抛物线中的最值问题

抛物线上的点到直线的最大值在二维平面几何中，我们经常会遇到抛物线与直线的关系。

本文将讨论一个有趣的问题：如何求解抛物线上的点到一条给定直线的距离的最大值。

问题描述设抛物线方程为y=ax2+bx+c，直线方程为y=mx+d，现在我们要找到在抛物线上的点(x,ax2+bx+c)到直线y=mx+d的距离的最大值。

求解方法为了求解这个问题，我们先要确定点到直线的距离公式。

点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为：$$ \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}} $$接下来，我们假设我们要求解的最大距离对应的点为(x1,ax12+bx1+c)，那么点(x1,ax12+bx1+c)到直线y=mx+d的距离为：$$ \\frac{|m x_1 - ax_1^2 - bx_1 - d|}{\\sqrt{m^2 + 1}} $$为了找到最大距离，我们需要最大化上式。

我们可以通过微分来解决这个问题。

令 $f(x) = \\frac{|m x - ax^2 - bx - d|}{\\sqrt{m^2 + 1}}$，我们需要求解f(x)的极值点。

通过对f(x)求导并令导数为零，我们可以得到最大距离对应的x1的值。

接着，我们将x1的值代回到点的坐标中，即可以得到最大距离对应的点(x1,ax12+bx1+c)。

结论通过以上的求解过程，我们可以找到抛物线上的点到直线的最大距离。

这个问题涉及到了距离的计算和微分，通过适当的数学推导和分析，我们能够有效地解决这类问题。

在实际应用中，这个问题可能会有不同的变体或扩展，但基本的思路和方法仍然适用。

通过深入研究和灵活运用数学原理，我们可以解决更为复杂的几何问题，为实际问题的求解提供有力的支持。

以上是关于抛物线上的点到直线的最大值问题的基本介绍和解法，希望对读者有所启发。

感谢阅读！。

关于抛物线的十个最值问题本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用, 现用定理形式叙述如下: 定理 1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短. 证明:不妨设抛物线的极坐标方程为ρ= ,则显然有ρ≥,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕. 定理 2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短. 证明:设抛物线极坐标方程为ρ= ,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有│AB│=ρ1+ρ2 = +=≥ 2p =通径长, 其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB为通径时.证毕. 定理 3.设A(a,0)是抛物线 y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则│MA│m in =证明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2 = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕. 定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点, F是焦点,M 是抛物线上的动点,则y (│MA│+│MF│)min=a+p/2.Q MA(a,b) 证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知O Fx (│MA│+│MF│)m in =│AQ│= a-(-p/2)=a+p/2.证毕.图1 定理5.设线段AB是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、B为切点的抛物线的两条切线相交于点M,则三角形ABM的面积的最小值为p2. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由A、F、B三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2·(y2-y1)……………(1)于是利用(1)式由两切线方程yAM:y1y=p(x+x1),A BM:y2y=p(x+x2),M Fx 易得M的坐标(x,y)适合:B∵ kMF·kAF=-1, ∴MF⊥AB,即│MF│是△MAB的AB边上的高. 图2 ∵ │MF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p, 又由定理2知│AB│≥2p(通径长), ∴ S△MAB=1/2·│AB│·│MF│≥1/2·2p·p=p2,因其中等号当且仅当AB⊥x 轴时成立,故三角形MAB的最小值为p2.证毕. 定理6.过抛物线y2=2px的顶点O引两条互相垂直的动弦OA和OB,则三角形OAB的面积的最小值为4p2.y 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由OA⊥OB 得A x1x2+y1y2=0 ……………………………………(1) Ox 将y12=2px1, y22=2px2代入(1)立得: x1x2=4p2 (2)于是B (S△OAB) 2=1/4·│OA│2·│OB│2 图3 =1/4·(x12+y12)·(x22+y22)=1/4·(x12+2px1)·(x22+2px2)=1/4·[(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2] ≥1/4·[(x1x2)2+2px 1x2 (2√x1x2)+4p2x1x2]………………………………………(3)将(2)式代入(3)则得(S△OAB)2≥16p4,从而S△OAB≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形OAB的面积的最小值为4p2。

抛物线求最大值和最小值的公式
抛物线是一种常见的二次函数，其一般表达式为f(x)=ax2+bx+c，其中a、b、c为常数且a eq0。

抛物线在数学和物理等各个领域都有着重要的应用，求解其最大值和最小值是常见的问题之一。

求最大值和最小值的方法
要求抛物线的最大值和最小值，可以通过求导数的方法实现。

抛物线的导数是
一条切线的斜率，当切线水平时，抛物线取得最大值或最小值。

首先考虑抛物线f(x)=ax2+bx+c，计算其导数f′(x)，再令f′(x)=0求得
切线水平的点，即为抛物线的最值点。

求解最值的公式
假设抛物线为f(x)=ax2+bx+c，其导数为：
f′(x)=2ax+b
当f′(x)=0时，有：
$$ 2ax + b = 0 \\Rightarrow x = -\\frac{b}{2a} $$
将 $x = -\\frac{b}{2a}$ 代入f(x)，可以求得最大值或最小值。

若a>0，则 $f(-\\frac{b}{2a})$ 为抛物线的最小值；若a<0，则 $f(-
\\frac{b}{2a})$ 为抛物线的最大值。

结论
通过导数的方法，我们可以求解抛物线的最大值和最小值。

对于f(x)=ax2+ bx+c形式的抛物线，最值点的横坐标为 $x = -\\frac{b}{2a}$，通过代入此横坐标
可以得到最大值或最小值。

因此，通过求导数的方法，我们可以轻松地求解抛物线的最值，这对于解决实
际问题具有重要的意义。

以上是关于抛物线求最大值和最小值的公式的介绍，希望对您有所帮助！。

抛物线中的最值问题探究福建漳州市第一外国语学校（363000）　张芙蓉［摘　要］抛物线中的最值问题一直是中考数学的重难点，这类问题考查学生利用数学知识和思想方法解决问题的能力。

文章结合几道例题，从四个方面对抛物线中的最值问题进行分析探讨，以帮助学生突破难点，提升学生的思维品质，发展学生的核心素养。

［关键词］抛物线；最值问题；最大值；最小值［中图分类号］ G 633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）02-0031-03抛物线中的最值问题一直是中考数学的重难点，它包括抛物线中内接四边形面积的最大值或最小值、抛物线中线段和的最大值或最小值、抛物线中线段比的最大值或最小值、抛物线中面积的最大值或最小值等。

如何解答这类问题？下面笔者就此进行分类例析。

一、求抛物线内接四边形面积的最大值抛物线内接四边形是指四边形的四个顶点都在抛物线上，求抛物线内接四边形面积时，一般将其分割为两个三角形的面积，其中一个三角形的面积是固定的，另一个三角形的面积是可变的，只需求得它的最大值，即可求得内接四边形面积的最大值。

［例1］如图1所示，已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）经过点M ()-2，92和N ()2，- 72两点，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。

（1）若点M 是抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点，求抛物线的解析式及A 、B 、C 的坐标；（2）在（1）的条件下，若点P 是A 、C 之间抛物线上的一点，求四边形APCN 面积的最大值及此时点P 的坐标。

分析：（1）设抛物线的顶点式为y =a（x +2）2+92，将点N 坐标代入即可求a 的值，从而确定抛物线的解析式。

（2）设P ()t ，-12t 2-2t +52，先求出直线AC 的解析式为y =12x +52，过点P 作PG ∥y 轴交AC 于点G ，则G ()t ，12t +52，得到S △PAC =-54()t +522+12516，当t =-52时，△PAC 的面积有最大值12516，此时P ()-52，358，求出直线CN 与x 轴的交点为()56，0，再求S △ACN =12×()56+5×()72+52=352，即可求四边形APCN 面积的最大值为40516。

抛物线的最值公式抛物线是数学中常见的曲线，其最值是解决优化问题和求最大最小值的重要工具。

抛物线的一般方程可以写为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。

抛物线开口方向和最值取决于系数a的正负性。

下面将介绍抛物线的最值情况及对应的公式。

1. 抛物线的最值问题给定抛物线方程y=ax^2+bx+c，若a大于0，则抛物线开口朝上；若a小于0，则抛物线开口朝下。

在求解抛物线的最值时，需要确定最值点的横坐标。

2. 抛物线的最值公式1.当抛物线开口朝上（a>0）时，最值出现在抛物线的顶点处。

抛物线的顶点横坐标为-x=b/(2a)，纵坐标为y=f(-b/(2a))。

2.当抛物线开口朝下（a<0）时，最值出现在抛物线的底部。

抛物线的底部横坐标为-x=b/(2a)，纵坐标为y=f(-b/(2a))。

综上所述，抛物线的最值公式可以总结如下：•当a>0时，最大值为f(-b/(2a))，最小值为负无穷；•当a<0时，最小值为f(-b/(2a))，最大值为正无穷。

3. 案例分析以一个具体的抛物线方程为例：y=x^2-4x+3。

首先根据系数a=1>0，确定抛物线开口朝上。

然后利用最值公式，顶点横坐标为x=2，纵坐标为y=1。

因此，该抛物线在x=2处取得最小值1。

通过以上分析，可以看出抛物线最值的计算是通过抛物线的顶点或底部来确定的。

这是优化问题和最大最小值问题中常用的方法，也对解决实际问题具有重要意义。

以上是关于抛物线最值的公式及应用的介绍。

希望对理解抛物线性质和应用有所帮助。

高中数学解析几何题型概述解析几何是高中数学的一个重要组成部分，也是高考的重点和难点之一。

解析几何涉及到直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的性质和应用，以及立体几何中的解析几何应用等方面。

下面将对高中数学解析几何的主要题型进行概述。

1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中最基本的问题之一。

主要涉及到直线与圆的相交、相切、相离等位置关系，以及相关的应用问题。

例如，直线与圆的位置关系可以用来解决与圆相关的问题，如圆与圆的位置关系、圆的切线等问题。

2. 椭圆、双曲线与抛物线的性质椭圆、双曲线与抛物线是高中数学解析几何中最重要的三种曲线。

这三种曲线的性质和应用是高考的重点和难点之一。

例如，椭圆的性质可以用来解决与椭圆相关的问题，如椭圆的焦点、离心率等问题；双曲线的性质可以用来解决与双曲线相关的问题，如双曲线的渐近线、离心率等问题；抛物线的性质可以用来解决与抛物线相关的问题，如抛物线的焦点、准线等问题。

3. 立体几何中解析几何的应用立体几何是高中数学的一个重要组成部分，而解析几何在立体几何中的应用也是高考的重点和难点之一。

例如，利用解析几何的方法可以解决立体几何中的距离、角度等问题；利用解析几何的方法还可以解决立体几何中的面积、体积等问题。

4. 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何中比较复杂的问题之一。

主要涉及到直线与椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的相交、相切、相离等位置关系，以及相关的应用问题。

例如，利用直线与圆锥曲线的位置关系可以解决与圆锥曲线相关的问题，如圆锥曲线的焦点、离心率等问题。

5. 圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程是解析几何中比较特殊的问题之一。

主要涉及到圆锥曲线的一种特殊的方程形式，以及相关的应用问题。

例如，利用圆锥曲线的参数方程可以解决一些与圆锥曲线相关的问题，如圆锥曲线的极坐标方程等问题。

6. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系是解析几何中比较重要的问题之一。

初中数学专题分类突破：抛物线中几何图形的最值问题 , 类型 1 线段的最值问题)例1图【例1】 如图所示，线段AB ＝10，点P 在线段AB 上，在AB 的同侧分别以AP ，BP 为边长作正方形APCD 和BPEF ，点M ，N 分别是EF ，CD 的中点，则MN 的最小值是__5__．变式 某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y ＝1100x 2的形状．今在一个坡度为1∶5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两个离地面高度为20米的塔柱(如图)，这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离是( B )变式图A ．12.75米B ．13.75米C ．14.75米D ．17.75米, 类型 2 线段和差的最值问题【例2】 如图所示，已知抛物线y ＝－x 2＋px ＋q 的对称轴为直线x ＝－3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx ＋b 与该抛物线的另一个交点为N(－1，1)．若要在y 轴上找一点P ，使得PM ＋PN 最小，则点P 的坐标为( A )A ．(0，2)B.⎝⎛⎭⎪⎫0，53C.⎝⎛⎭⎪⎫0，43D.⎝⎛⎭⎪⎫0，32例2图变式图变式 如图所示，二次函数y ＝－x 2－3x ＋4的图象交x 轴于A ，B ，交y 轴于点C.点P 是抛物线的对称轴上一动点，若|PA －PC|的值最大，则点P 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，10 ．, 类型 3 面积的最值问题【例3】 正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内抛物线l 上的动点．则△OAE 与△OCE 面积之和的最大值是__9__．例3图变式图变式 如图所示，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)a ＝__－12__，b ＝__3__；(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x ＜6)，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y ＝ax 2＋bx ， 得⎩⎨⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝3，变式答图(2)如图，过A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连结CD，CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，S△OAD ＝12OD·AD＝12×2×4＝4；S△ACD ＝12AD·CE＝12×4×(x－2)＝2x－4；S△BCD ＝12BD·CF＝12×4×⎝⎛⎭⎪⎫－12x2＋3x＝－x2＋6x，则S＝S△OAD ＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝－x2＋8x，∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)．∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.1．（泸州中考）已知抛物线y＝14x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴第1题图的距离始终相等，如图，点M的坐标为(3，3)，P是抛物线y＝14x2＋1上一动点，则△PMF周长的最小值是( C)A．3 B．4 C．5 D．6第2题图2．如图所示，抛物线y＝－x2－2x＋3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)写出A，B，C三点的坐标：A(__－3__，__0__)，B(__1__，__0__)，C(__0__，__3__)．(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A，B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P 在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积．解：(2)由抛物线y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4可知，对称轴为直线x＝－1，设点M的横坐标为m，则PM＝－m2－2m＋3，MN＝(－m－1)×2＝－2m－2，∴矩形PMNQ的周长＝2(PM＋MN)＝2(－m2－2m＋3－2m－2)＝－2m2－8m＋2＝－2(m＋2)2＋10，∴当m ＝－2时矩形的周长最大．∵点A(－3，0)，C(0，3)，可求得直线AC 的函数表达式为y ＝x ＋3， 当x ＝－2时，y ＝－2＋3＝1，则点E(－2，1)， ∴EM ＝1，AM ＝1，∴S ＝12AM ·EM ＝12.第3题图3．（东营中考）如图所示，直线y ＝－33x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB ＝90°，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点M 作MH⊥BC 于点H ，作MD∥y 轴交BC 于点D ，求△DMH 周长的最大值．解：(1)∵直线y ＝－33x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点， ∴B(3，0)，C(0，3)， ∴OB ＝3，OC ＝3，∴BC ＝23， ∴∠CBO ＝30°，∠BCO ＝60°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＝30°，∴AO ＝1，∴A(－1，0)． ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－33，b ＝233，∴抛物线解析式为y ＝－33x 2＋233x ＋ 3. (2)∵MD∥y 轴，MH ⊥BC ，∴∠MDH ＝∠BCO＝60°，则∠DMH＝30°， ∴DH ＝12DM ，MH ＝32DM ，∴△DMH 的周长＝DM ＋DH ＋MH ＝DM ＋12DM ＋32DM ＝3＋32DM ，∴当DM 有最大值时，其周长有最大值， ∵点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，∴可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－33t 2＋233t ＋3，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－33t ＋3，∴DM ＝－33t 2＋233t ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－33t ＋3＝－33t 2＋3t ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋334，∴当t ＝32时，DM 有最大值，最大值为334，此时3＋32DM ＝3＋32×334＝93＋98，即△DMH 周长的最大值为93＋98.第4题图4．已知：抛物线l 1：y ＝－x 2＋bx ＋3交x 轴于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ，其对称轴为x ＝1，抛物线l 2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E(5，0)，交y 轴于点D ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52. (1)求抛物线l 2的函数表达式；(2)M 为抛物线l 2上一动点，过点M 作直线MN ∥y 轴，交抛物线l 1于点N ，求点M 自点A运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值．解：(1)∵抛物线l 1：y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为x ＝1，∴－b－2＝1，解得b ＝2，∴抛物线l 1的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，令y ＝0，可得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3， ∴A 点坐标为(－1，0)，∵抛物线l 2经过A ，E 两点， ∴可设抛物线l 2的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －5)， 又∵抛物线l 2交y 轴于点D ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52， ∴－52＝－5a ，解得a ＝12，∴y ＝12(x ＋1)(x －5)＝12x 2－2x －52，∴抛物线l 2的函数表达式为y ＝12x 2－2x －52.(2)由题意可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x 2－2x －52，∵MN ∥y 轴，∴N(x ，－x 2＋2x ＋3)，令－x 2＋2x ＋3＝12x 2－2x －52，解得x ＝－1或x ＝113.①当－1＜x≤113时，MN ＝(－x 2＋2x ＋3)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －52＝－32x 2＋4x ＋112＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋496， 显然，－1＜43≤113，∴当x ＝43时，MN 有最大值496；②当113＜x≤5时，MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －52－(－x 2＋2x ＋3)＝32x 2－4x －112＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432－496，显然，当x ＞43时，MN 随x 的增大而增大，∴当x＝5时，MN有最大值，32×⎝⎛⎭⎪⎫5－432－496＝12.综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12.。

抛物线顶点在x轴上的特点
抛物线是一种二次函数图像，它的形状向下开口或向上开口。

抛物线有一个特殊的点，称为顶点，它位于抛物线的对称轴上。

在抛物线中，如果顶点位于x轴上，那么它具有以
下特点：
一、顶点对应的x坐标是抛物线的对称轴。

因为顶点位于对称轴上，所以对称轴也就
是x轴。

二、顶点的纵坐标是抛物线的最值。

如果抛物线向下开口，那么顶点是最高点，纵坐
标为极小值；如果抛物线向上开口，顶点是最低点，纵坐标为极大值。

当顶点在x轴上时，抛物线的最值为0。

这是因为抛物线的顶点位于x轴上时，其左右两侧的函数值都为正数，当函数值达到最值（最大值或最小值）时，抛物线与x轴的交点即为0。

三、顶点为抛物线的最值点。

顶点是一个重要的点，因为抛物线在顶点处的函数值为
最大值或最小值，而这个最值点对应的函数是平稳的，即导数等于0，因此在求解最值问
题时，我们可以通过求解导数等于0的方程来求解。

四、抛物线的左右两侧有两段相等的函数值。

当抛物线的顶点位于x轴上时，抛物线
左右两侧的函数值恰好相等。

这是因为当函数值为最值时，其左右两侧的函数值相等。

因此，在顶点位于x轴的抛物线图像中，该抛物线图像呈现一种对称性。

抛物线中的最值问题的解法授课人：彭春齐第1课时一．考情分析：最值问题是高中数学教学中的常见问题，而圆锥曲线中的最值问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目，是解析几何中难点问题，也是高考中热点问题。

学习圆锥曲线的过程中，在适当的时机引导学生去探求与之相关的最值问题，可以“培养学生的思维能力，使学生在掌握基础知识的过程中，学会感知、观察、归纳、类比、想象、抽象、概括、转化、推理、证明和反思等逻辑思考的基本方法。

二．教学目标：掌握抛物线中最值问题的基本方法：定义法、函数思想法、数形结合法（第2课时） 三．教学重点：化归转化思想、分类讨论思想在求解抛物线最值问题中应用。

四、教学过程：1.利用抛物线的定义求最值例1已知点()2,4-A ，F 为抛物线x y 82=的焦点，点M 在抛物线上移动，当MF MA +取最小值时，点M 坐标为（ D ）()00.，A ()22,1.-B ()2,2.-C ⎪⎭⎫⎝⎛-2,21.D 解析：如图，易知点A 在抛物线内，抛物线准线方程为2-=x 由抛物线定义可将点MF转化为点M 到准线的距离，由点M 作准线的垂线，垂足为N ，即MN MF =,MNMA MF MA +=+∴.这样就转化成求MNMA +的最小值，又 在AMN ∆中，ANMN MA >+，只有当A 、M 、N 三点共线时，MNMA +有最小值AN，即此时MF MA +取得最小值AN。

易求得此时点M 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2,21，故选D 。

规律总结：在圆锥曲线中已知一定点A 和焦点F ，点M 为圆锥曲线上一动点，求MF e MA 1+的最小值时，要利用圆锥曲线统一定义将MF e 1转化为到相应准线的距离，再求相应折线段和的最小值，当折线变成一条直线时取最小值。

变式训练：.已知点P 是抛物线x y 22=上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛4,27，则PMPA +的最小值是 29。

抛物线中的最值问题作者：王荣李家洪来源：《高中生学习·高二理综版》2015年第03期圆锥曲线的最值是一类综合性强、涉及知识广的问题.破解这类问题常利用函数与方程、数形结合、转化与化归等数学思想与方法，将它转化为解不等式、求函数的值域或利用平面几何知识来解决.本文对抛物线中常见的几类最值分类探究.点与点、点与线之距离的最值问题例1 在抛物线[y2=2pxp>0]上求一点，使它到直线[l]：[Ax+By+C=0]（其中[A≠0，pB2法1 由已知，直线[l]与抛物线相离，设直线[l1]：[Ax+By+m=0]与抛物线相切，联立[Ax+By+m=0，y2=2px]消去[x]得，[A2py2+By+m=0].由[Δ=B2-4∙A2p∙m=0]得，[m=pB22A].故直线[l1]的方程为：[Ax+By+pB22A=0].由两平行线间的距离公式得，[dmin=pB22A-CA2+B2=pB2-2AC2AA2+B2=2AC-pB22AA2+B2].进而得所求抛物线上的点为[pB22A2，-pBA].法2 由已知，直线[l]与抛物线相离，设抛物线上一点[Px0，y0]，则[y02=2px0].点[P]到直线[l]的距离[d=Ax0+By0+CA2+B2=A∙y022p+By0+CA2+B2=A2p∙y0+pBA2+p2AC-pB2A2A2+B2.]又[pB2注意到[y0∈R]，因此，当[y0=-pBA]时，[dmin=2AC-pB22AA2+B2]，可得所求点的坐标为[pB22A2，-pBA].法3 由已知，直线[l]与抛物线相离，设抛物线上一点[Px0，y0]到直线[l]的距离最短.在抛物线[y2=2px]中，两边同时对[x]求导得[2y∙y=2p]，即[y=py].故[y|y=y0=py0].由[py0=-AB]得，[y0=-pBA]，即所求点[P]的坐标为[pB22A2，-pBA].根据点到直线的距离公式得[dmin=2AC-pB22AA2+B2].线段之和（或积）的最值问题例2 过抛物线[y2=2pxp>0]的焦点[F]作两条互相垂直的弦[AB]，[CD]，求[AB+CD]与[AB∙CD]的最小值.法1 由题意知，直线[AB]，[CD]均不垂直于坐标轴.设直线[AB]的方程为[y=kx-p2]，则直线[CD]的方程为[y=-1kx-p2].联立[y=kx-p2，y2=2px]消去[x]得，[ky2-2py-kp2=0].则[Δ=4p2k2+1>0]恒成立.记[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，得[y1+y2=2pk]，[y1y2=-p2].故[AB=1+1k2y1+y22-4y1y2=2p1+1k2]，同理[CD=2p1+k2].[∴AB+CD=2p1+1k2+2p1+k2=2p2+k2+1k2，][AB∙CD=4p21+1k21+k2=4p22+k2+1k2]，当[k2=1]即[k=±1]时，[AB+CDmin=8p]，[AB∙CDmin=16p2].法2 由题意知，直线[AB]，[CD]均不垂直于坐标轴.设[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，直线[AB]的斜率为[k]，则[y1-y2x1-x2=k].又[y12=2px1]，[y22=2px2]，两式相减得[y12-y22=2px1-x2]，即[y1+y2=2p∙x1-x2y1-y2]，故[y1+y2=2pk.]又直线[AB]的方程为[y=kx-p2]，所以[y1+y2=kx1+x2-p]，即[x1+x2=2pk2+p].由抛物线的定义得，[AB=AF+BF=x1+p2+x2+p2][=x1+x2+p][=2pk2+2p，]同理[CD=2p1+k2].以下略.点拨一般地，设[Ma，b]是不在抛物线的[y2=2pxp>0]上的定点，过点[M]作抛物线的两条互相垂直的弦[AB]，[CD]，求[AB+CD]与[AB∙CD]的最小值. （留与同学们解答）三角形、四边形等多边形之面积的最值问题例3 过抛物线[y2=2pxp>0]的顶点[O]引两条互相垂直的动弦[OA]和[OB]，求三角形[AOB]的面积的最小值.法1 直线[OA]和[OB]的斜率均存在且不为零.设直线[OA]的方程为[y=kx]，则直线[OB]的方程为[y=-1kx].联立[y=kx，y2=2px]得[A2pk2，2pk]，同理得[B2pk2，-2pk].所以[SΔAOB=12OA∙OB][=124p2k4+4p2k2∙4p2k4+4p2k2=2p22+k2+1k2]，当[k2=1]即[k=±1]时，[SΔAOBmin=4p2].法2 设[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，由[OA⊥OB]得，[x1x2+y1y2][=0].又[y12=2px1]，[y22=2px2]，于是得[x1x2=4p2].[SΔAOB2=14OA2∙OB2=14x12+y12x22+y22=14x12+2px1x22+2px2][=14x1x22+2px1x2x1+x2+4p2x1x2][≥14x1x22+2px1x22x1x2+4p2x1x2][=144p22+2p∙4p224p2+4p2∙4p2=16p4].从而[SΔAOB≥4p2]. 当且仅当[x1=x2=2p]时取等号.因此[SΔAOBmin=4p2].点拨一般地，设[Pa，b]是抛物线上的一定点，过点[P]作抛物线[y2=2pxp>0]的两条互相垂直的动弦[PA]和[PB]，求三角形[APB]的面积的最小值. （留与同学们解答）弦长为定值之动弦中点到准线距离的最值问题例4 定长为[l]（[l>0]）的线段[AB]的两端点在抛物线[y2=2pxp>0]上移动，求线段[AB]的中点[M]到[y]的最短距离.法1 由题意知，直线[AB]的斜率一定不为零.故可设直线[AB]的方程为[x=ty+m].联立[x=ty+m，y2=2px]消去[x]得，[y2-2pty-2pm=0].则[Δ=4ppt2+2m>0].记[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，[∴y1+y2=2pt]，[y1y2=-2pm].从而[x1+x2=ty1+y2+2m=2pt2+2m].[AB=1+t2y1+y22-4y1y2=4p1+t2pt2+2m，]又[AB=l].[∴4p1+t2pt2+2m=l2]，即[m=l28p1+t2-12pt2].线段[AB]的中点[M]到[y]的距离[d=xM=x1+x22=pt2+m=l28p1+t2+12pt2].即[d=p2l2p2t2+1+t2].设[μ=t2+1]，由[t∈R]知，[μ≥1].[∴d=p2l2p2μ+μ-1].若[l2p≥1]即[l≥2p]时，[dmin=l-p2].此时[t2=l2p-1].若[0综上可得[dmin=l-p2，l≥2p，l28p， 0法2 设线段[AB]的中点[Mx0，y0].直线[AB]的参数方程为[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα]（其中[t]为参数，直线的倾斜角[α∈0，π]）.代入[y2=2px]整理得，[sin2αt2+][2y0sinα-pcosαt][+y02-2px0=0].记点[A]，[B]对应的参数分别为[t1]，[t2].由韦达定理与参数的几何意义知，[t1+t2=-2y0sinα-pcosαsin2α]，[t1t2=y02-2px0sin2α].因为[M]是线段[AB]的中点，及[AB=l]，所以[t1+t2=0]，[t1t2=-l22].[∴y0=pcosαsinα，]且[y02-2px0=-14l2sin2α].线段[AB]的中点[M]到[y]的距离[d=x0=l28psin2α+y022p=l28psin2α+p2cos2αsin2α][=l28psin2α+p21sin2α-p2].令[μ=sin2α]，由[α∈0，π]知，[0从而[d=l28pμ+2pl2μ-p2] .若[2pl≤1]即[l≥2p]时，[dmin=l-p2]，此时[sin2α=2pl].若[2pl>1]即[0除上述几类最值问题，还有很多类型.解题中要灵活运用抛物线的定义、平面几何知识化为熟悉的类型运用常规方法求解.。

竭诚为您提供优质的服务，优质的文档，谢谢阅读/双击去除关于抛物线的十个最值问题本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用,现用定理形式叙述如下:定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.证明:不妨设抛物线的极坐标方程为ρ= ,则显然有ρ≥ ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕.定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短.证明:设抛物线极坐标方程为ρ= ,焦点弦为Ab,且设A(ρ1,θ),b(ρ2,θ+π),则有│Ab│=ρ1+ρ2= + = ≥2p=通径长,其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2(k∈Z)即弦Ab为通径时.证毕.定理3.设A(a,0)是抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,m(x,y)是抛物线上的动点,则│mA│min=证明:由│mA│2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2px=x2-2(a-p)x+a2 =[x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕.定理4.设A(a,b)是抛物线y2=2px(p＞0)内一定点,F是焦点,m是抛物线上的动点,则(│mA│+│mF│)min=a+p/2.Q m A(a,b)证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知o F x(│mA│+│mF│)min=│AQ│=a-(-p/2)=a+p/2.证毕. 图1定理5.设线段Ab是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、b 为切点的抛物线的两条切线相交于点m,则三角形Abm的面积的最小值为p2.证明:设A(x1,y1),b(x2,y2),则由A、F、b三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2.(y2-y1) (1)于是利用(1)式由两切线方程yAm:y1y=p(x+x1),Abm:y2y=p(x+x2),m F x易得m的坐标(x,y)适合: b∵kmF·kAF=-1,∴mF⊥Ab,即│mF│是△mAb的Ab边上的高. 图2∵│mF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p,又由定理2知│Ab│≥2p(通径长),∴s△mAb=1/2·│Ab│·│mF│≥1/2·2p·p=p2,因其中等号当且仅当Ab⊥x轴时成立,故三角形mAb的最小值为p2.证毕.定理6.过抛物线y2=2px的顶点o引两条互相垂直的动弦oA和ob,则三角形oAb的面积的最小值为4p2. y证明:设A(x1,y1),b(x2,y2),则由oA⊥ob得Ax1x2+y1y2=0 (1)o x将y12=2px1,y22=2px2代入(1)立得:x1x2=4p2 (2)于是b(s△oAb)2=1/4·│oA│2·│ob│2图3=1/4·(x12+y12)·(x22+y22)=1/4·(x12+2px1)·(x22+2px2)=1/4·[(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2]≥1/4.[(x1x2)2+2px1x2(2√x1x2)+4p2x1x2] (3)将(2)式代入(3)则得(s△oAb)2≥16p4,从而s△oAb≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形oAb的面积的最小值为4p2。

微专题(二十八) 抛物线中的最值问题求解与抛物线有关的最值问题方法较多，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法[例1] 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，B (－1,1)，点P 到直线l ：x ＝－12的距离为d ，求d ＋|PB |的最小值．解析：由题意得抛物线y 2＝2x 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l 是抛物线的准线，如图，连接BF ，PF ，所以d ＝|PF |，则d ＋|PB |＝|PF |＋|PB |≥|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋(1－0)2＝132，当且仅当B ，P ，F 三点共线时取等号，所以d ＋|PB |的最小值为132. 名师点评 与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算.[例2] 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．解析：解法一 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝|8－43|5＝43.解法二 由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.答案：43名师点评 若抛物线上的点P 到直线l 的距离最小，则过点P 与l 平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离．3．函数法针对上面的例2，我们给出第三种解决方法：解法三 设P (x ，－x 2)，则点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4x －3x 2－8|16＋9＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋43，在抛物线y ＝－x 2中，x ∈R ，所以当x ＝23时，d 取得最小值43，即抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.[例3] 若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________．解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A (3,0)，则|PQ |≥|PA |－|AQ |＝|PA |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号，所以当|PA |取得最小值时，|PQ |最小．设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|PA |＝(x 0－3)2＋y 20＝x 20－6x 0＋9＋x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|PA |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1. 答案：112－1 名师点评 解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标．。

抛物线中的若干最值问题
1.抛物线的最高点在哪里？
抛物线的最高点，即顶点，是x坐标为-b/2a的点，y坐标为f(-
b/2a)。

2.抛物线与x轴交点有几个？
抛物线与x轴交点有0个、1个或2个，具体取决于抛物线的开口方向和方程的根。

3.抛物线的对称轴方程是多少？
抛物线的对称轴方程是x=-b/2a，具有以下特点：
-对称轴垂直于x轴；
-顶点位于对称轴上。

4.抛物线的最小值在哪里？
当抛物线开口向上时，抛物线没有最小值，最小值为负无穷；当抛物线开口向下时，最小值为f(-b/2a)。

5.抛物线有没有最大值？
当抛物线开口向上时，最大值为f(-b/2a)；当抛物线开口向下时，抛物线没有最大值，最大值为正无穷。

6.抛物线经过定点的条件是什么？
设定点为(x0,y0)，则抛物线经过该点的条件是方程f(x0)=y0成立。

7.抛物线对于x轴的对称点是哪个？
抛物线上任意一点与x轴对称的点的纵坐标为该点纵坐标的相反数，横坐标不变。

8.抛物线的拐点在哪里？
当抛物线开口向上并且a>0时，抛物线不存在拐点；当抛物线开口向下并且a<0时，拐点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)-|a|/4。

9.抛物线的单调区间是什么？。

抛物线最值问题抛物线是二次函数的一种，其一般形式为f(x)=ax²+bx+c (a ≠0)。

在解决实际问题时，我们经常会遇到与抛物线最值相关的问题。

这类问题通常涉及到求函数的最大值或最小值，以及确定使函数取得最值的自变量的值。

下面我们来探讨一下抛物线最值问题的解决方法。

我们需要了解抛物线的开口方向和对称轴。

开口方向由a的正负决定，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

对称轴是抛物线上的一条水平直线，使得抛物线上的点关于这条直线对称。

对称轴的方程为x=-b/2a。

我们可以根据抛物线的开口方向和对称轴来确定函数的最值。

1. 当a>0时，抛物线向上开口，函数在对称轴处取得最小值。

最小值为f(-b/2a)=4ac-b²/4a。

此时，自变量x=-b/2a使得函数取得最小值。

2. 当a<0时，抛物线向下开口，函数在对称轴处取得最大值。

最大值为f(-b/2a)=4ac-b²/4a。

此时，自变量x=-b/2a使得函数取得最大值。

3. 当a=0时，抛物线变为一次函数y=ax²+bx+c。

此时，函数在顶点处取得最大值或最小值。

顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)=4ac-b²/4a。

此时，自变量x=-b/2a使得函数取得最大值或最小值。

通过以上分析，我们可以总结出求解抛物线最值问题的一般步骤：1. 确定抛物线的开口方向和对称轴。

2. 根据开口方向和对称轴确定函数的最值及其对应的自变量的值。

3. 将最值代入实际问题中进行求解。

抛物线中的定值、最值问题探究以２０１７年遵义市中考数学第２７题为例包胜利(通渭县陇川学校ꎬ甘肃定西７４３３１９)摘㊀要:抛物线中的定值问题和最值问题是个难点ꎬ主要涉及动点及动点的路径问题ꎬ所利用的结论主要是两点之间线段最短以及垂线段最短.文章以２０１７年遵义市的一道中考题为例ꎬ先利用网络画板进行实验探究ꎬ然后给出试题的多种解法.关键词:定值ꎻ最值ꎻ动点ꎻ相似三角形中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０５－０００２－０３收稿日期:２０２３－１１－１５作者简介:包胜利(１９７５.１０－)ꎬ男ꎬ甘肃省通渭人ꎬ本科ꎬ中小学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀初中最值问题大致分为几何最值和代数最值两类.几何最值是指在一定条件下ꎬ求几何图形中某个确定的几何量(如长度㊁角度㊁面积等)的最大值或最小值ꎬ而代数最值是指求一些简单的代数式或与实际问题相关(如用料最省㊁成本最低㊁能耗最少㊁产值最高㊁利润最高等)的问题.１几何最值问题的求解思路在初中阶段ꎬ解决几何最值问题的依据有两个ꎬ一是两点之间ꎬ线段最短ꎻ二是垂线段最短.由这两个依据延伸出以下常用的结论:三角形任意两边之和大于第三边ꎬ任意两边之差小于第三边ꎻ过圆内一点的所有弦中ꎬ垂直于过这点的直径的弦最短ꎻ直径是圆中最长的弦.因此ꎬ几何方法求最值的思路是:将几何图形中的最值转化成基本的几何模型 两点之间ꎬ线段最短 和 垂线段最短 .其关键是抓住运动变化中不变的相关量(长度㊁角度㊁面积)与变化的相关量比较大小.即通过平移㊁旋转㊁轴对称将多条线段首尾相连转化到两定点之间的线段上ꎬ实现 折 转 直 ꎬ利用 两点之间ꎬ线段最短 说明最小.或者将问题转化为一定点到一条定直线的距离ꎬ利用 垂线段最短 即可得出最小值.２几何最值案例分析２.１试题呈现如图１ꎬ抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－ａ－ｂ(ａ<０ꎬａꎬｂ为常数)与ｘ轴交于ＡꎬＣ两点ꎬ与ｙ轴交于Ｂ点ꎬ直线ＡＢ的函数关系式为ｙ＝８９ｘ＋１６３.(１)求该抛物线的解析式与Ｃ点坐标.(２)已知点Ｍ(ｍꎬ０)是线段ＯＡ上的一个动点ꎬ过点Ｍ作ｘ轴的垂线ｌ分别与直线ＡＢ和抛物线交于ＤꎬＥ两点ꎬ当ｍ为何值时ꎬΔＢＤＥ恰好是以ＤＥ为底边的等腰三角形[１](３)在(２)问条件下ꎬ当ΔＢＤＥ恰好是以ＤＥ为底边的等腰三角形时ꎬ动点Ｍ相应位置记为点Ｍᶄꎬ将ＯＭᶄ绕原点Ｏ顺时针旋转得到ＯＮ(旋转角在０ʎ到９０ʎ之间).①探究:线段ＯＢ上是否存在定点Ｐ(Ｐ不与ＯꎬＢ重合)ꎬ无论ＯＮ如何旋转ꎬＮＰＮＢ始终保持不变?若２存在ꎬ试求出Ｐ点坐标ꎻ若不存在ꎬ请说明理由[２].②试求出此旋转过程中ꎬＮＡ＋３４ＮＢ的最小值[３].图１㊀中考题图２.２探究实验第(２)问:如图２ꎬ拖动点Ｍꎬ观察ＢＥ和ＢＤ测量值的变化ꎬ是否存在相等的情形ꎬ有几种情况?第(３)问:如图３所示ꎬ拖动点Ｎꎬ观察对应测量值ꎬ可以发现:当点Ｐ的坐标为(０ꎬ３)时ꎬＮＰＮＢ＝３４(定值)ꎻ当ΔＮＯＰʐΔＢＯＮ时ꎬＮＡ＋３４ＮＢ存在最小值ꎬ即求ＮＡ＋ＮＰ的最小值.图２㊀探究等腰三角形图３㊀探究最小值问题２.３思路分析(１)根据已知条件求出ＡꎬＢ坐标ꎬ用待定系数法可求出抛物线解析式.(２)作ＢＦʅｌꎬ与ｌ交于Ｆ点ꎬ根据等腰三角形的性质得到ＥＦ＝ＦＤ＝１２ＤＥꎬＦＭ＝ＯＢ＝１６３ꎬ列方程即可得到结论.图４㊀探究定值问题(３)对于问题１ꎬ如图４所示ꎬ探究ＮＰＮＢ的定值是一个比值ꎬ可联想相似三角形或三角函数ꎬ寻找与固定点(点ＭᶄꎬＯꎬＢ)有关的三角形ꎬ即探究以点ＯꎬＰꎬＢꎬＮ为顶点组成的某两个三角形是否相似ꎬ由此猜想ＮＰＮＢ可能的比值.若ΔＮＢＰʐΔＯＢＮ时ꎬＮＢＯＢ＝ＮＰＯＮꎬ可得ＮＰＮＢ＝ＯＮＯＢ＝３４ꎬ根据已知条件无法求出点Ｐ的坐标.若әＮＯＰʐәＢＯＮ时ꎬＯＰＯＮ＝ＮＰＮＢ＝ＯＮＯＢ＝３４ꎬＮＰＮＢ不变ꎬ根据已知条件ＯＮ２＝ＯＰ ＯＢꎬ可以求出点Ｐ坐标是确定的.对于问题２ꎬ求两条线段和的最小值ꎬ首先想到 将军饮马 问题模型ꎬ即 ＰＡ＋ＰＢ 型最短问题ꎬ但两条线段系数不为１.因此将３４ＮＢ的系数转化为系数是１的线段ꎬ由问题１知ＮＰＮＢ＝ＯＰＯＮ＝３４ꎬ得到ＮＰ＝３４ＮＢꎬ将ＮＡ＋３４ＮＢ转化为两个定点ＡꎬＰ间折线段和的最小值问题ꎬ即求ＮＡ＋ＮＰ的最小值.２.４解法探究(１)因为直线ｌ:ｙ＝８９ｘ＋１６３与ｘ轴交于Ａ(－６ꎬ０)ꎬ与ｙ轴交于Ｂ０ꎬ１６３æèçöø÷ꎬ将ＡꎬＢ坐标代人抛物线方程可得３６ａ－６ｂ－ａ－ｂ＝０ꎬ－ａ－ｂ＝１６３ꎬ{解得ａ＝－８９ꎬｂ＝－４０９.ìîíïïïï所以该抛物线的解析式为ｙ＝－８９ｘ２－４０９ｘ＋１６３.由直线ｘ＝－ｂ２ａ＝－５２可知点Ｃ坐标(１ꎬ０).(２)解法１㊀如图５所示ꎬＥＭʅｘ轴ꎬＭ(ｍꎬ０)ꎬ则Ｄｍꎬ８９ｍ＋１６３æèçöø÷ꎬＥｍꎬ－８９ｍ２－４０９ｍ＋１６３æèçöø÷.３ΔＢＤＥ是以ＤＥ为底边的等腰三角形ꎬ作ＢＦʅｌꎬ与ｌ交于Ｆ点ꎬ所以ＤＦ＝１２ＤＥ.因为ＤＥ＝－８９ｍ２－４０９ｍ＋１６３æèçöø÷－８９ｍ＋１６３æèçöø÷＝－８９ｍ２－４８９ｍꎬ由ＤＦ＋ＤＭ＝ＦＭ可得ꎬ１２－８９ｍ２－４８９ｍæèçöø÷＋８９ｍ＋１６３æèçöø÷＝１６３ꎬ整理得ｍ２＋４ｍ＝０ꎬ解得ｍ１＝－４ꎬｍ２＝０(不合题意ꎬ舍去).图５㊀解法１图㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图６㊀解法２图解法２㊀如图６所示ꎬ因为点Ｍ(ｍꎬ０)ꎬ且ｌʅｘ轴ꎬ所以Ｄｍꎬ８９ｍ＋１６３æèçöø÷.当ＤＥ为底时ꎬ作ＢＧʅＤＥ于Ｇꎬ则ＥＧ＝ＧＤ＝１２ＥＤꎬＧＭ＝ＯＢ＝１６３ꎬ所以１２－８９ｍ２－４０９ｍ＋１６３＋８９ｍ＋１６３æèçöø÷＝１６３ꎬ解得ｍ１＝－４ꎬｍ２＝０(不合题意ꎬ舍去).(３)解法１㊀对于问题１ꎬ存在点Ｐꎬ使ＮＰＮＢ始终保持不变.如图７所示ꎬ因为øＮＯＰ＝øＢＯＮꎬ所以当øＯＮＰ＝øＯＢＮ时ꎬәＯＮＰʐәＯＢＮꎬ此时ＮＰＮＢ＝ＯＰＯＮ＝ＯＮＯＢ＝４１６３＝３４ꎬ始终保持不变ꎬ所以ＯＰ＝３４ＯＮ＝３４ˑ４＝３ꎬ存在点Ｐ(０ꎬ３).结论:无论ＯＮ如何旋转ꎬ总存在Ｐ(０ꎬ３)ꎬ使ＮＰＮＢ始终保持不变.对于问题２ꎬ由问题１知ꎬＮＰ＝３４ＢＮꎬ其中Ｐ(０ꎬ３)ꎬ所以ＮＡ＋３４ＮＢ＝ＮＡ＋ＮＰꎬ所以当ＡꎬＮꎬＰ共线ꎬ即图７㊀第(３)问图当Ｎ点旋转到ＡＰ上时ꎬＮＡ＋３４ＮＢ的值最小ꎬ最小值即为ＡＰ＝３２＋６２＝３５.解法２㊀对于问题１ꎬ存在点Ｐꎬ使得ＮＰＮＢ始终保持不变.因为ＯＮ＝４ꎬＯＢ＝１６３ꎬøＮＯＰ＝øＢＯＮꎬ所以当ΔＮＯＰʐΔＢＯＮ时ꎬＯＰＯＮ＝ＮＰＮＢ＝ＯＮＯＢ＝３４ꎬ所以ＮＰＮＢ始终保持不变ꎬ即ＯＰ＝３ꎬ所以Ｐ(０ꎬ３).对于问题２ꎬ由问题１知ꎬＯＰＯＮ＝ＮＰＮＢ＝３４ꎬ所以ＮＰ＝３４ＮＢꎬ所以ＮＡ＋３４ＮＢ＝ＮＡ＋ＮＰꎬ所以此时ＮꎬＡꎬＰ三点共线ꎬ如图７所示ꎬ所以ＮＡ＋３４ＮＢæèçöø÷ｍｉｎ＝３２＋６２＝３５.３结束语探求定值一般是先分清问题的不变量与变量ꎬ而定值往往与这些不变量中的某些量(或它们的代数式)有关ꎬ常将一般问题特殊化ꎬ运用特殊情形(即用特殊值㊁特殊位置㊁特殊图形等)探求定值.参考文献:[１]陆丽丽.巧构造妙转化:另类线段和的最值问题[Ｊ].上海中学数学ꎬ２０１９(１０):１９－２１ꎬ４３.[２]孙玉军ꎬ罗勇ꎬ李圣波.２０１７年中考 图形的变化 专题解题分析[Ｊ].中国数学教育ꎬ２０１８(Ｚ１):１１５－１２３.[３]李玉荣.三类新型最值问题的解法探究:以近年中考试题为例[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０１９(２１):３１－３４.[责任编辑:李㊀璟]４。