于2正整数,若存在正整数n 使得21|21m n -+.求m 的所有可能取值.解: 因为21|21m n -+,所以2121n m +≥-所以n m ≥(若不然,则 1.n m ≤-于是1212121m n m -+≥+≥-,即2m ≤矛盾).因为n m ≥,所以存在正整数,q r 使得,0.n mq r r m =+≤<1212122212(21)212(21)[(2)21]21n mq r mq r r r r mq r r m m q m r ++-+=+=-++=-++=-+++++. 因为21|21m n -+,所以21|21m r -+.从而212 1.r m+≥-所以不存在这样的.m6.证明：正整数M 是完全平方数的充要条件是对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.证明：()⇒正整数M 是完全平方数,则2.M d = 222222()()()()M i M d i d d d i d d i +-=+-=++-+.2d d i -+对于1,2,,i n =是连续n 个正整数,所以一定存在某个i 使得2|.n d d i -+于是2|().n M i M +- 所以对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.()⇐假设正整数M 不是完全平方数,则M 中一定有一个素因数p ,它的指数是奇数即存在正整数k 使得212|,.k k p M p M -因为对于任意正整数n ,22(1),(2),,M M M M +-+-2()M n M +-中至少有一项可以被n 整除.故取2k n p =,对于21,2,,k i p =一定存在某个i 使得22|().k p M i M +-注意到2k p M . 所以22()k p M i +( 若不然, 22|(),k p M i +又22|().k p M i M +-于是2k p M 矛盾).由于22|(),k p M i M +-于是212|().k pM i M -+-注意到21|k p M -.所以212|().k p M i -+ 我们得到212|()k p M i -+且22()k p M i +.这与2()M i +是完全平方数矛盾.所以假设错误.所以正整数M 是完全平方数.7.已知整数,x y 满足1,1,x y ≠-≠-且使得441111x y y x --+++是整数,求证4441x y -能被1x +整除. 证明：设4411,.11x a y c y b x d--==++其中(,)1,(,)1,0,0.a b c d b d ==>> 则a c ad bc b d bd++=是整数.即|.bd ad bc + 从而|,|.b ad bc d ad bc ++于是|,|.b ad d bc 注意到(,)1,(,) 1.a b c d ==所以|,|.b d d b 又0,0b d >>,所以.b d =因为44222211(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).1111a c x y x x x y y y x x y yb d y x y x ---++-++⋅=⋅=⋅=-+-+++++ 所以ac b d⋅是整数,结合.b d = 所以2|.b ac 于是|b ac ,又(,)1a b =,则|,b c 又(,) 1.b c =且0.b >所以 1.b = 也就是411y c x -=+.即41| 1.x y +- 又44444444441049421(1)1(1)[()()1](1)(1)(1)x y x y x x y y y y x x x -=-+-=-++++++-+.所以4441| 1.x x y +-8.证明：对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410k k f n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.证明: 我们知道数(,)f n k 能分解成n 个连续的自然数之积,则一定能被!n 整除.所以只需要证明数(,)f n k 不能被一个很小的自然数n 整除即可.33333(,)2410(339)13(3)()1k k k k k k k k k k f n k n n n n n n n n n n =++=++-++=++--+33(3)(1)(1)1k k k k k n n n n n =++--++.33|3(3),3|(1)(1),3 1.k k k k k n n n n n ++-+所以3(,).f n k也就是数(,)f n k 不能分解成3个或3个以上的连续的自然数之积.下面再证明数(,)f n k 不能分解成2个连续的自然数之积.由上可知(,)31f n k q =+.因此只需要证明31(1)q x x +=+无自然数解.当3x m =时,(1)3(31)3[(31)]x x m m m m +=+=+,故无解.当31x m =+时,2(1)(31)(32)3(33)2x x m m m m +=++=++,故无解.当32x m =+时,(1)(32)(33)3(1)(32)x x m m m m +=++=++故无解.所以数(,)f n k 不能分解成2个连续的自然数之积.于是我们证明了对于任何自然数n 和k ,数3(,)2410k k f n k n n =++都不能分解成若干个连续的自然数之积.9.对于所有素数p 和所有正整数()n n p ≥,证明：p n C ⎡⎤-能被p 整除.证明：,1,2,,1n n n n p ---+这连续p 个数有且仅有一个被p 整除,设这个数为.N 则,.N pq q Z =∈则.n Nq p p ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦且,1,,1,1,1n n N N n p -+--+除以p 的余数不计次序为1,2,,1p -.于是(1)(1)(1)(1)(1)!.n n N N n p p pA -+--+=-+(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1!(1)!p n n n n N N N n p n n N N n p C q q p p p ⎡⎤⎡⎤-+--+-+--+-=-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦(1)!1(1)!(1)!p pA pqAq p p ⎡⎤-+=-=⎢⎥--⎣⎦. 因为p 与1,2,,1p -互素,所以(,(1)!) 1.p p -=于是(1)!|..(1)!p n n qAp qAC p p p ⎡⎤--=⋅⎢⎥-⎣⎦所以|.pn n p C p ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.(1)求所有的素数数列12n p p p <<<,使得11(1)nk kp =+∏是一个整数. (2)是否存在n 个大于1的不同正整数*12,,,,,n a a a n N ∈使得211(1)nk ka =+∏为整数?. 解(1)111(1)1(1).nk nk n k k kk p p p ===++=∏∏∏ 当3n ≥时,1,1 1.n k p p k n >+≤≤-故11((1),) 1.n knk p p -=+=∏所以|1.nn pp +又|.n n p p 所以|1.n p于是1n p =矛盾.所以2n ≤.当1n =时,111N p +∉. 当2n =时,1212121212(1)(1)111(1)(1)1.p p p p N p p p p p p ++++++==+∈ 1212|1p p p p ++,21221|1,|1.p p p p p +++又211p p ≥+.所以211.p p =+于是1111|11,|2.p p p p +++ 所以122, 3.p p ==综上,所求的数列只有一个122, 3.p p ==(2)不存在. 当121n a a a <<<<时,设.n a m ≤2222222212222111(!)21(1)(1) 2.(1)!1(1)(1)1(1)!2nm m m mk k k k k k k k k m mm a k k k k k m m =====+<+≤+=<===<+--++-∏∏∏∏∏所以211(1)nk k N a =+∉∏.所以不存在n 个大于1的不同正整数*12,,,,,n a a a n N ∈使得211(1)nk k a =+∏为整数.11.设,m n 是正整数, 证明(,)(21,21)21.m n m n --=- 解：不妨设.m n ≥有带余除法得1111(1,0)m q n r q r n =+≥≤<.我们有111111111212122212(21)2 1.q n r q n r r r r q n r m++-=-=-+-=-+-因为121|21q nn--,所以1(21,21)(21,21).r m n n --=--注意到1(,)(,).m n n r =若10,r =则1(,)(,).m n n r n ==于是1(21,21)(21,21)(0,21)2 1.rm n n n n--=--=-=-结论成立.若10,r >则作辗转相除.,212221(1,0)n q r r q r r =+≥≤<.我们有212221221212(21)2 1.q r r r q r r n+-=-=-+-因为12121|21rq r --,所以112(21,21)(21,21)(21,21)r r r m n n --=--=--.若20,r >则继续处理,直到10k r +=为止.由辗转相除法知(,).k m n r =1112(,)(21,21)(21,21)(21,21)(21,21)(21,0)212 1.k k k k r r r r r r r m n n m n +--=--=--==--=-=-=-至此,我们证得了结论.12.任给2n ≥,证明：存在n 个互不相同的正整数,其中任意两个的和整除这n 个数的积.证明：我们任取n 个互不相同的正整数12,,,,n a a a 并选取一个正整数参数,K 希望12,,,n Ka Ka Ka 的积12n n K a a a 被任意两项的和i j Ka Ka +()i j ≠整除,取1().i j i j nK a a ≤<≤=+∏12,,,n Ka Ka Ka 互不相同, 1()().i j i j i j i j nKa Ka a a a a ≤<≤+=++∏12121(()).n n n i j n i j nK a a a a a a a a ≤<≤=+∏显然有12|.ni j n Ka Ka K a a a +。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. √3B. 0.33333（无限循环）C. πD. 1/32. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求 f(-1) 的值。

A. 4B. 6C. 8D. 103. 一个圆的半径为 5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 若 a + b + c = 6，且 a^2 + b^2 + c^2 = 14，求 ab + bc + ca 的值。

A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等差数列的首项为 2，公差为 3，求第 10 项的值是__________。

6. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，求前 5 项的和是__________。

7. 若函数 g(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 的导数是 g'(x)，则 g'(1) 的值是 __________。

8. 一个长方体的长、宽、高分别是 3、4、5，求其对角线的长度（保留根号）是 __________。

三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数 n，都有 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。

10. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。

11. 已知函数 h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。

12. 已知一个三角形的三个顶点分别为 A(1, 2)，B(-1, -1)，C(3, 4)，求其面积。

答案一、选择题1. 正确答案：C（π 是无理数）2. 正确答案：A（f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 4）3. 正确答案：B（面积= πr^2 = 25π）4. 正确答案：B（根据柯西-施瓦茨不等式）二、填空题5. 第 10 项的值是 2 + 9*(10-1) = 296. 前 5 项的和是 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 1267. g'(x) = 3x^2 - 4x + 3，g'(1) = 3 - 4 + 3 = 28. 对角线的长度是√(3^2 + 4^2 + 5^2) = √50三、解答题9. 证明：根据调和级数的性质，我们知道 1/n^2 随着 n 的增大而减小，且 1/n^2 < 1/(n-1)^2，因此可以构造不等式 1^2 + 1/2^2 +1/3^2 + ... + 1/n^2 < 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)*n) = 1 + 1 - 1/n < 2。

高一数学百题竞赛1． 角的终边经过点〔-3,4〕,那么αtan = A)43 (B) -43 (C)34 (D)-34 2． lg2=a ,lg3=b ,那么23lg = (A) a -b (B)b -a (C)a b (D)ba 3.设集合M ={(1,2)},那么以下关系成立的是(A)1∈M (B) 2∈M (C)(1,2)∈M (D)(2,1)∈M 4.2sin )(x x f =是 (A)最小正周期是π的奇函数 (B)最小正周期是4π的奇函数(C)最小正周期是π的偶函数 (D)最小正周期是4π的偶函数5．角α的终边经过点P 〔3,4〕,那么sin α=A 4/5B 3/5C 4/25D 3/25．6.方程9131=-x 的解是 (A)x =31 (B)-31 (C)x =3 (D)x =-3 7.假设不等式3≤+a x 的解集为}51{≤≤-x x ,那么a =(A)-2 (B)-3 (C)2 (D)38.不等式⎩⎨⎧>≤--a x x x 022的解集是∅,那么实数a 的取值范围是 (A) a ＞2 (B)a ＜-1 (C)a ≥2 (D)a ≤-19.有四个幂函数：①f (x )=x -1; ②f (x )=x -2; ③f (x )=x 3; ④f (x )=31x .某同学研究了其中的一个函数,他给出这个函数的两个性质：(1)定义域是{x |x ∈R ,且x ≠0}; (2)值域是{y |y ∈R ,且y ≠0}.如果他给出的两个性质中,有一个正确,一个错误,那么他研究的函数是(A)① (B)② (C)③ (D)④10.以下符号表示中,正确的选项是〔A 〕}{a a ⊂ 〔B 〕}{a a ∈ 〔C 〕},,{}{c b a a ∈ 〔D 〕}{a a =11.以下各式中,正确的选项是〔A 〕N N a a 1log log = 〔B 〕N N a a 1log log = 〔C 〕b aN N b b a (log log log =＞0,b ≠1〕 〔D 〕a N N a log log -=12.0150sin 的值等于〔A 〕23 〔B 〕－23 〔C 〕21 〔D 〕－21 13.假设I={1, 2, 3, 4, 5, 6},M={1, 3, 4},那么M 等于〔A 〕{4, 5, 6} 〔B 〕{1, 5, 6} 〔C 〕{2, 3, 5} 〔D 〕{2, 5, 6}14.假设θcos ＜0且θtg ＜0,那么θ终边所在象限是〔A 〕第四象限 〔B 〕第三象限 〔C 〕第二象限 〔D 〕第一象限15.假设函数)3(log )(21-=x x f ,那么)5(f 等于〔A 〕1 〔B 〕－1 〔C 〕0 〔D 〕516.假设3=αtg ,那么ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-的值等于 〔A 〕75 〔B 〕95 〔C 〕71- 〔D 〕57 17.在[)π2,0内,不等式23sin ≥x 的解集是 〔A 〕{3πx ＜x ＜2π} 〔B 〕⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤323ππx x 〔C 〕⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤ππ656x x 〔D 〕⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤326ππx x18．如图,单摆的摆线离开平衡位置的位移S (厘米)和时间t (秒)的函数关系是S =21sin(2t +3π),那么摆球往复摆动一次所需要的时间是_____秒．A 1B 2C πD 2π19．假设sin α<0,且cos α>0,那么角α的终边在A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限20．sin α=3/5,那么tan α=A3/4 B ±3/4 C 4/3 D ±4/321．在以下四个数0.82,20.8,1,log 20.8中,最大的数是A 0.82B 20.8C 1D log 20.822．log 3N=a,那么log 9N=A a 2B aC 2aD a/223．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a 不等于0),如果f(x 1)= f(x 2) (x 1不等于x 2),那么f(x 1+x 2)=A 0B cC -b/2a D(4ac-b 2)/4a24．f(x)为定义在实数集R 上的奇函数,假设f(-1)=2,那么f(1)的值为〔A 〕2 〔B 〕-2 〔C 〕1/2 〔D 〕—1/225．函数y=42-x 的定义域为〔A 〕[]2,2- 〔B 〕[)+∞,2 〔C 〕()2,-∞- 〔D 〕(]2,-∞-∪[)+∞,226．设函数f(x)=asinx+b (a<0),那么f(x)的最大值是〔A 〕a+b (B) a-b (C) -a+b (D) –a-b27．设函数f(x)=asinx+b (a<0),那么f(x)的最大值是〔A 〕a+b (B) a-b (C) -a+b (D) -a-b28．假设函数f(x)=2x ,那么f -1(8)等于〔A 〕-3 〔B 〕3 〔C 〕-1 〔D 〕129．一种放射性物质不断变化为其它物质,假设最初的质量为1,每经过一年剩留的质量约为原来的84%,那么这种物质的剩留量y 随时间x 变化的图象大致是x xx x30．不等式|x -1|＜2的解集是( )(A){x |x ＜3} (B){x |x ＞-1} (C){x |-1＜x ＜3} (D){x |x ＜-1,或x ＞3}31．函数x y )21(=的值域是( ) (A)(-∞,+∞) (B)(0,+∞) (C)(0,1) (D)(1,+∞)32．集合A ,B ,且A ⊆B ,那么( )(A) A B =A (B)A B =B (C)A B =B (D)∅33．lg a +lg b =0,f (x )=log a x ,g (x )=log b x ,那么y =f (x )与y =g (x )的图象( )(A)关于直线y =x 对称 (B)关于y 轴对称(C)关于原点对称 (D)关于x 轴对称34．电流强度I (安培)随时间t (秒)变化的函数I =A sin(ωx +ϕ)的图象如下图,那么当t =1207(秒)时的电流强度为( ) (A) 0 (B) 10 (C) -10 (D) 5 35．以下角中,终边在第四象限的角是( )(A)-3π (B)3π (C)-32π (D)32π 36．函数1+=x y 的定义域是( )(A)(-∞,+∞) (B)[-1,+∞) (C)[0,+∞) (D)(-1,+∞)37．假设cos α=54,那么cos(π-α)=( ) (A)-54 (B)-53 (C)54 (D)53 38．集合M ={x |x =2k ,k ∈Z },N ={x |x =2k +1,k ∈Z },那么A B =( )(A){x |x =2k ,k ∈Z } (B){x |x =2k +1,k ∈Z } (C)Z (D)∅39．不等式log 2(1-x1)＞1的解集是( ) (A){x |x ＜0} (B) {x |x ＜-1} (C) {x |x ＞-1} (D) {x |-1＜x ＜040．y=x 2+x -2的奇偶性为A 奇函数B 偶函数C 既是偶函数又是奇函数D 既不是奇函数也不是偶函数41．cosx=31-,且ππ<<x 2,那么cos(2x )= A 3/3 B -3/3 C 6/3 D -6/342己知M={x|x>4},N={x|x<5},那么M N=A{x|4<x<5} B R C {x|x>4} D{x|x>5}43．在∆ABC 中,cosA=4/5,cosB=12/13,那么cosC=A -33/65B 33/65C -63/65D 63/645．．cos α=1,0≤α<2π,那么α=A 0B π/2C πD 3π/246．以下函数中为偶函数的是A y=log 2xB y=x -2C y=(x+1)2D y=x 1/247．α在第二象限,tan α=-3,那么cos α= A 2/4 B -2/4 C 10/10 D －10/1048．函数y=log 1/2〔3x+1〕的值域是A. (-1/3, + ∞)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.49．α是第四象限的角,那么以下三角函数的值为正的是A sin αB cos αC tan αD ctan α50．.函数y=f(x)是定义在R 上的偶函数,在x<0时, y=f(x)是增函数,如果x 1<0,x 2>0,且| x 1|<|x 2|,那么A f(x 1)-f(x 2)>0B f(x 1)-f(x 2)<0C f(x 1)+f(x 2)>0D f(x 1)+f(x 2)<051．设,22πβαπ-那么βα-的范围是〔 〕〔A 〕()0,π- 〔B 〕()ππ,-〔C 〕⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π 〔D 〕⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ 52．设α是第二象限角,那么=-⋅⋅1csc sec sin 2ααα〔 〕〔A 〕1 〔B 〕α2tg 〔C 〕α2ctg 〔D 〕1-53．函数()0sin ≠=a ax y α的最小正周期是〔 〕 〔A 〕a π2 〔B 〕a π2 〔C 〕a π2 〔D 〕a π2 54.函数2lg x tg y =的定义域为〔 〕 〔A 〕Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+,4,πππ 〔B 〕Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+,24,4πππ 〔C 〕()Z k k k ∈+,2,2πππ 〔D 〕第一、第三象限角所成集合55.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 225sin π〔 〕 〔A 〕是奇函数 〔B 〕是偶函数〔C 〕既不是奇函数,也不是偶函数 〔D 〕奇偶性无法判断56.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 4πx y 的图象〔 〕 〔A 〕关于直线6π=x 对称 〔B 〕关于直线12π=x 对称 〔C 〕关于y 轴对称〔D 〕关于原点对称 57.满足不等式214sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx 的x 的集合是〔 〕 〔A 〕⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈++Z k k x k x ,121321252|ππππ 〔B 〕⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+-Z k k x k x ,1272122|ππππ〔C 〕⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈++Z k k x k x ,65262|ππππ 〔D 〕()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈++⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+Z k k x k x Z k k x k x ,12652|,622|ππππππ 58.310sin π的值是〔 〕 〔A 〕21 〔B 〕21- 〔C 〕23 〔D 〕23- 59.点()θθθtan ,cos sin -P 在第一象限,那么在[]π2,0内θ的取值范围是〔 〕〔A 〕⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛45,43,2ππππ 〔B 〕⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛45,2,4ππππ 〔C 〕⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23,4543,2ππππ 〔D 〕⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππ,432,4 60.设θ是第二象限的角,那么必有〔 〕〔A 〕2cot 2tan θθ> 〔B 〕2cot 2tan θθ< 〔C 〕2cos 2sin θθ> 〔D 〕2cos 2sin θθ< 61.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π3121tan x y 在一个周期内的图象是〔〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕62.使x x cos sin ≤成立的 x 的取值范围是〔 〕〔A 〕⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,43ππ 〔B 〕⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ 〔C 〕⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,4ππ 〔D 〕[]π,0 63.在[]π2,0上满足21sin ≥x 的 x 的取值范围是 〔 〕〔A 〕⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π 〔B 〕⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ 〔C 〕⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ 〔D 〕⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,65 64.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=252sin πx y 的一条对称轴的方程是〔 〕 〔A 〕2π-=x 〔B 〕4π-=x 〔C 〕8π=x 〔D 〕45π=x 65.函数2cos 3cos 2+-=x x y 的最小值是〔 〕（A ） 2 〔B 〕0 〔C 〕41- 〔D 〕6 66.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33cos 333sin 4ππx x y 的最小正周期是〔 〕 〔A 〕6π 〔B 〕2π 〔C 〕32π 〔D 〕3π 67.在以下函数中以2π为周期的函数是〔 〕 〔A 〕x y 2sin = 〔B 〕x y 4cos =〔C 〕x y sin = 〔D 〕x x y 2cos 2sin =68.函数xx y 2tan 12tan 1+-=的最小正周期是〔 〕 〔A 〕4π 〔B 〕2π 〔C 〕π 〔D 〕2π 69.如果函数)sin(x y ω=的最小正周期是4π,那么常数ω为〔 〕〔A 〕4 〔B 〕2 〔C 〕21 (D) 41 70. 函数x x y sin 2sin +=的最小正周期〔 〕〔A 〕2π 〔B 〕π 〔C 〕2π 〔D 〕4π 71.如果⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππβα,2,且βαcot tan <,那么必有〔 〕 〔A 〕βα< 〔B 〕βα> 〔C 〕23πβα<+ 〔D 〕23πβα>+ 72.[]π2,0,02sin 3∈=+x x 那么角x 的值等于〔 〕〔A 〕32arcsin 〔B 〕 )32arcsin(-〔C 〕32arcsin +π 〔D 〕32arcsin +π或32arcsin 2-π 73.与463-︒终边相同的角可以表示为(k Z)∈〔 〕 〔A 〕k 360463⋅︒+︒〔B 〕k 360103⋅︒+︒ 〔C 〕k 360257⋅︒+︒ 〔D 〕k 360257⋅︒-︒74.θ是第三象限的角,且cos 02θ<,那么2θ为 〔 〕 〔A 〕第一象限的角 〔B 〕第二象限的角 〔C 〕第三象限的角 〔D 〕第四象限的角 3、假设sin x cos x 1+=,那么n n sin x cos x +的值是〔 〕〔A 〕1 〔B 〕0 〔C 〕-1 〔D 〕不能确定75.以下四个命题中,正确的选项是 〔 〕〔A 〕sin2<sin3<sin4 〔B 〕sin4<sin2<sin3〔C 〕sin3<sin4<sin2 〔D 〕sin4<sin3<sin2 76.55sin 1212π+π的值是〔 〕 〔A 〕4 〔B 〕1 〔C 〕4- 〔D 〕1-77.满足sin4xcos5x =-cos4xsin5x 的x 的一个值是〔 〕〔A 〕10? 〔B 〕20? 〔C 〕50? 〔D 〕70?78.要得到函数y sin(2x )3π=-的图象,只需将函数y sin 2x =的图象〔 〕 〔A 〕向右平移个6π单位 〔B 〕向左平移个6π单位 〔C 〕向右平移个3π单位 〔D 〕向左平移个3π单位 79.假设sin m α=,且α为第二象限的角,那么tan 2α的值为 〔 〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕以上全不对80.设f (x)a sin(x )bcos(x )=π+α+π+β+4,其中a 、b 、α、β均为非零的常数,假设f (1988)3=,那么f (2002)的值为〔 〕 〔A 〕1 〔B 〕3 〔C 〕5〔D 〕不确定 81.假设θ是三角形的内角,且函数2y x cos 4x sin 6=⋅θ-⋅θ+对于任意实数x 均取正值,那么θ的取值范围是〔 〕 〔A 〕0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 〔B 〕,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 〔C 〕,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭ 〔D 〕0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭82=<<=απαπαsin ),232(则已知m tg ( )〔A 〕2211mm m ++- 〔B 〕21m +± 〔C 〕2211m m m ++ 〔D 〕2211m m m ++± 83.如果απαααtg 那么且,0,51cos sin <<=+的值是 ( ) 〔A 〕34- 〔B 〕43- 〔C 〕34-或43- 〔D 〕34或43- 84.)2cos(),223(43)23(αππαπαπ+<<=+则ctg 的值是 ( ) 〔A 〕－53 〔B 〕53 〔C 〕54 〔D 〕－54 85.函数y=sin(2x ＋52π)图象中的一条对称轴方程是 ( ) (A)x=-π4 (B)x=-π2 (C)x=π8(D)x=54π 86.在不等边ΔABC 中,sinA=cosB,那么以下各等式：(1)A=B ；(2)A ＋B=π2；(3)A+B=π；(4)A-B=π2中,可能成立的有 ( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个87.假设θ∈(0,2π),那么以下不等式成立的是 ( )〔A 〕sin(sin θ)＜cos θ＜cos(cos θ) 〔B 〕sin(cos θ)＜cos θ＜cos(sin θ)〔C 〕sin(sin θ)＞cos θ＞cos(cos θ) 〔D 〕sin(cos θ)＞cos θ＞cos(sin θ)88.函数y=sin(π32-x )的单调递增区间是 ( ) (A)2k π-π12≤x ≤2k π＋512π(k ∈Z) (B)4kx ＋53π≤x ≤4k π＋113π(k ∈Z) (C)k π＋512π≤x ≤k π＋1112π(k ∈Z) (D)-k π-π12≤x ≤-k π＋512π(k ∈Z) 89.以下两个函数：(1)y=|cosx|;(2)y=tg|x|周期性是 ( )(A)只有(1)是周期函数 (B)只有(2)是周期函数(C)(1)和(2)都是周期函数 (D)(1)和(2)都不是周期函数9函数y=lg(1－tgx)的定义域是 ( ) (A))(4Z k k x ∈+<ππ (B))(42Z k k x k ∈+<<-ππππ (C))(4222Z k k x k ∈+<<-ππππ (D))(24Z k k x k ∈+<<+ππππ 91.函数3cos 2-=x y 的单调减区间是 ( ) (A))(2,62Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ (B))(6112,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ(C)[])(22,2Z k k k ∈++ππππ (D))(62,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ 92.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 24sin π的单调增区间是 ( ) (A))(8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B))(85,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ (C))(83,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (D))(87,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 93.以下函数中,既是以π为周期的函数,又是⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上的减函数的是 ( ) (A)y=(ctg1)tgx (B)y=|sinx| (C)y=－cos2x (D)y=ctg|x|94.函数y=2cos2x x ∈[0,2π]和y=2的图象围成的一个封闭的平面图形的面积是( )(A)2 (B)4 (C)2π (D)4π95.函数y=sinx 与y=tgx 的图象在[－2π,2π]上的交点个数是 ( )(A)3 (B)5 (C)7 (D)996.函数y=3ctg|x|+2是 ( )(A)奇函数且是减函数 (B)偶函数且是增函数(C)奇函数但非单调函数 (D)偶函数,有时递增,有时递减97.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=310sin )(πkx x f ,其中k ≠0,当自变量x 在任何两个整数间(包括整数本身)变化时,至少含有一个周期,那么最小的正整数k 是 ( )(A)60 (B)61 (C)62 (D)6398.函数y=xtg2x+x 3是 ( )(A)奇函数 (B)偶函数(C)既奇又偶函数 (D)非奇非偶函数99.假设α,β在同一象限内,且ctg α－ctg β＞0,sin α－sin β＞0,cos α－cos β＜0,那么α在 ( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限 100.αααααtan ,5cos 5sin 3cos 2sin 那么-=+-的值为 〔 〕 A ．－2 B ．2 C ．1623 D ．－1623。

高一数学趣味竞赛题1、兄弟共有45元钱，如果老大增加2元钱，老二减少2元钱，老三增加到原来的2倍，老四减少到原来的1/2，这时候四人的钱同样多，原来各有多少钱？答案：老大8，老二12，老三5，老四202、桌子上原来有12支点燃的蜡烛，先被风吹灭了3根，不久又一阵风吹灭了2根，最后桌子上还剩几根蜡烛呢答案：5根3、一根绳子两个头，三根半绳子有几个头？答案：8个头，(半根绳子也是两个头)4、一栋住宅楼，爷爷从一楼走到三楼要6分钟，现在要到6楼，要走多少分钟？答案：15分钟5、24个人排成6列，要求5个人为一列，你知道应该怎样来排列吗？答案：一个六边形6、有一家里兄妹四个，他们4个人的年龄乘起来正好是14，你知道他们分别是多少岁吗？(当然在这里岁数都是整数。

)答案：(14只能分解为2和7，因此四个人的年纪分别为1，1，2，7，其中有一对为双胞胎)7. 1根绳子对折，再对折，再第三次对折，然后从中间剪断，共剪成多少段？答案;9段8、五条直线相交，最多能有多少个交点呢？答案：109、如果有5只猫，同时吃5条鱼，需要5分钟时间才吃完。

按同样的速度，100只猫同时吃掉100条鱼，需要()分钟时间。

答案：5分钟10、假设有一个池塘,里面有无穷多的水.现有2个空水壶,容积分别为5升和6升.问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水. 答案：先用5升壶装满后倒进6升壶里在再将5升壶装满向6升壶里到,使6升壶装满为止,此时5升壶里还剩4升水将6升壶里的水全部倒掉,将5升壶里剩下的4升水倒进6升壶里,此时6升壶里只有4升水再将5升壶装满,向6升壶里到,使6升壶里装满为止,此时5升壶里就只剩下3升水了11、一个农夫带着三只兔到集市上去卖,每只兔大概三四千克,但农夫的秤只能称五千克以上,问他该如何称量.答案：先称3只,再拿下一只,称量后算差.12、有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆,猴子家离香蕉堆50米,猴子打算把香蕉背回家,每次最多能背50根,可是猴子嘴馋,每走一米要吃一根香蕉,问猴子最多能背回家几根香?答案：25根，先背50根到25米处,这时,吃了25根,还有25根,放下.回头再背剩下的50根,走到25米处时,又吃了25根,还有25根.再拿起地上的25根,一共50根,继续往家走,一共25米,要吃25根,还剩25根到家.13、花甲重开，外加三七岁月；古稀双庆，内多一个春秋．用数学式子分别列出上下联（提示：根据年龄）答案：这副对联是由清代乾隆皇帝出的上联，暗指一位老人的年龄，要纪晓岚对下联，联中也隐含这个数．即上述下联．上联的算式：2×60＋3×7=141，下联的算式：2×70＋1=141．14、一二五六七（打一成语)答案：丢三落四15、八分之七（打一成语）答案：七上八下16、8+7=5（打一成语）答案：缺衣少食17、 3，4，7, 16, 43（）答案12417、 1.16 8.25 27.36 64.49 （ )答案125.6418、一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到几天刚好长满池塘面积的一半（）答案:9天19、一个人花8块钱买了一只鸡，9块钱卖掉了，然后他觉得不划算，花10块钱又买回来了，11块卖给另外一个人。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若一个等差数列的首项为3，公差为5，那么它的第n项可以表示为：A. 3 + 5(n-1)B. 3 + 5nC. 5 + 3(n-1)D. 5 + 3n2. 下列哪个分数可以化简为1/2？A. 3/6B. 5/10C. 7/14D. 9/183. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求f(x)的最小值。

A. -36B. -9C. 0D. 94. 若a, b, c是等比数列，且a + b + c = 0，那么b^2的值是：A. a^2 + c^2B. -a^2 - c^2C. acD. -ac5. 一个圆的半径是5cm，求这个圆的面积（圆周率取3.14）。

A. 78.5平方厘米B. 157平方厘米C. 200平方厘米D. 314平方厘米二、填空题（每题5分，共20分）6. 一个等比数列的前三项分别是2, 6, 18，那么它的第四项是_______。

7. 函数g(x) = |2x - 3| + |x + 1|的最小值是_______。

8. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，那么它的斜边长（根据勾股定理）是_______。

9. 一个圆的周长是12π，那么这个圆的直径是_______。

三、解答题（每题10分，共60分）10. 已知等差数列的前n项和为S_n = n^2 + 2n，求这个等差数列的前三项。

11. 求解方程：\(\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = 3\)。

12. 一个圆与直线y = 2x + 3相交于点P，圆心坐标为(1, 0)，且半径为2。

求点P的坐标。

13. 证明：若a, b, c, d是正整数，且满足a^2 + b^2 = c^2 + d^2，则a + b = c + d。

14. 一个等差数列的前10项和为110，且第10项是第2项的3倍，求这个等差数列的公差和首项。

高一数学竞赛答案一、选择题答案1. A2. D3. D4. B5. B二、填空题答案6. 547. 28. 59. 6三、解答题答案10. 首项为2，公差为4，前三项为2，6，10。

第7题图2022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2022.9本卷满分150分，考试时间120分钟．所有答案答在答题纸上才有效.第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有1个正确答案．） 1．设集合{}21,A x x n n ==+∈N ，{}41,B x x n n ==+∈N ，则AB =（ ▲ ）A ．{}41,x x n n =+∈NB ．{}42,x x n n =+∈NC ．{}43,x x n n =+∈ND ．∅2．已知复数13 i 22z =-+（其中i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则下列说法错误．．的是（ ▲ ） A ．2z z =B ．2()z z =C ．31z =D ．3()1z =-3．C 地发生地震时，相距d km 的,A B 两地都能感受到，已知C 地位于A 地的正东方向上，C 地位于B 地的东偏南30方向上，且C 地距离,A B 两地分别为100km 和200km ，则d 的值是（ ▲ ） A ．100523-B ．1003C ．1007D ．100523+4．有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片．第一个盒子中有三张分别标号为1,2,3的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为1,2,3,4,5的卡片；第三个盒子中有七张分别标号为1,2,3,4,5,6,7的卡片．现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第i 个盒子中取出的卡片的号码为(1,2,3)i x i =，则123x x x ++为奇数的概率是（ ▲ ）A ．29105B ．53105 C ．57105 D ．125．设2202020222021a ⨯=，2202120232022b ⨯=，2202220242023c ⨯=，则（ ▲ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．c b a <<6．已知:0+>p x y ，22:lg(1)lg(1)0+++++>q x x y y ，则p 是q 的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知矩形ABCD 中，2=AB ,4=AD ．E ,F 分别在边AD ,BC 上,且1=AE ,3=BF ．如图所示，沿EF 将四边形AEFB 翻折成11A EFB ，在翻折过程中，二面角1B CD E --的大小为θ，则tan θ的最大值是（ ▲ ）A ．325 B ．335 C ．324D ．3348．已知点P 是边长为1的正五边形ABCDE 内(含边界)一点，则++++PA PB PC PDPE 的最大值是（ ▲ ） A ．12cos 36B ．12sin 36C ．52cos 36D ．52sin 36二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。