(完整版)高中抽象函数的单调性习题总结,推荐文档

第二讲：函数的单调性一、定义：1.设函数的定义域为,如果对于定义域内的某个区间内的任意两)(x f y =I I D 个自变量的值，当时，都有那么就说在区间上21,x x 21x x <),()(21x f x f <)(x f D 是增函数.区间叫的单调增区间. D )(x f y =注意：增函数的等价式子：;0)()(0)]()()[(21212121>--⇔>--x x x f x f x f x f x x 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？（2）函数单调性的定义中有三个核心①②③ 函数为21x x <)()(21x f x f <)(x f 增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？2.设函数的定义域为,如果对于定义域内的某个区间内的任意两)(x f y =I I D 个自变量的值，当时，都有那么就说在区间上21,x x 21x x <),()(21x f x f >)(x f D 是减函数.区间叫的单调减区间.D )(x f y =注意：(1)减函数的等价式子：；0)()(0)]()()[(21212121<--⇔<--x x x f x f x f x f x x (2)若函数为增函数，且.)(x f )()(,2121x f x f x x <<则题型一：函数单调性的判断与证明例1.已知函数的定义域为，如果对于属于定义域内某个区间上的任意)(x f R I 两个不同的自变量都有则（ ）21,x x .0)()(2121>--x x x f x f A.在这个区间上为增函数 B.在这个区间上为减函数 )(x f )(x f C.在这个区间上的增减性不变 D.在这个区间上为常函数)(x f )(x f变式训练：定义在上的函数对任意都有，且R )(x f 120x x <<1)()(2121<--x x x f x f 函数的图象关于原点对称，若则不等式的解集为)(x f y =,2)2(=f 0)(>-x x f ___.例3.证明：函数在上是增函数.x x x f +=3)(R 变式训练：讨论的单调性.并作出当时函数的图象.)0()(>+=a xax x f 1=a 变式训练：已知并用上的单调性，在判断函数)1,0()()(,2)1(2xx f x g x x x f =-=+定义证明.题型二：函数的单调区间难点突破：（1）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单调函数吗？（2）函数的单调减区间是上吗？xx f 1)(=),0()0,(+∞-∞ 例1.（图像法）求下列函数的单调区间（1）. (2).|2||1|)(-++=x x x f 3||2)(2++-=x x x f （3）.|54|)(2+--=x x x f 例2.（直接法）求函数的单调区间.xxx f +-=11)(例3.（复合函数）（2017全国二）函数 的单调递增区间2()ln(28)f x x x =--是( )A. B. C. D. )2,(--∞)1,(--∞),1(+∞),4(+∞变式训练：求下列函数的单调区间.（1） （2）312+-=x x y 652+-=x x y （3）22311x x y ---=题型三：抽象函数的单调性问题例1.设函数是实数集上的增函数，令.)(x f R )2()()(x f x f x F --=(1)证明：是上的增函数；)(x F R (2)若求证：.,0)()(21>+x F x F 221>+x x 例2定义在上的函数满足下面三个条件：),0(+∞)(x f ①对任意正数，都有；b a ,)()()(ab f b f a f =+②当时，；1>x 0)(<x f ③.1)2(-=f （1）求的值；)1(f （2）使用单调性的定义证明：函数在上是减函数；)(x f ),0(+∞（3）求满足的的取值集合.2)13(>+x f x 题型四：函数单调性的应用（1）利用函数的单调性比较大小在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.①正向应用：②逆向应用：例1.在上单调递减，那么与的大小关系是__________.()x f ()+∞,0()12+-a a f ⎪⎭⎫⎝⎛43f 变式训练：已知函数且对任意的，有),1()1()(x f x f x f -=+满足)(1,2121x x x x ≠>设则的大小关系_________..0)()(2121>--x x x f x f ),3(),2(),21(f c f b f a ==-=c b a ,,（2）利用函数的单调性解不等式例2.设是定义在上的增函数，且成立，求的取值)(x f ]1,1[-)1()2(x f x f -<-x范围.变式训练.①设是定义在上的偶函数，当时，单调递减，)(x f ]3,3[-30≤≤x )(x f 若成立，求的取值范围.)()21(m f m f <-m ②（2015全国二）设函数成立的)12()(,11)1ln()(2->+-+=x f x f xx x f 则使得的取值范围是（ ）x A. B. C. D. )1,31(),1(31,(+∞-∞ )31,31(-),31()31,(+∞--∞ ③（2018全国一）设函数，则满足的x 的取值范围()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，()()12f x f x +<是（ ）A ．B ．C ．D ．(]1-∞-，()0+∞，()10-，()0-∞，（3）根据函数的单调性求参数的取值范围例1.如果函数在区间上是增函数，则实数的取1)1(42)(2+--=x a x x f ),3[+∞a 值范围是（ ）A.（1,2）B.（0，2）C.（0，1）D.[)+∞-,2变式训练：如果函数在区间上是减函数，求实数2)1(2)(2+--=x a x x f )4,[-∞的取值范围.a例2.若函数在上为增函数，则实数的取值范围⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(,0,1)12()(2x x b x x b x b x f R b 是__________.例3.若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.||a x y -=]4,(-∞a 第三节：函数的奇偶性一、知识梳理1.函数的奇偶性例1（2014全国二）偶函数的图象关于直线对称，，则)(x f y =2=x 3)3(=f ___________．=-)1(f 例2（2017全国二） 已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，()f x (,0)x ∈-∞，则__________.32()2f x x x =+(2)f =例3（2012全国二）设函数的最大值为，最小值为，1sin )1()(22+++=x xx x f M m 奇偶性定 义图象特点备注奇函数★★设函数的定义域为,如果)(x f y =D 对内的任意一个,都有∈D ,且　D x x -,则这个函数叫做奇函数 ()()x f x f -=-关于原点中心对称函数是奇函)(x f 数且在处有0=x 定义,则0)0(=f 偶函数设函数的定义域为,如果对)(x f y =D 内的任意一个,都有,且D x D x ∈-,则这个函数叫做偶函数()()x f x f =-★关于轴对称y则+=______.M m 2.函数的图象(1)平移变换：“上加下减，左加右减”例4（2010全国二）设偶函数满足，则)(x f )0(42)(≥-=x x f x （ ）=>-}0)2(|{x f x A. B.}42|{>-<x x x 或}40|{><x x x 或C. D.}22|{>-<x x x 或}42|{>-<x x x 或(2)对称变换①；)()(x f y x f y x -=−−−−→−=轴对称关于②；)()(x f y x f y y -=−−−−→−=轴对称关于③；)()(x f y x f y --=−−−−→−=关于原点对称④;)10(log )10(≠>=−−−−→−≠>==a a x y a a a y a x y x 且且对称关于⑤奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的额图象关于轴对称.y (3)翻折变换★★①.|)(|)(x f y x f y x x =−−−−−−−−−−−→−=轴下方图象翻折上去轴上方图象，将保留例5（2010全国二）已知函数,若均不相等，且⎪⎩⎪⎨⎧+-≤<=621100|,lg |)(x x x x f c b a ,,则的取值范围是( )),()()(c f b f a f ==c b a ⋅⋅A. B. C D.)10,1()6,5()12,10()24,20(例6（2011全国二）已知函数的周期为2，当时，()y f x =[1,1]x ∈-2()f x x =那么函数的图象与函数的图象的交点共有（ ）()y f x =|lg |y x =A ．10个 B ．9个 C ．8个D ．1个★★★②.)||()()(x f y x f y y x f y y =−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→−=轴左侧的图象）在轴对称的图象（去掉原于轴右边图象，并作其关保留例7（2011全国二）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（(0,)+∞）A.B ．C ．D ．3y x =||1y x =+21y x =-+||2x y -=例8（2010大纲）直线与曲线有四个交点，则的取值范围1=y a x x y +-=||2a 是____________.(4)函数图象的几种对称关系★①满足图象关于直线为轴对称；R x x f ∈),()()()(x f y x a f x a f =⇔-=+a x =例9（2018全国二）已知是定义域为的奇函数，满足)(x f ),(+∞-∞，若=2，则（ ）)1()1(x f x f +=-)1(f =++++)50(...)3()2()1(f f f f A ．﹣50 B ．0 C ．2 D ．50②图象关于为轴对称；)()()(x f x b f x a f ⇔-=+2ba x +=③函数与函数的图象关于直线对称.)(x a f y +=)(x b f y -=2ab x -= 如：和的图象，关于直线为轴对称.)(x f y =)1(x f y -=21=x 例10（2015全国二）已知函数则），的图像过点（4,1-2)(3x ax x f -==________.a 二、真题演练1.（2014全国一）设函数的定义域为，且是奇函数，是)(),(x g x f R )(x f )(x g 偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A. 是偶函数B. 是奇函数)()(x g x f )(|)(|x g x f C. 是奇函数 D. 是奇函数|)(|)(x g x f |)()(|x g x f 2.（2015全国一）已知函数，且，则⎩⎨⎧>+-≤-=-1),1(log 1,22)(21x x x x f x 3)(-=a f =( ))6(a f -A.- B.- C.- D.-745434143.（2015全国一）设函数的图像关于直线对称，且)(x f y =x y -=,则（ ）1)4()2(=-+-f f =a A.-1 B.1 C.2 D.44.（2017全国一）函数的部分图像大致为（ ）xxy cos 12sin -=5.（2017全国一）已知函数，则（ ）)2ln(ln )(x x x f -+=A. B.）单调递增在（2,0)(x f ）单调递减在（2,0)(x f C. D.对称的图像关于直线1)(==x x f y ）对称的图像关于点（0,1)(x f y =6.(2017全国三)函数的部分图像大致为（ ）2sin 1xy x x=++A ．B ．C ．D ．二、课后作业1.若奇函数在上是增函数且最大值为5，那么在上是（ ）)(x f []7,3)(x f []3,7--A.增函数且最小值是 B.增函数且最大值是5-5-C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是5-5-2.若是偶函数，则在上（ ）32)1()(2++-=mx x m x f )(x f ()1,4--A.是增函数 B.是减函数 C.不具有单调性 D.单调性由的值确定m 3.已知函数若为奇函数，则________.()1,21x f x a =-+()f x a =4.函数是定义在上的奇函数，且,求函数的21xb ax x f ++=）（)1,1(-5221=）（f )(x f 解析式___________.第四节：函数的零点一、知识梳理★零点：方程的解；函数图象与轴交点的横坐标.0)(=x f )(x f x 函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标.)()()(x g x f x F -=)(x f )(x g 零点存在定理：函数在定义域上连续，若，则在)(x f []b a ,0)()(<⋅b f a f )(x f 定义域上一定存在零点.[]b a ,例（2011全国二）在下列区间中，函数的零点所在的区间为()43x f x e x =+-（ ）A ． B ． C ． D ．1(,0)4-1(0,)411(,4213(,242、真题演练1.（2017全国三）已知函数有唯一零点，则=（ 211()2()x x f x x x a e e --+=-++a）A ．B ．C ．D ．112-13122.(2018全国一)已知函数，，若存在⎩⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x f x a x x f x g ++=)()()(x g 两个零点，则的取值范围是__________.a 三、课后作业1.关于的方程的根所在大致区间为（ ）x 015=--x x A. B. C. D.)1,0()2,1()4,3()5,4(2.已知，若）为常数（其中）（R x c b cx bx x x f ∈-++=,,735，）（102=-f 则=________.）（2f。

抽象函数单调性奇偶性解不等式题型例1．函数y=f （x ）的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f （a +b ）=f （a ）+f （b ），且x ＞0时，f （x ）＜0恒成立．（1）证明函数y=f （x ）是R 上的单调性；（2）讨论函数y=f （x ）的奇偶性；（3）若f （x 2﹣2）+f （x ）＜0，求x 的取值范围．解析：（1）证明：设x 1＞x 2，则x 1﹣x 2＞0，而f （a +b ）=f （a ）+f （b ）∴f （x 1）﹣f （x 2）=f （（x 1﹣x 2）+x 2）﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2）+f （x 2）﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2），又当x ＞0时，f （x ）＜0恒成立，∴f （x 1）＜f （x 2），∴函数y=f （x ）是R 上的减函数；（2）由f （a +b ）=f （a ）+f （b ），得f （x ﹣x ）=f （x ）+f （﹣x ），即f （x ）+f （﹣x ）=f （0），而f （0）=0，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），即函数y=f （x ）是奇函数．（3）（方法一）由f （x 2﹣2）+f （x ）＜0，得f （x 2﹣2）＜﹣f （x ），又y=f （x ）是奇函数，即f （x 2﹣2）＜f （﹣x ），又y=f （x ）在R 上是减函数，∴x 2﹣2＞﹣x 解得x ＞1或x ＜﹣2．（方法二））由f （x 2﹣2）+f （x ）＜0且f （0）=0，得f （x 2﹣2+x ）＜f （0），又y=f （x ）在R 上是减函数，∴x 2﹣2+x ＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2．变式：1．已知函数y=f （x ）满足f （x +y ）=f （x ）+f （y ）对任何实数x ，y 都成立．（1）求证：f （2x ）=2f （x ）；（2）求f （0）的值；（3）求证f （x ）为奇函数．证明：（1）∵（x +y ）=f （x ）+f （y ），令y=x ，得f （x +x ）=f （x ）+f （x ），即f （2x ）=2f （x ）；（2）令y=x=0，∵f （x +y ）=f （x ）+f （y ），∴f （0+0）=f （0）+f （0），即f （0）=2f （0），∴f （0）=0．（3）证明：由已知得定义域为R ．满足若x ∈R ，则﹣x ∈R ．令y=﹣x ，∵f （x +y ）=f （x ）+f （y ），∴f （0）=f （x ）+f （﹣x ）．∵f （0）=0，∴f （x ）+f （﹣x ）=0，即f （﹣x ）=﹣f （x ）．∴f （x ）为奇函数．2．设函数()y f x =的定义域为R ，并且满足()()()f x y f x f y -=-，且(2)1f =，当0x >时，()0f x >（1）．求(0)f 的值； （2）．判断函数()f x 的奇偶性；（3）．如果()(2)2f x f x ++<，求x 的取值范围． 【解析】（1）令0x y ==，则(00)(0)(0)f f f -=-,(0)0f ∴=;(2)()()()f x y f x f y -=- (0)(0)()f x f f x ∴-=-，由（1）值(0)0f =，()()f x f x ∴=-- (0)0f =，∴函数()f x 是奇函数（3）设12,x x R ∀∈，且12x x >，则120x x ->，1212()()()f x x f x f x -=-当0x >时，()0f x >，12()0f x x ∴->，即12()()0f x f x ->，12()()f x f x ∴>∴函数()f x 是定义在R 上的增函数()()()f x y f x f y -=- ，()()()f x f y f x y ∴=+-211(2)(2)(2)(42)(4)f f f f f ∴=+=+=--= ()(2)2f x f x ++< ，()(2)(4)f x f x f ∴++<，(2)(4)()(4)f x f f x f x ∴+<-=-函数()f x 是定义在R 上的增函数，24x x ∴+<-，1x ∴<,∴不等式()(2)2f x f x ++< 的解集为{|1}x x <3．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；（3）解关于x的不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．解：（1）∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．（2）∵f（x）对一切x，y∈RR都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0．令x1＞x2，则x2﹣x1＜0，且f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）＞0，由（1）知，f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）．∴f（x）在R上是减函数．（3）f（2x）=f（x）+f（x）=2f（x），f（3x）=f（2x+x）=f（2x）+f（x）=3f（x），则不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），等价为f（x2）+f（3a）＞f（3x）+f（ax），即f（x2+3a）＞f（3x+ax），∵f（x）在R上是减函数，∴不等式等价为x2+3a＜3x+ax，即（x﹣3）（x﹣a）＜0，当a=3时，不等式的解集为∅，当a＞3时，不等式的解集为（3，a），当a＜3时，不等式的解集为（a，3）．单调+奇偶性+带常数的不等式例2．已知f（x）的定义域为R，且满足对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=﹣3；（1）求f（0）与f（3）；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）的单调性；（4）解不等式f（x2+1）+f（x）≤﹣9．【解答】解：（1）令y=0，则由条件得f（x+0）=f（x）+f（0），即f（0）=0，当x=y=1时，f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=2×（﹣3）=﹣6，f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=﹣3﹣6=﹣9；（2）∵f（0）=0，∴令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）是奇函数；（3）设x1＜x2，则设x2﹣x1＞0，此时f（x2﹣x1）＜0，即f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，则f（x2）＜f（x1），即f（x）的单调递减；（4）不等式f（x2+1）+f（x）≤﹣9等价为f（x2+1）+f（x）≤f（3），即f（x2+1+x）≤f（3），∵f（x）的单调递减，∴x2+1+x≥3，即x2+x﹣2≥0，解得x≥1或x≤﹣2，即不等式的解集为{x|x≥1或x≤﹣2}．变式：1．已知函数f（x）的定义域为R，对于任意实数a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0，f （1）=﹣2，试判断f（x）在[﹣3，3）上是否有最大值和最小值？如果有，求出最大值和最小值，若没有，说明理由．解：令a=b=0知f（0）=0，令a=x，b=﹣x，则f（x）+f（﹣x）=0，∴f（x）为奇函数．任取两个自变量x1，x2且﹣∞＜x1＜x2＜+∞，则f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵x2＞x1，∴x2﹣x1＞0知f（x2﹣x1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，故f（x2）＜f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．因此f（x）在[﹣3，3）上有最大值f（﹣3），由于x≠3，则f（3）取不到，无最小值．由于f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=﹣6，故最大值为f（﹣3）=﹣f（3）=6．2．设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），又当x＞0时，f（x）＜0且f（2）=﹣1．试问函数f（x）在区间[﹣6，6]上是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值、最小值；如果没有，请说明理由．解：令x=y=0知f（0）=0，令x+y=0知f（x）+f（﹣x）=0，∴f（x）为奇函数．任取两个自变量x1，x2且﹣∞＜x1＜x2＜+∞，则f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵x2＞x1，∴x2﹣x1＞0知f（x2﹣x1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，故f（x2）＜f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．因此f（x）在[﹣6，6]上有最大值和最小值最小值为f（6）=f（4）+f（2）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2）=﹣3；最大值为f（﹣6）=﹣f（6）=3．3．已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（﹣1）=2．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）求函数f（x）在区间[﹣2，4]上的值域．解：（1）证明：∵f （x ）的定义域为R ，令x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）=2f （0），∴f （0）=0．令y=﹣x ，则f （x ﹣x ）=f （x ）+f （﹣x ），即f （0）=f （x ）+f （﹣x ）=0．∴f （﹣x ）=﹣f （x ），故f （x ）为奇函数．（2）证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）=f （x 2﹣x 1）．又∵x 2﹣x 1＞0，∴f （x 2﹣x 1）＜0，∴f （x 2）﹣f （x 1）＜0，即f （x 1）＞f （x 2）．故f （x ）是R 上的减函数．（3）∵f （﹣1）=2，∴f （﹣2）=f （﹣1）+f （﹣1）=4．又f （x ）为奇函数，∴f （2）=﹣f （﹣2）=﹣4，∴f （4）=f （2）+f （2）=﹣8．由（2）知f （x ）是R 上的减函数，所以当x=﹣2时，f （x ）取得最大值，最大值为f （﹣2）=4；当x=4时，f （x ）取得最小值，最小值为f （4）=﹣8．所以函数f （x ）在区间[﹣2，4]上的值域为[﹣8，4]．4．设函数f （x ）的定义域为R ，对任意实数x 、y 都有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），当x ＞0时f （x ）＜0且f （3）=﹣4．（1）证明：函数f （x ）为奇函数；（2）证明：函数f （x ）在（﹣∞，+∞）上为减函数．（3）求f （x ）在区间[﹣9，9]上的最大值与最小值．【解答】（1）证明：令x=y=0知f （0）=0，令x +y=0知f （x ）+f （﹣x ）=0，∴f （x ）为奇函数．（2）证明：任取两个自变量x 1，x 2且﹣∞＜x 1＜x 2＜+∞，则f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2﹣x 1），∵x 2＞x 1，∴x 2﹣x 1＞0知f （x 2﹣x 1）＜0，即f （x 2）﹣f （x 1）＜0，故f （x 2）＜f （x 1），∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数．（3）解：∵f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数∴f （x ）在[﹣9，9]上有最大值和最小值最小值为f （9）=f （6）+f （3）=f （3）+f （3）+f （3）=3f （3）=﹣12；最大值为f （﹣9）=﹣f （9）=12．5．已知函数f （x ）对一切实数x ，y ∈R 都有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＜0，又f （3）=﹣2．（1）试判定该函数的奇偶性；（2）试判断该函数在R 上的单调性；（3）求f （x ）在[﹣12，12]上的最大值和最小值．解 （1）令x=y=0，得f （0+0）=f （0）=f （0）+f （0）=2f （0），∴f （0）=0．令y=﹣x ，得f （0）=f （x ）+f （﹣x ）=0，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），∴f （x ）为奇函数．（2）任取x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0，∴f （x 2﹣x 1）＜0，∴f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）=f （x 2﹣x 1）＜0，即f （x 2）＜f （x 1），∴f （x ）为R 上的减函数，（3）∵f （x ）在[﹣12，12]上为减函数，∴f （12）最小，f （﹣12）最大，又f （12）=f （6）+f （6）=2f （6）=2[f （3）+f （3）]=4f （3）=﹣8，∴f （﹣12）=﹣f （12）=8，∴f （x ）在[﹣12，12]上的最大值是8，最小值是﹣86．已知函数f （x ）对任意x ，y ∈R ，总有f （x ）+f （y ）=f （x +y ），且当x ＞0时，f （x ）＜0，f （1）=﹣．（1）求证：f （x ）在R 上是减函数．（2）求函数在[﹣3，3]上的最大值和最小值．解：（1）证明：令x=y=0，则f （0）=0，令y=﹣x 则f （﹣x ）=﹣f （x ），在R 上任意取x 1，x 2，且x 1＜x 2，则△x=x 2﹣x 1＞0，△y=f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）=f （x 2﹣x 1）∵x 2＞x 1，∴x 2﹣x 1＞0，又∵x ＞0时，f （x ）＜0，∴f （x 2﹣x 1）＜0，即f （x 2）﹣f （x 1）＜0，有定义可知函数f （x ）在R 上为单调递减函数．（2）∵f （x ）在R 上是减函数，∴f （x ）在[﹣3，3]上也是减函数．又f （3）=f （2）+f （1）=f （1）+f （1）+f （1）=3×（﹣）=﹣2， 由f （﹣x ）=﹣f （x ）可得f （﹣3）=﹣f （3）=2，故f （x ）在[﹣3，3]上最大值为2，最小值为﹣2．7． 是定义在R 上的函数，对都有，且当时，。

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3【答案】D2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()22f f -= ，又因为()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()()()201f f f >>，故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5．已知定义域为R 的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是 （ ） A ． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B ． （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C ． [﹣1，﹣3] D ． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 【答案】B 【解析】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有， 可得，解可得： 即的取值范围是；故选：B ．7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C .9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ）A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .10.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】11.定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（ ）．A ． 恒大于B ． 恒小于C ． 可正可负D ． 可能为【答案】A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f（）=f（）=14，∵＜＜，二、填空题13．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（–2），f（–π），f（3）的大小顺序是__________．【答案】f（–π）>f（3）>（–2）【解析】由已知是上的偶函数，所以有，，又由在上单调增，且，所以有，所以π），故答案为：.14.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】∵是偶函数，15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减， 根据对称性，所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减．又易推出()()()1100f f f -===．从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦．()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥，故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤，解得105a <≤或15a ≤≤． 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于：212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->，求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】18．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】 由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：. 19．定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________． 【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-， ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减，在(),0-∞ 上递增，12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为()f x 是偶函数，所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ，可得2x >或102x << ，故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =， ()42f =；（2）4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭． 【答案】（1）0；（2）()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数； （2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）增函数；（2）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（3）0t =或2t ≥或2t ≤-． 【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立． 令()22g a at t =-+，则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥，∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-．25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =；（2）见解析：（3）()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x 的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）(1,133-+）. 【解析】点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.【解析】（1）奇函数，证明如下：由题意知，令，得，所以；点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.28．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数。

∵函数 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意 ,有 >0;②对
任意 ,有 ;③
∴
∴
∴函数 是R上的单调减函数.
9、解： (1)证明:令 ,则
∵当 时, ,故 ,∴ ,
∵当 时,
∴当 时, ,则
(2)证明: 任取 ,则
∵ ,∴0< ,故 <0,又∵
∴ ,故
∴函数 是R上的单调减函数.
10、(1)证明：令 ，则 ，故
∴f（1）≥-2.
（3） f（ax2）- f（x）＞ f（a2x）- f（a）
f（ax2）- f（a2x）＞n[f（x）- f（a）]
f（ax2-a2x）＞nf（x-a）（10分）
由已知得：f[n（x-a）]=nf（x-a）
∴f（ax2-a2x）＞f[n（x-a）]
∵f（x）在（-∞，+∞）上是减函数
∴ax2-a2x＜n（x-a）.即（x-a）（ax-n）＜0，
∵a＜0，
∴（x-a）（x- ）＞0，（11分）
讨论：（1）当a＜ ＜0，即a＜- 时，
原不等式解集为{x | x＞ 或x＜a}；
（2）当a= ＜0即a=- 时，原不等式的解集为φ；
（3）当 ＜a＜0时，即- ＜a＜0时，
原不等式的解集为{x | x＞a或x＜
16、解:（1）由已知对于任意x∈R，y∈R，f（x+y）=f（x）+ f（y）恒成立
令x=y=0，得f（0+0）= f（0）+ f（0），∴f（0）=0
令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0∴对于任意x，都有f(-x)= - f(x)∴f(x)是奇函数.
（2）设任意x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，由已知f（x2-x1）＜0（1）

10月2日 抽象函数的单调性1、()f x 对任意,x y R ∈都有：()()()f x y f x f y +=+，当0,()0x f x ><时，又知(1)2f =-，求()f x 在[]3,3x ∈-上的值域.2、f(x)对任意实数x 与y 都有()()()2f x f y f x y -=--,当x>0时,f(x)>2（1）求证:f(x)在R 上是增函数； （2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3.3、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集.4、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.(1) 求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。

5、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有：()()()a f f a fb b =-，且当1x <时，()0f x >,（I ）求(1)f 的值;（II ）判断()f x 的单调性,6、若非零函数)(x f 对任意实数b a ,均有()()()f a b f a f b +=⋅，且当0<x 时，1)(>x f ；（1）求证：()0f x > ；（2）求证：)(x f 为减函数 （3）当161)4(=f 时，解不等式41)5()3(2≤-⋅-x f x f7、已知()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，且(1)1f =，若任意的[1,1]a b ∈-、，总有()(()())0a b f a f b ++>．（1）判断函数()f x 在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：(1)(12)f x f x -<-；（3）若2()21f x m pm -+≤对所有的[1,1]x ∈-恒成立，其中[1,1]p ∈-（p 是常数），求实数m 的取值范围．。

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3【答案】D2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()22f f -= ，又因为()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()()()201f f f >>，故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5．已知定义域为R 的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是 （ ） A ． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B ． （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C ． [﹣1，﹣3] D ． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 【答案】B 【解析】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有， 可得，解可得： 即的取值范围是；故选：B ．7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C .9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ）A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .10.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】11.定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（ ）．A ． 恒大于B ． 恒小于C ． 可正可负D ． 可能为【答案】A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f（）=f（）=14，∵＜＜，二、填空题13．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（–2），f（–π），f（3）的大小顺序是__________．【答案】f（–π）>f（3）>（–2）【解析】由已知是上的偶函数，所以有，，又由在上单调增，且，所以有，所以π），故答案为：.14.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】∵是偶函数，15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减， 根据对称性，所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减．又易推出()()()1100f f f -===．从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦．()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥，故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤，解得105a <≤或15a ≤≤． 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于：212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->，求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】18．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】 由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：. 19．定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________． 【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-， ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减，在(),0-∞ 上递增，12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为()f x 是偶函数，所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ，可得2x >或102x << ，故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =， ()42f =；（2）4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭． 【答案】（1）0；（2）()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数； （2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）增函数；（2）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（3）0t =或2t ≥或2t ≤-． 【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立． 令()22g a at t =-+，则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥，∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-．25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =；（2）见解析：（3）()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x 的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）(1,133-+）. 【解析】点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.【解析】（1）奇函数，证明如下：由题意知，令，得，所以；点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.28．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数。

抽象函数的单调性、奇偶性问题1.函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-， 并且当0x >时，()1f x >.（摘自《学案与测评（文）》第13页） （1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若()45f =，解关于m 的不等式()2323f m m --<.解答：（1）提示：增减项()2211x x x x =-+；（2）41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 2.设()f x 是定义域()0,+∞为上的函数，同时满足条件：①()()()f xy f x f y =+；②()21f =；③若1x >，则()0f x >. 如果()()32f x f x +-≤，求x 取值范围.（摘自教案maths-1函数的单调性） 解答：(]3,4.3.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意,m n R ∈都有()()()12f m n f m f n +=++， 且102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，又当12x >时，()0f x >.（摘自《世纪金榜》第21页——新题快递） （1）求()1f ； （2）求和：()()()()1232009f f f f ++++ ； （3）判断函数()f x 的单调性并加以证明. 解答：（1）12；（2）等差数列首项为12，公差为1；（3）证明：设12x x <， 则()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦()()()121112f x f x x f x ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦()2112f x x ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦()211122f x x f ⎡⎤⎛⎫=--++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2112f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭0<，即()()12f x f x <.所以函数()f x 为增函数.4. 定义在区间()1,1-上的函数)(x f 满足：（东北育才高中部2010期中文科）①对任意的()1,1,-∈y x ，都有)1()()(xyyx f y f x f ++=+； ②当0<x 时，0)(>x f . 问题：（1）求证f (x )为奇函数；（2）试解不等式)21()1()(f x f x f >-+. 解析：（1）解：令x = y = 0，则 f (0) + f (0) = )0()0100(f f =++ ∴ f (0) = 0 令x ∈(－1, 1) ∴－x ∈(－1, 1) ∴ f (x ) + f (－x ) = f (21x xx --) = f (0) = 0∴ f (－x ) =－f (x ) ∴ f (x ) 在(－1，1)上为奇函数（2）解：令－1< x 1 < x 2 < 1，则f (x 1) －f (x 2) = f (x 1) + f (－x 2) = )1(2121x x x x f --∵x 1－x 2 < 0，1－x 1x 2 > 0 ∴012121<--x x x x ∴ )1(2121x x x x f --> 0∴ f (x 1) > f (x 2) ∴ f (x ) 在(－1，1)上为减函数又f (x ) + f (x －1) >)21(f >-+-⇒)112(2xx x f )21(f∴ 不等式化为21111121112x x x x x -<<⎧⎪-<-<⎪⎪⎨⎪-⎪<⎪+-⎩⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<⇒035102x x x⎪⎩⎪⎨⎧-<<<⇒213510x x 或2135+>x 21350-<<⇒x∴ 不等式的解集为}21350|{-<<x x . 变式:定义在区间()1,1- 上的函数()f x 满足：()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--=⎪-⎝⎭.若()1,0x ∈- 时()0f x > ，若1157P f f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,12Q f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,()0R f = , 则P 、Q 、R 的大小关系为（源自2015届高三上期末育才等五校联考文科T11）A.R>Q>PB.R>P>QC.P>R>QD.Q>P>R答案：B.提示：关注目标需要判定函数的单调性 进一步需要对P 进行合一变形进一步需要函数的奇偶性判定.①赋值法：在已知等式中令0x =得()()f y f y -=-，∴函数为奇函数； ②已知可变形为()()1x y f x f y f xy ⎛⎫-+-=⎪-⎝⎭，∴111115711573157P f f f f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪+⋅⎝⎭；【至此可以排除AC 】 ③定义判断单调性：设1211x x -<<< ，则()()1212121x x f x f x f x x ⎛⎫--=⎪-⎝⎭∵120x x -<，1210x x -⋅>，∴121201x x x x -<-⋅故由已知得121201x x f x x ⎛⎫->⎪-⎝⎭，即()()120f x f x ->.所以函数为单调减函数； 所以答案为B.2015/1/25 wht 解析5.已知函数()(),0y f x x R x =∈≠，对任意非零函数1x 、2x ，恒有()()()1212f x x f x f x ⋅=+.（源自《世纪金榜》教师版第50页）（1）试判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在()0,+∞上是单调递增函数，且()164f =，解不等式23212f x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭. 解析：（1）令1x =1，2x =1得()()()1111f f f ⋅=+，所以()10f =， 令1x =-1，2x =-1得()()()()()1111ff f -⋅-=-+-，()()121f f =-，所以()10f -=. 令1x x =，2x =-1，则()()()()11f x f x f ⋅-=+-，即()()f x f x -=， 所以()f x 是偶函数.（2）()164f =⇒()()()44444f f f ⋅=+=，∴()42f =，同理()21f =.()223121022x x x -+=-+>，又因为()f x 在()0,+∞上是单调递增函数，所以 23212f x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭⇔23222x x -+>解得22x >或22x <. 6.定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m ，n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<. （1）判断()f x 的单调性；（2）设()()()(){}22,1A x y f x f y f =⋅>，()({},1,B x y f ax y a R =-+=∈，若A B =∅ ，试确定a 的取值范围.（源自2010东北育才高二文科月考19题） 解：（1）在中，令，得，因为，所以。

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函数的单调性一、选择题:1．在区间（0，＋∞)上不是增函数的函数是( ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞,－2）上是减函数,则f （1)等于（ )A ．－7B ．1C ．17D ．253．函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y =f （x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．（3，8） B ．(－7，－2)C ．（－2，3）D ．（0，5)4．函数f （x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 （ ） A ．（0，21） B ．（ 21，＋∞)C ．(－2，＋∞）D ．(－∞，－1)∪（1,＋∞）5．已知函数f （x ）在区间[a ，b ]上单调，且f (a ）f (b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间［a ，b ]内（ ）A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g （x ）=f （ 2－x 2）,那么函数g (x ) （ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间（0,1)上是减函数C ．在区间（－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x ）是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 ｜f(x＋1）|＜1的解集的补集是( ）A．(－1，2) B．(1，4)C．(－∞，－1）∪［4，＋∞) D．（－∞,－1）∪[2，＋∞）8．已知定义域为R的函数f（x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f（5＋t）＝f（5－t），那么下列式子一定成立的是（）A．f(－1）＜f(9)＜f(13）B．f(13）＜f(9）＜f(－1）C．f(9）＜f(－1)＜f(13）D．f（13）＜f（－1)＜f（9)9．函数)xgxf-=和的递增区间依次是（ )A．]1,=xx)2((|(x)|-∞(-∞(],0,B．)-∞(+∞,1[],0,C．]1,,0[+∞+∞+∞D),1[),(),,0[-∞10．已知函数()()2212=+-+在区间(]4,∞-上是减函数,则实数a的取值范围是（）f x x a xA．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥311．已知f（x）在区间（－∞，＋∞）上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（）A．f（a)＋f(b)≤－f（a)＋f（b)］B．f（a）＋f（b)≤f(－a)＋f（－b) C．f(a）＋f（b）≥－f（a）＋f(b）］D．f（a)＋f（b）≥f(－a)＋f（－b）12．定义在R上的函数y=f(x)在（－∞,2）上是增函数,且y=f（x＋2）图象的对称轴是x=0，则（）A．f(－1）＜f（3) B．f（0)＞f(3）C．f (－1）=f (－3) D．f(2）＜f(3)二、填空题:13．函数y=(x－1）—2的减区间是___ _．14．函数y=x－2x1＋2的值域为__ ___．-15、设()y f x =是R 上的减函数,则()3y f x =-的单调递减区间为 。

抽象函数单调性和奇偶性1.抽象函数的图像判断单调性例1.如果奇函数f(x)在区间［3, 7］上是增函数且有最小值为5,那么f (x)在区间［7，3］上是()A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为 5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图，易知选Bo2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(2) 0，并且f (x)在(，0)上为增函数。

若(a 1)f(a) 0 ,则实数a的取值范围二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3.已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(x) 1g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m)g(n) g(m n)(m,n R)求证：f(x)是R上的增函数.解:设X1>X2因为，g(x)是R上的增函数,且g(x)>0。

故g(x 1) > g(x 2) >0 o g(X1)+1 > g(x 2)+1 >0 ,2 22> 2>0g(X2)1 g(xj 1g(x2) 1 g(xj 1>0 o增函数。

2.证明奇偶性例5.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y 满足f(xy) f(x) 求证：f(x)是偶函数。

分析：在 f(xy) f (x) f(y)中，令 x y 1，得 f(1) f (1) f (1) f (1) 0 令 x y 1,得 f (1) f( 1) f( 1) f( 1) 0于是 f( x) f( 1 x) f( 1) f (x) f (x)，故 f (x)是偶函数。

三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中， 关键是利用函数的奇 偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式 组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

f(x 1)- f(x 2)=皿Jg(xj 1gg) 1 g%) 122=1——2——(1-2)g(xj 1 gg) 1>0 g(xj 1可以推出: f(x 1)>f(x 2)，所以 f(x)是 R 上的上为减函数。

抽象函数及应用13种常考题型总结题型1抽象函数的定义域问题题型2抽象函数的值域问题题型3求抽象函数的值题型4求抽象函数的解析式题型5抽象函数的奇偶性问题题型6抽象函数的单调性问题题型7抽象函数周期性问题题型8抽象函数的对称性问题题型9解抽象不等式题型10抽象函数比较大小题型11抽象函数的最值问题题型12抽象函数的零点问题题型13双函数混合型1.抽象函数概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2.抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用()f x 表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。

在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。

抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.3.“赋值法”求抽象函数的值赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1,-1等),从而使问题获得简捷有效的解决。

注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等.（2）第二层次赋值：若题中有条件0f x =t （），则再令字母取0x .（3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.4.“赋值法”求抽象函数的解析式赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。

5.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性判断抽象函数的奇偶性的关键是得到()f x 与()f x -的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留()f x 与()f x -的关系。

教学内容函数的单调性与最值教学目标掌握求函数的单调性与最值的方法重点单调性与最值难点单调性与最值教学准备教学过程第2讲函数的单调性与最值知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为y max＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为y min＝f(x0)．教学效果分析教学过程【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．1．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用教学效果分析课堂巩固一、填空题1．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．3．(2013·南通月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是________．4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．5．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.6．函数f (x )＝2x －18－3x 的最大值是________．7．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.8．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为______．。

f (x) 2 ， f (3) 5，求不等式 f (a 2 2a 2) 3 的解集。
解：设 x1、x2 R 且 x1 x2 ， 则 x2 x1 0 ， f (x2 x1 ) 2 ，则 f (x2 x1 ) 2 0 ， f (x2 ) f [(x2 x1) x1] f (x2 x1) f (x1) 2 f (x1)
f
(a) f (b) ab
0.（1）判断函数
f
(x)
在 [1,1]
上是增函数，还是减函数，并证明你的
结论；（2）解不等式：f(x+ 1 )＜f( 1 ).
2
x 1
解：（1）设任意 x1,x2∈［－1,1］,且 x1<x2.
由于 f(x)是定义在[1,1] 上的奇函数，
∴f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1). 因为 x1<x2,所以 x2+(－x1)≠0,
f (x1)
1 0， f (x1)
f (x2 )
f (x2 x1) f (x1)
f (x1) f (x)在R上为增函数。
（3）由 f (x 2 ) f ( y 2 ) f (1) 得 x 2 y 2 1 (1)
f (ax by c) 1 得 ax by c 0 （2）
（2）证明： f (x) 在 R 上是增函数；（3）设 A (x，y)| f (x 2 ) f ( y 2 ) f (1) ，
B {(x，y)| f (ax by c) 1，a，b，c R，a 0} ，若 A B ，求 a，b，c 满 足的条件。 解：（1）令 m n 0 得 f (0) f (0) f (0) ， f (0) 0 或 f (0) 1。
（2） f (x ) 在 (0, ) 上是增函数。

( “分解因式 ”、配方成同号项的和等 )； ③依据差式的符号确定其增减性． (2) 导数法 :
设函数 y＝ f(x)在某区间 D 内可导．如果 f ′x（)>0，则 f (x)在区间 D 内为增函数；如果 f ′x（)<0，则 f(x)在区间 D 内为减函数． 注意： (补充 ) （ 1）若使得 f ′x（)=0 的 x 的值只有有限个，
一、知识梳理 《名师一号》 P15 注意：
研究函数单调性必须 先求函数的定义域， 函数的单调区间是 定义域的子集 单调区间 不能并 ！
知识点一 函数的单调性 1. 单调函数的定义
1
2.单调性、单调区间的定义
若函数 f(x)在区间 D 上是 增函数或减函数 ，则称函数 f(x) 在这一区间上具有 (严格的 )单调性， 区间 D 叫做 f (x)的单 调区间 .
法一：定义法
设－ 1<x1<x2，
ax1 ax2 则 f(x1)－f (x2)＝x1＋ 1－ x2＋1
ax1 x2＋ 1 － ax2 x1＋ 1
＝
x1＋1 x2＋ 1
a x1－x2
＝ x1＋ 1
x2＋ 1
∵－ 1<x1<x2，
∴x1－ x2<0， x1＋1>0，x2＋ 1>0.
6
∴当 a>0 时， f(x1)－ f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)， ∴函数 y＝f (x)在(－1，＋ ∞）上单调递增． 同理当 a<0 时， f (x1)－f (x2)>0， 即 f(x1)>f(x2)， ∴函数 y＝f (x)在(－1，＋ ∞）上单调递减．
[答案 ] C [解析 ] f ′x（)＝3x2－6a， 若 a≤０，则 f ′x（) ≥０，∴ f(x)单调增，排除 A ； 若 a>0，则由 f ′x（)＝0 得 x＝ ± 2a，当 x<－ 2a和 x> 2a 时，f ′x（)>0，f(x)单调增，当－ 2a<x < 2a时，f (x)单调减， ∴f (x)的单调减区间为 (－ 2a， 2a)，从而 2a＝2， ∴a＝ 2.

高三抽象函数总结抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。

考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。

本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。

由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。

抽象函数常见题型讲解：一、定义域问题：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

例一.若函数)1(x f y的定义域为)3,2[，求函数)21(xf y的定义域。

提示：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1x 与21x的范围等同。

变式训练1：已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求)(x f 的定义域。

变式训练2：已知函数)(x f 的定义域是]2,1[，求函数)]3([log 21x f 的定义域。

二、求值问题例二、已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①1)2(f ，51)6(f ；②)()()(y f x f y x f ，求f(3)，f(9)的值。

注：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。

变式训练3：已知R x f 是定义在)(上的函数，且R x f 对任意的,1)1(都有下列两式成立：)6(,1)()(.1)()1(;5)()5(g x x f x g x f x f x f x f 则若的值为变式训练4:设函数))((R x x f 为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f 则)5(f _____变式训练5：已知)(),(x g x f 都是定义在R 上的函数，对任意y x,满足)()()()()(y f x g y g x f y x f ，且0)1()2(f f ，则)1()1(g g =_________三、值域问题:例三、设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f 总成立，且存在21x x ，使得)()(21x f x f ，求函数)(x f 的值域。

抽象函数单调性和奇偶性1. 抽象函数的图像判断单调性例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是( )A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。

2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R 上的偶函数f (x)满足f (2)0=，并且f (x)在(,0)-∞上为增函数。

若(1)(a)0a f ->，则实数a 的取值范围 .二、抽象函数的单调性和奇偶性 1.证明单调性 例3．已知函数f(x)=1)(1)(+-x g x g ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. (m)(n)(m n)(m,n )g g g R =+∈ . 求证： f(x)是R 上的增函数.解:设x 1>x 2因为，g(x)是R 上的增函数, 且g(x)>0。

故g(x 1) > g(x 2) >0。

g(x 1)+1 > g(x 2)+1 >0，⇒1)(22+x g >1)(21+x g >0⇒1)(22+x g -1)(21+x g >0。

5 O-7 -3 3 7 x -5f(x 1)- f(x 2)=1)(1)(11+-x g x g - 1)(1)(22+-x g x g =1-1)(21+x g -(1-1)(22+x g )=1)(22+x g -1)(21+x g >0。

可以推出：f(x 1) >f(x 2)，所以f(x)是R 上的增函数。

例4．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数。

解：(1)令 a b 0 ，得 f (0) f (0) f (0) 2024 解得 f (0) 2024.
(2)任取 x 1 x 2 ，令 a x 1 x 2 ，b x 2 ， 得 f (x1 x2 x2) f (x1 x2) f (x2) 2024 ， 化简得 f (x1) f (x1 x 2 ) f (x 2 ) 2024 ， 即 f (x1) f (x 2) f (x1 x 2) 2024 ， 因为 x 1 x 2 0 ，所以 f (x 1 x 2 ) 2 0 2 4， 所以 f (x1) f (x 2 ) 0，故有 f (x 1) f (x 2 ) ， 所以 f (x) 在 R 上单调递增.
解：(1)令 a b 0 ，得 f (0) f (0) f (0) 1 解得 f (0) 1 .
(2)任取 x 1 x 2 ，令 a x 1 x 2 ，b x 2 ， 得 f (x1 x 2 x 2) f (x1 x 2) f (x 2) 1 ， 化简得 f (x1) f (x1 x 2 ) f (x 2 ) 1 ， 即 f (x1) f (x 2) f (x1 x 2) 1 ， 因为 x 1 x 2 0 ，所以 f (x 1 x 2 ) 1 ， 所以 f (x1) f (x 2 ) 0，故有 f (x 1) f (x 2 ) ， 所以 f (x) 在 R 上单调递增.
(3)因为 f (1) 2025 ，所以 f (2) f (1) f (1) 2024 2026 ， 所以 f (x 2 x) 2026 就等价于 f (x 2 x) f (2) ， 由(2)知 f (x) 在 R 上单调递增，
所以有 x 2 x 2 ，解得 1 x 2 ， 所以解集为 (1，2) .
解：(1)令 x y 0 ，得 f (0) f (0) f (0) 解得 f (0) 0 或 f (0) 1 ， 若 f (0) 0 ，令 x 1，y 0 ，则 f (1) f (1) f (0) 0 ，矛盾 所以 f (0) 1 .