2019届江西南昌市高三上学期摸底调研数学(理)试卷【含答案及解析】

— 高三理科数学第1页(共4页) —2019届ncs0607摸底调研考试理 科 数 学本试卷共4页，23小题，满分150分. 考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合3{|0},{|1x M x N x y x -=≥==-，则()M N =R A. (1,2] B. [1,2] C. (2,3] D. [2,3]2．若复数1i1iz a -=+为纯虚数，则实数a 的值为A. 1-B. 1C. 0D. 123．同学们，化归与转化的数学思想很重要，比如要证明命题:p “若1ea ≥，则e xa x ⋅≥”，我们可以证明命题A. “若e xa x ⋅<，则1e a <” B. “若e xa x ⋅≤，则1e a <” C. “若e x a x ⋅<，则1e a ≤” D. “若1ea <，则e xa x ⋅<”4．已知向量(1,2),(4,)a b m =-=-，若a //b ，则实数m 的值为A. 8-B. 2-C. 2D. 8 5.若函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则 A. 函数()f x 有1个极大值点，1个极小值点 B. 函数()f x 有0个极大值点，1个极小值点 C. 函数()f x 有1个极大值点，0个极小值点 D. 函数()f x 有0个极大值点，0个极小值点6．已知函数()ln(1)f x x =--，函数()g x 的图像与()f x 的图像关于直线1x =对称，则(3)g = A. ln 2- B. ln 2 C. 0 D. ln 3-7．如图，曲线y =与x 轴、直线1x =围成区域M ，在边长为1的正方形OABC 中随机取一点，则该点在区域M 内的概率为A.31B.32C.43D.65— 高三理科数学第2页(共4页) —8.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，则()3f π=A. B. 1C.9．已知等差数列{}n a 的公差0d <，前n 项和为n S ，若5610S a =，则当n S 最大时，n = A.8 B.9 C.7或8 D.8或9 10．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =ABC ∆的面积S =且A b B a C c cos cos cos 2+=，则b =A.B.C.D. 11．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上第一象限内一点，满足120PF PF ⋅=，延长2PF 交双曲线右支于点Q ，若1||:||5:12PF PQ =，则双曲线的离心率为 A.125 B. 135C. 3D. 312．已知函数3(4),62()2||,223(4),26f x x f x x x f x x -+-≤<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪-<≤⎩，函数1()2g x x x =+，则方程()()0f x g x -=的所有根之和为A. 0B.12C. 1D. 2 二．填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分. 13．5)2(x -的展开式中，x 的系数为 ．14．已知实数,x y 满足不等式组30200x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则13x z y +=+的取值范围是 ．15．如图是某几何体的三视图，网格中小正方形边长为1，其中主视图中矩形的高为4，俯视图是钝角三角形，且钝角所对的边长为3，则该几何体的体积为 ．16．ABC ∆中，030,3A BC ∠==，点D 满足2BD DC =，则线段AD 的最大值为 ．— 高三理科数学第3页(共4页) —三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.(12分)如图，已知单位圆上的点))sin(),(cos(),sin ,(cos ββαα--B A ，))sin(),(cos(βαβα++C ，)0,1(D .（Ⅰ）若30,90==βα，求|||,|CD AB ； （Ⅱ）试证明两角和的余弦公式： .sin sin cos cos )cos(βαβαβα-=+18. (12分)人们通过手机、电视等方式关注十九大盛况.某调査网站从观看十九大的年龄在15岁至65岁的电视观众中随机选出100人，将这100人按年龄分组：第1组)25,15[，第2组)35,25[，第3组)45,35[，第4组)55,45[，第5组]65,55[，得到频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）求a 的值，并计算电视观众的平均年龄（各组数据用中点值代替）（结果四舍五入到整数）；（Ⅱ）若电视观众的年龄X 近似服从正态分布2(,)N μσ， 用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差.已知 样本标准差11≈s .（ⅰ）预估3000名电视观众中年龄在30岁以上的人数； （结果四舍五入到整数）（ⅱ）若从电视观众中任选5人，记年龄在41岁以上的 人数为Y ，求随机变量Y 的分布列和期望.附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974.P X μσμσ-<<+=19. (12分)如图，四棱锥E ABCD -中，,ADE BEC ∆∆和CDE ∆均是边长为2的正三角形，且平面ADE ⊥平面EDC ，平面BCE ⊥平面EDC . （Ⅰ）求证：//AB 平面EDC ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值.— 高三理科数学第4页(共4页) —20．(12分)如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，焦距为4，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为C ，当l 的斜率存在时，直线AB 和BC 的斜率之积为21-. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求三角形OBC 面积的最大值．21. (12分)已知函数()()ln()f x x a x a =++，[0,)x ∈+∞，a 为实数. （Ⅰ）当1a =时，证明：x x f ≥)(；（Ⅱ）若不等式2()xe f x x x ≥+恒成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (10分)曲线212:,:2cos sin +40.3C C πθρρθθ=-+=（Ⅰ）将12,C C 化为普通方程； （Ⅱ）已知12,C C 交于,A B ，求||.AB23．[选修4—5：不等式选讲] (10分)已知函数()|1|||.f x x x a =+++ （Ⅰ）若2a =-，解不等式()5f x ≤；（Ⅱ）若()21f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.。

NCS20190607项目第一次模拟测试卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式简化集合M，再由对数的运算性质求出N，再由交集的运算求出（∁R M）∩N．【详解】∵x2﹣4＞0，∴x＜﹣2或x＞2，∴M＝（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∵log2x＜1，∴0＜x＜2，∴N＝（0，2），∴∁R M＝[﹣2，2]，∴（∁R M）∩N＝（0，2）．故选：B．【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，以及一元二次不等式的解法、对数的运算性质，属于基础题．2.已知复数的实部等于虚部，则( )A. B. C. -1 D. 1【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出a的值．【详解】∵z的实部等于虚部，∴，即a＝﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.已知抛物线方程为，则其准线方程为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．【详解】抛物线x2＝-2y的准线方程为：y，故选：C．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，熟记抛物线的简单几何性质是关键，是基本知识的考查．4.已知为等差数列，若，，则( )A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．【详解】∵{a n}为等差数列，,∴，解得＝﹣10，d＝3，∴＝+4d＝﹣10+12＝2．故选：B．【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.如图所示算法框图，当输入的为1时，输出的结果为( )A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．【详解】当x＝1时，x＞1不成立，则y＝x+1＝1+1＝2，i＝0+1＝1，y＜20不成立，x＝2，x＞1成立，y＝2x＝4，i＝1+1＝2，y＜20成立，x＝4，x＞1成立，y＝2x＝8，i＝2+1＝3，y＜20成立，x＝8，x＞1成立，y＝2x＝16，i＝3+1＝4，y＜20成立x＝16，x＞1成立，y＝2x＝32，i＝4+1＝5，y＜20不成立，输出i＝5，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】由三视图可知该几何体是由一个正三棱柱（其高为6，底面三角形的底边长为4，高为）截去一个同底面的三棱锥（其高为3）所得，则该几何体的体积为；故选：D．【点睛】本题考查简单几何体的形状与三视图的对应关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题.7.2021年广东新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】基本事件总数n6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，由此能求出他们选课相同的概率．【详解】今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则基本事件总数n6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，∴他们选课相同的概率p．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，准确计算基本事件总数和选课相同包含的基本事件数是关键，是基础题.8.已知，，：“”，：“”，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先作出不等式：“|x|1”，“x2+y2≤r2”表示的平面区域，再结合题意观察平面区域的位置关系即可得解【详解】“|x|1”，表示的平面区域如图所示:平行四边形ABCD及其内部，“x2+y2≤r2”，表示圆及其内部由p是q的必要不充分条件，则圆心O（0，0）到直线AD：2x+y﹣2＝0的距离等于，则0，故选：A．【点睛】本题考查不等式表示的平面区域及图象之间的位置关系，熟练运用直线与圆的位置关系是关键，属中档题．9.已知在上连续可导，为其导函数，且，则( )A. B. C. 0 D.【答案】C【解析】【分析】根据条件判断函数f（x）和f′（x）的奇偶性，利用奇偶性的性质进行求解即可．【详解】函数f（﹣x）＝e﹣x+e x﹣f'（1）（﹣x）•（e﹣x﹣e x）＝f（x），即函数f（x）是偶函数，两边对x求导数得﹣f′（﹣x）＝f′（x）．即f′（﹣x）＝﹣f′（x），则f′（x）是R上的奇函数，则f′（0）＝0，f′（﹣2）＝﹣f′（2），即f′（2）+f′（﹣2）＝0，则f'（2）+f'（﹣2）﹣f'（0）f'（1）＝0，故选：C．【点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题.10.已知平面向量，，，，若对任意的实数，的最小值为，则此时( )A. 1B. 2C.D. 或【答案】D【解析】【分析】由题知，终点分别在圆上，画出图形，由最小值，确定，的夹角，再利用模长公式求解即可.【详解】由题知，终点分别在以2和1为半径的圆上运动，设的终点坐标为A(2,0),的终点为单位圆上的点B，最小时的终点有可能为如图上B、C两点处，即过A做单位圆切线切点为B时，此时AB=,此时，的夹角为，因此=，延长BO交单位圆于C，此时，的夹角为，因此，故选：D【点睛】本题考查向量的模，向量的几何意义，数形结合思想，准确确定取最小值时，的夹角是关键，是中档题.11.已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设P（），则Q（2，），当≠0时，求出两直线方程，解交点的横坐标为，利用|x0|范围，得|x|范围，当＝0时，求得|x|＝1即可求解.【详解】设P（），则Q（2，2），当≠0时，k AP，k PM，直线PM：y﹣（x﹣），①直线QB：y﹣0（x），②联立①②消去y得x，∴，由||＜1得x2＞1，得|x|＞1，当＝0时，易求得|x|＝1，故选：A．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，两直线交点问题，准确计算交点坐标是关键，属中档题．12.杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【详解】n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n，可得当n＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135，由于最右侧为2，3，4，5，……，为首项是2公差为1的等差数列，则第16行的第16项为17，则杨辉三角形的前18项的和为S18＝218﹣1，则此数列前135项的和为S18﹣35﹣17＝218﹣53，故选：A．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】利用函数的性质得f （5）＝f（2）＝f（﹣1），由此能求出f（5）的值．【详解】∵函数，∴f （5）＝f（2）＝f（﹣1）＝（﹣1）2﹣2﹣1．故答案为：．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为__________．【答案】【解析】【分析】作出符合题意的图形P﹣ABC，取底面中心O，利用直角三角形POC容易得解．【详解】如图，正三棱锥P﹣ABC中，O为底面中心，不妨设PC＝1，∵侧面为等腰直角三角形，∴BC，∴OC，∴OP，∴sin∠PCO，故答案为：．【点睛】此题考查了直线线与平面所成角，熟练运用线面关系找到所求角，准确计算是关键，是基础题．15.已知锐角满足方程，则__________．【答案】【解析】【分析】化简已知等式，利用同角三角函数基本关系式可求3sin2A+8sinA﹣3＝0，解得sinA的值，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【详解】∵锐角A满足方程3cosA﹣8tanA＝0，可得：3cos2A＝8sinA，∵cos2A+sin2A＝1，∴3sin2A+8sinA﹣3＝0，解得：sinA，或﹣3（舍去），∴cos2A＝1﹣2sin2A＝1﹣2．故答案为：．【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式的应用,二倍角公式，一元二次方程的解法，熟记三角函数基本公式，准确计算是关键，属于基础题．16.定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】画出几何图形，运用边的关系转化为求周长的最值，结合正余弦定理及基本不等式求解即可.【详解】设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为M,P,N分别为半圆上的动点，则PM≤+GF= +=，当且仅当M,G,F,P共线时取等；同理：PN ≤MN≤,又外接圆半径为1，，所以,∴BC=a=2sin=,由余弦定理解b+c≤2,当且仅当b=c=取等；故故答案为【点睛】本题考查正余弦定理，基本不等式，善于运用数形结合思想运用几何关系转化问题是关键，是难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.函数（，）的部分图像如下图所示，，，并且轴.（1）求和的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据函数过A，C两点，代入进行求解即可．（2）根据条件求出B的坐标，利用向量法进行求解即可．【详解】（1）由已知，又，所以，所以（3分）由，即，所以，，解得，，而，所以.（2）由（Ⅰ）知，，令，得或，k∈Z，所以x＝6k或x＝6k+1，由图可知，．所以，所以，所以．【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数余弦值的计算，利用向量法以及待定系数法是解决本题的关键．18.如图，四棱台中，底面是菱形，底面，且，，是棱的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出⊥BD．BD⊥AC．从而BD⊥平面AC，由此能证明．（2）如图，设AC交BD于点O，以O为原点，OA、OB、OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角E﹣﹣C的余弦值．【详解】证明：（1）因为⊥底面ABCD，所以⊥BD．因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面A．又由四棱台ABCD﹣知，，A，C，四点共面．所以BD⊥．（2）如图，设AC交BD于点O，依题意，∥OC且＝OC，所以O∥C，且O＝C．所以O⊥底面ABCD．以O为原点，OA、OB、OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则，由，得B1（）．因为E是棱BB1的中点，所以E（）,所以（），（﹣2，0，0）．设（x，y，z）为平面的法向量，则，取z＝3，得（0，4，3），平面的法向量（0，1，0），又由图可知，二面角E﹣A1C1﹣C为锐二面角，设二面角E﹣A1C1﹣C的平面角为θ，则cosθ，所以二面角E﹣A1C1﹣C的余弦值为．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.市面上有某品牌型和型两种节能灯，假定型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年.新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业.经了解，型20瓦和型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装.已知型和型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换.（用频率估计概率）（1）若该商家新店面全部安装了型节能灯，求一年内恰好更换了2支灯的概率；（2）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由.【答案】（1）；（2）应选择A型节能灯.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可知用频率估计概率，得m型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为，从而一年内一支B型节能灯在使用期间需更换的概率为，由此能求出一年内5支恰好更换了2支灯的概率．（2）共需要安装5支同种灯管，选择A型节能灯，一年共需花费5×120+3600×5×20×0.75×10﹣3＝870元；选择B型节能灯，由于B型节能灯一年内需更换服从二项分布，一年共需花费元，由此能求出该商家应选择A型节能灯．【详解】（1）由频率分布直方图可知，B型节能灯使用寿命超过3600小时的频率为0.2，用频率估计概率，得B型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为.所以一年内一支B型节能灯在使用期间需更换的概率为，.所以一年内支恰好更换了支灯的概率为..（2）共需要安装支同种灯管，若选择A型节能灯，一年共需花费元；若选择B型节能灯，由于B型节能灯一年内需更换服从二项分布，故一年需更换灯的支数的期望为支，故一年共需花费元.因为，所以该商家应选择A型节能灯.【点睛】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，熟记频率分布直方图性质，准确计算是关键，是中档题．20.如图，椭圆：与圆：相切，并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，，与交于两点，与圆的另一交点为，求面积的最大值，并求取得最大值时直线的方程.【答案】（1）；（2）面积的最大值为，此时直线的方程为.【解析】【分析】（1）由题意可得b＝1，a﹣1，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据l2⊥l1，可设直线l1，l2的方程，分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值．【详解】（1）椭圆E与圆O：x2+y2＝1相切，知b2＝1；又椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为，即椭圆中心O到椭圆最远距离为，得椭圆长半轴长，即；所以椭圆E的方程：（2）①当l1与x轴重合时，l2与圆相切，不合题意．②当l1⊥x轴时，M（﹣1，0），l1：x＝1，，此时．…（6分）③当l1的斜率存在且不为0时，设l1：x＝my+1，m≠0，则，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（2m2+3）y2+4my﹣1＝0，所以，所以．由得，，解得，所以，所以，因为，所以，当且仅当时取等号．所以（）综上，△ABM面积的最大值为，此时直线l1的方程为．【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力21.已知函数（为自然对数的底数，为常数，并且）.（1）判断函数在区间内是否存在极值点，并说明理由；（2）若当时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）无极值点；（2）0.【解析】【分析】（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可；（2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数k的最小值即可．【详解】（1），令，则f'（x）＝e x g（x），恒成立，所以g（x）在（1，e）上单调递减，所以g（x）＜g（1）＝a﹣1≤0，所以f'（x）＝0在（1，e）内无解．所以函数f（x）在区间（1，e）内无极值点．（2）当a＝ln2时，f（x）＝e x（﹣x+lnx+ln2），定义域为（0，+∞），，令，由（Ⅰ）知，h（x）在（0，+∞）上单调递减，又，h（1）＝ln2﹣1＜0，所以存在，使得h（x1）＝0，且当x∈（0，x1）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，当x∈（x1，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0．所以f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，+∞）上单调递减，所以．由h（x1）＝0得，即，所以，令，则恒成立，所以r（x）在上单调递增，所以，所以f（x）max＜0，又因为，所以﹣1＜f（x）max＜0，所以若f（x）＜k（k∈Z）恒成立，则k的最小值为0．【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等知识，属于中等题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于点，求的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线的参数方程的转换，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．【详解】（1）由参数方程，得普通方程，所以极坐标方程.（2）设点对应的参数分别为，将代入得得所以,直线l（t为参数）可化为，所以.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数.（1）求证：；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由绝对值不等式性质得即可证明；（2）由去绝对值求解不等式即可.【详解】（1）因为，所以.,即（2）由已知，①当m≥-时，等价于,即，解得所以②当m<-时，等价于，,解得-3≤m≤5,所以-3≤m<综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式恒成立问题，熟练运用零点分段取绝对值，准确计算是关键，是中档题.。

青霄有路终须到，金榜无名誓不还！
2019-2019年高考备考
江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数
11212i i
+++（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．35 B ．35i C ．35- D ．35i - 2.若集合{|12}A x x =<<，{|,}B x x b b R =>∈，则A B ⊆的一个充分不必要条件是（ ）
A ．2b ≥
B ．12b <≤
C ．1b ≤
D ．1b <
3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，则（ ）
A ．4x =，22s <
B ．4x =，22s >
C ．4x >，22s <
D ．4x >，22s >
4.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）
A ．2213632x y +=
B ．22198x y +=
C ．22195x y +=
D ．22
11612
x y += 5.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12
，则1a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．12 D ．14
6.已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是（ ）。

2019-2020学年江西省南昌市高三上学期开学摸底考试数学理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项最符合题意。

）1．已知集合，，则 ( )A. B. C. D.2．已知复数的实部和虚部相等，则A. B.C. D.3．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条件是（）A. x＜0B. x≥0C. x∈{－1，3，5}D. x≤－或x≥34．若，则=（）A. 1B.C.D.5．某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程，其中，，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（）A. 17B. 18C. 19D. 206．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（）A. B. C. D.7．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）.A. A B. B C. C D. D8．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.9．函数,则（）A. B.C. D. 的大小关系不能确定10．函数的定义域和值域都是，则（）A. 1B. 2C. 3D. 411．已知与都是定义在上的奇函数，且当时，（），若恰有4个零点，则正实数的取值范围是（）A. ；B. ；C. ；D. ．12．已知定义在上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，（），当时，的最小值为3，则a 的值等于（）A. B. e-2 C. 2 D. 1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案填在答题纸的对应位置上。

）13．已知集合，,若A∩B=B，则实数a 的取值范围为；14．已知,则15.已知正实数满足，则的最大值为16．已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解,则满足条件的所有实数的取值集合为_________．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分12分)已知命题，命题。

2019-2020学年江西省南昌市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合3{|0}1x M x x -=-…，{|N x y =，则()(R M N =ð )A ．(1，2]B ．[1，2]C ．(2，3]D ．[2，3]2．复数z 满足11ii z+=-，则||(z = ) A ．2iB ．2C ．iD ．13．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．公比不为1的等比数列{}n a 中，若15m n a a a a =，则mn 不可能为( ) A ．5B ．6C ．8D ．95．已知一组样本数据点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，⋯，6(x ，6)y ，用最小二乘法得到其线性回归方程为ˆ24y x =-+，若数据1x ，2x ，3x ，⋯，6x 的平均数为1，则1236y y y y +++⋯+等于( )A ．10B ．12C ．13D ．146．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,2)M -，(1,0)N ，动点P 满足||||PM ON PN =，则动点P 的轨迹方程是( ) A ．24y x =B ．24x y =C ．24y x =-D ．24x y =-7．已知二元一次不等式组20,20220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩………表示的平面区域为D ，命题p ：点(0,1)在区域D 内；命题q ：点(1,1)在区域D 内．则下列命题中，真命题是( ) A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝8．已知ABC ∆的垂心为H ，且3AB =，5AC =，M 是BC 的中点，则(HM BC = )A ．5B ．6C ．7D ．89．圆22:10160C x y y +-+=上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( )A．B ．55(,)32C ．55(,)42D．1)10．已知正实数a ，b ，c 满足：221211()log ,()log ,log 23a b a b c c ===，则( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<11．自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机．二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如98765432110(521)1202020202021202021=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+022(1000001001)⨯=．我国数学史上，对数制研究不乏其人，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：7761⨯=，7652⨯=，7543⨯=，⋯，请类比二进制与十进制转化的运算，数2(1010011100)对应八进制数为( )A ．8(446)B ．8(1134)C ．8(1234)D ．8(4321)12．函数22()()(x f x x ax e ax a e =--+为自然对数的底数，a R ∈，a 为常数）有三个不同零点，则a 的取值范围是( ) A ．1(,0)e-B ．(,0)-∞C ．1(,)e-+∞D ．(0,)+∞二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．61)x展开式中的常数项是 （用数字作答）．14．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()0f x f x -+=，(0)f =，则(10)f 等于 ． 15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21a =，2122(3)n n n S S S n --+=+…，则3a 的值为 ．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，垂直于棱1AA 的截面分别与面对角线1A D ，1A B ，1C B ，1C D 相交于点E ，F ，G ，H ，则四棱锥1A EFGH -体积的最大值为 ．三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的所对边分别为a ，b ，c ，其中c =，2sin(2)3C π-=．（Ⅰ）若a =，求角A ； （Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值．18．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===，E 是BC 的中点，F 是1A E 上一点，且13A F FE =． （Ⅰ）证明：AF ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求二面角11B A E B --余弦值的大小．19．某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额3000元）、专业二等奖学金（奖金额1500元）及专业三等奖学金（奖金额600元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次．图（1）是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图(2)是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图．（Ⅰ）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；（Ⅱ）若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列22⨯联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？（Ⅲ）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和期望．2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>四个顶点中的三个是边长为的等边三角形的顶点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线y kx m =+与圆2222:3b O x y +=相切且交椭圆E 于两点M ，N ，求线段||MN 的最大值．21．已知函数()2(1)(axe f x x ln x e a =+-+为自然对数的底数，a 为常数，且0)a ≠ （Ⅰ）若函数在1x =处的切线与直线0ex y -=平行，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在(0,)+∞上存在单调递减区间，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,([0,2)2sin x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，α为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换2,x x y y '=⎧⎨'=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ为极径，θ为极角）． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线:(0)OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线:(0)2OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211||||OA OB +的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数21()|||1|(0)a f x x x a a +=-+->，()4|1|g x x =-+． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x …的解集包含[1，2]，求a 的取值集合．2019-2020学年江西省南昌市高三（上）9月摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合3{|0}1x M x x -=-…，{|N x y =，则()(R M N =ð )A ．(1，2]B ．[1，2]C ．(2，3]D ．[2，3]【解答】解：集合3{|0}{|11x M x x x x -==<-…或3}x …，{|{|20}{|2}N x y x x x x ===-=厔，则{|13}R M x x =<…ð， 所以(){|12}[1R M N x x ==剟ð，2]．故选：B ． 2．复数z 满足11ii z+=-，则||(z = ) A ．2iB ．2C ．iD ．1【解答】解：依题意，因为复数z 满足11ii z+=-， 所以21(1)12i i z i i ++===-， 所以||1z =， 故选：D ．3．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由面面垂直的定义知，当l β⊥”时，“αβ⊥”成立， 当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件， 故选：B ．4．公比不为1的等比数列{}n a 中，若15m n a a a a =，则mn 不可能为( )A ．5B ．6C ．8D ．9【解答】解：公比不为1的等比数列{}n a 中，由15m n a a a a =， 则156m n +=+=，1m ∴=，5n =；或5m =，1n =；此时5mn =． 2m =，4n =；或4m =，2n =；此时8mn =． 3m n ==．此时9mn =．因此mn 不可能为6． 故选：B ．5．已知一组样本数据点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，⋯，6(x ，6)y ，用最小二乘法得到其线性回归方程为ˆ24y x =-+，若数据1x ，2x ，3x ，⋯，6x 的平均数为1，则1236y y y y +++⋯+等于( )A ．10B ．12C ．13D ．14【解答】解：设样本数据点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，⋯，6(x ，6)y 的样本中心点为(x ，)y ，则1x =，代入线性回归方程ˆ24yx =-+中，得2142y =-⨯+=， 则1236612y y y y y +++⋯+==． 故选：B ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,2)M -，(1,0)N ，动点P 满足||||PM ON PN =，则动点P 的轨迹方程是( ) A ．24y x =B ．24x y =C ．24y x =-D ．24x y =-【解答】解：（1）设动点(,)P x y ，(1,2)M -，(1,0)N ， 则(1,2)PM x y =---，(1,)PN x y =--， 动点P 满足||||PM ON PN =，|1|x --=，所以2222121x x x x y ++=-++，整理得：24y x =，故动点P 的轨迹C 的方程为：24y x = 故选：A ．7．已知二元一次不等式组20,20220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩………表示的平面区域为D ，命题p ：点(0,1)在区域D 内；命题q ：点(1,1)在区域D 内．则下列命题中，真命题是( ) A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝【解答】解：把点(0,1)代入不等式20x y +-…不成立，故命题p 为假命题； 把点(1,1)代入不等式组20,20220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩………成立，故命题q 为真命题．p q ∴∧、()p q ∧⌝、()()p q ⌝∧⌝为假命题；()p q ⌝∧为真命题．故选：C ．8．已知ABC ∆的垂心为H ，且3AB =，5AC =，M 是BC 的中点，则(HM BC = ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：ABC ∆的垂心为H ，且3AB =，5AC =，M 是BC 的中点， 不妨取特殊三角形如图：A 、H 重合，(3,0)B ，(0,5)C ， 3(2M ，5)2， (3,5)BC =-，则3(2HM BC =，5)(32-，9255)822=-+=．故选：D ．9．圆22:10160C x y y +-+=上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A．B ．55(,)32C ．55(,)42D．1)【解答】解：圆22:10160C x y y +-+=可化为22(5)9x y +-=，圆22:10160C x y y +-+=上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，∴圆心到双曲线渐近线的距离大于2且小于4，由对称性不妨取双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线为by x a =，即0bx ay -=，24∴<<，即524a c <<， 解得：5542c a <<．即双曲线离心率的取值范围是55(,)42．故选：C ．10．已知正实数a ，b ，c 满足：221211()log ,()log ,log 23a b a b c c ===，则( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【解答】解：作图如下：如图：1b a <<，01c <<，所以c b a <<． 故选：B ．11．自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机．二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如98765432110(521)1202020202021202021=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+022(1000001001)⨯=．我国数学史上，对数制研究不乏其人，清代汪莱的《参两算经》是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：7761⨯=，7652⨯=，7543⨯=，⋯，请类比二进制与十进制转化的运算，数2(1010011100)对应八进制数为( )A ．8(446)B ．8(1134)C ．8(1234)D ．8(4321)【解答】解：234792(1010011100)1212121212668=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 6688834÷=⋯， 838103÷=⋯， 10812÷=⋯， 1801÷=⋯，故(10)(8)6681234= 故选：C ．12．函数22()()(x f x x ax e ax a e =--+为自然对数的底数，a R ∈，a 为常数）有三个不同零点，则a 的取值范围是( )A ．1(,0)e-B ．(,0)-∞C ．1(,)e-+∞D ．(0,)+∞【解答】解：()0f x =时，22()0x x ax e ax a --+=，()()0()()0x x x x a e a x a x a xe a ---=⇒--=，得x a =或x a xe =，函数()f x 有三个不同零点，则y a =与()x g x xe =有两个不同的交点，而()(1)x x x g x e xe e x '=+=+， 令()0g x '=，1x =-，(,1)x ∈-∞-，()0g x '<，(1,)x ∈-+∞，()0g x '>， 所以11()(1g x g e e--=-=-…，函数()g x 大致图象如下：y a =与()g x 的图象有两个交点的范围1(e-，0)．故选：A ．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．61)x展开式中的常数项是 240 （用数字作答）．【解答】解：设61)x 展开式的常数项是661()rr r C x--则621rr x x --=，2r ∴=，所以常数项是240 故答案为：24014．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()0f x f x -+=，(0)f =，则(10)f 等于【解答】解：()f x 是R 上的偶函数，且(2)()0f x f x -+=，(2)()f x f x ∴-=-，()(2)()f x f x f x ∴-=-+=； (4)()f x f x ∴+=， ()f x ∴的周期为4，又(0)f =，则(2)f =，∴(10)(224)(2)f f f =+⨯==故答案为：15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21a =，2122(3)n n n S S S n --+=+…，则3a 的值为 3 ．【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21a =，2122(3)n n n S S S n --+=+…，当3n =时，31222S S S +=+，整理得123112222a a a a a a +++=++，解得33a =． 故答案为：3．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，垂直于棱1AA 的截面分别与面对角线1A D ，1A B ，1C B ，1C D 相交于点E ，F ，G ，H ，则四棱锥1A EFGH -体积的最大值为3． 【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，垂直于棱1AA 的截面分别与面对角线1A D ，1A B ，1C B ，1C D 相交于点E ，F ，G ，H ，////EF BD GH ∴，11////EH A C GF ，EF GH =，EH GF =，11BD A C ⊥，∴四边形EFGH 是矩形，11BD A C ==设1A 到平面EFGH 的距离为3t ，01t <<，则EF =，)EH t =-， ∴四棱锥1A EFGH -体积：2313)18183V t t t t =⨯⨯⨯-=-，(01)t <<，23654V t t ∴'=-，由0V '=，解得23t =，（舍去0)t =， 当2(0,)3t ∈时，0V '>，当2(3t ∈，1)时，0t '<，∴当23t =时，四棱锥1A EFGH -体积取最大值： 2322818()18()333max V =⨯-⨯=．故答案为：83．三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的所对边分别为a ，b ，c ，其中c =，2sin(2)3C π-=．（Ⅰ）若a =，求角A ； （Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）2sin(2)3C π-=，∴可得sin(2)3C π-=， (0,)2C π∈，2(33C ππ∴-∈-，2)3π， 233C ππ∴-=，可得3C π=，∴3=sin A =， 又a c <， 03A C π∴<<=，4A π∴=．（Ⅱ）在ABC ∆中，由2222cos c a b ab C =+-，可得2212a b ab ab =+-…， 1sin 2ABC S ab C ∆∴=…，当且仅当a b =，即三角形为等边三角形时，等号成立，ABC ∴∆面积的最大值为．18．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===，E 是BC 的中点，F 是1A E 上一点，且13A F FE =． （Ⅰ）证明：AF ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求二面角11B A E B --余弦值的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AE ，AF ，在ABC ∆中，11sin12022AB AC BC AE ⨯⨯⨯︒=⨯⨯，即112222AE ⨯⨯=， 解得1AE =，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AA AE ∴⊥，Rt △1A AE 中，1AA =，1AE =，12A E ∴=，12EF ∴=， 1A EAE EF AE=，AFE ∴∠是直角，1A E AF ∴⊥， E 是BC 中点，且ABC ∆是等腰三角形，AE BC ∴⊥，1AA BC ⊥，BC AF ⊥，1BC A E E =，AF ∴⊥平面1A B C ．（Ⅱ）解：AE BC ⊥，如图以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，tan 60AEBE ==︒，(B ∴，0，0)，1(0A ，1，(0E ，0，0)，1(B ，(EB =，1(0EA =，1，1(EB =，设面1BA E 的法向量(n x =，y ，)z ，面11B A E 的法向量(m x =，y ，)z ，则1300n EB n EA y ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，取1z =，得(0n =，1)， 1130m EB m EA y ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1z =，得(1m =，1)， 设二面角11B A E B --的平面角为θ， 则||cos ||||545m n m n θ===．∴二面角11B A E B --．19．某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额3000元）、专业二等奖学金（奖金额1500元）及专业三等奖学金（奖金额600元），且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次．图（1）是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图(2)是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图．（Ⅰ）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；（Ⅱ）若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列22⨯联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？（Ⅲ）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和期望．2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【解答】解：（Ⅰ）获得三等奖学金的概率为：(0.0080.0160.04)50.15(0.040.0560.016)50.4(0.0160.008)50.40.32++⨯⨯+++⨯⨯++⨯⨯= 0.32500160∴⨯=．故这500名学生获得专业三等奖学金的人数为160人．（Ⅱ）每周课外学习时间不超过35小时的“非努力型“学生有：500(0.0080.0160.040.560.016)5440⨯++++⨯=人，其中获得一、二等奖学金学生有500(0.0080.0160.04)50.05500(0.040.0560.016)5(0.250.05)92⨯++⨯+⨯++⨯⨯+=，每周课外学习时间超过35小时称为“努力型“学生有5000.1260⨯=人， 其中获得一、二等奖学金学生有60(0.350.25)36⨯+=人， 22⨯列联表如图所示：2500(348369224)42.3610.8344060128372K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关． （Ⅲ）X 的所有可能取值为：3000，1500，600，0(3000)(0.040.040.0560.016)50.05(0.0160.08)50.250.068P X ==+++⨯⨯++⨯⨯=，(1500)(0.0080.0160.04)50.05(0.040.0560.016)50.25(0.0160.005)50.350.156P X ==++⨯⨯+++⨯⨯++⨯⨯=(600)0.32P X ==(0)10.0680.1560.320.556P X ==---=，X 的分布列为：()30000.06815000.1566000.3200.556630E X =⨯+⨯+⨯+⨯=元20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>四个顶点中的三个是边长为的等边三角形的顶点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线y kx m =+与圆2222:3b O x y +=相切且交椭圆E 于两点M ，N ，求线段||MN 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中一个构成等边三角形，所以a =，b =3a =，所以椭圆E 的方程为22193x y +=； （Ⅱ）圆22:2O x y +=，因为直线y kx m =+与圆22:2O x y +=相切，=，即222(1)m k =+，联立方程22390y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩，得222(13)63(3)0k x kmx m +++-=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，122613kmx x k +=-+，21223(3)13m x x k -=+，由弦长公式21212|||()MN x x x x =-=+=，将222(1)m k =+，2222222(22)(71)12(9322)(22)(71)32||6613kkk k k kMNk++++--++===+…当且仅当222271k k+=+，即215k=时等号成立，弦长||MN21．已知函数()2(1)(axef x x ln x ea=+-+为自然对数的底数，a为常数，且0)a≠（Ⅰ）若函数在1x=处的切线与直线0ex y-=平行，求a的值；（Ⅱ）若()f x在(0,)+∞上存在单调递减区间，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数()2(1)(axef x x ln x ea=+-+为自然对数的底数，a为常数，且0)a≠，2()11axf x ex'=+-+，(1,)x∈-+∞，由f'（1）a e=，知a e e=，所以1a=，（Ⅱ）由题知：(0,)x∈+∞时，2()101axf x ex'=+-<+有解，当[1x∈，)+∞时，2()101axf x ex'=+->+恒成立，不存在单调递减区间；当(0x∈、1)时，2()101axf x ex'=+-<+有解等价于11xln axx-->+有解，设1()1xx ln axxϕ-=-+，22()1x axϕ'=--，(0,1)x∈，因为(0,1)x∈，2221x<--，①当2a-…时，22()01x axϕ'=-<-恒成立，1()1xx ln axxϕ-=-+在(0,1)x∈单调递减，()(0)0xϕϕ<=恒成立，不符合题意；②当2a<-时，21aa+<<，当x∈，22()01x axϕ'=->-，1()1xx ln axxϕ-=-+在x∈上单调递增，()(0)0xϕϕ>=，即11xln axx-->+，综上所述，2a<-；（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,([0,2)2sin x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，α为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换2,x x y y '=⎧⎨'=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ为极径，θ为极角）． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线:(0)OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线:(0)2OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211||||OA OB +的值． 【解答】解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为2cos ,([0,2)2sin x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，α为参数），转换为直角坐标方程为224x y +=．经过伸缩变换2,x x y y'=⎧⎨'=⎩得到曲线1C ，得到22416x y '+'=，转换为极坐标方程为2222cos 4sin 16ρθρθ+=．（Ⅱ）线:(0)OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线:(0)2OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，则2221cos sin 164ββρ=+，即2221cos sin ||164OA ββ=+， 同理22222cos ()sin ()1sin cos 22||164164OB ππββββ++=+==+，所以2211115||||16416OA OB +=+=． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数21()|||1|(0)a f x x x a a +=-+->，()4|1|g x x =-+． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x …的解集包含[1，2]，求a 的取值集合． 【解答】解：（1）当1a =时，23,2()|2||1|1,1223,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=⎨⎪-+<⎩剟． ()3f x …，∴2332x x -⎧⎨>⎩…或2331x x -+⎧⎨<⎩…，3x ∴…或0x …，∴不等式的解集为{|3x x …或0}x …； （2）不等式()()f x g x …的解集包含[1，2]，21|||1|4|1|a x x x a +∴-+--+…在[1，2]上恒成立．0a >，∴212a a+…， ∴2113a x x x a +-+--…，即14a x a +-…在[1，2]上恒成立， ∴1(4)422min a x a+-=-=…，1a ∴=，a ∴的取值范围为{1}．。

江西省南昌市2019届高三上学期开学摸底考试数学理试题本试卷共4页，23小题，满分150分. 考试时间120分钟.一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足(1i)2z +=，则复数z 的虚部为A ．1B ．1-C ．iD ．i - 2．设集合{}|21A x x =-≤≤，{}22|log (23)B x y x x ==--，则AB =A ．[2,1)-B ．(1,1]-C ．[2,1)--D ．[1,1)-3．已知1sin 3θ=，(,)2πθπ∈，则tan θ= A ．2- B．C．4- D．8-4．执行如图所示的程序框图，输出的n 为A ．1B ．2C ．3D ．45．设变量,x y 满足约束条件10220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩， 则32z x y =-的最大值为A ．2-B ．2C ．3D ．4 6．已知m ,n 为两个非零向量，则“m 与n 共线”是“||⋅=⋅m n m n ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A.23 B. 43 C.2 D. 838．函数sin()26x y π=+的图像可以由函数cos 2xy =的图像经过A ．向右平移3π个单位长度得到 B ．向右平移23π个单位长度得到C ．向左平移3π个单位长度得到 D ．向左平移23π个单位长度得到9．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在 前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种10．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆满足90AB ACB =∠=o，PA 为球O的直径且4PA =，则点P 到底面ABC的距离为AB ．C D ．11. 已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，且满足||2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =uu r uu r，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为A ．3B ．2 D ．3-12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线by x a=恰为线段2PF 的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为A B二．填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.13．高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，，8. 现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机 抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为 . 14．二项式52()x x-的展开式中3x 的系数为 .15．已知ABC ∆的面积为,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，3A π=，则a 的最小值为 .16．已知函数2ln(1),0,()=3,0x x f x x x x +>⎧⎨-+≤⎩，若不等式|()|20f x mx -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为 ．三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．(12分)已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，记(*)n n n b a S n N =∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T .微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK 或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：50018001（1）若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯（2）如果从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中随机抽取3人，设抽取的女性有X 人，求X 的分布列及数学期望()E X ．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．(12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=o，BAC ∠60CAD =∠=o，PA ⊥平面ABCD ，2,1PA AB ==.设,M N 分别为,PD AD 的中点. （1）求证：平面CMN ∥平面PAB ；（2）求二面角N PC A --的平面角的余弦值.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，若54OM ON k k ⋅=，求原点O 到直线l 的距离的取值范围.21．(12分)设函数2()ln 2(,)f x x mx n m n =--∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有最大值ln 2-，求m n +的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），直线2C 的方程为3y x =，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程；（2）若直线2C 与曲线1C 交于,P Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值.23．[选修4—5：不等式选讲](10分)设函数()|23|f x x =-. （1）求不等式()5|2|f x x >-+的解集；（2）若()()()g x f x m f x m =++-的最小值为4，求实数m 的值.江西省南昌市2019届高三上学期开学摸底考试数学理试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合13．45 14. 10- 15. [3--三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17.【解析】（1）∵122n n S +=-， ∴当1n =时，1111222a S +==-=； 当2n ≥时，11222n n nn n n a S S +-=-=-=，又∵1122a ==， ∴2nn a =. ………………6分 （2）由（1）知，1242n n n n n b a S +==⋅-，∴1232311232(4444)(222)n n n n T b b b b +=++++=++++-+++124(14)4(12)24242141233n n n n ++--=⨯-=⋅-+--. ………………12分18.【解析】（1∴240(131278) 2.5 2.70620202119K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， ∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关. ………………6分（2）由（1）知，从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中男性6人，女性2人， 现从中抽取3人，抽取的女性人数X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为0，1，2，363820(0)56C P X C ===， 12263830(1)56C C P X C ===， 12623186(2)56C C P X C ===， …………9分 ∴X 的分布列如下：∴2030()012.5656564E X =⨯+⨯+⨯= 19.【解析】（1）证明：∵,M N 分别为,PD AD 的中点， ………………12分 则MN ∥PA .又∵MN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB .在Rt ACD ∆中，60,CAD CN AN ∠==o，∴60ACN ∠=o.又∵60BAC ∠=o ， ∴CN ∥AB .∵CN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴CN ∥平面PAB . ………………4分 又∵CN MN N =I ， ∴平面CMN ∥平面PAB . ………………6分 （2）∵PA ⊥平面ABCD，∴平面PAC ⊥平面ACD ，又∵DC AC ⊥，平面PAC I 平面ACD AC =，∴DC ⊥平面PAC ， 如图，以点A 为原点，AC 为x 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系， ∴(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,23,0)A C P D ，N，∴(1,3,0),(1,3,2)CN PN =-=-，设(,,)x y z =n 是平面PCN 的法向量，则0CN PN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即020x x z ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，可取=n ， 又平面PAC 的法向量为(0,CD =，∴cos ,|||CD CDCD ⋅===n n n |， 由图可知，二面角N PC A --的平面角为锐角，∴二面角N PC A --…………12分20.【解析】（1）设焦距为2c ，由已知2c e a ==，22b =，∴1b =，2a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ………………4分 （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=， 依题意，222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，①2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++， ………………6分 2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，若54OM ON k k ⋅=，则121254y y x x =， 即121245y y x x =，∴2212121244()45k x x km x x m x x +++=，∴222224(1)8(45)4()404141m kmk km m k k --⋅+⋅-+=++， 即222222(45)(1)8(41)0k m k m m k ---++=，化简得2254m k +=，②………………9分由①②得226150,5204m k ≤<<≤， ………………10分∵原点O 到直线l的距离d =，∴2222225941114(1)k m d k k k -===-++++， 又∵215204k <≤，∴2807d ≤<， ∴原点O 到直线l的距离的取值范围是. ………………12分 21.【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2114()4mx f x mx x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '>， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m >时，解()0f x '>得0x <<，∴()f x在上单调递增，在)+∞上单调递减. ………………6分 （2）由（1）知，当0m >时，()f x在上单调递增，在)+∞上单调递减.∴max 111()2ln 2ln ln 2422f x f m n m n m ==⋅-=----=-， ∴11ln 22n m =--， ∴11ln 22m n m m +=--，令11()ln 22h m m m =--，则121()122m h m m m -'=-=，∴()h m 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增，∴min 11()()ln 222h m h ==， ∴m n +的最小值为1ln 22. ……………………12分22.【解析】（1）曲线1C的普通方程为22((2)4x y +-=，即22430x y y +--+=，则1C的极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ--+=， …………………3分∵直线2C 的方程为3y x =， ∴直线2C 的极坐标方程()6R πθρ=∈. …………………5分（2）设1122(,),(,)P Q ρθρθ，将()6R πθρ=∈代入2cos 4sin 30ρθρθ--+=得，2530ρρ-+=，∴123ρρ⋅=， ∴12|||| 3.OP OQ ρρ⋅== …………………10分23.【解析】（1）∵()5|2|f x x >-+可化为|23||2|5x x -++>，∴当32x ≥时，原不等式化为(23)(2)5x x -++>，解得2x >，∴2x >； 当322x -<<时，原不等式化为(32)(2)5x x -++>，解得0x <，∴20x -<<；当2x ≤-时，原不等式化为(32)(2)5x x --+>，解得43x <-，∴2x ≤-.综上，不等式()5|2|f x x >-+的解集为(,0)(2,)-∞+∞. …………………5分（2）∵()|23|f x x =-，∴()()()|223||223|g x f x m f x m x m x m =++-=+-+-- |(223)(223)||4|x m x m m ≥+----=，∴依题设有4||4m =，解得1m =±. …………………10分。

2019年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x|x2﹣4＞0}，N＝{x|log2x＜1}，则（∁R M）∩N＝（）A．∅B．（0，2）C．（﹣2，2）D．[﹣2，2）2．（5分）已知复数z＝的实部等于虚部，则a＝（）A．﹣B．C．﹣1D．13．（5分）已知抛物线方程为x2＝2y，则其准线方程为（）A．y＝﹣1B．x＝﹣1C．D．4．（5分）已知{a n}为等差数列，若a2＝2a3+1，a4＝2a3+7，则a5＝（）A．1B．2C．3D．65．（5分）如图所示算法框图，当输入的x为1时，输出的结果为（）A．3B．4C．5D．66．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．14C．16D．207．（5分）2021年广东新高考将实行3+1+2模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率（）A．B．C．D．8．（5分）已知r＞0，x，y∈R，p：“|x|+≤1”，q：“x2+y2≤r2”，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是（）A．（0，]B．（0，1]C．[，+∞）D．[2，+∞）9．（5分）已知f（x）在R上连续可导，f′（x）为其导函数，且f（x）＝e x+e﹣x﹣f'（1）x•（e x﹣e﹣x），则f'（2）+f'（﹣2）﹣f'（0）f'（1）＝（）A．4e2+4e﹣2B．4e2﹣4e﹣2C．0D．4e210．（5分）已知平面向量，，＝（2cosα，2sinα），＝（cosβ，sinβ），若对任意的正实数λ，|﹣λ|的最小值为，则此时|﹣|＝（）A．1B．2C．D．11．（5分）已知A（﹣，0），B（，0），P为圆x2+y2＝1上的动点，，过点P 作与AP垂直的直线l交直线QB于点M，则M的横坐标范围是（）A．|x|≥1B．|x|＞1C．|x|≥2D．|x|≥Z 12．（5分）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623﹣﹣1662）是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图所示，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列前135项的和为（）A．218﹣53B．218﹣52C．217﹣53D．217﹣52二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设函数，则f（5）的值为．14．（5分）侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为．15．（5分）已知锐角A满足方程3cos A﹣8tan A＝0，则cos2A＝．16．（5分）定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．已知锐角三角形的三个顶点A，B，C，在半径为1的圆上，且∠BAC＝，分别以△ABC各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和△ABC构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的最大值是．三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）函数的部分图象如图所示，A（0，），C（2，0），并且ABx∥轴．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）求cos∠ACB的值．18．（12分）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）求证：AA1⊥BD；（Ⅱ）求二面角E﹣A1C1﹣C的余弦值．19．（12分）市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5000小时．经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业．经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时．假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换．（用频率估计概率）（Ⅰ）若该商家新店面全部安装了B型节能灯，求一年内恰好更换了2支灯的概率；（Ⅱ）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．20．（12分）如图，椭圆E：与圆O：x2+y2＝1相切，并且椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点N（1，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与E交于A，B两点，l2与圆O 的另一交点为M，求△ABM面积的最大值，并求取得最大值时直线l1的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝e x（﹣x+lnx+a）（e为自然对数的底数，a为常数，且a≤1）．（Ⅰ）判断函数f（x）在区间（1，e）内是否存在极值点，并说明理由；（Ⅱ）若当a＝ln2时，f（x）＜k（k∈Z）恒成立，求整数k的最小值．选考题：共10分.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C的极坐标方程；（Ⅱ）设点M（2，1），直线l与曲线C相交于点A，B，求|MA|⋅|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+m2|+|x﹣2m﹣3|．（Ⅰ）求证：f（x）≥2；（Ⅱ）若不等式f（2）≤16，对于任意x恒成立，求实数m的取值范围．2019年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵x2﹣4＞0，∴x＜﹣2或x＞2，∴M＝（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∵log2x＜1，∴0＜x＜2，∴N＝（0，2），∴∁R M＝[﹣2，2]，∴（∁R M）∩N＝（0，2）．故选：B．2．【解答】解：∵z＝的实部等于虚部，∴，即a＝﹣1．故选：C．3．【解答】解：抛物线x2＝2y的准线方程为：y＝﹣，故选：D．4．【解答】解：∵{a n}为等差数列，a2＝2a3+1，a4＝2a3+7，∴，解得a1＝﹣10，d＝3，∴a5＝a1+4d＝﹣10+12＝2．故选：B．5．【解答】解：当x＝1时，x＞1不成立，则y＝x+1＝1+1＝2，i＝0+1＝1，y＜20不成立，x＝2，x＞1成立，y＝2x＝4，i＝1+1＝2，y＜20成立，x＝4，x＞1成立，y＝2x＝8，i＝2+1＝3，y＜20成立，x＝8，x＞1成立，y＝2x＝16，i＝3+1＝4，y＜20成立x＝16，x＞1成立，y＝2x＝32，i＝4+1＝5，y＜20不成立，输出i＝5，故选：C．6．【解答】解：根据三视图知，该几何体是直三棱柱去掉一个三棱锥，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为：V＝V三棱柱﹣V三棱锥＝×4×2×6﹣××4×2×3＝20．故选：D．7．【解答】解：今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则基本事件总数n＝＝6，他们选课相同包含的基本事件m＝1，∴他们选课相同的概率p＝＝．故选：D．8．【解答】解：“|x|+≤1”，“x2+y2≤r2”表示的平面区域如图所示，由p是q的必要不充分条件，则圆心O（0，0）到直线AD：2x+y﹣2＝0的距离小于等于＝，即0，故选：A．9．【解答】解：函数f（﹣x）＝e﹣x+e x﹣f'（1）（﹣x）•（e﹣x﹣e x）＝f（x），即函数f（x）是偶函数，两边对x求导数得﹣f′（﹣x）＝f′（x）．即f′（﹣x）＝﹣f′（x），则f′（x）是R上的奇函数，则f′（0）＝0，f′（﹣2）＝﹣f′（2），即f′（2）+f′（﹣2）＝0，则f'（2）+f'（﹣2）﹣f'（0）f'（1）＝0，故选：C．10．【解答】解：﹣λ＝（2cosα﹣cosβ，2sinα﹣sinβ）∴|﹣λ|＝＝＝≥若cos（α﹣β）≤0，则当λ＝0时||有最小值，而λ≠0，故不成立．∴cos（α﹣β）＞0∴当λ＝2cos（α﹣β）时||有最小值，∴＝∴4﹣4cos2（α﹣β）＝3cos（α﹣β）＝，∴λ＝2cos（α﹣β）＝1∴|﹣|＝||＝故选：D．11．【解答】解：设P（x0，y0），则Q（2x0+，y0），当y0≠0时，k AP＝，k PM＝﹣，直线PM：y﹣y0＝﹣（x﹣x0），①直线QB：y﹣0＝（x﹣），②联立①②消去y得x＝，∴x0＝，由|x0|＜1得x2＞1，得|x|＞1，当y0＝0时，易求得|x|＝1，故选：A．12．【解答】解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n＝＝2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n＝，可得当n＝15，在加上第16行的前15项时，所有项的个数和为135，由于最右侧为2，3，4，5，……，为个首项是2公差为1的等差数列，则第16行的第16项为17，则杨辉三角形的前18项的和为S18＝218﹣1，则此数列前135项的和为S18﹣35﹣17＝218﹣53，故选：A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：∵函数，∴f（5）＝f（2）＝f（﹣1）＝（﹣1）2﹣2﹣1＝．故答案为：．14．【解答】解：如图，正三棱锥P﹣ABC中，O为底面中心，不妨设PC＝1，∵侧面为等腰直角三角形，∴BC＝，∴OC＝，∴OP＝，∴sin∠PCO＝，故答案为：．15．【解答】解：∵锐角A满足方程3cos A﹣8tan A＝0，可得：3cos2A＝8sin A，∵cos2A+sin2A＝1，∴3sin2A+8sin x﹣3＝0，解得：sin A＝，或﹣3（舍去），∴cos2A＝1﹣2sin2A＝1﹣2×＝．故答案为：．16．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得＝2，BC＝，由余弦定理设AB＝c，AC＝b，3＝b2+c2﹣2bc cos，即3＝b2+c2﹣3bc，即3bc＝（b+c）2﹣3，即（b+c）2﹣3≤3（）2，∴b+c≤2，当且仅当b＝c的等号成立，如图．各别中点设为D，E，F为三个半圆的圆心，假设圆D和圆E上两点G，F之间连线最长，则必过D，E，∵任意任取两点I，J，连接DI，DJ，EJ，则FG＝DF+DE+DG＝DI+DE+EJ＞DI+DJ＞IJ，连线最大，则必过任意两圆的圆心FG＝DF+DE+DG＝（b+c+）≤，当且仅当b＝c等号成立，故答案为：三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（Ⅰ）由已知，又，所以，所以………（3分）由f（2）＝0，即，所以，k∈Z，解得，k∈Z，而，所以．………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，得或，k∈Z，所以x＝6k或x＝6k+1，由图可知，．………（8分）所以，所以，………（10分）所以．……………………………………………（12分）18．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC1⊥底面ABCD，所以CC1⊥BD．因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1．………（3分）又由四棱台ABCD﹣A1B1C1D1知，A1，A，C，C1四点共面．所以BD⊥AA1．………（5分）解：（Ⅱ）如图，设AC交BD于点O，依题意，A1C1∥OC且A1C1＝OC，所以A1O∥CC1，且A1O＝CC1．所以A1O⊥底面ABCD．以O为原点，OA、OB、OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则，由＝，得B1（﹣）．因为E是棱BB1的中点，所以E（﹣）．………（8分）所以＝（），＝（﹣2，0，0）．设＝（x，y，z）为平面EA1C1的法向量，则，取z＝3，得＝（0，4，3），平面A1C1C的法向量＝（0，1，0），又由图可知，二面角E﹣A1C1﹣C为锐二面角，设二面角E﹣A1C1﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝，所以二面角E﹣A1C1﹣C的余弦值为．19．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：B型节能灯使用寿命超过3600小时的频率为0.0010×200＝0.2，用频率估计概率，得m型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为．所以一年内一支B型节能灯在使用期间需更换的概率为，．………（3分）所以一年内5支恰好更换了2支灯的概率为..………（5分）（Ⅱ）共需要安装5支同种灯管，若选择A型节能灯，一年共需花费5×120+3600×5×20×0.75×10﹣3＝870元；………（7分）若选择B型节能灯，由于B型节能灯一年内需更换服从二项分布，故一年需更换灯的支数的期望为支，………（9分）故一年共需花费元．………（11分）因为967.5＞870，所以该商家应选择A型节能灯．………………………………………（12分）20．【解答】解：（Ⅰ）椭圆E与圆O：x2+y2＝1相切，知b2＝1；……………………………（2分）又椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为，即椭圆中心O到椭圆最远距离为，得椭圆长半轴长，即；所以椭圆E的方程：…（5分）（Ⅱ）①当l1与x轴重合时，l2与圆相切，不合题意．②当l1⊥x轴时，M（﹣1，0），l1：x＝1，，此时．…（6分）③当l1的斜率存在且不为0时，设l1：x＝my+1，m≠0，则，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（2m2+3）y2+4my﹣1＝0，所以，……………（8分）所以．由得，，解得，…………（9分）所以，所以＝，……………（10分）因为，所以，当且仅当时取等号．所以（）综上，△ABM面积的最大值为，此时直线l1的方程为．……………（12分）21．【解答】解：（Ⅰ），令，则f'（x）＝e x g（x），恒成立，所以g（x）在（1，e）上单调递减，所以g（x）＜g（1）＝a﹣1≤0，所以f'（x）＝0在（1，e）内无解．所以函数f（x）在区间（1，e）内无极值点．（Ⅱ）当a＝ln2时，f（x）＝e x（﹣x+lnx+ln2），定义域为（0，+∞），，令，由（Ⅰ）知，h（x）在（0，+∞）上单调递减，又，h（1）＝ln2﹣1＜0，所以存在，使得h（x1）＝0，且当x∈（0，x1）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，当x∈（x1，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0．所以f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，+∞）上单调递减，所以．由h（x1）＝0得，即，所以，令，则恒成立，所以r（x）在上单调递增，所以，所以f（x）max＜0，又因为，所以﹣1＜f（x）max＜0，所以若f（x）＜k（k∈Z）恒成立，则k的最小值为0．选考题：共10分.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（θ为参数），得普通方程（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4，所以极坐标方程ρ2﹣8ρcosθ﹣6ρsinθ+21＝0．（Ⅱ）设点A、B对应的参数分别为t1、t2，将直线l的参数方程为（t为参数），转换为（t为参数），代入（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4，得到：，所以：t1t2＝4．则：|MA||MB|＝|t1t2|＝4．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝|x+m2|+|x﹣2m﹣3|≥|（x+m2）﹣（x﹣2m﹣3）|，所以f（x）≥|m2+2m+3|＝（m+1）2+2≥2．……………（5分）（Ⅱ）由已知，f（2）＝m2+2+|2m+1|，①当m≥﹣时，f（2）≤16等价于m2+2m+3≤16，即（m+1）2≤14，解得，所以；……………（7分）②当时，f（2）≤16等价于m2﹣2m+1≤16，解得﹣3≤m≤5，所以．……………（9分）综上，实数m的取值范围是．……………（10分）。

2019届江西省南昌市高三第一次模拟考试理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. ] 设复数z 1 ，z 2 在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1 =1+i，则z 1 z 2 =A. -2 _________B. 2 _________C. 1一i _________D. 1+i2. 已知集合A={x|y= ），B= {x| y=ln（1-x）}，则A B=A. [0,1]______________B. [0,1)______________C. (一∞,1]____________________ D. (一∞,1)3. ] 已知命题p：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：函数y=x 3 +sinx的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是A. p q____________________________B. p q______________C. ( p)( q)____________________ D. p ( q)4. ] 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )，(x 3 ，y 3 )，(x 4 ，y 4 )，(x 5 ，y5 )．根据收集到的数据可知x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =150，由最小二乘法求得回归直线方程为 = 0.67x+ 54.9，则y 1 +y 2 +y 3 +y 4 +y 5 的值为A.75B.155.4______________________________C.375___________________________________D.466.25. ] (x 2 一x+1) 3 展开式中x项的系数为A.-3____________________________________B. -1______________________________ C.1 _________________________________ D.36. ] 从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为A. ________________________B. _________________________________C.___________________________________ D.7. ] 若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为A. ____________________________B. ____________________C.1______________________________ D. 28. 甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有l门不相同的选法共有A. 30种________B. 36种C. 60种D. 72种9. 已知抛物线C：y 2 =8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP=3FQ，则|QF|=A. _________________________________B.___________________________________ C.3 ________________________ D.210. 如图网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为A. 1 ____________________B. 2___________C. 3 ____________________D. 411. 已知点P在直线x+3y-2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M(x 0 ，y 0 )，且y 0 <x 0 +2，则的取值范围是A. [一，0）_____________________________________B. （一，0）C. （一，+∞）D. （一∞，一）（0,+∞)12. 已知函数f(x)的定义域为D，若对于 a，b，c∈D，．f(a)，f (b)，f(c)分别为某个三角形的三边长，则称f(x)为“三角形函数”．给出‘F列四个函数：①f(x)=lnx(x>1)，②f(x)=4+sinx，③f(x)= (1≤x≤8)，④f(x)= ，其中为“三角形函数”的个数是A. 1 ________________________B. 2 ____________________C. 3______________________________ D. 4二、填空题13. 已知向量a=(1， )，向量a，c的夹角是，a c=2，则|c|等于____________________________ 。