陕西省西安交大附中2018-2019学年九年级(上)第一次月考数学试卷 含解析

2020-2021学年陕西省西安交大附中航天学校九年级（上）第一次月考数学试卷-解析版2020-2021学年陕西省西安交大附中航天学校九年级（上）第一次月考数学试卷1.下列是一元一次方程的是()A. x2?2x?3=0B. 2x+y=5C. x2+1x=1 D. x+1=02.已知2x=3y(y≠0)，则下面结论成立的是()A. xy =32B. x3=2yC. xy=23D. x2=y33.在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有()A. 5个B. 10个C. 15个D. 25个4.如图，l1//l2//l3，AB=2，BC=4，DB=3，则DE的长为()A. 4B. 5C. 6D. 95.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOD=120°，对角线AC=4，则BC的长为()A. 1B. 2√3C. √3D. 26.某果园2018年砂糖橘产量为80吨，2020年要达到100吨，设砂糖橘产量的年平均增长率为x，则依据题意所列方程为()A. 80(1+x)2=100B. 80(1+x)3=100C. 80(1+2x)=100D. 100(1?x)2=807.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD=5cm，则EF为()A. 5B. 10C. 15D. 208.关于x的一元二次方程kx2?4x+1=0有实数根，则k的取值范围是()A. k≥?4B. k≥?4且k≠0C. k≤4D. k≤4且k≠09.如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是()A. ∠B=∠DACB. ∠BAC=∠ADCC. AD2=BD?BCD. AC2=DC?BC10.正方形ABCD的边长是4，P为BC上的动点，连接PA，作PQ⊥PA，PQ交CD于Q，连接AQ，则AQ的最小值是()A. 5B. 2√5C. √17D. 411.已知xy =23，那么x+yx=______．12.如图，△ABC中，点D、E分別在AB、AC上，DE//BC，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为______．13.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O成位似关系，且相似比k=13.若B(2,1)，则点E的坐标是______．14.已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB.若AB=2，则AP=______．15.设x1，x2是方程x2+2x?2020=0的两个实数根，则1x1+1x2=______．16.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是______．17.用适当的方法解下列方程(1)x2?4x=5；(2)(x+1)(x+8)=?12．18.解分式方程：3x+2+2=2xx?2．19.在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=60°，利用尺规作图在AC边上求作一点D，使得△ABC∽△BDC.(不写作法，保留作图痕迹)20.如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．(1)求证：四边形AEDF是菱形．(2)若AF=13，AD=24.求四边形AEDF的面积．21.随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为______；(2)用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．22.如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．(1)求证：△ABE∽△DFA；(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．23.“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端(点F，M，D，N，B在同一条直线上).若测得FM=1.5米，DN=1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．24.维康药店购进一批口罩进行销售，进价为每盒(二十只装)40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，每月可以售出500盒．后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每月减少20盒．(1)若将这种口罩每盒的售价上涨x元，则每月销售量是多少盒？(用含x的代数式表示)(2)维康药店要保证每月销售此种口罩盈利6000元，且使该口罩的月销量不低于200盒，则每盒口罩的售价应为多少元？25.如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P为线段AO上一个动点(不包括两个端点)，Q为CD边上一点，且∠BPQ=90°．(1)如图1，直接写出线段PB与线段PQ的数量关系为______．(2)若BC+CQ=6，求四边形BCQP的面积；(3)如图2，连接BQ交AC于点E，若正方形ABCD的边长为6√2，AP=2，求PE的长．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0.根据只含有一个未知数(元)，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程可得答案．【解答】解：A.不是一元一次方程，故此选项错误；B.不是一元一次方程，故此选项错误；C.不是一元一次方程，故此选项错误；D.是一元一次方程，故此选项正确；故选D．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．根据等式的性质2，可得答案．【解答】解：A.两边都除以2y，得xy =32，故A符合题意；B.两边除以不同的整式，故B不符合题意；C.两边都除以2y，得xy =32，故C不符合题意；D.两边除以不同的整式，故D不符合题意．故选A．3.【答案】B【解析】解：设袋中白球有x个，根据题意得：1515+x=0.6，解得：x=10，经检验：x=10是分式方程的解，答：袋中白球约有10个．故选：B．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn是解题关键．4.【答案】D【解析】解：∵l1//l2//l3，∴ABBC =DBBE，即24=3BE，解得BE=6，∴DE=DB+BE=3+6=9，故选：D．由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=12AC，OB=12BD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB，∴AC=2OA=4，∴AB=2∴BC=√AC2?AB2=√42?22=2√3，故选：B．由矩形的性质得出∠ABC=90°，OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA=AB，求出AB，然后根据勾股定理即可求出BC．本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．6.【答案】A【解析】解：由题知：80(1+x)2=100故选：A．根据一元二次方程的实际应用的平均增长率的公式列式即可．本题考查了一元二次方程的实际应用问题的平均增长率问题，熟知其应用是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴AB=2CD=2×5=10cm，∴E，F分别是BC，CA的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=12AB=12×10=5cm．故选：A．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2?4x+1=0有实数根，∴k≠0且Δ=(?4)2?4k≥0，解得：k≤4且k≠0．故选：D．根据二次项系数非零结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：已知△ABC 和△DCA 中，∠ACD =∠BAC ；如果△ABC∽△DAC ，需满足的条件有：①∠DAC =∠B 或∠ADC =∠BAC ；②AC 2=DC ?BC ；故选：C ．已知有公共角∠C ，则A 、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；D 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；C 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似．此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．10.【答案】A【解析】解：设BP 的长为x ，CQ 的长为y ．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =∠C =90°，∵PQ ⊥PA ，∴∠APB +∠QPC =90°，∠APB +∠BAP =90°，∴∠BAP =∠QPC ，∴△ABP∽△PCQ ，∴BP CQ=ABPC，即x y =44?x ，∴y =?14x 2+x =?12(x ?2)2+1(0<="" ，="">∴AQ =√AD 2+DQ 2=√42+32=5，故选：A ．由题意知：PQ ⊥PA ，即：∠APB +∠QPC =90°，∠BAP +∠APB =180°?∠B =90°，所以∠QPC =∠BAP ，又∠B =∠C ，即：△ABP∽△PCQ ，由相似三角形的性质可得：BPCQ =ABPC ，又BP =x ，PC =BC ?BP =4?x ，AB =4，将其代入该式求出CQ 的值即可，利用“配方法”求该函数的最大值，则可求出AQ 的最小值．本题主要考查正方形的性质、二次函数的应用、勾股定理等知识，解题的关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出CQ的最大值．11.【答案】52【解析】解：∵x y=23，∴x=23y，∴x+yx =23y+y23y=52．故答案为：52．直接利用已知得出x=23y，进而得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确运用已知变形是解题关键．12.【答案】1：9【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴S△ADE：S△ABC=1：9．故答案为：1：9．根据DE//BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：9，问题得解．本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．13.【答案】(6,3)【解析】解：△ABC与△DEF关于原点O成位似关系，相似比k=1 3，∵点E是点B的对应点，点B的坐标为(2,1)，∴点E的坐标为(2×3,1×3)，即(6,3)，故答案为：(6,3)．根据位似变换的性质计算即可．本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或?k．14.【答案】√5?1【解析】解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=2×√5?12=√5?1．根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=√5?12AB，代入数据即可得出AP 的长．理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3?√52，较长的线段=原线段的√5?12．15.【答案】11010【解析】解：∵x1、x2是方程x2+2x?2020=0的两个实数根，∴x1+x2=?2，x1x2=?2020，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=?22020=11010．故答案为11010．根据根与系数的关系可得出x1+x2=?2、x1x2=?2020，将其代入1x1+1x2=x1+x2x1x2中即可求出结论．本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于?ba 、两根之积等于ca是解题的关键．16.【答案】2√2【解析】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，∴P1P2//CE且P1P2=12CE．当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP．CF．由中位线定理可知：P1P//CE且P1P=12∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=2．∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°．∴∠DP2P1=90°．∴∠DP1P2=45°．∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2，∴BP1=2√2∴PB的最小值是2√2．故答案是：2√2．根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．17.【答案】解：(1)x2?4x=5，x2?4x+4=9，(x?2)2=9，x?2=±3，解得x1=?1，x2=5；(2)(x+1)(x+8)=?12，整理得x2+9x+20=0，(x+4)(x+5)=0，x+4=0或x+5=0，解得x1=?4，x2=?5．【解析】(1)利用配方法得到(x+2)2=6，然后利用直接开平方法解方程；(2)先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了因式分解法解方程．18.【答案】解：去分母得：3x?6+2x2?8=2x2+4x，解得：x=?14，经检验x=?14是分式方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19.【答案】解：∵∠ABC=80°，∠ACB=60°，∴∠A=40°，∵∠C是公共角，∴只要作∠DBC=∠A即可，恰好∠ABC=2∠DBC，∴作∠ABC的角平分线即可．如图所示：△ABC∽△BDC．【解析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．根据计算直接利用角平分线的作法得出∠ABC的平分线进而得出答案．20.【答案】(1)证明：∵AB//DF，AC//DE，∴四边形AEDF是平行四边形．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC．又∵AC//DE，∴∠ADE=∠DAC．∴∠ADE=∠BAD．∴EA=ED．∴四边形AEDF是菱形．(2)解：连接EF交AD于点O．∵四边形AEDF是菱形，∴EF=2FO．∴AO=12AD=12．∵AD⊥EF．在Rt△AOF中，由勾股定理得OF=√AF2?AO2=√132?122=5．∴OE=OF=5．∴四边形AEDF的面积=12AD×OF+12AD×OE=12×24×5+1×24×5=120．【解析】(1)先证明四边形AEDF是平行四边形．再证明∠ADE=∠BAD.可得EA=ED.则结论得证；(2)连接EF交AD于点O.求出OE=OF=5，则四边形AEDF的面积可求出．本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．21.【答案】(1)14；(2)画树状图为：共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率=416=14．【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．(1)直接利用概率公式计算；(2)画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率=14故答案为：14；(2)见答案．22.【答案】(1)证明：在矩形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，∴∠B=∠AFD=90°，又∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∴△ABE∽△DFA．(2)解：∵AB=6，BE=8，∠B=90°，∴AE=√AB2+BE2=10，∵△ABE∽△DFA，∴ABDF =AEAD，即6DF =1012，∴DF=7.2．【解析】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的性质、勾股定理等知识点，难度中等．(1)△ABE和△DFA都是直角三角形，还需一对角对应相等即可．根据AD//BC可得∠DAF=∠AEB，问题得证；(2)运用相似三角形的性质求解．23.【答案】解：设NB的长为x米，则MB=x+1.1+2.8?1.5=(x+2.4)米．由题意，得∠CND=∠ANB，∠CDN=∠ABN=90°，∴△CND∽△ANB，∴CDAB =DNBN．同理，△EMF∽△AMB，∴EFAB =FMBM．∵EF=CD，∴DNBN =FMBM，即1.1x= 1.5x+2.4．解得x=6.6，∵CDAB =DNBN，∴1.6AB =1.16.6．解得AB=9.6．答：大树AB的高度为9.6米．【解析】设NB的长为x米，则MB=x+1.1+2.8?1.5=(x+2.4)米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合CDAB =DNBN求得大树的高．本题考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．24.【答案】解：(1)设每盒口罩可涨价x元，由题意，得：(x+50?40)(500?20x)，(2)由题意，得：(x+50?40)(500?20x)=6000，解得x1=5，x2=10．设每盒口罩的售价为m元，则500?20(m?50)≥200，解得，m≤65．即：每盒口罩的售价应不高于65元．所以x1=5，x2=10均符合题意．答：每盒口罩的售价应为55元或60元．【解析】(1)设每盒口罩需涨价x元，根据“每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每月减少20盒”表示出销售量；(2)设每盒口罩的售价为m元，由关键描述语“该口罩的月销量不低于200盒”列出不等式求解即可．此题考查了一元二次方程的应用，弄清“每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每月减少20盒”是解本题的关键．25.【答案】PB=PQ【解析】解：(1)过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=∠ACB，又∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，∴PE=PF，∵∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，∴四边形PECF是矩形，又∵PE=PF，∴四边形PECF是正方形，∴∠EPF=∠BPQ=90°，∴∠BPE=∠QPF，又∵∠PEB=∠PFQ=90°，PE=PF，∴△PEB≌△PFQ(ASA)，∴PB=PQ，故答案为：PB=PQ；(2)由(1)可知△PBE≌△PQF，四边形PECF是正方形，∴BE=FQ，CE=CF，S△BPE=S△PQF，∵BC+CQ=6，∴EC+FC=BC+CQ=6，∴CE=CF=3，又∵S△BPE=S△PQF，∴S四边形BCQP =S四边形CEPF=9；(3)如图2，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BHA，∴△BEC≌△BHA，∴AH=CE，BH=BE，∠ABH=∠CBE，∠BAH=∠BCE=45°，∴∠HAP=90°，∵正方形ABCD的边长为6√2，∴AC=12，∵AP=2，∴PE+EC=10，∵PB=PQ，∠BPQ=90°，∴∠PBQ=45°，∴∠ABP+∠CBE=45°，∴∠ABP+∠ABH=45°，∴∠PBH=∠PBE，又∵BH=BE，BP=BP，∴△PBE≌△PBH(SAS)，∴PE=PH，∵HA2+AP2=HP2，∴(10?PE)2+4=PE2，∴PE=5.2．(1)过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，由“ASA”可证△PEB≌△PFQ，可得PB=PQ；(2)由全等三角形的性质可得BE=FQ，CE=CF，S△BPE=S△PQ F，可得CE=CF=3，可得S四边形BCQP=S四边形CEPF=9；(3)将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BHA，由“SAS”可证△PBE≌△PBH，可得PE=PH，由勾股定理可求解．本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．方程x（x+5）＝0的根是（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝0，x2＝﹣52．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：23．小明参加射击比赛，成绩统计如表关于他的射击成绩，下列说法正确的是（）A．方差是2环B．中位数是8环C．众数是9环D．平均数是9环4．若正比例函数y＝（1﹣m）x中y随x的增大而增大，那么m的取值范围（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜15．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．56．有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．87．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为（）A．45°或75°B．75°C．45°或75°或15°D．60°8．如图：设AB是已知线段，以AB为边作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB：延长DA至AF，使EF＝EB．以线段AF为边作正方形AFGH，交AB于点H，则BH：AH的值是（）A．B．C．D．9．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝2x﹣kx+1图象上的不同两个点，m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则当m＜0时，k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜2 D．k＞210．已知x＞y，且xy＜0，a为任意实数，则下列式子正确的是（）A．﹣（a2+1）x＞（a2+1）y B．a2x＞a2yC．2a﹣3x＜2a﹣3y D．a+x＞a﹣y二、填空题（本大题共6小题，共18分）11．比较大小：（1）7；（2）1．12．已知关于x的方程mx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．13．÷＝．14．一个不透明的口袋里有10个黑球和若干个黄球，它们除颜色外其余都相同，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共实验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有个．15．已知：Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、AC上，将△AMN沿直线MN折叠，点A 落在点P处，且点P在射线CB上，当△PNC为直角三角形时，PN的长为．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为．三、解答题（本大题共8小题，共64分）17．计算：（﹣1）2019﹣|1﹣|+．18．解方程：．19．求证：等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）已知：求证：证明：20．如图，竖立在点B处的标杆AB高2.4m，站立在点F处的观察者从点E处看到标杆顶A、树顶C在一条直线上，设BD＝8m，FB＝2m，EF＝1.6m，求树高CD．21．李师傅去年开了一家商店，今年2月份开始盈利，3月份盈利2000元，5月份的盈利达到2420元，且从3月份到5月份每月盈利的平均增长率都相同．（1）求从3月份到5月份每月盈利的平均增长率；（2）按照（1）中的平均增长率，预计6月份这家商店的盈利将达到多少元？22．一个不透明的口袋中有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，小明将球搅匀后从中摸出一个球是红球的概率是0.25．（1）求口袋中红球的个数；（2）若小明第一次从中摸出一个球，放回搅匀后再摸出一个球，请通过树状图或者列表的方法求出小明两次均摸出红球的概率．23．如图，正方形ABCD的边长为5，点E是边AB上的一个点，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G，F，点M 是DG的中点，连接ME，MC，MF．（1）求证：△MEF≌△MCD；（2）若BE＝3，求MC的长度；（3）在（2）的条件下求∠MCE的度数．24．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x ﹣3＝0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．方程x（x+5）＝0的根是（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝0，x2＝﹣5【分析】原方程可转化为x＝0或x+5＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：x＝0或x+5＝0，∴x1＝0，x2＝﹣5．故选：D．2．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．【解答】解：∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，∴其相似比为2：3，∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为4：9；故选：A．3．小明参加射击比赛，成绩统计如表关于他的射击成绩，下列说法正确的是（）A．方差是2环B．中位数是8环C．众数是9环D．平均数是9环【分析】根据中位数定义求解即可．【解答】解：由表可知共10个数据，∴中位数为第5、6个数据的平均数，即（8+8）÷2＝8，故选：B．4．若正比例函数y＝（1﹣m）x中y随x的增大而增大，那么m的取值范围（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1【分析】先根据正比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵正比例函数y＝（1﹣m）x中，y随x的增大而增大，∴1﹣m＞0，解得m＜1．故选：D．5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5【分析】过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S ABC＝S ABP+S ACP，代入数值，解答出即可．【解答】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∴BF＝4，∴△ABF中，AF＝＝3，∴×8×3＝×5×PD+×5×PE，12＝×5×（PD+PE）PD+PE＝4.8．故选：A．6．有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：根据题意得：1+x+x（1+x）＝49，解得：x＝6或x＝﹣8（舍去），则x的值为6．故选：B．7．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为（）A．45°或75°B．75°C．45°或75°或15°D．60°【分析】分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB＝AC时，根据已知条件得出AD＝BD＝CD，从而得出△ABC底角的度数；当AB＝BC时，先求出∠ABD的度数，再根据AB＝BC，求出底角的度数；当AB＝BC时，根据AD＝BC，AB＝BC，得出∠DBA＝30°，从而得出底角的度数．【解答】解：①如图1，当AB＝AC时，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AD＝BC，∴AD＝BD＝CD，∴底角为45°；②如图2，当AB＝BC时，∵AD＝BC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝30°，∴∠BAC＝∠BCA＝75°，∴底角为75°．③如图3，当AB＝BC时，∵AD＝BC，AB＝BC，∴AD＝AB，∴∠DBA＝30°，∴∠BAC＝∠BCA＝15°；∴△ABC底角的度数为45°或75°或15°；故选：C．8．如图：设AB是已知线段，以AB为边作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB：延长DA至AF，使EF＝EB．以线段AF为边作正方形AFGH，交AB于点H，则BH：AH的值是（）A．B．C．D．【分析】设AB＝2a，利用正方形的性质得AD＝2a，则AE＝a，根据勾股定理计算出BE＝a，所以EF＝a，则AF＝EF﹣AE＝（﹣1）a，再利用四边形AFGH为正方得到AH＝AF＝（﹣1）a，所以BH＝（3﹣）a，然后计算BH：AH＝（3﹣）a：（﹣1）a即可．【解答】解：设AB＝2a，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝2a，而E点为AD的中点，∴AE＝a，∴BE＝＝a，∴EF＝a，∴AF＝EF﹣AE＝（﹣1）a，∵四边形AFGH为正方形，∴AH＝AF＝（﹣1）a，∴BH＝AB﹣AH＝（3﹣）a，∴BH：AH＝（3﹣）a：（﹣1）a＝（﹣1）：2．故选：A．9．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝2x﹣kx+1图象上的不同两个点，m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则当m＜0时，k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜2 D．k＞2【分析】根据一次函数的性质判断出y随x的增大而减小，从而得出2﹣k＜0．【解答】解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝2x﹣kx+1图象上的不同两个点，m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴该函数图象是y随x的增大而减小，∴2﹣k＜0，解得k＞2．故选：D．10．已知x＞y，且xy＜0，a为任意实数，则下列式子正确的是（）A．﹣（a2+1）x＞（a2+1）y B．a2x＞a2yC．2a﹣3x＜2a﹣3y D．a+x＞a﹣y【分析】直接利用不等式的性质分析得出答案．【解答】解：∵x＞y且xy＜0，∴x＞0，y＜0，A．∵a2+1＞0，﹣x与y的关系不能确定，故此选项错误，不合题意；B．a2x≥a2y，故此选项错误，不合题意；C．∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴2a﹣3x＜2a﹣3y，故正确，符合题意；D．x与﹣y的关系不能确定，故此选项错误，不合题意．故选：C．二．填空题（共6小题）11．比较大小：（1）＞7；（2）＜1．【分析】（1）依据被开方数越大，对应的算术平方根越大比较即可；（2）先估算出的大小，然后再进行比较即可．【解答】解：（1）∵50＞49，∴＞，即＞7．（2）∵9＞5，∴3＞．∴＜＝1，即＜1．故答案为：（1）＞；（2）＜．12．已知关于x的方程mx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜9且m≠0 ．【分析】由关于x的一元二次方程mx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＞0，即62﹣4•m•1＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣6x+1＝0有两个不相等的实数根，∴m≠0且△＞0，即62﹣4•m•1＞0，解得m＜9，∴m的取值范围为m＜9且m≠0．故答案为：m＜9且m≠0．13．÷＝﹣2 ．【分析】将分子、分母能因式分解得因式分解，同时将除法转化为乘法，依据分式的基本性质整体约分可得答案．【解答】解：原式＝••＝﹣2，故答案为：﹣2．14．一个不透明的口袋里有10个黑球和若干个黄球，它们除颜色外其余都相同，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共实验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有15 个．【分析】先计算出黄球频率，频率的值接近于概率，再计算黄球的概率．【解答】解：黄球的概率近似为，设袋中有x个黄球，则，解得x＝15．故答案为：15．15．已知：Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、AC上，将△AMN沿直线MN折叠，点A落在点P处，且点P在射线CB上，当△PNC为直角三角形时，PN的长为或．．【分析】先根据勾股定理得到AC的长，再证明△NPC∽△ABC列比例式，得方程，解方程即可得结果．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，设AN＝PN＝x，则CN＝5﹣x①当∠NPC＝90°时，如图1，∵∠NPC＝∠B＝90°，∠C＝∠C，∴△NPC∽△ABC，∴，∴，x＝，即PN＝；②当∠PNC＝90°时，如图2，∵∠PNC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C∴△NPC∽△BAC，∴，∴，x＝，即PN＝；综上，PN的长为或．故答案为：或．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为．【分析】首先连接OP，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，可求得OA＝OD＝以及△AOD的面积，继而可得S△AOD＝（PE+PF），则可求得答案．【解答】解：连接OP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OD＝BD，S△AOD＝S△AOB，∵AB＝3，AD＝4，∴S矩形ABCD＝3×4＝12，BD＝5，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OC＝，∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝××PE+××PF＝（PE+PF）＝3，∴PE+PF＝．故答案为．三．解答题（共8小题）17．计算：（﹣1）2019﹣|1﹣|+．【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣1﹣（﹣1）++1+＝1．18．解方程：．【分析】观察可得最简公分母是（x﹣4），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：原方程可化为：+2＝，方程的两边同乘（x﹣4）得，x﹣5+2（x﹣4）＝﹣1，解得，x＝4，检验，把x＝4代入最简公分母x﹣4＝0，所以x＝4不是原方程的解，∴原方程无解．19．求证：等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的外角，AE平分∠DAC求证：AE∥BC证明：【分析】根据作一个已知角的角平分线的作法作图即可；根据等腰三角形的性质和角平分线的性质求得∠C＝∠EAC，从而得出AE∥BC．【解答】解：如图射线AE为所求的，已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的外角，AE平分∠DAC，求证：AE∥BC，证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠DAC为△ABC的外角，∴∠DAC＝∠B+∠C＝2∠C，∵AE平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠EAC，∴∠C＝∠EAC，∴AE∥BC．故答案为：在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的外角，AE平分∠DAC；AE∥BC．20．如图，竖立在点B处的标杆AB高2.4m，站立在点F处的观察者从点E处看到标杆顶A、树顶C在一条直线上，设BD＝8m，FB＝2m，EF＝1.6m，求树高CD．【分析】延长CE交DF的延长线于点G，可证明△GFE∽△GBA，得GF的长；可证明△GDC∽△GBA，树高CD的长即可知．【解答】解：延长CE交DF的延长线于点G，设GF为xm，∵EF∥AB，∴△GFE∽△GBA，∴，即＝，解得x＝4，∵CD∥AB，∴△GDC∽△GBA，∴，即，解得CD＝5.6，答：树高CD为5.6m．21．李师傅去年开了一家商店，今年2月份开始盈利，3月份盈利2000元，5月份的盈利达到2420元，且从3月份到5月份每月盈利的平均增长率都相同．（1）求从3月份到5月份每月盈利的平均增长率；（2）按照（1）中的平均增长率，预计6月份这家商店的盈利将达到多少元？【分析】（1）设该商店从3月份到5月份每月盈利的平均增长率为x，根据该商店3月份及5月份的利润，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据6月份的盈利＝5月份的盈利×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设该商店从3月份到5月份每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：2000（1+x）2＝2420，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：该商店的每月盈利的平均增长率为10%．（2）2420×（1+10%）＝2662（元）．答：6月份盈利为2662元．22．一个不透明的口袋中有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，小明将球搅匀后从中摸出一个球是红球的概率是0.25．（1）求口袋中红球的个数；（2）若小明第一次从中摸出一个球，放回搅匀后再摸出一个球，请通过树状图或者列表的方法求出小明两次均摸出红球的概率．【分析】（1）设红球有x个，根据概率公式列出方程，然后求解即可；（2）根据题意列出图表得出所有等情况数和小明两次均摸出红球的个数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）设红球有x个，依题意得：＝0.25，解得：x＝1，经检验：x＝1是原方程的解答：口袋中红球有1个．（2）根据题意列表如下：共有16种等情况数，其中两次均摸出红球的有1种，所以小明两次均摸出红球的概率：P（红，红）＝．23．如图，正方形ABCD的边长为5，点E是边AB上的一个点，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G，F，点M 是DG的中点，连接ME，MC，MF．（1）求证：△MEF≌△MCD；（2）若BE＝3，求MC的长度；（3）在（2）的条件下求∠MCE的度数．【分析】（1）先判断出四边形BCFE是矩形，进而判断出∠EFM＝45°＝∠BDC，即可得出结论；（2）先求出DF＝2，进而求出FG＝2，MH＝FH＝1，最后用勾股定理即可得出结论；（3）由（1）的结论得出∠EMC＝∠DMF，进而得出三角形MCE是等腰直角三角形，即可得出结论．【解答】解：（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠DBC＝∠BDC＝45°，BC＝CD＝5，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵EF∥BC，∴∠DFE＝∠BEF＝90°，∴四边形BCFE是矩形，∴EF＝BC＝CD，∵点M是DG的中点，∴DM＝FM，∠DMF＝90°，∠EFM＝45°，在△MEF和△MCD中，，∴△MEF≌△MCD（SAS），（2）如图，∵四边形BCFE是矩形∴CF＝BE＝3，∴DF＝2，FG＝DF＝2，过点M作MH⊥DF于M，∵DM＝GM，∴FH＝DH＝DF＝1，∴CH＝CF+FH＝4，在Rt△CHM中，根据勾股定理得，CM＝＝；（3）由（1）知，△MEF≌△MCD，∴ME＝MC，∠EMF＝∠CMD，∴∠EMC＝∠DMF＝90°，∵ME＝MC，∴∠MCE＝45°．24．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x ﹣3＝0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．【分析】（1）由题意可求点A，点C的坐标，用待定系数法可求直线AB的函数表达式；（2）由题意可求点B的坐标，即可求AC，BC，AB的长，由Rt△ABC∽Rt△AEB，可得，可求AE的长，即可求点E的坐标；（3）分△APQ∽△ABE，△APQ∽△AEB两种情况讨论，可求t的值．【解答】解：∵点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两根∴点A、C的横坐标分别为﹣3，1∴点A（﹣3，0），点C（1，0）设直线AB解析式：y＝kx+，且过点A ∴0＝﹣3k+∴k＝∴直线AB解析式：y＝x+（2）如图：过B作BE⊥AB交x轴于E，当x＝1时，则y＝+＝3∴点B（1，3）∴AC＝4，BC＝3∴AB＝5∵Rt△ABC∽Rt△AEB∴∴∴AE＝∴OE＝﹣3＝∴点E（，0）（3）由题意可得：AP＝t，AQ＝﹣t 如图：若△APQ∽△ABE∴∴∴t＝如图：若△APQ∽△AEB∴∴∴t＝综上所述：t＝时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．。

西安交通大学附属中学分校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PAQA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan BAO 2∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线3y x b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．2．如图，抛物线26y ax x c =-+交x 轴于, A B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-+经过点,B C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 与直线BC 相交于点P ，连接,AC AP ，判定APC △的形状，并说明理由；（3）在直线BC 上是否存在点M ，使AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACECEBS S=，求直线CE 的解析式（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标；（4）已知点450,,(2,0)8H G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小，若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标． （3）MPC 在（2）的旋转变换下，若2PC =（如图）．①求证：EA ED =．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长．5．如图，A 是以BC 为直径的圆O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作圆O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连接并延长CG 与BE 相交于点F ，连接并延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF ＝EF ； （2）求证：PA 是圆O 的切线；（3）若FG ＝EF ＝3，求圆O 的半径和BD 的长度．6．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ＞0)，顶点D 在y 轴上，与x 6 (1)求a 、c 满足的关系式；(2)若直线y ＝kx-2a 与抛物线交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，以AB 为直径的圆恒过点D ．①求抛物线的解析式；②设直线y ＝kx-2a 与y 轴交于点M 、直线l 1：y ＝px+q 过点B ，且与抛物线只有一个公共点，过点D 作x 轴的平行线l 2，l 1与l 2交于点N ．分别记BDM 、NDM 的面积为S 1，S 2，求12S S ． 7．如图，⊙O 经过菱形ABCD 的三个顶点A 、C 、D ，且与AB 相切于点A ．（1）求证：BC 为⊙O 的切线； （2）求∠B 的度数．（3）若⊙O 半径是4，点E 是弧AC 上的一个动点，过点E 作EM ⊥OA 于点M ，作EN ⊥OC 于点N ，连接MN ，问：在点E 从点A 运动到点C 的过程中，MN 的大小是否发生变化？如果不变化，请求出MN 的值；如果变化，请说明理由．8．如图，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l ．（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式； （2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与△EAD 相似时，求出BF 的长．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中()3,4A --，()0,1B -． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB △面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()211110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．在锐角△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，E为AC中点．（1）如图1，过点C作CF⊥AB于F点，连接EF．若∠BAD=20°，求∠AFE的度数；（2）若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C作CN⊥AM于N点，射线EN，AB交于P点．①依题意将图2补全；②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M运动的过程中，始终有∠APE=2∠MAD．小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：连接DE，要证∠APE=2∠MAD，只需证∠PED=2∠MAD．想法2：设∠MAD=α，∠DAC=β，只需用α，β表示出∠PEC，通过角度计算得∠APE=2α．想法3：在NE上取点Q，使∠NAQ=2∠MAD，要证∠APE=2∠MAD，只需证△NAQ∽△APQ．……请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE=2∠MAD．（一种方法即可）11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边BC，AB上，AF＝BE＝2，连结DE，DF，动点M在EF上从点E向终点F匀速运动，同时，动点N在射线CD上从点C沿CD方向匀速运动，当点M运动到EF的中点时，点N恰好与点D重合，点M到达终点时，M，N同时停止运动．（1）求EF的长．（2）设CN＝x，EM＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．（3）连结MN，当MN与△DEF的一边平行时，求CN的长．12．如图1 ，一次函数1y kx b =+(k,b 为常数，k≠0)的图象与反比例函数2my x=（m 为常数，m≠0）的图象相交于点M(1，4)和点N （4，n ）．(1)填空：①反比例函数的解析式是 ； ②根据图象写出12y y ＜时自变量x 的取值范围是 ；(2) 若将直线MN 向下平移a(a>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求a 的值； (3) 如图2，函数2my x=的图象（x ＞0）上有一个动点C ，若先将直线MN 平移使它过点C ，再绕点C 旋转得到直线PQ ，PQ 交轴于点A ，交轴点B ，若BC =2CA ， 求OA·OB的值.13．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为OC 上动点(与点O 不重合)，作AF ⊥BE ，垂足为G ，交BO 于H ．连接OG 、CG ． (1)求证：AH=BE ；(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由； (3)若OG ⊥CG ，BG=32，求△OGC 的面积．14．如图，已知点A 、C 在双曲线()10m y m x =>上，点 B 、D 在双曲线()20ny n x=<上，AD// BC//y 轴.(I)当m=6，n=-3，AD=3 时，求此时点 A 的坐标；(II)若点A 、C 关于原点O 对称，试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由； (III)若AD=3，BC=4，梯形ABCD 的面积为492，求mn 的最小值.15．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线21y x bx c 3=-++交x 轴于点A 、点B(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ，直线()y kx 6k k 0=-≠经过点B ，交y 轴于点D ，且CD OD =，1tan OBD 3∠=． ()1求b 、c 的值；()2点()P m,m 在第一象限，连接OP 、BP ，若OPB ODB ∠∠=，求点P 的坐标，并直接判断点P 是否在该抛物线上；()3在()2的条件下，连接PD ，过点P 作PF //BD ，交抛物线于点F ，点E 为线段PF 上一点，连接DE 和BE ，BE 交PD 于点G ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，若DBE 2DEH ∠∠=，求EGEF的值．16．如图，抛物线y ＝mx 2﹣4mx+2m+1与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y 轴交于点C ，且x 2﹣x 1＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）E 是抛物线上一点，∠EAB ＝2∠OCA ，求点E 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D ，动点P 从点B 出发，沿抛物线向上运动，连接PD ，过点P 做PQ ⊥PD ，交抛物线的对称轴于点Q ，以QD 为对角线作矩形PQMD ，当点P 运动至点（5，t ）时，求线段DM 扫过的图形面积． 17．已知，在平面直角坐标系中，二次函数212y x bx c =++的图象与x 轴交于点A B ，，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()3,0-，点B 的坐标为()1,0．（1）如图1，分别求b c 、的值；（2）如图2，点D 为第一象限的抛物线上一点，连接DO 并延长交抛物线于点E ，3OD OE =，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 为第一象限的抛物线上一点，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，连接EP 、EH ，点Q 为第二象限的抛物线上一点，且点Q 与点P 关于抛物线的对称轴对称，连接PQ ，设2AHE EPH α∠+∠=，tan PH PQ α=⋅，点M 为线段PQ 上一点，点N 为第三象限的抛物线上一点，分别连接MH NH 、，满足60MHN ∠=︒，MH NH =，过点N 作PE 的平行线，交y 轴于点F ，求直线FN 的解析式．18．如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=2，E 为AB 的中点，设点P 是∠DAB 平分线上的一个动点（不与点A 重合）． （1）证明：PD=PE ．（2）连接PC ，求PC 的最小值．（3）设点O 是矩形ABCD 的对称中心，是否存在点P ，使∠DPO=90°？若存在，请直接写出AP 的长．19．已知四边形ABCD 是矩形．（1）如图1，E F 、分别是AB CD 、上的点，CE 垂直平分BF ，垂足为G ，连接DG ．①求证：DG CG =；②若2BC AB =，求DGC ∠的大小；（2）如图2，6AB BC ==，M N P 、、分别是AB CD AD 、、上的点，MN 垂直平分BP ，点Q 是CD 的中点，连接,MP PQ ，若PQ MP ⊥，直接写出CN 的长．20．如图1，与为等腰直角三角形，与重合，，．固定，将绕点顺时针旋转，当边与边重合时，旋转终止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设（或它们的延长线）分别交（或它们的延长线）于点，如图2．（1）证明：；（2）当为何值时，是等腰三角形？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）（2，0）（答案不唯一）；（2）8455t -≤≤-或4855t ≤≤；（3）41b -≤≤-或14b ≤≤ 【解析】 试题分析：（1）由题意可知，在x 轴上找点P 是比较简单的，这样的P 点不是唯一的，如点（2，0）、（1，0）等；（2）如图1，在x 轴上方作射线AM 交⊙O 于点M ，使tan ∠MAO=12，并在射线AM 是取点N ，使MN=AM ，则由题意可知，线段MN 上的点都是符合条件的B 点，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ，连接MC ，结合已知条件求出点M 和点N 的纵坐标即可得到所求B 点的纵坐标t 的取值范围；根据对称性，在x 轴的下方得到线段M′N′，同理可求得满足条件的B 点的纵坐标t 的另一取值范围；（3）如图2，3，由y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，可得点M 的坐标为(?0)，点N 的坐标为(0)b ，，由此结合∠OMN 的正切函数可求得∠OMN=60°； 以点D （1，0）为圆心，2为半径作圆⊙D ，则⊙D 和⊙O 相切于点A ，由题意可知，点A 关于⊙O 的“生长点”都在⊙O 到⊙D 之间的平面内，包括两个圆（但点A 除外）. 然后结合题意和∠OMN=60°分b>0和b<0两种情况在图2和图3中求出ON 1和ON 2的长即可得到b 的取值范围了. 试题解析：（1）由题意可知，在x 轴上找点P 是比较简单的，这样的P 点不是唯一的，如点（2，0）、（1，0）等；（2）如图1，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan OAM 2∠=，并在AM 上取点N ，使AM=MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B.作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ， ∴ ∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°. ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°. ∴ ∠OAM=∠HMC.∴ 1tan HMC tan OAM 2∠∠==. ∴MH HC 1HA MH 2==. 设MH y =，则AH 2y =，1CH y 2=， ∴ 5AC AH CH y 22=+==，解得4y 5=，即点M 的纵坐标为45. 又由AN 2AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为85， 故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：48t 55≤≤. 由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：84t 55-≤≤-. ∴ 点B 的纵坐标t 的取值范围是84t 55-≤≤-或48t 55≤≤. （3）如图2，以点D （1，0）为圆心，2为半径作圆⊙D ，则⊙D 和⊙O 相切于点A ，由题意可知，点A 关于⊙O 的“生长点”都在⊙O 到⊙D 之间的平面内，包括两个圆（但点A 除外）.∵直线3y x b +与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ， ∴点M 的坐标为(?0)3，点N 的坐标为(0)b ，， ∴tan ∠OMN=3ONOM=∴∠OMN=60°，要在线段MN 上找点A 关于⊙O 的“生长点”，现分“b>0”和“b<0”两种情况讨论： I 、①当直线3y x b =+过点N 1（0，1）时，线段MN 上有点A 关于⊙O 的唯一“生长点”N 1，此时b=1；②当直线3y x b =+与⊙D 相切于点B 时，线段MN 上有点A 关于⊙O 的唯一“生长点”B ，此时直线3y x b =+与y 轴相交于点N 2，与x 轴相交于点M 2，连接DB ，则DB=2， ∴DM 2=243sin 603=， ∴OM 2=4313-， ∴ON 2=tan60°·OM 2=43(31)433-=-，此时b=43-. 综合①②可得，当b>0时，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，则b 的取值范围为：143b ≤≤-；II 、当b<0时，如图3，同理可得若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，则b 的取值范围为：431b -≤≤-；综上所述，若在线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，则b 的取值范围为：43b 1-≤≤-或1b 43≤≤2．（1）265y x x =-+；（2）APC △的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍的点，且坐标为M 1（1317,66），M 2（236，76）． 【解析】 【分析】（1）先根据直线5y x =-+经过点,B C ，即可确定B 、C 的坐标，然后用带定系数法解答即可；（2）先求出A 、B 的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB 为等腰三角形；再结合OB=OC 得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定APC △的形状； （3）作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M1，AC 于E ；然后说明△ANB 为等腰直角三角形，进而确定N 的坐标；再求出AC 的解析式，进而确定M 1E 的解析式；然后联立直线BC 和M 1E 的解析式即可求得M 1的坐标；在直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2，利用中点坐标公式即可确定点M 2的坐标 【详解】解：（1）∵直线5y x =-+经过点,B C ∴当x=0时，可得y=5，即C 的坐标为（0,5） 当y=0时，可得x=5，即B 的坐标为（5,0）∴2250600565a c a c ⎧=⋅-⨯+⎨=-⨯+⎩解得15a c =⎧⎨=⎩ ∴该抛物线的解析式为265y x x =-+ （2）APC △的为直角三角形，理由如下：∵解方程265x x -+=0，则x 1=1，x 2=5 ∴A （1,0），B （5,0）∵抛物线265y x x =-+的对称轴l 为x=3 ∴△APB 为等腰三角形∵C 的坐标为（5,0）, B 的坐标为（5,0） ∴OB=CO=5,即∠ABP=45° ∴∠ABP=45°， ∴∠APB=180°-45°-45°=90° ∴∠APC=180°-90°=90° ∴APC △的为直角三角形；（3）如图：作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M1，AC 于E ， ∵M 1A=M 1C ， ∴∠ACM 1=∠CAM 1 ∴∠AM 1B=2∠ACB ∵△ANB 为等腰直角三角形. ∴AH=BH=NH=2 ∴N （3，2）设AC 的函数解析式为y=kx+b ∵C(0，5),A(1，0)∴500k b k b =⋅+⎧⎨=+⎩解得b=5，k=-5∴AC 的函数解析式为y=-5x+5 设EM 1的函数解析式为y=15x+n ∵点E 的坐标为（15,22） ∴52=15×12+n ，解得：n=125∴EM 1的函数解析式为y=15x+125 ∵511255y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 解得136176x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴M 1的坐标为（1317,66）； 在直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2 设M 2（a ，-a+5）则有：3=1362a+，解得a=236∴-a+5=76∴M 2的坐标为（236，76）．综上，存在使AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍的点，且坐标为M 1（1317,66），M 2（236，76）．【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．3．（1）2y x 2x 3=-++；（2）63y x =-+；（3）点P 的坐标为(15,1),(13,1)-；（4）存在，点K 的坐标为(2,3)【解析】 【分析】（1）由于点A 、B 为抛物线与x 轴的交点，可设两点式求解；也可将A 、B 、C 的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；（2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出:3:5AE EB =，求出AE,根据点A 坐标可解得点E 坐标,进而求得直线CE 的解析式；（3）分两种情况讨论①当四边形DCPQ 为平行四边形时；②当四边形DCQP 为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；（4）根据抛物线的对称性，AF=BF ，则HF+AF=HF+BF ，当H 、F 、B 共线时，HF+AF 值最小，求出此时点F 的坐标，设()00,K x y ，由勾股定理和抛物线方程得0174KF y =-，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174，则点S 的坐标为017,4x ⎛⎫⎪⎝⎭，此时，0174KS y =-,∴KF+KG=KS+KG,当S 、K 、G 共线且平行y 轴时，KF+KG 值最小，由点G 坐标解得0x ，代入抛物线方程中解得0y ，即为所求K 的坐标． 【详解】解：（1）方法1：设抛物线的解析式为(3)(1)ya x x将点(0,3)C 代入解析式中，则有1(03)31a a ⨯-=∴=-．∴抛物线的解析式为()222323y x x x x =---=-++．方法二：∵经过,,A B C 三点抛物线的解析式为2y ax bx c =++， 将(1,0),(3,0),(0,3)A B C -代入解析式中，则有30930c a b c a b c =⎧⎪∴-+=⎨⎪++=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++． （2）:3:5ACE CEB S S ∆∆=，132152AE COEB CO ⋅∴=⋅． :3:5AE EB ∴=．3334882AE AB ∴==⨯=．31122E x ∴=-+=． E ∴的坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．又C 点的坐标为(0,3)．∴直线CE 的解析式为63y x =-+．（3）2223(1)4y x x x =-++=--+．∴顶点D 的坐标为(1,4)．①当四边形DCPQ 为平行四边形时，由DQ ∥CP ，DQ=CP 得：D Q C P y y y y -=-，即403P y -=-．1p y ∴=-．令1y =-，则2231x x -++=-．1x ∴=∴点P 的坐标为(11)-．②当四边形DCQP 为平行四边形时，由CQ ∥DP ，CQ=DP 得：c Q D p y y y y -=-，即304P y -=-1p y ∴=．令1y =，则2231x x -++=．1x ∴=∴点P 的坐标为(1．∴综合得：点P 的坐标为(11),(1)- （4）∵点A 或点B 关于对称轴1x =对称 ∴连接BH 与直线1x =交点即为F 点． ∵点H 的坐标为450,8⎛⎫⎪⎝⎭，点B 的坐标为(3,0)， ∴直线BH 的解析式为：154588y x =-+． 令1x =，则154y =． 当点F 的坐标为151,4⎛⎫⎪⎝⎭时，HF AF +的值最小．11分 设抛物线上存在一点()00,K x y ，使得FK FG +的值最小．则由勾股定理可得：()222001514KF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．又∵点K 在抛物线上，()20014y x ∴=--+()20014x y ∴-=-代入上式中，()2220001517444KF y y y ⎛⎫⎛⎫∴=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0174KF y ∴=-． 如图，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174． ∴点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则0174SK y =-． 000171717,444y y y ⎛⎫<∴-=- ⎪⎝⎭（两处绝对值化简或者不化简者正确．）KF SK ∴=．KF KG SK KG ∴+=+当且仅当,,S K G 三点在一条直线上，且该直线干行于y 轴，FK FG +的值最小． 又∵点G 的坐标为(2,0)，02x ∴=，将其代入抛物线解析式中可得：03y =．∴当点K 的坐标为(2,3)时，KF KG +最小．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．4．（1）2134y x x =-++；（2）（32，0）；（3）①见解析；②CM =231或CM =123+【解析】 【分析】（1）根据点C 在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B 及已知点C 的坐标，证明△ABC 是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF 与x 轴的夹角为45°，因此设直线EF 的解析式为y=x+b ，设点M 的坐标为（m ，0），推出点F （m ，6-m ），直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m 的方程，解方程得点M 的坐标．注意有两种情况，均需讨论．（3）①过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，设点M 的坐标为（m ，0），由2PC =及旋转的性质，证明△EHM ≌△MGP ，得到点E 的坐标为（m-1，5-m ），再根据两点距离公式证明EA ED =，注意分两种情况，均需讨论；②把E （m-1，5-m ）代入抛物线解析式，解出m 的值，进而求出CM 的长． 【详解】 （1）∵点()6,0C在抛物线上，∴103664b c =-⨯++，得到6=9b c +， 又∵对称轴2x =， ∴2122()4b b x a =-=-=⨯-， 解得1b =， ∴3c =，∴二次函数的解析式为2134y x x =-++；（2）当点M 在点C 的左侧时，如下图：∵抛物线的解析式为2134y x x =-++，对称轴为2x =，()6,0C∴点A （2，0），顶点B （2，4）， ∴AB=AC=4，∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠1=45°；∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ， ∴FM=CM ，∠2=∠1=45°， 设点M 的坐标为（m ，0）， ∴点F （m ，6-m ）， 又∵∠2=45°，∴直线EF 与x 轴的夹角为45°， ∴设直线EF 的解析式为y=x+b ，把点F （m ，6-m ）代入得：6-m=m+b ，解得：b=6-2m ，直线EF 的解析式为y=x+6-2m ，∵直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点，∴262134y x m y x x =+-⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 整理得：213204x m +-=，∴Δ=b 2-4ac=0，解得m=32， 点M 的坐标为（32，0）． 当点M 在点C 的右侧时，如下图：由图可知，直线EF 与x 轴的夹角仍是45°，因此直线EF 与抛物线2134y x x =-++不可能只有一个交点． 综上，点M 的坐标为（32，0）． （3）①当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，∵2PC 2）知∠BCA=45°，∴PG=GC=1，∴点G （5，0），设点M 的坐标为（m ，0），∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ，∴EM=PM ，∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH =90°，∴∠HEM=∠GMP ，在△EHM 和△MGP 中，EHM MGP HEM GMP EM MP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EHM ≌△MGP （AAS ），∴EH=MG=5-m ，HM=PG=1，∴点H （m-1，0），∴点E 的坐标为（m-1，5-m ）；∴EA=22(12)(50)m m --+--=221634m m -+，又∵D 为线段BC 的中点，B （2，4），C （6，0），∴点D （4，2），∴ED=22(14)(52)m m --+--=221634m m -+，∴EA= ED ．当点M 在点C 的右侧时，如下图：同理，点E 的坐标仍为（m-1，5-m ），因此EA= ED ．②当点E 在（1）所求的抛物线2134y x x =-++上时， 把E （m-1，5-m ）代入，整理得：m 2-10m+13=0，解得：m=523+m=523-，∴CM =231或CM =123+．【点睛】本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质、旋转的性质、分类讨论的思想是解题的关键．5．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD＝22，r＝32．【解析】【分析】（1）根据已知条件得到∠EBC＝∠ADC＝90°，根据平行线分线段成比例定理得出AG CG GD==EF CF BF，等量代换即可得到结论；（2）证明∠PAO＝90°，连接AO，AB，根根据直角三角形斜边中线的性质，切线的性质和等量代换，就可得出结论；（3）连接AB，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BAE＝90°，推出FA＝FB＝FE＝FG＝3，过点F作FH⊥AG交AG于点H，推出四边形FBDH是矩形，得到FB＝DH＝3，根据勾股定理得到FH＝22，设半径为r，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵EB是切线，AD⊥BC，∴∠EBC＝∠ADC＝90°，∴AD∥EB，（同位角相等，两直线平行）∴AG CG GD==EF CF BF，（平行线分线段成比例）∵G是AD的中点，∴AG＝GD，∴EF＝FB；（2）证明：连接AO，AB，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，（直径所对圆周角为直角）在Rt△BAE中，由（1）知，F是斜边BE的中点，直角三角形斜边中线为斜边一半，∴AF＝FB＝EF，且等边对等角，∴∠FBA＝∠FAB，又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO，∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°，∵∠EBO ＝∠FBA+∠ABO ＝∠FAB+∠BAO ＝∠FAO ＝90°，∴PA 是⊙O 的切线；（3）如图2，连接AB ，AO ，∵BC 是直径，∴∠BAC ＝∠BAE ＝90°，∵EF ＝FB ，∴FA ＝FB ＝FE ＝FG ＝3，过点F 作FH ⊥AG 交AG 于点H ，∵FA ＝FG ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG ，∵∠FBD ＝∠BDH ＝∠FHD ＝90°，∴四边形FBDH 是矩形，∴FB ＝DH ＝3，∵AG ＝GD ，∴AH ＝HG ＝1，GD ＝2，FH 2222AF AH =31=22--，∴BD ＝22设半径为r ，在Rt ADO 中，∵222AO =AD +OD ， ∴222r =4+(r-22)，解得：r ＝32综上所示：BD ＝22r ＝32【点睛】本题主要考察了平行线的性质及定理、平行线分线段成比例定理、等边对等角、直角三角形斜边中线的性质、圆周角定理、勾股定理及圆的切线及其性质，该题较为综合，解题的关键是在于掌握以上这些定理，并熟练地将其结合应用．6．（1）6c a =-；（2）①2132y x =-；②2． 【解析】【分析】（1）先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系即可得；（2）①先根据（1）可得抛物线的解析式和顶点D 的坐标，再设11222),(2)(,,A x k a B k x x a x --，从而可得直线AD 、BD 解析式中的一次项系数，然后根据一元二次方程的根与系数的关系可得12k x x a +=，124x x =-，最后根据圆周角定理可得AD BD ⊥，从而可得1212144x x k a k a x x +⋅=-+，化简可求出a 的值，由此即可得出答案； ②先求出点B 、D 的坐标，再根据直线1l 与抛物线只有一个交点可得出2213,2q p x p --==，然后联立直线1l 与2l 求出点N 的坐标，最后利用三角形的面积公式分别求出12,S S ，由此即可得．【详解】（1）抛物线2(0)y ax bx c a =++>，顶点D 在y 轴上，∴抛物线的对称轴为y 轴，即0x =，0b ∴=，抛物线与x∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为是关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，(c a∴=， 即6c a =-；（2）①由（1）可得：抛物线的解析式为26y ax a =-，顶点D 的坐标为(0,6)D a -，由题意，设点A 、B 的坐标分别为11222),(2)(,,A x k a B k x x a x --，且21x x >， 由点A 、D 的坐标得：直线AD 解析式中的一次项系数为11112064x a x x k x a k a -=-++， 由点B 、D 的坐标得：直线BD 解析式中的一次项系数为22222064x a x x k x a k a -=-++， 联立262y ax a y kx a⎧=-⎨=-⎩可得240ax kx a --=， 则1x 与2x 是关于x 的一元二次方程240ax kx a --=的两根， 由根与系数的关系得：1212,4k x x x x a+==-， 以AB 为直径的圆恒过点D ， 90ADB ∴∠=︒，即AD BD ⊥， 则1212144x x k a k a x x +⋅=-+， 整理得：2164a =，解得12a =或102a =-<（不符题意，舍去）， 故抛物线的解析式为2132y x =-； ②由①可知，222(0,3),(,31)2D x x B --， 则直线2l 的解析式为3y =-， 联立2132y x y px q⎧=-⎪⎨⎪=+⎩可得22260px x q ---=， 1l 与抛物线只有一个公共点，∴方程22260px x q ---=只有一个实数根2x ，∴其根的判别式244(26)0p q ∆=++=，且2222260x px q ---=， 解得2132q p --=， 将2132q p --=代入2222260x px q ---=得：2x p =， 联立3y y px q =-⎧⎨=+⎩，解得33q x p y --⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 即点N 的坐标为3(,3)q N p---， 21322p q p DN p p --∴===， 121122S DM x DM p =⋅=⋅，21112224p S DM DN DM DM p =⋅=⋅=⋅， 1212124DM S p M p S D ⋅⋅∴==． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系以及根的判别式、二次函数的对称性、圆周角定理等知识点，较难的是题（2）①，利用圆周角定理得出AD BD ⊥，从而利用一次函数的性质建立等式是解题关键．7．（1）见解析；（2）60°；（3）不变，MN=【解析】【分析】（1）连接AO、CO、BO、BD，根据菱形的性质得到AB=CB，然后根据SSS即可证明两三角形全等；（2）首先根据全等的性质得到O、B、D共线，然后根据三角形外角的性质得到∠BOC＝2∠ODC＝2∠OBC，最终根据余角的性质即可求解；（3）延长EM、EN交⊙O于F、G，连接FG、OF、OG，过点O作OH垂直于FG于点H，根据垂径定理和三角形中位线的性质得到MN=12FG，根据（2）问结论结合圆周角定理求得∠FOH＝60°，最后根据含30°的直角三角形的边角关系即可求解．【详解】（1）如图，连接AO、CO、BO、BD．∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB∴∠BAO＝90°．∵四边形ABCD是菱形∴AB＝CB又∵AO＝CO，BO＝BO∴△BAO≌△BCO（SSS）∴∠BCO＝∠BAO＝90°，即OC⊥BC∴BC为⊙O的切线（2）∵△ABO≌△CBO∴∠ABO＝∠CBO∵四边形ABCD是菱形∴BD平分∠ABC，CB＝CD∴点O在BD上∵∠BOC＝∠ODC＋∠OCD，OD＝OC∴∠ODC＝∠OCD∴∠BOC＝2∠ODC∵CB＝CD∴∠OBC＝∠ODC∴∠BOC＝2∠OBC∵∠BOC＋∠OBC＝90°∴∠OBC＝30°∴∠ABC＝2∠OBC＝60°即∠B=60°；（3）不变延长EM 、EN 交⊙O 于F 、G ，连接FG 、OF 、OG ．过点O 作OH 垂直于FG 于点H ．∵EM ⊥OA 、EN ⊥OC ．∴M 、N 是EF 、EG 的中点．∴MN 是△EFG 的中位线∴MN=12FG ． 由（2）知∠ABC ＝60°∴∠AOC ＝120°∴∠FOG ＝∠AOC ＝120°∴∠MEN ＝12∠FOG ＝60°， ∴∠FOH ＝60°，∴OH=2，FH=23∴FG=43∴MN=12FG=23 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的引出辅助线，熟练利用三角形和圆的知识点求解是本题的关键．8．（1）21(6)33y x =--；（2）333）323 【解析】试题分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点坐标式，然后将C 点坐标代入求解即可．（2）由于DE 是⊙A 的切线，连接AE ，那么根据切线的性质知AE ⊥DE ，在Rt △AED 中，AE 、AB 是圆的半径，即AE=OA=AB=3，而A 、D 关于抛物线的对称轴对称，即AB=BD=3，由此可得到AD 的长，进而可利用勾股定理求得切线DE 的长．（3）若△BFD 与EAD △相似，则有两种情况需要考虑：①△AED ∽△BFD ，②△AED ∽△FBD ，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF 的长． 试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a （x-6）2+k ；∵抛物线经过点A （3，0）和C （0，9），∴90{369 a ka k+=+=，解得：1 {33 ak==-∴y=13（x-6）2-3．（2）连接AE；∵DE是⊙A的切线，∴∠AED=90°，AE=3，∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点，∴AB=BD=3，∴AD=6；在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=62-32=27，∴（3）当BF⊥ED时；∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，∴△AED∽△BFD，∴AE ADBF BD=，即363 BF=，∴BF=32；当FB⊥AD时，∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，∴△AED∽△FBD，∴AE EDBF BD=，即=∴BF的长为32考点：二次函数综合题．9．（1）241y x x =+-；（2）PAB △面积最大值为278；（3）存在，1234(12)(346)(346),(13)E E E E ------，，，，，，【解析】【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设AB y kx b =+，求得解析式，过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F ，设点()2,41P a a a +-，则(,1)F a a -，1||2PABB A S PF x x ∆=⋅-23327228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即可求解； （3）分BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线过(3,4)A --，(0,1)B -∴9341b c c -+=-⎧⎨=-⎩∴41b c =⎧⎨=-⎩∴241y x x =+-（2）设AB y kx b =+，将点()3,4A --(0,1)B -代入AB y∴1AB y x =-过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F设点()2,41P a a a +-，则(,1)F a a - 由铅垂定理可得 1||2PAB B A S PF x x ∆=⋅- ()231412a a a =---+ ()2332a a =-- 23327228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ∴PAB △面积最大值为278（3）（3）抛物线的表达式为：y ＝x 2＋4x−1＝（x ＋2）2−5，则平移后的抛物线表达式为：y ＝x 2−5，联立上述两式并解得：14x y -⎧⎨-⎩＝＝，故点C （−1，−4）；设点D （−2，m ）、点E （s ，t ），而点B 、C 的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）； ①当BC 为菱形的边时，点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样D （E ）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E （D ），即−2＋1＝s 且m ＋3＝t ①或−2−1＝s 且m−3＝t ②，当点D 在E 的下方时，则BE ＝BC ，即s 2＋（t ＋1）2＝12＋32③， 当点D 在E 的上方时，则BD ＝BC ，即22＋（m ＋1）2＝12＋32④， 联立①③并解得：s ＝−1，t ＝2或−4（舍去−4），故点E （−1，2）；联立②④并解得：s ＝-3，t ＝-4±6，故点E （-3，-4＋6）或（-3，-4−6）； ②当BC 为菱形的的对角线时，则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m ＋t ⑤， 此时，BD ＝BE ，即22＋（m ＋1）2＝s 2＋（t ＋1）2⑥， 联立⑤⑥并解得：s ＝1，t ＝−3， 故点E （1，−3），综上，点E 的坐标为：（−1，2）或(346)--+，，或(346)---，或（1，−3）． ∴存在，1234(12)(346)(346),(13)E E E E ---+----，，，，，， 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 10．（1）证明见解析;（2）① 补图见解析;②证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】（1）证明：∵AB =AC ，AD 为BC 边上的高，∠BAD =20°， ∴∠BAC =2∠BAD =40°． ∵CF ⊥AB ， ∴∠AFC =90°． ∵E 为AC 中点， ∴EF =EA =12AC ． ∴∠AFE =∠BAC =40°．（2）① 当点P 在边AB 上是，补全图形如图当点P 在AB 的延长线上是，补全图形如图②Ⅰ、当点P在边AB上时，证明：想法1:如图3，连接DE.∵AB=AC，AD为BC边上的高，∴D为BC中点．∵E为AC中点，∴ED∥AB，∴∠PED=∠APE.∵∠ADC=90∘，E为AC中点，∴12 AE DE CE AC ===同理可证12 AE NE CE AC ===∴AE=NE=CE=DE.∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上，∴∠PED=2∠MAD.∴∠APE=2∠MAD.想法2:设∠MAD=α，∠DAC=β，∵CN⊥AM，∴∠ANC=90∘.∵E为AC中点，∴AE=NE=12 AC.∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β.∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β.∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAC=2∠DAC=2β.∴∠APE=∠PEC−∠BAC=2α.∴∠APE=2∠MAD.Ⅱ、当点P在AB的延长线上时证明：想法1:连接DE．∵AB=AC，AD为BC边上的高，∴D为BC中点．∵E为AC中点，∴ED∥AB，∴∠1=∠APE．∵∠ADC=90°，E为AC中点，∴12AE DE CE AC===．同理可证12AE NE CE AC===．∴AE=NE=CE=DE．∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上．∴∠1=2∠MAD．∴∠APE=2∠MAD．想法2:设∠MAD=α，∠DAC=β，∵CN⊥AM，∴∠ANC=90∘.∵E为AC中点，∴AE=NE=12 AC.∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β.∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β.∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAC=2∠DAC=2β.∴∠APE=∠PEC−∠BAC=2α.∴∠APE=2∠MAD.。

2020-2021学年陕西省西安交大附中航天学校九年级（上）第一次月考数学试卷1.下列是一元一次方程的是()A. x2−2x−3=0B. 2x+y=5C. x2+1x=1 D. x+1=02.已知2x=3y(y≠0)，则下面结论成立的是()A. xy =32B. x3=2yC. xy=23D. x2=y33.在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有()A. 5个B. 10个C. 15个D. 25个4.如图，l1//l2//l3，AB=2，BC=4，DB=3，则DE的长为()A. 4B. 5C. 6D. 95.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOD=120°，对角线AC=4，则BC的长为()A. 1B. 2√3C. √3D. 26.某果园2018年砂糖橘产量为80吨，2020年要达到100吨，设砂糖橘产量的年平均增长率为x，则依据题意所列方程为()A. 80(1+x)2=100B. 80(1+x)3=100C. 80(1+2x)=100D. 100(1−x)2=807.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD=5cm，则EF为()A. 5B. 10C. 15D. 208.关于x的一元二次方程kx2−4x+1=0有实数根，则k的取值范围是()A. k≥−4B. k≥−4且k≠0C. k≤4D. k≤4且k≠09.如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是()A. ∠B=∠DACB. ∠BAC=∠ADCC. AD2=BD⋅BCD. AC2=DC⋅BC10.正方形ABCD的边长是4，P为BC上的动点，连接PA，作PQ⊥PA，PQ交CD于Q，连接AQ，则AQ的最小值是()A. 5B. 2√5C. √17D. 411.已知xy =23，那么x+yx=______．12.如图，△ABC中，点D、E分別在AB、AC上，DE//BC，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为______．13.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O成位似关系，且相似比k=13.若B(2,1)，则点E的坐标是______．14.已知点P是线段AB的黄金分割点，AP>PB.若AB=2，则AP=______．15.设x1，x2是方程x2+2x−2020=0的两个实数根，则1x1+1x2=______．16.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是______．17.用适当的方法解下列方程(1)x2−4x=5；(2)(x+1)(x+8)=−12．18.解分式方程：3x+2+2=2xx−2．19.在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=60°，利用尺规作图在AC边上求作一点D，使得△ABC∽△BDC.(不写作法，保留作图痕迹)20.如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F．(1)求证：四边形AEDF是菱形．(2)若AF=13，AD=24.求四边形AEDF的面积．21.随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为______；(2)用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．22.如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．(1)求证：△ABE∽△DFA；(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．23.“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端(点F，M，D，N，B在同一条直线上).若测得FM=1.5米，DN=1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．24.维康药店购进一批口罩进行销售，进价为每盒(二十只装)40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，每月可以售出500盒．后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每月减少20盒．(1)若将这种口罩每盒的售价上涨x元，则每月销售量是多少盒？(用含x的代数式表示)(2)维康药店要保证每月销售此种口罩盈利6000元，且使该口罩的月销量不低于200盒，则每盒口罩的售价应为多少元？25.如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P为线段AO上一个动点(不包括两个端点)，Q为CD边上一点，且∠BPQ=90°．(1)如图1，直接写出线段PB与线段PQ的数量关系为______．(2)若BC+CQ=6，求四边形BCQP的面积；(3)如图2，连接BQ交AC于点E，若正方形ABCD的边长为6√2，AP=2，求PE的长．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0.根据只含有一个未知数(元)，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程可得答案．【解答】解：A.不是一元一次方程，故此选项错误；B.不是一元一次方程，故此选项错误；C.不是一元一次方程，故此选项错误；D.是一元一次方程，故此选项正确；故选D．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．根据等式的性质2，可得答案．【解答】解：A.两边都除以2y，得xy =32，故A符合题意；B.两边除以不同的整式，故B不符合题意；C.两边都除以2y，得xy =32，故C不符合题意；D.两边除以不同的整式，故D不符合题意．故选A．3.【答案】B【解析】解：设袋中白球有x个，根据题意得：1515+x=0.6，解得：x=10，经检验：x=10是分式方程的解，答：袋中白球约有10个．故选：B．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn是解题关键．4.【答案】D【解析】解：∵l1//l2//l3，∴ABBC =DBBE，即24=3BE，解得BE=6，∴DE=DB+BE=3+6=9，故选：D．由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=12AC，OB=12BD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB，∴AC=2OA=4，∴AB=2∴BC=√AC2−AB2=√42−22=2√3，故选：B．由矩形的性质得出∠ABC=90°，OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA=AB，求出AB，然后根据勾股定理即可求出BC．本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．6.【答案】A【解析】解：由题知：80(1+x)2=100故选：A．根据一元二次方程的实际应用的平均增长率的公式列式即可．本题考查了一元二次方程的实际应用问题的平均增长率问题，熟知其应用是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴AB=2CD=2×5=10cm，∴E，F分别是BC，CA的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=12AB=12×10=5cm．故选：A．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−4x+1=0有实数根，∴k≠0且Δ=(−4)2−4k≥0，解得：k≤4且k≠0．故选：D．根据二次项系数非零结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：已知△ABC和△DCA中，∠ACD=∠BAC；如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠B或∠ADC=∠BAC；②AC2=DC⋅BC；故选：C．已知有公共角∠C，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；D 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似．此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．10.【答案】A【解析】解：设BP的长为x，CQ的长为y．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∵PQ⊥PA，∴∠APB+∠QPC=90°，∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠QPC，∴△ABP∽△PCQ，∴BPCQ =ABPC，即xy=44−x，∴y=−14x2+x=−14(x−2)2+1(0<x<4)；∵−14<0，∴当x=2时，y有最大值1，∵CD=4，∴DQ 有最小值是3，∴AQ =√AD 2+DQ 2=√42+32=5， 故选A ．由题意知：PQ ⊥PA ，即：∠APB +∠QPC =90°，∠BAP +∠APB =180°−∠B =90°，所以∠QPC =∠BAP ，又∠B =∠C ，即：△ABP∽△PCQ ，由相似三角形的性质可得：BPCQ =ABPC ，又BP =x ，PC =BC −BP =4−x ，AB =4，将其代入该式求出CQ 的值即可，利用“配方法”求该函数的最大值，则可求出AQ 的最小值．本题主要考查正方形的性质、二次函数的应用、勾股定理等知识，解题的关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出CQ 的最大值．11.【答案】52【解析】解：∵xy =23， ∴x =23y ， ∴x+y x=23y+y 23y =52． 故答案为：52．直接利用已知得出x =23y ，进而得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确运用已知变形是解题关键．12.【答案】1：9【解析】解：∵DE//BC ， ∴△ADE∽△ABC ， ∵AD ：DB =1：2， ∴AD ：AB =1：3， ∴S △ADE ：S △ABC =1：9． 故答案为：1：9．根据DE//BC 得到△ADE∽△ABC ，再结合相似比是AD ：AB =1：3，因而面积的比是1：9，问题得解．本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．13.【答案】(6,3)【解析】解：△ABC与△DEF关于原点O成位似关系，相似比k=13，∵点E是点B的对应点，点B的坐标为(2,1)，∴点E的坐标为(2×3,1×3)，即(6,3)，故答案为：(6,3)．根据位似变换的性质计算即可．本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．14.【答案】√5−1【解析】解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=2×√5−12=√5−1．根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=√5−12AB，代入数据即可得出AP 的长．理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3−√52，较长的线段=原线段的√5−12．15.【答案】11010【解析】解：∵x1、x2是方程x2+2x−2020=0的两个实数根，∴x1+x2=−2，x1x2=−2020，∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−2−2020=11010．故答案为11010．根据根与系数的关系可得出x1+x2=−2、x1x2=−2020，将其代入1x1+1x2=x1+x2x1x2中即可求出结论．本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于−ba 、两根之积等于ca是解题的关键．16.【答案】2√2【解析】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，∴P1P2//CE且P1P2=12CE．当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP．由中位线定理可知：P1P//CE且P1P=12CF．∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=2．∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°．∴∠DP2P1=90°．∴∠DP1P2=45°．∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2，∴BP1=2√2∴PB的最小值是2√2．故答案是：2√2．根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．17.【答案】解：(1)x2−4x=5，x2−4x+4=9，(x−2)2=9，x−2=±3，解得x1=−1，x2=5；(2)(x+1)(x+8)=−12，整理得x2+9x+20=0，(x+4)(x+5)=0，x+4=0或x+5=0，解得x1=−4，x2=−5．【解析】(1)利用配方法得到(x+2)2=6，然后利用直接开平方法解方程；(2)先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了因式分解法解方程．18.【答案】解：去分母得：3x−6+2x2−8=2x2+4x，解得：x=−14，经检验x=−14是分式方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19.【答案】解：∵∠ABC=80°，∠ACB=60°，∴∠A=40°，∵∠C是公共角，∴只要作∠DBC=∠A即可，恰好∠ABC=2∠DBC，∴作∠ABC的角平分线即可．如图所示：△ABC∽△BDC．【解析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．根据计算直接利用角平分线的作法得出∠ABC的平分线进而得出答案．20.【答案】(1)证明：∵AB//DF，AC//DE，∴四边形AEDF是平行四边形．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC．又∵AC//DE，∴∠ADE=∠DAC．∴∠ADE=∠BAD．∴EA=ED．∴四边形AEDF是菱形．(2)解：连接EF交AD于点O．∵四边形AEDF是菱形，∴EF=2FO．∴AO=1AD=12．2∵AD⊥EF．在Rt△AOF中，由勾股定理得OF=√AF2−AO2=√132−122=5．∴OE=OF=5．∴四边形AEDF的面积=12AD×OF+12AD×OE=12×24×5+12×24×5=120．【解析】(1)先证明四边形AEDF是平行四边形．再证明∠ADE=∠BAD.可得EA=ED.则结论得证；(2)连接EF交AD于点O.求出OE=OF=5，则四边形AEDF的面积可求出．本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．21.【答案】(1)14；(2)画树状图为：共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率=416=14．【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．(1)直接利用概率公式计算；(2)画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率=14；故答案为：14；(2)见答案．22.【答案】(1)证明：在矩形ABCD中，∠B=90°，AD//BC，∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，∴∠B=∠AFD=90°，又∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∴△ABE∽△DFA．(2)解：∵AB=6，BE=8，∠B=90°，∴AE=√AB2+BE2=10，∵△ABE∽△DFA，∴ABDF =AEAD，即6DF =1012，∴DF=7.2．【解析】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的性质、勾股定理等知识点，难度中等．(1)△ABE和△DFA都是直角三角形，还需一对角对应相等即可．根据AD//BC可得∠DAF=∠AEB，问题得证；(2)运用相似三角形的性质求解．23.【答案】解：设NB的长为x米，则MB=x+1.1+2.8−1.5=(x+2.4)米．由题意，得∠CND=∠ANB，∠CDN=∠ABN=90°，∴△CND∽△ANB，∴CDAB =DNBN．同理，△EMF∽△AMB，∴EFAB =FMBM．∵EF=CD，∴DNBN =FMBM，即1.1x= 1.5x+2.4．解得x=6.6，∵CDAB =DNBN，∴1.6AB =1.16.6．解得AB=9.6．答：大树AB的高度为9.6米．【解析】设NB的长为x米，则MB=x+1.1+2.8−1.5=(x+2.4)米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合CDAB =DNBN求得大树的高．本题考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．24.【答案】解：(1)设每盒口罩可涨价x元，由题意，得：(x+50−40)(500−20x)，(2)由题意，得：(x+50−40)(500−20x)=6000，解得x1=5，x2=10．设每盒口罩的售价为m元，则500−20(m−50)≥200，解得，m≤65．即：每盒口罩的售价应不高于65元．所以x1=5，x2=10均符合题意．答：每盒口罩的售价应为55元或60元．【解析】(1)设每盒口罩需涨价x元，根据“每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每月减少20盒”表示出销售量；(2)设每盒口罩的售价为m元，由关键描述语“该口罩的月销量不低于200盒”列出不等式求解即可．此题考查了一元二次方程的应用，弄清“每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每月减少20盒”是解本题的关键．25.【答案】PB=PQ【解析】解：(1)过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=∠ACB，又∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，∴PE=PF，∵∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，∴四边形PECF是矩形，又∵PE=PF，∴四边形PECF是正方形，∴∠EPF=∠BPQ=90°，∴∠BPE=∠QPF，又∵∠PEB=∠PFQ=90°，PE=PF，∴△PEB≌△PFQ(ASA)，∴PB=PQ，故答案为：PB=PQ；(2)由(1)可知△PBE≌△PQF，四边形PECF是正方形，∴BE=FQ，CE=CF，S△BPE=S△PQF，∵BC+CQ=6，∴EC+FC=BC+CQ=6，∴CE=CF=3，又∵S△BPE=S△PQF，∴S四边形BCQP =S四边形CEPF=9；(3)如图2，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BHA，∴△BEC≌△BHA，∴AH=CE，BH=BE，∠ABH=∠CBE，∠BAH=∠BCE=45°，∴∠HAP=90°，∵正方形ABCD的边长为6√2，∴AC=12，∵AP=2，∴PE+EC=10，∵PB=PQ，∠BPQ=90°，∴∠PBQ=45°，∴∠ABP+∠CBE=45°，∴∠ABP+∠ABH=45°，∴∠PBH=∠PBE，又∵BH=BE，BP=BP，∴△PBE≌△PBH(SAS)，∴PE=PH，∵HA2+AP2=HP2，∴(10−PE)2+4=PE2，∴PE=5.2．(1)过点P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，由“ASA”可证△PEB≌△PFQ，可得PB=PQ；(2)由全等三角形的性质可得BE=FQ，CE=CF，S△BPE=S△PQF，可得CE=CF=3，可得S四边形BCQP=S四边形CEPF=9；(3)将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到△BHA，由“SAS”可证△PBE≌△PBH，可得PE=PH，由勾股定理可求解．本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．第21页，共21页。

2018-2019学年度第一学期期中考试交大附中九年级数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）A．x2＝1 B．ax2+bx+c＝0C．（x﹣3）2+15＝x2﹣5x+1 D．x2﹣5＝1【分析】根据一元二次方程的定义，逐个判断得结论．【解答】解：方程x2＝1符合一元二次方程的定义，故选项A是一元二次方程；方程ax2+bx+c＝0当a＝0时，不是一元二次方程，故选项B不一定是一元二次方程；方程（x﹣3）2+15＝x2﹣5x+1整理后不含未知数的二次项，故选项C不是一元二次方程；方程x2﹣5+＝1，等号的左边不是整式，故选项D不是一元二次方程．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．（3分）如图所示，该几何体的俯视图应为（）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：该几何体的俯视图应为，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．3．（3分）如果2x＝3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（）A．＝B．＝3 C．＝D．＝【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．【解答】解：∵2x＝3y，∴＝，∴选项A不正确；∵2x＝3y，∴＝，∴＝＝3，∴选项B正确；∵2x＝3y，∴＝，∴＝＝，∴选项C不正确；∵2x＝3y，∴＝，∴＝＝，∴选项D不正确．故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．4．（3分）当k＜﹣时，关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k＝0的根的情况是（）A．两个相等的实根B．两个不相等的实根C．无实根D．无法判断【分析】先计算根的判别式得到△＝（2k+1）2﹣4（k﹣1）＝4k2+5，根据非负数的性质得到4k2+5＞0，即△＞0，然后根据判别式的意义判断根的情况．【解答】解：∵a＝k﹣2，b＝﹣（2k﹣1），c＝k，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×（k﹣2）×k＝4k+1．∵当k＜﹣时，△＝4k+1＜0．∴该方程无实数根．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．（3分）已知点（3，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，则下列点也在该反比例函数y＝的图象的是（）A．（3，﹣3）B．（﹣2，3）C．（1，6）D．（﹣2，﹣3）【分析】先根据反比例函数y＝图象过点（3，﹣2）求出k的值，再根据k ＝xy的特点进行解答即可．【解答】解：∵反比例函数y＝图象过点（3，﹣2），∴﹣2＝，即k＝﹣6，A、∵3×（﹣3）＝﹣9≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B、∵﹣2×3＝﹣6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；C、∵1×6＝6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；D、∵﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．6．（3分）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．7．（3分）已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（）A．2 B．C．3 D．4【分析】由菱形的性质和勾股定理得出AO+BO＝3，AO2+BO2＝AB2，（AO+BO）2＝9，求出2AO•BO＝4，即可得出答案．【解答】解：如图四边形ABCD是菱形，AC+BD＝6，∴AB＝，AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD，∴AO+BO＝3，∴AO2+BO2＝AB2，（AO+BO）2＝9，即AO2+BO2＝5，AO2+2AO•BO+BO2＝9，∴2AO•BO＝4，∴菱形的面积＝AC•BD＝2AO•BO＝4；故选：D．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理；解题的关键是记住菱形的面积公式，记住菱形的对角线互相垂直，属于中考常考题型．8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m ≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b＞的解集为（）A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜0或x＞2C．x＞2 D．x＜﹣6或0＜x＜2【分析】根据函数的图象和交点坐标即可求得结果．【解答】解：不等式kx+b＞的解集为：﹣6＜x＜0或x＞2，故选：B．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．4﹣2B．3﹣4 C．1 D．【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4，∵正方形的边长为4，∴BD＝4，∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BE＝×（4﹣4）＝4﹣2．故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE＝AD是解题的关键，也是本题的难点．10．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S ＝4，S△CDE＝16，则△ACD的面积为（）△BDEA．64 B．72 C．80 D．96【分析】由S△BDE＝4，S△CDE＝16，得到S△BDE：S△CDE＝1：4，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出＝，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后求出△ACD的面积．【解答】解：∵S△BDE＝4，S△CDE＝16，∴S△BDE：S△CDE＝1：4，∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，∴＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△DBE∽△ABC，∴S△DBE：S△ABC＝1：25，∴S△ACD＝80．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）11．（3分）已知某矩形的一组邻边之比等于黄金比，且较短的一边长为1，则较长的一边长为．【分析】根据黄金分割的定义解答即可．【解答】解：∵某矩形的一组邻边之比等于黄金比，且较短的一边长为1，所以较长的一边长为，故答案为：【点评】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．12．（3分）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是20 %．【分析】设该药品平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格是25×（1﹣x），第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的为25×（1﹣x）（1﹣x）＝16，解方程即可求解．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得25×（1﹣x）（1﹣x）＝16，整理得25×（1﹣x）2＝16，解得x＝0.2或1.8（不合题意，舍去）；即该药品平均每次降价的百分率是20%．故答案为：20%．【点评】本题需注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．13．（3分）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点C，则k的值为﹣6 ．【分析】先根据菱形的性质求出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值．【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，∴C（﹣3，2），∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴2＝，解得k＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式．14．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°．若点D为AB的中点，P 为边AB上一点，且∠CDP＝90°，将∠CDP绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），角的两边分别与边AC、BC相交于M、N两点，则＝．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD＝AD＝DB，则∠ACD＝∠A ＝30°，∠BCD＝∠B＝60°，由于∠CDP＝90°，可利用互余得∠CPD＝60°，再根据旋转的性质得∠PDM＝∠CDN＝α，于是可判断△PDM∽△CDN，然后，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵点D为斜边AB的中点，∴CD＝AD＝DB，∴∠ACD＝∠A＝30°，∠BCD＝∠B＝60°，∵∠CDP＝90°，∴∠CPD＝60°，∴∠MPD＝∠NCD，∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），∴∠PDM＝∠CDN＝α，∴△PDM∽△CDN，∴＝，在Rt△PCD中，∵tan∠PCD＝tan30°＝，∴＝tan30°＝．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．三.解答题（共9小题，计58分，解答应写出过程）15．（5分）解方程（x+4）2＝5（x+4）【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：移项得：（x+4））2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x+4﹣5）＝0，x+4＝0，x+4﹣5＝0，x＝﹣4，x2＝1．1【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．16．（5分）已知m是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，求代数式2m2+6m﹣3的值．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x＝m入方程即可得到m2+3m的形式，再整体代入m2+3m ＝1，即可求解．【解答】解：根据题意得：m2+3m﹣1＝0，∴m2+3m＝1，∴2m2+6m﹣3＝2（m2+3m）﹣3＝2﹣3＝﹣1．【点评】此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．17．（6分）画出下面立体图的三视图．【分析】从正面看下面是一个横着的长方形，上面是一个竖着的长方形；从左面看下面是一个横着的长方形，上面是一个三角形；从上面看是一个大正方形中右上一个小正方形．【解答】解：如图所示：【点评】考查了作三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来．18．（7分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．【解答】解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即树高5.5m．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．19．（8分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．（2）给出方程的两根，根据所给方程形式，可利用一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝2（m+1），代入且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，即可解答．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）＝16+8m＞0，解得：m＞﹣2；（2）根据根与系数的关系可得：x+x2＝2（m+1），1∵（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，∴[2（m+1）]2﹣2（m+1）﹣12＝0，解得：m1＝1或m2＝﹣（舍去）∵m＞﹣2；∴m＝1．【点评】根据方程的根的情况即可得到关于未知系数的不等式，转化为结不等式的问题，另外（2）把求未知系数的问题，根据一元二次方程的根与系数的关系即可转化为方程的问题．20．（8分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．【分析】（1）根据题意列出图表，得出数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，再根据概率公式求出甲获胜的概率；（2）根据图表（1）得出）“和是4的倍数”的结果有3种，根据概率公式求出乙的概率，再与甲的概率进行比较，得出游戏是否公平．【解答】解：（1）列表如下：∵数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，∴P（甲）＝＝；（2）∵“和是4的倍数”的结果有3种，∴P（乙）＝＝；∵，即P（甲）≠P（乙），∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．【点评】此题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠ADC，E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，延长BE交CD的延长线于点M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若MD＝6，BC＝12，求BF的长度．（结果可保留根号）【分析】（1）先求出四边形ABCD是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可；（2）求出DM＝AB＝6，根据矩形的性质得出CD＝AB＝6，求出CF，根据勾股定理求出BF即可．【解答】（1）证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，∵∠A＝∠ADC，∴∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠M，∵E为AD的中点，∴AE＝DE．在△ABE和△DME中，∴△ABE≌△DME（AAS），∴AB＝DM＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝DM＝6，∠C＝90°，∵F为CD的中点，∴CF＝CD＝3，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝＝3．【点评】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，能求出四边形ABCD是矩形是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．22．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM 与BN的交点为C．（1）求出反比例函数解析式；（2）求证：△ACB∽△NOM．（3）延长线段AB，交x轴于点D，若点B恰好为AD的中点，求此时点B的坐标．【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式中，求出k，即可得出结论；（2）先判断出四边形OMCN是矩形，得出CN＝OM，ON＝CM，∠MCN＝90°，再求出OM＝1，ON＝n，AC＝4﹣n，BC＝m﹣1，进而判断出＝，即可得出结论；（3）先判断出AD＝2AB，再判断出△ACB∽△AMD，得出＝，进而求出n，即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y＝图象上，∴k＝1×4＝4，∴反比例函数解析式为y＝；（2）由（1）知，反比例函数解析式为y＝，∵点B（m，n）在反比例函数上，∴mn＝4，∴m＝，∵AM⊥x轴，BN⊥y轴，∴∠OMC＝∠ONC＝90°＝∠MON，∴四边形OMCN是矩形，∴CN＝OM，ON＝CM，∠MCN＝90°，∴∠ACB＝90°＝∠NOM，∵AM⊥x轴，∴M（1，0），∵BN⊥y轴，∴N（0，n），∴C（1，n），∴OM＝CN＝1，ON＝n，∵A（1，4），B（m，n），∴AC＝4﹣n，BC＝m﹣1，∴＝＝﹣1＝m﹣1，＝＝m﹣1，∴＝，∵∠MON＝∠BCA＝90°，∴△ACB∽△NOM；（3）∵点B恰好为AD的中点，∴AD＝2AB，∵BN⊥y轴，∴BN∥OM，∴△ACB∽△AMD，∴＝，由（2）知，BC＝m﹣1，AC＝4﹣n，∵AM⊥x轴，A（1，4），∴AM＝4，∴＝，∴2（4﹣n）＝4，∴n＝2，∵mn＝4，∴m＝2，∴B（2，2）．【点评】此题是反比例函数综合题．主要考查了待定系数法，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握两边对应成比例，夹角相等的两三角形相似是解本题的关键．23．（15分）问题探究（1）如图1，已知锐角△ABC中，点D在BC边上，当线段AD最短时，请你在图中画出点D的位置．（2）若一个四边形的四个顶点分别在一个三角形的三条边上，则称这个四边形为该三角形的内接四边形．如图2，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°．矩形BEFG是△ABC的内接矩形，若EF＝2，则矩形BEFG的面积为如图3，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝45°，矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形且D、E在边BC上．若EF＝2，求矩形DEFG的面积；问题解决：（3）如图4，△ABC是一块三角形木板余料，AB＝6，BC＝8，∠B＝30°，木匠师傅想利用它裁下一块矩形DEFG木块，矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形且D、E在边BC上，请在图4中画出对角线DF最短的矩形DEFG，请说明理由，并求出此时DF的长度．【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，点D即可所求；（2）当△ABC为直角三角形时，由EF∥AB可得出△CEF∽△CBA，利用相似三角形的性质可求出CE的长度，进而可得出BE的长度，再利用矩形的面积公式即可得出矩形BEFG的面积；当△ABC为锐角三角形时，过点A作AM⊥BC于点M，则AM＝AB＝6，△BDG ∽△BMA，△CEF∽△CMA，利用相似三角形的性质可得出BD＝BM，CE＝CM，进而可求出DE的长度，再利用矩形的面积公式即可得出矩形BEFG的面积；（3）过点A作AN⊥BC于点N，则AN＝AB＝3，设EF＝x（0＜x＜3），由（2）可知：DE＝BC﹣•BC＝8﹣＝（3﹣x），利用勾股定理可得出DF2＝x2﹣x+64，利用配方法可求出DF2的最小值，开方后即可得出DF的最小值，此题得解．【解答】解：（1）在图1中，过点A作AD⊥BC于点D．（2）在图2中，∵四边形BEFG为矩形，∴EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴＝，即＝，∴CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝，∴S矩形BEFG＝BE•EF＝×2＝．故答案为：．在图3中，过点A作AM⊥BC于点M，则AM＝AB＝6，同理可得出：△BDG∽△BMA，△CEF∽△CMA，∴＝，＝，即＝，＝，∴BD＝BM，CE＝CM，∴DE＝BC﹣BD﹣CE＝BC＝，∴S矩形BEFG＝DE•EF＝×2＝．（3）在图4中，过点A作AN⊥BC于点N，则AN＝AB＝3．设EF＝x（0＜x＜3），由（2）可知：DE＝BC﹣•BC＝8﹣＝（3﹣x），∴DF2＝DE2+EF2＝（3﹣x）2+x2＝x2﹣x+64＝（x﹣）2+．∵＞0，∴当x＝时，DF2取最小值，最小值为，∴DF的最小值为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的面积、勾股定理以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）牢记点到直线之间垂直线段最短；（2）利用相似三角形的性质求出DE的长度；（3）利用勾股定理找出DF2＝x2﹣x+64，再利用二次函数的性质解决最值问题．中数学；邮箱：xayzjy2@；学号：24958757。

2018-2019学年陕西省西安交大附中分校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣5的倒数是（）A．5B．C．﹣D．﹣52．（3分）某正方体每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“厉”字所在面相对的面上的汉字是（）A．国B．了C．的D．我3．（3分）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．15°B．35°C．25°D．40°4．（3分）若正比例函数的图象经过点（1，﹣2），则这个图象必经过点（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）5．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a5＝a10B．a3+a2＝a5C．（2ab2）3＝6a3b6D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b26．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若CD＝6，则AD的长为（）A．2B．3C．4D．4.57．（3分）直线y＝﹣2x﹣1关于y轴对称的直线与直线y＝﹣2x+m的交点在第四象限，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m＜1C．﹣1＜m＜1D．﹣1≤m≤1 8．（3分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝12，BD＝8，CD＝6，E、F、G、H 分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．14B．18C．20D．229．（3分）如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝55°，则∠BAD等于（）A．50°B．55°C．65°D．70°10．（3分）函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）11．（3分）将实数﹣2，π，﹣用“＜”连接．12．（3分）一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线了l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是．13．（3分）如图，反比例函数y＝，（k＞0）经过正方形ABCD的顶点C，D，若正方形的边长为4，则k的值为．14．（3分）如图，点O是▱ABCD的对称中心，点E在边AB上，点F是DE的中点，连接EO并延长交CD于点G．若BE＝3CG，则△EOF与▱ABCD的面积之比等于．三．解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程）15．（5分）计算：（）0﹣tan60°﹣|﹣2|16．（5分）化简（1﹣）÷．17．（5分）如图，∠ACB＝∠CDB＝90°，在线段CD上求作一点P，使△APC∽△CDB．（不写作法，保留作图痕迹）18．（5分）如图，点E在线段AC上，BC∥DE，AC＝DE，CB＝CE，求证：∠A＝∠D．19．（7分）为了了解初三学生参加物理实验操作中得分的情况，学校对初三学生进行随机抽样调查，图1，图2是根据绘制的两幅不完整的统计图，其中，A、B、C、D分别表示本次测试的得分为10分、9分、8分和7分请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的这组数据的中位数是．（2）求所抽取的所有学生的平均得分；（3）现规定物理实验操作测试得分不低于8分，物理实验操作成绩记录为“优秀”．若该校1500名学生，你估计全校可能有多少名初三学生物理实验操作成绩为优秀？20．（7分）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D．然后测出两人之间的距CD＝1.25m，颖颖与楼之间的距离DN＝30m（C，D，N在一条直线上），颖颖的身高BD＝1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8m．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？21．（7分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．该公司准备投入资金y万元，购买A，B两种机器人共8台，其中购进A型机器人x台．下表是某科技公司提供给快递公司有关两种型号的机器人分拣速度和单价的信息．型号分拣速度单价A1200件/小时6万元/台B1000件/小时4万元/台（1）求y关于x的函数关系式；（2）若要使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，该公司至少需要投入资金多少万？22．（7分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为．（2）小明和小颖用转盘做游戏，每人转动转盘一次，若两次指针所指数字之和为奇数，则小明胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或者列表法说明理由．23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以AD是直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线EF交CD于点F，（1）求证：EF⊥CD；（2）若AC＝10，cos A＝，求线段DF的长．24．（10分）已知：抛物线l，y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线l的顶点P的坐标为，A的坐标为；（2）将抛物线l先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线l1，请直接写出平移后的抛物线l1的表达式；（3）将抛物线l向右平移m个单位长度，得到抛物线l2，其中点A的对应点为点M，若点M、A、P是恰好一个矩形的三个顶点，请求出m的值25．（12分）若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”（例如圆的直径就是圆的“和谐线段”）问题探究：（1）如图①，已知△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，请写出△ABC的两条“和谐线段”的长．（2）如图②，平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，请直接写出该平行四边形ABCD的“和谐线段”长的最大值和最小值；问题解决（3）如图③，四边形ABCD是某市规划中的商业区示意图，其中AB＝2，CD＝10，∠A＝135°，∠B＝90°，tan C＝，现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN（小道的宽度不计），入口M在BC上，出口N在CD上，使得MN为四边形ABCD“和谐线段”，在道路一侧△MNC区域规划为公园，为了美观要求△MNC是以CM为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点M的位置（即求CM的长）。

2019-2020学年陕西省西安交大附中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本小题共10道，每道3分，共30分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知：（a≠0），则的值为（）A．3B．2C．D．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．94．已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则b的值是（）A．1B．2C．﹣2D．﹣15．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④6．若关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（）A．4B．5C．6D．77．如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，连接AE、CD，相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：9，△BDE的面积为3，则△ABC的面积为（）A．9B．18C．27D．458．下列说法正确的有（）①对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形A．1B．2C．3D．49．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（）A．B．2C．2D．10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（）A．1B．C．2D．二、填空题（本题共6道，每題3分，共18分）11．一元二次方程x2＝3x的解是：．12．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO＝3，DO＝6，BO＝4，则CO＝．13．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF ＝4，FC＝2，则∠DEF的度数是°．14．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价元．15．代数式2x2﹣3x﹣1的最小值为．16．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A坐标（0，6），顶点B坐标（﹣2，0），顶点C坐标（8，0），E为▱ABCD对角线的交点，求过点E且到点C的距离最大的直线解析式．三、解答题（共8小题，满分52分）17．先化简：（a+1），然后将﹣1，0，中，所有你认为合适的数作为a的值，代入求值．18．（9分）解方程：（1）2（2）2x2+x﹣3＝0（配方法）（3）3x（x﹣2）＝2x19．尺规作图：如图所示，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC．请用尺规过点B作一条直线，使其将△ABC分成两个小三角形，且其中一个三角形与△ABC相似．20．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1和x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若（x1+1）（x2+1）＝2，试求k的值．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．22．2019年北京承办了世界园艺博览会，某商店为了抓住世园会的商机，决定购买世园会纪念品，若购进A种纪念品20件，B种纪念品10件，需要2000元，若购进A种纪念品8件，B种纪念品6件，需要1100元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定拿出10000元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且少于B种纪念品的数量的8倍，设购进B种纪念品a件，则该商店有几种进货方案？（3）在第（2）的条件下，若销售每件A种纪念品可获利润30元，每件B种纪念品可获利润40元，设总利润为y元，请写出总利润y（元）与a（个）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．23．（7分）如图，已知，AD是△ABC的中线，且∠DAC＝∠B，CD＝CE．（1）求证：△ACE∽△BAD．（2）若AB＝15，BC＝10，试求AC和AD的长．24．（9分）（1）如图①，画一条平行于BC的直线，将△ABC分成的新三角形与梯形的面积比为1：3．（2）如图②，△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝6，D是△ABC中AC边上的点，AD＝2，过点D画条直线l，将△ABC分成两部分，l与△ABC的另边交点为点P，使其所分的三角形与△ABC相似，并求出DP的长；（3）如图③所示，在等腰△ABC中，CA＝CB＝10，AB＝12，在△ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE，EF在AB边上，点P，N分别在边CB，CA上，若较大的正方形的边长为a，请用含有a的代数式表示较小的正方形的边长．2019-2020学年陕西省西安交大附中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本小题共10道，每道3分，共30分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．2．已知：（a≠0），则的值为（）A．3B．2C．D．【解答】解：∵（a≠0），∴，∴（1）（1）；故选：C．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，∴AE＝6，∴AC＝AE+EC＝6+2＝8．故选：C．4．已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则b的值是（）A．1B．2C．﹣2D．﹣1【解答】解：根据题意，得12+1×b﹣2＝0，即b﹣1＝0，解得，b＝1．故选：A．5．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④【解答】解：①和③相似，∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，∴，，即，∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．故选：C．6．若关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：根据题意得a﹣6≠0且△＝（﹣2）2﹣4•（a﹣6）•3≥0，解得a且a≠6，所以整数a的最大值为5．故选：B．7．如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，连接AE、CD，相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：9，△BDE的面积为3，则△ABC的面积为（）A．9B．18C．27D．45【解答】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：9，∴，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，∵△BDE的面积为3，∴S△BAC＝27．故选：C．8．下列说法正确的有（）①对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形A．1B．2C．3D．4【解答】解：①对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故符合题意；②一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故不符合题意；③有一个角是直角的平行四边形是矩形，故不符合题意；④对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故不符合题意；故选：A．9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（）A．B．2C．2D．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD BD，OC AC，∴OC＝OD，∵EO＝2DE，∴设DE＝x，OE＝2x，∴OD＝OC＝3x，∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，解得：x∴DE；故选：A．10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（）A．1B．C．2D．【解答】解：如图所示，∵对角线BD平分∠NPM，∴作以BD为对称轴N的对称点N'，连接MN'，PN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∠NPO＝N′PO，NO＝N′O∵在正方形ABCD中，AB＝4∴AC AB＝4，∵O为AC中点∴OA＝OC＝2∵N为OA的中点∴ON∴ON'＝CN'∴AN'＝3∵BM＝3∴CM＝4﹣3＝1∴∵∠MCN'＝∠BCA∴△MCN'∽△BCA∴∠CMN'＝∠ABC＝90°∵∠MCN'＝45°∴△MCN'为等腰直角三角形∴MN'＝CM＝1∴PM﹣PN的值为1．故选：A．二、填空题（本题共6道，每題3分，共18分）11．一元二次方程x2＝3x的解是：x1＝0，x2＝3．【解答】解：（1）x2＝3x，x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，解得：x1＝0，x2＝3．故答案为：x1＝0，x2＝3．12．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO＝3，DO＝6，BO＝4，则CO＝8．【解答】解：∵AB∥CD，∴，∵AO＝3，DO＝6，BO＝4，∴，解得：CO＝8．故答案为：8．13．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF ＝4，FC＝2，则∠DEF的度数是60°．【解答】解：∵矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF，∴DF＝BF＝4，∠BFE＝∠DFE，在Rt△DFC中，FC＝2，DF＝4，∴∠FDC＝30°，∴∠DFC＝60°，∴∠BFE＝∠DFE＝（180°﹣60°）÷2＝60°，∴∠DEF＝∠BFE＝60°．故答案为：60．14．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价20元．【解答】解：设每件衬衫应降价x元．根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200整理，得x2﹣30x+200＝0解得x1＝10，x2＝20．∵“扩大销售量，减少库存”，∴x1＝10应略去，∴x＝20．故答案为：20．15．代数式2x2﹣3x﹣1的最小值为．【解答】解：2x2﹣3x﹣1＝2（x2x）1＝2（x）2∵2（x）2≥0，∴2x2﹣3x﹣1的最小值是，故答案为：．16．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A坐标（0，6），顶点B坐标（﹣2，0），顶点C坐标（8，0），E为▱ABCD对角线的交点，求过点E且到点C的距离最大的直线解析式y x．【解答】解：∵▱ABCD的顶点A坐标（0，6），顶点B坐标（﹣2，0），顶点C坐标（8，0），∴E（4，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∵过点E且到点C的距离最大的直线垂直于AC，∴此直线的斜率为，∴设此直线解析式为y x+n，∵经过E（4，3），∴34+n，解得n，∴过点E且到点C的距离最大的直线解析式为y x，故答案为y x．三、解答题（共8小题，满分52分）17．先化简：（a+1），然后将﹣1，0，中，所有你认为合适的数作为a的值，代入求值．【解答】解：原式＝（）•，∵a≠±1且a≠0，∴a，则原式＝﹣1．18．（9分）解方程：（1）2（2）2x2+x﹣3＝0（配方法）（3）3x（x﹣2）＝2x【解答】解：（1）2，（2x﹣1）（x﹣2）＝2（x+2）（x﹣2）﹣3（x+2），2x＝16，解得x＝8，经检验，x＝8是原方程的解，故原方程的解是x＝8；（2）2x2+x﹣3＝0，2x2+x＝3，x2x，（x）2（x）2，x±，解得x1＝﹣1.5，x2＝1；（3）3x（x﹣2）＝2x，3x（x﹣2）﹣2x＝0，x（3x﹣6﹣2）＝0，x（3x﹣8）＝0，解得x1＝0，x2．19．尺规作图：如图所示，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC．请用尺规过点B作一条直线，使其将△ABC分成两个小三角形，且其中一个三角形与△ABC相似．【解答】解：如图，直线BD即为所求．20．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1和x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若（x1+1）（x2+1）＝2，试求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根，∴△＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0，∴k，∴实数k的取值范围为k．（2）∵方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0的两根为x1和x2，∴x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2．∵（x1+1）（x2+1）＝2，即x1x2+（x1+x2）+1＝2，∴k2+2（k﹣1）+1＝2，解得：k1＝﹣3，k2＝1．∵k，∴k＝﹣3．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD4，∴BD＝2OD＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵OB＝OD，∴OE BD＝4．22．2019年北京承办了世界园艺博览会，某商店为了抓住世园会的商机，决定购买世园会纪念品，若购进A种纪念品20件，B种纪念品10件，需要2000元，若购进A种纪念品8件，B种纪念品6件，需要1100元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定拿出10000元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且少于B种纪念品的数量的8倍，设购进B种纪念品a件，则该商店有几种进货方案？（3）在第（2）的条件下，若销售每件A种纪念品可获利润30元，每件B种纪念品可获利润40元，设总利润为y元，请写出总利润y（元）与a（个）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．【解答】解：（1）设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念币每件价格为n元，根据题意可知：，解得，答：购进A种纪念品每件需要25元，B种纪念品每件需要150元；（2）根据题意可得：＜，解得＜，∵a为正整数，∴a可以是29，30，31，32，33．即该商店有五种进货方案；（3）根据题意得，y10a+12000，∵10＞0，∴y随a的增大而减小，（件），10×29+12000＝12290（元），∴当购进A种纪念品226件、B种纪念品29件时利润最高，最高利润为12290元．23．（7分）如图，已知，AD是△ABC的中线，且∠DAC＝∠B，CD＝CE．（1）求证：△ACE∽△BAD．（2）若AB＝15，BC＝10，试求AC和AD的长．【解答】（1）证明：∵CD＝CE，∴∠CED＝∠EDC，∵∠AEC+∠CED＝180°，∠ADB+∠EDC＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，∵∠DAC＝∠B∴△ACE∽△BAD．（2）∵∠DAC＝∠B，∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴，即，∴AC＝5，∵△ACE∽△BAD，∴，即，∴AD．24．（9分）（1）如图①，画一条平行于BC的直线，将△ABC分成的新三角形与梯形的面积比为1：3．（2）如图②，△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝6，D是△ABC中AC边上的点，AD＝2，过点D画条直线l，将△ABC分成两部分，l与△ABC的另边交点为点P，使其所分的三角形与△ABC相似，并求出DP的长；（3）如图③所示，在等腰△ABC中，CA＝CB＝10，AB＝12，在△ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE，EF在AB边上，点P，N分别在边CB，CA上，若较大的正方形的边长为a，请用含有a的代数式表示较小的正方形的边长．【解答】解：（1）如图，直线MN即为所求，M，N分别是AB，AC的中点．（2）∵AC＝3，AD＝2，∴CD＝1．①如图2﹣1中，当DP∥BC时，△APD∽△ABC，∴，∴，∴PD＝4．②如图2﹣2中，当DP∥AB时，△CDP∽△CAB．∴，∴，∴PD．③如图2﹣3中，当∠CDP＝∠B时，∠CDP∽△CBA，∴，∴，∴PD．④如图2﹣4中，当∠APDD＝∠C时，△APD∽△ACB，∴，∴，∴PD＝3，综上所述，满足条件的PD的值为4或或或3．（3）如图，作CG⊥AB于G，设正方形EFPH的边长为b．∵CA＝CB＝10，AB＝12，CG⊥AB，∴AG＝GB＝6，∴CG8，∵DN∥CG∥PF，∴△ADN∽△AGC，△BFP∽△BGC，∴，，∴，，∴AD a，BF b，∵AD+DE+EF+FB＝12，∴a+a+b b＝12，即a+b，∴b a，∴正方形EFPH的边长为a．。

2019-2020学年度第一学期第一次月考交大附中 九年级数学试卷10、如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM=3，P 为对角线BD 上一点，当对角线BD 平分∠NPM 时，PN PM -值为( )A.1B.2C.2D.322解：A解：对角线BPM ∴∠BPM '∴∠PM \-在正方形∴点M ¢∴AM ¢AM AB ¢\ABC \AM ¢\?BC M ⅱ\?OC 中点BM ⅱ\M ¢\故，本题选A16、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 中顶点A 坐标(0,6)，顶点B 坐标(-2,0)，顶点C 坐标(8,0)，点E 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，求过点E 且到点C 的距离最大的直线解析式＿＿＿＿＿.解：3734-=x y解：设直线l 的解析式为：y kx b =+ ∴y ∴k ?∴k =将∴b =24、(2)如图②，△ABC 中AB=4，AC=3，BC=6，D 是△ABC 中AC 边上的点，AD=2，过点D 画一条直线l 将△ABC 分成两部分，l 与△ABC 另一边的交点为点P ，使其所分的一个三角形与△ABC 相似，并求出DP 的长；(3)如图③所示，在等腰△ABC 中，CA=CB=10，AB=12.在△ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE 、EF 在边AB 上，点P 、N 分别在边CB 、CA 上，若较大正方形的边长为a ，请用含a 的代数式表示较小正方形的边长.解：（1（2）CD \①当BC 时，APD ABC ∽263PD AD PD BC AC\=，即PD \②当AB 时，CDP CAB ∽143DP CD DP AB CA \=，即 PD \=③当?CDP CBA ∽16PD AB \PD\=（3过点C 1012CA CB AB ===，6AG BG \==在t R AGC 中，由勾股定理，得：8CG =由题意得：ADN AGC ∽，BFP BGC ∽图3图2 图1F E D BAC C B B AAD DN AG CG \=，BF PF BG CG =68AD a =即，68BF b = 3344AD a BF b \==， +12AD DE EF FB ++= 3+4a a \487b \=。

2018学年陕西省西安交大附中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）关于x的方程ax2+4x﹣1=0是一元二次方程，则（）
A．a＞0B．a=1C．a≠0D．a≥0
2．（3分）已知关于x的方程x2+kx﹣6=0的一个根为x=3，则k的值是（）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
3．（3分）如图，△ABC≌△DEF，BE=1.3，AE=1，则DE的长是（）
A．0.3B．1C．1.3D．2.3
4．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）
A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD
5．（3分）若在△ABC所在平面上求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，那么下列确定P点的方法正确的是（）
A．P是∠A与∠B两角平分线的交点
B．P为AC、AB两边上的高的交点
C．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
D．P为∠A的角平分线与AB边上的中线的交点
6．（3分）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）。

交大附中分校2017~2018学年第一学期第一次月考初三年级数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果2是方程230x x k -+=的一个根，则常数k 的值为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知23(0)x y y =≠，则下面结论成立的是（ ）．A ．32x y = B ．23x y= C ．23x y = D ．23x y =3．如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．已知1cos 2A =，那么A ∠度数是（ ）． A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．不能确定5．方程2230x kx --=的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．两根同号6．一个暗箱里放有a 个除颜色外完全相同的球，这a 个球中红球只有4个，若每次将球搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a 大约是（ ）． A ．10B ．15C ．20D ．257．如图，在等边三角形ABC 中，D 为AC 的中点，13AE EB =，则和AED △（不包含AED △）相似的三角形有（ ）．DA BCEA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，则所列方程正确的为（ ）．A ．21000(1)1000440x +=+B ．21000(1)440x +=C ．2440(1)1000x +=D ．1000(12)1000440x +=+9．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作BD 的垂线分别交AD ，BC 于E ，F 两点．若AC =120AEO ∠=︒，则FC 的长度为（ ）．DABCE FOA ．2BCD ．110．如图，已知点A 、B 分别在反比例函数1(0)y x x =>，4(0)y x x =->的图象上，且OA OB ⊥，则OB OA的值为（ ）．ABC ．2D ．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，15BC =，15tan 8A =，则AC =__________．12．已知α，β是方程2340x x --=的两个实数根，则11αβ+的值为__________．13．如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，AOB △与A OB ''△是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为3:2，点A ，B 都在格点上，则点B '的坐标是__________．14．直线(0)y kx k =>与双曲线6y x=交于11(,)A x y 和22(,)B x y 两点，则122139x y x y -的值为__________．15．如图，ABC △是三边都不相等的三角形，点D 在边AB 上，若ACD △为等腰三角形，且CBD △和ABC △相似，46A ∠=︒，则ACB ∠的度数为__________．DABC16．如图，已知菱形ABCD 的周长为20，面积为15，动点P 满足13PAB ABCD S S =菱形△，则点P 到A 、B两点距离之和PA PB +的最小值为__________．D ABCP三、解答题（本大题共4小题，共52分） 17．（本题满分4分）计算：2tan 602sin30︒-︒-︒． 18．（本题满分10分）解方程： （1）3(2)2(2)x x x -=-． （2）2231x x -=． 19．（本题满分5分）如图，已知ABC △，利用尺规作出一个新三角形，使新三角形与ABC △的相似比为2:1（不写作法，保留作图痕迹）．ABC20．（本题满分7分）如图，四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是AB 、AD 上的一点，且BF CE ⊥，垂足为G ，求证：AF BE =．DG ABCEF21．（本题满分8分）小明想用镜子测量一颗松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C 点，人在F 点时正好在镜子中看到树尖A ；第二次把镜子放在D 点，人在G 点正好看到树尖A ．已知小明的眼睛距离地面1.70m ，量得12m CD =， 1.8m CF =，3.8m DH =．请你求出松树的高．G ABC EFH22．（本题满分8分）某校初一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小颖和小红既是该校的初一新生，又是好朋友．（1）小颖恰好分到初一（1）班的概率是多少？（2）请用画树状图或列表的方法求小颖和小红分在同一个班的概率． 23．（本题满分10分） （1）【探索发现】①如图1，是一张直角三角形纸片，90B ∠=︒，小明想从中剪出一个以B ∠为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE 、EF 剪下时，所得矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为__________．图1D ABCEF 图2D A B CE MNPQ 图3DABCE M N PQ②如图2，在ABC △中，20BC =，BC 边上的高16AD =，矩形PQMN 的顶点P 、N 分别在边AB 、AC 上，顶点Q 、M 在边BC 上，设PQ x =，矩形PQMN 面积为S ，则S =__________（用含x 的代数式表示），矩形PQMN 面积的最大值为__________．（2）【拓展应用】如图3，在ABC △中，BC a =，BC 边上的高AD h =，矩形PQMN 的顶点P 、N 分别在边AB 、AC 上，顶点Q 、M 在边BC 上，则矩形PQMN 面积的最大值为__________．（用含a ，h 的代数式表示） （3）【实际应用】如图4，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量50cm AB =，108cm BC =，60cm CD =，且4tan tan 3B C ==，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M 、N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积． DA BC图4。

陕西省西安交大附中2018-2019学年上学期第一次月考高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的，将正确答案填涂在答题卡上） 1．设集合A={x|x ＜2}，则（ ） A ．∅∈AB．C．D．A2．函数y=﹣在区间[1，2]上的最大值为（ ）A．﹣ B．﹣ C ．﹣1 D ．不存在3．函数y=x 2+bx ﹣4在（﹣∞，﹣1]上是减函数，在[﹣1，+∞）上是增函数，则（ ） A ．b ＜0B ．b ＞0C ．b=0D ．b 的符号不定4．已知幂函数y=f （x）的图象过点，则的值为（ ）A．B． C ．3D ．15．已知M={x|y=x 2﹣2}，N={y|y=x 2﹣2}，则M ∩N 等于（ ） A ．NB ．MC ．RD ．∅6．设，则f （3f （﹣1））=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．67．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如表所示（从上到下），则与f[g （1）]相同的是（ ）表1 映射f 的对应法则表2 映射g 的对应法则A．g[f（3）] B．g[f（1）] C．f[f（4）] D．f[f（3）]8．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=﹣f（x），且在区间[0，4]上是减函数则（）A．f（10）＜f（13）＜f（15）B．f（13）＜f（10）＜f（15）C．f（15）＜f（10）＜f（13）D．f（15）＜f（13）＜f（10）9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，x＜0时，f（x）=x3，那么f（2）的值是（）A．8 B．﹣8 C．D．10．已知函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|，则f（x）的最小值为（）A．0 B．2 C．D．311．已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是（）A．B．a＞0 C．D．a＜0或12．设函数g（x）=x2﹣2（x∈R），f（x）=，则f（x）的值域是（）A．[﹣，0]∪（1，+∞） B．[0，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，0]∪（2，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分．共16分，将答案填在第二卷对应的横线上．）M）∩N为．13．设全集I={a，b，c，d，e}，集合M={a，b，c}，N={b，d，e}，那么（∁I14．函数的定义域为．15．若函数f（x）满足，则f（x）的解析式是（不写定义域）．16．（1）“已知函数f（x）=x2﹣mx+1对一切实数x，f（x）＞0恒成立”；（2）“关于x的不等式x2＜9﹣m2有实数解”．若以上结论中（1）错误并且（2）正确，则实数m的取值范围为．三、解答题：（本大题5小题，每小题8分，共48分，解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．）17．解下列不等式（1）﹣x2+3x+4≥0（2）x2+2x+（1﹣a）（1+a）≥0．18．已知集合A={x|﹣1＜x＜4}，，C={x|1﹣2a＜x＜2a}．（1）求A∩B，A∪B；（2）若集合C=∅，求实数a的取值范围；（3）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．19．已知函数．（1）画出y=f（x）的图象，并写出单调递增区间；（2）根据图象讨论关于x的方程f（x）=m的实根的个数．20．已知函数f（x）=2x2﹣4x﹣5．（1）当x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的最值；（2）当x∈[t，t+1]时，求函数f（x）的最小值g（t）；（3）在第（2）问的基础上，求g（t）的最小值．21．已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，f（x）在区间[0，2]上满足f（x）=x（x﹣2）．（1）当k=﹣1时，求f（﹣1），f（2.5）的值；（2）求f（x）在区间[﹣2，4]上的解析式；（3）求f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值，并求出相应的自变量的取值．陕西省西安交大附中2018-2019学年高一上学期第一次月考数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的，将正确答案填涂在答题卡上）1．设集合A={x|x＜2}，则（）A．∅∈A B．C．D．A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】正确利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系，判断选项即可．【解答】解：根据元素与集合之间用∈，∉，集合与集合之间用⊂，⊄，⊆，⊊等，结合集合A={x|x＜2}，可得C正确，故选C．2．函数y=﹣在区间[1，2]上的最大值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．不存在【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由函数y=﹣在区间[1，2]上递增，即可得到最大值为f（2）．【解答】解：函数y=﹣在区间[1，2]上递增，即有f（2）取得最大值，且为﹣．故选A．3．函数y=x2+bx﹣4在（﹣∞，﹣1]上是减函数，在[﹣1，+∞）上是增函数，则（）A．b＜0 B．b＞0 C．b=0 D．b的符号不定【考点】二次函数的性质．【分析】由题意得出对称轴为x=﹣1，从而解出b=2．【解答】解：由题意得；对称轴x=﹣=﹣1，解得：b=2＞0，故选B．4．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则的值为（）A． B．C．3 D．1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数的概念设f（x）=xα，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式，求出函数值即可．【解答】解：设f（x）=xα，∵幂函数y=f（x）的图象过点（2，），∴2α=，∴α=．这个函数解析式为f（x）=（x≥0），故f（）==，故选：A．5．已知M={x|y=x2﹣2}，N={y|y=x2﹣2}，则M∩N等于（）A．N B．M C．R D．∅【考点】交集及其运算．【分析】先化简两个集合，再由交集的定义根据所得的集合求两个集合的交集，【解答】解：由题意M=R，N={y|y≥﹣2}，∴M∩N={y|y≥﹣2}=N故选A．6．设，则f（3f（﹣1））=（）A．1 B．2 C．4 D．6【考点】函数的值．【分析】先由题意求出f（﹣1）=﹣1+2=1，从而f（3f（﹣1））=f（3），由此能求出结果．【解答】解：∵，∴f（﹣1）=﹣1+2=1，f（3f（﹣1））=f（3）=2×3=6．故选：D．7．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如表所示（从上到下），则与f[g（1）]相同的是（）表1 映射f的对应法则表2 映射g的对应法则A．g[f（3）] B．g[f（1）] C．f[f（4）] D．f[f（3）]【考点】映射．【分析】由题意知，g（1）=4，从而f[g（1）]=f（4）=1，下面对四个选项一一进行计算，从而得出正确结论即可．【解答】解：由图表可知，g（1）=4，f（4）=1，∴f（g（1））=1；而f（3）=2，g（2）=3，∴g（f（3））=3；f（2）=4，f（4）=2，∴f（f（2））=2；f（4）=1，f（1）=3，∴f（f（4））=3；f（3）=2，f（2）=4，∴g（f（1））=4．∴f（g（1））=g（f（1））．8．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=﹣f（x），且在区间[0，4]上是减函数则（）A．f（10）＜f（13）＜f（15）B．f（13）＜f（10）＜f（15）C．f（15）＜f（10）＜f（13）D．f（15）＜f（13）＜f（10）【考点】函数的周期性；奇偶性与单调性的综合．【分析】由f（x）为定义在R上的偶函数，知f（﹣x）=f（x），由f（x+4）=﹣f（x），知周期T=8，由此能导出f（13）＜f（10）＜f（15）．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∵f（x+4）=﹣f（x），∴f（x+8）=﹣f（x+4）=﹣[﹣f（x）]=f（x），∴周期T=8，∴f（10）=f（2+8）=f（2），f（13）=f（5+8）=f（5）=f（﹣5）=f（﹣5+8）=f（3），f（15）=f（7+8）=f（7）=f（﹣7）=f（﹣7+8）=f（1），∵f（x）在区间[0，4]上是减函数，∴f（3）＜f（2）＜f（1），f（13）＜f（10）＜f（15）．故选B．9．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，x＜0时，f（x）=x3，那么f（2）的值是（）A．8 B．﹣8 C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由已知可得f（2）=f（﹣2），结合当x＜0时，f（x）=x3，可得答案．【解答】解：∵当x＜0时，f（x）=x3，∴f（﹣2）=﹣8，又∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（2）=f（﹣2）=﹣8，10．已知函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|，则f（x）的最小值为（）A．0 B．2 C．D．3【考点】绝对值三角不等式．【分析】利用绝对值的意义，去掉绝对值，即可求出函数的最小值．【解答】解：x＜﹣时，f（x）=﹣2x﹣1﹣x+1=﹣3x＞；﹣≤x≤1时，f（x）2x+1﹣x+1=x+2∈[，3]，x＞1时，f（x）=2x+1+x﹣1=3x＞3，∴f（x）的最小值为，故选：C．11．已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是（）A．B．a＞0 C．D．a＜0或【考点】函数单调性的性质．【分析】根据f（1﹣a）＜f（2a﹣1），严格应用函数的单调性，要注意定义域．【解答】解：∵f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1）∴，∴0＜a＜，故选：C．12．设函数g（x）=x2﹣2（x∈R），f（x）=，则f（x）的值域是（）A．[﹣，0]∪（1，+∞） B．[0，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，0]∪（2，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】当x＜g（x）时，x＞2 或x＜﹣1，f（x）=g（x）+x+4=x2﹣2+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75，其值域为：（2，+∞）．当x≥g（x）时，﹣1≤x≤2，f（x）=g（x）﹣x=x2﹣2﹣x=（x ﹣0.5）2﹣2.25，其值域为：[﹣2.25，0]．由此能得到函数值域．【解答】解：当x＜g（x），即x＜x2﹣2，（x﹣2）（x+1）＞0时，x＞2 或x＜﹣1，f（x）=g（x）+x+4=x2﹣2+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75，∴其最小值为f（﹣1）=2，其最大值为+∞，因此这个区间的值域为：（2，+∞）．当x≥g（x）时，﹣1≤x≤2，f（x）=g（x）﹣x=x2﹣2﹣x=（x﹣0.5）2﹣2.25其最小值为f（0.5）=﹣2.25，其最大值为f（2）=0因此这区间的值域为：[﹣2.25，0]．综合得：函数值域为：[﹣2.25，0]U（2，+∞），故选D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分．共16分，将答案填在第二卷对应的横线上．）M）∩N为{d，13．设全集I={a，b，c，d，e}，集合M={a，b，c}，N={b，d，e}，那么（∁Ie} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出M的补集，从而求出其和N的交集即可．【解答】解：I={a，b，c，d，e}，M={a，b，c}，N={b，d，e}，（∁M）∩N={d，e}∩{b，d，e}={d，e}，I故答案为：{d，e}．14．函数的定义域为{x|x≥﹣且x≠0} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数，∴，解得x≥﹣且x≠0；∴y的定义域为{x|x≥﹣且x≠0}．故答案为：{x|x≥﹣且x≠0}．15．若函数f（x）满足，则f（x）的解析式是f（x）=﹣4 （不写定义域）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】令t=，则x=﹣1，f（t）=3（﹣1）﹣1=4，将t换成x，即可得到解析式．【解答】解：函数f（x）满足，令t=，则x=﹣1，f（t）=3（﹣1）﹣1=﹣4，∴有f（x）=﹣4．故答案为：f（x）=﹣4．16．（1）“已知函数f（x）=x2﹣mx+1对一切实数x，f（x）＞0恒成立”；（2）“关于x的不等式x2＜9﹣m2有实数解”．若以上结论中（1）错误并且（2）正确，则实数m的取值范围为（﹣3，﹣2]∪[2，3）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别求出（1）、（2）正确的m的范围，再由补集思想求出（1）错误的m的范围，取交集得答案．【解答】解：由函数f（x）=x2﹣mx+1对一切实数x，f（x）＞0恒成立，可得△=（﹣m）2﹣4＜0，即﹣2＜m＜2；由关于x的不等式x2＜9﹣m2有实数解，可得9﹣m2＞0，即﹣3＜m＜3．若（1）错误，则m≤﹣2或m≥2，∴使得（1）错误并且（2）正确的实数m的取值范围为（﹣3，﹣2]∪[2，3）．故答案为：（﹣3，﹣2]∪[2，3）．三、解答题：（本大题5小题，每小题8分，共48分，解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．）17．解下列不等式（1）﹣x2+3x+4≥0（2）x2+2x+（1﹣a）（1+a）≥0．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）解一元二次不等式即可；（2）不等式化为（x+1﹣a）（x+1+a）≥0，讨论a的值，求出不等式的解集．【解答】解：（1）﹣x2+3x+4≥0，∴x2﹣3x﹣4≤0，化为（x﹣4）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤4，∴不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（2）x2+2x+（1﹣a）（1+a）≥0，化为（x+1﹣a）（x+1+a）≥0；不等式对应方程的解为a﹣1和﹣a﹣1，当a=0时，a﹣1=﹣a﹣1=﹣1，不等式的解集为R；当a＞0时，a﹣1＞﹣a﹣1，不等式的解集为{x|x≥a﹣1或x≤﹣a﹣1}；当a＜0时，a﹣1＜﹣a﹣1，不等式的解集为{x|x≥﹣a﹣1或x≤a﹣1}；综上，a=0时，不等式的解集为R，a＞0时，不等式的解集为{x|x≥a﹣1或x≤﹣a﹣1}，a＜0时，不等式的解集为{x|x≥﹣a﹣1或x≤a﹣1}．18．已知集合A={x|﹣1＜x＜4}，，C={x|1﹣2a＜x＜2a}．（1）求A∩B，A∪B；（2）若集合C=∅，求实数a的取值范围；（3）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【分析】（1）根据交集以及并集的运算性质求出A、B的交集和并集即可；（2）由C=∅，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出实数a的取值范围；（3）分C为空集与C不为空集两种情况，根据C为A与B交集的子集求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵A={x|﹣1＜x＜4}，，∴A∩B={x|﹣1＜x＜}，A∪B={x|﹣5＜x＜4}；（2）∵C={x|1﹣2a＜x＜2a}=∅，∴1﹣2a≥2a，即a≤，则实数a的取值范围是（﹣∞，]；（3）当C=∅时，由（Ⅰ）知a≤；当C≠∅时，A∩B={x|﹣1＜x＜}，且C⊆（A∩B），则有，解得：＜a≤，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，]．19．已知函数．（1）画出y=f（x）的图象，并写出单调递增区间；（2）根据图象讨论关于x的方程f（x）=m的实根的个数．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．【分析】（1）根据函数奇偶性得出该函数的对称性，可以先画出该函数在（0，+∞）上的图象，利用对称性得出该函数在整个定义域上的图象；根据图象观察得出函数的单调增区间；（2）通过讨论m的范围，结合函数f（x）的图象求出关于x的方程f（x）=m的实根的个数．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是R，函数，即f（x）=x2﹣2|x|，而f（﹣x）=（﹣x）2﹣2|﹣x|═x2﹣2|x|=f（x），故该函数是偶函数，故其图象关于y轴对称，当x≥0时，y=x2﹣2x，先画出该部分的图象，利用对称性得出该函数的完整的图象．据图象写出该函数的单调递增区间为：（﹣1，0），（1，+∞）；（2）由（1）得：f（x）的最小值是f（1）=f（﹣1）=﹣1，故m＜﹣1时，关于x的方程f（x）=m，无实数根，m=﹣1时，关于x的方程f（x）=m，2个实数根，﹣1＜m＜0时，关于x的方程f（x）=m，4个实数根，m=0时，关于x的方程f（x）=m，3个实数根，m＞0时，关于x的方程f（x）=m，2个实数根．20．已知函数f（x）=2x2﹣4x﹣5．（1）当x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的最值；（2）当x∈[t，t+1]时，求函数f（x）的最小值g（t）；（3）在第（2）问的基础上，求g（t）的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．【分析】（1）利用对称轴和开口方向判断f（x）的单调性，再求出最值；（2）讨论区间[t，t+1]与对称轴x=1的关系，得出f（x）在[t，t+1]上的单调性，从而得出最小值；（3）判断g（t）的单调性，得出最小值．【解答】解：（1）f（x）=2（x﹣1）2﹣7，∴f（x）的图象开口向上，对称轴为x=1，∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=﹣7，当x=﹣2时，f（x）取得最大值f（﹣2）=11．（2）若t≥1，则f（x）在[t，t+1]上单调递增，∴g（t）=f（t）=2t2﹣4t﹣5，若t+1≤1即t≤0，则f（x）在[t，t+1]上单调递减，∴g（t）=f（t+1）=2t2﹣7，若t＜1＜t+1，即0＜t＜1时，f（x）在[t，t+1]上先减后增，∴g（t）=f（1）=﹣7．∴g（t）=．（3）当t≤0时，g（t）是减函数，∴g（t）在（﹣∞，0]上的最小值为g（0）=﹣7，当0＜t＜1时，g（t）=﹣7，当t≥1时，g（t）是增函数，∴g（t）在[1，+∞）上的最小值为g（1）=﹣7，∴g（t）的最小值为﹣7．21．已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，f（x）在区间[0，2]上满足f（x）=x（x﹣2）．（1）当k=﹣1时，求f（﹣1），f（2.5）的值；（2）求f（x）在区间[﹣2，4]上的解析式；（3）求f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值，并求出相应的自变量的取值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据f（x）=﹣f（x+2）计算即可；（2）利用条件分别求出f（x）在[﹣2，0]和[2，4]上的解析式，写成分段函数即可；（3）利用二次函数的性质判断f（x）的单调性，求出极大值，比较两个极大值即可得出结论．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣f（x+2），∴f（﹣1）=﹣f（1）=1，f（2.5）=﹣f（0.5）=．（2）设x∈[﹣2，0]，则x+2∈[0，2]，∴f（x+2）=x（x+2）∴f（x）=kf（x+2）=kx（x+2），设x∈[2，4]，则x﹣2∈[0，2]，∴f（x﹣2）=（x﹣2）（x﹣4），∴f（x）=f（x﹣2）=（x﹣2）（x﹣4）．∴f（x）=．（3）∵k＜0，∴f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递增，在[﹣1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递增，在[3，4]上单调递减，∴f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，在[3，4]上单调递减，∴当x=﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）=﹣k，当x=3时，f（x）取得极大值f（3）=﹣，若﹣k＞﹣，即k＜﹣1时，f（x）的最大值为f（﹣1）=﹣k，若﹣k＜﹣，即﹣1＜k＜0，f（x）的最大值为f（3）=﹣，若﹣k=﹣，即k=﹣1时，f（x）的最大值为1，此时x=1或x=3．。

2019-2020学年陕西省西安交大二附中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共27.0分） 1. 如果ab =cd ，则下列正确得是( )A. a ：c =b ：dB. a ：d =c ：bC. a ：b =c ：dD. d ：c =b ：a2. 如图，已知△ADC∽△BAC ，若∠B =35°，∠C =72°，则∠BAD 的度数是( )A. 38°B. 36.5°C. 36°D. 35°3. 在12、1x 、a2、3x+y 中分式的个数有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 4. 已知一元二次方程x 2−8x +15=0的两个根分别是Rt △ABC 的两边长，则第3条边长( )A. 3B. 4或5C. 3或5D. 4或√345. 如图，已知△ACD∽△BCA ，若CD =4，DB =5，则AC 等于( )A. 3B. 4C. 5D. 66. 若菱形的两邻角之比为1：2，较短的对角线长为6cm ，则较长的对角线长为( )A. 3√3cmB. 6√3cmC. 6cmD. 12cm7. 如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A′B′C′的位置.已知△ABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积9.若AA′=1，则A′D 等于( )A. 2B. 3C. 4D. 328. 如图，在平面直角坐标系中有△ABC ，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，则它的对应顶点的坐标为( )A. (2,32)，(32,12)，(12,1) B. (8,6)(6,2)(2,4)C. (8,6)(6,2)(2,4)或(−8,−6)(−6,−2)(−2,−4)D. (8,−6)(6,−2)(2,−4)或(−8,6)(−6,2)(−2,4)9. 如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC =14BC.图中相似三角形共有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）10. 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m 的竹竿的影长是0.8m ，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，他先测得留在墙壁上的影高为1.2m ，又测得地面的影长为2.4m ，请你帮她算一下，树高是_________．11. 矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为12，则对角线长为_______ ，短边长为 _______12. 在比例尺为1：8000的地图上，两地的距离为25cm ，它的实际距离约为______m.13. 在一个不透明的盒子中装有m 个除颜色外完全相同的球，这m 个球中只有3个红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为15，那么m 的值是______ ．14. 如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似.则矩形DMNC 与矩形ABCD 的长与宽之比是_______________．15.若a2=b3=c7，且a+b+c=6，则a−b+c=______ ．16.已知关于x的方程x2−x+c=0的一个根是−1，则c=______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的小球(除颜色外其余都相同)，其中红球3个，白球1个．(1)求任意摸出一球是白球的概率；(2)甲同学先随机摸出一个小球(不放回)，再随机摸出一个小球，请用画树状图或列表的方法求两次摸出都是红球的概率．四、解答题（本大题共6小题，共44.0分）18.如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延长BC到E，使PB=PE.求证：∠PDC=∠PEC．19.龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？20.如图所示，小明从路灯下向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高是1.6米，求路灯离地面的高度AB．21.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？22.如图，已知矩形ABCD中，AB=1，BC=√3，点M在AC上，且AM=1AC，连接并延长BM交AD于点N．4(1)求证：△ABC∽△AMB；(2)求MN的长．.点E为线段BD上任意一23.如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD=5，tan∠DBC=34．点(点E与点B，D不重合)，过点E作EF//CD，与BC相交于点F，连接CE.设BE=x，y=S△ECFS△BCD(1)求BD的长；(2)如果BC=BD，当△DCE是等腰三角形时，求x的值；(3)如果BC=10，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A、a：c=b：d⇒ad=cb，故错误；B、a：d=c：b⇒ab=cd，故正确；C、a：b=c：d⇒ad=cb，故错误；D、d：c=b：a⇒da=cb，故错误．故选：B．根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．对选项一一分析，用排除法即可得出答案．根据比例的基本性质，能够熟练地实现比例式和等积式的互相转换．2.答案：A解析：【分析】这是一道考查相似三角形的性质的题目，解题关键在于掌握相似三角形的对应角相等．【解答】解：∵∠B=35°，∠C=72°，∴∠BAC=180°−35°−72°=73°∵△ADC∽△BAC，∴∠DAC=∠B=35°，∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=73°−35°=38°．故选A．3.答案：A解析：解：1x 、3x+y是分式，故选：A．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．本题主要考查分式的定义，注意分母中含有字母是分式，分母中不含有字母不是分式．4.答案：D解析：【分析】此题主要考查了解一元二次方程−因式分解法，勾股定理，当已知条件中没有明确哪条是斜边时，要注意分类讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．先解方程求出一元二次方程x2−8x+15=0的两个根是3和5，再分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．【解答】解：x2−8x+15=0，(x−3)(x−5)=0，解得x1=3，x2=5，当3和5都是直角边时，第三边长为：√32+52=√34；当5是斜边长时，第三边长为：√52−32=4．故选D．5.答案：D解析：【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边的比相等可得ACBC =CDAC，将CD=4，CB=9代入计算即可．【解答】解：∵CD=4，DB=5∴CB=9∵△ACD∽△BCA，∴ACBC =CDAC，∴AC2=CD⋅BC=4×9=36，∴AC=6．故选D．6.答案：B解析：解：如图，∵菱形的两邻角之比为1：2，∴较小的内角∠ABC=180°×11+2=60°，∴△ABC是等边三角形，∴OB=√32×6=3√3cm，∴较长的对角线BD=2OB=2×3√3=6√3cm．故选B．作出图形，根据菱形的邻角互补求出较小的内角为60°，从而判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出OB，然后根据菱形对角线互相平分可得BD=2OB．本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC是等边三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．由S△ABC=16、S△A′EF=9且AD为BC边的中线知S△A′DE=12S△A′EF=92，S△ABD=12S△ABC=8，根据△DA′E∽△DAB知(A′DAD)2=S△A′DES△ABD，据此求解可得．【解答】解：如图：∵S△ABC=16、S△A′EF=9，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE=12S△A′EF=92，S△ABD=12S△ABC=8，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A′B′C′，∴A′E//AB，∴△DA′E∽△DAB，则(A′D AD)2=S△A′DES△ABD，即(A′DA′D+1)2=928=916，解得A′D=3或A′D=−37(舍)，故选：B．8.答案：C解析：【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，据此解答即可．根据坐标与图形的性质确定点A、点B、点C的坐标，根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：由坐标系可知，点A、点B、点C的坐标分别为(4,3)，(3,1)，(1,2)，∵以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则它的对应顶点的坐标为(4×2,3×2)，(3×2,1×2)，(1×2,2×2)或(−4×2,−3×2)，(−3×2,−1×2)，(−1×2,−2×2)，即(8,6)，(6,2)，(2,4)或(−8,−6)，(−6,−2)，(−2,−4)，故选：C．9.答案：C解析：解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，BC，∵DE=CE，FC=14∴DE：CF=AD：EC=2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF，∴AE：EF=AD：DE，即AD：AE=DE：EF，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠CEF+∠AED=90°，∴∠AEF=90°，∴∠D=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．故选：C．BC，首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，又由DE=CE，FC=14证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．10.答案：4.2m解析：【分析】本题考查了相似三角形的应用及平行投影的知识，解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同．首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．【解答】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，CB BD =18，而CB=1.2(m)，∴BD=0.96(m)，∴树在地面的实际影子长是0.96+2.4=3.36(m)，再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得：x 3.36=10.8，∴x=4.2，∴树高是4.2m．故答案为4.2m．11.答案：8 4解析：【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到OA=OC，OB=OD，AC=BD，推出OA=OB，根据等边三角形的判定得出△OAB是等边三角形，即可求出AB和对角线长；本题主要考查对矩形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质得到等边三角形OAB是解此题的关键，题型较好，难度适中．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OB=OA，∵一条对角线与短边的和为12∴短边AB=13×12=4，对角线AC=BD=2OA=2AB=2×4=8．故答案为：8；4．12.答案：2000解析：解：设实际距离为xcm，则：1：8000=25：x，解得x=200000．200000cm=2000m．故答案为2000．【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．13.答案：15解析：解：根据题意可得3m =15，解得：m=15，故答案为：15．根据概率公式列出方程求解可得．本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.答案：√2：1解析：【分析】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD∽矩形DMNC，设矩形的长为a，宽为b，则AB=CD=b，AD=BC=a，AM=DM=a2，根据矩形相似，对应边的比相等得到：DMAB=CDBC，即可求解．【解答】解：设大矩形的长为a，宽为b，则AB=CD=b，AD=BC=a，AM=DM=a2，∵矩形ABCD∽矩形DMNC，对应边的比相等得到：DMAB =CDBC，即：a2b=ba，则b2=a22，∴a2b2=2，∴ab=√2：1．故答案为√2：1．15.答案：3解析：解：设a2=b3=c7=k，则a=2k，b=3k，c=7k，∵a+b+c=6，∴2k+3k+7k=6，解得k=12，所以，a=2×12=1，b=3×12=32，c=7×12=72，所以，a−b+c=1−32+72=3．故答案为：3．设比值为k，然后用k表示出a、b、c，代入等式求出k的值，从而得到a、b、c的值，最后代入代数式进行计算即可得解．本题考查了比例的性质，利用“设k法”求出a、b、c的值求解更简便．16.答案：−2解析：【分析】将x=−1代入方程即可求出c的值．此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【解答】解：将x=−1代入方程得：1+1+c=0，解得：c=−2．故答案为−2．17.答案：解：(1)任意摸出一球是白球的概率=14；(2)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出都是红球的结果数为6，所以两次摸出都是红球的概率=612=12．解析：(1)直接利用概率公式求解；(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．18.答案：证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCP=∠DCP，在△BCP和△DCP中，{BC=CD∠BCP=∠DCP PC=PC，∴△BCP≌△DCP(SAS)，∴∠PDC=∠PBC，∵PB=PE，∴∠PBC=∠PEC，∴∠PDC=∠PEC．解析：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并判断出全等三角形是解题的关键．根据正方形的四条边都相等可得BC=CD，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，再利用“边角边”证明△BCP和△DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PDC=∠PBC，再根据等边对等角可得∠PBC=∠PEC，从而得证．19.答案：解：设每件上衣应降价x元，则每件利润为(80−x)元，列方程得：(80−x)(100+205x)−3000=8000，解得：x1=30，x2=25，因为尽快减少库存，所以x=30，答：应将每件上衣的售价降低30元．解析：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.设每件上衣应降价x元，则每件利润为(80−x)元，本题的等量关系为：每件上衣的利润×每天售出数量−固定成本=8000．20.答案：解：∵BA⊥AE，CD⊥AE，∴BA//CD，∴△CDE∽△BAE，∴CDBA =DEAE，即1.6BA =27，解得AB=5.6，答：路灯离地面的高度5.6米．解析：这是一道考查相似三角形的应用的题目，解题关键在于掌握相似三角形的判定和性质，证明出△CDE∽△BAE．21.答案：解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∴当ABDP =BPCD或ABCD=BPDP时，△PAB与△PCD是相似三角形，∵AB=6，CD=4，BD=14，∴614−BP =BP4或64=BP14−BP，解得：BP=2或12或425，即PB=2或12或425时，△PAB与△PCD是相似三角形．解析：本题考查了相似三角形的判定的应用，注意有两种情况，用的知识点是：当两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，由题意得出∠B=∠D=90°，根据相似三角形的判定得出当ABDP =BPCD或AB CD =BPDP时，△PAB与△PCD是相似三角形，代入求出即可．22.答案：(1)证明：在Rt△ABC中，AB=1，BC=√3，∴AC=2．∵AM=14AC，∴AM=12，∴AMAB =ABAC=12．又∵∠BAM=∠CAB，∴△ABC∽△AMB．(2)解：∵△ABC∽△AMB，∴∠BMA =∠CBA =90°=∠BAN ， ∴BM =√AB 2−AM 2=√32． 又∵∠ABM =∠NBA ，∴△ABM∽△NBA ，∴BMBA =BA BN ，即√321=1√32+MN ， 解得：MN =√36．解析：(1)在Rt △ABC 中利用勾股定理可求出AC 的长度，进而可得出AM 的长度，由AB 、AM 、AC 的长度可得出AM AB =AB AC ，结合∠BAM =∠CAB 即可证出△ABC∽△AMB ；(2)由△ABC∽△AMB 可得出∠BMA =90°=∠BAN ，利用勾股定理可求出BM 的长度，结合∠ABM =∠NBA 可证出△ABM∽△NBA ，根据相似三角形的性质即可求出MN 的长度．本题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，解题的关键是：(1)根据各边的长度找出AM AB =AB AC ；(2)利用相似三角形的性质找出√321=√32+MN ．23.答案：解：(1)如图1，过A 作AH ⊥BD 于H ，∵AD//BC ，AB =AD =5，∴∠ABD =∠ADB =∠DBC ，BH =HD ，在Rt △ABH 中，∵tan∠ABD =tan∠DBC =34，∴cos∠ABD =BHAB =45， ∴BH =DH =4，∴BD =8；(2)∵△DCE 是等腰三角形，且BC =BD =8，∴①如图2，当CD =DE 时，即：CD =DE =BD −BE =8−x ，过点D 作DG ⊥BC 于G ，在Rt △BDG 中，tan∠DBC =34，BD =8，∴DG =35BD =245，BG =45BD =325， ∴CG =8−BG =85，在Rt △CDG 中，根据勾股定理得，DG 2+CG 2=CD 2，∴(245)2+(85)2=(8−x)2，∴x =8+8√105(舍)或x =8−8√105，②如图3，当CE=CD时，过点C作CG⊥BD，∴DG=EG=12DE，在Rt△BCG中，BC=8，tan∠DBC=34，∴BG=325，∴DG=BD−BG=85，∴x=BE=BD−DE=BD−2DG=245．(3)∵BF=x，BC=10，∴FC=10−x，∴S△FECS△EFB =FCBF=10−xx，∵EF//DC，∴△FEB∽△CDB，∴S△FEBS△BDC =(BFBC)2=(x10)2∴S△FECS△BDC=10−xx⋅x2100=−1100x2+110x(0<x<8)解析：(1)过A作AH⊥BD于H，再根据AD//BC，AB=AD=5，可得∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH= HD，再根据tan∠ABD=tan34，计算出BH=DH=4，进而得到BD=8；(2)分两种情况用锐角三角函数计算即可得出结论．(3)首先利用平行线的性质得出△FEB∽△CDB，即可得出y与x的函数关系式；此题是四边形综合题，主要考查了锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，同高的三角形的面积的比等于底的比，分类讨论是解本题的关键，是一道比较典型的中考常考题．。

2018-2019学年陕西省西安交大附中分校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）A．x2＝1B．ax2+bx+c＝0C．（x﹣3）2+15＝x2﹣5x+1D．x2﹣5＝12．（3分）如图所示，该几何体的俯视图应为（）A．B．C．D．3．（3分）如果2x＝3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（）A．＝B．＝3C．＝D．＝4．（3分）当k＜﹣时，关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k＝0的根的情况是（）A．两个相等的实根B．两个不相等的实根C．无实根D．无法判断5．（3分）已知点（3，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，则下列点也在该反比例函数y ＝的图象的是（）A．（3，﹣3）B．（﹣2，3）C．（1，6）D．（﹣2，﹣3）6．（3分）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．7．（3分）已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（）A．2B．C．3D．48．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b＞的解集为（）A．x＜﹣6B．﹣6＜x＜0或x＞2C．x＞2D．x＜﹣6或0＜x＜29．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF ⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．4﹣2B．3﹣4C．1D．10．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE＝4，S△CDE＝16，则△ACD的面积为（）A．64B．72C．80D．96二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）11．（3分）已知某矩形的一组邻边之比等于黄金比，且较短的一边长为1，则较长的一边长为．12．（3分）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是%．13．（3分）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点C，则k的值为．14．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°．若点D为AB的中点，P为边AB 上一点，且∠CDP＝90°，将∠CDP绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），角的两边分别与边AC、BC相交于M、N两点，则＝．三.解答题（共9小题，计58分，解答应写出过程）15．（5分）解方程（x+4）2＝5（x+4）16．（5分）已知m是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，求代数式2m2+6m﹣3的值．17．（6分）画出下面立体图的三视图．18．（7分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．19．（8分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．20．（8分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．21．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠ADC，E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，延长BE交CD的延长线于点M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若MD＝6，BC＝12，求BF的长度．（结果可保留根号）22．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．（1）求出反比例函数解析式；（2）求证：△ACB∽△NOM．（3）延长线段AB，交x轴于点D，若点B恰好为AD的中点，求此时点B的坐标．23．（15分）问题探究（1）如图1，已知锐角△ABC中，点D在BC边上，当线段AD最短时，请你在图中画出点D的位置．（2）若一个四边形的四个顶点分别在一个三角形的三条边上，则称这个四边形为该三角形的内接四边形．如图2，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°．矩形BEFG是△ABC的内接矩形，若EF＝2，则矩形BEFG的面积为如图3，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝45°，矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形且D、E在边BC上．若EF＝2，求矩形DEFG的面积；问题解决：（3）如图4，△ABC是一块三角形木板余料，AB＝6，BC＝8，∠B＝30°，木匠师傅想利用它裁下一块矩形DEFG木块，矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形且D、E在边BC 上，请在图4中画出对角线DF最短的矩形DEFG，请说明理由，并求出此时DF的长度．2018-2019学年陕西省西安交大附中分校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）A．x2＝1B．ax2+bx+c＝0C．（x﹣3）2+15＝x2﹣5x+1D．x2﹣5＝1【分析】根据一元二次方程的定义，逐个判断得结论．【解答】解：方程x2＝1符合一元二次方程的定义，故选项A是一元二次方程；方程ax2+bx+c＝0当a＝0时，不是一元二次方程，故选项B不一定是一元二次方程；方程（x﹣3）2+15＝x2﹣5x+1整理后不含未知数的二次项，故选项C不是一元二次方程；方程x2﹣5+＝1，等号的左边不是整式，故选项D不是一元二次方程．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．（3分）如图所示，该几何体的俯视图应为（）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：该几何体的俯视图应为，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．3．（3分）如果2x＝3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（）A．＝B．＝3C．＝D．＝【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．【解答】解：∵2x＝3y，∴＝，∴选项A不正确；∵2x＝3y，∴＝，∴＝＝3，∴选项B正确；∵2x＝3y，∴＝，∴＝＝，∴选项C不正确；∵2x＝3y，∴＝，∴＝＝，∴∴选项D不正确．故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．4．（3分）当k＜﹣时，关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k＝0的根的情况是（）A．两个相等的实根B．两个不相等的实根C．无实根D．无法判断【分析】先计算根的判别式得到△＝（2k+1）2﹣4（k﹣1）＝4k2+5，根据非负数的性质得到4k2+5＞0，即△＞0，然后根据判别式的意义判断根的情况．【解答】解：∵a＝k﹣2，b＝﹣（2k﹣1），c＝k，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×（k﹣2）×k＝4k+1．∵当k＜﹣时，△＝4k+1＜0．∴该方程无实数根．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．（3分）已知点（3，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，则下列点也在该反比例函数y ＝的图象的是（）A．（3，﹣3）B．（﹣2，3）C．（1，6）D．（﹣2，﹣3）【分析】先根据反比例函数y＝图象过点（3，﹣2）求出k的值，再根据k＝xy的特点进行解答即可．【解答】解：∵反比例函数y＝图象过点（3，﹣2），∴﹣2＝，即k＝﹣6，A、∵3×（﹣3）＝﹣9≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B、∵﹣2×3＝﹣6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；C、∵1×6＝6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；D、∵﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．6．（3分）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．7．（3分）已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（）A．2B．C．3D．4【分析】由菱形的性质和勾股定理得出AO+BO＝3，AO2+BO2＝AB2，（AO+BO）2＝9，求出2AO•BO＝4，即可得出答案．【解答】解：如图四边形ABCD是菱形，AC+BD＝6，∴AB＝，AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD，∴AO+BO＝3，∴AO2+BO2＝AB2，（AO+BO）2＝9，即AO2+BO2＝5，AO2+2AO•BO+BO2＝9，∴2AO•BO＝4，∴菱形的面积＝AC•BD＝2AO•BO＝4；故选：D．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理；解题的关键是记住菱形的面积公式，记住菱形的对角线互相垂直，属于中考常考题型．8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b＞的解集为（）A．x＜﹣6B．﹣6＜x＜0或x＞2C．x＞2D．x＜﹣6或0＜x＜2【分析】根据函数的图象和交点坐标即可求得结果．【解答】解：不等式kx+b＞的解集为：﹣6＜x＜0或x＞2，故选：B．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF ⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．4﹣2B．3﹣4C．1D．【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4，∵正方形的边长为4，∴BD＝4，∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BE＝×（4﹣4）＝4﹣2．故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE＝AD是解题的关键，也是本题的难点．10．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE＝4，S△CDE＝16，则△ACD的面积为（）A．64B．72C．80D．96【分析】由S△BDE＝4，S△CDE＝16，得到S△BDE：S△CDE＝1：4，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出＝，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后求出△ACD的面积．【解答】解：∵S△BDE＝4，S△CDE＝16，∴S△BDE：S△CDE＝1：4，∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，∴＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△DBE∽△ABC，∴S△DBE：S△ABC＝1：25，∴S△ACD＝80．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）11．（3分）已知某矩形的一组邻边之比等于黄金比，且较短的一边长为1，则较长的一边长为．【分析】根据黄金分割的定义解答即可．【解答】解：∵某矩形的一组邻边之比等于黄金比，且较短的一边长为1，所以较长的一边长为，故答案为：【点评】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．12．（3分）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是20%．【分析】设该药品平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格是25×（1﹣x），第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的为25×（1﹣x）（1﹣x）＝16，解方程即可求解．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得25×（1﹣x）（1﹣x）＝16，整理得25×（1﹣x）2＝16，解得x＝0.2或1.8（不合题意，舍去）；即该药品平均每次降价的百分率是20%．故答案为：20%．【点评】本题需注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．13．（3分）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点C，则k的值为﹣6．【分析】先根据菱形的性质求出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值．【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，∴C（﹣3，2），∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴2＝，解得k＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式．14．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°．若点D为AB的中点，P为边AB 上一点，且∠CDP＝90°，将∠CDP绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），角的两边分别与边AC、BC相交于M、N两点，则＝．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD＝AD＝DB，则∠ACD＝∠A＝30°，∠BCD＝∠B＝60°，由于∠CDP＝90°，可利用互余得∠CPD＝60°，再根据旋转的性质得∠PDM＝∠CDN＝α，于是可判断△PDM∽△CDN，然后，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵点D为斜边AB的中点，∴CD＝AD＝DB，∴∠ACD＝∠A＝30°，∠BCD＝∠B＝60°，∵∠CDP＝90°，∴∠CPD＝60°，∴∠MPD＝∠NCD，∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），∴∠PDM＝∠CDN＝α，∴△PDM∽△CDN，∴＝，在Rt△PCD中，∵tan∠PCD＝tan30°＝，∴＝tan30°＝．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．三.解答题（共9小题，计58分，解答应写出过程）15．（5分）解方程（x+4）2＝5（x+4）【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：移项得：（x+4））2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x+4﹣5）＝0，x+4＝0，x+4﹣5＝0，x1＝﹣4，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．16．（5分）已知m是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，求代数式2m2+6m﹣3的值．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x＝m入方程即可得到m2+3m的形式，再整体代入m2+3m＝1，即可求解．【解答】解：根据题意得：m2+3m﹣1＝0，∴m2+3m＝1，∴2m2+6m﹣3＝2（m2+3m）﹣3＝2﹣3＝﹣1．【点评】此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．17．（6分）画出下面立体图的三视图．【分析】从正面看下面是一个横着的长方形，上面是一个竖着的长方形；从左面看下面是一个横着的长方形，上面是一个三角形；从上面看是一个大正方形中右上一个小正方形．【解答】解：如图所示：【点评】考查了作三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来．18．（7分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．【解答】解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即树高5.5m．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．19．（8分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m 的不等式，求出m的取值范围．（2）给出方程的两根，根据所给方程形式，可利用一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝2（m+1），代入且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，即可解答．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）＝16+8m＞0，解得：m＞﹣2；（2）根据根与系数的关系可得：x1+x2＝2（m+1），∵（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，∴[2（m+1）]2﹣2（m+1）﹣12＝0，解得：m1＝1或m2＝﹣（舍去）∵m＞﹣2；∴m＝1．【点评】根据方程的根的情况即可得到关于未知系数的不等式，转化为结不等式的问题，另外（2）把求未知系数的问题，根据一元二次方程的根与系数的关系即可转化为方程的问题．20．（8分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．【分析】（1）根据题意列出图表，得出数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，再根据概率公式求出甲获胜的概率；（2）根据图表（1）得出）“和是4的倍数”的结果有3种，根据概率公式求出乙的概率，再与甲的概率进行比较，得出游戏是否公平．【解答】解：（1）列表如下：∵数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，∴P（甲）＝＝；（2）∵“和是4的倍数”的结果有3种，∴P（乙）＝＝；∵，即P（甲）≠P（乙），∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．【点评】此题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠ADC，E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，延长BE交CD的延长线于点M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若MD＝6，BC＝12，求BF的长度．（结果可保留根号）【分析】（1）先求出四边形ABCD是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可；（2）求出DM＝AB＝6，根据矩形的性质得出CD＝AB＝6，求出CF，根据勾股定理求出BF即可．【解答】（1）证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，∵∠A＝∠ADC，∴∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠M，∵E为AD的中点，∴AE＝DE．在△ABE和△DME中，∴△ABE≌△DME（AAS），∴AB＝DM＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝DM＝6，∠C＝90°，∵F为CD的中点，∴CF＝CD＝3，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝＝3．【点评】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，能求出四边形ABCD是矩形是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．22．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．（1）求出反比例函数解析式；（2）求证：△ACB∽△NOM．（3）延长线段AB，交x轴于点D，若点B恰好为AD的中点，求此时点B的坐标．【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式中，求出k，即可得出结论；（2）先判断出四边形OMCN是矩形，得出CN＝OM，ON＝CM，∠MCN＝90°，再求出OM＝1，ON＝n，AC＝4﹣n，BC＝m﹣1，进而判断出＝，即可得出结论；（3）先判断出AD＝2AB，再判断出△ACB∽△AMD，得出＝，进而求出n，即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y＝图象上，∴k＝1×4＝4，∴反比例函数解析式为y＝；（2）由（1）知，反比例函数解析式为y＝，∵点B（m，n）在反比例函数上，∴mn＝4，∵AM⊥x轴，BN⊥y轴，∴∠OMC＝∠ONC＝90°＝∠MON，∴四边形OMCN是矩形，∴CN＝OM，ON＝CM，∠MCN＝90°，∴∠ACB＝90°＝∠NOM，∵AM⊥x轴，∴M（1，0），∵BN⊥y轴，∴N（0，n），∴C（1，n），∴OM＝CN＝1，ON＝n，∵A（1，4），B（m，n），∴AC＝4﹣n，BC＝m﹣1，∴＝＝﹣1＝m﹣1，＝＝m﹣1，∴＝，∵∠MON＝∠BCA＝90°，∴△ACB∽△NOM；（3）∵点B恰好为AD的中点，∴AD＝2AB，∵BN⊥y轴，∴BN∥OM，∴△ACB∽△AMD，∴＝，由（2）知，BC＝m﹣1，AC＝4﹣n，∵AM⊥x轴，A（1，4），∴AM＝4，∴2（4﹣n）＝4，∴n＝2，∵mn＝4，∴m＝2，∴B（2，2）．【点评】此题是反比例函数综合题．主要考查了待定系数法，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握两边对应成比例，夹角相等的两三角形相似是解本题的关键．23．（15分）问题探究（1）如图1，已知锐角△ABC中，点D在BC边上，当线段AD最短时，请你在图中画出点D的位置．（2）若一个四边形的四个顶点分别在一个三角形的三条边上，则称这个四边形为该三角形的内接四边形．如图2，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°．矩形BEFG是△ABC的内接矩形，若EF＝2，则矩形BEFG的面积为如图3，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝45°，矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形且D、E在边BC上．若EF＝2，求矩形DEFG的面积；问题解决：（3）如图4，△ABC是一块三角形木板余料，AB＝6，BC＝8，∠B＝30°，木匠师傅想利用它裁下一块矩形DEFG木块，矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形且D、E在边BC 上，请在图4中画出对角线DF最短的矩形DEFG，请说明理由，并求出此时DF的长度．【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，点D即可所求；（2）当△ABC为直角三角形时，由EF∥AB可得出△CEF∽△CBA，利用相似三角形的性质可求出CE的长度，进而可得出BE的长度，再利用矩形的面积公式即可得出矩形BEFG 的面积；当△ABC为锐角三角形时，过点A作AM⊥BC于点M，则AM＝AB＝6，△BDG∽△BMA，△CEF∽△CMA，利用相似三角形的性质可得出BD＝BM，CE＝CM，进而可求出DE的长度，再利用矩形的面积公式即可得出矩形BEFG的面积；（3）过点A作AN⊥BC于点N，则AN＝AB＝3，设EF＝x（0＜x＜3），由（2）可知：DE＝BC﹣•BC＝8﹣＝（3﹣x），利用勾股定理可得出DF2＝x2﹣x+64，利用配方法可求出DF2的最小值，开方后即可得出DF的最小值，此题得解．【解答】解：（1）在图1中，过点A作AD⊥BC于点D．（2）在图2中，∵四边形BEFG为矩形，∴EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴＝，即＝，∴CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝，∴S矩形BEFG＝BE•EF＝×2＝．故答案为：．在图3中，过点A作AM⊥BC于点M，则AM＝AB＝6，同理可得出：△BDG∽△BMA，△CEF∽△CMA，∴＝，＝，即＝，＝，∴BD＝BM，CE＝CM，∴DE＝BC﹣BD﹣CE＝BC＝，∴S矩形BEFG＝DE•EF＝×2＝．（3）在图4中，过点A作AN⊥BC于点N，则AN＝AB＝3．设EF＝x（0＜x＜3），由（2）可知：DE＝BC﹣•BC＝8﹣＝（3﹣x），∴DF2＝DE2+EF2，＝（3﹣x）2+x2，＝x2﹣x+64，＝（x﹣）2+．∵＞0，∴当x＝时，DF2取最小值，最小值为，∴DF的最小值为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的面积、勾股定理以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）牢记点到直线之间垂直线段最短；（2）利用相似三角形的性质求出DE的长度；（3）利用勾股定理找出DF2＝x2﹣x+64，再利用二次函数的性质解决最值问题．。

2018学年陕西省西安交大附中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）关于x的方程ax2+4x﹣1=0是一元二次方程，则（）
A．a＞0 B．a=1 C．a≠0 D．a≥0
2．（3分）已知关于x的方程x2+kx﹣6=0的一个根为x=3，则k的值是（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．（3分）如图，△ABC≌△DEF，BE=1.3，AE=1，则DE的长是（）
A．0.3 B．1 C．1.3 D．2.3
4．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）
A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD
5．（3分）若在△ABC所在平面上求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，那么下列确定P点的方法正确的是（）
A．P是∠A与∠B两角平分线的交点
B．P为AC、AB两边上的高的交点
C．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
D．P为∠A的角平分线与AB边上的中线的交点
6．（3分）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）。