第2章 matlab数值计算功能

MATLAB数值计算功能
MATLAB是一种非常强大的数值计算软件，被广泛应用于科学计算、
工程计算和数据分析等领域。

它提供了丰富的数值计算功能，包括基本的
数学运算、线性代数、数值积分、微分方程求解、优化算法等。

下面将详
细介绍一些常见的数值计算功能。

1.数学运算：
MATLAB提供了丰富的数学函数，可以进行各种基本的算术运算，如
加减乘除、幂运算、取模运算等。

同时，它还提供了一些高级的数学函数，如三角函数、指数函数、对数函数等。

通过这些函数，用户可以进行各种
复杂的数学运算。

2.线性代数：
3.数值积分：
4.微分方程求解：
5.优化算法：
MATLAB提供了各种优化算法，如线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划等。

用户可以通过设定目标函数和约束条件，利用MATLAB的优
化函数寻找最佳的解。

这对于优化问题的求解非常有用，如工程设计、生
产调度等。

6.统计分析：
7.数据可视化：
总之，MATLAB的数值计算功能非常丰富，可以满足各种数学计算和数据分析的需求。

它不仅提供了各种基本的数学运算功能，还提供了高级的线性代数、数值积分、微分方程求解、优化算法和统计分析等功能。

同时，其强大的数据可视化功能也是很多用户选择MATLAB作为数值计算工具的重要原因之一。

学习使用MATLAB进行数值计算和数据分析---第一章：MATLAB的基本介绍MATLAB是一种强大的数值计算和数据分析软件，广泛应用于科学研究、工程设计等领域。

它的主要特点是简洁直观的用户界面和丰富的数学函数库。

在本章中，我们将介绍MATLAB的基本特性和使用方法。

1.1 MATLAB的历史与发展MATLAB是由MathWorks公司于1984年首次推出的。

起初，它作为一个用于矩阵计算的工具被广泛使用。

随着时间的推移，MATLAB逐渐拓展了功能，加入了许多其他数学和工程计算的功能，如符号计算、数据统计和可视化。

如今，MATLAB已经成为一种非常受欢迎的工具。

1.2 MATLAB的安装和环境设置要开始使用MATLAB，首先需要从MathWorks官网下载并安装MATLAB软件。

安装完成后，打开MATLAB并设置工作目录和默认工作文件夹。

工作目录是指存储MATLAB代码和数据文件的文件夹，而默认工作文件夹是指MATLAB打开时默认选择的文件夹。

1.3 MATLAB的基本语法和命令MATLAB的基本语法和命令非常简单易懂。

它采用类似于其他编程语言的命令行交互方式，用户可以直接在命令行输入MATLAB语句并执行。

例如，可以输入"2+2"并按回车键得到结果4。

此外，MATLAB还具有许多内置的数学函数和运算符，可以进行各种数值计算和数据分析。

1.4 MATLAB脚本和函数在MATLAB中，可以使用脚本和函数来组织和执行一系列MATLAB命令。

脚本是一系列命令的集合，可以一次性运行。

函数是一段可以重复使用的代码，可以接受输入参数并返回输出结果。

通过编写脚本和函数，可以提高MATLAB代码的可重复性和可维护性。

第二章：数值计算MATLAB作为一种数值计算工具，提供了丰富的数学函数和算法，可以用于解决各种数值计算问题。

在本章中，我们将介绍MATLAB在数值计算方面的一些常用功能和技巧。

2.1 数值计算方法MATLAB中包含了许多数值计算方法，如数值积分、数值微分、线性代数求解等。

第2章 MATLAB数值计算MATLAB的数学计算＝数值计算＋符号计算其中符号计算是指使用未定义的符号变量进行运算，而数值计算不允许使用未定义的变量。

2.1 变量和数据2.1.1数据类型数据类型包括：数值型、字符串型、元胞型、结构型等数值型＝双精度型、单精度型和整数类整数类＝无符号类(uint8、uint16、uint32、uint64)和符号类整数(int8、int16、int32、int64)。

2.1.2数据1. 数据的表达方式▪可以用带小数点的形式直接表示▪用科学计数法▪数值的表示范围是10-309～10309。

以下都是合法的数据表示：-2、5.67、2.56e-56(表示2.56×10-56)、4.68e204(表示4.68×10204)2. 矩阵和数组的概念在MATLAB的运算中，经常要使用标量、向量、矩阵和数组，这几个名称的定义如下：▪标量：是指1×1的矩阵，即为只含一个数的矩阵。

▪向量：是指1×n或n×1的矩阵，即只有一行或者一列的矩阵。

▪矩阵：是一个矩形的数组，即二维数组，其中向量和标量都是矩阵的特例，0×0矩阵为空矩阵([])。

▪数组：是指n维的数组，为矩阵的延伸，其中矩阵和向量都是数组的特例。

3. 复数复数由实部和虚部组成，MATLAB用特殊变量“i”和“j”表示虚数的单位。

复数运算不需要特殊处理，可以直接进行。

复数可以有几种表示：z=a+b*i或z=a+b*jz=a+bi 或z=a+bj(当b 为标量时) z=r*exp(i*theta)● 得出一个复数的实部、虚部、幅值和相角。

a=real(z) %计算实部 b=imag(z) %计算虚部 r=abs(z) %计算幅值 theta=angle(z) %计算相角 说明：复数z 的实部a=r*cos(θ)； 复数z 的虚部b=r*sin(θ)； 复数z 的幅值22b a r +=；复数z 的相角theta=arctg(b/a)，以弧度为单位。

MATLAB2009从入门到精通课程主要内容•第1章MATLAB简介•第2章数值运算•第3章单元数组和结构•第4章字符串•第5章符号运算•第6章MATLAB绘图基础•第7章程序设计•第8章计算方法的MATLAB实现•第9章优化设计•第10章SIMULINK仿真初探第2章数值运算•本章将介绍MATLAB2009的数值计算功能，首先讲述MATLAB中的运算符，然后讲述包括MATLAB的向量、矩阵和数组，并介绍他们之间的运算。

此外，还介绍了一些特殊的矩阵数据结构。

另外，还对MATLAB中的多项式的运算以及多项式拟合作了详细介绍。

2.1 MATLAB中的变量•MATLAB中的变量必须以字母打头，之后可以是任意字母、数字或下划线，变量名区分字母大小写，变量名不超过19个字符，默认变量名为ans。

除此之外还包含一些特殊的变量。

•who命令能够显示变量的信息；•whos命令能够显示变量的详细信息。

•matlab中同样支持复数变量，表示方法为a=m+ni(j)。

当n是表达式时，n与i(j)之间必须要加乘号。

另外也可以用complex(x,y)来产生复数。

•在循环程序段中一般不把i和j作为变量名称，以免生成数据时发生误解。

•>> a=1+2i• a =• 1.0000 + 2.0000i •>> b=1+3*i• b =• 1.0000 + 3.0000i•>> a=sin(2)+cos(2)*i• a =•0.9093 -0.4161i•>> b=sin(2)+cos(3)i•??? b=sin(2)+cos(3)i•|•Error: Unexpected MATLAB expression.•>> x=sin(2);•>> y=cos(3);•>> a=complex(x,y)• a =•0.9093 -0.9900i•>> b=complex(x)• b =•0.9093•>> a=i+2i• a =•0 + 3.0000i •>> b=i+2*i • b =•0 + 3.0000i•>> i=5;•>> a=i+2i• a =• 5.0000 + 2.0000i •>> b=i+2*i• b =•15•>> i=5;•>> a=5+i • a =•10•>> b=5+1*i • b =•10•>> i=5;•>> a=5+2i• a =• 5.0000 + 2.0000i •>> a=5+2*i• a =•152.2 MATLAB的数值运算基础2.3 数组及向量运算•由数学知识可知，数组和矩阵有着不同的概念。

实验二第2章MATLAB数值计算功能MATLAB强大的数值计算功能使其在诸多数学计算软件中傲视群雄，是MATLAB的基础.本章将简要介绍MATLAB的数据类型、矩阵的建立及运算.第一节MATLAB 的数据类型MATLAB 的数据类型主要包括：数字、字符串、矩阵、单元型数据及结构型数据等，此处仅介绍几个常用类型.一、MAT L A B中的变量与常量不需要对所使用的变量进行事先声明，也不需要指定其类型，它会自动根据所赋予变量的值或所进行的操作来确定变量的类型.如果变量重新赋值将会用新值代替旧值并以新值类型代替旧值类型.⏹例1 a=1；b=0.5；c=a*b，c=‘a*b’⏹变量的命名规则是：（1）变量名可以有63个字符.字母A～Z、a～z、数字和下划线‘_’都可以作为变量名，但第一个字符必须是一个字母；（2）变量名区分大小写，如矩阵a和A是不一样的；（3）变量名中不允许使用标点符号、空格、运算符；（4）预定义变量名也可以像一个变量名那样使用，但只有在变量由命令clear删除后才能恢复原意，所以，不主张这样使用；（5）MATLAB提供的标准函数及命令通常是用小写字母书写.例2 命令abs (A)给出了A 的绝对值，但ABS(A)会导致在屏幕上显示错误信息.二、 算术表达式及显示格式在MATLAB 中对十进制数，使用科学记数法可以书写十分大和十分小的数.例如1.23e －6，代表1.23×10-6 .MATLAB 有算术运算符的扩展集，它们是：1) ^ 幂；2) * 乘； / 右除(正常除)； \ 左除；3) + 加；－ 减这是按序给出的运算，1）是最高优先级.在带相同优先级的运算符表达式中，按从左到右的顺序执行.圆括号( )能够用于改变优先级次序.两种不同的除法：对于数量右除 2 / 5得0 . 4与左除5 \ 2是相同的，斜线号“靠着”的表达式或数字是分母.如a/(b+c)即为，而a\(b+c)即为 .ab c +b c a+命令集4 显示格式format defformat 将输出格式改为由defformat 定义的格式，这类格式可以是如下之一：short 、long 、short e 、long e 、hex 、+、bank 、rat也有compact 或loose ，它给出了一个较紧缩或较宽松的输出格式，但并不影响数值输出格式.■例3设 b = 1 + 1/3，先定义格式，然后在屏幕上显示b：format short 得1.3333 4位小数format long 得1.33333333333333 14位小数format short e 得1.3333e + 000 4位小数format long e 得1.333333333333333e + 000 15位小数format hex 得3ff5555555555555 16进制数format + 得+ 正：+ format bank 得1.33 美元和美分format rat 得4/3 作为一个有理数三、数学函数命令集5数学函数abs(x) 求x的绝对值，即|x| .sign(x)求x的符号，如果是正的得1；负的得－1；零得0 .sqrt(x)求x.exp(x)求x的指数函数，即.x elog(x)求x的自然对数，即lnx .log10(x)求x以10为底的对数，即.log x10sin(x)求正弦x，x为弧度.cos(x)求余弦x，x为弧度.tan(x)求正切x，x为弧度.cot(x)求余切x，即1 / ( tanx)，x为弧度.asin(x)求反正弦，即.1-sin xacos(x)求反余弦，即.1-cos xsec(x)求正割x，即1/(cosx) .csc(x)求余割x，即1/(sinx) .命令集6取整命令round(x)求最接近x的整数.如果x是一个向量，则适用于所有元素.fix(x)求0方向最接近x的整数.即负x向上四舍五入，正x向下四舍五入.floor(x)求小于或等于x的最接近的整数.ceil(x)求大于或等于x的最接近的整数.rem(x, y)求整除x/y的余数.gcd(x, y)求整数x和y的最大公因子.lcm(x，y)求正整数x和y的最小公倍数，也能用于决定最小公因子.第二节MATLAB的矩阵的建立与运算矩阵是MATLAB 数据存储的基本单元，而矩阵的运算是MATLAB 语言的核心，几乎一切运算均是以对矩阵的操作为基础的.一、矩阵的建立1. 直接输入法从键盘上输入矩阵是最方便、最常用的创建数值矩阵的方法，尤其适合较小的简单矩阵.规则如下：⏹输入矩阵时要以“[ ]”为其标识符号，矩阵的所有元素必须都在中括号内.⏹矩阵同行元素之间由空格或逗号分隔，行与行之间用分号或回车键分隔.⏹矩阵大小不需要预先定义.⏹矩阵元素可以是运算表达式.⏹若"[ ]"中无元素表示空矩阵.⏹例4 >> A=[1 2 3；4 5 6；7 8 9]A=1 2 34 5 67 8 92. 利用“：”生成矩阵（1）生成等距的行向量，如>> a=1:0.5:4a=Columns 1 through 71 1.52 2.53 3.5 4（2）截取指定矩阵中的部分生成新矩阵，如>> B=A (1:2, : )B=1 2 34 5 6即矩阵B是例4中A矩阵的前两行生成.3. 外部文件读入法以文件的形式存储，适合大型矩阵输入.读入形式>> Load+文件名Load 函数将会从文件名所指定的文件中读取数据，并将输入的数据赋给以文件名命名的变量，如果不给定文件名，则将自动认为matlab.mat 文件为操作对象，如果该文件在MATLAB 搜索路径中不存在时，系统将会报错.4. 特殊矩阵的生成命令集71矩阵、零矩阵、单位矩阵和随机矩阵ones (n)建立一个n×n的1矩阵.ones (m , n)建立一个m×n的1矩阵.ones (size(A))建立一个和矩阵A同样大小的1矩阵.zeros(n)建立一个n×n的0矩阵.zeros(m , n)建立一个m×n的0矩阵.zeros(size(A))建立一个和矩阵A同样大小的0矩阵.eye(n) 建立一个n×n 的单位矩阵.eye(m, n)建立一个m×n 的单位矩阵.eye(size(A))建立一个和矩阵A同样大小的单位矩阵.rand 产生在0～1之间均匀分布的随机数；每调用一次给一个新的数值.rand + i*rand产生一个复数随机数.rand(n) 产生一个n ×n 的矩阵，其元素为0～1之间均匀分布的随机数.rand(m , n) 产生一个m ×n 的矩阵，其元素为0～1之间均匀分布的随机数.二、矩阵的运算MATLAB 中的大多数运算可以直接对矩阵应用.除了算术运算+、－、*、^、/、\外，还有用于转置和共轭的运算符（撇号 ’：实数时为转置，复数时为共轭转置，复数时转置为 .’）、关系运算符和逻辑运算符.1. 除法 在MATLAB 中，有两个矩阵除法的符号，左除 \和右除/ .如果A 是一个非奇异方阵，那么A \ B 和B / A 对应A 的逆与B 的左乘和右乘，即分别等价于命令 i n v ( A ) 1A B -1BA -*B 和B* i n v ( A ).2. 元素操作算术运算算术运算也可以元素与元素逐次进行.参与运算的矩阵维数要相同.如果运算是由一点进行的，那么这个运算实行的是元素方式，称为数组运算或点运算.对于加法和减法，数组运算（点运算）和矩阵运算没有差别.数组运算（点运算）符是：+ － . * . /. \ . ^例5 >> A=[1 2 3；4 5 6；7 8 9]；B=ones(3); C=A.*BC=1 2 34 5 67 8 93. 关系运算符MATLAB有用于比较矩阵的六个关系运算符，也可以对矩阵与一个标量进行比较，即矩阵中的每个元素与标量进行比较.关系运算符如下：< 小于< = 小于等于> 大于> = 大于等于= = 等于~ = 不等于关系运算符比较对应的元素，产生一个仅包含1和0的具有相同维数的矩阵.其元素是：1 比较结果是真0 比较结果是假在一个表达式中，算术运算符优先级最高，其次是关系运算符，最低级别是逻辑运算符.圆括号可以改变其顺序.4. 逻辑运算符在MATLAB中有四种逻辑运算符：& 与；| 或；~ 非；xor 异或；逻辑运算符的运算优先级最低.在一个表达式中，关系运算符和算术运算符的运算级别要高于逻辑运算符.x o r和o r之间的差别在于：表达式中至少有一个是真，那么o r是真；x o r是表达式中有一个是真但不能两者均为真时才为真.运算符&和|比较两个相同维数的矩阵，它也能使一个标量与一个矩阵进行比较.逻辑运算符是按元素比较的.零元素表示逻辑值假，任何其他值的元素表示逻辑值真.其结果是一个包含1和0的矩阵.命令集8逻辑运算符A & B返回一个与A和B相同维数的矩阵.在这个矩阵中，A和B对应元素都为非零时，则对应项为1；有一个为零的项则为0.A | B返回一个与A和B相同维数的矩阵.在这个矩阵中，A和B对应元素只要有一个为非零，则对应项为1；两个矩阵对应元素均为零时，则对应项为0.~A返回一个与A和B相同维数的矩阵.在这个矩阵中，A对应元素是零时，则对应项为1；A 对应元素是非零时，则对应项为0.xor(A, B) 返回一个与A 和B 相同维数的矩阵.在这个矩阵中，如果 A 和B 均为零或均为非零时，则对应项为 0；如果A 或B 是非零但不是两者同时为非零时，则对应项为1.练习题1. 在计算机上，求下列表达式的值.①；6(10.3424510)w -=+⨯② ，其中；2(2)/[tan()]b c x a e b c a abc ππ+=+-+++ 3.5,5,9.8a b c ===-③ ， 其中；22[(1)(0.8333)]44y a b a πππ=--- 3.32,7.9a b ==-④ ，其中；21(2t z e ln t =+2t =⑤ ，其中 .cos sin 78x y u x y +-=+12,3x i y =+=-2. 完成下列操作，观察结果：① a=1:5,b=(1:5)’② y=0:pi/4:pi③ x=(0:0.2:3)’,y=exp(-x).* sin(x)④ A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]B=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]C=[1 2 34 5 67 8 9]⑤ [sin(),2*cos(/3);5*,exp(2)]A pi pi pi =-3. 已知 , 求 11112111,1312AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=- 1 = -⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 1 -1 1 1 4⎣⎦⎣⎦① AB-2A , ② AB-BA,A.*B,B.*A , ③ .11A B B A ---4. ，求.21350.65i x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦- =-21ln(2x y e x =+5．，求 .23100.7780414565532503269.5454 3.14D - ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪ - ⎝⎭2,.*,.^2D D D D 6．x = (1,1,1,1)，y = (2,3,4,5)’ ，求 .,xy yx 7．完成下列操作并观察结果①(6),(5,6),(6,5)ones ones ones ② (4),(3,4),(4,3)zeros zeros zeros ③ (5),(4,5),(5,4)eye eye eye ④ ,(3),(3,4)x rand i rand A rand B rand =+* = =⑤(3),(4),(3)hilb hilb invhilb ⑥ [12345],[54321],(,),()x y T toeplitz x y S toeplitz x = = = =⑦(),()A compan x B compan y = =⑧ (),()vander x vander y ⑨ C=[ones(4),zeros(4);eye(4),rand(4)]⑩ C=[ones(4),zeros(4);eye(4),rand(5)]8. 建立向量①(1:3),(1:0.5:3),(4:0.5:0)x y z = = =-② (/4,/4),(1,3,5)w linspace v linspace ππ=- =9. 完成下列命令，观察结果① a=[1:3;4:6;7:9]，x=5;xa=x<=a② b=[0 4 1;1 0 8;2 0 0];ab=a &b③n_b=~b10. 计算P 265x=1;y(1)=x ;for k=1:15x=1/(x+1); y(k)=x;end y 11. 计算P 266x=1;y(1)=x ; w=7/25;for k=1:10x=w*x+(1-w)/(x+1); y(k)=x;endy12. 练习format 命令：对第1题练习各种输出格式.。