(答案)第11章章测题2(曲线积分与曲面积分的应用部分)

高等数学第五版下册第十一章曲线积分与曲面积分复习知识点及例题第11章曲线积分与曲面积分一(曲线积分1.对弧长的曲线积分 (第一类), f(x,y)ds,f[,(t),,(t)],'(t)，,'(t)dt(,,,),,L,典型例题,x,acost (1)圆周0,t,1 {y,asint2,222n222n222n，1 (，)ds,(cost，asint)(acos't)，(asin't)dt,2,ayax,,L0(x，y)ds(2)线段:把线段表示出来 L是(1，0)到(0,1)的直线段 ,L1(x，1,x)x，1dx,2,0 原式= 直线为:y=1-x22x，yeds (3)圆弧的整个边界(分段) ,La,a222,，xyxa22a42e1dx，e(acos't)，(asin't)dt，e1，1dx,e(2，a),2 ,,,0004(4)参数方程 (公式)2xyzds(5)利用折线围成的封闭图形 (坐标分段) A(0,0,0) B(0,0,2) C(1,0,2) D(1,3,2) ,,3322,0,0,1y20，1，0dy,y,9AB: BC: CD: ,,,,ABBC0CD0？,，，,9 ,,,,,ABBCCD2.对坐标的曲线积分 (第二类),P(x,y)dx，Q(x,y)dy,{P[,(t),,(t)],'(t)，Q[,(t),,(t)],'(t)dt ,,L,典型例题x,acost222xydx0,t,1(1)圆周圆周及x轴在一(x,a)，y,a(a,0){,Ly,asint xaacost,，x,x:(0,t,1),:象限逆时针 {{LL12yasint0,y,2a,3a(1cost)asint(aacost)'dt0dxa,，,，，，,, ,,,,120LLL21222(2)直线: 写出函数关系从(0,0)到(2,4) x-ydx，L:y,x,L25624 原式=x-xdx- (),,015,(3)圆弧 L: x=rcost,y=rsint上对应t从0到的一段弧 ydx，xdy，,L2(4)参数方程 (公式)(5)利用折线围成的封闭图形dx-dy，ydz ，A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1) ABCA封闭图形 ,,=01131[1(1)][(1)'(1)']121 ，，,,,zdx，,,z，,zzdz，dx,,，，,,,,,,,ABBCCA10022二(格林公式,Q,P(-)dxdy,Pdx，Qdy1. ,,,L,x,yD1A,xdy-ydx2.面积 ,L2,,PQ3.曲线积分;pdx，dy,, 与路径无关Q,L,y,xP(x，y)dx，Q(x，y)dy同上Pdx，Qdy与路径无关,存在u(x，y)使du,Pdx，Qdy4. ,Lxy u(x,y),p(x,y)dx，Q(x,y)dy0,,xy00典型例题22xyxyyedxxedyL(,)，(3，):，,1的正向(1) 22,Lab,p,Q,1,3？,2dxdy,2,ab，解: ,,,L,y,xD(2)验证整个xoy面内存在u(x，y)使2232ydu= (3xy，8xy)dx，(x，8xy，12ye)dy并求u(x，y),p,Q2,,3x，16xy，？存在解: ,y,xxy32y322yU(x，y),0dx，(x，8xy，12ye)dy，c,xy，4xy，12(y,1)e，c ,,002三(曲面积分1.对面积的曲面积分 (第一类)22 f(x，y,z)ds,f[x,y,z(x,y)]1，z，zdxdyxy,,,,Dxy典型例题221，4zds,其中,是z,x，y上z,1的曲面部分(1)球面。

高数下十一章重点总结+例题第十一章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2.掌握计算两类曲线积分的方法。

3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

4.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。

5.知道散度与旋度的概念，并会计算。

6.会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。

【教学重点】1.两类曲线积分的计算方法；2.格林公式及其应用；3.两类曲面积分的计算方法；4.高斯公式、斯托克斯公式；5.两类曲线积分与两类曲面积分的应用。

【教学难点】1.两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分；4.应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；5.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

6.两类曲线积分的计算方法，两类曲线积分的关系；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；8.两类曲面积分的计算方法及两类曲面积分的关系；9.高斯公式、斯托克斯公式，应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；10.两类曲线积分与两类曲面积分的应用；11.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

【教学课时分配】(14学时)第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6第7次课习题课【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上, 已知曲线形构件在点(x , y )处的线密度为μ(x , y ). 求曲线形构件的质量.把曲线分成n 小段, ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n (?s i 也表示弧长); 任取(ξi , ηi )∈?s i , 得第i 小段质量的近似值μ(ξi , ηi )?s i ; 整个物质曲线的质量近似为i i i ni s M ?≈=∑),(1ηξμ;令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n }→0, 则整个物质曲线的质量为 i i i ni s M ?==→∑),(lim 10ηξμλ.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义设函数f (x , y )定义在可求长度的曲线L 上, 并且有界.，将L 任意分成n 个弧段: ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n , 并用?s i 表示第i 段的弧长; 在每一弧段?s i 上任取一点(ξi , ηi ), 作和i i i ni s f ?=∑),(1ηξ; 令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n }, 如果当λ→0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作ds y x f L ),(?, 即i i i ni L s f ds y x f ?==→∑?),(lim ),(10ηξλ. 其中f (x , y )叫做被积函数, L 叫做积分弧段.曲线积分的存在性: 当f (x , y )在光滑曲线弧L 上连续时, 对弧长的曲线积分ds y x f L ),(?是存在的. 以后我们总假定f (x , y )在L 上是连续的.根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分ds y x L ),(?μ的值, 其中μ(x , y )为线密度.对弧长的曲线积分的推广:i i i i ni s f ds z y x f ?==→Γ∑?),,(lim ),,(10ζηξλ. 如果L (或Γ)是分段光滑的, 则规定函数在L (或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L 可分成两段光滑曲线弧L 1及L 2, 则规定ds y x f ds y x f ds y x f L L LL ),(),(),(2121+=+.闭曲线积分: 如果L 是闭曲线, 那么函数f (x , y )在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记作ds y x f L ),(?.对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c 1、c 2为常数, 则ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c L L L ),(),()],(),([2121+=+;性质2 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则ds y x f ds y x f ds y x f L LL ),(),(),(21+=;性质3设在L 上f (x , y )≤g (x , y ), 则??≤L L ds y x g ds y x f ),(),(. 特别地, 有≤L L ds y x f ds y x f |),(||),(|二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L 的线密度为f (x , y ), 则曲线形构件L 的质量为L ds y x f ),(.另一方面, 若曲线L 的参数方程为x =?(t ), y =ψ (t ) (α≤t ≤β),则质量元素为dt t t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψ?ψ?'+'=,曲线的质量为?'+'βαψ?ψ?dt t t t t f )()()]( ),([22.即'+'=βαψ?ψ?dt t t t t f ds y x f L)()()]( ),([),(22.定理设f (x , y )在曲线弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为x =?(t ), y =ψ(t ) (α≤t ≤β), 其中?(t )、ψ(t )在[α, β]上具有一阶连续导数, 且?'2(t )+ψ'2(t )≠0, 则曲线积分dsy x f L ),(?存在, 且dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψ?ψ?βα'+'=??(α<β).应注意的问题: 定积分的下限α一定要小于上限β. 讨论:(1)若曲线L 的方程为y =ψ(x )(a ≤x ≤b ), 则ds y x f L ),(?=?提示: L 的参数方程为x =x , y =ψ(x )(a ≤x ≤b ),dx x x x f ds y x f baL ??'+=)(1)](,[),(2ψψ.(2)若曲线L 的方程为x =?(y )(c ≤y ≤d ), 则ds y x f L ),(?=?提示: L 的参数方程为x =?(y ), y =y (c ≤y ≤d ),dy y y y f ds y x f dcL ??+'=1)(]),([),(2??.(3)若曲Γ的方程为x =?(t ), y =ψ(t ), z =ω(t )(α≤t ≤β), 则ds z y x f ),,(?Γ=?提示:dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψ?ωψ?βα'+'+'=??Γ.例1 计算ds y L, 其中L 是抛物线y =x 2上点O (0, 0)与点B (1, 1)之间的一段弧.解曲线的方程为y =x 2 (0≤x ≤1), 因此'+=1222)(1dx x x ds y L ?+=10241dx x x )155(121-=.例2 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度为μ=1).解取坐标系如图所示, 则?=L ds y I 2. 曲线L 的参数方程为x =R cos θ, y =R sin θ (-α≤θ<α). 于是 ?=L ds y I 2?-+-=ααθθθθd R R R 2222)cos ()sin (sin-=ααθθd R 23sin =R 3(α-sin α cos α).例3 计算曲线积分ds z y x )(222++?Γ, 其中Γ为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t 从0到达2π的一段弧.解在曲线Γ上有x 2+y 2+z 2=(a cos t )2+(a sin t )2+(k t )2=a 2+k 2t 2, 并且 dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=, 于是ds z y x )(222++?Γ?++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=.小结用曲线积分解决问题的步骤: (1)建立曲线积分;(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) , 确定参数的变化范围;(3)将曲线积分化为定积分;(4)计算定积分.教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。

5考研专题解析第十一章 曲线积分与曲面积分1.(98年数一)设L 为椭圆,13422=+y x 其周长为a ,则._______)432(22=++⎰ds y x xy L179解析 L 关于x 轴（y 轴）对称，2xy 关于y （关于x ）为奇函数20Lxyds ⇒=⎰.又在L 上22222213412(34)121243LLx y x y x y ds ds a +=⇒+=⇒+==⎰⎰.因此，原式=222(34)12LLxyds x y ds a ++=⎰⎰.2.（09年数一）已知曲线2:(0L y x x =≤，则_______L xds =⎰180解析 直接代公式化第一类平面曲线积分为定积分得Lxds ==⎰1222014)(14)8x d x =++ 32212113(14)(271)83126x =⋅+=-=.1.(00年数一) 计算曲线积分,422⎰+-=L y x ydxxdy I 其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1>R ),取逆时针方向.181解析 记2222,44y xP Q x y x y-==++,则L I Pdx Qdy =+⎰直接计算较繁琐，想借助格林公式.当220x y +≠时，222224(4)Q P y x x y x y ∂∂-==∂∂+, 记L 围成的圆域为D ,因D 内含原点(0,0),而P Q 、在(0,0)无意义，所以不能直接在D 上用格林公式.现作一小椭圆C ε（取逆时针方向）：2224x y ε+=，0ε>充分小，使C ε位于D 内，记L 与C ε围成区域D ε，在D ε上用格林公式得()0LC D Q PPdx Qdy Pdx Qdy dxdy x yεε∂∂+-+=-=∂∂⎰⎰⎰⎰, 即222222222241122442L C C x y xdy ydx xdy ydx ydx xdy dxdy x y x y εεεεπεπεεε+≤--==-+===++⎰⎰⎰⎰⎰. 2.（04年数一） 设L 为正向圆周222x y +=在一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为_______182解析 已知L的参数方程,x t y t =，t 从0到2π.直接代公式得202)()]Lxdy ydx t t t t dt π-=-⎰⎰,2220322sin 242dt tdt πππππ=+=+⋅=⎰⎰. 3.（08年数一）计算曲线积分2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰,其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点(,0)π的一段.183解析 将曲线L 的方程代入直接计算2sin 222LLI xdx ydy x ydy =-+⎰⎰(,0)220(0,0)1(cos 2)2sin cos 2x y x x xdx ππ=--+⎰221sin 2cos 22x xdx x d x ππ==-⎰⎰2001cos 2cos 22x x x xdx ππ=-+⎰201sin 222xd x ππ=-+⎰ 220011sin 2sin 22222x x xdx ππππ=-+-=-⎰.1.（97年数一）计算积分⎰-+-+-Cdz y x dy z x dx y z )()()(，其中C 是曲线⎩⎨⎧=+-=+,2,122z y x y x 从z 轴正向往z 轴负向看C 的方向是顺时针的.184 解析 用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z -+=上C 所围成有限部分，由L 的定向，按右手法则S 取下侧.()()()2CS dydz dzdx dxdy z y dx x z dy x y dz dxdy x y z z y x z x y∂∂∂-+-+-==∂∂∂---⎰⎰⎰, S 在xoy 平面上的投影区域22{(,)1}xy D x y x y =+≤.将第二类曲面积分化为二重积分得22Sdxdy π==-⎰⎰原积分.这里S 取下侧，故公式取负号. 2.（01年数一）计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中L 为平面2x y z ++=与柱面1=+y x 的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向.185解析 用斯托克斯公式来计算，记S 为平面2xy z ++=上L 所围部分.由L 的定向，按右手法则S==S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )n a r β==，于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23Sa r I ds x y z y z z x x y β∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰([(24(2622Sy z z x x y ds =----+--⎰⎰(423)2(6)S Sx y z dS x y z x y dS =++++=+-⎰⎰. 将第一类曲面积分化为二重积分得(62(6)S SI x y x y dxdy =+-=-+-⎰⎰， 其中D 为S 在xoy 平面上的投影区域1x y +≤.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰,所以21224DI dxdy =-=-=-⎰⎰.专题二、求曲面积分与高斯公式∑体222x y x +≤内的部分.179解析 将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰首先确定被积函数(,)f x y==， 对锥面z =而言，==, 其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域22{(,)(1)1}xy D x y x y =-+≤xyD I =⎰⎰作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==，则{(,)02cos ,}22r D r r θππθθθ=≤≤-≤≤. 2cos 2cos 322000213I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰2.（07年数一）设曲面:1x y z ∑++=，则()______x y dS ∑+=⎰⎰187 解析 ∑关于yoz 平面对称，x 对x 为奇函数⇒0xdS ∑=⎰⎰,由变量的轮换对称性⇒x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,⇒()111()1333I x y dS y dS x y z dS dS ∑∑∑∑=+==++==⋅∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰曲面的面积 记∑在第一卦限部分的面积为111cos ,2r σσ==即,因此118833I σ=⋅==1.（05年数一） 设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则______xdydz ydzdx zdxdy ∑++=⎰⎰192解析 在Ω上用高斯公式得(111)31I dV dV ΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰作球坐标变换：sin cos ,sin sin ,cos x y z ρϕθρϕθρϕ===，{(,,)0,0,02}4RπρϕθρϕθπΩ=≤≤≤≤≤≤,所以22240003sin (2RI d d d R ππθϕρϕρπ==⎰⎰⎰.2.（06年数一） 设∑是锥面1)z z =≤≤的下侧，则23(1)_____x d y d z y d z d x z d x d y ∑++-=⎰⎰192解析 添加辅助面221:1(1)z x y ∑=+≤，法向量朝上，123(1)0000xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=++=⎰⎰,∑与1∑围成区域Ω，用高斯公式得123(1)(123)623xdydz ydzdx z dxdy dV ππ∑∑Ω++-=++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰,原式202ππ=-=. 3.（08年数一）设曲面∑是z =的上侧，则2_________xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰193解析 直接代入公式将第二类曲面积分化为二重积分，曲面∑的方程是,)z x y D =∈,其中22{(,)4}D x y x y =+≤，z z x y ∂∂==∂∂所以22()()00D D z zxy x x dxdy x dxdy x y ⎡⎤∂∂-+-+=++⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰221()42Dx y dxdy π=+=⎰⎰.1.（01年数一）设222z y x r ++=则(1,2,2)()______div gradr -=195解析 先求(,,)x y zgradr r r r =，再求()()()()x y zdiv gradr x r x r x r∂∂∂=++∂∂∂.2223331112()()()x y z r r r r r r r=-+-+-=.所以(1,2,2)2()3div gradr -=.When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you, And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fled And paced upon the mountains overhead And hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the world Is not between life and death But when I stand in front of you Yet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。