四川省成都外国语学校【最新】高二上学期12月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若:||2,:p x q x a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．{|2}a aB ．{|2}a aC ．{|2}a aD ．{|2}a a210=的化简结果为（ ）A ．2212516x y +=B ．2212516y x += C ．221259x y += D ．221259y x += 3．如图是某工厂对一批新产品长度(单位: mm )检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的平均数与中位数分别为( )A ．22.5 20B ．22.5 22.75C ．22.75 22.5D ．22.75 25 4．甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩用茎叶图表示如右图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙,则下列叙述正确的是（ ）A ．x x >甲乙；乙比甲成绩稳定B ．x x <甲乙; 乙比甲成绩稳定C ．x x >甲乙；甲比乙成绩稳定D ．x x <甲乙; 甲比乙成绩稳定 5．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( )A ．280B ．320C ．400D ．10006．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8πC ．12D ．4π 7．从1至9这9个自然数中任取两个：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至多有一个奇数和两个数都是奇数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数． 在上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③8．已知命题0:p x R ∃∈，使得200220x ax a +++”，若命题p 是假命题，则实数a的取值范围是（ ）A ．12a -B ．1a 2-<<C ．21a -<<D ．02a <9．设P 是椭圆22116925x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()22121x y ++=和()22121x y -+=上的点，则PM PN +的最小值、最大值分别为（ ）A ．18，24B ．16，22C ．24，28D ．20，26 10．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF 的面积为A B C ．2 D ．311．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ∆P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[1,2] B． C．4] D ．[1,4]12．已知点()(),00F c c ->是双曲线22221x y a b-=的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点F 和另一个点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则该双曲线的离心率是（ ）ABCD二、填空题13．命题“若1a >且1b >，则2a b +>”的否命题是______.（选填“真”或“假”）14．某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为a ，b ，则椭圆22221x y a b +=的离心率e >__________． 15．已知圆22:1O x y +=，圆22:()(3)1M x a y a -+-+=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则a 的取值范围是__________．16．已知椭圆C :22194x y +=，若动点()00P x y ，为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程_____________.三、解答题17．已知命题P ： 22114x y m m +=--表示双曲线，命题q ： 22124x y m m +=-- 表示椭圆．（1）若命题P 与命题q 都为真命题，则P 是q 的什么条件？（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）（2）若P q ∧ 为假命题，且P q ∨ 为真命题，求实数m 的取值范围．18．央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名30观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在35分钟以上（包括35分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在35分钟以下（不包括35分钟）的称为“非朗读爱好者”.（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.19．下表是高二某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩：求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量,x y 的线性回归方程y bx a =+. (附：1221ˆn iii n i i x y b xnx ===-∑∑，a y bx =-，133230n i i i x y ==∑，2134485ni i x ==∑) 20．已知圆22:60C x y x y m ++-+=与直线:230l x y +-=.（1）若直线l 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；（2）若直线l 与圆C 相交于,P Q 两点，O 为原点，是否存在实数m ，满足OP OQ ⊥，若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由.21．已知点F 是抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，若点P （x 0，4）在抛物线C 上，且52PF p =.（1）求抛物线C 的方程；（2）动直线l ：x ＝my +1（m ∈R ）与抛物线C 相交于A ，B 两点，问：在x 轴上是否存在定点D （t ，0）（其中t ≠0），使得k AD +k BD ＝0，（k AD ，k BD 分别为直线AD ，BD 的斜率）若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.22．已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）离心率为2，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝12-，,AD DP AE λ==EQ μ（λ，μ为非零实数），求λ2+μ2的值．参考答案1．A【分析】先化简命题p ，再根据p 是q 的充分不必要条件得到a 的取值范围.【详解】由题得:22p x -≤≤，:q x a因为p 是q 的充分不必要条件，所以p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以2a ≥.故选A【点睛】本题主要考查根据充分不必要条件求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．D【分析】根据题意得到给出的曲线方程的几何意义，是动点(),x y 到两定点的距离之和等于定值，符合椭圆定义，然后计算出相应的,,a b c 得到结果.【详解】10=， 所以其几何意义是动点(),x y 到点()0,4-和点()0,4的距离之和等于10，符合椭圆的定义. 点()0,4-和点()0,4是椭圆的两个焦点.因此可得椭圆标准方程()222210y x a b a b+=>>，其中210a =，所以5a =4c =，所以3b ==所以曲线方程的化简结果为221259y x +=. 故选D 项.【点睛】本题考查曲线方程的几何意义，椭圆的定义，求椭圆标准方程，属于简单题.3．C【解析】 由题意，这批产品的平均数为()50.0212.50.0417.50.0822.50.0327.50.0332.522.75x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 其中位数为()00.50.020.0452022.50.08x -+⨯=+=.故选C. 4．B【解析】试题分析：根据题意，由于甲乙在考试中的数学成绩分布情况分别是72,77,78,86,92;78,88,88,91,90,因此可知其均值分别是81,87．因此可知x x <甲乙，同时看茎叶图可知，乙的数据比较集中在均值附近故可知乙比甲稳定故选B.考点：茎叶图点评：主要是考查了茎叶图的简单运用，求解均值和方差的运用，属于基础题． 5．C【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++ 每人被抽取的概率为0.2， ∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C【点睛】 本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题．6．B【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .7．C【分析】分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的时间，然后挨个分析四组事件即可【详解】①恰有一个偶数和恰有一个奇数，这两个事件不是互斥事件；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数中，至少有一个是奇数包括了两个都是奇数和一个是奇数，包含了两个数都是奇数，故不是对立事件③至多有一个奇数和两个数都是奇数中，至多有一个奇数包括有一个是奇数和没有一个是奇数，和两个数都是奇数为对立事件；④至少有一个奇数和至少有一个偶数中，都包含一个奇数和一个偶数的结果，故不是对立事件故选C【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件，解题的关键是分清互斥事件和对立事件之间的关系，属于基础题．8．B【分析】由已知得命题p 是假命题，则将问题转化为命题“x R ∀∈，使得2220x ax a +++>”成立, 此时利用一元二次方程根的判别式可求得实数a 的取值范围.【详解】若命题p 是假命题，则“不存在0x R ∈，使得200220x ax a +++≤”成立, 即“x R ∀∈，使得2220x ax a +++>”成立,所以()()()()()22242424120a a a a a a ∆=-+=--=+-<， 解得1a 2-<<，所以实数a 的取值范围是1a 2-<<，故选：B9．C【分析】根据圆心恰好是椭圆的两个焦点，由圆心的距离及椭圆的定义即可求得最大值与最小值．【详解】椭圆的两个焦点坐标为()()1212,0,12,0F F -，且恰好为两个圆的圆心坐标为 所以1226PF PF +=，两个圆的半径相等且等于1 所以()12min 224PM PN PF PF r +=+-=()12max 228PM PN PF PF r +=++=所以选C【点睛】 本题考查了椭圆的定义及性质的简单应用，圆中最大值与最小值的求法，属于中档题． 10．B【分析】由抛物线的标准方程24y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1||2S y OF =可得. 【详解】由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为1x =-,如图:过点P 作准线1x =- 的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x = 代入24y x =可得y =±, 所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅=112⨯=故选B .【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题. 11．D 【解析】分析： 由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，()11222F AB S a c b ∆=-=可得，2,a c ==1PF x =可得()21211442PF PF x +=--，从而可得结果. 详解：由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为22,1b b ==，()112F AB S a c b ∆=-=解得22,a c a c -=∴==1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PF x =-，[],x a c a c ∈-+，即22x ⎡∈⎣， ()[]212111141,4442PF PF x x x ∴+=+=∈---，故选D. 点睛：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 12．C 【分析】设()(),,0P x y x >，利用抛物线的性质，双曲线的渐近线，直线平行的性质、圆的性质、联立方程组22224,,,y cx x y c y b x c a⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=+⎩①②③，建立,a c 的关系即可得到结论.【详解】如图，设抛物线24y cx =的准线为l ，作PQ l ⊥于Q ，双曲线的右焦点为'F ，由题意可知'FF 为圆222x y c +=的直径，∴设()(),,0P x y x >，则'PF PF ⊥，且tan 'b PFF a∠=，∴满足22224,,,y cx x y c y b x c a⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=+⎩①②③，将①代入②得2240x cx c +-=，则422c x c -±==-±，即)2x c =或()2x c =（舍去），将)2x c =代入③ba==即)1bcy a=，再将,x y 代入①得，))22222142b cc a=，即))222142ba=，)()22222224211b c a e a a -∴===-， 解得2e =C. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、圆的性质、双曲线的方程与性质以及离心率的求解，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解． 13．假 【分析】根据四种命题的定义，得到命题的逆命题，举例即可判定其逆命题真假，再根据四种的等价关系，即可求解否命题的真假，得到答案. 【详解】由题意，命题“若1a >且1b >，则2a b +>”的逆命题是“若2a b +>，则1a >且1b >”， 例如：1,3a b ==时，此时2a b +>成立，但1a >且1b >不成立，则逆命题命题为假命题， 根据四种命题的等价关系，原命题的逆命题与否命题是等价的，所以其否命题也是假命题. 故答案为假. 【点睛】本题主要考查了四种命题的改写，以及四种命题的等价关系的应用，其中解答中熟记四种命题的改写，求得命题的逆命题并判定其真假是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 14．13【分析】由椭圆22221x y a b +=的离心率2e >224a b >或224b a >，掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ，b ，共有36种情况，将满足不等式的情况一一列举出来，利用古典概型求解即可. 【详解】由椭圆22221x y a b +=的离心率e >当a b >时，c e a==>即得224a b >;当a b <时，c e b ==>即得224b a >. 同时掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ，b ，共有6636⨯=种情况，满足上述关系的有：(3,1),(1,3),(4,1),(1,4),(5,1),(1,5),(5,2),(2,5),（6,1），(1,6),（6,2）,(2,6)共12种情况， 所以概率为：121363=. 故答案为13. 【点睛】本题主要考查了古典概型的计算及椭圆离心率的计算，但要注意椭圆的焦点在哪个轴上，需讨论a 和b 的大小，属于易错题. 15．[0,3] 【分析】由题意求出OP 的距离，得到P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案． 【详解】由题意易得1302APO APB ︒∠=∠=，||1||2sin sin 30OA OP APO ︒===∠， ∴点P 在以O 的圆心，2为半径的圆上，∴此圆与圆M 有公共点，21||21OM -+∴， 即21||9OM .2222||(3)269OM a a a a =+-=-+，212699a a -+∴，即222680260a a a a ⎧-+⎨-⎩，解得03a ，a ∴的取值范围是[0,3] 故答案为[0，3]． 【点睛】本题主要考查直线和圆、圆与圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键，是中档题 16．2213x y += 【分析】当切线斜率存在且不为0时,设直线方程00()y y k x x -=- 【详解】设从点P 所引的直线的方程为00()y y k x x -=-,即()00y kx y kx =+-,当从点P 所引的椭圆C 的两条切线的斜率都存在时,分别设为1k 、2k ,则121k k =-,将直线()00y kx y kx =+-的方程代入椭圆C 的方程()2200194x y y kx y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩， 化简得()()()222000094189360k x k y kx x y kx ++-+--= ,()()()2220000184949360k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦,化简得()2200940y kx k ---=,即()22200009240x k kx y y --+-=,则1k 、2k 是关于k 的一元二次方程()22200009240x k kx y y --+-=的两根,则201220419y k k x -==--,化简得220013x y +=； 当两条切线分别平行与,x y 轴时, ()00,P x y 分别为()3,2P ±±四点,满足220013x y +=.故答案为：2213x y += 【点睛】本题主要考查了利用直线与椭圆相切,联立直线与椭圆利用判别式为0再进行化简求解方法,属于难题.17．（1）P 是q 的必要不充分条件（2）12m <≤ 或3m =． 【解析】试题分析：(1) 根据双曲线的定义，若命题p 为真命题则14m << ,若q 都为真命题则23m << 或34m <<，由{}|14{2334}m m m m <<⊇<<<<或，可得P 是q 的必要不充分条件；（2）由P q ∧ 为假命题，且P q ∨ 为真命题，可得,p q 一真一假，分两种情况讨论，对于p 真q 假以及p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数m 的取值范围..试题解析：（1）∵命题P ：22114x y m m +=-- 表示双曲线是真命题，∴()()140m m --< ， 解得14m << ,又∵命题q ：22124x ym m+=-- 表示椭圆是真命题，∴204024m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩解得23m << 或34m <<∵{}|14{2334}m m m m <<⊇<<<<或∴P 是q 的必要不充分条件,（2）∵P q ∧ 为假命题，且P q ∨ 为真命题 ∴P 、q 为“一真一假”， 当P 真q 假时，由（1）可知，P 为真，有14m << ，①q 为假， 2m ≤ 或3m = 或4m ≥ ②由①②解得12m <≤ 或3m = 当P 假真时，由（1）可知，P 为假，有1m ≤ 或4m ≥ ，③q 为真，有23m << 或34m << ④由③④解得，无解综上，可得实数m 的取值范围为12m <≤ 或3m =.【方法点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒. 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 18．(1)710(2)25【解析】 试题分析： 试题解析：（1）根据茎叶图，有“朗读爱好者”12人，“非朗读爱好者”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽到的概率是51306= ∴选中的“朗读爱好者”有11226⨯=人，记为,B C ，“非朗读爱好者”有11836⨯=人，记为1,2,3；记A ：至少有一名是“朗读爱好者”被选中，基本事件有(),B C ，(),1B ，(),2B ，(),3B ，(),1C ，(),2C ，(),3C ，()1,2，()1,3，()2,3共10个；满足事件A 的有(),B C ，(),1B ，(),2B ，(),3B ，(),1C ，(),2C ，(),3C 共7个，∴则()710P A =（2）收视时间在40分钟以上的男观众分别是41，42，44，47，51，女观众分别是40,41，现要各抽一名，则有()41,40，()41,41，()42,40，()42,41，()44,40，()44,41，()47,40，()47,41，()51,40，()51,41共10种情况.收视时间相差5分钟以上的有()47,40，()47,41，()51,40，()51,41，共4种情况. 故收视时间相差5分钟以上的概率42105P ==. 19．(1)见解析.(2)317.754ˆyx =+. 【解析】试题分析：⑴利用所给数据，即可求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差； ⑵利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果； 解析：(1)()17981838587835x =++++=， ()17779798283805y =++++=， ∴政治成绩的方差()()()()()222222177807980798082808380 4.85S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦.(2)∵83x =，80y =，5133230i i i x y ==∑，52134485i i x ==∑，5n =， ∴5115222211ˆ5355ni i i i i i niii i x y nxyx y xy bx nx x x ====--===--∑∑∑∑， ∴380ˆˆ8317.754ay bx =-=-⨯=， ∴变量,x y 的线性回归方程为317.754ˆyx =+. 点睛：本题主要考查了线性回归方程，属于基础题．对于⑴根据平均数的计算方法可求出历史成绩与政治成绩的平均数，接下来根据方差的计算公式即可求出政治成绩的方差；对于⑵联系⑴中的结论以及已知数据及公式，可求出b a ，的值，从而求出线性回归方程；20．（1）378,4⎛⎫⎪⎝⎭； （2）3m =.【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，求得圆心1(,3)2C -，半径2374r m =-，得到374m <，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.（2）直线l 与圆方程联立消去y ，求得122x x +=-，124275m x x -=，结合12120x x y y +=，即可求解. 【详解】（1）将圆的方程化为标准方程得：22137(+)+(3)24x y m -=-， ∴圆心1(,3)2C -，半径23704r m =->，即374m <， ∵圆心C 到直线l 的距离254d =，直线l 与圆C 没有公共点，∴37544m -<，即8m >，则m 的范围为37(8,)4.（2）由题意，假设存在实数m 使得OP OQ ⊥，将直线l 与圆方程联立2260230x y x y m x y ⎧++-+=⎨+-=⎩， 立消去y 得到：25104270x x m ++-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则122x x +=-，124275m x x -=，12121212427153393()52244m x x x x x x y y -+---++=⋅==， ∵12120x x y y +=，∴427154275054m m -+-+=，解得3m =. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定方法，以及熟练应用圆的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21．（1）y 2＝4x ；（2）存在，（﹣1，0）. 【分析】（1）先求出抛物线的准线方程，将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程即可求得p ＝2，从而可得结果；（2）假设存在，设A ,B 坐标，直线与抛物线联立得关于y 的二次函数方程，两根之和，两根之积写出，利用斜率之和为0，即可求出t 的值.【详解】（1）由题意得：抛物线的准线方程：2p x =-， ∵点P （x 0，4）在抛物线C 上，2042px ∴=，08x p∴=， 0822p pPF x p ⎛⎫∴=--=+ ⎪⎝⎭，所以由题意：()85022p p p p +=>，解得：p ＝2， 所以抛物线C 的方程：y 2＝4x ；（2）由题意得0m ≠，假设存在D （t ，0）使得0AD BD k k +=， 设A （x ，y ），B （x '，y '），214x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得：2440y mx --=， '4,'4,1AD y y y y m yy k x t my t ∴+==-==-+-，''1BD y y k x t my t==-+-， 由0AD BD k k +=得'011y y my t my t+=+-+-()()2'1'0myy t y y ⇒+-⋅+=()()()2414010m t m m t ⇒-+-=⇒--=，0m ≠，1t ∴=-时，使得0AD BD k k +=，即D 点的坐标：（﹣1，0）． 【点睛】解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.22．（1）2212x y +=；（2）1【分析】（1）由题意可得b ＝1，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）求得A 的坐标，设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），运用向量共线坐标表示，结合条件求得P 的坐标，代入椭圆方程，可得λ2＝22112k +，同理得μ2＝21212k 12k +，即可得λ2+μ2的值． 【详解】（1）因为短轴长2b ＝2，所以b ＝1，又离心率e＝2c a =，且a 2﹣b 2＝c 2， 解得a，c ＝1，则椭圆C 的方程为22x +y 2＝1； （2）由（1）可得点 A，0），设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），则y 1＝k 1x 1，y 0＝k 2x 0， 由AD DP λ=可得x 0λ（x 1﹣x 0），y 0＝λ（y 1﹣y 0），即有x 0＝1101,1x y y λλλλ+=+，k 1x 1＝y 1＝1λλ+y 0＝1λλ+k 2x 0＝k 2（x 1﹣λ）， 两边同乘以k 1，可得k 12x 1＝k 1k 2（x 1﹣λ）＝﹣12（x 1﹣λ）， 解得x 1＝()()112211,1212y k k k λλ=++，将P （x 1，y 1）代入椭圆方程可得λ2＝22112k +， 由AE EQ μ=可得μ2＝2122212k 11212k k =++，可得λ2+μ2＝1． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线方程和向量共线的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题．。
